Корреляция — Википедия

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="ru" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Корреляция — Википедия</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ruwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","январь","февраль","март","апрель","май","июнь","июль","август","сентябрь","октябрь","ноябрь","декабрь"],"wgRequestId":"d22c984b-fa99-4d05-869c-0561136b8494","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Корреляция","wgTitle":"Корреляция","wgCurRevisionId":138888265,"wgRevisionId":138888265,"wgArticleId":25341,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect": false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Википедия:Статьи с шаблоном Falseredirect","Статьи со ссылками на Викисловарь","Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN","Факторный анализ","Эконометрика","Статистическое управление процессом","Безразмерные параметры"],"wgPageViewLanguage":"ru","wgPageContentLanguage":"ru","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Корреляция","wgRelevantArticleId":25341,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":138888265,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0, "wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ru","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ru"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":false,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q186290","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.common-site":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready", "user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.directLinkToCommons","ext.gadget.referenceTooltips","ext.gadget.logo","ext.gadget.edittop","ext.gadget.navboxDefaultGadgets","ext.gadget.wikibugs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init", "ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ru&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=ext.gadget.common-site&only=styles&skin=vector"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <noscript><link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=noscript&only=styles&skin=vector"></noscript> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg/1200px-Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1198"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg/800px-Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="799"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg/640px-Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="639"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Корреляция — Википедия"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Править" href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Википедия (ru)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ru.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ru"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Википедия — Atom-лента" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D0%B5%D0%B6%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Корреляция rootpage-Корреляция skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Корреляция</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Материал из Википедии — свободной энциклопедии</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти к навигации</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти к поиску</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ru" dir="ltr"><div class="hatnote navigation-not-searchable noprint dabhide">У этого термина существуют и другие значения, см. <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F)" class="mw-disambig" title="Корреляция (значения)">Корреляция (значения)</a>.</div> <div class="hatnote navigation-not-searchable dabhide">Запрос «<a class="external text" href="https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%9F%D0%B8%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0&redirect=no">Коэффициент корреляции Пирсона</a>»<a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q1136628#sitelinks-wikipedia" class="extiw" title="d:Q1136628">[d]</a> перенаправляется сюда. На эту тему нужно <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:EditPage/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%9F%D0%B8%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Служебная:EditPage/Коэффициент корреляции Пирсона">создать отдельную статью</a>.</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg/220px-Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg/330px-Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg/440px-Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg.png 2x" data-file-width="630" data-file-height="629" /></a><figcaption>Для графического представления корреляционной связи можно использовать прямоугольную систему координат с осями, которые соответствуют обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определённого символа. Такой график называется <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F" title="Диаграмма рассеяния">диаграммой рассеяния</a>.</figcaption></figure> Корреля́ция (от <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA" title="Латинский язык">лат.</a> correlatio «соотношение»), или корреляцио́нная зави́симость — <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Статистика">статистическая</a> взаимосвязь двух или более <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Случайная величина">случайных величин</a> (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми), при этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин<a href="#cite_note-_8a9ab803ecf9c122-1">[1]</a>. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\eta } }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>η</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\eta } }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf0275f1bd0f93ac5bb945efcd4e03601006441" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\eta } }"><a href="#cite_note-_93d45a4d698c5de0-2">[2]</a> либо <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8" class="mw-redirect" title="Коэффициент корреляции">коэффициент корреляции</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de85fcc2a00d8ba14aae84aeef812d7fef4b3d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.003ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} }"> (или <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.102ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} }">)<a href="#cite_note-_8a9ab803ecf9c122-1">[1]</a>. В случае если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической<a href="#cite_note-_93d45b4d698c5fbd-3">[3]</a>. Впервые в научный оборот термин корреляция ввёл <a href="/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Франция">французский</a> <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F" title="Палеонтология">палеонтолог</a> <a href="/wiki/%D0%9A%D1%8E%D0%B2%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%BE%D1%80%D0%B6_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B4" title="Кювье, Жорж Леопольд">Жорж Кювье</a> в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD,_%D0%A4%D1%80%D1%8D%D0%BD%D1%81%D0%B8%D1%81" title="Гальтон, Фрэнсис">Фрэнсис Гальтон</a> в конце XIX века<a href="#cite_note-_51abc2a216af1562-4">[4]</a>. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="ru" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Содержание</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Корреляция_и_взаимосвязь_величин">1 Корреляция и взаимосвязь величин</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Показатели_корреляции">2 Показатели корреляции</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Параметрические_показатели_корреляции">2.1 Параметрические показатели корреляции</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-4"><a href="#Ковариация">2.1.1 Ковариация</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-5"><a href="#Линейный_коэффициент_корреляции">2.1.2 Линейный коэффициент корреляции</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Непараметрические_показатели_корреляции">2.2 Непараметрические показатели корреляции</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-7"><a href="#Коэффициент_ранговой_корреляции_Кендалла">2.2.1 Коэффициент ранговой корреляции Кендалла</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-8"><a href="#Коэффициент_ранговой_корреляции_Спирмена">2.2.2 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-9"><a href="#Коэффициент_корреляции_знаков_Фехнера">2.2.3 Коэффициент корреляции знаков Фехнера</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-10"><a href="#Множественный_коэффициент_корреляции">2.2.4 Множественный коэффициент корреляции</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-11"><a href="#Коэффициент_множественной_ранговой_корреляции_(конкордации)">2.2.5 Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Свойства_коэффициента_корреляции">2.3 Свойства коэффициента корреляции</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Корреляционный_анализ">3 Корреляционный анализ</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#Ограничения_корреляционного_анализа">3.1 Ограничения корреляционного анализа</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-15"><a href="#Область_применения">3.2 Область применения</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#См._также">4 См. также</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#Примечания">5 Примечания</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-18"><a href="#Литература">6 Литература</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Ссылки">7 Ссылки</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Корреляция_и_взаимосвязь_величин">Корреляция и взаимосвязь величин</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=1" title="Редактировать раздел «Корреляция и взаимосвязь величин»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=1" title="Редактировать код раздела «Корреляция и взаимосвязь величин»">править код</a>]</div> Значительная корреляция между двумя случайными величинами всегда является свидетельством существования некоторой статистической связи в данной выборке, но эта связь не обязательно должна наблюдаться для другой выборки и иметь причинно-следственный характер. Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи. Например, рассматривая пожары в конкретном городе, можно выявить весьма высокую корреляцию между ущербом, который нанёс пожар, и количеством пожарных, участвовавших в ликвидации пожара, причём эта корреляция будет положительной. Из этого, однако, не следует вывод «увеличение количества пожарных приводит к увеличению причинённого ущерба», и тем более не будет успешной попытка минимизировать ущерб от пожаров путём ликвидации пожарных бригад<a href="#cite_note-_93d45b4d698c5fbc-5">[5]</a>. Корреляция двух величин может свидетельствовать о существовании общей причины, хотя сами явления напрямую не взаимодействуют. Например, обледенение становится причиной как роста травматизма из-за падений, так и увеличения аварийности среди автотранспорта. В этом случае две величины (травматизм из-за падений пешеходов и аварийность автотранспорта) будут коррелировать, хотя они не связаны причинно-следственно друг с другом, а лишь имеют стороннюю общую причину — <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Гололедица">гололедицу</a>. В то же время, отсутствие корреляции между двумя величинами ещё не значит, что между ними нет никакой связи. Например, зависимость может иметь сложный нелинейный характер, который корреляция не выявляет. Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором — также и её направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано <a href="/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Отношение порядка">отношение строгого порядка</a>, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях — это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)" title="Независимость (теория вероятностей)">независимых случайных величин</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Показатели_корреляции">Показатели корреляции</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=2" title="Редактировать раздел «Показатели корреляции»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=2" title="Редактировать код раздела «Показатели корреляции»">править код</a>]</div> Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида <a href="/wiki/%D0%A8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0" title="Шкала">шкалы</a>, к которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B" title="Моменты случайной величины">моментов</a> произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является <a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Нормальное распределение">нормально распределённой</a>, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\tau } }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>τ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\tau } }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc46f8785eec5db11fc73af8c5f02473cd0fd71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\tau } }"> (тау) Кендалла. В случае, когда одна из двух переменных является <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%85%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F" title="Дихотомическая переменная">дихотомической</a>, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%85%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F" title="Дихотомическая переменная">дихотомическими</a> — четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, когда связь между ними линейна (однонаправлена). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Параметрические_показатели_корреляции"><span id=".D0.9F.D0.B0.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D0.BA.D0.B0.D0.B7.