Лагранжиан — Википедия

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="ru" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Лагранжиан — Википедия</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ruwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","январь","февраль","март","апрель","май","июнь","июль","август","сентябрь","октябрь","ноябрь","декабрь"],"wgRequestId":"038250b8-9746-41af-94f5-64e0eb502c60","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Лагранжиан","wgTitle":"Лагранжиан","wgCurRevisionId":140699972,"wgRevisionId":140699972,"wgArticleId":155726,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect": false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Википедия:Cite web (не указан язык)","Википедия:Ссылка на Викитеку непосредственно в статье","Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN","Теоретическая физика","Теория поля","Теоретическая механика"],"wgPageViewLanguage":"ru","wgPageContentLanguage":"ru","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Лагранжиан","wgRelevantArticleId":155726,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":140699972,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ru", "pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ru"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":false,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q505735","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.common-site":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready", "skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.directLinkToCommons","ext.gadget.referenceTooltips","ext.gadget.logo","ext.gadget.edittop","ext.gadget.navboxDefaultGadgets","ext.gadget.wikibugs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface", "ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ru&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=ext.gadget.common-site&only=styles&skin=vector"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <noscript><link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=noscript&only=styles&skin=vector"></noscript> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.16"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Лагранжиан — Википедия"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Править" href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Википедия (ru)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ru.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ru"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Википедия — Atom-лента" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D0%B5%D0%B6%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Лагранжиан rootpage-Лагранжиан skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Лагранжиан</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Материал из Википедии — свободной энциклопедии</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти к навигации</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти к поиску</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ru" dir="ltr"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable noprint dabhide">У этого термина существуют и другие значения, см. <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0" title="Метод множителей Лагранжа">Метод множителей Лагранжа</a>.</div> <p><b>Лагранжиа́н</b>, <b>фу́нкция Лагра́нжа</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f7f4d05e0b1202f589962d617fbe12ac99221c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]}" /></span> <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Динамическая система">динамической системы</a>, является <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика)">функцией</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8B_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Степени свободы (механика)">обобщённых координат</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \varphi _{i}(s)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \varphi _{i}(s)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2c590281532c7812fa75284de6e6f0b238c29d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.8ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \varphi _{i}(s)}" /></span> и описывает развитие системы. Например, <a href="/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" class="mw-redirect" title="Уравнения движения">уравнения движения</a> (для классической механики) в этом подходе получаются из <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F" title="Принцип наименьшего действия">принципа наименьшего действия</a>, записываемого как </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e857fb0f407bf1df561d1e9807bc8fcabe8bb132" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:9.112ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}" /></span></dd></dl> <p>где <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5_(%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0)" title="Действие (физическая величина)">действие</a> — <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функционал">функционал</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>s</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be768af05081a4eb0a5f17f4aa07f862cd65a4e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.463ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},}" /></span> </p><p>а <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70503774fb21be77396899900d3aa1e47d8f9e10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.32ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{i}}" /></span> — <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BE%D0%B1%D1%89%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B" title="Обобщённые координаты">обобщённые координаты</a> (например, координаты частиц или полевые переменные),<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ s_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ s_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ce3af66ffd76efbcc2df0a7ddc09b11351097f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.581ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ s_{j}}" /></span> обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком — ещё электрические или другие физические параметры. Названа в честь <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8" title="Лагранж, Жозеф Луи">Жозефа Луи Лагранжа</a>. </p><p>Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F" title="Функциональная производная">функциональной производной</a> функционала по всем направлениям, идентичны обычным <a href="/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0" class="mw-redirect" title="Уравнения Эйлера — Лагранжа">уравнениям Эйлера – Лагранжа</a>. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как <i>лагранжевы динамические системы</i>. </p><p>Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C" title="Стандартная модель">Стандартной модели</a> в <a href="/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86" title="Физика элементарных частиц">физике элементарных частиц</a> и заканчивая <a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Законы Ньютона">уравнениями Ньютона</a> в <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Классическая механика">классической механике</a> (см. <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Лагранжева механика">Лагранжева механика</a>). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения <a href="/w/index.php?title=%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="Уравнение геодезической (страница отсутствует)">уравнений</a> <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F" title="Геодезическая">геодезических</a> и <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BE" class="mw-redirect" title="Проблема Плато">проблема Плато</a>. </p><p>Через <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9B%D0%B5%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B0" title="Преобразование Лежандра">преобразование Лежандра</a> лагранжиан связан с <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Функция Гамильтона">гамильтонианом</a> (в котором за основу берутся <a href="/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Импульс">импульсы</a>). На гамильтониане основана <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Гамильтонова механика">гамильтонова формулировка</a> классической механики. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="ru" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Содержание</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Пример_из_классической_механики"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Пример из классической механики</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Классический_релятивистский_лагранжиан_свободной_частицы"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Лагранжианы_и_плотности_лагранжианов_в_теории_поля"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Электромагнитный_лагранжиан"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Электромагнитный лагранжиан</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Электростатика"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Электростатика</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Электродинамика"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Электродинамика</span></a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-7"><a href="#Трёхмерная_формулировка"><span class="tocnumber">4.2.1</span> <span class="toctext">Трёхмерная формулировка</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-8"><a href="#Четырёхмерная_формулировка"><span class="tocnumber">4.2.2</span> <span class="toctext">Четырёхмерная формулировка</span></a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Лагранжиан_квантовой_теории_поля"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Лагранжиан квантовой теории поля</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Лагранжиан_квантовой_электродинамики"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Лагранжиан квантовой электродинамики</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Лагранжиан_Дирака"><span class="tocnumber">5.2</span> <span class="toctext">Лагранжиан Дирака</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Лагранжиан_квантовой_хромодинамики"><span class="tocnumber">5.3</span> <span class="toctext">Лагранжиан квантовой хромодинамики</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Необходимое_и_достаточное_условие_существования_и_единственности_уравнения_Лагранжа"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Ссылки"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Ссылки</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Примечания"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Примечания</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Литература"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Литература</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Пример_из_классической_механики"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80_.D0.B8.D0.B7_.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B5.D1.85.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.BA.D0.B8"></span>Пример из <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Классическая механика">классической механики</a></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=1" title="Редактировать раздел «Пример из классической механики»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=1" title="Редактировать код раздела «Пример из классической механики»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Лагранжева механика">лагранжева механика</a>. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D1%8F" title="Кинетическая энергия">кинетической</a> и <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D1%8F" title="Потенциальная энергия">потенциальной энергии</a> механической системы. </p><p>Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi>m</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db30a93fb1c024ae1e820ad3be3597c91fb44411" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.223ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),}" /></span></dd></dl> <p>где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" /></span> — <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%83%D1%81-%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Радиус-вектор">радиус-вектор</a> частицы, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" /></span> — её <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0" title="Масса">масса</a> и <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" /></span> — потенциальная энергия. Тогда <a href="/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0" title="Уравнение Эйлера — Лагранжа">уравнение Эйлера – Лагранжа</a> будет иметь вид </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4678077f759f20b7b1e322f43e27f32d89f096cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.841ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,}" /></span></dd></dl> <p>где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1dd574e7657477e8993428d3a9238f919323f4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.723ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla V}" /></span> — <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Градиент">градиент</a>. </p><p>Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" /></span> в терминах потенциала <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c680be6b81742ae3ba003631b67611bf696d7ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.54ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}" /></span>, тогда мы получим уравнение <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce95e48d6dcc8a9dbc2168361cde68ba70e50f05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.239ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}" /></span>, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86e5e110f0e12f20f4a5ec7b89ae0b73a769793" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.628ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt}" /></span>, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме. </p><p>Для трёхмерной системы со <a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B" class="mw-redirect" title="Сферические координаты">сферическими координатами</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" /></span> с лагранжианом </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {m}{2}}\,({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {m}{2}}\,({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c555db6a4d55b879c6a1bd4a3e6186841c6c92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:35.952ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {m}{2}}\,({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}" /></span></dd></dl> <p>можно получить следующие уравнения Эйлера – Лагранжа: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>V</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864e9f23e0a554ded728e74343f072b83026efda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.035ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}" /></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e57dd68ff6aa08ea5570101f87e8ccb876ea6c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:34.764ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,}" /></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc029469da75f01c08250e8524cdc61e6379c6ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.448ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Классический_релятивистский_лагранжиан_свободной_частицы"><span id=".D0.9A.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B9_.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.82.D0.B8.D0.B2.D0.B8.D1.81.D1.82.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B9_.D0.BB.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B8.D0.B0.D0.BD_.D1.81.D0.B2.D0.BE.D0.B1.D0.BE.D0.B4.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D1.87.D0.B0.D1.81.D1.82.D0.B8.D1.86.D1.8B"></span>Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=2" title="Редактировать раздел «Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=2" title="Редактировать код раздела «Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D0%BD" title="Спин">спин</a>) лагранжиан свободной частицы в <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8" title="Теория относительности">теории относительности</a> совпадает (с точностью до знака) со скоростью роста длины её <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%8F" title="Мировая линия">мировой линии</a> в <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9C%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Пространство Минковского">пространстве Минковского</a> (то есть со скоростью изменения <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F" title="Собственное время">собственного времени</a>), умноженной на массу частицы <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" /></span> и на квадрат скорости света <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" /></span>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e240de88694277f91dba39ec7ffc77aeb3b7f798" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:37.634ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}" /></span></dd></dl> <p>где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" /></span> — обычная трёхмерная скорость частицы. </p><p>Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (<a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0" class="mw-redirect" title="Релятивистская динамика">релятивистская динамика</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Лагранжианы_и_плотности_лагранжианов_в_теории_поля"><span id=".D0.9B.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D1.8B_.D0.B8_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D0.BB.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.BE.D0.B2_.D0.B2_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D1.8F"></span>Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=3" title="Редактировать раздел «Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=3" title="Редактировать код раздела «Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>В <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Классическая теория поля">классической</a> и <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Квантовая теория поля">квантовой теории поля</a> делают различие между лагранжианом <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r117753614">.mw-parser-output .ts-math{white-space:nowrap;font-family:times,serif,palatino linotype,new athena unicode,athena,gentium,code2000;font-size:120%}</style><span class="ts-math"><i>L</i></span>, через который действие выражается как интеграл только по времени</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=\int {L\,dt},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>L</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\int {L\,dt},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f60a470bba13fa741a8f8f798d7a7960acaf75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.851ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle S=\int {L\,dt},}" /></span></dd></dl> <p>и <i>плотностью лагранжиана</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}}" /></span>, которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному (а в некоторых теориях и более <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" class="mw-redirect" title="Многомерное пространство">многомерному</a>) пространству-времени: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908c71748994233f2526081f248c969ab4d564f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.784ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.