CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="eo" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>3-dimensia turnada grupo - Vikipedio</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )eowikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","januaro","februaro","marto","aprilo","majo","junio","julio","aŭgusto","septembro","oktobro","novembro","decembro"],"wgRequestId":"332ddc19-f449-47cf-a106-6df3b41593c4","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"3-dimensia_turnada_grupo","wgTitle":"3-dimensia turnada grupo","wgCurRevisionId":8762748,"wgRevisionId":8762748,"wgArticleId":263551,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Turna simetrio","Sternaĵoj"],"wgPageViewLanguage":"eo","wgPageContentLanguage":"eo","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"3-dimensia_turnada_grupo","wgRelevantArticleId":263551,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}}, "wgStableRevisionId":8762748,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"eo","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"eo"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q1256500","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.niceInfoboxes":"ready", "ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.Rekta-ligilo-al-Komunejo","ext.gadget.DocTabs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents", "ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=eo&modules=ext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=eo&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=eo&modules=ext.gadget.niceInfoboxes&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=eo&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="noindex,nofollow,max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="3-dimensia turnada grupo - Vikipedio"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//eo.m.wikipedia.org/wiki/3-dimensia_turnada_grupo"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Redakti" href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Vikipedio (eo)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//eo.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://eo.wikipedia.org/wiki/3-dimensia_turnada_grupo"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.eo"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Vikipedio Atom-fonto" href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Lastaj_%C5%9Dan%C4%9Doj&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-3-dimensia_turnada_grupo rootpage-3-dimensia_turnada_grupo skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Saltu al enhavo</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Retejo"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ĉefa menuo" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Ĉefa menuo</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Ĉefa menuo</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">movigi al flanka panelo</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">kaŝi</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigado </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-desciption" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Vikipedio:%C4%88efpa%C4%9Do"><span>Ĉefpaĝo</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portalo:Komunumo" title="Pri la projekto, kion vi povas fari, kie vi povas trovi ion"><span>Komunuma portalo</span></a></li><li id="n-villagepump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Vikipedio:Diskutejo"><span>Diskutejo</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Vikipedio:Aktuala%C4%B5oj" title="Trovi fonajn informojn pri nunaj eventoj"><span>Aktualaĵoj</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Lastaj_%C5%9Dan%C4%9Doj" title="Listo de la lastaj ŝanĝoj en la vikio. [r]" accesskey="r"><span>Lastaj ŝanĝoj</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Novaj_pa%C4%9Doj"><span>Novaj paĝoj</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Hazarda_pa%C4%9Do" title="Iri al hazarda paĝo [x]" accesskey="x"><span>Hazarda paĝo</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Helpo:Enhavo" title="La loko por eltrovi"><span>Helpo</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Vikipedio:%C4%88efpa%C4%9Do" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Vikipedio" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-eo.svg" style="width: 6.875em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-eo.svg" width="109" height="13" style="width: 6.8125em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Ser%C4%89i" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Serĉi tra Vikipedio [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Serĉi</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Serĉi tra Vikipedio" aria-label="Serĉi tra Vikipedio" autocapitalize="sentences" title="Serĉi tra Vikipedio [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specialaĵo:Serĉi"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Serĉi</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Personaj iloj"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspekto"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aspekto" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aspekto</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_eo.wikipedia.org&uselang=eo" class=""><span>Donaci</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Krei_konton&returnto=3-dimensia+turnada+grupo&returntoquery=section%3D2%26veaction%3Dedit%26redirect%3Dno" title="Ni