CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Векторний простір — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"c6085d55-7b7b-4f7b-9f94-54142da03b96","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Векторний_простір","wgTitle":"Векторний простір","wgCurRevisionId":43594863,"wgRevisionId":43594863, "wgArticleId":25491,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Сторінки з використанням розширення JsonConfig","Використання шаблону Reflist із кількістю колонок","Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN","Лінійна алгебра"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Векторний_простір","wgRelevantArticleId":25491,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":43594863,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk", "pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q125977","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","mediawiki.page.gallery.styles": "ready","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cmediawiki.page.gallery.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/1200px-Vector_add_scale.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="666"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/800px-Vector_add_scale.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="444"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/640px-Vector_add_scale.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="355"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Векторний простір — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Векторний_простір rootpage-Векторний_простір skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Векторний простір</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти до навігації</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти до пошуку</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><table class="vertical-navbox nowraplinks plainlist" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%"><tbody><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:145%;line-height:1.2em;display:block;margin-bottom:0.35em;"><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0" title="Алгебрична структура">Алгебричні структури</a></th></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Група (математика)">Групо</a>-подібні</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Група (математика)">Група</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D1%96%D0%B2%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Напівгрупа">Напівгрупа</a> / <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D1%97%D0%B4" title="Моноїд">Моноїд</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%B8_%D1%96_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%BB%D0%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Стійки і квандли (ще не написана)">Стійки і квандли</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D1%96%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Квазігрупа (алгебра)">Квазігрупа і Петля</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43815798">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Абелева група">Абелева група</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B3%D0%BC%D0%B0_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Магма (алгебра)">Магма</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D1%96" title="Група Лі">Група Лі</a></li></ul> </div> <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF" title="Теорія груп">Теорія груп</a></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><a href="/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Кільце (алгебра)">Кільце</a>-подібні</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Кільце (алгебра)">Кільце</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Rng_(algebra)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Rng (algebra) (ще не написана)">Rng</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rng_(algebra)" class="extiw" title="en:Rng (algebra)">[en]</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D1%96%D0%B2%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5" title="Напівкільце">Напівкільце</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Near-ring&action=edit&redlink=1" class="new" title="Near-ring (ще не написана)">Near-ring</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Near-ring" class="extiw" title="en:Near-ring">[en]</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5" title="Групове кільце">Групове кільце</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B5_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5" title="Комутативне кільце">Комутативне кільце</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%86%D1%96%D0%BB%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Область цілісності">Область цілісності</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра)">Поле</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D1%96%D0%BB%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Тіло (алгебра)">Тіло</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Lie_algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lie algebra (ще не написана)">Lie ring</a></li></ul> </div> <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D0%B5%D1%86%D1%8C" title="Теорія кілець">Теорія кілець</a></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><a href="/wiki/%D2%90%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0_(%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%BA)" title="Ґратка (порядок)">Ґратко</a>-подібні</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D2%90%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0_(%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%BA)" title="Ґратка (порядок)">Ґратка</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D1%96%D0%B2%D2%91%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0" class="mw-redirect" title="Напівґратка">Напівґратка</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D2%91%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0" class="mw-redirect" title="Доповнена ґратка">Доповнена ґратка</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%BA" class="mw-redirect" title="Лінійний порядок">Лінійний порядок</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%93%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%96%D0%BD%D0%B3%D0%B0" title="Алгебра Гейтінга">Алгебра Гейтінга</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0)" title="Булева алгебра (структура)">Булева алгебра</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0_%D2%91%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA&action=edit&redlink=1" class="new" title="Діаграма ґраток (ще не написана)">Діаграма ґраток</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83" title="Теорія порядку">Теорія порядку</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5%D0%BC" title="Модуль над кільцем">Модуле</a>-подібні</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5%D0%BC" title="Модуль над кільцем">Модуль</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_%D0%B7_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Група з операторами">Група з операторами</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Векторний простір</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Лінійна алгебра">Лінійна алгебра</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BC" title="Алгебра над полем">Алгебра</a>-подібні</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BC" title="Алгебра над полем">Алгебра</a></li></ul> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" class="mw-redirect" title="Асоціативна алгебра">Асоціативна</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%B0%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Неасоціативна алгебра (ще не написана)">Неасоціативна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Композитна алгебра">Композитна алгебра</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D1%96" title="Алгебра Лі">Алгебра Лі</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%83%D0%B9%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Градуйована алгебра">Градуйована</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%91%D1%96%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Біалгебра (ще не написана)">Біалгебра</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%93%D0%BE%D0%BF%D1%84%D0%B0" title="Алгебра Гопфа">Алгебра Гопфа</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td style="text-align:right;font-size:115%;padding-top: 0.6em;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43094501">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8" title="Шаблон:Алгебричні структури"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Обговорення шаблону:Алгебричні структури (ще не написана)"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Алгебричні структури"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <div class="dablink noprint" style="font-style:italic; padding-left:2em;">Запит «Лінійний простір» перенаправляє сюди; Про структуру в геометрії інцидентності див. <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F)" title="Лінійний простір (геометрія)">Лінійний простір (геометрія)</a>.</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Vector_add_scale.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/200px-Vector_add_scale.svg.png" decoding="async" width="200" height="111" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/300px-Vector_add_scale.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/400px-Vector_add_scale.svg.png 2x" data-file-width="530" data-file-height="294" /></a><figcaption>Додавання векторів і множення вектора на скаляр: вектор v (синій) додається до іншого вектора w (червоного, верхня ілюстрація). Унизу, w видовжений множенням на 2, показано суму v + 2w.</figcaption></figure> Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Лінійна алгебра">лінійної алгебри</a>, узагальнення множини всіх <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" class="mw-redirect" title="Вектор">векторів</a> на <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0" class="mw-redirect" title="Координатна площина">площині</a> чи в <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" class="mw-redirect" title="Багатовимірний простір">просторі</a> з операціями <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2" class="mw-redirect" title="Додавання векторів">додавання векторів</a> та <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80" class="mw-redirect" title="Множення вектора на скаляр">множення вектора на скаляр</a>. Прикладом векторного простору є <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Вектор (математика)">Евклідові вектори</a>. Вони відображають <a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Фізика">фізичні</a> величини такі як <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D0%B0" title="Сила">сили</a>: будь-які дві сили (однакової природи) можна додавати між собою і отримати в результаті третю, а множення вектору сили на дійсний множник дає інший вектор сили. Аналогічним чином, але в більш <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Геометрія">геометричному</a> сенсі, вектори що відображають переміщення в площині або у <a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81_%D0%BE%D0%B1%27%D1%94%D0%BA%D1%82%D0%B0" class="mw-redirect" title="Тривимірний опис об'єкта">тривимірному просторі</a> також утворюють векторні простори. Вектори у векторному просторі не обов'язково повинні бути об'єктами у вигляді стрілок, як їх часто наведено в прикладах: вектори слід розглядати як абстрактні математичні об'єкти із певними властивостями, які в деяких випадках можна зобразити у вигляді направлених відрізків (стрілок). Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Функціональний аналіз">функціональному аналізі</a> розглядаються <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Топологічний векторний простір">топологічні векторні простори</a>, утворені з <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">функцій</a> однієї чи кількох змінних, а <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%83" title="Вектор стану">вектори стану</a> в <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0" title="Квантова механіка">квантовій механіці</a> описують стан квантової системи. <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Матриця (математика)">Матриці</a> заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовольняють правила «шкільної алгебри». У довільному векторному просторі не визначені операції <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Скалярний добуток">скалярного</a>, <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Векторний добуток">векторного</a> добутку; <a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0" class="mw-redirect" title="Норма вектора">норми</a> чи <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%83" class="mw-redirect" title="Метрика простору">метрики</a>. Ці операції можуть вводитись як додаткові <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8" title="Математичні структури">структури</a>. Проте векторні простори із <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Скалярний добуток">скалярним</a> або <a href="/wiki/%D0%95%D1%80%D0%BC%D1%96%D1%82%D1%96%D0%B2_%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Ермітів скалярний добуток">ермітовим скалярним добутком</a> відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. <a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Гільбертів простір">гільбертів простір</a>. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="uk" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Зміст</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Приклади">1 Приклади</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#Направлені_відрізки_на_площині">1.1 Направлені відрізки на площині</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Впорядковані_пари_чисел">1.2 Впорядковані пари чисел</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Означення">2 Означення</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Пов'язані_визначення">3 Пов'язані визначення</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Історія">4 Історія</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Базис_і_вимір">5 Базис і вимір</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Лінійні_відображення_і_матриці">6 Лінійні відображення і матриці</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Матриці">6.1 Матриці</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Див._також">7 Див. також</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Примітки">8 Примітки</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Джерела">9 Джерела</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Приклади">Приклади</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Приклади" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Приклади">ред. код</a>]</div> Поняття векторного простору можна спершу пояснити за допомогою двох окремих прикладів: <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Направлені_відрізки_на_площині">Направлені відрізки на площині</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Направлені відрізки на площині" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Направлені відрізки на площині">ред. код</a>]</div> У першому прикладі векторний простір складається із «стрілок» на <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Площина">площині</a>, що беруть початок із однієї фіксованої точки, що є початком відліку. У фізиці їх використовують аби описати сили або <a href="/wiki/%D0%A8%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Швидкість">швидкості</a>. Нехай дано дві такі стрілки, v і w, і <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC" title="Паралелограм">паралелограм</a>, що утворений двома цими направленими відрізками містить <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C" title="Діагональ">діагональ</a>, що бере початок з тієї ж точки. Ця нова побудована стрілка є сумою двох попередніх стрілок — v + w. В особливому випадку коли стрілки знаходяться на одній прямій, їхньою сумою буде стрілка на цій прямій, довжина якої дорівнювати сумі або різниці довжин, і залежності від того чи мали стрілки однаковий напрям чи ні. Іншою операцією яку можна виконати над стрілками є масштабування: для будь-якого даного додатного <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Дійсне число">дійсного числа</a> a, стрілка що має такий самий напрямок як v, але його довжина збільшена або зменшена множенням на a, називається добутком вектора v на скаляр a. Він позначається як av. Якщо a від'ємне, av результатом буде стрілка, що вказує в протилежному напрямку. На наступних зображеннях наведено два приклади: якщо a = 2, результуючий вектор aw має спільний напрямок із w, але збільшену вдвічі довжину відносно w (зображення праворуч знизу). Аналогічно, 2w є сумою w + w. Крім того, (−1)v = −v має протилежний напрям і однакову довжину з v (вектор, що вказує вниз і показаний синім на зображенні праворуч). <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Vector_addition3.svg" class="mw-file-description" title="Додавання векторів: сума v + w (чорним) векторів v (синім) і w (червоним)."><img alt="Додавання векторів: сума v + w (чорним) векторів v (синім) і w (червоним)." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Vector_addition3.svg/120px-Vector_addition3.svg.png" decoding="async" width="120" height="49" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Vector_addition3.svg/180px-Vector_addition3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Vector_addition3.svg/240px-Vector_addition3.svg.png 2x" data-file-width="190" data-file-height="78" /></a></div> <div class="gallerytext">Додавання векторів: сума v + w (чорним) векторів v (синім) і w (червоним).</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Scalar_multiplication.svg" class="mw-file-description" title="Скалярний добуток: множення −v і 2w."><img alt="Скалярний добуток: множення −v і 2w." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Scalar_multiplication.svg/120px-Scalar_multiplication.svg.png" decoding="async" width="120" height="41" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Scalar_multiplication.svg/180px-Scalar_multiplication.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Scalar_multiplication.svg/240px-Scalar_multiplication.svg.png 2x" data-file-width="312" data-file-height="106" /></a></div> <div class="gallerytext">Скалярний добуток: множення −v і 2w.</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Впорядковані_пари_чисел">Впорядковані пари чисел</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Впорядковані пари чисел" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Впорядковані пари чисел">ред. код</a>]</div> У другому ключовому прикладі векторний простір задано парами дійсних чисел x і y. (Важливим є порядок входження компонент x і y, тому така пара ще називається <a href="/wiki/%D0%92%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0" title="Впорядкована пара">впорядкованою парою</a>.) Записується вона наступним чином — (x, y). Сума двох таких пар і множення пари чисел на число визначатиметься таким чином: <dl><dd>(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</dd></dl> і <dl><dd>a (x, y) = (ax, ay).</dd></dl> Перший приклад зводиться до даного прикладу, якщо направлені відрізки буде представлено парою <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Декартова система координат">декартових координат</a> їх кінцевих точок. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Означення">Означення</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Означення" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Означення">ред. код</a>]</div> Лінійний простір над <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра)">полем</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }"> — це <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Множина">множина</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\!}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37882cf02e7ca89ce14308143da8dca3265af14a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.308ex; width:1.504ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L\!