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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2411.14969v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A1" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>A. Effect of time scale disorder on eigenvalues</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A2" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B </span>B. Low-dimensional chaos</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A3" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C </span>C. Dynamical Mean-Field Theory for gLV</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A4" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D </span>D. Stability</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A1a" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Ecological context</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A2a" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B </span>Stabilization by species extinctions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A3a" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C </span>Symmetry of interactions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A4a" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D </span>Optimality of disorder</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document"> Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems </h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Juan Giral Martínez </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Institut de Biologie de l’École Normale Supérieure, Département de Biologie, École Normale Supérieure, PSL Research University, Paris, France </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Silvia De Monte </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Institut de Biologie de l’École Normale Supérieure, Département de Biologie, École Normale Supérieure, PSL Research University, Paris, France </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Max Planck Institute of Evolutionary Biology, Plön, Germany. </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Matthieu Barbier </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">CIRAD, UMR PHIM, 34090 Montpellier, France. </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">PHIM Plant Health Institute, University of Montpellier, CIRAD, INRAE, Institut Agro, IRD, 34090 Montpellier, France. </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Institut Natura e Teoria en Pirenèus, Surba, France. </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.id1">Large systems are often coarse-grained in order to study their low-dimensional macroscopic dynamics, yet microscopic complexity can in principle disrupt these predictions in many ways. We first consider one form of fine-grained complexity, heterogeneity in the time scales of microscopic dynamics, and show by an algebraic approach that it can stabilize macroscopic degrees of freedom. We then show that this time scale heterogeneity can arise from other forms of complexity, in particular disordered interactions between microscopic variables, and that it can drive the system’s coarse-grained dynamics to transition from nonequilibrium attractors to fixed points. These mechanisms are demonstrated in a model of many-species ecosystems, where we find a quasi-decoupling between the low- and high-dimensional facets of the dynamics, interacting only through a key feature of ecological models, the fact that species’ dynamical time scales are controlled by their abundances. We conclude that fine-grained disorder may enable a macroscopic equilibrium description of many-species ecosystems.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p1"> <p class="ltx_p" id="p1.1">Complex systems, including ecosystems, tend to be studied either through the prism of a few macroscopic observables (e.g. material stocks and energy fluxes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>), or as interaction networks of many microscopic entities (e.g. species or individuals). These two approaches rarely interface, since they differ in many of their goals and tools, such as describing specific low-dimensional attractors with nonlinear dynamical models, or generic high-dimensional phenomena with disordered models. Key results from the latter approach, such as complexity-driven instability <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>, focus on micro-level dynamics in systems that are trivial in the absence of disorder. We investigate here the macroscopic consequences of adding fine-grained complexity to a system with nontrivial (out-of-equilibrium) coarse-grained dynamics.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p2"> <p class="ltx_p" id="p2.5">In this letter, we start from a small set of macroscopic observables <math alttext="f_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.1.m1.1"><semantics id="p2.1.m1.1a"><msub id="p2.1.m1.1.1" xref="p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="p2.1.m1.1.1.2" xref="p2.1.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="p2.1.m1.1.1.3" xref="p2.1.m1.1.1.3.cmml">α</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.1.m1.1b"><apply id="p2.1.m1.1.1.cmml" xref="p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p2.1.m1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p2.1.m1.1.1.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.1.m1.1c">f_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\alpha=1\dots n" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.2.m2.1"><semantics id="p2.2.m2.1a"><mrow id="p2.2.m2.1.1" xref="p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="p2.2.m2.1.1.2" xref="p2.2.m2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="p2.2.m2.1.1.1" xref="p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="p2.2.m2.1.1.3" xref="p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="p2.2.m2.1.1.3.2" xref="p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="p2.2.m2.1.1.3.1" xref="p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p2.2.m2.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">…</mi><mo id="p2.2.m2.1.1.3.1a" xref="p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p2.2.m2.1.1.3.4" xref="p2.2.m2.1.1.3.4.cmml">n</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.2.m2.1b"><apply id="p2.2.m2.1.1.cmml" xref="p2.2.m2.1.1"><eq id="p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p2.2.m2.1.1.2">𝛼</ci><apply id="p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="p2.2.m2.1.1.3"><times id="p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="p2.2.m2.1.1.3.1"></times><cn id="p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="p2.2.m2.1.1.3.2">1</cn><ci id="p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="p2.2.m2.1.1.3.3">…</ci><ci id="p2.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="p2.2.m2.1.1.3.4">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.2.m2.1c">\alpha=1\dots n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.2.m2.1d">italic_α = 1 … italic_n</annotation></semantics></math>, each defined by a coarse-graining <math alttext="f_{\alpha}(\vec{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.3.m3.1"><semantics id="p2.3.m3.1a"><mrow id="p2.3.m3.1.2" xref="p2.3.m3.1.2.cmml"><msub id="p2.3.m3.1.2.2" xref="p2.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="p2.3.m3.1.2.2.2" xref="p2.3.m3.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="p2.3.m3.1.2.2.3" xref="p2.3.m3.1.2.2.3.cmml">α</mi></msub><mo id="p2.3.m3.1.2.1" xref="p2.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p2.3.m3.1.2.3.2" xref="p2.3.m3.1.1.cmml"><mo id="p2.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="p2.3.m3.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="p2.3.m3.1.1" xref="p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="p2.3.m3.1.1.2" xref="p2.3.m3.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="p2.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="p2.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="p2.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="p2.3.m3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.3.m3.1b"><apply id="p2.3.m3.1.2.cmml" xref="p2.3.m3.1.2"><times id="p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="p2.3.m3.1.2.1"></times><apply id="p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="p2.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p2.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="p2.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="p2.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="p2.3.m3.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="p2.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="p2.3.m3.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="p2.3.m3.1.1.cmml" xref="p2.3.m3.1.2.3.2"><ci id="p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="p2.3.m3.1.1.1">→</ci><ci id="p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="p2.3.m3.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.3.m3.1c">f_{\alpha}(\vec{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.3.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ( over→ start_ARG italic_x end_ARG )</annotation></semantics></math> over many underlying microscopic variables <math alttext="x_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.4.m4.1"><semantics id="p2.4.m4.1a"><msub id="p2.4.m4.1.1" xref="p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="p2.4.m4.1.1.2" xref="p2.4.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="p2.4.m4.1.1.3" xref="p2.4.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.4.m4.1b"><apply id="p2.4.m4.1.1.cmml" xref="p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="p2.4.m4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="p2.4.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.4.m4.1c">x_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.4.m4.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="i=1\dots S\gg n" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.5.m5.1"><semantics id="p2.5.m5.1a"><mrow id="p2.5.m5.1.1" xref="p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="p2.5.m5.1.1.2" xref="p2.5.m5.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="p2.5.m5.1.1.3" xref="p2.5.m5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="p2.5.m5.1.1.4" xref="p2.5.m5.1.1.4.cmml"><mn id="p2.5.m5.1.1.4.2" xref="p2.5.m5.1.1.4.2.cmml">1</mn><mo id="p2.5.m5.1.1.4.1" xref="p2.5.m5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="p2.5.m5.1.1.4.3" mathvariant="normal" xref="p2.5.m5.1.1.4.3.cmml">…</mi><mo id="p2.5.m5.1.1.4.1a" xref="p2.5.m5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="p2.5.m5.1.1.4.4" xref="p2.5.m5.1.1.4.4.cmml">S</mi></mrow><mo id="p2.5.m5.1.1.5" xref="p2.5.m5.1.1.5.cmml">≫</mo><mi id="p2.5.m5.1.1.6" xref="p2.5.m5.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.5.m5.1b"><apply id="p2.5.m5.1.1.cmml" xref="p2.5.m5.1.1"><and id="p2.5.m5.1.1a.cmml" xref="p2.5.m5.1.1"></and><apply id="p2.5.m5.1.1b.cmml" xref="p2.5.m5.1.1"><eq id="p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="p2.5.m5.1.1.3"></eq><ci id="p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="p2.5.m5.1.1.2">𝑖</ci><apply id="p2.5.m5.1.1.4.cmml" xref="p2.5.m5.1.1.4"><times id="p2.5.m5.1.1.4.1.cmml" xref="p2.5.m5.1.1.4.1"></times><cn id="p2.5.m5.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="p2.5.m5.1.1.4.2">1</cn><ci id="p2.5.m5.1.1.4.3.cmml" xref="p2.5.m5.1.1.4.3">…</ci><ci id="p2.5.m5.1.1.4.4.cmml" xref="p2.5.m5.1.1.4.4">𝑆</ci></apply></apply><apply id="p2.5.m5.1.1c.cmml" xref="p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="p2.5.m5.1.1.5.cmml" xref="p2.5.m5.1.1.5">much-greater-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#p2.5.m5.1.1.4.cmml" id="p2.5.m5.1.1d.cmml" xref="p2.5.m5.1.1"></share><ci id="p2.5.m5.1.1.6.cmml" xref="p2.5.m5.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.5.m5.1c">i=1\dots S\gg n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.5.m5.1d">italic_i = 1 … italic_S ≫ italic_n</annotation></semantics></math>, whose dynamics follow</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\dfrac{dx_{i}}{dt}=r_{i}G_{i}(x_{i},\vec{f})." class="ltx_Math" display="block" id="S0.E1.m1.2"><semantics id="S0.E1.m1.2a"><mrow id="S0.E1.m1.2.2.1" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S0.E1.m1.2.2.1.1" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mrow id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.1.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S0.E1.m1.1.1" xref="S0.E1.m1.1.1.cmml"><mi id="S0.E1.m1.1.1.2" xref="S0.E1.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S0.E1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S0.E1.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S0.E1.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.E1.m1.2b"><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1"><eq id="S0.E1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3"></divide><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2"><times id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3"><times id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑑</ci><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1"><times id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.2">𝐺</ci><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><apply id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E1.m1.1.1.cmml" xref="S0.E1.m1.1.1"><ci id="S0.E1.m1.1.1.1.cmml" xref="S0.E1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S0.E1.m1.1.1.2.cmml" xref="S0.E1.m1.1.1.2">𝑓</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.E1.m1.2c">\dfrac{dx_{i}}{dt}=r_{i}G_{i}(x_{i},\vec{f}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.E1.m1.2d">divide start_ARG italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d italic_t end_ARG = italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , over→ start_ARG italic_f end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p2.9">The characteristic time scale of each microscopic variable is controlled by <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.6.m1.1"><semantics id="p2.6.m1.1a"><msub id="p2.6.m1.1.1" xref="p2.6.m1.1.1.cmml"><mi id="p2.6.m1.1.1.2" xref="p2.6.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p2.6.m1.1.1.3" xref="p2.6.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.6.m1.1b"><apply id="p2.6.m1.1.1.cmml" xref="p2.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p2.6.m1.1.1.1.cmml" xref="p2.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="p2.6.m1.1.1.2.cmml" xref="p2.6.m1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p2.6.m1.1.1.3.cmml" xref="p2.6.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.6.m1.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.6.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, while interactions between them are entirely mediated by the coarse-grained variables. We will study the effects of adding disorder either in <math alttext="\vec{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.7.m2.1"><semantics id="p2.7.m2.1a"><mover accent="true" id="p2.7.m2.1.1" xref="p2.7.m2.1.1.cmml"><mi id="p2.7.m2.1.1.2" xref="p2.7.m2.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="p2.7.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="p2.7.m2.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.7.m2.1b"><apply id="p2.7.m2.1.1.cmml" xref="p2.7.m2.1.1"><ci id="p2.7.m2.1.1.1.cmml" xref="p2.7.m2.1.1.1">→</ci><ci id="p2.7.m2.1.1.2.cmml" xref="p2.7.m2.1.1.2">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.7.m2.1c">\vec{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.7.m2.1d">over→ start_ARG italic_r end_ARG</annotation></semantics></math>, or as fine-grained interactions i.e. when <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.8.m3.1"><semantics id="p2.8.m3.1a"><msub id="p2.8.m3.1.1" xref="p2.8.m3.1.1.cmml"><mi id="p2.8.m3.1.1.2" xref="p2.8.m3.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="p2.8.m3.1.1.3" xref="p2.8.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.8.m3.1b"><apply id="p2.8.m3.1.1.cmml" xref="p2.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p2.8.m3.1.1.1.cmml" xref="p2.8.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="p2.8.m3.1.1.2.cmml" xref="p2.8.m3.1.1.2">𝐺</ci><ci id="p2.8.m3.1.1.3.cmml" xref="p2.8.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.8.m3.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.8.m3.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> depends directly on the other microscopic variables <math alttext="x_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="p2.9.m4.1"><semantics id="p2.9.m4.1a"><msub id="p2.9.m4.1.1" xref="p2.9.m4.1.1.cmml"><mi id="p2.9.m4.1.1.2" xref="p2.9.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="p2.9.m4.1.1.3" xref="p2.9.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p2.9.m4.1b"><apply id="p2.9.m4.1.1.cmml" xref="p2.9.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p2.9.m4.1.1.1.cmml" xref="p2.9.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="p2.9.m4.1.1.2.cmml" xref="p2.9.m4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="p2.9.m4.1.1.3.cmml" xref="p2.9.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p2.9.m4.1c">x_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p2.9.m4.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p3"> <p class="ltx_p" id="p3.6">Our motivating example here is a class of models of ecological community dynamics where microscopic variables, now representing biological populations or species, undergo multiplicative growth:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\dfrac{dx_{i}}{dt}=r_{i}x_{i}g_{i}(\vec{x})" class="ltx_Math" display="block" id="S0.E2.m1.1"><semantics id="S0.E2.m1.1a"><mrow id="S0.E2.m1.1.2" xref="S0.E2.m1.1.2.cmml"><mfrac id="S0.E2.m1.1.2.2" xref="S0.E2.m1.1.2.2.cmml"><mrow id="S0.E2.m1.1.2.2.2" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S0.E2.m1.1.2.2.2.2" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S0.E2.m1.1.2.2.2.1" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E2.m1.1.2.2.2.3" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.2" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.3" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mrow id="S0.E2.m1.1.2.2.3" xref="S0.E2.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S0.E2.m1.1.2.2.3.2" xref="S0.E2.m1.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S0.E2.m1.1.2.2.3.1" xref="S0.E2.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E2.m1.1.2.2.3.3" xref="S0.E2.m1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S0.E2.m1.1.2.1" xref="S0.E2.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S0.E2.m1.1.2.3" xref="S0.E2.m1.1.2.3.cmml"><msub id="S0.E2.m1.1.2.3.2" xref="S0.E2.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S0.E2.m1.1.2.3.2.2" xref="S0.E2.m1.1.2.3.2.2.cmml">r</mi><mi id="S0.E2.m1.1.2.3.2.3" xref="S0.E2.m1.1.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E2.m1.1.2.3.1" xref="S0.E2.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E2.m1.1.2.3.3" xref="S0.E2.m1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S0.E2.m1.1.2.3.3.2" xref="S0.E2.m1.1.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E2.m1.1.2.3.3.3" xref="S0.E2.m1.1.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E2.m1.1.2.3.1a" xref="S0.E2.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E2.m1.1.2.3.4" xref="S0.E2.m1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S0.E2.m1.1.2.3.4.2" xref="S0.E2.m1.1.2.3.4.2.cmml">g</mi><mi id="S0.E2.m1.1.2.3.4.3" xref="S0.E2.m1.1.2.3.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E2.m1.1.2.3.1b" xref="S0.E2.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E2.m1.1.2.3.5.2" xref="S0.E2.m1.1.1.cmml"><mo id="S0.E2.m1.1.2.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S0.E2.m1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S0.E2.m1.1.1" xref="S0.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S0.E2.m1.1.1.2" xref="S0.E2.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S0.E2.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S0.E2.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S0.E2.m1.1.2.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S0.E2.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.E2.m1.1b"><apply id="S0.E2.m1.1.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2"><eq id="S0.E2.m1.1.2.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.1"></eq><apply id="S0.E2.m1.1.2.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2"><divide id="S0.E2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2"></divide><apply id="S0.E2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2"><times id="S0.E2.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S0.E2.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S0.E2.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.3"><times id="S0.E2.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S0.E2.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S0.E2.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S0.E2.m1.1.2.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3"><times id="S0.E2.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S0.E2.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E2.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E2.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.2.2">𝑟</ci><ci id="S0.E2.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E2.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E2.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E2.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S0.E2.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E2.m1.1.2.3.4.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E2.m1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S0.E2.m1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.4.2">𝑔</ci><ci id="S0.E2.m1.1.2.3.4.3.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E2.m1.1.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.2.3.5.2"><ci id="S0.E2.m1.1.1.1.cmml" xref="S0.E2.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S0.E2.m1.1.1.2.cmml" xref="S0.E2.m1.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.E2.m1.1c">\dfrac{dx_{i}}{dt}=r_{i}x_{i}g_{i}(\vec{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.E2.m1.1d">divide start_ARG italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d italic_t end_ARG = italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over→ start_ARG italic_x end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p3.5">where <math alttext="g_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p3.1.m1.1"><semantics id="p3.1.m1.1a"><msub id="p3.1.m1.1.1" xref="p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="p3.1.m1.1.1.2" xref="p3.1.m1.1.1.2.cmml">g</mi><mi id="p3.1.m1.1.1.3" xref="p3.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p3.1.m1.1b"><apply id="p3.1.m1.1.1.cmml" xref="p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p3.1.m1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p3.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p3.1.m1.1c">g_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p3.1.m1.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> models species interactions, whether direct or mediated by the macroscopic variables <math alttext="\vec{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="p3.2.m2.1"><semantics id="p3.2.m2.1a"><mover accent="true" id="p3.2.m2.1.1" xref="p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="p3.2.m2.1.1.2" xref="p3.2.m2.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="p3.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="p3.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p3.2.m2.1b"><apply id="p3.2.m2.1.1.cmml" xref="p3.2.m2.1.1"><ci id="p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p3.2.m2.1.1.1">→</ci><ci id="p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p3.2.m2.1.1.2">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p3.2.m2.1c">\vec{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p3.2.m2.1d">over→ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math> (e.g. taxonomic groups or ecological functions). A key feature of this class of systems is that species with smaller abundances tend to exhibit slower dynamics; in particular, at a positive equilibrium <math alttext="\vec{x}^{\star}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="p3.3.m3.1"><semantics id="p3.3.m3.1a"><mrow id="p3.3.m3.1.1" xref="p3.3.m3.1.1.cmml"><msup id="p3.3.m3.1.1.2" xref="p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="p3.3.m3.1.1.2.2" xref="p3.3.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="p3.3.m3.1.1.2.2.2" xref="p3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="p3.3.m3.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="p3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="p3.3.m3.1.1.2.3" xref="p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="p3.3.m3.1.1.1" xref="p3.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="p3.3.m3.1.1.3" xref="p3.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p3.3.m3.1b"><apply id="p3.3.m3.1.1.cmml" xref="p3.3.m3.1.1"><gt id="p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="p3.3.m3.1.1.1"></gt><apply id="p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="p3.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="p3.3.m3.1.1.2.2"><ci id="p3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="p3.3.m3.1.1.2.2.1">→</ci><ci id="p3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="p3.3.m3.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="p3.3.m3.1.1.2.3">⋆</ci></apply><cn id="p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p3.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p3.3.m3.1c">\vec{x}^{\star}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p3.3.m3.1d">over→ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT > 0</annotation></semantics></math>, as <math alttext="g_{i}(\vec{x}^{\star})=0" class="ltx_Math" display="inline" id="p3.4.m4.1"><semantics id="p3.4.m4.1a"><mrow id="p3.4.m4.1.1" xref="p3.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="p3.4.m4.1.1.1" xref="p3.4.m4.1.1.1.cmml"><msub id="p3.4.m4.1.1.1.3" xref="p3.4.m4.1.1.1.3.cmml"><mi id="p3.4.m4.1.1.1.3.2" xref="p3.4.m4.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mi id="p3.4.m4.1.1.1.3.3" xref="p3.4.m4.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p3.4.m4.1.1.1.2" xref="p3.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="p3.4.m4.1.1.1.1.1" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="p3.4.m4.1.1.2" xref="p3.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="p3.4.m4.1.1.3" xref="p3.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p3.4.m4.1b"><apply id="p3.4.m4.1.1.cmml" xref="p3.4.m4.1.1"><eq id="p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.2"></eq><apply id="p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1"><times id="p3.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.2"></times><apply id="p3.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.4.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="p3.4.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.3.2">𝑔</ci><ci id="p3.4.m4.1.1.1.3.3.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1">→</ci><ci id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply><cn id="p3.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p3.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p3.4.m4.1c">g_{i}(\vec{x}^{\star})=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p3.4.m4.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over→ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math>, the Jacobian matrix takes the form <math alttext="J_{ij}=r_{i}x_{i}^{\star}\partial g_{i}/\partial x_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="p3.5.m5.1"><semantics id="p3.5.m5.1a"><mrow id="p3.5.m5.1.1" xref="p3.5.m5.1.1.cmml"><msub id="p3.5.m5.1.1.2" xref="p3.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="p3.5.m5.1.1.2.2" xref="p3.5.m5.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="p3.5.m5.1.1.2.3" xref="p3.5.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="p3.5.m5.1.1.2.3.2" xref="p3.5.m5.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="p3.5.m5.1.1.2.3.1" xref="p3.5.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p3.5.m5.1.1.2.3.3" xref="p3.5.m5.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="p3.5.m5.1.1.1" xref="p3.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="p3.5.m5.1.1.3" xref="p3.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="p3.5.m5.1.1.3.2" xref="p3.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="p3.5.m5.1.1.3.2.2" xref="p3.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mi id="p3.5.m5.1.1.3.2.3" xref="p3.5.m5.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p3.5.m5.1.1.3.1" xref="p3.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="p3.5.m5.1.1.3.3" xref="p3.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="p3.5.m5.1.1.3.3.2.2" xref="p3.5.m5.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="p3.5.m5.1.1.3.3.2.3" xref="p3.5.m5.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="p3.5.m5.1.1.3.3.3" xref="p3.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="p3.5.m5.1.1.3.1a" lspace="0em" xref="p3.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p3.5.m5.1.1.3.4" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.cmml"><mo id="p3.5.m5.1.1.3.4.1" rspace="0em" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.1.cmml">∂</mo><mrow id="p3.5.m5.1.1.3.4.2" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.cmml"><msub id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.cmml"><mi id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.2" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.3" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.1" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.1.cmml">/</mo><mrow id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.cmml"><mo id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.1.cmml">∂</mo><msub id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.cmml"><mi id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.2" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.3" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p3.5.m5.1b"><apply id="p3.5.m5.1.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1"><eq id="p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p3.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="p3.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.2.3"><times id="p3.5.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.2.3.1"></times><ci id="p3.5.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="p3.5.m5.1.1.2.3.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3"><times id="p3.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.1"></times><apply id="p3.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="p3.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.2.2">𝑟</ci><ci id="p3.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="p3.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="p3.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.5.m5.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="p3.5.m5.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="p3.5.m5.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p3.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.3.3">⋆</ci></apply><apply id="p3.5.m5.1.1.3.4.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4"><partialdiff id="p3.5.m5.1.1.3.4.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.1"></partialdiff><apply id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2"><divide id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.1"></divide><apply id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.2">𝑔</ci><ci id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3"><partialdiff id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.1"></partialdiff><apply id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.1.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.2.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.3.cmml" xref="p3.5.m5.1.1.3.4.2.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p3.5.m5.1c">J_{ij}=r_{i}x_{i}^{\star}\partial g_{i}/\partial x_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p3.5.m5.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ∂ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Thus, if fine-grained interactions create heterogeneity in equilibrium abundances, they also induce a spread in time scales.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p4"> <p class="ltx_p" id="p4.2">We propose that introducing heterogeneity in the microscopic time scales, either directly or indirectly through interactions, can stabilize the dynamics of the coarse-grained variables <math alttext="\vec{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="p4.1.m1.1"><semantics id="p4.1.m1.1a"><mover accent="true" id="p4.1.m1.1.1" xref="p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="p4.1.m1.1.1.2" xref="p4.1.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="p4.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="p4.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p4.1.m1.1b"><apply id="p4.1.m1.1.1.cmml" xref="p4.1.m1.1.1"><ci id="p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p4.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p4.1.m1.1.1.2">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p4.1.m1.1c">\vec{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p4.1.m1.1d">over→ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math>, near and even far from equilibrium. We first analyze this mechanism around a fixed point in the general case of eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E1" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) where heterogeneity is introduced directly into the rates <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p4.2.m2.1"><semantics id="p4.2.m2.1a"><msub id="p4.2.m2.1.1" xref="p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="p4.2.m2.1.1.2" xref="p4.2.m2.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p4.2.m2.1.1.3" xref="p4.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p4.2.m2.1b"><apply id="p4.2.m2.1.1.cmml" xref="p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p4.2.m2.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="p4.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p4.2.m2.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p4.2.m2.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. For ecological models following eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E2" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), we then demonstrate that macroscopic stabilization occurs when adding quenched disordered interactions between species, even though this addition also has a destabilizing effect on the microscopic dynamics. We illustrate these two distinct effects of disordered interactions in simulations, then show analytically via Dynamical Mean Field Theory that they are independent, and that the stabilization effect is indeed only due to the impact of interactions on microscopic time scales.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p5"> <p class="ltx_p" id="p5.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="p5.1.1">Fixed point stabilization by time scale heterogeneity:</span> Let us first consider the general model of eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E1" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), where disorder acts on the <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.1.m1.1"><semantics id="p5.1.m1.1a"><msub id="p5.1.m1.1.1" xref="p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="p5.1.m1.1.1.2" xref="p5.1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p5.1.m1.1.1.3" xref="p5.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.1.m1.1b"><apply id="p5.1.m1.1.1.cmml" xref="p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p5.1.m1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p5.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.1.m1.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.1.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> only, and study its Jacobian matrix around a given fixed point</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="J_{ij}=r_{i}\left(\delta_{ij}\dfrac{\partial G_{i}}{\partial x_{i}}+\sum_{% \alpha}^{n}\dfrac{\partial G_{i}}{\partial f_{\alpha}}\dfrac{\partial f_{% \alpha}}{\partial x_{j}}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S0.E3.m1.1"><semantics id="S0.E3.m1.1a"><mrow id="S0.E3.m1.1.1" xref="S0.E3.m1.1.1.cmml"><msub id="S0.E3.m1.1.1.3" xref="S0.E3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S0.E3.m1.1.1.3.3" xref="S0.E3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.3.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E3.m1.1.1.3.3.1" xref="S0.E3.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E3.m1.1.1.3.3.3" xref="S0.E3.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S0.E3.m1.1.1.2" xref="S0.E3.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1" xref="S0.E3.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S0.E3.m1.1.1.1.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.3.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" rspace="0em" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" rspace="0em" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mfrac></mrow><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.055em" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml">α</mi><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">n</mi></munderover><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">α</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" rspace="0em" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">α</mi></msub></mrow><mrow id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1" rspace="0em" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.E3.m1.1b"><apply id="S0.E3.m1.1.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1"><eq id="S0.E3.m1.1.1.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.2"></eq><apply id="S0.E3.m1.1.1.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.3.2">𝐽</ci><apply id="S0.E3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.3.3"><times id="S0.E3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S0.E3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E3.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1"><times id="S0.E3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝛿</ci><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" 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id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><partialdiff id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></partialdiff><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><partialdiff id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></partialdiff><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><partialdiff id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><divide id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></divide><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><partialdiff id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1"></partialdiff><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><partialdiff id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1"></partialdiff><apply id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.E3.m1.1c">J_{ij}=r_{i}\left(\delta_{ij}\dfrac{\partial G_{i}}{\partial x_{i}}+\sum_{% \alpha}^{n}\dfrac{\partial G_{i}}{\partial f_{\alpha}}\dfrac{\partial f_{% \alpha}}{\partial x_{j}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.E3.m1.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT end_ARG divide start_ARG ∂ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p5.3">Assuming stabilizing microscopic self-interactions, <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="p5.3.1">i.e.</span> <math alttext="{\partial G_{i}}/{\partial x_{i}}<0" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.2.m1.1"><semantics id="p5.2.m1.1a"><mrow id="p5.2.m1.1.1" xref="p5.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="p5.2.m1.1.1.2" xref="p5.2.m1.1.1.2.cmml"><mo id="p5.2.m1.1.1.2.1" rspace="0em" xref="p5.2.m1.1.1.2.1.cmml">∂</mo><mrow id="p5.2.m1.1.1.2.2" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.cmml"><msub id="p5.2.m1.1.1.2.2.2" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="p5.2.m1.1.1.2.2.2.2" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="p5.2.m1.1.1.2.2.2.3" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p5.2.m1.1.1.2.2.1" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.1.cmml">/</mo><mrow id="p5.2.m1.1.1.2.2.3" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msub id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.2" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.3" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="p5.2.m1.1.1.1" xref="p5.2.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="p5.2.m1.1.1.3" xref="p5.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.2.m1.1b"><apply id="p5.2.m1.1.1.cmml" xref="p5.2.m1.1.1"><lt id="p5.2.m1.1.1.1.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.1"></lt><apply id="p5.2.m1.1.1.2.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2"><partialdiff id="p5.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.1"></partialdiff><apply id="p5.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2"><divide id="p5.2.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.1"></divide><apply id="p5.2.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p5.2.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="p5.2.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.2.2">𝐺</ci><ci id="p5.2.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3"><partialdiff id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="p5.2.m1.1.1.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="p5.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p5.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.2.m1.1c">{\partial G_{i}}/{\partial x_{i}}<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.2.m1.1d">∂ italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT < 0</annotation></semantics></math>, we can rescale <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.3.m2.1"><semantics id="p5.3.m2.1a"><msub id="p5.3.m2.1.1" xref="p5.3.m2.1.1.cmml"><mi id="p5.3.m2.1.1.2" xref="p5.3.m2.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p5.3.m2.1.1.3" xref="p5.3.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.3.m2.1b"><apply id="p5.3.m2.1.1.cmml" xref="p5.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p5.3.m2.1.1.1.cmml" xref="p5.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="p5.3.m2.1.1.2.cmml" xref="p5.3.m2.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p5.3.m2.1.1.3.cmml" xref="p5.3.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.3.m2.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.3.m2.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and rewrite the above in the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="J_{ij}=-r_{i}\left(\delta_{ij}-\dfrac{1}{S}\mu_{ij}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S0.E4.m1.1"><semantics id="S0.E4.m1.1a"><mrow id="S0.E4.m1.1.1" xref="S0.E4.m1.1.1.cmml"><msub id="S0.E4.m1.1.1.3" xref="S0.E4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.E4.m1.1.1.3.2" xref="S0.E4.m1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S0.E4.m1.1.1.3.3" xref="S0.E4.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S0.E4.m1.1.1.3.3.2" xref="S0.E4.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E4.m1.1.1.3.3.1" xref="S0.E4.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E4.m1.1.1.3.3.3" xref="S0.E4.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S0.E4.m1.1.1.2" xref="S0.E4.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S0.E4.m1.1.1.1" xref="S0.E4.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E4.m1.1.1.1a" xref="S0.E4.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S0.E4.m1.1.1.1.1" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S0.E4.m1.1.1.1.1.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E4.m1.1.1.1.1.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">S</mi></mfrac><mo id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.E4.m1.1b"><apply id="S0.E4.m1.1.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1"><eq id="S0.E4.m1.1.1.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.2"></eq><apply id="S0.E4.m1.1.1.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.3.2">𝐽</ci><apply id="S0.E4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.3.3"><times id="S0.E4.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S0.E4.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E4.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1"><minus id="S0.E4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1"></minus><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1"><times id="S0.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛿</ci><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜇</ci><apply id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.E4.m1.1c">J_{ij}=-r_{i}\left(\delta_{ij}-\dfrac{1}{S}\mu_{ij}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.E4.m1.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_S end_ARG italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p5.9">where <math alttext="r_{i}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.4.m1.1"><semantics id="p5.4.m1.1a"><mrow id="p5.4.m1.1.1" xref="p5.4.m1.1.1.cmml"><msub id="p5.4.m1.1.1.2" xref="p5.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="p5.4.m1.1.1.2.2" xref="p5.4.m1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mi id="p5.4.m1.1.1.2.3" xref="p5.4.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p5.4.m1.1.1.1" xref="p5.4.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="p5.4.m1.1.1.3" xref="p5.4.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.4.m1.1b"><apply id="p5.4.m1.1.1.cmml" xref="p5.4.m1.1.1"><gt id="p5.4.m1.1.1.1.cmml" xref="p5.4.m1.1.1.1"></gt><apply id="p5.4.m1.1.1.2.cmml" xref="p5.4.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p5.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="p5.4.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p5.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="p5.4.m1.1.1.2.2">𝑟</ci><ci id="p5.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="p5.4.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="p5.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p5.4.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.4.m1.1c">r_{i}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.4.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.5.m2.1"><semantics id="p5.5.m2.1a"><mi id="p5.5.m2.1.1" xref="p5.5.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.5.m2.1b"><ci id="p5.5.m2.1.1.cmml" xref="p5.5.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.5.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.5.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> is a rank <math alttext="n\ll S" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.6.m3.1"><semantics id="p5.6.m3.1a"><mrow id="p5.6.m3.1.1" xref="p5.6.m3.1.1.cmml"><mi id="p5.6.m3.1.1.2" xref="p5.6.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="p5.6.m3.1.1.1" xref="p5.6.m3.1.1.1.cmml">≪</mo><mi id="p5.6.m3.1.1.3" xref="p5.6.m3.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.6.m3.1b"><apply id="p5.6.m3.1.1.cmml" xref="p5.6.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="p5.6.m3.1.1.1.cmml" xref="p5.6.m3.1.1.1">much-less-than</csymbol><ci id="p5.6.m3.1.1.2.cmml" xref="p5.6.m3.1.1.2">𝑛</ci><ci id="p5.6.m3.1.1.3.cmml" xref="p5.6.m3.1.1.3">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.6.m3.1c">n\ll S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.6.m3.1d">italic_n ≪ italic_S</annotation></semantics></math> matrix with <math alttext="O(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.7.m4.1"><semantics id="p5.7.m4.1a"><mrow id="p5.7.m4.1.2" xref="p5.7.m4.1.2.cmml"><mi id="p5.7.m4.1.2.2" xref="p5.7.m4.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="p5.7.m4.1.2.1" xref="p5.7.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p5.7.m4.1.2.3.2" xref="p5.7.m4.1.2.cmml"><mo id="p5.7.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="p5.7.m4.1.2.cmml">(</mo><mn id="p5.7.m4.1.1" xref="p5.7.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="p5.7.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="p5.7.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.7.m4.1b"><apply id="p5.7.m4.1.2.cmml" xref="p5.7.m4.1.2"><times id="p5.7.m4.1.2.1.cmml" xref="p5.7.m4.1.2.1"></times><ci id="p5.7.m4.1.2.2.cmml" xref="p5.7.m4.1.2.2">𝑂</ci><cn id="p5.7.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="p5.7.m4.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.7.m4.1c">O(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.7.m4.1d">italic_O ( 1 )</annotation></semantics></math> coefficients that captures the macroscopic dynamical modes. The matrix <math alttext="J" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.8.m5.1"><semantics id="p5.8.m5.1a"><mi id="p5.8.m5.1.1" xref="p5.8.m5.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.8.m5.1b"><ci id="p5.8.m5.1.1.cmml" xref="p5.8.m5.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.8.m5.1c">J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.8.m5.1d">italic_J</annotation></semantics></math> has a bulk of negative eigenvalues stemming from the diagonal component, and a few outliers, associated with the eigenvalues of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="p5.9.m6.1"><semantics id="p5.9.m6.1a"><mi id="p5.9.m6.1.1" xref="p5.9.m6.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p5.9.m6.1b"><ci id="p5.9.m6.1.1.cmml" xref="p5.9.m6.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p5.9.m6.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p5.9.m6.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>, that determine whether the system is linearly stable.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p6"> <p class="ltx_p" id="p6.9">The question is thus: how does the spread in the row coefficients <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.1.m1.1"><semantics id="p6.1.m1.1a"><msub id="p6.1.m1.1.1" xref="p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="p6.1.m1.1.1.2" xref="p6.1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p6.1.m1.1.1.3" xref="p6.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.1.m1.1b"><apply id="p6.1.m1.1.1.cmml" xref="p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p6.1.m1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p6.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.1.m1.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.1.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.2.m2.1"><semantics id="p6.2.m2.1a"><mi id="p6.2.m2.1.1" xref="p6.2.m2.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.2.m2.1b"><ci id="p6.2.m2.1.1.cmml" xref="p6.2.m2.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.2.m2.1c">{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.2.m2.1d">italic_J</annotation></semantics></math> impact its outlier eigenvalues? To gain intuitions, let us consider the <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.3.m3.1"><semantics id="p6.3.m3.1a"><msub id="p6.3.m3.1.1" xref="p6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="p6.3.m3.1.1.2" xref="p6.3.m3.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p6.3.m3.1.1.3" xref="p6.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.3.m3.1b"><apply id="p6.3.m3.1.1.cmml" xref="p6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="p6.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="p6.3.m3.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="p6.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.3.m3.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.3.m3.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and increase their spread continuously, while following outlier eigenvalues. Starting from equal rates <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.4.m4.1"><semantics id="p6.4.m4.1a"><msub id="p6.4.m4.1.1" xref="p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="p6.4.m4.1.1.2" xref="p6.4.m4.