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class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>導入サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-導入-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#定義"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>定義</span> </div> </a> <ul id="toc-定義-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-簡単な例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#簡単な例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>簡単な例</span> </div> </a> <ul id="toc-簡単な例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-諸概念" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#諸概念"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>諸概念</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-諸概念-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>諸概念サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-諸概念-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-イデアルと剰余環" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#イデアルと剰余環"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>イデアルと剰余環</span> </div> </a> <ul id="toc-イデアルと剰余環-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-局所化環" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#局所化環"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>局所化環</span> </div> </a> <ul id="toc-局所化環-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-素イデアルと素スペクトル" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#素イデアルと素スペクトル"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>素イデアルと素スペクトル</span> </div> </a> <ul id="toc-素イデアルと素スペクトル-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-環の準同型" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#環の準同型"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>環の準同型</span> </div> </a> <ul id="toc-環の準同型-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-加群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#加群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>加群</span> </div> </a> <ul id="toc-加群-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ネーター環" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#ネーター環"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>ネーター環</span> </div> </a> <ul id="toc-ネーター環-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-環の次元" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#環の次元"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>環の次元</span> </div> </a> <ul id="toc-環の次元-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-可換環の構成" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#可換環の構成"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>可換環の構成</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-可換環の構成-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>可換環の構成サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-可換環の構成-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-完備化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#完備化"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>完備化</span> </div> </a> <ul id="toc-完備化-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>性質</span> </div> </a> <ul id="toc-性質-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>注釈</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-注釈-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>注釈サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.1</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" 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class="mw-page-title-main">可換環</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語35件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-35" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">35の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%84%D9%82%D8%A9_%D8%AA%D8%A8%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="アラビア語: حلقة تبادلية" lang="ar" hreflang="ar" data-title="حلقة تبادلية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Aniellu_conmutativu" title="アストゥリアス語: Aniellu conmutativu" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Aniellu conmutativu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2_%D2%A1%D1%83%D0%BB%D1%81%D0%B0" title="バシキール語: Коммутатив ҡулса" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Коммутатив ҡулса" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="バシキール語" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Anell_commutatiu" title="カタロニア語: Anell commutatiu" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Anell commutatiu" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Komutativn%C3%AD_okruh" title="チェコ語: Komutativní okruh" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Komutativní okruh" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kommutativ_ring" title="デンマーク語: Kommutativ ring" lang="da" hreflang="da" data-title="Kommutativ ring" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="デンマーク語" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kommutativer_Ring" title="ドイツ語: Kommutativer Ring" lang="de" hreflang="de" data-title="Kommutativer Ring" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B4%CE%B1%CE%BA%CF%84%CF%8D%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="ギリシャ語: Αντιμεταθετικός δακτύλιος" lang="el" hreflang="el" data-title="Αντιμεταθετικός δακτύλιος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_ring" title="英語: Commutative ring" lang="en" hreflang="en" data-title="Commutative ring" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Komuta_ringo" title="エスペラント語: Komuta ringo" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Komuta ringo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativo" title="スペイン語: Anillo conmutativo" lang="es" hreflang="es" data-title="Anillo conmutativo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Eraztun_trukakor" title="バスク語: Eraztun trukakor" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Eraztun