}"> елементи якої називаються векторами, у якій визначені: <ul><li><a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Бінарна операція">бінарна операція</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ L\times L\to L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>L</mi> <mo>×</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ L\times L\to L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bdd21d02bbcfff3b2d82153da0f900a0989cfdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.784ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ L\times L\to L}"> додавання векторів: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})\mapsto {\vec {u}}+{\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})\mapsto {\vec {u}}+{\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ac5b56dee1b407a0f4de3aebe2b0d045b6092f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})\mapsto {\vec {u}}+{\vec {v}}}"></li> <li><a href="/wiki/%D0%A3%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Унарна операція">унарна операція</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ K\times L\to L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>K</mi> <mo>×</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ K\times L\to L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b9888852a20d526290a5a184ef29f2d2232602" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.267ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ K\times L\to L}"> множення вектора на скаляр: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\lambda ,{\vec {u}})\mapsto \lambda {\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\lambda ,{\vec {u}})\mapsto \lambda {\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48457990eff45514ec9795e28794f4e497a66532" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\lambda ,{\vec {u}})\mapsto \lambda {\vec {u}}}"></li></ul> що задовільняють наступну систему аксіом<a href="#cite_note-1">[1]</a>: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}"> — <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" class="mw-redirect" title="Комутативна група">комутативна група</a> відносно операції додавання векторів: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a446b9f93cf67ef88c46015ed31dbe89956983c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.789ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}}"> (<a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Комутативність">комутативність</a> додавання)</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe5492629aecd6ea637d0755ab922d80290c367" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.417ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})}"> (<a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Асоціативність">асоціативність</a> додавання)</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists {\vec {0}}\in L:\quad {\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> <mo>:</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists {\vec {0}}\in L:\quad {\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbd933904fe5774baf265c44607b5d44c4ede70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.899ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \exists {\vec {0}}\in L:\quad {\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}}}"> (існування <a href="/wiki/%D0%9D%D1%83%D0%BB%D1%8C%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Нульовий вектор">нульового вектора</a>)</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists -{\vec {u}}\in L:\quad {\vec {u}}+(-{\vec {u}})={\vec {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> <mo>:</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists -{\vec {u}}\in L:\quad {\vec {u}}+(-{\vec {u}})={\vec {0}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d429c503cf690dca7e9ada5db6c82a125f6636e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.524ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \exists -{\vec {u}}\in L:\quad {\vec {u}}+(-{\vec {u}})={\vec {0}}}"> (існування <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Обернений елемент">протилежного вектора</a>)</li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Асоціативність">асоціативність</a> та унітарність множення на скаляри: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda (\mu {\vec {u}})=(\lambda \mu ){\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda (\mu {\vec {u}})=(\lambda \mu ){\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956c4900dba61dc4d3d2bc2c3705338a0c151688" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.89ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda (\mu {\vec {u}})=(\lambda \mu ){\vec {u}}}"> (<a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Асоціативність">асоціативність</a> множення на скаляри)</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e74c74d8edc62bef2e84c75ffd9ba79a9104cc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.599ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}}"> (де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c043461e59fa0e8d37d8acbd6d7e5b782dd84246" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ 1}"> це <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Нейтральний елемент множення">одиниця</a> поля <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }">)</li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Дистрибутивність">дистрибутивність</a> додавання і множення на скаляр: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\lambda +\mu ){\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mo>+</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\lambda +\mu ){\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c409ac398a7ff641ec90286eb264c1301592a5aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\lambda +\mu ){\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {u}}}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\lambda {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\lambda {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a19ccfd51230c10e61350c69f21c81372be5c73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.664ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\lambda {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}}"></li></ul></li></ul> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2db82d978ce46f00031c5887e32610f92cda273" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.953ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \forall {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in L}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \lambda ,\mu \in \mathbb {K} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>λ</mi> <mo>,</mo> <mi>μ</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \lambda ,\mu \in \mathbb {K} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0bfe9708d1453d672bb1b90b86d3640347ab403" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \forall \lambda ,\mu \in \mathbb {K} }"> Найпоширеніші лінійні простори над полем <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Дійсні числа">дійсних чисел</a> або <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Комплексні числа">комплексних чисел</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Пов'язані_визначення">Пов'язані визначення</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Пов'язані визначення" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Пов'язані визначення">ред. код</a>]</div> <ul><li>Основними поняттями в лінійному просторі є: <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2" class="mw-redirect" title="Лінійна незалежність векторів">лінійна незалежність векторів</a>, <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Базис (математика)">базис</a>, <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Лінійний підпростір">підпростір</a>.</li></ul> <ul><li>Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5%D0%BC" title="Модуль над кільцем">модуля над кільцем</a>, у визначенні якого поле <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }"> замінено на кільце <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }">. Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Базис (математика)">базиса</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Історія">Історія</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Історія" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Історія">ред. код</a>]</div> Векторні простори беруть початок із <a href="/wiki/%D0%90%D1%84%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Афінна геометрія">афінної геометрії</a> після запровадження <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Система координат">координат</a> на площині і в тривимірному просторі. Приблизно в 1636, <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BD%D0%B5_%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82" title="Рене Декарт">Декарт</a> і <a href="/wiki/%D0%9F%27%D1%94%D1%80_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0" title="П'єр Ферма">Ферма</a> започатковують <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Аналітична геометрія">аналітичну геометрію</a>, коли починають вирішувати рівняння із двома змінними, що є точками на <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0" title="Крива">кривій</a> в площині.<a href="#cite_note-2">[2]</a> В 1804, аби отримати геометричні рішення без використання координат, <a href="/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0%D0%BD%D0%BE" title="Бернард Больцано">Больцано</a> запропонував певні операції над точками, прямими і площинами, що були попередниками векторів.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Його роботу згодом використав <a href="/wiki/%D0%90%D0%B2%D0%B3%D1%83%D1%81%D1%82_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B4_%D0%9C%D0%B5%D0%B1%D1%96%D1%83%D1%81" title="Август Фердинанд Мебіус">Мебіус</a> в 1827 при введені поняття <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8" title="Барицентричні координати">барицентричних координат</a>.<a href="#cite_note-4">[4]</a> В 1828 <a href="/w/index.php?title=%D0%A1._%D0%92._%D0%9C%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="С. В. Мурей (ще не написана)">Мурей</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/C._V._Mourey" class="extiw" title="en:C. V. Mourey">[en]</a> припустив існування алгебри, що перевершує не тільки звичайну алгебру, але також і двовимірну алгебру, яку він створив в пошуках геометричної інтерпретації комплексних чисел.<a href="#cite_note-5">[5]</a> Визначення векторів було засновано на понятті пари точок (англ. bipoint) Беллавітіса, що є орієнтованим сегментом, в якому один кінець є початком, а другий ціллю. Згодом його було опрацьовано <a href="/wiki/%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82_%D0%90%D1%80%D0%B3%D0%B0%D0%BD" title="Жан-Роберт Арган">Арганом</a> і <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D0%BC_%D0%A0%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD_%D0%93%D0%B0%D0%BC%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD" title="Вільям Ровен Гамільтон">Гамільтоном</a> із представленням у вигляді <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Комплексне число">Комплексних чисел</a> і згодом при введені понять <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8" title="Кватерніони">кватерніонів</a> і бікватерніонів.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Вони є елементами у R2, R4, і R8; ставлення до них як до <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Лінійна комбінація">лінійних комбінацій</a> ввів <a href="/wiki/%D0%95%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B0%D2%91%D0%B5%D1%80%D1%80" title="Едмон Лаґерр">Едмон Лагерр</a> ще у 1867, який також дав визначення <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D1%8C" title="Система лінійних алгебраїчних рівнянь">системам лінійних рівнянь</a>. В 1857, <a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D1%82%D1%83%D1%80_%D0%9A%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D1%96" title="Артур Кейлі">Артур Кейлі</a> запропонував <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)#Означення_та_нотація" title="Матриця (математика)">матричну нотацію</a>, що дозволяє гармонізувати та спростити <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Лінійне відображення">лінійні перетворення</a>. Близько в той самий час, <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%BD" title="Герман Грассман">Герман Грассман</a> вивчав барицентричні розрахунки, які започаткував Мебіус. Він уявляв множини із абстрактних об'єктів, над якими виконувалися операції.