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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Aussagenlogik – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"bb52789e-b49b-4353-bfb2-a8e2b750c2d1","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Aussagenlogik","wgTitle":"Aussagenlogik","wgCurRevisionId":250082188,"wgRevisionId":250082188,"wgArticleId":10,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "MediaWiki:Gadget/annotationPair","Sprachphilosophie","Aussagenlogik"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Aussagenlogik","wgRelevantArticleId":10,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":250082188,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":70000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true, "wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q200694","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.annotationPair","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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In der klassischen Aussagenlogik wird jeder Aussage ein Element einer <a href="/wiki/Boolesche_Algebra" title="Boolesche Algebra">Booleschen Algebra</a> als Wahrheitswert zugeordnet. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage lässt sich ohne zusätzliche Informationen mittels der Operationen der Booleschen Algebra aus den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen bestimmen. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Geschichte">1 Geschichte</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Abgrenzung_zu_anderen_Logiken">2 Abgrenzung zu anderen Logiken</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Umgangssprachliche_Einleitung">3 Umgangssprachliche Einleitung</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Einfache_Aussage_(Elementaraussage)">3.1 Einfache Aussage (Elementaraussage)</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Verneinte_Aussage_–_Negation">3.2 Verneinte Aussage – Negation</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Und-verknüpfte_Aussagen_–_Konjunktion">3.3 Und-verknüpfte Aussagen – Konjunktion</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Nichtausschließendes_Oder_–_Disjunktion">3.4 Nichtausschließendes Oder – Disjunktion</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Materiale_Implikation">3.5 Materiale Implikation</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Bikonditional">3.6 Bikonditional</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Ausschließendes_Oder">3.7 Ausschließendes Oder</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Verneinung_einer_verknüpften_Aussage_(De_Morgansche_Gesetze)">3.8 Verneinung einer verknüpften Aussage (De Morgansche Gesetze)</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-12"><a href="#Verneinung_einer_Konjunktion">3.8.1 Verneinung einer Konjunktion</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-13"><a href="#Verneinung_einer_Disjunktion">3.8.2 Verneinung einer Disjunktion</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#Hinreichende_und_notwendige_Bedingung">3.9 Hinreichende und notwendige Bedingung</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Formaler_Zugang">4 Formaler Zugang</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Einleitung">4.1 Einleitung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-17"><a href="#Syntax">4.2 Syntax</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-18"><a href="#Bausteine_der_aussagenlogischen_Sprache">4.2.1 Bausteine der aussagenlogischen Sprache</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-19"><a href="#Formationsregeln">4.2.2 Formationsregeln</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-20"><a href="#Schlussregeln">4.2.3 Schlussregeln</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-21"><a href="#Axiome">4.2.4 Axiome</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-22"><a href="#Herleitung_und_Beweis">4.2.5 Herleitung und Beweis</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-23"><a href="#Semantik">4.3 Semantik</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-24"><a href="#Semantische_Gültigkeit,_Tautologien">4.3.1 Semantische Gültigkeit, Tautologien</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-25"><a href="#Wichtige_semantische_Eigenschaften:_Erfüllbarkeit,_Widerlegbarkeit_und_Unerfüllbarkeit">4.3.2 Wichtige semantische Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-26"><a href="#Algebraische_Sicht">4.3.3 Algebraische Sicht</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-27"><a href="#Normalformen">4.3.4 Normalformen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-28"><a href="#Metatheorie">4.4 Metatheorie</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-29"><a href="#Abgrenzung_und_Philosophie">5 Abgrenzung und Philosophie</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-30"><a href="#Literatur">6 Literatur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-31"><a href="#Weblinks">7 Weblinks</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-32"><a href="#Einzelnachweise">8 Einzelnachweise</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Geschichte" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Geschichte">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Historisch geht die Aussagenlogik zurück bis zu <a href="/wiki/Aristoteles" title="Aristoteles">Aristoteles</a>, der erstmals aussagenlogische Grundsätze diskutierte, nämlich in seiner Metaphysik den <a href="/wiki/Satz_vom_Widerspruch" title="Satz vom Widerspruch">Satz vom Widerspruch</a> und den <a href="/wiki/Satz_vom_ausgeschlossenen_Dritten" title="Satz vom ausgeschlossenen Dritten">Satz vom ausgeschlossenen Dritten</a>, und der in seiner ersten Analytik den <a href="/wiki/Reductio_ad_absurdum" title="Reductio ad absurdum">indirekten Beweis</a> thematisierte. Die zweiwertige aussagenlogische Semantik entwickelten etwas später die megarischen Philosophen <a href="/wiki/Diodoros_Kronos" title="Diodoros Kronos">Diodoros Kronos</a> und <a href="/wiki/Philon_von_Megara" title="Philon von Megara">Philon</a>. Die Aussagensemantik und -axiomatik kombinierte der Stoiker <a href="/wiki/Chrysippos_von_Soli" class="mw-redirect" title="Chrysippos von Soli">Chrysippos von Soli</a>, der den ersten aussagenlogischen Kalkül formulierte. Die Weiterentwicklung der Aussagenlogik der Stoa durch das Mittelalter wird oft übersehen.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Eine erste <a href="/wiki/Vollst%C3%A4ndigkeit_(Logik)" title="Vollständigkeit (Logik)">vollständige</a> und <a href="/wiki/Entscheidbar" class="mw-redirect" title="Entscheidbar">entscheidbare</a> Formalisierung für aussagenlogische <a href="/wiki/Tautologie_(Logik)" title="Tautologie (Logik)">Tautologien</a> – allerdings noch nicht für das aussagenlogische Schließen – schuf <a href="/wiki/George_Boole" title="George Boole">George Boole</a> 1847 mit seinem algebraischen Logikkalkül. Den ersten aussagenlogischen Kalkül mit Schlussregeln formulierte <a href="/wiki/Gottlob_Frege" title="Gottlob Frege">Gottlob Frege</a> im Rahmen seiner <a href="/wiki/Begriffsschrift" title="Begriffsschrift">Begriffsschrift</a> 1879. Er war die Vorlage für den Aussagenkalkül von <a href="/wiki/Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Bertrand Russell</a> 1908, der sich später durchsetzte (s. u.). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abgrenzung_zu_anderen_Logiken">Abgrenzung zu anderen Logiken</h2>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Abgrenzung zu anderen Logiken" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Abgrenzung zu anderen Logiken">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Da in der heutigen Mathematik die klassische Aussagenlogik maßgeblich wurde, wird in diesem Artikel dieser moderne Haupttypus der Aussagenlogik behandelt. Allgemein ist die <a href="/wiki/Klassische_Logik" title="Klassische Logik">klassische Logik</a> durch zwei Eigenschaften charakterisiert: <ul><li>Jede Aussage hat einen von genau zwei Wahrheitswerten, meist „falsch“ oder „wahr“ (<a href="/wiki/Prinzip_der_Zweiwertigkeit" title="Prinzip der Zweiwertigkeit">Prinzip der Zweiwertigkeit</a> oder Bivalenzprinzip).</li> <li>Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt (Prinzip der Extensionalität oder Kompositionalität, siehe <a href="/wiki/Extensionalit%C3%A4tsprinzip" title="Extensionalitätsprinzip">Extensionalitätsprinzip</a>)</li></ul> Das Prinzip der Zweiwertigkeit wird oft mit dem <a href="/wiki/Satz_vom_ausgeschlossenen_Dritten" title="Satz vom ausgeschlossenen Dritten">Satz vom ausgeschlossenen Dritten</a> verwechselt. Die klassische Aussagenlogik ist jenes Gebiet der klassischen Logik, das die innere Struktur von Sätzen (<a href="/wiki/Aussage" title="Aussage">Aussagen</a>) daraufhin untersucht, aus welchen anderen Sätzen (Teilsätzen) sie zusammengesetzt sind und wie diese Teilsätze miteinander verknüpft sind. Die innere Struktur von Sätzen, die ihrerseits nicht in weitere Teilsätze zerlegt werden können, wird von der Aussagenlogik nicht betrachtet. Ein Beispiel: Die Aussage „Alle Katzen sind Hunde, und die Erde ist eine Scheibe“ ist mit dem Bindewort „und“ aus den beiden kürzeren Aussagen „Alle Katzen sind Hunde“ und „Die Erde ist eine Scheibe“ zusammengesetzt. Diese beiden Aussagen lassen sich ihrerseits nicht mehr in weitere Aussagen zerlegen, sind aus aussagenlogischer Sicht also elementar oder atomar. Andere, auf die Aussagenlogik aufbauende logische Systeme betrachten die innere Struktur solcher atomaren Aussagen; ein wichtiges Beispiel ist die <a href="/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a>. In Abgrenzung zur klassischen Logik entstehen nichtklassische Logiksysteme, wenn man das Prinzip der Zweiwertigkeit, das Prinzip der Extensionalität oder sogar beide Prinzipien aufhebt. Nichtklassische Logiken, die durch die Aufhebung des Prinzips der Zweiwertigkeit entstehen, heißen <a href="/wiki/Mehrwertige_Logik" title="Mehrwertige Logik">mehrwertige Logik</a>. Die Zahl der Wahrheitswerte (in diesem Falle üblicher: Pseudowahrheitswerte) kann dabei endlich sein (z. B. dreiwertige Logik), ist aber oft auch unendlich (z. B. <a href="/wiki/Fuzzy-Logik" class="mw-redirect" title="Fuzzy-Logik">Fuzzy-Logik</a>). Hingegen verwenden Logiken, die durch die Aufhebung der Extensionalität entstehen, <a href="/wiki/Junktor" title="Junktor">Junktoren</a> (Konnektive), bei denen sich der Wahrheitswert des zusammengesetzten Satzes nicht mehr eindeutig aus dem Wahrheitswert seiner Teile bestimmen lässt. Ein Beispiel für nichtextensionale Logik ist die <a href="/wiki/Modallogik" title="Modallogik">Modallogik</a>, die die einstelligen nichtextensionalen Operatoren „es ist notwendig, dass“ und „es ist möglich, dass“ einführt. Logische Systeme stehen innerhalb der Logik nicht in einem Konkurrenzverhältnis um Wahrheit oder Richtigkeit. Die Frage, welches logische System für einen bestimmten Zweck genutzt werden soll, ist eher eine pragmatische. Oft werden logische Systeme und logische Fragestellungen mit außerlogischen Fragen verwechselt oder vermischt, z. B. mit der <a href="/wiki/Metaphysik" title="Metaphysik">metaphysischen</a> Frage, welches logische System „richtig“ sei, d. h. die Wirklichkeit beschreibe. Zu dieser Frage gibt es unterschiedliche Standpunkte einschließlich des <a href="/wiki/Positivismus" title="Positivismus">positivistischen</a> Standpunkts, dass diese Frage sinnlos sei. Diese Fragen fallen aber in andere Gebiete, z. B. <a href="/wiki/Philosophie" title="Philosophie">Philosophie</a>, <a href="/wiki/Wissenschaftstheorie" title="Wissenschaftstheorie">Wissenschaftstheorie</a> und <a href="/wiki/Sprachwissenschaft" title="Sprachwissenschaft">Sprachwissenschaft</a>. Wenn in diesem Artikel die klassische Aussagenlogik behandelt wird, so ist das also nicht als metaphysische Festlegung zu verstehen oder gar als Behauptung, dass „alle Aussagen wahr oder falsch sind“. Es ist lediglich so, dass die klassische Aussagenlogik einfach nur solche Aussagen behandelt, die wahr oder falsch sind. Das ist eine große formale Vereinfachung, die dieses System relativ leicht erlernbar sein lässt. Braucht man aus metaphysischen oder pragmatischen Gründen mehr als zwei Wahrheitswerte, kann die klassische Aussagenlogik als Ausgangspunkt dienen, um ein geeignetes logisches System aufzustellen. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umgangssprachliche_Einleitung">Umgangssprachliche Einleitung</h2>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Umgangssprachliche Einleitung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umgangssprachliche Einleitung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einfache_Aussage_(Elementaraussage)">Einfache Aussage (Elementaraussage)</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Einfache Aussage (Elementaraussage)" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einfache Aussage (Elementaraussage)">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Aussage_(Logik)" title="Aussage (Logik)">Aussage (Logik)</a></div> Eine Aussage A ist ein Satz, der entweder wahr (w, wahr, true, 1) oder nicht wahr (f, falsch, false, 0) ist. Das gilt sowohl für einfache als auch für verknüpfte Aussagen. „Halbwahrheiten“ gibt es nicht. Eine Aussage kann sowohl der gewöhnlichen Sprache entstammen als auch der Sprache der Mathematik. Eine Elementaraussage ist eine Aussage, die keine aussagenlogischen Verknüpfungen (nicht, und, oder, wenn … dann, genau dann wenn) enthält. Beispiele für Elementaraussagen: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc2435b217c1a0f46f8a517ffa225c6f9440e81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}}">: München ist 781 km von Hamburg entfernt.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec73b8bc9abc3efb934f5a6ec2803713771f4bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{2}}">: 9 ist durch 3 teilbar.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3785baf5f5c5e129c758b7ffafc94d559d799df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{3}}">: Eintracht Frankfurt wird in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3eaac426165e199a4a745aa46bb8028fed100d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{4}}">: Alle Autos sind grün.</li></ul> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec73b8bc9abc3efb934f5a6ec2803713771f4bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{2}}"> ist offensichtlich wahr (triviale mathematische Aussage), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3eaac426165e199a4a745aa46bb8028fed100d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{4}}"> dagegen ist falsch (es gibt einfache Gegenbeispiele). <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc2435b217c1a0f46f8a517ffa225c6f9440e81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}}"> stellt im mathematischen Sinne keine Aussage dar (ungenau genug in vielerlei Hinsicht, hat Interpretationsspielraum)<a href="#cite_note-2">[2]</a>, gleiches gilt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3785baf5f5c5e129c758b7ffafc94d559d799df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{3}}">.<a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a> In der klassischen Aussagenlogik ist eine Aussage entweder wahr oder nicht wahr, auch wenn man den Wahrheitsgehalt nicht kennt. Das ist zum Beispiel bei den ungelösten mathematischen Problemen der Fall. Anmerkung: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3eaac426165e199a4a745aa46bb8028fed100d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{4}}"> ist eine All-Aussage; die Struktur solcher Aussagen ist Gegenstand der <a href="/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a>. Im Sinne der Aussagenlogik ist es eine Elementaraussage. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verneinte_Aussage_–_Negation">Verneinte Aussage – Negation</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Verneinte Aussage – Negation" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verneinte Aussage – Negation">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Negationszeichen" title="Negationszeichen">Negationszeichen</a></div> Die Verneinung bzw. Negation (auch: Satzverneinung, äußere Verneinung, kontradiktorisches Gegenteil) einer Aussage A ist diejenige Aussage ¬A, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist, und die genau dann falsch ist, wenn A wahr ist. Einfacher: Die Verneinung einer Aussage A dreht den Wahrheitswert von A in sein Gegenteil um. Man erhält die Verneinung einer Aussage A immer dadurch, dass man ihr die Formulierung „Es ist nicht der Fall, dass“ voranstellt. Zwar lässt sich ein natürlichsprachlicher Satz auch verneinen, indem man das Wort „nicht“ oder eine andere <a href="/wiki/Positive_Formulierung" title="Positive Formulierung">negative Formulierung</a> an geeigneter Stelle einfügt – es ist aber nicht immer ganz einfach, zu erkennen, welche Formulierung zu verwenden und an welcher Stelle einzufügen ist. Formal schreibt man für „nicht A“ in der gebräuchlichsten <a href="/wiki/Notation" title="Notation">Notation</a> (Schreibweise) ¬A, auf Englisch und in der <a href="/wiki/Schaltalgebra" title="Schaltalgebra">Schaltalgebra</a> auch „NOT A“, gelegentlich auch „~A“. <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}"> </th></tr> <tr> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr></tbody></table> Wir verneinen die obigen Beispiele: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6890e6aac3a0af64ebe6a1da24f06e7a711b2f68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.348ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \neg A_{1}}">: Es ist nicht der Fall, dass München 781 km von Hamburg entfernt ist.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9b63f80ad4f851fae1b9877a5c9e033e43dcfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.348ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \neg A_{2}}">: Es ist nicht der Fall, dass 9 durch 3 teilbar ist.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3bc8a581e39329d541d5bc8dd5207e938aa61b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.348ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \neg A_{3}}">: Es ist nicht der Fall, dass Eintracht Frankfurt in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister wird.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380ad42cfcbf764ee6817ce8fb3c3fd5c2802a9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.348ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \neg A_{4}}">: Es ist nicht der Fall, dass alle Autos grün sind. (Es kann durchaus auch grüne Autos geben, aber es gibt mindestens ein Auto, das nicht grün ist.)</li></ul> Allgemein gilt für die Verneinung: <ul><li>Wenn eine Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> wahr ist, ist die Verneinung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}"> falsch.</li> <li>Wenn eine Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> falsch ist, ist die Verneinung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}"> wahr.</li> <li>Eine Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.</li> <li>Die Aussagen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}"> können nicht gleichzeitig wahr sein.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Und-verknüpfte_Aussagen_–_Konjunktion">Und-verknüpfte Aussagen – Konjunktion</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Und-verknüpfte Aussagen – Konjunktion" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Und-verknüpfte Aussagen – Konjunktion">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">Konjunktion (Logik)</a></div> Eine Konjunktion ist eine aus zwei Aussagen zusammengesetzte Aussage, die die Wahrheit all ihrer Teilaussagen behauptet. Umgangssprachlich verbindet man zwei Aussagen A und B durch das Bindewort „und“ zu einer Konjunktion „A und B“, in der logischen Sprache verwendet man meist das Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \land }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∧</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \land }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6823e5a222eb3ca49672818ac3d13ec607052c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \land }"> (Schreibweise: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\land B}">), gelegentlich auch das kaufmännische Und, den Ampersand (&). <ul><li>Sprechweise: A und B</li> <li>Schreibweise: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\land B}"></li> <li>auf Englisch und in der <a href="/wiki/Schaltalgebra" title="Schaltalgebra">Schaltalgebra</a> auch A AND B</li></ul> Die Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\land B}"> ist immer dann wahr, wenn sowohl A als auch B jeweils wahr sind. Andernfalls ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\land B}"> falsch, nämlich dann, wenn entweder A oder B oder beide Aussagen falsch sind. Beispiele für eine Und-Verknüpfung: <ul><li>A: 9 ist durch 3 teilbar</li> <li>B: 9 ist eine <a href="/wiki/Quadratzahl" title="Quadratzahl">Quadratzahl</a></li></ul> <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\land B}"> </th></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr></tbody></table> Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \land }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∧</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \land }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6823e5a222eb3ca49672818ac3d13ec607052c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \land }"> miteinander verknüpft: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babf569931f1a7b5182b9bec51873c2f5692fbb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{1}}">: 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec545f7870665e1028b7492746848d149878808" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{2}}">: 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e9abeb5057b7afbf88e3169101849354f13c65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{3}}">: 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59cf1a8e46030a81fc175be95561e4f161241a70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{4}}">: 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.</li></ul> Nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{1}=A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{1}=A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e658934ff35499f2982d4c1fd73ac20ad68fbd1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.904ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{1}=A\land B}"> ist wahr, weil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> wahr ist und auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> wahr ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{2}=\neg A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{2}=\neg A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a906f0a8ea0398001945ee55362ad17ae3132182" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{2}=\neg A\land B}"> ist falsch, weil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}"> falsch ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{3}=A\land \neg B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{3}=A\land \neg B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18519cf6653566b1b17f3af6261acf89e76c008" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{3}=A\land \neg B}"> ist falsch, weil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cf55d88686624cd054232a7cf1a6b7e6e84210" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.314ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg B}"> falsch ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{4}=\neg A\land \neg B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{4}=\neg A\land \neg B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd7ca291532c8b09f06f635b483946e2d8dcf9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{4}=\neg A\land \neg B}"> ist falsch, weil sowohl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}"> als auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cf55d88686624cd054232a7cf1a6b7e6e84210" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.314ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg B}"> falsch ist. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nichtausschließendes_Oder_–_Disjunktion">Nichtausschließendes Oder – Disjunktion</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Nichtausschließendes Oder – Disjunktion" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Nichtausschließendes Oder – Disjunktion">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Disjunktion" title="Disjunktion">Disjunktion</a></div> Eine Disjunktion ist eine zusammengesetzte Aussage, die behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen wahr ist. Die Disjunktion in diesem Sinn wird auch nichtausschließendes Oder genannt. (Aber Achtung: Die Bezeichnung „Disjunktion“ wurde und wird oft auch für das <a href="#Ausschließendes_Oder">ausschließende Oder</a>, „entweder … oder“, verwendet – man denke an das Konzept der <a href="/wiki/Disjunkt" title="Disjunkt">disjunkten Mengen</a>. Einige Autoren verwenden daher für das Nichtausschließende Oder den Begriff Adjunktion.) Das Formelzeichen „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vee }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∨</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vee }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b76220c6805c9b465d6efbc7686c624f49f3023" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \vee }">“ stammt von dem lateinischen Wort „vel“; für ausschließendes Oder wurde im Lateinischen „aut ... aut“ verwandt.<a href="#cite_note-5">[5]</a> <ul><li>Sprechweise: „A oder B“; genauer: „A oder B oder beide“, häufig in juristischen oder medizinischen Texten: „A und/oder B“</li> <li>Schreibweise: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\vee B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\vee B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4039c1a12cca22bb4df619c295c9a6f8be045f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\vee B}"></li> <li>auf Englisch und in der <a href="/wiki/Schaltalgebra" title="Schaltalgebra">Schaltalgebra</a> auch A OR B</li></ul> Die Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\vee B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\vee B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4039c1a12cca22bb4df619c295c9a6f8be045f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\vee B}"> ist immer dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist, bzw. wenn beide Teilaussagen wahr sind. Andernfalls ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\vee B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\vee B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4039c1a12cca22bb4df619c295c9a6f8be045f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\vee B}"> falsch, nämlich dann, wenn sowohl A als auch B falsch sind. Beispiel für eine Oder-Verknüpfung: <ul><li>A: 9 ist durch 3 teilbar</li> <li>B: 9 ist eine Quadratzahl</li></ul> <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\vee B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\vee B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4039c1a12cca22bb4df619c295c9a6f8be045f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\vee B}"> </th></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr></tbody></table> Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vee }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∨</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vee }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b76220c6805c9b465d6efbc7686c624f49f3023" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \vee }"> miteinander verknüpft: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{5}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d93b495ef896a93e1183aa55f53d32daa538738" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{5}}">: 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{6}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{6}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17692472a5b1f5de8b8b27603154198c16b61fbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{6}}">: 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{7}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{7}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27bdfd1ad862ca5afbce50e9441bfa87d40e514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{7}}">: 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{8}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6ce857f1a40433a29df6cd9e26e4ee8b814ce0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{8}}">: 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.</li></ul> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{5}=A\vee B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{5}=A\vee B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336baaa9b2ab61f316792eb8471fdef98616b518" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.904ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{5}=A\vee B}"> ist wahr, weil sowohl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> als auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> wahr sind. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{6}=\neg A\vee B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{6}=\neg A\vee B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01924245238b36fc2e3fc543aa529d1f6fd8b54d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{6}=\neg A\vee B}"> ist wahr, weil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> wahr ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{7}=A\vee \neg B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{7}=A\vee \neg B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6115da8761f9f4d314f9d599e1ef0ec52f7f88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{7}=A\vee \neg B}"> ist wahr, weil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> wahr ist. Nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{8}=\neg A\vee \neg B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{8}=\neg A\vee \neg B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da48dafb85462a38ec409ab7fc90189db05a2d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{8}=\neg A\vee \neg B}"> ist falsch, weil sowohl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}"> als auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cf55d88686624cd054232a7cf1a6b7e6e84210" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.314ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg B}"> falsch sind. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Materiale_Implikation">Materiale Implikation</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Materiale Implikation" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Materiale Implikation">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Implikation" title="Implikation">Implikation</a></div> Die materiale Implikation, auch Konditional oder Subjunktion genannt, drückt die hinreichende Bedingung aus: Sie sagt, dass die Wahrheit des einen Satzes eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit des anderen Satzes ist. Man schreibt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}"></dd></dl> oder auch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\supset B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>⊃</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\supset B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee952838d8b3e67045072a8f2b71e7fc0467dea6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.606ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\supset B}"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r247957335">.mw-parser-output .fussnoten-marke{font-size:0.75rem;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;unicode-bidi:isolate;white-space:nowrap}.mw-parser-output .fussnoten-marke.reference,.mw-parser-output span.fussnoten-inhalt{padding-left:0.1rem}.mw-parser-output .fussnoten-marke.reference~.fussnoten-marke.reference,.mw-parser-output span.fussnoten-inhalt~span.fussnoten-inhalt{padding-left:0.15rem}.mw-parser-output .fussnoten-block{margin-bottom:0.1rem}.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt{display:inline-block;padding-left:0.8rem;text-indent:-0.8rem}.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt p,.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt dl,.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt ol,.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt ul{text-indent:0}.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt.fussnoten-floatfix{display:block}.mw-parser-output .fussnoten-box{margin-top:0.5rem;padding-left:0.8rem}.mw-parser-output .fussnoten-box,.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt{font-size:94%}.mw-parser-output .fussnoten-box div.fussnoten-inhalt,.mw-parser-output span.fussnoten-inhalt,.mw-parser-output .fussnoten-inhalt .reference-text{font-size:inherit}.mw-parser-output .fussnoten-inhalt .reference-text{display:inline}.mw-parser-output .fussnoten-linie{display:inline-block;position:relative;top:-1em;border-top:solid 1px #808080;width:8rem}.mw-parser-output .fussnoten-linie+p,.mw-parser-output .fussnoten-linie+dl,.mw-parser-output .fussnoten-linie+ol,.mw-parser-output .fussnoten-linie+ul,.mw-parser-output .fussnoten-linie+link+div{margin-top:-1em}.mw-parser-output .fussnoten-marke.reference:target,.mw-parser-output .fussnoten-inhalt:target{background-color:#eaf3ff;box-shadow:0 0 0 0.25em #eaf3ff}.mw-parser-output .fussnoten-marke.reference:target,.mw-parser-output .fussnoten-inhalt:target .fussnoten-marke{font-weight:bold}</style> (A 1) </dd></dl> und liest <ul><li>A ist eine hinreichende Bedingung für B.</li> <li>Schon wenn A, dann B.</li> <li>A setzt voraus, dass B.</li> <li>B ist eine notwendige Bedingung für A. Dass B genau dann eine notwendige Bedingung für A ist, wenn A eine hinreichende Bedingung für B ist, ist eine auf den ersten Blick überraschende und vielleicht kontraintuitive, jedoch zutreffende Feststellung. Das Unterkapitel <a href="#Hinreichende_und_notwendige_Bedingung">Hinreichende und notwendige Bedingung</a> bemüht sich, diesen Zusammenhang sichtbarer zu machen.</li> <li>A impliziert B.</li> <li>Nur wenn B, dann A.</li></ul> oder auch nur <ul><li>Wenn A, dann B.</li></ul> In einem Konditional nennt man A das Antezedens, B das Konsequens oder Sukzedens. Beispiele: <ul><li>Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist.</li> <li>Schon wenn es regnet, ist die Straße nass.</li> <li>Wenn es regnet, ist die Straße nass.</li> <li>Nur wenn die Straße nass ist, kann es regnen.</li> <li>Wenn Person x einen Wagen der Marke y hat, hat x ein Auto.</li> <li>Wenn eine Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist die Zahl n durch 3 teilbar.</li></ul> Die Lesart „wenn … dann“ ist insofern problematisch, als mit dem natürlichsprachlichen „wenn … dann“ vor allem inhaltliche Zusammenhänge wie Kausalität oder zeitliche Nähe ausgedrückt werden. All das macht die materiale Implikation nicht, sie nennt nur den formalen Zusammenhang: „Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist“. Zur Frage, warum das eine hinreichende Bedingung ist – ob auf Grund eines kausalen Zusammenhangs oder auch nur rein zufällig –, nimmt die materiale Implikation nicht Stellung. <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd90c91a390c62d42bf97d18790b60e4c440889" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.222ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}"> </th></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">falsch </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr></tbody></table> Als Umkehrschluss bezeichnet man den Schluss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd90c91a390c62d42bf97d18790b60e4c440889" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.222ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}">. Für die Beispiele bedeutet das: <ul><li>Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht.</li> <li>Wenn Person x kein Auto hat, dann hat x keinen Wagen der Marke y.</li> <li>Wenn die Zahl n nicht durch 3 teilbar ist, dann ist n nicht durch 6 teilbar.</li></ul> Umgangssprachlich lässt man sich gelegentlich zu weiteren – falschen – Aussagen verleiten:<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"> (A 2) <ul><li>Weil es nicht regnete, kann die Straße nicht nass sein. Diese Folgerung ist falsch, da die Straße auch aus anderen Gründen nass werden kann (Rohrbruch, Übung der Feuerwehr …).</li> <li>x hat keinen Wagen der Marke y, also hat x kein Auto. Falsch, denn er könnte ja einen Wagen der Marke z haben.</li> <li>n ist nicht durch 6 teilbar, also ist n auch nicht durch 3 teilbar. Auch diese Folgerung ist falsch. Die Zahl 15 ist nicht durch 6 teilbar und sehr wohl durch 3.</li></ul> Das bedeutet: Wenn die Folgerung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}"> wahr ist, dann erhält man aus der Aussage ¬A keine Aussage über B; B kann wahr oder falsch sein. („<a href="/wiki/Ex_falso_quodlibet" title="Ex falso quodlibet">Ex falso sequitur quodlibet</a>“ – „Aus Falschem folgt Beliebiges“) Die Implikation ist ein wichtiges Mittel in der Mathematik. Die meisten <a href="/wiki/Beweis_(Mathematik)" title="Beweis (Mathematik)">mathematischen Beweise</a> verwenden das Konzept der Implikation. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"><div class="fussnoten-box"> <div class="fussnoten-linie" aria-hidden="true" role="presentation"></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"><div class="fussnoten-block"><div class="fussnoten-inhalt references">(A 1)  <div class="reference-text">Achtung Verwechslungsgefahr: Das ist kein Obermengenzeichen, sondern das Kurven-, Bogen- oder Hufeisenzeichen (Peano-Russellsche Schreibweise) – siehe Beitrag zur <a href="/wiki/Implikation" title="Implikation">Implikation</a>; das Teilmengenzeichen, welches gleich aussieht, müsste sich auf die andere Seite öffnen.</div></div></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"><div class="fussnoten-block"><div class="fussnoten-inhalt references">(A 2)  <div class="reference-text">Im Englischen auch als modus morons („närrischer Modus, Modus des Trottels“) bekannt – ein <a href="/wiki/Pseudolatein" class="mw-redirect" title="Pseudolatein">pseudolateinisches</a> Wortspiel in Anspielung auf diverse Modusbegriffe der Aussagenlogik wie <a href="/wiki/Modus_tollens" title="Modus tollens">Modus tollens</a>, abgeleitet von <a href="/wiki/Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> moron ‚Narr, Idiot, Trottel‘.</div></div></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bikonditional">Bikonditional</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Bikonditional" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Bikonditional">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Bikonditional" title="Bikonditional">Bikonditional</a></div> Das Bikonditional, oft auch objektsprachliche Äquivalenz oder materiale Äquivalenz genannt, drückt die hinreichende und notwendige Bedingung aus, sagt also, dass eine Aussage A genau dann zutrifft, wenn eine Aussage B zutrifft. Man schreibt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\leftrightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936ab098710910e69e56ec2734dd89063ce21efa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"></dd></dl> und liest <ul><li>A ist genau dann der Fall, wenn B der Fall ist.</li> <li>A genau dann wenn B.</li> <li>A ist äquivalent zu B.</li> <li>A ist dann und nur dann der Fall, wenn B der Fall ist.</li></ul> Auch beim Bikonditional wird eine rein formale Aussage getroffen, die nichts über einen allfälligen inhaltlichen Zusammenhang von A und B aussagt. Statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\leftrightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936ab098710910e69e56ec2734dd89063ce21efa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> zu sagen, kann man auch sagen, dass A eine hinreichende Bedingung für B und dass B eine hinreichende Bedingung für A ist, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4f27f9c16815083bfcdbc6c8e4312bc0ab6c77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.444ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A)}">. Tatsächlich sind diese beiden Aussagen <a href="/wiki/Logische_%C3%84quivalenz" title="Logische Äquivalenz">logisch äquivalent</a>. <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\leftrightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936ab098710910e69e56ec2734dd89063ce21efa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> </th></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr></tbody></table> Beispiel: <ul><li>Die natürliche Zahl n ist genau dann durch 6 teilbar, wenn n durch 2 und durch 3 teilbar ist. Wenn n durch 6 teilbar ist, dann folgt daraus, dass n durch 2 und durch 3 teilbar ist. Umgekehrt gilt aber auch: Wenn n durch 2 und durch 3 teilbar ist, dann ist n durch 6 teilbar.</li> <li>Heute ist genau dann Dienstag, wenn morgen Mittwoch ist.</li></ul> Das Bikonditional als zusammengesetzte Aussage innerhalb der logischen Sprache (siehe <a href="/wiki/Objektsprache" class="mw-redirect" title="Objektsprache">Objektsprache</a>) wird oft mit dem Konzept der logischen Äquivalenz verwechselt oder vermischt. Die logische Äquivalenz ist eine <a href="/wiki/Metasprache" title="Metasprache">metasprachliche</a>, meist natürlichsprachlich formulierte Eigenschaft zweier Aussagen der logischen Sprache. Ein Zusammenhang zwischen logischer Äquivalenz und Bikonditional besteht nur insofern, als das Metatheorem gilt, dass ein Bikonditional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\leftrightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936ab098710910e69e56ec2734dd89063ce21efa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> genau dann eine <a href="/wiki/Tautologie_(Logik)" title="Tautologie (Logik)">Tautologie</a> ist, wenn die beiden Aussagen A und B logisch äquivalent sind. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ausschließendes_Oder">Ausschließendes Oder</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Ausschließendes Oder" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ausschließendes Oder">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Kontravalenz" title="Kontravalenz">Kontravalenz</a></div> <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (A\leftrightarrow B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (A\leftrightarrow B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094ec19a54ae6fa2c4d13499807f57cb089362b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.481ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (A\leftrightarrow B)}"> </th></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr></tbody></table> Das ausschließende Oder (Kontravalenz oder Antivalenz), „entweder A oder B“, besagt, dass genau eine der beiden von ihm verknüpften Aussagen wahr ist. Entsprechend ist ein ausschließendes Oder nicht nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind, sondern auch, wenn beide wahr sind. (Einige Autoren verwenden für das Ausschließende Oder den Begriff Alternative.) Obwohl das ausschließende Oder ein Konzept ist, mit dem man in der natürlichen Sprache immer wieder zu tun hat, wird es in den meisten logischen Sprachen nicht als eigenständiger <a href="/wiki/Junktor" title="Junktor">Junktor</a> eingeführt. Stattdessen wird das ausschließende Oder zum Beispiel als verneintes Bikonditional ausgedrückt, also als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (A\leftrightarrow B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (A\leftrightarrow B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094ec19a54ae6fa2c4d13499807f57cb089362b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.481ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (A\leftrightarrow B)}">. Große Bedeutung genießt das ausschließende Oder hingegen in der <a href="/wiki/Schaltalgebra" title="Schaltalgebra">Schaltalgebra</a>, wo es meist als <a href="/wiki/Exklusiv-Oder-Gatter" title="Exklusiv-Oder-Gatter">XOR</a> (eXclusive OR) aufgeschrieben wird. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verneinung_einer_verknüpften_Aussage_(De_Morgansche_Gesetze)">Verneinung einer verknüpften Aussage (De Morgansche Gesetze)</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Verneinung einer verknüpften Aussage (De Morgansche Gesetze)" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verneinung einer verknüpften Aussage (De Morgansche Gesetze)">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/De_Morgansche_Gesetze" class="mw-redirect" title="De Morgansche Gesetze">De Morgansche Gesetze</a></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Verneinung_einer_Konjunktion">Verneinung einer Konjunktion</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Verneinung einer Konjunktion" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verneinung einer Konjunktion">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Verneinung der Konjunktion „A und B“ (in der logischen Schreibweise: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\land B}">) lautet „Es ist nicht der Fall, dass A und B zutreffen“ (in der logischen Schreibweise: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (A\land B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (A\land B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ba373711ac586009d3c4d0117525fbe04a1a4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.449ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (A\land B)}">). Diese ist <a href="/wiki/Logische_%C3%84quivalenz" title="Logische Äquivalenz">logisch äquivalent</a> mit der Aussage „A ist nicht der Fall, oder B ist nicht der Fall (oder beides)“ (in logischer Schreibweise: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\neg A\lor \neg B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\neg A\lor \neg B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1cf81acbd4c57c92b02c2e2ba1826ddd1420ed9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\neg A\lor \neg B)}">). <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (A\land B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (A\land B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ba373711ac586009d3c4d0117525fbe04a1a4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.449ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (A\land B)}"> </th></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr></tbody></table> Ein Beispiel: Wenn man die Aussage <dl><dd>Es regnet, und die Erde ist eine Scheibe</dd></dl> verneinen möchte, dann kann man entweder sagen <dl><dd>Es ist nicht der Fall, dass es regnet und die Erde eine Scheibe ist.</dd></dl> oder man sagt <dl><dd>Es regnet nicht oder die Erde ist keine Scheibe (oder beides).