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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars</title>   <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2411.13651v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S1" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span>General case</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS1" title="In II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II.1 </span>The two types of excitations</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS2" title="In II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II.2 </span>The O(<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_N</annotation></semantics></math>)-invariant many-body scars</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS3" title="In II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II.3 </span>Solution for <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐻</ci><cn type="integer">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS4" title="In II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II.4 </span>Correlations and the global energy minimum</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span>Example 1: 2D single-orbital Hubbard model</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.SS1" title="In III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.1 </span>Scars and <math alttext="H_{0}+OT" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mrow><mi>O</mi><mo>⁢</mo><mi>T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><plus></plus><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐻</ci><cn type="integer">0</cn></apply><apply><times></times><ci>𝑂</ci><ci>𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">H_{0}+OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T</annotation></semantics></math> decomposition</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.SS2" title="In III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.2 </span>BCS ground state for type-<span class="ltx_ERROR undefined">\@slowromancap</span>i@ <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_η</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msup><mi>η</mi><mo>′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><ci>𝜂</ci><ci>′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\eta^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.SS3" title="In III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.3 </span>Ground state for type-<span class="ltx_ERROR undefined">\@slowromancap</span>ii@ <math alttext="\zeta" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>ζ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝜁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\zeta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_ζ</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.SS4" title="In III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.4 </span>Benefits of many-body scars</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.SS5" title="In III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.5 </span>What <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_γ</annotation></semantics></math> is large enough?</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span>Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S5" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span>Discussion and Outlook</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S6" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VI </span>Acknowledgements</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Solving the <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐻</ci><cn type="integer">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> Hamiltonian using the Bogoliubov transformation</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_appendix"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS1" title="In Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.1 </span>Single-orbital: Eta subspace</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS2" title="In Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.2 </span>Single-orbital: Zeta subspace</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS3" title="In Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.3 </span>Two-orbital: Inter-band zeta</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A2" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B </span>On the SU(2) generators forming the ”basis” for eligible <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐻</ci><cn type="integer">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> terms</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3" title="In Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C </span>Additional numerical data</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_appendix"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.SS1" title="In Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C.1 </span>2D single-orbital Hubbard model: eta scar subspace</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.SS2" title="In Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C.2 </span>2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta<sup class="ltx_sup">′</sup> scars in spectrum for <math alttext="\mu=0" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mi>μ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><eq></eq><ci>𝜇</ci><cn type="integer">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_μ = 0</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.SS3" title="In Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C.3 </span>Two-orbital inter-band magnetism</span></a></li> </ol> </li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document"> Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars </h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Kiryl Pakrouski<sup class="ltx_sup" id="id10.5.id1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id10.5.id1.1">1</span></sup>, Zimo Sun,<sup class="ltx_sup" id="id11.6.id2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id11.6.id2.1">2</span></sup> </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"><sup class="ltx_sup" id="id12.7.id1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id12.7.id1.1">1</span></sup>Institute for Theoretical Physics, ETH Zurich, 8093 Zurich, Switzerland </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"><sup class="ltx_sup" id="id13.8.id1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id13.8.id1.1">2</span></sup>Department of Physics, Princeton University, Princeton, NJ 08544, USA </span></span></span> </div> <div class="ltx_dates">(November 20, 2024)</div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id9.5">We provide a method for constructing many-body scar states in fermionic lattice models that incorporate a given type of correlations with one of the states maximizing them over the full Hilbert space. Therefore this state may always be made the ground state by adding such correlations as a ”pairing potential” <math alttext="\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="id5.1.m1.1"><semantics id="id5.1.m1.1a"><mrow id="id5.1.m1.1.1" xref="id5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="id5.1.m1.1.1.2" xref="id5.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="id5.1.m1.1.1.1" xref="id5.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="id5.1.m1.1.1.3" xref="id5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="id5.1.m1.1.1.3.2" xref="id5.1.m1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="id5.1.m1.1.1.3.3" xref="id5.1.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id5.1.m1.1b"><apply id="id5.1.m1.1.1.cmml" xref="id5.1.m1.1.1"><times id="id5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="id5.1.m1.1.1.1"></times><ci id="id5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="id5.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="id5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="id5.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="id5.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="id5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="id5.1.m1.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="id5.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="id5.1.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id5.1.m1.1c">\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id5.1.m1.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to any Hamiltonian <math alttext="H=H_{0}+OT" class="ltx_Math" display="inline" id="id6.2.m2.1"><semantics id="id6.2.m2.1a"><mrow id="id6.2.m2.1.1" xref="id6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="id6.2.m2.1.1.2" xref="id6.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="id6.2.m2.1.1.1" xref="id6.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="id6.2.m2.1.1.3" xref="id6.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="id6.2.m2.1.1.3.2" xref="id6.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="id6.2.m2.1.1.3.2.2" xref="id6.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="id6.2.m2.1.1.3.2.3" xref="id6.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="id6.2.m2.1.1.3.1" xref="id6.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="id6.2.m2.1.1.3.3" xref="id6.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="id6.2.m2.1.1.3.3.2" xref="id6.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">O</mi><mo id="id6.2.m2.1.1.3.3.1" xref="id6.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="id6.2.m2.1.1.3.3.3" xref="id6.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id6.2.m2.1b"><apply id="id6.2.m2.1.1.cmml" xref="id6.2.m2.1.1"><eq id="id6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="id6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><apply id="id6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3"><plus id="id6.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="id6.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id6.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="id6.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3.2.2">𝐻</ci><cn id="id6.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="id6.2.m2.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="id6.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3.3"><times id="id6.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="id6.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3.3.2">𝑂</ci><ci id="id6.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="id6.2.m2.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id6.2.m2.1c">H=H_{0}+OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id6.2.m2.1d">italic_H = italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T</annotation></semantics></math> supporting group-invariant scars <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. In case of single-flavour spin-full fermions the ground state is a special case of the BCS wavefunction written in real space and invariant under any site index relabelling. For multi-orbital fermions this state also resembles BCS but includes higher order terms corresponding to ”pairing” of more than two fermions. The broad class of eligible Hamiltonians <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="id7.3.m3.1"><semantics id="id7.3.m3.1a"><mi id="id7.3.m3.1.1" xref="id7.3.m3.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id7.3.m3.1b"><ci id="id7.3.m3.1.1.cmml" xref="id7.3.m3.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id7.3.m3.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id7.3.m3.1d">italic_H</annotation></semantics></math> is well documented <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> and includes many conventional condensed matter interactions. The part of the Hamiltonian <math alttext="(H_{0}+\delta H_{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="id8.4.m4.1"><semantics id="id8.4.m4.1a"><mrow id="id8.4.m4.1.1.1" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mo id="id8.4.m4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="id8.4.m4.1.1.1.1" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.cmml"><msub id="id8.4.m4.1.1.1.1.2" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="id8.4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="id8.4.m4.1.1.1.1.2.3" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="id8.4.m4.1.1.1.1.1" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="id8.4.m4.1.1.1.1.3" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.2" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.1" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.2" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mn id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.3" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="id8.4.m4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id8.4.m4.1b"><apply id="id8.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1"><plus id="id8.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.1"></plus><apply id="id8.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id8.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="id8.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="id8.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3"><times id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.2">𝐻</ci><cn id="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="id8.4.m4.1.1.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id8.4.m4.1c">(H_{0}+\delta H_{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id8.4.m4.1d">( italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> that governs the exact dynamics of the scar subspace coincides with the BCS mean-field Hamiltonian. We therefore show that its BCS ground state and the excitations above it are many-body scars that are dynamically decoupled from the rest of the Hilbert space and thereby protected from thermalization. These states are insensitive to a variety of <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="id9.5.m5.1"><semantics id="id9.5.m5.1a"><mrow id="id9.5.m5.1.1" xref="id9.5.m5.1.1.cmml"><mi id="id9.5.m5.1.1.2" xref="id9.5.m5.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="id9.5.m5.1.1.1" xref="id9.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="id9.5.m5.1.1.3" xref="id9.5.m5.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id9.5.m5.1b"><apply id="id9.5.m5.1.1.cmml" xref="id9.5.m5.1.1"><times id="id9.5.m5.1.1.1.cmml" xref="id9.5.m5.1.1.1"></times><ci id="id9.5.m5.1.1.2.cmml" xref="id9.5.m5.1.1.2">𝑂</ci><ci id="id9.5.m5.1.1.3.cmml" xref="id9.5.m5.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id9.5.m5.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id9.5.m5.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> Hamiltonian terms that among others include interactions and (spin-orbit) hoppings. Our results point out a connection between the fields of superconductivity and weak ergodicity breaking (many-body scars) and will hopefully encourage further investigations. They also provide the first practical protocol to initialize a fermionic system to a scar state in (a quantum simulator) experiment.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Superconductivity <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite> is one of the best-understood quantum condensed matter phenomena and yet is the one that still conceals some of the most intriguing secrets such as the mechanisms underlying unconventional superconductivity.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">As a macroscopic quantum phenomenon, superconductivity reflects the collective behaviour of many degrees of freedom. The emergence of statistical physics from individual quantum eigenstates can be analyzed in terms of eingenstate thermalization hypothesis (ETH) that conjectures that a macroscopic thermal average of an observable should agree with any measurements made in individual eigenstates at the corresponding temperature/energy.