<a href="#cite_note-7">[7]</a> В його роботі фігурували поняття <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%BD%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%96_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8" title="Лінійно незалежні вектори">лінійної незалежності</a> і <a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%83" title="Розмірність простору">розмірність</a>, а також <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Скалярний добуток">скалярний добуток</a>. Першим хто дав сучасне визначення векторному простору і лінійним відображенням в 1888 р. був <a href="/wiki/%D0%94%D0%B6%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BF%D0%BF%D0%B5_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE" title="Джузеппе Пеано">Джузеппе Пеано</a>.<a href="#cite_note-8">[8]</a> Важливим фактором розвитку векторних просторів була побудова <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D1%80%D1%96_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3" title="Анрі Леон Лебег">Лебегом</a> функціональних просторів. Близько 1920 це поняття формалізували <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D1%84%D0%B0%D0%BD_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85" title="Стефан Банах">Стефан Банах</a> і <a href="/wiki/%D0%94%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B4_%D0%93%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82" title="Давид Гільберт">Давид Гільберт</a>.<a href="#cite_note-9">[9]</a> В той час, <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Алгебра">алгебра</a> почала взаємодіяти із новою областю - <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Функціональний аналіз">функціональним аналізом</a>, зокрема, за допомогою таких ключових понять як <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80_Lp" title="Простір Lp">простір p-інтегрованих функцій</a> і <a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Гільбертів простір">Гільбертіві простори</a>.<a href="#cite_note-10">[10]</a> Векторні простори, в тому числі нескінченно-вимірні, стали тоді добре вкоріненим поняттям, і багато галузей математики почали використовувати його. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Базис_і_вимір">Базис і вимір</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=7" title="Редагувати розділ: Базис і вимір" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=7" title="Редагувати вихідний код розділу: Базис і вимір">ред. код</a>]</div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Базис (математика)">Базис</a></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Vector_components_and_base_change.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_components_and_base_change.svg/200px-Vector_components_and_base_change.svg.png" decoding="async" width="200" height="197" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_components_and_base_change.svg/300px-Vector_components_and_base_change.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_components_and_base_change.svg/400px-Vector_components_and_base_change.svg.png 2x" data-file-width="244" data-file-height="240" /></a><figcaption>Вектор v із множини R2 (синім) заданий за допомогою різних базисів: із використанням стандартного базису для R2 v = xe1 + ye2 (чорне), і з використанням іншого, не-<a href="/wiki/%D0%9E%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Ортогональність">ортогонального</a> базису: v = f1 + f2 (червоне).</figcaption></figure> Різні базиси дозволяють задати вектор за допомогою <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Послідовність">послідовності</a> скалярів, що називаються координатами або компонентами вектора. Базис це (скінченна або нескінченна) множина B = {bi}i ∈ I векторів bi, для зручності вона часто може індексуватися за допомогою деякої множини індексів I, що охоплює весь простір і є <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%BD%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%96_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8" title="Лінійно незалежні вектори">лінійно незалежним</a>. Під поширенням на весь простір розуміють, що будь-який вектор v можна задати як скінченну суму (що називається <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Лінійна комбінація">лінійною комбінацією</a>) із базових елементів: <dl><dd> <table style="border-collapse:collapse; background:none; margin:0; border:none;"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; border:none; padding:0.08em;" nowrap=""><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{i_{1}}+a_{2}\mathbf {b} _{i_{2}}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{i_{n}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{i_{1}}+a_{2}\mathbf {b} _{i_{2}}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{i_{n}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b20befe0b69cc3787e92a72983180e11e18450" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:32.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{i_{1}}+a_{2}\mathbf {b} _{i_{2}}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{i_{n}},}"> </td> <td style="vertical-align:middle; width:99%; border:none; padding:0.08em;"> <table style="border-collapse:collapse; background:none; margin:0; border:none; width:99%;"> <tbody><tr> <td style="border:none; padding:0.08em;" rowspan="2">  </td> <td style="width:100%; border:none; padding:0.08em;">  </td> <td style="border:none; padding:0.08em;" rowspan="2">  </td></tr> <tr> <td style="border-left:none; border-top:0px none #e5e5e5; border-right:none; border-bottom:none; padding:0.08em;">   </td></tr></tbody></table> </td> <td style="vertical-align:middle; border:none; padding:0.08em;" nowrap="">(<cite id="equation_1" style="font-style: normal;"><a href="#math_1">1</a></cite>) </td></tr></tbody></table></dd></dl> де ak це скаляри, що називаються координатами (або компонентами) вектора v відповідно до базису B, і bik (k = 1, ..., n) елементів із B. Під лінійною незалежністю розуміють, що координати ak є однозначно визначені для будь-якого вектору у векторному просторі. Наприклад, вектори координат e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), до en = (0, 0, ..., 0, 1), утворюють базис із Fn, що називається стандартним базисом, оскільки будь-який вектор (x1, x2, ..., xn) може бути унікально представлений як лінійна комбінація цих векторів: <dl><dd>(x1, x2, ..., xn) = x1(1, 0, ..., 0) + x2(0, 1, 0, ..., 0) + ... + xn(0, ..., 0, 1) = x1e1 + x2e2 + ... + xnen.</dd></dl> Відповідні координати x1, x2, ..., xn є <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Декартова система координат">декартовими координатами</a> вектора. Кожен векторний простір має базис. Це випливає із <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A6%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0" title="Лема Цорна">леми Цорна</a>, що є <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F,_%D0%B5%D0%BA%D0%B2%D1%96%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%96_%D0%B0%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D1%96_%D0%B2%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83" title="Твердження, еквівалентні аксіомі вибору">еквівалентним</a> формулюванням <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83" title="Аксіома вибору">Аксіоми вибору</a>.<a href="#cite_note-11">[11]</a> У інші аксіомах із <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD_%D0%A6%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B5%D0%BB%D0%BE_%E2%80%94_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B5%D0%BB%D1%8F" title="Теорія множин Цермело — Френкеля">теорії множин Цермело — Френкеля</a>, існування базису також еквівалентне аксіомі вибору.<a href="#cite_note-12">[12]</a> <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B1%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D1%96%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8" title="Теорема про булеві прості ідеали">лема про ультрафільтр</a>, що є слабшою за аксіому вибору, покладається на те, що всі вектори векторного простору мають однакову кількість елементів, або <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B8" title="Потужність множини">потужність</a> (див. <a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="Теорема про вимір векторних просторів (ще не написана)">Теорема про вимір векторних просторів</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension_theorem_for_vector_spaces" class="extiw" title="en:Dimension theorem for vector spaces">[en]</a>).<a href="#cite_note-13">[13]</a> Це називають розмірністю векторного простору. Якщо простір складається із <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Нескінченна множина">нескінченної множини</a> векторів, вищезгадане твердження можливо довести без настільки фундаментального введення в теорію множин.<a href="#cite_note-14">[14]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Лінійні_відображення_і_матриці">Лінійні відображення і матриці</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=8" title="Редагувати розділ: Лінійні відображення і матриці" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=8" title="Редагувати вихідний код розділу: Лінійні відображення і матриці">ред. код</a>]</div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Лінійне відображення">Лінійне відображення</a></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Vector_components.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Vector_components.svg/180px-Vector_components.svg.png" decoding="async" width="180" height="141" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Vector_components.svg/270px-Vector_components.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Vector_components.svg/360px-Vector_components.svg.png 2x" data-file-width="196" data-file-height="154" /></a><figcaption>Описання направленого вектору v за допомогою його координат x і y утворює ізоморфізм векторних просторів.</figcaption></figure> Співвідношення двох векторних просторів можна задати за допомогою лінійного відображення або лінійного перетворення. Це такі <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">функції</a>, які відображають структуру векторного простору — тобто, вони зберігають суми і скалярний добуток: <dl><dd>f(x + y) = f(x) + f(y) і f(a · x) = a · f(x) для всіх x і y в V, всіх a в F.