解析力学 - Wikipedia

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class="vector-toc-numb">2</span> <span>方程式の一般座標化と共変性</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-方程式の一般座標化と共変性-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>方程式の一般座標化と共変性サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-方程式の一般座標化と共変性-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性</span> </div> </a> <ul id="toc-オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-参考文献-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>参考文献サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-洋書" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#洋書"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>洋書</span> </div> </a> <ul id="toc-洋書-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-和書" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#和書"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>和書</span> </div> </a> <ul id="toc-和書-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">解析力学</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語37件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-37" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">37の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Analitiese_meganika" title="アフリカーンス語: Analitiese meganika" lang="af" hreflang="af" data-title="Analitiese meganika" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="アフリカーンス語" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7_%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="アラビア語: ميكانيكا تحليلية" lang="ar" hreflang="ar" data-title="ميكانيكا تحليلية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_anal%C3%ADtica" title="アストゥリアス語: Mecánica analítica" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Mecánica analítica" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8D%D0%B0%D1%80%D1%8D%D1%82%D1%8B%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0" title="ベラルーシ語: Тэарэтычная механіка" lang="be" hreflang="be" data-title="Тэарэтычная механіка" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="ブルガリア語: Теоретична механика" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Теоретична механика" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%B7%E0%A6%A3%E0%A6%BE%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%AE%E0%A6%95_%E0%A6%AC%E0%A6%B2%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%9C%E0%A7%8D%E0%A6%9E%E0%A6%BE%E0%A6%A8" title="ベンガル語: বিশ্লেষণাত্মক বলবিজ্ঞান" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বিশ্লেষণাত্মক বলবিজ্ঞান" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A0nica_anal%C3%ADtica" title="カタロニア語: Mecànica analítica" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Mecànica analítica" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Teoretick%C3%A1_mechanika" title="チェコ語: Teoretická mechanika" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Teoretická mechanika" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%BB%C4%95_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="チュヴァシ語: Теориллĕ механика" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Теориллĕ механика" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="チュヴァシ語" 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href="https://it.wikipedia.org/wiki/Meccanica_razionale" title="イタリア語: Meccanica razionale" lang="it" hreflang="it" data-title="Meccanica razionale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F%D0%BB%D1%8B%D2%9B_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="カザフ語: Теориялық механика" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Теориялық механика" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%84%EC%84%9D_%EC%97%AD%ED%95%99" title="韓国語: 분석 역학" lang="ko" hreflang="ko" data-title="분석 역학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" 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title="速さ">速さ</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">質量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="加速度">加速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B" title="重力">重力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%9B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="力 (物理学)">力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%AB%E3%82%AF" title="トルク">トルク</a> / <a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="モーメント">モーメント</a> / <a href="/wiki/%E5%81%B6%E5%8A%9B" title="偶力">偶力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="運動量">運動量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7" title="慣性">慣性</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="慣性モーメント">慣性モーメント</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%BA%96%E7%B3%BB" title="基準系">基準系</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="エネルギー">エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="運動エネルギー">運動エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="位置エネルギー">位置エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="仕事 (物理学)">仕事</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BB%AE%E6%83%B3%E4%BB%95%E4%BA%8B" class="mw-redirect" title="仮想仕事">仮想仕事</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86" title="ダランベールの原理">ダランベールの原理</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">主要項目 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E5%89%9B%E4%BD%93" title="剛体">剛体</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="運動 (物理学)">運動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン力学</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B" title="万有引力">万有引力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="運動方程式">運動方程式</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E7%B3%BB" title="慣性系">慣性系</a> ·</span> <span class="nowrap"> 非慣性系 ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="回転座標系">回転座標系</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E5%8A%9B" title="慣性力">慣性力</a> ·</span> <span class="nowrap"> 平面粒子運動力学 ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%A4%89%E4%BD%8D" title="変位">変位</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="相対速度">相対速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%91%A9%E6%93%A6" title="摩擦">摩擦</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8D%98%E6%8C%AF%E5%8B%95" title="単振動">単振動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%8C%AF%E5%8B%95%E5%AD%90" title="調和振動子">調和振動子</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E7%9F%AD%E5%91%A8%E6%9C%9F%E6%8C%AF%E5%8B%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「短周期振動」 (存在しないページ)">短周期振動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%B8%9B%E8%A1%B0" title="減衰">減衰</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E6%B8%9B%E8%A1%B0%E6%AF%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="「減衰比」 (存在しないページ)">減衰比</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%87%AA%E8%BB%A2" title="自転">自転</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2" title="回転">回転</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%86%86%E9%81%8B%E5%8B%95" title="円運動">円運動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E9%9D%9E%E7%AD%89%E9%80%9F%E5%86%86%E9%81%8B%E5%8B%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「非等速円運動」 (存在しないページ)">非等速円運動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%90%91%E5%BF%83%E5%8A%9B" title="向心力">向心力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%A0%E5%BF%83%E5%8A%9B" title="遠心力">遠心力</a> ·</span> <span class="nowrap"> 遠心力 (<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="回転座標系">回転座標系</a>) ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8D%E5%BF%9C%E9%81%A0%E5%BF%83%E5%8A%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「反応遠心力」 (存在しないページ)">反応遠心力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AA%E3%82%AA%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%8A%9B" title="コリオリの力">コリオリの力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%8C%AF%E3%82%8A%E5%AD%90" title="振り子">振り子</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="回転速度">回転速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角加速度">角加速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角速度">角速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0" title="角周波数">角周波数</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E5%81%8F%E4%BD%8D%E8%A7%92%E5%BA%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「偏位角度」 (存在しないページ)">偏位角度</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">科学者 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3" title="アイザック・ニュートン">ニュートン</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC" title="ヨハネス・ケプラー">ケプラー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AC%E3%83%9F%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%AD%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="エレミア・ホロックス">ホロックス</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">オイラー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB" title="ジャン・ル・ロン・ダランベール">ダランベール</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AD%E3%83%BC" title="アレクシス・クレロー">クレロー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5" title="ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ">ラグランジュ</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9" title="ピエール＝シモン・ラプラス">ラプラス</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3" title="ウィリアム・ローワン・ハミルトン">ハミルトン</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A1%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8B%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3" title="シメオン・ドニ・ポアソン">ポアソン</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr style="text-align: center;"> <td><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" -\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-slash dd:after,.mw-parser-output .hlist-slash li:after{content:" /\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child:before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child:after,.mw-parser-output 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href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:古典力学」 (存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div> </td></tr></tbody></table> <p><b>解析力学</b>（かいせきりきがく、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">analytical mechanics</span>）とは、一般座標系に対して成り立つ運動方程式を導出して展開される力学体系を言う。その運動方程式は<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="ラグランジアン">ラグランジアン</a>や<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%8B%E3%82%A2%E3%83%B3" title="ハミルトニアン">ハミルトニアン</a>と呼ばれる座標変換に対して不変な量に<a href="/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86%E6%B3%95" title="変分法">変分法</a>と<a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BD%9C%E7%94%A8%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86" title="最小作用の原理">最小作用の原理</a>等を適用することで導出される<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>注 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>解析力学で用いられる座標変換不変量はふつう相対運動に対しては不変ではないため、座標変換することで運動エネルギーの測定量が変化してしまうような問題は基本的に扱うことができない。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要"><span id=".E6.A6.82.E8.A6.81"></span>概要</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>力学の理論は大別して静力学（statics）と動力学（dynamics）からなる。古代より研究されてきた静力学は力の釣り合いの理論であり、力の釣り合いとは、ある力が及ぼす作用に対して別の力が存在し、それらが相殺した結果として生じるものである。静力学の目的は、それら相殺が発生する諸法則を一般的な諸原理に基づいて確立することにあり、それら原理は結局のところ梃子の原理（principle of leverage）、力の合成の原理（principle of composition of forces）、仮想仕事の原理（principle of virtual work）の三つの原理に帰着させることができる<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。現代的には、仮想仕事の原理は次のように表される<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>注 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}\delta x_{i}+Y_{i}\delta y_{i}+Z_{i}\delta z_{i})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>δ</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>δ</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}\delta x_{i}+Y_{i}\delta y_{i}+Z_{i}\delta z_{i})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571d542ff7e32910e80a0a80713ebfb32b83a9f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:31.462ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}\delta x_{i}+Y_{i}\delta y_{i}+Z_{i}\delta z_{i})=0}"></span></dd></dl> <p>一方で動力学は、<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%82%A4" title="ガリレオ・ガリレイ">ガリレオ・ガリレイ</a>によって最初の基礎が据えられ<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、その運動法則を導き出す諸定理は<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3" title="アイザック・ニュートン">アイザック・ニュートン</a>の『<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%93%B2%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E8%AB%B8%E5%8E%9F%E7%90%86" title="自然哲学の数学的諸原理">自然哲学の数学的諸原理</a>』（Philosophia Naturalis Principia Mathematica）によって一応の解明がなされた。このとき、ニュートン及び<a href="/wiki/%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84" title="ゴットフリート・ライプニッツ">ライプニッツ</a>は微分積分法を同時に開発したため、物体の運動の法則というものを解析的な方程式に帰着させることができるようになった。そのため、ニュートン以後に力学を扱った数学者たちは、ニュートンの諸定理を一般化した上でそれらを微分的表現に翻訳するようになった<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。特に、<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">レオンハルト・オイラー</a>は、運動方程式に初めて解析的な表現を与え、さらに定義と論証の連結によって次々に命題を導出する合理的科学として力学体系を提示しようとした<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>このような中で、<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB" title="ジャン・ル・ロン・ダランベール">ジャン・ル・ロン・ダランベール</a>は、1743年に出版した『動力学概論』（Traité de Dynamique）において、動力学の問題を解くか少なくとも方程式に表すため、物体の運動の法則を釣り合いの法則に帰着させる方法を提案した<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。