}" /></span></dd></dl> <p>Тогда лагранжиан — это <a href="/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл">интеграл</a> по пространственным переменным от плотности лагранжиана. </p> <ul><li>В последнее время плотность лагранжиана <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}}" /></span> часто называют просто лагранжианом; это полезно в <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8" title="Специальная теория относительности">релятивистских</a> теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.</li></ul> <p>Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" /></span> в индекс <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" /></span> или в параметры <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" /></span> в <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{i}(s)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{i}(s)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b313b717f2e7954c592440a724ae0a919f4fb99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.22ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{i}(s)}" /></span>. <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Квантовая теория поля">Квантовые теории поля</a> в <a href="/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86" title="Физика элементарных частиц">физике элементарных частиц</a>, такие как <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантовая электродинамика">квантовая электродинамика</a>, обычно описываются в терминах <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}}" /></span>. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D1%8B_%D0%A4%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Диаграммы Фейнмана">диаграмм Фейнмана</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Электромагнитный_лагранжиан"><span id=".D0.AD.D0.BB.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.BC.D0.B0.D0.B3.D0.BD.D0.B8.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D0.BB.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B8.D0.B0.D0.BD"></span><a href="/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Электромагнитное излучение">Электромагнитный</a> лагранжиан</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=4" title="Редактировать раздел «Электромагнитный лагранжиан»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=4" title="Редактировать код раздела «Электромагнитный лагранжиан»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>В этом разделе речь идёт о чисто классической (не квантовой) электродинамике (квантовоэлектродинамический лагранжиан описан в следующих разделах), в особенности сказанное касается заряженного вещества, с которым взаимодействует электромагнитное поле — то есть и члена взаимодействия, и лагранжиана собственно вещества (лагранжиан же свободного электромагнитного поля в целом один и тот же в классической и квантовой теории). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Электростатика"><span id=".D0.AD.D0.BB.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B0"></span>Электростатика</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=5" title="Редактировать раздел «Электростатика»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=5" title="Редактировать код раздела «Электростатика»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Электростатика">Электростатика</a> — физика статических (то есть постоянных) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> потенциалом, и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом ньютоновской механике. </p><p>В классической механике лагранжиан есть </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mo>−</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4085ee23f489086fa831d4cf976ff2b254ea586" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.613ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V,}" /></span></dd></dl> <p>где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" /></span> — кинетическая энергия и <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" /></span> — потенциальная энергия. </p><p>Для заряженной частицы массой <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" /></span> и зарядом <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span>, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Скалярный потенциал">скалярным потенциалом</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54559b94dde9914079ec0aefde9988f7272590e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi \ }" /></span>, кинетическая энергия задаётся выражением </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e848e00f1d228ae33adb24a81bb05a43a546f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.999ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }" /></span> — для одной частицы (для многих берётся сумма).</dd></dl> <p>Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=q\varphi \ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mi>φ</mi> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=q\varphi \ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edc6c9bdfb56ad04dd6aabe9ed8d565bbc193dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.056ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle V=q\varphi \ }" /></span> для одного точечного заряда (для многих суммируется),</dd></dl> <p>или </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\int \rho \varphi \ dxdydz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>ρ</mi> <mi>φ</mi> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\int \rho \varphi \ dxdydz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05597d00c7edfd82b7c8296450c6d47ed56cf77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.99ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V=\int \rho \varphi \ dxdydz}" /></span> — в виде для непрерывного распределения заряда.</dd></dl> <p>(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Дельта-функция">дельта-функцию</a>). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, записываясь как: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>ϰ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>φ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1c16a8123d56f8d767aa936cc39dcd4fb60037" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.065ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,}" /></span></dd></dl> <p>где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varkappa }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϰ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varkappa }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488d179b692afc46eaf68616eb9e9636ca0e8475" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.706ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varkappa }" /></span> — «силовая константа», входящая в конечном итоге в <a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9A%D1%83%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Закон Кулона">закон Кулона</a>. </p><p>Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbb2a9fb5e87d52693612d5ff1570dd6f0c6394" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},}" /></span></dd></dl> <p>(каждый член его выписан выше). </p> <ul><li>Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.</li></ul> <p>Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, легко получить уравнение поля для электростатики (<a href="/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9F%D1%83%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Уравнение Пуассона">уравнение Пуассона</a>): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>ϰ</mi> <mi>ρ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aead3f329c554f2679e431aacff7af53c04dc91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.325ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho }" /></span></dd></dl> <p>и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>φ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3b6383f69dd0c3476bdf48d46ad191912ffa06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.53ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Электродинамика"><span id=".D0.AD.D0.BB.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B4.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D0.BC.D0.B8.D0.BA.D0.B0"></span>Электродинамика</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=6" title="Редактировать раздел «Электродинамика»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=6" title="Редактировать код раздела «Электродинамика»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Трёхмерная_формулировка"><span id=".D0.A2.D1.80.D1.91.D1.85.