trukakor" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%84%D9%82%D9%87_%D8%AC%D8%A7%D8%A8%D9%87%E2%80%8C%D8%AC%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="ペルシア語: حلقه جابه‌جایی" lang="fa" hreflang="fa" data-title="حلقه جابه‌جایی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kommutoiva_rengas" title="フィンランド語: Kommutoiva rengas" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kommutoiva rengas" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_commutatif" title="フランス語: Anneau commutatif" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Anneau commutatif" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Anel_conmutativo" title="ガリシア語: Anel conmutativo" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Anel conmutativo" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Gelanggang_komutatif" title="インドネシア語: Gelanggang komutatif" lang="id" hreflang="id" data-title="Gelanggang komutatif" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Anello_commutativo" title="イタリア語: Anello commutativo" lang="it" hreflang="it" data-title="Anello commutativo" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%80%ED%99%98%ED%99%98" title="韓国語: 가환환" lang="ko" hreflang="ko" data-title="가환환" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Commutatieve_ring" title="オランダ語: Commutatieve ring" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Commutatieve ring" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kommutativ_ring" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Kommutativ ring" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kommutativ ring" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_przemienny" title="ポーランド語: Pierścień przemienny" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Pierścień przemienny" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Anel_comutativo" title="ポルトガル語: Anel comutativo" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Anel comutativo" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Inel_comutativ" title="ルーマニア語: Inel comutativ" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Inel comutativ" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE" title="ロシア語: Коммутативное кольцо" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Коммутативное кольцо" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Komutativni_prsten" title="セルボ・クロアチア語: Komutativni prsten" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Komutativni prsten" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Commutative_ring" title="シンプル英語: Commutative ring" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Commutative ring" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD" title="セルビア語: Комутативни прстен" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Комутативни прстен" 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class="mw-selflink selflink">可換環</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="text-align: left;"><b><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96" title="代数的整数論">代数的整数論</a></b> <p><b><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="代数幾何学">代数幾何学</a></b> </p> <dl><dd>• <a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="アフィン多様体">アフィン多様体</a></dd></dl> <p><b><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%BD%93" title="代数体">代数体</a></b> </p> <dl><dd>• <a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0" title="整数環">整数環</a></dd> <dd>• <a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0" title="多項式環">多項式環</a></dd> <dd>• <a href="/wiki/%E5%95%86%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="商環">商環</a> <dl><dd>• <a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" title="分数イデアル">分数イデアル</a></dd> <dd>• <a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%95%86%E7%92%B0" title="全商環">全商環</a></dd></dl></dd></dl> <hr /></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="非可換環">非可換環</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="text-align: left;"><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="作用素環">作用素環</a> <hr /></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%97%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%84%E3%82%AD%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ホプキンス・レヴィツキの定理">ホプキンス・レヴィツキの定理</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="text-align: left;"><a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%92%B0" title="ネーター環">ネーター環</a><br /> <a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%92%B0" title="アルティン環">アルティン環</a></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-navbar"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" -\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-slash dd:after,.mw-parser-output .hlist-slash li:after{content:" /\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child:before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child:after{content:")\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)" ";white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)" "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96787822">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:75%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox .navbar{font-size:88%}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:88%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/Template:Ring_theory_sidebar" title="Template:Ring theory sidebar"><abbr title="参照先のページを表示します。">表</abbr></a></li><li class="nv-talk"><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Ring_theory_sidebar&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:Ring theory sidebar」 (存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Ring_theory_sidebar&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Ring_theory_sidebar&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>、特に<a href="/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="抽象代数学">抽象代数学</a>の一分野である<a href="/wiki/%E7%92%B0%E8%AB%96" title="環論">環論</a>における<b>可換環</b>（かかんかん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>commutative ring</i></span>）は、その乗法が<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="可換">可換</a>であるような<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>をいう。