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.3">Many-body scars are eigenstates of strongly-interacting Hamiltonians that elude this description <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib4" title="">4</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite> by weakly breaking ergodicity. They are found in a variety of systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib12" title="">12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib13" title="">13</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib15" title="">15</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib18" title="">18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib21" title="">21</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib25" title="">25</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib27" title="">27</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib29" title="">29</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib30" title="">30</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib31" title="">31</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib32" title="">32</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib33" title="">33</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib34" title="">34</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib35" title="">35</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib36" title="">36</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib37" title="">37</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib38" title="">38</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib40" title="">40</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib41" title="">41</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib42" title="">42</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib43" title="">43</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib44" title="">44</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib45" title="">45</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib46" title="">46</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib47" title="">47</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib48" title="">48</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib49" title="">49</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib50" title="">50</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib51" title="">51</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib52" title="">52</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib53" title="">53</a>]</cite> and may be understood within several frameworks <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib54" title="">54</a>]</cite>. We will base our discussion on Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> and think about scars as a subspace that dynamically decouples from the rest of the Hilbert space and is governed by often simple and integrable Hamiltonian <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><msub id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><apply id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> while the Hamiltonian of the full system <math alttext="H=H_{0}+OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S1.p3.2.m2.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S1.p3.2.m2.1.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">O</mi><mo id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m2.1b"><apply id="S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1"><eq id="S1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3"><plus id="S1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.2">𝐻</ci><cn id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3"><times id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.2">𝑂</ci><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m2.1c">H=H_{0}+OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m2.1d">italic_H = italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T</annotation></semantics></math> is strongly interacting and has almost no symmetries. For certain simple <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.3.m3.1"><semantics id="S1.p3.3.m3.1a"><msub id="S1.p3.3.m3.1.1" xref="S1.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S1.p3.3.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S1.p3.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.3.m3.1b"><apply id="S1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.3.m3.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.3.m3.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.3.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the time evolution within the scar subspace follows ”closed orbits” which manifests as ”revivals” in experiments <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">One way to discuss superconductivity is using the concept of the off-diagonal long-range order (ODLRO), the presence of non-decaying with distance two-point correlations between pair annihilation and creation operators at distant sites <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib55" title="">55</a>]</cite>. These correlations or eta pairing can also be used as an indicator of superconductivity induced by some kind of external drive in pump-probe experiments <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib56" title="">56</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib57" title="">57</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib58" title="">58</a>]</cite>. The concept of ODLRO was introduced by Yang who also constructed the eta-pairing states <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib59" title="">59</a>]</cite> (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib60" title="">60</a>]</cite> for a generalization), eigenstates of the Hubbard model that possess ODLRO <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib59" title="">59</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib61" title="">61</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">Interestingly, exactly these states have recently been found to be many-body scars <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> relevant to several important concepts such as spectrum-generating algebras <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib29" title="">29</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite> which in turn are relevant in a broader context of open quantum systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">Could this coincidence hint that the phenomena of many-body scars and superconductivity are related? Ref <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib62" title="">62</a>]</cite> recently provided another hint supporting this idea by constructing analogues of eta pairing states with unconventional types of pairing albeit in a somewhat artificial fine-tuned model with multi-body interactions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">One could at first see a contradiction in the fact that the analysis of superconductivity usually starts from the ground state whereas the many-body scars are typically scattered around the spectrum. Further, the eta-pairing states have fixed particle number and therefore the expectation value of a pair creation operator in such a state is zero.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.5">In an attempt to make a scar the ground state we add <math alttext="\delta H_{0}=-({\cal O}^{\dagger}+{\cal O})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.1.m1.1"><semantics id="S1.p8.1.m1.1a"><mrow id="S1.p8.1.m1.1.1" xref="S1.p8.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S1.p8.1.m1.1.1.3" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p8.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S1.p8.1.m1.1.1.3.1" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p8.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mn id="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S1.p8.1.m1.1.1.2" xref="S1.p8.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.p8.1.m1.1.1.1" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p8.1.m1.1.1.1a" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒪</mi></mrow><mo id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.1.m1.1b"><apply id="S1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1"><eq id="S1.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S1.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3"><times id="S1.p8.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.p8.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.2">𝐻</ci><cn id="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p8.1.m1.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S1.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1"><minus id="S1.p8.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1"></minus><apply id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝒪</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.1.m1.1c">\delta H_{0}=-({\cal O}^{\dagger}+{\cal O})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.1.m1.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = - ( caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_O )</annotation></semantics></math> to a Hamiltonian that is known to support scars, where <math alttext="{\cal O}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.2.m2.1"><semantics id="S1.p8.2.m2.1a"><msup id="S1.p8.2.m2.1.1" xref="S1.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p8.2.m2.1.1.2" xref="S1.p8.2.m2.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.p8.2.m2.1.1.3" xref="S1.p8.2.m2.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.2.m2.1b"><apply id="S1.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.2.m2.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S1.p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.2.m2.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.2.m2.1c">{\cal O}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.2.m2.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a pair creation operator. Eta pairing states are known <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib59" title="">59</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib63" title="">63</a>]</cite> to have large ODLRO <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.3.m3.1"><semantics id="S1.p8.3.m3.1a"><mrow id="S1.p8.3.m3.1.1.3" xref="S1.p8.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p8.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p8.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S1.p8.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p8.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.3.m3.1b"><apply id="S1.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.p8.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1"><times id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.3.m3.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.3.m3.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and one could thus hope that they are susceptible to <math alttext="\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.4.m4.1"><semantics id="S1.p8.4.m4.1a"><mrow id="S1.p8.4.m4.1.1" xref="S1.p8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p8.4.m4.1.1.2" xref="S1.p8.4.m4.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S1.p8.4.m4.1.1.1" xref="S1.p8.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p8.4.m4.1.1.3" xref="S1.p8.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p8.4.m4.1.1.3.2" xref="S1.p8.4.m4.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S1.p8.4.m4.1.1.3.3" xref="S1.p8.4.m4.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.4.m4.1b"><apply id="S1.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1"><times id="S1.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1.1"></times><ci id="S1.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S1.p8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p8.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S1.p8.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p8.4.m4.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.4.m4.1c">\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.4.m4.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and would move towards low energy. Remarkably, we find that not only a state from a scar subspace becomes the ground state but it also happens to be the BCS wavefunction! <math alttext="\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.5.m5.1"><semantics id="S1.p8.5.m5.1a"><mrow id="S1.p8.5.m5.1.1" xref="S1.p8.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.p8.5.m5.1.1.2" xref="S1.p8.5.m5.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S1.p8.5.m5.1.1.1" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p8.5.m5.1.1.3" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p8.5.m5.1.1.3.2" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S1.p8.5.m5.1.1.3.3" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.5.m5.1b"><apply id="S1.p8.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1"><times id="S1.p8.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S1.p8.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S1.p8.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p8.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S1.p8.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.5.m5.1c">\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.5.m5.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> therefore ”rotated” the eta pairing states to form linear combinations with indefinite total particle number thereby removing the second obstacle mentioned above.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p9"> <p class="ltx_p" id="S1.p9.6">In this work, we first present a general solution explaining the above observations for two types (”superconducting” and ”magnetic”) of rather general bilinear fermionic excitation operators <math alttext="{\cal O}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.1.m1.1"><semantics id="S1.p9.1.m1.1a"><msup id="S1.p9.1.m1.1.1" xref="S1.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p9.1.m1.1.1.2" xref="S1.p9.1.m1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.p9.1.m1.1.1.3" xref="S1.p9.1.m1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.1.m1.1b"><apply id="S1.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p9.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.1.m1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S1.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.1.m1.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.1.m1.1c">{\cal O}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.1.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This solution involves a BCS-like wavefunction that in multi-orbital systems includes terms <math alttext="({\cal O}^{\dagger})^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.2.m2.1"><semantics id="S1.p9.2.m2.1a"><msup id="S1.p9.2.m2.1.1" xref="S1.p9.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S1.p9.2.m2.1.1.3" xref="S1.p9.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.2.m2.1b"><apply id="S1.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.2.m2.1.1.1.1.1.3">†</ci></apply><ci id="S1.p9.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.2.m2.1c">({\cal O}^{\dagger})^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.2.m2.1d">( caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="m>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.3.m3.1"><semantics id="S1.p9.3.m3.1a"><mrow id="S1.p9.3.m3.1.1" xref="S1.p9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p9.3.m3.1.1.2" xref="S1.p9.3.m3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S1.p9.3.m3.1.1.1" xref="S1.p9.