CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="th" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>การยกกำลัง - วิกิพีเดีย</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )thwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":["",""],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat": "thai","wgMonthNames":["","มกราคม","กุมภาพันธ์","มีนาคม","เมษายน","พฤษภาคม","มิถุนายน","กรกฎาคม","สิงหาคม","กันยายน","ตุลาคม","พฤศจิกายน","ธันวาคม"],"wgRequestId":"9960b16d-8bfd-455c-add8-8dcbf6a4f435","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"การยกกำลัง","wgTitle":"การยกกำลัง","wgCurRevisionId":11906494,"wgRevisionId":11906494,"wgArticleId":68271,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["หน้าที่มีข้อผิดพลาดการอ้างอิง","CS1 แหล่งที่มาภาษาอังกฤษ (en)","CS1 maint: multiple names: authors list","Webarchive template wayback links", "บทความทั้งหมดที่มีลิงก์เสีย","บทความที่มีลิงก์เสียตั้งแต่สิงหาคม 2021","บทความที่มีลิงก์เสียอย่างถาวร","CS1 errors: missing periodical","หน้าที่ใช้ลิงก์พิเศษ ISBN","บทความคุณภาพ","บทความที่มีแม่แบบแฮตโน้ตที่กำหนดเป้าหมายไปยังหน้าที่ไม่มีอยู่","บทความที่มีข้อความภาษาอังกฤษ","บทความที่มีตัวระบุ J9U","บทความที่มีตัวระบุ LCCN","การยกกำลัง","การดำเนินการทวิภาค"],"wgPageViewLanguage":"th","wgPageContentLanguage":"th","wgPageContentModel":"wikitext", "wgRelevantPageName":"การยกกำลัง","wgRelevantArticleId":68271,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgRedirectedFrom":"ยกกำลัง","wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"th","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"th"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":100000,"wgInternalRedirectTargetUrl":"/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87","wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false, "wgWikibaseItemId":"Q33456","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.charinsert-styles":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.view.redirect","ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site", "mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.ReferenceTooltips","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=th&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=th&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=th&modules=ext.gadget.charinsert-styles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=th&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/1200px-Expo02.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1200"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/800px-Expo02.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="800"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/640px-Expo02.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="640"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="การยกกำลัง - วิกิพีเดีย"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//th.m.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="แก้ไข" href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="วิกิพีเดีย (th)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//th.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.th"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="ฟีดอะตอม วิกิพีเดีย" href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-การยกกำลัง rootpage-การยกกำลัง skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">ข้ามไปเนื้อหา</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="ไซต์"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="เมนูหลัก" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > เมนูหลัก </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">เมนูหลัก</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">ย้ายเมนูไปที่แถบด้านข้าง</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ซ่อน</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> การนำทาง </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81" title="เยี่ยมชมหน้าหลัก [z]" accesskey="z">หน้าหลัก</a></li><li id="n-ask" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%96%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%B3%E0%B8%96%E0%B8%B2%E0%B8%A1">ถามคำถาม</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%96%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2:%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%95%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%9B%E0%B8%B1%E0%B8%88%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="ค้นหาข้อมูลเบื้องหลังในเหตุการณ์ปัจจุบัน">เหตุการณ์ปัจจุบัน</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1" title="โหลดหน้าแบบสุ่ม [x]" accesskey="x">สุ่มบทความ</a></li><li id="n-about" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="ทำความรู้จักวิกิพีเดีย">เกี่ยวกับวิกิพีเดีย</a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD" title="วิธีการติดต่อวิกิพีเดีย">ติดต่อเรา</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-interaction" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-interaction" > <div class="vector-menu-heading"> มีส่วนร่วม </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89:%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%8D" title="ข้อแนะนำการใช้และแก้ไขวิกิพีเดีย">คำอธิบาย</a></li><li id="n-introduction" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B8%87%E0%B8%B2%E0%B8%99">เริ่มต้นเขียน</a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%A1" title="เกี่ยวกับโครงการ สิ่งที่คุณทำได้ และวิธีการค้นหา">ศาลาประชาคม</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94" title="รายการเปลี่ยนแปลงล่าสุดในวิกินี้ [r]" accesskey="r">ปรับปรุงล่าสุด</a></li><li id="n-discord" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%94%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%94">ดิสคอร์ด</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="วิกิพีเดีย" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-th.svg" style="width: 6.4375em; height: 1.6875em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="สารานุกรมเสรี" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-th.svg" width="100" height="18" style="width: 6.25em; height: 1.125em;"> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%84%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%AB%E0%B8%B2" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="ค้นหาวิกิ [f]" accesskey="f"> ค้นหา </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="ค้นหาใน วิกิพีเดีย" aria-label="ค้นหาใน วิกิพีเดีย" autocapitalize="sentences" title="ค้นหาวิกิ [f]" accesskey="f" id="searchInput" > </div> <input type="hidden" name="title" value="พิเศษ:ค้นหา"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">ค้นหา</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="เครื่องมือส่วนตัว"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="หน้าตา"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="หน้าตา" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > หน้าตา </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_th.wikipedia.org&uselang=th" class="">บริจาคให้วิกิพีเดีย</a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%9C%E0%B8%B9%E0%B9%89%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B9%83%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B9%88&returnto=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="แนะนำให้คุณสร้างบัญชีและเข้าสู่ระบบ แต่ไม่บังคับ" class="">สร้างบัญชี</a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%A5%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%99&returnto=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="แนะนำให้คุณเข้าสู่ระบบ แต่ไม่บังคับ [o]" accesskey="o" class="">เข้าสู่ระบบ</a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="ตัวเลือกเพิ่มเติม" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="เครื่องมือส่วนตัว" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > เครื่องมือส่วนตัว </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="เมนูผู้ใช้" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_th.wikipedia.org&uselang=th">บริจาคให้วิกิพีเดีย</a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%9C%E0%B8%B9%E0%B9%89%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B9%83%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B9%88&returnto=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="แนะนำให้คุณสร้างบัญชีและเข้าสู่ระบบ แต่ไม่บังคับ"> สร้างบัญชี</a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%A5%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%99&returnto=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="แนะนำให้คุณเข้าสู่ระบบ แต่ไม่บังคับ [o]" accesskey="o"> เข้าสู่ระบบ</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> หน้าสำหรับผู้แก้ไขที่ออกจากระบบ <a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B8%B3" aria-label="เรียนรู้เพิ่มเกี่ยวกับการแก้ไข">เรียนรู้เพิ่มเติม</a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%89%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="รายการการแก้ไขจากเลขที่อยู่ไอพีนี้ [y]" accesskey="y">ส่วนร่วม</a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%B9%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%A2%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%89%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="อภิปรายเกี่ยวกับการแก้ไขจากเลขที่อยู่ไอพีนี้ [n]" accesskey="n">คุย</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="ไซต์"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="สารบัญ" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">สารบัญ</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">ย้ายเมนูไปที่แถบด้านข้าง</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ซ่อน</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">บทนำ</div> </a> </li> <li id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม"> <div class="vector-toc-text"> 1 เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม </div> </a> <button aria-controls="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม subsection </button> <ul id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก"> <div class="vector-toc-text"> 1.1 เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก </div> </a> <ul id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-เลขชี้กำลังเป็น_0_หรือ_1" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#เลขชี้กำลังเป็น_0_หรือ_1"> <div class="vector-toc-text"> 1.2 เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1 </div> </a> <ul id="toc-เลขชี้กำลังเป็น_0_หรือ_1-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด"> <div class="vector-toc-text"> 1.3 ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด </div> </a> <ul id="toc-ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ"> <div class="vector-toc-text"> 1.4 เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ </div> </a> <ul id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-เอกลักษณ์และสมบัติ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#เอกลักษณ์และสมบัติ"> <div class="vector-toc-text"> 1.5 เอกลักษณ์และสมบัติ </div> </a> <ul id="toc-เอกลักษณ์และสมบัติ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังของ_10" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังของ_10"> <div class="vector-toc-text"> 1.6 กำลังของ 10 </div> </a> <ul id="toc-กำลังของ_10-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังของ_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังของ_2"> <div class="vector-toc-text"> 1.7 กำลังของ 2 </div> </a> <ul id="toc-กำลังของ_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังของ_1" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังของ_1"> <div class="vector-toc-text"> 1.8 กำลังของ 1 </div> </a> <ul id="toc-กำลังของ_1-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังของ_0" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังของ_0"> <div class="vector-toc-text"> 1.9 กำลังของ 0 </div> </a> <ul id="toc-กำลังของ_0-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังของ_−1" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังของ_−1"> <div class="vector-toc-text"> 1.10 กำลังของ −1 </div> </a> <ul id="toc-กำลังของ_−1-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-เลขชี้กำลังขนาดใหญ่" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#เลขชี้กำลังขนาดใหญ่"> <div class="vector-toc-text"> 1.11 เลขชี้กำลังขนาดใหญ่ </div> </a> <ul id="toc-เลขชี้กำลังขนาดใหญ่-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก"> <div class="vector-toc-text"> 2 กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก </div> </a> <button aria-controls="toc-กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก subsection </button> <ul id="toc-กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-รากที่_n_มุขสำคัญ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#รากที่_n_มุขสำคัญ"> <div class="vector-toc-text"> 2.1 รากที่ n มุขสำคัญ </div> </a> <ul id="toc-รากที่_n_มุขสำคัญ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ"> <div class="vector-toc-text"> 2.2 เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ </div> </a> <ul id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังของ_e" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังของ_e"> <div class="vector-toc-text"> 2.3 กำลังของ e </div> </a> <ul id="toc-กำลังของ_e-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง"> <div class="vector-toc-text"> 2.4 เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง </div> </a> <ul id="toc-เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-รากที่_n_ที่เป็นลบ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#รากที่_n_ที่เป็นลบ"> <div class="vector-toc-text"> 3 รากที่ n ที่เป็นลบ </div> </a> <ul id="toc-รากที่_n_ที่เป็นลบ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก"> <div class="vector-toc-text"> 4 กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก </div> </a> <button aria-controls="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก subsection </button> <ul id="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-กำลังจำนวนจินตภาพของ_e" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังจำนวนจินตภาพของ_e"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 กำลังจำนวนจินตภาพของ e </div> </a> <ul id="toc-กำลังจำนวนจินตภาพของ_e-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ฟังก์ชันตรีโกณมิติ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ฟังก์ชันตรีโกณมิติ"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ </div> </a> <ul id="toc-ฟังก์ชันตรีโกณมิติ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ_e" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ_e"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e </div> </a> <ul id="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ_e-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก_2"> <div class="vector-toc-text"> 4.4 กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก </div> </a> <ul id="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-กำลังของจำนวนเชิงซ้อน" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังของจำนวนเชิงซ้อน"> <div class="vector-toc-text"> 5 กำลังของจำนวนเชิงซ้อน </div> </a> <button aria-controls="toc-กำลังของจำนวนเชิงซ้อน-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle กำลังของจำนวนเชิงซ้อน subsection </button> <ul id="toc-กำลังของจำนวนเชิงซ้อน-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน </div> </a> <ul id="toc-กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-รากเชิงซ้อนของ_1_(รากปฐมฐาน)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#รากเชิงซ้อนของ_1_(รากปฐมฐาน)"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 รากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน) </div> </a> <ul id="toc-รากเชิงซ้อนของ_1_(รากปฐมฐาน)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป"> <div class="vector-toc-text"> 5.3 รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป </div> </a> <ul id="toc-รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน"> <div class="vector-toc-text"> 5.4 การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน </div> </a> <ul id="toc-การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม"> <div class="vector-toc-text"> 5.5 ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม </div> </a> <ul id="toc-ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-0_ยกกำลัง_0" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#0_ยกกำลัง_0"> <div class="vector-toc-text"> 6 0 ยกกำลัง 0 </div> </a> <button aria-controls="toc-0_ยกกำลัง_0-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle 0 ยกกำลัง 0 subsection </button> <ul id="toc-0_ยกกำลัง_0-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-มุมมองที่แตกต่างในอดีต" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#มุมมองที่แตกต่างในอดีต"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 มุมมองที่แตกต่างในอดีต </div> </a> <ul id="toc-มุมมองที่แตกต่างในอดีต-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์"> <div class="vector-toc-text"> 6.2 การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์ </div> </a> <ul id="toc-การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว_IEEE" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว_IEEE"> <div class="vector-toc-text"> 6.2.1 มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE </div> </a> <ul id="toc-มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว_IEEE-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ภาษาโปรแกรม" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#ภาษาโปรแกรม"> <div class="vector-toc-text"> 6.2.2 ภาษาโปรแกรม </div> </a> <ul id="toc-ภาษาโปรแกรม-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์"> <div class="vector-toc-text"> 6.2.3 ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์ </div> </a> <ul id="toc-ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-ลิมิตของการยกกำลัง" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#ลิมิตของการยกกำลัง"> <div class="vector-toc-text"> 7 ลิมิตของการยกกำลัง </div> </a> <ul id="toc-ลิมิตของการยกกำลัง-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ"> <div class="vector-toc-text"> 8 การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ </div> </a> <ul id="toc-การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน"> <div class="vector-toc-text"> 9 สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน </div> </a> <ul id="toc-สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-การวางนัยทั่วไป" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#การวางนัยทั่วไป"> <div class="vector-toc-text"> 10 การวางนัยทั่วไป </div> </a> <button aria-controls="toc-การวางนัยทั่วไป-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle การวางนัยทั่วไป subsection </button> <ul id="toc-การวางนัยทั่วไป-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-พีชคณิตนามธรรม" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#พีชคณิตนามธรรม"> <div class="vector-toc-text"> 10.1 พีชคณิตนามธรรม </div> </a> <ul id="toc-พีชคณิตนามธรรม-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-เซต" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#เซต"> <div class="vector-toc-text"> 10.2 เซต </div> </a> <ul id="toc-เซต-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ทฤษฎีประเภท" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ทฤษฎีประเภท"> <div class="vector-toc-text"> 10.3 ทฤษฎีประเภท </div> </a> <ul id="toc-ทฤษฎีประเภท-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่"> <div class="vector-toc-text"> 10.4 จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่ </div> </a> <ul id="toc-จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-การยกกำลังซ้อน" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#การยกกำลังซ้อน"> <div class="vector-toc-text"> 11 การยกกำลังซ้อน </div> </a> <ul id="toc-การยกกำลังซ้อน-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ในภาษาโปรแกรม" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#ในภาษาโปรแกรม"> <div class="vector-toc-text"> 12 ในภาษาโปรแกรม </div> </a> <ul id="toc-ในภาษาโปรแกรม-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ประวัติของสัญกรณ์" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#ประวัติของสัญกรณ์"> <div class="vector-toc-text"> 13 ประวัติของสัญกรณ์ </div> </a> <ul id="toc-ประวัติของสัญกรณ์-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ดูเพิ่ม" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#ดูเพิ่ม"> <div class="vector-toc-text"> 14 ดูเพิ่ม </div> </a> <ul id="toc-ดูเพิ่ม-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-อ้างอิง" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#อ้างอิง"> <div class="vector-toc-text"> 15 อ้างอิง </div> </a> <ul id="toc-อ้างอิง-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-แหล่งข้อมูลอื่น" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#แหล่งข้อมูลอื่น"> <div class="vector-toc-text"> 16 แหล่งข้อมูลอื่น </div> </a> <ul id="toc-แหล่งข้อมูลอื่น-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="สารบัญ" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Toggle the table of contents" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Toggle the table of contents </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">การยกกำลัง</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="ไปที่บทความในภาษาอื่น ซึ่งมีใน 89 ภาษา" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-89" aria-hidden="true" > 89 ภาษา </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Magsverheffing" title="Magsverheffing – แอฟริกานส์" lang="af" hreflang="af" data-title="Magsverheffing" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="แอฟริกานส์" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik) – เยอรมันสวิส" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Potenz (Mathematik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="เยอรมันสวิส" class="interlanguage-link-target">Alemannisch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%95%E1%88%B4%E1%89%B5" title="ንሴት – อัมฮารา" lang="am" hreflang="am" data-title="ንሴት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="อัมฮารา" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D9%81%D8%B9_%D8%A3%D8%B3%D9%8A" title="رفع أسي – อาหรับ" lang="ar" hreflang="ar" data-title="رفع أسي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="อาหรับ" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación – อัสตูเรียส" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Potenciación" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="อัสตูเรียส" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Q%C3%BCvv%C9%99t%C9%99_y%C3%BCks%C9%99ltm%C9%99" title="Qüvvətə yüksəltmə – อาเซอร์ไบจาน" lang="az" hreflang="az" data-title="Qüvvətə yüksəltmə" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="อาเซอร์ไบจาน" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D3%99%D1%80%D3%99%D0%B6%D3%99%D0%B3%D3%99_%D0%BA%D2%AF%D1%82%D3%99%D1%80%D0%B5%D2%AF" title="Дәрәжәгә күтәреү – บัชคีร์" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Дәрәжәгә күтәреү" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="บัชคีร์" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Eksponentasyon" title="Eksponentasyon – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Eksponentasyon" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target">Bikol Central</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B5" title="Ступеняванне – เบลารุส" lang="be" hreflang="be" data-title="Ступеняванне" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="เบลารุส" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Степенуване (математика) – บัลแกเรีย" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Степенуване (математика)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="บัลแกเรีย" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A7%82%E0%A6%9A%E0%A6%95%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3" title="সূচকীকরণ – บังกลา" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সূচকীকরণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="บังกลา" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Eksponent" title="Eksponent – บอสเนีย" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Eksponent" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="บอสเนีย" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D1%8D%D1%80%D0%B3%D1%8D%D0%B4%D1%8D_%D0%B4%D1%8D%D0%B1%D0%B6%D2%AF%D2%AF%D0%BB%D1%85%D1%8D" title="Зэргэдэ дэбжүүлхэ – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Зэргэдэ дэбжүүлхэ" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target">Буряад</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3" title="Potenciació – คาตาลัน" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Potenciació" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="คาตาลัน" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%86_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="توان (ماتماتیک) – เคิร์ดตอนกลาง" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="توان (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="เคิร์ดตอนกลาง" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Umoc%C5%88ov%C3%A1n%C3%AD" title="Umocňování – เช็ก" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Umocňování" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="เช็ก" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D1%88%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%83" title="Капаштару – ชูวัช" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Капаштару" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="ชูวัช" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Esbonydd" title="Esbonydd – เวลส์" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Esbonydd" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="เวลส์" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Potens_(matematik)" title="Potens (matematik) – เดนมาร์ก" lang="da" hreflang="da" data-title="Potens (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="เดนมาร์ก" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik) – เยอรมัน" lang="de" hreflang="de" data-title="Potenz (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="เยอรมัน" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CF%8D%CE%BD%CE%B1%CE%BC%CE%B7_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="Δύναμη (μαθηματικά) – กรีก" lang="el" hreflang="el" data-title="Δύναμη (μαθηματικά)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="กรีก" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation" title="Exponentiation – อังกฤษ" lang="en" hreflang="en" data-title="Exponentiation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="อังกฤษ" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Potenco_(matematiko)" title="Potenco (matematiko) – เอสเปรันโต" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Potenco (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="เอสเปรันโต" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación – สเปน" lang="es" hreflang="es" data-title="Potenciación" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="สเปน" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Astendamine" title="Astendamine – เอสโตเนีย" lang="et" hreflang="et" data-title="Astendamine" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="เอสโตเนีย" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Berreketa" title="Berreketa – บาสก์" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Berreketa" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="บาสก์" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%86_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="توان (ریاضی) – เปอร์เซีย" lang="fa" hreflang="fa" data-title="توان (ریاضی)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="เปอร์เซีย" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Potenssi" title="Potenssi – ฟินแลนด์" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Potenssi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="ฟินแลนด์" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Potensur" title="Potensur – แฟโร" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Potensur" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="แฟโร" class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentiation" title="Exponentiation – ฝรั่งเศส" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Exponentiation" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="ฝรั่งเศส" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Potens" title="Potens – ฟริเซียนเหนือ" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Potens" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="ฟริเซียนเหนือ" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Easp%C3%B3nant" title="Easpónant – ไอริช" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Easpónant" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="ไอริช" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA" title="冪 – จีนกั้น" lang="gan" hreflang="gan" data-title="冪" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="จีนกั้น" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Eksponansyasyon" title="Eksponansyasyon – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Eksponansyasyon" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación – กาลิเซีย" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Potenciación" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="กาลิเซีย" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="บทความคัดสรร"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="חזקה (מתמטיקה) – ฮิบรู" lang="he" hreflang="he" data-title="חזקה (מתמטיקה)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ฮิบรู" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%98%E0%A4%BE%E0%A4%A4%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%95" title="घातांक – ฮินดี" lang="hi" hreflang="hi" data-title="घातांक" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ฮินดี" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Potenciranje" title="Potenciranje – โครเอเชีย" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Potenciranje" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="โครเอเชีย" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Hatv%C3%A1ny" title="Hatvány – ฮังการี" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Hatvány" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ฮังการี" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%B6_(%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE)" title="Աստիճան (հանրահաշիվ) – อาร์เมเนีย" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Աստիճան (հանրահաշիվ)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="อาร์เมเนีย" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Potentiation" title="Potentiation – อินเตอร์ลิงกัว" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Potentiation" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="อินเตอร์ลิงกัว" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Eksponensiasi" title="Eksponensiasi – อินโดนีเซีย" lang="id" hreflang="id" data-title="Eksponensiasi" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="อินโดนีเซีย" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Potenco" title="Potenco – อีโด" lang="io" hreflang="io" data-title="Potenco" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="อีโด" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Veldi_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Veldi (stærðfræði) – ไอซ์แลนด์" lang="is" hreflang="is" data-title="Veldi (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ไอซ์แลนด์" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)" title="Potenza (matematica) – อิตาลี" lang="it" hreflang="it" data-title="Potenza (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="อิตาลี" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97" title="冪乗 – ญี่ปุ่น" lang="ja" hreflang="ja" data-title="冪乗" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="ญี่ปุ่น" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Exponenshieshan" title="Exponenshieshan – อังกฤษคลีโอลจาเมกา" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Exponenshieshan" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="อังกฤษคลีโอลจาเมกา" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D3%99%D1%80%D0%B5%D0%B6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D1%83" title="Дәрежелеу – คาซัค" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Дәрежелеу" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="คาซัค" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B1%B0%EB%93%AD%EC%A0%9C%EA%B3%B1" title="거듭제곱 – เกาหลี" lang="ko" hreflang="ko" data-title="거듭제곱" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="เกาหลี" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Potentia_(mathematica)" title="Potentia (mathematica) – ละติน" lang="la" hreflang="la" data-title="Potentia (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ละติน" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Esponenti" title="Esponenti – ลิงกัวฟรังกาโนวา" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Esponenti" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="ลิงกัวฟรังกาโนวา" class="interlanguage-link-target">Lingua Franca Nova</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Machsverh%C3%B6ffing" title="Machsverhöffing – ลิมเบิร์ก" lang="li" hreflang="li" data-title="Machsverhöffing" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="ลิมเบิร์ก" class="interlanguage-link-target">Limburgs</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/K%C4%97limas_laipsniu" title="Kėlimas laipsniu – ลิทัวเนีย" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Kėlimas laipsniu" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="ลิทัวเนีย" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/K%C4%81pin%C4%81%C5%A1ana" title="Kāpināšana – ลัตเวีย" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Kāpināšana" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ลัตเวีย" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Toraka_(matematika)" title="Toraka (matematika) – มาลากาซี" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Toraka (matematika)" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="มาลากาซี" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%9A%D0%B5" title="Степенување – มาซิโดเนีย" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Степенување" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="มาซิโดเนีย" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Pengeksponenan" title="Pengeksponenan – มาเลย์" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Pengeksponenan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="มาเลย์" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%98%E0%A4%BE%E0%A4%A4%E0%A4%BE%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%95" title="घाताङ्क – เนปาล" lang="ne" hreflang="ne" data-title="घाताङ्क" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="เนปาล" class="interlanguage-link-target">नेपाली</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Machtsverheffen" title="Machtsverheffen – ดัตช์" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Machtsverheffen" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="ดัตช์" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Potens_i_matematikk" title="Potens i matematikk – นอร์เวย์นีนอสก์" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Potens i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="นอร์เวย์นีนอสก์" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Potens_(matematikk)" title="Potens (matematikk) – นอร์เวย์บุคมอล" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Potens (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="นอร์เวย์บุคมอล" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Aangessoo(ekispoonentii)" title="Aangessoo(ekispoonentii) – โอโรโม" lang="om" hreflang="om" data-title="Aangessoo(ekispoonentii)" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="โอโรโม" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%98%E0%A8%BE%E0%A8%A4_%E0%A8%85%E0%A9%B0%E0%A8%95" title="ਘਾਤ ਅੰਕ – ปัญจาบ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਘਾਤ ਅੰਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="ปัญจาบ" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie – โปแลนด์" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Potęgowanie" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="โปแลนด์" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Exponencia%C3%A7%C3%A3o" title="Exponenciação – โปรตุเกส" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Exponenciação" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="โปรตุเกส" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Yupa_huqariy" title="Yupa huqariy – เคชวา" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Yupa huqariy" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="เคชวา" class="interlanguage-link-target">Runa Simi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Putere_(matematic%C4%83)" title="Putere (matematică) – โรมาเนีย" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Putere (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="โรมาเนีย" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Возведение в степень – รัสเซีย" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Возведение в степень" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="รัสเซีย" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D2%AF%D1%82%D2%AF%D0%BD_%D0%BA%D3%A9%D1%80%D0%B4%D3%A9%D1%80%D3%A9%D3%A9%D1%87%D1%87%D2%AF%D0%BB%D1%8D%D1%8D%D1%85_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Бүтүн көрдөрөөччүлээх степень – ซาคา" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Бүтүн көрдөрөөччүлээх степень" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="ซาคา" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Putenza_(matim%C3%A0tica)" title="Putenza (matimàtica) – ซิซิลี" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Putenza (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="ซิซิลี" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Stepenovanje" title="Stepenovanje – เซอร์โบ-โครเอเชีย" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Stepenovanje" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="เซอร์โบ-โครเอเชีย" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Exponentiation" title="Exponentiation – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Exponentiation" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Umoc%C5%88ovanie" title="Umocňovanie – สโลวัก" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Umocňovanie" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="สโลวัก" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Potenciranje" title="Potenciranje – สโลวีเนีย" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Potenciranje" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="สโลวีเนีย" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Kutambanura_(nhamba)" title="Kutambanura (nhamba) – โชนา" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Kutambanura (nhamba)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="โชนา" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%9A%D0%B5" title="Степеновање – เซอร์เบีย" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Степеновање" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="เซอร์เบีย" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Potens" title="Potens – สวีเดน" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Potens" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="สวีเดน" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%85%E0%AE%9F%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%87%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="அடுக்கேற்றம் – ทมิฬ" lang="ta" hreflang="ta" data-title="அடுக்கேற்றம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="ทมิฬ" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pagpapalakas_(matematika)" title="Pagpapalakas (matematika) – ตากาล็อก" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pagpapalakas (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="ตากาล็อก" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cs" title="Üs – ตุรกี" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Üs" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="ตุรกี" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ug mw-list-item"><a href="https://ug.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%DB%95%D8%B1%D9%89%D8%AC%DB%95_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%90%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%89%D9%83%D8%A7)" title="دەرىجە (ماتېماتىكا) – อุยกูร์" lang="ug" hreflang="ug" data-title="دەرىجە (ماتېماتىكا)" data-language-autonym="ئۇيغۇرچە / Uyghurche" data-language-local-name="อุยกูร์" class="interlanguage-link-target">ئۇيغۇرچە / Uyghurche</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Піднесення до степеня – ยูเครน" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Піднесення до степеня" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ยูเครน" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa" title="Lũy thừa – เวียดนาม" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Lũy thừa" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="เวียดนาม" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Eksponentasyon" title="Eksponentasyon – วาเรย์" lang="war" hreflang="war" data-title="Eksponentasyon" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="วาเรย์" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%82" title="幂 – จีนอู๋" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="幂" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="จีนอู๋" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B4%D1%80%D0%B8%D0%BB%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="Идрилһан – คัลมืยค์" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Идрилһан" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="คัลมืยค์" class="interlanguage-link-target">Хальмг</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%90%D7%98%D7%A2%D7%A0%D7%A5" title="פאטענץ – ยิดดิช" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פאטענץ" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="ยิดดิช" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA" title="冪 – จีน" lang="zh" hreflang="zh" data-title="冪" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="จีน" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A1%E6%96%B9" title="次方 – กวางตุ้ง" lang="yue" hreflang="yue" data-title="次方" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="กวางตุ้ง" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q33456#sitelinks-wikipedia" title="แก้ไขลิงก์ข้ามภาษา" class="wbc-editpage">แก้ไขลิงก์</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="เนมสเปซ"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="ดูหน้าเนื้อหา [c]" accesskey="c">บทความ</a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B9%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%A2:%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" rel="discussion" title="อภิปรายเกี่ยวกับหน้าเนื้อหา [t]" accesskey="t">อภิปราย</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="เปลี่ยนรูปแบบภาษา" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >ไทย </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="ดู"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87">อ่าน</a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit" title="แก้ไขรหัสต้นฉบับของหน้านี้ [e]" accesskey="e">แก้ไข</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=history" title="แก้ไขเก่าของหน้านี้ [h]" accesskey="h">ดูประวัติ</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="หน้าเครื่องมือ"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="เครื่องมือ" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >เครื่องมือ </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">เครื่องมือ</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">ย้ายเมนูไปที่แถบด้านข้าง</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ซ่อน</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="ตัวเลือกเพิ่มเติม" > <div class="vector-menu-heading"> การกระทำ </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87">อ่าน</a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit" title="แก้ไขรหัสต้นฉบับของหน้านี้ [e]" accesskey="e">แก้ไข</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=history">ดูประวัติ</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> ทั่วไป </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%82%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%A1%E0%B8%B2/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="รายการหน้าวิกิทุกหน้าที่ลิงก์มาที่นี่ [j]" accesskey="j">หน้าที่ลิงก์มา</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%82%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%A1%E0%B8%B2/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" rel="nofollow" title="รายการเปลี่ยนแปลงล่าสุดในหน้าที่ลิงก์จากหน้านี้ [k]" accesskey="k">การเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวโยง</a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%9B%E0%B9%82%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%94" title="อัปโหลดไฟล์ [u]" accesskey="u">อัปโหลดไฟล์</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9" title="รายการหน้าพิเศษทั้งหมด [q]" accesskey="q">หน้าพิเศษ</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&oldid=11906494" title="ลิงก์ถาวรมารุ่นนี้ของหน้านี้">ลิงก์ถาวร</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=info" title="ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหน้านี้">สารสนเทศหน้า</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AD%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%87&page=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&id=11906494&wpFormIdentifier=titleform" title="สารสนเทศเกี่ยวกับวิธีการอ้างอิงหน้านี้">อ้างอิงบทความนี้</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fth.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25E0%25B8%2581%25E0%25B8%25B2%25E0%25B8%25A3%25E0%25B8%25A2%25E0%25B8%2581%25E0%25B8%2581%25E0%25B8%25B3%25E0%25B8%25A5%25E0%25B8%25B1%25E0%25B8%2587">รับยูอาร์แอลแบบสั้น</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:QrCode&url=https%3A%2F%2Fth.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25E0%25B8%2581%25E0%25B8%25B2%25E0%25B8%25A3%25E0%25B8%25A2%25E0%25B8%2581%25E0%25B8%2581%25E0%25B8%25B3%25E0%25B8%25A5%25E0%25B8%25B1%25E0%25B8%2587">ดาวน์โหลดคิวอาร์โค้ด</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> พิมพ์/ส่งออก </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD&bookcmd=book_creator&referer=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87">สร้างหนังสือ</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:DownloadAsPdf&page=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=show-download-screen">ดาวน์โหลดเป็น PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&printable=yes" title="รุ่นที่พร้อมพิมพ์ของหน้านี้ [p]" accesskey="p">รุ่นพร้อมพิมพ์</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> ในโครงการอื่น </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Exponentiation" hreflang="en">วิกิมีเดียคอมมอนส์</a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikifunctions mw-list-item"><a href="https://www.wikifunctions.org/wiki/Z12665" hreflang="en">วิกิฟังก์ชัน</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q33456" title="ลิงก์ไปยังสิ่งนี้ในคลังซึ่งเชื่อมโยงข้อมูลต่าง ๆ เข้าด้วยกัน [g]" accesskey="g">สิ่งนี้ในวิกิสนเทศ</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="หน้าเครื่องมือ"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="หน้าตา"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">หน้าตา</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">ย้ายเมนูไปที่แถบด้านข้าง</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ซ่อน</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-good-star" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%93%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E" title="นี่คือบทความคุณภาพ คลิกเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม"><img alt="นี่คือบทความคุณภาพ คลิกเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Symbol_support_vote.svg/19px-Symbol_support_vote.svg.png" decoding="async" width="19" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Symbol_support_vote.svg/29px-Symbol_support_vote.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Symbol_support_vote.svg/39px-Symbol_support_vote.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></a></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle">(เปลี่ยนทางจาก <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&redirect=no" class="mw-redirect" title="ยกกำลัง">ยกกำลัง</a>)</div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="th" dir="ltr"> การยกกำลัง เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%94%E0%B8%B3%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)">การดำเนินการ</a><a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="คณิตศาสตร์">ทางคณิตศาสตร์</a> ที่มีการเขียนอยู่ในรูป <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f8f52cd26bb201e02c8d1b3619a3a682f44dbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.216ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b^{n}}"> ซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวเลขสองจำนวน คือ <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99_(%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87)&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฐาน (การยกกำลัง) (ไม่มีหน้านี้)">ฐาน</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> และ เลขชี้กำลัง หรือ กำลัง <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> ซึ่งอ่านว่า "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> ยกกำลัง <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">"<a href="#cite_note-:1-1">[1]</a> เมื่อ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1" title="จำนวนเต็ม">จำนวนเต็ม</a>บวก การยกกำลังจึงเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" title="การคูณ">การคูณ</a>ซ้ำ ๆ กันของฐาน ซึ่งก็คือ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f8f52cd26bb201e02c8d1b3619a3a682f44dbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.216ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b^{n}}"> เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" class="mw-disambig" title="ผลคูณ">ผลคูณ</a>จากการคูณฐานซ้ำกันเป็นจำนวน <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> ครั้ง<a href="#cite_note-:1-1">[1]</a> <table class="infobox" style="width:22em;max-width:20em;"><tbody><tr><th colspan="2" style="text-align:center;font-size:125%;font-weight:bold;background: #ccc; font-size: 500%; line-height:1.3; font-weight:normal; font-family:'times new roman', times, georgia, serif;">bn</th></tr><tr><th colspan="2" style="text-align:center;background: #ccc;"><div style="background: #ccc; font-size: 125%; font-weight: bold; padding: 0.1em 0.25em 0.2em; line-height: 1.2em;">สัญกรณ์</div></th></tr><tr><td colspan="2" style="text-align:center">ฐาน b และเลขชี้กำลัง n</td></tr></tbody></table> <dl><dd><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mi>b</mi> <mo>×</mo> <mi>b</mi> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <mi>b</mi> <mo>×</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> times</mtext> </mrow> </mrow> </munder> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f76169d5296107530db641cf7b1a6d9074dd7c" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; margin-right: -0.028ex; width:23.417ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}}"></dd></dl> เลขชี้กำลังมักจะแสดงเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%81" class="mw-redirect" title="ตัวยก">ตัวยก</a> ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของฐานในกรณีที่ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f8f52cd26bb201e02c8d1b3619a3a682f44dbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.216ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b^{n}}"> เรียกว่า "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> ยกที่ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> กำลัง" "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> (ยก)กำลัง <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">" "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> ที่กำลัง <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">" "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> ที่ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> กำลัง"<a href="#cite_note-2">[2]</a> หรือที่มีการเรียกโดยสั้นที่สุดว่า "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> ที่ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">" เริ่มต้นจากข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ระบุไว้ข้างต้นว่า จำนวนเต็มบวก <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> ใด ๆ ซึ่ง <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f8f52cd26bb201e02c8d1b3619a3a682f44dbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.216ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b^{n}}"> คือจำนวน <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> ครั้งของ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> ที่คูณกัน คุณสมบัติอื่น ๆ ของการยกกำลังจะตามมาโดยตรง โดยเฉพาะ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="0.73em 0.73em 0.3em" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mi>b</mi> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> times</mtext> </mrow> </mrow> </munder> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mi>b</mi> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> times</mtext> </mrow> </mrow> </munder> <mo>×</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mi>b</mi> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> times</mtext> </mrow> </mrow> </munder> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3910691105e0b2f80e2656b6dc0037980fea92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.005ex; width:32.426ex; height:17.