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class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Mises en œuvre</span> </button> <ul id="toc-Mises_en_œuvre-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Norme_IEEE_754" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Norme_IEEE_754"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Norme IEEE 754</span> </div> </a> <ul id="toc-Norme_IEEE_754-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Flottants_étendus" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Flottants_étendus"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Flottants étendus</span> </div> </a> <ul id="toc-Flottants_étendus-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exceptions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Exceptions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Exceptions</span> </div> </a> <ul id="toc-Exceptions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Précision_arbitraire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Précision_arbitraire"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Précision arbitraire</span> </div> </a> <ul id="toc-Précision_arbitraire-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Précautions_d'emploi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Précautions_d'emploi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Précautions d'emploi</span> </div> </a> <ul id="toc-Précautions_d'emploi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Développement_historique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Développement_historique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Développement historique</span> </div> </a> <ul id="toc-Développement_historique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.4</span> <span>Notes</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Virgule flottante</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 42 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-42" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">42 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%AD%D8%B1%D9%83%D8%A9" title="حسابات الفاصلة المتحركة – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="حسابات الفاصلة المتحركة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%89%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%82%D0%B0%D1%8F" title="Аритметика с плаваща запетая – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Аритметика с плаваща запетая" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Coma_flotant" title="Coma flotant – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Coma flotant" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Pohybliv%C3%A1_%C5%99%C3%A1dov%C3%A1_%C4%8D%C3%A1rka" title="Pohyblivá řádová čárka – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Pohyblivá řádová čárka" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gleitkommazahl" title="Gleitkommazahl – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Gleitkommazahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CF%8D%CF%80%CE%BF%CF%82_%CE%BA%CE%B9%CE%BD%CE%B7%CF%84%CE%AE%CF%82_%CF%85%CF%80%CE%BF%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CF%83%CF%84%CE%BF%CE%BB%CE%AE%CF%82" title="Τύπος κινητής υποδιαστολής – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Τύπος κινητής υποδιαστολής" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Floating-point_arithmetic" title="Floating-point arithmetic – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Floating-point arithmetic" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Glitkomo" title="Glitkomo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Glitkomo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Coma_flotante" title="Coma flotante – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Coma flotante" 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href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Lebeg%C5%91pontos_sz%C3%A1m%C3%A1br%C3%A1zol%C3%A1s" title="Lebegőpontos számábrázolás – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Lebegőpontos számábrázolás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika_titik_kambang" title="Aritmetika titik kambang – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Aritmetika titik kambang" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Flotac-komo" title="Flotac-komo – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Flotac-komo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_in_virgola_mobile" title="Numero in virgola mobile – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero in virgola mobile" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0" title="浮動小数点数 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="浮動小数点数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%80%EB%8F%99%EC%86%8C%EC%88%98%EC%A0%90" title="부동소수점 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="부동소수점" data-language-autonym="한국어" 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interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Flyttall" title="Flyttall – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Flyttall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_zmiennoprzecinkowa" title="Liczba zmiennoprzecinkowa – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Liczba zmiennoprzecinkowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/V%C3%ADrgula_flutuante" title="Vírgula flutuante – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Vírgula flutuante" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" 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title="Floating point – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Floating point" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Pohybliv%C3%A1_r%C3%A1dov%C3%A1_%C4%8Diarka" title="Pohyblivá rádová čiarka – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Pohyblivá rádová čiarka" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Plavajo%C4%8Da_vejica" title="Plavajoča vejica – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Plavajoča vejica" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Float" title="Float – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Float" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BC" title="Аритметика са покретним зарезом – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Аритметика са покретним зарезом" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Flyttal" title="Flyttal – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Flyttal" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%94%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7" title="จำนวนจุดลอยตัว – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="จำนวนจุดลอยตัว" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kayan_nokta" title="Kayan nokta – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kayan nokta" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%B7_%D1%80%D1%83%D1%85%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%8E_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%8E" title="Число з рухомою комою – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Число з рухомою комою" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c_d%E1%BA%A5u_ph%E1%BA%A9y_%C4%91%E1%BB%99ng" title="Số thực dấu phẩy động – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Số thực dấu phẩy động" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%AE%E7%82%B9%E6%95%B0%E8%BF%90%E7%AE%97" title="浮点数运算 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="浮点数运算" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%AE%E9%BB%9E%E6%95%B8" title="浮點數 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="浮點數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q117879#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet 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data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Mantisse_exposant_fr.