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p6.4.m4.1.1.3" xref="p6.4.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.4.m4.1b"><apply id="p6.4.m4.1.1.cmml" xref="p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="p6.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="p6.4.m4.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="p6.4.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.4.m4.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.4.m4.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we let them follow a random walk in a coordinate <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.5.m5.1"><semantics id="p6.5.m5.1a"><mi id="p6.5.m5.1.1" xref="p6.5.m5.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.5.m5.1b"><ci id="p6.5.m5.1.1.cmml" xref="p6.5.m5.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.5.m5.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.5.m5.1d">italic_τ</annotation></semantics></math> according to <math alttext="r_{i}(\tau)\rightarrow r_{i}(\tau)+\delta r_{i}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.6.m6.3"><semantics id="p6.6.m6.3a"><mrow id="p6.6.m6.3.4" xref="p6.6.m6.3.4.cmml"><mrow id="p6.6.m6.3.4.2" xref="p6.6.m6.3.4.2.cmml"><msub id="p6.6.m6.3.4.2.2" xref="p6.6.m6.3.4.2.2.cmml"><mi id="p6.6.m6.3.4.2.2.2" xref="p6.6.m6.3.4.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="p6.6.m6.3.4.2.2.3" xref="p6.6.m6.3.4.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p6.6.m6.3.4.2.1" xref="p6.6.m6.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p6.6.m6.3.4.2.3.2" xref="p6.6.m6.3.4.2.cmml"><mo id="p6.6.m6.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="p6.6.m6.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="p6.6.m6.1.1" xref="p6.6.m6.1.1.cmml">τ</mi><mo id="p6.6.m6.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="p6.6.m6.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="p6.6.m6.3.4.1" stretchy="false" xref="p6.6.m6.3.4.1.cmml">→</mo><mrow id="p6.6.m6.3.4.3" xref="p6.6.m6.3.4.3.cmml"><mrow id="p6.6.m6.3.4.3.2" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.cmml"><msub id="p6.6.m6.3.4.3.2.2" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="p6.6.m6.3.4.3.2.2.2" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="p6.6.m6.3.4.3.2.2.3" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p6.6.m6.3.4.3.2.1" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p6.6.m6.3.4.3.2.3.2" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.cmml"><mo id="p6.6.m6.3.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="p6.6.m6.2.2" xref="p6.6.m6.2.2.cmml">τ</mi><mo id="p6.6.m6.3.4.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="p6.6.m6.3.4.3.1" xref="p6.6.m6.3.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="p6.6.m6.3.4.3.3" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.cmml"><mi id="p6.6.m6.3.4.3.3.2" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.2.cmml">δ</mi><mo id="p6.6.m6.3.4.3.3.1" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="p6.6.m6.3.4.3.3.3" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.3.cmml"><mi id="p6.6.m6.3.4.3.3.3.2" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.3.2.cmml">r</mi><mi id="p6.6.m6.3.4.3.3.3.3" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p6.6.m6.3.4.3.3.1a" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p6.6.m6.3.4.3.3.4.2" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.cmml"><mo id="p6.6.m6.3.4.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.cmml">(</mo><mi id="p6.6.m6.3.3" xref="p6.6.m6.3.3.cmml">τ</mi><mo id="p6.6.m6.3.4.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.6.m6.3b"><apply id="p6.6.m6.3.4.cmml" xref="p6.6.m6.3.4"><ci id="p6.6.m6.3.4.1.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.1">→</ci><apply id="p6.6.m6.3.4.2.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.2"><times id="p6.6.m6.3.4.2.1.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.2.1"></times><apply id="p6.6.m6.3.4.2.2.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.6.m6.3.4.2.2.1.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="p6.6.m6.3.4.2.2.2.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.2.2.2">𝑟</ci><ci id="p6.6.m6.3.4.2.2.3.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p6.6.m6.1.1.cmml" xref="p6.6.m6.1.1">𝜏</ci></apply><apply id="p6.6.m6.3.4.3.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3"><plus id="p6.6.m6.3.4.3.1.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.1"></plus><apply id="p6.6.m6.3.4.3.2.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.2"><times id="p6.6.m6.3.4.3.2.1.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.1"></times><apply id="p6.6.m6.3.4.3.2.2.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.6.m6.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="p6.6.m6.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.2.2">𝑟</ci><ci id="p6.6.m6.3.4.3.2.2.3.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p6.6.m6.2.2.cmml" xref="p6.6.m6.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="p6.6.m6.3.4.3.3.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.3"><times id="p6.6.m6.3.4.3.3.1.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.1"></times><ci id="p6.6.m6.3.4.3.3.2.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.2">𝛿</ci><apply id="p6.6.m6.3.4.3.3.3.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.6.m6.3.4.3.3.3.1.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="p6.6.m6.3.4.3.3.3.2.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.3.2">𝑟</ci><ci id="p6.6.m6.3.4.3.3.3.3.cmml" xref="p6.6.m6.3.4.3.3.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="p6.6.m6.3.3.cmml" xref="p6.6.m6.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.6.m6.3c">r_{i}(\tau)\rightarrow r_{i}(\tau)+\delta r_{i}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.6.m6.3d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) → italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) + italic_δ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\delta r_{i}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.7.m7.1"><semantics id="p6.7.m7.1a"><mrow id="p6.7.m7.1.2" xref="p6.7.m7.1.2.cmml"><mi id="p6.7.m7.1.2.2" xref="p6.7.m7.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="p6.7.m7.1.2.1" xref="p6.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="p6.7.m7.1.2.3" xref="p6.7.m7.1.2.3.cmml"><mi id="p6.7.m7.1.2.3.2" xref="p6.7.m7.1.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="p6.7.m7.1.2.3.3" xref="p6.7.m7.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p6.7.m7.1.2.1a" xref="p6.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p6.7.m7.1.2.4.2" xref="p6.7.m7.1.2.cmml"><mo id="p6.7.m7.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="p6.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="p6.7.m7.1.1" xref="p6.7.m7.1.1.cmml">τ</mi><mo id="p6.7.m7.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="p6.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.7.m7.1b"><apply id="p6.7.m7.1.2.cmml" xref="p6.7.m7.1.2"><times id="p6.7.m7.1.2.1.cmml" xref="p6.7.m7.1.2.1"></times><ci id="p6.7.m7.1.2.2.cmml" xref="p6.7.m7.1.2.2">𝛿</ci><apply id="p6.7.m7.1.2.3.cmml" xref="p6.7.m7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.7.m7.1.2.3.1.cmml" xref="p6.7.m7.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="p6.7.m7.1.2.3.2.cmml" xref="p6.7.m7.1.2.3.2">𝑟</ci><ci id="p6.7.m7.1.2.3.3.cmml" xref="p6.7.m7.1.2.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="p6.7.m7.1.1.cmml" xref="p6.7.m7.1.1">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.7.m7.1c">\delta r_{i}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.7.m7.1d">italic_δ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> is taken to be a Gaussian variable of intensity <math alttext="\delta\sigma(\tau)=\sqrt{r_{i}(\tau)\mathrm{d}\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.8.m8.2"><semantics id="p6.8.m8.2a"><mrow id="p6.8.m8.2.3" xref="p6.8.m8.2.3.cmml"><mrow id="p6.8.m8.2.3.2" xref="p6.8.m8.2.3.2.cmml"><mi id="p6.8.m8.2.3.2.2" xref="p6.8.m8.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mo id="p6.8.m8.2.3.2.1" xref="p6.8.m8.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="p6.8.m8.2.3.2.3" xref="p6.8.m8.2.3.2.3.cmml">σ</mi><mo id="p6.8.m8.2.3.2.1a" xref="p6.8.m8.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p6.8.m8.2.3.2.4.2" xref="p6.8.m8.2.3.2.cmml"><mo id="p6.8.m8.2.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="p6.8.m8.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="p6.8.m8.2.2" xref="p6.8.m8.2.2.cmml">τ</mi><mo id="p6.8.m8.2.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="p6.8.m8.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="p6.8.m8.2.3.1" xref="p6.8.m8.2.3.1.cmml">=</mo><msqrt id="p6.8.m8.1.1" xref="p6.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="p6.8.m8.1.1.1" xref="p6.8.m8.1.1.1.cmml"><msub id="p6.8.m8.1.1.1.3" xref="p6.8.m8.1.1.1.3.cmml"><mi id="p6.8.m8.1.1.1.3.2" xref="p6.8.m8.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="p6.8.m8.1.1.1.3.3" xref="p6.8.m8.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p6.8.m8.1.1.1.2" xref="p6.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="p6.8.m8.1.1.1.4.2" xref="p6.8.m8.1.1.1.cmml"><mo id="p6.8.m8.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="p6.8.m8.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="p6.8.m8.1.1.1.1" xref="p6.8.m8.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="p6.8.m8.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="p6.8.m8.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="p6.8.m8.1.1.1.2a" xref="p6.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="p6.8.m8.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="p6.8.m8.1.1.1.5.cmml">d</mi><mo id="p6.8.m8.1.1.1.2b" xref="p6.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="p6.8.m8.1.1.1.6" xref="p6.8.m8.1.1.1.6.cmml">τ</mi></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.8.m8.2b"><apply id="p6.8.m8.2.3.cmml" xref="p6.8.m8.2.3"><eq id="p6.8.m8.2.3.1.cmml" xref="p6.8.m8.2.3.1"></eq><apply id="p6.8.m8.2.3.2.cmml" xref="p6.8.m8.2.3.2"><times id="p6.8.m8.2.3.2.1.cmml" xref="p6.8.m8.2.3.2.1"></times><ci id="p6.8.m8.2.3.2.2.cmml" xref="p6.8.m8.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="p6.8.m8.2.3.2.3.cmml" xref="p6.8.m8.2.3.2.3">𝜎</ci><ci id="p6.8.m8.2.2.cmml" xref="p6.8.m8.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="p6.8.m8.1.1.cmml" xref="p6.8.m8.1.1"><root id="p6.8.m8.1.1a.cmml" xref="p6.8.m8.1.1"></root><apply id="p6.8.m8.1.1.1.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1"><times id="p6.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1.2"></times><apply id="p6.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.8.m8.1.1.1.3.1.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="p6.8.m8.1.1.1.3.2.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="p6.8.m8.1.1.1.3.3.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="p6.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1.1">𝜏</ci><ci id="p6.8.m8.1.1.1.5.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1.5">d</ci><ci id="p6.8.m8.1.1.1.6.cmml" xref="p6.8.m8.1.1.1.6">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.8.m8.2c">\delta\sigma(\tau)=\sqrt{r_{i}(\tau)\mathrm{d}\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.8.m8.2d">italic_δ italic_σ ( italic_τ ) = square-root start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) roman_d italic_τ end_ARG</annotation></semantics></math>. The factor <math alttext="\sqrt{r_{i}(\tau)}" class="ltx_Math" display="inline" id="p6.9.m9.1"><semantics id="p6.9.m9.1a"><msqrt id="p6.9.m9.1.1" xref="p6.9.m9.1.1.cmml"><mrow id="p6.9.m9.1.1.1" xref="p6.9.m9.1.1.1.cmml"><msub id="p6.9.m9.1.1.1.3" xref="p6.9.m9.1.1.1.3.cmml"><mi id="p6.9.m9.1.1.1.3.2" xref="p6.9.m9.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="p6.9.m9.1.1.1.3.3" xref="p6.9.m9.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p6.9.m9.1.1.1.2" xref="p6.9.m9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="p6.9.m9.1.1.1.4.2" xref="p6.9.m9.1.1.1.cmml"><mo id="p6.9.m9.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="p6.9.m9.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="p6.9.m9.1.1.1.1" xref="p6.9.m9.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="p6.9.m9.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="p6.9.m9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p6.9.m9.1b"><apply id="p6.9.m9.1.1.cmml" xref="p6.9.m9.1.1"><root id="p6.9.m9.1.1a.cmml" xref="p6.9.m9.1.1"></root><apply id="p6.9.m9.1.1.1.cmml" xref="p6.9.m9.1.1.1"><times id="p6.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="p6.9.m9.1.1.1.2"></times><apply id="p6.9.m9.1.1.1.3.cmml" xref="p6.9.m9.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p6.9.m9.1.1.1.3.1.cmml" xref="p6.9.m9.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="p6.9.m9.1.1.1.3.2.cmml" xref="p6.9.m9.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="p6.9.m9.1.1.1.3.3.cmml" xref="p6.9.m9.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="p6.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="p6.9.m9.1.1.1.1">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p6.9.m9.1c">\sqrt{r_{i}(\tau)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p6.9.m9.1d">square-root start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) end_ARG</annotation></semantics></math> ensures that rates do not become negative but similar results are obtained without this scaling.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p7"> <p class="ltx_p" id="p7.2">We use Woodbury’s formula (see Appendix A) to derive an implicit expression for the eigenvalues of <math alttext="{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.1.m1.1"><semantics id="p7.1.m1.1a"><mi id="p7.1.m1.1.1" xref="p7.1.m1.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.1.m1.1b"><ci id="p7.1.m1.1.1.cmml" xref="p7.1.m1.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.1.m1.1c">{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.1.m1.1d">italic_J</annotation></semantics></math>, and then differentiate it to obtain their evolution equation. Under simple conditions detailed below, we find that each outlier <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.2.m2.1"><semantics id="p7.2.m2.1a"><mi id="p7.2.m2.1.1" xref="p7.2.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.2.m2.1b"><ci id="p7.2.m2.1.1.cmml" xref="p7.2.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.2.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.2.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> changes according to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\tau}=-\lambda\left(\int\frac{\mathrm{d}r% \rho_{\tau}(r)r}{(\lambda+r)^{3}}\right)\left(\int\frac{\mathrm{d}r\rho_{\tau}% (r)r}{(\lambda+r)^{2}}\right)^{-1}" class="ltx_Math" display="block" id="S0.E5.m1.6"><semantics id="S0.E5.m1.6a"><mrow id="S0.E5.m1.6.6" xref="S0.E5.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S0.E5.m1.6.6.4" xref="S0.E5.m1.6.6.4.cmml"><mrow id="S0.E5.m1.6.6.4.2" xref="S0.E5.m1.6.6.4.2.cmml"><mi id="S0.E5.m1.6.6.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S0.E5.m1.6.6.4.2.2.cmml">d</mi><mo id="S0.E5.m1.6.6.4.2.1" xref="S0.E5.m1.6.6.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E5.m1.6.6.4.2.3" xref="S0.E5.m1.6.6.4.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S0.E5.m1.6.6.4.3" xref="S0.E5.m1.6.6.4.3.cmml"><mi id="S0.E5.m1.6.6.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S0.E5.m1.6.6.4.3.2.cmml">d</mi><mo id="S0.E5.m1.6.6.4.3.1" xref="S0.E5.m1.6.6.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E5.m1.6.6.4.3.3" xref="S0.E5.m1.6.6.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mfrac><mo id="S0.E5.m1.6.6.3" xref="S0.E5.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S0.E5.m1.6.6.2" xref="S0.E5.m1.6.6.2.cmml"><mo id="S0.E5.m1.6.6.2a" xref="S0.E5.m1.6.6.2.cmml">−</mo><mrow id="S0.E5.m1.6.6.2.2" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.cmml"><mi id="S0.E5.m1.6.6.2.2.4" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S0.E5.m1.6.6.2.2.3" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" lspace="0em" xref="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mfrac id="S0.E5.m1.2.2" xref="S0.E5.m1.2.2.cmml"><mrow id="S0.E5.m1.1.1.1" xref="S0.E5.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S0.E5.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S0.E5.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S0.E5.m1.1.1.1.2" xref="S0.E5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E5.m1.1.1.1.4" xref="S0.E5.m1.1.1.1.4.cmml">r</mi><mo id="S0.E5.m1.1.1.1.2a" xref="S0.E5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E5.m1.1.1.1.5" xref="S0.E5.m1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S0.E5.m1.1.1.1.5.2" xref="S0.E5.m1.1.1.1.5.2.cmml">ρ</mi><mi id="S0.E5.m1.1.1.1.5.3" xref="S0.E5.m1.1.1.1.5.3.cmml">τ</mi></msub><mo id="S0.E5.m1.1.1.1.2b" xref="S0.E5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E5.m1.1.1.1.6.2" xref="S0.E5.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E5.m1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S0.E5.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S0.E5.m1.1.1.1.1" xref="S0.E5.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S0.E5.m1.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="S0.E5.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S0.E5.m1.1.1.1.2c" xref="S0.E5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E5.m1.1.1.1.7" xref="S0.E5.m1.1.1.1.7.cmml">r</mi></mrow><msup id="S0.E5.m1.2.2.2" xref="S0.E5.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S0.E5.m1.2.2.2.3" xref="S0.E5.m1.2.2.2.3.cmml">3</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S0.E5.m1.6.6.2.2.3a" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mrow id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.2" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.1" lspace="0em" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mfrac id="S0.E5.m1.4.4" xref="S0.E5.m1.4.4.cmml"><mrow id="S0.E5.m1.3.3.1" xref="S0.E5.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S0.E5.m1.3.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S0.E5.m1.3.3.1.3.cmml">d</mi><mo id="S0.E5.m1.3.3.1.2" xref="S0.E5.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E5.m1.3.3.1.4" xref="S0.E5.m1.3.3.1.4.cmml">r</mi><mo id="S0.E5.m1.3.3.1.2a" xref="S0.E5.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E5.m1.3.3.1.5" xref="S0.E5.m1.3.3.1.5.cmml"><mi id="S0.E5.m1.3.3.1.5.2" xref="S0.E5.m1.3.3.1.5.2.cmml">ρ</mi><mi id="S0.E5.m1.3.3.1.5.3" xref="S0.E5.m1.3.3.1.5.3.cmml">τ</mi></msub><mo id="S0.E5.m1.3.3.1.2b" xref="S0.E5.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E5.m1.3.3.1.6.2" xref="S0.E5.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S0.E5.m1.3.3.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S0.E5.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S0.E5.m1.3.3.1.1" xref="S0.E5.m1.3.3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S0.E5.m1.3.3.1.6.2.2" stretchy="false" xref="S0.E5.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S0.E5.m1.3.3.1.2c" xref="S0.E5.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E5.m1.3.3.1.7" xref="S0.E5.m1.3.3.1.7.cmml">r</mi></mrow><msup id="S0.E5.m1.4.4.2" xref="S0.E5.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S0.E5.m1.4.4.2.3" xref="S0.E5.m1.4.4.2.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.3" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3a" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3.2" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.E5.m1.6b"><apply id="S0.E5.m1.6.6.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6"><eq id="S0.E5.m1.6.6.3.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.3"></eq><apply id="S0.E5.m1.6.6.4.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4"><divide id="S0.E5.m1.6.6.4.1.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4"></divide><apply id="S0.E5.m1.6.6.4.2.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4.2"><times id="S0.E5.m1.6.6.4.2.1.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4.2.1"></times><ci id="S0.E5.m1.6.6.4.2.2.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4.2.2">d</ci><ci id="S0.E5.m1.6.6.4.2.3.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S0.E5.m1.6.6.4.3.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4.3"><times id="S0.E5.m1.6.6.4.3.1.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4.3.1"></times><ci id="S0.E5.m1.6.6.4.3.2.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4.3.2">d</ci><ci id="S0.E5.m1.6.6.4.3.3.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.4.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S0.E5.m1.6.6.2.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2"><minus id="S0.E5.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2"></minus><apply id="S0.E5.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2"><times id="S0.E5.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.3"></times><ci id="S0.E5.m1.6.6.2.2.4.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.4">𝜆</ci><apply id="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1"><int id="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></int><apply id="S0.E5.m1.2.2.cmml" xref="S0.E5.m1.2.2"><divide id="S0.E5.m1.2.2.3.cmml" xref="S0.E5.m1.2.2"></divide><apply id="S0.E5.m1.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1"><times id="S0.E5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S0.E5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.3">d</ci><ci id="S0.E5.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.4">𝑟</ci><apply id="S0.E5.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E5.m1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S0.E5.m1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.5.2">𝜌</ci><ci id="S0.E5.m1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.5.3">𝜏</ci></apply><ci id="S0.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.1">𝑟</ci><ci id="S0.E5.m1.1.1.1.7.cmml" xref="S0.E5.m1.1.1.1.7">𝑟</ci></apply><apply id="S0.E5.m1.2.2.2.cmml" xref="S0.E5.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S0.E5.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1"><plus id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E5.m1.2.2.2.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><cn id="S0.E5.m1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S0.E5.m1.2.2.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1"><int id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.1.1.1.1"></int><apply id="S0.E5.m1.4.4.cmml" xref="S0.E5.m1.4.4"><divide id="S0.E5.m1.4.4.3.cmml" xref="S0.E5.m1.4.4"></divide><apply id="S0.E5.m1.3.3.1.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1"><times id="S0.E5.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S0.E5.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.3">d</ci><ci id="S0.E5.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.4">𝑟</ci><apply id="S0.E5.m1.3.3.1.5.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E5.m1.3.3.1.5.1.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.5">subscript</csymbol><ci id="S0.E5.m1.3.3.1.5.2.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.5.2">𝜌</ci><ci id="S0.E5.m1.3.3.1.5.3.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.5.3">𝜏</ci></apply><ci id="S0.E5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.1">𝑟</ci><ci id="S0.E5.m1.3.3.1.7.cmml" xref="S0.E5.m1.3.3.1.7">𝑟</ci></apply><apply id="S0.E5.m1.4.4.2.cmml" xref="S0.E5.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S0.E5.m1.4.4.2">superscript</csymbol><apply id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1"><plus id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E5.m1.4.4.2.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><cn id="S0.E5.m1.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S0.E5.m1.4.4.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3"><minus id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3"></minus><cn id="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S0.E5.m1.6.6.2.2.2.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.E5.m1.6c">\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\tau}=-\lambda\left(\int\frac{\mathrm{d}r% \rho_{\tau}(r)r}{(\lambda+r)^{3}}\right)\left(\int\frac{\mathrm{d}r\rho_{\tau}% (r)r}{(\lambda+r)^{2}}\right)^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.E5.m1.6d">divide start_ARG roman_d italic_λ end_ARG start_ARG roman_d italic_τ end_ARG = - italic_λ ( ∫ divide start_ARG roman_d italic_r italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_r end_ARG start_ARG ( italic_λ + italic_r ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ( ∫ divide start_ARG roman_d italic_r italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_r end_ARG start_ARG ( italic_λ + italic_r ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p7.12">where <math alttext="\rho_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.3.m1.1"><semantics id="p7.3.m1.1a"><mrow id="p7.3.m1.1.2" xref="p7.3.m1.1.2.cmml"><msub id="p7.3.m1.1.2.2" xref="p7.3.m1.1.2.2.cmml"><mi id="p7.3.m1.1.2.2.2" xref="p7.3.m1.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="p7.3.m1.1.2.2.3" xref="p7.3.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="p7.3.m1.1.2.1" xref="p7.3.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p7.3.m1.1.2.3.2" xref="p7.3.m1.1.2.cmml"><mo id="p7.3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="p7.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="p7.3.m1.1.1" xref="p7.3.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="p7.3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="p7.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.3.m1.1b"><apply id="p7.3.m1.1.2.cmml" xref="p7.3.m1.1.2"><times id="p7.3.m1.1.2.1.cmml" xref="p7.3.m1.1.2.1"></times><apply id="p7.3.m1.1.2.2.cmml" xref="p7.3.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p7.3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="p7.3.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="p7.3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="p7.3.m1.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="p7.3.m1.1.2.2.3.cmml" xref="p7.3.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="p7.3.m1.1.1.cmml" xref="p7.3.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.3.m1.1c">\rho_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.3.m1.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> is the density function of rates at <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.4.m2.1"><semantics id="p7.4.m2.1a"><mi id="p7.4.m2.1.1" xref="p7.4.m2.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.4.m2.1b"><ci id="p7.4.m2.1.1.cmml" xref="p7.4.m2.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.4.m2.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.4.m2.1d">italic_τ</annotation></semantics></math>. We distinguish two scenarios, depending on whether <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.5.m3.1"><semantics id="p7.5.m3.1a"><mi id="p7.5.m3.1.1" xref="p7.5.m3.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.5.m3.1b"><ci id="p7.5.m3.1.1.cmml" xref="p7.5.m3.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.5.m3.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.5.m3.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> is real or complex. In the first case, it is manifest that the integrals in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) are positive, and hence <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.6.m4.1"><semantics id="p7.6.m4.1a"><mi id="p7.6.m4.1.1" xref="p7.6.m4.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.6.m4.1b"><ci id="p7.6.m4.1.1.cmml" xref="p7.6.m4.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.6.m4.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.6.m4.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> relaxes to <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.7.m5.1"><semantics id="p7.7.m5.1a"><mn id="p7.7.m5.1.1" xref="p7.7.m5.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.7.m5.1b"><cn id="p7.7.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="p7.7.m5.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> while staying on the unstable side. The latter is expected: since <math alttext="\mathrm{det}~{}\mathcal{J}=\det r\times\det\left(\mathbb{I}-\mu/S\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.8.m6.1"><semantics id="p7.8.m6.1a"><mrow id="p7.8.m6.1.1" xref="p7.8.m6.1.1.cmml"><mrow id="p7.8.m6.1.1.3" xref="p7.8.m6.1.1.3.cmml"><mi id="p7.8.m6.1.1.3.2" xref="p7.8.m6.1.1.3.2.cmml">det</mi><mo id="p7.8.m6.1.1.3.1" lspace="0.330em" xref="p7.8.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="p7.8.m6.1.1.3.3" xref="p7.8.m6.1.1.3.3.cmml">𝒥</mi></mrow><mo id="p7.8.m6.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="p7.8.m6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="p7.8.m6.1.1.1" xref="p7.8.m6.1.1.1.cmml"><mo id="p7.8.m6.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="p7.8.m6.1.1.1.2.cmml">det</mo><mrow id="p7.8.m6.1.1.1.1" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="p7.8.m6.1.1.1.1.3" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="p7.8.m6.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="p7.8.m6.1.1.1.1.1" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.2" lspace="0.055em" rspace="0em" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">det</mo><mrow id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝕀</mi><mo id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></mrow><mo id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.8.m6.1b"><apply id="p7.8.m6.1.1.cmml" xref="p7.8.m6.1.1"><eq id="p7.8.m6.1.1.2.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.2"></eq><apply id="p7.8.m6.1.1.3.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.3"><times id="p7.8.m6.1.1.3.1.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.3.1"></times><ci id="p7.8.m6.1.1.3.2.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.3.2">det</ci><ci id="p7.8.m6.1.1.3.3.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.3.3">𝒥</ci></apply><apply id="p7.8.m6.1.1.1.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1"><determinant id="p7.8.m6.1.1.1.2.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.2"></determinant><apply id="p7.8.m6.1.1.1.1.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1"><times id="p7.8.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.2"></times><ci id="p7.8.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.3">𝑟</ci><apply id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1"><determinant id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.2"></determinant><apply id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝕀</ci><apply id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><ci id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="p7.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.8.m6.1c">\mathrm{det}~{}\mathcal{J}=\det r\times\det\left(\mathbb{I}-\mu/S\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.8.m6.1d">roman_det caligraphic_J = roman_det italic_r × roman_det ( blackboard_I - italic_μ / italic_S )</annotation></semantics></math>, eigenvalues can only cross through zero if for some <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.9.m7.1"><semantics id="p7.9.m7.1a"><mi id="p7.9.m7.1.1" xref="p7.9.m7.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.9.m7.1b"><ci id="p7.9.m7.1.1.cmml" xref="p7.9.m7.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.9.m7.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.9.m7.1d">italic_i</annotation></semantics></math> we have <math alttext="r_{i}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.10.m8.1"><semantics id="p7.10.m8.1a"><mrow id="p7.10.m8.1.1" xref="p7.10.m8.1.1.cmml"><msub id="p7.10.m8.1.1.2" xref="p7.10.m8.1.1.2.cmml"><mi id="p7.10.m8.1.1.2.2" xref="p7.10.m8.1.1.2.2.cmml">r</mi><mi id="p7.10.m8.1.1.2.3" xref="p7.10.m8.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p7.10.m8.1.1.1" xref="p7.10.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="p7.10.m8.1.1.3" xref="p7.10.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.10.m8.1b"><apply id="p7.10.m8.1.1.cmml" xref="p7.10.m8.1.1"><eq id="p7.10.m8.1.1.1.cmml" xref="p7.10.m8.1.1.1"></eq><apply id="p7.10.m8.1.1.2.cmml" xref="p7.10.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p7.10.m8.1.1.2.1.cmml" xref="p7.10.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p7.10.m8.1.1.2.2.cmml" xref="p7.10.m8.1.1.2.2">𝑟</ci><ci id="p7.10.m8.1.1.2.3.cmml" xref="p7.10.m8.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="p7.10.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p7.10.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.10.m8.1c">r_{i}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.10.m8.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> or if <math alttext="\mathbb{I}-\mu/S" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.11.m9.1"><semantics id="p7.11.m9.1a"><mrow id="p7.11.m9.1.1" xref="p7.11.m9.1.1.cmml"><mi id="p7.11.m9.1.1.2" xref="p7.11.m9.1.1.2.cmml">𝕀</mi><mo id="p7.11.m9.1.1.1" xref="p7.11.m9.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="p7.11.m9.1.1.3" xref="p7.11.m9.1.1.3.cmml"><mi id="p7.11.m9.1.1.3.2" xref="p7.11.m9.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="p7.11.m9.1.1.3.1" xref="p7.11.m9.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="p7.11.m9.1.1.3.3" xref="p7.11.m9.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.11.m9.1b"><apply id="p7.11.m9.1.1.cmml" xref="p7.11.m9.1.1"><minus id="p7.11.m9.1.1.1.cmml" xref="p7.11.m9.1.1.1"></minus><ci id="p7.11.m9.1.1.2.cmml" xref="p7.11.m9.1.1.2">𝕀</ci><apply id="p7.11.m9.1.1.3.cmml" xref="p7.11.m9.1.1.3"><divide id="p7.11.m9.1.1.3.1.cmml" xref="p7.11.m9.1.1.3.1"></divide><ci id="p7.11.m9.1.1.3.2.cmml" xref="p7.11.m9.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="p7.11.m9.1.1.3.3.cmml" xref="p7.11.m9.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.11.m9.1c">\mathbb{I}-\mu/S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.11.m9.1d">blackboard_I - italic_μ / italic_S</annotation></semantics></math> is itself degenerate, but not through any interplay between the two components. A more interesting picture appears when <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="p7.12.m10.1"><semantics id="p7.12.m10.1a"><mi id="p7.12.m10.1.1" xref="p7.12.m10.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p7.12.m10.1b"><ci id="p7.12.m10.1.1.cmml" xref="p7.12.m10.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p7.12.m10.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p7.12.m10.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> is taken to be a complex eigenvalue. In that case, the r.h.s in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) still has a negative real part. Yet, because the eigenvalue no longer has to vanish, it is able to cross to the left half of the complex plane and the system undergoes a Hopf bifurcation, where oscillations decrease in amplitude while retaining a finite frequency. Eigenvalues with a larger imaginary part are more easily stabilized, consistent with the intuition that faster oscillating modes should be more sensitive to the effects of time scale spread. We illustrate these results below, together with analytical and simulation results of stabilization in ecological models<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>We point in Supplementary Materials toward another argument for associating stabilization with disorder: among possible transformations of <math alttext="\vec{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m1.1"><semantics id="footnote1.m1.1b"><mover accent="true" id="footnote1.m1.1.1" xref="footnote1.m1.1.1.cmml"><mi id="footnote1.m1.1.1.2" xref="footnote1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="footnote1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="footnote1.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m1.1c"><apply id="footnote1.m1.1.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1"><ci id="footnote1.m1.1.1.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="footnote1.m1.1.1.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m1.1d">\vec{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m1.1e">over→ start_ARG italic_r end_ARG</annotation></semantics></math>, simply increasing in its variance is often close to the change that most stabilizes the macroscopic dynamics.</span></span></span>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S0.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="287" id="S0.F1.g1" src="x1.png" width="747"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F1.19.1">Combining macroscopic dynamics and microscopic disorder.</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F1.20.2">a)</span> The RPS example is a system composed of three macroscopic variables (e.g. taxonomic groups) interacting in a Rock-Paper-Scissors configuration. In the absence of disorder, species within the same group are identical, and the structural matrix <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F1.7.m1.1"><semantics id="S0.F1.7.m1.1b"><msub id="S0.F1.7.m1.1.1" xref="S0.F1.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S0.F1.7.m1.1.1.2" xref="S0.F1.7.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S0.F1.7.m1.1.1.3" xref="S0.F1.7.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.F1.7.m1.1.1.3.2" xref="S0.F1.7.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.F1.7.m1.1.1.3.1" xref="S0.F1.7.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.F1.7.m1.1.1.3.3" xref="S0.F1.7.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F1.7.m1.1c"><apply id="S0.F1.7.m1.1.1.cmml" xref="S0.F1.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S0.F1.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S0.F1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S0.F1.7.m1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S0.F1.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S0.F1.7.m1.1.1.3"><times id="S0.F1.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.F1.7.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S0.F1.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.F1.7.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.F1.7.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.F1.7.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F1.7.m1.1d">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F1.7.m1.1e">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E7" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) is a rank-3 circulant matrix. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F1.21.3">b)</span> This leads to cyclic dynamics at the group level for <math alttext="\kappa>2(u+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F1.8.m2.1"><semantics id="S0.F1.8.m2.1b"><mrow id="S0.F1.8.m2.1.1" xref="S0.F1.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S0.F1.8.m2.1.1.3" xref="S0.F1.8.m2.1.1.3.cmml">κ</mi><mo id="S0.F1.8.m2.1.1.2" xref="S0.F1.8.m2.1.1.2.cmml">></mo><mrow id="S0.F1.8.m2.1.1.1" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.cmml"><mn id="S0.F1.8.m2.1.1.1.3" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S0.F1.8.m2.1.1.1.2" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F1.8.m2.1c"><apply id="S0.F1.8.m2.1.1.cmml" xref="S0.F1.8.m2.1.1"><gt id="S0.F1.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S0.F1.8.m2.1.1.2"></gt><ci id="S0.F1.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S0.F1.8.m2.1.1.3">𝜅</ci><apply id="S0.F1.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1"><times id="S0.F1.8.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.2"></times><cn id="S0.F1.8.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.3">2</cn><apply id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F1.8.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F1.8.m2.1d">\kappa>2(u+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F1.8.m2.1e">italic_κ > 2 ( italic_u + 1 )</annotation></semantics></math>. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F1.22.4">c)</span> The 4-group example is made of four groups and <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F1.9.m3.1"><semantics id="S0.F1.9.m3.1b"><mi id="S0.F1.9.m3.1.1" xref="S0.F1.9.m3.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F1.9.m3.1c"><ci id="S0.F1.9.m3.1.1.cmml" xref="S0.F1.9.m3.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F1.9.m3.1d">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F1.9.m3.1e">italic_μ</annotation></semantics></math> is a rank-4 matrix (details in Appendix B) such that <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F1.23.5">d)</span> the dynamics are chaotic at the group level. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F1.24.6">e)</span> Within-group variability is modelled by adding to <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F1.10.m4.1"><semantics id="S0.F1.10.m4.1b"><msub id="S0.F1.10.m4.1.1" xref="S0.F1.10.m4.1.1.cmml"><mi id="S0.F1.10.m4.1.1.2" xref="S0.F1.10.m4.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S0.F1.10.m4.1.1.3" xref="S0.F1.10.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S0.F1.10.m4.1.1.3.2" xref="S0.F1.10.m4.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.F1.10.m4.1.1.3.1" xref="S0.F1.10.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.F1.10.m4.1.1.3.3" xref="S0.F1.10.m4.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F1.10.m4.1c"><apply id="S0.F1.10.m4.1.1.cmml" xref="S0.F1.10.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F1.10.m4.1.1.1.cmml" xref="S0.F1.10.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S0.F1.10.m4.1.1.2.cmml" xref="S0.F1.10.m4.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S0.F1.10.m4.1.1.3.cmml" xref="S0.F1.10.m4.1.1.3"><times id="S0.F1.10.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S0.F1.10.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S0.F1.10.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S0.F1.10.m4.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.F1.10.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S0.F1.10.m4.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F1.10.m4.1d">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F1.10.m4.1e">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> a random matrix <math alttext="\xi_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F1.11.m5.1"><semantics id="S0.F1.11.m5.1b"><msub id="S0.F1.11.m5.1.1" xref="S0.F1.11.m5.1.1.cmml"><mi id="S0.F1.11.m5.1.1.2" xref="S0.F1.11.m5.1.1.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S0.F1.11.m5.1.1.3" xref="S0.F1.11.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S0.F1.11.m5.1.1.3.2" xref="S0.F1.11.m5.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.F1.11.m5.1.1.3.1" xref="S0.F1.11.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.F1.11.m5.1.1.3.3" xref="S0.F1.11.m5.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F1.11.m5.1c"><apply id="S0.F1.11.m5.1.1.cmml" xref="S0.F1.11.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F1.11.m5.1.1.1.cmml" xref="S0.F1.11.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S0.F1.11.m5.1.1.2.cmml" xref="S0.F1.11.m5.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S0.F1.11.m5.1.1.3.cmml" xref="S0.F1.11.m5.1.1.3"><times id="S0.F1.11.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S0.F1.11.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S0.F1.11.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S0.F1.11.m5.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.F1.11.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S0.F1.11.m5.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F1.11.m5.1d">\xi_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F1.11.m5.1e">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with null mean and variance <math alttext="\sigma^{2}/S" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F1.12.m6.1"><semantics id="S0.F1.12.m6.1b"><mrow id="S0.F1.12.m6.1.1" xref="S0.F1.12.m6.1.1.cmml"><msup id="S0.F1.12.m6.1.1.2" xref="S0.F1.12.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S0.F1.12.m6.1.1.2.2" xref="S0.F1.12.m6.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S0.F1.12.m6.1.1.2.3" xref="S0.F1.12.m6.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S0.F1.12.m6.1.1.1" xref="S0.F1.12.m6.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S0.F1.12.m6.1.1.3" xref="S0.F1.12.m6.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F1.12.m6.1c"><apply id="S0.F1.12.m6.1.1.cmml" xref="S0.F1.12.m6.1.1"><divide id="S0.F1.12.m6.1.1.1.cmml" xref="S0.F1.12.m6.1.1.1"></divide><apply id="S0.F1.12.m6.1.1.2.cmml" xref="S0.F1.12.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F1.12.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S0.F1.12.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S0.F1.12.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S0.F1.12.m6.1.1.2.2">𝜎</ci><cn id="S0.F1.12.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S0.F1.12.m6.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S0.F1.12.m6.1.1.3.cmml" xref="S0.F1.12.m6.1.1.3">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F1.12.m6.1d">\sigma^{2}/S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F1.12.m6.1e">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / italic_S</annotation></semantics></math>.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="p8"> <p class="ltx_p" id="p8.12"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="p8.12.1">Ecological model with disordered interactions:</span> We now consider nonlinear ecological dynamics of the form proposed in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E2" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), and show that a spread in the time scales of individual species arises as a consequence of introducing disorder in species interactions. For simplicity, given our focus on fixed point stability, we can neglect higher nonlinearities in interactions and reduce eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E2" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) to the generalized Lotka-Volterra (LV) model, where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g_{i}(\vec{x})=1-x_{i}+\sum_{j\neq i}^{S}A_{ij}x_{j}." class="ltx_Math" display="block" id="S0.E6.m1.2"><semantics id="S0.E6.m1.2a"><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S0.E6.m1.1.1.cmml"><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S0.E6.m1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S0.E6.m1.1.1" xref="S0.E6.m1.1.1.cmml"><mi id="S0.E6.m1.1.1.2" xref="S0.E6.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S0.E6.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S0.E6.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S0.E6.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><msub id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.1" rspace="0.055em" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">≠</mo><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.3.cmml">S</mi></munderover><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S0.E6.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.E6.m1.2b"><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1"><eq id="S0.E6.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2"><times id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E6.m1.1.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2"><ci id="S0.E6.m1.1.1.1.cmml" xref="S0.E6.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S0.E6.m1.1.1.2.cmml" xref="S0.E6.m1.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3"><plus id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.1"></plus><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2"><minus id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3"><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3"><neq id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.1"></neq><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.1.3">𝑆</ci></apply><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2"><times id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2">𝐴</ci><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3"><times id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S0.E6.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.E6.m1.2c">g_{i}(\vec{x})=1-x_{i}+\sum_{j\neq i}^{S}A_{ij}x_{j}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.E6.m1.2d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over→ start_ARG italic_x end_ARG ) = 1 - italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ≠ italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p8.2">Furthermore, let us assume that the macroscopic variables can be obtained as linear combinations of species abundances, <math alttext="f_{\alpha}=\sum_{i}v_{i}^{\alpha}x_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.1.m1.1"><semantics id="p8.1.m1.1a"><mrow id="p8.1.m1.1.1" xref="p8.1.m1.1.1.cmml"><msub id="p8.1.m1.1.1.2" xref="p8.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="p8.1.m1.1.1.2.2" xref="p8.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="p8.1.m1.1.1.2.3" xref="p8.1.m1.1.1.2.3.cmml">α</mi></msub><mo id="p8.1.m1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="p8.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="p8.1.m1.1.1.3" xref="p8.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="p8.1.m1.1.1.3.1" xref="p8.1.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="p8.1.m1.1.1.3.1.2" xref="p8.1.m1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="p8.1.m1.1.1.3.1.3" xref="p8.1.m1.1.1.3.1.3.cmml">i</mi></msub><mrow id="p8.1.m1.1.1.3.2" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="p8.1.m1.1.1.3.2.2" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="p8.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="p8.1.m1.1.1.3.2.3" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="p8.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="p8.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.1.m1.1b"><apply id="p8.1.m1.1.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1"><eq id="p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p8.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="p8.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3"><apply id="p8.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="p8.1.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.1.2"></sum><ci id="p8.1.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="p8.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2"><times id="p8.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p8.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="p8.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="p8.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="p8.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="p8.1.m1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.1.m1.1c">f_{\alpha}=\sum_{i}v_{i}^{\alpha}x_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. By analogy with eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E4" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>), we then decompose the interaction matrix <math alttext="A_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.2.m2.1"><semantics id="p8.2.m2.1a"><msub id="p8.2.m2.1.1" xref="p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="p8.2.m2.1.1.2" xref="p8.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mrow id="p8.2.m2.1.1.3" xref="p8.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="p8.2.m2.1.1.3.2" xref="p8.2.m2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="p8.2.m2.1.1.3.1" xref="p8.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p8.2.m2.1.1.3.3" xref="p8.2.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.2.m2.1b"><apply id="p8.2.m2.1.1.cmml" xref="p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p8.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="p8.2.m2.1.1.3"><times id="p8.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="p8.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="p8.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="p8.2.m2.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="p8.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="p8.2.