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D0.B8_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8">Параметрические показатели корреляции</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=3" title="Редактировать раздел «Параметрические показатели корреляции»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=3" title="Редактировать код раздела «Параметрические показатели корреляции»">править код</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ковариация">Ковариация</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=4" title="Редактировать раздел «Ковариация»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=4" title="Редактировать код раздела «Ковариация»">править код</a>]</div> <div class="hatnote navigation-not-searchable">Основные статьи: <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Ковариация">Ковариация</a> и <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%91%D1%83%D0%BD%D1%8F%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Неравенство Коши — Буняковского">Неравенство Коши — Буняковского</a></div> Важной характеристикой совместного распределения двух случайных величин является ковариация (или корреляционный момент). Ковариация является совместным центральным <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B" title="Моменты случайной величины">моментом</a> второго порядка<a href="#cite_note-_04d77fd9bc976d6a-6">[6]</a>. Ковариация определяется как <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Математическое ожидание">математическое ожидание</a> произведения отклонений случайных величин<a href="#cite_note-_51a7892950971c7b-7">[7]</a>: <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {M} \left[(X-\mathbf {M} (X))(Y-\mathbf {M} (Y))\right]=\mathbf {M} (XY)-\mathbf {M} (X)\mathbf {M} (Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {M} \left[(X-\mathbf {M} (X))(Y-\mathbf {M} (Y))\right]=\mathbf {M} (XY)-\mathbf {M} (X)\mathbf {M} (Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5c50d8f681d17ae291067e2ce2ae04967222ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:65.61ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {M} \left[(X-\mathbf {M} (X))(Y-\mathbf {M} (Y))\right]=\mathbf {M} (XY)-\mathbf {M} (X)\mathbf {M} (Y)}">,</center> где <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {M} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {M} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e499ae5946af9c09777ada933051b3669d3372c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.537ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {M} }"> — <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Математическое ожидание">математическое ожидание</a> (в англоязычной литературе принято обозначение <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {E} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">E</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {E} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7f22b39d51f780fc02859059c1757c606b9de2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.757ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {E} }"> от expected value). Свойства ковариации: <ul><li>Ковариация двух независимых случайных величин <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {X} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">X</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {X} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f75966a2f9d5672136fa9401ee1e75008f95ffd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {X} }"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Y} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Y</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Y} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92a7716a99fadda050469747fce1e475e0ec549" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Y} }"> равна нулю<a href="#cite_note-_3e08d317e7e37e63-8">[8]</a>.</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r137842454">.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок{margin:0;overflow:hidden;border-collapse:collapse;box-sizing:border-box;font-size:95%}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-title{text-align:center;font-weight:bold;line-height:1.6em;min-height:1.2em}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок .mw-collapsible-content{overflow-x:auto;overflow-y:hidden;clear:both}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок::before,.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок .mw-collapsible-toggle{padding-top:.1em;width:6em;font-weight:normal;font-size:calc(90%/0.95)}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-rightHideLink .mw-collapsible-toggle{float:right;text-align:right}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-leftHideLink .mw-collapsible-toggle{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-gray{padding:2px;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent{border:none}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-gray .ts-Скрытый_блок-title{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.1em 6em;padding-right:0}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent .ts-Скрытый_блок-title{background:transparent;padding:.1em 5.5em;padding-right:0}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-gray .mw-collapsible-content{padding:.25em 1em}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent .mw-collapsible-content{padding:.25em 0}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-gray.ts-Скрытый_блок-rightHideLink .mw-collapsible-toggle{padding-right:1em}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent.ts-Скрытый_блок-rightHideLink .mw-collapsible-toggle{padding-right:0}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-gray.ts-Скрытый_блок-leftHideLink .mw-collapsible-toggle{padding-left:1em}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent.ts-Скрытый_блок-leftHideLink .mw-collapsible-toggle{padding-left:0}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-gray.ts-Скрытый_блок-rightHideLink .ts-Скрытый_блок-title-leftTitle{padding-left:1em}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-gray.ts-Скрытый_блок-leftHideLink .ts-Скрытый_блок-title-leftTitle{padding-left:6.5em}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-gray.ts-Скрытый_блок-leftHideLink .ts-Скрытый_блок-title-rightTitle{padding-right:1em}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent.ts-Скрытый_блок-rightHideLink .ts-Скрытый_блок-title-rightTitle,.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent.ts-Скрытый_блок-rightHideLink .ts-Скрытый_блок-title-leftTitle{padding-left:0}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent.ts-Скрытый_блок-leftHideLink .ts-Скрытый_блок-title-rightTitle,.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок-transparent.ts-Скрытый_блок-leftHideLink .ts-Скрытый_блок-title-leftTitle{padding-right:0}.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок+.ts-Скрытый_блок,.mw-parser-output .ts-Скрытый_блок+link+.ts-Скрытый_блок{border-top-style:hidden}</style><div class="mw-collapsible mw-collapsed ts-Скрытый_блок ts-Скрытый_блок-gray ts-Скрытый_блок-rightHideLink" style="border: 1px solid rgb(200,200,200);"><div class="ts-Скрытый_блок-title" style="color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;">Доказательство<div class="mw-collapsible-toggle-placeholder"></div></div><div class="mw-collapsible-content" style="color: black; background-color: white; text-align: left;"> Так как <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {X} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">X</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {X} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f75966a2f9d5672136fa9401ee1e75008f95ffd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {X} }"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Y} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Y</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Y} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92a7716a99fadda050469747fce1e475e0ec549" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Y} }"> — независимые случайные величины, то и их отклонения <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {X} -\mathbf {M} (X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {X} -\mathbf {M} (X)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae766bc482feb1dc52ed723544c880087964d38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.187ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {X} -\mathbf {M} (X)}"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Y} -\mathbf {M} (Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Y</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Y} -\mathbf {M} (Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad26410cf1e7b4b8ca35b171dbab240d0a0a9fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.98ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Y} -\mathbf {M} (Y)}"> также независимы. Пользуясь тем, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей, а математическое ожидание отклонения равно нулю, имеем <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {M} \left[(X-\mathbf {M} (X))(Y-\mathbf {M} (Y))\right]=\mathbf {M} \ (X-\mathbf {M} (X))\mathbf {M} (Y-\mathbf {M} (Y))=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {M} \left[(X-\mathbf {M} (X))(Y-\mathbf {M} (Y))\right]=\mathbf {M} \ (X-\mathbf {M} (X))\mathbf {M} (Y-\mathbf {M} (Y))=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32513ba31276d0e89e452e9a166548c35fcb98b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:78.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {M} \left[(X-\mathbf {M} (X))(Y-\mathbf {M} (Y))\right]=\mathbf {M} \ (X-\mathbf {M} (X))\mathbf {M} (Y-\mathbf {M} (Y))=0.}"> </center> </div></div> <ul><li>Абсолютная величина ковариации двух случайных величин <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {X} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">X</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {X} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f75966a2f9d5672136fa9401ee1e75008f95ffd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {X} }"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Y} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Y</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Y} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92a7716a99fadda050469747fce1e475e0ec549" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Y} }"> не превышает среднего геометрического их <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B" title="Дисперсия случайной величины">дисперсий</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⩽</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd233ebcb7ab7c78c1110ba20d0d996ea6e83d7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.694ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y}}}}"><a href="#cite_note-_082ca4262a600aff-9">[9]</a>.</li></ul> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r137842454"><div class="mw-collapsible mw-collapsed ts-Скрытый_блок ts-Скрытый_блок-gray ts-Скрытый_блок-rightHideLink" style="border: 1px solid rgb(200,200,200);"><div class="ts-Скрытый_блок-title" style="color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;">Доказательство<div class="mw-collapsible-toggle-placeholder"></div></div><div class="mw-collapsible-content" style="color: black; background-color: white; text-align: left;"> Введём в рассмотрение случайную величину <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Z} _{1}=\mathbf {\sigma } _{Y}\mathbf {X} -\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {Y} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Y</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Z} _{1}=\mathbf {\sigma } _{Y}\mathbf {X} -\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {Y} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f7d510da2c5b5d2c41c1c89998761096f084ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.439ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Z} _{1}=\mathbf {\sigma } _{Y}\mathbf {X} -\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {Y} }"> (где <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\sigma } }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\sigma } }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e3e4346a15673d73896bc0d8e3a824a3fdfe2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\sigma } }"> — <a href="/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Среднеквадратическое отклонение">среднеквадратическое отклонение</a>) и найдём её дисперсию <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {D} (Z_{1})=\mathbf {M} [\mathbf {Z} -m_{Z1}]^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">D</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Z</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {D} (Z_{1})=\mathbf {M} [\mathbf {Z} -m_{Z1}]^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a8bf62b9011e1e39d759377e82f256f1a9d77a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.242ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {D} (Z_{1})=\mathbf {M} [\mathbf {Z} -m_{Z1}]^{2}}">. Выполнив выкладки получим: <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {D} (Z_{1})=2\mathbf {\sigma ^{2}} _{X}\mathbf {\sigma ^{2}} _{Y}-2\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}\mathrm {cov} _{XY}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">D</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {D} (Z_{1})=2\mathbf {\sigma ^{2}} _{X}\mathbf {\sigma ^{2}} _{Y}-2\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}\mathrm {cov} _{XY}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58030cf6aa72293bc9bec9a08360f891bf2cfc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.627ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {D} (Z_{1})=2\mathbf {\sigma ^{2}} _{X}\mathbf {\sigma ^{2}} _{Y}-2\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}\mathrm {cov} _{XY}.