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Mantisse_exposant_fr.svg/220px-Mantisse_exposant_fr.svg.png" decoding="async" width="220" height="86" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Mantisse_exposant_fr.svg/330px-Mantisse_exposant_fr.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Mantisse_exposant_fr.svg/440px-Mantisse_exposant_fr.svg.png 2x" data-file-width="402" data-file-height="158" /></a><figcaption>Comme la <a href="/wiki/Notation_scientifique" title="Notation scientifique">notation scientifique</a>, le nombre à virgule flottante a une <a href="/wiki/Mantisse" title="Mantisse">mantisse</a> et un <a href="/wiki/Exposant_(math%C3%A9matiques)" title="Exposant (mathématiques)">exposant</a>.</figcaption></figure> <p>La <b>virgule flottante</b> est une méthode d'écriture de <a href="/wiki/Nombre" title="Nombre">nombres</a> fréquemment utilisée dans les <a href="/wiki/Ordinateur" title="Ordinateur">ordinateurs</a>, équivalente à la <a href="/wiki/Notation_scientifique" title="Notation scientifique">notation scientifique</a> en <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_binaire" title="Système binaire">numération binaire</a>. Elle consiste à représenter un nombre par : </p> <ul><li>un signe (égal à −1 ou 1) ;</li> <li>une <a href="/wiki/Mantisse" title="Mantisse">mantisse</a> (aussi appelée significande) ;</li> <li>et un <a href="/wiki/Exposant_(math%C3%A9matiques)" title="Exposant (mathématiques)">exposant</a> (<a href="/wiki/Entier_relatif" title="Entier relatif">entier relatif</a>, généralement borné).</li></ul> <p>Un tel <a href="/wiki/Triplet_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Triplet (mathématiques)">triplet</a> représente le nombre </p> <blockquote id="(1)" style="width:90%; border-left: solid #D0D0D0 1px; padding-left:1em;" title="(1)"> <p><span class="texhtml"><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">signe</span> × <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">mantisse</span> × base<sup><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">exposant</span></sup></span></p></blockquote> <p>La <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a> de représentation est généralement 2 sur ordinateur, mais aussi 8 ou 16 sur certaines anciennes machines, 10 sur de nombreuses calculatrices, 60 chez les Babyloniens, ou éventuellement toute autre valeur. En faisant varier l'exposant, on fait « flotter » la virgule. La mantisse est une suite de chiffres en base <i>b</i>, généralement de taille fixée. La valeur de l'« exposant » indique le multiplicateur, c'est-à-dire la position de la virgule virtuelle. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Comparaison_avec_la_virgule_fixe">Comparaison avec la virgule fixe</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Comparaison avec la virgule fixe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Comparaison avec la virgule fixe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La virgule flottante s'oppose à la représentation en <b><a href="/wiki/Virgule_fixe" title="Virgule fixe">virgule fixe</a></b>, qui indique un nombre entier d'un sous-multiple de l'unité : « 1234,567 » est une façon commode d'écrire 1234 et 567 millièmes, soit 1234567 millièmes<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>La représentation en virgule flottante peut, avec le même nombre de <a href="/wiki/Bit" title="Bit">bits</a>, gérer un intervalle numérique plus important. </p> <div style="margin:0.5em 2em;"><strong>Étendue (avec nombres décimaux) :</strong> <div style="padding-left:2em; border-left:1px dotted #999;"> <p>Une représentation décimale en virgule fixe ayant 7 chiffres décimaux dont 2 après la virgule peut représenter les nombres : </p><p>12345,67 </p><p>123,45 </p><p>1,23 etc </p><p>La représentation décimale en virgule flottante (comme le format <a href="/wiki/IEEE_754" title="IEEE 754">IEEE 754</a> <i>decimal32</i>) peut, avec le même nombre de chiffres décimaux, représenter en plus : </p><p>1,234567 </p><p>123456,7 = 1,234567 × 10<sup>5</sup> </p><p>0,00001234567 = 1,234567 × 10<sup>−5</sup> </p><p>1234567000000000 = 1,234567 × 10<sup>15</sup> etc </p> </div></div> <p>La représentation en virgule flottante préserve la précision. La mantisse a toujours le même nombre de <a href="/wiki/Chiffre_significatif" title="Chiffre significatif">chiffres significatifs</a>, sans zéro au début. </p> <div style="margin:0.5em 2em;"><strong>Précision (avec nombres décimaux) :</strong> <div style="padding-left:2em; border-left:1px dotted #999;"> <p>Une représentation décimale en virgule fixe ayant 7 chiffres décimaux dont 2 après la virgule a au plus 7 chiffres significatifs : </p><p>10000,00 ÷ 00700,00 = 00014,28. </p><p>La représentation décimale en virgule flottante (comme le format IEEE 754 <i>decimal32</i>) peut, avec le même nombre de chiffres dans la mantisse, conserver la précision : (1,000000 × 10<sup>4</sup>) ÷ (7,000000 × 10<sup>2</sup>) = 1,428561 × 10<sup>1</sup>. </p> </div></div> <p>La virgule flottante permet de définir une limite de l'<a href="/wiki/Erreur_d%27approximation" title="Erreur d'approximation">erreur d'approximation</a> relative ou <a href="/wiki/Epsilon_d%27une_machine" title="Epsilon d'une machine">epsilon d'une machine</a>. </p><p>Cet avantage se paie par l'occupation de plus de place, car il est nécessaire d'encoder la position de la virgule (représentée par l'exposant). Il faut aussi plus de calculs pour effectuer les opérations, qui concernent non plus un nombre entier, mais deux, ou trois si on considère le signe. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Éléments_de_mathématique_des_nombres_flottants"><span id=".C3.89l.C3.A9ments_de_math.C3.A9matique_des_nombres_flottants"></span>Éléments de mathématique des nombres flottants</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Éléments de mathématique des nombres flottants" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Éléments de mathématique des nombres flottants"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bien que la notation scientifique et le type de donnée informatique « nombre en virgule flottante » soient issus de la pratique du calcul, leur particularités ont fait l'objet d'études mathématiques. On doit citer les travaux de <a href="/wiki/William_Kahan" title="William Kahan">William Kahan</a>, parfois surnommé <span class="citation">« père de la virgule flottante<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> »</span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nombres_à_virgule_flottante_et_nombres_réels"><span id="Nombres_.C3.A0_virgule_flottante_et_nombres_r.C3.A9els"></span>Nombres à virgule flottante et nombres réels</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Nombres à virgule flottante et nombres réels" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Nombres à virgule flottante et nombres réels"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Quand, comme c'est le cas le plus souvent, on utilise le nombre à virgule flottante dans un calcul, on le considère implicitement comme une <a href="/wiki/Approximation" title="Approximation">approximation</a> d'un <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombre réel</a>. La précision de cette approximation est celle de la mantisse, dont le premier chiffre ne peut être zéro que lorsque l'exposant est le plus négatif possible. Le nombre en virgule flottante représente un réel dont la valeur est comprise dans un intervalle autour de la valeur entière de la mantisse, large comme la différence entre deux valeurs consécutives de celle-ci. </p><p>D'un point de vue mathématique, la valeur d'une expression numérique en virgule flottante est un <a href="/wiki/Ensemble" title="Ensemble">ensemble</a> continu de nombres réels, dont les règles d'<a href="/wiki/Arrondi_(math%C3%A9matiques)" title="Arrondi (mathématiques)">arrondi</a> définissent précisément les limites. </p><p>Contrairement à ce qui se passe dans