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.2.m2.1c">A_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.2.m2.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> into two parts,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A_{ij}=\dfrac{1}{S}\mu_{ij}+\dfrac{\sigma}{\sqrt{S}}\xi_{ij}~{}~{}\mathrm{with% }~{}~{}\mu_{ij}=\sum_{\alpha}u_{i}^{\alpha}v_{j}^{\alpha}." class="ltx_Math" display="block" id="S0.E7.m1.1"><semantics id="S0.E7.m1.1a"><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">S</mi></mfrac><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mfrac id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">σ</mi><msqrt id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.cmml">S</mi></msqrt></mfrac><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.1a" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.4" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.4.cmml">with</mi><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.1b" lspace="0.660em" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.2.cmml">μ</mi><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.cmml"><munder id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.cmml"><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.2" movablelimits="false" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.3.cmml">α</mi></munder><mrow id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><msubsup id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.1" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.3.cmml">j</mi><mi id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S0.E7.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.E7.m1.1b"><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1"><and id="S0.E7.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1"></and><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1"><eq id="S0.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4"><plus id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.1"></plus><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2"><times id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2"><divide id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2"></divide><cn id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.2">1</cn><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝜇</ci><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3"><times id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.1"></times><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2"><divide id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2"></divide><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" 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xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5">subscript</csymbol><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.2">𝜇</ci><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3"><times id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.1"></times><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.4.3.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1"><eq id="S0.E7.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E7.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S0.E7.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1"></share><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6"><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1">subscript</csymbol><sum id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.2"></sum><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.1.3">𝛼</ci></apply><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2"><times id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.1"></times><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2">superscript</csymbol><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3">superscript</csymbol><apply id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.1.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2">𝑣</ci><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S0.E7.m1.1.1.1.1.6.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.E7.m1.1c">A_{ij}=\dfrac{1}{S}\mu_{ij}+\dfrac{\sigma}{\sqrt{S}}\xi_{ij}~{}~{}\mathrm{with% }~{}~{}\mu_{ij}=\sum_{\alpha}u_{i}^{\alpha}v_{j}^{\alpha}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.E7.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_S end_ARG italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_σ end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_S end_ARG end_ARG italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT roman_with italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p8.11">The <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="p8.11.1">structured</span> component <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.3.m1.1"><semantics id="p8.3.m1.1a"><msub id="p8.3.m1.1.1" xref="p8.3.m1.1.1.cmml"><mi id="p8.3.m1.1.1.2" xref="p8.3.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="p8.3.m1.1.1.3" xref="p8.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="p8.3.m1.1.1.3.2" xref="p8.3.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="p8.3.m1.1.1.3.1" xref="p8.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p8.3.m1.1.1.3.3" xref="p8.3.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.3.m1.1b"><apply id="p8.3.m1.1.1.cmml" xref="p8.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.3.m1.1.1.1.cmml" xref="p8.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="p8.3.m1.1.1.2.cmml" xref="p8.3.m1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="p8.3.m1.1.1.3.cmml" xref="p8.3.m1.1.1.3"><times id="p8.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="p8.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="p8.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="p8.3.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="p8.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="p8.3.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.3.m1.1c">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.3.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> captures the dependence of <math alttext="g_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.4.m2.1"><semantics id="p8.4.m2.1a"><msub id="p8.4.m2.1.1" xref="p8.4.m2.1.1.cmml"><mi id="p8.4.m2.1.1.2" xref="p8.4.m2.1.1.2.cmml">g</mi><mi id="p8.4.m2.1.1.3" xref="p8.4.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.4.m2.1b"><apply id="p8.4.m2.1.1.cmml" xref="p8.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.4.m2.1.1.1.cmml" xref="p8.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="p8.4.m2.1.1.2.cmml" xref="p8.4.m2.1.1.2">𝑔</ci><ci id="p8.4.m2.1.1.3.cmml" xref="p8.4.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.4.m2.1c">g_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.4.m2.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on the macroscopic variables, which is assumed to be linear: <math alttext="\sum_{\alpha}u_{i}^{\alpha}f_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.5.m3.1"><semantics id="p8.5.m3.1a"><mrow id="p8.5.m3.1.1" xref="p8.5.m3.1.1.cmml"><msub id="p8.5.m3.1.1.1" xref="p8.5.m3.1.1.1.cmml"><mo id="p8.5.m3.1.1.1.2" xref="p8.5.m3.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mi id="p8.5.m3.1.1.1.3" xref="p8.5.m3.1.1.1.3.cmml">α</mi></msub><mrow id="p8.5.m3.1.1.2" xref="p8.5.m3.1.1.2.cmml"><msubsup id="p8.5.m3.1.1.2.2" xref="p8.5.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="p8.5.m3.1.1.2.2.2.2" xref="p8.5.m3.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="p8.5.m3.1.1.2.2.2.3" xref="p8.5.m3.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="p8.5.m3.1.1.2.2.3" xref="p8.5.m3.1.1.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="p8.5.m3.1.1.2.1" xref="p8.5.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="p8.5.m3.1.1.2.3" xref="p8.5.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="p8.5.m3.1.1.2.3.2" xref="p8.5.m3.1.1.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="p8.5.m3.1.1.2.3.3" xref="p8.5.m3.1.1.2.3.3.cmml">α</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.5.m3.1b"><apply id="p8.5.m3.1.1.cmml" xref="p8.5.m3.1.1"><apply id="p8.5.m3.1.1.1.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.5.m3.1.1.1.1.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="p8.5.m3.1.1.1.2.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.1.2"></sum><ci id="p8.5.m3.1.1.1.3.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><apply id="p8.5.m3.1.1.2.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2"><times id="p8.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.1"></times><apply id="p8.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.5.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="p8.5.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.5.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="p8.5.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="p8.5.m3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p8.5.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="p8.5.m3.1.1.2.3.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.5.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="p8.5.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.3.2">𝑓</ci><ci id="p8.5.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="p8.5.m3.1.1.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.5.m3.1c">\sum_{\alpha}u_{i}^{\alpha}f_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.5.m3.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="p8.11.2">disordered</span> component <math alttext="\xi_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.6.m4.1"><semantics id="p8.6.m4.1a"><msub id="p8.6.m4.1.1" xref="p8.6.m4.1.1.cmml"><mi id="p8.6.m4.1.1.2" xref="p8.6.m4.1.1.2.cmml">ξ</mi><mrow id="p8.6.m4.1.1.3" xref="p8.6.m4.1.1.3.cmml"><mi id="p8.6.m4.1.1.3.2" xref="p8.6.m4.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="p8.6.m4.1.1.3.1" xref="p8.6.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p8.6.m4.1.1.3.3" xref="p8.6.m4.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.6.m4.1b"><apply id="p8.6.m4.1.1.cmml" xref="p8.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.6.m4.1.1.1.cmml" xref="p8.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="p8.6.m4.1.1.2.cmml" xref="p8.6.m4.1.1.2">𝜉</ci><apply id="p8.6.m4.1.1.3.cmml" xref="p8.6.m4.1.1.3"><times id="p8.6.m4.1.1.3.1.cmml" xref="p8.6.m4.1.1.3.1"></times><ci id="p8.6.m4.1.1.3.2.cmml" xref="p8.6.m4.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="p8.6.m4.1.1.3.3.cmml" xref="p8.6.m4.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.6.m4.1c">\xi_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.6.m4.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is made of independent random numbers with <math alttext="\left\langle\xi\right\rangle=0" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.7.m5.1"><semantics id="p8.7.m5.1a"><mrow id="p8.7.m5.1.2" xref="p8.7.m5.1.2.cmml"><mrow id="p8.7.m5.1.2.2.2" xref="p8.7.m5.1.2.2.1.cmml"><mo id="p8.7.m5.1.2.2.2.1" xref="p8.7.m5.1.2.2.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="p8.7.m5.1.1" xref="p8.7.m5.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="p8.7.m5.1.2.2.2.2" xref="p8.7.m5.1.2.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="p8.7.m5.1.2.1" xref="p8.7.m5.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="p8.7.m5.1.2.3" xref="p8.7.m5.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.7.m5.1b"><apply id="p8.7.m5.1.2.cmml" xref="p8.7.m5.1.2"><eq id="p8.7.m5.1.2.1.cmml" xref="p8.7.m5.1.2.1"></eq><apply id="p8.7.m5.1.2.2.1.cmml" xref="p8.7.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="p8.7.m5.1.2.2.1.1.cmml" xref="p8.7.m5.1.2.2.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><ci id="p8.7.m5.1.1.cmml" xref="p8.7.m5.1.1">𝜉</ci></apply><cn id="p8.7.m5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="p8.7.m5.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.7.m5.1c">\left\langle\xi\right\rangle=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.7.m5.1d">⟨ italic_ξ ⟩ = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\left\langle\xi^{2}\right\rangle=1" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.8.m6.1"><semantics id="p8.8.m6.1a"><mrow id="p8.8.m6.1.1" xref="p8.8.m6.1.1.cmml"><mrow id="p8.8.m6.1.1.1.1" xref="p8.8.m6.1.1.1.2.cmml"><mo id="p8.8.m6.1.1.1.1.2" xref="p8.8.m6.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="p8.8.m6.1.1.1.1.1" xref="p8.8.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="p8.8.m6.1.1.1.1.1.2" xref="p8.8.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="p8.8.m6.1.1.1.1.1.3" xref="p8.8.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="p8.8.m6.1.1.1.1.3" xref="p8.8.m6.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="p8.8.m6.1.1.2" xref="p8.8.m6.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="p8.8.m6.1.1.3" xref="p8.8.m6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.8.m6.1b"><apply id="p8.8.m6.1.1.cmml" xref="p8.8.m6.1.1"><eq id="p8.8.m6.1.1.2.cmml" xref="p8.8.m6.1.1.2"></eq><apply id="p8.8.m6.1.1.1.2.cmml" xref="p8.8.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="p8.8.m6.1.1.1.2.1.cmml" xref="p8.8.m6.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="p8.8.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="p8.8.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.8.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p8.8.m6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="p8.8.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="p8.8.m6.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><cn id="p8.8.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p8.8.m6.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><cn id="p8.8.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p8.8.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.8.m6.1c">\left\langle\xi^{2}\right\rangle=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.8.m6.1d">⟨ italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = 1</annotation></semantics></math> (see Supplementary Materials for a generalization) that represent fine-grained complexity. The scaling in species number <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.9.m7.1"><semantics id="p8.9.m7.1a"><mi id="p8.9.m7.1.1" xref="p8.9.m7.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.9.m7.1b"><ci id="p8.9.m7.1.1.cmml" xref="p8.9.m7.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.9.m7.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.9.m7.1d">italic_S</annotation></semantics></math> is chosen so that the mean and variance of the sum in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E6" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) are <math alttext="O(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.10.m8.1"><semantics id="p8.10.m8.1a"><mrow id="p8.10.m8.1.2" xref="p8.10.m8.1.2.cmml"><mi id="p8.10.m8.1.2.2" xref="p8.10.m8.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="p8.10.m8.1.2.1" xref="p8.10.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="p8.10.m8.1.2.3.2" xref="p8.10.m8.1.2.cmml"><mo id="p8.10.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="p8.10.m8.1.2.cmml">(</mo><mn id="p8.10.m8.1.1" xref="p8.10.m8.1.1.cmml">1</mn><mo id="p8.10.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="p8.10.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.10.m8.1b"><apply id="p8.10.m8.1.2.cmml" xref="p8.10.m8.1.2"><times id="p8.10.m8.1.2.1.cmml" xref="p8.10.m8.1.2.1"></times><ci id="p8.10.m8.1.2.2.cmml" xref="p8.10.m8.1.2.2">𝑂</ci><cn id="p8.10.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="p8.10.m8.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.10.m8.1c">O(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.10.m8.1d">italic_O ( 1 )</annotation></semantics></math>, i.e. the total inter-species and intra-species terms are of the same order<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span>This is a caveat in applying our model, as each pairwise interaction between populations must be weak compared to interactions within a population. This makes them possibly more representative of species within a large group than of strains within a species. Yet the latter case could perhaps be tackled with the related replicator formalism <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>.</span></span></span> The well-studied Random Lotka-Volterra model is recovered when <math alttext="\mu_{ij}=\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="p8.11.m9.1"><semantics id="p8.11.m9.1a"><mrow id="p8.11.m9.1.1" xref="p8.11.m9.1.1.cmml"><msub id="p8.11.m9.1.1.2" xref="p8.11.m9.1.1.2.cmml"><mi id="p8.11.m9.1.1.2.2" xref="p8.11.m9.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="p8.11.m9.1.1.2.3" xref="p8.11.m9.1.1.2.3.cmml"><mi id="p8.11.m9.1.1.2.3.2" xref="p8.11.m9.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="p8.11.m9.1.1.2.3.1" xref="p8.11.m9.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p8.11.m9.1.1.2.3.3" xref="p8.11.m9.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="p8.11.m9.1.1.1" xref="p8.11.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="p8.11.m9.1.1.3" xref="p8.11.m9.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p8.11.m9.1b"><apply id="p8.11.m9.1.1.cmml" xref="p8.11.m9.1.1"><eq id="p8.11.m9.1.1.1.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.1"></eq><apply id="p8.11.m9.1.1.2.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p8.11.m9.1.1.2.1.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p8.11.m9.1.1.2.2.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.2.2">𝜇</ci><apply id="p8.11.m9.1.1.2.3.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.2.3"><times id="p8.11.m9.1.1.2.3.1.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.2.3.1"></times><ci id="p8.11.m9.1.1.2.3.2.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="p8.11.m9.1.1.2.3.3.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="p8.11.m9.1.1.3.cmml" xref="p8.11.m9.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p8.11.m9.1c">\mu_{ij}=\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p8.11.m9.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_μ</annotation></semantics></math>, i.e. an identical coupling of all the species to the mean abundance of the system. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S0.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="458" id="S0.F2.g1" src="x2.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F2.26.1">Stabilization of macroscopic dynamics when adding disorder.</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F2.27.2">a)</span> The phase diagram for the 3-group RPS system comprises three main regions: unique fixed point (green), low-dimensional macroscopic oscillations (red) and high-dimensional microscopic chaos (blue), as well as a divergent region (yellow) where the LV model is meaningless <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>. Solid lines denote analytically predicted transitions from and to equilibrium, while dotted lines denote extrapolations in nonequilibrium regimes. In the area between <math alttext="\kappa=3" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.10.m1.1"><semantics id="S0.F2.10.m1.1b"><mrow id="S0.F2.10.m1.1.1" xref="S0.F2.10.m1.1.1.cmml"><mi id="S0.F2.10.m1.1.1.2" xref="S0.F2.10.m1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S0.F2.10.m1.1.1.1" xref="S0.F2.10.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F2.10.m1.1.1.3" xref="S0.F2.10.m1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.10.m1.1c"><apply id="S0.F2.10.m1.1.1.cmml" xref="S0.F2.10.m1.1.1"><eq id="S0.F2.10.m1.1.1.1.cmml" xref="S0.F2.10.m1.1.1.1"></eq><ci id="S0.F2.10.m1.1.1.2.cmml" xref="S0.F2.10.m1.1.1.2">𝜅</ci><cn id="S0.F2.10.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F2.10.m1.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.10.m1.1d">\kappa=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.10.m1.1e">italic_κ = 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="\kappa\approx 7" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.11.m2.1"><semantics id="S0.F2.11.m2.1b"><mrow id="S0.F2.11.m2.1.1" xref="S0.F2.11.m2.1.1.cmml"><mi id="S0.F2.11.m2.1.1.2" xref="S0.F2.11.m2.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S0.F2.11.m2.1.1.1" xref="S0.F2.11.m2.1.1.1.cmml">≈</mo><mn id="S0.F2.11.m2.1.1.3" xref="S0.F2.11.m2.1.1.3.cmml">7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.11.m2.1c"><apply id="S0.F2.11.m2.1.1.cmml" xref="S0.F2.11.m2.1.1"><approx id="S0.F2.11.m2.1.1.1.cmml" xref="S0.F2.11.m2.1.1.1"></approx><ci id="S0.F2.11.m2.1.1.2.cmml" xref="S0.F2.11.m2.1.1.2">𝜅</ci><cn id="S0.F2.11.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F2.11.m2.1.1.3">7</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.11.m2.1d">\kappa\approx 7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.11.m2.1e">italic_κ ≈ 7</annotation></semantics></math>, disorder first stabilizes the macroscopic modes to a fixed point. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F2.28.3">b)</span> and <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F2.29.4">c)</span> Two examples of dynamics for the 3-group system along the <math alttext="\kappa=4" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.12.m3.1"><semantics id="S0.F2.12.m3.1b"><mrow id="S0.F2.12.m3.1.1" xref="S0.F2.12.m3.1.1.cmml"><mi id="S0.F2.12.m3.1.1.2" xref="S0.F2.12.m3.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S0.F2.12.m3.1.1.1" xref="S0.F2.12.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F2.12.m3.1.1.3" xref="S0.F2.12.m3.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.12.m3.1c"><apply id="S0.F2.12.m3.1.1.cmml" xref="S0.F2.12.m3.1.1"><eq id="S0.F2.12.m3.1.1.1.cmml" xref="S0.F2.12.m3.1.1.1"></eq><ci id="S0.F2.12.m3.1.1.2.cmml" xref="S0.F2.12.m3.1.1.2">𝜅</ci><cn id="S0.F2.12.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F2.12.m3.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.12.m3.1d">\kappa=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.12.m3.1e">italic_κ = 4</annotation></semantics></math> line, at <math alttext="\sigma=0.3" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.13.m4.1"><semantics id="S0.F2.13.m4.1b"><mrow id="S0.F2.13.m4.1.1" xref="S0.F2.13.m4.1.1.cmml"><mi id="S0.F2.13.m4.1.1.2" xref="S0.F2.13.m4.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S0.F2.13.m4.1.1.1" xref="S0.F2.13.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F2.13.m4.1.1.3" xref="S0.F2.13.m4.1.1.3.cmml">0.3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.13.m4.1c"><apply id="S0.F2.13.m4.1.1.cmml" xref="S0.F2.13.m4.1.1"><eq id="S0.F2.13.m4.1.1.1.cmml" xref="S0.F2.13.m4.1.1.1"></eq><ci id="S0.F2.13.m4.1.1.2.cmml" xref="S0.F2.13.m4.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S0.F2.13.m4.1.1.3.cmml" type="float" xref="S0.F2.13.m4.1.1.3">0.3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.13.m4.1d">\sigma=0.3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.13.m4.1e">italic_σ = 0.3</annotation></semantics></math> and <math alttext="\sigma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.14.m5.1"><semantics id="S0.F2.14.m5.1b"><mrow id="S0.F2.14.m5.1.1" xref="S0.F2.14.m5.1.1.cmml"><mi id="S0.F2.14.m5.1.1.2" xref="S0.F2.14.m5.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S0.F2.14.m5.1.1.1" xref="S0.F2.14.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F2.14.m5.1.1.3" xref="S0.F2.14.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.14.m5.1c"><apply id="S0.F2.14.m5.1.1.cmml" xref="S0.F2.14.m5.1.1"><eq id="S0.F2.14.m5.1.1.1.cmml" xref="S0.F2.14.m5.1.1.1"></eq><ci id="S0.F2.14.m5.1.1.2.cmml" xref="S0.F2.14.m5.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S0.F2.14.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F2.14.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.14.m5.1d">\sigma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.14.m5.1e">italic_σ = 1</annotation></semantics></math>. The macroscopic dynamics (average abundance per group) are plotted as thick lines. A subset of species trajectories is shown as thin lines. While species within each group initially follow the same trend, disorder progressively leads to a mismatch in their trajectories and finally stabilization. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F2.30.5">d)</span> Bifurcation diagram for the 4-group system showing the local maxima of the abundance of the first group as a function of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.15.m6.1"><semantics id="S0.F2.15.m6.1b"><mi id="S0.F2.15.m6.1.1" xref="S0.F2.15.m6.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.15.m6.1c"><ci id="S0.F2.15.m6.1.1.cmml" xref="S0.F2.15.m6.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.15.m6.1d">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.15.m6.1e">italic_σ</annotation></semantics></math>. Starting from low-dimensional chaotic dynamics at <math alttext="\sigma=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.16.m7.1"><semantics id="S0.F2.16.m7.1b"><mrow id="S0.F2.16.m7.1.1" xref="S0.F2.16.m7.1.1.cmml"><mi id="S0.F2.16.m7.1.1.2" xref="S0.F2.16.m7.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S0.F2.16.m7.1.1.1" xref="S0.F2.16.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F2.16.m7.1.1.3" xref="S0.F2.16.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.16.m7.1c"><apply id="S0.F2.16.m7.1.1.cmml" xref="S0.F2.16.m7.1.1"><eq id="S0.F2.16.m7.1.1.1.cmml" xref="S0.F2.16.m7.1.1.1"></eq><ci id="S0.F2.16.m7.1.1.2.cmml" xref="S0.F2.16.m7.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S0.F2.16.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F2.16.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.16.m7.1d">\sigma=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.16.m7.1e">italic_σ = 0</annotation></semantics></math>, the system undergoes a series of period-halving bifurcations leading to simpler oscillations, until a Hopf bifurcation to a fixed point. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F2.31.6">e)</span> and <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F2.32.7">f)</span> Examples of dynamics for the 4-group system at <math alttext="\sigma=0.04" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.17.m8.1"><semantics id="S0.F2.17.m8.1b"><mrow id="S0.F2.17.m8.1.1" xref="S0.F2.17.m8.1.1.cmml"><mi id="S0.F2.17.m8.1.1.2" xref="S0.F2.17.m8.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S0.F2.17.m8.1.1.1" xref="S0.F2.17.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F2.17.m8.1.1.3" xref="S0.F2.17.m8.1.1.3.cmml">0.04</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.17.m8.1c"><apply id="S0.F2.17.m8.1.1.cmml" xref="S0.F2.17.m8.1.1"><eq id="S0.F2.17.m8.1.1.1.cmml" xref="S0.F2.17.m8.1.1.1"></eq><ci id="S0.F2.17.m8.1.1.2.cmml" xref="S0.F2.17.m8.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S0.F2.17.m8.1.1.3.cmml" type="float" xref="S0.F2.17.m8.1.1.3">0.04</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.17.m8.1d">\sigma=0.04</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.17.m8.1e">italic_σ = 0.04</annotation></semantics></math> and <math alttext="\sigma=0.2" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F2.18.m9.1"><semantics id="S0.F2.18.m9.1b"><mrow id="S0.F2.18.m9.1.1" xref="S0.F2.18.m9.1.1.cmml"><mi id="S0.F2.18.m9.1.1.2" xref="S0.F2.18.m9.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S0.F2.18.m9.1.1.1" xref="S0.F2.18.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F2.18.m9.1.1.3" xref="S0.F2.18.m9.1.1.3.cmml">0.2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F2.18.m9.1c"><apply id="S0.F2.18.m9.1.1.cmml" xref="S0.F2.18.m9.1.1"><eq id="S0.F2.18.m9.1.1.1.cmml" xref="S0.F2.18.m9.1.1.1"></eq><ci id="S0.F2.18.m9.1.1.2.cmml" xref="S0.F2.18.m9.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S0.F2.18.m9.1.1.3.cmml" type="float" xref="S0.F2.18.m9.1.1.3">0.2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F2.18.m9.1d">\sigma=0.2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F2.18.m9.1e">italic_σ = 0.2</annotation></semantics></math>, with chaotic and cyclic dynamics respectively.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="p9"> <p class="ltx_p" id="p9.3">We consider interaction structures <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="p9.1.m1.1"><semantics id="p9.1.m1.1a"><msub id="p9.1.m1.1.1" xref="p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="p9.1.m1.1.1.2" xref="p9.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="p9.1.m1.1.1.3" xref="p9.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="p9.1.m1.1.1.3.2" xref="p9.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="p9.1.m1.1.1.3.1" xref="p9.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p9.1.m1.1.1.3.3" xref="p9.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p9.1.m1.1b"><apply id="p9.1.m1.1.1.cmml" xref="p9.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p9.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p9.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p9.1.m1.1.1.3"><times id="p9.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="p9.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="p9.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="p9.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="p9.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="p9.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p9.1.m1.1c">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p9.1.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> that induce nonequilibrium dynamics for the macroscopic variables. Two examples will be used for illustration purposes, both with a block structure (i.e. the macroscopic observables are the total abundances of groups of equivalent species): a simple Rock-Paper-Scissors (RPS) matrix with within-group coefficient <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="p9.2.m2.1"><semantics id="p9.2.m2.1a"><mi id="p9.2.m2.1.1" xref="p9.2.m2.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p9.2.m2.1b"><ci id="p9.2.m2.1.1.cmml" xref="p9.2.m2.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p9.2.m2.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p9.2.m2.1d">italic_u</annotation></semantics></math> and between-group coefficient <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="p9.3.m3.1"><semantics id="p9.3.m3.1a"><mi id="p9.3.m3.1.1" xref="p9.3.m3.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p9.3.m3.1b"><ci id="p9.3.m3.1.1.cmml" xref="p9.3.m3.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p9.3.m3.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p9.3.m3.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F1" title="Figure 1 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>a), leading to cyclic behavior (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F1" title="Figure 1 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>b), and a 4-group matrix <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> (coefficients in Appendix B) that produces a low-dimensional chaotic trajectory (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F1" title="Figure 1 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>c,d).</p> </div> <div class="ltx_para" id="p10"> <p class="ltx_p" id="p10.6">We first show numerically in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> that the addition of microscopic disorder can stabilize these low-dimensional macroscopic dynamics. In the RPS example, in the absence of disorder <math alttext="\sigma=0" class="ltx_Math" display="inline" id="p10.1.m1.1"><semantics id="p10.1.m1.1a"><mrow id="p10.1.m1.1.1" xref="p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="p10.1.m1.1.1.2" xref="p10.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="p10.1.m1.1.1.1" xref="p10.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="p10.1.m1.1.1.3" xref="p10.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p10.1.m1.1b"><apply id="p10.1.m1.1.1.cmml" xref="p10.1.m1.1.1"><eq id="p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p10.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p10.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="p10.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p10.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p10.1.m1.1c">\sigma=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p10.1.m1.1d">italic_σ = 0</annotation></semantics></math>, species within groups are identical in abundance and dynamics, and the trajectories are periodic for <math alttext="\kappa>2(u+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="p10.2.m2.1"><semantics id="p10.2.m2.1a"><mrow id="p10.2.m2.1.1" xref="p10.2.m2.1.1.cmml"><mi id="p10.2.m2.1.1.3" xref="p10.2.m2.1.1.3.cmml">κ</mi><mo id="p10.2.m2.1.1.2" xref="p10.2.m2.1.1.2.cmml">></mo><mrow id="p10.2.m2.1.1.1" xref="p10.2.m2.1.1.1.cmml"><mn id="p10.2.m2.1.1.1.3" xref="p10.2.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="p10.2.m2.1.1.1.2" xref="p10.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="p10.2.m2.1.1.1.1.1" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p10.2.m2.1b"><apply id="p10.2.m2.1.1.cmml" xref="p10.2.m2.1.1"><gt id="p10.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p10.2.m2.1.1.2"></gt><ci id="p10.2.m2.1.1.3.cmml" xref="p10.2.m2.1.1.3">𝜅</ci><apply id="p10.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p10.2.m2.1.1.1"><times id="p10.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="p10.2.m2.1.1.1.2"></times><cn id="p10.2.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p10.2.m2.1.1.1.3">2</cn><apply id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1"><plus id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p10.2.m2.1c">\kappa>2(u+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p10.2.m2.1d">italic_κ > 2 ( italic_u + 1 )</annotation></semantics></math>; otherwise they reach a symmetric fixed point where all groups have identical abundance. Increasing <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p10.3.m3.1"><semantics id="p10.3.m3.1a"><mi id="p10.3.m3.1.1" xref="p10.3.m3.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p10.3.m3.1b"><ci id="p10.3.m3.1.1.cmml" xref="p10.3.m3.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p10.3.m3.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p10.3.m3.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> leads to different dynamical regimes, and we give the phase diagram in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>a. First, the intrinsic timescales of species within each group become increasingly mismatched (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>b) due to abundance heterogeneity. While coupling between groups forces the dynamics to stay synchronized, species trajectories are now spread. For moderate <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="p10.4.m4.1"><semantics id="p10.4.m4.1a"><mi id="p10.4.m4.1.1" xref="p10.4.m4.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p10.4.m4.1b"><ci id="p10.4.m4.1.1.cmml" xref="p10.4.m4.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p10.4.m4.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p10.4.m4.1d">italic_κ</annotation></semantics></math>, increasing disorder <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p10.5.m5.1"><semantics id="p10.5.m5.1a"><mi id="p10.5.m5.1.1" xref="p10.5.m5.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p10.5.m5.1b"><ci id="p10.5.m5.1.1.cmml" xref="p10.5.m5.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p10.5.m5.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p10.5.m5.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> finally leads to the stabilization of a fixed point that recovers the group-level symmetric solution despite abundances withing groups being spread due to randomness (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>c). In the case of the 4-group structure, Fig <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>d shows that increasing <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p10.6.m6.1"><semantics id="p10.6.m6.1a"><mi id="p10.6.m6.1.1" xref="p10.6.m6.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p10.6.m6.1b"><ci id="p10.6.m6.1.1.cmml" xref="p10.6.m6.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p10.6.m6.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p10.6.m6.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> rewinds the whole Feigenbaum cascade, i.e. a series of period-halving bifurcations leads back from chaos (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> e) to limit cycles (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> f) until a final Hopf bifurcation to a fixed point. This hints at a general ability of microscopic disorder to simplify macroscopic dynamics, both by stabilizing fixed points and by inducing bifurcations between out-of-equilibrium regimes.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p11"> <p class="ltx_p" id="p11.4">As we further increase <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p11.1.m1.1"><semantics id="p11.1.m1.1a"><mi id="p11.1.m1.1.1" xref="p11.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p11.1.m1.1b"><ci id="p11.1.m1.1.1.cmml" xref="p11.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p11.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p11.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, we also see that disordered interactions destabilize the microscopic variables. We observe a phase transition, now well understood in Random LV (when <math alttext="\mu_{ij}=\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="p11.2.m2.1"><semantics id="p11.2.m2.1a"><mrow id="p11.2.m2.1.1" xref="p11.2.m2.1.1.cmml"><msub id="p11.2.m2.1.1.2" xref="p11.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="p11.2.m2.1.1.2.2" xref="p11.2.m2.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="p11.2.m2.1.1.2.3" xref="p11.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="p11.2.m2.1.1.2.3.2" xref="p11.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="p11.2.m2.1.1.2.3.1" xref="p11.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p11.2.m2.1.1.2.3.3" xref="p11.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="p11.2.m2.1.1.1" xref="p11.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="p11.2.m2.1.1.3" xref="p11.2.m2.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p11.2.m2.1b"><apply id="p11.2.m2.1.1.cmml" xref="p11.2.m2.1.1"><eq id="p11.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="p11.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p11.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p11.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.2.2">𝜇</ci><apply id="p11.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.2.3"><times id="p11.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="p11.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="p11.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="p11.2.m2.1.1.3.cmml" xref="p11.2.m2.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p11.2.m2.1c">\mu_{ij}=\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p11.2.m2.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_μ</annotation></semantics></math>) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>, to a regime with many marginal or unstable fixed points, usually characterized by high-dimensional chaotic dynamics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite> (barring special symmetries <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>). Similar transitions have been studied in other disordered systems such as random neural networks <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>. Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>a at high <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p11.3.m3.1"><semantics id="p11.3.m3.1a"><mi id="p11.3.m3.1.1" xref="p11.3.m3.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p11.3.m3.1b"><ci id="p11.3.m3.1.1.cmml" xref="p11.3.m3.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p11.3.m3.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p11.3.m3.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="p11.4.m4.1"><semantics id="p11.4.m4.1a"><mi id="p11.4.m4.1.1" xref="p11.4.m4.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p11.4.m4.1b"><ci id="p11.4.m4.1.1.cmml" xref="p11.4.m4.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p11.4.m4.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p11.4.m4.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> further shows a direct transition from macroscopic cycles to high-dimensional chaos, whose characterization is beyond the scope of this letter. In any case, we show in Supplementary Materials that the coarse-grained observables are only weakly impacted by this chaotic regime, and thus, disorder is overall more stabilizing than destabilizing at the macroscopic scale.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S0.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="198" id="S0.F3.g1" src="x3.png" width="664"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F3.11.1">Spectral contributions of macroscopic structure and microscopic disorder.</span> The spectra of <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F3.12.2">a)</span> the interaction matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F3.4.m1.1"><semantics id="S0.F3.4.m1.1b"><mi id="S0.F3.4.m1.1.1" xref="S0.F3.4.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F3.4.m1.1c"><ci id="S0.F3.4.m1.1.1.cmml" xref="S0.F3.4.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F3.4.m1.1d">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F3.4.m1.1e">italic_A</annotation></semantics></math>, <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F3.13.3">b)</span> the Jacobian and <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F3.14.4">c)</span> the pseudo-Jacobian (defined in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E8" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>)) comprise a bulk stemming from disorder (outlined in green) and outliers stemming from structure (outlined in red). As <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F3.5.m2.1"><semantics id="S0.F3.5.m2.1b"><mi id="S0.F3.5.m2.1.1" xref="S0.F3.5.m2.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F3.5.m2.1c"><ci id="S0.F3.5.m2.1.1.cmml" xref="S0.F3.5.m2.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F3.5.m2.1d">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F3.5.m2.1e">italic_σ</annotation></semantics></math> increases, the bulk expands while the outliers of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F3.6.m3.1"><semantics id="S0.F3.6.m3.1b"><mi id="S0.F3.6.m3.1.1" xref="S0.F3.6.m3.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F3.6.m3.1c"><ci id="S0.F3.6.m3.1.1.cmml" xref="S0.F3.6.m3.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F3.6.m3.1d">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F3.6.m3.1e">italic_A</annotation></semantics></math> remain unchanged, but the outliers of the Jacobian and the pseudo-Jacobian are pushed to the left (arrows). </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="p12"> <p class="ltx_p" id="p12.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="p12.2.1">Decoupling of low-dimensional and high-dimensional dynamics:</span> We now analyze why microscopic interaction disorder appears here to generally stabilize low-dimensional macroscopic dynamics. Matrices of the form given in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E7" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) have previously been studied from the perspective of Random Matrix Theory. It is known <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite> that their spectra features outliers at the same locations as the eigenvalues of <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="p12.1.m1.1"><semantics id="p12.1.m1.1a"><msub id="p12.1.m1.1.1" xref="p12.1.m1.1.1.cmml"><mi id="p12.1.m1.1.1.2" xref="p12.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="p12.1.m1.1.1.3" xref="p12.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="p12.1.m1.1.1.3.2" xref="p12.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="p12.1.m1.1.1.3.1" xref="p12.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p12.1.m1.1.1.3.3" xref="p12.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p12.1.m1.1b"><apply id="p12.1.m1.1.1.cmml" xref="p12.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p12.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p12.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="p12.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p12.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="p12.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p12.1.m1.1.1.3"><times id="p12.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="p12.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="p12.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="p12.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="p12.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="p12.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p12.1.m1.1c">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p12.1.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and that, conversely, these outliers do not influence the bulk stemming from <math alttext="\xi_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="p12.2.m2.1"><semantics id="p12.2.m2.1a"><msub id="p12.2.m2.1.1" xref="p12.2.m2.1.1.cmml"><mi id="p12.2.m2.1.1.2" xref="p12.2.m2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mrow id="p12.2.m2.1.1.3" xref="p12.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="p12.2.m2.1.1.3.2" xref="p12.2.m2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="p12.2.m2.1.1.3.1" xref="p12.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p12.2.m2.1.1.3.3" xref="p12.2.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p12.2.m2.1b"><apply id="p12.2.m2.1.1.cmml" xref="p12.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p12.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p12.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="p12.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p12.2.m2.1.1.2">𝜉</ci><apply id="p12.2.m2.1.1.3.cmml" xref="p12.2.m2.1.1.3"><times id="p12.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="p12.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="p12.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="p12.2.m2.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="p12.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="p12.2.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p12.2.m2.1c">\xi_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p12.2.m2.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (see Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F3" title="Figure 3 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>a). This spectral simplicity has its counterpart in the behavior of the ecological model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p13"> <p class="ltx_p" id="p13.2">A full analysis using Dynamical Mean Field Theory (well-established for this class of dynamical models <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>, details in Appendix C), shows that structure and disorder contribute separate terms to the dynamics. Disorder alone drives the transition to high-dimensional chaos noted above, with no impact from structure, and the location of this instability can be deduced only from the interaction matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="p13.1.m1.1"><semantics id="p13.1.m1.1a"><mi id="p13.1.m1.1.1" xref="p13.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p13.1.m1.1b"><ci id="p13.1.m1.1.1.cmml" xref="p13.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p13.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p13.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, without computing the Jacobian of the dynamics. By contrast, the transitions associated with the macroscopic modes appear in the Jacobian and not in <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="p13.2.m2.1"><semantics id="p13.2.m2.1a"><mi id="p13.2.m2.1.1" xref="p13.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p13.2.m2.1b"><ci id="p13.2.m2.1.1.cmml" xref="p13.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p13.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p13.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math>. Our analysis (see Appendix D) shows that these transitions can be located by computing the mean over disorder of the deviations from equilibrium</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\vec{\delta x}(t)\rangle=\mathcal{J}\cdot% \langle\vec{\delta x}(t)\rangle," class="ltx_Math" display="block" id="S0.Ex1.m1.3"><semantics id="S0.Ex1.m1.3a"><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S0.Ex1.m1.1.1" xref="S0.Ex1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.3" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">𝒥</mi><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⋅</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S0.Ex1.m1.2.2" xref="S0.Ex1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.3.3.1.2" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.Ex1.m1.3b"><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1"><eq id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3"><divide id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3"></divide><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.2">d</ci><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3"><times id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">d</ci><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1">→</ci><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S0.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2"><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2">⋅</ci><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3">𝒥</ci><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><times id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2"><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1">→</ci><apply id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2"><times id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S0.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.Ex1.m1.3c">\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\vec{\delta x}(t)\rangle=\mathcal{J}\cdot% \langle\vec{\delta x}(t)\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.Ex1.m1.3d">divide start_ARG roman_d end_ARG start_ARG roman_d italic_t end_ARG ⟨ over→ start_ARG italic_δ italic_x end_ARG ( italic_t ) ⟩ = caligraphic_J ⋅ ⟨ over→ start_ARG italic_δ italic_x end_ARG ( italic_t ) ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p13.8">with the following ’pseudo-Jacobian’ matrix</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S0.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{J}_{ij}^{\star}=-r_{i}x_{i}^{\star}\left(\delta_{ij}-\frac{1}{S}\mu_{% ij}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S0.E8.m1.1"><semantics id="S0.E8.m1.1a"><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝒥</mi><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1a" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">i</mi><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">S</mi></mfrac><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S0.E8.m1.1.1.1.2" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.E8.m1.1b"><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1"><eq id="S0.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝒥</ci><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">⋆</ci></apply><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛿</ci><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜇</ci><apply id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S0.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.E8.m1.1c">\mathcal{J}_{ij}^{\star}=-r_{i}x_{i}^{\star}\left(\delta_{ij}-\frac{1}{S}\mu_{% ij}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.E8.m1.1d">caligraphic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_S end_ARG italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="p13.7">restricted to non-extinct species, where <math alttext="x_{i}^{\star}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="p13.3.m1.1"><semantics id="p13.3.m1.1a"><mrow id="p13.3.m1.1.1" xref="p13.3.m1.1.1.cmml"><msubsup id="p13.3.m1.1.1.2" xref="p13.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="p13.3.m1.1.1.2.2.2" xref="p13.3.m1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="p13.3.m1.1.1.2.2.3" xref="p13.3.m1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="p13.3.m1.1.1.2.3" xref="p13.3.m1.1.1.2.