<a href="#cite_note-15">[15]</a></dd></dl> <a href="/wiki/%D0%86%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%BC" title="Ізоморфізм">Ізоморфізм</a> — лінійне відображення f : V → W для якого існує <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Обернена функція">обернене відображення</a> g : W → V, що є таким відображенням, для якого дві можливі <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D1%96%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9" title="Композиція функцій">композиції</a> f ∘ g : W → W і g ∘ f : V → V є <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Тотожне відображення">тотожними відображеннями</a>. Відповідно, f буде одночасно <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%27%D1%94%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ін'єкція (математика)">ін'єкцією</a> і <a href="/wiki/%D0%A1%D1%8E%D1%80%27%D1%94%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Сюр'єкція">сюр'єкцією</a>.<a href="#cite_note-16">[16]</a> Якщо існує ізоморфізм між V і W, ці два простори називають ізоморфними; тоді по суті як векторні простори вони будуть ідентичними, оскільки всі тотожності, що виконуються для V за допомогою f, перетворюються на подібні в W, і навпаки, за допомогою g. Наприклад, якщо векторні простори «направлених відрізків на площині» і «впорядкованих пар чисел» є ізоморфними: направлений відрізок v на площині, що виходить із <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Початок координат">початку координат</a> деякої (фіксованої) <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Система координат">системи координат</a> можна задати за допомогою впорядкованої пари x- і y-компонент, як показано на малюнку праворуч. І навпаки, для даної пари (x, y), напрям відрізку праворуч (або ліворуч, якщо x є від'ємним) буде задавати значення x , а y — вгору (вниз, якщо y є від'ємним), що дозволяє повернутися назад до направленого відрізку v. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Матриці">Матриці</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=9" title="Редагувати розділ: Матриці" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=9" title="Редагувати вихідний код розділу: Матриці">ред. код</a>]</div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Матриця (математика)">Матриця</a> та <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Визначник">Визначник</a></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Matrix.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Matrix.svg/200px-Matrix.svg.png" decoding="async" width="200" height="169" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Matrix.svg/300px-Matrix.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Matrix.svg/400px-Matrix.svg.png 2x" data-file-width="224" data-file-height="189" /></a><figcaption>Типова матриця</figcaption></figure> Матриці є зручною нотацію, для описання лінійних відображень.<a href="#cite_note-17">[17]</a> Вони записуються у вигляді впорядкованого прямокутного масиву скалярів як показано на малюнку праворуч. Будь-яка матриця A розміром m-на-n збільшує лінійне відображення із Fn до Fm, наступним чином <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773c8d0448b4dee67c19c0ec5972a9ac5fb6fb1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:60.804ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}">, де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d4e06539576633987e902f402ed46728d573b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.355ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum }"> позначає <a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0" title="Сума">суму</a>, або, використовуючи <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8C" title="Множення матриць">матричне множення</a> матриці A на вектор координат x:</dd> <dd><cite id="equation2">x ↦ Ax</cite>.</dd></dl> Крім того, якщо обрати базиси для V і W, будь-яке лінійне відображення f : V → W однозначно можна задати за допомогою цього рівняння.<a href="#cite_note-18">[18]</a> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Determinant_parallelepiped.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Determinant_parallelepiped.svg/200px-Determinant_parallelepiped.svg.png" decoding="async" width="200" height="168" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Determinant_parallelepiped.svg/300px-Determinant_parallelepiped.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Determinant_parallelepiped.svg/400px-Determinant_parallelepiped.svg.png 2x" data-file-width="950" data-file-height="800" /></a><figcaption>Об'єм цього <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BF%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4" title="Паралелепіпед">паралелепіпеда</a> дорівнює абсолютному значенню детермінанта матриці розміром 3-на-3, що утворена векторами r1, r2, і r3.</figcaption></figure> <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%82" class="mw-redirect" title="Детермінант">Детермінант</a> det (A) <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Квадратна матриця">квадратної матриці</a> A є скаляром, який вказує чи є це відображення ізоморфізмом чи ні: аби це було так достатньо і необхідно аби детермінант не дорівнював нулю.<a href="#cite_note-19">[19]</a> Лінійне перетворення Rn, що відповідає дійсній матриці n-на-n <a href="/wiki/%D0%9E%D1%80%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Орієнтація">зберігає орієнтацію</a> тоді і лише тоді, коли детермінант є додатнім. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також">Див. також</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=10" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=10" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також">ред. код</a>]</div> <div class="references-small" style="-moz-column-count:3; column-count:3; -webkit-column-count:3;"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Лінійний підпростір">Лінійний підпростір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D1%84%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Афінний простір">Афінний простір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Банахів простір">Банахів простір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Гільбертів простір">Гільбертів простір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%95%D1%80%D0%BC%D1%96%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" class="mw-redirect" title="Ермітів простір">Ермітів простір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Евклідів простір">Евклідів простір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0_(%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB)" class="mw-redirect" title="Норма (функціонал)">Норма (функціонал)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Топологічний простір">Топологічний простір</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примітки">Примітки</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=11" title="Редагувати розділ: Примітки" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=11" title="Редагувати вихідний код розділу: Примітки">ред. код</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43816068">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist references-column-count references-column-count-2" style="column-count: 2; -moz-column-count: 2; -webkit-column-count: 2; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43245077">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free.id-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited.id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration.id-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription.id-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ref-lang{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}.mw-parser-output .cs1-ref-lg{font-style:normal;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#252525;text-decoration:inherit;text-decoration-color:#252525}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-free a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-limited a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-registration a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-subscription a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background-size:contain;padding:0 1em 0 0}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#085;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}@media screen{.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}</style><cite class="citation book cs1">А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.</cite> </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Bourbaki <a href="#CITEREFBourbaki1969">1969</a>, ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91 </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Bolzano <a href="#CITEREFBolzano1804">1804</a> </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Möbius <a href="#CITEREFMöbius1827">1827</a> </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">Crowe, Michel J. (1994), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, Dover, с. 11 and 16, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/0-486-67910-1" title="Спеціальна:Джерела книг/0-486-67910-1"><bdi>0-486-67910-1</bdi></a></cite> </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Hamilton <a href="#CITEREFHamilton1853">1853</a> </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Grassmann <a href="#CITEREFGrassmann1844">1844</a> </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Peano <a href="#CITEREFPeano1888">1888</a>, ch. IX </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Banach <a href="#CITEREFBanach1922">1922</a> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Dorier <a href="#CITEREFDorier1995">1995</a>, Moore <a href="#CITEREFMoore1995">1995</a> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, Theorem 1.9, p. 43 </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Blass <a href="#CITEREFBlass1984">1984</a> </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Halpern <a href="#CITEREFHalpern1966">1966</a>, pp. 670–673 </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Artin <a href="#CITEREFArtin1991">1991</a>, Theorem 3.3.13 </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, ch. 2, p. 45 </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, ch. IV.4, Corollary, p. 106 </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, ch. V.1 </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, ch. V.3., Corollary, p. 106 </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, Theorem VII.9.8, p. 198 </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Джерела">Джерела</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit&section=12" title="Редагувати розділ: Джерела" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&section=12" title="Редагувати вихідний код розділу: Джерела">ред. код</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%84%D0%B0%D0%BD%D0%B4_%D0%86%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%97%D0%BB%D1%8C_%D0%9C%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%B5%D0%B9%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Гельфанд Ізраїль Мойсейович">Гельфанд И. М.