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.p9.3.m3.1.1.3" xref="S1.p9.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.3.m3.1b"><apply id="S1.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p9.3.m3.1.1"><gt id="S1.p9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.3.m3.1.1.1"></gt><ci id="S1.p9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.3.m3.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S1.p9.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p9.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.3.m3.1c">m>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.3.m3.1d">italic_m > 1</annotation></semantics></math>. The BCS ground state and its excitations are shown to be many-body scars for a broad class of fermionic lattice Hamiltonians. We discuss two examples. In the single-orbital case we consider two superconducting (both eta-pairing) and one magnetic <math alttext="{\cal O}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.4.m4.1"><semantics id="S1.p9.4.m4.1a"><msup id="S1.p9.4.m4.1.1" xref="S1.p9.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p9.4.m4.1.1.2" xref="S1.p9.4.m4.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.p9.4.m4.1.1.3" xref="S1.p9.4.m4.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.4.m4.1b"><apply id="S1.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p9.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.4.m4.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S1.p9.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.4.m4.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.4.m4.1c">{\cal O}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.4.m4.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. In the two-orbital case we consider an ”inter-band”, magnetic <math alttext="{\cal O}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.5.m5.1"><semantics id="S1.p9.5.m5.1a"><msup id="S1.p9.5.m5.1.1" xref="S1.p9.5.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p9.5.m5.1.1.2" xref="S1.p9.5.m5.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.p9.5.m5.1.1.3" xref="S1.p9.5.m5.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.5.m5.1b"><apply id="S1.p9.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p9.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.5.m5.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S1.p9.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.5.m5.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.5.m5.1c">{\cal O}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.5.m5.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and illustrate the presence of the <math alttext="({\cal O}^{\dagger})^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.6.m6.1"><semantics id="S1.p9.6.m6.1a"><msup id="S1.p9.6.m6.1.1" xref="S1.p9.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.p9.6.m6.1.1.3" xref="S1.p9.6.m6.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.6.m6.1b"><apply id="S1.p9.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p9.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3">†</ci></apply><cn id="S1.p9.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p9.6.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.6.m6.1c">({\cal O}^{\dagger})^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.6.m6.1d">( caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> contribution in the BCS-like ground state. In both cases the model is a deformed Hubbard Hamiltonian.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p10"> <p class="ltx_p" id="S1.p10.1"><math alttext="\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p10.1.m1.1"><semantics id="S1.p10.1.m1.1a"><mrow id="S1.p10.1.m1.1.1" xref="S1.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p10.1.m1.1.1.2" xref="S1.p10.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S1.p10.1.m1.1.1.1" xref="S1.p10.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p10.1.m1.1.1.3" xref="S1.p10.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p10.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S1.p10.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p10.1.m1.1b"><apply id="S1.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p10.1.m1.1.1"><times id="S1.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p10.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S1.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p10.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S1.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p10.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p10.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p10.1.m1.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S1.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p10.1.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p10.1.m1.1c">\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p10.1.m1.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be thought of as a BCS mean-field Hamiltonian and we comment on the extra stability its solution has due to the fact that it is also a scar. Our findings strengthen the case that many-body scars may be related to superconductivity and provide a lead to further exploration in this direction.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span>General case </h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">II.1 </span>The two types of excitations </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1">We will consider two types of local excitations in fermionic systems which have slightly different requirements to the Hilbert space.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.3">For the excitations of type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p2.3.1">\@slowromancap</span>i@ we consider the Hilbert space of complex fermions <math alttext="\{c_{i\alpha}^{\dagger},c_{j\beta}\}=\delta_{\alpha\beta}\delta_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.1.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p2.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">{</mo><msubsup id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.cmml"><msub id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.1.m1.2b"><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2"><eq id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.3"></eq><set id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3">†</ci></apply><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply></set><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.2">𝛿</ci><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.2">𝛿</ci><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.4.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.1.m1.2c">\{c_{i\alpha}^{\dagger},c_{j\beta}\}=\delta_{\alpha\beta}\delta_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.1.m1.2d">{ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT , italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_β end_POSTSUBSCRIPT } = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="1\leq i,j\leq N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p2.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.2.m2.2b"><apply id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1"><leq id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2"><leq id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.1"></leq><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.2.2.2.2.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.2.m2.2c">1\leq i,j\leq N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.2.m2.2d">1 ≤ italic_i , italic_j ≤ italic_N</annotation></semantics></math> are site indexes on an arbitrary lattice of arbitrary dimension and <math alttext="1\leq\alpha,\beta\leq 2K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.3.m3.2"><semantics id="S2.SS1.p2.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.3.cmml">K</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.3.m3.2b"><apply id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.3a.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1"><leq id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2"><leq id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1"></leq><ci id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3"><times id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.1"></times><cn id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.3.m3.2c">1\leq\alpha,\beta\leq 2K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.3.m3.2d">1 ≤ italic_α , italic_β ≤ 2 italic_K</annotation></semantics></math> are the ”flavour” indexes that may simply be spin or also include further degrees of freedom such as layer or orbital.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.7">Let <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> be a <math alttext="2K\times 2K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">×</mo><mn id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1"><times id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2"><times id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2"><times id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.1"></times><cn id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.3">𝐾</ci></apply><cn id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.2.m2.1c">2K\times 2K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.2.m2.1d">2 italic_K × 2 italic_K</annotation></semantics></math> antisymmetric and unitary matrix. These two conditions can be satisfied only when <math alttext="2K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1"><times id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1"></times><cn id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.3.m3.1c">2K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.3.m3.1d">2 italic_K</annotation></semantics></math> is even because <math alttext="A^{T}=-A" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p3.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3a" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml">A</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1"><eq id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3"><minus id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3"></minus><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3.2">𝐴</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.4.m4.1c">A^{T}=-A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.4.m4.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_A</annotation></semantics></math> implies <math alttext="\det A=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p3.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.1.cmml">det</mo><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml">A</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1"><eq id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2"><determinant id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.1"></determinant><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><cn id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.5.m5.1c">\det A=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.5.m5.1d">roman_det italic_A = 0</annotation></semantics></math> for odd <math alttext="2K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p3.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.6.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1"><times id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1"></times><cn id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.6.m6.1c">2K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.6.m6.1d">2 italic_K</annotation></semantics></math> which would contradict <math alttext="A^{\dagger}A=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p3.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.cmml"><msup id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.1" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1"><eq id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2"><times id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><cn id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.7.m7.1c">A^{\dagger}A=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.7.m7.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_A = 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.1">At each site <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.1.m1.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.1.m1.1d">italic_j</annotation></semantics></math>, define a fermion bilinear of type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p4.1.1">\@slowromancap</span>i@</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx1"> <tbody id="S2.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}_{j}=\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta=1}^{2K}c_{j\alpha}A_{% \alpha\beta}c_{j\beta}~{}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.m1.3"><semantics id="S2.E1.m1.3a"><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2a" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><munderover id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1a" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E1.m1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S2.E1.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S2.E1.m1.2.2.2.5" xref="S2.E1.m1.2.2.2.5.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml"><mn id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">α</mi></mrow></msub><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.1a" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.3b"><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1"><eq id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2"><divide id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3"><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2"><eq id="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.3"></eq><list id="S2.E1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2">𝛽</ci></list><cn id="S2.E1.m1.2.2.2.5.cmml" type="integer" 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id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.2">𝑐</ci><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3"><times id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.1"></times><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.4.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.3c">\displaystyle{\cal O}_{j}=\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta=1}^{2K}c_{j\alpha}A_{% \alpha\beta}c_{j\beta}~{}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.3d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_β = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_β end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.4">which gives</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx2"> <tbody id="S2.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left[{\cal O}_{j},{\cal O}_{j}^{\dagger}\right]=K-n_{j}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.m1.1"><semantics id="S2.E2.m1.1a"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.5" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3" 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id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">†</ci></apply></interval><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.4"><minus id="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.1"></minus><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.2">𝐾</ci><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.1c">\displaystyle\left[{\cal O}_{j},{\cal O}_{j}^{\dagger}\right]=K-n_{j},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.1d">[ caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ] = italic_K - italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.3">where <math alttext="n_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.2.