l'ensemble des nombres réels, l'addition n'est pas <a href="/wiki/Associativit%C3%A9" title="Associativité">associative</a> pour les nombres à virgule flottante<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, d'où importance de l'ordre de calcul. </p> <div style="margin:0.5em 2em;"><strong>Exemple :</strong> <div style="padding-left:2em; border-left:1px dotted #999;"> <p>Supposons que nous avons à faire la somme d'une liste de nombres à mantisse de trois décimaux : </p><p>1,12 × 10<sup>2</sup> (se lit « un virgule douze multiplié par dix puissance deux », soit 112) </p><p>2,00 × 10<sup>-1</sup> </p><p>7,50 × 10<sup>1</sup> </p><p>3,00 × 10<sup>-1</sup> </p><p>3,07 × 10<sup>-1</sup> </p><p>4,00 × 10<sup>-1</sup> </p><p>2,17 × 10<sup>0</sup> </p><p><br /> Dans une addition de nombres flottants, seuls les nombres qui peuvent se représenter par une mantisse non nulle avec l'exposant le plus grand affectent le résultat. </p><p><br /> </p> <ul><li>si on effectue l'addition dans l'ordre de la liste, on calcule successivement</li></ul> <p>1,12 × 10<sup>2</sup> + 2,00 × 10<sup>-1</sup> ≈ 1,12 × 10<sup>2</sup> </p><p>1,12 × 10<sup>2</sup> + 7,50 × 10<sup>1</sup> = 1,87 × 10<sup>2</sup> </p><p>1,87 × 10<sup>2</sup> + 3,00 × 10<sup>-1</sup> ≈ 1,87 × 10<sup>2</sup> </p><p>1,87 × 10<sup>2</sup> + 3,07 × 10<sup>-1</sup> ≈ 1,87 × 10<sup>2</sup> </p><p>1,87 × 10<sup>2</sup> + 4.00 × 10<sup>-1</sup> ≈ 1,87 × 10<sup>2</sup> </p><p>1,87 × 10<sup>2</sup> + 2,17 × 10<sup>0</sup> = 1,89 × 10<sup>2</sup> </p><p><br /> </p> <ul><li>si on effectue l'addition après avoir trié la liste dans l'ordre croissant, on obtient :</li></ul> <p>2,00 × 10<sup>-1</sup> + 3,00 × 10<sup>-1</sup> = 5,00 × 10<sup>-1</sup> </p><p>5,00 × 10<sup>-1</sup> + 3,07 × 10<sup>-1</sup> = 8,07 × 10<sup>-1</sup> </p><p>8,07 × 10<sup>-1</sup> + 2,17 × 10<sup>0</sup> ≈ 2,98 × 10<sup>0</sup> </p><p>2,98 × 10<sup>0</sup> + 7,50 × 10<sup>1</sup> ≈ 7,80 × 10<sup>1</sup> </p><p>7,80 × 10<sup>1</sup> + 1,12 × 10<sup>2</sup> = 1,90 × 10<sup>2</sup> </p> </div></div> <p><br /> De ce fait, le calcul de <a href="/wiki/Propagation_des_incertitudes" title="Propagation des incertitudes">propagation des incertitudes</a> ne s'applique qu'à celle sur les données. La précision du calcul doit être largement supérieure à l'incertitude. </p><p>L'expression d'un nombre dans un système à virgule flottante ne peut pas, en général, s'exprimer exactement dans un autre système à virgule flottante de base différente<sup id="cite_ref-Goldberg1991_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Goldberg1991-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div style="margin:0.5em 2em;"><strong>Conversion de virgule flottante décimale en virgule flottante binaire :</strong> <div style="padding-left:2em; border-left:1px dotted #999;"> <p>Le cas des décimales d'un nombre exprimé en notation scientifique, décimale, en virgule flottante binaire, qu'utilisent les ordinateurs, se pose fréquemment. Il oblige à un arrondi, comme le fait sentir l'exemple de la valeur 0,1 ; c'est-à-dire la fraction 1/10. </p><p>Les nombres en virgule flottante binaire expriment la valeur par un entier, la mantisse, multipliée ou divisée par une puissance de deux. Aucune fraction, quel que soit le dénominateur 2<sup><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span></sup>, ne vaut 1/10 — tout comme 1/3 ne s'exprime par aucun nombre décimal. Il y a nécessairement un arrondi. </p> </div></div> <p>De ce fait, le calcul se fait, chaque fois que c'est possible, sur les nombres entiers : par exemple, sur des centièmes plutôt que sur l'unité monétaire. En changeant d'unité, on évite l'arrondi à la conversion en binaire. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ensemble_des_nombres_à_virgule_flottante"><span id="Ensemble_des_nombres_.C3.A0_virgule_flottante"></span>Ensemble des nombres à virgule flottante</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Ensemble des nombres à virgule flottante" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Ensemble des nombres à virgule flottante"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'ensemble des nombres représentés sous la forme d'un nombre flottant, ou <b>ensemble des flottants</b>, est un ensemble fini, dont le <a href="/wiki/D%C3%A9nombrement" title="Dénombrement">dénombrement</a> dépend de la base de représentation et des nombres de chiffres pour la mantisse et l'exposant. </p><p>Le nombre de chiffres de la mantisse et la base numérique — binaire ou décimale, par exemple — définissent la <i><a href="/wiki/Pr%C3%A9cision_arithm%C3%A9tique" title="Précision arithmétique">précision arithmétique</a></i>. La différence entre 1 et son successeur dans l'ensemble des flottants définit de manière usuelle l'<a href="/wiki/Epsilon_d%27une_machine" title="Epsilon d'une machine">epsilon</a> d'un système à virgule flottante. </p><p>L'ensemble des flottants n'est pas stable sous l'action des opérations arithmétiques usuelles. Il faudrait que le résultat de l'opération soit toujours un élément de l'ensemble<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ; mais il est fréquent que le résultat d'une opération arithmétique ne puisse s'exprimer avec le même nombre de chiffres que ses opérandes. Pour obtenir la stabilité, on doit y ajouter une fonction d'arrondi. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mises_en_œuvre"><span id="Mises_en_.C5.93uvre"></span>Mises en œuvre</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Mises en œuvre" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Mises en œuvre"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Z3_Deutsches_Museum.JPG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Z3_Deutsches_Museum.JPG/200px-Z3_Deutsches_Museum.JPG" decoding="async" width="200" height="150" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Z3_Deutsches_Museum.JPG/300px-Z3_Deutsches_Museum.JPG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Z3_Deutsches_Museum.JPG/400px-Z3_Deutsches_Museum.JPG 2x" data-file-width="1600" data-file-height="1200" /></a><figcaption>Le premier ordinateur programmable utilisant des nombres à virgule flottante <a href="/wiki/Zuse_3" title="Zuse 3">Z3</a> (réplique au <a href="/wiki/Deutsches_Museum" title="Deutsches Museum">Deutsches Museum</a> à <a href="/wiki/Munich" title="Munich">Munich</a>).</figcaption></figure> <p>La vitesse des opérations en virgule flottante, communément appelée <a href="/wiki/FLOPS" title="FLOPS">FLOPS</a> dans les mesures de performances, est une caractéristique importante des machines, en particulier dans les logiciels qui effectuent des calculs mathématiques à grande échelle. </p><p>Au fil du temps, un certain nombre de représentations à virgule flottante a vu le jour, ce qui constituait un frein au portage des programmes de calcul scientifique d'une machine à l'autre, en raison des différences de représentations internes et de comportement des nombres flottants. Pour cette raison, l'IEEE a mis en place une norme en 1985, <a href="/wiki/IEEE_754" title="IEEE 754">IEEE 754</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Norme_IEEE_754">Norme IEEE 754</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Norme IEEE 754" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Norme IEEE 754"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/IEEE_754" title="IEEE 754">IEEE 754</a>.