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://libcats.org/dl/1500364/b9ed9c">Лекции по линейной алгебре</a>. — 5-е. — Москва : <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0_(%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%82%D0%B2%D0%BE)" title="Наука (видавництво)">Наука</a>, 1998. — 320 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5791300158" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5791300158</a>.<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style>(рос.)</li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BC%D0%B0%D1%85%D0%B5%D1%80_%D0%A4%D0%B5%D0%BB%D1%96%D0%BA%D1%81_%D0%A0%D1%83%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Гантмахер Фелікс Рувимович">Гантмахер Ф. Р.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nebayduzhi-math.azurewebsites.net/ГантмахерТеоріяМатриць">Теорія матриць</a>. — 2024. — 703 с.<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(укр.)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5%D0%B2_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%B9_%D0%86%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Мальцев Анатолій Іванович">Мальцев А. И.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mat.net.ua/mat/biblioteka/Malcev-Algebra.djvu">Основы линейной алгебры</a>. — 3-е изд. — Новосибирск : <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0_(%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%82%D0%B2%D0%BE)" title="Наука (видавництво)">Наука</a>, 1970. — 400 с.<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(рос.)</li></ul> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43353293">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Лінійна_алгебра" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="3"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43094501"><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Шаблон:Лінійна алгебра"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Обговорення шаблону:Лінійна алгебра"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Лінійна алгебра"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div><div id="Лінійна_алгебра" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Лінійна алгебра">Лінійна алгебра</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Основи</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80" title="Скаляр">Скаляр</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Вектор (математика)">Вектор</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Векторний простір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80" title="Множення на скаляр">Множення на скаляр</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%94%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Проєкція вектора">Проєкція вектора</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Лінійний підпростір">Лінійний підпростір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Лінійне відображення">Лінійне відображення</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%94%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Проєкційна матриця">Лінійна проєкція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%BD%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%96_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8" title="Лінійно незалежні вектори">Лінійно незалежні вектори</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Лінійна комбінація">Лінійна комбінація</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Базис (математика)">Базис</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81%D1%83" title="Зміна базису">Зміна базису</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80-%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80-%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BF%D1%86%D1%96" title="Вектор-рядки та вектор-стовпці">Вектор-рядки та вектор-стовпці</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BF%D1%86%D1%96%D0%B2_(%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%96%D0%B2)_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%96" title="Простір стовпців (рядків) матриці">Простір рядків та простір стовпців</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_(%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Ядро (лінійна алгебра)">Ядро</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Власні вектори та власні значення">Власні вектори та власні значення</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D1%8C" title="Система лінійних алгебраїчних рівнянь">Лінійні рівняння</a></li></ul> </div></td><td class="noviewer navbox-image" rowspan="5" style="width:1px;padding:0 0 0 2px"><div><a href="/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Евклідів простір"><img alt="Three dimensional Euclidean space" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/80px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png" decoding="async" width="80" height="58" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/120px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/160px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png 2x" data-file-width="325" data-file-height="236" /></a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Матриця (математика)">Матриці</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8C" title="Множення матриць">Множення</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D0%BD%D0%BE%D1%80_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%96" title="Мінор матриці">Мінор</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%BD%D0%B3_(%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Ранг (лінійна алгебра)">Ранг</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Транспонована матриця">Транспонування</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Невироджена матриця">Невироджена</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Матриця лінійного відображення">Перетворення</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Блочна матриця">Блочна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%96" title="Розклад матриці">Розклад</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0" title="Метод Гаусса">Метод Гаусса</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Метод Крамера">Метод Крамера</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Білінійне відображення">Білінійна</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9E%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" class="mw-redirect" title="Ортогональність (математика)">Ортогональність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Скалярний добуток">Скалярний добуток</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA_%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D1%80%D0%B0" title="Добуток Адамара">Добуток Адамара</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA_%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Добуток Кронекера">Добуток Кронекера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA#Тензорний_добуток_двох_векторів" title="Тензорний добуток">Зовнішній векторний добуток</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%BC%D1%96%D0%B4%D1%82%D0%B0" title="Процес Грама — Шмідта">Процес Грама — Шмідта</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Спряжений простір">Спряжений простір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" class="mw-redirect" title="Передгільбертів простір">Простір з внутрішнім добутком</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Багатолінійна алгебра">Полілінійна</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Визначник">Визначник</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Векторна алгебра">Векторна алгебра</a> <ul><li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Векторний добуток">добуток</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%88%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Мішаний добуток">потрійний добуток</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA&action=edit&redlink=1" class="new" title="Семивимірний векторний добуток (ще не написана)">семивимірний добуток</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product" class="extiw" title="en:Seven-dimensional cross product">[en]</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Геометрична алгебра (ще не написана)">Геометрична алгебра</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra" class="extiw" title="en:Geometric algebra">[en]</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%88%D0%BD%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Зовнішня алгебра">Зовнішня алгебра</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%91%D1%96%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Бівектори (ще не написана)">Бівектори</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector" class="extiw" title="en:Bivector">[en]</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Полівектор">Полівектор</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80" title="Тензор">Тензор</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Чисельна лінійна алгебра">Чисельна</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%B7_%D1%80%D1%83%D1%85%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%8E_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%8E" title="Число з рухомою комою">Число з рухомою комою</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D1%96%D0%B9%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Числова стійкість">Числова стійкість</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D1%80%D1%96%D0%B4%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Розріджена матриця">Розріджена матриця</a></li> <li><a href="/wiki/MATLAB" title="MATLAB">MATLAB</a></li> <li><a href="/wiki/Basic_Linear_Algebra_Subprograms" title="Basic Linear Algebra Subprograms">BLAS</a></li> <li><a href="/wiki/LAPACK" title="LAPACK">LAPACK</a></li> <li><a href="/wiki/NumPy" title="NumPy">NumPy</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B1%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Порівняння бібліотек лінійної алгебри (ще не написана)">Порівняння бібліотек лінійної алгебри</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_linear_algebra_libraries" class="extiw" title="en:Comparison of linear algebra libraries">[en]</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D0%B1%D0%B5%D0%B7%D0%BF%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7%D1%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Порівняння програмного забезпечення чисельного аналізу (ще не написана)">Порівняння програмного забезпечення чисельного аналізу</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_numerical_analysis_software" class="extiw" title="en:Comparison of numerical analysis software"><span title="Comparison of numerical analysis software — версія статті «Порівняння програмного забезпечення чисельного аналізу» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Векторний_простір&oldid=43594863">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Векторний_простір&oldid=43594863</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорія</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Категорія:Лінійна