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B0"></span>Трёхмерная формулировка</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=7" title="Редактировать раздел «Трёхмерная формулировка»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=7" title="Редактировать код раздела «Трёхмерная формулировка»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>В случае <a href="/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Электродинамика">электродинамики</a> приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D1%8F" title="Потенциальная энергия">потенциальной энергией</a> (энергией взаимодействия): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mi>φ</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>q</mi> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d501df363ad78c6b553842279325f0baeaa8ff87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.978ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}" /></span></dd></dl> <p>или </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mi>φ</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e77038b79e3f77146624d9f87cf8ec3ad9ca1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.832ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,}" /></span></dd></dl> <p>где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" /></span> — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0" title="Скорость света">скорость света</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" /></span> — скорость частицы, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><b>j</b></span> — вектор <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0" title="Плотность тока">плотности тока</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><b>А</b></span> — <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Векторный потенциал">векторный потенциал</a>. </p><p>Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>ϰ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77852c7d0600d6b33697f5ae6e780691252866d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.401ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,}" /></span></dd></dl> <p>где векторы <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Напряжённость электрического поля">напряжённости электрического поля</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><b>E</b></span> и <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Напряжённость магнитного поля">напряжённости магнитного поля</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><b>H</b></span> следует считать выраженными через <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8B_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" class="mw-redirect" title="Потенциалы электромагнитного поля">скалярный потенциал</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" /></span> и <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Векторный потенциал">векторный потенциал</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><b>А</b></span>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">E</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>φ</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8045afc4e36365d0ff34aae06c98070f887fbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.779ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86892f085e6fc81aed3c41b95cb598db676387cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.334ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .}" /></span></dd></dl> <p>Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <mi>φ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>q</mi> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50c9939162e54f5c01ca64382b489d57ee6c4a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.309ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.}" /></span></dd></dl> <p>или </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c}})dxdydz+T_{s}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>ρ</mi> <mi>φ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c}})dxdydz+T_{s}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd0d96ee4a4bd4c6b747451d115e65a048b5f80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:39.809ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c}})dxdydz+T_{s}.}" /></span></dd></dl> <p>Здесь в качестве лагранжиана вещества <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942b5ac7697c72b9e3bc1e3b340daf7189fdf61f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.361ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{s}}" /></span> можно использовать приближённое выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d44d0f63bdbe5c08a0f1653962d24973e771c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.004ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}" /></span></dd></dl> <p>Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля и т. д., что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность. </p><p>При варьировании действия с этим лагранжианом по <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><i>φ</i></span> и по <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959f1117fd3297796324ed61675e35d9a94600eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.521ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}" /></span> (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются <a href="/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0" title="Уравнения Максвелла">уравнения Максвелла</a>, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">F</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ef185efcfd95e08b5e698e69d39bfe233bb45e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.699ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},}" /></span></dd></dl> <p>где <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><b>p</b></span> — (трёхмерный) импульс частицы, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {F} _{L}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">F</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>L</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} _{L}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d255d008d973cc4642d3283734c8719e09320a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.034ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} _{L}}" /></span> — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B0" title="Сила Лоренца">сила Лоренца</a> (включая электрический член). </p><p>Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см. далее). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Четырёхмерная_формулировка"><span id=".D0.A7.D0.B5.D1.82.D1.8B.D1.80.D1.91.D1.85.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B0"></span>Четырёхмерная формулировка</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=8" title="Редактировать раздел «Четырёхмерная формулировка»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=8" title="Редактировать код раздела «Четырёхмерная формулировка»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана <a href="/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5" title="Электромагнитное поле">электромагнитного поля</a>, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (при использовании <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86" title="Рациональная система единиц">системы единиц</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0" title="Скорость света"><i>c</i></a> = 1</span>): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>ϰ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdaf3ad2526d0e51fcf7593be7e355728c87f48d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.222ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.}" /></span></dd></dl> <p>Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mi>q</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1dddbba54e2003d8d3e21369e2404ab3e7c4b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.283ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.}" /></span></dd></dl> <p>(Член <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{s}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{s}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f2969037546092e72a12968c4f8c7689cc8401" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.586ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{s}}" /></span> — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность). </p><p>Здесь <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F^{ik}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F^{ik}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87a90d8e078349e418267f690ca716812f2348e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.471ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle F^{ik}}" /></span> — <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Тензор электромагнитного поля">тензор электромагнитного поля</a> (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}" /></span> — <a href="/wiki/4-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB" class="mw-redirect" title="4-потенциал">4-потенциал</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbf58874dc37c31d82f28b7bc42195ae3ab924c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:1.784ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle j^{i}}" /></span> — <a href="/wiki/4-%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="4-ток">четырёхмерная плотность тока</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8cd88951c7c0e3b181f956531b0a878bbed203" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.129ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{i}}" /></span> — <a href="/wiki/4-%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="4-вектор">4-координата</a> точки в области, в которой проводится интегрирование; подразумевается <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%AD%D0%B9%D0%BD%D1%88%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0" class="mw-redirect" title="Правило