これは、つまり動力学を静力学に還元する試みだった（<a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86" title="ダランベールの原理">ダランベールの原理</a>）。ここで、ダランベールの原理は現代的には次のように表される<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>注 3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\{\left(F_{x_{i}}-m_{i}{\ddot {x_{i}}}\right)\delta x_{i}+\left(F_{y_{i}}-m_{i}{\ddot {y_{i}}}\right)\delta y_{i}+\left(F_{z_{i}}-m_{i}{\ddot {z_{i}}}\right)\delta z_{i}\right\}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\{\left(F_{x_{i}}-m_{i}{\ddot {x_{i}}}\right)\delta x_{i}+\left(F_{y_{i}}-m_{i}{\ddot {y_{i}}}\right)\delta y_{i}+\left(F_{z_{i}}-m_{i}{\ddot {z_{i}}}\right)\delta z_{i}\right\}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed8702705dd8db4ae27b185f88c6723f795cd31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:64.955ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\{\left(F_{x_{i}}-m_{i}{\ddot {x_{i}}}\right)\delta x_{i}+\left(F_{y_{i}}-m_{i}{\ddot {y_{i}}}\right)\delta y_{i}+\left(F_{z_{i}}-m_{i}{\ddot {z_{i}}}\right)\delta z_{i}\right\}=0}"></span></dd></dl> <p>数学者、天文学者であった<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5" title="ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ">ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ</a>は、1788年に出版した『解析力学』（Mécanique Analytique）において、それまでの静力学及び動力学の歴史を総括した上で、静力学全体がただ一つの基本公式に帰着させることができたのと同様に、動力学全体も一つの一般公式に帰着させることが可能であるとして、『諸物体の運動に関わる諸問題を論ずるための、簡単でもあり、一般的でもある、一つの方法』を導入した<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>が、これが解析力学の始まりである。ラグランジュの言わんとしたことは、上記ダランベールの原理の表式はラグランジアン L というものを導入することで次のように書き換えることができるというものであった。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\{\left({\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial L}{\partial y_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y_{i}}}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial L}{\partial z_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z_{i}}}}}\right)\delta z_{i}\right\}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\{\left({\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial L}{\partial y_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y_{i}}}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial L}{\partial z_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z_{i}}}}}\right)\delta z_{i}\right\}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a3e8627401328825a6c5d6e49e2404fa03027d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:79.939ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\{\left({\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial L}{\partial y_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y_{i}}}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial L}{\partial z_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z_{i}}}}}\right)\delta z_{i}\right\}=0}"></span></dd></dl> <p>これはつまり、ラグランジアンから一元的に運動方程式を導出する方法で、<b>一部の</b>力学の問題について計算を簡単にする方法だった<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>注 4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p><a href="/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%85%89%E5%AD%A6" title="幾何光学">幾何光学</a>における<a href="/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86%E5%8E%9F%E7%90%86" title="変分原理">変分原理</a>である<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86" title="フェルマーの原理">フェルマーの原理</a>からの<a href="/wiki/%E9%A1%9E%E6%8E%A8" title="類推">類推</a>で、<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="古典力学">古典力学</a>において<a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BD%9C%E7%94%A8%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86" title="最小作用の原理">最小作用の原理</a>（モーペルテューイの原理）が発見された。これにより、力学系の問題は、<b><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="作用積分">作用積分</a></b>とよばれる量を最小にするような<a href="/wiki/%E8%BB%8C%E9%81%93_(%E5%8A%9B%E5%AD%A6)" title="軌道 (力学)">軌道</a>をもとめる数学の問題になった。 </p><p>こうして<a href="/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99" title="座標">座標</a>が<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E5%BA%A7%E6%A8%99" class="mw-redirect" title="一般化座標">一般座標</a>に拡張され、<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ラグランジュ力学">ラグランジュ方程式</a>が導き出された<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>注 5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。さらに、ラグランジアンから<b>一般運動量</b>を定義し、座標と<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="運動量">運動量</a>の<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ルジャンドル変換">ルジャンドル変換</a>によって、<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ハミルトン力学">ハミルトン力学</a>が導かれた<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>注 6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>注 7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="方程式の一般座標化と共変性"><span id=".E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F.E3.81.AE.E4.B8.80.E8.88.AC.E5.BA.A7.E6.A8.99.E5.8C.96.E3.81.A8.E5.85.B1.E5.A4.89.E6.80.A7"></span>方程式の一般座標化と共変性</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=2" title="節を編集: 方程式の一般座標化と共変性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>直角座標系 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y}"></span> において、質点の質量を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span>、ポテンシャル関数を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b75fe0337e5b345c13f913c0f40439b00480921" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(x,y)}"></span> とすると、運動方程式は、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f29905aaf164cbf0c70f8757713ddb2a463ecbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.865ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cae45fdf5012f165710b3ea1ac763360488b13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.191ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}}"></span></dd></dl> <p>と書くことができる。これはニュートンの運動方程式をそのまま表しているため見やすく、また座標系を回転してもその式の形状を変えないという性質（共変性；covariant）を持つが、直角座標系が常に便利というわけではない。例えば中心力場における運動の解析では極座標系の方が適しており、また場合によっては運動座標系で考えなくてはならないときもある。このような新しい座標変数は総称として<b>一般化座標</b>（generalized coordinates）と呼ぶ<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>一般座標系を用いる場合、直角座標系のニュートンの運動方程式から一般座標系の運動方程式への変換などが要求されることになる。しかし、<b>ニュートンの運動方程式はこのような一般座標系への変換に対しては一般に共変的ではない</b>ため、式の形が変わってしまう。 </p><p>例として、ポテンシャル <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(r)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(r)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114fdc48547ee60d02d7a2f4765d52a6ee3507d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.645ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(r)}"></span> で表される中心力場における質量 m の質点の運動を考える。