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p4.2.m1.1a"><msub id="S2.SS1.p4.2.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.2.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.2.m1.1c">n_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.2.m1.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the particle number operator at site <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.3.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p4.3.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p4.3.m2.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.3.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.3.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.3.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.1">Creating excitations of type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p5.1.1">\@slowromancap</span>i@ (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E1" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.1</span></a>) changes the particle number and therefore the natural ”vacuum” for this type of excitations coincides with standard vacuum</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx3"> <tbody id="S2.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ket{0_{\text{\@slowromancap i@}}}=\ket{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E3.m1.2"><semantics id="S2.E3.m1.2a"><mrow id="S2.E3.m1.2.3" xref="S2.E3.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.1.1a.3" xref="S2.E3.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E3.m1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3d.cmml"><mtext class="undefined" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3a" mathsize="142%" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3d.cmml"><span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.1nest">\@slowromancap</span></mtext><mtext id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3c" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3d.cmml">i@</mtext></mrow></msub><mo id="S2.E3.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.3.1" xref="S2.E3.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2a.3" xref="S2.E3.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mn id="S2.E3.m1.2.2.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E3.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.2b"><apply id="S2.E3.m1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.2.3"><eq id="S2.E3.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.3.1"></eq><apply id="S2.E3.m1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3d.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3"><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3"><mtext class="undefined" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3"><span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.1anest">\@slowromancap</span></mtext><mtext id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3c.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3">i@</mtext></mrow></ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.2.2a.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2a.3.1">ket</csymbol><cn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.2c">\displaystyle\ket{0_{\text{\@slowromancap i@}}}=\ket{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.2d">| start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT i@ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = | start_ARG 0 end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.2">the state without any fermions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p6.5">For the excitations of type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p6.5.1">\@slowromancap</span>ii@ we consider the Hilbert space of spin-<math alttext="\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p6.1.m1.1a"><mfrac id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1"><divide id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1"></divide><cn id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.2">1</cn><cn id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.1.m1.1c">\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.1.m1.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math> fermions that can have an additional flavour index <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p6.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, satisfying the standard anticommutation relations <math alttext="\{c_{i\alpha\sigma}^{\dagger},c_{j\beta\sigma^{\prime}}\}=\delta_{\alpha\beta}% \delta_{\sigma\sigma^{\prime}}\delta_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.3.m3.2"><semantics id="S2.SS1.p6.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">{</mo><msubsup id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">α</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">β</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.1a" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.cmml"><msub id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.3.1" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.3.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.2.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.1" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.1a" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.3.2" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.3.1" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.3.3" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.4.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.3.m3.2b"><apply id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2"><eq id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.3"></eq><set id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><apply id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝛼</ci><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.4">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3">†</ci></apply><apply id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3"><times id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.3">𝛽</ci><apply id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.2">𝜎</ci><ci id="S2.SS1.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.4.3.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="i,j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.4.m4.2"><semantics id="S2.SS1.p6.4.m4.2a"><mrow id="S2.SS1.p6.4.m4.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.4.m4.2.3.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p6.4.m4.2.3.2.1" xref="S2.SS1.p6.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p6.4.m4.2.2" xref="S2.SS1.p6.4.m4.2.2.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.4.m4.2b"><list id="S2.SS1.p6.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.4.m4.2.3.2"><ci id="S2.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.4.m4.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p6.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.4.m4.2.2">𝑗</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.4.m4.2c">i,j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.4.m4.2d">italic_i , italic_j</annotation></semantics></math> are site labels and <math alttext="\sigma,\sigma^{\prime}\in\{\uparrow,\downarrow\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.5.m5.4"><semantics id="S2.SS1.p6.5.m5.4a"><mrow id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.cmml"><mrow id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.5.m5.3.3" xref="S2.SS1.p6.5.m5.3.3.cmml">σ</mi><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1.1" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.2" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.1.cmml">{</mo><mo id="S2.SS1.p6.5.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" 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xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.1.1.1.3">′</ci></apply></list><set id="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.4.4.3.2"><ci id="S2.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.1.1">↑</ci><ci id="S2.SS1.p6.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.5.m5.2.2">↓</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.5.m5.4c">\sigma,\sigma^{\prime}\in\{\uparrow,\downarrow\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.5.m5.4d">italic_σ , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ { ↑ , ↓ }</annotation></semantics></math> are spin indices. The fermion bilinear of type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p6.5.2">\@slowromancap</span>ii@ is defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx4"> <tbody id="S2.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}_{j}=\sum_{\alpha=1}^{K}c^{\dagger}_{j\alpha\downarrow}% \tilde{A}_{\alpha\beta}c_{j\beta\uparrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4.m1.1"><semantics id="S2.E4.m1.1a"><mrow id="S2.E4.m1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.E4.m1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.m1.1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E4.m1.1.1.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E4.m1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E4.m1.1.1.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S2.E4.m1.1.1.3.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.1b"><apply id="S2.E4.m1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1"><eq id="S2.E4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3"><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2"><times id="S2.E4.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3"><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.1">↓</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2"><times id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3"><times id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.1"></times><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.2">𝑐</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3"><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.1">↑</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2"><times id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.1"></times><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.2.3">𝛽</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.2.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m1.1c">\displaystyle{\cal O}_{j}=\sum_{\alpha=1}^{K}c^{\dagger}_{j\alpha\downarrow}% \tilde{A}_{\alpha\beta}c_{j\beta\uparrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_α ↓ end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_β ↑ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p6.8">where <math alttext="\tilde{A}_{\alpha\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.6.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p6.6.m1.1a"><msub id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.6.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2"><ci id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.6.m1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.6.m1.1c">\tilde{A}_{\alpha\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.6.m1.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a <math alttext="K\times K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.7.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p6.7.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p6.7.m2.1.1" xref="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.7.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.7.m2.1.1"><times id="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.1"></times><ci id="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.7.m2.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.7.m2.1c">K\times K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.7.m2.1d">italic_K × italic_K</annotation></semantics></math> unitary matrix, i.e. <math alttext="\tilde{A}^{\dagger}\tilde{A}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.8.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p6.8.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.cmml"><msup id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.1" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.8.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1"><eq id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2"><times id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2"><ci id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3"><ci id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.1">~</ci><ci id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply><cn id="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p6.8.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.8.m3.1c">\tilde{A}^{\dagger}\tilde{A}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.8.m3.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG = 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p7.3">The commutator</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx5"> <tbody id="S2.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left[{\cal O}_{j},{\cal O}_{j}^{\dagger}\right]=-M_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E5.m1.2"><semantics id="S2.E5.m1.2a"><mrow id="S2.E5.m1.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2.4" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2.5" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.E5.m1.2.2.3" xref="S2.E5.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.4" xref="S2.E5.m1.2.2.4.cmml"><mo id="S2.E5.m1.2.2.4a" xref="S2.E5.m1.2.2.4.cmml">−</mo><msub id="S2.E5.m1.2.2.4.2" xref="S2.E5.m1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.4.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.4.2.2.cmml">M</mi><mi id="S2.E5.m1.2.2.4.2.3" xref="S2.E5.m1.2.2.4.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.2b"><apply id="S2.E5.m1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2"><eq id="S2.E5.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.3"></eq><interval closure="closed" id="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.2.3">†</ci></apply></interval><apply id="S2.E5.m1.2.2.4.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.4"><minus id="S2.E5.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.4"></minus><apply id="S2.E5.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.4.2.2">𝑀</ci><ci id="S2.E5.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.4.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.2c">\displaystyle\left[{\cal O}_{j},{\cal O}_{j}^{\dagger}\right]=-M_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.2d">[ caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ] = - italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p7.2">where <math alttext="M_{j}=n_{j\uparrow}-n_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p7.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p7.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mrow id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"></mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p7.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3"><minus id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.1"></minus><apply id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3"><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.1">↑</ci><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3"><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.1">↓</ci><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p7.1.m1.1c">M_{j}=n_{j\uparrow}-n_{j\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p7.1.