</div></div> <p>La <a href="/wiki/IEEE_754" title="IEEE 754">norme IEEE 754</a> de 1985<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (reprise par la norme internationale <a href="/wiki/Commission_%C3%A9lectrotechnique_internationale" title="Commission électrotechnique internationale">CEI</a> 60559<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>) spécifie deux formats de nombres en virgule flottante (et deux formats étendus optionnels) en base 2, ainsi que quelques opérations associées : principalement l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et la racine carrée. La quasi-totalité des <a href="/wiki/Architecture_informatique" class="mw-redirect" title="Architecture informatique">architectures</a> d'ordinateurs actuelles, y compris <a href="/wiki/IA32" class="mw-redirect" title="IA32">IA32</a>, <a href="/wiki/PowerPC" title="PowerPC">PowerPC</a>, et <a href="/wiki/AMD64" title="AMD64">AMD64</a>, incluent une implémentation matérielle des calculs sur flottants IEEE, directement dans le microprocesseur, garantissant une exécution rapide. </p><p>Les deux formats fixés par la norme IEEE 754 de 1985 sont : </p><p>— 32 bits (« simple précision », renommé « binary32 » dans la révision de 2008<sup id="cite_ref-ieee754-2008_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-ieee754-2008-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>) ; </p><p>— 64 bits (« double précision », renommé « binary64 » dans la révision de 2008). </p><p>La répartition des bits est la suivante, où 1 ≤ M < 2 : </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th scope="col">Précision </th> <th scope="col">Encodage </th> <th scope="col"><i>S</i>igne </th> <th scope="col"><i>E</i>xposant </th> <th scope="col"><i>M</i>antisse </th> <th scope="col">Valeur d'un nombre </th> <th scope="col">Précision </th> <th scope="col">Chiffres significatifs </th></tr> <tr> <th scope="row">Simple précision </th> <td>32 bits</td> <td>1 bit</td> <td>8 bits</td> <td>23 bits</td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)^{S}\times M\times 2^{(E-127)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mi>M</mi> <mo>×</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo>−</mo> <mn>127</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)^{S}\times M\times 2^{(E-127)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a84ca5671ad4a2f7dd8fc24d526ac2ca2291210" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.869ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (-1)^{S}\times M\times 2^{(E-127)}}"></span></td> <td>24 bits</td> <td>environ 7 </td></tr> <tr> <th scope="row">Double précision </th> <td>64 bits</td> <td>1 bit</td> <td>11 bits</td> <td>52 bits</td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)^{S}\times M\times 2^{(E-1023)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mi>M</mi> <mo>×</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo>−</mo> <mn>1023</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)^{S}\times M\times 2^{(E-1023)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec69b220f8ed4f11ed0b8ef8ec97d426e77ed97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.691ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (-1)^{S}\times M\times 2^{(E-1023)}}"></span></td> <td>53 bits</td> <td>environ 16 </td></tr></tbody></table> <p>Le tableau ci-dessus indique les bits représentés. Le premier bit de la mantisse d'un nombre <i>normalisé</i> étant toujours 1, il n'est représenté dans aucun de ces deux formats : on parle de bit implicite. Pour ces deux formats, les précisions sont donc respectivement de 24 et de 53 bits. </p><p>Deux valeurs du champ Exposant sont réservées pour encoder les nombres spéciaux : <a href="/wiki/Nombre_d%C3%A9normalis%C3%A9" title="Nombre dénormalisé">nombres dénormalisés</a> et zéro signé d'une part, les infinis et les <a href="/wiki/NaN" title="NaN">NaN</a> (<i>Not-a-Number</i>) d'autre part. Les autres définissent la dynamique de la représentation : 8 bits permettent de faire varier l'ordre de grandeur sur 256 <a href="/w/index.php?title=Binade&action=edit&redlink=1" class="new" title="Binade (page inexistante)">binades</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/binade" class="extiw" title="en:binade"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « binade »">(en)</span></a> ou 76 décades. </p><p>En plus de la représentation, la norme spécifie exactement le comportement des opérations supportées : celles-ci doivent être <i>correctement arrondies</i> dans un des 4 modes d'arrondi choisi. </p><p>Cette norme a été révisée dans les années 2000<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Aide:Référence nécessaire"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 20 octobre 2019) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></a></sup> pour aboutir à la publication d'une nouvelle norme en 2008<sup id="cite_ref-ieee754-2008_8-1" class="reference"><a href="#cite_note-ieee754-2008-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. De nouveaux formats ont été définis (« quadruple précision » ou <i>binary128</i>, et des formats décimaux), la notion de format étendu a été généralisée, et de nouvelles opérations ont été ajoutées, comme le <a href="/wiki/Multiplieur-accumulateur" title="Multiplieur-accumulateur">FMA</a> ; les principales fonctions élémentaires sont recommandées. </p><p>Plusieurs compilateurs de <a href="/wiki/Fortran" title="Fortran">Fortran</a> et d'autres langages peuvent être appelés avec une <span class="need_ref" title="Source insuffisante." style="cursor:help;">option de <i>double précision automatique</i></span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:Source_insuffisante" title="Aide:Source insuffisante">[source insuffisante]</a></sup> qui force tous les flottants d'un programme à la double précision<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et dispense d'une revue fastidieuse pouvant entraîner des erreurs. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Flottants_étendus"><span id="Flottants_.C3.A9tendus"></span>Flottants étendus</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Flottants étendus" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Flottants étendus"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Certaines implémentations ajoutent un ou plusieurs formats de précision supérieure ; ainsi, <a href="/wiki/X86" title="X86">IA-32</a> et <a href="/wiki/IA-64" title="IA-64">IA-64</a> ont un format étendu sur 80 bits. La norme IEEE 754-1985 prévoit des tailles minimales pour ces formats étendus : </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th scope="col">Précision </th> <th scope="col"><i>S</i>igne </th> <th scope="col"><i>E</i>xposant </th> <th scope="col"><i>M</i>antisse </th></tr> <tr> <th scope="row">Simple précision étendue </th> <td>1 bit</td> <td>11 bits ou plus</td> <td>32 bits ou plus </td></tr> <tr> <th scope="row">Double précision étendue </th> <td>1 bit</td> <td>15 bits ou plus </td> <td>64 bits ou plus </td></tr></tbody></table> <p>Ces représentations « étendues » n'utilisent pas forcément le bit implicite de la mantisse. </p><p>Dans la pratique, seule la double précision étendue est encore utilisée, dans sa forme minimale (1+15+64 = 80 bits, le format étendu de l'IA32 mentionné plus haut), si on exclut les formats de précision supérieure (comme la double précision en tant que simple précision étendue, et la quadruple précision en tant que double précision étendue). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exceptions">Exceptions</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Exceptions" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Exceptions"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En arithmétique en virgule flottante IEEE, un calcul peut aboutir à des valeurs qui ne correspondent pas à des nombres : </p> <ul><li>NaN (« not a number »), qui sera par exemple le résultat de la tentative de division flottante de zéro par zéro, ou de la racine carrée d'un nombre strictement négatif. Les NaN se propagent : la plupart des opérations faisant intervenir un NaN donnent NaN (des exceptions sont possibles, comme NaN puissance 0, qui peut donner 1).</li> <li>Un infini positif et un infini négatif, qui sont par exemple le résultat d'un débordement en arrondi au plus près.