rekomendas ke vi kreu uzantokonton kaj ensalutu, kvankam tio ne estas deviga" class=""><span>Krei konton</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Ensaluti&returnto=3-dimensia+turnada+grupo&returntoquery=section%3D2%26veaction%3Dedit%26redirect%3Dno" title="Ni rekomendas ke vi ensalutu, kvankam tio ne estas devige. [o]" accesskey="o" class=""><span>Ensaluti</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Pliaj agordoj" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Personaj iloj" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Personaj iloj</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menuo de uzanto" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_eo.wikipedia.org&uselang=eo"><span>Donaci</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Krei_konton&returnto=3-dimensia+turnada+grupo&returntoquery=section%3D2%26veaction%3Dedit%26redirect%3Dno" title="Ni rekomendas ke vi kreu uzantokonton kaj ensalutu, kvankam tio ne estas deviga"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Krei konton</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Ensaluti&returnto=3-dimensia+turnada+grupo&returntoquery=section%3D2%26veaction%3Dedit%26redirect%3Dno" title="Ni rekomendas ke vi ensalutu, kvankam tio ne estas devige. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Ensaluti</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Paĝoj por elsalutitaj redaktistoj <a href="/wiki/Helpo:Enkonduko" aria-label="Lernu pli pri redaktado"><span>Lernu pli</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Miaj_kontribuoj" title="Listo de redaktoj faritaj el ĉi tiu IPa adreso [y]" accesskey="y"><span>Kontribuoj</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Mia_diskutpa%C4%9Do" title="Diskuto pri redaktoj sub tiu ĉi IP adreso [n]" accesskey="n"><span>Diskuto</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Retejo"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Enhavo" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Enhavo</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">movigi al flanka panelo</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">kaŝi</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Komenco</div> </a> </li> <li id="toc-Konservadaj_propraĵoj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Konservadaj_propraĵoj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Konservadaj propraĵoj</span> </div> </a> <ul id="toc-Konservadaj_propraĵoj-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Turnada_akso" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Turnada_akso"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Turnada akso</span> </div> </a> <ul id="toc-Turnada_akso-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Matrica_prezento" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Matrica_prezento"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Matrica prezento</span> </div> </a> <ul id="toc-Matrica_prezento-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Topologio" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Topologio"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Topologio</span> </div> </a> <ul id="toc-Topologio-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Prezentoj_de_turnadoj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Prezentoj_de_turnadoj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Prezentoj de turnadoj</span> </div> </a> <ul id="toc-Prezentoj_de_turnadoj-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ĝeneraligoj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ĝeneraligoj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Ĝeneraligoj</span> </div> </a> <ul id="toc-Ĝeneraligoj-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vidu_ankaŭ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Vidu_ankaŭ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Vidu ankaŭ</span> </div> </a> <ul id="toc-Vidu_ankaŭ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Enhavo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ŝaltu la enhavtabelon" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Ŝaltu la enhavtabelon</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">3-dimensia turnada grupo</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Iru al artikolo en alia lingvo. Havebla en 13 lingvo" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-13" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">13 lingvoj</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Grup_de_rotaci%C3%B3_3D" title="Grup de rotació 3D — kataluna" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Grup de rotació 3D" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataluna" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Grupa_rotac%C3%AD_v_trojrozm%C4%9Brn%C3%A9m_prostoru" title="Grupa rotací v trojrozměrném prostoru — ĉeĥa" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Grupa rotací v trojrozměrném prostoru" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="ĉeĥa" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Drehgruppe" title="Drehgruppe — germana" lang="de" hreflang="de" data-title="Drehgruppe" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="germana" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group" title="3D rotation group — angla" lang="en" hreflang="en" data-title="3D rotation group" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angla" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_rotaci%C3%B3n_SO(3)" title="Grupo de rotación SO(3) — hispana" lang="es" hreflang="es" data-title="Grupo de rotación SO(3)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hispana" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A1%D7%99%D7%91%D7%95%D7%91_(3)SO" title="חבורת הסיבוב (3)SO — hebrea" lang="he" hreflang="he" data-title="חבורת הסיבוב (3)SO" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrea" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/3%EC%B0%A8%EC%9B%90_%EC%A7%81%EA%B5%90%EA%B5%B0" title="3차원 직교군 — korea" lang="ko" hreflang="ko" data-title="3차원 직교군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="korea" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Rotatiegroep" title="Rotatiegroep — nederlanda" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Rotatiegroep" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="nederlanda" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_obrot%C3%B3w" title="Grupa obrotów — pola" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Grupa obrotów" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="pola" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_rota%C3%A7%C3%A3o" title="Grupo de rotação — portugala" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Grupo de rotação" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugala" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%B2%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9" title="Группа вращений — rusa" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Группа вращений" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rusa" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/SO(3)" title="SO(3) — ukraina" lang="uk" hreflang="uk" data-title="SO(3)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraina" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%8B%E8%BD%89%E7%BE%A4" title="旋轉群 — ĉina" lang="zh" hreflang="zh" data-title="旋轉群" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="ĉina" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1256500#sitelinks-wikipedia" title="Redakti interlingvajn ligilojn" class="wbc-editpage">Redakti ligilojn</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Nomspacoj"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/3-dimensia_turnada_grupo" title="Vidi la artikolon [c]" accesskey="c"><span>Artikolo</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Diskuto:3-dimensia_turnada_grupo&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Diskuto pri la artikolo (paĝo ne ekzistas) [t]" accesskey="t"><span>Diskuto</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ŝanĝi lingvan varianton" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Esperanto</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vidoj"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/3-dimensia_turnada_grupo"><span>Legi</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit" title="Redakti ĉi tiun paĝon [v]" accesskey="v"><span>Redakti</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit" title="Redakti fontan kodon de tiu ĉi paĝo [e]" accesskey="e"><span>Redakti fonton</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=history" title="Antaŭaj versioj de ĉi tiu paĝo. [h]" accesskey="h"><span>Vidi historion</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Paĝaj iloj"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Iloj" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Iloj</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Iloj</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">movigi al flanka panelo</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">kaŝi</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Pliaj opcioj" > <div class="vector-menu-heading"> Agoj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/3-dimensia_turnada_grupo"><span>Legi</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit" title="Redakti ĉi tiun paĝon [v]" accesskey="v"><span>Redakti</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit" title="Redakti fontan kodon de tiu ĉi paĝo [e]" accesskey="e"><span>Redakti fonton</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=history"><span>Vidi historion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ĝenerale </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Kio_ligas_%C4%89i_tien%3F/3-dimensia_turnada_grupo" title="Listo de ĉiuj vikiaj paĝoj kiuj ligas ĉi tien [j]" accesskey="j"><span>Ligiloj ĉi tien</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Rilataj_%C5%9Dan%C4%9Doj/3-dimensia_turnada_grupo" rel="nofollow" title="Lastaj ŝanĝoj en paĝoj kiuj ligas al ĉi tiu paĝo [k]" accesskey="k"><span>Rilataj ŝanĝoj</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=eo" title="Alŝuti dosierojn [u]" accesskey="u"><span>Alŝuti dosieron</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Specialaj_pa%C4%9Doj" title="Listo de ĉiuj specialaj paĝoj [q]" accesskey="q"><span>Specialaj paĝoj</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&oldid=8762748" title="Porĉiama ligilo al ĉi versio de la paĝo"><span>Konstanta ligilo</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=info" title="Pli da informo pri ĉi tiu paĝo"><span>Informoj pri la paĝo</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Citi&page=3-dimensia_turnada_grupo&id=8762748&wpFormIdentifier=titleform" title="Informoj pri kiel citi ĉi tiun paĝon"><span>Citi ĉi tiun artikolon</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Feo.