алгебра">Лінійна алгебра</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Приховані категорії: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_JsonConfig" title="Категорія:Сторінки з використанням розширення JsonConfig">Сторінки з використанням розширення JsonConfig</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83_Reflist_%D1%96%D0%B7_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8E_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BA" title="Категорія:Використання шаблону Reflist із кількістю колонок">Використання шаблону Reflist із кількістю колонок</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8,_%D1%89%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%83%D1%8E%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_ISBN" title="Категорія:Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN">Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навігаційне меню</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Особисті інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Ви не увійшли до системи</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n">Обговорення</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y">Внесок</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково">Створити обліковий запис</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o">Увійти</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Простори назв </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Вміст статті [c]" accesskey="c">Стаття</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" rel="discussion" title="Обговорення сторінки [t]" accesskey="t">Обговорення</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > українська </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > Перегляди </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80">Читати</a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v">Редагувати</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e">Редагувати код</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h">Переглянути історію</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Більше </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Пошук</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Знайти сторінки, що містять зазначений текст" value="Знайти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти до сторінки, що має точно таку назву (якщо вона існує)" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > Навігація </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z">Головна сторінка</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій">Поточні події</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r">Нові редагування</a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8">Нові сторінки</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x">Випадкова стаття</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Участь" class="mw-portlet mw-portlet-Участь vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Участь-label" > <h3 id="p-Участь-label" class="vector-menu-heading " > Участь </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати">Портал спільноти</a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань">Кнайпа</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту">Довідка</a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" title="Підтримайте проєкт">Пожертвувати</a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0">Сторінка для медіа</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > Інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j">Посилання сюди</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k">Пов'язані редагування</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q">Спеціальні сторінки</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&oldid=43594863" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки">Постійне посилання</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку">Інформація про сторінку</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&id=43594863&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку">Цитувати сторінку</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2592%25D0%25B5%25D0%25BA%25D1%2582%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B9_%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%2596%25D1%2580">Отримати вкорочену URL-адресу</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2592%25D0%25B5%25D0%25BA%25D1%2582%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B9_%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%2596%25D1%2580">Завантажити QR-код</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > Друк/експорт </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80">Створити книгу</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=show-download-screen">Завантажити як PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p">Версія до друку</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > В інших проєктах </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Vector_spaces" hreflang="en">Вікісховище</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q125977" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g">Елемент Вікіданих</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > Іншими мовами </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Vektorruimte" title="Vektorruimte — африкаанс" lang="af" hreflang="af" data-title="Vektorruimte" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="африкаанс" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%D8%A1_%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87%D9%8A" title="فضاء متجهي — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="فضاء متجهي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Espaciu_vectorial" title="Espaciu vectorial — астурійська" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Espaciu vectorial" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурійська" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D1%8B_%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%83%D1%8B%D2%A1" title="Векторлы арауыҡ — башкирська" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Векторлы арауыҡ" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирська" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Вектарная прастора — білоруська" lang="be" hreflang="be" data-title="Вектарная прастора" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="білоруська" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Линейно пространство — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Линейно пространство" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A4%B0_%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%AA%E0%A5%87%E0%A4%B8" title="वेक्टर स्पेस — Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="वेक्टर स्पेस" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%A6%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B0_%E0%A6%AC%E0%A7%80%E0%A6%9C%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4" title="সদিক রাশির বীজগণিত — бенгальська" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সদিক রাশির বীজগণিত" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальська" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Espai_vectorial" title="Espai vectorial — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Espai vectorial" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%DB%86%D8%B4%D8%A7%DB%8C%DB%8C%DB%8C_%D8%A6%D8%A7%DA%95%D8%A7%D8%B3%D8%AA%DB%95%D8%A8%DA%95%DB%95%DA%A9%D8%A7%D9%86" title="بۆشاییی ئاڕاستەبڕەکان — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="بۆشاییی ئاڕاستەبڕەکان" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_prostor" title="Vektorový prostor — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Vektorový prostor" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D0%B0_%D1%83%C3%A7%D0%BB%C4%83%D1%85" title="Векторла уçлăх — чуваська" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Векторла уçлăх" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чуваська" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Gofod_fector" title="Gofod fector — валлійська" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Gofod fector" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлійська" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Vektorrum" title="Vektorrum — данська" lang="da" hreflang="da" data-title="Vektorrum" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="данська" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum" title="Vektorraum — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Vektorraum" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%85%CF%83%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CF%87%CF%8E%CF%81%CE%BF%CF%82" title="Διανυσματικός χώρος — грецька" lang="el" hreflang="el" data-title="Διανυσματικός χώρος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="грецька" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="добра стаття"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space" title="Vector space — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Vector space" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Vektora_spaco" title="Vektora spaco — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Vektora spaco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial" title="Espacio vectorial — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Espacio vectorial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Vektorruum" title="Vektorruum — естонська" lang="et" hreflang="et" data-title="Vektorruum" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="естонська" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Bektore_espazio" title="Bektore espazio — баскська" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Bektore espazio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскська" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C_%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="فضای برداری — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="فضای برداری" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Vektoriavaruus" title="Vektoriavaruus — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Vektoriavaruus" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Espace vectoriel" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Sp%C3%A1s_veicteoireach" title="Spás veicteoireach — ірландська" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Spás veicteoireach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="ірландська" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Espazo_vectorial" title="Espazo vectorial — галісійська" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Espazo vectorial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галісійська" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="מרחב