CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="fa" dir="rtl"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>بسط دوجمله‌ای - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )fawikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[".\t,","٫\t٬"],"wgDigitTransformTable":[ "0\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t%","۰\t۱\t۲\t۳\t۴\t۵\t۶\t۷\t۸\t۹\t٪"],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","ژانویه","فوریه","مارس","آوریل","مه","ژوئن","ژوئیه","اوت","سپتامبر","اکتبر","نوامبر","دسامبر"],"wgRequestId":"ee7605fd-e955-4927-b523-d058d9da2113","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"بسط_دوجمله‌ای","wgTitle":"بسط دوجمله‌ای","wgCurRevisionId":40449870,"wgRevisionId":40449870,"wgArticleId":227693,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["صفحه‌های دارای پیوند مرده","پیوند رده انبار در ویکی‌داده است","جبر","قضایای مربوط به چندجمله‌ای‌ها","قضایای جبر","قضیه‌های ریاضی","موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای"],"wgPageViewLanguage": "fa","wgPageContentLanguage":"fa","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"بسط_دوجمله‌ای","wgRelevantArticleId":227693,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"status":{"levels":1}}},"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"fa","pageLanguageDir":"rtl","pageVariantFallbacks":"fa"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":7000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q26708","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":[ "brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":true,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.Edittools", "ext.gadget.EasyNewSection","ext.gadget.signit","ext.gadget.decodesummary","ext.gadget.Watchlist","ext.gadget.switcher","ext.gadget.refToolbar","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fa&modules=ext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=fa&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fa&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Binomial_theorem_visualisation.svg/1200px-Binomial_theorem_visualisation.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="900"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Binomial_theorem_visualisation.svg/800px-Binomial_theorem_visualisation.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="600"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Binomial_theorem_visualisation.svg/640px-Binomial_theorem_visualisation.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="480"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="بسط دوجمله‌ای - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//fa.m.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="ویرایش" href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="ویکی‌پدیا (fa)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//fa.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fa"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="خوراک اتم برای ویکی‌پدیا" href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D8%AE%DB%8C%D8%B1&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki rtl sitedir-rtl mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-بسط_دوجمله‌ای rootpage-بسط_دوجمله‌ای skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">پرش به محتوا</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="وبگاه"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="منوی اصلی" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">منوی اصلی</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">منوی اصلی</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">انتقال به نوار کناری</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">نهفتن</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> بازدید محتوا </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%A7%D8%B5%D9%84%DB%8C" title="مشاهدهٔ صفحهٔ اصلی [z]" accesskey="z"><span>صفحهٔ اصلی</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%AF%D8%B1%DA%AF%D8%A7%D9%87:%D8%B1%D9%88%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D8%AF%D9%87%D8%A7%DB%8C_%DA%A9%D9%86%D9%88%D9%86%DB%8C" title="یافتن اطلاعات پس‌زمینه پیرامون رویدادهای کنونی"><span>رویدادهای کنونی</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%81%DB%8C" title="آوردن یک صفحهٔ تصادفی [x]" accesskey="x"><span>مقالهٔ تصادفی</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-collaboration" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-collaboration" > <div class="vector-menu-heading"> همکاری </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D8%AE%DB%8C%D8%B1" title="فهرستی از تغییرات اخیر ویکی [r]" accesskey="r"><span>تغییرات اخیر</span></a></li><li id="n-cooperateing" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7:%D9%87%D9%85%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C"><span>ویکی‌نویس شوید!</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7:%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA" title="مکانی برای دریافتن"><span>راهنما</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="//fa.wikipedia.org/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%B3_%D8%A8%D8%A7_%D9%85%D8%A7"><span>تماس با ویکی‌پدیا</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%A7%D8%B5%D9%84%DB%8C" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="ویکی‌پدیا" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fa.svg" style="width: 6em; height: 2em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="دانشنامهٔ آزاد" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-fa.svg" width="72" height="18" style="width: 4.5em; height: 1.125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%AC%D8%B3%D8%AA%D8%AC%D9%88" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="جستجو در ویکی‌پدیا [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>جستجو</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="جستجو در ویکی‌پدیا" aria-label="جستجو در ویکی‌پدیا" autocapitalize="sentences" title="جستجو در ویکی‌پدیا [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="ویژه:جستجو"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">جستجو</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="ابزارهای شخصی"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="ظاهر"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="تغییر ظاهر اندازهٔ قلم، عرض و رنگ صفحه" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="ظاهر" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">ظاهر</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_fa.wikipedia.org&uselang=fa" class=""><span>کمک مالی</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%A7%DB%8C%D8%AC%D8%A7%D8%AF_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%A8%D8%B1%DB%8C&returnto=%D8%A8%D8%B3%D8%B7+%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="از شما دعوت می‌شود که یک حساب ایجاد کنید و وارد شوید؛ هرچند که این کار اختیاری است." class=""><span>ایجاد حساب</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%88%D8%B1%D9%88%D8%AF_%D8%A8%D9%87_%D8%B3%D8%A7%D9%85%D8%A7%D9%86%D9%87&returnto=%D8%A8%D8%B3%D8%B7+%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="توصیه می‌شود که به سامانه وارد شوید، گرچه اجباری نیست [o]" accesskey="o" class=""><span>ورود</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="گزینه‌های بیشتر" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="ابزارهای شخصی" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">ابزارهای شخصی</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="منوی کاربری" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_fa.wikipedia.org&uselang=fa"><span>کمک مالی</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%A7%DB%8C%D8%AC%D8%A7%D8%AF_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%A8%D8%B1%DB%8C&returnto=%D8%A8%D8%B3%D8%B7+%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="از شما دعوت می‌شود که یک حساب ایجاد کنید و وارد شوید؛ هرچند که این کار اختیاری است."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>ایجاد حساب</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%88%D8%B1%D9%88%D8%AF_%D8%A8%D9%87_%D8%B3%D8%A7%D9%85%D8%A7%D9%86%D9%87&returnto=%D8%A8%D8%B3%D8%B7+%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="توصیه می‌شود که به سامانه وارد شوید، گرچه اجباری نیست [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>ورود</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> صفحه‌هایی برای ویرایشگرانی که از سامانه خارج شدند <a href="/wiki/%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7:%D9%85%D9%82%D8%AF%D9%85%D9%87" aria-label="دربارهٔ ویرایش‌کردن بیشتر بدانید"><span>بیشتر بدانید</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%85%D8%B4%D8%A7%D8%B1%DA%A9%D8%AA%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%85%D9%86" title="فهرست ویرایش‌ها انجام شده از این نشانی آی‌پی [y]" accesskey="y"><span>مشارکت‌ها</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%A8%D8%AD%D8%AB_%D9%85%D9%86" title="بحث پیرامون ویرایش‌های این نشانی آی‌پی [n]" accesskey="n"><span>بحث</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="وبگاه"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="فهرست" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">فهرست</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">انتقال به نوار کناری</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">نهفتن</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">بخش آغازین</div> </a> </li> <li id="toc-قضیه_دو_جمله‌ای" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#قضیه_دو_جمله‌ای"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۱</span> <span>قضیه دو جمله‌ای</span> </div> </a> <ul id="toc-قضیه_دو_جمله‌ای-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-اثبات" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#اثبات"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۲</span> <span>اثبات</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-اثبات-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>تغییر وضعیت زیربخش‌های اثبات</span> </button> <ul id="toc-اثبات-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-اعداد_دو_جمله‌ای" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#اعداد_دو_جمله‌ای"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۲.۱</span> <span>اعداد دو جمله‌ای</span> </div> </a> <ul id="toc-اعداد_دو_جمله‌ای-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-یک_روش_ساده_برای_بسط_دادن_دو_جمله‌ای‌ها" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#یک_روش_ساده_برای_بسط_دادن_دو_جمله‌ای‌ها"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۲.