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Précision_arbitraire"><span id="Pr.C3.A9cision_arbitraire"></span>Précision arbitraire</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Précision arbitraire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Précision arbitraire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Lorsque la précision désirée pour le résultat dépasse celle de l'arithmétique en virgule flottante fournie par la machine, on peut devoir recourir à des calculs sur des flottants en précision supérieure. Cela s'avère aussi nécessaire pour effectuer des calculs <a href="/wiki/Stabilit%C3%A9_num%C3%A9rique" title="Stabilité numérique">numériquement instables</a>. </p><p>Différentes bibliothèques logicielles, ainsi que la plupart des <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_calcul_formel" title="Système de calcul formel">systèmes de calcul formel</a>, offrent une arithmétique en virgule flottante en <i>précision arbitraire</i>, dans laquelle la taille de la mantisse peut être choisie par l'utilisateur. Citons notamment la bibliothèque <a href="/wiki/GNU_MPFR" title="GNU MPFR">GNU MPFR</a>, qui implémente les opérations arithmétiques de base ainsi que de nombreuses <a href="/wiki/Fonctions_usuelles" class="mw-redirect" title="Fonctions usuelles">fonctions usuelles</a> sur les flottants en base 2 de précision arbitraire. La sémantique des opérations MPFR est inspirée de celle de la norme IEEE-754. En particulier, la bibliothèque garantit l'<a href="/wiki/Arrondi_correct" title="Arrondi correct">arrondi correct</a> des résultats. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Précautions_d'emploi"><span id="Pr.C3.A9cautions_d.27emploi"></span>Précautions d'emploi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Précautions d'emploi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Précautions d'emploi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les calculs en virgule flottante sont pratiques, mais présentent divers désagréments, notamment : </p> <ul><li>leur précision limitée, qui se traduit par des arrondis (dus aux opérations, ainsi qu'aux changements de base implicites) qui peuvent s'accumuler de façon gênante. En particulier, la soustraction de deux nombres très proches et entachés d'erreur provoque une grande perte de précision relative : on parle de <b>cancellation</b> (plus précisément, <b>cancellation catastrophique</b>) ;</li> <li>une plage d'exposants limitée, autorisant une certaine dynamique, mais pouvant donner lieu au-delà à des <b>débordements</b> (<i>overflows</i>) lorsque le résultat d'une opération est plus grand, en valeur absolue, que la plus grande valeur représentable, et à des <b>sous-passements</b> (<i>underflows</i>), lorsqu'un résultat est plus petit, en valeur absolue, que le plus petit flottant normalisé positif, puis à des résultats n'ayant plus aucun sens.</li></ul> <p>Il est par exemple tentant de réorganiser des expressions en virgule flottante comme on le ferait d'expressions mathématiques. Cela n'est cependant pas anodin : </p> <ul><li>les calculs en virgule flottante, contrairement aux calculs sur les réels, ne sont pas <a href="/wiki/Associativit%C3%A9" title="Associativité">associatifs</a>. Par exemple, avec une précision relative de 3 chiffres décimaux, on aurait : <span class="nowrap">(0,999 + 0,0004) + 0,0004 = 0,999 + 0,0004 = 0,999</span> mais <span class="nowrap">0,999 + (0,0004 + 0,0004) = 0,999 + 0,0008 = 1,000</span> ; on dit qu'il y a <b>absorption</b> lorsqu'un opérande comme 0,999 <i>absorbe</i> ainsi un plus petit non nul ;</li> <li>l'évaluation des expressions est parfois faite en précision étendue, avec retour à la précision normale lors du rangement des valeurs ; dans ce cas, on peut avoir une meilleure précision en éliminant certaines variables intermédiaires peu utiles, et les rangements associés.</li></ul> <p>Dans une série d'additions, comme celle des valeurs d'un tableau, on peut évaluer l'erreur, et la reporter sur la prochaine addition par l'<a href="/w/index.php?title=Algorithme_de_sommation_de_Kahan&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algorithme de sommation de Kahan (page inexistante)">algorithme de sommation de Kahan</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kahan_summation_algorithm" class="extiw" title="en:Kahan summation algorithm"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Kahan summation algorithm »">(en)</span></a>. L'erreur finale est ainsi beaucoup plus petite. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Développement_historique"><span id="D.C3.A9veloppement_historique"></span>Développement historique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Développement historique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Développement historique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Donald_Knuth" title="Donald Knuth">Donald Knuth</a> dans son article sur les anciens algorithmes babyloniens<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> remarque que les Babyloniens utilisaient la virgule flottante avec une mantisse sexagésimale et avec un exposant qu'ils conservaient dans leur tête, sachant toujours l'ordre de grandeur de la quantité qu'ils manipulent. </p><p>Dès 1914, <a href="/wiki/Leonardo_Torres_y_Quevedo" class="mw-redirect" title="Leonardo Torres y Quevedo">L. Torres y Quevedo</a> cherchait à mettre au point une version électromécanique de la <a href="/wiki/Machine_analytique" title="Machine analytique">machine analytique</a> de <a href="/wiki/Charles_Babbage" title="Charles Babbage">Charles Babbage</a> et imagina d'exécuter les calculs en virgule flottante<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Vingt-cinq ans plus tard (en 1938), <a href="/wiki/Konrad_Zuse" title="Konrad Zuse">Konrad Zuse</a> parachevait son premier calculateur mécanique programmable binaire, le <a href="/wiki/Zuse_1" title="Zuse 1">Z1</a><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ; cet appareil utilisait lui aussi une représentation en virgule flottante sur 24 bits, avec un exposant signé codé sur 7 bits, une <a href="/wiki/Mantisse" title="Mantisse">mantisse</a> codée sur 16 bits (dont un bit implicite), et un <a href="/wiki/Bit_de_signe" title="Bit de signe">bit de signe</a>. Le calculateur <a href="/wiki/Zuse_3" title="Zuse 3">Z3</a> à <a href="/wiki/Relais_%C3%A9lectrom%C3%A9canique" title="Relais électromécanique">relais</a> (1941), plus fiable, introduisait la notion de quantité infinie (positive ou négative) ∞ ; cela permettait de donner des résultats infinis, comme ceux résultant d'opérations telles que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ^{1}/_{0}=\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ^{1}/_{0}=\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd923dfd25b0bdef3d47fd587b04204616b96ff8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.693ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle ^{1}/_{0}=\infty }"></span>, et il interrompait les calculs lorsqu'ils portaient sur des <a href="/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)#Indétermination" title="Limite (mathématiques)">indéterminations</a>, comme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\times \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>×</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\times \infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2c67d872e7859a5b51d652639651d1e1384df0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.327ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0\times \infty }"></span>. Zuse se proposait de gérer tous les calculs arithmétiques faisant intervenir <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm \infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c586ae37f8efec026b8a4ea3f6a5253576c2c4e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm \infty }"></span> et les indéterminations (NaN), anticipant ainsi avec quarante ans d'avance des conventions qui seront intégrées à la norme américaine IEEE<sup id="cite_ref-kahansiam_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-kahansiam-14"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Simultanément, le mathématicien <a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">von Neumann</a> s'opposait au contraire à l'introduction du calcul en virgule flottante pour la <a href="/wiki/Machine_IAS" title="Machine IAS">Machine IAS</a><sup id="cite_ref-kahansiam_14-1" class="reference"><a href="#cite_note-kahansiam-14"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (1951). </p><p>Le premier calculateur <i>commercial</i> disposant d'un organe de calcul en virgule flottante pré-câblé aura été le <a href="/wiki/Zuse_4" title="Zuse 4">Z4</a> de Zuse, développé entre 1942 et 1945. En 1946, <a href="/wiki/Bell_Laboratories" class="mw-redirect" title="Bell Laboratories">Bell Laboratories</a> mit sur le marché le <span class="nowrap">Mark V</span>, qui met en œuvre une arithmétique en virgule flottante décimale<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite_crochet">[</span>15<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Le <a href="/wiki/Pilot_ACE" title="Pilot ACE">Pilot ACE</a>, un prototype britannique développé en 1950 au <i><a href="/wiki/National_Physical_Laboratory" title="National Physical Laboratory">National Physical Laboratory</a></i>, disposait d'emblée d'une arithmétique en virgule flottante. 33 de ces ordinateurs furent commercialisés par <i><a href="/wiki/English_Electric" title="English Electric">English Electric</a></i> sous le nom de DEUCE. Quoique l’arithmétique fût simplement programmée et non pré-câblée, l'existence d'une <a href="/wiki/Signal_d%27horloge" title="Signal d'horloge">horloge</a> cadencée à 1 MHz rendit les premières années cette machine plus rapide que ses concurrentes. </p><p>L’<a href="/wiki/IBM_704" title="IBM 704">IBM 704</a>, produit en série, suivit en 1954 ; il amena la notion d'exposant à décalage. Au cours des décennies suivantes, le recours à une <a href="/wiki/Unit%C3%A9_arithm%C3%A9tique_et_logique" title="Unité arithmétique et logique">unité arithmétique et logique</a> (UAL) à arithmétique en virgule flottante micro-câblée (<a href="/wiki/Unit%C3%A9_de_calcul_en_virgule_flottante" title="Unité de calcul en virgule flottante">FPU</a>) ne fut plus qu'une spécification optionnelle : les ordinateurs qui disposaient d'un tel composant étaient dits <i>scientifiques</i>. Le passage des IBM 704 et 7044 aux <a href="/wiki/IBM_360" class="mw-redirect" title="IBM 360">IBM 360</a> introduisit de nombreux problèmes numériques, car la virgule flottante simple précision, ramenée de 36 bits binaire à 32 bits hexadécimale, devenait souvent critique (car moins précise). </p><p>La série 1100/2200 des <a href="/wiki/Sperry_Univac" title="Sperry Univac">ordinateurs UNIVAC</a>, apparue sur le marché en 1962, comportait deux représentations en virgule flottante : </p> <ul><li><i>Simple précision</i> : 36 bits, comprenant un bit de signe, 8 bits d'exposant et une mantisse codée sur 27 bits.</li> <li><i>Double précision</i> : 72 bits, comprenant un bit de signe, 11 bits d'exposant et une mantisse codée sur 60 bits.</li></ul> <p>Le <a href="/w/index.php?title=Burroughs_large_systems&action=edit&redlink=1" class="new" title="Burroughs large systems (page inexistante)">Burroughs 6500</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Burroughs_large_systems" class="extiw" title="en:Burroughs large systems"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Burroughs large systems »">(en)</span></a> utilisait quant à lui une virgule flottante en base 8, en 48 et 96 bits. </p><p>Le <a href="/wiki/Control_Data_6600" title="Control Data 6600">Control Data 6600</a> utilisait une virgule flottante binaire 60 bits à mantisse entière. </p><p>Sur <a href="/wiki/Mini-ordinateur" title="Mini-ordinateur">mini-ordinateur</a>, les calculs en virgule flottante restèrent longtemps programmés. Une unité de calcul en virgule flottante apparaît chez DEC sur le <a href="/wiki/PDP-11" title="PDP-11">PDP11-34a</a> en 1977, et en 1979 sur les <a href="/w/index.php?title=HP_2100&action=edit&redlink=1" class="new" title="HP 2100 (page inexistante)">21MXF</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/HP_2100" class="extiw" title="en:HP 2100"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « HP 2100 »">(en)</span></a> de Hewlett-Packard. </p><p>Ce n'est qu’avec le lancement par <a href="/wiki/Intel" title="Intel">Intel</a> du <a href="/wiki/Intel_80486" title="Intel 80486">microprocesseur i486</a>, en 1989, que les ordinateurs individuels furent enfin dotés en standard d'une UAL à virgule flottante micro-câblée (les coprocesseurs mathématiques <a href="/wiki/X87" title="X87">x87</a> étaient préalablement optionnels). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="wiktionary"><a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/virgule_flottante" class="extiw" title="wikt:virgule flottante">virgule flottante</a>, <span class="nowrap">sur le <span class="project">Wiktionnaire</span></span></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Muller2013"><span class="ouvrage" id="Jean-Michel_Muller2013">Jean-Michel <span class="nom_auteur">Muller</span>, <cite class="italique">Arithmétique virgule flottante</cite>, <time>2013</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://calcul.math.cnrs.fr/attachments/spip/IMG/pdf/2013_Muller_PRCN.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Arithm%C3%A9tique+virgule+flottante&rft.aulast=Muller&rft.aufirst=Jean-Michel&rft.date=2013&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="LefèvreZimmermann2004"><span class="ouvrage" id="Vincent_LefèvrePaul_Zimmermann2004">Vincent <span class="nom_auteur">Lefèvre</span> et Paul <span class="nom_auteur">Zimmermann</span>, <cite class="italique">Arithmétique flottante</cite>, INRIA, <time>2004</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://hal.inria.fr/inria-00071477">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Arithm%C3%A9tique+flottante&rft.pub=INRIA&rft.aulast=Lef%C3%A8vre&rft.aufirst=Vincent&rft.au=Zimmermann%2C+Paul&rft.date=2004&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Monniaux2008"><span class="ouvrage" id="David_Monniaux2008"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> David <span class="nom_auteur">Monniaux</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The pitfalls of verifying floating-point computations</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en"><a href="/wiki/ACM_Transactions_on_Programming_Languages_and_Systems" title="ACM Transactions on Programming Languages and Systems">ACM Transactions on Programming Languages and Systems</a></span></i>,‎ <time class="nowrap" datetime="2008-05" data-sort-value="2008-05">mai 2008</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00128124/fr/">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+pitfalls+of+verifying+floating-point+computations&rft.jtitle=ACM+Transactions+on+Programming+Languages+and+Systems&rft.aulast=Monniaux&rft.aufirst=David&rft.date=2008-05&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span> (avertissement sur divers comportements non intuitifs des flottants).