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="p13.3.m1.1.1.1" xref="p13.3.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="p13.3.m1.1.1.3" xref="p13.3.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p13.3.m1.1b"><apply id="p13.3.m1.1.1.cmml" xref="p13.3.m1.1.1"><gt id="p13.3.m1.1.1.1.cmml" xref="p13.3.m1.1.1.1"></gt><apply id="p13.3.m1.1.1.2.cmml" xref="p13.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p13.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="p13.3.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="p13.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="p13.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p13.3.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p13.3.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p13.3.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="p13.3.m1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="p13.3.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="p13.3.m1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p13.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="p13.3.m1.1.1.2.3">⋆</ci></apply><cn id="p13.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p13.3.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p13.3.m1.1c">x_{i}^{\star}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p13.3.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> are their equilibrium abundances. Crucially, even though <math alttext="\mathcal{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="p13.4.m2.1"><semantics id="p13.4.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="p13.4.m2.1.1" xref="p13.4.m2.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p13.4.m2.1b"><ci id="p13.4.m2.1.1.cmml" xref="p13.4.m2.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p13.4.m2.1c">\mathcal{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p13.4.m2.1d">caligraphic_J</annotation></semantics></math> resembles the Jacobian of the LV system, it no longer explicitly contains the disordered part of the interactions. Hence, every result going forward is equivalent to ignoring the disordered components <math alttext="\xi_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="p13.5.m3.1"><semantics id="p13.5.m3.1a"><msub id="p13.5.m3.1.1" xref="p13.5.m3.1.1.cmml"><mi id="p13.5.m3.1.1.2" xref="p13.5.m3.1.1.2.cmml">ξ</mi><mrow id="p13.5.m3.1.1.3" xref="p13.5.m3.1.1.3.cmml"><mi id="p13.5.m3.1.1.3.2" xref="p13.5.m3.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="p13.5.m3.1.1.3.1" xref="p13.5.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="p13.5.m3.1.1.3.3" xref="p13.5.m3.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p13.5.m3.1b"><apply id="p13.5.m3.1.1.cmml" xref="p13.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p13.5.m3.1.1.1.cmml" xref="p13.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="p13.5.m3.1.1.2.cmml" xref="p13.5.m3.1.1.2">𝜉</ci><apply id="p13.5.m3.1.1.3.cmml" xref="p13.5.m3.1.1.3"><times id="p13.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="p13.5.m3.1.1.3.1"></times><ci id="p13.5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="p13.5.m3.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="p13.5.m3.1.1.3.3.cmml" xref="p13.5.m3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p13.5.m3.1c">\xi_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p13.5.m3.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="p13.7.1">except</span> for their impact on the row coefficients in <math alttext="\mathcal{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="p13.6.m4.1"><semantics id="p13.6.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="p13.6.m4.1.1" xref="p13.6.m4.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p13.6.m4.1b"><ci id="p13.6.m4.1.1.cmml" xref="p13.6.m4.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p13.6.m4.1c">\mathcal{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p13.6.m4.1d">caligraphic_J</annotation></semantics></math>, i.e. the dynamical rates controlled by the equilibrium abundances <math alttext="x_{i}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="p13.7.m5.1"><semantics id="p13.7.m5.1a"><msubsup id="p13.7.m5.1.1" xref="p13.7.m5.1.1.cmml"><mi id="p13.7.m5.1.1.2.2" xref="p13.7.m5.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="p13.7.m5.1.1.2.3" xref="p13.7.m5.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="p13.7.m5.1.1.3" xref="p13.7.m5.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p13.7.m5.1b"><apply id="p13.7.m5.1.1.cmml" xref="p13.7.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p13.7.m5.1.1.1.cmml" xref="p13.7.m5.1.1">superscript</csymbol><apply id="p13.7.m5.1.1.2.cmml" xref="p13.7.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p13.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="p13.7.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="p13.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="p13.7.m5.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="p13.7.m5.1.1.2.3.cmml" xref="p13.7.m5.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p13.7.m5.1.1.3.cmml" xref="p13.7.m5.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p13.7.m5.1c">x_{i}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p13.7.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p14"> <p class="ltx_p" id="p14.9">This pseudo-Jacobian <math alttext="\mathcal{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.1.m1.1"><semantics id="p14.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="p14.1.m1.1.1" xref="p14.1.m1.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.1.m1.1b"><ci id="p14.1.m1.1.1.cmml" xref="p14.1.m1.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.1.m1.1c">\mathcal{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.1.m1.1d">caligraphic_J</annotation></semantics></math> is an instance of the form eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E4" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) studied earlier, having replaced <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.2.m2.1"><semantics id="p14.2.m2.1a"><msub id="p14.2.m2.1.1" xref="p14.2.m2.1.1.cmml"><mi id="p14.2.m2.1.1.2" xref="p14.2.m2.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p14.2.m2.1.1.3" xref="p14.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.2.m2.1b"><apply id="p14.2.m2.1.1.cmml" xref="p14.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p14.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="p14.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p14.2.m2.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p14.2.m2.1.1.3.cmml" xref="p14.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.2.m2.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.2.m2.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by <math alttext="r_{i}x_{i}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.3.m3.1"><semantics id="p14.3.m3.1a"><mrow id="p14.3.m3.1.1" xref="p14.3.m3.1.1.cmml"><msub id="p14.3.m3.1.1.2" xref="p14.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="p14.3.m3.1.1.2.2" xref="p14.3.m3.1.1.2.2.cmml">r</mi><mi id="p14.3.m3.1.1.2.3" xref="p14.3.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p14.3.m3.1.1.1" xref="p14.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="p14.3.m3.1.1.3" xref="p14.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="p14.3.m3.1.1.3.2.2" xref="p14.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="p14.3.m3.1.1.3.2.3" xref="p14.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="p14.3.m3.1.1.3.3" xref="p14.3.m3.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.3.m3.1b"><apply id="p14.3.m3.1.1.cmml" xref="p14.3.m3.1.1"><times id="p14.3.m3.1.1.1.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.1"></times><apply id="p14.3.m3.1.1.2.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p14.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.2.2">𝑟</ci><ci id="p14.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="p14.3.m3.1.1.3.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="p14.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="p14.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.3.2.2">𝑥</ci><ci id="p14.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p14.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="p14.3.m3.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.3.m3.1c">r_{i}x_{i}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.3.m3.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. We hereafter consider <math alttext="r_{i}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.4.m4.1"><semantics id="p14.4.m4.1a"><mrow id="p14.4.m4.1.1" xref="p14.4.m4.1.1.cmml"><msub id="p14.4.m4.1.1.2" xref="p14.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="p14.4.m4.1.1.2.2" xref="p14.4.m4.1.1.2.2.cmml">r</mi><mi id="p14.4.m4.1.1.2.3" xref="p14.4.m4.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="p14.4.m4.1.1.1" xref="p14.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="p14.4.m4.1.1.3" xref="p14.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.4.m4.1b"><apply id="p14.4.m4.1.1.cmml" xref="p14.4.m4.1.1"><eq id="p14.4.m4.1.1.1.cmml" xref="p14.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="p14.4.m4.1.1.2.cmml" xref="p14.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="p14.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p14.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="p14.4.m4.1.1.2.2">𝑟</ci><ci id="p14.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="p14.4.m4.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="p14.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p14.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.4.m4.1c">r_{i}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.4.m4.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> and focus on the effect of increasing interaction disorder <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.5.m5.1"><semantics id="p14.5.m5.1a"><mi id="p14.5.m5.1.1" xref="p14.5.m5.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.5.m5.1b"><ci id="p14.5.m5.1.1.cmml" xref="p14.5.m5.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.5.m5.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.5.m5.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>: it causes a random spread in the abundances of surviving species <math alttext="x_{i}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.6.m6.1"><semantics id="p14.6.m6.1a"><msubsup id="p14.6.m6.1.1" xref="p14.6.m6.1.1.cmml"><mi id="p14.6.m6.1.1.2.2" xref="p14.6.m6.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="p14.6.m6.1.1.2.3" xref="p14.6.m6.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="p14.6.m6.1.1.3" xref="p14.6.m6.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.6.m6.1b"><apply id="p14.6.m6.1.1.cmml" xref="p14.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.6.m6.1.1.1.cmml" xref="p14.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="p14.6.m6.1.1.2.cmml" xref="p14.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="p14.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="p14.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="p14.6.m6.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="p14.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="p14.6.m6.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p14.6.m6.1.1.3.cmml" xref="p14.6.m6.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.6.m6.1c">x_{i}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.6.m6.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, thus a mismatch between their dynamical time scales that impacts the eigenvalues of the pseudo-Jacobian. These findings are summarized in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F4" title="Figure 4 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, where we plot how eigenvalues of the Jacobian of the 3-group RPS model change with increasing <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.7.m7.1"><semantics id="p14.7.m7.1a"><mi id="p14.7.m7.1.1" xref="p14.7.m7.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.7.m7.1b"><ci id="p14.7.m7.1.1.cmml" xref="p14.7.m7.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.7.m7.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.7.m7.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, as well as the flow predicted by eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) for a distribution of <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.8.m8.1"><semantics id="p14.8.m8.1a"><msub id="p14.8.m8.1.1" xref="p14.8.m8.1.1.cmml"><mi id="p14.8.m8.1.1.2" xref="p14.8.m8.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="p14.8.m8.1.1.3" xref="p14.8.m8.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.8.m8.1b"><apply id="p14.8.m8.1.1.cmml" xref="p14.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.8.m8.1.1.1.cmml" xref="p14.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="p14.8.m8.1.1.2.cmml" xref="p14.8.m8.1.1.2">𝑟</ci><ci id="p14.8.m8.1.1.3.cmml" xref="p14.8.m8.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.8.m8.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.8.m8.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> equal to the distribution of abundances <math alttext="x_{i}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="p14.9.m9.1"><semantics id="p14.9.m9.1a"><msubsup id="p14.9.m9.1.1" xref="p14.9.m9.1.1.cmml"><mi id="p14.9.m9.1.1.2.2" xref="p14.9.m9.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="p14.9.m9.1.1.2.3" xref="p14.9.m9.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="p14.9.m9.1.1.3" xref="p14.9.m9.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p14.9.m9.1b"><apply id="p14.9.m9.1.1.cmml" xref="p14.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.9.m9.1.1.1.cmml" xref="p14.9.m9.1.1">superscript</csymbol><apply id="p14.9.m9.1.1.2.cmml" xref="p14.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p14.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="p14.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="p14.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="p14.9.m9.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="p14.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="p14.9.m9.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p14.9.m9.1.1.3.cmml" xref="p14.9.m9.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p14.9.m9.1c">x_{i}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p14.9.m9.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> obtained from DMFT.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p15"> <p class="ltx_p" id="p15.5">Thus the equivalence between time-scales in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E4" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) and abundances in the Lotka-Volterra model provides an analytical argument for the stabilization of eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E8" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) as <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p15.1.m1.1"><semantics id="p15.1.m1.1a"><mi id="p15.1.m1.1.1" xref="p15.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p15.1.m1.1b"><ci id="p15.1.m1.1.1.cmml" xref="p15.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p15.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p15.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> increases. Strictly speaking, it holds only when the <math alttext="x_{i}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="p15.2.m2.1"><semantics id="p15.2.m2.1a"><msubsup id="p15.2.m2.1.1" xref="p15.2.m2.1.1.cmml"><mi id="p15.2.m2.1.1.2.2" xref="p15.2.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="p15.2.m2.1.1.2.3" xref="p15.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="p15.2.m2.1.1.3" xref="p15.2.m2.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p15.2.m2.1b"><apply id="p15.2.m2.1.1.cmml" xref="p15.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p15.2.m2.1.1.1.cmml" xref="p15.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="p15.2.m2.1.1.2.cmml" xref="p15.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p15.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="p15.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="p15.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="p15.2.m2.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="p15.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="p15.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p15.2.m2.1.1.3.cmml" xref="p15.2.m2.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p15.2.m2.1c">x_{i}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p15.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are identically distributed, owing to the assumptions made in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>). This is true for all matrices <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="p15.3.m3.1"><semantics id="p15.3.m3.1a"><mi id="p15.3.m3.1.1" xref="p15.3.m3.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p15.3.m3.1b"><ci id="p15.3.m3.1.1.cmml" xref="p15.3.m3.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p15.3.m3.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p15.3.m3.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> having <math alttext="(1,\dots,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="p15.4.m4.3"><semantics id="p15.4.m4.3a"><mrow id="p15.4.m4.3.4.2" xref="p15.4.m4.3.4.1.cmml"><mo id="p15.4.m4.3.4.2.1" stretchy="false" xref="p15.4.m4.3.4.1.cmml">(</mo><mn id="p15.4.m4.1.1" xref="p15.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="p15.4.m4.3.4.2.2" xref="p15.4.m4.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="p15.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="p15.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="p15.4.m4.3.4.2.3" xref="p15.4.m4.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="p15.4.m4.3.3" xref="p15.4.m4.3.3.cmml">1</mn><mo id="p15.4.m4.3.4.2.4" stretchy="false" xref="p15.4.m4.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p15.4.m4.3b"><vector id="p15.4.m4.3.4.1.cmml" xref="p15.4.m4.3.4.2"><cn id="p15.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="p15.4.m4.1.1">1</cn><ci id="p15.4.m4.2.2.cmml" xref="p15.4.m4.2.2">…</ci><cn id="p15.4.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="p15.4.m4.3.3">1</cn></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p15.4.m4.3c">(1,\dots,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p15.4.m4.3d">( 1 , … , 1 )</annotation></semantics></math> as an eigenvector (as the 3-group RPS case), where the fixed point and thus the flow in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F4" title="Figure 4 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> are independent of the structure of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="p15.5.m5.1"><semantics id="p15.5.m5.1a"><mi id="p15.5.m5.1.1" xref="p15.5.m5.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p15.5.m5.1b"><ci id="p15.5.m5.1.1.cmml" xref="p15.5.m5.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p15.5.m5.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p15.5.m5.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>. More generally, we expect the same qualitative behavior as long as microscopic time scale distributions are sufficiently similar across species. However, numerical simulations suggest that this is a more general property that transcends the existence of particular symmetries, as seen in our 4-group example.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p16"> <p class="ltx_p" id="p16.9">We finally note that the spread of equilibrium species abundances <math alttext="\vec{x}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.1.m1.1"><semantics id="p16.1.m1.1a"><msup id="p16.1.m1.1.1" xref="p16.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="p16.1.m1.1.1.2" xref="p16.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="p16.1.m1.1.1.2.2" xref="p16.1.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="p16.1.m1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="p16.1.m1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="p16.1.m1.1.1.3" xref="p16.1.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.1.m1.1b"><apply id="p16.1.m1.1.1.cmml" xref="p16.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="p16.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p16.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="p16.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p16.1.m1.1.1.2"><ci id="p16.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="p16.1.m1.1.1.2.1">→</ci><ci id="p16.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="p16.1.m1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="p16.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p16.1.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.1.m1.1c">\vec{x}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.1.m1.1d">over→ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> induced by disorder could also stabilize the group dynamics through a different mechanism: changing the coefficients in <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.2.m2.1"><semantics id="p16.2.m2.1a"><mi id="p16.2.m2.1.1" xref="p16.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.2.m2.1b"><ci id="p16.2.m2.1.1.cmml" xref="p16.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>. In the general form eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E4" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>), this could happen through nonlinearities in how microscopic dynamics <math alttext="\vec{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.3.m3.1"><semantics id="p16.3.m3.1a"><mover accent="true" id="p16.3.m3.1.1" xref="p16.3.m3.1.1.cmml"><mi id="p16.3.m3.1.1.2" xref="p16.3.m3.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="p16.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="p16.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.3.m3.1b"><apply id="p16.3.m3.1.1.cmml" xref="p16.3.m3.1.1"><ci id="p16.3.m3.1.1.1.cmml" xref="p16.3.m3.1.1.1">→</ci><ci id="p16.3.m3.1.1.2.cmml" xref="p16.3.m3.1.1.2">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.3.m3.1c">\vec{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.3.m3.1d">over→ start_ARG italic_G end_ARG</annotation></semantics></math> depend on coarse-grained variables <math alttext="\vec{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.4.m4.1"><semantics id="p16.4.m4.1a"><mover accent="true" id="p16.4.m4.1.1" xref="p16.4.m4.1.1.cmml"><mi id="p16.4.m4.1.1.2" xref="p16.4.m4.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="p16.4.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="p16.4.m4.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.4.m4.1b"><apply id="p16.4.m4.1.1.cmml" xref="p16.4.m4.1.1"><ci id="p16.4.m4.1.1.1.cmml" xref="p16.4.m4.1.1.1">→</ci><ci id="p16.4.m4.1.1.2.cmml" xref="p16.4.m4.1.1.2">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.4.m4.1c">\vec{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.4.m4.1d">over→ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\vec{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.5.m5.1"><semantics id="p16.5.m5.1a"><mover accent="true" id="p16.5.m5.1.1" xref="p16.5.m5.1.1.cmml"><mi id="p16.5.m5.1.1.2" xref="p16.5.m5.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="p16.5.m5.1.1.1" stretchy="false" xref="p16.5.m5.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.5.m5.1b"><apply id="p16.5.m5.1.1.cmml" xref="p16.5.m5.1.1"><ci id="p16.5.m5.1.1.1.cmml" xref="p16.5.m5.1.1.1">→</ci><ci id="p16.5.m5.1.1.2.cmml" xref="p16.5.m5.1.1.2">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.5.m5.1c">\vec{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.5.m5.1d">over→ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math> on <math alttext="\vec{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.6.m6.1"><semantics id="p16.6.m6.1a"><mover accent="true" id="p16.6.m6.1.1" xref="p16.6.m6.1.1.cmml"><mi id="p16.6.m6.1.1.2" xref="p16.6.m6.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="p16.6.m6.1.1.1" stretchy="false" xref="p16.6.m6.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.6.m6.1b"><apply id="p16.6.m6.1.1.cmml" xref="p16.6.m6.1.1"><ci id="p16.6.m6.1.1.1.cmml" xref="p16.6.m6.1.1.1">→</ci><ci id="p16.6.m6.1.1.2.cmml" xref="p16.6.m6.1.1.2">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.6.m6.1c">\vec{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.6.m6.1d">over→ start_ARG italic_x end_ARG</annotation></semantics></math>. In our simpler setting, with the LV model and <math alttext="\vec{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.7.m7.1"><semantics id="p16.7.m7.1a"><mover accent="true" id="p16.7.m7.1.1" xref="p16.7.m7.1.1.cmml"><mi id="p16.7.m7.1.1.2" xref="p16.7.m7.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="p16.7.m7.1.1.1" stretchy="false" xref="p16.7.m7.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.7.m7.1b"><apply id="p16.7.m7.1.1.cmml" xref="p16.7.m7.1.1"><ci id="p16.7.m7.1.1.1.cmml" xref="p16.7.m7.1.1.1">→</ci><ci id="p16.7.m7.1.1.2.cmml" xref="p16.7.m7.1.1.2">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.7.m7.1c">\vec{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.7.m7.1d">over→ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math> being linear combinations of abundances, the only such nonlinearity stems from species extinctions, <math alttext="x_{i}^{\star}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.8.m8.1"><semantics id="p16.8.m8.1a"><mrow id="p16.8.m8.1.1" xref="p16.8.m8.1.1.cmml"><msubsup id="p16.8.m8.1.1.2" xref="p16.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="p16.8.m8.1.1.2.2.2" xref="p16.8.m8.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="p16.8.m8.1.1.2.2.3" xref="p16.8.m8.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="p16.8.m8.1.1.2.3" xref="p16.8.m8.1.1.2.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="p16.8.m8.1.1.1" xref="p16.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="p16.8.m8.1.1.3" xref="p16.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.8.m8.1b"><apply id="p16.8.m8.1.1.cmml" xref="p16.8.m8.1.1"><eq id="p16.8.m8.1.1.1.cmml" xref="p16.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="p16.8.m8.1.1.2.cmml" xref="p16.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p16.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="p16.8.m8.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="p16.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="p16.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="p16.8.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="p16.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="p16.8.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="p16.8.m8.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="p16.8.m8.1.1.2.2.3.cmml" xref="p16.8.m8.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="p16.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="p16.8.m8.1.1.2.3">⋆</ci></apply><cn id="p16.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="p16.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.8.m8.1c">x_{i}^{\star}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.8.m8.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, since surviving species then experience fewer interactions and different parameters on average <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib15" title="">15</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>. We observe in Supplementary Materials that this effect is present, yet intervenes only at larger values of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="p16.9.m9.1"><semantics id="p16.9.m9.1a"><mi id="p16.9.m9.1.1" xref="p16.9.m9.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p16.9.m9.1b"><ci id="p16.9.m9.1.1.cmml" xref="p16.9.m9.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="p16.9.m9.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="p16.9.m9.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, and is therefore not responsible for stabilization here.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S0.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="591" id="S0.F4.g1" src="x4.png" width="706"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S0.F4.26.1">Increasing abundance and time scale heterogeneity stabilizes the outlier eigenvalues.</span> Diamonds are leading eigenvalues of the true Jacobian <math alttext="J" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.13.m1.1"><semantics id="S0.F4.13.m1.1b"><mi id="S0.F4.13.m1.1.1" xref="S0.F4.13.m1.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.13.m1.1c"><ci id="S0.F4.13.m1.1.1.cmml" xref="S0.F4.13.m1.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.13.m1.1d">J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.13.m1.1e">italic_J</annotation></semantics></math> in simulations of the 3-group LV system with increasing disorder, for ten values of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.14.m2.1"><semantics id="S0.F4.14.m2.1b"><mi id="S0.F4.14.m2.1.1" xref="S0.F4.14.m2.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.14.m2.1c"><ci id="S0.F4.14.m2.1.1.cmml" xref="S0.F4.14.m2.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.14.m2.1d">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.14.m2.1e">italic_σ</annotation></semantics></math> between 0 and 0.5, and fixed parameters <math alttext="u=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.15.m3.1"><semantics id="S0.F4.15.m3.1b"><mrow id="S0.F4.15.m3.1.1" xref="S0.F4.15.m3.1.1.cmml"><mi id="S0.F4.15.m3.1.1.2" xref="S0.F4.15.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S0.F4.15.m3.1.1.1" xref="S0.F4.15.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F4.15.m3.1.1.3" xref="S0.F4.15.m3.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.15.m3.1c"><apply id="S0.F4.15.m3.1.1.cmml" xref="S0.F4.15.m3.1.1"><eq id="S0.F4.15.m3.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.15.m3.1.1.1"></eq><ci id="S0.F4.15.m3.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.15.m3.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S0.F4.15.m3.1.1.3.cmml" type="float" xref="S0.F4.15.m3.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.15.m3.1d">u=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.15.m3.1e">italic_u = 0.5</annotation></semantics></math> and <math alttext="\kappa=3.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.16.m4.1"><semantics id="S0.F4.16.m4.1b"><mrow id="S0.F4.16.m4.1.1" xref="S0.F4.16.m4.1.1.cmml"><mi id="S0.F4.16.m4.1.1.2" xref="S0.F4.16.m4.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S0.F4.16.m4.1.1.1" xref="S0.F4.16.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F4.16.m4.1.1.3" xref="S0.F4.16.m4.1.1.3.cmml">3.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.16.m4.1c"><apply id="S0.F4.16.m4.1.1.cmml" xref="S0.F4.16.m4.1.1"><eq id="S0.F4.16.m4.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.16.m4.1.1.1"></eq><ci id="S0.F4.16.m4.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.16.m4.1.1.2">𝜅</ci><cn id="S0.F4.16.m4.1.1.3.cmml" type="float" xref="S0.F4.16.m4.1.1.3">3.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.16.m4.1d">\kappa=3.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.16.m4.1e">italic_κ = 3.5</annotation></semantics></math>. The thick lines are the analytical prediction from the evolution equation of the pseudo-Jacobian <math alttext="\mathcal{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.17.m5.1"><semantics id="S0.F4.17.m5.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S0.F4.17.m5.1.1" xref="S0.F4.17.m5.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.17.m5.1c"><ci id="S0.F4.17.m5.1.1.cmml" xref="S0.F4.17.m5.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.17.m5.1d">\mathcal{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.17.m5.1e">caligraphic_J</annotation></semantics></math>, eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>), with fixed-point abundances <math alttext="x^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.18.m6.1"><semantics id="S0.F4.18.m6.1b"><msup id="S0.F4.18.m6.1.1" xref="S0.F4.18.m6.1.1.cmml"><mi id="S0.F4.18.m6.1.1.2" xref="S0.F4.18.m6.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S0.F4.18.m6.1.1.3" xref="S0.F4.18.m6.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.18.m6.1c"><apply id="S0.F4.18.m6.1.1.cmml" xref="S0.F4.18.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F4.18.m6.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.18.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S0.F4.18.m6.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.18.m6.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S0.F4.18.m6.1.1.3.cmml" xref="S0.F4.18.m6.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.18.m6.1d">x^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.18.m6.1e">italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> instead of rates <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.19.m7.1"><semantics id="S0.F4.19.m7.1b"><mi id="S0.F4.19.m7.1.1" xref="S0.F4.19.m7.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.19.m7.1c"><ci id="S0.F4.19.m7.1.1.cmml" xref="S0.F4.19.m7.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.19.m7.1d">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.19.m7.1e">italic_r</annotation></semantics></math>, using the distribution <math alttext="\rho(x^{\star})" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.20.m8.1"><semantics id="S0.F4.20.m8.1b"><mrow id="S0.F4.20.m8.1.1" xref="S0.F4.20.m8.1.1.cmml"><mi id="S0.F4.20.m8.1.1.3" xref="S0.F4.20.m8.1.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S0.F4.20.m8.1.1.2" xref="S0.F4.20.m8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.20.m8.1c"><apply id="S0.F4.20.m8.1.1.cmml" xref="S0.F4.20.m8.1.1"><times id="S0.F4.20.m8.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.20.m8.1.1.2"></times><ci id="S0.F4.20.m8.1.1.3.cmml" xref="S0.F4.20.m8.1.1.3">𝜌</ci><apply id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.F4.20.m8.1.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.20.m8.1d">\rho(x^{\star})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.20.m8.1e">italic_ρ ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> predicted by DMFT. The background arrows show the vector field of eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) for the abundance distribution <math alttext="\rho_{0}(x^{\star})=\delta(x^{\star}-1/(1+u+\kappa))" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.21.m9.2"><semantics id="S0.F4.21.m9.2b"><mrow id="S0.F4.21.m9.2.2" xref="S0.F4.21.m9.2.2.cmml"><mrow id="S0.F4.21.m9.1.1.1" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.cmml"><msub id="S0.F4.21.m9.1.1.1.3" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.2" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mn id="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.3" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S0.F4.21.m9.1.1.1.2" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.3" xref="S0.F4.21.m9.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S0.F4.21.m9.2.2.2" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.cmml"><mi id="S0.F4.21.m9.2.2.2.3" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.3.cmml">δ</mi><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.2" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.2" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">κ</mi></mrow><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.21.m9.2c"><apply id="S0.F4.21.m9.2.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2"><eq id="S0.F4.21.m9.2.2.3.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.3"></eq><apply id="S0.F4.21.m9.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1"><times id="S0.F4.21.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.2"></times><apply id="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.2">𝜌</ci><cn id="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.F4.21.m9.1.1.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply><apply id="S0.F4.21.m9.2.2.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2"><times id="S0.F4.21.m9.2.2.2.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.2"></times><ci id="S0.F4.21.m9.2.2.2.3.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.3">𝛿</ci><apply id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1"><minus id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.2"></minus><apply id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply><apply id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1"><divide id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><ci id="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S0.F4.21.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4">𝜅</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.21.m9.2d">\rho_{0}(x^{\star})=\delta(x^{\star}-1/(1+u+\kappa))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.21.m9.2e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_δ ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT - 1 / ( 1 + italic_u + italic_κ ) )</annotation></semantics></math>, which is the equilibrium solution in the absence of disorder. Note that, as the abundance distribution changes with increasing disorder, so does the r.h.s of eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>); hence the vector field is a snapshot for a particular value of <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.22.m10.1"><semantics id="S0.F4.22.m10.1b"><mi id="S0.F4.22.m10.1.1" xref="S0.F4.22.m10.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.22.m10.1c"><ci id="S0.F4.22.m10.1.1.cmml" xref="S0.F4.22.m10.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.22.m10.1d">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.22.m10.1e">italic_τ</annotation></semantics></math>, in this case <math alttext="\tau=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.23.m11.1"><semantics id="S0.F4.23.m11.1b"><mrow id="S0.F4.23.m11.1.1" xref="S0.F4.23.m11.1.1.cmml"><mi id="S0.F4.23.m11.1.1.2" xref="S0.F4.23.m11.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S0.F4.23.m11.1.1.1" xref="S0.F4.23.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S0.F4.23.m11.1.1.3" xref="S0.F4.23.m11.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.23.m11.1c"><apply id="S0.F4.23.m11.1.1.cmml" xref="S0.F4.23.m11.1.1"><eq id="S0.F4.23.m11.1.1.1.cmml" xref="S0.F4.23.m11.1.1.1"></eq><ci id="S0.F4.23.m11.1.1.2.cmml" xref="S0.F4.23.m11.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S0.F4.23.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S0.F4.23.m11.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.23.m11.1d">\tau=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.23.m11.1e">italic_τ = 0</annotation></semantics></math>. Background colors indicate regions for which an eigenvalue starting within will (blue) and will not (red) reach stability as <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S0.F4.24.m12.1"><semantics id="S0.F4.24.m12.1b"><mi id="S0.F4.24.m12.1.1" xref="S0.F4.24.m12.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.F4.24.m12.1c"><ci id="S0.F4.24.m12.1.1.cmml" xref="S0.F4.24.m12.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.F4.24.m12.1d">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.F4.24.m12.1e">italic_σ</annotation></semantics></math> reaches 0.5. </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="p17"> <p class="ltx_p" id="p17.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="p17.1.1">Conclusions:</span> In a system with out-of-equilibrium dynamics originating at the macroscopic scale, the addition of microscopic complexity can have a stabilizing effect – in particular when it creates a spread in the characteristic time scales of microscopic trajectories, as in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E8" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>). This spread can be a direct consequence of heterogeneous rate parameters, or, as we found, an indirect consequence of disorder in interactions (nonlinearity is then required, as this effect arises in how the Jacobian matrix differs from the bare interaction matrix).</p> </div> <div class="ltx_para" id="p18"> <p class="ltx_p" id="p18.1">This stabilization mechanism qualitatively recalls a phenomenon found in systems of coupled oscillators, where a diversity in intrinsic time scales can induce the emergence of a stable equilibrium <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib18" title="">18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>. In both cases, a mismatch of intrinsic timescales between coupled variables seems to be key in damping the dynamics. Yet, our work puts more emphasis on the tension between levels of description: here, an instability is induced by macro-scale interactions, and damped by micro-scale disorder. This holds even when the micro-scale consequences of adding disorder tend to be a loss of stability (i.e. the well-studied destabilizing effect of complexity <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite> and transition to high-dimensional chaos <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="p19"> <p class="ltx_p" id="p19.1">The ecological systems studied here could provide archetypal examples of this phenomenon (as perhaps other systems with multiplicative growth properties, e.g. in economics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite>). Recently, high-throughput methods for acquiring data on ecological and especially microbial communities have revealed ubiquitous fluctuations and heterogeneity at species and sub-species levels <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>. Yet, more macroscopic descriptions, based on large taxonomic groups or ecological functions, are markedly stable across systems and over time <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>. It remains to be seen whether this macroscopic stability has other causes (e.g. physico-chemical constraints or simple aggregation effects) or truly results from species-level disorder damping ecosystem-level dynamics, and why this stabilizing mechanism might not already act at species level from sub-species disorder.</p> </div> <div class="ltx_para" id="p20"> <p class="ltx_p" id="p20.1">While our mathematical analysis only captures local transitions to and from a fixed point, the qualitative intuition of the stabilizing mechanism seems to hold more generally: for instance, the 4-group system in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F2" title="Figure 2 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> switches from chaos to cycles before the fixed point is stabilized. Understanding these transitions analytically provides a theoretical challenge that we believe is worth addressing in the future.</p> </div> <div class="ltx_acknowledgements"> <h6 class="ltx_title ltx_title_acknowledgements">Acknowledgements.</h6> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="id2.id1">Acknowledgments:</span> We thank Guy Bunin and Jean-François Arnoldi for inspiration and discussions, and Emil Mallmin for sharing his code. JGM acknowledges the support of the Frontiers in Innovation, Research and Education program. This research was co-funded by the European Union (GA#101059915 - BIOcean5D). </div> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Chapin <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib1.2.2.1">et al.</em> [2002]</span> <span class="ltx_bibblock">F. S. Chapin, P. A. Matson, H. A. Mooney, and P. M. Vitousek, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib1.3.1">Principles of terrestrial ecosystem ecology</em> (Springer, 2002). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Bunin [2017]</span> <span class="ltx_bibblock">G. Bunin, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevE.95.042414" title="">Phys. Rev. E <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib2.1.1.1">95</span>, 042414 (2017)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Hu <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib3.2.2.1">et al.</em> [2022]</span> <span class="ltx_bibblock">J. Hu, D. R. Amor, M. Barbier, G. Bunin, and J. Gore, Science <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib3.3.1">378</span>, 85 (2022). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Gjini and Madec [2023]</span> <span class="ltx_bibblock">E. Gjini and S. Madec, Royal Society Open Science <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib4.1.1">10</span>, 231034 (2023). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib5"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Akjouj <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib5.2.2.1">et al.</em> [2024]</span> <span class="ltx_bibblock">I. Akjouj, M. Barbier, M. Clenet, W. Hachem, M. Maïda, F. Massol, J. Najim, and V. C. Tran, Proceedings of the Royal Society A <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib5.3.1">480</span>, 20230284 (2024). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Vano <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib6.2.2.1">et al.</em> [2006]</span> <span class="ltx_bibblock">J. A. Vano, J. C. Wildenberg, M. B. Anderson, J. K. Noel, and J. C. Sprott, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1088/0951-7715/19/10/006" title="">Nonlinearity <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib6.3.1.1">19</span>, 2391 (2006)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib7"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Arnoulx de Pirey and Bunin [2023]</span> <span class="ltx_bibblock">T. Arnoulx de Pirey and G. Bunin, Physical Review Letters <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib7.1.1">130</span>, 098401 (2023). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib8"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Arnoulx de Pirey and Bunin [2024]</span> <span class="ltx_bibblock">T. Arnoulx de Pirey and G. Bunin, Physical Review X <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib8.1.1">14</span>, 011037 (2024). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib9"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Roy <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib9.2.2.1">et al.</em> [2019]</span> <span class="ltx_bibblock">F. Roy, G. Biroli, G. Bunin, and C. Cammarota, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1088/1751-8121/ab1f32" title="">Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib9.3.1.1">52</span>, 484001 (2019)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib10"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Biroli <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib10.2.2.1">et al.</em> [2018]</span> <span class="ltx_bibblock">G. Biroli, G. Bunin, and C. Cammarota, New Journal of Physics <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib10.3.1">20</span>, 083051 (2018). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib11"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Dalmedigos and Bunin [2020]</span> <span class="ltx_bibblock">I. Dalmedigos and G. 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Bunin, Physical Review X <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib16.3.1">11</span>, 011009 (2021). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib17"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">De Monte <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib17.2.2.1">et al.</em> [2003]</span> <span class="ltx_bibblock">S. De Monte, F. d’Ovidio, and E. Mosekilde, Physical review letters <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib17.3.1">90</span>, 054102 (2003). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib18"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Kaluza and Meyer-Ortmanns [2010]</span> <span class="ltx_bibblock">P. Kaluza and H. Meyer-Ortmanns, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib18.1.1">20</span> (2010). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib19"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Saxena <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib19.2.2.1">et al.</em> [2012]</span> <span class="ltx_bibblock">G. Saxena, A. Prasad, and R. Ramaswamy, Physics Reports <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib19.3.1">521</span>, 205 (2012). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib20"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Zou <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib20.2.2.1">et al.</em> [2018]</span> <span class="ltx_bibblock">W. Zou, M. Zhan, and J. Kurths, Physical Review E <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib20.3.1">98</span>, 062209 (2018). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib21"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">May [1972]</span> <span class="ltx_bibblock">R. M. May, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1038/238413a0" title="">Nature <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib21.1.1.1">238</span>, 413 (1972)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib22"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Diederich and Opper [1989]</span> <span class="ltx_bibblock">S. Diederich and M. Opper, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevA.39.4333" title="">Phys. Rev. A <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib22.1.1.1">39</span>, 4333 (1989)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib23"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Gabaix [1999]</span> <span class="ltx_bibblock">X. Gabaix, The Quarterly journal of economics <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib23.1.1">114</span>, 739 (1999). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib24"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Grilli [2020]</span> <span class="ltx_bibblock">J. Grilli, Nature communications <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib24.1.1">11</span>, 4743 (2020). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib25"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Goyal <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib25.2.2.1">et al.</em> [2022]</span> <span class="ltx_bibblock">A. Goyal, L. S. Bittleston, G. E. Leventhal, L. Lu, and O. X. Cordero, Elife <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib25.3.1">11</span>, e74987 (2022). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib26"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Louca <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib26.2.2.1">et al.</em> [2016]</span> <span class="ltx_bibblock">S. Louca, S. M. S. Jacques, A. P. F. Pires, J. S. Leal, D. S. Srivastava, L. W. Parfrey, V. F. Farjalla, and M. Doebeli, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1038/s41559-016-0015" title="">Nature Ecology & Evolution <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib26.3.1.1">1</span>, 0015 (2016)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib27"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Goldford <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib27.2.2.1">et al.</em> [2018]</span> <span class="ltx_bibblock">J. E. Goldford, N. Lu, D. Bajić, S. Estrela, M. Tikhonov, A. Sanchez-Gorostiaga, D. Segrè, P. Mehta, and A. Sanchez, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1126/science.aat1168" title="">Science <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib27.3.1.1">361</span>, 469 (2018)</a>, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://arxiv.org/abs/https://www.science.org/doi/pdf/10.1126/science.aat1168" title="">https://www.science.org/doi/pdf/10.1126/science.aat1168</a> . </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib28"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Galla [2018]</span> <span class="ltx_bibblock">T. Galla, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1209/0295-5075/123/48004" title="">Europhysics Letters <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib28.1.1.1">123</span>, 48004 (2018)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib29"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Giral Martinez <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib29.2.2.1">et al.</em> [2024]</span> <span class="ltx_bibblock">J. Giral Martinez, M. Barbier, and S. De Monte, (in prep) (2024). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib30"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Tikhonov [2017]</span> <span class="ltx_bibblock">M. Tikhonov, Physical Review E <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib30.1.1">96</span>, 032410 (2017). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib31"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Odum <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib31.3.3.1">et al.</em> [1971]</span> <span class="ltx_bibblock">E. P. Odum, G. W. Barrett, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib31.4.1">et al.</em>, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib31.5.2">Fundamentals of ecology</em>, Vol. 3 (Saunders Philadelphia, 1971). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib32"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Aguadé-Gorgorió <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib32.2.2.1">et al.</em> [2024]</span> <span class="ltx_bibblock">G. Aguadé-Gorgorió, J.-f. Arnoldi, M. Barbier, and S. Kéfi, Ecology Letters <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib32.3.1">27</span>, e14413 (2024). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib33"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Hatton <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib33.2.2.1">et al.</em> [2024]</span> <span class="ltx_bibblock">I. A. Hatton, O. Mazzarisi, A. Altieri, and M. Smerlak, Science <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib33.3.1">383</span>, eadg8488 (2024). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib34"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Mazzarisi and Smerlak [2024]</span> <span class="ltx_bibblock">O. Mazzarisi and M. Smerlak, arXiv preprint arXiv:2403.11014 (2024). </span> </li> </ul> </section> <section class="ltx_appendix" id="A1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix A </span>A. Effect of time scale disorder on eigenvalues</h2> <div class="ltx_para" id="A1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.p1.8">To study the spectrum of <math alttext="J" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.p1.1.m1.1a"><mi id="A1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.p1.1.m1.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.1.m1.1b"><ci id="A1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p1.1.m1.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.1.m1.1c">J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.1.m1.1d">italic_J</annotation></semantics></math> (defined in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E4" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>)), we may take advantage of the low rank of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.p1.2.m2.1a"><mi id="A1.p1.2.m2.1.1" xref="A1.p1.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.2.m2.1b"><ci id="A1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> to reduce the problem to that of inverting a small matrix. In particular, if <math alttext="n=\mathrm{rank}(\mu)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.p1.3.m3.1.2" xref="A1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="A1.p1.3.m3.1.2.2" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="A1.p1.3.m3.1.2.1" xref="A1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p1.3.m3.1.2.3" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3.2.cmml">rank</mi><mo id="A1.p1.3.m3.1.2.3.1" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p1.3.m3.1.2.3.3.2" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3.cmml"><mo id="A1.p1.3.m3.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.p1.3.m3.1.1" xref="A1.p1.3.m3.1.1.cmml">μ</mi><mo id="A1.p1.3.m3.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2"><eq id="A1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.1"></eq><ci id="A1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2">𝑛</ci><apply id="A1.p1.3.m3.1.2.3.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3"><times id="A1.p1.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3.1"></times><ci id="A1.p1.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.3.2">rank</ci><ci id="A1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.1">𝜇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.3.m3.1c">n=\mathrm{rank}(\mu)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.3.m3.1d">italic_n = roman_rank ( italic_μ )</annotation></semantics></math>, there exist <math alttext="S\times n" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.4.m4.1"><semantics id="A1.p1.4.m4.1a"><mrow id="A1.p1.4.m4.1.1" xref="A1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.4.m4.1.1.2" xref="A1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.p1.4.m4.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="A1.p1.4.m4.1.1.3" xref="A1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.4.m4.1b"><apply id="A1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.p1.4.m4.1.1"><times id="A1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.4.m4.1.1.1"></times><ci id="A1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.4.m4.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.4.m4.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.4.m4.1c">S\times n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.4.m4.1d">italic_S × italic_n</annotation></semantics></math> matrices <math alttext="U,V" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.5.m5.2"><semantics id="A1.p1.5.m5.2a"><mrow id="A1.p1.5.m5.2.3.2" xref="A1.p1.5.m5.2.3.1.cmml"><mi id="A1.p1.5.m5.1.1" xref="A1.p1.5.m5.1.1.cmml">U</mi><mo id="A1.p1.5.m5.2.3.2.1" xref="A1.p1.5.m5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.p1.5.m5.2.2" xref="A1.p1.5.m5.2.2.cmml">V</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.5.m5.2b"><list id="A1.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="A1.p1.5.m5.2.3.2"><ci id="A1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.p1.5.m5.1.1">𝑈</ci><ci id="A1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="A1.p1.5.m5.2.2">𝑉</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.5.m5.2c">U,V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.5.m5.2d">italic_U , italic_V</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\mu=UV^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.6.m6.1"><semantics id="A1.p1.6.m6.1a"><mrow id="A1.p1.6.m6.1.1" xref="A1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.6.m6.1.1.2" xref="A1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.p1.6.m6.1.1.1" xref="A1.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p1.6.m6.1.1.3" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="A1.p1.6.m6.1.1.3.1" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.2" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.2.cmml">V</mi><mi id="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.3" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.6.m6.1b"><apply id="A1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1"><eq id="A1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="A1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.2">𝜇</ci><apply id="A1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3"><times id="A1.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.1"></times><ci id="A1.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.2">𝑉</ci><ci id="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.p1.6.m6.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.6.m6.1c">\mu=UV^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.6.m6.1d">italic_μ = italic_U italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Using Woodbury’s matrix identity, we then find that <math alttext="z\in\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.7.m7.1"><semantics id="A1.p1.7.m7.1a"><mrow id="A1.p1.7.m7.1.1" xref="A1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.7.m7.1.1.2" xref="A1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A1.p1.7.m7.1.1.1" xref="A1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="A1.p1.7.m7.1.1.3" xref="A1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">ℂ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.7.m7.1b"><apply id="A1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="A1.p1.7.m7.1.1"><in id="A1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.7.m7.1.1.1"></in><ci id="A1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.7.m7.1.1.2">𝑧</ci><ci id="A1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.7.m7.1.1.3">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.7.m7.1c">z\in\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.7.m7.1d">italic_z ∈ blackboard_C</annotation></semantics></math> is an outlier eigenvalue of <math alttext="J" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.8.m8.1"><semantics id="A1.p1.8.m8.1a"><mi id="A1.p1.8.m8.1.1" xref="A1.p1.8.m8.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.8.m8.1b"><ci id="A1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="A1.p1.8.m8.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.8.m8.1c">J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.8.m8.1d">italic_J</annotation></semantics></math> iff</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathrm{det}\left(\mathbb{I}_{n\times n}-V^{T}\cdot\mathrm{diag}\left\langle% \frac{r}{z+r}\right\rangle\cdot U\right)=0," class="ltx_Math" display="block" id="A1.E9.m1.2"><semantics id="A1.E9.m1.2a"><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">det</mi><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝕀</mi><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msup id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⋅</mo><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">diag</mi></mrow><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="A1.E9.m1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.2" xref="A1.E9.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mrow id="A1.E9.m1.1.1.3" xref="A1.E9.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.3.2" xref="A1.E9.m1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.E9.m1.1.1.3.1" xref="A1.E9.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="A1.E9.m1.1.1.3.3" xref="A1.E9.m1.1.1.3.3.cmml">r</mi></mrow></mfrac><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" rspace="0.055em" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0.222em" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">U</mi></mrow></mrow><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="A1.E9.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E9.m1.2b"><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1"><eq id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1"><times id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.3">det</ci><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝕀</ci><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1">⋅</ci><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">⋅</ci><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">diag</ci></apply><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A1.E9.m1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1"><divide id="A1.E9.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1"></divide><ci id="A1.E9.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.2">𝑟</ci><apply id="A1.E9.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.3"><plus id="A1.E9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="A1.E9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.3.2">𝑧</ci><ci id="A1.E9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑈</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.E9.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E9.m1.2c">\mathrm{det}\left(\mathbb{I}_{n\times n}-V^{T}\cdot\mathrm{diag}\left\langle% \frac{r}{z+r}\right\rangle\cdot U\right)=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E9.m1.2d">roman_det ( blackboard_I start_POSTSUBSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUBSCRIPT - italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⋅ roman_diag ⟨ divide start_ARG italic_r end_ARG start_ARG italic_z + italic_r end_ARG ⟩ ⋅ italic_U ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p1.9">where the average is taken w.r.t. the distribution of time scales <math alttext="r_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.9.m1.1"><semantics id="A1.p1.9.m1.1a"><msub id="A1.p1.9.m1.1.1" xref="A1.p1.9.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.9.m1.1.1.2" xref="A1.p1.9.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="A1.p1.9.m1.1.1.3" xref="A1.p1.9.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.9.m1.1b"><apply id="A1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="A1.p1.9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.9.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.9.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.9.m1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="A1.p1.9.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.9.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.9.m1.1c">r_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.9.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.p2.4">In order to understand the effect of time scale spread, we will tune it up in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A1.E9" title="In Appendix A A. Effect of time scale disorder on eigenvalues ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) in a continuous way. Starting from constant rates, <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1.p2.4.1">e.g.</span> <math alttext="r_{i}(\tau=0)=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.p2.1.m1.1a"><mrow id="A1.p2.1.m1.1.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.p2.1.m1.1.1.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.3" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p2.1.m1.1.1.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="A1.p2.1.m1.1.1.3" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.1.m1.1b"><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1"><eq id="A1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1"><times id="A1.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><cn id="A1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.1.m1.1c">r_{i}(\tau=0)=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.1.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ = 0 ) = 1</annotation></semantics></math>, we let <math alttext="x_{i}^{\star}(\tau+\mathrm{d}\tau)=x_{i}^{\star}(\tau)+\sqrt{x_{i}(\tau)% \mathrm{d}\tau}\eta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.2.m2.3"><semantics id="A1.p2.2.m2.3a"><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3.1" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.cmml"><msubsup id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.1.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.cmml"><msubsup id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.2.2.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.2.2.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.2.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.2.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.1" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.3.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.cmml"><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p2.2.m2.2.2" xref="A1.p2.2.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.3.1" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.p2.2.m2.3.3.3.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.cmml"><msqrt id="A1.p2.2.m2.1.1" xref="A1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="A1.p2.2.m2.1.1.1" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p2.2.m2.1.1.1.3.2" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="A1.p2.2.m2.1.1.1.3.3" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.p2.2.m2.1.1.1.2" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.2.m2.1.1.1.4.2" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p2.2.m2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A1.p2.2.m2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.p2.2.m2.1.1.1.2a" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p2.2.m2.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.5.cmml">d</mi><mo id="A1.p2.2.m2.1.1.1.2b" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p2.2.m2.1.1.1.6" xref="A1.p2.2.m2.1.1.1.6.cmml">τ</mi></mrow></msqrt><mo id="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.1" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2.2" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2.3" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.2.m2.3b"><apply id="A1.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3"><eq id="A1.p2.2.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.2"></eq><apply id="A1.p2.2.m2.3.3.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1"><times id="A1.p2.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.2"></times><apply id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.3.3">⋆</ci></apply><apply id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1"><plus id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3"><times id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2">d</ci><ci id="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.p2.2.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3"><plus 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xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2.2">𝜂</ci><ci id="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.3.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.2.m2.3c">x_{i}^{\star}(\tau+\mathrm{d}\tau)=x_{i}^{\star}(\tau)+\sqrt{x_{i}(\tau)% \mathrm{d}\tau}\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.2.m2.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_τ + roman_d italic_τ ) = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_τ ) + square-root start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) roman_d italic_τ end_ARG italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="\eta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.3.m3.1"><semantics id="A1.p2.3.m3.1a"><msub id="A1.p2.3.m3.1.1" xref="A1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.3.m3.1.1.2" xref="A1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">η</mi><mi id="A1.p2.3.m3.1.1.3" xref="A1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.3.m3.1b"><apply id="A1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.1.2">𝜂</ci><ci id="A1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.3.m3.1c">\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.3.m3.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a standard Gaussian variable. This defines a diffusion process in ’rate space’ that causes the outliers of <math alttext="J" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.4.m4.1"><semantics id="A1.p2.4.m4.1a"><mi id="A1.p2.4.m4.1.1" xref="A1.p2.4.m4.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.4.m4.1b"><ci id="A1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.p2.4.m4.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.4.m4.1c">J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.4.m4.1d">italic_J</annotation></semantics></math> to undergo a deterministic process. Linearizing eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A1.E9" title="In Appendix A A. Effect of time scale disorder on eigenvalues ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) we find that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\tau}=-z\frac{\bra{u_{z}}\mathrm{diag}\left(\left% \langle\frac{r}{(z+r)^{3}}\right\rangle\right)\ket{v_{z}}}{\bra{u_{z}}\mathrm{% diag}\left(\left\langle\frac{r}{(z+r)^{2}}\right\rangle\right)\ket{v_{z}}}," class="ltx_Math" display="block" id="A1.E10.m1.9"><semantics id="A1.E10.m1.9a"><mrow id="A1.E10.m1.9.9.1" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.9.9.1.1" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.cmml"><mfrac id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.2" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">z</mi></mrow><mrow id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.3" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.3.1" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.3.3" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mfrac><mo id="A1.E10.m1.9.9.1.1.1" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E10.m1.9.9.1.1.3" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E10.m1.9.9.1.1.3a" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.E10.m1.9.9.1.1.3.2" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.E10.m1.9.9.1.1.3.2.1" xref="A1.E10.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="A1.E10.m1.8.8" xref="A1.E10.m1.8.8.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.6.6.6" xref="A1.E10.m1.6.6.6.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.E10.m1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.6.6.6.5" xref="A1.E10.m1.6.6.6.5.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E10.m1.6.6.6.6" xref="A1.E10.m1.6.6.6.6.cmml">diag</mi><mo id="A1.E10.m1.6.6.6.5a" xref="A1.E10.m1.6.6.6.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E10.m1.6.6.6.4.1" xref="A1.E10.m1.6.6.6.cmml"><mo id="A1.E10.m1.6.6.6.4.1.2" xref="A1.E10.m1.6.6.6.cmml">(</mo><mrow id="A1.E10.m1.6.6.6.4.1.1.2" xref="A1.E10.m1.6.6.6.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.6.6.6.4.1.1.2.1" xref="A1.E10.m1.6.6.6.4.1.1.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="A1.E10.m1.5.5.5.3" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.5.5.5.3.3" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.3.cmml">r</mi><msup id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.3" xref="A1.E10.m1.5.5.5.3.1.3.cmml">3</mn></msup></mfrac><mo id="A1.E10.m1.6.6.6.4.1.1.2.2" xref="A1.E10.m1.6.6.6.4.1.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.6.6.6.4.1.3" xref="A1.E10.m1.6.6.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.6.6.6.5b" xref="A1.E10.m1.6.6.6.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="A1.E10.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="A1.E10.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.E10.m1.2.2.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.E10.m1.8.8.8" xref="A1.E10.m1.8.8.8.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.3.3.3.1.3" xref="A1.E10.m1.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.3.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.3.3.3.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.E10.m1.3.3.3.1.1.1" xref="A1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.2" 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xref="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.3" xref="A1.E10.m1.7.7.7.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="A1.E10.m1.8.8.8.4.1.1.2.2" xref="A1.E10.m1.8.8.8.4.1.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.8.8.8.4.1.3" xref="A1.E10.m1.8.8.8.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.8.8.8.5b" xref="A1.E10.m1.8.8.8.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E10.m1.4.4.4.2.3" xref="A1.E10.m1.4.4.4.2.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.4.4.4.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.4.4.4.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="A1.E10.m1.4.4.4.2.1.1" 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xref="A1.E10.m1.4.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.4.4.4.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.4.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.4.4.4.2.1.1.2">𝑣</ci><ci id="A1.E10.m1.4.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.4.4.4.2.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E10.m1.9c">\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\tau}=-z\frac{\bra{u_{z}}\mathrm{diag}\left(\left% \langle\frac{r}{(z+r)^{3}}\right\rangle\right)\ket{v_{z}}}{\bra{u_{z}}\mathrm{% diag}\left(\left\langle\frac{r}{(z+r)^{2}}\right\rangle\right)\ket{v_{z}}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E10.m1.9d">divide start_ARG roman_d italic_z end_ARG start_ARG roman_d italic_τ end_ARG = - italic_z divide start_ARG ⟨ start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | roman_diag ( ⟨ divide start_ARG italic_r end_ARG start_ARG ( italic_z + italic_r ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ ) | start_ARG italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ⟨ start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | roman_diag ( ⟨ divide start_ARG italic_r end_ARG start_ARG ( italic_z + italic_r ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ ) | start_ARG italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p2.9">where we define <math alttext="u_{z},v_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.5.m1.2"><semantics id="A1.p2.5.m1.2a"><mrow id="A1.p2.5.m1.2.2.2" xref="A1.p2.5.m1.2.2.3.cmml"><msub id="A1.p2.5.m1.1.1.1.1" xref="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p2.5.m1.2.2.2.3" xref="A1.p2.5.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.p2.5.m1.2.2.2.2" xref="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.3.cmml">z</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.5.m1.2b"><list id="A1.p2.5.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.5.m1.2.2.2"><apply id="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.5.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.5.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.5.m1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.5.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.5.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.5.m1.2.2.2.2.3">𝑧</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.5.m1.2c">u_{z},v_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.5.m1.2d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="V^{T}\mathrm{diag}\left(\frac{r}{z+r}\right)U\ket{v_{z}}=\ket{v_{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.6.m2.3"><semantics id="A1.p2.6.m2.3a"><mrow id="A1.p2.6.m2.3.4" xref="A1.p2.6.m2.3.4.cmml"><mrow id="A1.p2.6.m2.3.4.2" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.cmml"><msup id="A1.p2.6.m2.3.4.2.2" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.2" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.3" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A1.p2.6.m2.3.4.2.1" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p2.6.m2.3.4.2.3" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.3.cmml">diag</mi><mo id="A1.p2.6.m2.3.4.2.1a" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.6.m2.3.4.2.4.2" xref="A1.p2.6.m2.3.3.cmml"><mo id="A1.p2.6.m2.3.4.2.4.2.1" xref="A1.p2.6.m2.3.3.cmml">(</mo><mfrac id="A1.p2.6.m2.3.3" xref="A1.p2.6.m2.3.3.cmml"><mi id="A1.p2.6.m2.3.3.2" xref="A1.p2.6.m2.3.3.2.cmml">r</mi><mrow id="A1.p2.6.m2.3.3.3" xref="A1.p2.6.m2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.p2.6.m2.3.3.3.2" xref="A1.p2.6.m2.3.3.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.p2.6.m2.3.3.3.1" xref="A1.p2.6.m2.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="A1.p2.6.m2.3.3.3.3" xref="A1.p2.6.m2.3.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></mfrac><mo id="A1.p2.6.m2.3.4.2.4.2.2" xref="A1.p2.6.m2.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.p2.6.m2.3.4.2.1b" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p2.6.m2.3.4.2.5" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.5.cmml">U</mi><mo id="A1.p2.6.m2.3.4.2.1c" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.6.m2.1.1.3" xref="A1.p2.6.m2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.p2.6.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.p2.6.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="A1.p2.6.m2.1.1.1.1" xref="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.2" xref="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.3" xref="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p2.6.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.p2.6.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p2.6.m2.3.4.1" xref="A1.p2.6.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p2.6.m2.2.2.3" xref="A1.p2.6.m2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.p2.6.m2.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.p2.6.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="A1.p2.6.m2.2.2.1.1" xref="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.2" xref="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.3" xref="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p2.6.m2.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A1.p2.6.m2.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.6.m2.3b"><apply id="A1.p2.6.m2.3.4.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4"><eq id="A1.p2.6.m2.3.4.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.1"></eq><apply id="A1.p2.6.m2.3.4.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2"><times id="A1.p2.6.m2.3.4.2.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.1"></times><apply id="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="A1.p2.6.m2.3.4.2.3.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.3">diag</ci><apply id="A1.p2.6.m2.3.3.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.4.2"><divide id="A1.p2.6.m2.3.3.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.4.2"></divide><ci id="A1.p2.6.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.3.2">𝑟</ci><apply id="A1.p2.6.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.3.3"><plus id="A1.p2.6.m2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.3.3.1"></plus><ci id="A1.p2.6.m2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.3.3.2">𝑧</ci><ci id="A1.p2.6.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="A1.p2.6.m2.3.4.2.5.cmml" xref="A1.p2.6.m2.3.4.2.5">𝑈</ci><apply id="A1.p2.6.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.p2.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.6.m2.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.p2.6.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.p2.6.m2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.6.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.2">𝑣</ci><ci id="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.6.m2.2.2.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.6.m2.3c">V^{T}\mathrm{diag}\left(\frac{r}{z+r}\right)U\ket{v_{z}}=\ket{v_{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.6.m2.3d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_diag ( divide start_ARG italic_r end_ARG start_ARG italic_z + italic_r end_ARG ) italic_U | start_ARG italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = | start_ARG italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bra{u_{z}}V^{T}\mathrm{diag}\left(\frac{r}{z+r}\right)U=\bra{u_{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.7.m3.3"><semantics id="A1.p2.7.m3.3a"><mrow id="A1.p2.7.m3.3.4" xref="A1.p2.7.m3.3.4.cmml"><mrow id="A1.p2.7.m3.3.4.2" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.cmml"><mrow id="A1.p2.7.m3.1.1.3" xref="A1.p2.7.m3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.p2.7.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.p2.7.m3.1.1.1.1" xref="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.2" xref="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.3" xref="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p2.7.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.p2.7.m3.3.4.2.1" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.p2.7.m3.3.4.2.2" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.2" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.3" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A1.p2.7.m3.3.4.2.1a" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p2.7.m3.3.4.2.3" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.3.cmml">diag</mi><mo id="A1.p2.7.m3.3.4.2.1b" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.7.m3.3.4.2.4.2" xref="A1.p2.7.m3.3.3.cmml"><mo id="A1.p2.7.m3.3.4.2.4.2.1" xref="A1.p2.7.m3.3.3.cmml">(</mo><mfrac id="A1.p2.7.m3.3.3" xref="A1.p2.7.m3.3.3.cmml"><mi id="A1.p2.7.m3.3.3.2" xref="A1.p2.7.m3.3.3.2.cmml">r</mi><mrow id="A1.p2.7.m3.3.3.3" xref="A1.p2.7.m3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.p2.7.m3.3.3.3.2" xref="A1.p2.7.m3.3.3.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.p2.7.m3.3.3.3.1" xref="A1.p2.7.m3.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="A1.p2.7.m3.3.3.3.3" xref="A1.p2.7.m3.3.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></mfrac><mo id="A1.p2.7.m3.3.4.2.4.2.2" xref="A1.p2.7.m3.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.p2.7.m3.3.4.2.1c" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p2.7.m3.3.4.2.5" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.5.cmml">U</mi></mrow><mo id="A1.p2.7.m3.3.4.1" xref="A1.p2.7.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p2.7.m3.2.2.3" xref="A1.p2.7.m3.2.2.2.cmml"><mo id="A1.p2.7.m3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.p2.7.m3.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.p2.7.m3.2.2.1.1" xref="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.2" xref="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.3" xref="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p2.7.m3.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A1.p2.7.m3.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.7.m3.3b"><apply id="A1.p2.7.m3.3.4.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4"><eq id="A1.p2.7.m3.3.4.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.1"></eq><apply id="A1.p2.7.m3.3.4.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2"><times id="A1.p2.7.m3.3.4.2.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.1"></times><apply id="A1.p2.7.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.1.1.3.1">bra</csymbol><apply id="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.7.m3.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply><apply id="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="A1.p2.7.m3.3.4.2.3.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.3">diag</ci><apply id="A1.p2.7.m3.3.3.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.4.2"><divide id="A1.p2.7.m3.3.3.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.4.2"></divide><ci id="A1.p2.7.m3.3.3.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.3.2">𝑟</ci><apply id="A1.p2.7.m3.3.3.3.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.3.3"><plus id="A1.p2.7.m3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.3.3.1"></plus><ci id="A1.p2.7.m3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.3.3.2">𝑧</ci><ci id="A1.p2.7.m3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="A1.p2.7.m3.3.4.2.5.cmml" xref="A1.p2.7.m3.3.4.2.5">𝑈</ci></apply><apply id="A1.p2.7.m3.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.p2.7.m3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.2.2.3.1">bra</csymbol><apply id="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.7.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.2">𝑢</ci><ci id="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.7.m3.2.2.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.7.m3.3c">\bra{u_{z}}V^{T}\mathrm{diag}\left(\frac{r}{z+r}\right)U=\bra{u_{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.7.m3.3d">⟨ start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_diag ( divide start_ARG italic_r end_ARG start_ARG italic_z + italic_r end_ARG ) italic_U = ⟨ start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG |</annotation></semantics></math>, and we have normalized <math alttext="\braket{u_{z}}{v_{z}}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.8.m4.2"><semantics id="A1.p2.8.m4.2a"><mrow id="A1.p2.8.m4.2.3" xref="A1.p2.8.m4.2.3.cmml"><mrow id="A1.p2.8.m4.2.2.4" xref="A1.p2.8.m4.2.2.3.cmml"><mo id="A1.p2.8.m4.2.2.4.1" stretchy="false" xref="A1.p2.8.m4.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.p2.8.m4.1.1.1.1" xref="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.2" xref="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.3" xref="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p2.8.m4.2.2.4.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A1.p2.8.m4.2.2.3.1.cmml">|</mo><msub id="A1.p2.8.m4.2.2.2.2" xref="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.2" xref="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.3" xref="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p2.8.m4.2.2.4.3" stretchy="false" xref="A1.p2.8.m4.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.p2.8.m4.2.3.1" xref="A1.p2.8.m4.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.p2.8.m4.2.3.2" xref="A1.p2.8.m4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.8.m4.2b"><apply id="A1.p2.8.m4.2.3.cmml" xref="A1.p2.8.m4.2.3"><eq id="A1.p2.8.m4.2.3.1.cmml" xref="A1.p2.8.m4.2.3.1"></eq><apply id="A1.p2.8.m4.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.8.m4.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A1.p2.8.m4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.p2.8.m4.2.2.4.1">inner-product</csymbol><apply id="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.8.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.8.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.8.m4.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.8.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.8.m4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.8.m4.2.2.2.2.3">𝑧</ci></apply></apply><cn id="A1.p2.8.m4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p2.8.m4.2.3.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.8.m4.2c">\braket{u_{z}}{v_{z}}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.8.m4.2d">⟨ start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = 1</annotation></semantics></math>. Leveraging the fact that all the <math alttext="r_{i}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.9.m5.1"><semantics id="A1.p2.9.m5.1a"><mrow id="A1.p2.9.m5.1.2" xref="A1.p2.9.m5.1.2.cmml"><msub id="A1.p2.9.m5.1.2.2" xref="A1.p2.9.m5.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.9.m5.1.2.2.2" xref="A1.p2.9.m5.1.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="A1.p2.9.m5.1.2.2.3" xref="A1.p2.9.m5.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.p2.9.m5.1.2.1" xref="A1.p2.9.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.9.m5.1.2.3.2" xref="A1.p2.9.m5.1.2.cmml"><mo id="A1.p2.9.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p2.9.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p2.9.m5.1.1" xref="A1.p2.9.m5.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A1.p2.9.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p2.9.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.9.m5.1b"><apply id="A1.p2.9.m5.1.2.cmml" xref="A1.p2.9.m5.1.2"><times id="A1.p2.9.m5.1.2.1.cmml" xref="A1.p2.9.m5.1.2.1"></times><apply id="A1.p2.9.m5.1.2.2.cmml" xref="A1.p2.9.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.9.m5.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.9.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.9.m5.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.9.m5.1.2.2.2">𝑟</ci><ci id="A1.p2.9.m5.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.9.m5.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A1.p2.9.m5.1.1.cmml" xref="A1.p2.9.m5.1.1">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.9.m5.1c">r_{i}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.9.m5.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> have the same distribution (a fact that stems from the equality in initial conditions), eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A1.E10" title="In Appendix A A. Effect of time scale disorder on eigenvalues ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) can be rewritten in a simpler form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\tau}=-z\left\langle\frac{r}{(z+r)^{3}}\right% \rangle\left\langle\frac{r}{(z+r)^{2}}\right\rangle^{-1}," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex2.m1.3"><semantics id="A1.Ex2.m1.3a"><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">z</mi></mrow><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mfrac><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3a" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="A1.Ex2.m1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex2.m1.1.1.3" xref="A1.Ex2.m1.1.1.3.cmml">r</mi><msup id="A1.Ex2.m1.1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex2.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msup></mfrac><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.1a" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.cmml"><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2.1" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="A1.Ex2.m1.2.2" xref="A1.Ex2.m1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex2.m1.2.2.3" xref="A1.Ex2.m1.2.2.3.cmml">r</mi><msup id="A1.Ex2.m1.2.2.1" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex2.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex2.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.3" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.3a" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex2.m1.3.3.1.2" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex2.m1.3b"><apply id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1"><eq id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2"><divide id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2"></divide><apply id="A1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" 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- 1 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p2.10">which is exactly eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) from the main text.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix B </span>B. Low-dimensional chaos</h2> <div class="ltx_para" id="A2.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.p1.2">We follow <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> in constructing the following 4-species Lotka-Volterra system that exhibits low-dimensional chaos</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\ 0.72\\ 1.53\\ 1.27\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}1&1.09&1.52&0\\ 0&1&0.44&1.36\\ 2.33&0&1&0.47\\ 1.21&0.51&0.35&1\end{pmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E11.m1.4"><semantics id="A2.E11.m1.4a"><mrow id="A2.E11.m1.4.4.2" xref="A2.E11.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="A2.E11.m1.3.3.1.1" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.E11.m1.3.3.1.1.2" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.2" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E11.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E11.m1.1.1.3" xref="A2.E11.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E11.m1.1.1.3.1" xref="A2.E11.m1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mtable displaystyle="true" id="A2.E11.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A2.E11.m1.1.1.1.1a" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A2.E11.m1.1.1.1.1b" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd></mtr><mtr id="A2.E11.m1.1.1.1.1c" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A2.E11.m1.1.1.1.1d" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0.72</mn></mtd></mtr><mtr id="A2.E11.m1.1.1.1.1e" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A2.E11.m1.1.1.1.1f" 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id="A2.E11.m1.2.2.1.1b" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1c" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">1.09</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1d" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">1.52</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1e" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.4.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A2.E11.m1.2.2.1.1f" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1g" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1h" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1i" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">0.44</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1j" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">1.36</mn></mtd></mtr><mtr id="A2.E11.m1.2.2.1.1k" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1l" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.1.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">2.33</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1m" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1n" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1o" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.4.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.4.1.cmml">0.47</mn></mtd></mtr><mtr id="A2.E11.m1.2.2.1.1p" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1q" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.1.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.1.1.cmml">1.21</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1r" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.2.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml">0.51</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1s" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.3.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.3.1.cmml">0.35</mn></mtd><mtd id="A2.E11.m1.2.2.1.1t" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.4.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.4.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="A2.E11.m1.2.2.3.2" xref="A2.E11.m1.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E11.m1.4b"><apply id="A2.E11.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.E11.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E11.m1.4.4.3a.cmml" xref="A2.E11.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1"><eq id="A2.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.2"><ci id="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.1">→</ci><ci id="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E11.m1.3.3.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A2.E11.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E11.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E11.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E11.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A2.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A2.E11.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1"><cn id="A2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1">1</cn></matrixrow><matrixrow id="A2.E11.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1"><cn id="A2.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1">0.72</cn></matrixrow><matrixrow id="A2.E11.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1"><cn id="A2.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1">1.53</cn></matrixrow><matrixrow id="A2.E11.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1"><cn id="A2.E11.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.1.1.1.1.4.1.1">1.27</cn></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="A2.E11.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A2.E11.m1.4.4.2.2"><eq id="A2.E11.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="A2.E11.m1.4.4.2.2.1"></eq><ci id="A2.E11.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A2.E11.m1.4.4.2.2.2">𝐴</ci><apply id="A2.E11.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E11.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="A2.E11.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1"><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1">1.09</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1">1.52</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.4.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="A2.E11.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1"><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1">0</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1">1</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.1">0.44</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.1">1.36</cn></matrixrow><matrixrow id="A2.E11.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1"><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.1.1">2.33</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.2.1">0</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.3.1">1</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.4.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.3.4.1">0.47</cn></matrixrow><matrixrow id="A2.E11.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1"><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.1.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.1.1">1.21</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.2.1">0.51</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.3.1.cmml" type="float" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.3.1">0.35</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.4.1.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.4.4.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E11.m1.4c">\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\ 0.72\\ 1.53\\ 1.27\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}1&1.09&1.52&0\\ 0&1&0.44&1.36\\ 2.33&0&1&0.47\\ 1.21&0.51&0.35&1\end{pmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E11.m1.4d">over→ start_ARG italic_r end_ARG = ( start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0.72 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1.53 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1.27 end_CELL end_ROW end_ARG ) , italic_A = ( start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1.09 end_CELL start_CELL 1.52 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0.44 end_CELL start_CELL 1.36 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 2.33 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0.47 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1.21 end_CELL start_CELL 0.51 end_CELL start_CELL 0.35 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p1.1">Here the time scale heterogeneity (in <math alttext="\vec{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="A2.p1.1.m1.1.1" xref="A2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.p1.1.m1.1.1.2" xref="A2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="A2.p1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1"><ci id="A2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.2">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p1.1.m1.1c">\vec{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p1.1.m1.1d">over→ start_ARG italic_r end_ARG</annotation></semantics></math>) is required to destabilize the fixed point and induce chaotic dynamics, illustrating the fact that the stabilizing effect of such heterogeneity is a high-dimensional effect and not generic for a few-variable system.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix C </span>C. Dynamical Mean-Field Theory for gLV</h2> <div class="ltx_para" id="A3.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.p1.5">Let us again denote <math alttext="\mu=UV^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.1.m1.1"><semantics id="A3.p1.1.m1.1a"><mrow id="A3.p1.1.m1.1.1" xref="A3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.1.m1.1.1.2" xref="A3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A3.p1.1.m1.1.1.1" xref="A3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="A3.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">V</mi><mi id="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.1.m1.1b"><apply id="A3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1"><eq id="A3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="A3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3"><times id="A3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑉</ci><ci id="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.1.m1.1c">\mu=UV^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.1.m1.1d">italic_μ = italic_U italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="U,V" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.2.m2.2"><semantics id="A3.p1.2.m2.2a"><mrow id="A3.p1.2.m2.2.3.2" xref="A3.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mi id="A3.p1.2.m2.1.1" xref="A3.p1.2.m2.1.1.cmml">U</mi><mo id="A3.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="A3.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A3.p1.2.m2.2.2" xref="A3.p1.2.m2.2.2.cmml">V</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.2.m2.2b"><list id="A3.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="A3.