۲</span> <span>یک روش ساده برای بسط دادن دو جمله‌ای‌ها</span> </div> </a> <ul id="toc-یک_روش_ساده_برای_بسط_دادن_دو_جمله‌ای‌ها-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-جستارهای_وابسته" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#جستارهای_وابسته"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۳</span> <span>جستارهای وابسته</span> </div> </a> <ul id="toc-جستارهای_وابسته-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-پیوند_به_بیرون" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#پیوند_به_بیرون"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۴</span> <span>پیوند به بیرون</span> </div> </a> <ul id="toc-پیوند_به_بیرون-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-منابع" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#منابع"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۵</span> <span>منابع</span> </div> </a> <ul id="toc-منابع-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="فهرست" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="تغییر وضعیت فهرست محتویات" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">تغییر وضعیت فهرست محتویات</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">بسط دوجمله‌ای</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="به مقاله‌ای به یک زبان دیگر بروید. به ۷۰ زبان در دسترس است." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-70" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">۷۰ زبان</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Binomiaalstelling" title="Binomiaalstelling–آفریکانس" lang="af" hreflang="af" data-title="Binomiaalstelling" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="آفریکانس" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D8%B0%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF%D9%8A%D9%86" title="مبرهنة ذات الحدين–عربی" lang="ar" hreflang="ar" data-title="مبرهنة ذات الحدين" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="عربی" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Біном Ньютана–بلاروسی" lang="be" hreflang="be" data-title="Біном Ньютана" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="بلاروسی" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC" title="Нютонов бином–بلغاری" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Нютонов бином" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="بلغاری" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bjn mw-list-item"><a href="https://bjn.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomial" title="Teorema binomial–بانجاری" lang="bjn" hreflang="bjn" data-title="Teorema binomial" data-language-autonym="Banjar" data-language-local-name="بانجاری" class="interlanguage-link-target"><span>Banjar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%AA%E0%A6%A6%E0%A7%80_%E0%A6%89%E0%A6%AA%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%AF" title="দ্বিপদী উপপাদ্য–بنگالی" lang="bn" hreflang="bn" data-title="দ্বিপদী উপপাদ্য" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="بنگالی" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Binomna_teorema" title="Binomna teorema–بوسنیایی" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Binomna teorema" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="بوسنیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Binomi_de_Newton" title="Binomi de Newton–کاتالان" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Binomi de Newton" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="کاتالان" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%B1%D8%A7%D9%88%DB%95%DB%8C_%D8%AF%D9%88%D9%88_%D8%AA%DB%8E%D8%B1%D9%85%DB%8C" title="کراوەی دوو تێرمی–کردی مرکزی" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="کراوەی دوو تێرمی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="کردی مرکزی" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A1_v%C4%9Bta" title="Binomická věta–چکی" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Binomická věta" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="چکی" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD_%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%C4%95" title="Ньютон биномĕ–چوواشی" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Ньютон биномĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="چوواشی" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz" title="Binomischer Lehrsatz–آلمانی" lang="de" hreflang="de" data-title="Binomischer Lehrsatz" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="آلمانی" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CE%B8%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1" title="Διωνυμικό θεώρημα–یونانی" lang="el" hreflang="el" data-title="Διωνυμικό θεώρημα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="یونانی" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem" title="Binomial theorem–انگلیسی" lang="en" hreflang="en" data-title="Binomial theorem" data-language-autonym="English" data-language-local-name="انگلیسی" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Binomo_de_Newton" title="Binomo de Newton–اسپرانتو" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Binomo de Newton" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="اسپرانتو" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio" title="Teorema del binomio–اسپانیایی" lang="es" hreflang="es" data-title="Teorema del binomio" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="اسپانیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Newtoni_binoomvalem" title="Newtoni binoomvalem–استونیایی" lang="et" hreflang="et" data-title="Newtoni binoomvalem" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="استونیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Newtonen_binomio" title="Newtonen binomio–باسکی" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Newtonen binomio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="باسکی" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Binomilause" title="Binomilause–فنلاندی" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Binomilause" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="فنلاندی" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton" title="Formule du binôme de Newton–فرانسوی" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Formule du binôme de Newton" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="فرانسوی" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Binomisk_Formeln" title="Binomisk Formeln–فریزی شمالی" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Binomisk Formeln" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="فریزی شمالی" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_binomio" title="Teorema do binomio–گالیسیایی" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Teorema do binomio" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="گالیسیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F" title="הבינום של ניוטון–عبری" lang="he" hreflang="he" data-title="הבינום של ניוטון" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="عبری" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%AA%E0%A4%A6_%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF" title="द्विपद प्रमेय–هندی" lang="hi" hreflang="hi" data-title="द्विपद प्रमेय" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="هندی" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Binomni_pou%C4%8Dak" title="Binomni poučak–کروات" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Binomni poučak" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="کروات" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Binomi%C3%A1lis_t%C3%A9tel" title="Binomiális tétel–مجاری" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Binomiális tétel" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="مجاری" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%86%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%BF%D5%B8%D5%B6%D5%AB_%D5%A5%D6%80%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%A4%D5%A1%D5%B4" title="Նյուտոնի երկանդամ–ارمنی" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Նյուտոնի երկանդամ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ارمنی" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomial" title="Teorema binomial–اندونزیایی" lang="id" hreflang="id" data-title="Teorema binomial" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="اندونزیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Tv%C3%ADli%C3%B0uregla" title="Tvíliðuregla–ایسلندی" lang="is" hreflang="is" data-title="Tvíliðuregla" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ایسلندی" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomiale" title="Teorema binomiale–ایتالیایی" lang="it" hreflang="it" data-title="Teorema binomiale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="ایتالیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86" title="二項定理–ژاپنی" lang="ja" hreflang="ja" data-title="二項定理" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="ژاپنی" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD_%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%8B" title="Ньютон биномы–قزاقی" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Ньютон биномы" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="قزاقی" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%91%E1%9F%92%E1%9E%9A%E1%9E%B9%E1%9E%9F%E1%9F%92%E1%9E%8F%E1%9E%B8%E1%9E%94%E1%9E%91%E1%9E%91%E1%9F%92%E1%9E%9C%E1%9F%81%E1%9E%92%E1%9E%B6" title="ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា–خمری" lang="km" hreflang="km" data-title="ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="خمری" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%A6%E0%B3%8D%E0%B2%B5%E0%B2%BF%E0%B2%AA%E0%B2%A6_%E0%B2%AA%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B2%AE%E0%B3%87%E0%B2%AF" title="ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ–کانارا" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="کانارا" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%AD_%EC%A0%95%EB%A6%AC" title="이항 정리–کره‌ای" lang="ko" hreflang="ko" data-title="이항 정리" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="کره‌ای" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Theorema_binomiale" title="Theorema binomiale–لاتین" lang="la" hreflang="la" data-title="Theorema binomiale" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="لاتین" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Binomo_formul%C4%97" title="Binomo formulė–لیتوانیایی" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Binomo formulė" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="لیتوانیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/%C5%85%C5%ABtona_binoms" title="Ņūtona