</li> <li><span class="ouvrage" id="Goldberg1991"><span class="ouvrage" id="David_Goldberg1991"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> David <span class="nom_auteur">Goldberg</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">What every computer scientist should know about floating point</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Computing surveys</span></i>,‎ <time>1991</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=What+every+computer+scientist+should+know+about+floating+point&rft.jtitle=Computing+surveys&rft.aulast=Goldberg&rft.aufirst=David&rft.date=1991&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.binaryconvert.com/convert_float.html">Convertisseur binaire</a> : Convertisseur binaire interactif à précisions simple et double selon la norme IEEE 754</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/IEEE_754" title="IEEE 754">IEEE 754</a></li> <li><a href="/wiki/Virgule_fixe" title="Virgule fixe">Virgule fixe</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_d%C3%A9cimal" title="Nombre décimal">Nombre décimal</a></li> <li><a href="/wiki/Unit%C3%A9_de_calcul_en_virgule_flottante" title="Unité de calcul en virgule flottante">Unité de calcul en virgule flottante</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Notes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Virgule_flottante&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Notes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Baruk"><span class="ouvrage" id="Stella_Baruk"><a href="/wiki/Stella_Baruk" title="Stella Baruk">Stella <span class="nom_auteur">Baruk</span></a>, <cite style="font-style:normal">« Virgule, II »</cite>, dans <cite class="italique">Dictionnaire de mathématiques élémentaires</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Dictionnaire_de_math%C3%A9matiques_%C3%A9l%C3%A9mentaires_(Baruk)" title="Référence:Dictionnaire de mathématiques élémentaires (Baruk)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Dictionnaire+de+math%C3%A9matiques+%C3%A9l%C3%A9mentaires&rft.atitle=Virgule%2C+II&rft.aulast=Baruk&rft.aufirst=Stella&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Legendre2018"><span class="ouvrage" id="Guillaume_Legendre2018">Guillaume <span class="nom_auteur">Legendre</span>, <cite class="italique">Méthodes numériques. Introduction à l’analyse numérique et au calcul scientifique</cite>, <time>2018</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ceremade.dauphine.fr/~legendre/enseignement/methnum/cours_ananum_dauphine.pdf">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 15<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9thodes+num%C3%A9riques.+Introduction+%C3%A0+l%E2%80%99analyse+num%C3%A9rique+et+au+calcul+scientifique&rft.aulast=Legendre&rft.aufirst=Guillaume&rft.date=2018&rft.pages=15&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Pichat1976"><span class="ouvrage" id="Michèle_Pichat1976">Michèle <span class="nom_auteur">Pichat</span>, <cite class="italique">Contribution à l’étude des erreurs d’arrondi en arithmétique à virgule flottante.Modélisation et simulation. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG; Université Joseph-Fourier</cite>, Grenoble, <time>1976</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00287209/document">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> I<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Contribution+%C3%A0+l%E2%80%99%C3%A9tude+des+erreurs+d%E2%80%99arrondi+en+arithm%C3%A9tique+%C3%A0+virgule+flottante.Mod%C3%A9lisation+et+simulation.+Institut+National+Polytechnique+de+Grenoble+-+INPG%3B+Universit%C3%A9+Joseph-Fourier&rft.place=Grenoble&rft.aulast=Pichat&rft.aufirst=Mich%C3%A8le&rft.date=1976&rft.pages=I&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-Goldberg1991-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Goldberg1991_4-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Goldberg1991">Goldberg 1991</a>. </span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text">définition de la stabilité selon <span class="ouvrage" id="BouvierGeorgeLe_Lionnais2001"><span class="ouvrage" id="Alain_BouvierMichel_GeorgeFrançois_Le_Lionnais2001"><a href="/wiki/Alain_Bouvier" title="Alain Bouvier">Alain <span class="nom_auteur">Bouvier</span></a>, Michel <span class="nom_auteur">George</span> et <a href="/wiki/Fran%C3%A7ois_Le_Lionnais" title="François Le Lionnais">François <span class="nom_auteur">Le Lionnais</span></a>, <cite class="italique">Dictionnaire des mathématiques</cite>, <a href="/wiki/Presses_universitaires_de_France" title="Presses universitaires de France">Presses universitaires de France</a>, <time>2001</time> (<abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1979)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dictionnaire+des+math%C3%A9matiques&rft.pub=Presses+universitaires+de+France&rft.aulast=Bouvier&rft.aufirst=Alain&rft.au=George%2C+Michel&rft.au=Le+Lionnais%2C+Fran%C3%A7ois&rft.date=2001&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1109/IEEESTD.1985.82928">Norme IEEE 754-1985</a></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.iso.org/obp/ui/fr/#iso:std:iso-iec-ieee:60559:ed-1:v1:en">préface du standard ISO/IEC/IEEE 60559</a></span> </li> <li id="cite_note-ieee754-2008-8"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-ieee754-2008_8-0">a</a> et <a href="#cite_ref-ieee754-2008_8-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1109/IEEESTD.2008.4610935">Norme IEEE 754-2008</a></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc-3.3/gcc/i386-and-x86-64-Options.html">Exemple de la GNU Compiler Collection</a></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Knuth1972"><span class="ouvrage" id="Donald_Knuth1972"><a href="/wiki/Donald_Knuth" title="Donald Knuth">Donald Knuth</a>, « <cite style="font-style:normal">Ancient Babylonian algorithms</cite> », <i>Communications of the ACM</i>, <abbr class="abbr" 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class="ouvrage" id="Knuth2011"><span class="ouvrage" id="Donald_Knuth2011"><a href="/wiki/Donald_Knuth" title="Donald Knuth">Donald Knuth</a> (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> P. Cégielski), <cite class="italique">Éléments pour une histoire de l'informatique</cite>, <a href="/wiki/Librairie_Eyrolles" class="mw-redirect" title="Librairie Eyrolles">Librairie Eyrolles</a>, <time>2011</time>, « Algorithmes babyloniens anciens »<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%C3%89l%C3%A9ments+pour+une+histoire+de+l%27informatique&rft.atitle=Algorithmes+babyloniens+anciens&rft.pub=Librairie+Eyrolles&rft.aulast=Knuth&rft.aufirst=Donald&rft.date=2011&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AVirgule+flottante"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text">Pour traiter grands et petits nombres, vers 1840 C. Babbage tentait de manipuler des nombres virgule fixe de 50 chiffres décimaux : B. Randell (Ed.), <i>The Origins of Digital Computers: Selected Papers</i>, 464p., Springer-Verlag, Heidelberg, 1973.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="B._Randell1982"><span class="nom_auteur">B. 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Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Type_(informatique)" title="Type (informatique)">Types de données</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Non interprétée</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Bit" title="Bit">Bit</a></li> <li><a href="/wiki/Byte" title="Byte">Byte</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_ternaire" title="Système ternaire">Trit</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_ternaire#Représentation_ternaire_compacte" title="Système ternaire">Tryte</a></li> <li><a href="/wiki/Mot_(architecture_informatique)" title="Mot (architecture informatique)">Mot</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Numérique</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_multipr%C3%A9cision" title="Arithmétique multiprécision">Bignum</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Complex_data_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Complex data type (page inexistante)">Complexe</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/complex_data_type" class="extiw" title="en:complex data type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « complex data type »">(en)</span></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Decimal_data_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Decimal data type (page inexistante)">Décimal</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_data_type" class="extiw" title="en:Decimal data type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Decimal data type »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Virgule_fixe" title="Virgule fixe">Virgule fixe</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Virgule flottante</a></li> <li><a