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="A3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.p1.2.m2.1.1">𝑈</ci><ci id="A3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="A3.p1.2.m2.2.2">𝑉</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.2.m2.2c">U,V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.2.m2.2d">italic_U , italic_V</annotation></semantics></math> are <math alttext="S\times n" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.3.m3.1"><semantics id="A3.p1.3.m3.1a"><mrow id="A3.p1.3.m3.1.1" xref="A3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.3.m3.1.1.2" xref="A3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A3.p1.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="A3.p1.3.m3.1.1.3" xref="A3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.3.m3.1b"><apply id="A3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A3.p1.3.m3.1.1"><times id="A3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.3.m3.1.1.1"></times><ci id="A3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.3.m3.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.3.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.3.m3.1c">S\times n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.3.m3.1d">italic_S × italic_n</annotation></semantics></math> matrices of coefficients <math alttext="u_{i}^{(\alpha)},v_{i}^{(\alpha)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.4.m4.4"><semantics id="A3.p1.4.m4.4a"><mrow id="A3.p1.4.m4.4.4.2" xref="A3.p1.4.m4.4.4.3.cmml"><msubsup id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.2" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.3" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="A3.p1.4.m4.1.1.1.3" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml"><mo id="A3.p1.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="A3.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="A3.p1.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A3.p1.4.m4.4.4.2.3" xref="A3.p1.4.m4.4.4.3.cmml">,</mo><msubsup id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml"><mi id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.2" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.3" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="A3.p1.4.m4.2.2.1.3" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml"><mo id="A3.p1.4.m4.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="A3.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml">α</mi><mo id="A3.p1.4.m4.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.4.m4.4b"><list id="A3.p1.4.m4.4.4.3.cmml" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2"><apply id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.4.m4.3.3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m4.1.1.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.1.cmml" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.cmml" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="A3.p1.4.m4.4.4.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m4.2.2.1.1">𝛼</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.4.m4.4c">u_{i}^{(\alpha)},v_{i}^{(\alpha)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.4.m4.4d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Such matrices can be obtained from the Singular Value Decomposition (SVD) of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.5.m5.1"><semantics id="A3.p1.5.m5.1a"><mi id="A3.p1.5.m5.1.1" xref="A3.p1.5.m5.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.5.m5.1b"><ci id="A3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A3.p1.5.m5.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.5.m5.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.5.m5.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>. We use the well-established framework of Dynamical Mean-Field Theory <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib29" title="">29</a>]</cite> to reduce the high-dimensional dynamics of eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E2" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) to an effective one-dimensional stochastic differential equation,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}=r_{i}x_{i}\left(1-x_{i}+\sum_{\alpha}u_{i}% ^{(\alpha)}f_{\alpha}(t)+\sigma\zeta_{i}(t)\right)," class="ltx_Math" display="block" id="A3.E12.m1.4"><semantics id="A3.E12.m1.4a"><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.cmml"><mfrac id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.3.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.3.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.4" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.4.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><msub id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.055em" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">α</mi></munder><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="A3.E12.m1.1.1.1.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="A3.E12.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="A3.E12.m1.1.1.1.1" xref="A3.E12.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="A3.E12.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">α</mi></msub><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A3.E12.m1.2.2" xref="A3.E12.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.4.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.4.2.1" stretchy="false" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="A3.E12.m1.3.3" xref="A3.E12.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2" stretchy="false" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.E12.m1.4.4.1.2" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E12.m1.4b"><apply id="A3.E12.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1"><eq id="A3.E12.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3"><divide id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.3"></divide><apply id="A3.E12.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" 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id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑓</ci><ci id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝛼</ci></apply><ci id="A3.E12.m1.2.2.cmml" xref="A3.E12.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4"><times id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜎</ci><apply id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝜁</ci><ci id="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.E12.m1.3.3.cmml" xref="A3.E12.m1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E12.m1.4c">\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}=r_{i}x_{i}\left(1-x_{i}+\sum_{\alpha}u_{i}% ^{(\alpha)}f_{\alpha}(t)+\sigma\zeta_{i}(t)\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E12.m1.4d">divide start_ARG roman_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG roman_d italic_t end_ARG = italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 1 - italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) + italic_σ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.p1.10">where <math alttext="\zeta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.6.m1.1"><semantics id="A3.p1.6.m1.1a"><msub id="A3.p1.6.m1.1.1" xref="A3.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.6.m1.1.1.2" xref="A3.p1.6.m1.1.1.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.p1.6.m1.1.1.3" xref="A3.p1.6.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.6.m1.1b"><apply id="A3.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="A3.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.6.m1.1.1.2">𝜁</ci><ci id="A3.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.6.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.6.m1.1c">\zeta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.6.m1.1d">italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are Gaussian processes with zero mean and correlation <math alttext="\langle\zeta_{i}(t)\zeta_{j}(s)\rangle=\delta_{ij}\langle x(t)x(s)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.7.m2.6"><semantics id="A3.p1.7.m2.6a"><mrow id="A3.p1.7.m2.6.6" xref="A3.p1.7.m2.6.6.cmml"><mrow id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.2.cmml"><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.2" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.3" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.3.2" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.7.m2.1.1" xref="A3.p1.7.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.1a" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.cmml"><mi id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.2" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.3" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.1b" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.5.2" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.7.m2.2.2" xref="A3.p1.7.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.3" xref="A3.p1.7.m2.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.7.m2.6.6.2" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.cmml"><msub id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.cmml"><mi id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.2" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.cmml"><mi id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.2" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.1" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.3" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.2" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.2.cmml"><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.2" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.1" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.3.2" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.7.m2.3.3" xref="A3.p1.7.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.1a" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.4" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.1b" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.5.2" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.7.m2.4.4" xref="A3.p1.7.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.7.m2.6b"><apply id="A3.p1.7.m2.6.6.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6"><eq id="A3.p1.7.m2.6.6.3.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.3"></eq><apply id="A3.p1.7.m2.5.5.1.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.p1.7.m2.5.5.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1"><times id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.1"></times><apply id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.2">𝜁</ci><ci id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.1.1">𝑡</ci><apply id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.2">𝜁</ci><ci id="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.3.cmml" xref="A3.p1.7.m2.5.5.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="A3.p1.7.m2.2.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.2.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A3.p1.7.m2.6.6.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2"><times id="A3.p1.7.m2.6.6.2.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.2"></times><apply id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.2">𝛿</ci><apply id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3"><times id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.1"></times><ci id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.3.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1"><times id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.1"></times><ci id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A3.p1.7.m2.3.3.cmml" xref="A3.p1.7.m2.3.3">𝑡</ci><ci id="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.4.cmml" xref="A3.p1.7.m2.6.6.2.1.1.1.4">𝑥</ci><ci id="A3.p1.7.m2.4.4.cmml" xref="A3.p1.7.m2.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.7.m2.6c">\langle\zeta_{i}(t)\zeta_{j}(s)\rangle=\delta_{ij}\langle x(t)x(s)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.7.m2.6d">⟨ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ⟩ = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_x ( italic_t ) italic_x ( italic_s ) ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="f_{\alpha}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.8.m3.1"><semantics id="A3.p1.8.m3.1a"><mrow id="A3.p1.8.m3.1.2" xref="A3.p1.8.m3.1.2.cmml"><msub id="A3.p1.8.m3.1.2.2" xref="A3.p1.8.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A3.p1.8.m3.1.2.2.2" xref="A3.p1.8.m3.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.p1.8.m3.1.2.2.3" xref="A3.p1.8.m3.1.2.2.3.cmml">α</mi></msub><mo id="A3.p1.8.m3.1.2.1" xref="A3.p1.8.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.8.m3.1.2.3.2" xref="A3.p1.8.m3.1.2.cmml"><mo id="A3.p1.8.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.p1.8.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.8.m3.1.1" xref="A3.p1.8.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="A3.p1.8.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.p1.8.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.8.m3.1b"><apply id="A3.p1.8.m3.1.2.cmml" xref="A3.p1.8.m3.1.2"><times id="A3.p1.8.m3.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.8.m3.1.2.1"></times><apply id="A3.p1.8.m3.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.8.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.8.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A3.p1.8.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.8.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A3.p1.8.m3.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.p1.8.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A3.p1.8.m3.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="A3.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="A3.p1.8.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.8.m3.1c">f_{\alpha}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.8.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> are mean-field variables (henceforth called functions) independent of the realization of randomness, given by <math alttext="f_{\alpha}(t)=S^{-1}\sum_{i}v^{(\alpha)}_{i}\langle x_{i}(t)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.9.m4.4"><semantics id="A3.p1.9.m4.4a"><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4" xref="A3.p1.9.m4.4.4.cmml"><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.cmml"><msub id="A3.p1.9.m4.4.4.3.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.cmml"><mi id="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.3.cmml">α</mi></msub><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.3.1" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.3.3.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.cmml"><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.9.m4.2.2" xref="A3.p1.9.m4.2.2.cmml">t</mi><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.1" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.cmml"><msup id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.cmml"><mi id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.2.cmml">S</mi><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3.cmml"><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3a" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.cmml"><msubsup id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.3.cmml">i</mi><mrow id="A3.p1.9.m4.1.1.1.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.p1.9.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.9.m4.1.1.1.1" xref="A3.p1.9.m4.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="A3.p1.9.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.p1.9.m4.3.3" xref="A3.p1.9.m4.3.3.cmml">t</mi><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.9.m4.4b"><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4"><eq id="A3.p1.9.m4.4.4.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.2"></eq><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3"><times id="A3.p1.9.m4.4.4.3.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.1"></times><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="A3.p1.9.m4.2.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1"><times id="A3.p1.9.m4.4.4.1.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.2"></times><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3"><minus id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3"></minus><cn id="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1"><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.2"></sum><ci id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1"><times id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.2.2">𝑣</ci><ci id="A3.p1.9.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.1.1.1.1">𝛼</ci></apply><ci id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p1.9.m4.3.3.cmml" xref="A3.p1.9.m4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.9.m4.4c">f_{\alpha}(t)=S^{-1}\sum_{i}v^{(\alpha)}_{i}\langle x_{i}(t)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.9.m4.4d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math>. Here, brackets indicate averages w.r.t. the stochastic processes <math alttext="\zeta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.10.m5.1"><semantics id="A3.p1.10.m5.1a"><msub id="A3.p1.10.m5.1.1" xref="A3.p1.10.m5.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.10.m5.1.1.2" xref="A3.p1.10.m5.1.1.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.p1.10.m5.1.1.3" xref="A3.p1.10.m5.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.10.m5.1b"><apply id="A3.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="A3.p1.10.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.10.m5.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.10.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.10.m5.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.10.m5.1.1.2">𝜁</ci><ci id="A3.p1.10.m5.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.10.m5.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.10.m5.1c">\zeta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.10.m5.1d">italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.p2"> <p class="ltx_p" id="A3.p2.1">This effective process may undergo different dynamical regimes depending on the model parameters. In particular, the system may reach a fixed where all time-dependent quantities converge, <math alttext="x_{i}(t)\rightarrow x_{i}^{\star},\zeta_{i}(t)\rightarrow\zeta_{i}^{\star},f_{% \alpha}(t)\rightarrow f_{\alpha}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p2.1.m1.5"><semantics id="A3.p2.1.m1.5a"><mrow id="A3.p2.1.m1.5.5.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.1" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.p2.1.m1.1.1" xref="A3.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.1" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">→</mo><msubsup id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.3" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mrow id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.1" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.p2.1.m1.2.2" xref="A3.p2.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml">→</mo><msubsup id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml">α</mi></msub><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.1" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A3.p2.1.m1.3.3" xref="A3.p2.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml">→</mo><msubsup id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.cmml">α</mi><mo id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.3" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p2.1.m1.5b"><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.5.5.3a.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1"><ci id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.1">→</ci><apply id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2"><times id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.4.4.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.3a.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1"><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.1">→</ci><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2"><times id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2">𝜁</ci><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.2">𝜁</ci><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2"><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.1">→</ci><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2"><times id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="A3.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A3.p2.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p2.1.m1.5c">x_{i}(t)\rightarrow x_{i}^{\star},\zeta_{i}(t)\rightarrow\zeta_{i}^{\star},f_{% \alpha}(t)\rightarrow f_{\alpha}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p2.1.m1.5d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) → italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) → italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) → italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The fixed-point abundances are then given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="x_{i}^{\star}=\max\left(0,1+\sum_{\alpha}u_{i}^{(\alpha)}f_{\alpha}^{\star}+% \sigma\zeta_{i}^{\star}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="A3.Ex3.m1.4"><semantics id="A3.Ex3.m1.4a"><mrow id="A3.Ex3.m1.4.4.1" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml"><msubsup id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.Ex3.m1.2.2" xref="A3.Ex3.m1.2.2.cmml">max</mi><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1a" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="A3.Ex3.m1.3.3" xref="A3.Ex3.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.055em" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">α</mi></munder><mrow id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="A3.Ex3.m1.1.1.1.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="A3.Ex3.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="A3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="A3.Ex3.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">α</mi><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.Ex3.m1.4.4.1.2" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.Ex3.m1.4b"><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1"><eq id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.3.3">⋆</ci></apply><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1"><max id="A3.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.2.2"></max><cn id="A3.Ex3.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.Ex3.m1.3.3">0</cn><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><plus id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2"></sum><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝛼</ci></apply><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.1.1.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4"><times id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜎</ci><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝜁</ci><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A3.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.Ex3.m1.4c">x_{i}^{\star}=\max\left(0,1+\sum_{\alpha}u_{i}^{(\alpha)}f_{\alpha}^{\star}+% \sigma\zeta_{i}^{\star}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.Ex3.m1.4d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT = roman_max ( 0 , 1 + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_σ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.p2.6">and therefore follow truncated Gaussian distributions. This equation, along with the self consistent relations <math alttext="\langle(\zeta_{i}^{\star})^{2}\rangle=S^{-1}\sum_{j}\langle(x_{j}^{\star})^{2}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p2.2.m1.2"><semantics id="A3.p2.2.m1.2a"><mrow id="A3.p2.2.m1.2.2" xref="A3.p2.2.m1.2.2.cmml"><mrow id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.3" xref="A3.p2.2.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A3.p2.2.m1.2.2.2" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.cmml"><msup id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.2" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.2.cmml">S</mi><mrow id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3a" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3.2" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.2.2" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.cmml"><msub id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.2" rspace="0em" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.3" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mrow id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p2.2.m1.2b"><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2"><eq id="A3.p2.2.m1.2.2.3.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.3"></eq><apply id="A3.p2.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.p2.2.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜁</ci><ci id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply><cn id="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2"><times id="A3.p2.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.2"></times><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.2">𝑆</ci><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3"><minus id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3"></minus><cn id="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1"><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.2"></sum><ci id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply><cn id="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p2.2.m1.2.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p2.2.m1.2c">\langle(\zeta_{i}^{\star})^{2}\rangle=S^{-1}\sum_{j}\langle(x_{j}^{\star})^{2}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p2.2.m1.2d">⟨ ( italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟨ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="f_{\alpha}^{\star}=S^{-1}\sum_{i}u_{i}^{(\alpha)}\langle x_{i}^{\star}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p2.3.m2.2"><semantics id="A3.p2.3.m2.2a"><mrow id="A3.p2.3.m2.2.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.cmml"><msubsup id="A3.p2.3.m2.2.2.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.3.cmml">α</mi><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.3.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.p2.3.m2.2.2.1" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.cmml"><msup id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.2.cmml">S</mi><mrow id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3.cmml"><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3a" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.1.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.cmml"><msub id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mrow id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="A3.p2.3.m2.1.1.1.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.p2.3.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A3.p2.3.m2.1.1.1.1" xref="A3.p2.3.m2.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="A3.p2.3.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p2.3.m2.2b"><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2"><eq id="A3.p2.3.m2.2.2.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.2"></eq><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.3.m2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.3.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.3.3">⋆</ci></apply><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1"><times id="A3.p2.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.2"></times><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3"><minus id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3"></minus><cn id="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1"><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.2"></sum><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1"><times id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p2.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.1.1.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p2.3.m2.2c">f_{\alpha}^{\star}=S^{-1}\sum_{i}u_{i}^{(\alpha)}\langle x_{i}^{\star}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p2.3.m2.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, can be used to find the values of <math alttext="f_{\alpha}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p2.4.m3.1"><semantics id="A3.p2.4.m3.1a"><msubsup id="A3.p2.4.m3.1.1" xref="A3.p2.4.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.p2.4.m3.1.1.2.2" xref="A3.p2.4.m3.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.p2.4.m3.1.1.2.3" xref="A3.p2.4.m3.1.1.2.3.cmml">α</mi><mo id="A3.p2.4.m3.1.1.3" xref="A3.p2.4.m3.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p2.4.m3.1b"><apply id="A3.p2.4.m3.1.1.cmml" xref="A3.p2.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.4.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.4.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.4.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.4.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.4.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.4.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.4.m3.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.p2.4.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p2.4.m3.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="A3.p2.4.m3.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.4.m3.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p2.4.m3.1c">f_{\alpha}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p2.4.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the distribution of <math alttext="\zeta_{i}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p2.5.m4.1"><semantics id="A3.p2.5.m4.1a"><msubsup id="A3.p2.5.m4.1.1" xref="A3.p2.5.m4.1.1.cmml"><mi id="A3.p2.5.m4.1.1.2.2" xref="A3.p2.5.m4.1.1.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="A3.p2.5.m4.1.1.2.3" xref="A3.p2.5.m4.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.p2.5.m4.1.1.3" xref="A3.p2.5.m4.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p2.5.m4.1b"><apply id="A3.p2.5.m4.1.1.cmml" xref="A3.p2.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.5.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.5.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.p2.5.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.5.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p2.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p2.5.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p2.5.m4.1.1.2.2">𝜁</ci><ci id="A3.p2.5.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p2.5.m4.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.p2.5.m4.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.5.m4.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p2.5.m4.1c">\zeta_{i}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p2.5.m4.1d">italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which are enough to characterize the equilibrium. In turn, other quantities of interest, such as the fraction of surviving species <math alttext="\phi^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p2.6.m5.1"><semantics id="A3.p2.6.m5.1a"><msup id="A3.p2.6.m5.1.1" xref="A3.p2.6.m5.1.1.cmml"><mi id="A3.p2.6.m5.1.1.2" xref="A3.p2.6.m5.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="A3.p2.6.m5.1.1.3" xref="A3.p2.6.m5.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p2.6.m5.1b"><apply id="A3.p2.6.m5.1.1.cmml" xref="A3.p2.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p2.6.m5.1.1.1.cmml" xref="A3.p2.6.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.p2.6.m5.1.1.2.cmml" xref="A3.p2.6.m5.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="A3.p2.6.m5.1.1.3.cmml" xref="A3.p2.6.m5.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p2.6.m5.1c">\phi^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p2.6.m5.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, can be obtained from them.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.p3"> <p class="ltx_p" id="A3.p3.2">For our purposes, the most important aspect of such relations is that, as <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p3.1.m1.1"><semantics id="A3.p3.1.m1.1a"><mi id="A3.p3.1.m1.1.1" xref="A3.p3.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p3.1.m1.1b"><ci id="A3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.p3.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p3.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p3.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> is increased from <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p3.2.m2.1"><semantics id="A3.p3.2.m2.1a"><mn id="A3.p3.2.m2.1.1" xref="A3.p3.2.m2.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p3.2.m2.1b"><cn id="A3.p3.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A3.p3.2.m2.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math>, the spread of each Gaussian increases, leading to a spread in the Species Abundance Distribution.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix D </span>D. Stability</h2> <div class="ltx_para" id="A4.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.p1.1">Stability is analysed by linearizing the effective equation eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A3.E12" title="In Appendix C C. Dynamical Mean-Field Theory for gLV ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>) and adding a small perturbation <math alttext="\delta x_{i}(t)=x_{i}(t)-x_{i}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p1.1.m1.2"><semantics id="A4.p1.1.m1.2a"><mrow id="A4.p1.1.m1.2.3" xref="A4.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A4.p1.1.m1.2.3.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A4.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.p1.1.m1.2.3.2.3" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.3" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.2.1a" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.p1.1.m1.2.3.2.4.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.p1.1.m1.1.1" xref="A4.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.1" xref="A4.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.p1.1.m1.2.3.3" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.3" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.1" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.p1.1.m1.2.2" xref="A4.p1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.3.1" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">−</mo><msubsup id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.2" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.3" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.3" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p1.1.m1.2b"><apply id="A4.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3"><eq id="A4.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="A4.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2"><times id="A4.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.1"></times><ci id="A4.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.2">𝛿</ci><apply id="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.2.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A4.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3"><minus id="A4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.1"></minus><apply id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2"><times id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="A4.p1.1.m1.2.3.3.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p1.1.m1.2c">\delta x_{i}(t)=x_{i}(t)-x_{i}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p1.1.m1.2d">italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This is equivalent to calculating the Jacobian of the system at the given fixed point. We obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta x_{i}&=\delta x_{i}\left(1-x% _{i}+\sum_{\alpha}u_{i}^{(\alpha)}f_{\alpha}^{\star}+\sigma\zeta_{i}^{\star}% \right)\\ &+x_{i}^{\star}\left(-\delta x_{i}+\sum_{\kappa}u_{i}^{(\alpha)}\delta f_{% \alpha}+\sigma\delta\zeta_{i}\right),\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.Ex4.m1.56"><semantics id="A4.Ex4.m1.56a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A4.Ex4.m1.56.56.3" rowspacing="0pt"><mtr id="A4.Ex4.m1.56.56.3a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A4.Ex4.m1.56.56.3b"><mrow id="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4"><mfrac id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex4.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A4.Ex4.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5a" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.6"><mi id="A4.Ex4.m1.3.3.3.3.3.3" xref="A4.Ex4.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">x</mi><mi id="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml">i</mi></msub></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A4.Ex4.m1.56.56.3c"><mrow id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25"><mi id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.26" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A4.Ex4.m1.5.5.5.5.1.1" xref="A4.Ex4.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25"><mi id="A4.Ex4.m1.6.6.6.6.2.2" xref="A4.Ex4.m1.6.6.6.6.2.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.2" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.3"><mi id="A4.Ex4.m1.7.7.7.7.3.3" xref="A4.Ex4.m1.7.7.7.7.3.3.cmml">x</mi><mi id="A4.Ex4.m1.8.8.8.8.4.4.1" xref="A4.Ex4.m1.8.8.8.8.4.4.1.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.2a" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1"><mo id="A4.Ex4.m1.9.9.9.9.5.5" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1"><mrow id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.1"><mn id="A4.Ex4.m1.10.10.10.10.6.6" xref="A4.Ex4.m1.10.10.10.10.6.6.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex4.m1.11.11.11.11.7.7" xref="A4.Ex4.m1.11.11.11.11.7.7.cmml">−</mo><msub id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.1.1"><mi id="A4.Ex4.m1.12.12.12.12.8.8" xref="A4.Ex4.m1.12.12.12.12.8.8.cmml">x</mi><mi id="A4.Ex4.m1.13.13.13.13.9.9.1" xref="A4.Ex4.m1.13.13.13.13.9.9.1.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="A4.Ex4.m1.14.14.14.14.10.10" rspace="0.055em" xref="A4.Ex4.m1.14.14.14.14.10.10.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.2"><munder id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.2.1"><mo id="A4.Ex4.m1.15.15.15.15.11.11" movablelimits="false" xref="A4.Ex4.m1.15.15.15.15.11.11.cmml">∑</mo><mi id="A4.Ex4.m1.16.16.16.16.12.12.1" xref="A4.Ex4.m1.16.16.16.16.12.12.1.cmml">α</mi></munder><mrow id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.2.2"><msubsup id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.2.2.2"><mi id="A4.Ex4.m1.17.17.17.17.13.13" xref="A4.Ex4.m1.17.17.17.17.13.13.cmml">u</mi><mi id="A4.Ex4.m1.18.18.18.18.14.14.1" xref="A4.Ex4.m1.18.18.18.18.14.14.1.cmml">i</mi><mrow id="A4.Ex4.m1.19.19.19.19.15.15.1.3"><mo id="A4.Ex4.m1.19.19.19.19.15.15.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A4.Ex4.m1.19.19.19.19.15.15.1.1" xref="A4.Ex4.m1.19.19.19.19.15.15.1.1.cmml">α</mi><mo id="A4.Ex4.m1.19.19.19.19.15.15.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.2.2.1" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.2.2.3"><mi id="A4.Ex4.m1.20.20.20.20.16.16" xref="A4.Ex4.m1.20.20.20.20.16.16.cmml">f</mi><mi id="A4.Ex4.m1.21.21.21.21.17.17.1" xref="A4.Ex4.m1.21.21.21.21.17.17.1.cmml">α</mi><mo id="A4.Ex4.m1.22.22.22.22.18.18.1" xref="A4.Ex4.m1.22.22.22.22.18.18.1.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A4.Ex4.m1.14.14.14.14.10.10a" xref="A4.Ex4.m1.14.14.14.14.10.10.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.3"><mi id="A4.Ex4.m1.24.24.24.24.20.20" xref="A4.Ex4.m1.24.24.24.24.20.20.cmml">σ</mi><mo id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.Ex4.m1.55.55.2.54.29.25.25.1.1.1.3.2"><mi id="A4.Ex4.m1.25.25.25.25.21.21" xref="A4.Ex4.m1.25.25.25.25.21.21.cmml">ζ</mi><mi id="A4.Ex4.m1.26.26.26.26.22.22.1" xref="A4.Ex4.m1.26.26.26.26.22.22.1.cmml">i</mi><mo id="A4.Ex4.m1.27.27.27.27.23.23.1" xref="A4.Ex4.m1.27.27.27.27.23.23.1.cmml">⋆</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A4.Ex4.m1.28.28.28.28.24.24" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A4.Ex4.m1.56.56.3d"><mtd id="A4.Ex4.m1.56.56.3e" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A4.Ex4.m1.56.56.3f"><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26"><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1"><mo id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1a" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1"><msubsup id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.3"><mi id="A4.Ex4.m1.30.30.30.2.2.2" xref="A4.Ex4.m1.30.30.30.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="A4.Ex4.m1.31.31.31.3.3.3.1" xref="A4.Ex4.m1.31.31.31.3.3.3.1.cmml">i</mi><mo id="A4.Ex4.m1.32.32.32.4.4.4.1" xref="A4.Ex4.m1.32.32.32.4.4.4.1.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.2" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1"><mo id="A4.Ex4.m1.33.33.33.5.5.5" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1"><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.1"><mo id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.1a" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A4.Ex4.m1.35.35.35.7.7.7" xref="A4.Ex4.m1.35.35.35.7.7.7.cmml">δ</mi><mo id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="A4.Ex4.m1.36.36.36.8.8.8" xref="A4.Ex4.m1.36.36.36.8.8.8.cmml">x</mi><mi id="A4.Ex4.m1.37.37.37.9.9.9.1" xref="A4.Ex4.m1.37.37.37.9.9.9.1.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A4.Ex4.m1.38.38.38.10.10.10" rspace="0.055em" xref="A4.Ex4.m1.38.38.38.10.10.10.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.2"><munder id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.2.1"><mo id="A4.Ex4.m1.39.39.39.11.11.11" movablelimits="false" xref="A4.Ex4.m1.39.39.39.11.11.11.cmml">∑</mo><mi id="A4.Ex4.m1.40.40.40.12.12.12.1" xref="A4.Ex4.m1.40.40.40.12.12.12.1.cmml">κ</mi></munder><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.2.2"><msubsup id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.2.2.2"><mi id="A4.Ex4.m1.41.41.41.13.13.13" xref="A4.Ex4.m1.41.41.41.13.13.13.cmml">u</mi><mi id="A4.Ex4.m1.42.42.42.14.14.14.1" xref="A4.Ex4.m1.42.42.42.14.14.14.1.cmml">i</mi><mrow id="A4.Ex4.m1.43.43.43.15.15.15.1.3"><mo id="A4.Ex4.m1.43.43.43.15.15.15.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A4.Ex4.m1.43.43.43.15.15.15.1.1" xref="A4.Ex4.m1.43.43.43.15.15.15.1.1.cmml">α</mi><mo id="A4.Ex4.m1.43.43.43.15.15.15.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex4.m1.44.44.44.16.16.16" xref="A4.Ex4.m1.44.44.44.16.16.16.cmml">δ</mi><mo id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.2.2.3"><mi id="A4.Ex4.m1.45.45.45.17.17.17" xref="A4.Ex4.m1.45.45.45.17.17.17.cmml">f</mi><mi id="A4.Ex4.m1.46.46.46.18.18.18.1" xref="A4.Ex4.m1.46.46.46.18.18.18.1.cmml">α</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A4.Ex4.m1.38.38.38.10.10.10a" xref="A4.Ex4.m1.38.38.38.10.10.10.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.3"><mi id="A4.Ex4.m1.48.48.48.20.20.20" xref="A4.Ex4.m1.48.48.48.20.20.20.cmml">σ</mi><mo id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex4.m1.49.49.49.21.21.21" xref="A4.Ex4.m1.49.49.49.21.21.21.cmml">δ</mi><mo id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex4.m1.56.56.3.55.26.26.26.1.1.1.1.1.3.2"><mi id="A4.Ex4.m1.50.50.50.22.22.22" xref="A4.Ex4.m1.50.50.50.22.22.22.cmml">ζ</mi><mi id="A4.Ex4.m1.51.51.51.23.23.23.1" xref="A4.Ex4.m1.51.51.51.23.23.23.1.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A4.Ex4.m1.52.52.52.24.24.24" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.Ex4.m1.53.53.53.25.25.25" xref="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex4.m1.56b"><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><eq id="A4.Ex4.m1.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.5.5.5.5.1.1"></eq><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.4.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><times id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"></times><apply id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="A4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex4.m1.20.20.20.20.16.16.cmml" xref="A4.Ex4.m1.20.20.20.20.16.16">𝑓</ci><ci id="A4.Ex4.m1.21.21.21.21.17.17.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.21.21.21.21.17.17.1">𝛼</ci></apply><ci id="A4.Ex4.m1.22.22.22.22.18.18.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.22.22.22.22.18.18.1">⋆</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><times id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"></times><ci id="A4.Ex4.m1.24.24.24.24.20.20.cmml" xref="A4.Ex4.m1.24.24.24.24.20.20">𝜎</ci><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex4.m1.25.25.25.25.21.21.cmml" xref="A4.Ex4.m1.25.25.25.25.21.21">𝜁</ci><ci id="A4.Ex4.m1.26.26.26.26.22.22.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.26.26.26.26.22.22.1">𝑖</ci></apply><ci id="A4.Ex4.m1.27.27.27.27.23.23.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.27.27.27.27.23.23.1">⋆</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><times id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"></times><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex4.m1.30.30.30.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.30.30.30.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A4.Ex4.m1.31.31.31.3.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.31.31.31.3.3.3.1">𝑖</ci></apply><ci id="A4.Ex4.m1.32.32.32.4.4.4.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.32.32.32.4.4.4.1">⋆</ci></apply><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><plus id="A4.Ex4.m1.38.38.38.10.10.10.cmml" xref="A4.Ex4.m1.38.38.38.10.10.10"></plus><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><minus id="A4.Ex4.m1.34.34.34.6.6.6.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"></minus><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><times id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"></times><ci id="A4.Ex4.m1.35.35.35.7.7.7.cmml" xref="A4.Ex4.m1.35.35.35.7.7.7">𝛿</ci><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex4.m1.36.36.36.8.8.8.cmml" xref="A4.Ex4.m1.36.36.36.8.8.8">𝑥</ci><ci id="A4.Ex4.m1.37.37.37.9.9.9.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.37.37.37.9.9.9.1">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">subscript</csymbol><sum id="A4.Ex4.m1.39.39.39.11.11.11.cmml" xref="A4.Ex4.m1.39.39.39.11.11.11"></sum><ci id="A4.Ex4.m1.40.40.40.12.12.12.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.40.40.40.12.12.12.1">𝜅</ci></apply><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><times id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"></times><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex4.m1.41.41.41.13.13.13.cmml" xref="A4.Ex4.m1.41.41.41.13.13.13">𝑢</ci><ci id="A4.Ex4.m1.42.42.42.14.14.14.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.42.42.42.14.14.14.1">𝑖</ci></apply><ci id="A4.Ex4.m1.43.43.43.15.15.15.1.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.43.43.43.15.15.15.1.1">𝛼</ci></apply><ci id="A4.Ex4.m1.44.44.44.16.16.16.cmml" xref="A4.Ex4.m1.44.44.44.16.16.16">𝛿</ci><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex4.m1.45.45.45.17.17.17.cmml" xref="A4.Ex4.m1.45.45.45.17.17.17">𝑓</ci><ci id="A4.Ex4.m1.46.46.46.18.18.18.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.46.46.46.18.18.18.1">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><times id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"></times><ci id="A4.Ex4.m1.48.48.48.20.20.20.cmml" xref="A4.Ex4.m1.48.48.48.20.20.20">𝜎</ci><ci id="A4.Ex4.m1.49.49.49.21.21.21.cmml" xref="A4.Ex4.m1.49.49.49.21.21.21">𝛿</ci><apply id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.4.4.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex4.m1.54.54.1.1.1.2.2.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex4.m1.50.50.50.22.22.22.cmml" xref="A4.Ex4.m1.50.50.50.22.22.22">𝜁</ci><ci id="A4.Ex4.m1.51.51.51.23.23.23.1.cmml" xref="A4.Ex4.m1.51.51.51.23.23.23.1">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex4.m1.56c">\begin{split}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta x_{i}&=\delta x_{i}\left(1-x% _{i}+\sum_{\alpha}u_{i}^{(\alpha)}f_{\alpha}^{\star}+\sigma\zeta_{i}^{\star}% \right)\\ &+x_{i}^{\star}\left(-\delta x_{i}+\sum_{\kappa}u_{i}^{(\alpha)}\delta f_{% \alpha}+\sigma\delta\zeta_{i}\right),\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex4.m1.56d">start_ROW start_CELL divide start_ARG roman_d end_ARG start_ARG roman_d italic_t end_ARG italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL = italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 1 - italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_σ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ( - italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT + italic_σ italic_δ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p1.5">where stars indicate fixed point quantities. The quantities <math alttext="\delta f_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p1.2.m1.1"><semantics id="A4.p1.2.m1.1a"><mrow id="A4.p1.2.m1.1.1" xref="A4.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.p1.2.m1.1.1.2" xref="A4.p1.2.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.p1.2.m1.1.1.1" xref="A4.p1.2.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.p1.2.m1.1.1.3" xref="A4.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p1.2.m1.1.1.3.2" xref="A4.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A4.p1.2.m1.1.1.3.3" xref="A4.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml">α</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p1.2.m1.1b"><apply id="A4.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A4.p1.2.m1.1.1"><times id="A4.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.p1.2.m1.1.1.1"></times><ci id="A4.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.p1.2.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A4.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.p1.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p1.2.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p1.2.m1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A4.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p1.2.m1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p1.2.m1.1c">\delta f_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p1.2.m1.1d">italic_δ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\delta\zeta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p1.3.m2.1"><semantics id="A4.p1.3.m2.1a"><mrow id="A4.p1.3.m2.1.1" xref="A4.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.p1.3.m2.1.1.2" xref="A4.p1.3.m2.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.p1.3.m2.1.1.1" xref="A4.p1.3.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.p1.3.m2.1.1.3" xref="A4.p1.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p1.3.m2.1.1.3.2" xref="A4.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml">ζ</mi><mi id="A4.p1.3.m2.1.1.3.3" xref="A4.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p1.3.m2.1b"><apply id="A4.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="A4.p1.3.m2.1.1"><times id="A4.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.p1.3.m2.1.1.1"></times><ci id="A4.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.p1.3.m2.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A4.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.p1.3.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p1.3.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p1.3.m2.1.1.3.2">𝜁</ci><ci id="A4.