</dd></dl> In der Schaltalgebra wird sehr oft der Junktor <a href="/wiki/Shefferscher_Strich" title="Shefferscher Strich">NAND</a> verwendet, wobei „A NAND B“ denselben Wahrheitswertverlauf hat wie der Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (A\land B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (A\land B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ba373711ac586009d3c4d0117525fbe04a1a4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.449ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (A\land B)}">. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Verneinung_einer_Disjunktion">Verneinung einer Disjunktion</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Verneinung einer Disjunktion" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verneinung einer Disjunktion">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Verneinung der <a href="/wiki/Disjunktion" title="Disjunktion">Disjunktion</a> „A oder B (oder beides)“ (in der logischen Schreibweise: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\lor B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\lor B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9c9c90857c12727201dd9e47a4e7c8658fdbc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\lor B}">) lautet „Es ist nicht der Fall, dass A oder B zutrifft“ (in logischer Schreibweise: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (A\lor B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (A\lor B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4be2de29b87215d778d98ab2d26c4e166056ca0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.449ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (A\lor B)}">). Diese ist logisch äquivalent mit der Aussage „A ist nicht der Fall, und B ist nicht der Fall“ (in logischer Schreibweise:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\neg A\land \neg B}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\neg A\land \neg B}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc8c9517727c483bf2cdf38ec9c2bc401d8acdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.19ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\neg A\land \neg B}}"> ). <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </th> <th><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (A\vee B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (A\vee B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fa98e5550803d0eb710ee872c9accffdab3266" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.449ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (A\vee B)}"> </th></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">wahr </td></tr> <tr> <td>falsch </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>falsch </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr> <tr> <td>wahr </td> <td>wahr </td> <td style="text-align:center">falsch </td></tr></tbody></table> Ein Beispiel: Wenn man die Aussage <dl><dd>Die Erde ist eine Scheibe, oder die Erde ist ein Würfel.</dd></dl> verneinen möchte, so sagt man <dl><dd>Es ist nicht der Fall, dass die Erde eine Scheibe ist oder dass die Erde ein Würfel ist.</dd></dl> Nach dem Gesetz von De Morgan kann man nun aber auch sagen: <dl><dd>Die Erde ist keine Scheibe, und die Erde ist kein Würfel</dd></dl> oder in schönerem Deutsch <dl><dd>Die Erde ist weder eine Scheibe noch ein Würfel.</dd></dl> In der Schaltalgebra wird das Konnektiv <a href="/wiki/NOR-Gatter" title="NOR-Gatter">NOR</a> verwendet, das denselben Wahrheitswertverlauf hat wie die Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (A\lor B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (A\lor B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4be2de29b87215d778d98ab2d26c4e166056ca0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.449ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (A\lor B)}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hinreichende_und_notwendige_Bedingung">Hinreichende und notwendige Bedingung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Hinreichende und notwendige Bedingung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Hinreichende und notwendige Bedingung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Dieser Abschnitt soll den zunächst oft als kontraintuitiv empfundenen Zusammenhang zwischen hinreichender und notwendiger Bedingung, wie er im Abschnitt über die materiale Implikation angesprochen wurde, wiederaufgreifen und näher ausführen. Betrachten wir noch einmal die materiale Implikation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}">. Man sagt: A ist hinreichend für B: Schon wenn A der Fall ist, ist auch B der Fall. Umgekehrt kann man aber auch sagen: B ist notwendig für A. Ohne B kann A nicht erfüllt sein. Wie kommt dieser Zusammenhang zustande? Wir wissen, dass die Wahrheit von A die Wahrheit von B nach sich zieht, denn A ist ja hinreichende Bedingung für B. Somit ist es einfach nicht möglich, dass A eintritt, ohne dass B damit ebenfalls eintreten würde: B ist also gezwungenermaßen der Fall, wenn A der Fall ist. B ist „notwendig“ für A. Dieser Zusammenhang ist in Wahrheit also ziemlich einfach; Hauptgrund dafür, dass er anfangs oft als kontraintuitiv empfunden wird, ist wahrscheinlich die Schwierigkeit, zwischen den vielen Bedeutungen des umgangssprachlichen „wenn … dann“ einerseits und der rein formalen hinreichenden und notwendigen Bedingung andererseits strikt zu trennen. Mit dem umgangssprachlichen „wenn … dann“ möchte man fast immer einen inhaltlichen (kausalen oder auch temporalen) Zusammenhang zwischen Antecedens und Konsequenz ausdrücken: „Regen verursacht Straßennässe“, „Zuerst fällt der Regen, erst nachher wird die Straße nass“. Wenn man die hinreichende Bedingung in diesem Sinn missversteht, dann ist es klar, dass die in umgekehrter Reihenfolge formulierte notwendige Bedingung „Nur wenn die Straße nass ist, regnet es“ seltsam aussieht: „Regen verursacht doch Straßennässe. Wie kann daraus je gefolgert werden, dass Straßennässe Regen verursacht?“ All dies sagt die materiale Implikation aber nicht aus. „A ist eine hinreichende Bedingung für B“ meint schlicht, dass wenn die Aussage A wahr ist, auch die Aussage B wahr ist – zeitlos und zusammenhanglos, nicht etwa „später“ oder „weil“. Analog sagt die notwendige Bedingung, „B ist eine notwendige Bedingung für A“, lediglich das aus, dass B wahr ist, sofern A es ist. Genau das ist aber die Definition des Konditionals A → B. <div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="/wiki/Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">notwendige und hinreichende Bedingung</a></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formaler_Zugang">Formaler Zugang</h2>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Formaler Zugang" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formaler Zugang">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einleitung">Einleitung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Einleitung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einleitung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Spätestens beim lauten Lesen von Sätzen wie <dl><dd>„Die Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\land B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\land B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74954195333a8593163b93a9688695b8dc74da55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\land B}"> ist genau dann wahr, wenn die Aussagen A und B wahr sind“</dd></dl> wird der selbstbewusste Laie verlangen, dass ihm erklärt wird, was das soll. Die Antwort des Logikers: Es soll versucht werden, Sicherheit in die Regeln des <a href="/wiki/Logik" title="Logik">logischen</a> Schließens zu bringen. Seit den <a href="/wiki/Sophisten" title="Sophisten">Sophisten</a> ist dem Abendland klar, dass scheinbar zwingende Schlüsse zu offensichtlich absurden Ergebnissen führen können. Immer wieder wurden <a href="/wiki/Paradoxie" class="mw-redirect" title="Paradoxie">Paradoxien</a> formuliert und von großen Denkern als Herausforderung empfunden. Logiker versuchen deshalb, die Regeln des Argumentierens so streng wie möglich zu fassen. Das einleitende Beispiel macht klar, dass dazu eine Trennung der Sprachebenen unerlässlich ist: Die formale Aussage A∧B soll dadurch erklärt werden, dass auf einer <a href="/wiki/Metasprache" title="Metasprache">metasprachlichen</a> Ebene sowohl über die Aussage A als auch über die Aussage B geredet wird. Ein Versuch, dies durchzuführen, besteht darin, die Aussagenlogik als <a href="/wiki/Formales_System" title="Formales System">formales System</a>, konkret als <a href="/wiki/Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalkül</a> (eine bestimmte Art eines formalen Systems) zu definieren. Die Begriffe „wahr“ und „falsch“ kommen in diesem System zunächst überhaupt nicht vor. Stattdessen werden <a href="/wiki/Axiom" title="Axiom">Axiome</a> gesetzt, die einfach als Zeichenketten angesehen werden, aus denen weitere <a href="/wiki/Ableitung_(Logik)" title="Ableitung (Logik)">ableitbare</a> Zeichenketten aufgrund von bestimmten <a href="/wiki/Schlussregel" title="Schlussregel">Schlussregeln</a> hergeleitet werden. Das Ziel dabei ist einerseits, dass in einem formalen System nur Zeichenketten (Sätze) hergeleitet werden können, die bei einer plausiblen Interpretation auch wahr sind. Andererseits sollen alle Sätze, die als „wahr“ interpretierbar sind, auch hergeleitet werden können. Das erste ist die Forderung nach Korrektheit, das zweite die nach Vollständigkeit des formalen Systems; beide Eigenschaften sind unter <a href="/wiki/Kalk%C3%BCl#Kalküle_in_der_Logik" title="Kalkül">Kalkül: Der Begriff Kalkül in der Logik</a> beschrieben. Für die klassische Aussagenlogik, mit der wir es hier zu tun haben, gibt es <a href="/wiki/Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalküle</a> (formale Systeme), die sowohl korrekt als auch vollständig sind. Für gewisse komplexere logische Systeme (z. B. <a href="/wiki/Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a>) ist es aber unmöglich, einen vollständigen Kalkül aufzustellen, der auch korrekt ist; diese Erkenntnis wurde 1931 von <a href="/wiki/Kurt_G%C3%B6del" title="Kurt Gödel">Kurt Gödel</a> bewiesen (<a href="/wiki/G%C3%B6delscher_Unvollst%C3%A4ndigkeitssatz" title="Gödelscher Unvollständigkeitssatz">Gödelscher Unvollständigkeitssatz</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Syntax">Syntax</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Syntax" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Syntax">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die <a href="/wiki/Syntax" title="Syntax">Syntax</a> („Grammatik“) einer logischen Sprache formal zu definieren; meist geschieht das im Rahmen eines <a href="/wiki/Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalküls</a>. Die folgende Definition ist daher nur als Beispiel dafür zu verstehen, wie ein Kalkül für die klassische Aussagenlogik aussehen kann. Weitere Beispiele für konkrete Kalküle finden sich unter <a href="/wiki/Baumkalk%C3%BCl" title="Baumkalkül">Baumkalkül</a>, <a href="/wiki/Begriffsschrift" title="Begriffsschrift">Begriffsschrift</a>, <a href="/wiki/Systeme_nat%C3%BCrlichen_Schlie%C3%9Fens" title="Systeme natürlichen Schließens">Systeme natürlichen Schließens</a>, <a href="/wiki/Sequenzenkalk%C3%BCl" title="Sequenzenkalkül">Sequenzenkalkül</a> oder <a href="/wiki/Resolution_(Logik)" title="Resolution (Logik)">Resolutionskalkül</a>. Ein weiterer axiomatischer Kalkül ist als Beispiel im Artikel <a href="/wiki/Hilbert-Kalk%C3%BCl" title="Hilbert-Kalkül">Hilbert-Kalkül</a> angegeben, ein graphischer Kalkül im Artikel <a href="/wiki/Existential_Graphs" title="Existential Graphs">Existential Graphs</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bausteine_der_aussagenlogischen_Sprache">Bausteine der aussagenlogischen Sprache</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Bausteine der aussagenlogischen Sprache" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Bausteine der aussagenlogischen Sprache">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Als Bausteine der aussagenlogischen Sprache sollen Satzbuchstaben („atomare Formeln“, Satzkonstanten), Junktoren und Gliederungszeichen verwendet werden. Satzbuchstaben sollen die Zeichen P0, P1, P2, … sein. Junktoren sollen die Zeichen ¬, ∧, ∨, → und ↔ sein. Als Gliederungszeichen sollen die runden Klammern dienen.<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"> (A 1) <a href="#cite_note-6">[6]</a> Formal lässt sich das z. B. auf folgende Weise ausdrücken: Sei V die (<a href="/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbar unendliche</a>) <a href="/wiki/Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> der atomaren Formeln (Satzbuchstaben): <dl><dd>V = {Pn | n ∈ N0} (N0: Menge der natürlichen Zahlen inkl. 0), d. h. V = {P0, P1, P2, P3, …}</dd></dl> Sei J die Menge der Junktoren und Gliederungszeichen: <dl><dd>J = {¬, ∧, ∨, →, ↔, (, )}</dd></dl> Das <a href="/wiki/Alphabet_(Informatik)" title="Alphabet (Informatik)">Alphabet</a> der logischen Sprache sei die Menge V ∪ J, also die Vereinigungsmenge von atomaren Formeln, Junktoren und Gliederungszeichen. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Formationsregeln">Formationsregeln</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Formationsregeln" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formationsregeln">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Formationsregeln legen fest, wie man aus den Bausteinen der aussagenlogischen Sprache Sätze (Formeln) bilden kann. Hier sollen aussagenlogische Formeln als Worte über dem <a href="/wiki/Alphabet_(Informatik)" title="Alphabet (Informatik)">Alphabet</a> der logischen Sprache, also über V ∪ J wie folgt <a href="/wiki/Strukturelle_Induktion" title="Strukturelle Induktion">induktiv</a> definiert werden:<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"> (A 2) <a href="#cite_note-7">[7]</a> <ul><li>Alle atomaren Formeln F ∈ V (d. h. alle Satzbuchstaben) sind Formeln.</li> <li>Ist F eine Formel, so ist auch (¬F) eine Formel. (Diese Formel heißt <a href="/wiki/Negation" title="Negation">Negation</a> von F.)</li> <li>Sind F und G zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Formeln, so ist auch (F ∧ G) eine Formel. (Diese Formel heißt <a href="/wiki/Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">Konjunktion</a> von F und G.)</li> <li>Sind F und G zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Formeln, so ist auch (F ∨ G) eine Formel. (Diese Formel heißt <a href="/wiki/Disjunktion" title="Disjunktion">Disjunktion</a> von F und G.)</li> <li>Sind F und G zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Formeln, so ist auch (F → G) eine Formel. (Diese Formel heißt <a href="/wiki/Implikation" title="Implikation">materiale Implikation</a> oder Konditional von F und G.)</li> <li>Sind F und G zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Formeln, so ist auch (F ↔ G) eine Formel. (Diese Formel heißt <a href="/wiki/Bikonditional" title="Bikonditional">Bikonditional</a> von F und G.)</li> <li>Nichts anderes ist eine aussagenlogische Formel.