Эйнштейна">правило Эйнштейна</a> суммирования по повторяющемуся индексу. </p><p><br /> Варьированием по <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}" /></span> легко получаются <a href="/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0" title="Уравнения Максвелла">уравнения Максвелла</a> в четырёхмерной форме: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>ϰ</mi> <msup> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7df560797a7c3c49e37849267dc35fda47850d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.003ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},}" /></span></dd></dl> <p>а варьированием по <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8cd88951c7c0e3b181f956531b0a878bbed203" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.129ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{i}}" /></span> — уравнение движения для частицы: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b252c3f82e4a0a22ff14ccedcb5030a50fd15abd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.536ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,}" /></span></dd></dl> <p>где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}=mu_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}=mu_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2933a19dab15e8c4910fc048f12c1523fe5d5670" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.327ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}=mu_{i}}" /></span> — <a href="/wiki/4-%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" class="mw-redirect" title="4-импульс">4-импульс</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3da3834d56d41f6847b4752c1ebf51ce383dfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.418ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle u^{k}}" /></span> — <a href="/wiki/4-%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" class="mw-redirect" title="4-скорость">4-скорость</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Лагранжиан_квантовой_теории_поля"><span id=".D0.9B.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B8.D0.B0.D0.BD_.D0.BA.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D1.82.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D0.B9_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D1.8F"></span>Лагранжиан квантовой теории поля</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=9" title="Редактировать раздел «Лагранжиан квантовой теории поля»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=9" title="Редактировать код раздела «Лагранжиан квантовой теории поля»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Лагранжиан <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Квантовая теория поля">квантовой теории поля</a> (КТП) в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или корректно проинтерпретировать их; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом <a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%B7%D1%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="Приближение стационарной фазы (страница отсутствует)">приближение стационарной фазы</a> (<a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Приближение стационарного действия (страница отсутствует)">стационарного действия</a>) — то есть найдя <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5&action=edit&redlink=1" class="new" title="Классическое приближение (страница отсутствует)">классическое приближение</a> описания системы. </p><p>Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они используются в КТП, представляя в определённом отношении её основу. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Лагранжиан_квантовой_электродинамики"><span id=".D0.9B.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B8.D0.B0.D0.BD_.D0.BA.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D1.82.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D0.B9_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B4.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D0.BC.D0.B8.D0.BA.D0.B8"></span>Лагранжиан <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантовая электродинамика">квантовой электродинамики</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=10" title="Редактировать раздел «Лагранжиан квантовой электродинамики»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=10" title="Редактировать код раздела «Лагранжиан квантовой электродинамики»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Плотность лагранжиана для <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантовая электродинамика">квантовой электродинамики</a> (КЭД): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{D}\!\!\!\!/\ -m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ψ</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{D}\!\!\!\!/\ -m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5fd1605b346183480d65d6749f28342b41464a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.407ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{D}\!\!\!\!/\ -m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}" /></span></dd></dl> <p>где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }" /></span> — <a href="/wiki/%D0%91%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D1%80" title="Биспинор">спинор</a> (четырёхмерный), <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafa5ba70b83e82cde041f28d40f2d367580457f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.504ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}" /></span> — его <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Дираковское сопряжение">дираковское сопряжение</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F^{\mu \nu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F^{\mu \nu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270a5daa364616f695db1f470f3d341755df881a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.909ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle F^{\mu \nu }}" /></span> — <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Тензор электромагнитного поля">тензор электромагнитного поля</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r117753614"><span class="ts-math"><i>D</i></span> — <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B1%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Калибровочная ковариантная производная (страница отсутствует)">калибровочная ковариантная производная</a> и <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {D}\!\!\!\!/\ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {D}\!\!\!\!/\ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b7dea9a3a38c3b92d32c7d4c8a0c95e5a3ed48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {D}\!\!\!\!/\ }" /></span> — обозначение Фейнмана для <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b91e5334f658c3094a03d46342091d81c55391" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.549ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}" /></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Лагранжиан_Дирака"><span id=".D0.9B.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B8.D0.B0.D0.BD_.D0.94.D0.B8.D1.80.D0.B0.D0.BA.D0.B0"></span>Лагранжиан Дирака</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=11" title="Редактировать раздел «Лагранжиан Дирака»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=11" title="Редактировать код раздела «Лагранжиан Дирака»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Плотность лагранжиана для <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5&action=edit&redlink=1" class="new" title="Дираковское поле (страница отсутствует)">дираковского поля</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{\partial }\!\!\!/\ -m)\psi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∂</mi> </mrow> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ψ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{\partial }\!\!\!/\ -m)\psi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4492aa6c23ba8f16a73d5e290e91169f896725" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.85ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{\partial }\!\!\!/\ -m)\psi .}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Лагранжиан_квантовой_хромодинамики"><span id=".D0.9B.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B8.D0.B0.D0.BD_.D0.BA.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D1.82.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D0.B9_.D1.85.D1.80.D0.BE.D0.BC.D0.BE.D0.B4.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D0.BC.D0.B8.D0.BA.D0.B8"></span>Лагранжиан квантовой хромодинамики</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=12" title="Редактировать раздел «Лагранжиан квантовой хромодинамики»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=12" title="Редактировать код раздела «Лагранжиан квантовой хромодинамики»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Плотность лагранжиана для <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%85%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантовая хромодинамика">квантовой хромодинамики</a><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}({D}\!\!\!\!/+m_{n})\psi _{n},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}({D}\!\!\!\!/+m_{n})\psi _{n},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e827db57886d3c40224405f21b98bb85d79e2eb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:40.798ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}({D}\!\!\!\!