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}}"> กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อมีการคูณฐานที่ยกกำลังเป็นเลขชี้กำลังจำนวนหนึ่ง โดยคูณกับฐานที่มีค่าเท่ากันที่ยกกำลังเป็นเลขชี้กำลังอีกจำนวนหนึ่ง การคูณนั้นจะเป็นการนำเลขชี้กำลังของทั้งสองมาบวกกัน จากกฎพื้นฐานที่สามารถนำเลขชี้กำลังมาบวกกันได้ จึงสามารถสรุปได้ว่า <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5456c9d8bf077b24d003cf08da7a63403e24a8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.052ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{0}}"> จะต้องมีค่าเท่ากับ 1 เนื่องจาก <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> ใด ๆ ที่ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00a9ef1620af21cba09f12b22a21ea7147f8e7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:18.676ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}"> และเมื่อนำ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f8f52cd26bb201e02c8d1b3619a3a682f44dbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.216ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b^{n}}"> ไปหารทั้งสองข้าง จะได้ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{0}=b^{n}/b^{n}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{0}=b^{n}/b^{n}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6e097290fe5f92dc7836ab3dac8d984d91a10b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.006ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle b^{0}=b^{n}/b^{n}=1}"> ข้อเท็จจริงที่ว่า <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{1}=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{1}=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d240dbaf6181ae1801474f3d28dcd5504aacae6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.148ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{1}=b}"> สามารถได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันจากกฎเดียวกันได้ ยกตัวอย่างเช่น <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3df7bc066c567d1439e3c97c1c13b3f00d73a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.029ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}}"> เมื่อเอารากที่สามออกทั้งสอง ข้างจะได้ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{1}=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{1}=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d240dbaf6181ae1801474f3d28dcd5504aacae6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.148ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{1}=b}"> คำจำกัดความของการยกกำลัง สามารถขยายเพื่อใช้กับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนจริง หรือ<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99" title="จำนวนเชิงซ้อน">จำนวนเชิงซ้อน</a>ใด ๆ ได้ ส่วนการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม ก็สามารถกำหนดโครงสร้างพีชคณิตที่มีความหลากหลายได้ ซึ่งรวมไปถึง<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C" class="mw-disambig" title="เมทริกซ์">เมทริกซ์</a>ด้วย การยกกำลังมีการใช้งานในความรู้สาขาอื่น ๆ อย่างกว้างขวางในหลายด้าน เช่น <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A3%E0%B8%A9%E0%B8%90%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="เศรษฐศาสตร์">เศรษฐศาสตร์</a> <a href="/wiki/%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%A7%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B8%B2" title="ชีววิทยา">ชีววิทยา</a> <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A1%E0%B8%B5" title="เคมี">เคมี</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B9%8C" title="ฟิสิกส์">ฟิสิกส์</a> และ<a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="วิทยาการคอมพิวเตอร์">วิทยาการคอมพิวเตอร์</a> ในการใช้ในงานคำนวณ เช่น <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%94%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%A2%E0%B8%97%E0%B8%9A%E0%B8%95%E0%B9%89%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ดอกเบี้ยทบต้น (ไม่มีหน้านี้)">ดอกเบี้ยทบต้น</a> <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="การเพิ่มประชากร (ไม่มีหน้านี้)">การเพิ่มประชากร</a> <a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%A5%E0%B8%99%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A1%E0%B8%B5" title="จลนพลศาสตร์เคมี">จลนพลศาสตร์เคมี</a> พฤติกรรมของ<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%99" title="คลื่น">คลื่น</a> และ<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%81%E0%B8%B8%E0%B8%8D%E0%B9%81%E0%B8%88%E0%B8%AD%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3" class="mw-redirect" title="การเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร">การเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร</a> เป็นต้น <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:Expo02.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/315px-Expo02.svg.png" decoding="async" width="315" height="315" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/473px-Expo02.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/630px-Expo02.svg.png 2x" data-file-width="500" data-file-height="500" /></a><figcaption>กราฟของสมการ y = ax ในฐาน a ต่าง ๆ : ฐาน 10 (สีเขียว), ฐาน e (สีแดง), ฐาน 2 (สีน้ำเงิน), และฐาน ½ (สีฟ้า) เส้นโค้งแต่ละเส้นผ่านจุด (0, 1) เนื่องจากจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 และที่ x = 1 ค่าของ y จะเท่ากับฐาน เนื่องจากจำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้จำนวนเดิม</figcaption></figure> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม"><span id=".E0.B9.80.E0.B8.A5.E0.B8.82.E0.B8.8A.E0.B8.B5.E0.B9.89.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B9.80.E0.B8.9B.E0.B9.87.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B9.87.E0.B8.A1">เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=1" title="แก้ไขส่วน: เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม">แก้</a>]</div> การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="พีชคณิตมูลฐาน (ไม่มีหน้านี้)">พีชคณิตมูลฐาน</a>เท่านั้น <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก"><span id=".E0.B9.80.E0.B8.A5.E0.B8.82.E0.B8.8A.E0.B8.B5.E0.B9.89.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B9.80.E0.B8.9B.E0.B9.87.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B9.87.E0.B8.A1.E0.B8.9A.E0.B8.A7.E0.B8.81">เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=2" title="แก้ไขส่วน: เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก">แก้</a>]</div> นิพจน์ a2 = a·a เรียกว่า square หมายถึง<a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A1%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B8%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส">รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส</a> (ดูเพิ่มที่<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="การยกกำลังสอง (ไม่มีหน้านี้)">การยกกำลังสอง</a>) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มี<a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88" title="พื้นที่">พื้นที่</a>เท่ากับ a2 ตารางหน่วย นิพจน์ a3 = a·a·a เรียกว่า cube หมายถึง<a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B8%B9%E0%B8%81%E0%B8%9A%E0%B8%B2%E0%B8%A8%E0%B8%81%E0%B9%8C" title="ทรงลูกบาศก์">ทรงลูกบาศก์</a> (ดูเพิ่มที่<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="การยกกำลังสาม (ไม่มีหน้านี้)">การยกกำลังสาม</a>) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มี<a href="/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3" title="ปริมาตร">ปริมาตร</a>เท่ากับ a3 ลูกบาศก์หน่วย เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 35 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น กำลัง ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5 การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จาก<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%94" class="mw-redirect" title="ความสัมพันธ์เวียนเกิด">ความสัมพันธ์เวียนเกิด</a> an+1 = a·an โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a1 = a <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="เลขชี้กำลังเป็น_0_หรือ_1">เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=3" title="แก้ไขส่วน: เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1">แก้</a>]</div> เนื่องจาก a1 หมายถึง<a href="/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" class="mw-disambig" title="ผลคูณ">ผลคูณ</a>ของ a เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ a จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง an − 1 = an/a เมื่อสมมติให้ n = 1 จะได้ a0 = 1 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3125b84fe557a6d316a1f1662df4b3a09049fea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.009ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}"></dd></dl></dd></dl> ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c5a53cdd13984dee048657075cb0016d91ec37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.739ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}"></dd></dl></dd></dl> เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ a0 = 1 นำไปสู่กฎสองประการ <ul><li>จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง</li> <li>จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจาก<a href="/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87" title="ผลคูณว่าง">ผลคูณว่าง</a> สำหรับกรณี 00 ดูเพิ่มที่หัวข้อ <a href="#0_ยกกำลัง_0">0 ยกกำลัง 0</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด"><span id=".E0.B8.84.E0.B8.A7.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.AB.E0.B8.A1.E0.B8.B2.E0.B8.A2.E0.B8.97.E0.B8.B2.E0.B8.87.E0.B8.84.E0.B8.93.E0.B8.B4.E0.B8.95.E0.B8.A8.E0.B8.B2.E0.B8.AA.E0.B8.95.E0.B8.A3.E0.B9.8C.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.88.E0.B8.B1.E0.B8.94">ความหมายทาง<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94" title="คณิตศาสตร์เชิงการจัด">คณิตศาสตร์เชิงการจัด</a></h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=4" title="แก้ไขส่วน: ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด">แก้</a>]</div> สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง nm จะหมายถึง<a href="/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="ภาวะเชิงการนับ">ภาวะเชิงการนับ</a> (cardinality) ของ<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95" class="mw-redirect mw-disambig" title="เซต">เซต</a>ของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว <table style="margin-left:3em"> <tbody><tr> <td>05 = │ {} │ = 0 </td> <td>ไม่มีห้าสิ่งอันดับ จาก<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87" title="เซตว่าง">เซตว่าง</a> </td></tr> <tr> <td>14 = │ { (1, 1, 1, 1) } │ = 1 </td> <td>มีสี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว </td></tr> <tr> <td>23 = │ { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) } │ = 8   </td> <td>มีสามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว </td></tr> <tr> <td>32 = │ { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) } │ = 9 </td> <td>มีสองสิ่งอันดับ (คู่อันดับ) 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว </td></tr> <tr> <td>41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4 </td> <td>มีหนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว </td></tr> <tr> <td>50 = │ { () } │ = 1 </td> <td>มีศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว </td></tr></tbody></table> ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อ<a href="#เซต">การยกกำลังบนเซต</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ"><span id=".E0.B9.80.E0.B8.A5.E0.B8.82.E0.B8.8A.E0.B8.B5.E0.B9.89.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B9.80.E0.B8.9B.E0.B9.87.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B9.87.E0.B8.A1.E0.B8.A5.E0.B8.9A">เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=5" title="แก้ไขส่วน: เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ">แก้</a>]</div> จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือ<a href="/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%9C%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" title="ตัวผกผันการคูณ">ตัวผกผันการคูณ</a> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782fa7c46e15fbb82c9002f8c9f72a3fceb8007f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.727ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}"></dd></dl></dd></dl> จึงสามารถนิยามว่า <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-n}=(a^{n})^{-1}={\frac {1}{a^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-n}=(a^{n})^{-1}={\frac {1}{a^{n}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d922db90ca21f1c6816e577669008ff37b5cc813" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.799ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a^{-n}=(a^{n})^{-1}={\frac {1}{a^{n}}}}"></dd></dl></dd></dl> เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณี<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%A8%E0%B8%B9%E0%B8%99%E0%B8%A2%E0%B9%8C" title="การหารด้วยศูนย์">การหารด้วยศูนย์</a> จึงไม่มีการนิยาม นิยามของ a−n สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ aman = am+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m = −n จะทำให้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>+</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3667e0f856adbe75ce6386f7dbe731288e1b4121" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:26.07ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1}"></dd></dl></dd></dl> เมื่อ a0 ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม a−n = 1/an ดังที่ได้กล่าวแล้ว การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3" title="การหาร">การหาร</a>ซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{-4}=(((1/3)/3)/3)/3={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>81</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{-4}=(((1/3)/3)/3)/3={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15748fab603c1ca739890e42158c7428fa70a3e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.894ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle 3^{-4}=(((1/3)/3)/3)/3={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}"></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="เอกลักษณ์และสมบัติ">เอกลักษณ์และสมบัติ</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=6" title="แก้ไขส่วน: เอกลักษณ์และสมบัติ">แก้</a>]</div> เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1" title="จำนวนเต็ม">จำนวนเต็ม</a>คือ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03dc0dc5c28f3c415baa021eb8df0afb9768b01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.3ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}"></dd></dl></dd></dl> เอกลักษณ์นี้จึงเป็นผลที่ตามมา <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}};\;a\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>;</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}};\;a\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecea70e5e1e54ebd4dfdc0ebcd511a8991f256eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.179ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}};\;a\neq 0}"></dd></dl></dd></dl> และ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5157580e95aa58c552b637714e3dbdee1fbf9530" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.38ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}"></dd></dl></dd></dl> เอกลักษณ์พื้นฐานอีกอันหนึ่งคือ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ad5c9a9694703b709bb3a2b7f776c5653a2d54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.376ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}"></dd></dl></dd></dl> ในขณะที่การบวกและการคูณมี<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88" title="สมบัติการสลับที่">สมบัติการสลับที่</a> เช่น 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น 23 = 8 แต่ 32 = 9 และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมี<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88" title="สมบัติการเปลี่ยนหมู่">สมบัติการเปลี่ยนหมู่</a> เช่น (2+3) +4 = 9 = 2+ (3+4) และ (2·3) ·4 = 24 = 2· (3·4) แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "23 ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 84 หรือเท่ากับ 4,096 แต่ "2 ยกกำลัง 34" จะได้ผลลัพธ์เป็น 281 หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่<a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B9%87%E0%B8%9A" class="mw-redirect" title="วงเล็บ">วงเล็บ</a> <a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%94%E0%B8%B3%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3" class="mw-redirect" title="ลำดับของการดำเนินการ">ลำดับของการคำนวณ</a>จะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>≠</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51892a46b8154db4af343398491e63ff2462d355" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.217ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}"></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังของ_10">กำลังของ 10</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=7" title="แก้ไขส่วน: กำลังของ 10">แก้</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r9751016">.mw-parser-output .hatnote{font-style:italic}.mw-parser-output div.hatnote{padding-left:1.6em;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}.mw-parser-output .hatnote+link+.hatnote{margin-top:-0.5em}</style><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">ดูเพิ่ม: <a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="สัญกรณ์วิทยาศาสตร์">สัญกรณ์วิทยาศาสตร์</a></div> ในระบบ<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%9A" title="เลขฐานสิบ">เลขฐานสิบ</a> กำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 103 = 1,000 และ 10−4 = 0.0001 เป็นต้น การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ใน<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="สัญกรณ์วิทยาศาสตร์">สัญกรณ์วิทยาศาสตร์</a> เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ตัวอย่างเช่น จำนวน 299,792,458 เมตรต่อวินาที (<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B9%87%E0%B8%A7%E0%B9%81%E0%B8%AA%E0%B8%87" class="mw-redirect" title="ความเร็วแสง">ความเร็วแสง</a>ใน<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%8D%E0%B8%8D%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A8" title="สุญญากาศ">สุญญากาศ</a>) สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458×108 m/s หรือเท่ากับประมาณ 2.998×108 m/s คำอุปสรรคใน<a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%AA%E0%B9%84%E0%B8%AD" class="mw-redirect" title="หน่วยเอสไอ">หน่วยเอสไอ</a>ที่มีพื้นฐานบนกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกันเช่น คำอุปสรรค กิโล หมายถึง 103 = 1,000 ดังนั้น 1 <a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B9%82%E0%B8%A5%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B8%A3" title="กิโลเมตร">กิโลเมตร</a>จึงเท่ากับ 1,000 <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B8%A3" title="เมตร">เมตร</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังของ_2">กำลังของ 2</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=8" title="แก้ไขส่วน: กำลังของ 2">แก้</a>]</div> กำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญใน<a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="วิทยาการคอมพิวเตอร์">วิทยาการคอมพิวเตอร์</a> และ <a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A2%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B9%8C" title="คณิตศาสตร์ประยุกต์">คณิตศาสตร์ประยุกต์</a> เพราะว่า<a href="/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A3" class="mw-disambig" title="ตัวแปร">ตัวแปร</a><a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87" title="เลขฐานสอง">ฐานสอง</a>ขนาด n <a href="/wiki/%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%95" title="บิต">บิต</a> จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2n ค่า (1 บิต จะเป็นไปได้ 2 สถานะ คือ 1.ปิด หรือ 2.เปิด) กำลังของ 2 ก็เป็นสิ่งสำคัญใน<a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95" title="ทฤษฎีเซต">ทฤษฎีเซต</a> เนื่องจาก<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="เซต (คณิตศาสตร์)">เซต</a>เซตหนึ่งที่มีสมาชิก n ตัว จะมี<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="เซตกำลัง">เซตกำลัง</a>ที่มีสมาชิก 2n ตัว (เซตกำลังคือเซตของ<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2" title="เซตย่อย">เซตย่อย</a>ทั้งหมดจากเซตต้นแบบ) กำลังจำนวนเต็มลบของ 2 ก็ใช้กันทั่วไป เช่น 2−1 = 1/2 หมายถึงครึ่ง (half), 2−2 = 1/4 คือหนึ่งในสี่ (quarter) เป็นต้น ในระบบเลขฐานสอง กำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง 23 เขียนในเลขฐานสองว่า 10002 เป็นต้น <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังของ_1">กำลังของ 1</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=9" title="แก้ไขส่วน: กำลังของ 1">แก้</a>]</div> กำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1n = 1 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังของ_0">กำลังของ 0</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=10" title="แก้ไขส่วน: กำลังของ 0">แก้</a>]</div> ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0n = 0; n > 0 ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์ ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 00 = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม ดูที่หัวข้อ <a href="#0_ยกกำลัง_0">0 ยกกำลัง 0</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังของ_−1">กำลังของ −1</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=11" title="แก้ไขส่วน: กำลังของ −1">แก้</a>]</div> ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จะได้ (−1) n = 1 ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะได้ (−1) n = −1 จากสมบัติดังกล่าว กำลังของ −1 จึงมีประโยชน์ในการแสดง<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="ลำดับ">ลำดับ</a>ที่มีการสลับเครื่องหมาย ส่วนกรณีที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อน i ดูที่หัวข้อ<a href="#กำลังของจำนวนเชิงซ้อน">กำลังของจำนวนเชิงซ้อน</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="เลขชี้กำลังขนาดใหญ่">เลขชี้กำลังขนาดใหญ่</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=12" title="แก้ไขส่วน: เลขชี้กำลังขนาดใหญ่">แก้</a>]</div> <a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="ลิมิตของลำดับ">ลิมิตของลำดับ</a>ของกำลังของจำนวนที่มากกว่า 1 จะลู่ออก หมายความว่าจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่จำกัด <dl><dd><dl><dd>an → ∞ เมื่อ n → ∞ ถ้า a > 1</dd></dl></dd></dl> อาจเรียกได้ว่า a ยกกำลัง n จะมีค่าเข้าใกล้<a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C" title="อนันต์">อนันต์</a>ถ้า n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ เมื่อ a มีค่ามากกว่า 1 สำหรับกำลังของจำนวนที่มี<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B9%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C" title="ค่าสัมบูรณ์">ค่าสัมบูรณ์</a>น้อยกว่า 1 ลิมิตของลำดับจะลู่เข้าค่า 0 <dl><dd><dl><dd>an → 0 เมื่อ n → ∞ ถ้า |a| < 1</dd></dl></dd></dl> และกำลังของ 1 จะได้ค่า 1 เสมอ <dl><dd><dl><dd>an = 1 สำหรับทุกค่าของ n ถ้า a = 1</dd></dl></dd></dl> แต่หากฐาน a มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ <dl><dd><dl><dd>(1 + n−1) n → e เมื่อ n → ∞</dd></dl></dd></dl> ดูเพิ่มใน<a href="#กำลังของ_e">กำลังของ e</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.9A.E0.B8.A7.E0.B8.81">กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=13" title="แก้ไขส่วน: กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก">แก้</a>]</div> การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ <ul><li>เลขชี้กำลังเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0" title="จำนวนตรรกยะ">จำนวนตรรกยะ</a> สามารถนิยามให้เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88_n" title="รากที่ n">รากที่ n</a> และเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นศูนย์สามารถนิยามได้จาก<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ความต่อเนื่อง (ไม่มีหน้านี้)">ความต่อเนื่อง</a></li> <li>เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง สามารถนิยามให้เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B8%98%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="ลอการิทึมธรรมชาติ">ลอการิทึมธรรมชาติ</a>โดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</li></ul> <a href="#เอกลักษณ์และสมบัติ">เอกลักษณ์และสมบัติ</a>ที่แสดงไว้ด้านบนซึ่งนิยามไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็นจริงอยู่สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์นี้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77355c2c40f4eda188ebc885f3eecb7278ce4883" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}"></dd></dl></dd></dl> ไม่สามารถขยายแนวคิดได้อย่างคงเส้นคงวาถ้า a เป็นจำนวนจริงลบ ดูเพิ่มที่หัวข้อ<a href="#รากที่_n_ที่เป็นลบ">รากที่ n ที่เป็นลบ</a> ความผิดพลาดของเอกลักษณ์นี้เป็นมูลฐานของปัญหาที่เกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วที่หัวข้อ<a href="#ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม">ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="รากที่_n_มุขสำคัญ">รากที่ n มุขสำคัญ</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=14" title="แก้ไขส่วน: รากที่ n มุขสำคัญ">แก้</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:Root_graphs.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Root_graphs.svg/300px-Root_graphs.svg.png" decoding="async" width="300" height="225" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Root_graphs.svg/450px-Root_graphs.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Root_graphs.svg/600px-Root_graphs.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="600" /></a><figcaption>จากบนลงล่าง: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8</figcaption></figure> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r9751016"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88_n" title="รากที่ n">รากที่ n</a></div> รากที่ n ของจำนวน a คือจำนวน x ที่ซึ่ง xn = a ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกและ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีคำตอบสำหรับ xn = a ที่เป็นจำนวนจริงบวกหนึ่งจำนวนอย่างแน่นอน คำตอบดังกล่าวเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญของ a (principal n-th root) เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.266ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}"> เมื่อ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7de0000a4a81a5e0a43c6601468d841205ee847" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:2.71ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}"> คือกรณฑ์ หรือเขียนอีกรูปแบบหนึ่งเป็น a1/n เช่น 41/2 = 2, 81/3 = 2 เมื่อพูดถึงรากที่ n ของจำนวนจริงบวก a มักจะหมายถึงรากที่ n มุขสำคัญของ a ดังที่ได้กล่าวแล้ว <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ"><span id=".E0.B9.80.E0.B8.A5.E0.B8.82.E0.B8.8A.E0.B8.B5.E0.B9.89.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B9.80.E0.B8.9B.E0.B9.87.