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3D3-dimensia_turnada_grupo%26section%3D2%26veaction%3Dedit"><span>Akiri mallongigitan URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:QrCode&url=https%3A%2F%2Feo.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3D3-dimensia_turnada_grupo%26section%3D2%26veaction%3Dedit"><span>Elŝutu QR-kodon</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Presi/elporti </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Libro&bookcmd=book_creator&referer=3-dimensia+turnada+grupo"><span>Krei libron</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:DownloadAsPdf&page=3-dimensia_turnada_grupo&action=show-download-screen"><span>Elŝuti kiel PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&printable=yes" title="Presebla versio de tiu ĉi paĝo [p]" accesskey="p"><span>Presebla versio</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En aliaj projektoj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1256500" title="Ligilo al konektita datuma ero [g]" accesskey="g"><span>Ero en Vikidatumoj</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Paĝaj iloj"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspekto"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aspekto</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">movigi al flanka panelo</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">kaŝi</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">El Vikipedio, la libera enciklopedio</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="eo" dir="ltr"><p>En <a href="/wiki/Matematiko" title="Matematiko">matematiko</a>, <b>turnada grupo</b> estas la <a href="/wiki/Grupo_(algebro)" title="Grupo (algebro)">grupo</a> de ĉiuj <a href="/wiki/Rotacio" title="Rotacio">turnadoj</a> ĉirkaŭ la fonto de koordinatoj - la punkto (0, 0, 0) de 3-dimensia <a href="/wiki/E%C5%ADklida_spaco" title="Eŭklida spaco">eŭklida spaco</a> <i><b>R</b><sup>3</sup></i> sub la operacio de <a href="/wiki/Funkcia_kompona%C4%B5o" title="Funkcia komponaĵo">komponaĵo</a>. </p><p>Laŭ difino, turnado ĉirkaŭ la fonto estas <a href="/wiki/Lineara_transformo" title="Lineara transformo">lineara transformo</a> kiu konservas <a href="/wiki/Longo" title="Longo">longojn</a> kaj <a href="/wiki/Orienti%C4%9Do_(matematiko)" title="Orientiĝo (matematiko)">orientiĝon</a> (dekstrecon) de spaco. Longo-konservanta transformo kiu donas la malan orientiĝon estas <a href="/w/index.php?title=Nepropra_turnado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nepropra turnado (paĝo ne ekzistas)">nepropra turnado</a>. </p><p>Kompono de du turnadoj donas ankaŭ turnadon. Ĉiu turnado havas unikan inversan turnadon. Ankaŭ <a href="/w/index.php?title=Identa_bildigo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Identa bildigo (paĝo ne ekzistas)">identa bildigo</a> estas turnado. Pro la pli supre donitaj propraĵoj, la aro de ĉiuj turnadoj estas <a href="/wiki/Grupo_(algebro)" title="Grupo (algebro)">grupo</a> sub komponaĵo. Ankaŭ, la turnada grupo havas naturan <a href="/wiki/Sterna%C4%B5o" title="Sternaĵo">sternaĵan</a> strukturon por kiu la grupaj operacioj estas <a href="/w/index.php?title=Glata_funkcio&action=edit&redlink=1" class="new" title="Glata funkcio (paĝo ne ekzistas)">glataj</a>; tiel ĝi estas fakte <a href="/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie">grupo de Lie</a>. La turnada grupo estas ofte skribata kiel <b>SO(3)</b>, vidu pli sube pri la kaŭzoj. </p><p>La turnada grupo estas <a href="/w/index.php?title=Neabela_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Neabela grupo (paĝo ne ekzistas)">neabela grupo</a> (ne <a href="/wiki/Komuta_grupo" title="Komuta grupo">komuta grupo</a>). Tio estas ke gravas la ordo en kiu kelkaj turnadoj estas komponitaj. Ekzemple, kvaroncirkla turno je la pozitiva <i>x</i>-akso sekvita per kvaroncirkla turno je la pozitiva <i>y</i>-akso estas malsama turnado ol tiu ricevita per unue turno ĉirkaŭ <i>y</i>-akso kaj poste ĉirkaŭ <i>x</i>-akso. Ĉi tio estas malsama de turnado en du dimensioj, kie ordo de turnadoj ne gravas. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konservadaj_propraĵoj"><span id="Konservadaj_propra.C4.B5oj"></span>Konservadaj propraĵoj</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit&section=1" title="Redakti sekcion: Konservadaj propraĵoj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit&section=1" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Konservadaj propraĵoj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Krom konservado de longo, ĉiu turnado konservas ankaŭ <a href="/wiki/Angulo" title="Angulo">angulojn</a>. Ĉi tiu sekvas de tio ke la <a href="/wiki/Skalara_produto" title="Skalara produto">skalara produto</a> de du vektoroj <i>u</i> kaj <i>v</i> povas esti skribata nur per longoj: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>u</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>v</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83697b2dd6a0eb98749dbc6a6928162f0ad39748" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:34.983ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)}"></span></dd></dl> <p>De ĉi tie, ĉiu longo-konservanta transformo en <i><b>R</b><sup>3</sup></i> konservas la skalaran produton, kaj tiel la angulon. Ĉiu turnado bildigas <a href="/w/index.php?title=Ortonormala_bazo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ortonormala bazo (paĝo ne ekzistas)">ortonormalan bazon</a> en <i><b>R</b><sup>3</sup></i> ankaŭ al ortonormala bazo. </p><p>Turnado estas ofte difinita kiel lineara transformo kiu konservas la <a href="/w/index.php?title=Ena_produto&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ena produto (paĝo ne ekzistas)">enan produton</a> sur <i><b>R</b><sup>3</sup></i>. Pro la pli supre donita argumento, ĉi tio estas ekvivalento al postulo de konservo de longo. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Turnada_akso">Turnada akso</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit&section=2" title="Redakti sekcion: Turnada akso" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit&section=2" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Turnada akso"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ĉiu netriviala turnado en 3 dimensioj fiksas unikan 1-dimensian <a href="/wiki/Rekto" title="Rekto">rekton</a> kiu estas nomata kiel la <i><a href="/w/index.php?title=Rotacia_akso&action=edit&redlink=1" class="new" title="Rotacia akso (paĝo ne ekzistas)">rotacia akso</a></i> (ĉi tio estas <a href="/w/index.php?title=E%C5%ADlera_turnada_teoremo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eŭlera turnada teoremo (paĝo ne ekzistas)">eŭlera turnada teoremo</a>). Ĉiu turnado agas kiel normala 2-dimensia turnado en ĉiu ebeno <a href="/wiki/Perpendikulara" class="mw-redirect" title="Perpendikulara">perpendikulara</a> al ĉi tiu akso. Pro tio ke ĉiu 2-dimensia turnado povas esti prezentita per angulo <i>φ</i>, ajna 3-dimensia turnado povas esti precizigita per rotacia akso kaj angulo de turnado ĉirkaŭ ĉi tiu akso. Oni bezonas precizigi orientiĝon de la akso kaj ĉu la turnado estas prenita al esti <a href="/w/index.php?title=La%C5%ADhorlo%C4%9Dnadla_kaj_kontra%C5%ADhorlo%C4%9Dnadla&action=edit&redlink=1" class="new" title="Laŭhorloĝnadla kaj kontraŭhorloĝnadla (paĝo ne ekzistas)">laŭhorloĝnadla</a> aŭ <a href="/w/index.php?title=Kontra%C5%ADhorlo%C4%9Dnadla&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kontraŭhorloĝnadla (paĝo ne ekzistas)">kontraŭhorloĝnadla</a> kun respekto al ĉi tiu orientiĝo. </p><p>Por donita <a href="/wiki/Unuobla_vektoro" class="mw-redirect" title="Unuobla vektoro">unuobla vektoro</a> <i>n</i> en <b>R</b><sup>3</sup> kaj angulo <i>φ</i>, estu <i>R(φ, n)</i> kontraŭhorloĝnadla turnado ĉirkaŭ la akso tra <i>n</i> (kun orientiĝo difinita per <b>n</b>). </p><p>Ĉiu turnado povas esti prezentita per unika angulo <i>φ</i> en la limigo <i>0 ≤ φ ≤ π</i> kaj unuobla vektoro <i>n</i> tia ke </p> <ul><li><i>n</i> estas ajna se <i>φ = 0</i>.</li> <li><i>n</i> estas unika se <i>0 < φ < π</i>.</li> <li><i>n</i> estas unika <a href="/w/index.php?title=Supren_%C4%9Dis&action=edit&redlink=1" class="new" title="Supren ĝis (paĝo ne ekzistas)">supren ĝis</a> signo se <i>φ = π</i>, tio estas ke turnadoj <i>R(π, n)</i> kaj <i>R(π, -n)</i> estas identaj.</li></ul> <p>Propraĵoj de turnado estas ke por ĉiuj <i>n</i> kaj <i>φ</i>: </p> <ul><li><i>R(0, n)</i> estas la identa transformo</li> <li><i>R(φ, n) = R(-φ, -n)</i></li> <li><i>R(π+φ, n)</i> = <i>R(π-φ, -n)</i></li> <li><i>R(φ, n) = R(φ+2πk, n)</i> por ĉiu entjero <i>k</i></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Matrica_prezento">Matrica prezento</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit&section=3" title="Redakti sekcion: Matrica prezento" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit&section=3" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Matrica prezento"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Kiel ĉiu lineara transformo, turnado povas ĉiam esti prezentita per <a href="/wiki/Matrico" title="Matrico">matrico</a>. </p><p>Ekzemple, kontraŭhorloĝnadlaj turnadoj ĉirkaŭ pozitivaj <i>x</i>, <i>y</i> kaj <i>z</i> aksoj je angulo <i>φ</i> estas donitaj respektive per matricoj </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be346cdb377bd60e639d0f388122cabdac5fb99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:30.596ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle R_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{y}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &0&\sin \phi \\0&1&0\\-\sin \phi &0&\cos \phi \end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{y}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &0&\sin \phi \\0&1&0\\-\sin \phi &0&\cos \phi \end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5a57bd7f3acff9882562e32af71756de00d7b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:30.473ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle R_{y}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &0&\sin \phi \\0&1&0\\-\sin \phi &0&\cos \phi \end{bmatrix}}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d22091fabf68f705db21844bdf2d98331d230a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:30.426ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>Estu <i>R</i> donita turnado. Kun respekto al la <a href="/w/index.php?title=Norma_bazo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Norma bazo (paĝo ne ekzistas)">norma bazo</a> <i>(e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, e<sub>3</sub>)</i> de <i><b>R</b><sup>3</sup></i> la kolumnoj de <i>R</i> estas donitaj per <i>(Re<sub>1</sub>, Re<sub>2</sub>, Re<sub>3</sub>)</i>. Pro tio ke la norma bazo estas <a