運動は初期位置と初期運動量が決定する平面上で行われることになる。その平面上の直角座標系を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y}"></span>、極座標を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(={\sqrt {x^{2}+y^{2}}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(={\sqrt {x^{2}+y^{2}}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05276c8d4a44e251cdaac1ff044bdac26973837c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:15.074ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle r(={\sqrt {x^{2}+y^{2}}})}"></span>、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta (=\arctan({\frac {y}{x}}))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>y</mi> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta (=\arctan({\frac {y}{x}}))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a5b5747113dde9a8ee1aaa3a3446f2f1cb13a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.794ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \theta (=\arctan({\frac {y}{x}}))}"></span> とする。このとき、極座標系の運動方程式は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l=mr^{2}{\dot {\theta }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l=mr^{2}{\dot {\theta }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6443aa668201720736bd2b74c93e5e2707cd4075" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.291ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle l=mr^{2}{\dot {\theta }}}"></span> とすると </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\ddot {r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left(V+{\frac {l^{2}}{2mr^{2}}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left(V+{\frac {l^{2}}{2mr^{2}}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab72d045217fb254e3a9e49adc8b823e1ab88cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.019ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left(V+{\frac {l^{2}}{2mr^{2}}}\right)}"></span>、</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {l}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {l}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54493fef7c7951e841ede47ee7fcf298ce017ba8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.617ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {l}}=0}"></span></dd></dl> <p>となる。これは直角座標系におけるニュートンの運動方程式の形とは形式的に全く異なる（共変性を持たない）。 </p><p>このニュートンの運動方程式の一般座標変換に対して共変性を持たないという欠点が解析力学の出発点である。つまり解析力学は一般座標について式の形を変えない運動方程式の表現をもたらすことになるが、その要求を満たすものの一つが<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="オイラー＝ラグランジュ方程式">オイラー＝ラグランジュ方程式</a>である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性"><span id=".E3.82.AA.E3.82.A4.E3.83.A9.E3.83.BC.EF.BC.9D.E3.83.A9.E3.82.B0.E3.83.A9.E3.83.B3.E3.82.B8.E3.83.A5.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F.E3.81.AE.E5.85.B1.E5.A4.89.E6.80.A7"></span>オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=3" title="節を編集: オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>簡単のために、前節に引き続き2次元平面上で考える。適当な一般化座標を <span lang="en" class="texhtml"><i>q</i><sub>1</sub>, <i>q</i><sub>2</sub></span> として、直角座標 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i>, <i>y</i></span> を一般化座標で </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x(q_{1},q_{2})\\y&=y(q_{1},q_{2})\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x(q_{1},q_{2})\\y&=y(q_{1},q_{2})\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938749cd3a926bb6f3f5b1bb381efcab7ce87efc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.535ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x(q_{1},q_{2})\\y&=y(q_{1},q_{2})\end{aligned}}}"></span> </p><p>とおく (ここでは時間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> に陽には依存しないものとする)。両辺を時間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> で微分すると次の式を得る： </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0678e2e051579df8bbc7ce3669204c7382ca43f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.269ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2},}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43585212016345b708bb7cc1544dc12d8f39a59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.595ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}}"></span> </p><p>従って <span lang="en" class="texhtml"><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i>x</i></span></span></span>, <span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i>y</i></span></span></span></span> に対して <span lang="en" class="texhtml"><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i>q</i></span></span></span><sub>1</sub>, <span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i>q</i></span></span></span><sub>2</sub></span> は線形であり、次の式が成り立つ： </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial x}{\partial q_{i}}},\;\;{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\;\;\;(i=1,2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial x}{\partial q_{i}}},\;\;{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\;\;\;(i=1,2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc099b877c5b211a0c62bcbfdaf64402781faa71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.17ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial x}{\partial q_{i}}},\;\;{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\;\;\;(i=1,2)}"></span> </p><p>ラグランジアン <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">L</span> に対して、直角座標 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i>, <i>y</i></span> での<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="オイラー＝ラグランジュ方程式">オイラー＝ラグランジュ方程式</a>は </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}&=0\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}&=0\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}&=0\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}&=0\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b065d1b5b1998379738f605443488f2d479820" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:22.027ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}&=0\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}&=0\end{aligned}}}"></span> </p><p>であるが、このとき <span lang="en" class="texhtml"><i>i</i> = 1, 2</span> のそれぞれについて </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\\&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\right)\\&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right){\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right){\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial q_{i}}}\\{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}&={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\\&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\right)\\&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right){\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right){\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial q_{i}}}\\{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}&={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0b3ec183007981f050a571998bf46b4f08a104" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -11.838ex; width:66.552ex; height:24.