可換環の研究は<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0%E8%AB%96" title="可換環論">可換環論</a>あるいは可換代数学と呼ばれる。 </p><p>いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。 </p> <dl><dd><b><a class="mw-selflink selflink">可換環</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="整域">整域</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/%E6%95%B4%E9%96%89%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="整閉整域">整閉整域</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%84%8F%E5%88%86%E8%A7%A3%E7%92%B0" title="一意分解環">一意分解環</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/%E5%8D%98%E9%A0%85%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="単項イデアル整域">単項イデアル整域</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0" title="ユークリッド環">ユークリッド環</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93" title="有限体">有限体</a></b></dd></dl> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="導入"><span id=".E5.B0.8E.E5.85.A5"></span>導入</h2></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h3></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環 (数学)</a>」を参照</div> <p><b>環</b> <i>R</i> は加法 "+" と乗法 "⋅" という二種類の<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a>（つまり任意の二元を結合して第三の元 <i>a</i> + <i>b</i> や <i>a</i> ⋅ <i>b</i> を与える操作）を備えた<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a>である。環を成すためにはこれら二つの演算がいくつかの適当な性質を満たさねばならない。即ち、環 <i>R</i> は加法について<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a>を成し、乗法に関して<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">単位的半群</a>を成し、かつ乗法は加法に対して<a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87" title="分配法則">分配的</a>（つまり <i>a</i> ⋅ (<i>b</i> + <i>c</i>) = (<i>a</i> ⋅ <i>b</i>) + (<i>a</i> ⋅ <i>c</i>)）である。加法および乗法の単位元はそれぞれ 0 および 1 で表される。 </p><p>この時さらに乗法が可換律 </p> <dl><dd><i>a</i> ⋅ <i>b</i> = <i>b</i> ⋅ <i>a</i></dd></dl> <p>をも満たすならば、環 <i>R</i> は可換であると言う。以後、本項で扱う環は特に断りのない限りすべて可換であるものとする。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="簡単な例"><span id=".E7.B0.A1.E5.8D.98.E3.81.AA.E4.BE.8B"></span>簡単な例</h3></div> <p>重要かついくつかの意味で重大な例は、<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>全体 <b>Z</b> が通常の<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95" title="加法">加法</a>と<a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95" title="乗法">乗法</a>に関して成す環である。整数の乗法は可換な演算だから、これは可換環である。これをふつう <b>Z</b> と書くのはドイツ語で「数」を意味する <i>Zahlen</i> の略からである。 </p><p><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">可換体</a>は任意の非零元 <i>a</i> が可逆である、つまり <i>a</i> ⋅ <i>b</i> = 1 を満たす乗法逆元 <i>b</i> を持つような可換環をいう。従って定義により任意の可換体は可換環を成す。<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>の全体、<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>の全体、<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>の全体はそれぞれ体を成す。 </p><p>二次<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a>全体の成す環は<b>可換でない</b>。行列の乗法が可換でないことは、例えば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}\\[10pt]{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="1.3em 0.3em" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}\\[10pt]{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c275a7dacc1bbe1281567054c797c1f4b1e205" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.838ex; width:29.091ex; height:14.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}\\[10pt]{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>などを見ればわかる。しかし同じ<a href="/wiki/%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="相似行列">相似変換</a>で同時<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96%E5%8F%AF%E8%83%BD%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="対角化可能行列">対角化可能</a>な行列の全体は可換環を成す。例えば、ある決まったノード集合に関する<a href="/wiki/%E5%B7%AE%E5%88%86%E5%95%86" title="差分商">差分商行列</a>全体は可換環である。 </p><p>可換環 <i>R</i> が与えられたとき、<i>R</i> に係数を持つ変数 <i>X</i> の<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式">多項式</a>全体 <i>R</i>[<i>X</i>] は<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0" title="多項式環">多項式環</a>と呼ばれる可換環を成す。多変数の場合も同様である。 </p><p><i>V</i> が何らかの<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="位相空間">位相空間</a>、例えば <b>R</b><sup><i>n</i></sup> のある部分集合とするとき、<i>V</i> 上の実数値または複素数値の<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="連続函数">連続函数</a>全体は可換環を成す。<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="可微分函数">可微分函数</a>全体や<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="正則函数">正則函数</a>全体についても、それらの概念が定義されるならば（たとえば <i>V</i> が<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="複素多様体">複素多様体</a>のとき）同じことが言える。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="諸概念"><span id=".E8.AB.B8.E6.A6.82.E5.BF.B5"></span>諸概念</h2></div> <p>任意の非零元が乗法的に可逆となる体の場合と対照的に、環についての理論はより複雑なものとなる。このような状況をうまく扱うために、いくつかの概念が存在する。まずは <i>R</i> の元 <i>a</i> が <i>R</i> の<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%85%83_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="単元 (代数学)">単元</a>であるとは、<i>a</i> が <i>R</i> に乗法逆元を持つことを言う。他の特別な元は<a href="/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="零因子">零因子</a>で、これは非零元 <i>a</i> で <i>ab</i> = 0 を満たす非零元 <i>b</i> がその環の中にあるようなものである。可換環 <i>R</i> が零因子を持たないならば、これを<a href="/wiki/%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="整域">整域</a>と呼ぶ。これは様々な意味で整数の成す環に似ている。 </p><p>以下に挙げる概念の多くは可換環でなくとも存在するものだが、しかし可換性を仮定しなければその定義や性質は普通より複雑なものとなる。