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p1.3.m2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p1.3.m2.1c">\delta\zeta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p1.3.m2.1d">italic_δ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are respectively perturbations to the functions and the DMFT noise, induced by the perturbations in the abundances. They are characterized by <math alttext="\langle\delta f_{\alpha}(t)\rangle=S^{-1}\sum_{i}u_{i}^{(\alpha)}\langle\delta x% _{i}(t)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p1.4.m3.5"><semantics id="A4.p1.4.m3.5a"><mrow id="A4.p1.4.m3.5.5" xref="A4.p1.4.m3.5.5.cmml"><mrow id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.2.cmml"><mo id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.2" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.1" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.2" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.3" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.3.cmml">α</mi></msub><mo id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.1a" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.4.2" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.p1.4.m3.2.2" xref="A4.p1.4.m3.2.2.cmml">t</mi><mo id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.p1.4.m3.5.5.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.cmml"><msup id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.cmml"><mi id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.2.cmml">S</mi><mrow id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3.cmml"><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3a" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.cmml"><msub id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.cmml"><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mrow id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.cmml"><msubsup id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="A4.p1.4.m3.1.1.1.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.cmml"><mo id="A4.p1.4.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.p1.4.m3.1.1.1.1" xref="A4.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="A4.p1.4.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.1a" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.p1.4.m3.3.3" xref="A4.p1.4.m3.3.3.cmml">t</mi><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p1.4.m3.5b"><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5"><eq id="A4.p1.4.m3.5.5.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.3"></eq><apply id="A4.p1.4.m3.4.4.1.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.p1.4.m3.4.4.1.2.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1"><times id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.4.4.1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply><ci id="A4.p1.4.m3.2.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.2.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2"><times id="A4.p1.4.m3.5.5.2.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.2"></times><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.2">𝑆</ci><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3"><minus id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3"></minus><cn id="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1"><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.2"></sum><ci id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1"><times id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.2"></times><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.2">𝑢</ci><ci id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.1.1.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1"><times id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.p1.4.m3.3.3.cmml" xref="A4.p1.4.m3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p1.4.m3.5c">\langle\delta f_{\alpha}(t)\rangle=S^{-1}\sum_{i}u_{i}^{(\alpha)}\langle\delta x% _{i}(t)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p1.4.m3.5d">⟨ italic_δ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ⟩ = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="\langle\delta\zeta_{i}(t)\delta\zeta_{j}(s)\rangle)=\delta_{ij}\langle\delta x% _{i}(t)\delta x_{j}(s)\rangle" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A4.p1.5.m4.2"><semantics id="A4.p1.5.m4.2a"><mrow id="A4.p1.5.m4.2b"><mrow id="A4.p1.5.m4.2.3"><mo id="A4.p1.5.m4.2.3.1" stretchy="false">⟨</mo><mi id="A4.p1.5.m4.2.3.2">δ</mi><msub id="A4.p1.5.m4.2.3.3"><mi id="A4.p1.5.m4.2.3.3.2">ζ</mi><mi id="A4.p1.5.m4.2.3.3.3">i</mi></msub><mrow id="A4.p1.5.m4.2.3.4"><mo id="A4.p1.5.m4.2.3.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A4.p1.5.m4.1.1">t</mi><mo id="A4.p1.5.m4.2.3.4.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="A4.p1.5.m4.2.3.5">δ</mi><msub id="A4.p1.5.m4.2.3.6"><mi id="A4.p1.5.m4.2.3.6.2">ζ</mi><mi id="A4.p1.5.m4.2.3.6.3">j</mi></msub><mrow id="A4.p1.5.m4.2.3.7"><mo id="A4.p1.5.m4.2.3.7.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A4.p1.5.m4.2.2">s</mi><mo id="A4.p1.5.m4.2.3.7.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A4.p1.5.m4.2.3.8" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="A4.p1.5.m4.2.4" stretchy="false">)</mo><mo id="A4.p1.5.m4.2.5">=</mo><mi id="A4.p1.5.m4.2.6">δ</mi><msub id="A4.p1.5.m4.2.7"><mi id="A4.p1.5.m4.2.7a"></mi><mrow id="A4.p1.5.m4.2.7.1"><mi id="A4.p1.5.m4.2.7.1.2">i</mi><mo id="A4.p1.5.m4.2.7.1.1">⁢</mo><mi id="A4.p1.5.m4.2.7.1.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A4.p1.5.m4.2.8" stretchy="false">⟨</mo><mi id="A4.p1.5.m4.2.9">δ</mi><msub id="A4.p1.5.m4.2.10"><mi id="A4.p1.5.m4.2.10.2">x</mi><mi id="A4.p1.5.m4.2.10.3">i</mi></msub><mrow id="A4.p1.5.m4.2.11"><mo id="A4.p1.5.m4.2.11.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A4.p1.5.m4.2.11.2">t</mi><mo id="A4.p1.5.m4.2.11.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="A4.p1.5.m4.2.12">δ</mi><msub id="A4.p1.5.m4.2.13"><mi id="A4.p1.5.m4.2.13.2">x</mi><mi id="A4.p1.5.m4.2.13.3">j</mi></msub><mrow id="A4.p1.5.m4.2.14"><mo id="A4.p1.5.m4.2.14.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A4.p1.5.m4.2.14.2">s</mi><mo id="A4.p1.5.m4.2.14.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A4.p1.5.m4.2.15" stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p1.5.m4.2c">\langle\delta\zeta_{i}(t)\delta\zeta_{j}(s)\rangle)=\delta_{ij}\langle\delta x% _{i}(t)\delta x_{j}(s)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p1.5.m4.2d">⟨ italic_δ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_δ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ⟩ ) = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ⟩</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A4.p2"> <p class="ltx_p" id="A4.p2.1">The first term in the r.h.s is zero for extant species and negative for extinct species. Hence it cannot cause an instability. Hence we will focus on the second term. Even though only extant species have it non-zero, we will consider it for all species, for mathematical convenience.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A4.p3"> <p class="ltx_p" id="A4.p3.2">Because the equation is linear and <math alttext="\delta\zeta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.1.m1.1"><semantics id="A4.p3.1.m1.1a"><mrow id="A4.p3.1.m1.1.1" xref="A4.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.p3.1.m1.1.1.2" xref="A4.p3.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.p3.1.m1.1.1.1" xref="A4.p3.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.p3.1.m1.1.1.3" xref="A4.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="A4.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">ζ</mi><mi id="A4.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="A4.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.1.m1.1b"><apply id="A4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.p3.1.m1.1.1"><times id="A4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.p3.1.m1.1.1.1"></times><ci id="A4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.p3.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A4.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p3.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p3.1.m1.1.1.3.2">𝜁</ci><ci id="A4.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p3.1.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p3.1.m1.1c">\delta\zeta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p3.1.m1.1d">italic_δ italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a Gaussian process, <math alttext="\delta x_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.2.m2.1"><semantics id="A4.p3.2.m2.1a"><mrow id="A4.p3.2.m2.1.1" xref="A4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.p3.2.m2.1.1.2" xref="A4.p3.2.m2.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.p3.2.m2.1.1.1" xref="A4.p3.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.p3.2.m2.1.1.3" xref="A4.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="A4.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="A4.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="A4.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.2.m2.1b"><apply id="A4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.p3.2.m2.1.1"><times id="A4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.p3.2.m2.1.1.1"></times><ci id="A4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.p3.2.m2.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p3.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p3.2.m2.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="A4.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p3.2.m2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p3.2.m2.1c">\delta x_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p3.2.m2.1d">italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is also a Gaussian process. We may therefore analyse it through its mean and auto-correlation, and characterize stability by requiring that both quantities tend to zero at infinity. Starting with the variance, an analysis similar to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib28" title="">28</a>]</cite> gives the stability condition</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="1>\phi^{\star}\sigma^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="A4.Ex5.m1.1"><semantics id="A4.Ex5.m1.1a"><mrow id="A4.Ex5.m1.1.1.1" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A4.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex5.m1.1b"><apply id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1"><gt id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.1"></gt><cn id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3"><times id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.2.3">⋆</ci></apply><apply id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝜎</ci><cn id="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex5.m1.1c">1>\phi^{\star}\sigma^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex5.m1.1d">1 > italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p3.3">where <math alttext="\phi^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.3.m1.1"><semantics id="A4.p3.3.m1.1a"><msup id="A4.p3.3.m1.1.1" xref="A4.p3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.p3.3.m1.1.1.2" xref="A4.p3.3.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="A4.p3.3.m1.1.1.3" xref="A4.p3.3.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.3.m1.1b"><apply id="A4.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="A4.p3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.p3.3.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.p3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.p3.3.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="A4.p3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.p3.3.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p3.3.m1.1c">\phi^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p3.3.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the fraction for surviving species at equilibrium. This characterizes the collective transition to instability well-studied in previous works. Here, we are mainly concerned with structure-driven transitions, which will be signalled by the mean, for which we obtain the system of ODEs</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\vec{\delta x}(t)\rangle=\mathcal{J}\cdot% \langle\vec{\delta x}(t)\rangle," class="ltx_Math" display="block" id="A4.Ex6.m1.3"><semantics id="A4.Ex6.m1.3a"><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex6.m1.1.1" xref="A4.Ex6.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.3" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">𝒥</mi><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⋅</mo><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex6.m1.2.2" xref="A4.Ex6.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.Ex6.m1.3.3.1.2" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex6.m1.3b"><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1"><eq id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1"><times id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3"><divide id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3"></divide><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.2">d</ci><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3"><times id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">d</ci><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1">→</ci><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply></apply><ci id="A4.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2"><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2">⋅</ci><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3">𝒥</ci><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><times id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2"><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1">→</ci><apply id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2"><times id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply></apply><ci id="A4.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="A4.Ex6.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex6.m1.3c">\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\vec{\delta x}(t)\rangle=\mathcal{J}\cdot% \langle\vec{\delta x}(t)\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex6.m1.3d">divide start_ARG roman_d end_ARG start_ARG roman_d italic_t end_ARG ⟨ over→ start_ARG italic_δ italic_x end_ARG ( italic_t ) ⟩ = caligraphic_J ⋅ ⟨ over→ start_ARG italic_δ italic_x end_ARG ( italic_t ) ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p3.8">where the matrix <math alttext="\mathcal{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.4.m1.1"><semantics id="A4.p3.4.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.p3.4.m1.1.1" xref="A4.p3.4.m1.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.4.m1.1b"><ci id="A4.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="A4.p3.4.m1.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p3.4.m1.1c">\mathcal{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p3.4.m1.1d">caligraphic_J</annotation></semantics></math> is given by <math alttext="\mathcal{J}_{ij}=-r_{i}x_{i}^{\star}\left(\delta_{ij}-\mu_{ij}/S\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.5.m2.1"><semantics id="A4.p3.5.m2.1a"><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.cmml"><msub id="A4.p3.5.m2.1.1.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.p3.5.m2.1.1.3.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.2.cmml">𝒥</mi><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1.3.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1a" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">i</mi><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.2a" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></mrow><mo id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.5.m2.1b"><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1"><eq id="A4.p3.5.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.2"></eq><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.2">𝒥</ci><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.3"><times id="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1"><minus id="A4.p3.5.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1"></minus><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1"><times id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.4.3">⋆</ci></apply><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛿</ci><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><apply id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p3.5.m2.1c">\mathcal{J}_{ij}=-r_{i}x_{i}^{\star}\left(\delta_{ij}-\mu_{ij}/S\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p3.5.m2.1d">caligraphic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT / italic_S )</annotation></semantics></math>. This ’pseudo-Jacobian’ is akin to the Jacobian of the Lotka-Volterra system without dirorder except for the fact that the abundances <math alttext="x_{i}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.6.m3.1"><semantics id="A4.p3.6.m3.1a"><msubsup id="A4.p3.6.m3.1.1" xref="A4.p3.6.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.p3.6.m3.1.1.2.2" xref="A4.p3.6.m3.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="A4.p3.6.m3.1.1.2.3" xref="A4.p3.6.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="A4.p3.6.m3.1.1.3" xref="A4.p3.6.m3.1.1.3.cmml">⋆</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.6.m3.1b"><apply id="A4.p3.6.m3.1.1.cmml" xref="A4.p3.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.6.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.p3.6.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.p3.6.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.p3.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A4.p3.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.p3.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A4.p3.6.m3.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="A4.p3.6.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A4.p3.6.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.p3.6.m3.1.1.3.cmml" xref="A4.p3.6.m3.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p3.6.m3.1c">x_{i}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p3.6.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are influenced by randomness. The spectrum of <math alttext="\mathcal{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.7.m4.1"><semantics id="A4.p3.7.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.p3.7.m4.1.1" xref="A4.p3.7.m4.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.7.m4.1b"><ci id="A4.p3.7.m4.1.1.cmml" xref="A4.p3.7.m4.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p3.7.m4.1c">\mathcal{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p3.7.m4.1d">caligraphic_J</annotation></semantics></math> is composed of a bulk stemming from the diagonal component and a few outliers stemming from the non-zero eigenvalues of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.8.m5.1"><semantics id="A4.p3.8.m5.1a"><mi id="A4.p3.8.m5.1.1" xref="A4.p3.8.m5.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.8.m5.1b"><ci id="A4.p3.8.m5.1.1.cmml" xref="A4.p3.8.m5.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p3.8.m5.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p3.8.m5.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <div class="ltx_para" id="A4.p4"> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="A4.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.p4.1.1" style="font-size:298%;">Supplementary Material</span></p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A1a"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix A </span>Ecological context</h2> <div class="ltx_para" id="A1a.p1"> <p class="ltx_p" id="A1a.p1.1">Ecosystems are complex systems composed of a large number of units whose properties are distributed, and that are in interaction with one another. As many biological details are unknown, ecosystem models often abstract away microscopic complexity and describe the low-dimensional dynamics of energy and material fluxes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> or of broad classes of species (e.g. phytoplankton and zooplankton). Even when heterogeneity between species is taken into account, it typically ignores intraspecific strain diversity <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib30" title="">30</a>]</cite>. More generally, when comparing abstract models with observations, some degree of coarse-graining is inevitable, and theoretically justified when the macroscopic degrees of freedom reflect the properties of the microscopic ones. <br class="ltx_break"/>If heterogeneity can be ignored in physical systems whose microscopic dynamics and parameters are largely homogeneous, the meaning of coarse-grained descriptions can be questioned for complex systems with strong microscopic variation. This is the case of microbial ecosystems, where high-throughput molecular methods revealed that stable patterns of community-level descriptors may overshadow extensive variability at the species and sub-species level <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib27" title="">27</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1a.p2"> <p class="ltx_p" id="A1a.p2.1">Ecology has long investigated the relationship between complexity and stability. The traditional view holds that volatile population dynamics are more likely in few-species systems (e.g. boreal forests, with boom and bust cycles of lynxes and hares) than in many-species ones (e.g. tropical forests, where perturbations may diffuse incoherently across many interaction pathways) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>. Yet, a seemingly opposite claim inspired by Random Matrix Theory has come to prominence: Robert May famously noted that no generic mathematical result supports the idea of stabilizing complexity – on the contrary, a simple model of linearized dynamics with random coefficients predicts that a fixed point goes from stable to unstable when increasing the number and heterogeneity (variance) of interactions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite>, as recently supported by microbial experiments <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1a.p3"> <p class="ltx_p" id="A1a.p3.1">However, none of these works directly investigate the central question here: whether complexity <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1a.p3.1.1">understood as disorder at a microscopic level</span> might stabilize a model that exhibits <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1a.p3.1.2">out-of-equilibrium dynamics at a macroscopic level</span>. Our key mechanism is through a loss of coherence of microscopic dynamics when their time scales become heterogeneous.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1a.p4"> <p class="ltx_p" id="A1a.p4.1">We also noted a distinct mechanism of stabilization via a reduction of effective interactions. This mechanism is not the one driving the stabilization of the oscillatory modes considered here, but can remove macroscopic instabilities associated with real positive eigenvalues, such as bistability <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1a.p5"> <p class="ltx_p" id="A1a.p5.1">This reduction of effective interactions can arise either from inter-group interactions being weaker, or from within-group and within-species interactions being stronger. The latter can happen through feedbacks: as <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A1a.p5.1.m1.1"><semantics id="A1a.p5.1.m1.1a"><mi id="A1a.p5.1.m1.1.1" xref="A1a.p5.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1a.p5.1.m1.1b"><ci id="A1a.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1a.p5.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1a.p5.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1a.p5.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> increases, when interactions are not i.i.d., the effective self-interaction of a species may increase, see the section “Symmetry of interactions” below.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1a.p6"> <p class="ltx_p" id="A1a.p6.2">Another possibility is through nonlinearities. In our LV model, the only relevant nonlinearity is species extinctions, see the next section. Yet other recent studies discuss another nonlinearity-based mechanism, when single-species dynamics and interaction terms have different nonlinearities, e.g. with the so-called theta-logistic model <math alttext="r(x)=(1-x^{\theta})/\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="A1a.p6.1.m1.2"><semantics id="A1a.p6.1.m1.2a"><mrow id="A1a.p6.1.m1.2.2" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1a.p6.1.m1.2.2.3" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A1a.p6.1.m1.2.2.3.2" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="A1a.p6.1.m1.2.2.3.1" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1a.p6.1.m1.2.2.3.3.2" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A1a.p6.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1a.p6.1.m1.1.1" xref="A1a.p6.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1a.p6.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1a.p6.1.m1.2.2.2" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1a.p6.1.m1.2.2.1" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">θ</mi></msup></mrow><mo id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.2" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.2.cmml">/</mo><mi id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.3" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1a.p6.1.m1.2b"><apply id="A1a.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2"><eq id="A1a.p6.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="A1a.p6.1.m1.2.2.3.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3"><times id="A1a.p6.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3.1"></times><ci id="A1a.p6.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="A1a.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1"><divide id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.2"></divide><apply id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1"><minus id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝜃</ci></apply></apply><ci id="A1a.p6.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1a.p6.1.m1.2.2.1.3">𝜃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1a.p6.1.m1.2c">r(x)=(1-x^{\theta})/\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1a.p6.1.m1.2d">italic_r ( italic_x ) = ( 1 - italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT ) / italic_θ</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib33" title="">33</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib34" title="">34</a>]</cite>. If <math alttext="\theta<1" class="ltx_Math" display="inline" id="A1a.p6.2.m2.1"><semantics id="A1a.p6.2.m2.1a"><mrow id="A1a.p6.2.m2.1.1" xref="A1a.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1a.p6.2.m2.1.1.2" xref="A1a.p6.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="A1a.p6.2.m2.1.1.1" xref="A1a.p6.2.m2.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="A1a.p6.2.m2.1.1.3" xref="A1a.p6.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1a.p6.2.m2.1b"><apply id="A1a.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1a.p6.2.m2.1.1"><lt id="A1a.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1a.p6.2.m2.1.1.1"></lt><ci id="A1a.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1a.p6.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><cn id="A1a.p6.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1a.p6.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1a.p6.2.m2.1c">\theta<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1a.p6.2.m2.1d">italic_θ < 1</annotation></semantics></math>, increasing system size (number of species) can stabilize by pushing the average abundance towards lower values where the single-species potential is more confining – the negative diagonal elements of the Jacobian matrix become larger compared to the off-diagonal elements. We note however that in these works, stabilization happens when increasing the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1a.p6.2.1">number</span> of species, not when increasing the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1a.p6.2.2">heterogeneity</span> of their interactions (which typically remains destabilizing). Confusions may thus arise since May’s notion of “complexity” combined species number and variance of their interaction strengths <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite>, which have opposite effects in these models, leading to divergent answers as to whether complexity stabilizes or destabilizes the system.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A2a"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix B </span>Stabilization by species extinctions</h2> <div class="ltx_para" id="A2a.p1"> <p class="ltx_p" id="A2a.p1.2">We show in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A2.F1" title="Figure S1 ‣ Appendix B Stabilization by species extinctions ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">S1</span></a> how an increase in interaction heterogeneity <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A2a.p1.1.m1.1"><semantics id="A2a.p1.1.m1.1a"><mi id="A2a.p1.1.m1.1.1" xref="A2a.p1.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2a.p1.1.m1.1b"><ci id="A2a.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2a.p1.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2a.p1.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2a.p1.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> leads to a stabilization of the outlier eigenvalue pair associated with the unstable mode in the rock-paper-scissors structure. Figures <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A2.F2" title="Figure S2 ‣ Appendix B Stabilization by species extinctions ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">S2</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A2.F3" title="Figure S3 ‣ Appendix B Stabilization by species extinctions ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">S3</span></a> illustrate in more detail the dynamical trajectories of species abundances and the spectrum of the Jacobian and reduced interaction matrix for four different values of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A2a.p1.2.m2.1"><semantics id="A2a.p1.2.m2.1a"><mi id="A2a.p1.2.m2.1.1" xref="A2a.p1.2.m2.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2a.p1.2.m2.1b"><ci id="A2a.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2a.p1.2.m2.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2a.p1.2.m2.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2a.p1.2.m2.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2a.p2"> <p class="ltx_p" id="A2a.p2.1">These figures show that stabilization through desynchronization, which can be seen in the Jacobian matrix, happens ahead of stabilization through extinctions, which can be seen in the reduced interaction matrix (restricted to non-extinct species).</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="A2.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="615" id="A2.F1.g1" src="x5.png" width="665"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure S1: </span>Displacement of the outlier eigenvalue pair in Lotka-Volterra simulations when increasing disorder <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F1.6.m1.1"><semantics id="A2.F1.6.m1.1b"><mi id="A2.F1.6.m1.1.1" xref="A2.F1.6.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F1.6.m1.1c"><ci id="A2.F1.6.m1.1.1.cmml" xref="A2.F1.6.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F1.6.m1.1d">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F1.6.m1.1e">italic_σ</annotation></semantics></math> over <math alttext="[0.4,2.2]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F1.7.m2.2"><semantics id="A2.F1.7.m2.2b"><mrow id="A2.F1.7.m2.2.3.2" xref="A2.F1.7.m2.2.3.1.cmml"><mo id="A2.F1.7.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.F1.7.m2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="A2.F1.7.m2.1.1" xref="A2.F1.7.m2.1.1.cmml">0.4</mn><mo id="A2.F1.7.m2.2.3.2.2" xref="A2.F1.7.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="A2.F1.7.m2.2.2" xref="A2.F1.7.m2.2.2.cmml">2.2</mn><mo id="A2.F1.7.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A2.F1.7.m2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F1.7.m2.2c"><interval closure="closed" id="A2.F1.7.m2.2.3.1.cmml" xref="A2.F1.7.m2.2.3.2"><cn id="A2.F1.7.m2.1.1.cmml" type="float" xref="A2.F1.7.m2.1.1">0.4</cn><cn id="A2.F1.7.m2.2.2.cmml" type="float" xref="A2.F1.7.m2.2.2">2.2</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F1.7.m2.2d">[0.4,2.2]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F1.7.m2.2e">[ 0.4 , 2.2 ]</annotation></semantics></math> in increments of 0.1. Positive eigenvalues are shown in red. (a) and (b) show the good approximation of the outlier eigenvalues of the real Jacobian matrix (a) with those of the pseudo-Jacobian eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E8" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) where disordered interactions have been removed (b). (c) shows that species extinctions can eventually stabilize this mode in the reduced interaction matrix <math alttext="A^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F1.8.m3.1"><semantics id="A2.F1.8.m3.1b"><msup id="A2.F1.8.m3.1.1" xref="A2.F1.8.m3.1.1.cmml"><mi id="A2.F1.8.m3.1.1.2" xref="A2.F1.8.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="A2.F1.8.m3.1.1.3" xref="A2.F1.8.m3.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F1.8.m3.1c"><apply id="A2.F1.8.m3.1.1.cmml" xref="A2.F1.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.F1.8.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.F1.8.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.F1.8.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.F1.8.m3.1.1.2">𝐴</ci><ci id="A2.F1.8.m3.1.1.3.cmml" xref="A2.F1.8.m3.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F1.8.m3.1d">A^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F1.8.m3.1e">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, but only at higher values of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F1.9.m4.1"><semantics id="A2.F1.9.m4.1b"><mi id="A2.F1.9.m4.1.1" xref="A2.F1.9.m4.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F1.9.m4.1c"><ci id="A2.F1.9.m4.1.1.cmml" xref="A2.F1.9.m4.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F1.9.m4.1d">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F1.9.m4.1e">italic_σ</annotation></semantics></math> (10 steps are needed instead of 4). (d) shows that the outliers of the full interaction matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F1.10.m5.1"><semantics id="A2.F1.10.m5.1b"><mi id="A2.F1.10.m5.1.1" xref="A2.F1.10.m5.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F1.10.m5.1c"><ci id="A2.F1.10.m5.1.1.cmml" xref="A2.F1.10.m5.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F1.10.m5.1d">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F1.10.m5.1e">italic_A</annotation></semantics></math> are only weakly affected by the addition of increasing disorder.</figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="A2.F2"> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="A2.F2.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.F2.4.1">(a)</span> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="289" id="A2.F2.1.g1" src="extracted/6018146/figures/rps_traj_sig0.4.png" width="258"/> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.F2.4.2">(b)</span> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="289" id="A2.F2.2.g2" src="extracted/6018146/figures/rps_traj_sig0.8.png" width="258"/> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.F2.4.3">(c)</span> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="289" id="A2.F2.3.g3" src="extracted/6018146/figures/rps_traj_sig1.4.png" width="258"/> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.F2.4.4">(d)</span> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="289" id="A2.F2.4.g4" src="extracted/6018146/figures/rps_traj_sig2.2.png" width="258"/></p> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure S2: </span>Species abundance trajectories for <math alttext="\sigma\in[0.4,0.8,1.4,2.2]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F2.6.m1.4"><semantics id="A2.F2.6.m1.4b"><mrow id="A2.F2.6.m1.4.5" xref="A2.F2.6.m1.4.5.cmml"><mi id="A2.F2.6.m1.4.5.2" xref="A2.F2.6.m1.4.5.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.F2.6.m1.4.5.1" xref="A2.F2.6.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="A2.F2.6.m1.4.5.3.2" xref="A2.F2.6.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A2.F2.6.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.F2.6.m1.4.5.3.1.cmml">[</mo><mn id="A2.F2.6.m1.1.1" xref="A2.F2.6.m1.1.1.cmml">0.4</mn><mo id="A2.F2.6.m1.4.5.3.2.2" xref="A2.F2.6.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="A2.F2.6.m1.2.2" xref="A2.F2.6.m1.2.2.cmml">0.8</mn><mo id="A2.F2.6.m1.4.5.3.2.3" xref="A2.F2.6.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="A2.F2.6.m1.3.3" xref="A2.F2.6.m1.3.3.cmml">1.4</mn><mo id="A2.F2.6.m1.4.5.3.2.4" xref="A2.F2.6.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="A2.F2.6.m1.4.4" xref="A2.F2.6.m1.4.4.cmml">2.2</mn><mo id="A2.F2.6.m1.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="A2.F2.6.m1.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F2.6.m1.4c"><apply id="A2.F2.6.m1.4.5.cmml" xref="A2.F2.6.m1.4.5"><in id="A2.F2.6.m1.4.5.1.cmml" xref="A2.F2.6.m1.4.5.1"></in><ci id="A2.F2.6.m1.4.5.2.cmml" xref="A2.F2.6.m1.4.5.2">𝜎</ci><list id="A2.F2.6.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A2.F2.6.m1.4.5.3.2"><cn id="A2.F2.6.m1.1.1.cmml" type="float" xref="A2.F2.6.m1.1.1">0.4</cn><cn id="A2.F2.6.m1.2.2.cmml" type="float" xref="A2.F2.6.m1.2.2">0.8</cn><cn id="A2.F2.6.m1.3.3.cmml" type="float" xref="A2.F2.6.m1.3.3">1.4</cn><cn id="A2.F2.6.m1.4.4.cmml" type="float" xref="A2.F2.6.m1.4.4">2.2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F2.6.m1.4d">\sigma\in[0.4,0.8,1.4,2.2]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F2.6.m1.4e">italic_σ ∈ [ 0.4 , 0.8 , 1.4 , 2.2 ]</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.F2.8.1">(a,b,c,d)</span>. From top to bottom: trajectories of individual species abundances (colored by group), sum of abundances within a group, and trajectories for the corresponding 3-species system (solid line: averaging parameters over all species within a group, dashed line: averaging parameters over surviving species only)</figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="A2.F3"> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="A2.F3.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.F3.4.4">(a)</span> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="209" id="A2.F3.1.g1" src="extracted/6018146/figures/rps_eig_sig0.4.png" width="419"/> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.F3.4.3">(b)<img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="209" id="A2.F3.2.1.g1" src="extracted/6018146/figures/rps_eig_sig0.8.png" width="419"/> <br class="ltx_break"/>(c)<img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="209" id="A2.F3.3.2.g2" src="extracted/6018146/figures/rps_eig_sig1.4.png" width="419"/> <br class="ltx_break"/>(d)<img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="209" id="A2.F3.4.3.g3" src="extracted/6018146/figures/rps_eig_sig2.2.png" width="419"/> <br class="ltx_break"/></span></p> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure S3: </span>Spectra (left: Jacobian matrix, right: matrix <math alttext="A^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F3.7.m1.1"><semantics id="A2.F3.7.m1.1b"><msup id="A2.F3.7.m1.1.1" xref="A2.F3.7.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.F3.7.m1.1.1.2" xref="A2.F3.7.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="A2.F3.7.m1.1.1.3" xref="A2.F3.7.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F3.7.m1.1c"><apply id="A2.F3.7.m1.1.1.cmml" xref="A2.F3.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.F3.7.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.F3.7.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.F3.7.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.F3.7.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="A2.F3.7.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.F3.7.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F3.7.m1.1d">A^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F3.7.m1.1e">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> restricted to surviving species) for <math alttext="\sigma\in[0.4,0.8,1.4,2.2]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F3.8.m2.4"><semantics id="A2.F3.8.m2.4b"><mrow id="A2.F3.8.m2.4.5" xref="A2.F3.8.m2.4.5.cmml"><mi id="A2.F3.8.m2.4.5.2" xref="A2.F3.8.m2.4.5.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.F3.8.m2.4.5.1" xref="A2.F3.8.m2.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="A2.F3.8.m2.4.5.3.2" xref="A2.F3.8.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="A2.F3.8.m2.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.F3.8.m2.4.5.3.1.cmml">[</mo><mn id="A2.F3.8.m2.1.1" xref="A2.F3.8.m2.1.1.cmml">0.4</mn><mo id="A2.F3.8.m2.4.5.3.2.2" xref="A2.F3.8.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="A2.F3.8.m2.2.2" xref="A2.F3.8.m2.2.2.cmml">0.8</mn><mo id="A2.F3.8.m2.4.5.3.2.3" xref="A2.F3.8.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="A2.F3.8.m2.3.3" xref="A2.F3.8.m2.3.3.cmml">1.4</mn><mo id="A2.F3.8.m2.4.5.3.2.4" xref="A2.F3.8.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="A2.F3.8.m2.4.4" xref="A2.F3.8.m2.4.4.cmml">2.2</mn><mo id="A2.F3.8.m2.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="A2.F3.8.m2.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F3.8.m2.4c"><apply id="A2.F3.8.m2.4.5.cmml" xref="A2.F3.8.m2.4.5"><in id="A2.F3.8.m2.4.5.1.cmml" xref="A2.F3.8.m2.4.5.1"></in><ci id="A2.F3.8.m2.4.5.2.cmml" xref="A2.F3.8.m2.4.5.2">𝜎</ci><list id="A2.F3.8.m2.4.5.3.1.cmml" xref="A2.F3.8.m2.4.5.3.2"><cn id="A2.F3.8.m2.1.1.cmml" type="float" xref="A2.F3.8.m2.1.1">0.4</cn><cn id="A2.F3.8.m2.2.2.cmml" type="float" xref="A2.F3.8.m2.2.2">0.8</cn><cn id="A2.F3.8.m2.3.3.cmml" type="float" xref="A2.F3.8.m2.3.3">1.4</cn><cn id="A2.F3.8.m2.4.4.cmml" type="float" xref="A2.F3.8.m2.4.4">2.2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F3.8.m2.4d">\sigma\in[0.4,0.8,1.4,2.2]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F3.8.m2.4e">italic_σ ∈ [ 0.4 , 0.8 , 1.4 , 2.2 ]</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.F3.10.1">(a,b,c,d)</span>. Eigenvalues with positive real part are shown in red.</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_appendix" id="A3a"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix C </span>Symmetry of interactions</h2> <div class="ltx_para" id="A3a.p1"> <p class="ltx_p" id="A3a.p1.5">Previous works on the random Lotka-Volterra model have studied the influence of correlations between transpose terms in the interaction matrix. It has been shown that the parameter <math alttext="\gamma=\langle\xi_{ij}\xi_{ji}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.1.m1.1"><semantics id="A3a.p1.1.m1.1a"><mrow id="A3a.p1.1.m1.1.1" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.1.m1.1.1.3" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.3.cmml">γ</mi><mo id="A3a.p1.1.m1.1.1.2" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mrow id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.1.m1.1b"><apply id="A3a.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1"><eq id="A3a.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.2"></eq><ci id="A3a.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.3">𝛾</ci><apply id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝜉</ci><apply id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜉</ci><apply id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><ci id="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3a.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.1.m1.1c">\gamma=\langle\xi_{ij}\xi_{ji}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.1.m1.1d">italic_γ = ⟨ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> changes the shape of the spectral bulk of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.2.m2.1"><semantics id="A3a.p1.2.m2.1a"><mi id="A3a.p1.2.m2.1.1" xref="A3a.p1.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.2.m2.1b"><ci id="A3a.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A3a.p1.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, hence impacting the location of the collective transition to chaotic dynamics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>. Once the structural matrix <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.3.m3.1"><semantics id="A3a.p1.3.m3.1a"><mi id="A3a.p1.3.m3.1.1" xref="A3a.p1.3.m3.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.3.m3.1b"><ci id="A3a.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A3a.p1.3.m3.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.3.m3.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.3.m3.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> is added, <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.4.m4.1"><semantics id="A3a.p1.4.m4.1a"><mi id="A3a.p1.4.m4.1.1" xref="A3a.p1.4.m4.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.4.m4.1b"><ci id="A3a.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A3a.p1.4.m4.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.4.m4.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.4.m4.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> turns out to also affect the location of the outliers, hence the location of the outliers of the Jacobian and ultimately the stability of the system. <br class="ltx_break"/>To generalize the calculations in Appendices C and D to take <math alttext="\gamma\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.5.m5.1"><semantics id="A3a.p1.5.m5.1a"><mrow id="A3a.p1.5.m5.1.1" xref="A3a.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.5.m5.1.1.2" xref="A3a.p1.5.m5.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3a.p1.5.m5.1.1.1" xref="A3a.p1.5.m5.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="A3a.p1.5.m5.1.1.3" xref="A3a.p1.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.5.m5.1b"><apply id="A3a.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A3a.p1.5.m5.1.1"><neq id="A3a.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.5.m5.1.1.1"></neq><ci id="A3a.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.5.m5.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3a.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3a.p1.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.5.m5.1c">\gamma\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.5.m5.1d">italic_γ ≠ 0</annotation></semantics></math> into account (see, e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#bib.bib28" title="">28</a>]</cite>), the linear response functions of the system need to be introduced,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="G_{i}(t,s)=\left\langle\frac{\delta x_{i}(t)}{\delta r_{i}(s)}\right\rangle% \text{ and }G(t,s)=S^{-1}\sum_{i}{G_{i}(t,s)}." class="ltx_Math" display="block" id="A3.Ex7.m1.9"><semantics id="A3.Ex7.m1.9a"><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.cmml"><msub id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.1" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex7.m1.3.3" xref="A3.Ex7.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A3.Ex7.m1.4.4" xref="A3.Ex7.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.3" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.cmml"><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.2.1" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="A3.Ex7.m1.2.2" xref="A3.Ex7.m1.2.2.cmml"><mrow id="A3.Ex7.m1.1.1.1" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.Ex7.m1.1.1.1.3" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.3.cmml">δ</mi><mo id="A3.Ex7.m1.1.1.1.2" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A3.Ex7.m1.1.1.1.4" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.2" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mi id="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.3" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.Ex7.m1.1.1.1.2a" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex7.m1.1.1.1.5.2" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.Ex7.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A3.Ex7.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A3.Ex7.m1.2.2.2" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.cmml"><mi id="A3.Ex7.m1.2.2.2.3" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml">δ</mi><mo id="A3.Ex7.m1.2.2.2.2" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A3.Ex7.m1.2.2.2.4" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.2" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.2.cmml">r</mi><mi id="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.3" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.Ex7.m1.2.2.2.2a" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex7.m1.2.2.2.5.2" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A3.Ex7.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex7.m1.2.2.2.1" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.1.cmml">s</mi><mo id="A3.Ex7.m1.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.1" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.3" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.3a.cmml"> and </mtext><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.1a" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.4" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.4.cmml">G</mi><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.1b" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.1.cmml"><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.2.1" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.1.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex7.m1.5.5" xref="A3.Ex7.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.1.cmml">,</mo><mi id="A3.Ex7.m1.6.6" xref="A3.Ex7.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.2.3" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.5" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.cmml"><msup id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.cmml"><mi id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.2.cmml">S</mi><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3.cmml"><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3a" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.1" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.cmml"><munder id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.2" movablelimits="false" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.3" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.3.cmml">i</mi></munder><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.cmml"><msub id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.cmml"><mi id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.3" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.1" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.1.cmml"><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex7.m1.7.7" xref="A3.Ex7.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.2.2" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A3.Ex7.m1.8.8" xref="A3.Ex7.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.Ex7.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.Ex7.m1.9b"><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1"><and id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1a.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1"></and><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1b.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1"><eq id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.3"></eq><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2"><times id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.1"></times><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.2">𝐺</ci><ci id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.2.3.2"><ci id="A3.Ex7.m1.3.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.3.3">𝑡</ci><ci id="A3.Ex7.m1.4.4.cmml" xref="A3.Ex7.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4"><times id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.1"></times><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.2.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2"><divide id="A3.Ex7.m1.2.2.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2"></divide><apply id="A3.Ex7.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1"><times id="A3.