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Schlussregeln">Schlussregeln</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=20" title="Abschnitt bearbeiten: Schlussregeln" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=20" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schlussregeln">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Schlussregel" title="Schlussregel">Schlussregel</a></div> Schlussregeln sind allgemein Transformationsregeln (Umformungsregeln), die auf bestehende Formeln angewandt werden und aus ihnen neue Formeln erzeugen. Wenn man einen Kalkül für ein logisches System aufstellt, dann wählt man die Transformationsregeln so, dass sie aus bestehenden Formeln solche Formeln erzeugen, die aus den Ausgangsformeln semantisch folgen – deshalb die Bezeichnung „Schlussregel“ (eine Schlussfolgerung ziehen). Innerhalb der Syntax sind die Schlussregeln allerdings rein formale Transformationsregeln, denen für sich keinerlei inhaltliche Bedeutung zukommt. An konkreten Schlussregeln sollen hier nur zwei angegeben werden: der <a href="/wiki/Modus_ponendo_ponens" class="mw-redirect" title="Modus ponendo ponens">Modus ponendo ponens</a> und die Substitutionsregel. <dl><dt>Modus ponendo ponens</dt> <dd>Aus einem Satz der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724678bd1e82d05bae3d261b9160d514add0de3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.647ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }"> und einem Satz der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> darf man auf einen Satz der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }"> schließen; dabei sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }"> Platzhalter für beliebige Formeln. Zum Beispiel darf man nach dieser Schlussregel aus „Wenn Regen die Straße benetzt, dann ist der Straßenbelag regennass“ und aus „Regen benetzt die Straße“ schließen auf „Der Straßenbelag ist regennass“.</dd></dl> <dl><dt>Substitutionsregel (Ersetzungsregel)</dt> <dd>In einem Satz dürfen alle Vorkommnisse eines beliebigen Atoms (z. B. „P“) durch einen beliebig komplexen Satz (z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land \neg Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land \neg Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1137857df0acc219cec2c7c62d7c85765951756" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.526ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land \neg Q)}">) ersetzt werden. Es müssen dabei aber auch wirklich alle Vorkommnisse des gewählten Atoms ersetzt werden und sie müssen auch wirklich alle durch denselben Satz ersetzt werden.</dd> <dd>Zum Beispiel darf mittels der Substitutionsregel aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\rightarrow (P\lor Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\rightarrow (P\lor Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d03badb99370f06302cde13ed430395cacd924" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.335ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P\rightarrow (P\lor Q)}"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land \neg Q)\rightarrow ((P\land \neg Q)\lor Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land \neg Q)\rightarrow ((P\land \neg Q)\lor Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6716b6df9d7146a94e317c46f3fbfb4bcdc3e7a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.896ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land \neg Q)\rightarrow ((P\land \neg Q)\lor Q)}"> geschlossen werden. Man sagt, P werde durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land \neg Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land \neg Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1137857df0acc219cec2c7c62d7c85765951756" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.526ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land \neg Q)}"> ersetzt oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land \neg Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land \neg Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1137857df0acc219cec2c7c62d7c85765951756" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.526ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land \neg Q)}"> werde für P substituiert (eingesetzt).</dd></dl> <div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="/wiki/Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalkül</a></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"><div class="fussnoten-box"> <div class="fussnoten-linie" aria-hidden="true" role="presentation"></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"><div class="fussnoten-block"><div class="fussnoten-inhalt references">(A 1)  <div class="reference-text">Zur prädikatenlogischen Entsprechung siehe <a href="/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik_erster_Stufe#Symbole" title="Prädikatenlogik erster Stufe">Prädikatenlogik erster Stufe – Symbole</a>.</div></div></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r247957335"><div class="fussnoten-block"><div class="fussnoten-inhalt references">(A 2)  <div class="reference-text">Zur prädikatenlogischen Entsprechung siehe <a href="/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik_erster_Stufe#Terme" title="Prädikatenlogik erster Stufe">Prädikatenlogik erster Stufe – Terme</a>.</div></div></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Axiome">Axiome</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=21" title="Abschnitt bearbeiten: Axiome" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=21" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Axiome">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Axiom" title="Axiom">Axiom</a></div> Axiome sind ausgezeichnete (im Sinn von: hervorgehobene) Formeln der aussagenlogischen Sprache. Die Auszeichnung besteht darin, dass sie innerhalb eines Beweises oder einer Herleitung (siehe unten) ohne weitere Rechtfertigung verwendet werden. Pragmatisch wählt man solche Formeln als Axiome, die semantisch gesehen Tautologien sind, also immer zutreffen, und die dabei helfen, Beweise zu verkürzen. Innerhalb der Syntax sind die Axiome allerdings rein formale Objekte, denen keinerlei inhaltliche Bedeutung oder Rechtfertigung zukommt. Axiome sind im Allgemeinen optional, d. h., ein Kalkül kann auch ganz ohne Axiome auskommen, wenn er ausreichend viele bzw. mächtige Schlussregeln hat. Axiomfreie Kalküle sind zum Beispiel die <a href="/wiki/Systeme_nat%C3%BCrlichen_Schlie%C3%9Fens" title="Systeme natürlichen Schließens">Systeme natürlichen Schließens</a> oder <a href="/wiki/Baumkalk%C3%BCl" title="Baumkalkül">Baumkalküle</a>. Hier soll exemplarisch ein axiomatischer Kalkül gezeigt werden, und zwar Russells Aussagenkalkül aus seiner Typentheorie 1908, den er 1910 in die <a href="/wiki/Principia_Mathematica" title="Principia Mathematica">Principia Mathematica</a> übernahm.<a href="#cite_note-8">[8]</a> Dieser Kalkül umfasst die folgenden Axiome (von denen das vierte redundant, d. h. nicht unbedingt erforderlich ist, weil aus den anderen Axiomen herleitbar): <ol><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\lor P)\rightarrow P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\lor P)\rightarrow P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d45384ba9cf160b5a3a9fb6f546b2fe4bb7d2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.242ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\lor P)\rightarrow P}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q\rightarrow (P\lor Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q\rightarrow (P\lor Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243790aa720f67644e1537104504dfc9861bc0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q\rightarrow (P\lor Q)}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\lor Q)\rightarrow (Q\lor P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\lor Q)\rightarrow (Q\lor P)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c436cbda36e7f0e3c6afdcbf47e3e2a16fc797b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\lor Q)\rightarrow (Q\lor P)}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [P\lor (Q\lor R)]\rightarrow [Q\lor (P\lor R)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [P\lor (Q\lor R)]\rightarrow [Q\lor (P\lor R)]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a46b5ffca213152c054d483d7129ac184a8eda8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [P\lor (Q\lor R)]\rightarrow [Q\lor (P\lor R)]}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (Q\rightarrow R)\rightarrow [(P\lor Q)\rightarrow (P\lor R)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Q\rightarrow R)\rightarrow [(P\lor Q)\rightarrow (P\lor R)]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bd5e7cf80dc68ade1452259b0a672032fb76de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (Q\rightarrow R)\rightarrow [(P\lor Q)\rightarrow (P\lor R)]}"></li></ol> Um aus diesen Axiomen auch solche gültigen Sätze herleiten zu können, die andere als die in den Axiomen vorkommende Junktoren enthalten, werden diese durch folgende Festlegung auf die vorhandenen Junktoren zurückgeführt: <ol><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\rightarrow Q):=(\neg P\lor Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\rightarrow Q):=(\neg P\lor Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3194a4adbc78cf852e4d72b26ff5de3a4bb45a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.278ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\rightarrow Q):=(\neg P\lor Q)}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land Q):=\neg (\neg P\lor \neg Q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land Q):=\neg (\neg P\lor \neg Q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc81085114cfc8a725cb98169120c123ce25eff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land Q):=\neg (\neg P\lor \neg Q)}"></li></ol> Alternativ zu – wie hier – konkreten Axiomen kann man auch Axiomenschemata angeben, in welchem Fall man auch ohne Substitutionsregel auskommt. Interpretiert man die obigen Axiome als Axiomenschemata, dann stünde z. B. das erste Axiomenschema, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\lor P)\rightarrow P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\lor P)\rightarrow P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d45384ba9cf160b5a3a9fb6f546b2fe4bb7d2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.242ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\lor P)\rightarrow P}">, für unendlich viele Axiome, nämlich alle Ersetzungsinstanzen dieses Schemas. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Herleitung_und_Beweis">Herleitung und Beweis</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=22" title="Abschnitt bearbeiten: Herleitung und Beweis" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=22" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Herleitung und Beweis">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Ableitung_(Logik)" title="Ableitung (Logik)">Ableitung (Logik)</a></div> Eine Herleitung ist eine Liste von aufsteigend nummerierten Sätzen, die mit einer oder mehreren Annahmen (den <a href="/wiki/Pr%C3%A4misse" title="Prämisse">Prämissen</a> der Herleitung) oder Axiomen beginnt. Alle auf diese folgenden Sätze sind entweder ebenfalls Axiome (bei manchen Kalkülen sind auch weitere Annahmen zulässig) oder sind aus einer oder mehreren der vorangehenden Zeilen durch Anwendung von <a href="/wiki/Schlussregel" title="Schlussregel">Schlussregeln</a> entstanden. Der letzte Satz in der Liste ist die <a href="/wiki/Konklusion" class="mw-redirect" title="Konklusion">Konklusion</a> der Herleitung. Eine Herleitung ohne Prämissen heißt Beweis. Oft werden aber die Wörter „Herleitung“ und „Beweis“ synonym gebraucht. Wenn es gelingt, aus einer Menge von Annahmen (Prämissen) Δ eine Konklusion P herzuleiten, dann schreibt man auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \vdash P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>⊢</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \vdash P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f18d0077ce8d8462745f6423fab22a126472b98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.392ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \vdash P}">. Gelingt es, einen Satz P ohne die Verwendung von Annahmen herzuleiten (zu beweisen), dann schreibt man auch: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vdash P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊢</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdash P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daaeb8a5a3117f00353de8cb053adfeacdcb40b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.811ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \vdash P}">. In diesem Fall wird P Theorem genannt. Das Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vdash }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊢</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdash }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c0d30cf8cb7dba179e317fcde9583d842e80f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.42ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \vdash }"> geht auf die <a href="/wiki/Begriffsschrift" title="Begriffsschrift">Begriffsschrift</a> zurück, jenes Werk, in dem <a href="/wiki/Gottlob_Frege" title="Gottlob Frege">Gottlob Frege</a> 1879 die erste Formalisierung der <a href="/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a> angegeben hat. In der klassischen Aussagenlogik wählt man die Schlussregeln so, dass sich mit ihrer Hilfe alle gültigen Argumente (und nur gültige Argumente) herleiten lassen; die Frage der Gültigkeit wird im folgenden Abschnitt, „Semantik“, behandelt. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Semantik">Semantik</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=23" title="Abschnitt bearbeiten: Semantik" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=23" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Semantik">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Außerhalb der Logik bezeichnet <a href="/wiki/Semantik" title="Semantik">Semantik</a> ein Forschungsgebiet, das sich mit der Bedeutung von Sprache und deren Teilen befasst. Oft wird auch das Wort Semantik gleichbedeutend mit dem Wort Bedeutung verwendet. Auch innerhalb der Logik geht es bei Semantik um Bedeutung: Darum nämlich, den Ausdrücken einer formalen Sprache – zum Beispiel der hier behandelten Sprache der Aussagenlogik – eine Bedeutung zuzuordnen. In der Logik wird auch das meist sehr formal unternommen. Im Zentrum der (formalen) Semantik steht eine Auswertungsfunktion (andere Bezeichnungen lauten Bewertungsfunktion, Denotationsfunktion, Wahrheitswertefunktion), die den Formeln der logischen Sprache eine Bedeutung zuordnet. Formal gesprochen ist die Auswertungsfunktion eine Abbildung von der Menge der Formeln der Sprache in die Menge der Wahrheitswerte. Oft wird die Auswertungsfunktion mit dem Großbuchstaben V bezeichnet. In der klassischen Aussagenlogik ist die Auswertungsfunktion sehr einfach: Das Prinzip der Zweiwertigkeit fordert, dass sie für jede zu bewertende Formel genau einen von genau zwei Wahrheitswerten liefern muss; und das Prinzip der Extensionalität fordert, dass die Bewertungsfunktion beim Bewerten eines komplexen Satzes nur die Bewertung von dessen Teilsätzen berücksichtigen muss. Jedem Atom, also jedem Satzbuchstaben (Atom) wird durch Festsetzung ein Wahrheitswert zugeordnet. Man sagt: Die Atome werden interpretiert. Es wird also z. B. festgelegt, dass P0 wahr ist, dass P1 falsch ist und dass P2 ebenfalls falsch ist. Damit ist der Bewertung der Bausteine der logischen Sprache Genüge getan. Formal ist eine solche Bewertung – Interpretation genannt und oft mit dem Kleinbuchstaben v bezeichnet – eine Funktion im mathematischen Sinn, d. h. eine Abbildung von der Menge der Atome in die Menge der Wahrheitswerte. Wenn die Auswertungsfunktion V auf ein Atom angewandt wird, d. h. wenn sie ein Atom bewerten soll, liefert sie die Interpretation dieses Atoms im Sinn des obigen Absatzes. Mit anderen Worten, sie liefert den Wert, den die Bewertung v dem Atom zuordnet. Um die zusammengesetzten Formeln bewerten zu können, muss für jeden Junktor definiert werden, welchen