例えば、可換環における任意のイデアルは自動的に<a href="/wiki/%E4%B8%A1%E5%81%B4%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="両側イデアル">両側イデアル</a>となり、状況は大幅に簡単になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="イデアルと剰余環"><span id=".E3.82.A4.E3.83.87.E3.82.A2.E3.83.AB.E3.81.A8.E5.89.B0.E4.BD.99.E7.92.B0"></span>イデアルと剰余環</h3></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E7%92%B0%E8%AB%96)" title="イデアル (環論)">イデアル (環論)</a>」および「<a href="/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E7%92%B0" title="剰余環">剰余環</a>」を参照</div> <p>可換環の内部構造はそのイデアルを考えることで決定される。可換環 <i>R</i> のイデアル <i>I</i> とは、<a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88" title="空集合">空</a>でない部分集合で、加法と環 <i>R</i> の任意の元による乗法に関して閉じているもの、即ち任意の <i>r</i> ∈ <i>R</i>, <i>i</i>, <i>j</i> ∈ <i>I</i> に対し <i>ri</i> および <i>i</i> + <i>j</i> がともに <i>I</i> に属することが要求される。<i>R</i> の任意の部分集合 <i>F</i> = {<i>f</i><sub><i>j</i></sub>}<sub><i>j</i> ∈ <i>J</i></sub>（<i>J</i> は適当な添字集合）が与えられたとき、「<i>F</i> の生成するイデアル」とは <i>F</i> を含む最小のイデアル、あるいは同じことだが、有限<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88" title="線型結合">線型結合</a> </p> <dl><dd><i>r</i><sub>1</sub><i>f</i><sub>1</sub> + <i>r</i><sub>2</sub><i>f</i><sub>2</sub> + ... + <i>r</i><sub><i>n</i></sub><i>f</i><sub><i>n</i></sub></dd></dl> <p>の全体として得られるイデアルをいう。一つの元で生成されるイデアルは<a href="/wiki/%E4%B8%BB%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" title="主イデアル">主イデアル</a>と呼ばれ、任意のイデアルが主イデアルであるような環を<a href="/wiki/%E4%B8%BB%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="主イデアル環">主イデアル環</a>と呼ぶ。有理整数環 <b>Z</b> や体 <i>k</i> 上の多項式環 <i>k</i>[<i>X</i>] は主イデアル環の重要な例である。任意の環は<a href="/wiki/%E9%9B%B6%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="零イデアル">零イデアル</a> {0} と環全体 <i>R</i> を自明なイデアルとして持つ。どのような真イデアル（つまり <i>R</i> でないイデアル）にも含まれることのないイデアルを<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%A4%A7%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" title="極大イデアル">極大イデアル</a>という。<cite id="characterisaion_of_maximal_ideals">イデアル <i>m</i> が極大であるための<a href="/wiki/%E5%BF%85%E8%A6%81%E5%8D%81%E5%88%86%E6%9D%A1%E4%BB%B6" class="mw-redirect" title="必要十分条件">必要十分条件</a>は剰余環 <i>R</i>/<i>m</i> が体となることである。</cite>（<a href="/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86" title="選択公理">選択公理</a>に同値な）<a href="/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C" title="ツォルンの補題">ツォルンの補題</a>によれば、<cite id="existence_of_maximal_ideals">任意の環が少なくとも一つの極大イデアルを持つ</cite>ことが示せる。 </p><p>イデアルの定義というのは、環 <i>R</i> をイデアル <i>I</i> で「割って」別の環を作り出すためのものになっている。<a href="/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E7%92%B0" title="剰余環">剰余環</a> <i>R</i>/<i>I</i> は <i>I</i> の<a href="/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E" title="剰余類">剰余類</a>全体の成す集合に </p> <dl><dd>(<i>a</i> + <i>I</i>) + (<i>b</i> + <i>I</i>) = (<i>a</i> + <i>b</i>) + I および (<i>a</i> + <i>I</i>)(<i>b</i> + <i>I</i>) = <i>ab</i> + <i>I</i></dd></dl> <p>で演算を入れたものである。例えば整数 <i>n</i> に対する<a href="/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E%E7%92%B0" title="剰余類環">剰余環</a> <b>Z</b>/<i>n</i><b>Z</b>（<b>Z</b><sub><i>n</i></sub> と書くこともある）は <i>n</i> を法とする整数全体の成す環で、<a href="/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C%E7%AE%97%E8%A1%93" title="合同算術">合同算術</a>の基盤を成す。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="局所化環"><span id=".E5.B1.80.E6.89.80.E5.8C.96.E7.92.B0"></span>局所化環</h3></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%B1%80%E6%89%80%E5%8C%96" title="環の局所化">環の局所化</a>」を参照</div> <p>環の<b>局所化</b>は剰余環と対を成す概念で、剰余環 <i>R</i>/<i>I</i> がある種の元（もちろん <i>I</i> の元のこと）を零元にしてしまうものであるのに対し、局所化はある種の元を可逆元にするもの（つまり、乗法逆元を環に追加する操作）である。具体的には、<i>S</i> を <i>R</i> の<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E9%96%89%E9%9B%86%E5%90%88" title="積閉集合">積閉集合</a>（つまり、<i>s</i>, <i>t</i> ∈ <i>S</i> ならば <i>st</i> ∈ <i>S</i> を満たす）とするとき、<i>R</i> の <i>S</i> における<b>局所化</b> <i>S</i><sup>−1</sup><i>R</i> は、任意の <i>r</i> ∈ <i>R</i>, <i>s</i> ∈ <i>S</i> に対する記号 <sup><i>r</i></sup>⁄<sub><i>s</i></sub> から成り、これらの対象がよく知られた有理数の約分と同様の一定の規則に従うものとして定められる。実際、有理数全体の成す環 <b>Q</b> の場合、これは <b>Z</b> の非零元全体の成す積閉集合における局所化になっている。<b>Z</b> の代わりに任意の<a href="/wiki/%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="整域">整域</a>でも同じことができて、局所化環 (<i>R</i> ∖ {0})<sup>−1</sup><i>R</i> は <i>R</i> の<a href="/wiki/%E5%95%86%E4%BD%93" title="商体">商体</a>と呼ばれる。また <i>S</i> が固定した一つの元の冪全体からなる積閉集合のとき、それによる局所化を <i>R</i><sub><i>f</i></sub> とも書く。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="素イデアルと素スペクトル"><span id=".E7.B4.A0.E3.82.A4.E3.83.87.E3.82.A2.E3.83.AB.E3.81.A8.E7.B4.A0.E3.82.B9.E3.83.9A.E3.82.AF.E3.83.88.E3.83.AB"></span>素イデアルと素スペクトル</h3></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" title="素イデアル">素イデアル</a>」および「<a href="/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="環のスペクトル">環のスペクトル</a>」を参照</div> <p>特に重要な種類のイデアルとして、素イデアルがある（しばしば <i>p</i> あるいは <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">p</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9674f428dc6aedd8e0210f2e5f997fea4d4ae193" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:0.822ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {p}}}"></span> などで表す）。この概念が生じたのは、19世紀の代数学者が（'<i>Z</i> と異なり）<a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="算術の基本定理">素因数分解の一意性</a>の成り立たない環をたくさん発見したことによる（素因数分解が一意な環は<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%84%8F%E5%88%86%E8%A7%A3%E7%92%B0" title="一意分解環">一意分解環</a>と呼ばれる）。定義により、素イデアルは真のイデアルであって、環の二元 <i>a</i>, <i>b</i> の積 <i>ab</i> が <i>p</i> に属するならば必ず <i>a</i> か <i>b</i> のうちの少なくとも一方が <i>p</i> に属するという性質を持つものである（逆はイデアルの定義から任意のイデアルにおいて成り立つ）。このことは、剰余環 <i>R</i>/<i>p</i> が整域となることといっても同じである。また、<i>p</i> の<a href="/wiki/%E8%A3%9C%E9%9B%86%E5%90%88" class="mw-redirect" title="補集合">補集合</a> <i>R</i> ∖ <i>p</i> が積閉集合になることと言い換えることもできる。このとき、局所化 (<i>R</i> ∖ <i>p</i>)<sup>−1</sup><i>R</i> は独自の記法 <i>R</i><sub><i>p</i></sub> を持つ程に重要なもので、この環はただ一つの極大イデアル <i>pR</i><sub><i>p</i></sub> を持つ。このように極大イデアルが唯一であるような環は<a href="/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0" title="局所環">局所環</a>と呼ばれる。 </p><p>体は整域ゆえ、<a href="#characterisaion_of_maximal_ideals">すでに述べた</a>ように極大イデアルは素イデアルである。ある特定のイデアルが素であること(つまりその剰余環が零因子を持たないこと)を示すのは必ずしも容易ではなく、非常に難しい問題となる場合もある。 </p> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Spec_Z.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Spec_Z.png/400px-Spec_Z.png" decoding="async" width="400" height="67" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/Spec_Z.png 1.5x" data-file-width="565" data-file-height="95" /></a><figcaption><b>Z</b> のスペクトル</figcaption></figure> <p>素イデアルは、環 <i>R</i> の素イデアル全体の成す集合である<b>環のスペクトル</b> Spec <i>R</i> <sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>nb 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>を通じて、環を「幾何学的」に解釈するための鍵となる概念である。<a href="#existence_of_maximal_ideals">既に述べた</a>ように、零でない任意の環は少なくとも一つの素イデアルを持つから、スペクトルは空でない。<i>R</i> が体ならば唯一の素イデアルが零イデアルであるから、そのスペクトルも一点からなる。一方、有理整数環 <b>Z</b> のスペクトルは零イデアルに対応する一点のほかに、（素イデアル <i>p</i><b>Z</b> を生成する）各素数 <i>p</i> に対応する点を持つ。スペクトルには<a href="/wiki/%E3%82%B6%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="ザリスキー位相">ザリスキー位相</a>と呼ばれる位相が入っている。これは環の各元 <i>f</i> に対して部分集合 <i>D</i>(<i>f</i>) = {<i>p</i> ∈ <i>Spec R</i> : <i>f</i> ∉ <i>p</i>} が開となるものとして定義される位相である。この位相は<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="解析学">解析学</a>や<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="微分幾何学">微分幾何学</a>に見るような位相とは異なり、例えば一点集合が一般には閉にならなかったりする。また例えば、零イデアル 0 ⊂ <b>Z</b> に<a href="/w/index.php?title=%E7%94%9F%E6%88%90%E7%82%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="「生成点」 (存在しないページ)">対応する点</a>の<a href="/wiki/%E9%96%89%E5%8C%85_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)" title="閉包 (位相空間論)">閉包</a>は <b>Z</b> のスペクトル全体に一致する。 </p><p>スペクトルの概念は可換環論と<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="代数幾何学">代数幾何学</a>に共通する基盤である。代数幾何学は Spec <i>R</i> に<a href="/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="層 (数学)">層</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3613c93df8a9abea2c7c01f060435f690178f4b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.308ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}"></span>（実体は、局所的に、つまりさまざまな開集合上で、定義された函数の集合）を付随させることに始まる。この空間と層からなるデータを<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%83%A0" class="mw-redirect" title="アフィンスキーム">アフィンスキーム</a>と呼ぶ。アフィンスキームが与えられたとき、基礎となる環 <i>R</i> は層 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3613c93df8a9abea2c7c01f060435f690178f4b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.308ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}"></span> の<a href="/wiki/%E5%A4%A7%E5%9F%9F%E5%88%87%E6%96%AD" class="mw-redirect" title="大域切断">大域切断</a>全体の成す環として回復される。さらに言えば、こうして得られる環とアフィンスキームとの間の一対一対応は環準同型と可換になる。即ち任意の環準同型 <i>f</i>: <i>R</i> → <i>S</i> に対して矢印の向きを逆にする<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続写像</a> </p> <dl><dd>Spec <i>S</i> → Spec <i>R</i>; <i>q</i> ↦ <i>f</i><sup>−1</sup>(<i>q</i>)</dd></dl> <p>が生じる。これはつまり、<i>S</i> の任意の素イデアルは <i>f</i> による<a href="/wiki/%E5%8E%9F%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="原像">原像</a>として <i>R</i> の素イデアルに移されることを言うものである。スペクトルは局所化と剰余環の直観的な相補性を明確な形で述べるのにも役に立つ。即ち自然な写像 <i>R</i> → <i>R</i><sub><i>f</i></sub> および <i>R</i> → <i>R</i>/<i>fR</i> は（考えている環のスペクトルにザリスキー位相を入れれば）相補的な関係にあるスペクトルの<a href="/w/index.php?title=%E9%96%8B%E3%81%AF%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="「開はめ込み」 (存在しないページ)">開はめ込み</a>および<a href="/w/index.php?title=%E9%96%89%E3%81%AF%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="「閉はめ込み」 (存在しないページ)">閉はめ込み</a>に対応する。 </p><p>詰まるところ、これら二つの圏の<a href="/wiki/%E5%9C%8F%E5%90%8C%E5%80%A4" title="圏同値">同値性</a>は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非常によく反映するものである。アフィンスキームは（<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="多様体">多様体</a>が<i>R</i><sup><i>n</i></sup> の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして）<a href="/wiki/%E6%A6%82%E5%9E%8B" class="mw-redirect" title="概型">スキーム</a>の局所モデルになっている（スキームは代数幾何学の主な研究対象である）。それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="環の準同型"><span id=".E7.92.B0.E3.81.AE.E6.BA.96.E5.90.8C.E5.9E.8B"></span>環の準同型</h2></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E7%92%B0%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="環準同型">環準同型</a>」を参照</div> <p>代数学では普通のことだが、二つの対象の間の写像のなかに、今考えている対象の構造に関する<a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="準同型">準同型</a>と呼ばれるものを考えることができる。環の場合、写像 <i>f</i>: <i>R</i> → <i>S</i> は </p> <dl><dd><i>f</i>(<i>a</i> + <i>b</i>) = <i>f</i>(<i>a</i>) + <i>f</i>(<i>b</i>), <i>f</i>(<i>ab</i>) = <i>f</i>(<i>a</i>)<i>f</i>(<i>b</i>) および <i>f</i>(1) = 1</dd></dl> <p>を満たすとき<b>環準同型</b>と呼ぶ。これらの条件から <i>f</i>(0) = 0 となることは保証されるが、乗法単位元 1 を保つという仮定はほかの二つの条件からは導出されない。またこのとき、<i>S</i> の元 <i>s</i> への <i>R</i> の元 <i>r</i> による積を </p> <dl><dd><i>r</i> · <i>s</i> := <i>f</i>(<i>r</i>) · <i>s</i></dd></dl> <p>で与えるものと理解することにより、<i>S</i> は <i>R</i> 上の<a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="環上の多元環">環</a>とも呼ばれる。 </p><p>準同型 <i>f</i> の<a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="核 (代数学)">核</a>および<a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="像 (数学)">像</a>がそれぞれ ker(<i>f</i>) = {<i>r</i> ∈ <i>R</i> : <i>f</i>(<i>r</i>) = 0} および im(<i>f</i>) = <i>f</i>(<i>R</i>) = {<i>f</i>(<i>r</i>) : <i>r</i> ∈ <i>R</i>} で定義される。両者はそれぞれ <i>R</i> のイデアルおよび <i>S</i> の<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0" title="部分環">部分環</a>を成す。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="加群"><span id=".E5.8A.A0.E7.BE.A4"></span>加群</h2></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">環上の加群</a>」を参照</div> <p>可換環の外部構造は環上の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a>を考えることで決定される。つまり、<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>と同様だがその係数が必ずしも体ではない任意の可換環となることを許した構造である<a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">環上の加群</a>の理論を調べるのである。<i>R</i>-加群の理論はベクトル空間における線型代数学とは比べ物にならないほど難しい。加群の理論では、加群が基底を持たず（ベクトル空間の次元の概念の類似である）<a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「自由加群の階数」 (存在しないページ)">自由加群の階数</a>がうまく定義できないことがあるとか、有限生成加群の部分加群が必ずしも有限生成にならないことがあるなどといった困難に取り組まなければならないのである。 </p><p>環 <i>R</i> のイデアルは <i>R</i> の部分加群となるような <i>R</i>-加群として特徴づけられる。一方、<i>R</i>-加群をよく理解するには <i>R</i> についての十分な情報が必要である。しかし逆に <i>R</i> の構造を調べるための可換環論における多くの手法が、イデアルや一般に加群を調べることによるものである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ネーター環"><span id=".E3.83.8D.E3.83.BC.E3.82.BF.E3.83.BC.E7.92.B0"></span>ネーター環</h2></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%92%B0" title="ネーター環">ネーター環</a>」を参照</div> <p>環 <i>R</i> が<b>ネーター的</b>（この概念を発明した<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC" title="エミー・ネーター">エミー・ネーター</a>に因む）であるとは、任意の<a href="/wiki/%E6%98%87%E9%8E%96%E6%9D%A1%E4%BB%B6" title="昇鎖条件">イデアルの昇鎖</a> </p> <dl><dd>0 ⊆ <i>I</i><sub>0</sub> ⊆ <i>I</i><sub>1</sub> ⊆ … ⊆ <i>I</i><sub><i>n</i></sub> ⊆ <i>I</i><sub><i>n</i> + 1</sub> ⊆ …</dd></dl> <p>が安定、すなわちある番号 <i>n</i> 以降は一定となることをいう。これは <i>R</i> の任意のイデアルが有限生成であると言っても同じであるし、<i>R</i> 上有限生成な加群の任意の<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%8A%A0%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="部分加群">部分加群</a>がまた有限生成になると言っても同じである。同様に、環が<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%92%B0" title="アルティン環">アルティン的</a>であるとは、任意のイデアルの降鎖 </p> <dl><dd><i>R</i> ⊇ <i>I</i><sub>0</sub> ⊇ <i>I</i><sub>1</sub> ⊇ … ⊇ <i>I</i><sub><i>n</i></sub> ⊇ <i>I</i><sub><i>n</i> + 1</sub> ⊇ …</dd></dl> <p>がどこかで安定となることを言う。上記二つの条件は対称的なものに見えるにもかかわらず、ネーター環のほうがアルティン環よりも大いに一般の環となる。例えば有理整数環 <b>Z</b> はすべてのイデアルが単項生成ゆえにネーターだが、安定しない無限降鎖として例えば </p> <dl><dd><b>Z</b> ⊋ 2<b>Z</b> ⊋ 4<b>Z</b> ⊋ 8<b>Z</b> ⊋ …</dd></dl> <p>が取れるからアルティンではない。実は<a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%97%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%84%E3%82%AD%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ホプキンス・レヴィツキの定理">ホプキンス・レヴィツキの定理</a>により任意のアルティン環はネーターになる。 </p><p>環がネーター的であるというのは極めて重要な有限性条件であり、この条件は代数幾何学で頻繁に生じる多くの操作のもとで保たれる。例えば、<i>R</i> がネーター環ならば、その上の多項式環 <span class="nowrap"><i>R</i>[<i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub>, …, <i>X</i><sub><i>n</i></sub>]</span> もそう（<a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E5%9F%BA%E5%BA%95%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="ヒルベルトの基底定理">ヒルベルトの基底定理</a>、<a href="/wiki/%E3%83%89%E3%82%A4%E3%83%84%E8%AA%9E" title="ドイツ語">独</a>: <span lang="de"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Basissatz" class="extiw" title="de:Hilbertscher Basissatz">Hilbertscher Basissatz</a></span>、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_basis_theorem" class="extiw" title="en:Hilbert's basis theorem">Hilbert's basis theorem</a></span>）であり、また任意の局所化 <i>S</i><sup>−1</sup><i>R</i> や剰余環 <i>R</i>/<i>I</i> もそうである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="環の次元"><span id=".E7.92.B0.E3.81.AE.E6.AC.A1.E5.85.83"></span>環の次元</h2></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%AB%E6%AC%A1%E5%85%83" title="クルル次元">クルル次元</a>」を参照</div> <p>環 <i>R</i> の<b>クルル次元</b>あるいは単に次元 dim <i>R</i> は、環のある種の大きさを測る概念で、かなり大雑把にいえば <i>R</i> が持つ独立な元を数えるものである。具体的には、素イデアルの成す昇鎖列 </p> <dl><dd>0 ⊆ <i>p</i><sub>0</sub> ⊆ <i>p</i><sub>1</sub> ⊆ … ⊆ <i>p</i><sub><i>n</i></sub>.</dd></dl> <p>の長さ <i>n</i> の上限として定義される。例えば、体の素イデアルは零イデアルのみであるから、体は零次元である。可換環がアルティン環となるための必要十分条件として、それがネーターかつ零次元（即ち任意の素イデアルが極大イデアル）であることというのが知られている。有理整数環 <b>Z</b> は、任意のイデアルが主イデアルゆえ、素イデアルの任意の昇鎖は素数 <i>p</i> に対する </p> <dl><dd>0 = <i>p</i><sub>0</sub> ⊆ <i>p</i><b>Z</b> = <i>p</i><sub>1</sub></dd></dl> <p>の形となるので、一次元である。 </p><p>次元の概念は、考えている環がネーターならばよく振る舞う。例えばその場合、成り立ってほしい等式 </p> <dl><dd>dim <i>R</i>[<i>X</i>] = dim <i>R</i> + 1</dd></dl> <p>が実際に成立する（一般の場合には dim <i>R</i> + 1 ≤ dim <i>R</i>[<i>X</i>] ≤ 2 dim <i>R</i> + 1 が成り立つことしか言えない）。さらに言えば、次元は一つの極大鎖のみによって決まるから、<i>R</i> の次元は勝手な素イデアル <i>p</i> における局所化 <i>R</i><sub><i>p</i></sub> の次元の<a href="/wiki/%E4%B8%8A%E9%99%90_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="上限 (数学)">上限</a>に一致する。直観的には、<i>R</i> の次元は <i>R</i> のスペクトルの局所的性質であって、局所環だけに限って次元を定義することもしばしばである。これは一般のネーター環では、その任意の局所化が有限次元であるにもかかわらず、環自身は無限次元となることがあるというようなことにもよる。 </p><p>体 <i>k</i> と <i>n</i>-変数多項式 <i>f</i><sub><i>i</i></sub> に対して、環 </p> <dl><dd><i>k</i>[<i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub>, …, <i>X</i><sub><i>n</i></sub>] / (<i>f</i><sub>1</sub>, <i>f</i><sub>2</sub>, …, <i>f</i><sub><i>m</i></sub>)</dd></dl> <p>の次元を計算することは一般に容易でない。<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%BB%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="クルルの主イデアル定理">クルルの主イデアル定理</a>により、ネーター環 <i>R</i> に対して、<i>I</i> が <i>n</i> 個の元で生成されるときの <i>R</i>/<i>I</i> の次元は dim <i>R</i> − <i>n</i> 以上である。次元が可能な限り落ちる場合（つまり dim(<i>R</i>/<i>I</i>) = dim <i>R</i> − <i>n</i> となるとき）の剰余環 <i>R</i>/<i>I</i> は<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E4%BA%A4%E5%8F%89%E7%92%B0" title="完全交叉環">完全交叉</a>であるという。 </p><p>唯一の極大イデアル <i>m</i> を持つ局所環 <i>R</i> が<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0" title="正則局所環">正則</a>であるとは、<i>R</i> のクルル次元が余接空間 <i>m</i> / <i>m</i><sup>2</sup> の（体 <i>R</i>/<i>m</i> 上のベクトル空間としての）次元と一致するときに言う。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="可換環の構成"><span id=".E5.8F.AF.E6.8F.9B.E7.92.B0.E3.81.AE.E6.A7.8B.E6.88.90"></span>可換環の構成</h2></div> <p>与えられた環から別の環を作り出す操作がいくつか存在する。そういった構成の多くは、環に特定の性質を備えさせることで理解をより容易にする目的で行われる。例えば、整域がその商体の中で<a href="/wiki/%E6%95%B4%E9%96%89" class="mw-redirect" title="整閉">整閉</a>であるとき、<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="正規環">正規</a>であるといい、これは例えば一次元正規環は必ず<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0" title="正則局所環">正則局所環</a>であるなどの、望ましい性質を持っている。環が正規性を持つようにすることを「正規化」などと呼ぶ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="完備化"><span id=".E5.AE.8C.E5.82.99.E5.8C.96"></span>完備化</h3></div> <p><i>I</i> が可換環 <i>R</i> のイデアルのとき、<i>I</i> の冪が零元 0 の<a href="/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)" title="近傍 (位相空間論)">近傍系</a>を成すものとして、<i>R</i> を<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%92%B0" title="位相環">位相環</a>と見做すことができる。