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.95.E0.B8.A3.E0.B8.A3.E0.B8.81.E0.B8.A2.E0.B8.B0">เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=15" title="แก้ไขส่วน: เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ">แก้</a>]</div> กำลังของจำนวนจริงบวก a ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0" title="จำนวนตรรกยะ">จำนวนตรรกยะ</a> m/n ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1663246fb7456433a31022e2211e563eefd43b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.327ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}"></dd></dl></dd></dl> เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนเต็มบวก <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังของ_e">กำลังของ e</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=16" title="แก้ไขส่วน: กำลังของ e">แก้</a>]</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r9751016"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง">ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</a></div> <a href="/wiki/E_(%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7)" title="E (ค่าคงตัว)">e</a> หรือค่าคงตัวของออยเลอร์ เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญค่าหนึ่ง มีค่าประมาณ 2.718 และเป็นฐานของ<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B8%98%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="ลอการิทึมธรรมชาติ">ลอการิทึมธรรมชาติ</a> ใช้เป็นแนวทางนำไปสู่การนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าคงตัวนี้นิยามโดย<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95" class="mw-redirect" title="ลิมิต">ลิมิต</a>ต่อไปนี้ ซึ่งเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ในขณะที่ฐานมีค่าเข้าใกล้ 1 <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5083f36c552eac70186df055d4247fffdcd53e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.715ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}"></dd></dl></dd></dl> ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d1f3ce4f2af79ff26ed02264baba0617333e1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.242ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}"></dd></dl></dd></dl> มี x เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef07e501f3ca26d1b6cb0e312dee21147b211cb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.518ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}"></dd></dl></dd></dl> ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนิยามขึ้นสำหรับ x ที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ <a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87" title="จำนวนจริง">จำนวนจริง</a> และจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นอกจากนี้ก็สามารถขยายการยกกำลังไปบนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่จำนวนได้เช่น<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B8%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="เมทริกซ์จัตุรัส (ไม่มีหน้านี้)">เมทริกซ์จัตุรัส</a> อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์การยกกำลังที่ยกมาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ x และ y สามารถสลับที่กันได้เท่านั้น การพิสูจน์อย่างสั้นว่า e ยกกำลังจำนวนเต็มบวก k เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ek แสดงได้ดังนี้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}(e)^{k}&=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>e</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(e)^{k}&=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36755b3cea5c5b0c796ec667d24833199568acfb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.338ex; width:51.718ex; height:19.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(e)^{k}&=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}\end{aligned}}}"></dd></dl></dd></dl> แสดงให้เห็นว่า ex+y สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง"><span id=".E0.B9.80.E0.B8.A5.E0.B8.82.E0.B8.8A.E0.B8.B5.E0.B9.89.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B9.80.E0.B8.9B.E0.B9.87.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.87">เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=17" title="แก้ไขส่วน: เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง">แก้</a>]</div> เนื่องจากจำนวนจริงสามารถประมาณค่าได้ด้วยจำนวนตรรกยะ การยกกำลังด้วยจำนวนจริง x ทุกจำนวนจึงสามารถนิยามได้ด้วย<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ความต่อเนื่อง (ไม่มีหน้านี้)">ความต่อเนื่อง</a>ด้วยกฎดังนี้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r}\quad (r\in \mathbb {Q} ,\,x\in \mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r}\quad (r\in \mathbb {Q} ,\,x\in \mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ce3e6796d66d6b5115ad62bfefceff2ce13d3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.051ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r}\quad (r\in \mathbb {Q} ,\,x\in \mathbb {R} )}"></dd></dl></dd></dl> ลิมิตดังกล่าวซึ่ง r ที่มีค่าเข้าใกล้ x ถูกนำมาแทนที่เฉพาะจำนวนตรรกยะ r ยกตัวอย่าง ถ้า <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\approx 1.732}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>≈</mo> <mn>1.732</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\approx 1.732}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a37965b060468689973e1b6728529b692913876" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.725ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\approx 1.732}"></dd></dl></dd></dl> ดังนั้น <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1.732</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>433</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>250</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>433</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>250</mn> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>16.241</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bdd79fbbb53d264123d507ca785a0b17bc70d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:40.099ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}"></dd></dl></dd></dl> การยกกำลังด้วยจำนวนจริงโดยปกติก็สามารถทำให้สำเร็จได้ด้วยลอการิทึม แทนที่จะใช้ลิมิตของจำนวนตรรกยะ <a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B8%98%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="ลอการิทึมธรรมชาติ">ลอการิทึมธรรมชาติ</a> ln (x) เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%9C%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%99" class="mw-redirect" title="ฟังก์ชันผกผัน">ฟังก์ชันผกผัน</a>ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ex ซึ่งนิยามไว้สำหรับ b > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=e^{\ln b}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=e^{\ln b}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc815625b407d5ab6042e73ddcfda0d1cf20b93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.263ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b=e^{\ln b}\,}"></dd></dl></dd></dl> ถ้า bx ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdcf43bdd20d57ba53b5d752bd0ac7146d3a947" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.305ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}"></dd></dl></dd></dl> สำหรับจำนวนจริง x แต่ละจำนวน สิ่งนี้สามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของการยกกำลังด้วยจำนวนจริง bx และสอดคล้องกับวิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะกับความต่อเนื่อง นิยามดังกล่าวเป็นวิธีการปกติสามัญในบริบทของจำนวนเชิงซ้อนอีกด้วย <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="รากที่_n_ที่เป็นลบ">รากที่ n ที่เป็นลบ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=18" title="แก้ไขส่วน: รากที่ n ที่เป็นลบ">แก้</a>]</div> กำลังของจำนวนจริงบวกจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ อย่างไรก็ตาม คำตอบของสมการ x2 = 4 อาจเป็น 2 หรือ −2 ก็ได้ ค่ามุขสำคัญของ 41/2 คือ 2 แต่ −2 ก็เป็นรากที่สองที่ถูกต้องอีกค่าหนึ่งด้วย หากนิยามของการยกกำลังของจำนวนจริงขยายแนวคิดให้มีผลลัพธ์เป็นจำนวนลบได้ ผลของการยกกำลังอาจลักลั่น ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จากสมการ xn = a ถ้า a เป็นบวกจะมีสองคำตอบ ได้แก่รากที่ n ที่เป็นบวกและลบ แต่ถ้า a เป็นลบจะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จากสมการ xn = a จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงหนึ่งจำนวน ถ้า a เป็นบวกก็จะได้คำตอบนั้นเป็นบวก และถ้า a เป็นลบก็จะได้คำตอบนั้นเป็นลบ สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด ถ้า m เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์จะเป็นบวก; ในกรณีที่ a เป็นลบ ถ้า m กับ n เป็นจำนวนคี่ ผลลัพธ์จะเป็นลบ; ในกรณีที่ a เป็นบวกและ n เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์อาจเป็นบวกหรือลบอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น (−27) 1/3 = −3, (−27) 2/3 = 9, 43/2 มีสองคำตอบคือ 8 กับ −8 และเนื่องจากไม่มีจำนวนจริง x ที่ทำให้ x2 = −1 ดังนั้นนิยามของ am/n ในกรณีที่ a เป็นลบและ n เป็นจำนวนคู่ จึงจำเป็นต้องใช้<a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%88%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E" title="หน่วยจินตภาพ">หน่วยจินตภาพ</a> i เข้ามาเกี่ยวข้อง ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม ar ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r และทำนองเดียวกัน er ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r ดังนั้น ln (a) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ a ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ a สามารถนิยามได้ด้วย<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ลอการิทึมเชิงซ้อน (ไม่มีหน้านี้)">ลอการิทึมเชิงซ้อน</a>ของ a) วิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะไม่สามารถใช้ได้กับค่า a ที่เป็นลบ เพราะวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง หมายความว่า ฟังก์ชัน f (r) = ar เป็นการขยายจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวเมื่อ a > 0 แต่ในกรณี a < 0 ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง r ที่กำหนดไว้แต่ละค่า ตัวอย่าง สมมติให้ a = −1 รากที่ n ของ −1 เท่ากับ −1 สำหรับจำนวนคี่บวก n ทุกจำนวน; แต่ถ้า n เป็นจำนวนคู่บวก (−1) (m/n) = −1 เมื่อ m เป็นจำนวนคี่, (−1) (m/n) = 1 เมื่อ m เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะ q ที่ทำให้ (−1) q = 1 เป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B9%81%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="เซตหนาแน่น (ไม่มีหน้านี้)">เซตหนาแน่น</a> (dense set) ในจำนวนตรรกยะ เช่นเดียวกับเซตของ q ที่ทำให้ (−1) q = −1 สิ่งนี้หมายความว่าฟังก์ชัน (−1) q ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะ q ใด ๆ ที่กำหนดไว้แต่ละค่า เมื่อใช้เอกลักษณ์การยกกำลังกับรากที่ n ที่เป็นลบ จำเป็นต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น −27 =  (−27) ( (2/3) × (3/2) )  =  ( (−27) 2/3) 3/2 = 93/2 = 27 ซึ่งผิดอย่างชัดเจน ปัญหาอยู่ที่การใช้รากที่สองที่เป็นบวก แทนที่จะใช้รากที่สองที่เป็นลบในขั้นตอนสุดท้าย แต่โดยทั่วไปปัญหาที่คล้ายกันนี้มักเกิดขึ้นกับจำนวนเชิงซ้อน ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อ<a href="#ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม">ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.9A.E0.B8.A7.E0.B8.81">กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=19" title="แก้ไขส่วน: กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก">แก้</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังจำนวนจินตภาพของ_e">กำลังจำนวนจินตภาพของ e</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=20" title="แก้ไขส่วน: กำลังจำนวนจินตภาพของ e">แก้</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:ExpIPi.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/ExpIPi.gif/300px-ExpIPi.gif" decoding="async" width="300" height="269" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/ExpIPi.gif 1.5x" data-file-width="360" data-file-height="323" /></a><figcaption>ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ez สามารถนิยามโดย<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95" class="mw-redirect" title="ลิมิต">ลิมิต</a>ของ (1 + z/N) N เมื่อ N มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และเมื่อเป็นเช่นนั้น eiπ ก็จะเป็นลิมิตของ (1 + iπ/N) N ในภาพเคลื่อนไหวนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นจาก 1 ถึง 100 การคำนวณ (1 + iπ/N) N แสดงเป็นผลร่วมที่เกิดจากการคูณซ้ำ ๆ N ตัวใน<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ระนาบเชิงซ้อน (ไม่มีหน้านี้)">ระนาบเชิงซ้อน</a> ซึ่งจุดสุดท้ายเป็นค่าที่แท้จริงของ (1 + iπ/N) N แสดงให้เห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น (1 + iπ/N) N จะมีค่าเข้าใกล้ −1 ดังนั้น eiπ = −1 ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อ<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%A9%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="เอกลักษณ์ของออยเลอร์">เอกลักษณ์ของออยเลอร์</a></figcaption></figure> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r9751016"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง">ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</a></div> การทำความเข้าใจ eix สำหรับจำนวนจริง x ต้องทราบถึงการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการบน<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99" title="จำนวนเชิงซ้อน">จำนวนเชิงซ้อน</a> และนิยาม<a href="#กำลังของ_e">กำลังของ e</a> ดังที่กล่าวไว้แล้วข้างต้น พิจารณา<a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1%E0%B8%89%E0%B8%B2%E0%B8%81" class="mw-redirect" title="รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก">รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก</a> (0, 1, 1 + ix/n) สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีลักษณะเข้าใกล้<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="เซกเตอร์ (ไม่มีหน้านี้)">เซกเตอร์</a>ของรูปวงกลมมากยิ่งขึ้น โดยมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ x/n <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="เรเดียน">เรเดียน</a> และรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ (0, (1 + ix/n) k, (1 + ix/n) k+1) ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายร่วมกันสำหรับ k ทุกค่า เพราะฉะนั้น สำหรับจำนวน n ขนาดใหญ่ จุดที่เป็นขอบเขตของ (1 + ix/n) n ก็คือจุดที่อยู่บน<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A1%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B6%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="รูปวงกลมหนึ่งหน่วย (ไม่มีหน้านี้)">รูปวงกลมหนึ่งหน่วย</a> ซึ่งมุมที่วัดจากแกนจำนวนจริงบวกเท่ากับ x เรเดียน <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%A7" class="mw-redirect" title="พิกัดเชิงขั้ว">พิกัดเชิงขั้ว</a>ของจุดนี้คือ (r, θ) = (1, x) และ<a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" class="mw-redirect" title="พิกัดคาร์ทีเซียน">พิกัดคาร์ทีเซียน</a>คือ (cos x, sin x) ดังนั้นในท้ายที่สุด eix = cos x + i sin x เรียกว่า<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="สูตรของออยเลอร์">สูตรของออยเลอร์</a> ซึ่งเชื่อมโยง<a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95" title="พีชคณิต">พีชคณิต</a>กับ<a href="/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%93%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="ตรีโกณมิติ">ตรีโกณมิติ</a>ด้วยความหมายของจำนวนเชิงซ้อน คำตอบของสมการ ez = 1 คือ<a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" title="พหุคูณ">พหุคูณ</a>จำนวนเต็มของ 2πi <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>z</mi> <mo>:</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mo>:</mo> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a27a4b7b416c858439ee8930ee98ca24cdf3360" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}"></dd></dl></dd></dl> ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ eb = a ดังนั้นคำตอบของสมการ ez = a หาได้โดยการบวก b เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2πi <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>z</mi> <mo>:</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mo>:</mo> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5cb3af39028e18b90c1426ed194823d8a1ef15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.073ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}"></dd></dl></dd></dl> ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%9A" title="ฟังก์ชันเป็นคาบ">ฟังก์ชันเป็นคาบ</a> (periodic function) ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2πi นอกจากนี้ก็ยังมีสูตรอื่น ๆ อีกเช่น eiπ = −1; ex + iy = ex (cos y + i sin y) <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ฟังก์ชันตรีโกณมิติ">ฟังก์ชันตรีโกณมิติ</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=21" title="แก้ไขส่วน: ฟังก์ชันตรีโกณมิติ">แก้</a>]</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r9751016"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="สูตรของออยเลอร์">สูตรของออยเลอร์</a></div> จากการแปลงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ โคไซน์และไซน์ถูกแปลงเป็น <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos(z)={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}};\qquad \sin(z)={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>;</mo> <mspace width="2em" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(z)={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}};\qquad \sin(z)={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35ce2f9596fe0d37388343d166e7fe9c7025fa1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:45.988ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \cos(z)={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}};\qquad \sin(z)={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}"></dd></dl></dd></dl> โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0b8fe8b21467bf130b8df5859ef28e3d1f9264" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.872ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}}"></dd></dl></dd></dl> การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ_e">กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=22" title="แก้ไขส่วน: กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e">แก้</a>]</div> การยกกำลัง z = ex+i·y สามารถคำนวณได้จาก ex · ei·y; ตัวประกอบส่วนจริง eอ้างอิงผิดพลาด: ไม่มีการปิด <code></ref></code> สำหรับป้ายระบุ <code><ref></code></ref> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก_2"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.9A.E0.B8.A7.E0.B8.81_2">กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=23" title="แก้ไขส่วน: กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก">แก้</a>]</div> กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวก และ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง az นิยามโดย ez·ln (a) เมื่อ x = ln (a) เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ ex = a ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น <dl><dd><dl><dd>2i = e i·ln (2) = cos (ln (2) ) + i·sin (ln (2) ) ≈ 0.76924 + 0.63896i</dd> <dd>ei ≈ 0.54030 + 0.84147i</dd> <dd>10i ≈ −0.66820 + 0.74398i</dd> <dd>(e2π) i ≈ 535.49i ≈ 1</dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="กำลังของจำนวนเชิงซ้อน">กำลังของจำนวนเชิงซ้อน</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=24" title="แก้ไขส่วน: กำลังของจำนวนเชิงซ้อน">แก้</a>]</div> กำลังจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์นิยามโดยการคูณหรือการหารซ้ำ ๆ เช่นเดียวกับที่ได้กล่าวแล้ว ถ้า i คือ<a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%88%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E" title="หน่วยจินตภาพ">หน่วยจินตภาพ</a>และ n คือจำนวนเต็มแล้ว in จะมีค่าเท่ากับ 1, i, −1 หรือ −i ขึ้นอยู่กับค่า n ว่าสมภาคกับ 0, 1, 2 หรือ 3 มอดุโล 4 ตามลำดับ (หรืออีกนัยหนึ่งคือ n หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่าใด) ด้วยสาเหตุนี้ กำลังของ i จึงมีประโยชน์ในการเขียนแทน<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A" title="ลำดับ">ลำดับ</a>ที่มีคาบแบ่งเป็น 4 ช่วง กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวกได้นิยามผ่านทาง ex ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อ<a href="#กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก">กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก</a> ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง การขยายแนวคิดของฟังก์ชันเหล่านี้ไปเป็นกรณีทั่วไปคือ กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก ทำให้เกิดความยุ่งยาก นั่นคือต้องนิยามฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องหรือ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันหลายค่า (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันหลายค่า</a>อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ว่าทางเลือกใดก็ไม่สามารถนิยามให้สอดคล้องเพียงพอทั้งหมดได้ กำลังจำนวนตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนต้องเป็นคำตอบของสมการเชิงพีชคณิตสมการหนึ่ง ดังนั้นมันจึงมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น w = z1/2 ต้องเป็นคำตอบของสมการ w2 = z แต่เมื่อ w เป็นคำตอบแล้ว −w ก็เป็นคำตอบด้วยเช่นกันเพราะว่า (−1) 2 = 1 คำตอบเพียงหนึ่งเดียวที่ถูกเลือกโดยค่อนข้างปราศจากเหตุผลเรียกว่า<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%82%E0%B8%AA%E0%B8%B3%E0%B8%84%E0%B8%B1%E0%B8%8D&action=edit&redlink=1" class="new" title="ค่ามุขสำคัญ (ไม่มีหน้านี้)">ค่ามุขสำคัญ</a> (principal value) สามารถเลือกโดยใช้กฎทั่วไปซึ่งใช้กับกำลังที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะด้วย กำลังและลอการิทึมเชิงซ้อนโดยธรรมชาติถือว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียวบน<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9C%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%99%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ผิวรีมันน์ (ไม่มีหน้านี้)">ผิวรีมันน์</a> (Riemann surface) รูปแบบค่าเดียวถูกนิยามขึ้นโดยการเลือกผิวขึ้นมาอันหนึ่ง ค่าของมันไม่มีความต่อเนื่องตามแนว<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ส่วนตัดกิ่ง (ไม่มีหน้านี้)">ส่วนตัดกิ่ง</a> (branch cut) การเลือกหนึ่งคำตอบจากหลายคำตอบเป็นค่ามุขสำคัญก็ยังคงได้ฟังก์ชันที่ไม่มีความต่อเนื่อง และกฎต่าง ๆ ที่ใช้จัดการกับการยกกำลังตามปกติอาจนำไปสู่ความผิดพลาดได้ กำลังจำนวนอตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนมีคำตอบที่เป็นไปได้ไม่จำกัด เพราะธรรมชาติของ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ลอการิทึมเชิงซ้อน (ไม่มีหน้านี้)">ลอการิทึมเชิงซ้อน</a>สามารถมีคำตอบได้หลายค่า ค่ามุขสำคัญคือค่าค่าหนึ่งที่ถูกเลือกด้วยกฎอย่างหนึ่งท่ามกลางคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้แน่ใจว่า กำลังของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จะมีค่าเหมือนกับกำลังของจำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง การยกกำลังจำนวนจริงด้วยจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการที่แตกต่างจากการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตามในกรณีของจำนวนจริงบวก ค่ามุขสำคัญนั้นเหมือนกัน กำลังของจำนวนจริงลบนั้นไม่ได้ถูกนิยามเสมอไป และไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะได้นิยามแล้ว ดังนั้นเมื่อพบกับจำนวนเชิงซ้อน ควรใช้การดำเนินการสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแทน <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=25" title="แก้ไขส่วน: กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน">แก้</a>]</div> สำหรับจำนวนเชิงซ้อน a และ b ซึ่ง a ≠ 0 สัญกรณ์ ab เกิดความกำกวมในคำตอบเหมือนกับ log a เพื่อหาค่าของ ab ขั้นตอนแรกจะต้องเลือกลอการิทึมของ a ขึ้นมาค่าหนึ่ง ทางเลือกนั้นอาจเป็น Log a (คือค่ามุขสำคัญของ log a โดยปริยายหากมิได้กำหนดเงื่อนไขอื่นเพิ่ม) หรืออาจเป็นค่าหนึ่งจากกิ่งอื่นของ log z ที่กำหนดตายตัว ดังนั้นจึงสามารถนิยามโดยใช้<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อน (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อน</a>ดังนี้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}\!}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab64a5f58b2e94d1482ca62f1aa33893d9f9bd74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:11.032ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}\!}"></dd></dl></dd></dl> เพราะนิยามนี้สอดคล้องกับ<a href="#เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง">นิยามที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้</a> ในกรณีที่ a เป็นจำนวนจริงบวกและค่ามุขสำคัญของ log a (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) ได้ถูกเลือก ถ้า b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ ab จะไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ log a เพราะสอดคล้องกับ<a href="#เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก">นิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม</a> ถ้า b เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุดโดยที่ n > 0 ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log a เป็นจำนวนไม่จำกัดให้ค่าที่แตกต่างกัน n จำนวนสำหรับ ab ซึ่งค่าเหล่านี้คือจำนวนเชิงซ้อน z ที่เป็นคำตอบของสมการ zn = am ถ้า b เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log a เป็นจำนวนไม่จำกัด นำไปสู่ค่าของ ab ที่แตกต่างกันเป็นจำนวนไม่จำกัดเช่นกัน การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงฐาน a เป็นรูปแบบเชิงขั้ว ดังที่อธิบายไว้<a href="#การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน">ด้านล่าง</a> การสร้างที่คล้ายก็สามารถใช้<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="ควอเทอร์เนียน">ควอเทอร์เนียน</a> (quaternion) ได้ด้วย <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="รากเชิงซ้อนของ_1_(รากปฐมฐาน)"><span id=".E0.B8.A3.E0.B8.B2.E0.B8.81.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87_1_.28.E0.B8.A3.E0.B8.B2.E0.B8.81.E0.B8.9B.E0.B8.90.E0.B8.A1.E0.B8.90.E0.B8.B2.E0.B8.99.29">รากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน)</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=26" title="แก้ไขส่วน: รากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน)">แก้</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:One3Root.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/One3Root.svg/220px-One3Root.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/One3Root.svg/330px-One3Root.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/One3Root.svg/440px-One3Root.svg.png 2x" data-file-width="480" data-file-height="480" /></a><figcaption>รากที่สามของ 1 ทั้งสามราก</figcaption></figure> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r9751016"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87_1&action=edit&redlink=1" class="new" title="รากของ 1 (ไม่มีหน้านี้)">รากของ 1</a></div> จำนวนเชิงซ้อน a ที่ทำให้ an = 1 สำหรับจำนวนเต็มบวก n เรียกว่า รากที่ n ของ 1 (nth root of unity) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า รากของ 1 (root of unity) รากเหล่านี้มี n คำตอบและวางตัวคล้ายจุดยอดของรูป n เหลี่ยมปรกติ บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบเชิงซ้อน ซึ่งมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่จำนวนจริง 1 ถ้า zn = 1 แต่ zk ≠ 1 สำหรับจำนวนธรรมชาติ k ตามเงื่อนไข 0 < k < n แล้ว z จะเรียกว่า รากปฐมฐานที่ n (primitive nth root of unity) ตัวอย่างเช่น −1 เป็นรากปฐมฐานที่สองเพียงตัวเดียว, รากปฐมฐานที่สี่มีสองตัวได้แก่ i และ −i (ไม่นับรากปฐมฐานที่สอง) เป็นต้น จำนวน e2πi (1/n) คือรากปฐมฐานที่ n ที่มี<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C_(%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99)&action=edit&redlink=1" class="new" title="อาร์กิวเมนต์ (การวิเคราะห์เชิงซ้อน) (ไม่มีหน้านี้)">อาร์กิวเมนต์</a>เป็นบวกน้อยที่สุด (บางครั้งอาจเรียกว่า รากปฐมฐานที่ n "มุขสำคัญ" ถึงแม้ว่าการใช้คำนี้จะไม่แพร่หลายและอาจทำให้สับสนกับ ค่ามุขสำคัญของรากที่ n ของ 1 ซึ่งหมายถึงค่า 1 <a href="#cite_note-3">[3]</a>) ส่วนรากของ 1 จำนวนอื่น ๆ คำนวณได้จาก <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(e^{2\pi i/n}\right)^{k}=e^{2\pi ik/n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(e^{2\pi i/n}\right)^{k}=e^{2\pi ik/n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f3a835b1eae5283db2447ec301446c0bd8751" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.73ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \left(e^{2\pi i/n}\right)^{k}=e^{2\pi ik/n}}"></dd></dl></dd></dl> สำหรับ 2 ≤ k ≤ n <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป"><span id=".E0.B8.A3.E0.B8.B2.E0.B8.81.