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT - italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the magnetization at site <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p7.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p7.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p7.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p7.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.2.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p7.2.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p7.2.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p8.1">The excitations of type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p8.1.1">\@slowromancap</span>ii@ are ”magnetic” and the natural vacuum in this case is a half-filled state with all spins down</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx6"> <tbody id="S2.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ket{0_{\text{\@slowromancap ii@}}}=c^{\dagger}_{j1\downarrow}% \cdots c^{\dagger}_{jK\downarrow}\ket{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E6.m1.2"><semantics id="S2.E6.m1.2a"><mrow id="S2.E6.m1.2.3" xref="S2.E6.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.1.1a.3" xref="S2.E6.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E6.m1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E6.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.3d.cmml"><mtext class="undefined" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3a" mathsize="142%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.3d.cmml"><span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3.1nest">\@slowromancap</span></mtext><mtext id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3c" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.3d.cmml">ii@</mtext></mrow></msub><mo id="S2.E6.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E6.m1.2.3.1" xref="S2.E6.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6.m1.2.3.2" xref="S2.E6.m1.2.3.2.cmml"><msubsup id="S2.E6.m1.2.3.2.2" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.1" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.3" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.3" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.3" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.1" xref="S2.E6.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E6.m1.2.3.2.3.cmml">⋯</mi><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.1a" xref="S2.E6.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E6.m1.2.3.2.4" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.cmml"><mi id="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.2" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.2" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.1" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.3" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.3" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.3" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E6.m1.2.3.2.1b" xref="S2.E6.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.2.2a.3" xref="S2.E6.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mn id="S2.E6.m1.2.2.1.1" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E6.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6.m1.2b"><apply id="S2.E6.m1.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3"><eq id="S2.E6.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.1"></eq><apply id="S2.E6.m1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E6.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3d.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.3"><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.3"><mtext class="undefined" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.3"><span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3.1anest">\@slowromancap</span></mtext><mtext id="S2.E6.m1.1.1.1.1.3c.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.3">ii@</mtext></mrow></ci></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2"><times id="S2.E6.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.1"></times><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3"><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.1">↓</ci><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2"><times id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.2">𝑗</ci><cn id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.2.3">1</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.3">⋯</ci><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.4.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.2.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3"><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.1">↓</ci><apply id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2"><times id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.1"></times><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.2.3">𝐾</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.3.2.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.2.2a.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E6.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2a.3.1">ket</csymbol><cn id="S2.E6.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.2c">\displaystyle\ket{0_{\text{\@slowromancap ii@}}}=c^{\dagger}_{j1\downarrow}% \cdots c^{\dagger}_{jK\downarrow}\ket{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.2d">| start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT ii@ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 ↓ end_POSTSUBSCRIPT ⋯ italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_K ↓ end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG 0 end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.6)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p9"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p9.3">For both types the operators <math alttext="{\cal O}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p9.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p9.1.m1.1a"><msub id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p9.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p9.1.m1.1c">{\cal O}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p9.1.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\cal O}_{j}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p9.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p9.2.m2.1a"><msubsup id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p9.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p9.2.m2.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p9.2.m2.1c">{\cal O}_{j}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p9.2.m2.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and their commutator generate an SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p9.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p9.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p9.3.m3.1.2.2"><mo id="S2.SS1.p9.3.m3.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS1.p9.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p9.3.m3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p9.3.m3.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p9.3.m3.1b"><cn id="S2.SS1.p9.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p9.3.m3.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p9.3.m3.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p9.3.m3.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> algebra and we can make the following identifications</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx7"> <tbody id="S2.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle J^{(j)}_{+}\Leftrightarrow{\cal O}_{j},\quad J^{(j)}_{-}% \Leftrightarrow{\cal O}^{\dagger}_{j},\quad J^{(j)}_{3}\Leftrightarrow\frac{1}% {2}[{\cal O}_{j},{\cal O}_{j}^{\dagger}]~{}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.4"><semantics id="S2.E7.m1.4a"><mrow id="S2.E7.m1.4.4.1" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.4.4.1.1" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.cmml"><mi id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.2.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E7.m1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.cmml"><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.cmml">(</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.9" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.9.cmml">⇔</mo><mrow id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><msub id="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.E7.m1.2.2.1.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E7.m1.2.2.1.1" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.10" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.10.cmml">⇔</mo><mrow id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.3.cmml"><msubsup id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml"><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.11" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.11.cmml">⇔</mo><mrow id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.cmml"><mfrac id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4a" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.cmml"><mn id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.3.cmml"><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.4" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.5" rspace="0.052em" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E7.m1.4.4.1.2" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.4b"><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1"><and id="S2.E7.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1"></and><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1"><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.9.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.9">⇔</ci><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8">subscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1">𝑗</ci></apply><plus id="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.8.3"></plus></apply><list id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2"><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.E7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1">𝑗</ci></apply><minus id="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.2.2.2.3"></minus></apply></list></apply><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1c.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1"><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.10.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.10">⇔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E7.m1.4.4.1.1.2.cmml" id="S2.E7.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1"></share><list id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2"><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.3.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1">𝑗</ci></apply><cn id="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.4.2.2.3">3</cn></apply></list></apply><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1e.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1"><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.11.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.11">⇔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E7.m1.4.4.1.1.4.cmml" id="S2.E7.m1.4.4.1.1f.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1"></share><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6"><times id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.3"></times><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4"><divide id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4"></divide><cn id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.2">1</cn><cn id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.4.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2"><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.5.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3">†</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.4c">\displaystyle J^{(j)}_{+}\Leftrightarrow{\cal O}_{j},\quad J^{(j)}_{-}% \Leftrightarrow{\cal O}^{\dagger}_{j},\quad J^{(j)}_{3}\Leftrightarrow\frac{1}% {2}[{\cal O}_{j},{\cal O}_{j}^{\dagger}]~{}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.4d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT ⇔ caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_J start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT ⇔ caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_J start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ⇔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG [ caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p9.5">For two specific choices of matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p9.4.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p9.4.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p9.4.m1.1.1" xref="S2.SS1.p9.4.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p9.4.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p9.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p9.4.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p9.4.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p9.4.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> and single-flavour case this observation was made in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib61" title="">61</a>]</cite> and the two SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p9.5.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p9.5.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p9.5.m2.1.2.2"><mo id="S2.SS1.p9.5.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS1.p9.5.m2.1.1" xref="S2.SS1.p9.5.m2.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p9.5.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p9.5.m2.1b"><cn id="S2.SS1.p9.5.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p9.5.m2.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p9.5.m2.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p9.5.m2.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> groups were identified as spin and pseudo-spin.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p10"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p10.8">For both excitation types the maximum value of <math alttext="J^{(j)}_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p10.1.m1.1a"><msubsup id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.3" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci></apply><cn id="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.2.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.1.m1.1c">J^{(j)}_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (and therefore of <math alttext="J^{(j)}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p10.2.m2.1a"><msubsup id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.3" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.1.1">𝑗</ci></apply><cn id="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.2.m2.1c">J^{(j)}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.2.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="J^{(j)}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p10.3.m3.1a"><msubsup id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.3" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S2.SS1.p10.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p10.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p10.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p10.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS1.p10.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci></apply><cn id="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p10.3.m3.1.2.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.3.m3.1c">J^{(j)}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.3.m3.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) is limited by <math alttext="K/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p10.