このときの位相を<a href="/w/index.php?title=I%E9%80%B2%E4%BD%8D%E7%9B%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「I進位相」 (存在しないページ)"> <i>I</i>-進位相</a>といい、<i>R</i> をこの位相に関して完備化することができる。厳密に言えば、<i>I</i>-進完備化とは剰余環 <i>R</i>/<i>I</i><sup><i>n</i></sup> の成す逆系の<a href="/wiki/%E9%80%86%E6%A5%B5%E9%99%90" class="mw-redirect" title="逆極限">逆極限</a>をいう。例えば、<i>k</i> を体として、<i>k</i> 上の一変数<a href="/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="形式冪級数">形式冪級数</a>環 <i>k</i>[[<i>X</i>]] は、多項式環 <i>k</i>[<i>X</i>] の <i>X</i> が生成する主イデアル <i>I</i> による <i>I</i>-進完備化である。同様に、<i>p</i>-進整数環 <b>Z</b><sub><i>p</i></sub> は有理整数環 <b>Z</b> の素数 <i>p</i> が生成する主イデアル <i>I</i> による <i>I</i>-進完備化である。自身の完備化と同型であるような任意の環は、<a href="/w/index.php?title=%E5%AE%8C%E5%82%99%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「完備環」 (存在しないページ)">完備環</a>と呼ばれる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2></div> <p><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ウェダーバーンの小定理">ウェダーバーンの小定理</a>により、任意の有限<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E9%99%A4%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="可除環">可除環</a>は可換、従って<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93" title="有限体">有限体</a>を成す。環の可換性を保証する別な条件として、<a href="/w/index.php?title=%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B3%E3%83%96%E3%82%BD%E3%83%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ネイサン・ジャコブソン」 (存在しないページ)">ジャコブソン</a>による条件「<i>R</i> の任意の元 <i>r</i> に対して適当な自然数 <span class="nowrap"><i>n</i> > 1</span> が存在して <span class="nowrap"><i>r</i><sup><i>n</i></sup> = <i>r</i></span> を満たすこと」というものがある<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。任意の <i>r</i> に対して <i>r</i><sup>2</sup> = <i>r</i> であるような環は<a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="ブール環">ブール環</a>と呼ばれる。環の可換性を保証する、より一般の条件も知られている<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2></div> <ul><li><a href="/wiki/%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%92%B0" title="次数付き環">次数付き環</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="クラスター代数">クラスター代数</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h2></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">この概念は<a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「線型作用素のスペクトル」 (存在しないページ)">線型作用素のスペクトル</a>とも関係がある。<a href="/w/index.php?title=C*-%E7%92%B0%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「C*-環のスペクトル」 (存在しないページ)">C*-環のスペクトル</a>または<a href="/w/index.php?title=%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E8%A1%A8%E7%8F%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ゲルファント表現」 (存在しないページ)">ゲルファント表現</a>の項も参照。</span> </li> </ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><cite class="inline">Jacobson <a href="#CITEREFJacobson1945">1945</a></cite></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><cite class="inline">Pinter-Lucke <a href="#CITEREFPinter-Lucke2007">2007</a></cite></span> </li> </ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFAtiyahMacdonald1969"><a href="/wiki/Michael_Atiyah" class="mw-redirect" title="Michael Atiyah">Atiyah, Michael</a>; <a href="/w/index.php?title=Ian_G._Macdonald&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Ian G. Macdonald」 (存在しないページ)">Macdonald, I. G.</a> (1969), <i>Introduction to commutative algebra</i>, Addison-Wesley Publishing Co.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+commutative+algebra&rft.aulast=Atiyah&rft.aufirst=Michael&rft.au=Atiyah%2C%26%2332%3BMichael&rft.au=Macdonald%2C%26%2332%3BI.+G.&rft.date=1969&rft.pub=Addison-Wesley+Publishing+Co.&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFBalcerzykJózefiak1989">Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), <i>Commutative Noetherian and Krull rings</i>, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-13-155615-7" title="特別:文献資料/978-0-13-155615-7">978-0-13-155615-7</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Commutative+Noetherian+and+Krull+rings&rft.aulast=Balcerzyk&rft.aufirst=Stanis%C5%82aw&rft.au=Balcerzyk%2C%26%2332%3BStanis%C5%82aw&rft.au=J%C3%B3zefiak%2C%26%2332%3BTadeusz&rft.date=1989&rft.series=Ellis+Horwood+Series%3A+Mathematics+and+its+Applications&rft.place=Chichester&rft.pub=Ellis+Horwood+Ltd.&rft.isbn=978-0-13-155615-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFBalcerzykJózefiak1989">Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), <i>Dimension, multiplicity and homological methods</i>, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-13-155623-2" title="特別:文献資料/978-0-13-155623-2">978-0-13-155623-2</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dimension%2C+multiplicity+and+homological+methods&rft.aulast=Balcerzyk&rft.aufirst=Stanis%C5%82aw&rft.au=Balcerzyk%2C%26%2332%3BStanis%C5%82aw&rft.au=J%C3%B3zefiak%2C%26%2332%3BTadeusz&rft.date=1989&rft.series=Ellis+Horwood+Series%3A+Mathematics+and+its+Applications.&rft.place=Chichester&rft.pub=Ellis+Horwood+Ltd.&rft.isbn=978-0-13-155623-2&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFEisenbud1995"><a href="/w/index.php?title=David_Eisenbud&action=edit&redlink=1" class="new" title="「David Eisenbud」 (存在しないページ)">Eisenbud, David</a> (1995), <i>Commutative algebra. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Commutative+algebra.+With+a+view+toward+algebraic+geometry.