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99.E0.B9.82.E0.B8.94.E0.B8.A2.E0.B8.97.E0.B8.B1.E0.B9.88.E0.B8.A7.E0.B9.84.E0.B8.9B">รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=27" title="แก้ไขส่วน: รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป">แก้</a>]</div> แม้ว่าลอการิทึมเชิงซ้อนมีค่าที่เป็นไปได้มากมายไม่จำกัด แต่ก็มีค่าเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เป็นคำตอบของ az โดยเฉพาะในกรณีที่ z = 1/n และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าเหล่านี้คือรากที่ n ของ a ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ xn = a ในทางคณิตศาสตร์ เราอาจทำให้การคำนวณสะดวกขึ้นโดยนิยาม a1/n ให้เป็นค่ามุขสำคัญของราก ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก จะสามารถเลือกคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเป็นค่ามุขสำคัญได้อย่างง่ายดาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป รากที่ n ที่มีอาร์กิวเมนต์น้อยที่สุดมักจะถูกเลือกเป็นค่ามุขสำคัญของราก เช่นเดียวกับค่ามุขสำคัญของรากของ 1 เซตของรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน a หาได้จากการคูณค่ามุขสำคัญของ a1/n ด้วยรากที่ n ของ 1 แต่ละจำนวน ตัวอย่างเช่น รากที่สี่ของ 16 ได้แก่ 2, −2, 2i และ −2i เพราะว่าค่ามุขสำคัญของรากที่สี่ของ 16 คือ 2 และรากที่สี่ของ 1 ได้แก่ 1, −1, i และ −i <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.84.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.93.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=28" title="แก้ไขส่วน: การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน">แก้</a>]</div> การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็นการยกกำลังในรูปแบบเชิงขั้ว จำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วดังนี้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=re^{i\theta }=e^{\ln(r)+i\theta }\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=re^{i\theta }=e^{\ln(r)+i\theta }\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35bb89c4924ad8d10f789a6df625e78d9e208a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:18.7ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=re^{i\theta }=e^{\ln(r)+i\theta }\,}"></dd></dl></dd></dl> เมื่อ r คือจำนวนจริงไม่เป็นลบและ θ คืออาร์กิวเมนต์ของ z (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) รูปแบบเชิงขั้วมีการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตว่า ถ้าจำนวนเชิงซ้อน u + iv แทนได้ด้วยจุด (u, v) บน<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ระนาบเชิงซ้อน (ไม่มีหน้านี้)">ระนาบเชิงซ้อน</a>โดย<a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน">ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน</a> ดังนั้น (r, θ) ก็คือจุดเดียวกันใน<a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%A7" title="ระบบพิกัดเชิงขั้ว">ระบบพิกัดเชิงขั้ว</a> นั่นหมายความว่า r คือ "<a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%A8%E0%B8%A1%E0%B8%B5" title="รัศมี">รัศมี</a>" ที่มีค่าตาม r2 = u2 + v2 และ θ คือ "<a href="/wiki/%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1" title="มุม">มุม</a>" ที่มีค่าตาม θ = <a href="/w/index.php?title=Atan2&action=edit&redlink=1" class="new" title="Atan2 (ไม่มีหน้านี้)">atan2</a> (v, u) (ฟังก์ชัน atan2 มาจากฟังก์ชัน <a href="/w/index.php?title=Arctan&action=edit&redlink=1" class="new" title="Arctan (ไม่มีหน้านี้)">arctan</a> ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม) มุมเชิงขั้ว θ มีความกำกวมเนื่องจาก θ สามารถบวกด้วยพหุคูณใด ๆ ของ 2π แล้วไม่ทำให้จุดเปลี่ยนตำแหน่งไปจากเดิม ตัวเลือกแต่ละค่าของ θ โดยทั่วไปจะให้ผลการยกกำลังที่แตกต่างกัน ส่วนตัดกิ่งส่วนหนึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อเลือกค่าที่เจาะจง ค่ามุขสำคัญ (ส่วนตัดกิ่งที่สามัญที่สุด) สอดคล้องกับ θ ที่ถูกเลือกในช่วงค่า (−π, π] สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ซึ่งใช้ค่ามุขสำคัญเช่นนั้น จะให้ผลลัพธ์เดียวกับการใช้จำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง เพื่อที่จะคำนวณกำลังเชิงซ้อน ab ขั้นแรกเขียน a ในรูปแบบเชิงขั้ว <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=re^{i\theta }\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=re^{i\theta }\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423de66f345479dd90f7aa105a8dbe1b9755ad2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.418ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a=re^{i\theta }\,}"></dd></dl></dd></dl> ดังนั้น <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log a=\log r+i\theta \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log a=\log r+i\theta \,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4143b29f0d13525d7862ab7969e3988ba4d7a330" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.215ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log a=\log r+i\theta \,}"></dd></dl></dd></dl> และจะได้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}=e^{b(\log r+i\theta )}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}=e^{b(\log r+i\theta )}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65ce580144ecb573e90e3e0b099ccd6b6bae9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:23.665ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}=e^{b(\log r+i\theta )}\,}"></dd></dl></dd></dl> ถ้า b ถูกแบ่งออกเป็น c + di ดังนั้นสูตรสำหรับ ab จึงเขียนให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้เป็น <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(r^{c}e^{-d\theta }\right)e^{i(d\log r+c\theta )}=\left(r^{c}e^{-d\theta }\right)\left[\cos(d\log r+c\theta )+i\sin(d\log r+c\theta )\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(r^{c}e^{-d\theta }\right)e^{i(d\log r+c\theta )}=\left(r^{c}e^{-d\theta }\right)\left[\cos(d\log r+c\theta )+i\sin(d\log r+c\theta )\right]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114e1a63e60c13a045291e8f5b0c9eb8bd448bf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:67.774ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \left(r^{c}e^{-d\theta }\right)e^{i(d\log r+c\theta )}=\left(r^{c}e^{-d\theta }\right)\left[\cos(d\log r+c\theta )+i\sin(d\log r+c\theta )\right]}"></dd></dl></dd></dl> สูตรสุดท้ายนี้ช่วยคำนวณการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนได้โดยง่าย จากการแบ่งฐานกับเลขชี้กำลังออกเป็นรูปแบบเชิงขั้วกับรูปแบบคาร์ทีเซียนตามลำดับ สูตรดังกล่าวแสดงผลลัพธ์ทั้งรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียน (ผ่านทาง<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%A9%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="เอกลักษณ์ของออยเลอร์">เอกลักษณ์ของออยเลอร์</a>) ตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้ค่ามุขสำคัญคือส่วนตัดกิ่งที่ทำให้ θ อยู่ในช่วงค่า (−π, π] กำหนดโจทย์ i i ขั้นแรกเขียน i ในรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียนดังนี้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1\cdot e^{i\pi /2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1\cdot e^{i\pi /2}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e96446d6106131454b4cf279f6a82181bdfd447" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.599ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i=1\cdot e^{i\pi /2}\,}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=0+1i\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mi>i</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=0+1i\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17aed4024b5c69b062f3008f15595d31838052e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.256ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle i=0+1i\,}"></dd></dl></dd></dl> จากการแปลงด้านบน จะได้ว่า r = 1, θ = π/2, c = 0 และ d = 1 ดังนั้น <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i^{i}=\left(1^{0}e^{-\pi /2}\right)e^{i(1\cdot \log 1+0\cdot \pi /2)}=e^{-\pi /2}\approx 0.2079}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mn>0.2079</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i^{i}=\left(1^{0}e^{-\pi /2}\right)e^{i(1\cdot \log 1+0\cdot \pi /2)}=e^{-\pi /2}\approx 0.2079}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e56c79eb243036bf97c0e6b775708600edf4120" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:46.573ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \ i^{i}=\left(1^{0}e^{-\pi /2}\right)e^{i(1\cdot \log 1+0\cdot \pi /2)}=e^{-\pi /2}\approx 0.2079}"></dd></dl></dd></dl> เช่นเดียวกันสำหรับโจทย์ (−2) 3 + 4i หารูปแบบเชิงขั้วของ −2 ได้เป็น <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -2=2e^{i\pi }\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2=2e^{i\pi }\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a602d4b566cb670032248858f9d7e64d492e62e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.444ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -2=2e^{i\pi }\,}"></dd></dl></dd></dl> แล้วใช้สูตรด้านบนคำนวณจนได้คำตอบ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-2)^{3+4i}=\left(2^{3}e^{-4\pi }\right)e^{i(4\log(2)+3\pi )}\approx (2.602-1.006i)\cdot 10^{-5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2.602</mn> <mo>−</mo> <mn>1.006</mn> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-2)^{3+4i}=\left(2^{3}e^{-4\pi }\right)e^{i(4\log(2)+3\pi )}\approx (2.602-1.006i)\cdot 10^{-5}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afac1df203d3fcc4e30450942079c4018857b91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:57.79ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle (-2)^{3+4i}=\left(2^{3}e^{-4\pi }\right)e^{i(4\log(2)+3\pi )}\approx (2.602-1.006i)\cdot 10^{-5}}"></dd></dl></dd></dl> ค่าของการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับกิ่งที่เลือก ตัวอย่างเช่น ถ้าเลือกรูปแบบเชิงขั้วของ i = 1ei  (5π/2) เพื่อคำนวณ i i คำตอบจะกลายเป็น e−5π/2 แต่ค่ามุขสำคัญของ i i คือ e−π/2 ดังตัวอย่างที่แสดงไว้แล้ว เซตของค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับ i i สามารถหาได้จากเงื่อนไข <a href="#cite_note-4">[4]</a> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1\cdot e^{i\pi /2+i2\pi k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1\cdot e^{i\pi /2+i2\pi k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ffece28371ce37e9753385706db25d7ea8fe91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.678ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i=1\cdot e^{i\pi /2+i2\pi k}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{i}=e^{i\left(i\pi /2+i2\pi k\right)}=e^{-\left(\pi /2+2\pi k\right)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{i}=e^{i\left(i\pi /2+i2\pi k\right)}=e^{-\left(\pi /2+2\pi k\right)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf55e2efa0821f702b23424fde952b5d6b263fd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:28.939ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i^{i}=e^{i\left(i\pi /2+i2\pi k\right)}=e^{-\left(\pi /2+2\pi k\right)}}"></dd></dl></dd></dl> เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้ของ i i จึงมีจำนวนไม่จำกัดสำหรับค่า k แต่ละค่า คำตอบทั้งหมดมีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงอาจกล่าวได้ว่า i i มีค่าเป็นจำนวนจริงและมีเป็นอนันต์ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม"><span id=".E0.B8.84.E0.B8.A7.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.9C.E0.B8.B4.E0.B8.94.E0.B8.9E.E0.B8.A5.E0.B8.B2.E0.B8.94.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B9.80.E0.B8.AD.E0.B8.81.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.81.E0.B8.A9.E0.B8.93.E0.B9.8C.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.A5.E0.B8.AD.E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.97.E0.B8.B6.E0.B8.A1">ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=29" title="แก้ไขส่วน: ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม">แก้</a>]</div> เอกลักษณ์การยกกำลังและลอการิทึมบางอย่างที่ใช้กับจำนวนจริงบวก ใช้งานไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ไม่ว่าการยกกำลังเชิงซ้อนและลอการิทึมเชิงซ้อนถูกนิยามขึ้นอย่างไร ยกตัวอย่าง <ul><li>เอกลักษณ์ log (ab) = b · log a เป็นจริงเมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกและ b เป็นจำนวนจริง แต่สำหรับ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%82%E0%B8%AA%E0%B8%B3%E0%B8%84%E0%B8%B1%E0%B8%8D&action=edit&redlink=1" class="new" title="กิ่งมุขสำคัญ (ไม่มีหน้านี้)">กิ่งมุขสำคัญ</a> (principal branch) ของลอการิทึมเชิงซ้อนจะได้ว่า</li> <li>:: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\pi =\log(-1)=\log((-i)^{2})\,\neq \,2\log(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>≠</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>2</mn> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\pi =\log(-1)=\log((-i)^{2})\,\neq \,2\log(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631e465bebb0377c5364ca8b3b8430e98448df12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.531ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle i\pi =\log(-1)=\log((-i)^{2})\,\neq \,2\log(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }"></li> <li>: ไม่ว่ากิ่งใดของลอการิทึมจะถูกเลือก ความผิดพลาดดังกล่าวก็ยังคงมีอยู่ แนวทางที่ดีที่สุด (เมื่อต้องการใช้ผลลัพธ์เท่านั้น) คือการกำหนดให้</li> <li>:: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log(a^{b})\equiv b\cdot \log(a){\pmod {2\pi i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≡</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log(a^{b})\equiv b\cdot \log(a){\pmod {2\pi i}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e58ee6827b5881fb7a87f3af1eddd0093046c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.715ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \log(a^{b})\equiv b\cdot \log(a){\pmod {2\pi i}}}"></li> <li>: เอกลักษณ์นี้ก็ไม่เป็นจริงหากพิจารณาว่าลอการิทึมเป็นฟังก์ชันหลายค่า ค่าที่เป็นไปได้ของ log (ab) จะมีค่า b · log a เหล่านั้นเป็นเพียงเซตย่อยเซตหนึ่ง ค่าที่เป็นไปได้ทั้งสองข้างของเอกลักษณ์ซึ่งแสดงด้วย Log (a) แทนค่ามุขสำคัญของ log (a) และ m กับ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ว่า</li> <li>:: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{\log(a^{b})\right\}=\left\{b\cdot \operatorname {Log} (a)+b\cdot 2\pi in+2\pi im\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>Log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{\log(a^{b})\right\}=\left\{b\cdot \operatorname {Log} (a)+b\cdot 2\pi in+2\pi im\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e7d8932ae635029112f881fa1be00938829028" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.962ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left\{\log(a^{b})\right\}=\left\{b\cdot \operatorname {Log} (a)+b\cdot 2\pi in+2\pi im\right\}}"></li> <li>:: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{b\cdot \log(a)\right\}=\left\{b\cdot \operatorname {Log} (a)+b\cdot 2\pi in\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>Log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{b\cdot \log(a)\right\}=\left\{b\cdot \operatorname {Log} (a)+b\cdot 2\pi in\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb204b3328af0194287e519d8a210b43836858bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.138ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{b\cdot \log(a)\right\}=\left\{b\cdot \operatorname {Log} (a)+b\cdot 2\pi in\right\}}"></li></ul> <ul><li>เอกลักษณ์ (ab) c = acbc และ (a/b) c = ac/bc ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a กับ b เป็นจำนวนจริงบวกและ c เป็นจำนวนจริง แต่การคำนวณโดยใช้กิ่งมุขสำคัญแสดงให้เห็นว่า</li> <li>:: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1=(-1\times -1)^{1/2}\not =(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≠</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1=(-1\times -1)^{1/2}\not =(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7b651817e0cfd1fb0c0ddfb9e46e084a75e8ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.674ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle 1=(-1\times -1)^{1/2}\not =(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=-1}"></li> <li>: และ</li> <li>:: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=(-1)^{1/2}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{1/2}\not ={\frac {1^{1/2}}{(-1)^{1/2}}}={\frac {1}{i}}=-i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=(-1)^{1/2}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{1/2}\not ={\frac {1^{1/2}}{(-1)^{1/2}}}={\frac {1}{i}}=-i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7e9a90a102c29ca834a6da0d391e64c620d321" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:46.622ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle i=(-1)^{1/2}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{1/2}\not ={\frac {1^{1/2}}{(-1)^{1/2}}}={\frac {1}{i}}=-i}"></li> <li>: ในทางตรงข้าม เมื่อ c เป็นจำนวนเต็ม เอกลักษณ์เหล่านี้จะใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวน</li> <li>: ถ้าการยกกำลังถูกพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ (−1×−1) 1/2 คือ {1,  −1} เอกลักษณ์ยังคงเป็นจริง แต่การกล่าวว่า {1} = { (−1×−1) 1/2} นั้นผิด</li></ul> <ul><li>เอกลักษณ์ (ea) b = eab เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง a และ b แต่การสมมติให้เอกลักษณ์นี้เป็นจริงสำหรับจำนวนเชิงซ้อนนำไปสู่<a href="/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A8%E0%B8%99%E0%B9%8C" title="ปฏิทรรศน์">ปฏิทรรศน์</a>ต่อไปนี้ ซึ่งค้นพบโดย<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%82%E0%B8%97%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%AA_%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="โทมัส คลาวเซน (ไม่มีหน้านี้)">โทมัส คลาวเซน</a> (Thomas Clausen) เมื่อ ค.ศ. 1827 <a href="#cite_note-Clausen1827-5">[5]</a></li> <li>: สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ จะได้ว่า</li> <li>:# <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14140fa5d8cf61e540aec990d0c62e3b15845435" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:28.196ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e\,}"></li> <li>:# <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8fe935bfc00dbd01a3ebd35e311942d9fa732f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.083ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\,}"></li> <li>:# <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46df9ee2ce7cc3714c2f1e96661dc43ab6f7e8be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.996ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\,}"></li> <li>:# <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58109068e3c0903055f71e616851182505ba5202" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:18.349ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\,}"></li> <li>:# <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007e45de5025ae8f737107d2dafd382e1edfc6f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.657ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\,}"></li> <li>: แต่สิ่งนี้เป็นเท็จเมื่อจำนวนเต็ม n ไม่เท่ากับศูนย์</li> <li>: การให้เหตุผลดังกล่าวมีปัญหาเกิดขึ้นหลายปัญหา ความผิดพลาดหลักคือการเปลี่ยนอันดับของการยกกำลัง จากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม ได้เปลี่ยนค่ามุขสำคัญที่จะถูกเลือกใช้</li> <li>: จากมุมมองของฟังก์ชันหลายค่า ความผิดพลาดอย่างแรกเกิดขึ้นก่อนหน้านั้นซึ่งเห็นได้โดยปริยายจากบรรทัดแรกแต่ไม่เด่นชัด คือ e เป็นจำนวนจริงในขณะที่ผลลัพธ์ของ e1+2πin เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งควรเขียนแทนด้วย e+0i มากกว่า การแทนที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนสำหรับจำนวนจริงในบรรทัดที่สอง ทำให้การยกกำลังมีคำตอบที่เป็นไปได้หลายค่า การเปลี่ยนอันดับของการยกกำลังจากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม จึงส่งผลต่อค่าที่เป็นไปได้ของผลลัพธ์ว่ามีเป็นจำนวนเท่าใดด้วย</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="0_ยกกำลัง_0">0 ยกกำลัง 0</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=30" title="แก้ไขส่วน: 0 ยกกำลัง 0">แก้</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:X%5Ey.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/X%5Ey.png/300px-X%5Ey.png" decoding="async" width="300" height="252" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/X%5Ey.png/450px-X%5Ey.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/X%5Ey.png/600px-X%5Ey.png 2x" data-file-width="700" data-file-height="588" /></a><figcaption>กราฟของ z = abs (x) y ซึ่งเส้นโค้งสีแดงมีลิมิตต่างกันเมื่อ (x, y) มีค่าเข้าใกล้ (0, 0) ในขณะที่เส้นโค้งสีเขียวทุกเส้นมีลิมิตเท่ากับ 1</figcaption></figure> ผู้เขียนตำราส่วนมากเห็นพ้องกับประโยคที่เกี่ยวข้องกับ 00 ในรายการสองรายการด้านล่าง รายการแรกไม่เกี่ยวกับความต่อเนื่อง ส่วนรายการถัดไปเกี่ยวกับความต่อเนื่อง แต่ "ตัดสินใจ" ไม่เหมือนกันเพื่อที่จะนิยาม 00 หรือไม่นิยาม (ดูรายละเอียดที่<a href="#มุมมองที่แตกต่างในอดีต">มุมมองที่แตกต่างในอดีต</a>) ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ความต่อเนื่อง (ไม่มีหน้านี้)">ความต่อเนื่อง</a>ของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 00 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น <ul><li>การพิจารณา a0 ให้เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87" title="ผลคูณว่าง">ผลคูณว่าง</a>ซึ่งมีค่าเป็น 1 แม้ว่า a จะเท่ากับ 0</li> <li>การตีความทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดถือว่า 00 คือจำนวนของศูนย์สิ่งอันดับของสมาชิกจากเซตว่าง ดังนั้นจึงมีศูนย์สิ่งอันดับหนึ่งตัว</li> <li>ในทางเดียวกัน การตีความทางทฤษฎีเซตของ 00 คือจำนวนฟังก์ชันจากเซตว่างไปยังเซตว่าง ซึ่งมีเพียงหนึ่งฟังก์ชันเท่านั้นนั่นคือ <a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันว่าง">ฟังก์ชันว่าง</a> (empty function) <a href="#cite_note-Bourbaki-6">[6]</a></li> <li>สัญกรณ์ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum a_{n}x^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum a_{n}x^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821c16abb5fa65997ec328cc35310d2d689935d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.837ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum a_{n}x^{n}}"> สำหรับ<a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" title="พหุนาม">พหุนาม</a>และ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="อนุกรมกำลัง (ไม่มีหน้านี้)">อนุกรมกำลัง</a>ขึ้นอยู่กับการนิยามให้ 00 = 1 เอกลักษณ์อย่างเช่น <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89810c249299131ac89b0ae7a9e5c98f7759176e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.557ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}"> และ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a9298efa55f8da4b31868da8e08f68e6bc2ae2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.481ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}"> และ<a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%97%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" title="ทฤษฎีบททวินาม">ทฤษฎีบททวินาม</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c40598c9f3ae74e49f972b954fb9af5bdafab1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.435ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}"> จะใช้งานไม่ได้เมื่อ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 00 = 1 <a href="#cite_note-7">[7]</a></li> <li>ใน<a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์">แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์</a> กฎการยกกำลัง <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43c8de3648741f6f56d1cde5269910fa4ffedb3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:14.326ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}"> จะใช้ไม่ได้สำหรับ n = 1 ที่ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 00 = 1</li></ul> ในทางตรงข้าม เมื่อ 00 เกิดจาก<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95" class="mw-redirect" title="ลิมิต">ลิมิต</a>ในรูปแบบ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^{y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </munder> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^{y}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2d4d5fa12f2d700de874b1173fc52442766598" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.284ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^{y}}"> ซึ่งเป็นการกำหนดที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่อง จะถูกพิจารณาให้เป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%A2%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="รูปแบบยังไม่กำหนด (ไม่มีหน้านี้)">รูปแบบยังไม่กำหนด</a> (indeterminate form) <ul><li>ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเชิงพีชคณิต มักจะสามารถประเมินค่าได้ด้วยการแทนที่นิพจน์ย่อยด้วยลิมิตของมัน ถ้านิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ไม่สามารถกำหนดลิมิตดั้งเดิมได้ นิพจน์นั้นจะเรียกว่าเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด <a href="#cite_note-8">[8]</a> หาก f (t) และ g (t) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ (เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงจำนวนหนึ่งหรือ ±∞) โดยที่ f (t) > 0 แล้วฟังก์ชัน f (t) g (t) ไม่จำเป็นต้องมีค่าเข้าใกล้ 1 เสมอไป; ลิมิตของ f (t) g (t) อาจให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่เป็นลบหรือ +∞ หรืออาจไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับ f และ g ว่านิยามไว้อย่างไร ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันด้านล่างนี้อยู่ในรูปแบบ f (t) g (t) ซึ่ง f (t), g (t)  → 0 เมื่อ t → 0+ แต่ลิมิตของมันมีค่าต่างกันดังนี้</li> <li>:: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{-t}=+\infty ,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t})^{at}=e^{-a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{-t}=+\infty ,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t})^{at}=e^{-a}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5852a3c12038b7f2d981e3e5e41fdd3f0eec29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:77.694ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{-t}=+\infty ,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t})^{at}=e^{-a}}"></li> <li>: ดังนั้น 00 จึงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดชนิดหนึ่ง พฤติกรรมนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร xy แม้ว่าจะต่อเนื่องบนเซต { (x, y) : x > 0} ไม่สามารถขยายเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันต่อเนื่อง">ฟังก์ชันต่อเนื่อง</a>บนเซตใด ๆ ที่รวม (0, 0) อยู่ด้วย ไม่ว่า 00 จะถูกนิยามขึ้นอย่างไร <a href="#cite_note-9">[9]</a> อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะเช่นเมื่อ f กับ g เป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันวิเคราะห์ (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันวิเคราะห์</a> (analytic function) ทั้งคู่และ f <a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%A5%E0%B8%9A%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99%E0%B8%A5%E0%B8%9A" title="จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ">ไม่เป็นลบ</a> ลิมิตทางด้านขวาจะเท่ากับ 1 เสมอ <a href="#cite_note-10">[10]</a><a href="#cite_note-11">[11]</a><a href="#cite_note-12">[12]</a></li> <li>ใน<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%82%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="โดเมนเชิงซ้อน (ไม่มีหน้านี้)">โดเมนเชิงซ้อน</a> ฟังก์ชัน zw ถูกนิยามขึ้นสำหรับ z ไม่เท่ากับศูนย์ โดยเลือกกิ่งหนึ่งของ log z และกำหนดให้ zw := ew log z แต่ไม่มีกิ่งของ log z ที่นิยามไว้สำหรับ z เท่ากับศูนย์ จึงทิ้งไว้เป็นไม่นิยาม <a href="#cite_note-13">[13]</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="มุมมองที่แตกต่างในอดีต"><span id=".E0.B8.A1.E0.B8.B8.E0.B8.A1.E0.B8.A1.