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\\&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\right)\\&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right){\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right){\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial q_{i}}}\\{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}&={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \therefore \mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∴</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \therefore \mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7782df3634c170a7f1194689bc1fbbfcac2a59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:23.932ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \therefore \mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}"></span> </p><p>より、一般化座標 <span lang="en" class="texhtml"><i>q</i><sub>1</sub>, <i>q</i><sub>2</sub></span> でのオイラー=ラグランジュ方程式も同様に成り立つことが示される。座標変換が微分同相であるならば逆も成り立つため、オイラー=ラグランジュ方程式の共変性が示される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=4" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=5" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">解析力学の体系は基本的には<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ラグランジュ力学">ラグランジュ力学</a>と<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ハミルトン力学">ハミルトン力学</a>により構成される。大貫義郎「まえがき」『解析力学』岩波書店、1987年</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text">ここで、空間に固定したデカルト座標系で静止する n 個の質点の内 i 番目の座標を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3ac30b699df9673916582dbd3fe859da7a043e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.826ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})}"></span>、その質点にかかる力の合力を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{i},Y_{i},Z_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{i},Y_{i},Z_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246b65000daee98cdcf3850ca28f0dbeabdf49e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.139ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{i},Y_{i},Z_{i})}"></span> としている。参考 <a href="#山内(1959)">山内(1959)</a> p.149</span> </li> <li id="cite_note-8"><b><a href="#cite_ref-8">^</a></b> <span class="reference-text">仮想仕事の原理のときと同様に、空間に固定したデカルト座標系で運動する n 個の質点の内 i 番目の座標を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3ac30b699df9673916582dbd3fe859da7a043e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.826ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})}"></span>、その質点にかかる力の合力を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (F_{x_{i}},F_{y_{i}},F_{z_{i}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (F_{x_{i}},F_{y_{i}},F_{z_{i}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4d329fdc347e5cdf848a27ee06070963936201" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.443ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (F_{x_{i}},F_{y_{i}},F_{z_{i}})}"></span> とする。さらに i 番目の質点の質量を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ec8e804f69706d3f5ad235f4f983220c8df7c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{i}}"></span> とする。なお、釣り合いのために加えられる力 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -m\mathbf {r} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -m\mathbf {r} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7498f11fda47ef6995a5c4f7532850cb5d01109" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.951ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -m\mathbf {r} }"></span> を慣性抵抗（force of inertia）と呼ぶ。参考 <a href="#山内(1959)">山内(1959)</a> p.158, <a href="#Lanczos(1970)">Lanczos(1970)</a> p.88</span> </li> <li id="cite_note-10"><b><a href="#cite_ref-10">^</a></b> <span class="reference-text">マッハも次のように述べている。 <dl><dd>"ここに引用された簡単な諸例は、困難な点をもたず、解析力学の操作の意味を説明するのに十分である。解析力学から力学現象の本性についての新しい<b>原理的</b>解明を期待してはならない。むしろ原理的認識は、本質的には、解析力学の構築が考えられうる以前に完結していなければならない。解析力学は問題のもっとも簡単な実用的な<b>克服</b>だけを目的としている。この関係を見誤る人には、この場合にも本質的には<b>経済的</b>意味をもつラグランジュの偉大な業績は理解されずに終わるであろう。"</dd> <dd><a href="#マッハ(1933)">マッハ(1933)</a> 下巻 p.260から。</dd></dl> </span></li> <li id="cite_note-11"><b><a href="#cite_ref-11">^</a></b> <span class="reference-text">ラグランジュ形式は<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="微分幾何学">微分幾何学</a>とも相性がよく、<a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" title="相対性理論">相対性理論</a>の分野では必須である。</span> </li> <li id="cite_note-12"><b><a href="#cite_ref-12">^</a></b> <span class="reference-text">ハミルトン形式はその後の<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>とくに<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="行列力学">行列力学</a>へと続く。</span> </li> <li id="cite_note-13"><b><a href="#cite_ref-13">^</a></b> <span class="reference-text">ラグランジュ方程式は<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="微分方程式">微分方程式</a>を与えるのに対して、ハミルトンの<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="正準方程式">正準方程式</a>は<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="積分">積分</a>を与える。さらにこれから、<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E3%81%AE%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式">ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式</a>が得られる。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=6" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFフィールツ1977">フィールツ 1977</a> 付録 p.112</span> </li> <li id="cite_note-4"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFフィールツ1977">フィールツ 1977</a> 付録 p.134</span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFフィールツ1977">フィールツ 1977</a>付録 p.137</span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF広重1968">広重 1968</a>, p. 109</span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFフィールツ1977">フィールツ 1977</a>付録 p.149</span> </li> <li id="cite_note-9"><b><a href="#cite_ref-9">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFフィールツ1977">フィールツ 1977</a> 付録 p.150,154-156</span> </li> <li id="cite_note-14"><b><a href="#cite_ref-14">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF並木1991">並木 1991</a>, p. 64</span> </li> <li id="cite_note-15"><b><a href="#cite_ref-15">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">小出, 昭一郎『<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.worldcat.org/oclc/1226412674">解析力学</a>』岩波書店、Tōkyō-to Chiyoda-ku、2017年。