href="/w/index.php?title=Ortonormala&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ortonormala (paĝo ne ekzistas)">ortonormala</a>, la kolumnoj de <i>R</i> formas ankaŭ ortonormalan bazon. Ĉi tiu ortonormaleco povas esti esprimita kiel </p> <dl><dd><i>R<sup>T</sup>R = I</i></dd></dl> <p>kie <i>R<sup>T</sup></i> estas la <a href="/wiki/Transpono" title="Transpono">transpono</a> de <i>R</i> kaj <i>I</i> estas la 3 × 3 <a href="/wiki/Identa_matrico" title="Identa matrico">identa matrico</a>. Matricoj por kiu ĉi tiu propraĵo veras estas <a href="/wiki/Orta_matrico" title="Orta matrico">perpendikularaj matricoj</a>. La grupo de ĉiuj 3 × 3 perpendikularaj matricoj estas skribata kiel O(3). </p><p>Aldone al konservado de longo, turnado konservas ankaŭ orientiĝon. Matrico priskribanta la transformon konservas aŭ malkonservas orientiĝon laŭ tio ĉu ĝia <a href="/wiki/Determinanto" title="Determinanto">determinanto</a> estas pozitiva aŭ negativa respektive. Por orta matrico <i>R</i>, <i>det R<sup>T</sup>R = det I = 1</i>, kun tio ke <i>det R<sup>T</sup> = det R</i> ĉi tio implicas ke <i>(det R)<sup>2</sup> = 1</i> kaj do <i>det R = ±1</i>. La <a href="/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo">subgrupo</a> de perpendikularaj matricoj kun determinanto 1 estas nomata kiel la <i>speciala perpendikulara grupo</i>, skribata kiel SO(3). </p><p>Tial ĉiu turnado povas esti prezentita unike per orta matrico kies determinanto estas 1. Ankaŭ, pro tio ke komponaĵo de turnadoj respektivas al <a href="/wiki/Matrica_multipliko" title="Matrica multipliko">matrica multipliko</a>, la turnada grupo estas <a href="/wiki/Izomorfia" class="mw-redirect" title="Izomorfia">izomorfia</a> al la speciala perpendikulara grupo SO(3). </p><p>Nepropraj turnadoj estas donataj per perpendikularaj matricoj kun determinanto -1. Ili ne formas grupon ĉar komponaĵo de du nepropraj turnadoj estas propra turnado. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Topologio">Topologio</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit&section=4" title="Redakti sekcion: Topologio" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit&section=4" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Topologio"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Konsideru solidan <a href="/wiki/Pilko_(matematiko)" class="mw-redirect" title="Pilko (matematiko)">pilkon</a> en <i><b>R</b><sup>3</sup></i> de radiuso <i>π</i> - aro de ĉiuj punktoj de <i><b>R</b><sup>3</sup></i> de distanco <i>π</i> aŭ malpli granda de la (0, 0, 0). Por ĉiu punkto en ĉi tiu pilko estas respektiva turnado, kun akso tra la (0, 0, 0) kaj la punkto kaj turnada angulo egala al distanco de la punkto al la (0, 0, 0). La identa turnado respektivas al (0, 0, 0) - la centro de la pilko. Turnado tra anguloj inter 0 kaj <i>-π</i> estas konforma laŭ la punkto sur la sama akso kaj distanco de la fonto sed sur la transa flanko de la (0, 0, 0). Unu cetera problemo estas ke du turnadoj je <i>π</i> kaj je <i>-π</i> ĉirkaŭ la sama akso estas la samaj. Tiel oni identigas (aŭ gluas kune aŭ konsideras <a href="/w/index.php?title=Kvocienta_spaco&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kvocienta spaco (paĝo ne ekzistas)">kvocientan spacon</a>) <a href="/w/index.php?title=Antipoda_punkto&action=edit&redlink=1" class="new" title="Antipoda punkto (paĝo ne ekzistas)">antipodajn punktojn</a> de surfaco de la pilko. Post ĉi tiu identigo, rezultiĝas <a href="/wiki/Topologia_spaco" title="Topologia spaco">topologia spaco</a> <a href="/wiki/Homeomorfa" class="mw-redirect" title="Homeomorfa">homeomorfa</a> al la turnada grupo. </p><p>Notu, ke la pilko <i>ne</i> estas tiu objekto kiu estas turnata per la transformoj. Temas pri turnado de <i>iu la alia</i> objekto. </p><p>La pilko kun antipodaj surfacaj punktoj identigitaj estas <a href="/wiki/Glata_sterna%C4%B5o" title="Glata sternaĵo">glata sternaĵo</a>, kaj ĉi tiu sternaĵo estas <a href="/wiki/Difeomorfa" class="mw-redirect" title="Difeomorfa">difeomorfa</a> al la turnada grupo. Ĝi estas ankaŭ difeomorfa al la 3-dimensia <a href="/w/index.php?title=Reela_projekcia_spaco&action=edit&redlink=1" class="new" title="Reela projekcia spaco (paĝo ne ekzistas)">reela projekcia spaco</a> <i><b>RP</b><sup>3</sup></i>, tiel la lasta povas ankaŭ servi kiel topologia modelo por la turnada grupo. </p><p>Ĉi tiuj identigoj ilustras ke SO(3) estas <a href="/wiki/Konekteco" title="Konekteco">koneksa</a> sed ne <a href="/wiki/Simple_koneksa" class="mw-redirect" title="Simple koneksa">simple koneksa</a>. Por montri ne simplan koneksecon de la pilko kun antipodaj surfacaj punktoj identigitaj, konsideru vojojn de la norda poluso <i>(0, 0, π)</i> rekte tra la centro (0, 0, 0) suben ĝis la suda poluso <i>(0, 0, -π)</i>. Ĝi estas fermita ciklo, ĉar la norda poluso kaj la suda poluso estas identigitaj. Ĉi tiu ciklo ne povas esti malpligrandigita al punkto, ĉar por ĉiu misformigo de la ciklo, la starta kaj fina punktoj restas antipodaj, alie la ciklo perdus fermitecon. En terminoj de turnadoj, ĉi tiu ciklo prezentas kontinuan vicon de turnadoj ĉirkaŭ la <i>z</i>-akso startante kaj finante kun la turnado je angulo <i>π</i>, kio estas serio de turnadoj je angulo <i>φ</i> kie <i>φ</i> ŝanĝiĝas de <i>-π</i> al <i>π</i>. </p><p>Tamen, se trapasi la vojon dufoje, tiel ke <i>φ</i> ŝanĝiĝas de <i>-π</i> al <i>3π</i> aŭ ekvivalente de 0 al <i>4π</i>, la rezultanta fermita ciklo povas esti malpligrandigita al sola punkto: unue