binoms–لتونیایی" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Ņūtona binoms" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="لتونیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Биномна теорема–مقدونی" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Биномна теорема" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="مقدونی" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%A6%E0%B5%8D%E0%B4%B5%E0%B4%BF%E0%B4%AA%E0%B4%A6%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%AE%E0%B5%87%E0%B4%AF%E0%B4%82" title="ദ്വിപദപ്രമേയം–مالایالامی" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ദ്വിപദപ്രമേയം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="مالایالامی" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Teorem_binomial" title="Teorem binomial–مالایی" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Teorem binomial" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="مالایی" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Binomium_van_Newton" title="Binomium van Newton–هلندی" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Binomium van Newton" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="هلندی" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Binomialformel" title="Binomialformel–نروژی نی‌نُشک" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Binomialformel" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="نروژی نی‌نُشک" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Binomialformel" title="Binomialformel–نروژی بوک‌مُل" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Binomialformel" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="نروژی بوک‌مُل" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Dwumian_Newtona" title="Dwumian Newtona–لهستانی" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Dwumian Newtona" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="لهستانی" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmola_d%C3%ABl_bin%C3%B2mi_%C3%ABd_Newton" title="Fórmola dël binòmi ëd Newton–پیدمونتی" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fórmola dël binòmi ëd Newton" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="پیدمونتی" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%B3mio_de_Newton" title="Binómio de Newton–پرتغالی" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Binómio de Newton" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="پرتغالی" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Binomul_lui_Newton" title="Binomul lui Newton–رومانیایی" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Binomul lui Newton" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="رومانیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Бином Ньютона–روسی" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Бином Ньютона" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="روسی" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Binomna_teorema" title="Binomna teorema–صرب و کرواتی" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Binomna teorema" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="صرب و کرواتی" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-shi mw-list-item"><a href="https://shi.wikipedia.org/wiki/Asnful_n_Nyu%E1%B9%ADun" title="Asnful n Nyuṭun–تاچل‌هیت" lang="shi" hreflang="shi" data-title="Asnful n Nyuṭun" data-language-autonym="Taclḥit" data-language-local-name="تاچل‌هیت" class="interlanguage-link-target"><span>Taclḥit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%AF%E0%B7%8A%E0%B7%80%E0%B7%92%E0%B6%B4%E0%B6%AF_%E0%B6%B4%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B6%B8%E0%B7%9A%E0%B6%BA%E0%B6%BA" title="ද්විපද ප්‍රමේයය–سینهالی" lang="si" hreflang="si" data-title="ද්විපද ප්‍රමේයය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="سینهالی" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Binomial_expansion" title="Binomial expansion–انگلیسی ساده" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Binomial expansion" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="انگلیسی ساده" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A1_veta" title="Binomická veta–اسلواکی" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Binomická veta" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="اسلواکی" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Katrori_i_Binomit" title="Katrori i Binomit–آلبانیایی" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Katrori i Binomit" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="آلبانیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Биномна теорема–صربی" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Биномна теорема" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="صربی" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Binomialsatsen" title="Binomialsatsen–سوئدی" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Binomialsatsen" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="سوئدی" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%88%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81%E0%AE%A4%E0%AF%8D_%E0%AE%A4%E0%AF%87%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="ஈருறுப்புத் தேற்றம்–تامیلی" lang="ta" hreflang="ta" data-title="ஈருறுப்புத் தேற்றம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="تامیلی" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D0%A5%D0%B0%D0%B9%D1%91%D0%BC-%D0%9D%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD" title="Биноми Хайём-Нютон–تاجیکی" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Биноми Хайём-Нютон" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="تاجیکی" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%97%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" title="ทฤษฎีบททวินาม–تایلندی" lang="th" hreflang="th" data-title="ทฤษฎีบททวินาม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="تایلندی" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Teoremang_binomial" title="Teoremang binomial–تاگالوگی" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Teoremang binomial" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="تاگالوگی" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Binom_a%C3%A7%C4%B1l%C4%B1m%C4%B1" title="Binom açılımı–ترکی استانبولی" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Binom açılımı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="ترکی استانبولی" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Біном Ньютона–اوکراینی" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Біном Ньютона" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="اوکراینی" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D9%88_%D8%B1%D9%82%D9%85%DB%8C_%D9%85%D8%B3%D8%A6%D9%84%DB%81_%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="دو رقمی مسئلہ اثباتی–اردو" lang="ur" hreflang="ur" data-title="دو رقمی مسئلہ اثباتی" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="اردو" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Nyuton_binomi" title="Nyuton binomi–ازبکی" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Nyuton binomi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ازبکی" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_nh%E1%BB%8B_th%E1%BB%A9c" title="Định lý nhị thức–ویتنامی" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Định lý nhị thức" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="ویتنامی" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86" title="二项式定理–وو" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="二项式定理" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="وو" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86" title="二项式定理–چینی" lang="zh" hreflang="zh" data-title="二项式定理" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="چینی" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86" title="二項式定理–چینی ادبی" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="二項式定理" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="چینی ادبی" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86" title="二項式定理–کانتونی" lang="yue" hreflang="yue" data-title="二項式定理" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="کانتونی" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q26708#sitelinks-wikipedia" title="ویرایش پیوندهای بین‌زبانی" class="wbc-editpage">ویرایش پیوندها</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="فضاهای نام"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="دیدن صفحهٔ محتویات [c]" accesskey="c"><span>مقاله</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%A8%D8%AD%D8%AB:%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" rel="discussion" title="گفتگو پیرامون محتوای صفحه [t]" accesskey="t"><span>بحث</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="تغییر گونهٔ زبان" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">فارسی</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="بازدیدها"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C"><span>خواندن</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit" title="ویرایش کد مبدأ این صفحه [e]" accesskey="e"><span>ویرایش</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=history" title="نسخه‌های پیشین این صفحه [h]" accesskey="h"><span>نمایش تاریخچه</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ابزارهای صفحه"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="ابزارها" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">ابزارها</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">ابزارها</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">انتقال به نوار کناری</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">نهفتن</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="گزینه‌های بیشتر" > <div class="vector-menu-heading"> عمل‌ها </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C"><span>خواندن</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit" title="ویرایش کد مبدأ این صفحه [e]" accesskey="e"><span>ویرایش</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=history"><span>نمایش تاریخچه</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> عمومی </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%BE%DB%8C%D9%88%D9%86%D8%AF_%D8%A8%D9%87_%D8%A7%DB%8C%D9%86_%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="فهرست همهٔ صفحه‌هایی که به این صفحه پیوند می‌دهند [j]" accesskey="j"><span>پیوندها به این صفحه</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%B1%D8%AA%D8%A8%D8%B7/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" rel="nofollow" title="تغییرات اخیر صفحه‌هایی که این صفحه به آن‌ها پیوند دارد [k]" accesskey="k"><span>تغییرات مرتبط</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/ویکی‌پدیا:بارگذاری" title="بارگذاری تصاویر و پرونده‌های دیگر [u]" accesskey="u"><span>بارگذاری پرونده</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87" title="فهرستی از همهٔ صفحه‌های ویژه [q]" accesskey="q"><span>صفحه‌های ویژه</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&oldid=40449870" title="پیوند پایدار به این نسخه از این صفحه"><span>پیوند پایدار</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=info" title="اطلاعات بیشتر دربارهٔ این صفحه"><span>اطلاعات صفحه</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%DB%8C%D8%A7%D8%AF%DA%A9%D8%B1%D8%AF&page=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&id=40449870&wpFormIdentifier=titleform" title="اطلاعات در خصوص چگونگی یادکرد این صفحه"><span>یادکرد این صفحه</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffa.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D8%25A8%25D8%25B3%25D8%25B7_%25D8%25AF%25D9%2588%25D8%25AC%25D9%2585%25D9%2584%25D9%2587%25E2%2580%258C%25D8%25A7%25DB%258C"><span>دریافت نشانی کوتاه‌شده</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffa.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D8%25A8%25D8%25B3%25D8%25B7_%25D8%25AF%25D9%2588%25D8%25AC%25D9%2585%25D9%2584%25D9%2587%25E2%2580%258C%25D8%25A7%25DB%258C"><span>بارگیری کد QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> نسخه‌برداری </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:DownloadAsPdf&page=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=show-download-screen"><span>بارگیری به‌صورت PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&printable=yes" title="نسخهٔ قابل چاپ این صفحه [p]" accesskey="p"><span>نسخهٔ قابل چاپ</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> در پروژه‌های دیگر </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Binomial_theorem" hreflang="en"><span>ویکی‌انبار</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q26708" title="پیوند به آیتم متصل‌شدۀ مخزن داده‌ها [g]" accesskey="g"><span>آیتم ویکی‌داده</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ابزارهای صفحه"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="ظاهر"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">ظاهر</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">انتقال به نوار کناری</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">نهفتن</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-rtl mw-parser-output" lang="fa" dir="rtl"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Binomial_theorem_visualisation.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Binomial_theorem_visualisation.svg/220px-Binomial_theorem_visualisation.svg.png" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Binomial_theorem_visualisation.svg/330px-Binomial_theorem_visualisation.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Binomial_theorem_visualisation.svg/440px-Binomial_theorem_visualisation.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="384" /></a><figcaption>معادل هندسی بسط دوجمله‌ای، تا توان چهار. به عنوان مثال، مساحت مربعی به ضلع a+b برابر مجموع مساحت یک مربع به ضلع a، دو مستطیل به طول a و عرض b، و یک مربع به ضلع b است: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b)^{2}=b^{2}+2ab+a^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)^{2}=b^{2}+2ab+a^{2}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d3dca6ad5addec4a70a11c5cb097de7a531e90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.823ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (a+b)^{2}=b^{2}+2ab+a^{2}\,}"></span>.</figcaption></figure> <p>در <a href="/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA" title="ریاضیات">ریاضیات</a> و <a href="/wiki/%D8%AC%D8%A8%D8%B1_%D9%85%D9%82%D8%AF%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="جبر مقدماتی">جبر مقدماتی</a>، قضیهٔ <b>بسط دو جمله‌ای</b> (به انگلیسی: Binomial theorem or binomial expansion) گسترش جبری توان‌های دو جمله‌ای را توصیف می‌کند. بنابراین قضیه؛ می‌توان چندجمله‌ای‌های <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c87a46fb9739e1aefed1fc49cca0bfb91e1639" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.353ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{n}}"></span> را به صورت <span class="texhtml" style="font-family: Serif;"><i>a x</i><sup><i>b</i></sup> <i>y</i><sup><i>c</i></sup></span> گسترش داد: در حالی‌که <span class="texhtml" style="font-family: Serif;"><i>b</i></span> و <span class="texhtml" style="font-family: Serif;"><i>c</i></span> <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%B7%D8%A8%DB%8C%D8%B9%DB%8C" title="عدد طبیعی">اعداد حسابی</a>ِ غیر انتزاعی هستند و نیز ، <span class="texhtml" style="font-family: Serif;"><i>b</i> + <i>c</i> = <i>n</i></span> و <a href="/wiki/%D8%B6%D8%B1%DB%8C%D8%A8" title="ضریب">ضریب</a> <span class="texhtml" style="font-family: Serif;"><i>a</i></span> خود یک عدد صحیح مثبت است، و به <span class="texhtml" style="font-family: Serif;"><i>n</i></span> و <span class="texhtml" style="font-family: Serif;"><i>b</i></span> وابسته است. </p><p><a href="/wiki/%D9%81%D8%B1%D9%85%D9%88%D9%84" title="فرمول">فرمولها</a> برای محاسبهٔ <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%86" class="mw-disambig" title="توان">توانهای</a> دو جمله‌ای‌هایی- مثلاً برای <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2<=n<=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo><=</mo> <mi>n</mi> <mo><=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2<=n<=5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2d398bd157647544aa64f0cbbbcef0661d609a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.533ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2<=n<=5}"></span> به این صورت آمده‌اند: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e52720a3279a1252f0b68c19477e068c14707d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.602ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83abe29ae9f5b0b7fef3c08438cf1c4a3f7cb46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.203ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245a0078f350439cb01c573802a982514288f7d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.805ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mi>x</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e410c83b072b4bb6e5eaa60ad023ae5831e2843" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.731ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}\,}"></span></dd></dl> </div> <p>هدف این است که فرمولی برای <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c87a46fb9739e1aefed1fc49cca0bfb91e1639" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.353ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{n}}"></span> که در آن n <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%B7%D8%A8%DB%8C%D8%B9%DB%8C" title="عدد طبیعی">عدد طبیعی</a> است بدست آوریم. در این‌جا قضیه دو جمله‌ای را بیان و ثابت می‌کنیم. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="قضیه_دو_جمله‌ای"><span id=".D9.82.D8.B6.DB.8C.D9.87_.D8.AF.D9.88_.D8.AC.D9.85.D9.84.D9.87.E2.80.8C.D8.A7.DB.8C"></span>قضیه دو جمله‌ای</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&section=1" title="ویرایش بخش: قضیه دو جمله‌ای"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal.png/220px-Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal.png" decoding="async" width="220" height="143" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal.png 1.5x" data-file-width="300" data-file-height="195" /></a><figcaption>بسط دوجمله‌ای</figcaption></figure> <p>اگر n عدد طبیعی باشد، آنگاه </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57d80d4ca1a3144c8aba185931651657ab3c8bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:36.882ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}"></span></dd></dl> </div> <p>که:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42a41f48e94296543f7f82ae26e19f69cc73ece" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.898ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}"></span> <a href="/wiki/%D8%B6%D8%B1%DB%8C%D8%A8_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="ضریب دوجمله‌ای">ضریب دوجمله‌ای</a> است و <i>!n</i> <a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%DA%A9%D8%AA%D9%88%D8%B1%DB%8C%D9%84" title="فاکتوریل">فاکتوریل</a> n را بیان می‌کند. این فرمول و آرایش مثلثی ضرایب ثابت دو جمله‌ای که به <a href="/wiki/%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB_%D9%BE%D8%A7%D8%B3%DA%A9%D8%A7%D9%84" class="mw-redirect" title="مثلث پاسکال">مثلث پاسکال</a> نسبت داده می‌شود (کسی که در <a href="/wiki/%D9%82%D8%B1%D9%86_%D9%87%D9%81%D8%AF%D9%87%D9%85" class="mw-redirect" title="قرن هفدهم">قرن هفدهم</a> آنها را توصیف کرده اما اینها توسط ریاضیدانان زیادی زودتر از او کشف شده بود در قرن یازدهم توسط <a href="/wiki/%D8%B9%D9%85%D8%B1_%D8%AE%DB%8C%D8%A7%D9%85" class="mw-redirect" title="عمر خیام">عمر خیام</a> ریاضیدان ایرانی، در قرن سیزدهم توسط <a href="/w/index.php?title=%DB%8C%D8%A7%D9%86%DA%AF_%D9%87%D9%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="یانگ هو (صفحه وجود ندارد)">یانگ هو</a> ریاضیدان چینی) </p><p>در این‌جا همهٔ x و yهای <a href="/wiki/%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" class="mw-disambig" title="حقیقی">حقیقی</a> و <a href="/wiki/%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7" class="mw-disambig" title="مختلط">مختلط</a> صدق می‌کند و به‌طور کلی تر برای مقادیر x و y به طوری که xy=yx باشد </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="اثبات"><span id=".D8.A7.D8.AB.D8.A8.D8.A7.D8.AA"></span>اثبات</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&section=2" title="ویرایش بخش: اثبات"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>یک روش برای اثبات قضیه دو جمله ای، <a href="/wiki/%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D9%82%D8%B1%D8%A7%DB%8C_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C" title="استقرای ریاضی">استقرای ریاضی</a> است وقتی که <i>n</i> = ۰ است ما داریم </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mn>0</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8edf254857ff20bd1d91ed72d1c99fda2fa2e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:30.817ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}"></span></dd></dl> </div> <p>برای گام استقرا فرض می‌کنیم که قضیه برای m درست، آنگاه <i>n</i> = <i>m</i> + 1 </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bfbcdcd52196bf3ce42a3e1a70291935a59fa2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.31ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}"></span></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e64f94138df28cd3ff72c4622e209fd1f12192" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:41.796ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d05efe9231f1cb61d2536fa2badbc53c74b92b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:49.642ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c904e96b2ede0d9e7f5731e53ecf4af0863d1d2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:53.362ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d859049a2765eacdb50d62f8075c4199d0b3d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:60.787ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>m</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e618a93bfc846cc18c367d38d3425feb259cb85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:50.661ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a4779b5f9af7f98eb3b68417a213666652bd03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:40.346ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9165efe944fa1c411fb19975da6e3a8ed45d716" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:25.075ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}"></span></dd></dl></dd></dl> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="اعداد_دو_جمله‌ای"><span id=".D8.A7.D8.B9.D8.AF.D8.A7.D8.AF_.D8.AF.D9.88_.D8.AC.D9.85.D9.84.D9.87.E2.80.8C.D8.A7.DB.8C"></span>اعداد دو جمله‌ای</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&section=3" title="ویرایش بخش: اعداد دو جمله‌ای"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>یک عدد از فرم <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,\pm \,y^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>±</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,\pm \,y^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077df27e3e2f5acccc63f9a2bc531af76069d4c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,\pm \,y^{n}}"></span>بدست می‌آید یک عدد دو جمله‌ای است که n نا منفی یا فرد است وقتی که n منفی یا فرد است می‌توان از این اعداد فاکتورگیری کرد </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="یک_روش_ساده_برای_بسط_دادن_دو_جمله‌ای‌ها"><span id=".DB.8C.DA.A9_.D8.B1.D9.88.D8.B4_.D8.B3.D8.A7.D8.AF.D9.87_.D8.A8.D8.B1.D8.A7.DB.8C_.D8.A8.D8.B3.D8.B7_.D8.AF.D8.A7.D8.AF.D9.86_.D8.AF.D9.88_.D8.AC.D9.85.D9.84.D9.87.E2.80.8C.D8.A7.DB.8C.E2.80.8C.D9.87.D8.A7"></span>یک روش ساده برای بسط دادن دو جمله‌ای‌ها</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&section=4" title="ویرایش بخش: یک روش ساده برای بسط دادن دو جمله‌ای‌ها"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>برای بسط دادن دو جمله ای های به فرم:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{n}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{n}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f09b51de50a09d9e5dfbcb906c6e77af4bac81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.74ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{n}\,}"></span> </p><p>عبارت اول:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f3d915f89551e1d02eb03af9b8b0a0a41622cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.935ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{n}\,}"></span> است و ضریب ثابت عبارت بعدی برابراست با ضرب ضریب ثابت فعلی در توان x تقسیم بر تعداد عبارت موجود، توان x کاهش و توان y افزایش میابد تا این که توان x به صفر و توان y به n برسد </p><p>برای مثال: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{10}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{10}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d29d6120b9cb9dc2928234807d016f07e7662f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.398ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x+y)^{10}\,}"></span></dd></dl> </div> <p>عبارت اول:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{10}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{10}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a9eb6434f1ae9a9f00ed8768ab8e25c5fe9a48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.593ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{10}\,}"></span> </p><p>برای یافتن ضریب دومین عبارت: ضرب ۱ (ضریب ثابت فعلی) در ۱۰ (توان فعلی x)و تقسیم بر تعداد عبارت موجود (۱، چون یک عبارت وجود دارد) پس حاصل ۱۰ بدست می‌آید:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10x^{9}y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10x^{9}y\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f46ae5e2df7aa8e5f5a1f5b1772134628da6470" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.251ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 10x^{9}y\,}"></span> </p><p>به همین شکل ضریب ثابت بعدی ۲/(۱۰×۹) و به همین روش ادامه می‌دهیم تا اینکه توان y برابر ۱۰ و توان x برابر صفر شود </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{10}+10x^{9}y+45x^{8}y^{2}+120x^{7}y^{3}+210x^{6}y^{4}+252x^{5}y^{5}+210x^{4}y^{6}+120x^{3}y^{7}+45x^{2}y^{8}+10xy^{9}+y^{10}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>45</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>120</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>210</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>252</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>210</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>120</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>45</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <mi>x</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{10}+10x^{9}y+45x^{8}y^{2}+120x^{7}y^{3}+210x^{6}y^{4}+252x^{5}y^{5}+210x^{4}y^{6}+120x^{3}y^{7}+45x^{2}y^{8}+10xy^{9}+y^{10}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bdbc9867aa8f3f9f56d7b976f244f81e0f373" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:101.304ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{10}+10x^{9}y+45x^{8}y^{2}+120x^{7}y^{3}+210x^{6}y^{4}+252x^{5}y^{5}+210x^{4}y^{6}+120x^{3}y^{7}+45x^{2}y^{8}+10xy^{9}+y^{10}.}"></span></dd></dl> </div> <p>متوجه می‌شوید که ضرایب ثابت متقارن هستند این زمانی اتفاق می‌افتد که ضرایب ثابت x و y در پرانتز عبارت اصلی یکی باشند پی بردن به این نکته می‌تواند در صرفه جویی در وقت کمک کند </p><p>ظاهراً عبارت بعدی، عبارت:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle kx^{m}y^{n}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle kx^{m}y^{n}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b9922596eea981b373bc6eb4cc59801386e459" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.982ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle kx^{m}y^{n}\,}"></span> در دو جمله ای ها برابراست با </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {km}{n+1}}x^{m-1}y^{n+1}={\frac {d}{dx}}\left(\int kx^{m}y^{n}\,dy\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>∫</mo> <mi>k</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {km}{n+1}}x^{m-1}y^{n+1}={\frac {d}{dx}}\left(\int kx^{m}y^{n}\,dy\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f610f4d6dbb3169f80dd2beb6e2a6e2012c46f0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.041ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {km}{n+1}}x^{m-1}y^{n+1}={\frac {d}{dx}}\left(\int kx^{m}y^{n}\,dy\right)}"></span></dd></dl> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="جستارهای_وابسته"><span id=".D8.AC.D8.B3.D8.AA.D8.A7.D8.B1.D9.87.D8.A7.DB.8C_.D9.88.D8.A7.D8.A8.D8.B3.D8.AA.D9.87"></span>جستارهای وابسته</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&section=5" title="ویرایش بخش: جستارهای وابسته"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%D8%B6%D8%B1%DB%8C%D8%A8_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="ضریب دوجمله‌ای">ضریب دوجمله‌ای</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%B3%D9%87%E2%80%8C%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="بسط سه‌جمله‌ای (صفحه وجود ندارد)">بسط سه‌جمله‌ای</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%DA%86%D9%86%D8%AF%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="بسط چندجمله‌ای (صفحه وجود ندارد)">بسط چندجمله‌ای</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="پیوند_به_بیرون"><span id=".D9.BE.DB.8C.D9.88.D9.86.D8.AF_.D8.A8.D9.87_.D8.A8.DB.8C.D8.B1.D9.88.D9.86"></span>پیوند به بیرون</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&section=6" title="ویرایش بخش: پیوند به بیرون"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.algorithmha.ir/post.aspx?no=25">محاسبه ضرایب بسط دو جمله ای</a><sup class="Fix-tag"><sup class="noprint Inline-Template"><span title="" style="white-space: nowrap;">[<i><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D9%BE%DB%8C%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%85%D8%B1%D8%AF%D9%87" title="ویکی‌پدیا:پیوندهای مرده">پیوند مرده</a></i>]</span></sup></sup></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="منابع"><span id=".D9.85.D9.86.D8.A7.D8.A8.D8.B9"></span>منابع</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&action=edit&section=7" title="ویرایش بخش: منابع"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r37199623">.mw-parser-output .reflist{font-size:90%;margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist"> </div> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <ul><li>Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , page 393, 1991</li></ul> </div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r39940593">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:var(--background-color-interactive-subtle,#f8f9fa);display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1;min-width:0}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-left{clear:left;float:left;margin-right:1em}.mw-parser-output .side-box-right{margin-left:1em}}</style><div class="side-box side-box-left plainlinks sistersitebox"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r38264903">.mw-parser-output .plainlist ol,.mw-parser-output .plainlist ul{line-height:inherit;list-style:none;margin:0;padding:0}.mw-parser-output .plainlist ol li,.mw-parser-output .plainlist ul li{margin-bottom:0}</style> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist">در <a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D8%A7%D9%86%D8%A8%D8%A7%D8%B1" title="ویکی‌انبار">ویکی‌انبار</a> پرونده‌هایی دربارهٔ <span style="font-weight: bold; font-style: italic;"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Binomial_theorem" class="extiw" title="commons:Category:Binomial theorem">بسط دوجمله‌ای</a></span> موجود است.