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free 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href="https://www.worldcat.org/oclc/1226412674">https://www.worldcat.org/oclc/1226412674</a></span>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=%E5%B0%8F%E5%87%BA&rft.aufirst=%E6%98%AD%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.au=%E5%B0%8F%E5%87%BA%2C%26%2332%3B%E6%98%AD%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.date=2017&rft.place=T%C5%8Dky%C5%8D-to+Chiyoda-ku&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=978-4-00-710221-9&rft_id=info:oclcnum/1226412674&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.worldcat.org%2Foclc%2F1226412674&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=7" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox noprint" style="width:22em;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/40px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/60px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/80px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;">ウィキブックスに<b><a href="https://ja.wikibooks.org/wiki/Special:Search/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" class="extiw" title="b:Special:Search/解析力学">解析力学</a></b>関連の解説書・教科書があります。</div></div> </div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86%E6%B3%95_(%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6)" title="変分法 (解析力学)">変分法 (解析力学)</a> - <a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E8%A6%81%E7%B4%A0%E6%B3%95" title="有限要素法">有限要素法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ネーターの定理">ネーターの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="オイラー＝ラグランジュ方程式">オイラー＝ラグランジュ方程式</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="正準方程式">正準方程式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%8B%AC%E5%BC%A7" title="ポアソン括弧">ポアソン括弧</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B3%E3%83%8A%E3%83%BC%E3%83%AB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="アイコナール方程式">アイコナール方程式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="リウヴィルの定理 (物理学)">リウヴィルの定理 (物理学)</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E5%8E%9F%E7%90%86" title="一般相対性原理">一般相対性原理</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=8" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101304250">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output 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href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%88)#参考文献" class="mw-redirect" title="Wikipedia:スタイルマニュアル (レイアウト)">出典</a>は列挙するだけでなく、<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8" title="Help:脚注">脚注</a>などを用いて<a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B#出典の示し方" title="Wikipedia:出典を明記する">どの記述の情報源であるかを明記</a>してください。</b><span class="hide-when-compact"> 記事の<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">信頼性向上</a>にご協力をお願いいたします。<small>（<span title="2022年2月">2022年2月</span>）</small></span></div></td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="洋書"><span id=".E6.B4.8B.E6.9B.B8"></span>洋書</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=9" title="節を編集: 洋書"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="Lanczos(1970)">Cornelius Lanczos (1970). <i>The variational principles of mechanics</i> (4th ed.). Dover publications, inc.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+variational+principles+of+mechanics&rft.aulast=Cornelius+Lanczos&rft.au=Cornelius+Lanczos&rft.date=1970&rft.edition=4th&rft.pub=Dover+publications%2C+inc.&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><i>Analytical Mechanics</i>, L.N. Hand, J.D. Finch, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cambridge_University_Press" class="extiw" title="en:Cambridge University Press">en:Cambridge University Press</a>, 2008, <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9780521575720" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0-521-57572-0</a></li> <li><i>Classical Mechanics</i>, T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0070840180" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-07-084018-0</a></li> <li>Arnolʹd, VI (1989). <i>Mathematical methods of classical mechanics</i> (2nd ed.). Springer. <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9780387968902" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0-387-96890-2</a>.</li> <li>Schaub, H., & Junkins, J. L. (2005). <i>Analytical mechanics of space systems</i>. American Institute of Aeronautics and Astronautics.</li> <li>Lurie, A. I. (2013). <i>Analytical mechanics</i>. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Springer_Science_%26_Business_Media" class="extiw" title="en:Springer Science & Business Media">en:Springer Science & Business Media</a>.</li> <li>Libermann, P., & Marle, C. M. 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title="岩波書店">岩波書店</a>、1959年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=%E5%B1%B1%E5%86%85+%E6%81%AD%E5%BD%A6&rft.au=%E5%B1%B1%E5%86%85+%E6%81%AD%E5%BD%A6&rft.date=1959&rft.edition=%E5%A2%97%E8%A3%9C%E7%AC%AC%E4%B8%89%E7%89%88&rft.pub=%5B%5B%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF広重徹1968">広重徹『物理学史I』 5巻、<a href="/wiki/%E5%9F%B9%E9%A2%A8%E9%A4%A8" title="培風館">培風館</a>〈新物理学シリーズ〉、1968年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%8F%B2I&rft.aulast=%E5%BA%83%E9%87%8D%E5%BE%B9&rft.au=%E5%BA%83%E9%87%8D%E5%BE%B9&rft.date=1968&rft.series=%E6%96%B0%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA&rft.pub=%5B%5B%E5%9F%B9%E9%A2%A8%E9%A4%A8%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFM._フィールツ1977">M. フィールツ 著、喜多秀次,田村松平(訳) 編『力学の発展史』みすず書房、1977年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%99%BA%E5%B1%95%E5%8F%B2&rft.aulast=M.+%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%84&rft.au=M.+%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%84&rft.date=1977&rft.pub=%E3%81%BF%E3%81%99%E3%81%9A%E6%9B%B8%E6%88%BF&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span><small>（付録にラグランジュ（1788）『解析力学』の静力学の部・動力学の部の各部の第１章の訳出がある）</small></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="ランダウ＝リフシッツ力学">エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ『力学』（増訂第３版）東京図書〈ランダウ＝リフシッツ理論物理学教程〉、1977年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.au=%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.au=%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%BB%E3%82%A8%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84&rft.date=1977&rft.series=%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%EF%BC%9D%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E7%90%86%E8%AB%96%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E6%95%99%E7%A8%8B&rft.edition=%E5%A2%97%E8%A8%82%E7%AC%AC%EF%BC%93%E7%89%88&rft.pub=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%9B%B3%E6%9B%B8&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF並木美喜雄1991">並木美喜雄『解析力学』丸善出版〈パリティ物理学コース〉、1991年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=%E4%B8%A6%E6%9C%A8%E7%BE%8E%E5%96%9C%E9%9B%84&rft.au=%E4%B8%A6%E6%9C%A8%E7%BE%8E%E5%96%9C%E9%9B%84&rft.date=1991&rft.series=%E3%83%91%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%A3%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9&rft.pub=%E4%B8%B8%E5%96%84%E5%87%BA%E7%89%88&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book">山本義隆『解析力学』朝倉書店、1998年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784254136715" title="特別:文献資料/9784254136715">9784254136715</a>。