וקטורי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%A6%E0%A4%BF%E0%A4%B6_%E0%A4%AC%E0%A5%80%E0%A4%9C%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="सदिश बीजगणित — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="सदिश बीजगणित" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Vektort%C3%A9r" title="Vektortér — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Vektortér" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8E%D5%A5%D5%AF%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%AE%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Վեկտորական տարածություն — вірменська" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Վեկտորական տարածություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="вірменська" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Spatio_vectorial" title="Spatio vectorial — інтерлінгва" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Spatio vectorial" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="інтерлінгва" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor" title="Ruang vektor — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Ruang vektor" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Vigurr%C3%BAm" title="Vigurrúm — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Vigurrúm" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Spazio vettoriale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ベクトル空間" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EA%B3%B5%EA%B0%84" title="벡터 공간 — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="벡터 공간" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B4%D1%83%D0%BA_%D0%BC%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA" title="Вектордук мейкиндик — киргизька" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Вектордук мейкиндик" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="киргизька" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Spatium_vectoriale" title="Spatium vectoriale — латинська" lang="la" hreflang="la" data-title="Spatium vectoriale" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинська" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Spazzi_vettorial" title="Spazzi vettorial — ломбардська" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Spazzi vettorial" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ломбардська" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BB%80%E0%BA%A7%E0%BA%B1%E0%BA%81%E0%BB%80%E0%BA%95%E0%BA%B5" title="ເວັກເຕີ — лаоська" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ເວັກເຕີ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="лаоська" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Vektorin%C4%97_erdv%C4%97" title="Vektorinė erdvė — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Vektorinė erdvė" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Vektoru_telpa" title="Vektoru telpa — латиська" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Vektoru telpa" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латиська" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Векторски простор — македонська" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Векторски простор" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонська" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%A6%E0%B4%BF%E0%B4%B6%E0%B4%B8%E0%B4%AE%E0%B4%B7%E0%B5%8D%E0%B4%9F%E0%B4%BF" title="സദിശസമഷ്ടി — малаялам" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സദിശസമഷ്ടി" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="малаялам" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor" title="Ruang vektor — малайська" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Ruang vektor" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte" title="Vectorruimte — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Vectorruimte" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Vektorrom" title="Vektorrom — норвезька (нюношк)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Vektorrom" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="норвезька (нюношк)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Vektorrom" title="Vektorrom — норвезька (букмол)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Vektorrom" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвезька (букмол)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Espaci_vectoriau" title="Espaci vectoriau — окситанська" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Espaci vectoriau" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="окситанська" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B5%E0%A9%88%E0%A8%95%E0%A8%9F%E0%A8%B0_%E0%A8%B8%E0%A8%AA%E0%A9%87%E0%A8%B8" title="ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ — панджабі" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="панджабі" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Przestrzeń liniowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Spassi_vetorial" title="Spassi vetorial — Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Spassi vetorial" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%D9%B9%D8%B1_%D8%B3%D9%BE%DB%8C%D8%B3" title="ویکٹر سپیس — Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="ویکٹر سپیس" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial" title="Espaço vetorial — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Espaço vetorial" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="добра стаття"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C8%9Biu_vectorial" title="Spațiu vectorial — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Spațiu vectorial" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Векторное пространство — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Векторное пространство" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Spazziu_vitturiali" title="Spazziu vitturiali — сицилійська" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Spazziu vitturiali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="сицилійська" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Vector_space" title="Vector space — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Vector space" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_priestor" title="Vektorový priestor — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Vektorový priestor" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor — словенська" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенська" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Hap%C3%ABsira_vektoriale" title="Hapësira vektoriale — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Hapësira vektoriale" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Векторски простор — сербська" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Векторски простор" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербська" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4rt_rum" title="Linjärt rum — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Linjärt rum" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AE%BF%E0%AE%9A%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AE%A9%E0%AF%8D_%E0%AE%B5%E0%AF%86%E0%AE%B3%E0%AE%BF" title="திசையன் வெளி — тамільська" lang="ta" hreflang="ta" data-title="திசையன் வெளி" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамільська" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Espasyong_bektor" title="Espasyong bektor — тагальська" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Espasyong bektor" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагальська" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Vekt%C3%B6r_uzay%C4%B1" title="Vektör uzayı — турецька" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Vektör uzayı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецька" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D9%85%D8%AA%DB%8C%DB%81_%D9%85%DA%A9%D8%A7%DA%BA" title="سمتیہ مکاں — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="سمتیہ مکاں" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Spasio_vetorial" title="Spasio vetorial — Venetian" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Spasio vetorial" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target">Vèneto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Kh%C3%B4ng_gian_vect%C6%A1" title="Không gian vectơ — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Không gian vectơ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="向量空间 — китайська уська" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="向量空间" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="китайська уська" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="向量空间 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="向量空间" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="矢量空間 — Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="矢量空間" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Hi%C3%B2ng-li%C5%8Dng_khong-kan" title="Hiòng-liōng khong-kan — південноміньська" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Hiòng-liōng khong-kan" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="південноміньська" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="向量空間 — кантонська" lang="yue" hreflang="yue" data-title="向量空間" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонська" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q125977#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 20:20, 29 вересня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-gxw57","wgBackendResponseTime":167,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.584","walltime":"0.801","ppvisitednodes":{"value":6345,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":65934,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":7888,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":16,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":10,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":41643,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 577.240 1 -total"," 28.03% 161.818 1 Шаблон:Reflist"," 26.34% 152.035 1 Шаблон:Гельфанд.Линейная_алгебра"," 21.04% 121.430 2 Шаблон:Ref-ru"," 20.96% 121.007 3 Шаблон:Ref-lang"," 17.08% 98.592 1 Шаблон:Алгебричні_структури"," 16.50% 95.265 1 Шаблон:Sidebar_with_collapsible_lists"," 15.93% 91.976 1 Шаблон:Cite_book"," 8.50% 49.063 3 Шаблон:Книга"," 8.42% 48.575 1 Шаблон:Лінійна_алгебра"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.245","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":18401556,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-5dc468848-7kgm7","timestamp":"20241124135211","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0456\u0440","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q125977","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q125977","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-06-02T17:12:03Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/a\/a6\/Vector_add_scale.svg"}</script> </body> </html>