</div></div> </div> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r40355799">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r39648996">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:right;border-left-width:2px;border-right-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #f8f9fa}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#b3ccff}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#dbe7ff}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e5edff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:right;text-align:right;margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox-list li{unicode-bidi:isolate}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="حسابان" style="padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r40355799"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r40261389">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:right;text-align:right}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-left:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-right:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media print{.mw-parser-output .navbar{display:none!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-نمایش"><a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%DA%AF%D9%88:%D9%85%D9%88%D8%B6%D9%88%D8%B9%D8%A7%D8%AA_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86" title="الگو:موضوعات حسابان"><abbr title="مشاهدهٔ این الگو">ن</abbr></a></li><li class="nv-بحث"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%AD%D8%AB_%D8%A7%D9%84%DA%AF%D9%88:%D9%85%D9%88%D8%B6%D9%88%D8%B9%D8%A7%D8%AA_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="بحث الگو:موضوعات حسابان (صفحه وجود ندارد)"><abbr title="بحث پیرامون این الگو">ب</abbr></a></li><li class="nv-ویرایش"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%88%DB%8C%D8%B1%D8%A7%DB%8C%D8%B4_%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87/%D8%A7%D9%84%DA%AF%D9%88:%D9%85%D9%88%D8%B6%D9%88%D8%B9%D8%A7%D8%AA_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86" title="ویژه:ویرایش صفحه/الگو:موضوعات حسابان"><abbr title="ویرایش کردن این الگو">و</abbr></a></li></ul></div><div id="حسابان" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86" title="حسابان">حسابان</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/w/index.php?title=%D9%BE%DB%8C%D8%B4_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="پیش حسابان (صفحه وجود ندارد)">پیش حسابان</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">بسط دوجمله‌ای</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D9%82%D8%B9%D8%B1" title="تابع مقعر">تابع مقعر</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%BE%DB%8C%D9%88%D8%B3%D8%AA%D9%87" title="تابع پیوسته">تابع پیوسته</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%DA%A9%D8%AA%D9%88%D8%B1%DB%8C%D9%84" title="فاکتوریل">فاکتوریل</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84_%D9%85%D8%AD%D8%AF%D9%88%D8%AF" title="تفاضل محدود">تفاضل محدود</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%85%D8%AA%D8%BA%DB%8C%D8%B1_%D8%A2%D8%B2%D8%A7%D8%AF_%D9%88_%D9%85%D8%AA%D8%BA%DB%8C%D8%B1_%D9%BE%D8%A7%D8%A8%D9%86%D8%AF" class="mw-redirect" title="متغیر آزاد و متغیر پابند">متغیر آزاد و متغیر پابند</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D9%88%D8%AF%D8%A7%D8%B1_%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="نمودار تابع">نمودار تابع</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Linear_function&action=edit&redlink=1" class="new" title="Linear function (صفحه وجود ندارد)">Linear function</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%A7%D9%86" title="رادیان">رادیان</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D8%B1%D9%88%D9%84" title="قضیه رول">قضیه رول</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AE%D8%B7_%D8%B3%DA%A9%D8%A7%D9%86%D8%AA" title="خط سکانت">سکانت</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B4%DB%8C%D8%A8" title="شیب">شیب</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%85%D9%85%D8%A7%D8%B3" title="مماس">مماس</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D8%AD%D8%AF_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="حد (ریاضی)">حد (ریاضی)</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D8%B4%DA%A9%D9%84_%D9%86%D8%A7%D9%85%D8%B9%D9%84%D9%88%D9%85" title="شکل نامعلوم">شکل نامعلوم</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AD%D8%AF_%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="حد تابع">حد تابع</a> <ul><li><a href="/wiki/%D8%AD%D8%AF_%DB%8C%DA%A9-%D8%B7%D8%B1%D9%81%D9%87" title="حد یک-طرفه">حد یک-طرفه</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D8%AD%D8%AF_%D8%AF%D9%86%D8%A8%D8%A7%D9%84%D9%87" title="حد دنباله">حد دنباله</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%85%D8%B1%D8%AA%D8%A8%D9%87_%D8%AA%D8%AE%D9%85%DB%8C%D9%86" title="مرتبه تخمین">مرتبه تخمین</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AD%D8%AF_%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="حد تابع">حد تابع</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84" title="حساب دیفرانسیل">حساب دیفرانسیل</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82" title="مشتق">مشتق</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="دیفرانسیل (ریاضیات)">دیفرانسیل (ریاضیات)</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%87_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84" title="معادله دیفرانسیل">معادله دیفرانسیل</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B9%D9%85%D9%84%DA%AF%D8%B1_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84%DB%8C" title="عملگر دیفرانسیلی">عملگر دیفرانسیلی</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D9%85%D9%82%D8%AF%D8%A7%D8%B1_%D9%85%DB%8C%D8%A7%D9%86%DA%AF%DB%8C%D9%86" title="قضیه مقدار میانگین">قضیه مقدار میانگین</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D8%A7%D8%AF%DA%AF%D8%B0%D8%A7%D8%B1%DB%8C%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82" title="نمادگذاری‌های مشتق">نمادگذاری‌های مشتق</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Leibniz%27s_notation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Leibniz's notation (صفحه وجود ندارد)">Leibniz's notation</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D8%A7%D8%AF%DA%AF%D8%B0%D8%A7%D8%B1%DB%8C%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82" title="نمادگذاری‌های مشتق">نمادگذاری‌های مشتق</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D9%88%D8%A7%D8%B9%D8%AF_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84_%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C" class="mw-redirect" title="قواعد دیفرانسیل گیری">قواعد دیفرانسیل گیری</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Linearity_of_differentiation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Linearity of differentiation (صفحه وجود ندارد)">linearity</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Power_rule&action=edit&redlink=1" class="new" title="Power rule (صفحه وجود ندارد)">Power</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D9%88%D8%A7%D8%B9%D8%AF_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84_%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C" class="mw-redirect" title="قواعد دیفرانسیل گیری">قواعد دیفرانسیل گیری</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D9%87_%D8%B2%D9%86%D8%AC%DB%8C%D8%B1%DB%8C" class="mw-redirect" title="قاعده زنجیری">قاعده زنجیری</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D9%87_%D9%87%D9%88%D9%BE%DB%8C%D8%AA%D8%A7%D9%84" title="قاعده هوپیتال">قاعده هوپیتال</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D9%87_%D8%B6%D8%B1%D8%A8" title="قاعده ضرب">قاعده ضرب</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=General_Leibniz_rule&action=edit&redlink=1" class="new" title="General Leibniz rule (صفحه وجود ندارد)">General Leibniz's rule</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D9%87_%D8%AE%D8%A7%D8%B1%D8%AC_%D9%82%D8%B3%D9%85%D8%AA" class="mw-redirect" title="قاعده خارج قسمت">قاعده خارج قسمت</a></li></ul></li> <li>Other techniques <ul><li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B6%D9%85%D9%86%DB%8C" title="تابع ضمنی">تابع ضمنی</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Inverse_functions_and_differentiation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Inverse functions and differentiation (صفحه وجود ندارد)">Inverse functions and differentiation</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Logarithmic_derivative&action=edit&redlink=1" class="new" title="Logarithmic derivative (صفحه وجود ندارد)">Logarithmic derivative</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Related_rates&action=edit&redlink=1" class="new" title="Related rates (صفحه وجود ندارد)">Related rates</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D9%86%D9%82%D8%B7%D9%87_%D9%85%D8%A7%D9%86%D8%A7" title="نقطه مانا">نقاط مانا</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=First_derivative_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="First derivative test (صفحه وجود ندارد)">First derivative test</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Second_derivative_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="Second derivative test (صفحه وجود ندارد)">Second derivative test</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Extreme_value_theorem&action=edit&redlink=1" class="new" title="Extreme value theorem (صفحه وجود ندارد)">Extreme value theorem</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A8%DB%8C%D8%B4%DB%8C%D9%86%D9%87_%D9%88_%DA%A9%D9%85%DB%8C%D9%86%D9%87" title="بیشینه و کمینه">بیشینه و کمینه</a></li></ul></li> <li>کاربرد های دیگر <ul><li><a href="/wiki/%D8%B1%D9%88%D8%B4_%D9%86%DB%8C%D9%88%D8%AA%D9%86" title="روش نیوتن">روش نیوتن</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D8%AA%DB%8C%D9%84%D9%88%D8%B1" title="قضیه تیلور">قضیه تیلور</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84" title="انتگرال">انتگرال</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D9%BE%D8%A7%D8%AF_%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82" title="پاد مشتق">پاد مشتق</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B7%D9%88%D9%84_%D9%82%D9%88%D8%B3" title="طول قوس">طول قوس</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84" title="انتگرال">انتگرال</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Constant_of_integration&action=edit&redlink=1" class="new" title="Constant of integration (صفحه وجود ندارد)">Constant of integration</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Differentiation_under_the_integral_sign&action=edit&redlink=1" class="new" title="Differentiation under the integral sign (صفحه وجود ندارد)">Differentiation under the integral sign</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D8%A7%D8%B3%D8%A7%D8%B3%DB%8C_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86" title="قضیه اساسی حسابان">قضیه اساسی حسابان</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Leibniz_integral_rule&action=edit&redlink=1" class="new" title="Leibniz integral rule (صفحه وجود ندارد)">Differentiating under the integral sign</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84%E2%80%8C%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C_%D8%AC%D8%B2%D8%A1_%D8%A8%D9%87_%D8%AC%D8%B2%D8%A1" title="انتگرال‌گیری جزء به جزء">انتگرال‌گیری جزء به جزء</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Integration_by_substitution&action=edit&redlink=1" class="new" title="Integration by substitution (صفحه وجود ندارد)">Integration by substitution</a> <ul><li><a href="/wiki/%D8%AC%D8%A7%D9%86%D8%B4%DB%8C%D9%86%DB%8C_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="جانشینی مثلثاتی">جانشینی مثلثاتی</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1_%D9%85%D8%AA%D8%BA%DB%8C%D8%B1_%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%84%D8%B1" title="تغییر متغیر اویلر">تغییر متغیر اویلر</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Weierstrass_substitution&action=edit&redlink=1" class="new" title="Weierstrass substitution (صفحه وجود ندارد)">Weierstrass</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=Partial_fractions_in_integration&action=edit&redlink=1" class="new" title="Partial fractions in integration (صفحه وجود ندارد)">Partial fractions in integration</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Quadratic_integral&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quadratic integral (صفحه وجود ندارد)">Quadratic integral</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D9%86%D9%88%D9%86_%D8%B0%D9%88%D8%B2%D9%86%D9%82%D9%87" title="قانون ذوزنقه">قانون ذوزنقه</a></li> <li>حجم‌ها <ul><li><a href="/w/index.php?title=Disc_integration&action=edit&redlink=1" class="new" title="Disc integration (صفحه وجود ندارد)">Washer method</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B1%D9%88%D8%B4_%D9%BE%D9%88%D8%B3%D8%AA%D9%87" title="روش پوسته">روش پوسته</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="حساب برداری">حساب برداری</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li>مشتق‌ها <ul><li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D9%88_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" class="mw-redirect" title="تاو (ریاضی)">تاو (ریاضی)</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82_%D8%AC%D9%87%D8%AA%E2%80%8C%D8%AF%D8%A7%D8%B1" title="مشتق جهت‌دار">مشتق جهت‌دار</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AF%DB%8C%D9%88%D8%B1%DA%98%D8%A7%D9%86%D8%B3" title="دیورژانس">دیورژانس</a></li> <li><a href="/wiki/%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%A7%D9%86" title="گرادیان">گرادیان</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B9%D9%85%D9%84%DA%AF%D8%B1_%D9%84%D8%A7%D9%BE%D9%84%D8%A7%D8%B3" title="عملگر لاپلاس">عملگر لاپلاس</a></li></ul></li> <li>قضایای پایه‌ای <ul><li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%A7%D9%86" title="قضیه گرادیان">قضیه گرادیان</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%DA%AF%D8%B1%DB%8C%D9%86" title="قضیه گرین">قضیه گرین</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Kelvin%E2%80%93Stokes_theorem&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kelvin–Stokes theorem (صفحه وجود ندارد)">Stokes'</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D8%AF%DB%8C%D9%88%D8%B1%DA%98%D8%A7%D9%86%D8%B3" title="قضیه دیورژانس">قضیه دیورژانس</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%DA%86%D9%86%D8%AF%D9%85%D8%AA%D8%BA%DB%8C%D8%B1%D9%87" title="حساب چندمتغیره">حساب چندمتغیره</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D8%AF%DB%8C%D9%88%D8%B1%DA%98%D8%A7%D9%86%D8%B3" title="قضیه دیورژانس">قضیه دیورژانس</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Geometric_calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Geometric calculus (صفحه وجود ندارد)">Geometric</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%85%D8%A7%D8%AA%D8%B1%DB%8C%D8%B3_%D9%87%D8%B3%DB%8C%D9%86" title="ماتریس هسین">ماتریس هسین</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%85%D8%A7%D8%AA%D8%B1%DB%8C%D8%B3_%DA%98%D8%A7%DA%A9%D9%88%D8%A8%DB%8C" title="ماتریس ژاکوبی">ماتریس ژاکوبی</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A7%DB%8C%D8%A8_%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%86%DA%98" title="ضرایب لاگرانژ">ضرایب لاگرانژ</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AE%D8%B7%DB%8C" title="انتگرال خطی">انتگرال خطی</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D9%85%D8%A7%D8%AA%D8%B1%DB%8C%D8%B3%E2%80%8C%D9%87%D8%A7" title="حساب ماتریس‌ها">حساب ماتریس‌ها</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%DA%86%D9%86%D8%AF%DA%AF%D8%A7%D9%86%D9%87" title="انتگرال چندگانه">انتگرال چندگانه</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%DB%8C" title="مشتق جزئی">مشتق جزئی</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%B3%D8%B7%D8%AD%DB%8C" title="انتگرال سطحی">انتگرال سطحی</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AD%D8%AC%D9%85%DB%8C" title="انتگرال حجمی">انتگرال حجمی</a></li> <li>مباحث پیشرفته <ul><li><a href="/w/index.php?title=Differential_form&action=edit&redlink=1" class="new" title="Differential form (صفحه وجود ندارد)">Differential form</a>s</li> <li><a href="/w/index.php?title=Exterior_derivative&action=edit&redlink=1" class="new" title="Exterior derivative (صفحه وجود ندارد)">Exterior derivative</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D9%88%DA%A9%D8%B3" title="قضیه استوکس">قضیه استوکس</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%AA%D9%86%D8%B3%D9%88%D8%B1%DB%8C" title="حساب تنسوری">حساب تنسوری</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">دنباله و سری</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Arithmetico%E2%80%93geometric_sequence&action=edit&redlink=1" class="new" title="Arithmetico–geometric sequence (صفحه وجود ندارد)">Arithmetico–geometric sequence</a></li> <li>انواع سری <ul><li><a href="/w/index.php?title=Alternating_series&action=edit&redlink=1" class="new" title="Alternating series (صفحه وجود ندارد)">Alternating</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B3%D8%B1%DB%8C_%D8%AF%D9%88_%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="سری دو جمله‌ای">سری دو جمله‌ای</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B3%D8%B1%DB%8C_%D9%81%D9%88%D8%B1%DB%8C%D9%87" title="سری فوریه">سری فوریه</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B3%D8%B1%DB%8C_%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%DB%8C" title="سری هندسی">سری هندسی</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B3%D8%B1%DB%8C_%D9%87%D8%A7%D8%B1%D9%85%D9%88%D9%86%DB%8C%DA%A9" title="سری هارمونیک">سری هارمونیک</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B3%D8%B1%DB%8C_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="سری (ریاضیات)">سری (ریاضیات)</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%B3%D8%B1%DB%8C_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%86%DB%8C" title="سری توانی">سری توانی</a> <ul><li><a href="/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AA%DB%8C%D9%84%D9%88%D8%B1" title="بسط تیلور">بسط تیلور</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AA%DB%8C%D9%84%D9%88%D8%B1" title="بسط تیلور">بسط تیلور</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=Telescoping_series&action=edit&redlink=1" class="new" title="Telescoping series (صفحه وجود ندارد)">Telescoping</a></li></ul></li> <li>آزمون‌های همگرایی <ul><li><a href="/w/index.php?title=Abel%27s_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="Abel's test (صفحه وجود ندارد)">Abel's</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Alternating_series_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="Alternating series test (صفحه وجود ندارد)">Alternating series</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Cauchy_condensation_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cauchy condensation test (صفحه وجود ندارد)">Cauchy condensation</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Direct_comparison_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="Direct comparison test (صفحه وجود ندارد)">Direct comparison</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Dirichlet%27s_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dirichlet's test (صفحه وجود ندارد)">Dirichlet's</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Integral_test_for_convergence&action=edit&redlink=1" class="new" title="Integral test for convergence (صفحه وجود ندارد)">Integral</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Limit_comparison_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="Limit comparison test (صفحه وجود ندارد)">Limit comparison</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A2%D8%B2%D9%85%D9%88%D9%86_%D9%86%D8%B3%D8%A8%D8%AA" title="آزمون نسبت">آزمون نسبت</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Root_test&action=edit&redlink=1" class="new" title="Root test (صفحه وجود ندارد)">Root</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A2%D8%B2%D9%85%D9%88%D9%86_%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87" title="آزمون جمله">آزمون جمله</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">توابع خاص<br />و اعداد</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%A8%D8%B1%D9%86%D9%88%D9%84%DB%8C" title="عدد برنولی">عدد برنولی</a></li> <li><a href="/wiki/E_(%D8%B9%D8%AF%D8%AF)" title="E (عدد)">E (عدد)</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="تابع نمایی">تابع نمایی</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%84%DA%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85_%D8%B7%D8%A8%DB%8C%D8%B9%DB%8C" title="لگاریتم طبیعی">لگاریتم طبیعی</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AA%D9%82%D8%B1%DB%8C%D8%A8_%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D8%B1%D9%84%DB%8C%D9%86%DA%AF" title="تقریب استرلینگ">تقریب استرلینگ</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AE%DA%86%D9%87_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="تاریخچه حسابان (صفحه وجود ندارد)">تاریخچه حسابان</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Adequality&action=edit&redlink=1" class="new" title="Adequality (صفحه وجود ندارد)">Adequality</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A8%D8%B1%D9%88%DA%A9_%D8%AA%DB%8C%D9%84%D9%88%D8%B1" title="بروک تیلور">بروک تیلور</a></li> <li><a href="/wiki/%DA%A9%D9%88%D9%84%DB%8C%D9%86_%D9%85%DA%A9%E2%80%8C%D9%84%D9%88%D8%B1%DB%8C%D9%86" title="کولین مک‌لورین">کولین مک‌لورین</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Generality_of_algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Generality of algebra (صفحه وجود ندارد)">Generality of algebra</a></li> <li><a