}"> </center> Любая дисперсия неотрицательна, поэтому <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\mathbf {\sigma ^{2}} _{X}\mathbf {\sigma ^{2}} _{Y}-2\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}\mathrm {cov} _{XY}\geqslant 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\mathbf {\sigma ^{2}} _{X}\mathbf {\sigma ^{2}} _{Y}-2\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}\mathrm {cov} _{XY}\geqslant 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8b2d87f2920220e7d80b38f43cb81e6ea07a2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:29.642ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2\mathbf {\sigma ^{2}} _{X}\mathbf {\sigma ^{2}} _{Y}-2\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}\mathrm {cov} _{XY}\geqslant 0}"> </center> Отсюда <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fffd80dcffe83379546ab206bffe2402ac1af4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.827ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}"> </center> Введя случайную величину <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Z} _{2}=\mathbf {\sigma } _{Y}\mathbf {X} +\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {Y} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">X</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Y</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Z} _{2}=\mathbf {\sigma } _{Y}\mathbf {X} +\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {Y} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b940517b0b1355fa194e43581b8870b2dffce185" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.439ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Z} _{2}=\mathbf {\sigma } _{Y}\mathbf {X} +\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {Y} }">, аналогично <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}\geqslant -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩾</mo> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}\geqslant -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3262f252402963f536dc7e4fb18f02879a6385" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.635ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}\geqslant -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}"> </center> Объединив полученные неравенства имеем <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}\leqslant \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}\leqslant \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1d2d5d7e842a05598ee49057c4585dd2dd18e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.507ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}\leqslant \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}"> </center> Или <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⩽</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc3e37ce4ae563a82d1d7f6d9810c0233550803" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.121ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.}"> </center> Итак, <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⩽</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22bcfa67cc8e980fa21d425a1ecf13e0211db5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.341ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y}}}.}"> </center> </div></div> <ul><li>Ковариация имеет размерность, равную произведению размерности случайных величин, то есть величина ковариации зависит от единиц измерения независимых величин. Данная особенность ковариации затрудняет её использование в целях корреляционного анализа<a href="#cite_note-_3e08d317e7e37e63-8">[8]</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Линейный_коэффициент_корреляции">Линейный коэффициент корреляции</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=5" title="Редактировать раздел «Линейный коэффициент корреляции»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=5" title="Редактировать код раздела «Линейный коэффициент корреляции»">править код</a>]</div> Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона), который разработали <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB" title="Пирсон, Карл">Карл Пирсон</a>, <a href="/wiki/%D0%AD%D0%B4%D0%B6%D1%83%D0%BE%D1%80%D1%82,_%D0%A4%D1%80%D1%8D%D0%BD%D1%81%D0%B8%D1%81_%D0%98%D1%81%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D1%80" class="mw-redirect" title="Эджуорт, Фрэнсис Исидор">Фрэнсис Эджуорт</a> и <a href="/wiki/%D0%A3%D1%8D%D0%BB%D0%B4%D0%BE%D0%BD,_%D0%A0%D0%B0%D1%84%D0%B0%D1%8D%D0%BB%D1%8C" title="Уэлдон, Рафаэль">Рафаэль Уэлдон</a> в 90-х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле<a href="#cite_note-_8a973903ecf6b35c-10">[10]</a><a href="#cite_note-_3e08d317e7e37e63-8">[8]</a>: <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} _{XY}={\frac {\mathbf {cov} _{XY}}{\mathbf {\sigma } _{X}{\sigma }_{Y}}}={\frac {\sum (X-{\bar {X}})(Y-{\bar {Y}})}{\sqrt {\sum (X-{\bar {X}})^{2}\sum (Y-{\bar {Y}})^{2}}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>∑</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <msqrt> <mo>∑</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∑</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{XY}={\frac {\mathbf {cov} _{XY}}{\mathbf {\sigma } _{X}{\sigma }_{Y}}}={\frac {\sum (X-{\bar {X}})(Y-{\bar {Y}})}{\sqrt {\sum (X-{\bar {X}})^{2}\sum (Y-{\bar {Y}})^{2}}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc617ac6eedf1a6280410d4f88b58279e941d1cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:45.859ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{XY}={\frac {\mathbf {cov} _{XY}}{\mathbf {\sigma } _{X}{\sigma }_{Y}}}={\frac {\sum (X-{\bar {X}})(Y-{\bar {Y}})}{\sqrt {\sum (X-{\bar {X}})^{2}\sum (Y-{\bar {Y}})^{2}}}}.}"></center> где <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdb7399bcdffe7fe60084e7da343c14a31fa53a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.34ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Y_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>Y</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Y_{t}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526652d36a2dd19e6aa24e0dbe6e5f53cba4375f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.798ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Y_{t}}"> — среднее значение выборок. Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы<a href="#cite_note-_3e08d317e7e37e6d-11">[11]</a>. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r137842454"><div class="mw-collapsible mw-collapsed ts-Скрытый_блок ts-Скрытый_блок-gray ts-Скрытый_блок-rightHideLink" style="border: 1px solid rgb(200,200,200);"><div class="ts-Скрытый_блок-title" style="color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;">Доказательство<div class="mw-collapsible-toggle-placeholder"></div></div><div class="mw-collapsible-content" style="color: black; background-color: white; text-align: left;"> Разделив обе части двойного неравенства <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}\leqslant \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}\leqslant \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c0167400f511ac2e78e5bb292a1cc770814223" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.86ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}\leqslant \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}}"> на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fee10fe575a9fecfcbccffbb564cbe4e35a767" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y}}"> получим <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1\leqslant \mathbf {r} _{XY}\leqslant \ 1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>⩽</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <mtext> </mtext> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1\leqslant \mathbf {r} _{XY}\leqslant \ 1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e344e6366bded4e7cb745c2e5c61a6be5d63fc8a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.546ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -1\leqslant \mathbf {r} _{XY}\leqslant \ 1.}"> </center> </div></div> Линейный коэффициент корреляции связан с <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8" class="mw-redirect" title="Коэффициент регрессии">коэффициентом регрессии</a> в виде следующей зависимости:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} _{XY}=\mathbf {a} _{i}{\frac {{\sigma }_{Xi}}{{\sigma }_{Y}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{XY}=\mathbf {a} _{i}{\frac {{\sigma }_{Xi}}{{\sigma }_{Y}}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eeffcca46af257981c37c239a19315832d4fe47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:14.196ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{XY}=\mathbf {a} _{i}{\frac {{\sigma }_{Xi}}{{\sigma }_{Y}}},}"> где <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a01879ce830ef8790aa7dc9f3665d6727f3af3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.099ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}"> — коэффициент регрессии, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\sigma } _{Xi}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\sigma } _{Xi}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc8ac7f3e154b42f1b2b2f386b23fb96675b467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.527ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\sigma } _{Xi}}"> — среднеквадратическое отклонение соответствующего факторного признака<a href="#cite_note-_8a973903ecf6b35d-12">[12]</a>. Отношение коэффициента регрессии к среднеквадратичному отклонению Y не зависит от единиц измерения Y. При линейной трансформации набора данных <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}^{*}=a+bx_{i},\;a\in \mathbb {R} ,b\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}^{*}=a+bx_{i},\;a\in \mathbb {R} ,b\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea64fb5d30857cc4a48c0c57980983073f5e2fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{i}^{*}=a+bx_{i},\;a\in \mathbb {R} ,b\neq 0}"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}^{*}=c+dy_{i},\;c\in \mathbb {R} ,d\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}^{*}=c+dy_{i},\;c\in \mathbb {R} ,d\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f67d1ed91d857c349dafce6bd2ac1777553a940" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.031ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{i}^{*}=c+dy_{i},\;c\in \mathbb {R} ,d\neq 0}"> линейный коэффициент корреляции будет равен <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{X^{*}Y^{*}}={\frac {bd}{\left|bd\right|}}r_{XY}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{X^{*}Y^{*}}={\frac {bd}{\left|bd\right|}}r_{XY}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d34c13316283c3fbdd1506630690692b93ef671" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.076ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle r_{X^{*}Y^{*}}={\frac {bd}{\left|bd\right|}}r_{XY}}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Непараметрические_показатели_корреляции"><span id=".D0.9D.D0.B5.D0.BF.D0.B0.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D0.BA.D0.B0.D0.B7.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D0.B8_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8">Непараметрические показатели корреляции</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=6" title="Редактировать раздел «Непараметрические показатели корреляции»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=6" title="Редактировать код раздела «Непараметрические показатели корреляции»">править код</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Коэффициент_ранговой_корреляции_Кендалла"><span id=".D0.9A.D0.BE.D1.8D.D1.84.D1.84.D0.B8.D1.86.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82_.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B3.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D0.B9_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.9A.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B0.D0.BB.D0.BB.D0.B0">Коэффициент ранговой корреляции Кендалла</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=7" title="Редактировать раздел «Коэффициент ранговой корреляции Кендалла»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=7" title="Редактировать код раздела «Коэффициент ранговой корреляции Кендалла»">править код</a>]</div> Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%BB,_%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B6" title="Кендалл, Морис Джордж">Кендалла</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau ={\frac {2S}{n(n-1)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ={\frac {2S}{n(n-1)}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7773a6b69764bee1037f2bafd93cb4cb457d67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:13.738ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \tau ={\frac {2S}{n(n-1)}}}">, где <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=P-Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo>−</mo> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=P-Q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9f102976e82fa41153763662612db0d52788e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.022ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S=P-Q}">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"> — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau \in [-1;1]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau \in [-1;1]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8b22fb023ca5c0e32106a675205dd04650505b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.503ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \tau \in [-1;1]}"> Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчетах используется скорректированный коэффициент корреляции Кендалла: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau ={\frac {S}{{\sqrt {[{\frac {n(n-1)}{2}}-U_{x}][{\frac {n(n-1)}{2}}-U_{y}}}]}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ={\frac {S}{{\sqrt {[{\frac {n(n-1)}{2}}-U_{x}][{\frac {n(n-1)}{2}}-U_{y}}}]}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63af38b23da50ccf3c7f1a54d2232b5458dad85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:33.502ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle \tau ={\frac {S}{{\sqrt {[{\frac {n(n-1)}{2}}-U_{x}][{\frac {n(n-1)}{2}}-U_{y}}}]}}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{x}={\frac {\sum {t(t-1)}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{x}={\frac {\sum {t(t-1)}}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678c7064445554ebd9536f0f1233e8615cb76a76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.027ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle U_{x}={\frac {\sum {t(t-1)}}{2}}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{y}={\frac {\sum {t(t-1)}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{y}={\frac {\sum {t(t-1)}}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ec779bad8788f3a5cd5b56a5031d7d67ef9fc7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.904ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle U_{y}={\frac {\sum {t(t-1)}}{2}}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"> — число связанных рангов в ряду X и Y соответственно. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Коэффициент_ранговой_корреляции_Спирмена"><span id=".D0.9A.D0.BE.D1.8D.D1.84.D1.84.D0.B8.D1.86.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82_.