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.97.E0.B8.B5.E0.B9.88.E0.B9.81.E0.B8.95.E0.B8.81.E0.B8.95.E0.B9.88.E0.B8.B2.E0.B8.87.E0.B9.83.E0.B8.99.E0.B8.AD.E0.B8.94.E0.B8.B5.E0.B8.95">มุมมองที่แตกต่างในอดีต</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=31" title="แก้ไขส่วน: มุมมองที่แตกต่างในอดีต">แก้</a>]</div> ผู้แต่งตำราหลายคนตีความสถานการณ์ข้างต้นในวิธีที่แตกต่างกันเช่น <ul><li>กลุ่มหนึ่งให้เหตุผลว่าค่าที่ดีที่สุดของ 00 ขึ้นอยู่กับบริบท และการนิยามครั้งหนึ่งเพื่อใช้กับทุกกรณีเป็นต้นไปทำให้เกิดปัญหา <a href="#cite_note-14">[14]</a> เบนสัน (Benson) กล่าวว่า "ทางเลือกว่าจะนิยาม 00 หรือไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับความสะดวก ไม่ใช่ความถูกต้อง" <a href="#cite_note-15">[15]</a></li> <li>อีกกลุ่มหนึ่งแย้งว่า 00 ควรจะเท่ากับ 1 <a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%99%E0%B8%B9%E0%B8%98" class="mw-redirect" title="คนูธ">คนูธ</a>บอกว่าจำนวนนี้ "ต้องเป็น 1" แม้เขาก็ได้กล่าวต่อไปอีกว่า "โคชีก็มีเหตุผลที่ดีในการพิจารณา 00 ให้เป็น รูปแบบลิมิต ที่ไม่นิยาม" และกล่าวอีกว่า "ในความรู้สึกที่แรงกล้าอย่างมาก ค่าของ 00 ได้ถูกนิยามไว้น้อยกว่าค่าของ 0+0 เป็นต้นเสียอีก" <a href="#cite_note-Knuth1992-16">[16]</a></li></ul> การถกเถียงเกิดขึ้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นอย่างน้อย ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนมากยอมรับว่า 00 = 1 จนกระทั่ง<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%8A%E0%B8%B5&action=edit&redlink=1" class="new" title="โคชี (ไม่มีหน้านี้)">โคชี</a> (Cauchy) ได้แสดงรายการ 00 พร้อมกับนิพจน์อื่น ๆ เช่น 0/0 ในตารางรูปแบบที่ไม่นิยาม <a href="#cite_note-17">[17]</a> ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1830 ลิบรี (Libri) ได้เผยแพร่เกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ทำให้ไม่น่าเชื่อว่า 00 = 1 <a href="#cite_note-18">[18]</a><a href="#cite_note-19">[19]</a> กล่าวคือ การอ้างว่า <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9330c62af58b3ae6b20a7e3935c9bcc8c2e686d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.731ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1}"> เมื่อใดก็ตามที่ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ce38737c534128ee5314b7637890054af6e986" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.348ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0}"> เป็นการสันนิษฐานที่ผิด และ<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%AD%E0%B8%B8%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="เมอบิอุส (ไม่มีหน้านี้)">เมอบิอุส</a> (Möbius) ก็เห็นด้วยกับเขา <a href="#cite_note-20">[20]</a> ผู้ออกความเห็นคนหนึ่งที่ใช้ชื่อว่า "S" ได้ให้ตัวอย่างของการโต้แย้ง (e−1/t) t ตัวอย่างนี้ทำให้การถกเถียงสงบเงียบลงชั่วระยะเวลาหนึ่ง ผลสรุปที่ปรากฏของเรื่องนี้คือ 00 ไม่ควรนิยาม <a href="#cite_note-Knuth1992-16">[16]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.9B.E0.B8.8F.E0.B8.B4.E0.B8.9A.E0.B8.B1.E0.B8.95.E0.B8.B4.E0.B9.83.E0.B8.99.E0.B8.84.E0.B8.AD.E0.B8.A1.E0.B8.9E.E0.B8.B4.E0.B8.A7.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B8.AD.E0.B8.A3.E0.B9.8C">การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=32" title="แก้ไขส่วน: การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์">แก้</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว_IEEE">มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=33" title="แก้ไขส่วน: มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE">แก้</a>]</div> มาตรฐาน<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%94%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7" title="จำนวนจุดลอยตัว">จำนวนจุดลอยตัว</a> <a href="/w/index.php?title=IEEE_754-2008&action=edit&redlink=1" class="new" title="IEEE 754-2008 (ไม่มีหน้านี้)">IEEE 754-2008</a> ใช้ในการออกแบบไลบรารีเกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวเป็นส่วนมาก มาตรฐานดังกล่าวได้แนะนำฟังก์ชันที่แตกต่างกันสำหรับคำนวณการยกกำลังต่อไปนี้ <a href="#cite_note-21">[21]</a> <ul><li><tt>pow</tt> ให้ค่า 00 เป็น 1 ฟังก์ชันนี้เป็นรุ่นที่นิยามไว้เก่าที่สุด ถ้ากำลังเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ผลลัพธ์จะเหมือนกับ <tt>pown</tt> หากไม่เป็นเช่นนั้นผลลัพธ์จะเหมือนกับ <tt>powr</tt> (ยกเว้นกรณีพิเศษบางกรณี)</li> <li><tt>pown</tt> ให้ค่า 00 เป็น 1 กำลังต้องเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ฟังก์ชันนี้ได้นิยามสำหรับฐานที่เป็นลบด้วยเช่น <tt>pown (−3, 5) </tt> ให้ผลลัพธ์ −243</li> <li><tt>powr</tt> ให้ค่า 00 เป็น ค่า<a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%88%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99" title="ไม่ใช่จำนวน">ไม่ใช่จำนวน</a> (<a href="/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A4%E0%B8%A9" title="ภาษาอังกฤษ">อังกฤษ</a>: NaN (Not a Number)) ฟังก์ชันนี้ก็ยังให้ผลลัพธ์เป็นค่าไม่ใช่จำนวน ในกรณีฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์เช่น <tt>powr (−3, 2) </tt> ค่าของมันนิยามขึ้นจาก e เลขชี้กำลัง×log (ฐาน) </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="ภาษาโปรแกรม">ภาษาโปรแกรม</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=34" title="แก้ไขส่วน: ภาษาโปรแกรม">แก้</a>]</div> ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ที่มีฟังก์ชันการยกกำลังถูกนำมาทำให้เกิดผลโดยใช้ฟังก์ชัน <tt>pow</tt> ของ IEEE ดังนั้นมันจึงให้ค่า 00 เป็น 1 มาตรฐาน<a href="/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%8B%E0%B8%B5" title="ภาษาซี">ภาษาซี</a>และ<a href="/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="ภาษาซีพลัสพลัส">ภาษาซีพลัสพลัส</a>ในเวลาต่อมาได้อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นพฤติกรรม<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9A%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="เชิงบรรทัดฐาน (ไม่มีหน้านี้)">เชิงบรรทัดฐาน</a> (normative) <a href="#cite_note-22">[22]</a> มาตรฐาน<a href="/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%B2" title="ภาษาจาวา">ภาษาจาวา</a>ก็ประกาศให้ใช้พฤติกรรมนี้ <a href="#cite_note-23">[23]</a> <code>System.Math.Pow</code> ใน<a href="/wiki/%E0%B8%94%E0%B8%AD%E0%B8%95%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B9%87%E0%B8%95%E0%B9%80%E0%B8%9F%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%81" title="ดอตเน็ตเฟรมเวิร์ก">ดอตเน็ตเฟรมเวิร์ก</a> ก็ให้ค่า 00 เป็น 1 เช่นกัน <a href="#cite_note-24">[24]</a> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์">ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=35" title="แก้ไขส่วน: ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์">แก้</a>]</div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="เซจ (ไม่มีหน้านี้)">เซจ</a> ลดรูป a0 เป็น 1 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข <a href="#cite_note-25">[25]</a> ไม่ลดรูป 0a และให้ค่า 00 เป็น 1</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="เมเพิล (ไม่มีหน้านี้)">เมเพิล</a> ลดรูป a0 เป็น 1 และ 0a เป็น 0 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข (แต่รูปแบบอย่างหลังสามารถใช้งานได้เฉพาะเมื่อกำหนดค่า a > 0) และให้ค่า 00 เป็น 1</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="แมกซิมา (ไม่มีหน้านี้)">แมกซิมา</a> ก็ลดรูป a0 เป็น 1 และ 0a เป็น 0 ด้วยเช่นกัน ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข แต่จะเกิดข้อผิดพลาดสำหรับ 00</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="แมเทอแมติกา (ไม่มีหน้านี้)">แมเทอแมติกา</a>และ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A7%E0%B8%B8%E0%B8%A5%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5%E0%B8%9F%E0%B8%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="วุลแฟรมแอลฟา (ไม่มีหน้านี้)">วุลแฟรมแอลฟา</a> ลดรูป a0 เป็น 1 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข <a href="#cite_note-26">[26]</a> แมเทอแมติกาไม่ลดรูป 0a ในขณะที่วุลแฟรมแอลฟาให้ผลลัพธ์สองอย่างคือ 0 และรูปแบบยังไม่กำหนด <a href="#cite_note-27">[27]</a> ทั้งแมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟาให้ค่า 00 เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด <a href="#cite_note-28">[28]</a></li></ul> หมายเหตุ "ลดรูป" หมายถึง ให้ค่าผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ แม้จะไม่ระบุค่าของ a <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ลิมิตของการยกกำลัง">ลิมิตของการยกกำลัง</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=36" title="แก้ไขส่วน: ลิมิตของการยกกำลัง">แก้</a>]</div> หัวข้อ <a href="#0_ยกกำลัง_0">0 ยกกำลัง 0</a> ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 00 ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร xy ไม่มีลิมิตที่จุด (0, 0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง เพื่อความถูกต้องยิ่งขึ้น พิจารณาฟังก์ชัน f (x, y)  = xy ที่นิยามบนโดเมน D = { (x, y)  ∈ R2 : x > 0} ดังนั้น D อาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของ R2 (นั่นคือเซตของคู่อันดับ (x, y) ทั้งหมด ซึ่ง x, y อยู่บน<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="เส้นจำนวนจริงขยาย (ไม่มีหน้านี้)">เส้นจำนวนจริงขยาย</a> R = [−∞,  +∞] โดยสร้างขึ้นจาก<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%9E%E0%B8%AD%E0%B9%82%E0%B8%A5%E0%B8%A2%E0%B8%B5%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทอพอโลยีผลคูณ (ไม่มีหน้านี้)">ทอพอโลยีผลคูณ</a>) ซึ่งจะรวมจุดต่าง ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชัน f มีลิมิต โดยข้อเท็จจริง f จะมีลิมิตที่<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%94%E0%B8%AA%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="จุดสะสม (ไม่มีหน้านี้)">จุดสะสม</a> (accumulation point) ต่าง ๆ ของ D ยกเว้น (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) และ (1, −∞) <a href="#cite_note-29">[29]</a> ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถนิยามการยกกำลัง xy ด้วยความต่อเนื่องเมื่อใดก็ตามที่ 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞ โดยยกเว้น 00, (+∞) 0, 1+∞ และ 1−∞ ซึ่งเหลือเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด ภายใต้การนิยามโดยความต่อเนื่องนี้ จะได้ <ul><li>a+∞ = +∞ และ a−∞ = 0 เมื่อ 1 < a ≤ +∞</li> <li>a+∞ = 0 และ a−∞ = +∞ เมื่อ 0 ≤ a < 1</li> <li>0b = 0 และ (+∞) b = +∞ เมื่อ 0 < b ≤ +∞</li> <li>0b = +∞ และ (+∞) b = 0 เมื่อ −∞ ≤ b < 0</li></ul> กำลังเหล่านี้ได้มาจากการหาลิมิตของ xy สำหรับค่า x ที่เป็นบวก วิธีการนี้ไม่อนุญาตให้นิยาม xy เมื่อ x < 0 เพราะคู่อันดับ (x, y) ต่าง ๆ ที่ x < 0 ไม่ใช่จุดสะสมของ D ในอีกทางหนึ่ง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม การยกกำลัง xn มีความหมายอยู่แล้วสำหรับ x ทุกค่าซึ่งรวมทั้งค่าลบด้วย สิ่งนี้อาจทำให้การนิยาม 0n = +∞ ที่ได้มาข้างต้นสำหรับค่า n ที่เป็นลบเกิดปัญหาเมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เนื่องจากกรณีนี้ tn → +∞ เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางบวก แต่ไม่ใช่ทางลบ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ"><span id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.84.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.93.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B9.87.E0.B8.A1.E0.B8.AD.E0.B8.A2.E0.B9.88.E0.B8.B2.E0.B8.87.E0.B8.A1.E0.B8.B5.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.AA.E0.B8.B4.E0.B8.97.E0.B8.98.E0.B8.B4.E0.B8.A0.E0.B8.B2.E0.B8.9E">การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=37" title="แก้ไขส่วน: การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ">แก้</a>]</div> วิธีการคำนวณที่ง่ายที่สุดของ an คือการคูณเป็นจำนวน n−1 ครั้ง แต่มันก็อาจคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นดังตัวอย่างต่อไปนี้ เช่นโจทย์ให้คำนวณ 2100 แต่เราทราบว่า 100 = 64 + 32 + 4 เราอาจคำนวณตามลำดับดังนี้ <ol><li>22 = 4</li> <li>(22) 2 = 24 = 16</li> <li>(24) 2 = 28 = 256</li> <li>(28) 2 = 216 = 65,536</li> <li>(216) 2 = 232 = 4,294,967,296</li> <li>(232) 2 = 264 = 18,446,744,073,709,551,616</li> <li>264 232 24 = 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376</li></ol> ขั้นตอนเหล่านี้จำเป็นต้องใช้การคูณเพียงแค่ 8 ครั้ง (ผลคูณในขั้นตอนสุดท้ายใช้การคูณ 2 ครั้ง) แทนที่จะต้องคูณถึง 99 ครั้ง จำนวนครั้งของการคูณที่จำเป็นสำหรับคำนวณ an โดยทั่วไปสามารถลดให้เหลือ <a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%9A" class="mw-redirect" title="สัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ">Θ</a> (log n) โดยใช้<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="การยกกำลังด้วยกำลังสอง (ไม่มีหน้านี้)">การยกกำลังด้วยกำลังสอง</a> (exponentiation by squaring) หรือโดยนัยทั่วไปขึ้นอีกคือ <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%94%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B8%A5%E0%B8%B9%E0%B8%81%E0%B9%82%E0%B8%8B%E0%B9%88%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9A%E0%B8%A7%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="การยกกำลังด้วยลูกโซ่การบวก (ไม่มีหน้านี้)">การยกกำลังด้วยลูกโซ่การบวก</a> (addition-chain exponentiation) การหาลำดับของการคูณ น้อยที่สุด ของ an (ลูกโซ่การบวกสั้นที่สุดของเลขชี้กำลัง) เป็นข้อปัญหาที่ยากข้อหนึ่ง เพราะขั้นตอนวิธีอันมีประสิทธิภาพยังไม่เป็นที่ทราบในปัจจุบัน (ดูเพิ่มที่<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปัญหาผลรวมเซตย่อย (ไม่มีหน้านี้)">ปัญหาผลรวมเซตย่อย</a>) แต่ขั้นตอนวิธีแบบ<a href="/wiki/%E0%B8%A8%E0%B8%B6%E0%B8%81%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%B6%E0%B8%81" class="mw-redirect" title="ศึกษาสำนึก">ศึกษาสำนึก</a> (heuristic) ที่มีประสิทธิภาพอย่างสมเหตุสมผลก็มีให้ใช้มากมาย <a href="#cite_note-30">[30]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน"><span id=".E0.B8.AA.E0.B8.B1.E0.B8.8D.E0.B8.81.E0.B8.A3.E0.B8.93.E0.B9.8C.E0.B8.A2.E0.B8.81.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.B3.E0.B8.AB.E0.B8.A3.E0.B8.B1.E0.B8.9A.E0.B8.8A.E0.B8.B7.E0.B9.88.E0.B8.AD.E0.B8.9F.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B9.8C.E0.B8.8A.E0.B8.B1.E0.B8.99">สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=38" title="แก้ไขส่วน: สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน">แก้</a>]</div> การใส่ตัวยกจำนวนเต็มถัดจากชื่อหรือสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ซึ่งดูเหมือนว่าฟังก์ชันนั้นกำลังถูกยกกำลัง โดยทั่วไปจะหมายถึง<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="การประกอบฟังก์ชัน (ไม่มีหน้านี้)">การประกอบฟังก์ชัน</a> (function composition) มากกว่าจะเป็นการคูณซ้ำ ๆ ดังนั้น f 3 (x) จึงอาจหมายถึง f (f (f (x) ) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง f −1 (x) ตามปกติใช้แสดงถึง<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%9C%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%99" class="mw-redirect" title="ฟังก์ชันผกผัน">ฟังก์ชันผกผัน</a>ของ f; <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันซ้อน (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันซ้อน</a> (iterated function) ที่เกิดจากการประกอบฟังก์ชันเป็นประโยชน์ในการศึกษา<a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%A3%E0%B9%87%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B8%A5" title="แฟร็กทัล">แฟร็กทัล</a>และ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="ระบบเชิงพลวัต (ไม่มีหน้านี้)">ระบบเชิงพลวัต</a> (dynamical system) <a href="/wiki/%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A5%E0%B8%AA_%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%88" class="mw-redirect" title="ชาร์ลส แบบเบจ">ชาร์ลส แบบเบจ</a> เป็นคนแรกที่เริ่มศึกษาปัญหาการหาค่าของ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="รากที่สองเชิงฟังก์ชัน (ไม่มีหน้านี้)">รากที่สองเชิงฟังก์ชัน</a> f 1/2 (x) อย่างไรก็ตาม <a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%93%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="ฟังก์ชันตรีโกณมิติ">ฟังก์ชันตรีโกณมิติ</a>ก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin2x เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin x) 2 โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin−1x หมายถึงฟังก์ชันผกผันของ<a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%8B%E0%B8%99%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="ไซน์">ไซน์</a>คือ arcsin x เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/ (sin x) = (sin x) −1 ก็คือ csc x เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log2x หมายถึง (log x) 2 ไม่ใช่ log log x <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="การวางนัยทั่วไป">การวางนัยทั่วไป</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=39" title="แก้ไขส่วน: การวางนัยทั่วไป">แก้</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="พีชคณิตนามธรรม">พีชคณิตนามธรรม</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=40" title="แก้ไขส่วน: พีชคณิตนามธรรม">แก้</a>]</div> การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปใน<a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%98%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A1" title="พีชคณิตนามธรรม">พีชคณิตนามธรรม</a> กำหนดให้ X เป็น<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95" class="mw-redirect mw-disambig" title="เซต">เซต</a>ที่มี<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%94%E0%B8%B3%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%84" title="การดำเนินการทวิภาค">การดำเนินการทวิภาค</a>อย่างหนึ่ง ซึ่งมี<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง (ไม่มีหน้านี้)">สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง</a> (power associativity) และเขียนอยู่ในรูปแบบการคูณแล้ว xn ถูกนิยามให้เป็นผลคูณของ x จำนวน n ตัว สำหรับสมาชิก x ใด ๆ ของ X และ<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%B4" title="จำนวนธรรมชาติ">จำนวนธรรมชาติ</a> n ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งนิยามแบบเวียนเกิดได้ว่า <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{1}=x\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{1}=x\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04a8bfae95234bded393a35f215934db82cfc17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.457ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{1}=x\;}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}=x^{n-1}x;\quad {\hbox{for }}n>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mo>;</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>for </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}=x^{n-1}x;\quad {\hbox{for }}n>1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decb6b3a5215a6e8fc50048ce0763fc5f0362244" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.004ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{n}=x^{n-1}x;\quad {\hbox{for }}n>1}"></dd></dl> จะมีสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี้ <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e82f1b3c1ce7edb7d1666f8c4a3657a75b4e91c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.937ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\;}"> (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง)</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{m+n}=x^{m}x^{n}\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{m+n}=x^{m}x^{n}\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00bf872d808ed6df3b06b46e0546fef0b3c2c7ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.566ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x^{m+n}=x^{m}x^{n}\;}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{m})^{n}=x^{mn}\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{m})^{n}=x^{mn}\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa684851da21ee96ae9fedbec1f9c8e1e4054f32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.767ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x^{m})^{n}=x^{mn}\;}"></li></ul> ถ้าการดำเนินการนี้มี<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%A9%E0%B8%93%E0%B9%8C" title="สมาชิกเอกลักษณ์">สมาชิกเอกลักษณ์</a>ทั้งสองด้านเป็น 1 (มักแสดงด้วย e) ดังนั้น x0 จะถูกนิยามให้เท่ากับ 1 สำหรับค่า x ใด ๆ <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x1=1x=x\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x1=1x=x\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2726e38bda951064e0cafd04084d302607d00899" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.156ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x1=1x=x\;}"> (เอกลักษณ์สองด้าน)</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{0}=1\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{0}=1\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c639e8d443814ee1e2a6aeac4dd9a3cdd24b0e19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.29ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{0}=1\;}"></li></ul> ถ้าการดำเนินการนี้ก็มี<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="สมาชิกผกผัน (ไม่มีหน้านี้)">สมาชิกผกผัน</a>ทั้งสองด้านและการคูณเปลี่ยนหมู่ได้ จะทำให้<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%87%E0%B8%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B8%B2_(%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95)&action=edit&redlink=1" class="new" title="แม็กม่า (พีชคณิต) (ไม่มีหน้านี้)">แม็กม่า</a> (magma) กลายเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%9B_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="กรุป (คณิตศาสตร์)">กรุป</a> ตัวผกผันของ x สามารถแสดงได้ด้วย x−1 และเป็นไปตามกฎปกติทั้งหมดของเลขชี้กำลัง <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa05e959f0bc962e59be5cf22d5712ca38a885e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.989ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1\;}"> (ตัวผกผันสองด้าน)</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (xy)z=x(yz)\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (xy)z=x(yz)\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab46b9cee168a86ccb2b6ace223455870fa022e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.509ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (xy)z=x(yz)\;}"> (การคูณเปลี่ยนหมู่ได้)</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{-n}=\left(x^{-1}\right)^{n}\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{-n}=\left(x^{-1}\right)^{n}\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a25410ec29ceb8c5bee5b5f7000d8628f7886da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.581ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle x^{-n}=\left(x^{-1}\right)^{n}\;}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{m-n}=x^{m}x^{-n}\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{m-n}=x^{m}x^{-n}\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1a77f47f4f821fa5d4e56976d1e3d4b48a0e3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x^{m-n}=x^{m}x^{-n}\;}"></li></ul> ถ้าการคูณสามารถ<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88" title="สมบัติการสลับที่">สลับที่</a>ได้ (ตัวอย่างเช่นใน<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%9A%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="อาบีเลียนกรุป (ไม่มีหน้านี้)">อาบีเลียนกรุป</a>) จะทำให้การดำเนินการมีสมบัตินี้ด้วย <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177863db94f46338e0b631a8172f564a13a3e43d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.184ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}\;}"></li></ul> ถ้าการดำเนินการทวิภาคนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบการบวก ซึ่งมักใช้กับอาบีเลียนกรุป ดังนั้นวลี "การยกกำลังคือการคูณซ้ำ ๆ" จึงสามารถตีความได้เป็น "การคูณคือการบวกซ้ำ ๆ" เพราะฉะนั้นกฎแต่ละข้อของการยกกำลังข้างต้นก็เทียบเคียงได้กับกฎต่าง ๆ ของการคูณ เมื่อเรามีการดำเนินการหลายอย่างแล้ว การดำเนินการใด ๆ อาจถูกกระทำซ้ำโดยใช้การยกกำลัง การแสดงว่าการดำเนินการกำลังถูกกระทำซ้ำ โดยปกติจะใส่สัญลักษณ์กำกับตัวยก อาทิ x∗n หมายถึง x ∗ ··· ∗ x หรือ x#n หมายถึง x # ··· # x ไม่ว่า ∗ กับ # จะเป็นการดำเนินการอะไรก็ตาม สัญกรณ์ตัวยกก็มีใช้เช่นกัน โดยเฉพาะในเรื่อง<a href="/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%9B" title="ทฤษฎีกรุป">ทฤษฎีกรุป</a> เพื่อแสดง<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%A2%E0%B8%B8%E0%B8%84&action=edit&redlink=1" class="new" title="คลาสสังยุค (ไม่มีหน้านี้)">การสังยุค</a> (conjugation) อาทิ gh = h−1gh เมื่อ g และ h เป็นสมาชิกของกรุปบางกรุป แม้ว่าการสังยุคจะปฏิบัติตามกฎของการยกกำลังเหมือนกัน แต่ไม่ใช่ตัวอย่างของการคูณซ้ำในกรณีใด ๆ ; <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B4%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="ควอนเดิล (ไม่มีหน้านี้)">ควอนเดิล</a> (quandle) เป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="โครงสร้างเชิงพีชคณิต (ไม่มีหน้านี้)">โครงสร้างเชิงพีชคณิต</a>ชนิดหนึ่งที่มีกฎของการสังยุคเหล่านี้เป็นบทบาทหลัก <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="เซต">เซต</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=41" title="แก้ไขส่วน: เซต">แก้</a>]</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r9751016"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="ผลคูณคาร์ทีเซียน">ผลคูณคาร์ทีเซียน</a></div> ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติและ A เป็นเซตใด ๆ นิพจน์ An มักถูกใช้เพื่อแสดงเซตของ n สิ่งอันดับของสมาชิกของ A สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้ An หมายถึงเซตของฟังก์ชันจาก {0,  1,  2,  ...,  n−1} ไปยัง A; n สิ่งอันดับ (a0,  a1,  a2,  ...,  an−1) เป็นตัวแทนของฟังก์ชันที่ส่งค่าจาก i ไปยัง ai กำหนดให้<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="จำนวนเชิงการนับ (ไม่มีหน้านี้)">จำนวนเชิงการนับ</a> κ ที่ไม่จำกัดและเซต A เซตหนึ่ง สัญกรณ์ Aκ ก็ยังใช้แสดงถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่มีขนาดเท่ากับ κ ไปยัง A บางครั้งก็เขียนในรูปแบบ κA เพื่อทำให้แตกต่างจากการยกกำลังเชิงการนับ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป การยกกำลังแบบนัยทั่วไปสามารถนิยามขึ้นได้สำหรับการดำเนินการบนเซต หรือสำหรับเซตที่มี<a href="/w/index.php?title=%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)&action=edit&redlink=1" class="new" title="โครงสร้าง (คณิตศาสตร์) (ไม่มีหน้านี้)">โครงสร้าง</a>พิเศษเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นใน<a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99" title="พีชคณิตเชิงเส้น">พีชคณิตเชิงเส้น</a> เราสามารถแจกแจงดัชนี<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%9A%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ผลบวกตรง (ไม่มีหน้านี้)">ผลบวกตรง</a>ของ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B9%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริภูมิเวกเตอร์ (ไม่มีหน้านี้)">ปริภูมิเวกเตอร์</a>บนเซตดัชนีใด ๆ หรืออาจกล่าวได้ว่า <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⨁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </munder> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3fb819c71c043e681b140ccc14fb23bb7265af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:6.053ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}"></dd></dl></dd></dl> เมื่อ Vi แต่ละตัวคือปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิหนึ่ง ดังนั้นถ้า Vi = V สำหรับแต่ละค่า i แล้ว ผลลัพธ์จากผลบวกตรงสามารถเขียนให้อยู่ในสัญกรณ์ยกกำลังเป็น V⊕N หรือเขียนเพียงแค่ VN โดยทำความเข้าใจว่าเป็นผลบวกตรงโดยปริยาย นอกจากนี้เราอาจแทนที่เซต N ด้วยจำนวนเชิงการนับ n เพื่อให้ได้ Vn แม้ว่าไม่ต้องเลือกเซตมาตรฐานเจาะจงที่มีภาวะเชิงการนับเป็น n สิ่งนี้สามารถนิยามโดยขึ้นอยู่กับ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%93%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="สมสัณฐาน (ไม่มีหน้านี้)">สมสัณฐาน</a> (isomorphism) เพียงเท่านั้น เมื่อนำเอา V มาเป็น<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C" title="ฟีลด์">ฟีลด์</a> R สำหรับจำนวนจริง (เทียบได้กับปริภูมิเวกเตอร์บนตัวเอง) และ n เป็นจำนวนธรรมชาติบางจำนวน จะได้ปริภูมิเวกเตอร์สามัญที่สุดที่ศึกษากันในพีชคณิตเชิงเส้น นั่นคือ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B9%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%A2%E0%B8%B8%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="ปริภูมิแบบยุคลิด (ไม่มีหน้านี้)">ปริภูมิแบบยุคลิด</a> Rn ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่า<a href="/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="ผลคูณคาร์ทีเซียน">ผลคูณคาร์ทีเซียน</a>เมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น <a href="/wiki/N_%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A" class="mw-redirect" title="N สิ่งอันดับ">n สิ่งอันดับ</a> (n-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น SN จึงหมายถึงเซตของ<a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99" class="mw-disambig" title="ฟังก์ชัน">ฟังก์ชัน</a>ทั้งหมดจาก N ไปยัง S ในกรณีนี้ <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{N}\equiv \{f\colon N\to S\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>S</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{N}\equiv \{f\colon N\to S\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee405751c27641a47e67af5681547072bb9f0982" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.126ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle S^{N}\equiv \{f\colon N\to S\}}"></dd></dl></dd></dl> สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |SN| = |S||N| เมื่อ |X| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ X; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2X| = 2|X| เมื่อ 2X ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P (X) คือ<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="เซตกำลัง">เซตกำลัง</a>ของ X; เซตย่อย Y แต่ละเซตของ X สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน X ที่ให้ค่า 1 สำหรับ x ∈ Y และค่า 0 สำหรับ x ∉ Y <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ทฤษฎีประเภท">ทฤษฎีประเภท</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=42" title="แก้ไขส่วน: ทฤษฎีประเภท">แก้</a>]</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r9751016"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%A0%E0%B8%97%E0%B8%9B%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ประเภทปิดคาร์ทีเซียน (ไม่มีหน้านี้)">ประเภทปิดคาร์ทีเซียน</a></div> ในเรื่องของ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%A0%E0%B8%97%E0%B8%9B%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ประเภทปิดคาร์ทีเซียน (ไม่มีหน้านี้)">ประเภทปิดคาร์ทีเซียน</a> (Cartesian closed category) การดำเนินการยกกำลังถูกใช้เพื่อกำหนดให้อ็อบเจกต์ใด ๆ เป็นกำลังของอ็อบเจกต์อีกอย่างหนึ่ง สิ่งนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของผลคูณคาร์ทีเซียนในประเภท (category) ของเซต ถ้า 0 เป็น<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%88%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B9%89%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="อ็อบเจกต์เริ่มต้น (ไม่มีหน้านี้)">อ็อบเจกต์เริ่มต้น</a> (initial object) ในประเภทปิดคาร์ทีเซียน ดังนั้น<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%88%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="อ็อบเจกต์เลขชี้กำลัง (ไม่มีหน้านี้)">อ็อบเจกต์เลขชี้กำลัง</a> (exponential object) 00 จะสมสัณฐานกับอ็อบเจกต์ปลายทาง 1 ใด ๆ <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่"><span id=".E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.99.E0.B8.B1.E0.B8.9A.