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/OCLC_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="OCLC (識別子)">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.worldcat.org/oclc/287649730">287649730</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=%E5%B1%B1%E6%9C%AC%E7%BE%A9%E9%9A%86&rft.au=%E5%B1%B1%E6%9C%AC%E7%BE%A9%E9%9A%86&rft.date=1998&rft.pub=%E6%9C%9D%E5%80%89%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=9784254136715&rft_id=info:oclcnum/287649730&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li>村井信行：『拘束系の力学』、日本評論社、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784535782495" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-535-78249-5</a> (1998年6月10日).</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="マッハ(1933)">エルンストマッハ 著、岩野秀明(訳) 編『マッハ力学史ー古典力学の発展と批判ー』 上・下（原書第九版）、筑摩書房、2006年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E3%83%9E%E3%83%83%E3%83%8F%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E5%8F%B2+%E3%83%BC%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%99%BA%E5%B1%95%E3%81%A8%E6%89%B9%E5%88%A4%E3%83%BC&rft.aulast=%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88+%E3%83%9E%E3%83%83%E3%83%8F&rft.au=%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88+%E3%83%9E%E3%83%83%E3%83%8F&rft.date=2006&rft.edition=%E5%8E%9F%E6%9B%B8%E7%AC%AC%E4%B9%9D%E7%89%88&rft.pub=%E7%AD%91%E6%91%A9%E6%9B%B8%E6%88%BF&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li>近藤慶一：「解析力学講義：古典力学を越えて」、共立出版、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784320036178" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-320-03617-8</a> (2022年1月15日)．</li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="物理学の分野" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2" style="background-color:#f99"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;background-color:#f99;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:Physics-footer" title="Template:Physics-footer"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;background-color:#f99;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Physics-footer&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:Physics-footer」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;background-color:#f99;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3APhysics-footer&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;background-color:#f99;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3APhysics-footer&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;background-color:#f99;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="物理学の分野" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物理学">物理学</a>の分野</div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background-color:#fcc">古典・量子</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="古典物理学">古典物理学</a>（<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E8%AB%96" class="mw-redirect" title="古典論">古典論</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8F%A4%E5%85%B8%E8%AB%96" title="半古典論">半古典論</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="量子物理学">量子物理学</a>（<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96" title="量子論">量子論</a>）</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background-color:#fcc">研究方法</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%90%86%E8%AB%96%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="理論物理学">理論物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="計算物理学">計算物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E9%A8%93%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="実験物理学">実験物理学</a>（<a href="/wiki/%E9%AB%98%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="高エネルギー物理学">高エネルギー物理学</a>）</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background-color:#fcc">基礎理論</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="力学">力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="古典力学">古典力学</a> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン力学</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">解析力学</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="連続体力学">連続体力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B5%81%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="流体力学">流体力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="熱力学">熱力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="統計力学">統計力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B0%97%E5%AD%A6" title="電磁気学">電磁気学</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96%E7%9A%84%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="相対論的量子力学">相対論的量子力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A0%B4%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96" title="場の量子論">場の量子論</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" title="相対性理論">相対性理論</a> <ul><li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" title="特殊相対性理論">特殊相対性理論</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" title="一般相対性理論">一般相対性理論</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background-color:#fcc">研究対象</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E7%B2%92%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="素粒子物理学">素粒子物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8E%9F%E5%AD%90%E6%A0%B8%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="原子核物理学">原子核物理学</a> <ul><li><a href="/wiki/%E6%A0%B8%E6%A7%8B%E9%80%A0%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="核構造物理学">核構造物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%B3%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="ハドロン物理学">ハドロン物理学</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="宇宙物理学">宇宙物理学</a> <ul><li><a