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B3.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D0.B9_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.A1.D0.BF.D0.B8.D1.80.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D0.B0">Коэффициент ранговой корреляции Спирмена</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=8" title="Редактировать раздел «Коэффициент ранговой корреляции Спирмена»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=8" title="Редактировать код раздела «Коэффициент ранговой корреляции Спирмена»">править код</a>]</div> Степень зависимости двух случайных величин (признаков) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> может характеризоваться на основе анализа получаемых результатов <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b25ab96a501522023b70adad907387d66aba9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.96ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})}">. Каждому показателю <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> присваивается ранг. Ранги значений <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> расположены в естественном порядке <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4139aedce69fd9e24a74aefdf330009777ee2fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.833ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}">. Ранг <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> записывается как <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db421291be9d0103404ced7495b363437b67b6b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{i}}"> и соответствует рангу той пары <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f29b9537685f499713112d6802e811cbf51bba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.597ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,Y)}">, для которой ранг <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> равен <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}">. На основе полученных рангов <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}"> рассчитываются их разности <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe3154db7d4f92fb42dd1f80f52f528c6312e4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.009ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{i}}"> и вычисляется коэффициент корреляции <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%BC%D0%B5%D0%BD,_%D0%A7%D0%B0%D1%80%D0%BB%D1%8C%D0%B7_%D0%AD%D0%B4%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B4" class="mw-redirect" title="Спирмен, Чарльз Эдвард">Спирмена</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>6</mn> <mo>∑</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82eae529334bfcd915eb0a11bd3f9297e4a6172d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.795ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}"> Значение коэффициента меняется от −1 (последовательности рангов полностью противоположны) до +1 (последовательности рангов полностью совпадают). Нулевое значение показывает, что признаки независимы. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Коэффициент_корреляции_знаков_Фехнера"><span id=".D0.9A.D0.BE.D1.8D.D1.84.D1.84.D0.B8.D1.86.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.B2_.D0.A4.D0.B5.D1.85.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0">Коэффициент корреляции знаков Фехнера</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=9" title="Редактировать раздел «Коэффициент корреляции знаков Фехнера»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=9" title="Редактировать код раздела «Коэффициент корреляции знаков Фехнера»">править код</a>]</div> Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i={\frac {C-H}{C+H}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mo>−</mo> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <mi>H</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i={\frac {C-H}{C+H}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c05bc0e9fb4259c5a399505725e513d86476b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:11.407ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle i={\frac {C-H}{C+H}}}"> C — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают. H — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Множественный_коэффициент_корреляции"><span id=".D0.9C.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D0.BA.D0.BE.D1.8D.D1.84.D1.84.D0.B8.D1.86.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8">Множественный коэффициент корреляции</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=10" title="Редактировать раздел «Множественный коэффициент корреляции»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=10" title="Редактировать код раздела «Множественный коэффициент корреляции»">править код</a>]</div> <div class="hatnote navigation-not-searchable">Основная статья: <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8" title="Множественный коэффициент корреляции">Множественный коэффициент корреляции</a></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Коэффициент_множественной_ранговой_корреляции_(конкордации)"><span id=".D0.9A.D0.BE.D1.8D.D1.84.D1.84.D0.B8.D1.86.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B3.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D0.B9_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8_.28.D0.BA.D0.BE.D0.BD.D0.BA.D0.BE.D1.80.D0.B4.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8.29">Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=11" title="Редактировать раздел «Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=11" title="Редактировать код раздела «Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)»">править код</a>]</div> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>12</mn> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08080937f2f7c430e28103e3bddfdf6fbf468f4d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.958ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)}}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}{(\sum _{j=1}^{m}{R_{ij}})^{2}}-{\frac {(\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{m}{R_{ij}}})^{2}}{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}{(\sum _{j=1}^{m}{R_{ij}})^{2}}-{\frac {(\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{m}{R_{ij}}})^{2}}{n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af65d6cbc2be6a0b5714e3a54903617530fe3fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:39.56ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}{(\sum _{j=1}^{m}{R_{ij}})^{2}}-{\frac {(\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{m}{R_{ij}}})^{2}}{n}}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"> — число групп, которые ранжируются. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> — число переменных. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50382df1fd3bebf0baf22e2eab56a7a471d6621a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.241ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{ij}}"> — ранг <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}">-фактора у <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}">-единицы. Значимость: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi ^{2}=m(n-1)*W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi ^{2}=m(n-1)*W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b40bb0ce853cc244f892afee1fc9c037c00289" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.485ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \chi ^{2}=m(n-1)*W}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\chi ^{2}}_{kp}=(\alpha ;(n-1)(m-1))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>;</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\chi ^{2}}_{kp}=(\alpha ;(n-1)(m-1))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5384b3d4e50a1c84f282d97a09b0b9403119b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:26.914ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\chi ^{2}}_{kp}=(\alpha ;(n-1)(m-1))}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi ^{2}>{\chi ^{2}}_{kp}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>></mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi ^{2}>{\chi ^{2}}_{kp}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e661e53e505124aaf1acb7a1a789e43181a10e87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.033ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \chi ^{2}>{\chi ^{2}}_{kp}}">, то гипотеза об отсутствии связи отвергается. В случае наличия связанных рангов: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)-m\sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_{j}-t_{j})}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>12</mn> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)-m\sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_{j}-t_{j})}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58392446f5934b2209069c91040cf7b88e3862b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:38.279ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)-m\sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_{j}-t_{j})}}}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi ^{2}={\frac {12S}{mn(n+1)-{\frac {\sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_{j}-t_{j})}}{n-1}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>12</mn> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi ^{2}={\frac {12S}{mn(n+1)-{\frac {\sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_{j}-t_{j})}}{n-1}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d695d47eaa0074ea3a57811d4aa0f14ad2f7784" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:31.31ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle \chi ^{2}={\frac {12S}{mn(n+1)-{\frac {\sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_{j}-t_{j})}}{n-1}}}}}"> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Свойства_коэффициента_корреляции">Свойства коэффициента корреляции</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=12" title="Редактировать раздел «Свойства коэффициента корреляции»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=12" title="Редактировать код раздела «Свойства коэффициента корреляции»">править код</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%91%D1%83%D0%BD%D1%8F%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Неравенство Коши — Буняковского">Неравенство Коши — Буняковского</a>:</li></ul> <dl><dd>если принять в качестве <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Скалярное произведение">скалярного произведения</a> двух случайных величин ковариацию <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathrm {cov} (X,Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathrm {cov} (X,Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5517a593c538cc32f9ce3cee98e31e98cc8a63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathrm {cov} (X,Y)}">, то норма случайной величины будет равна <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|X\|={\sqrt {\mathrm {D} [X]}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>X</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|X\|={\sqrt {\mathrm {D} [X]}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab23855903509f2597eb77d4cdeafcff057e7d6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.776ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|X\|={\sqrt {\mathrm {D} [X]}}}">, и следствием <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%91%D1%83%D0%BD%D1%8F%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Неравенство Коши — Буняковского">неравенства Коши — Буняковского</a> будет:</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1\leqslant \mathbb {R} _{X,Y}\leqslant 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>⩽</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1\leqslant \mathbb {R} _{X,Y}\leqslant 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce6b0c1a5aa0150be0e23fb16e70bf59566070f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.352ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -1\leqslant \mathbb {R} _{X,Y}\leqslant 1}">.</dd></dl> <ul><li>Коэффициент корреляции равен <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm 1}"> тогда и только тогда, когда <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> линейно зависимы (исключая события нулевой вероятности, когда несколько точек «выбиваются» из прямой, отражающей линейную зависимость случайных величин):</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=\pm 1\Leftrightarrow Y=kX+b,k\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=\pm 1\Leftrightarrow Y=kX+b,k\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6020a032230c533c9f45d2df128789edb8b269b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:33.112ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=\pm 1\Leftrightarrow Y=kX+b,k\neq 0}">,</dd> <dd>где <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k,b\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k,b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c8427220156ab8a16ce667bee1fff25d0e6d59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.761ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k,b\in \mathbb {R} }">. Более того в этом случае знаки <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02346b0fe12478ff6c5bc5fbf59b672b14d99b34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.022ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}}"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> совпадают:</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sgn} \mathbb {R} _{X,Y}=\operatorname {sgn} k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sgn} \mathbb {R} _{X,Y}=\operatorname {sgn} k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16df4525cd242b30571c3de301890ee425e5e3b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sgn} \mathbb {R} _{X,Y}=\operatorname {sgn} k}">.