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.AD.E0.B8.B1.E0.B8.99.E0.B8.94.E0.B8.B1.E0.B8.9A.E0.B8.97.E0.B8.B5.E0.B9.88">จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=43" title="แก้ไขส่วน: จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่">แก้</a>]</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r9751016"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">บทความหลัก: <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="เลขคณิตเชิงการนับ (ไม่มีหน้านี้)">เลขคณิตเชิงการนับ</a> และ <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="เลขคณิตเชิงอันดับที่ (ไม่มีหน้านี้)">เลขคณิตเชิงอันดับที่</a></div> ในทฤษฎีเซต ก็มีการยกกำลังสำหรับ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="จำนวนเชิงการนับ (ไม่มีหน้านี้)">จำนวนเชิงการนับ</a>และ<a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88" title="จำนวนเชิงอันดับที่">จำนวนเชิงอันดับที่</a>เช่นกัน กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κλ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ <a href="#cite_note-Bourbaki-6">[6]</a> ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 23 การยกกำลังของจำนวนเชิงการนับแตกต่างจากการยกกำลังของจำนวนเชิงอันดับที่ ซึ่งนิยามโดยกระบวนการ<a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95" class="mw-redirect" title="ลิมิต">ลิมิต</a>ที่เกี่ยวข้องกับ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="อุปนัยเชิงอนันต์ (ไม่มีหน้านี้)">อุปนัยเชิงอนันต์</a> (transfinite induction) <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="การยกกำลังซ้อน">การยกกำลังซ้อน</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=44" title="แก้ไขส่วน: การยกกำลังซ้อน">แก้</a>]</div> เนื่องจากการยกกำลังของจำนวนธรรมชาติมีเหตุมาจากการคูณซ้ำ ๆ จึงมีความเป็นไปได้ที่จะนิยามการดำเนินการที่มีเหตุมาจากการยกกำลังซ้ำ ๆ เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้บางครั้งเรียกว่า <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="เทเทรชัน (ไม่มีหน้านี้)">เทเทรชัน</a> (tetration) และเทเทรชันซ้ำ ๆ ก็สามารถนำไปสู่การดำเนินการอีกอย่างหนึ่งเช่นกัน เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ได้ถูกแสดงไว้ด้วย<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%84%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%99%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟังก์ชันอัคเคอร์มันน์ (ไม่มีหน้านี้)">ฟังก์ชันอัคเคอร์มันน์</a> (Ackermann function) และ<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%A5%E0%B8%B9%E0%B8%81%E0%B8%A8%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%99%E0%B8%B9%E0%B8%98" title="สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ">สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ</a> (Knuth's up-arrow notation) และเนื่องด้วยการยกกำลังมีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการคูณ การคูณก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการบวก ดังนั้นเทเทรชันก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการยกกำลัง ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดค่า (3, 3) ให้กับฟังก์ชันการบวก การคูณ การยกกำลัง และเทเทรชัน จะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987 ตามลำดับ <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ในภาษาโปรแกรม">ในภาษาโปรแกรม</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=45" title="แก้ไขส่วน: ในภาษาโปรแกรม">แก้</a>]</div> สัญกรณ์ตัวยก xy สะดวกในการเขียนด้วยมือ แต่อาจไม่สะดวกในการกดบน<a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B9%8C%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%94" title="เครื่องพิมพ์ดีด">เครื่องพิมพ์ดีด</a>หรือ<a href="/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="คอมพิวเตอร์">คอมพิวเตอร์</a><a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%A5" class="mw-redirect" title="เทอร์มินัล">เทอร์มินัล</a> ซึ่งจัดอักขระทุกตัวอยู่บนเส้นบรรทัดเดียวกัน <a href="/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B9%82%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1" title="ภาษาโปรแกรม">ภาษาโปรแกรม</a>หลายภาษามีวิธีการอย่างอื่นในการแสดงการยกกำลังโดยไม่ใช้ตัวยก อาทิ <ul><li><code>x ↑ y</code>: <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%A5%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="อัลกอล (ไม่มีหน้านี้)">อัลกอล</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A1%E0%B9%82%E0%B8%A1%E0%B8%94%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="คอมโมดอร์เบสิก (ไม่มีหน้านี้)">คอมโมดอร์เบสิก</a></li> <li><code>x ^ y</code>: <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%81" class="mw-redirect" title="เบสิก">เบสิก</a>, <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%88" class="mw-disambig" title="เจ">เจ</a>, <a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%95%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B9%87%E0%B8%9A" title="แมตแล็บ">แมตแล็บ</a>, <a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="อาร์">อาร์</a>, <a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%8B%E0%B8%AD%E0%B8%9F%E0%B8%97%E0%B9%8C_%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B9%87%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%A5" class="mw-redirect" title="ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล">ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="เทกซ์ (ไม่มีหน้านี้)">เทกซ์</a> (TeX และตัวต่อยอดอื่น ๆ), <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%84%E0%B8%AD-%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทีไอ-เบสิก (ไม่มีหน้านี้)">ทีไอ-เบสิก</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9A%E0%B8%B5%E0%B8%8B%E0%B8%B5&action=edit&redlink=1" class="new" title="บีซี (ไม่มีหน้านี้)">บีซี</a> (เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%AE%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A5%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="แฮสเกลล์ (ไม่มีหน้านี้)">แฮสเกลล์</a> (เลขชี้กำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ), <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="ลัว (ไม่มีหน้านี้)">ลัว</a> (Lua), <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%B5" title="เอเอสพี">เอเอสพี</a> และ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ (ไม่มีหน้านี้)">ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์</a>ส่วนใหญ่</li> <li><code>x ^^ y</code>: แฮสเกลล์ (ฐานเศษส่วน เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), <a href="/wiki/%E0%B8%94%E0%B8%B5" class="mw-disambig" title="ดี">ดี</a></li> <li><code>x ** y</code>: <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B2" class="mw-redirect" title="เอดา">เอดา</a>, <a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%8A" title="แบช">แบช</a>, <a href="/wiki/%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%9A%E0%B8%AD%E0%B8%A5" class="mw-redirect" title="โคบอล">โคบอล</a>, <a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%81%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%99" class="mw-redirect" title="ฟอร์แทรน">ฟอร์แทรน</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%9E%E0%B8%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="ฟอกซ์โพร (ไม่มีหน้านี้)">ฟอกซ์โพร</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%99%E0%B8%B9%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B9%87%E0%B8%AD%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="กนูพล็อต (ไม่มีหน้านี้)">กนูพล็อต</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%82%E0%B8%AD%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="โอแคเมล (ไม่มีหน้านี้)">โอแคเมล</a>, <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A5" class="mw-redirect" title="เพิร์ล">เพิร์ล</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5/%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="พีแอล/วัน (ไม่มีหน้านี้)">พีแอล/วัน</a>, <a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9E%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%99" class="mw-disambig" title="ไพทอน">ไพทอน</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="เรกซ์ (ไม่มีหน้านี้)">เรกซ์</a> (REXX), <a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9A%E0%B8%B5" class="mw-disambig" title="รูบี">รูบี</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%8B%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="แซส (ไม่มีหน้านี้)">แซส</a> (SAS), <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทีซีแอล (ไม่มีหน้านี้)">ทีซีแอล</a>, <a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%9B" class="mw-redirect" title="อาบัป">อาบัป</a>, แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนจุดลอยตัว), <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทัวริง (ไม่มีหน้านี้)">ทัวริง</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A7%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%8A%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="วีเอชดีแอล (ไม่มีหน้านี้)">วีเอชดีแอล</a></li> <li><code>x⋆y</code>: <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="เอพีแอล (ไม่มีหน้านี้)">เอพีแอล</a></li> <li><code>Power (x, y) </code>: ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เดลฟี/ปาสกาล (ประกาศในยูนิต Math)</li> <li><code>pow (x, y) </code>: <a href="/wiki/%E0%B8%8B%E0%B8%B5" class="mw-disambig" title="ซี">ซี</a>, <a href="/wiki/%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" class="mw-redirect" title="ซีพลัสพลัส">ซีพลัสพลัส</a>, <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%8A%E0%B8%9E%E0%B8%B5" class="mw-redirect" title="พีเอชพี">พีเอชพี</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="ทีซีแอล (ไม่มีหน้านี้)">ทีซีแอล</a></li> <li><code>math.pow (x, y) </code>: ไพทอน</li> <li><code>Math.pow (x, y) </code>: <a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%B2" class="mw-disambig" title="จาวา">จาวา</a>, <a href="/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9B%E0%B8%95%E0%B9%8C" title="จาวาสคริปต์">จาวาสคริปต์</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B2-3&action=edit&redlink=1" class="new" title="มอดูลา-3 (ไม่มีหน้านี้)">มอดูลา-3</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B9%87%E0%B8%A1%E0%B9%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="เอ็มแอลมาตรฐาน (ไม่มีหน้านี้)">เอ็มแอลมาตรฐาน</a></li> <li><code>Math.Pow (x, y) </code> หรือ <code>BigInteger.Pow (x, y) </code>: <a href="/wiki/%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%9B" class="mw-redirect" title="ซีชาร์ป">ซีชาร์ป</a> (และภาษาอื่นที่ใช้<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%9A%E0%B8%B5%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%AD%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="บีซีแอล (ไม่มีหน้านี้)">บีซีแอล</a>)</li> <li><code> (expt x y) </code>: <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%9B%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="คอมมอนลิสป์ (ไม่มีหน้านี้)">คอมมอนลิสป์</a>, <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="สกีม (ไม่มีหน้านี้)">สกีม</a></li> <li><code>math:pow (x, y) </code>: <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="เออร์แลง (ไม่มีหน้านี้)">เออร์แลง</a></li></ul> สัญลักษณ์ ^ ที่ไม่เกี่ยวกับการยกกำลังเช่น ในแบช ซี ซีพลัสพลัส ซีชาร์ป จาวา จาวาสคริปต์ เพิร์ล พีเอชพี ไพทอน และรูบี หมายถึงการดำเนินการ <a href="/w/index.php?title=XOR&action=edit&redlink=1" class="new" title="XOR (ไม่มีหน้านี้)">XOR</a> ระดับบิต; ในปาสกาล หมายถึง<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AD%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%96%E0%B8%B6%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="การอ้างถึงทางอ้อม (ไม่มีหน้านี้)">การอ้างถึงทางอ้อม</a> (indirection); ในโอแคเมลและเอ็มแอลมาตรฐาน หมายถึง<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%82%E0%B8%A3%E0%B8%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="การต่อสายอักขระ (ไม่มีหน้านี้)">การต่อสายอักขระ</a> (concatenation) <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ประวัติของสัญกรณ์">ประวัติของสัญกรณ์</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=46" title="แก้ไขส่วน: ประวัติของสัญกรณ์">แก้</a>]</div> คำว่า กำลัง (power) ถูกใช้โดย<a href="/wiki/%E0%B8%A2%E0%B8%B8%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%94" title="ยุคลิด">ยุคลิด</a> นักคณิตศาสตร์<a href="/wiki/%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%81" title="ชาวกรีก">ชาวกรีก</a> สำหรับยกกำลังสองเส้นตรง <a href="#cite_note-MacTutor-31">[31]</a> ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 <a href="/wiki/%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%AE%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%94_%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B8%99%E0%B9%8C_%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%8B%E0%B8%B2_%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%8B%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B9%8C" class="mw-redirect" title="มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริซมีย์">มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริซมีย์</a> (Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) ใช้คำว่า มัล (mal) สำหรับยกกำลังสองและ กับ (kab) สำหรับยกกำลังสาม ในเวลาต่อมานักคณิตศาสตร์ชาว<a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A1" class="mw-redirect" title="อิสลาม">อิสลาม</a>ได้ใช้ m และ k เป็น<a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="สัญกรณ์คณิตศาสตร์">สัญกรณ์คณิตศาสตร์</a>ตามลำดับ ดังเห็นได้จากงานเขียนของ <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%B9_%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%A5%E0%B8%AE%E0%B8%B0%E0%B8%8B%E0%B8%B1%E0%B8%99_%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B8%99%E0%B9%8C_%E0%B8%AD%E0%B8%B0%E0%B8%A5%E0%B8%B5_%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%A5%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%A8%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B5&action=edit&redlink=1" class="new" title="อะบู อัลฮะซัน อิบน์ อะลี อัลเกาะละศอดี (ไม่มีหน้านี้)">อะบู อัลฮะซัน อิบน์ อะลี อัลเกาะละศอดี</a> (Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī) ในคริสต์ศตวรรษที่ 15 <a href="#cite_note-32">[32]</a> <a href="/w/index.php?title=%E0%B8%99%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B2_%E0%B8%8A%E0%B8%B9%E0%B8%A7%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="นีโกลา ชูว์เก (ไม่มีหน้านี้)">นีโกลา ชูว์เก</a> (Nicolas Chuquet) ใช้รูปแบบสัญกรณ์ยกกำลังในคริสต์ศตวรรษที่ 15 ต่อมาในคริสต์ศตวรรษที่ 16 <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%AE%E0%B8%99%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%AA_%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B8%AA%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="เฮนรีคุส กรัมมาทอยส์ (ไม่มีหน้านี้)">เฮนรีคุส กรัมมาทอยส์</a> (Henricus Grammateus) และ<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%A5_%E0%B8%8A%E0%B8%95%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%9F%E0%B8%B4%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="มีคาเอล ชตีเฟิล (ไม่มีหน้านี้)">มีคาเอล ชตีเฟิล</a> (Michael Stifel) ก็ใช้เช่นกัน <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%8B%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%A5_%E0%B8%88%E0%B8%B5%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="แซมวล จีก (ไม่มีหน้านี้)">แซมวล จีก</a> (Samuel Jeake) ได้แนะนำให้ใช้คำว่า ดัชนี (index) ในปี ค.ศ. 1696 <a href="#cite_note-MacTutor-31">[31]</a> ในคริสต์ศตวรรษที่ 16 <a href="/w/index.php?title=%E0%B9%82%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%95_%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="โรเบิร์ต เรคอร์ด (ไม่มีหน้านี้)">โรเบิร์ต เรคอร์ด</a> (Robert Recorde) ใช้คำว่า สแควร์ (square), คิวบ์ (cube), เซนซิเซนซิก (zenzizenzic), เซอร์ฟอไลด์ (surfolide), เซนซิคิวบ์ (zenzicube), เซเคินด์เซอร์ฟอไลด์ (second surfolide) และ เซนซิเซนซิเซนซิก (zenzizenzizenzic) สำหรับการยกกำลังสองถึงแปดตามลำดับ <a href="#cite_note-33">[33]</a> นอกจากนี้ก็มีการใช้คำว่า ไบควอเดรต (biquadrate) เพื่ออ้างถึงการยกกำลังสี่อีกด้วย นักคณิตศาสตร์บางคน (เช่น<a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%AD%E0%B9%81%E0%B8%8B%E0%B8%81_%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%99" title="ไอแซก นิวตัน">ไอแซก นิวตัน</a>) ใช้เลขชี้กำลังเฉพาะเมื่อมีกำลังมากกว่าสอง และนิยมแสดงกำลังสองเป็นการคูณซ้ำสองตัว ดังนั้นเมื่อพวกเขาเขียนพหุนาม พวกเขาจะเขียนเป็นรูปแบบดังตัวอย่าง ax + bxx + cx3 + d เป็นต้น คำอีกคำหนึ่งที่มีความหมายเหมือนการยกกำลังในอดีตคือ อินโวลูชัน (involution) <a href="#cite_note-34">[34]</a> แต่ในปัจจุบันความหมายที่สามัญกว่าของคำนี้คือ <a href="/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3" title="อาวัตนาการ">อาวัตนาการ</a> (involution) คือฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ดูเพิ่ม">ดูเพิ่ม</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=47" title="แก้ไขส่วน: ดูเพิ่ม">แก้</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10849858">.mw-parser-output .portalbox{padding:0;margin:0.5em 0;display:table;box-sizing:border-box;max-width:200px;list-style:none}.mw-parser-output .portalborder{border:solid #aaa 1px;padding:0.1em;background:#f9f9f9}.mw-parser-output .portalbox-entry{display:table-row;font-size:85%;line-height:110%;height:1.9em;font-style:italic;font-weight:bold}.mw-parser-output .portalbox-image{display:table-cell;padding:0.2em;vertical-align:middle;text-align:center}.mw-parser-output .portalbox-link{display:table-cell;padding:0.2em 0.2em 0.2em 0.3em;vertical-align:middle}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .portalleft{clear:left;float:left;margin:0.5em 1em 0.5em 0}.mw-parser-output .portalright{clear:right;float:right;margin:0.5em 0 0.5em 1em}}</style><ul role="navigation" aria-label="Portals" class="noprint portalbox portalborder portalright"> <li class="portalbox-entry"><a href="/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg" class="mw-file-description"><img alt="icon" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/28px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="28" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/42px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/56px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a><a href="/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%96%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2:%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="สถานีย่อย:คณิตศาสตร์">สถานีย่อยคณิตศาสตร์ </a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r9222223">.mw-parser-output .div-col{margin-top:0.3em;column-width:30em}.mw-parser-output .div-col-small{font-size:90%}.mw-parser-output .div-col-rules{column-rule:1px solid #aaa}.mw-parser-output .div-col dl,.mw-parser-output .div-col ol,.mw-parser-output .div-col ul{margin-top:0}.mw-parser-output .div-col li,.mw-parser-output .div-col dd{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}</style><div class="div-col" style="column-width: 20em;"> <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1" title="ลอการิทึม">ลอการิทึม</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="ลอการิทึมเชิงซ้อน (ไม่มีหน้านี้)">ลอการิทึมเชิงซ้อน</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง (ไม่มีหน้านี้)">การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B9%82%E0%B8%95%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง (ไม่มีหน้านี้)">การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง">ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B8%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="การยกกำลังมอดุลาร์ (ไม่มีหน้านี้)">การยกกำลังมอดุลาร์</a></li> <li><a href="/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88_n" title="รากที่ n">รากที่ n</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="เทเทรชัน (ไม่มีหน้านี้)">เทเทรชัน</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="อ้างอิง">อ้างอิง</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=48" title="แก้ไขส่วน: อ้างอิง">แก้</a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-:1-1">↑ <a href="#cite_ref-:1_1-0">1.0</a> <a href="#cite_ref-:1_1-1">1.1</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10205087">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite id="CITEREFNykamp" class="citation web cs1">Nykamp, Duane. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules">"Basic rules for exponentiation"</a>. Math Insight. สืบค้นเมื่อ August 27, 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=Math+Insight&rft.atitle=Basic+rules+for+exponentiation&rft.aulast=Nykamp&rft.aufirst=Duane&rft_id=https%3A%2F%2Fmathinsight.org%2Fexponentiation_basic_rules&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Power.html">"Power"</a>. mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 2020-08-27.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Power&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FPower.html&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> นิยามของรากปฐมฐานมุขสำคัญ สามารถพบได้ในแหล่งข้อมูลต่อไปนี้ <ul><li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFThomas_H._Cormen,_Charles_E._Leiserson,_Ronald_L._Rivest,_and_Clifford_Stein2001" class="citation book cs1">Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2001). Introduction to Algorithms (second ed.). MIT Press. <a href="/wiki/ISBN_(identifier)" class="mw-redirect" title="ISBN (identifier)">ISBN</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/0262032937" title="พิเศษ:แหล่งหนังสือ/0262032937"><bdi>0262032937</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Algorithms&rft.edition=second&rft.pub=MIT+Press&rft.date=2001&rft.isbn=0262032937&rft.au=Thomas+H.+Cormen%2C+Charles+E.+Leiserson%2C+Ronald+L.+Rivest%2C+and+Clifford+Stein&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"><code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A:Cite_book" title="แม่แบบ:Cite book">cite book</a>}}</code>: CS1 maint: multiple names: authors list (<a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:CS1_maint:_multiple_names:_authors_list" title="หมวดหมู่:CS1 maint: multiple names: authors list">ลิงก์</a>) <a rel="nofollow" class="external text" href="http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html">Online resource</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070930201902/http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html">เก็บถาวร</a> 2007-09-30 ที่ <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B9%87%E0%B8%81%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%99" title="เวย์แบ็กแมชชีน">เวย์แบ็กแมชชีน</a></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFPaul_Cull,_Mary_Flahive,_and_Robby_Robson2005" class="citation book cs1">Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos (Undergraduate Texts in Mathematics ed.). Springer. <a href="/wiki/ISBN_(identifier)" class="mw-redirect" title="ISBN (identifier)">ISBN</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/0387232346" title="พิเศษ:แหล่งหนังสือ/0387232346"><bdi>0387232346</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Difference+Equations%3A+From+Rabbits+to+Chaos&rft.edition=Undergraduate+Texts+in+Mathematics&rft.pub=Springer&rft.date=2005&rft.isbn=0387232346&rft.au=Paul+Cull%2C+Mary+Flahive%2C+and+Robby+Robson&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"><code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A:Cite_book" title="แม่แบบ:Cite book">cite book</a>}}</code>: CS1 maint: multiple names: authors list (<a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:CS1_maint:_multiple_names:_authors_list" title="หมวดหมู่:CS1 maint: multiple names: authors list">ลิงก์</a>) Defined on page 351, available on Google books.</li> <li>"<a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/PrincipalRootofUnity.html">Principal root of unity</a>", MathWorld.