href="/wiki/%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E5%AE%87%E5%AE%99%E8%AB%96" title="現代宇宙論">宇宙論</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%A9%E6%80%A7%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物性物理学">物性物理学</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E4%BD%93%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="固体物理学">固体物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%A8%E9%9D%A2%E7%A7%91%E5%AD%A6" title="表面科学">表面科学</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%8E%E6%B8%A9%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="低温物理学">低温物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="ソフトマター物理学">ソフトマター物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%AB%98%E5%88%86%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="高分子物理学">高分子物理学</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%8E%9F%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="原子物理学">原子物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="分子物理学">分子物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%89%E5%AD%A6" title="光学">光学</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9F%B3%E9%9F%BF%E5%AD%A6" title="音響学">音響学</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%BA%E3%83%9E%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="プラズマ物理学">プラズマ物理学</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background-color:#fcc">境界領域</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="数理物理学">数理物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8C%96%E5%AD%A6%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="化学物理学">化学物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%94%9F%E7%89%A9%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="生物物理学">生物物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="地球物理学">地球物理学</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%A4%A7%E6%B0%97%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="大気物理学">大気物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B5%B7%E6%B4%8B%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="海洋物理学">海洋物理学</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E8%BE%B2%E6%A5%AD%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="農業物理学">農業物理学</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9C%9F%E5%A3%8C%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="土壌物理学">土壌物理学</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%8C%BB%E5%AD%A6%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="医学物理学">医学物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BF%9D%E5%81%A5%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="保健物理学">保健物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%94%BE%E5%B0%84%E7%B7%9A%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="放射線物理学">放射線物理学</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background-color:#fcc">その他</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="現代物理学">現代物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BF%9C%E7%94%A8%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="応用物理学">応用物理学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="物理数学">物理数学</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2" style="background-color:#f99"> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span> <a href="/wiki/Category:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%88%86%E9%87%8E" title="Category:物理学の分野">カテゴリ</a></li></ul></td></tr></tbody></table></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96783592">.mw-parser-output .asbox{position:relative;overflow:hidden}.mw-parser-output .asbox table{background:transparent}.mw-parser-output .asbox p{margin:0}.mw-parser-output .asbox p+p{margin-top:0.25em}.mw-parser-output .asbox{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox-note{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox .navbar{position:absolute;top:-0.90em;right:1em;display:none}</style><div role="note" class="metadata plainlinks asbox stub"><table role="presentation"><tbody><tr class="noresize"><td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Science-template.svg" class="mw-file-description"><img alt="スタブアイコン" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Science-template.svg/48px-Science-template.svg.png" decoding="async" width="48" height="48" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Science-template.svg/72px-Science-template.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Science-template.svg/96px-Science-template.svg.png 2x" data-file-width="48" data-file-height="48" /></a></span></td><td><p class="asbox-body">この項目は、<b><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%A7%91%E5%AD%A6" title="自然科学">自然科学</a></b>に関連した<b><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96" title="Wikipedia:スタブ">書きかけの項目</a></b>です。<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit">この項目を加筆・訂正</a>などしてくださる<a href="/wiki/Category:%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%A7%91%E5%AD%A6%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:自然科学関連のスタブ項目">協力者を求めています</a>（<a href="/wiki/Portal:%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%A7%91%E5%AD%A6" title="Portal:自然科学">Portal:自然科学</a>）。</p></td></tr></tbody></table><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r96787822"><div class="navbar plainlinks hlist"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/Template:Sci-stub" title="Template:Sci-stub"><span title="参照先のページを表示します。">表示</span></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Sci-stub&action=edit"><span title="参照先のページを編集します。">編集</span></a></li></ul></div></div> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q833065#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" 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title="teoretická mechanika"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph126544&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=解析力学&oldid=102535623">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=解析力学&oldid=102535623</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="Category:力学">力学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="Category:古典力学">古典力学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E5%8F%82%E7%85%A7%E6%96%B9%E6%B3%95" title="Category:参照方法">参照方法</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E3%81%99%E3%81%B9%E3%81%A6%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:すべてのスタブ記事">すべてのスタブ記事</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%A7%91%E5%AD%A6%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:自然科学関連のスタブ項目">自然科学関連のスタブ項目</a></li><li><a href="/wiki/Category:GND%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90%E3%81%8C%E6%8C%87%E5%AE%9A%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:GND識別子が指定されている記事">GND識別子が指定されている記事</a></li><li><a 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