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.2"></times><ci id="A3.Ex7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.3">𝛿</ci><apply id="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><ci id="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A3.Ex7.m1.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2"><times id="A3.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.2"></times><ci id="A3.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.3">𝛿</ci><apply id="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.2">𝑟</ci><ci id="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.4.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.Ex7.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.2.2.2.1">𝑠</ci></apply></apply></apply><ci id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.3a.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.3"><mtext id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.3"> and </mtext></ci><ci id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.4.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.4">𝐺</ci><interval closure="open" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.5.2"><ci id="A3.Ex7.m1.5.5.cmml" xref="A3.Ex7.m1.5.5">𝑡</ci><ci id="A3.Ex7.m1.6.6.cmml" xref="A3.Ex7.m1.6.6">𝑠</ci></interval></apply></apply><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1c.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1"><eq id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.5.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A3.Ex7.m1.9.9.1.1.4.cmml" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1d.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1"></share><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6"><times id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.1"></times><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2">superscript</csymbol><ci id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.2">𝑆</ci><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3"><minus id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3"></minus><cn id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3"><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1">subscript</csymbol><sum id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.2"></sum><ci id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2"><times id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.1"></times><apply id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.2">𝐺</ci><ci id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.3.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.1.cmml" xref="A3.Ex7.m1.9.9.1.1.6.3.2.3.2"><ci id="A3.Ex7.m1.7.7.cmml" xref="A3.Ex7.m1.7.7">𝑡</ci><ci id="A3.Ex7.m1.8.8.cmml" xref="A3.Ex7.m1.8.8">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.Ex7.m1.9c">G_{i}(t,s)=\left\langle\frac{\delta x_{i}(t)}{\delta r_{i}(s)}\right\rangle% \text{ and }G(t,s)=S^{-1}\sum_{i}{G_{i}(t,s)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.Ex7.m1.9d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_s ) = ⟨ divide start_ARG italic_δ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) end_ARG start_ARG italic_δ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) end_ARG ⟩ and italic_G ( italic_t , italic_s ) = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_s ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3a.p1.6">Close to the fixed point, there quantities are assumed to be time-translation-invariant (TTI) so that <math alttext="G_{i}(t,s)=G_{i}(t-s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.6.m1.3"><semantics id="A3a.p1.6.m1.3a"><mrow id="A3a.p1.6.m1.3.3" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.cmml"><mrow id="A3a.p1.6.m1.3.3.3" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.cmml"><msub id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.2" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.2.cmml">G</mi><mi id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.3" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.1" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.2" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A3a.p1.6.m1.1.1" xref="A3a.p1.6.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.2.2" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A3a.p1.6.m1.2.2" xref="A3a.p1.6.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.2" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A3a.p1.6.m1.3.3.1" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.cmml"><msub id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.2" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.3" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.2" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.6.m1.3b"><apply id="A3a.p1.6.m1.3.3.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3"><eq id="A3a.p1.6.m1.3.3.2.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.2"></eq><apply id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3"><times id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.1"></times><apply id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.2">𝐺</ci><ci id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.3.3.2"><ci id="A3a.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="A3a.p1.6.m1.2.2.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1"><times id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.2"></times><apply id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.2">𝐺</ci><ci id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1"><minus id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.6.m1.3c">G_{i}(t,s)=G_{i}(t-s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.6.m1.3d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_s ) = italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - italic_s )</annotation></semantics></math> and we may introduce their Fourier transforms which are shown to equal</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="G_{i}(\omega)=\frac{1}{2\gamma\sigma^{2}}\left(1+\frac{i\omega}{x_{i}^{\star}}% \pm\sqrt{\left(1+\frac{i\omega}{x_{i}^{\star}}\right)^{2}-4\gamma\sigma^{2}% \phi}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="A3.Ex8.m1.3"><semantics id="A3.Ex8.m1.3a"><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mi id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex8.m1.2.2" xref="A3.Ex8.m1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.1a" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mfrac id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">ω</mi></mrow><msubsup id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mfrac></mrow><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">±</mo><msqrt id="A3.Ex8.m1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex8.m1.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.cmml"><msup id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ω</mi></mrow><msubsup id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup></mfrac></mrow><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.2" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.2" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.1" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.3.cmml">γ</mi><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.1a" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.2" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.3" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.1b" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.5" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.5.cmml">ϕ</mi></mrow></mrow></msqrt></mrow><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.Ex8.m1.3.3.1.2" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.Ex8.m1.3b"><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1"><eq id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3"><times id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝐺</ci><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.2.2">𝜔</ci></apply><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1"><times id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3"><divide id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3"></divide><cn id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3"><times id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝛾</ci><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.2">𝜎</ci><cn id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">plus-or-minus</csymbol><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><cn id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3"></divide><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑖</ci><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝜔</ci></apply><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1"><root id="A3.Ex8.m1.1.1a.cmml" 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id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜔</ci></apply><apply id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply><cn id="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3"><times id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.1"></times><cn id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.2">4</cn><ci id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.3">𝛾</ci><apply id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.2">𝜎</ci><cn id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.4.3">2</cn></apply><ci id="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.5.cmml" xref="A3.Ex8.m1.1.1.1.3.5">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.Ex8.m1.3c">G_{i}(\omega)=\frac{1}{2\gamma\sigma^{2}}\left(1+\frac{i\omega}{x_{i}^{\star}}% \pm\sqrt{\left(1+\frac{i\omega}{x_{i}^{\star}}\right)^{2}-4\gamma\sigma^{2}% \phi}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.Ex8.m1.3d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ω ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_γ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( 1 + divide start_ARG italic_i italic_ω end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ± square-root start_ARG ( 1 + divide start_ARG italic_i italic_ω end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 4 italic_γ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϕ end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3a.p1.7">where the branch is taken so that a finite limit exists for <math alttext="\gamma\rightarrow 0" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.7.m1.1"><semantics id="A3a.p1.7.m1.1a"><mrow id="A3a.p1.7.m1.1.1" xref="A3a.p1.7.m1.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.7.m1.1.1.2" xref="A3a.p1.7.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3a.p1.7.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="A3a.p1.7.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="A3a.p1.7.m1.1.1.3" xref="A3a.p1.7.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.7.m1.1b"><apply id="A3a.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.7.m1.1.1"><ci id="A3a.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.7.m1.1.1.1">→</ci><ci id="A3a.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.7.m1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3a.p1.7.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3a.p1.7.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.7.m1.1c">\gamma\rightarrow 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.7.m1.1d">italic_γ → 0</annotation></semantics></math>. Linearizing the dynamical equation and taking its average as in Appendix D, and finally taking Fourier transforms yields the criticality condition</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\exists\omega\in\mathbb{R},\mathrm{det}\Big{[}i\omega+x_{i}^{\star}\left(\left% (1-\gamma\sigma^{2}G(\omega)\right)\delta_{ij}-\mu_{ij}\right)\Big{]}=0." class="ltx_Math" display="block" id="A3.E1.m1.2"><semantics id="A3.E1.m1.2a"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∃</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.3.cmml">det</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">G</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A3.E1.m1.1.1" xref="A3.E1.m1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E1.m1.2b"><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1"><in id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></in><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2"><exists id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1"></exists><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3">ℝ</ci></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2"><eq id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2"></eq><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.3">det</ci><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1"><plus id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2"></plus><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝜔</ci></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜎</ci><cn id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝐺</ci><ci id="A3.E1.m1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.1.1">𝜔</ci></apply></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E1.m1.2c">\exists\omega\in\mathbb{R},\mathrm{det}\Big{[}i\omega+x_{i}^{\star}\left(\left% (1-\gamma\sigma^{2}G(\omega)\right)\delta_{ij}-\mu_{ij}\right)\Big{]}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E1.m1.2d">∃ italic_ω ∈ blackboard_R , roman_det [ italic_i italic_ω + italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ( ( 1 - italic_γ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_G ( italic_ω ) ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ] = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(S1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3a.p1.15">The stability of the system can then be assessed by solving this equation for <math alttext="\omega\in\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.8.m1.1"><semantics id="A3a.p1.8.m1.1a"><mrow id="A3a.p1.8.m1.1.1" xref="A3a.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.8.m1.1.1.2" xref="A3a.p1.8.m1.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="A3a.p1.8.m1.1.1.1" xref="A3a.p1.8.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="A3a.p1.8.m1.1.1.3" xref="A3a.p1.8.m1.1.1.3.cmml">ℂ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.8.m1.1b"><apply id="A3a.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.8.m1.1.1"><in id="A3a.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.8.m1.1.1.1"></in><ci id="A3a.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.8.m1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="A3a.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.8.m1.1.1.3">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.8.m1.1c">\omega\in\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.8.m1.1d">italic_ω ∈ blackboard_C</annotation></semantics></math>. If <math alttext="\mathrm{Re}(i\omega)>0" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.9.m2.1"><semantics id="A3a.p1.9.m2.1a"><mrow id="A3a.p1.9.m2.1.1" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.cmml"><mrow id="A3a.p1.9.m2.1.1.1" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.3" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.3.cmml">Re</mi><mo id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.2" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3a.p1.9.m2.1.1.2" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.2.cmml">></mo><mn id="A3a.p1.9.m2.1.1.3" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.9.m2.1b"><apply id="A3a.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1"><gt id="A3a.p1.9.m2.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.2"></gt><apply id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1"><times id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.2"></times><ci id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.3">Re</ci><apply id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1"><times id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply><cn id="A3a.p1.9.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3a.p1.9.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.9.m2.1c">\mathrm{Re}(i\omega)>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.9.m2.1d">roman_Re ( italic_i italic_ω ) > 0</annotation></semantics></math>, the fixed point is unstable, it is stable otherwise. For <math alttext="\gamma=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.10.m3.1"><semantics id="A3a.p1.10.m3.1a"><mrow id="A3a.p1.10.m3.1.1" xref="A3a.p1.10.m3.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.10.m3.1.1.2" xref="A3a.p1.10.m3.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3a.p1.10.m3.1.1.1" xref="A3a.p1.10.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3a.p1.10.m3.1.1.3" xref="A3a.p1.10.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.10.m3.1b"><apply id="A3a.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="A3a.p1.10.m3.1.1"><eq id="A3a.p1.10.m3.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.10.m3.1.1.1"></eq><ci id="A3a.p1.10.m3.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.10.m3.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3a.p1.10.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3a.p1.10.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.10.m3.1c">\gamma=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.10.m3.1d">italic_γ = 0</annotation></semantics></math>, eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A3.E1" title="In Appendix C Symmetry of interactions ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">S1</span></a>) defines <math alttext="i\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.11.m4.1"><semantics id="A3a.p1.11.m4.1a"><mrow id="A3a.p1.11.m4.1.1" xref="A3a.p1.11.m4.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.11.m4.1.1.2" xref="A3a.p1.11.m4.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A3a.p1.11.m4.1.1.1" xref="A3a.p1.11.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3a.p1.11.m4.1.1.3" xref="A3a.p1.11.m4.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.11.m4.1b"><apply id="A3a.p1.11.m4.1.1.cmml" xref="A3a.p1.11.m4.1.1"><times id="A3a.p1.11.m4.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.11.m4.1.1.1"></times><ci id="A3a.p1.11.m4.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.11.m4.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A3a.p1.11.m4.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.11.m4.1.1.3">𝜔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.11.m4.1c">i\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.11.m4.1d">italic_i italic_ω</annotation></semantics></math> as an eigenvalue of the pseudo-Jacobian <math alttext="\mathcal{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.12.m5.1"><semantics id="A3a.p1.12.m5.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3a.p1.12.m5.1.1" xref="A3a.p1.12.m5.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.12.m5.1b"><ci id="A3a.p1.12.m5.1.1.cmml" xref="A3a.p1.12.m5.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.12.m5.1c">\mathcal{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.12.m5.1d">caligraphic_J</annotation></semantics></math>, and the criterion from the main text is recovered. Using Woodbury’s identity, and decomposing <math alttext="\mu=UV^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.13.m6.1"><semantics id="A3a.p1.13.m6.1a"><mrow id="A3a.p1.13.m6.1.1" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.13.m6.1.1.2" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A3a.p1.13.m6.1.1.1" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3a.p1.13.m6.1.1.3" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.cmml"><mi id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.2" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.1" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.2" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.2.cmml">V</mi><mi id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.3" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.13.m6.1b"><apply id="A3a.p1.13.m6.1.1.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1"><eq id="A3a.p1.13.m6.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.1"></eq><ci id="A3a.p1.13.m6.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.2">𝜇</ci><apply id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3"><times id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.1"></times><ci id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.2">𝑉</ci><ci id="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3a.p1.13.m6.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.13.m6.1c">\mu=UV^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.13.m6.1d">italic_μ = italic_U italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.14.m7.1"><semantics id="A3a.p1.14.m7.1a"><mi id="A3a.p1.14.m7.1.1" xref="A3a.p1.14.m7.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.14.m7.1b"><ci id="A3a.p1.14.m7.1.1.cmml" xref="A3a.p1.14.m7.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.14.m7.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.14.m7.1d">italic_U</annotation></semantics></math> of shape <math alttext="S\times n" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.15.m8.1"><semantics id="A3a.p1.15.m8.1a"><mrow id="A3a.p1.15.m8.1.1" xref="A3a.p1.15.m8.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.15.m8.1.1.2" xref="A3a.p1.15.m8.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A3a.p1.15.m8.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3a.p1.15.m8.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="A3a.p1.15.m8.1.1.3" xref="A3a.p1.15.m8.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.15.m8.1b"><apply id="A3a.p1.15.m8.1.1.cmml" xref="A3a.p1.15.m8.1.1"><times id="A3a.p1.15.m8.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.15.m8.1.1.1"></times><ci id="A3a.p1.15.m8.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.15.m8.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A3a.p1.15.m8.1.1.3.cmml" xref="A3a.p1.15.m8.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.15.m8.1c">S\times n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.15.m8.1d">italic_S × italic_n</annotation></semantics></math> this is equivalent to solving the low-dimensional problem</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathrm{det}\left[\mathbb{I}_{n\times n}-V^{T}\cdot\mathrm{diag}\left\langle% \frac{x^{\star}}{i\omega+x^{\star}\left(1-\gamma\sigma^{2}G(\omega)\right)}% \right\rangle\cdot U\right]=0" class="ltx_Math" display="block" id="A3.Ex9.m1.3"><semantics id="A3.Ex9.m1.3a"><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.cmml"><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3.1" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.3.3.1.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.3.cmml">det</mi><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝕀</mi><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msup id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⋅</mo><mi id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">diag</mi></mrow><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="A3.Ex9.m1.2.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.cmml"><msup id="A3.Ex9.m1.2.2.4" xref="A3.Ex9.m1.2.2.4.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.2.2.4.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.4.2.cmml">x</mi><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.4.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.4.3.cmml">⋆</mo></msup><mrow id="A3.Ex9.m1.2.2.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="A3.Ex9.m1.2.2.2.4" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.2.2.2.4.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.4.2.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.4.1" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex9.m1.2.2.2.4.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.4.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml"><msup id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.3.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.cmml">G</mi><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1b" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.5.2" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="A3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mfrac><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2" rspace="0.055em" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" rspace="0.222em" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">U</mi></mrow></mrow><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A3.Ex9.m1.3.3.2" xref="A3.Ex9.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mn id="A3.Ex9.m1.3.3.3" xref="A3.Ex9.m1.3.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.Ex9.m1.3b"><apply id="A3.Ex9.m1.3.3.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3"><eq id="A3.Ex9.m1.3.3.2.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.2"></eq><apply id="A3.Ex9.m1.3.3.1.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1"><times id="A3.Ex9.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.2"></times><ci id="A3.Ex9.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.3">det</ci><apply id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝕀</ci><apply 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id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝜎</ci><cn id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><ci id="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="A3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4">𝐺</ci><ci id="A3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex9.m1.1.1.1.1">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A3.Ex9.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.Ex9.m1.3.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.Ex9.m1.3c">\mathrm{det}\left[\mathbb{I}_{n\times n}-V^{T}\cdot\mathrm{diag}\left\langle% \frac{x^{\star}}{i\omega+x^{\star}\left(1-\gamma\sigma^{2}G(\omega)\right)}% \right\rangle\cdot U\right]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.Ex9.m1.3d">roman_det [ blackboard_I start_POSTSUBSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUBSCRIPT - italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⋅ roman_diag ⟨ divide start_ARG italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_i italic_ω + italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_γ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_G ( italic_ω ) ) end_ARG ⟩ ⋅ italic_U ] = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3a.p1.18">Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A3.F4" title="Figure S4 ‣ Appendix C Symmetry of interactions ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">S4</span></a> gives the phase diagram of the RPS system in the <math alttext="(\gamma,\sigma)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.16.m1.2"><semantics id="A3a.p1.16.m1.2a"><mrow id="A3a.p1.16.m1.2.3.2" xref="A3a.p1.16.m1.2.3.1.cmml"><mo id="A3a.p1.16.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3a.p1.16.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A3a.p1.16.m1.1.1" xref="A3a.p1.16.m1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="A3a.p1.16.m1.2.3.2.2" xref="A3a.p1.16.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A3a.p1.16.m1.2.2" xref="A3a.p1.16.m1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A3a.p1.16.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A3a.p1.16.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.16.m1.2b"><interval closure="open" id="A3a.p1.16.m1.2.3.1.cmml" xref="A3a.p1.16.m1.2.3.2"><ci id="A3a.p1.16.m1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.16.m1.1.1">𝛾</ci><ci id="A3a.p1.16.m1.2.2.cmml" xref="A3a.p1.16.m1.2.2">𝜎</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.16.m1.2c">(\gamma,\sigma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.16.m1.2d">( italic_γ , italic_σ )</annotation></semantics></math> plane for fixed parameters <math alttext="u=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.17.m2.1"><semantics id="A3a.p1.17.m2.1a"><mrow id="A3a.p1.17.m2.1.1" xref="A3a.p1.17.m2.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.17.m2.1.1.2" xref="A3a.p1.17.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="A3a.p1.17.m2.1.1.1" xref="A3a.p1.17.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3a.p1.17.m2.1.1.3" xref="A3a.p1.17.m2.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.17.m2.1b"><apply id="A3a.p1.17.m2.1.1.cmml" xref="A3a.p1.17.m2.1.1"><eq id="A3a.p1.17.m2.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.17.m2.1.1.1"></eq><ci id="A3a.p1.17.m2.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.17.m2.1.1.2">𝑢</ci><cn id="A3a.p1.17.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3a.p1.17.m2.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.17.m2.1c">u=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.17.m2.1d">italic_u = 0.5</annotation></semantics></math> and <math alttext="\kappa=4" class="ltx_Math" display="inline" id="A3a.p1.18.m3.1"><semantics id="A3a.p1.18.m3.1a"><mrow id="A3a.p1.18.m3.1.1" xref="A3a.p1.18.m3.1.1.cmml"><mi id="A3a.p1.18.m3.1.1.2" xref="A3a.p1.18.m3.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="A3a.p1.18.m3.1.1.1" xref="A3a.p1.18.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3a.p1.18.m3.1.1.3" xref="A3a.p1.18.m3.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3a.p1.18.m3.1b"><apply id="A3a.p1.18.m3.1.1.cmml" xref="A3a.p1.18.m3.1.1"><eq id="A3a.p1.18.m3.1.1.1.cmml" xref="A3a.p1.18.m3.1.1.1"></eq><ci id="A3a.p1.18.m3.1.1.2.cmml" xref="A3a.p1.18.m3.1.1.2">𝜅</ci><cn id="A3a.p1.18.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3a.p1.18.m3.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3a.p1.18.m3.1c">\kappa=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3a.p1.18.m3.1d">italic_κ = 4</annotation></semantics></math>. With regards to macroscopic oscillations, skew-symmetric disorder is seen to be less stabilizing that symmetric disorder (solid line). This runs counter to the rule for the collective transition (dashed line), where symmetric interactions are less stable due to the emergence of positive feedback loops.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="A3.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="364" id="A3.F4.g1" src="x6.png" width="415"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure S4: </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A3.F4.5.1">Phase diagram of the RPS system in the presence of transpose correlations (<math alttext="u=0.5,\kappa=4" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F4.5.1.m1.2"><semantics id="A3.F4.5.1.m1.2b"><mrow id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1" xref="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.2" xref="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.3" xref="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><mo id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.3" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.2" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">κ</mi><mo id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.1" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.3" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F4.5.1.m1.2c"><apply id="A3.F4.5.1.m1.2.2.3.cmml" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F4.5.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1"><eq id="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.F4.5.1.m1.1.1.1.1.3">0.5</cn></apply><apply id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2"><eq id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.1"></eq><ci id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.2">𝜅</ci><cn id="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.F4.5.1.m1.2.2.2.2.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F4.5.1.m1.2d">u=0.5,\kappa=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F4.5.1.m1.2e">italic_u = 0.5 , italic_κ = 4</annotation></semantics></math>).</span> The transition from macroscopic oscillations to stability is favored by symmetric interactions (<math alttext="\gamma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F4.6.m1.1"><semantics id="A3.F4.6.m1.1b"><mrow id="A3.F4.6.m1.1.1" xref="A3.F4.6.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.F4.6.m1.1.1.2" xref="A3.F4.6.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.F4.6.m1.1.1.1" xref="A3.F4.6.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F4.6.m1.1.1.3" xref="A3.F4.6.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F4.6.m1.1c"><apply id="A3.F4.6.m1.1.1.cmml" xref="A3.F4.6.m1.1.1"><eq id="A3.F4.6.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.F4.6.m1.1.1.1"></eq><ci id="A3.F4.6.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.F4.6.m1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.F4.6.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F4.6.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F4.6.m1.1d">\gamma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F4.6.m1.1e">italic_γ = 1</annotation></semantics></math>), although symmetric interactions also favor the collective transition to chaotic fluctuations (dashed line), which happens at <math alttext="\sigma=\sqrt{2}/(1+\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F4.7.m2.1"><semantics id="A3.F4.7.m2.1b"><mrow id="A3.F4.7.m2.1.1" xref="A3.F4.7.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.F4.7.m2.1.1.3" xref="A3.F4.7.m2.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="A3.F4.7.m2.1.1.2" xref="A3.F4.7.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.F4.7.m2.1.1.1" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.cmml"><msqrt id="A3.F4.7.m2.1.1.1.3" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A3.F4.7.m2.1.1.1.3.2" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></msqrt><mo id="A3.F4.7.m2.1.1.1.2" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F4.7.m2.1c"><apply id="A3.F4.7.m2.1.1.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1"><eq id="A3.F4.7.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.2"></eq><ci id="A3.F4.7.m2.1.1.3.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.3">𝜎</ci><apply id="A3.F4.7.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1"><divide id="A3.F4.7.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.2"></divide><apply id="A3.F4.7.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.3"><root id="A3.F4.7.m2.1.1.1.3a.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.3"></root><cn id="A3.F4.7.m2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.3.2">2</cn></apply><apply id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1"><plus id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.F4.7.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F4.7.m2.1d">\sigma=\sqrt{2}/(1+\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F4.7.m2.1e">italic_σ = square-root start_ARG 2 end_ARG / ( 1 + italic_γ )</annotation></semantics></math>. Lines and background colors are theoretical predictions, while dots are simulations with <math alttext="S=3000" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F4.8.m3.1"><semantics id="A3.F4.8.m3.1b"><mrow id="A3.F4.8.m3.1.1" xref="A3.F4.8.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.F4.8.m3.1.1.2" xref="A3.F4.8.m3.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A3.F4.8.m3.1.1.1" xref="A3.F4.8.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F4.8.m3.1.1.3" xref="A3.F4.8.m3.1.1.3.cmml">3000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F4.8.m3.1c"><apply id="A3.F4.8.m3.1.1.cmml" xref="A3.F4.8.m3.1.1"><eq id="A3.F4.8.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.F4.8.m3.1.1.1"></eq><ci id="A3.F4.8.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.F4.8.m3.1.1.2">𝑆</ci><cn id="A3.F4.8.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F4.8.m3.1.1.3">3000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F4.8.m3.1d">S=3000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F4.8.m3.1e">italic_S = 3000</annotation></semantics></math> species.</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_appendix" id="A4a"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix D </span>Optimality of disorder</h2> <div class="ltx_para" id="A4a.p1"> <p class="ltx_p" id="A4a.p1.2">We can complement the argument in the main text with a converse argument by asking: given an abundance configuration <math alttext="\vec{x}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4a.p1.1.m1.1"><semantics id="A4a.p1.1.m1.1a"><msup id="A4a.p1.1.m1.1.1" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A4a.p1.1.m1.1.1.2" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A4a.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4a.p1.1.m1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A4a.p1.1.m1.1.1.3" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4a.p1.1.m1.1b"><apply id="A4a.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4a.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4a.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4a.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4a.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.2"><ci id="A4a.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.2.1">→</ci><ci id="A4a.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="A4a.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A4a.p1.1.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4a.p1.1.m1.1c">\vec{x}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4a.p1.1.m1.1d">over→ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, what is the angle between the infinitesimal modification <math alttext="\delta\vec{x}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4a.p1.2.m2.1"><semantics id="A4a.p1.2.m2.1a"><mrow id="A4a.p1.2.m2.1.1" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A4a.p1.2.m2.1.1.2" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="A4a.p1.2.m2.1.1.1" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4a.p1.2.m2.1.1.3" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4a.p1.2.m2.1b"><apply id="A4a.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1"><times id="A4a.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.1"></times><ci id="A4a.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2"><ci id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.1">→</ci><ci id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="A4a.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A4a.p1.2.m2.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4a.p1.2.m2.1c">\delta\vec{x}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4a.p1.2.m2.1d">italic_δ over→ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> that most increases the stability of a given eigenvalue and the modification that most increases the variance? This is done by taking the dot product</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\delta\vec{x}^{\star}=-\vec{\nabla}\mathrm{Re}(\lambda)\cdot\vec{x}^{\star}+S% \left\langle\vec{\nabla}\mathrm{Re}(\lambda)\right\rangle\langle x^{\star}_{i}\rangle," class="ltx_Math" display="block" id="A4.Ex10.m1.3"><semantics id="A4.Ex10.m1.3a"><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.1" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.cmml"><mover accent="true" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml">⋆</mo></msup></mrow><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.cmml"><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4a" rspace="0.167em" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.cmml">−</mo><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml"><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.2.cmml">∇</mo><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.1" lspace="0.167em" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.3.cmml">Re</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.1a" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.4.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex10.m1.1.1" xref="A4.Ex10.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.4.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.1" rspace="0.222em" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.1.cmml">⋅</mo><msup id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.3.cmml">⋆</mo></msup></mrow></mrow><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml">S</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∇</mo><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.167em" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Re</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex10.m1.2.2" xref="A4.Ex10.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3a" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">⋆</mo></msubsup><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.Ex10.m1.3.3.1.2" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex10.m1.3b"><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1"><eq id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4"><times id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.1"></times><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.2">𝛿</ci><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2"><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.1">→</ci><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.4.3.3">⋆</ci></apply></apply><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2"><plus id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.3"></plus><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4"><minus id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4"></minus><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2"><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.1">⋅</ci><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2"><times id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.1"></times><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2"><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.1">→</ci><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.2.2">∇</ci></apply><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.2.3">Re</ci><ci id="A4.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.1.1">𝜆</ci></apply><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2"><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.1">→</ci><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.4.2.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2"><times id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3"></times><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4">𝑆</ci><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1">→</ci><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">∇</ci></apply><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">Re</ci><ci id="A4.Ex10.m1.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.2.2">𝜆</ci></apply></apply><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.3">⋆</ci></apply><ci id="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex10.m1.3c">\delta\vec{x}^{\star}=-\vec{\nabla}\mathrm{Re}(\lambda)\cdot\vec{x}^{\star}+S% \left\langle\vec{\nabla}\mathrm{Re}(\lambda)\right\rangle\langle x^{\star}_{i}\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex10.m1.3d">italic_δ over→ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT = - over→ start_ARG ∇ end_ARG roman_Re ( italic_λ ) ⋅ over→ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_S ⟨ over→ start_ARG ∇ end_ARG roman_Re ( italic_λ ) ⟩ ⟨ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4a.p1.3">between the gradient of a given eigenvalue and the gradient of the variance of abundances, both projected so as to eliminate the effect of total abundance. Taking the three-group interaction matrix of Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.F1" title="Figure 1 ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> as an example, Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#A4.F5" title="Figure S5 ‣ Appendix D Optimality of disorder ‣ Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">S5</span></a> shows that the angle thus obtained is much smaller than <math alttext="90^{\circ}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4a.p1.3.m1.1"><semantics id="A4a.p1.3.m1.1a"><msup id="A4a.p1.3.m1.1.1" xref="A4a.p1.3.m1.1.1.cmml"><mn id="A4a.p1.3.m1.1.1.2" xref="A4a.p1.3.m1.1.1.2.cmml">90</mn><mo id="A4a.p1.3.m1.1.1.3" xref="A4a.p1.3.m1.1.1.3.cmml">∘</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4a.p1.3.m1.1b"><apply id="A4a.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="A4a.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4a.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A4a.p1.3.m1.1.1">superscript</csymbol><cn id="A4a.p1.3.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4a.p1.3.m1.1.1.2">90</cn><compose id="A4a.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A4a.p1.3.m1.1.1.3"></compose></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4a.p1.3.m1.1c">90^{\circ}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4a.p1.3.m1.1d">90 start_POSTSUPERSCRIPT ∘ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for most of the complex plane, with faster-oscillating modes being again the ones for which increasing the variance is closest to optimal stabilization.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="A4.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="343" id="A4.F5.g1" src="x7.png" width="373"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure S5: </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.F5.18.1">Increasing heterogeneity is close to optimal for stabilizing the RPS system.</span> We calculate the eigenvalues <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F5.9.m1.1"><semantics id="A4.F5.9.m1.1b"><mi id="A4.F5.9.m1.1.1" xref="A4.F5.9.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F5.9.m1.1c"><ci id="A4.F5.9.m1.1.1.cmml" xref="A4.F5.9.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F5.9.m1.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F5.9.m1.1e">italic_λ</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathcal{J}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F5.10.m2.1"><semantics id="A4.F5.10.m2.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.F5.10.m2.1.1" xref="A4.F5.10.m2.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F5.10.m2.1c"><ci id="A4.F5.10.m2.1.1.cmml" xref="A4.F5.10.m2.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F5.10.m2.1d">\mathcal{J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F5.10.m2.1e">caligraphic_J</annotation></semantics></math> for many values of <math alttext="u,\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F5.11.m3.2"><semantics id="A4.F5.11.m3.2b"><mrow id="A4.F5.11.m3.2.3.2" xref="A4.F5.11.m3.2.3.1.cmml"><mi id="A4.F5.11.m3.1.1" xref="A4.F5.11.m3.1.1.cmml">u</mi><mo id="A4.F5.11.m3.2.3.2.1" xref="A4.F5.11.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A4.F5.11.m3.2.2" xref="A4.F5.11.m3.2.2.cmml">κ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F5.11.m3.2c"><list id="A4.F5.11.m3.2.3.1.cmml" xref="A4.F5.11.m3.2.3.2"><ci id="A4.F5.11.m3.1.1.cmml" xref="A4.F5.11.m3.1.1">𝑢</ci><ci id="A4.F5.11.m3.2.2.cmml" xref="A4.F5.11.m3.2.2">𝜅</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F5.11.m3.2d">u,\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F5.11.m3.2e">italic_u , italic_κ</annotation></semantics></math> and some equilibrium configuration <math alttext="x^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F5.12.m4.1"><semantics id="A4.F5.12.m4.1b"><msup id="A4.F5.12.m4.1.1" xref="A4.F5.12.m4.1.1.cmml"><mi id="A4.F5.12.m4.1.1.2" xref="A4.F5.12.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A4.F5.12.m4.1.1.3" xref="A4.F5.12.m4.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F5.12.m4.1c"><apply id="A4.F5.12.m4.1.1.cmml" xref="A4.F5.12.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.F5.12.m4.1.1.1.cmml" xref="A4.F5.12.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.F5.12.m4.1.1.2.cmml" xref="A4.F5.12.m4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A4.F5.12.m4.1.1.3.cmml" xref="A4.F5.12.m4.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F5.12.m4.1d">x^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F5.12.m4.1e">italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. We calculate the change in <math alttext="x^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F5.13.m5.1"><semantics id="A4.F5.13.m5.1b"><msup id="A4.F5.13.m5.1.1" xref="A4.F5.13.m5.1.1.cmml"><mi id="A4.F5.13.m5.1.1.2" xref="A4.F5.13.m5.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A4.F5.13.m5.1.1.3" xref="A4.F5.13.m5.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F5.13.m5.1c"><apply id="A4.F5.13.m5.1.1.cmml" xref="A4.F5.13.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.F5.13.m5.1.1.1.cmml" xref="A4.F5.13.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.F5.13.m5.1.1.2.cmml" xref="A4.F5.13.m5.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A4.F5.13.m5.1.1.3.cmml" xref="A4.F5.13.m5.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F5.13.m5.1d">x^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F5.13.m5.1e">italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> that maximizes the displacement of <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F5.14.m6.1"><semantics id="A4.F5.14.m6.1b"><mi id="A4.F5.14.m6.1.1" xref="A4.F5.14.m6.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F5.14.m6.1c"><ci id="A4.F5.14.m6.1.1.cmml" xref="A4.F5.14.m6.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F5.14.m6.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F5.14.m6.1e">italic_λ</annotation></semantics></math> towards the left (while keeping <math alttext="\langle x^{\star}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F5.15.m7.1"><semantics id="A4.F5.15.m7.1b"><mrow id="A4.F5.15.m7.1.1.1" xref="A4.F5.15.m7.1.1.2.cmml"><mo id="A4.F5.15.m7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.F5.15.m7.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="A4.F5.15.m7.1.1.1.1" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.2" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.3" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="A4.F5.15.m7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.F5.15.m7.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F5.15.m7.1c"><apply id="A4.F5.15.m7.1.1.2.cmml" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.F5.15.m7.1.1.2.1.cmml" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.cmml" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.F5.15.m7.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F5.15.m7.1d">\langle x^{\star}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F5.15.m7.1e">⟨ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> fixed, to avoid the spurious effect of reducing the overall abundance), and plot the angle between that direction and the direction that most increases the variance of <math alttext="x^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F5.16.m8.1"><semantics id="A4.F5.16.m8.1b"><msup id="A4.F5.16.m8.1.1" xref="A4.F5.16.m8.1.1.cmml"><mi id="A4.F5.16.m8.1.1.2" xref="A4.F5.16.m8.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A4.F5.16.m8.1.1.3" xref="A4.F5.16.m8.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F5.16.m8.1c"><apply id="A4.F5.16.m8.1.1.cmml" xref="A4.F5.16.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.F5.16.m8.1.1.1.cmml" xref="A4.F5.16.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.F5.16.m8.1.1.2.cmml" xref="A4.F5.16.m8.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A4.F5.16.m8.1.1.3.cmml" xref="A4.F5.16.m8.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F5.16.m8.1d">x^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F5.16.m8.1e">italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="A4a.p2"> <p class="ltx_p" id="A4a.p2.1">Unfortunately, while this property appears to hold in our chosen examples, we have no analytical argument for its generality (in particular, results may depend on eigenvectors and not only on the eigenvalues themselves as in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.14969v1#S0.E5" title="In Stabilization of macroscopic dynamics by fine-grained disorder in many-species ecosystems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>)), and thus retain it here only as a promising direction for future investigations.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Fri Nov 22 14:12:59 2024 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>