Wahrheitswert die Bewertungsfunktion für die unterschiedlichen Wahrheitswertkombinationen liefert, den seine Argumente annehmen können. In der klassischen Aussagenlogik geschieht das meist mittels <a href="/wiki/Wahrheitstabelle" title="Wahrheitstabelle">Wahrheitstabellen</a>, weil es nur überschaubar wenige Möglichkeiten gibt. Der einstellige Junktor ¬, die <a href="/wiki/Negation" title="Negation">Negation</a>, ist in der klassischen Aussagenlogik so definiert, dass er den Wahrheitswert seines Arguments ins Gegenteil umkehrt, also „verneint“: Ist die Bewertung einer Formel X wahr, dann liefert die Bewertungsfunktion für ¬X falsch; wird aber X falsch bewertet, dann liefert die Bewertungsfunktion für ¬X wahr. Die Wahrheitstabelle sieht folgendermaßen aus: <table class="wikitable" style="text-align:center;"> <tbody><tr> <th style="background:#F0F0F0;">a </th> <th style="background:#F0F0F0;"><a href="/wiki/Negation" title="Negation">Negation</a> ¬ a </th></tr> <tr> <td>f</td> <td>w </td></tr> <tr> <td>w</td> <td>f </td></tr></tbody></table> Die Wahrheitswertverläufe der verwendeten zweistelligen Konnektive sind in der klassischen Aussagenlogik wie folgt definiert: <table class="wikitable" style="text-align:center;"> <tbody><tr class="hintergrundfarbe5"> <th>a </th> <th>b </th> <th><a href="/wiki/Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">Konjunktion</a> a ∧ b </th> <th><a href="/wiki/Disjunktion" title="Disjunktion">Disjunktion</a> a ∨ b </th> <th>materiale <a href="/wiki/Implikation" title="Implikation">Implikation</a> Konditional a → b </th> <th><a href="/wiki/Bikonditional" title="Bikonditional">Bikonditional</a> a ↔ b </th></tr> <tr> <td>f</td> <td>f</td> <td>f</td> <td>f</td> <td>w</td> <td>w </td></tr> <tr> <td>f</td> <td>w</td> <td>f</td> <td>w</td> <td>w</td> <td>f </td></tr> <tr> <td>w</td> <td>f</td> <td>f</td> <td>w</td> <td>f</td> <td>f </td></tr> <tr> <td>w</td> <td>w</td> <td>w</td> <td>w</td> <td>w</td> <td>w </td></tr></tbody></table> Allgemein gibt es für die klassische Aussagenlogik vier einstellige und sechzehn zweistellige Junktoren. Die hier behandelte logische Sprache beschränkt sich nur deshalb auf die Junktoren ¬, ∧, ∨, → und ↔, weil diese am gebräuchlichsten sind und weil sie auch inhaltlich noch am ehesten aus der Alltagssprache bekannt sind. Aus formaler Sicht ist die einzige Bedingung, die man bei der Wahl von Junktoren erfüllen möchte, die, dass sich mit den gewählten Junktoren auch alle anderen theoretisch möglichen Junktoren ausdrücken lassen; man sagt: Dass die Menge der gewählten Junktoren funktional vollständig ist. Diese Anforderung ist bei der hier getroffenen Wahl erfüllt. Näheres zur Frage, wie viele und welche Junktoren es gibt und wie viele Junktoren man benötigt, um funktionale Vollständigkeit zu erreichen, ist im Kapitel <a href="/wiki/Junktor" title="Junktor">Junktor</a> beschrieben. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Semantische_Gültigkeit,_Tautologien">Semantische Gültigkeit, Tautologien</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=24" title="Abschnitt bearbeiten: Semantische Gültigkeit, Tautologien" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=24" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Semantische Gültigkeit, Tautologien">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Semantische Gültigkeit ist eine Eigenschaft von Formeln oder von Argumenten. (Ein <a href="/wiki/Argument" title="Argument">Argument</a> ist die Behauptung, dass aus einigen Aussagen – den <a href="/wiki/Pr%C3%A4misse" title="Prämisse">Prämissen</a> – eine bestimmte Aussage – die <a href="/wiki/Konklusion" class="mw-redirect" title="Konklusion">Konklusion</a> – folgt.) Eine Formel der aussagenlogischen Sprache heißt genau dann semantisch gültig, wenn die Formel unter allen Interpretationen – d. h. unter allen Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den in ihr vorkommenden Atomen – wahr ist; wenn sie sozusagen allgemeingültig ist; mit anderen Worten: Wenn die <a href="/wiki/Wahrheitstabelle" title="Wahrheitstabelle">Wahrheitstabelle</a> für diese Aussage in jeder Zeile das Ergebnis wahr zeigt. Man nennt semantisch gültige Formeln auch <a href="/wiki/Tautologie_(Logik)" title="Tautologie (Logik)">Tautologien</a> und schreibt, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> eine Tautologie ist, formal wie folgt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \models P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊨</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \models P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1604a59ca170eba656db83b477cc6eee883bd58f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.405ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \models P}"></dd></dl> Ein Argument heißt genau dann semantisch gültig, wenn unter der Voraussetzung, dass alle Prämissen wahr sind, auch die Konklusion wahr ist. In der Formulierung von <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a>: Aus Wahrem folgt nur Wahres. Diese Definition muss natürlich ebenfalls formal gefasst werden, und das geschieht wie folgt: Ein Argument ist genau dann semantisch gültig, wenn alle Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den in Prämissen und Konklusion vorkommenden Atomen, unter denen die Bewertungsfunktion für alle Prämissen den Wert wahr liefert, auch für die Konklusion den Wert wahr liefert. Um auszudrücken, dass aus einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }"> von Formeln (der Prämissenmenge) eine Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> (die Konklusion) semantisch folgt, schreibt man formal wie folgt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \models P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>⊨</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \models P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563eb0e92af9cf54b95fd985ca0efff20c38ccaf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.986ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \models P}"></dd></dl> Beachte die graphische Ähnlichkeit und die inhaltliche Verschiedenheit zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \vdash P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>⊢</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \vdash P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f18d0077ce8d8462745f6423fab22a126472b98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.392ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \vdash P}"> (Kapitel „Herleitung und Beweis“) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \models P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>⊨</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \models P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563eb0e92af9cf54b95fd985ca0efff20c38ccaf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.986ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \models P}"> (Siehe: <a href="/wiki/Semantische_Folgerung" title="Semantische Folgerung">Semantische Folgerung</a>): Die erste Formulierung – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \vdash P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>⊢</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \vdash P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f18d0077ce8d8462745f6423fab22a126472b98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.392ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \vdash P}"> – drückt die syntaktische Gültigkeit des Arguments aus, sagt also, dass aus den Formeln in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }"> mit den Schlussregeln des gewählten Kalküls die Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> hergeleitet werden kann. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \models P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>⊨</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \models P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563eb0e92af9cf54b95fd985ca0efff20c38ccaf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.986ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \models P}"> hingegen behauptet die semantische Gültigkeit, die in der klassischen Aussagenlogik wie in den vorangegangenen Absätzen als das Leibniz’sche Aus Wahrem folgt nur Wahres definiert ist. <div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="/wiki/Entscheidbar" class="mw-redirect" title="Entscheidbar">Entscheidbar</a></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Wichtige_semantische_Eigenschaften:_Erfüllbarkeit,_Widerlegbarkeit_und_Unerfüllbarkeit">Wichtige semantische Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=25" title="Abschnitt bearbeiten: Wichtige semantische Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=25" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wichtige semantische Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Neben der Eigenschaft der Gültigkeit (Allgemeingültigkeit) gibt es einige andere wichtige Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit. Im Gegensatz zur Gültigkeit, die Eigenschaft von Formeln oder von Argumenten sein kann, sind Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit Eigenschaften von Sätzen oder von Satzmengen. <ul><li>Eine Formel heißt erfüllbar, wenn es mindestens eine Interpretation der in ihr vorkommenden Atome (Satzbuchstaben) gibt, unter der die Formel wahr ist.</li> <li>Eine Formel heißt widerlegbar, wenn es mindestens eine Interpretation der in ihr vorkommenden Atome gibt, unter der die Formel falsch ist.</li> <li>Eine Formel heißt unerfüllbar, wenn sie unter allen Interpretationen der in ihr vorkommenden Satzbuchstaben falsch ist.</li> <li>Eine Formelmenge heißt gültig, wenn alle in ihr enthaltenen Formeln erfüllbar sind.</li></ul> Die Frage, ob eine Formel (oder eine Formelmenge) eine der genannten Eigenschaften hat, ist ebenso wie die Frage, ob eine Formel allgemeingültig, d. h. eine Tautologie ist, für allgemeine Formeln nicht effizient lösbar: Zwar ist die Wahrheitstafel ein Entscheidungsverfahren für jede dieser Fragen, doch umfasst eine Wahrheitstafel für eine Aussage bzw. eine Aussagemenge in n Atomen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}}"> Zeilen; das Wahrheitstafelverfahren ist nichts anderes als ein <a href="/wiki/Brute-Force-Methode" title="Brute-Force-Methode">Brute-Force-Verfahren</a>. Jede dieser Fragestellungen kann auf die Frage zurückgeführt werden, ob eine bestimmte Formel erfüllbar ist: <ul><li>Eine Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> ist genau dann eine Tautologie, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c4b627f483f3efdd7c27e708f6f37c20c63502" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.07ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg \varphi }"> unerfüllbar ist.</li> <li>Eine Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> ist genau dann widerlegbar, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c4b627f483f3efdd7c27e708f6f37c20c63502" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.07ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg \varphi }"> erfüllbar ist.</li></ul> Die Frage, ob eine Aussage erfüllbar ist, wird <a href="/wiki/Erf%C3%BCllbarkeitsproblem_der_Aussagenlogik" title="Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik">Erfüllbarkeitsproblem</a> oder SAT-Problem (nach dem englischen Wort für Erfüllbarkeit, satisfiability) genannt. Das SAT-Problem spielt eine wichtige Rolle in der theoretischen Informatik und <a href="/wiki/Komplexit%C3%A4tstheorie" title="Komplexitätstheorie">Komplexitätstheorie</a>. Das Erfüllbarkeitsproblem für allgemeine (beliebige) Formeln ist <a href="/wiki/NP-vollst%C3%A4ndig" class="mw-redirect" title="NP-vollständig">NP-vollständig</a>, d. h. (unter der Voraussetzung, dass <a href="/wiki/P-NP-Problem" title="P-NP-Problem">P ungleich NP</a>) nicht in polynomialer Laufzeit lösbar. Für bestimmte echte Teilmengen der Formeln der aussagenlogischen Sprache ist das SAT-Problem dennoch schneller, d. h. in polynomial beschränkter Rechenzeit lösbar. Eine solche Teilmenge sind die <a href="/wiki/Horn-Formel" title="Horn-Formel">Horn-Formeln</a>, das sind Konjunktionen von Disjunktionen, deren Disjunkte verneinte oder unverneinte Atome sind, wobei innerhalb einer solchen Disjunktion allerdings höchstens ein Atom unverneint sein darf. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Algebraische_Sicht">Algebraische Sicht</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=26" title="Abschnitt bearbeiten: Algebraische Sicht" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=26" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Algebraische Sicht">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Wenn man die Semantik betrachtet, die hier für die klassische Aussagenlogik aufgestellt wurde, dann erkennt man gewisse Gesetzmäßigkeiten. Wird z. B. die Auswertungsfunktion auf eine Aussage der Form X ∧ W angewendet, wobei W eine beliebige wahre Aussage sein soll, dann stellt man fest, dass die Auswertungsfunktion für X ∧ W immer den Wahrheitswert wahr liefert, wenn V(X)=wahr ist (das heißt V(X∧W)=V(X)). Von der Struktur her gleichwertige Gesetzmäßigkeiten gelten auch in anderen Semantiken, auch in solchen, die für ganz andere, nichtlogische Systeme aufgestellt werden. Für die Arithmetik gilt z. B., dass die dortige Bewertungsfunktion (hier VArithmetik genannt) für einen Ausdruck der Form X + Y immer den Wert von X liefert, sofern der Wert von Y null ist: VArithmetik(X+Y)=VArithmetik(X), wenn VArithmetik(Y) = null ist. Eine formale Wissenschaft, die solche strukturellen Gesetzmäßigkeiten untersucht, ist die <a href="/wiki/Abstrakte_Algebra" title="Abstrakte Algebra">abstrakte Algebra</a> (meist Teilgebiet der <a href="/wiki/Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a>, aber auch der <a href="/wiki/Informatik" title="Informatik">Informatik</a>). In der abstrakten Algebra wird zum Beispiel untersucht, für welche Verknüpfungen es ein neutrales Element gibt, d. h. ein Element N, das für eine Verknüpfung op dazu führt, dass (für beliebiges X) gilt: X op N = X. So würde man aus algebraischer Sicht sagen, dass es für die klassische aussagenlogische <a href="/wiki/Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">Konjunktion</a> genau ein neutrales Element gibt, nämlich wahr, und dass es für die Addition in der Arithmetik ebenfalls genau ein neutrales Element gibt, nämlich die Zahl Null. Nur am Rande sei erwähnt, dass es auch für andere Junktoren neutrale Elemente gibt; das neutrale Element für die <a href="/wiki/Disjunktion" title="Disjunktion">Disjunktion</a> ist falsch: V(X ∨ F) = V(X), wenn V(F)=falsch ist. Die formale Algebra betrachtet formale Semantiken rein nach ihren strukturellen Eigenschaften. Sind diese identisch, dann besteht zwischen ihnen aus algebraischer Sicht kein Unterschied. Aus algebraischer Sicht, genauer: Aus Sicht der formalen Algebra ist die Semantik für die klassische Aussagenlogik eine zweiwertige <a href="/wiki/Boolesche_Algebra" title="Boolesche Algebra">Boolesche Algebra</a>. Andere formale Systeme, deren Semantiken jeweils eine Boolesche Algebra bilden, sind die <a href="/wiki/Schaltalgebra" title="Schaltalgebra">Schaltalgebra</a> und die elementare Mengenlehre. Aus algebraischer Sicht besteht daher zwischen diesen Disziplinen kein Unterschied. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Normalformen">Normalformen</h4>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=27" title="Abschnitt bearbeiten: Normalformen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=27" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Normalformen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Jede aussagenlogische Formel lässt sich in eine äquivalente Formel in <a href="/wiki/Konjunktive_Normalform" title="Konjunktive Normalform">konjunktiver Normalform</a> und eine äquivalente Formel in <a href="/wiki/Disjunktive_Normalform" title="Disjunktive Normalform">disjunktiver Normalform</a> umformen. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Metatheorie">Metatheorie</h3>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=28" title="Abschnitt bearbeiten: Metatheorie" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=28" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Metatheorie">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der Metatheorie werden die Eigenschaften von logischen Systemen untersucht: Das logische System ist in der Metatheorie der Untersuchungsgegenstand. Eine metatheoretische Fragestellung ist zum Beispiel die, ob in einem Kalkül ein Widerspruch hergeleitet werden kann. Der vorliegende Abschnitt soll einige wichtige metatheoretische Fragestellungen aus dem Blickwinkel der Aussagenlogik betrachten. <dl><dt>Konsistenz</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalkül</a> wird genau dann konsistent genannt, wenn es unmöglich ist, mit Hilfe seiner Axiome und Regeln einen <a href="/wiki/Kontradiktion" title="Kontradiktion">Widerspruch</a> herzuleiten, d. h. eine Aussage der Form P ∧ ¬ P (z. B. „Hugo ist groß, und Hugo ist nicht groß“). Für einen Kalkül, der in der Aussagenlogik verwendet werden soll, ist das eine Mindestanforderung.</dd> <dd>Ist es in einem Kalkül möglich, einen Widerspruch herzuleiten, dann wird der Kalkül inkonsistent genannt.</dd> <dd>Es gibt formale Systeme, in denen solch ein Widerspruch hergeleitet werden kann, die aber durchaus sinnvoll sind. Für solche Systeme wird ein anderer Konsistenzbegriff verwendet: Ein Kalkül ist konsistent, wenn in ihm nicht alle Formeln herleitbar sind (siehe <a href="/wiki/Parakonsistente_Logik" title="Parakonsistente Logik">parakonsistente Logik</a>).</dd> <dd>Es lässt sich leicht zeigen, dass für die klassische Logik die beiden Konsistenzbegriffe zusammenfallen: In der klassischen Logik lässt sich aus einem Widerspruch jeder beliebige Satz herleiten (dieser Sachverhalt wird <a href="/wiki/Ex_falso_quodlibet" title="Ex falso quodlibet">Ex falso quodlibet</a> genannt), d. h. wenn ein klassischer Kalkül auch nur einen Widerspruch herleiten könnte, also im ersten Sinn inkonsistent wäre, dann könnte er jede Aussage herleiten, wäre also im zweiten Sinn inkonsistent. Wenn umgekehrt ein Kalkül inkonsistent im zweiten Sinn ist, also in ihm jede Aussage herleitbar ist, dann ist insbesondere auch jeder Widerspruch herleitbar und ist er auch inkonsistent im ersten Sinn.</dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/Korrektheit_(Logik)" title="Korrektheit (Logik)">Korrektheit</a></dt> <dd>Ein Kalkül heißt genau dann korrekt (semantisch korrekt), wenn in ihm nur solche Formeln hergeleitet werden können, die auch semantisch gültig sind. Für die klassische Aussagenlogik bedeutet das einfacher: Ein Kalkül ist genau dann korrekt, wenn in ihm nur Tautologien bewiesen und nur gültige Argumente hergeleitet werden können.</dd> <dd>Ist es in einem aussagenlogischen Kalkül möglich, mindestens ein ungültiges Argument herzuleiten oder mindestens eine Formel zu beweisen, die keine Tautologie ist, dann ist der Kalkül inkorrekt.</dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/Vollst%C3%A4ndigkeit_(Logik)" title="Vollständigkeit (Logik)">Vollständigkeit</a></dt> <dd>Vollständig (semantisch vollständig) heißt ein Kalkül genau dann, wenn in ihm alle semantisch gültigen Formeln hergeleitet werden können; für die klassische Aussagenlogik: Wenn in ihm alle Tautologien hergeleitet werden können.</dd></dl> <dl><dt>Adäquatheit</dt> <dd>Ein Kalkül heißt genau dann im Hinblick auf eine spezielle Semantik adäquat, wenn er (semantisch) korrekt und (semantisch) vollständig ist.</dd></dl> Ein metatheoretisches Resultat ist zum Beispiel die Feststellung, dass alle korrekten Kalküle auch konsistent sind. Ein anderes metatheoretisches Resultat ist die Feststellung, dass ein konsistenter Kalkül nicht automatisch korrekt sein muss: Es ist ohne weiteres möglich, einen Kalkül aufzustellen, in dem zwar kein Widerspruch hergeleitet werden kann, in dem aber z. B. die nicht allgemeingültige Aussage der Form „A ∨ B“ hergeleitet werden kann. Ein solcher Kalkül wäre aus ersterem Grund konsistent, aus letzterem Grund aber nicht korrekt. Ein weiteres, sehr einfaches Resultat ist die Feststellung, dass ein vollständiger Kalkül nicht automatisch auch korrekt oder nur konsistent sein muss. Das einfachste Beispiel wäre ein Kalkül, in dem jede Formel der aussagenlogischen Sprache herleitbar ist. Da jede Formel herleitbar ist, sind alle Tautologien herleitbar, die ja Formeln sind: Das macht den Kalkül vollständig. Da aber jede Formel herleitbar ist, ist insbesondere auch die Formel P0 ∧ ¬ P0 und die Formel A ∨ B herleitbar: Ersteres macht den Kalkül inkonsistent, letzteres inkorrekt. Das Ideal, das ein Kalkül erfüllen sollte, ist Korrektheit und Vollständigkeit: Wenn das der Fall ist, dann ist er der ideale Kalkül für ein logisches System, weil er alle semantisch gültigen Sätze (und nur diese) herleiten kann. So sind die beiden Fragen, ob ein konkreter Kalkül korrekt und/oder vollständig ist und ob es für ein bestimmtes logisches System überhaupt möglich ist, einen korrekten und vollständigen Kalkül anzugeben, zwei besonders wichtige metatheoretische Fragestellungen. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abgrenzung_und_Philosophie">Abgrenzung und Philosophie</h2>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=29" title="Abschnitt bearbeiten: Abgrenzung und Philosophie" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=29" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Abgrenzung und Philosophie">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die klassische Aussagenlogik, wie sie hier ausgeführt wurde, ist ein formales logisches System. Als solches ist sie eines unter vielen, die aus formaler Sicht gleichwertig nebeneinander stehen und die ganz bestimmte Eigenschaften haben: Die meisten sind konsistent, die meisten sind korrekt, etliche sind vollständig, und einige sind sogar entscheidbar. Aus formaler Sicht stehen die logischen Systeme in keinem Konkurrenzverhalten hinsichtlich Wahrheit oder Richtigkeit. Von formalen, innerlogischen Fragen klar unterschieden sind außerlogische Fragen: Solche nach der Nützlichkeit (Anwendbarkeit) einzelner Systeme für einen bestimmten Zweck und solche nach dem philosophischen, speziell <a href="/wiki/Metaphysik" title="Metaphysik">metaphysischen</a> Status einzelner Systeme. Die Nützlichkeitserwägung ist die einfachere, bezüglich deren Meinungsunterschiede weniger tiefgehend bzw. weniger schwerwiegend sind. Klassische Aussagenlogik zum Beispiel bewährt sich in der Beschreibung elektronischer Schaltungen (<a href="/wiki/Schaltalgebra" title="Schaltalgebra">Schaltalgebra</a>) oder zur Formulierung und Vereinfachung <a href="/wiki/Logischer_Operator" title="Logischer Operator">logischer Ausdrücke in Programmiersprachen</a>. <a href="/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a> wird gerne angewandt, wenn es darum geht, Faktenwissen zu formalisieren und automatisiert Schlüsse daraus zu ziehen, wie das unter anderem im Rahmen der Programmiersprache <a href="/wiki/Prolog_(Programmiersprache)" title="Prolog (Programmiersprache)">Prolog</a> geschieht. <a href="/wiki/Fuzzy-Logik" class="mw-redirect" title="Fuzzy-Logik">Fuzzy-Logiken</a>, nonmonotone, <a href="/wiki/Mehrwertige_Logik" title="Mehrwertige Logik">mehrwertige</a> und auch parakonsistente Logiken sind hochwillkommen, wenn es darum geht, mit Wissensbeständen umzugehen, in denen Aussagen mit unterschiedlich starkem Gewissheitsgrad oder gar einander widersprechende Aussagen abgelegt werden sollen und dennoch sinnvolle Schlüsse aus dem Gesamtbestand gezogen werden sollen. Auch wenn es je nach Anwendungsfall sehr große Meinungsunterschiede geben kann, welches logisches System besser geeignet ist, ist die Natur des Problems für alle Beteiligten unmittelbar und in gleicher Weise greifbar. Einzelwissenschaftliche Überlegungen und Fragestellungen spielen sich überwiegend in diesem Bereich ab. (Noch) kontroverser als solche pragmatischen Überlegungen sind Fragestellungen philosophischer und metaphysischer Natur. Geradezu paradigmatisch ist die Frage, „welches logische System richtig ist“, wobei „richtig“ hier gemeint ist als: Welches logische System nicht nur einen Teilaspekt der Wirklichkeit modellhaft vereinfacht, sondern die Wirklichkeit, das Sein als Ganzes adäquat beschreibt. Zu dieser Fragestellung gibt es viele unterschiedliche Meinungen einschließlich der vom philosophischen <a href="/wiki/Positivismus" title="Positivismus">Positivismus</a> eingeführten Meinung, dass die Fragestellung als Ganzes sinnlos ist. In den Bereich metaphysischer Fragestellungen fällt auch die Frage, ob es so etwas wie ein metaphysisches <a href="/wiki/Prinzip_der_Zweiwertigkeit" title="Prinzip der Zweiwertigkeit">Prinzip der Zweiwertigkeit</a> gebe, ob also Aussagen über die Wirklichkeit durchgehend ins Schema wahr/falsch passen oder nicht. Diese Frage ist unabhängig von der Frage, ob die Beschäftigung mit zwei- oder mehrwertigen Logiken praktisch sinnvoll ist: Selbst wenn ein metaphysisches Prinzip der Zweiwertigkeit herrscht, könnte man anwendungspraktisch mehrwertige Logiken nützen, etwa dazu, epistemische Sachverhalte zu fassen, zum Beispiel aus Aussagen zu schließen, die zwar metaphysisch wahr oder falsch sind, von denen aber nicht oder noch nicht bekannt ist, welches von beidem der Fall ist. Umgekehrt kann man auch dann, wenn ein solches metaphysisches Prinzip nicht gilt, zweiwertige Logik wegen ihrer Einfachheit für solche Anwendungen bevorzugen, bei denen nur mit solchen Sätzen umgegangen werden muss, die tatsächlich wahr oder falsch sind. Die Frage nach einem metaphysischen Prinzip der Zweiwertigkeit ist wie die meisten metaphysischen Fragen nicht endgültig zufriedenstellend beantwortet. Ein früher Einwand gegen ein solches Prinzip, den Aristoteles zur Diskussion stellte, war das Thema der Aussagen über zukünftige Sachverhalte („Morgen wird es regnen“). Wenn Aussagen über Zukünftiges schon heute wahr oder falsch wären, so wird argumentiert, dann müsse die Zukunft bis ins letzte Detail vorbestimmt sein. Ein anderer Einwand, der vorgebracht wird, ist, dass es Aussagen gibt, deren Wahrheit praktisch oder theoretisch nicht festgestellt werden kann – zum Beispiel lässt sich die Wahrheit von „Der Rasen vor dem Weißen Haus bestand am 1. Februar 1870 aus genau 6.120.375,4 Grashalmen“ einfach nicht feststellen. Befürworter eines metaphysischen Zweiwertigkeitsprinzips berufen sich oft auf das Verhalten von Metatheoretikern, also von Mathematikern oder Logikern, die Aussagen über formale Systeme treffen: Egal wie mehrwertig oder nichtklassisch das untersuchte System ist, die dabei getroffenen Metavermutungen, Metabehauptungen und Metafeststellungen sind immer zweiwertig: Ein Kalkül, auch ein parakonsistenter oder nonmonotoner, wird immer als entweder konsistent oder inkonsistent betrachtet, und ein logisches System ist immer entweder korrekt oder inkorrekt, vollständig oder nicht vollständig, entscheidbar oder unentscheidbar, niemals „ein bisschen“ von beidem. Befürworter deuten das als Hinweis darauf, dass es in der Wirklichkeit tatsächlich eine strenge Unterscheidung nach wahr und falsch gebe oder dass es zumindest sinnvoll ist, eine solche anzunehmen. Eine andere philosophische Fragestellung ist die nach dem metaphysischen Status des Untersuchungsgegenstands der Logik, also danach, was logische Systeme, Kalküle, Wahrheitswerte eigentlich „sind“. Der <a href="/wiki/Platonismus" title="Platonismus">platonische</a> Standpunkt besteht darin, dass die in der Logik verwendeten Zeichen und Konstrukte eine außerlogische Bedeutung haben, dass sie Namen für real existierende (wenn auch natürlich nicht-physikalische) Gegenstände sind. In diesem Sinn gäbe es so etwas wie das Wahre und das Falsche, abstrakte Gegenstände, die von den Zeichen „wahr“ und „falsch“ benannt werden. Der Gegenpol zum Platonismus wäre der Nominalismus, der Existenz nur den Zeichen zuspricht, die in der Logik manipuliert werden. Gegenstand der Logik sind Zeichen, und die Tätigkeit der Logiker ist die Manipulation von Zeichen. Die Zeichen bezeichnen aber nichts, so etwas wie das Wahre oder das Falsche gibt es also nicht. Im <a href="/wiki/Grundlagenstreit_der_Mathematik" class="mw-redirect" title="Grundlagenstreit der Mathematik">Grundlagenstreit der Mathematik</a> entspräche der nominalistischen Position die <a href="/wiki/Formalismus_(Mathematik)" title="Formalismus (Mathematik)">formalistische Richtung</a>. Eine Mittelstellung nähme der <a href="/wiki/Konstruktivismus_(Philosophie)" title="Konstruktivismus (Philosophie)">philosophische Konstruktivismus</a> ein, demzufolge die Zeichen zwar keine unabhängig existierenden Gegenstände bezeichnen, durch den Umgang mit den Zeichen aber Gegenstände konstruiert werden. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=30" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=30" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Jon Barwise, John Etchemendy: The Language of First Order Logic (= CSLI Lecture Notes. Bd. 23). 2. Auflage, revised and expanded. Center for the Study of Language and Information, Stanford CA 1991, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0937073741" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-937073-74-1</a>.</li> <li><a href="/wiki/Ansgar_Beckermann" title="Ansgar Beckermann">Ansgar Beckermann</a>: Einführung in die Logik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2003, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3110179652" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-11-017965-2</a>.</li> <li><a href="/wiki/Karel_Berka" title="Karel Berka">Karel Berka</a>, Lothar Kreiser: Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik. 4., gegenüber der 3., erweiterte, durchgesehene Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1986.</li> <li><a href="/wiki/Wolfgang_Detel" title="Wolfgang Detel">Wolfgang Detel</a>: Grundkurs Philosophie. Band 1: Logik (= Universal-Bibliothek. Nr. 18468). Reclam, Stuttgart 2007, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783150184684" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-15-018468-4</a>.</li> <li><a href="/wiki/Wilfrid_Hodges" title="Wilfrid Hodges">Wilfrid Hodges</a>: Logic. Penguin Books, Harmondsworth 1977, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0140219854" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-14-021985-4</a> (2. Auflage. ebenda 2001 <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0141003146" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-14-100314-6</a>).</li> <li><a href="/wiki/R%C3%BCdiger_Inhetveen" title="Rüdiger Inhetveen">Rüdiger Inhetveen</a>: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung (= Eagle. Bd. 2). Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2003, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3937219021" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-937219-02-1</a>.</li> <li>E. J. Lemmon: Beginning Logic. Nelson, London 1965 (2. Auflage. Chapman & Hall, London 1987, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0412380900" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-412-38090-0</a>).