/+m_{n})\psi _{n},}" /></span></dd></dl> <p>где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267983ed233945e70f42935df28e623cfce15c12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.148ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\mu }}" /></span> — калибровочная ковариантная производная КХД и <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9264181d4588b8142f6edc31def164798a53f0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.194ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu }}" /></span> — тензор напряжённости <a href="/wiki/%D0%93%D0%BB%D1%8E%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5" title="Глюонное поле">глюонного поля</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Необходимое_и_достаточное_условие_существования_и_единственности_уравнения_Лагранжа"><span id=".D0.9D.D0.B5.D0.BE.D0.B1.D1.85.D0.BE.D0.B4.D0.B8.D0.BC.D0.BE.D0.B5_.D0.B8_.D0.B4.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.87.D0.BD.D0.BE.D0.B5_.D1.83.D1.81.D0.BB.D0.BE.D0.B2.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B8_.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.9B.D0.B0.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B6.D0.B0"></span>Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=13" title="Редактировать раздел «Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=13" title="Редактировать код раздела «Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>В классической механике необходимым и достаточным условием существования и единственности уравнения Лагранжа является <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\right\|_{j,k=1}^{n}\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <msubsup> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\right\|_{j,k=1}^{n}\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ab8df7f222018a4571012aa992bd31103b0881" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.274ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\right\|_{j,k=1}^{n}\neq 0}" /></span><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ссылки"><span id=".D0.A1.D1.81.D1.8B.D0.BB.D0.BA.D0.B8"></span>Ссылки</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=14" title="Редактировать раздел «Ссылки»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=14" title="Редактировать код раздела «Ссылки»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r141520016">.mw-parser-output .ts-Родственный_проект{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);font-size:90%;margin:0 0 1em;padding:.4em;max-width:19em;width:19em;line-height:1.5}.mw-parser-output .ts-Родственный_проект th,.mw-parser-output .ts-Родственный_проект td{padding:.2em 0;vertical-align:middle}.mw-parser-output .ts-Родственный_проект th+td{padding-left:.4em}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ts-Родственный_проект{clear:right;float:right;width:19em;margin-left:1em}}</style> <table role="presentation" class="metadata plainlinks ts-Родственный_проект noprint ruwikiWikimediaNavigation"> <tbody><tr> <th style="width:10%;"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Notification-icon-Wikisource-logo.svg/24px-Notification-icon-Wikisource-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Notification-icon-Wikisource-logo.svg/36px-Notification-icon-Wikisource-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Notification-icon-Wikisource-logo.svg/48px-Notification-icon-Wikisource-logo.svg.png 2x" data-file-width="30" data-file-height="30" /></span></span> </th> <td>В <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0" title="Викитека">Викитеке</a> есть тексты по теме: «<span class="wikisource-ref"><b><a href="https://ru.wikisource.org/wiki/fr:Auteur:Joseph-Louis_Lagrange" class="extiw" title="s:fr:Auteur:Joseph-Louis Lagrange">fr:Auteur:Joseph-Louis_Lagrange</a></b></span>» </td></tr></tbody></table> <ul><li><i>Christoph Schiller</i>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20081217082551/http://www.motionmountain.net/C-2-CLSB.pdf"><i>Global descriptions of motion: the simplicity of complexity</i></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.motionmountain.net">Motion Mountain</a> (2005)</li> <li><i>David Tong</i> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html">Classical Dynamics</a> (Cambridge lecture notes)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примечания"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.87.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F"></span>Примечания</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=15" title="Редактировать раздел «Примечания»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=15" title="Редактировать код раздела «Примечания»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist columns" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Здесь подразумевается, конечно же, <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80" title="Скаляр">скаляр</a> обычного трёхмерного пространства, а не инвариант преобразований Лоренца.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Это определяется знаком, который должен получиться в итоге в уравнениях движения и тем, что из определённых соображений энергию поля хочется иметь положительной. Всё это может быть более или менее строго обосновано, но здесь мы ограничимся только что изложенными простыми соображениями.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Для получения уравнения поля удобнее использовать лагранжиан взаимодействия, выраженный через <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" /></span>, для получения уравнения движения частицы в поле — через положение точечной частицы (через <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q\varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\varphi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5933bb525c9a2f8fe3099eb1b6b867a5b55b286c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.59ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle q\varphi }" /></span>).</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Вопрос о знаках, как это было сделано выше и для электростатического поля, не будем здесь подробно обсуждать, хотя достаточно строгое обоснование и существует, ограничившись опять замечанием, что именно такие знаки дают нужные знаки в итоговых уравнениях.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation"><span lang="und"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html">Quantum Chromodynamics (QCD)</a></span><span class="hidden-ref" style="display:none;">  <small class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</small></span>. Дата обращения: 21 февраля 2006. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20110709054804/http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html">Архивировано</a> 9 июля 2011 года.</span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><i><a href="/wiki/%D0%90%D0%B9%D0%B7%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD,_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA_%D0%90%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Айзерман, Марк Аронович">Айзерман М. А.</a></i> Классическая механика. - М., Наука, 1980. - с. 165</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Литература"><span id=".D0.9B.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0"></span>Литература</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit&section=16" title="Редактировать раздел «Литература»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit&section=16" title="Редактировать код раздела «Литература»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>Исторические публикации</b> </p> <ul><li><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r141305934">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a::after,.mw-parser-output .id-lock-limited a::after,.mw-parser-output .id-lock-registration a::after,.mw-parser-output .id-lock-subscription a::after,.mw-parser-output .cs1-ws-icon a::after{content:"";width:1.1em;height:1.1em;display:inline-block;vertical-align:middle;background-position:center;background-repeat:no-repeat;background-size:contain}.mw-parser-output .id-lock-free.id-lock-free a::after{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")}.mw-parser-output .id-lock-limited.id-lock-limited a::after,.mw-parser-output .id-lock-registration.id-lock-registration a::after{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")}.mw-parser-output .id-lock-subscription.id-lock-subscription a::after{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a::after{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#085;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}@media screen{.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .id-lock-free a::after,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .id-lock-limited a::after,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .id-lock-registration a::after,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .id-lock-subscription a::after{filter:invert(1)hue-rotate(180deg)}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .id-lock-free a::after,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .id-lock-limited a::after,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .id-lock-registration a::after,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .id-lock-subscription a::after{filter:invert(1)hue-rotate(180deg)}}</style><span class="citation no-wikidata" data-wikidata-property-id="P1343"><i><a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8" title="Лагранж, Жозеф Луи">Ж. Лагранж</a>.</i> Аналитическая механика. — <abbr title="Москва">М.</abbr>—<abbr title="Ленинград">Л.</abbr>: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — 594 с.