</dd></dl> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r137842454"><div class="mw-collapsible mw-collapsed ts-Скрытый_блок ts-Скрытый_блок-gray ts-Скрытый_блок-rightHideLink" style="border: 1px solid rgb(200,200,200);"><div class="ts-Скрытый_блок-title" style="color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;">Доказательство<div class="mw-collapsible-toggle-placeholder"></div></div><div class="mw-collapsible-content" style="color: black; background-color: white; text-align: left;"> Рассмотрим случайные величины X и Y c нулевыми средними, и дисперсиями, равными, соответственно, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {X^{2}}}=\sigma _{X}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X^{2}}}=\sigma _{X}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c7ae8f3f5b34d1393d475ef66eab6824e555af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.224ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X^{2}}}=\sigma _{X}^{2}}"> и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {Y^{2}}}=\sigma _{Y}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {Y^{2}}}=\sigma _{Y}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3636dfdc4bf2fe7113a9cb1b12a2a19595fdc8ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.981ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {Y^{2}}}=\sigma _{Y}^{2}}">. Подсчитаем дисперсию случайной величины <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi =aX+bY}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ξ</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi =aX+bY}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533e3283aa06db9c7bc7613e654bdf668903c260" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.95ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi =aX+bY}">: <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}={\overline {(aX+bY)^{2}}}=a^{2}{\overline {X^{2}}}+b^{2}{\overline {Y^{2}}}+2ab{\overline {XY}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ξ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>Y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}={\overline {(aX+bY)^{2}}}=a^{2}{\overline {X^{2}}}+b^{2}{\overline {Y^{2}}}+2ab{\overline {XY}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84aa3c5ecab12e8cd83462c5d0d5617bccf6f77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:44.813ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}={\overline {(aX+bY)^{2}}}=a^{2}{\overline {X^{2}}}+b^{2}{\overline {Y^{2}}}+2ab{\overline {XY}}.}"> </center> Если предположить, что коэффициент корреляции <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}={\frac {\overline {XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}=\pm 1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mover> <mrow> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> <mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}={\frac {\overline {XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}=\pm 1,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175ba589b12cc13d21616c68f9bc16b59726e563" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.445ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}={\frac {\overline {XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}=\pm 1,}"> </center> то предыдущее выражение перепишется в виде <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}=a^{2}\sigma _{X}^{2}+b^{2}\sigma _{Y}^{2}\pm 2ab\sigma _{X}\sigma _{Y}=(a\sigma _{X}\pm b\sigma _{Y})^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ξ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>±</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <mi>b</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}=a^{2}\sigma _{X}^{2}+b^{2}\sigma _{Y}^{2}\pm 2ab\sigma _{X}\sigma _{Y}=(a\sigma _{X}\pm b\sigma _{Y})^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81830b123ed190fed208327592eaa6df452a1fd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:47.886ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}=a^{2}\sigma _{X}^{2}+b^{2}\sigma _{Y}^{2}\pm 2ab\sigma _{X}\sigma _{Y}=(a\sigma _{X}\pm b\sigma _{Y})^{2}.}"> </center> Поскольку всегда можно выбрать числа a и b так, чтобы <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\sigma _{X}\pm b\sigma _{Y}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <mi>b</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\sigma _{X}\pm b\sigma _{Y}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f1ebb9104b7de7b0f4875294940402ab482494" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.102ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\sigma _{X}\pm b\sigma _{Y}=0}"> (например, если <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{Y}\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{Y}\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6414c82ba5783d016235c40aef24d562be2aa6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.074ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{Y}\neq 0}">, то берём произвольное a и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=\mp {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}\,a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mo>∓</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=\mp {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}\,a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a56c90e0649d3df07d0158f1561af1b71d8f10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:11.317ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle b=\mp {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}\,a}">), то при этих a и b дисперсия <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ξ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e33064c495b751833d3354cdb14f2c01bd30df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.646ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}=0}">, и значит <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi =aX+bY=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ξ</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi =aX+bY=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfa37c3c169abbb56694e7335586145c51d19ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi =aX+bY=0}"> почти наверное. Но это и означает линейную зависимость между X и Y. Доказательство очевидным образом обобщается на случай величин X и Y с ненулевыми средними, только в вышеприведённых выкладках надо будет X заменить на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X-{\overline {X}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X-{\overline {X}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343e58f57a91a97cbc9d9009c3706a3ad4082605" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.952ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X-{\overline {X}}}">, и Y — на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y-{\overline {Y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>Y</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y-{\overline {Y}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbd5c4d32c2300681b5098d5048e5095b39de7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.777ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Y-{\overline {Y}}}">. </div></div> <ul><li>Пусть случайные величины <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8705438171d938b7f59cd1bfa5b7d99b6afa5cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y}"> такие, что <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D[X]>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D[X]>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0977383eb1326ab911e63a53e1796c9f0661b2fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.459ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D[X]>0}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D[Y]>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D[Y]>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0950c2843ce2467fdc3e31310fda83558ce4b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.252ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D[Y]>0}">. Тогда: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=\mathbb {R} _{X,M(X|Y)}\mathbb {R} _{M(X|Y),Y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=\mathbb {R} _{X,M(X|Y)}\mathbb {R} _{M(X|Y),Y}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1beaa0969df8c2b4985a0a0c73b0fe7eabcd9133" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:27.745ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=\mathbb {R} _{X,M(X|Y)}\mathbb {R} _{M(X|Y),Y}}">, где <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(X|Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(X|Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d8225779227fa34d618b2fee423c6d612cad21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.652ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(X|Y)}"> - условное математическое ожидание.</li></ul> <ul><li>Если <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8705438171d938b7f59cd1bfa5b7d99b6afa5cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y}"> <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)" title="Независимость (теория вероятностей)">независимые</a> случайные величины, то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746f723244d8b50ac396dbbf0d30ef3a1c9adb8d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.283ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=0}">. Обратное в общем случае неверно.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Корреляционный_анализ">Корреляционный анализ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=13" title="Редактировать раздел «Корреляционный анализ»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=13" title="Редактировать код раздела «Корреляционный анализ»">править код</a>]</div> Корреляционный анализ — метод обработки <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Статистика">статистических</a> данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан с <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Регрессионный анализ">регрессионным анализом</a> (также часто встречается термин «корреляционно-регрессионный анализ», который является более общим статистическим понятием), с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям (используя <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8" title="Коэффициент детерминации">коэффициент детерминации</a>)<a href="#cite_note-_8a9ab803ecf9c122-1">[1]</a><a href="#cite_note-_93d45a4d698c5de0-2">[2]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ограничения_корреляционного_анализа"><span id=".D0.9E.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B0.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0">Ограничения корреляционного анализа</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=14" title="Редактировать раздел «Ограничения корреляционного анализа»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=14" title="Редактировать код раздела «Ограничения корреляционного анализа»">править код</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Correlation_examples2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Correlation_examples2.svg/358px-Correlation_examples2.svg.png" decoding="async" width="358" height="163" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Correlation_examples2.svg/537px-Correlation_examples2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Correlation_examples2.svg/716px-Correlation_examples2.svg.png 2x" data-file-width="506" data-file-height="231" /></a><figcaption>Множество корреляционных полей. Распределения значений <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> с соответствующими коэффициентами корреляций для каждого из них. Коэффициент корреляции отражает «зашумлённость» линейной зависимости (верхняя строка), но не описывает наклон линейной зависимости (средняя строка), и совсем не подходит для описания сложных, нелинейных зависимостей (нижняя строка). Для распределения, показанного в центре рисунка, коэффициент корреляции не определен, так как дисперсия y равна нулю.</figcaption></figure> <ol><li>Применение возможно при наличии достаточного количества наблюдений для изучения. На практике считается, что число наблюдений должно не менее чем в 5-6 раз превышать число факторов (также встречается рекомендация использовать пропорцию, не менее чем в 10 раз превышающую количество факторов). В случае если число наблюдений превышает количество факторов в десятки раз, в действие вступает <a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="Закон больших чисел">закон больших чисел</a>, который обеспечивает взаимопогашение случайных колебаний<a href="#cite_note-_93d45a4d698c5de2-13">[13]</a>.</li> <li>Необходимо, чтобы совокупность значений всех факторных и результативного признаков подчинялась <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Многомерное нормальное распределение">многомерному нормальному распределению</a>. В случае если объём совокупности недостаточен для проведения формального тестирования на нормальность распределения, то закон распределения определяется визуально на основе корреляционного поля. Если в расположении точек на этом поле наблюдается линейная тенденция, то можно предположить, что совокупность исходных данных подчиняется нормальному закону распределения<a href="#cite_note-_8a9ab803ecf9c125-14">[14]</a>.</li> <li>Исходная совокупность значений должна быть качественно однородной<a href="#cite_note-_93d45a4d698c5de2-13">[13]</a>.</li> <li>Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, что одна из переменных предшествует или является причиной изменений, или то, что переменные вообще причинно связаны между собой, а не наблюдается действие третьего фактора<a href="#cite_note-_93d45b4d698c5fbc-5">[5]</a>.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Область_применения">Область применения</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=15" title="Редактировать раздел «Область применения»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=15" title="Редактировать код раздела «Область применения»">править код</a>]</div> Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в <a href="/wiki/%D0%AD%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0)" title="Экономика (наука)">экономике</a>, <a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Астрофизика">астрофизике</a> и <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B8" title="Общественные науки">социальных науках</a> (в частности в <a href="/wiki/%D0%9F%D1%81%D0%B8%D1%85%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F" title="Психология">психологии</a> и <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F" title="Социология">социологии</a>), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B4%D0%B6%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D0%B0%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0" title="Система менеджмента качества">контроль качества</a> промышленной продукции, <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Металловедение">металловедение</a>, <a href="/wiki/%D0%90%D0%B3%D1%80%D0%BE%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%8F" title="Агрохимия">агрохимия</a>, <a href="/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F" title="Гидробиология">гидробиология</a>, <a href="/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F" title="Биометрия">биометрия</a> и прочие. В различных прикладных отраслях приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи. Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="См._также">См. также</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=16" title="Редактировать раздел «См. также»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=16" title="Редактировать код раздела «См. также»">править код</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r141520016">.mw-parser-output .ts-Родственный_проект{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);font-size:90%;margin:0 0 1em;padding:.4em;max-width:19em;width:19em;line-height:1.5}.mw-parser-output .ts-Родственный_проект th,.mw-parser-output .ts-Родственный_проект td{padding:.2em 0;vertical-align:middle}.mw-parser-output .ts-Родственный_проект th+td{padding-left:.4em}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ts-Родственный_проект{clear:right;float:right;width:19em;margin-left:1em}}</style> <table role="presentation" class="metadata plainlinks ts-Родственный_проект noprint ruwikiWikimediaNavigation"> <tbody><tr> <th style="width:10%;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Notification-icon-Wiktionary-logo.svg/24px-Notification-icon-Wiktionary-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Notification-icon-Wiktionary-logo.svg/36px-Notification-icon-Wiktionary-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Notification-icon-Wiktionary-logo.svg/48px-Notification-icon-Wiktionary-logo.svg.png 2x" data-file-width="30" data-file-height="30" /> </th> <td>В <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%8C" title="Викисловарь">Викисловаре</a> есть статья «<a href="https://ru.wiktionary.org/wiki/%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" class="extiw" title="wikt:корреляция">корреляция</a>» </td></tr></tbody></table> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Автокорреляционная функция">Автокорреляционная функция</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B7%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Взаимнокорреляционная функция">Взаимнокорреляционная функция</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Ковариация">Ковариация</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8" title="Коэффициент детерминации">Коэффициент детерминации</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примечания">Примечания</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=17" title="Редактировать раздел «Примечания»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=17" title="Редактировать код раздела «Примечания»">править код</a>]</div> <div class="reflist columns" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-_8a9ab803ecf9c122-1">↑ <a href="#cite_ref-_8a9ab803ecf9c122_1-0">1</a> <a href="#cite_ref-_8a9ab803ecf9c122_1-1">2</a> <a href="#cite_ref-_8a9ab803ecf9c122_1-2">3</a> <a href="#CITEREFШмойлова2002">Шмойлова, 2002</a>, с. 272. </li> <li id="cite_note-_93d45a4d698c5de0-2">↑ <a href="#cite_ref-_93d45a4d698c5de0_2-0">1</a> <a href="#cite_ref-_93d45a4d698c5de0_2-1">2</a> <a href="#CITEREFЕлисеева,_Юзбашев2002">Елисеева, Юзбашев, 2002</a>, с. 232. </li> <li id="cite_note-_93d45b4d698c5fbd-3"><a href="#cite_ref-_93d45b4d698c5fbd_3-0">↑</a> <a href="#CITEREFЕлисеева,_Юзбашев2002">Елисеева, Юзбашев, 2002</a>, с. 228. </li> <li id="cite_note-_51abc2a216af1562-4"><a href="#cite_ref-_51abc2a216af1562_4-0">↑</a> <a href="#CITEREFЕлисеева,_Юзбашев2002">Елисеева, Юзбашев, 2002</a>, с. 228—229. </li> <li id="cite_note-_93d45b4d698c5fbc-5">↑ <a href="#cite_ref-_93d45b4d698c5fbc_5-0">1</a> <a href="#cite_ref-_93d45b4d698c5fbc_5-1">2</a> <a href="#CITEREFЕлисеева,_Юзбашев2002">Елисеева, Юзбашев, 2002</a>, с. 229. </li> <li id="cite_note-_04d77fd9bc976d6a-6"><a href="#cite_ref-_04d77fd9bc976d6a_6-0">↑</a> <a href="#CITEREFСуслов,_Ибрагимов,_Талышева,_Цыплаков2005">Суслов, Ибрагимов, Талышева, Цыплаков, 2005</a>, с. 141. </li> <li id="cite_note-_51a7892950971c7b-7"><a href="#cite_ref-_51a7892950971c7b_7-0">↑</a> <a href="#CITEREFГмурман2004">Гмурман, 2004</a>, с. 176—177. </li> <li id="cite_note-_3e08d317e7e37e63-8">↑ <a href="#cite_ref-_3e08d317e7e37e63_8-0">1</a> <a href="#cite_ref-_3e08d317e7e37e63_8-1">2</a> <a href="#cite_ref-_3e08d317e7e37e63_8-2">3</a> <a href="#CITEREFГмурман2004">Гмурман, 2004</a>, с. 177. </li> <li id="cite_note-_082ca4262a600aff-9"><a href="#cite_ref-_082ca4262a600aff_9-0">↑</a> <a href="#CITEREFГмурман2004">Гмурман, 2004</a>, с. 178—179. </li> <li id="cite_note-_8a973903ecf6b35c-10"><a href="#cite_ref-_8a973903ecf6b35c_10-0">↑</a> <a href="#CITEREFШмойлова2002">Шмойлова, 2002</a>, с. 300. </li> <li id="cite_note-_3e08d317e7e37e6d-11"><a href="#cite_ref-_3e08d317e7e37e6d_11-0">↑</a> <a href="#CITEREFГмурман2004">Гмурман, 2004</a>, с. 179. </li> <li id="cite_note-_8a973903ecf6b35d-12"><a href="#cite_ref-_8a973903ecf6b35d_12-0">↑</a> <a href="#CITEREFШмойлова2002">Шмойлова, 2002</a>, с. 301. </li> <li id="cite_note-_93d45a4d698c5de2-13">↑ <a href="#cite_ref-_93d45a4d698c5de2_13-0">1</a> <a href="#cite_ref-_93d45a4d698c5de2_13-1">2</a> <a href="#CITEREFЕлисеева,_Юзбашев2002">Елисеева, Юзбашев, 2002</a>, с. 230. </li> <li id="cite_note-_8a9ab803ecf9c125-14"><a href="#cite_ref-_8a9ab803ecf9c125_14-0">↑</a> <a href="#CITEREFШмойлова2002">Шмойлова, 2002</a>, с. 275. </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Литература">Литература</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=18" title="Редактировать раздел «Литература»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=18" title="Редактировать код раздела «Литература»">править код</a>]</div> <ul><li><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r141305934">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a::after,.mw-parser-output .id-lock-limited a::after,.mw-parser-output .id-lock-registration a::after,.mw-parser-output .id-lock-subscription a::after,.mw-parser-output .cs1-ws-icon a::after{content:"";width:1.1em;height:1.1em;display:inline-block;vertical-align:middle;background-position:center;background-repeat:no-repeat;background-size:contain}.mw-parser-output .id-lock-free.id-lock-free a::after{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")}.mw-parser-output .id-lock-limited.id-lock-limited a::after,.mw-parser-output .id-lock-registration.id-lock-registration a::after{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")}.mw-parser-output .id-lock-subscription.id-lock-subscription a::after{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a::after{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#085;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}@media screen{.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .id-lock-free a::after,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .id-lock-limited a::after,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .id-lock-registration a::after,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .id-lock-subscription a::after{filter:invert(1)hue-rotate(180deg)}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .id-lock-free a::after,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .id-lock-limited a::after,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .id-lock-registration a::after,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .id-lock-subscription a::after{filter:invert(1)hue-rotate(180deg)}}</style><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D0%BC%D1%83%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD,_%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80_%D0%95%D1%84%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Гмурман, Владимир Ефимович (страница отсутствует)">Гмурман В. Е.</a><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BC%D1%83%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80_%D0%AE%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" class="extiw" title="uk:Гмурман Володимир Юхимович">[укр.]</a>. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. — 10-е издание, стереотипное. — Москва: Высшая школа, 2004. — 479 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5060042146" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5-06-004214-6</a>.</li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r141305934"><a href="/wiki/%D0%95%D0%BB%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B0,_%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%98%D0%BB%D1%8C%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0" title="Елисеева, Ирина Ильинична">Елисеева И. И.</a>, <a href="/w/index.php?title=%D0%AE%D0%B7%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%B5%D0%B2,_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B8%D0%BB_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Юзбашев, Михаил Михайлович (страница отсутствует)">Юзбашев М. М.</a> Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. — 4-е издание, переработанное и дополненное. — Москва: Финансы и Статистика, 2002. — 480 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5279019569" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5-279-01956-9</a>.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2099814">Корреляционный анализ</a> : [<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20221017180010/https://bigenc.ru/mathematics/text/2099814">арх.</a> 17 октября 2022] / А. В. Прохоров // <a href="/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F" title="Большая российская энциклопедия">Большая российская энциклопедия</a> : [в 35 т.] / гл. ред. <a href="/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%B2,_%D0%AE%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA)" class="mw-redirect" title="Осипов, Юрий Сергеевич (математик)">Ю. С. Осипов</a>. — <abbr title="Москва">М.</abbr> : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.</li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r141305934">Общая теория статистики: Учебник / Под ред. <a href="/w/index.php?title=%D0%A8%D0%BC%D0%BE%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0,_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Шмойлова, Римма Александровна (страница отсутствует)">Р. А. Шмойловой</a>. — 3-е издание, переработанное. — Москва: Финансы и Статистика, 2002. — 560 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5279019518" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5-279-01951-8</a>.</li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r141305934">Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А. А. Эконометрия. — Новосибирск: СО РАН, 2005. — 744 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5769207558" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5-7692-0755-8</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ссылки">Ссылки</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit&section=19" title="Редактировать раздел «Ссылки»" class="mw-editsection-visualeditor">править</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit&section=19" title="Редактировать код раздела «Ссылки»">править код</a>]</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.planetcalc.ru/527/">Калькулятор для расчета коэффициента корреляции по Пирсону</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://risktheory.ru/topic_correl.htm">Границы значений коэффициента корреляции</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://risktheory.ru/ill_zerocorr.htm">Иллюстрация: зависимые случайные величины с нулевой корреляцией</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://habr.com/ru/users/adeshere/posts/">Корреляция между временными рядами: что может быть проще?</a> // habr.com</li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Ссылки_на_внешние_ресурсы" data-name="External links" style="padding-top:1px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="colgroup" class="navbox-title" colspan="2" style="display:none"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:External_links" title="Перейти к шаблону «External links»"><img alt="Перейти к шаблону «External links»" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/21px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/28px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 2x" data-file-width="14" data-file-height="14" /></a><div id="Ссылки_на_внешние_ресурсы" style="font-size:114%;margin:0 5em">Ссылки на внешние ресурсы</div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px"><div style="padding: 0 35px 0 0; width: 100%;"><div class="skin-invert-image" style="float: left;"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8" title="Перейти к шаблону «Внешние ссылки»"><img alt="Перейти к шаблону «Внешние ссылки»" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/21px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/28px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 2x" data-file-width="14" data-file-height="14" /></a> <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q186290#identifiers" title="Перейти к элементу Викиданных"><img alt="Перейти к элементу Викиданных" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/14px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/21px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/28px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></div>  Тематические сайты</div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/StatisticalCorrelation.html">MathWorld</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px">Словари и энциклопедии</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/korrelasjon_-_psykologi">Большая норвежская</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/korrelasjon">Большая норвежская</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/text/2099858">Большая российская (старая версия)</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/correlation">Britannica (онлайн)</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px">В библиографических каталогах</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B8" title="Национальная библиотека