</li> <li><a href="/wiki/Wesley_C._Salmon" title="Wesley C. Salmon">Wesley C. Salmon</a>: Logik. (= Universal-Bibliothek. Nr. 7996). Reclam Stuttgart 1983, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3150079969" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-15-007996-9</a>.</li> <li>Erich Grädel: <cite style="font-style:italic">Mathematische Logik</cite>. Mathematische Grundlagen der Informatik, SS 2009. RWTH, Aachen 2009, S. 129 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://fldit-www.cs.uni-dortmund.de/~peter/LogikGraedel.pdf">uni-dortmund.de</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Aussagenlogik&rft.au=Erich+Gr%C3%A4del&rft.btitle=Mathematische+Logik&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.pages=129&rft.place=Aachen&rft.pub=RWTH&rft.volume=Mathematische+Grundlagen+der+Informatik%2C+SS+2009" style="display:none"> </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=31" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=31" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Aussagenlogik" class="extiw" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Aussagenlogik">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Aussagenlogik</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Aussagenlogik" class="extiw" title="wikt:Aussagenlogik">Wiktionary: Aussagenlogik</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <ul><li>Kevin C. Klement: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.iep.utm.edu/p/prop-log.htm">Propositional Logic.</a> In: J. Fieser, B. Dowden (Hrsg.): <a href="/wiki/Internet_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Internet Encyclopedia of Philosophy">Internet Encyclopedia of Philosophy</a>.</li> <li><a href="/wiki/Christian_Spannagel" title="Christian Spannagel">Christian Spannagel</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/series/241">Aussagen- und Prädikatenlogik</a>. Vorlesungsreihe, 2012.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2>[<a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&veaction=edit&section=32" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Aussagenlogik&action=edit&section=32" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Karl Dürr: Aussagenlogik im Mittelalter. In: Erkenntnis. Bd. 7, Nr. 1, 1937/1938, <a href="/wiki/Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220165-0106%22&key=cql">0165-0106</a>, S. 160–168, <a href="//doi.org/10.1007/BF00666521" class="extiw" title="doi:10.1007/BF00666521">doi:10.1007/BF00666521</a>. </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Was ist <a href="/wiki/M%C3%BCnchen" title="München">München</a>? Was ist <a href="/wiki/Hamburg" title="Hamburg">Hamburg</a>? Von wo aus wird die Entfernung gemessen? "Genauigkeits"-Probleme </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Die Aussage ist immer unbestimmt, da zukünftige Ereignisse immer unbestimmt sind. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Weitz / HAW Hamburg: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=Bco0JB7dgVs">Aussagenlogik</a> auf <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 29. März 2023, abgerufen am 25. Februar 2024 (Laufzeit: 56:50 min). </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Johann Fischl: <cite style="font-style:italic">Logik (Die Formen unseres Denkens (1946))</cite>. 2. Auflage. Styria, Graz / Wien / Altötting 1952, S. 149, Fn. 15.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Aussagenlogik&rft.au=Johann+Fischl&rft.btitle=Logik+%28Die+Formen+unseres+Denkens+%281946%29%29&rft.date=1952&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.pages=149%2C+Fn.+15&rft.place=Graz+%2F+Wien+%2F+Alt%C3%B6tting&rft.pub=Styria" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> E. Grädel (2009) S. 1 f </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Vergleiche E. Grädel (2009) S. 2 </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Bertrand Russell: Mathematical logic as based on the theory of types. In: American Journal of Mathematics. 30, 1908, S. 246 (2)-(6). = <a href="/wiki/Principia_Mathematica" title="Principia Mathematica">Principia Mathematica</a> Band I, S. 12f. </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4136098-9">4136098-9</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4136098-9">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4136098-9">OGND</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4136098-9">AKS</a>) </div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Aussagenlogik&oldid=250082188">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Aussagenlogik&oldid=250082188</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Sprachphilosophie" title="Kategorie:Sprachphilosophie">Sprachphilosophie</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Aussagenlogik" title="Kategorie:Aussagenlogik">Aussagenlogik</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Versteckte Kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:MediaWiki:Gadget/annotationPair" title="Kategorie:MediaWiki:Gadget/annotationPair">MediaWiki:Gadget/annotationPair</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Aussagenlogik" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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[o]" accesskey="o">Anmelden</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Namensräume </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Aussagenlogik" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c">Artikel</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Aussagenlogik" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t">Diskussion</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" 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<h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > In anderen Sprachen </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Proposisionele_logika" title="Proposisionele logika – Afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Proposisionele logika" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="Afrikaans" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B6%D8%A7%D9%8A%D8%A7" title="حساب القضايا – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="حساب القضايا" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3xica_proposicional" title="Lóxica proposicional – Asturisch" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Lóxica proposicional" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D1%9E" title="Логіка выказванняў – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Логіка выказванняў" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D1%8C%D0%BB%D1%96%D1%87%D1%8D%D0%BD%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%8C%D0%BD%D1%8F%D1%9E" title="Зьлічэньне выказваньняў – Weißrussisch (Taraschkewiza)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Зьлічэньне выказваньняў" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Weißrussisch (Taraschkewiza)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Пропозиционална логика – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Пропозиционална логика" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/L%C3%B2gica_proposicional" title="Lògica proposicional – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Lògica proposicional" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/V%C3%BDrokov%C3%A1_logika" title="Výroková logika – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Výroková logika" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%C4%83%D0%BB%C4%83%D1%85%D1%81%D0%B5%D0%BD_%D1%88%D1%83%D1%82%D0%BB%D0%B0%D0%B2%C4%95" title="Каланăлăхсен шутлавĕ – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Каланăлăхсен шутлавĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhesymeg_osodiadol" title="Rhesymeg osodiadol – Walisisch" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhesymeg osodiadol" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Walisisch" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%BF%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Προτασιακός λογισμός – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Προτασιακός λογισμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_calculus" title="Propositional calculus – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Propositional calculus" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional" title="Lógica proposicional – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Lógica proposicional" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Lauseloogika" title="Lauseloogika – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Lauseloogika" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Logika_proposizional" title="Logika proposizional – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Logika proposizional" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%DA%AF%D8%B2%D8%A7%D8%B1%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="حساب گزاره‌ای – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="حساب گزاره‌ای" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Propositiologiikka" title="Propositiologiikka – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Propositiologiikka" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_propositions" title="Calcul des propositions – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Calcul des propositions" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/%C3%9Ctjsaagenloogik" title="Ütjsaagenloogik – Nordfriesisch" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Ütjsaagenloogik" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="Nordfriesisch" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3xica_proposicional" title="Lóxica proposicional – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Lóxica proposicional" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%97%D7%A9%D7%99%D7%91_%D7%94%D7%A4%D7%A1%D7%95%D7%A7%D7%99%D7%9D" title="תחשיב הפסוקים – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="תחשיב הפסוקים" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%9C%E0%A5%8D%E0%A4%9E%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="प्रतिज्ञप्तिक कलन – Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="प्रतिज्ञप्तिक कलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dt%C3%A9letlogika" title="Ítéletlogika – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Ítéletlogika" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%A9%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D6%80%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Ասույթների տրամաբանություն – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ասույթների տրամաբանություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_proposisional" title="Kalkulus proposisional – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Kalkulus proposisional" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Logica_proposizionale" title="Logica proposizionale – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Logica proposizionale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C%E8%AB%96%E7%90%86" title="命題論理 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="命題論理" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%85%EC%A0%9C_%EB%85%BC%EB%A6%AC" title="명제 논리 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="명제 논리" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D0%BA_%D1%81%D2%AF%D0%B9%D0%BB%D3%A9%D3%A9" title="Логикалык сүйлөө – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Логикалык сүйлөө" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Logica_propositionalis" title="Logica propositionalis – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Logica propositionalis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Teigini%C5%B3_logika" title="Teiginių logika – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Teiginių logika" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Propositielogica" title="Propositielogica – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Propositielogica" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Utsegnslogikk" title="Utsegnslogikk – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Utsegnslogikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Setningslogikk" title="Setningslogikk – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Setningslogikk" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Rachunek_zda%C5%84" title="Rachunek zdań – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Rachunek zdań" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%88%D9%8A_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_(%D9%85%D9%86%D8%B7%D9%82)" title="قضیوي حساب (منطق) – Paschtu" lang="ps" hreflang="ps" data-title="قضیوي حساب (منطق)" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="Paschtu" class="interlanguage-link-target">پښتو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional" title="Lógica proposicional – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Lógica proposicional" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9" title="Логика высказываний – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Логика высказываний" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Propositional_logic" title="Propositional logic – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Propositional logic" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/V%C3%BDrokov%C3%A1_logika" title="Výroková logika – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Výroková logika" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Propozicijska_logika" title="Propozicijska logika – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Propozicijska logika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D1%87%D1%83%D0%BD" title="Исказни рачун – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Исказни рачун" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Satslogik" title="Satslogik – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Satslogik" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9E%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B9%8C" title="แคลคูลัสเชิงประพจน์ – Thailändisch" lang="th" hreflang="th" data-title="แคลคูลัสเชิงประพจน์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Thailändisch" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96nermeler_mant%C4%B1%C4%9F%C4%B1" title="Önermeler mantığı – Türkisch" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Önermeler mantığı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Türkisch" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Числення висловлень – Ukrainisch" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Числення висловлень" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Ukrainisch" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/M%E1%BB%87nh_%C4%91%E1%BB%81_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Mệnh đề toán học – Vietnamesisch" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Mệnh đề toán học" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="Vietnamesisch" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A2%98%E9%80%BB%E8%BE%91" title="命题逻辑 – Chinesisch" lang="zh" hreflang="zh" data-title="命题逻辑" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Chinesisch" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C%E9%82%8F%E8%BC%AF" title="命題邏輯 – Kantonesisch" lang="yue" hreflang="yue" data-title="命題邏輯" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Kantonesisch" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q200694#sitelinks-wikipedia" title="Links auf Artikel in anderen Sprachen bearbeiten" class="wbc-editpage">Links bearbeiten</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Diese Seite wurde zuletzt am 5. 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