</span></li></ul> <p><b>Курсы теоретической физики</b> </p> <ul><li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r141305934"><span class="citation no-wikidata" data-wikidata-property-id="P1343" id="CITEREFЛандау_Л._Д.,_Лифшиц_Е._М._Механика2004"><i>Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.</i> Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: <a href="/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%BB%D0%B8%D1%82" title="Физматлит">Физматлит</a>, <a href="/wiki/2004_%D0%B3%D0%BE%D0%B4" title="2004 год">2004</a>. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5922100556" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5-9221-0055-6</a>.</span></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r141305934"><span class="citation no-wikidata" data-wikidata-property-id="P1343"><i>Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.</i> Теория поля <a href="/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%9B%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%83_%D0%B8_%D0%9B%D0%B8%D1%84%D1%88%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Курс теоретической физики Ландау и Лифшица">(Теоретическая физика, т. II</a>). — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Физматлит, 2003. — 536 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5922100564" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5-9221-0056-4</a>.</span></li></ul></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Источник — <a dir="ltr" href="https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Лагранжиан&oldid=140699972">https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Лагранжиан&oldid=140699972</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8" title="Служебная:Категории">Категории</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Категория:Теоретическая физика">Теоретическая физика</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Категория:Теория поля">Теория поля</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Категория:Теоретическая механика">Теоретическая механика</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Скрытые категории: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:Cite_web_(%D0%BD%D0%B5_%D1%83%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D0%BD_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA)" title="Категория:Википедия:Cite web (не указан язык)">Википедия:Cite web (не указан язык)</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%83_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE_%D0%B2_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B5" title="Категория:Википедия:Ссылка на Викитеку непосредственно в статье">Википедия:Ссылка на Викитеку непосредственно в статье</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B,_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%88%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8_ISBN" title="Категория:Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN">Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навигация</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Персональные инструменты</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Страница участника для моего IP">Вы не представились системе</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9C%D0%BE%D1%91_%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Страница обсуждений для моего IP [n]" accesskey="n"><span>Обсуждение</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9C%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4" title="Список правок, сделанных с этого IP-адреса [y]" accesskey="y"><span>Вклад</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C_%D1%83%D1%87%D1%91%D1%82%D0%BD%D1%83%D1%8E_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C&returnto=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD" title="Мы предлагаем вам создать учётную запись и войти в систему, хотя это и не обязательно."><span>Создать учётную запись</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%92%D1%85%D0%BE%D0%B4&returnto=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD" title="Здесь можно зарегистрироваться в системе, но это необязательно. [o]" accesskey="o"><span>Войти</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Пространства имён</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD" title="Просмотреть контентную страницу [c]" accesskey="c"><span>Статья</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD" rel="discussion" title="Обсуждение основной страницы [t]" accesskey="t"><span>Обсуждение</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">русский</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Просмотры</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD"><span>Читать</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&veaction=edit" title="Редактировать данную страницу [v]" accesskey="v"><span>Править</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=edit" title="Править исходный текст этой страницы [e]" accesskey="e"><span>Править код</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=history" title="Журнал изменений страницы [h]" accesskey="h"><span>История</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Больше возможностей" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Ещё</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Поиск</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Искать в Википедии" aria-label="Искать в Википедии" autocapitalize="sentences" title="Искать в Википедии [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Служебная:Поиск"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Найти страницы, содержащие указанный текст" value="Найти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти к странице, имеющей в точности такое название" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Перейти на заглавную страницу"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Навигация</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Перейти на заглавную страницу [z]" accesskey="z"><span>Заглавная страница</span></a></li><li id="n-content" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5"><span>Содержание</span></a></li><li id="n-featured" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%98%D0%B7%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8" title="Статьи, считающиеся лучшими статьями проекта"><span>Избранные статьи</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Посмотреть случайно выбранную страницу [x]" accesskey="x"><span>Случайная статья</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%A2%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D1%8F" title="Статьи о текущих событиях в мире"><span>Текущие события</span></a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=ru.wikipedia.org&uselang=ru" title="Поддержите нас"><span>Пожертвовать</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-participation" class="mw-portlet mw-portlet-participation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-participation-label" > <h3 id="p-participation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Участие</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-bug_in_article" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0%D1%85" title="Сообщить об ошибке в этой статье"><span>Сообщить об ошибке</span></a></li><li id="n-introduction" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0:%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"><span>Как править статьи</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="О проекте, о том, чем здесь можно заниматься, а также — где что находится"><span>Сообщество</span></a></li><li id="n-forum" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A4%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%BC" title="Форум участников Википедии"><span>Форум</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Место расположения Справки"><span>Справка</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D0%B5%D0%B6%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8" title="Список последних изменений [r]" accesskey="r"><span>Свежие правки</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B" title="Список недавно созданных страниц"><span>Новые страницы</span></a></li><li id="n-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B"><span>Служебные страницы</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Инструменты</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B0/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD" title="Список всех страниц, ссылающихся на данную [j]" accesskey="j"><span>Ссылки сюда</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD" rel="nofollow" title="Последние изменения в страницах, на которые ссылается эта страница [k]" accesskey="k"><span>Связанные правки</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&oldid=140699972" title="Постоянная ссылка на эту версию страницы"><span>Постоянная ссылка</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=info" title="Подробнее об этой странице"><span>Сведения о странице</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&id=140699972&wpFormIdentifier=titleform" title="Информация о том, как цитировать эту страницу"><span>Цитировать страницу</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fru.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259B%25D0%25B0%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BD%25D0%25B6%25D0%25B8%25D0%25B0%25D0%25BD"><span>Получить короткий URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:QrCode&url=https%3A%2F%2Fru.