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p10.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.4.m4.1.1"><divide id="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.1"></divide><ci id="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p10.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.4.m4.1c">K/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.4.m4.1d">italic_K / 2</annotation></semantics></math> from which we conclude that the largest representation we can have is of ”spin” <math alttext="K/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p10.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p10.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.5.m5.1.1"><divide id="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.1"></divide><ci id="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p10.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.5.m5.1c">K/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.5.m5.1d">italic_K / 2</annotation></semantics></math> meaning the operator <math alttext="{\cal O}_{j}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p10.6.m6.1a"><msubsup id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.6.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p10.6.m6.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.6.m6.1c">{\cal O}_{j}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.6.m6.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can be applied the maximum of <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p10.7.m7.1a"><mi id="S2.SS1.p10.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p10.7.m7.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.7.m7.1b"><ci id="S2.SS1.p10.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.7.m7.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.7.m7.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.7.m7.1d">italic_K</annotation></semantics></math> times to its respective on-site vacuum before producing a 0. Therefore the maximum number of on-site excitations of either type is <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p10.8.m8.1a"><mi id="S2.SS1.p10.8.m8.1.1" xref="S2.SS1.p10.8.m8.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.8.m8.1b"><ci id="S2.SS1.p10.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.8.m8.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.8.m8.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.8.m8.1d">italic_K</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p11"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p11.4">Note that <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p11.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p11.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p11.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p11.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p11.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p11.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p11.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p11.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math> and <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p11.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p11.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p11.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p11.2.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p11.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p11.2.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p11.2.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p11.2.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math> could also be <math alttext="k_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p11.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p11.3.m3.1a"><msub id="S2.SS1.p11.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p11.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p11.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p11.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p11.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p11.3.m3.1c">k_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p11.3.m3.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="k_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p11.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p11.4.m4.1a"><msub id="S2.SS1.p11.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p11.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p11.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p11.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p11.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p11.4.m4.1c">k_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p11.4.m4.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> - indexes of the points in the momentum space. All the results we obtain in this work would apply if we made that substitution throughout, including all the Hamiltonian terms.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">II.2 </span>The O(<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.1.m1.1b"><mi id="S2.SS2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.1.m1.1c"><ci id="S2.SS2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.1.m1.1d">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.1.m1.1e">italic_N</annotation></semantics></math>)-invariant many-body scars </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.4">Matrices <math alttext="A_{\alpha\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mrow id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">A_{\alpha\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{A}_{\alpha\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.1a"><msub id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">β</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2"><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.1c">\tilde{A}_{\alpha\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> do not depend on the site <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.3.m3.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.3.m3.1d">italic_j</annotation></semantics></math> thus summing over all sites we obtain an O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.4.m4.1.2.2"><mo id="S2.SS2.p1.4.m4.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p1.4.m4.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.4.m4.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.4.m4.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-symmetric operator</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx8"> <tbody id="S2.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}=\sum_{j}{\cal O}_{j}~{}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.m1.1"><semantics id="S2.E8.m1.1a"><mrow id="S2.E8.m1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><msub id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.m1.1b"><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1"><eq id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m1.1c">\displaystyle{\cal O}=\sum_{j}{\cal O}_{j}~{},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m1.1d">caligraphic_O = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.8">where the O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.5.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.5.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2"><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.5.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.5.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.5.m1.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.5.m1.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> group acts on the site label of <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.6.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.6.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p1.6.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m2.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.6.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m2.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.6.m2.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.6.m2.1d">italic_c</annotation></semantics></math> and <math alttext="c^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.7.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.7.m3.1a"><msup id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.7.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m3.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.7.m3.1c">c^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.7.m3.1d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.8.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p1.8.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.8.m4.1.2.2"><mo id="S2.SS2.p1.8.m4.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p1.8.m4.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.8.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.8.m4.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.8.m4.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-invariance can be thought of as independence on any relabelling of sites.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.7">Let <math alttext="\ket{0_{\phi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">\ket{0_{\phi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">| start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> be a state that is O(<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math>)-invariant, has no excitations of type <math alttext="{\cal O}^{\dagger}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m3.1a"><msubsup id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m3.1c">{\cal O}^{\dagger}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m3.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and is a zero-eigenvalue eigenvector of <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p2.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.4.m4.1c">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.4.m4.1d">caligraphic_O</annotation></semantics></math> thus satisfying <math alttext="\braket{0_{\phi}}{{\cal O}}{0_{\phi}}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.5.m5.3"><semantics id="S2.SS2.p2.5.m5.3a"><mrow id="S2.SS2.p2.5.m5.3.4" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.5" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.4.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.5.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.4.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.5.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.4.1.cmml">|</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.5.m5.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.5.3" lspace="0.170em" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.4.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.2.cmml">0</mn><mi id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.5.4" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.1" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.2" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.2.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.5.m5.3b"><apply id="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.4"><eq id="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.1"></eq><apply id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.5.1">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.2.2.2.2">𝒪</ci><apply id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.2">0</cn><ci id="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.3.3.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><cn id="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.5.m5.3.4.2">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.5.m5.3c">\braket{0_{\phi}}{{\cal O}}{0_{\phi}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.5.m5.3d">⟨ start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG caligraphic_O end_ARG | start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = 0</annotation></semantics></math>. Depending on the excitation type the states <math alttext="\ket{0_{\@slowromancap i@}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mrow id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2b.cmml"><mtext id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2b.cmml">\@slowromancap</mtext></merror><mo id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.4.cmml">@</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.6.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.2">0</cn><apply id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2b.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2"><mtext id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2a.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.2">\@slowromancap</mtext></merror></ci><ci id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.4">@</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.6.m6.1c">\ket{0_{\@slowromancap i@}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.6.m6.1d">| start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_i @ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="\ket{0_{\@slowromancap ii@}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.7.m7.1"><semantics id="S2.SS2.p2.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mrow id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2b.cmml"><mtext id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2b.cmml">\@slowromancap</mtext></merror><mo id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.4" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.4.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.1b" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.5.cmml">@</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.7.m7.1b"><apply id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.2">0</cn><apply id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2b.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2"><mtext id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2a.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.2">\@slowromancap</mtext></merror></ci><ci id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.4">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m7.1.1.1.1.3.5">@</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.7.m7.1c">\ket{0_{\@slowromancap ii@}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.7.m7.1d">| start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_i @ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> satisfy this requirement.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.1">Consider the wavefunctions</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p4"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx9"> <tbody id="S2.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ket{\phi_{n}}=\frac{(\sum_{i}{\cal O}^{\dagger}_{i})^{n}\ket{0_{% \phi}}}{P_{N}(n)},\quad 0\leq n\leq NK," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E9.m1.5"><semantics id="S2.E9.m1.5a"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.1.1a.3" xref="S2.E9.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E9.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E9.m1.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.4.4" xref="S2.E9.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S2.E9.m1.4.4a" xref="S2.E9.m1.4.4.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.3.3.2" xref="S2.E9.m1.3.3.2.cmml"><msup id="S2.E9.m1.3.3.2.2" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><msubsup id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E9.m1.3.3.2.2.3" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E9.m1.3.3.2.3" xref="S2.E9.