href="/wiki/Entier_(informatique)" title="Entier (informatique)">Entier</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Signedness&action=edit&redlink=1" class="new" title="Signedness (page inexistante)">Non signé</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Signedness" class="extiw" title="en:Signedness"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Signedness »">(en)</span></a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_d%27intervalles" title="Arithmétique d'intervalles">Intervalle</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Rational_data_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Rational data type (page inexistante)">Rationnel</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_data_type" class="extiw" title="en:Rational data type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Rational data type »">(en)</span></a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Texte_brut" title="Texte brut">Texte brut</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Caract%C3%A8re_(informatique)" title="Caractère (informatique)">Caractère</a></li> <li><a href="/wiki/Cha%C3%AEne_de_caract%C3%A8res" title="Chaîne de caractères">Chaîne de caractères</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Pointeur_(programmation)" title="Pointeur (programmation)">Pointeur</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Adressage_m%C3%A9moire" title="Adressage mémoire">Adressage mémoire</a> <ul><li><a href="/wiki/Adresse_physique" title="Adresse physique">Physique</a></li> <li><a href="/wiki/Adresse_virtuelle" title="Adresse virtuelle">Virtuelle</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence_(programmation)" title="Référence (programmation)">Référence</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/w/index.php?title=Composite_data_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Composite data type (page inexistante)">Composite</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Composite_data_type" class="extiw" title="en:Composite data type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Composite data type »">(en)</span></a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Type_alg%C3%A9brique_de_donn%C3%A9es" title="Type algébrique de données">Type algébrique de données</a> <ul><li><a href="/wiki/Type_alg%C3%A9brique_de_donn%C3%A9es#GADT" title="Type algébrique de données">Généralisé</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Tableau_(structure_de_donn%C3%A9es)" title="Tableau (structure de données)">Tableau</a></li> <li><a href="/wiki/Tableau_associatif" title="Tableau associatif">Tableau associatif</a></li> <li><a href="/wiki/Classe_(informatique)" title="Classe (informatique)">Classe</a></li> <li><a href="/wiki/Type_d%C3%A9pendant" title="Type dépendant">Dépendant</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Intuitionistic_type_theory&action=edit&redlink=1" class="new" title="Intuitionistic type theory (page inexistante)">Égalité</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_type_theory#Equality_type" class="extiw" title="en:Intuitionistic type theory"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Intuitionistic type theory#Equality type »">(en)</span></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Inductive_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Inductive type (page inexistante)">Inductive</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Inductive_type" class="extiw" title="en:Inductive type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Inductive type »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Liste_(informatique)" title="Liste (informatique)">Liste</a></li> <li><a href="/wiki/Objet_(informatique)" title="Objet (informatique)">Objet</a> <ul><li><a href="/wiki/M%C3%A9taobjet" title="Métaobjet">Métaobjet</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=Option_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Option type (page inexistante)">Option</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Option_type" class="extiw" title="en:Option type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Option type »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Type_alg%C3%A9brique_de_donn%C3%A9es#Type_produit" title="Type algébrique de données">Produit</a> <ul><li><a href="/wiki/Enregistrement_(structure_de_donn%C3%A9es)" title="Enregistrement (structure de données)">Enregistrement</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Ensemble_(informatique)" title="Ensemble (informatique)">Ensemble (set)</a></li> <li><a href="/wiki/Vecteur_(structure_de_donn%C3%A9es)" title="Vecteur (structure de données)">Vecteur</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Union_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Union type (page inexistante)">Union</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Union_type" class="extiw" title="en:Union type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Union type »">(en)</span></a> <ul><li><a href="/wiki/Type_alg%C3%A9brique_de_donn%C3%A9es#Type_somme" title="Type algébrique de données">Disjointe</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Autres</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Bool%C3%A9en" title="Booléen">Booléen</a></li> <li><a href="/wiki/Type_vide" title="Type vide">Type vide</a></li> <li><a href="/wiki/Collection_(type_de_donn%C3%A9es)" title="Collection (type de données)">Collection</a></li> <li><a href="/wiki/Conteneur_(informatique)" title="Conteneur (informatique)">Conteneur</a></li> <li><a href="/wiki/Type_%C3%A9num%C3%A9r%C3%A9" title="Type énuméré">Type énuméré</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_gestion_d%27exceptions" title="Système de gestion d'exceptions">Exception</a></li> <li><a href="/wiki/Routine_(informatique)" title="Routine (informatique)">Fonction</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Opaque_data_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Opaque data type (page inexistante)">Opaque</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Opaque_data_type" class="extiw" title="en:Opaque data type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Opaque data type »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Type_r%C3%A9cursif" title="Type récursif">Type récursif</a></li> <li><a href="/wiki/S%C3%A9maphore_(informatique)" title="Sémaphore (informatique)">Sémaphore</a></li> <li><a href="/wiki/Flux_(informatique)" title="Flux (informatique)">Flux</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Top_type&action=edit&redlink=1" class="new" title="Top type (page inexistante)">Top</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Top_type" class="extiw" title="en:Top type"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Top type »">(en)</span></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Type_class&action=edit&redlink=1" class="new" title="Type class (page inexistante)">Type class</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Type_class" class="extiw" title="en:Type class"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Type class »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Type_unit%C3%A9" title="Type unité">Type unité</a></li> <li><a href="/wiki/Void" title="Void">Void</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Articles liés</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Type_abstrait" title="Type abstrait">Type abstrait</a></li> <li><a href="/wiki/Structure_de_donn%C3%A9es" title="Structure de données">Structure de données</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9n%C3%A9ricit%C3%A9" title="Généricité">Généricité</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Kind_(type_theory)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kind (type theory) (page inexistante)">Kind</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kind_(type_theory)" class="extiw" title="en:Kind (type 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