&rft.aulast=Eisenbud&rft.aufirst=David&rft.au=Eisenbud%2C%26%2332%3BDavid&rft.date=1995&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.volume=150&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=%5B%5BSpringer-Verlag%5D%5D&rft.mr=1322960&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFJacobson1945"><a href="/w/index.php?title=Nathan_Jacobson&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Nathan Jacobson」 (存在しないページ)">Jacobson, Nathan</a> (1945), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jstor.org/stable/1969205">“Structure theory of algebraic algebras of bounded degree”</a>, <i><a href="/wiki/Annals_of_Mathematics" title="Annals of Mathematics">Annals of Mathematics</a></i> <b>46</b> (4): 695–707, <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F1969205">10.2307/1969205</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://search.worldcat.org/ja/search?fq=x0:jrnl&q=n2:0003-486X">0003-486X</a>, <a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstor.org/stable/1969205">1969205</a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://jstor.org/stable/1969205">https://jstor.org/stable/1969205</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Structure+theory+of+algebraic+algebras+of+bounded+degree&rft.jtitle=%5B%5BAnnals+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=Jacobson&rft.aufirst=Nathan&rft.au=Jacobson%2C%26%2332%3BNathan&rft.date=1945&rft.volume=46&rft.issue=4&rft.pages=695%E2%80%93707&rft_id=info:doi/10.2307%2F1969205&rft.issn=0003-486X&rft.jstor=1969205&rft_id=https%3A%2F%2Fjstor.org%2Fstable%2F1969205&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFKaplansky1974"><a href="/w/index.php?title=Irving_Kaplansky&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Irving Kaplansky」 (存在しないページ)">Kaplansky, Irving</a> (1974), <i>Commutative rings</i> (Revised ed.), <a href="/wiki/University_of_Chicago_Press" class="mw-redirect" title="University of Chicago Press">University of Chicago Press</a>, <a href="/wiki/MathSciNet" title="MathSciNet">MR</a><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0345945">0345945</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Commutative+rings&rft.aulast=Kaplansky&rft.aufirst=Irving&rft.au=Kaplansky%2C%26%2332%3BIrving&rft.date=1974&rft.edition=Revised&rft.pub=%5B%5BUniversity+of+Chicago+Press%5D%5D&rft.mr=0345945&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFMatsumura1989">Matsumura, Hideyuki (1989), <i>Commutative Ring Theory</i>, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" class="mw-redirect" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-521-36764-6" title="特別:文献資料/978-0-521-36764-6">978-0-521-36764-6</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Commutative+Ring+Theory&rft.aulast=Matsumura&rft.aufirst=Hideyuki&rft.au=Matsumura%2C%26%2332%3BHideyuki&rft.date=1989&rft.series=Cambridge+Studies+in+Advanced+Mathematics&rft.edition=2nd&rft.pub=%5B%5BCambridge+University+Press%5D%5D&rft.isbn=978-0-521-36764-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFNagata1962"><a href="/wiki/Masayoshi_Nagata" class="mw-redirect" title="Masayoshi Nagata">Nagata, Masayoshi</a> (1962), <i>Local rings</i>, Interscience Tracts in 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Local+rings&rft.aulast=Nagata&rft.aufirst=Masayoshi&rft.au=Nagata%2C%26%2332%3BMasayoshi&rft.date=1962&rft.series=Interscience+Tracts+in+Pure+and+Applied+Mathematics&rft.volume=13&rft.pages=pp.%26nbsp%3Bxiii%2B234&rft.pub=Interscience+Publishers&rft.mr=0155856&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFPinter-Lucke2007">Pinter-Lucke, James (2007), “Commutativity conditions for rings: 1950–2005”, <i>Expositiones Mathematicae</i> <b>25</b> (2): 165–174, <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016%2Fj.exmath.2006.07.001">10.1016/j.exmath.2006.07.001</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://search.worldcat.org/ja/search?fq=x0:jrnl&q=n2:0723-0869">0723-0869</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Commutativity+conditions+for+rings%3A+1950%E2%80%932005&rft.jtitle=Expositiones+Mathematicae&rft.aulast=Pinter-Lucke&rft.aufirst=James&rft.au=Pinter-Lucke%2C%26%2332%3BJames&rft.date=2007&rft.volume=25&rft.issue=2&rft.pages=165%E2%80%93174&rft_id=info:doi/10.1016%2Fj.exmath.2006.07.001&rft.issn=0723-0869&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFZariskiSamuel1958-60"><a href="/wiki/Oscar_Zariski" class="mw-redirect" title="Oscar Zariski">Zariski, Oscar</a>; <a href="/w/index.php?title=Pierre_Samuel&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Pierre Samuel」 (存在しないページ)">Samuel, Pierre</a> (1958-60), <i>Commutative Algebra I, II</i>, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Commutative+Algebra+I%2C+II&rft.aulast=Zariski&rft.aufirst=Oscar&rft.au=Zariski%2C%26%2332%3BOscar&rft.au=Samuel%2C%26%2332%3BPierre&rft.date=1958-60&rft.series=University+series+in+Higher+Mathematics&rft.place=Princeton%2C+N.J.&rft.pub=D.+van+Nostrand%2C++Inc.&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span> <i>(Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)</i></li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q858656#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div id="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q858656#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="font-size:110%;margin:0 4em"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a> <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q858656#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" 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rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13163192g">フランス</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb13163192g">BnF data</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4164825-0">ドイツ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007545498905171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85029269">アメリカ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00564708">日本</a></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/029681073">IdRef</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=可換環&oldid=99204315">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=可換環&oldid=99204315</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0%E8%AB%96" 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