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.2.2.1.1a.3" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E9.m1.2.2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.2.2.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.E9.m1.4.4.3" xref="S2.E9.m1.4.4.3.cmml"><msub id="S2.E9.m1.4.4.3.3" xref="S2.E9.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S2.E9.m1.4.4.3.3.2" xref="S2.E9.m1.4.4.3.3.2.cmml">P</mi><mi id="S2.E9.m1.4.4.3.3.3" xref="S2.E9.m1.4.4.3.3.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.4.4.3.2" xref="S2.E9.m1.4.4.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.4.4.3.4.2" xref="S2.E9.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S2.E9.m1.4.4.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E9.m1.4.4.3.1" xref="S2.E9.m1.4.4.3.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E9.m1.4.4.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">≤</mo><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml">n</mi><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.5" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.5.cmml">≤</mo><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml"><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.cmml">K</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9.m1.5b"><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E9.m1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E9.m1.4.4.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4"><divide id="S2.E9.m1.4.4.4.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4"></divide><apply id="S2.E9.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2"><times id="S2.E9.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.3"></times><apply id="S2.E9.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1"><apply id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2"></sum><ci id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S2.E9.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.2.2.1.1a.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.2.2.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E9.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.3"><times id="S2.E9.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.3.2"></times><apply id="S2.E9.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S2.E9.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.3.3.3">𝑁</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.3.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2"><and id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2a.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2"></and><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2b.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2"><leq id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.3"></leq><cn id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2">0</cn><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.4">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2c.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2"><leq id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.5.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2d.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2"></share><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6"><times id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.1"></times><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2">𝑁</ci><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.m1.5c">\displaystyle\ket{\phi_{n}}=\frac{(\sum_{i}{\cal O}^{\dagger}_{i})^{n}\ket{0_{% \phi}}}{P_{N}(n)},\quad 0\leq n\leq NK,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.m1.5d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = divide start_ARG ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) end_ARG , 0 ≤ italic_n ≤ italic_N italic_K ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p4.1">where <math alttext="P_{N}(n)=\sqrt{\frac{(NK)!n!}{(NK-n)!}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.1.m1.3"><semantics id="S2.SS2.p4.1.m1.3a"><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.cmml"><msub id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.3" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.3.3" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><msqrt id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">!</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">!</mo></mrow></mfrac></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.1.m1.3b"><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4"><eq id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2"><times id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.4.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2"><root id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2a.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2"></root><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2"><divide id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2"></divide><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1"><factorial id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"></factorial><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3"><factorial id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"></factorial><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2"><factorial id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.2"></factorial><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.1.m1.3c">P_{N}(n)=\sqrt{\frac{(NK)!n!}{(NK-n)!}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.1.m1.3d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = square-root start_ARG divide start_ARG ( italic_N italic_K ) ! italic_n ! end_ARG start_ARG ( italic_N italic_K - italic_n ) ! end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p5.9">The wavefunctions <math alttext="\ket{\phi_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p5.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.1.m1.1c">\ket{\phi_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.1.m1.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> by construction have symmetry O(<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p5.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math>) as a result of O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p5.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p5.3.m3.1.2.2"><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS2.p5.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.3.m3.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.3.m3.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-symmetric operator acting on an O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p5.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p5.4.m4.1.2.2"><mo id="S2.SS2.p5.4.m4.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS2.p5.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p5.4.m4.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.4.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.4.m4.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.4.m4.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-symmetric state <math alttext="\ket{0_{\phi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.5.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p5.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.5.m5.1b"><apply id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.5.m5.1c">\ket{0_{\phi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.5.m5.1d">| start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>. The full symmetry <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.6.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p5.6.m6.1a"><mi id="S2.SS2.p5.6.m6.1.1" xref="S2.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.6.m6.1b"><ci id="S2.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.6.m6.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.6.m6.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.6.m6.1d">italic_G</annotation></semantics></math> of these states, depending on a particular <math alttext="{\cal O}^{\dagger}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.7.m7.1"><semantics id="S2.SS2.p5.7.m7.1a"><msubsup id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.7.m7.1b"><apply id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.7.m7.1c">{\cal O}^{\dagger}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.7.m7.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and particular Hilbert space may be higher and would then contain O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.8.m8.1"><semantics id="S2.SS2.p5.8.m8.1a"><mrow id="S2.SS2.p5.8.m8.1.2.2"><mo id="S2.SS2.p5.8.m8.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS2.p5.8.m8.1.1" xref="S2.SS2.p5.8.m8.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p5.8.m8.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.8.m8.1b"><ci id="S2.SS2.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.8.m8.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.8.m8.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.8.m8.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> as a sub-group. Because the operator (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E4" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.4</span></a>) conserves particle number any type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p5.9.1">\@slowromancap</span>ii@ states will always be at half-filling just as the <math alttext="\ket{0_{\@slowromancap ii@}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.9.m9.1"><semantics id="S2.SS2.p5.9.m9.1a"><mrow id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mrow id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2b.cmml"><mtext id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2b.cmml">\@slowromancap</mtext></merror><mo id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.4" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.4.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.1b" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.5.cmml">@</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.9.m9.1b"><apply id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2">0</cn><apply id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2b.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2"><mtext id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2a.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.2">\@slowromancap</mtext></merror></ci><ci id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.4">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S2.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.5">@</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.9.m9.1c">\ket{0_{\@slowromancap ii@}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.9.m9.1d">| start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_i @ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p6.4">The wavefunctions (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) are constructed by explicitly building in <math alttext="{\cal O}^{\dagger}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p6.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p6.1.m1.1a"><msubsup id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p6.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p6.1.m1.1c">{\cal O}^{\dagger}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p6.1.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> correlations. Therefore the subspace spanned by them can be expected to have high expectation values <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p6.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p6.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p6.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.2.m2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p6.2.m2.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p6.2.m2.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>, <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p6.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p6.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p6.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.3.m3.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p6.3.m3.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p6.3.m3.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and also high ”susceptibility” to the term <math alttext="{\cal O}^{\dagger}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p6.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p6.4.m4.1a"><msubsup id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p6.4.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p6.4.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p6.4.m4.1c">{\cal O}^{\dagger}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p6.4.m4.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> added to the Hamiltonian.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p7.1">Because the subspace (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) is O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p7.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p7.1.m1.1.2.2"><mo id="S2.SS2.p7.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS2.p7.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p7.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.1.m1.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.1.m1.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-invariant any state from that subspace is a group-invariant many-body scar <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> for any Hamiltonian of the form</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx10"> <tbody id="S2.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H=H_{0}+OT," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E10.m1.1"><semantics id="S2.E10.m1.1a"><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">O</mi><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E10.m1.1b"><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1"><eq id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><cn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑂</ci><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E10.m1.1c">\displaystyle H=H_{0}+OT,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E10.m1.1d">italic_H = italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p7.16">where <math alttext="O" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.2.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p7.2.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p7.2.m1.1.1" xref="S2.SS2.p7.2.m1.1.1.cmml">O</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.2.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p7.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m1.1.1">𝑂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.2.m1.1c">O</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.2.m1.1d">italic_O</annotation></semantics></math> is an arbitrary operator, <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.3.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p7.3.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p7.3.m2.1.1" xref="S2.SS2.p7.3.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.3.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p7.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.3.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.3.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.3.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math> is a generator of <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.4.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p7.4.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p7.4.m3.1.1" xref="S2.SS2.p7.4.m3.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.4.