</li></ul> </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/complex.shtml">Complex number to a complex power may be real</a> ที่คัตเดอะนอต ให้ข้อมูลอ้างอิงสำหรับ i i </li> <li id="cite_note-Clausen1827-5"><a href="#cite_ref-Clausen1827_5-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFSteiner_J,_Clausen_T,_Abel_NH1827" class="citation journal cs1">Steiner J, Clausen T, Abel NH (1827). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=270662">"Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen"</a>. <a href="/w/index.php?title=Crelle%27s_Journal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Crelle's Journal (ไม่มีหน้านี้)">Journal für die reine und angewandte Mathematik</a>. 2: 286–287.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+f%C3%BCr+die+reine+und+angewandte+Mathematik&rft.atitle=Aufgaben+und+Lehrs%C3%A4tze%2C+erstere+aufzul%C3%B6sen%2C+letztere+zu+beweisen&rft.volume=2&rft.pages=286-287&rft.date=1827&rft.au=Steiner+J%2C+Clausen+T%2C+Abel+NH&rft_id=http%3A%2F%2Fgdz.sub.uni-goettingen.de%2Fno_cache%2Fdms%2Fload%2Fimg%2F%3FIDDOC%3D270662&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"><code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A:Cite_journal" title="แม่แบบ:Cite journal">cite journal</a>}}</code>: CS1 maint: multiple names: authors list (<a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:CS1_maint:_multiple_names:_authors_list" title="หมวดหมู่:CS1 maint: multiple names: authors list">ลิงก์</a>)[<a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B8%A2" title="วิกิพีเดีย:ลิงก์เสีย">ลิงก์เสีย</a>] </li> <li id="cite_note-Bourbaki-6">↑ <a href="#cite_ref-Bourbaki_6-0">6.0</a> <a href="#cite_ref-Bourbaki_6-1">6.1</a> N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> "Some textbooks leave the quantity 00 undefined, because the functions x0 and 0x have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define x0 = 1, for all x, if the binomial theorem is to be valid when x = 0, y = 0, and/or x = −y. The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0x is quite unimportant".<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFRonald_Graham,_Donald_Knuth,_and_Oren_Patashnik1989" class="citation book cs1"><a href="/w/index.php?title=Ronald_Graham&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ronald Graham (ไม่มีหน้านี้)">Ronald Graham</a>, <a href="/wiki/Donald_Knuth" class="mw-redirect" title="Donald Knuth">Donald Knuth</a>, and <a href="/w/index.php?title=Oren_Patashnik&action=edit&redlink=1" class="new" title="Oren Patashnik (ไม่มีหน้านี้)">Oren Patashnik</a> (1989-01-05). "Binomial coefficients". <a href="/w/index.php?title=Concrete_Mathematics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Concrete Mathematics (ไม่มีหน้านี้)">Concrete Mathematics</a> (1st ed.). Addison Wesley Longman Publishing Co. p. 162. <a href="/wiki/ISBN_(identifier)" class="mw-redirect" title="ISBN (identifier)">ISBN</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/0-201-14236-8" title="พิเศษ:แหล่งหนังสือ/0-201-14236-8"><bdi>0-201-14236-8</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Binomial+coefficients&rft.btitle=Concrete+Mathematics&rft.pages=162&rft.edition=1st&rft.pub=Addison+Wesley+Longman+Publishing+Co&rft.date=1989-01-05&rft.isbn=0-201-14236-8&rft.au=Ronald+Graham%2C+Donald+Knuth%2C+and+Oren+Patashnik&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"><code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A:Cite_book" title="แม่แบบ:Cite book">cite book</a>}}</code>: CS1 maint: multiple names: authors list (<a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:CS1_maint:_multiple_names:_authors_list" title="หมวดหมู่:CS1 maint: multiple names: authors list">ลิงก์</a>) </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFMalikSavita_Arora1992" class="citation book cs1">Malik, S. C.; Savita Arora (1992). Mathematical Analysis. New York: Wiley. p. 223. <a href="/wiki/ISBN_(identifier)" class="mw-redirect" title="ISBN (identifier)">ISBN</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/978-8122403237" title="พิเศษ:แหล่งหนังสือ/978-8122403237"><bdi>978-8122403237</bdi></a>. <q>In general the limit of φ (x) /ψ (x) when x=a in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division (0/0) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are ∞/∞ 0×∞, ∞−∞, 00, 1∞ and ∞0.</q></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematical+Analysis&rft.place=New+York&rft.pages=223&rft.pub=Wiley&rft.date=1992&rft.isbn=978-8122403237&rft.aulast=Malik&rft.aufirst=S.+C.&rft.au=Savita+Arora&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFL._J._Paige1954" class="citation journal cs1">L. J. Paige (1954). "A note on indeterminate forms". American Mathematical Monthly. 61 (3): 189–190. <a href="/wiki/Doi_(identifier)" class="mw-redirect" title="Doi (identifier)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2307224">10.2307/2307224</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=American+Mathematical+Monthly&rft.atitle=A+note+on+indeterminate+forms&rft.volume=61&rft.issue=3&rft.pages=189-190&rft.date=1954&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2307224&rft.au=L.+J.+Paige&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/">sci.math FAQ: What is 0^0?</a> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFRotandoKorn1977" class="citation journal cs1">Rotando, Louis M.; Korn, Henry (1977). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://jstor.org/stable/2689754">"The Indeterminate Form 00"</a>. <a href="/w/index.php?title=Mathematics_Magazine&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mathematics Magazine (ไม่มีหน้านี้)">Mathematics Magazine</a>. <a href="/w/index.php?title=Mathematical_Association_of_America&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mathematical Association of America (ไม่มีหน้านี้)">Mathematical Association of America</a>. 50 (1): 41–42. <a href="/wiki/Doi_(identifier)" class="mw-redirect" title="Doi (identifier)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2689754">10.2307/2689754</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+Magazine&rft.atitle=The+Indeterminate+Form+0%3Csup%3E0%3C%2Fsup%3E&rft.volume=50&rft.issue=1&rft.pages=41-42&rft.date=1977&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2689754&rft.aulast=Rotando&rft.aufirst=Louis+M.&rft.au=Korn%2C+Henry&rft_id=http%3A%2F%2Fjstor.org%2Fstable%2F2689754&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFLipkin2003" class="citation journal cs1">Lipkin, Leonard J. (2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://jstor.org/stable/3595845">"On the Indeterminate Form 00"</a>. <a href="/w/index.php?title=The_College_Mathematics_Journal&action=edit&redlink=1" class="new" title="The College Mathematics Journal (ไม่มีหน้านี้)">The College Mathematics Journal</a>. <a href="/w/index.php?title=Mathematical_Association_of_America&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mathematical Association of America (ไม่มีหน้านี้)">Mathematical Association of America</a>. 34 (1): 55–56. <a href="/wiki/Doi_(identifier)" class="mw-redirect" title="Doi (identifier)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F3595845">10.2307/3595845</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+College+Mathematics+Journal&rft.atitle=On+the+Indeterminate+Form+0%3Csup%3E0%3C%2Fsup%3E&rft.volume=34&rft.issue=1&rft.pages=55-56&rft.date=2003&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F3595845&rft.aulast=Lipkin&rft.aufirst=Leonard+J.&rft_id=http%3A%2F%2Fjstor.org%2Fstable%2F3595845&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> "... Let's start at x = 0. Here xx is undefined." Mark D. Meyerson, The xx Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206. </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Examples include Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, , Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Donald C. Benson, The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies. New York Oxford University Press (UK), 1999. <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/9780195117219" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0-19-511721-9</a> </li> <li id="cite_note-Knuth1992-16">↑ <a href="#cite_ref-Knuth1992_16-0">16.0</a> <a href="#cite_ref-Knuth1992_16-1">16.1</a> Donald E. Knuth, Two notes on notation, <a href="/w/index.php?title=American_Mathematical_Monthly&action=edit&redlink=1" class="new" title="American Mathematical Monthly (ไม่มีหน้านี้)">Amer. Math. Monthly</a> 99 no. 5 (May 1992), 403–422. </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3. </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, <a href="/w/index.php?title=Crelle%27s_Journal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Crelle's Journal (ไม่มีหน้านี้)">Journal für die reine und angewandte Mathematik</a> 6 (1830), 67–72. </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316. </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> A. F. Möbius, Beweis der Gleichung 00 = 1, nach <a href="/w/index.php?title=Johann_Friedrich_Pfaff&action=edit&redlink=1" class="new" title="Johann Friedrich Pfaff (ไม่มีหน้านี้)">J. F. Pfaff</a>, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136. </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite class="citation book cs1">Handbook of Floating-Point Arithmetic. Birkhäuser Boston. 2009. p. 216. <a href="/wiki/ISBN_(identifier)" class="mw-redirect" title="ISBN (identifier)">ISBN</a> <a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B7%E0%B8%AD/978-0817647049" title="พิเศษ:แหล่งหนังสือ/978-0817647049"><bdi>978-0817647049</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Handbook+of+Floating-Point+Arithmetic&rft.pages=216&rft.pub=Birkh%C3%A4user+Boston&rft.date=2009&rft.isbn=978-0817647049&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFJohn_Benito2003" class="citation journal cs1">John Benito (April 2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf">"Rationale for International Standard—Programming Languages—C"</a> (PDF). Revision 5.10: 182.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Rationale+for+International+Standard%E2%80%94Programming+Languages%E2%80%94C&rft.pages=182&rft.date=2003-04&rft.au=John+Benito&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.open-std.org%2Fjtc1%2Fsc22%2Fwg14%2Fwww%2FC99RationaleV5.10.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> <code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A:Cite_journal" title="แม่แบบ:Cite journal">cite journal</a>}}</code>: Cite journal ต้องการ <code class="cs1-code">|journal=</code> (<a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89:CS1_errors#missing_periodical" class="mw-redirect" title="วิธีใช้:CS1 errors">help</a>) </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20110811040903/http://download.oracle.com/javase/1.4.2/docs/api/java/lang/Math.html#pow%28double,">"Math (Java 2 Platform SE 1.4.2) pow"</a>. Oracle. คลังข้อมูลเก่าเก็บจาก<a rel="nofollow" class="external text" href="http://download.oracle.com/javase/1.4.2/docs/api/java/lang/Math.html#pow%28double,">แหล่งเดิม</a>เมื่อ 2011-08-11. สืบค้นเมื่อ 2011-07-20.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Math+%28Java+2+Platform+SE+1.4.2%29+pow&rft.pub=Oracle&rft_id=http%3A%2F%2Fdownload.oracle.com%2Fjavase%2F1.4.2%2Fdocs%2Fapi%2Fjava%2Flang%2FMath.html%23pow%2528double%2C&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://msdn.microsoft.com/en-us/library/system.math.pow.aspx">".NET Framework Class Library Math.Pow Method"</a>. Microsoft.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=.NET+Framework+Class+Library+Math.Pow+Method&rft.pub=Microsoft&rft_id=http%3A%2F%2Fmsdn.microsoft.com%2Fen-us%2Flibrary%2Fsystem.math.pow.aspx&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://sagenb.org/home/pub/2433/">"Sage worksheet calculating x^0"</a>. Jason Grout.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Sage+worksheet+calculating+x%5E0&rft.pub=Jason+Grout&rft_id=http%3A%2F%2Fsagenb.org%2Fhome%2Fpub%2F2433%2F&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=a^0">"Wolfram Alpha calculates a^0"</a>. Wolfram Alpha LLC, accessed July 24, 2011.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Wolfram+Alpha+calculates+a%5E0&rft.pub=Wolfram+Alpha+LLC%2C+accessed+July+24%2C+2011&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.wolframalpha.com%2Finput%2F%3Fi%3Da%5E0&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=0^a">"Wolfram Alpha calculates 0^a"</a>. Wolfram Alpha LLC, accessed July 24, 2011.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Wolfram+Alpha+calculates+0%5Ea&rft.pub=Wolfram+Alpha+LLC%2C+accessed+July+24%2C+2011&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.wolframalpha.com%2Finput%2F%3Fi%3D0%5Ea&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=0^0">"Wolfram Alpha calculates 0^0"</a>. Wolfram Alpha LLC, accessed July 24, 2011.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Wolfram+Alpha+calculates+0%5E0&rft.pub=Wolfram+Alpha+LLC%2C+accessed+July+24%2C+2011&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.wolframalpha.com%2Finput%2F%3Fi%3D0%5E0&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> N. Bourbaki, Topologie générale, V.4.2. </li> <li id="cite_note-30"><a href="#cite_ref-30">↑</a> Gordon, D. M. 1998. A survey of fast exponentiation methods. J. Algorithms 27, 1 (Apr. 1998), 129-146. doi:<a rel="nofollow" class="external free" href="https://dx.doi.org/10.1006/jagm.1997.0913">http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1997.0913</a> </li> <li id="cite_note-MacTutor-31">↑ <a href="#cite_ref-MacTutor_31-0">31.0</a> <a href="#cite_ref-MacTutor_31-1">31.1</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFO'ConnorRobertson" class="citation cs2"><a href="/w/index.php?title=John_J._O%27Connor_(mathematician)&action=edit&redlink=1" class="new" title="John J. O'Connor (mathematician) (ไม่มีหน้านี้)">O'Connor, John J.</a>; <a href="/w/index.php?title=Edmund_F._Robertson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Edmund F. Robertson (ไม่มีหน้านี้)">Robertson, Edmund F.</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Miscellaneous/Mathematical_notation.html">"Etymology of some common mathematical terms"</a>, <a href="/w/index.php?title=MacTutor_History_of_Mathematics_archive&action=edit&redlink=1" class="new" title="MacTutor History of Mathematics archive (ไม่มีหน้านี้)">MacTutor History of Mathematics archive</a>, <a href="/wiki/University_of_St_Andrews" class="mw-redirect" title="University of St Andrews">University of St Andrews</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Etymology+of+some+common+mathematical+terms&rft.btitle=MacTutor+History+of+Mathematics+archive&rft.pub=University+of+St+Andrews&rft.aulast=O%27Connor&rft.aufirst=John+J.&rft.au=Robertson%2C+Edmund+F.&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-andrews.ac.uk%2FMiscellaneous%2FMathematical_notation.html&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988">. </li> <li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFO'ConnorRobertson" class="citation cs2"><a href="/w/index.php?title=John_J._O%27Connor_(mathematician)&action=edit&redlink=1" class="new" title="John J. O'Connor (mathematician) (ไม่มีหน้านี้)">O'Connor, John J.</a>; <a href="/w/index.php?title=Edmund_F._Robertson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Edmund F. Robertson (ไม่มีหน้านี้)">Robertson, Edmund F.</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi.html">"Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi"</a>, <a href="/w/index.php?title=MacTutor_History_of_Mathematics_archive&action=edit&redlink=1" class="new" title="MacTutor History of Mathematics archive (ไม่มีหน้านี้)">MacTutor History of Mathematics archive</a>, <a href="/wiki/University_of_St_Andrews" class="mw-redirect" title="University of St Andrews">University of St Andrews</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Abu%27l+Hasan+ibn+Ali+al+Qalasadi&rft.btitle=MacTutor+History+of+Mathematics+archive&rft.pub=University+of+St+Andrews&rft.aulast=O%27Connor&rft.aufirst=John+J.&rft.au=Robertson%2C+Edmund+F.&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-andrews.ac.uk%2FBiographies%2FAl-Qalasadi.html&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988">. </li> <li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10205087"><cite id="CITEREFQuinion" class="citation cs2">Quinion, Michael, "Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number", <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm">World Wide Words</a>, สืบค้นเมื่อ 2010-03-19</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Zenzizenzizenzic+-+the+eighth+power+of+a+number&rft.btitle=World+Wide+Words&rft.aulast=Quinion&rft.aufirst=Michael&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.worldwidewords.org%2Fweirdwords%2Fww-zen1.htm&rfr_id=info%3Asid%2Fth.wikipedia.org%3A%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> คำจำกัดความของ involution ปรากฏใน OED second edition ตีพิมพ์เมื่อ ค.ศ. 1989 และ Merriam-Webster online dictionary <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="http://www.m-w.com/dictionary/involution">[1]</a> การใช้ล่าสุดในความหมายนี้อ้างอิงโดย OED ตีพิมพ์เมื่อ ค.ศ. 1806. </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="แหล่งข้อมูลอื่น">แหล่งข้อมูลอื่น</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&section=49" title="แก้ไขส่วน: แหล่งข้อมูลอื่น">แก้</a>]</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/">sci.math FAQ: What is 00?</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3948">Introducing 0th power</a> on <a href="/w/index.php?title=PlanetMath&action=edit&redlink=1" class="new" title="PlanetMath (ไม่มีหน้านี้)">PlanetMath</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathsisfun.com/algebra/exponent-laws.html">Laws of Exponents</a> with derivation and examples</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.askamathematician.com/?p=4524">What does 0^0 (zero to the zeroth power) equal?</a> on AskAMathematician.com</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.chontech.ac.th/~relat/sara/html/numberup.html">เลขยกกำลังพื้นฐาน</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20110729045215/http://www.chontech.ac.th/~relat/sara/html/numberup.html">เก็บถาวร</a> 2011-07-29 ที่ <a href="/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B9%87%E0%B8%81%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%99" title="เวย์แบ็กแมชชีน">เวย์แบ็กแมชชีน</a></li></ul> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10552737">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10791470">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style></div><div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89:%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%9A%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%A1%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99" title="วิธีใช้:การควบคุมรายการหลักฐาน">ฐานข้อมูลการควบคุมรายการหลักฐาน</a>: ประจำชาติ <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q33456#identifiers" title="แก้ไขสิ่งนี้ที่วิกิสนเทศ"><img alt="แก้ไขสิ่งนี้ที่วิกิสนเทศ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://uli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007562810505171">อิสราเอล</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85046490">สหรัฐ</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">เข้าถึงจาก "<a dir="ltr" href="https://th.wikipedia.org/w/index.php?title=การยกกำลัง&oldid=11906494">https://th.wikipedia.org/w/index.php?title=การยกกำลัง&oldid=11906494</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9:%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88" title="พิเศษ:หมวดหมู่">หมวดหมู่</a>: <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="หมวดหมู่:การยกกำลัง">การยกกำลัง</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%94%E0%B8%B3%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%84" title="หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค">การดำเนินการทวิภาค</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">หมวดหมู่ที่ซ่อนอยู่: <ul><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%9C%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%94%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AD%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%87" title="หมวดหมู่:หน้าที่มีข้อผิดพลาดการอ้างอิง">หน้าที่มีข้อผิดพลาดการอ้างอิง</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:CS1_%E0%B9%81%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A4%E0%B8%A9_(en)" title="หมวดหมู่:CS1 แหล่งที่มาภาษาอังกฤษ (en)">CS1 แหล่งที่มาภาษาอังกฤษ (en)</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:CS1_maint:_multiple_names:_authors_list" title="หมวดหมู่:CS1 maint: multiple names: authors list">CS1 maint: multiple names: authors list</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:Webarchive_template_wayback_links" title="หมวดหมู่:Webarchive template wayback links">Webarchive template wayback links</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%94%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B8%A2" title="หมวดหมู่:บทความทั้งหมดที่มีลิงก์เสีย">บทความทั้งหมดที่มีลิงก์เสีย</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%A1_2021" title="หมวดหมู่:บทความที่มีลิงก์เสียตั้งแต่สิงหาคม 2021">บทความที่มีลิงก์เสียตั้งแต่สิงหาคม 2021</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%96%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%A3" title="หมวดหมู่:บทความที่มีลิงก์เสียอย่างถาวร">บทความที่มีลิงก์เสียอย่างถาวร</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:CS1_errors:_missing_periodical" title="หมวดหมู่:CS1 errors: missing periodical">CS1 errors: missing periodical</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%83%E0%B8%8A%E0%B9%89%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9_ISBN" title="หมวดหมู่:หน้าที่ใช้ลิงก์พิเศษ ISBN">หน้าที่ใช้ลิงก์พิเศษ ISBN</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%B8%E0%B8%93%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E" title="หมวดหมู่:บทความคุณภาพ">บทความคุณภาพ</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B9%81%E0%B8%AE%E0%B8%95%E0%B9%82%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%95%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%A2%E0%B9%84%E0%B8%9B%E0%B8%A2%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B8%B9%E0%B9%88" title="หมวดหมู่:บทความที่มีแม่แบบแฮตโน้ตที่กำหนดเป้าหมายไปยังหน้าที่ไม่มีอยู่">บทความที่มีแม่แบบแฮตโน้ตที่กำหนดเป้าหมายไปยังหน้าที่ไม่มีอยู่</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%A9%E0%B8%B2%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A4%E0%B8%A9" title="หมวดหมู่:บทความที่มีข้อความภาษาอังกฤษ">บทความที่มีข้อความภาษาอังกฤษ</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%B8_J9U" title="หมวดหมู่:บทความที่มีตัวระบุ J9U">บทความที่มีตัวระบุ J9U</a></li><li><a href="/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%B8_LCCN" title="หมวดหมู่:บทความที่มีตัวระบุ LCCN">บทความที่มีตัวระบุ LCCN</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> หน้านี้แก้ไขล่าสุดเมื่อวันที่ 8 พฤศจิกายน 2567 เวลา 22:03 น.</li> <li id="footer-info-copyright"><div>อนุญาตให้เผยแพร่ภายใต้<a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/">สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์ แบบแสดงที่มา-อนุญาตแบบเดียวกัน</a> และอาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ดูรายละเอียดที่ <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/th">ข้อกำหนดการใช้งาน</a> Wikipedia® เป็นเครื่องหมายการค้าจดทะเบียนของ<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">มูลนิธิวิกิมีเดีย</a> องค์กรไม่แสวงผลกำไร</div> <div class="noprint"> <a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD" title="วิกิพีเดีย:ติดต่อ">ติดต่อเรา</a></div></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">นโยบายความเป็นส่วนตัว</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%9A">เกี่ยวกับวิกิพีเดีย</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2:%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%98%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9C%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%8A%E0%B8%AD%E0%B8%9A">ข้อปฏิเสธความรับผิดชอบ</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">จรรยาบรรณ</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">ผู้พัฒนา</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/th.wikipedia.org">สถิติ</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">นโยบายการใช้คุกกี้</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//th.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">มุมมองสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5c59558b9d-b45rv","wgBackendResponseTime":164,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.913","walltime":"1.198","ppvisitednodes":{"value":3162,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":60270,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":3502,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":16,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":13,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":86028,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 787.005 1 -total"," 36.10% 284.116 1 แม่แบบ:รายการอ้างอิง"," 18.52% 145.769 8 แม่แบบ:Cite_web"," 17.12% 134.768 1 แม่แบบ:Authority_control"," 14.94% 117.557 1 แม่แบบ:Langx"," 5.90% 46.409 1 แม่แบบ:บทความคุณภาพ"," 5.62% 44.205 1 แม่แบบ:Top_icon"," 5.12% 40.320 2 แม่แบบ:Category_handler"," 5.02% 39.504 1 แม่แบบ:กล่องข้อมูล_สัญลักษณ์"," 4.44% 34.975 1 แม่แบบ:Infobox"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.464","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":13793114,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-847495b4dd-2qgjz","timestamp":"20241128121136","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0e01\u0e32\u0e23\u0e22\u0e01\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07","url":"https:\/\/th.wikipedia.org\/wiki\/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q33456","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q33456","author":{"@type":"Organization","name":"\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e21\u0e35\u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e23\u0e48\u0e27\u0e21\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e42\u0e04\u0e23\u0e07\u0e01\u0e32\u0e23\u0e27\u0e34\u0e01\u0e34\u0e21\u0e35\u0e40\u0e14\u0e35\u0e22"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2007-01-18T14:35:54Z","dateModified":"2024-11-08T15:03:35Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/e\/e5\/Expo02.svg"}</script> </body> </html>