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259B%25D0%25B0%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BD%25D0%25B6%25D0%25B8%25D0%25B0%25D0%25BD"><span>Скачать QR-код</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Печать/экспорт</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:DownloadAsPdf&page=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&action=show-download-screen" title="Скачать эту страницу как файл PDF"><span>Скачать как PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&printable=yes" title="Версия этой страницы для печати [p]" accesskey="p"><span>Версия для печати</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">В других проектах</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q505735" title="Ссылка на связанный элемент репозитория данных [g]" accesskey="g"><span>Элемент Викиданных</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">На других языках</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D8%A7%D8%BA%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%AC%D9%8A%D8%A7%D9%86" title="لاغرانجيان — арабский" lang="ar" hreflang="ar" data-title="لاغرانجيان" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабский" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%BD%D0%B0_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6" title="Оператор на Лагранж — болгарский" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Оператор на Лагранж" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарский" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Lagrangi%C3%A0" title="Lagrangià — каталанский" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Lagrangià" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталанский" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%AC%DB%8C%D8%A7%D9%86_(%D8%AA%DB%8C%DB%86%D8%B1%DB%8C_%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%B1)" title="لاگرانجیان (تیۆری بوار) — центральнокурдский" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="لاگرانجیان (تیۆری بوار)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдский" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Lagrange_(fysik)" title="Lagrange (fysik) — датский" lang="da" hreflang="da" data-title="Lagrange (fysik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="датский" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Dichte" title="Lagrange-Dichte — немецкий" lang="de" hreflang="de" data-title="Lagrange-Dichte" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="немецкий" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CE%B1%CE%B3%CE%BA%CF%81%CE%B1%CE%BD%CE%B6%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Λαγκρανζιανή συνάρτηση — греческий" lang="el" hreflang="el" data-title="Λαγκρανζιανή συνάρτηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="греческий" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_(field_theory)" title="Lagrangian (field theory) — английский" lang="en" hreflang="en" data-title="Lagrangian (field theory)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="английский" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangiano" title="Lagrangiano — испанский" lang="es" hreflang="es" data-title="Lagrangiano" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="испанский" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%86%DA%98%DB%8C%D9%86_(%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%D9%87_%D9%85%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86)" title="لاگرانژین (نظریه میدان) — персидский" lang="fa" hreflang="fa" data-title="لاگرانژین (نظریه میدان)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="персидский" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Lagrangien_(th%C3%A9orie_des_champs)" title="Lagrangien (théorie des champs) — французский" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Lagrangien (théorie des champs)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французский" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BC%D5%A1%D5%A3%D6%80%D5%A1%D5%B6%D5%AA%D5%B5%D5%A1%D5%B6" title="Լագրանժյան — армянский" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Լագրանժյան" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="армянский" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3_(%E5%A0%B4%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96)" title="ラグランジアン (場の理論) — японский" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ラグランジアン (場の理論)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японский" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%EA%B7%B8%EB%9E%91%EC%A7%80%EC%96%B8" title="라그랑지언 — корейский" lang="ko" hreflang="ko" data-title="라그랑지언" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейский" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Lagrangiana_(teoria_de_campos)" title="Lagrangiana (teoria de campos) — португальский" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Lagrangiana (teoria de campos)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальский" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Formalizmi_i_Lagranzhit" title="Formalizmi i Lagranzhit — албанский" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Formalizmi i Lagranzhit" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанский" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/Lagranjian" title="Lagranjian — татарский" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Lagranjian" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="татарский" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D1%96%D0%B0%D0%BD" title="Лагранжіан — украинский" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Лагранжіан" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="украинский" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E9%87%8F" title="拉格朗日量 — китайский" lang="zh" hreflang="zh" data-title="拉格朗日量" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайский" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q505735#sitelinks-wikipedia" title="Править ссылки на другие языки" class="wbc-editpage">Править ссылки</a></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Эта страница в последний раз была отредактирована 11 октября 2024 в 02:21.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступен по <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ru">лицензии Creative Commons «С указанием авторства — С сохранением условий» (CC BY-SA)</a>; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. <span class="noprint">Подробнее см. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/ru">Условия использования</a>.</span><br /> Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/ru/">«Фонд Викимедиа» (Wikimedia Foundation, Inc.)</a></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/ru">Политика конфиденциальности</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%9E%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5">Описание Википедии</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%B7_%D0%BE%D1%82_%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Отказ от ответственности</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//ru.wikipedia.org/wiki/Википедия:Контакты">Свяжитесь с нами</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Universal_Code_of_Conduct/ru">Кодекс поведения</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Разработчики</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ru.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Заявление о куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ru.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобильная версия</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" lang="en" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" width="88" height="31"><img src="/w/resources/assets/mediawiki_compact.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="25" height="25" loading="lazy"></picture></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-7c5dd74596-pc4ls","wgBackendResponseTime":168,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.228","walltime":"0.482","ppvisitednodes":{"value":2022,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":10835,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":3328,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":13,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":1,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":18885,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 157.161 1 -total"," 30.42% 47.804 3 Шаблон:Книга"," 24.73% 38.862 1 Шаблон:Примечания"," 19.74% 31.016 1 Шаблон:Cite_web"," 19.04% 29.930 1 Шаблон:Другие_значения"," 17.49% 27.495 1 Шаблон:Другое_значение"," 11.80% 18.546 1 Шаблон:Wikisource"," 9.09% 14.293 1 Шаблон:Родственный_проект"," 6.47% 10.168 1 Шаблон:Книга:Ландау_Л._Д.,_Лифшиц_Е._М.:_Механика"," 5.16% 8.104 10 Шаблон:Math"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.026","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1765833,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-698f89f64-494pl","timestamp":"20250120184239","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u041b\u0430\u0433\u0440\u0430\u043d\u0436\u0438\u0430\u043d","url":"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B8%D0%B0%D0%BD","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q505735","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q505735","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0438\u043a\u0438\u043c\u0435\u0434\u0438\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-02-21T00:11:54Z"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Лагранжиан — Википедия