Франции">BNF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11978503n">11978503n</a></li> <li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4165343-9">4165343-9</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%98%D0%B7%D1%80%D0%B0%D0%B8%D0%BB%D1%8F" title="Национальная библиотека Израиля">J9U</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007567883105171">987007567883105171</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80_%D0%91%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B8_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B0" title="Контрольный номер Библиотеки Конгресса">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85033032">sh85033032</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Источник — <a dir="ltr" href="https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Корреляция&oldid=138888265">https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Корреляция&oldid=138888265</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8" title="Служебная:Категории">Категории</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Категория:Факторный анализ">Факторный анализ</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%AD%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Категория:Эконометрика">Эконометрика</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BC" title="Категория:Статистическое управление процессом">Статистическое управление процессом</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%8B" title="Категория:Безразмерные параметры">Безразмерные параметры</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Скрытые категории: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8_%D1%81_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC_Falseredirect" title="Категория:Википедия:Статьи с шаблоном Falseredirect">Википедия:Статьи с шаблоном Falseredirect</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8_%D1%81%D0%BE_%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%8C" title="Категория:Статьи со ссылками на Викисловарь">Статьи со ссылками на Викисловарь</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B,_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%88%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8_ISBN" title="Категория:Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN">Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навигация</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Персональные инструменты </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Вы не представились системе</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9C%D0%BE%D1%91_%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Страница обсуждений для моего IP [n]" accesskey="n">Обсуждение</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9C%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4" title="Список правок, сделанных с этого IP-адреса [y]" accesskey="y">Вклад</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C_%D1%83%D1%87%D1%91%D1%82%D0%BD%D1%83%D1%8E_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C&returnto=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Мы предлагаем вам создать учётную запись и войти в систему, хотя это и не обязательно.">Создать учётную запись</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%92%D1%85%D0%BE%D0%B4&returnto=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Здесь можно зарегистрироваться в системе, но это необязательно. [o]" accesskey="o">Войти</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Пространства имён </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Просмотреть контентную страницу [c]" accesskey="c">Статья</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" rel="discussion" title="Обсуждение основной страницы [t]" accesskey="t">Обсуждение</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > русский </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > Просмотры </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F">Читать</a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&veaction=edit" title="Редактировать данную страницу [v]" accesskey="v">Править</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=edit" title="Править исходный текст этой страницы [e]" accesskey="e">Править код</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=history" title="Журнал изменений страницы [h]" accesskey="h">История</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Больше возможностей" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Ещё </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Поиск</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Искать в Википедии" aria-label="Искать в Википедии" autocapitalize="sentences" title="Искать в Википедии [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Служебная:Поиск"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Найти страницы, содержащие указанный текст" value="Найти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти к странице, имеющей в точности такое название" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Перейти на заглавную страницу"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > Навигация </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Перейти на заглавную страницу [z]" accesskey="z">Заглавная страница</a></li><li id="n-content" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5">Содержание</a></li><li id="n-featured" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%98%D0%B7%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8" title="Статьи, считающиеся лучшими статьями проекта">Избранные статьи</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Посмотреть случайно выбранную страницу [x]" accesskey="x">Случайная статья</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%A2%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D1%8F" title="Статьи о текущих событиях в мире">Текущие события</a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ru.wikipedia.org&uselang=ru" title="Поддержите нас">Пожертвовать</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-participation" class="mw-portlet mw-portlet-participation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-participation-label" > <h3 id="p-participation-label" class="vector-menu-heading " > Участие </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-bug_in_article" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0%D1%85" title="Сообщить об ошибке в этой статье">Сообщить об ошибке</a></li><li id="n-introduction" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0:%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5">Как править статьи</a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="О проекте, о том, чем здесь можно заниматься, а также — где что находится">Сообщество</a></li><li id="n-forum" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A4%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%BC" title="Форум участников Википедии">Форум</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D0%B5%D0%B6%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8" title="Список последних изменений [r]" accesskey="r">Свежие правки</a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B" title="Список недавно созданных страниц">Новые страницы</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Место расположения Справки">Справка</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > Инструменты </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Список всех страниц, ссылающихся на данную [j]" accesskey="j">Ссылки сюда</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" rel="nofollow" title="Последние изменения в страницах, на которые ссылается эта страница [k]" accesskey="k">Связанные правки</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B" title="Список служебных страниц [q]" accesskey="q">Служебные страницы</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&oldid=138888265" title="Постоянная ссылка на эту версию страницы">Постоянная ссылка</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=info" title="Подробнее об этой странице">Сведения о странице</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&id=138888265&wpFormIdentifier=titleform" title="Информация о том, как цитировать эту страницу">Цитировать страницу</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fru.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259A%25D0%25BE%25D1%2580%25D1%2580%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258F%25D1%2586%25D0%25B8%25D1%258F">Получить короткий URL</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:QrCode&url=https%3A%2F%2Fru.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259A%25D0%25BE%25D1%2580%25D1%2580%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258F%25D1%2586%25D0%25B8%25D1%258F">Скачать QR-код</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > Печать/экспорт </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:DownloadAsPdf&page=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&action=show-download-screen" title="Скачать эту страницу как файл PDF">Скачать как PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&printable=yes" title="Версия этой страницы для печати [p]" accesskey="p">Версия для печати</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > В других проектах </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Correlation" hreflang="en">Викисклад</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q186290" title="Ссылка на связанный элемент репозитория данных [g]" accesskey="g">Элемент Викиданных</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > На других языках </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B1%D8%AA%D8%A8%D8%A7%D8%B7_(%D8%A5%D8%AD%D8%B5%D8%A7%D8%A1)" title="ارتباط (إحصاء) — арабский" lang="ar" hreflang="ar" data-title="ارتباط (إحصاء)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабский" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%B9-%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%8D%E0%A6%AC%E0%A6%A8%E0%A7%8D%E0%A6%A7" title="সহ-সম্বন্ধ — ассамский" lang="as" hreflang="as" data-title="সহ-সম্বন্ধ" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="ассамский" class="interlanguage-link-target">অসমীয়া</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3n" title="Correlación — астурийский" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Correlación" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурийский" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Korrelyasiya" title="Korrelyasiya — азербайджанский" lang="az" hreflang="az" data-title="Korrelyasiya" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанский" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BB%D1%8F%D1%86%D1%8B%D1%8F" title="Карэляцыя — белорусский" lang="be" hreflang="be" data-title="Карэляцыя" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="белорусский" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BB%D1%8F%D1%86%D1%8B%D1%8F" title="Карэляцыя — белорусский (тарашкевица)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Карэляцыя" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="белорусский (тарашкевица)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Корелация — болгарский" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Корелация" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарский" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%B2%E0%A5%87%E0%A4%B6%E0%A4%A8" title="कोरिलेशन — Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="कोरिलेशन" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%B6%E0%A7%8D%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%B7_%E0%A6%93_%E0%A6%A8%E0%A6%BF%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%AD%E0%A6%B0%E0%A6%B6%E0%A7%80%E0%A6%B2%E0%A6%A4%E0%A6%BE" title="সংশ্লেষ ও নির্ভরশীলতা — бенгальский" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সংশ্লেষ ও নির্ভরশীলতা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальский" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Koeficijent_korelacije" title="Koeficijent korelacije — боснийский" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Koeficijent korelacije" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснийский" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3" title="Correlació — каталанский" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Correlació" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталанский" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Korelace" title="Korelace — чешский" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Korelace" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чешский" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Korrelation" title="Korrelation — датский" lang="da" hreflang="da" data-title="Korrelation" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="датский" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation" title="Korrelation — немецкий" lang="de" hreflang="de" data-title="Korrelation" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="немецкий" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%85%CF%83%CF%87%CE%AD%CF%84%CE%B9%CF%83%CE%B7_%CE%BA%CE%B1%CE%B9_%CE%B5%CE%BE%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7_(%CE%A3%CF%84%CE%B1%CF%84%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE)" title="Συσχέτιση και εξάρτηση (Στατιστική) — греческий" lang="el" hreflang="el" data-title="Συσχέτιση και εξάρτηση (Στατιστική)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="греческий" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation" title="Correlation — английский" lang="en" hreflang="en" data-title="Correlation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="английский" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Korelacio" title="Korelacio — эсперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Korelacio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="эсперанто" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3n" title="Correlación — испанский" lang="es" hreflang="es" data-title="Correlación" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="испанский" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Korrelatsioon" title="Korrelatsioon — эстонский" lang="et" hreflang="et" data-title="Korrelatsioon" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="эстонский" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Korrelazio" title="Korrelazio — баскский" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Korrelazio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскский" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%87%D9%85%D8%A8%D8%B3%D8%AA%DA%AF%DB%8C_%D9%88_%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B3%D8%AA%DA%AF%DB%8C" title="همبستگی و وابستگی — персидский" lang="fa" hreflang="fa" data-title="همبستگی و وابستگی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="персидский" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Korrelaatio" title="Korrelaatio — финский" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Korrelaatio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="финский" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Corr%C3%A9lation_(statistiques)" title="Corrélation (statistiques) — французский" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Corrélation (statistiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французский" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Comhghaol%C3%BA" title="Comhghaolú — ирландский" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Comhghaolú" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="ирландский" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3n" title="Correlación — галисийский" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Correlación" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галисийский" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%90%D7%9D" title="מתאם — иврит" lang="he" hreflang="he" data-title="מתאם" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="иврит" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%B9%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%8D%E0%A4%AC%E0%A4%A8%E0%A5%8D%E0%A4%A7" title="सहसम्बन्ध — хинди" lang="hi" hreflang="hi" data-title="सहसम्बन्ध" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="хинди" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Korelacija" title="Korelacija — хорватский" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Korelacija" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватский" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Korrel%C3%A1ci%C3%B3" title="Korreláció — венгерский" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Korreláció" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="венгерский" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%BC%D5%A5%D5%AC%D5%B5%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%A1_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Կոռելյացիա (մաթեմատիկա) — армянский" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Կոռելյացիա (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="армянский" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Korelasi" title="Korelasi — индонезийский" lang="id" hreflang="id" data-title="Korelasi" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="индонезийский" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Correlazione_(statistica)" title="Correlazione (statistica) — итальянский" lang="it" hreflang="it" data-title="Correlazione (statistica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="итальянский" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2" title="相関 — японский" lang="ja" hreflang="ja" data-title="相関" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японский" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Analisis_kor%C3%A9lasi" title="Analisis korélasi — яванский" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Analisis korélasi" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="яванский" class="interlanguage-link-target">Jawa</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Корреляция — казахский" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Корреляция" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="казахский" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%83%81%EA%B4%80_%EB%B6%84%EC%84%9D" title="상관 분석 — корейский" lang="ko" hreflang="ko" data-title="상관 분석" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейский" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Корреляция — киргизский" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Корреляция" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="киргизский" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Dependentia_(statistica)" title="Dependentia (statistica) — латинский" lang="la" hreflang="la" data-title="Dependentia (statistica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинский" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Koreliacija" title="Koreliacija — литовский" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Koreliacija" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовский" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Korel%C4%81cija" title="Korelācija — латышский" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Korelācija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латышский" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0" title="Корелација — македонский" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Корелација" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонский" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Correlatie" title="Correlatie — нидерландский" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Correlatie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нидерландский" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Korrelasjon" title="Korrelasjon — нюнорск" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Korrelasjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="нюнорск" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Korrelasjon" title="Korrelasjon — норвежский букмол" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Korrelasjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвежский букмол" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Zale%C5%BCno%C5%9B%C4%87_zmiennych_losowych" title="Zależność zmiennych losowych — польский" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Zależność zmiennych losowych" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польский" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Correla%C3%A7%C3%A3o" title="Correlação — португальский" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Correlação" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальский" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Corela%C8%9Bie" title="Corelație — румынский" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Corelație" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румынский" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%DA%8F%D9%8A%D9%84_%D9%84%D8%A7%DA%B3%D8%A7%D9%BE%D9%88" title="گڏيل لاڳاپو — синдхи" lang="sd" hreflang="sd" data-title="گڏيل لاڳاپو" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="синдхи" class="interlanguage-link-target">سنڌي</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Korelacija" title="Korelacija — сербскохорватский" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Korelacija" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербскохорватский" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Correlation" title="Correlation — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Correlation" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Korel%C3%A1cia_(%C5%A1tatistika)" title="Korelácia (štatistika) — словацкий" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Korelácia (štatistika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацкий" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Korelacija" title="Korelacija — словенский" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Korelacija" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенский" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Korrelacioni" title="Korrelacioni — албанский" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Korrelacioni" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанский" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0" title="Корелација — сербский" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Корелација" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербский" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Kor%C3%A9lasi" title="Korélasi — сунданский" lang="su" hreflang="su" data-title="Korélasi" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="сунданский" class="interlanguage-link-target">Sunda</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Korrelation" title="Korrelation — шведский" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Korrelation" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведский" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Uhusiano_(Takwimu)" title="Uhusiano (Takwimu) — суахили" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Uhusiano (Takwimu)" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="суахили" class="interlanguage-link-target">Kiswahili</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%AB%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="สหสัมพันธ์ — тайский" lang="th" hreflang="th" data-title="สหสัมพันธ์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайский" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Korelasyon_at_dependiyensiya" title="Korelasyon at dependiyensiya — тагалог" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Korelasyon at dependiyensiya" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагалог" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Korelasyon" title="Korelasyon — турецкий" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Korelasyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецкий" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Кореляція — украинский" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Кореляція" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="украинский" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B1%D8%AA%D8%A8%D8%A7%D8%B7" title="ارتباط — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="ارتباط" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%E1%BB%87_s%E1%BB%91_t%C6%B0%C6%A1ng_quan" title="Hệ số tương quan — вьетнамский" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hệ số tương quan" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вьетнамский" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%85%B3" title="相关 — у" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="相关" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="у" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%85%B3_(%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA)" title="相关 (概率论) — китайский" lang="zh" hreflang="zh" data-title="相关 (概率论)" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайский" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E7%9B%B8%E9%97%9C" title="統計相關 — кантонский" lang="yue" hreflang="yue" data-title="統計相關" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонский" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q186290#sitelinks-wikipedia" title="Править ссылки на другие языки" class="wbc-editpage">Править ссылки</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Эта страница в последний раз была отредактирована 12 июля 2024 в 11:31.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступен по <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ru">лицензии Creative Commons «С указанием авторства — С сохранением условий» (CC BY-SA)</a>; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Подробнее см. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/ru">Условия использования</a>. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/ru/">«Фонд Викимедиа» (Wikimedia Foundation, Inc.)</a></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/ru">Политика конфиденциальности</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%9E%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5">Описание Википедии</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%B7_%D0%BE%D1%82_%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Отказ от ответственности</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//ru.wikipedia.org/wiki/Википедия:Контакты">Свяжитесь с нами</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Universal_Code_of_Conduct/ru">Кодекс поведения</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Разработчики</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ru.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Заявление о куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ru.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобильная версия</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-57488d5c7d-ttpcm","wgBackendResponseTime":190,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.606","walltime":"1.065","ppvisitednodes":{"value":7712,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":44890,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":17204,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":14,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":6,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":38140,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 755.451 1 -total"," 25.53% 192.857 1 Шаблон:Вс"," 20.68% 156.254 2 Шаблон:Другое_значение"," 15.85% 119.766 1 Шаблон:Falseredirect"," 15.34% 115.862 1 Шаблон:Falseredirect/основа"," 14.56% 109.980 21 Шаблон:Sfn"," 12.37% 93.487 4 Шаблон:Книга"," 9.83% 74.242 4 Шаблон:Hider"," 8.55% 64.617 4 Шаблон:Начало_скрытого_блока"," 8.22% 62.087 21 Шаблон:Sfn-текст"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.164","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2733717,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-55747fd74f-6gmwd","timestamp":"20241125210644","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u041a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f","url":"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q186290","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q186290","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0438\u043a\u0438\u043c\u0435\u0434\u0438\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-02-05T00:07:24Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/a\/af\/Scatter_diagram_for_quality_characteristic_XXX.svg","headline":"\u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043e\u0441\u0432\u044f\u0437\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430\u043c\u0438"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Корреляция — Википедия