movu la vojoj kontinue al la pilka surfaco, ankoraŭ konektante nordan poluson kaj sudan poluson dufoje. Duono de la vojo povas tiam esti spegulita al la antipoda flanko sen ŝanĝo de la vojo. Nun estas ordinara fermita ciklo sur la surfaco de la pilko, tra la du polusoj laŭ ĉefcirklo. Ĉi tiu cirklo povas esti malpligrandigita al punkto sen problemoj. </p><p>La sama rezonado povas esti plenumita ĝenerale, kaj ĝi montras ke la <a href="/w/index.php?title=Fundamenta_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fundamenta grupo (paĝo ne ekzistas)">fundamenta grupo</a> de SO(3) estas <a href="/wiki/Cikla_grupo" title="Cikla grupo">cikla grupo</a> de ordo 2. En <a href="/wiki/Fiziko" title="Fiziko">fizikaj</a> aplikoj, la ne-banaleco de la fundamenta grupo permesas ekziston de specifaj objektoj, kaj estas grava laborilo en la evoluo de la <a href="/w/index.php?title=Spino-statistika_teoremo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Spino-statistika teoremo (paĝo ne ekzistas)">spino-statistika teoremo</a>. </p><p>La <a href="/w/index.php?title=Universala_kovro&action=edit&redlink=1" class="new" title="Universala kovro (paĝo ne ekzistas)">universala kovro</a> de SO(3) estas <a href="/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie">grupo de Lie</a> nomata kiel <a href="/w/index.php?title=Spino(3)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Spino(3) (paĝo ne ekzistas)">Spino(3)</a>. La grupo Spino(3) estas izomorfia al la <a href="/w/index.php?title=Speciala_unuargumenta_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Speciala unuargumenta grupo (paĝo ne ekzistas)">speciala unuargumenta grupo</a> SU(2); ĝi estas ankaŭ <a href="/wiki/Difeomorfa" class="mw-redirect" title="Difeomorfa">difeomorfa</a> al la unuobla <a href="/wiki/3-sfero" title="3-sfero">3-sfero</a> <i>S<sup>3</sup></i> kaj povas esti komprenita kiel la grupo de <a href="/wiki/Kvaterniono" title="Kvaterniono">kvaternionoj</a> kies estas <a href="/wiki/Absoluta_valoro" title="Absoluta valoro">absoluta valoro</a> 1. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Prezentoj_de_turnadoj">Prezentoj de turnadoj</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit&section=5" title="Redakti sekcion: Prezentoj de turnadoj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit&section=5" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Prezentoj de turnadoj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Estas diversaj manieroj prezenti turnadon: </p> <ul><li>Per perpendikulara matrico kun determinanto 1</li> <li>Per akso kaj turnada angulo</li> <li>Per punkto en pilko en <i><b>R</b><sup>3</sup></i> de radiuso <i>π</i></li> <li>Per <a href="/wiki/Kvaterniono" title="Kvaterniono">kvaterniono</a> kies estas <a href="/wiki/Absoluta_valoro" title="Absoluta valoro">absoluta valoro</a> 1</li> <li>Per <a href="/w/index.php?title=E%C5%ADlera_angulo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eŭlera angulo (paĝo ne ekzistas)">eŭleraj anguloj</a> - kiel vico de turnadoj ĉirkaŭ iuj fiksitaj aksoj.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ĝeneraligoj"><span id=".C4.9Ceneraligoj"></span>Ĝeneraligoj</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit&section=6" title="Redakti sekcion: Ĝeneraligoj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit&section=6" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Ĝeneraligoj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La turnada grupo povas esti ĝeneraligita al <i>n</i>-dimensia <a href="/wiki/E%C5%ADklida_spaco" title="Eŭklida spaco">eŭklida spaco</a> <i><b>R</b><sup>n</sup></i>. La grupo de ĉiuj propraj kaj nepropraj turnadoj en <i>n</i> dimensioj estas nomata kiel la <a href="/w/index.php?title=Perpendikulara_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Perpendikulara grupo (paĝo ne ekzistas)">perpendikulara grupo</a>, <i>O(n)</i>, kaj ĝia subgrupo de nur propraj turnadoj estas nomata kiel la <a href="/w/index.php?title=Speciala_perpendikulara_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Speciala perpendikulara grupo (paĝo ne ekzistas)">speciala perpendikulara grupo</a>, <i>SO(n)</i>. </p><p>La turnada grupo SO(3) estas subgrupo de <i>E<sup>+</sup>(3)</i>, la <a href="/w/index.php?title=E%C5%ADklida_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eŭklida grupo (paĝo ne ekzistas)">eŭklida grupo</a> de direktaj izometrioj de <b>R</b><sup>3</sup>. Ĉi tiu pli granda grupo estas la grupo de ĉiuj <a href="/wiki/Movo" class="mw-disambig" title="Movo">movoj</a> de <a href="/wiki/Solido" title="Solido">solido</a>. Ĉiu movo estas kombinaĵo de turnado ĉirkaŭ ajna akso kaj <a href="/w/index.php?title=Paralela_movo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Paralela movo (paĝo ne ekzistas)">paralela movo</a>, tiel kombinaĵo de ero de SO(3) kaj ajna paralela movo. </p><p>En <a href="/wiki/Speciala_teorio_de_relativeco" title="Speciala teorio de relativeco">speciala teorio de relativeco</a> estas uzata 4-dimensia <a href="/wiki/Spaco_de_Minkowski" title="Spaco de Minkowski">spaco de Minkowski</a>. Malsimile al <a href="/wiki/4-dimensia_e%C5%ADklida_spaco" class="mw-redirect" title="4-dimensia eŭklida spaco">4-dimensia eŭklida spaco</a>, spaco de Minkowski havas enan produton kun nedifinita <a href="/w/index.php?title=Metrika_signumo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Metrika signumo (paĝo ne ekzistas)">metrika signumo</a>. Tamen, tie estas difinita <a href="/wiki/Lorenca_transformo" title="Lorenca transformo">lorenca transformo</a>, kiu estas <i>ĝeneraligita turnado</i> kiu konservas ĉi tiun enan produton. La grupo de ĉiuj tiuj transformoj estas nomata kiel <a href="/w/index.php?title=Lorenca_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lorenca grupo (paĝo ne ekzistas)">lorenca grupo</a>. </p><p>Ĝenerale, la turnada grupo de objekto estas la <a href="/wiki/Geometria_simetria_grupo" title="Geometria simetria grupo">geometria simetria grupo</a> en la grupo de direktaj izometrioj; en aliaj vortoj, la intersekco de la plena geometria simetria grupo kaj la grupo de direktaj izometrioj. Por <a href="/wiki/Nememspegulsimetrieco" title="Nememspegulsimetrieco">nememspegulsimetria</a> objekto ĝi estas la sama kiel la plena geometria simetria grupo. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vidu_ankaŭ"><span id="Vidu_anka.C5.AD"></span>Vidu ankaŭ</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&veaction=edit&section=7" title="Redakti sekcion: Vidu ankaŭ" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&action=edit&section=7" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Vidu ankaŭ"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Perpendikulara_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Perpendikulara grupo (paĝo ne ekzistas)">Perpendikulara grupo</a> - ĝeneraligo al pli altaj dimensioj</li> <li><a href="/w/index.php?title=Koordinata_turnado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Koordinata turnado (paĝo ne ekzistas)">Koordinata turnado</a></li> <li><a href="/wiki/Solido" title="Solido">Solido</a></li> <li><a href="/wiki/Angula_rapido" title="Angula rapido">Angula rapido</a></li> <li><a href="/wiki/Angula_movokvanto" title="Angula movokvanto">Angula movokvanto</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Abakoj_sur_SO(3)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Abakoj sur SO(3) (paĝo ne ekzistas)">Abakoj sur SO(3)</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=E%C5%ADleraj_anguloj&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eŭleraj anguloj (paĝo ne ekzistas)">Eŭleraj anguloj</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Infinitezima_turnado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Infinitezima turnado (paĝo ne ekzistas)">Infinitezima turnado</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Lorenca_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lorenca grupo (paĝo ne ekzistas)">Lorenca grupo</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Paralela_mova_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Paralela mova grupo (paĝo ne ekzistas)">Paralela mova grupo</a></li></ul></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Elŝutita el "<a dir="ltr" href="https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&oldid=8762748">https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&oldid=8762748</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Kategorioj" title="Specialaĵo:Kategorioj">Kategorioj</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorio:Turna_simetrio" title="Kategorio:Turna simetrio">Turna simetrio</a></li><li><a href="/wiki/Kategorio:Sterna%C4%B5oj" title="Kategorio:Sternaĵoj">Sternaĵoj</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Ĉi tiu paĝo estis lastafoje redaktita je 16:00, 3 jun. 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">La teksto disponeblas laŭ la permesilo <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.eo">Krea Komunaĵo Atribuite-Samkondiĉe 4.0 Neadaptita</a>; eble aldonaj kondiĉoj aplikeblas. Vidu la <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">uzkondiĉojn</a> por detaloj.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Regularo pri respekto de la privateco</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Vikipedio:Enkonduko">Pri Vikipedio</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Vikipedio:Malgarantio">Malgarantioj</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Code of Conduct</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Programistoj</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/eo.wikipedia.org">Statistikoj</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Deklaro pri kuketoj</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//eo.m.wikipedia.org/w/index.php?title=3-dimensia_turnada_grupo&section=2&veaction=edit&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Poŝtelefona vido</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-57488d5c7d-k2zjl","wgBackendResponseTime":163,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.024","walltime":"0.085","ppvisitednodes":{"value":119,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":0,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":0,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":2,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":144,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 0.000 1 -total"]},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-qlwvg","timestamp":"20241125004125","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"3-dimensia turnada grupo","url":"https:\/\/eo.wikipedia.org\/wiki\/3-dimensia_turnada_grupo","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1256500","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1256500","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2008-10-31T21:08:33Z"}</script> </body> </html>