href="/wiki/%DA%AF%D9%88%D8%AA%D9%81%D8%B1%DB%8C%D8%AF_%D9%84%D8%A7%DB%8C%D8%A8%D9%86%DB%8C%D8%AA%D8%B3" class="mw-redirect" title="گوتفرید لایبنیتس">گوتفرید لایبنیتس</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A8%DB%8C%E2%80%8C%D9%86%D9%87%D8%A7%DB%8C%D8%AA_%DA%A9%D9%88%DA%86%DA%A9" class="mw-redirect" title="بی‌نهایت کوچک">بی‌نهایت کوچک</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86" title="حسابان">حسابان</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A2%DB%8C%D8%B2%D8%A7%DA%A9_%D9%86%DB%8C%D9%88%D8%AA%D9%86" title="آیزاک نیوتن">آیزاک نیوتن</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Fluxion&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fluxion (صفحه وجود ندارد)">Fluxion</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Law_of_Continuity&action=edit&redlink=1" class="new" title="Law of Continuity (صفحه وجود ندارد)">Law of Continuity</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%84%D8%A6%D9%88%D9%86%D8%A7%D8%B1%D8%AF_%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%84%D8%B1" title="لئونارد اویلر">لئونارد اویلر</a></li> <li><i><a href="/w/index.php?title=Method_of_Fluxions&action=edit&redlink=1" class="new" title="Method of Fluxions (صفحه وجود ندارد)">Method of Fluxions</a></i></li> <li><i><a href="/w/index.php?title=The_Method_of_Mechanical_Theorems&action=edit&redlink=1" class="new" title="The Method of Mechanical Theorems (صفحه وجود ندارد)">The Method of Mechanical Theorems</a></i></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">لیست‌ها</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D9%82%D9%88%D8%A7%D8%B9%D8%AF_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84_%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C" class="mw-redirect" title="قواعد دیفرانسیل گیری">قواعد دیفرانسیل گیری</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="فهرست انتگرال تابع‌های نمایی">فهرست انتگرال تابع‌های نمایی</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%87%DB%8C%D9%BE%D8%B1%D8%A8%D9%88%D9%84%DB%8C%DA%A9" title="فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک">فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%88%D9%86_%D9%87%D8%B0%D9%84%D9%88%D9%84%D9%88%DB%8C" title="فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی">فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%88%D9%86_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی">فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%DA%AF%D9%86%DA%AF" title="فهرست انتگرال تابع‌های گنگ">فهرست انتگرال تابع‌های گنگ</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%84%DA%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85%DB%8C" title="فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی">فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%AF%D9%88%DB%8C%D8%A7" title="فهرست انتگرال توابع گویا">فهرست انتگرال توابع گویا</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="فهرست انتگرال توابع مثلثاتی">فهرست انتگرال توابع مثلثاتی</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Integral_of_the_secant_function&action=edit&redlink=1" class="new" title="Integral of the secant function (صفحه وجود ندارد)">Secant</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Integral_of_secant_cubed&action=edit&redlink=1" class="new" title="Integral of secant cubed (صفحه وجود ندارد)">Secant cubed</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%AD%D8%AF%D9%87%D8%A7" title="فهرست حدها">فهرست حدها</a></li> <li><a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84%E2%80%8C%D9%87%D8%A7" title="فهرست‌های انتگرال‌ها">فهرست‌های انتگرال‌ها</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">موضوعات متفرقه</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li>هندسهٔ دیفرانسیل <ul><li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AD%D9%86%D8%A7" title="انحنا">انحنا</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Differential_geometry_of_curves&action=edit&redlink=1" class="new" title="Differential geometry of curves (صفحه وجود ندارد)">of curves</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Differential_geometry_of_surfaces&action=edit&redlink=1" class="new" title="Differential geometry of surfaces (صفحه وجود ندارد)">of surfaces</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=Euler%E2%80%93Maclaurin_formula&action=edit&redlink=1" class="new" title="Euler–Maclaurin formula (صفحه وجود ندارد)">Euler–Maclaurin formula</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Gabriel%27s_Horn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gabriel's Horn (صفحه وجود ندارد)">Gabriel's Horn</a></li> <li><a href="/wiki/%D8%A8%D8%B1%D9%87%D8%A7%D9%86_%D8%A8%D8%B2%D8%B1%DA%AF%D8%AA%D8%B1_%D8%A8%D9%88%D8%AF%D9%86_%DB%B2%DB%B2/%DB%B7_%D8%A7%D8%B2_%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%BE%DB%8C" title="برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی">برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Regiomontanus%27_angle_maximization_problem&action=edit&redlink=1" class="new" title="Regiomontanus' angle maximization problem (صفحه وجود ندارد)">Regiomontanus' angle maximization problem</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Steinmetz_solid&action=edit&redlink=1" class="new" title="Steinmetz solid (صفحه وجود ندارد)">Steinmetz solid</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">برگرفته از «<a dir="ltr" href="https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=بسط_دوجمله‌ای&oldid=40449870">https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=بسط_دوجمله‌ای&oldid=40449870</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%B1%D8%AF%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7" title="ویژه:رده‌ها">رده‌ها</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D8%AC%D8%A8%D8%B1" title="رده:جبر">جبر</a></li><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D9%82%D8%B6%D8%A7%DB%8C%D8%A7%DB%8C_%D9%85%D8%B1%D8%A8%D9%88%D8%B7_%D8%A8%D9%87_%DA%86%D9%86%D8%AF%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C%E2%80%8C%D9%87%D8%A7" title="رده:قضایای مربوط به چندجمله‌ای‌ها">قضایای مربوط به چندجمله‌ای‌ها</a></li><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D9%82%D8%B6%D8%A7%DB%8C%D8%A7%DB%8C_%D8%AC%D8%A8%D8%B1" title="رده:قضایای جبر">قضایای جبر</a></li><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C" title="رده:قضیه‌های ریاضی">قضیه‌های ریاضی</a></li><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D9%85%D9%88%D8%B6%D9%88%D8%B9%D8%A7%D8%AA_%D9%81%D8%A7%DA%A9%D8%AA%D9%88%D8%B1%DB%8C%D9%84_%D9%88_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="رده:موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای">موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">رده‌های پنهان: <ul><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D8%AF%D8%A7%D8%B1%D8%A7%DB%8C_%D9%BE%DB%8C%D9%88%D9%86%D8%AF_%D9%85%D8%B1%D8%AF%D9%87" title="رده:صفحه‌های دارای پیوند مرده">صفحه‌های دارای پیوند مرده</a></li><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D9%BE%DB%8C%D9%88%D9%86%D8%AF_%D8%B1%D8%AF%D9%87_%D8%A7%D9%86%D8%A8%D8%A7%D8%B1_%D8%AF%D8%B1_%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D8%AF%D8%A7%D8%AF%D9%87_%D8%A7%D8%B3%D8%AA" title="رده:پیوند رده انبار در ویکی‌داده است">پیوند رده انبار در ویکی‌داده است</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> این صفحه آخرین‌بار در ۱۱ اکتبر ۲۰۲۴ ساعت ۱۱:۴۳ ویرایش شده است.</li> <li id="footer-info-copyright">همهٔ نوشته‌ها تحت <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ar">مجوز Creative Commons Attribution/Share-Alike</a> در دسترس است؛ برای جزئیات بیشتر <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">شرایط استفاده</a> را بخوانید.<br /> ویکی‌پدیا® علامتی تجاری متعلق به سازمان غیرانتفاعی <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org/">بنیاد ویکی‌مدیا</a> است.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">سیاست حفظ حریم خصوصی</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%AF%D8%B1%D8%A8%D8%A7%D8%B1%D9%87">دربارهٔ ویکی‌پدیا</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%AA%DA%A9%D8%B0%DB%8C%D8%A8%E2%80%8C%D9%86%D8%A7%D9%85%D9%87%D9%94_%D8%B9%D9%85%D9%88%D9%85%DB%8C">تکذیب‌نامه‌ها</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">آیین‌نامه رفتاری</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://www.mediawiki.org/wiki/How_to_contribute/fa?uselang=fa">توسعه‌دهندگان</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/fa.wikipedia.org">آمار</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">بیانیهٔ کوکی</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//fa.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">نمای موبایل</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-7fc47fc68d-2b8vx","wgBackendResponseTime":183,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.285","walltime":"0.633","ppvisitednodes":{"value":1325,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":41811,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":3448,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":28,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":11275,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 292.098 1 -total"," 35.47% 103.607 1 الگو:پیوند_مرده"," 34.75% 101.505 1 الگو:Fix"," 33.43% 97.635 2 الگو:گرداننده_رده"," 30.19% 88.171 1 الگو:موضوعات_حسابان"," 28.48% 83.202 1 الگو:Navbox"," 23.22% 67.836 1 الگو:Nocat"," 20.95% 61.185 1 الگو:تشخیص_فضای_نام_نمایش_همه"," 18.17% 53.074 1 الگو:ویکی‌انبار-رده"," 17.11% 49.989 1 الگو:پروژه_خواهر"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.133","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2207941,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-7b457d66f4-n7h9k","timestamp":"20241126121859","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0628\u0633\u0637 \u062f\u0648\u062c\u0645\u0644\u0647\u200c\u0627\u06cc","url":"https:\/\/fa.wikipedia.org\/wiki\/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q26708","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q26708","author":{"@type":"Organization","name":"\u0645\u0634\u0627\u0631\u06a9\u062a\u200c\u06a9\u0646\u0646\u062f\u06af\u0627\u0646 \u067e\u0631\u0648\u0698\u0647\u0654 \u0648\u06cc\u06a9\u06cc\u200c\u0645\u062f\u06cc\u0627"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2008-06-29T17:54:12Z","dateModified":"2024-10-11T11:43:51Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/4\/47\/Binomial_theorem_visualisation.svg","headline":"\u06af\u0633\u062a\u0631\u0634 \u062c\u0628\u0631\u06cc \u062a\u0648\u0627\u0646 \u0647\u0627\u06cc \u06cc\u06a9 \u062f\u0648 \u062c\u0645\u0644\u0647 \u0627\u06cc"}</script> </body> </html>