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p7.4.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.4.m3.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.4.m3.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.4.m3.1d">italic_G</annotation></semantics></math>. <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.5.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p7.5.m4.1a"><msub id="S2.SS2.p7.5.m4.1.1" xref="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.5.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p7.5.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.5.m4.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.5.m4.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has to satisfy <math alttext="[H_{0},C^{2}_{G}]=W_{c}\cdot C^{2}_{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.6.m5.2"><semantics id="S2.SS2.p7.6.m5.2a"><mrow id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">G</mi><mn id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.3" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.cmml"><msub id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.2" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.2.cmml">W</mi><mi id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.3" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.1.cmml">⋅</mo><msubsup id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.2" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.3" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.3.cmml">G</mi><mn id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.3" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.6.m5.2b"><apply id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2"><eq id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.3"></eq><interval closure="closed" id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p7.6.m5.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.2.2.2.3">𝐺</ci></apply></interval><apply id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4"><ci id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.1">⋅</ci><apply id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.2">𝐶</ci><cn id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.6.m5.2.2.4.3.3">𝐺</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.6.m5.2c">[H_{0},C^{2}_{G}]=W_{c}\cdot C^{2}_{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.6.m5.2d">[ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT ] = italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="W_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.7.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p7.7.m6.1a"><msub id="S2.SS2.p7.7.m6.1.1" xref="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.7.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.7.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.7.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.7.m6.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.7.m6.1c">W_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.7.m6.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is some operator and <math alttext="C^{2}_{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.8.m7.1"><semantics id="S2.SS2.p7.8.m7.1a"><msubsup id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.3.cmml">G</mi><mn id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.8.m7.1b"><apply id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.8.m7.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.8.m7.1c">C^{2}_{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.8.m7.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the quadratic Casimir of the group <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.9.m8.1"><semantics id="S2.SS2.p7.9.m8.1a"><mi id="S2.SS2.p7.9.m8.1.1" xref="S2.SS2.p7.9.m8.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.9.m8.1b"><ci id="S2.SS2.p7.9.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.9.m8.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.9.m8.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.9.m8.1d">italic_G</annotation></semantics></math>. In particular, this condition is satisfied by an <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.10.m9.1"><semantics id="S2.SS2.p7.10.m9.1a"><msub id="S2.SS2.p7.10.m9.1.1" xref="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.10.m9.1b"><apply id="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.10.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.10.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p7.10.m9.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.10.m9.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.10.m9.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> that is <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.11.m10.1"><semantics id="S2.SS2.p7.11.m10.1a"><mi id="S2.SS2.p7.11.m10.1.1" xref="S2.SS2.p7.11.m10.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.11.m10.1b"><ci id="S2.SS2.p7.11.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.11.m10.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.11.m10.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.11.m10.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-invariant. <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.12.m11.1"><semantics id="S2.SS2.p7.12.m11.1a"><mi id="S2.SS2.p7.12.m11.1.1" xref="S2.SS2.p7.12.m11.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.12.m11.1b"><ci id="S2.SS2.p7.12.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.12.m11.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.12.m11.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.12.m11.1d">italic_G</annotation></semantics></math> is a continuous group that is O(<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.13.m12.1"><semantics id="S2.SS2.p7.13.m12.1a"><mi id="S2.SS2.p7.13.m12.1.1" xref="S2.SS2.p7.13.m12.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.13.m12.1b"><ci id="S2.SS2.p7.13.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.13.m12.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.13.m12.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.13.m12.1d">italic_N</annotation></semantics></math>) or that contains O(<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.14.m13.1"><semantics id="S2.SS2.p7.14.m13.1a"><mi id="S2.SS2.p7.14.m13.1.1" xref="S2.SS2.p7.14.m13.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.14.m13.1b"><ci id="S2.SS2.p7.14.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.14.m13.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.14.m13.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.14.m13.1d">italic_N</annotation></semantics></math>) as a sub-group. Various Hamiltonian terms that can be used as <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.15.m14.1"><semantics id="S2.SS2.p7.15.m14.1a"><msub id="S2.SS2.p7.15.m14.1.1" xref="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.15.m14.1b"><apply id="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.15.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.15.m14.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p7.15.m14.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.15.m14.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.15.m14.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> or <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.16.m15.1"><semantics id="S2.SS2.p7.16.m15.1a"><mi id="S2.SS2.p7.16.m15.1.1" xref="S2.SS2.p7.16.m15.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.16.m15.1b"><ci id="S2.SS2.p7.16.m15.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.16.m15.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.16.m15.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.16.m15.1d">italic_T</annotation></semantics></math> for single-band fermionic Hilbert space have been discussed in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> and the ones suitable for multi-flavour fermions in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib64" title="">64</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p8.3">Note that any <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p8.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p8.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p8.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p8.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p8.1.m1.1.1"><times id="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p8.1.m1.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p8.1.m1.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p8.1.m1.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> term annihilates any state in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) exactly and the spectrum within that <math alttext="NK+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p8.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p8.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p8.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1"><plus id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2"><times id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><cn id="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p8.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p8.2.m2.1c">NK+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p8.2.m2.1d">italic_N italic_K + 1</annotation></semantics></math>-dimensional subspace is determined solely by <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p8.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p8.3.m3.1a"><msub id="S2.SS2.p8.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p8.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p8.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p8.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p8.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p8.3.m3.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p8.3.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p9"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p9.6">In the Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A2" title="Appendix B On the SU(2) generators forming the ”basis” for eligible 𝐻₀ terms ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B</span></a> we argue that almost any admissible bilinear <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p9.1.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> term is a linear combination of the three SU(2) generators <math alttext="[{\cal O}_{j},{\cal O}^{\dagger}_{j}];{\cal O}_{j};{\cal O}^{\dagger}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.2.m2.3"><semantics id="S2.SS2.p9.2.m2.3a"><mrow id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">[</mo><msub id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.4" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.4" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.4.cmml">;</mo><msub id="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.5" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.4.cmml">;</mo><msubsup id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.3" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.2.m2.3b"><list id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3"><interval closure="closed" id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2"><apply id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval><apply id="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.3.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.2.m2.3c">[{\cal O}_{j},{\cal O}^{\dagger}_{j}];{\cal O}_{j};{\cal O}^{\dagger}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.2.m2.3d">[ caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] ; caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ; caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The only restriction is that for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p9.6.1">\@slowromancap</span>i@ all the chemical potentials terms <math alttext="\mu n_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p9.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.3.cmml">α</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1"><times id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.3.m3.1c">\mu n_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.3.m3.1d">italic_μ italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> must have flavour-independent strength <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p9.4.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.4.m4.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.4.m4.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>. Similarly, for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p9.6.2">\@slowromancap</span>ii@ we have to require that all the couplings <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.5.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p9.5.m5.1a"><mi id="S2.SS2.p9.5.m5.1.1" xref="S2.SS2.p9.5.m5.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.5.m5.1b"><ci id="S2.SS2.p9.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.5.m5.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.5.m5.1d">italic_B</annotation></semantics></math> in the terms of the form <math alttext="B(n_{\alpha\uparrow}-n_{\alpha\downarrow})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.6.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p9.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mrow id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"></mi></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.6.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1"><times id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.3">𝐵</ci><apply id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1"><minus id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.1">↑</ci><ci id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.2">𝛼</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.1">↓</ci><ci id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.6.m6.1c">B(n_{\alpha\uparrow}-n_{\alpha\downarrow})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.6.m6.1d">italic_B ( italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_α ↑ end_POSTSUBSCRIPT - italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_α ↓ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are also flavour-independent.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p10"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p10.1">This motivates us to consider <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p10.1.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> parametrised as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx11"> <tbody id="S2.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{0}=-\sum_{j}\mu[{\cal O}_{j},{\cal O}^{\dagger}_{j}]+\delta H% _{0}+C~{}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E11.m2.1"><semantics id="S2.E11.m2.1a"><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.1" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E11.m2.1.1.1.1.4" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">H</mi><mn id="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2a" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><munder id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3a" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.1" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">H</mi><mn id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.5" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.5.cmml">C</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.2" lspace="0.330em" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E11.m2.1b"><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1"><eq id="S2.E11.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.2">𝐻</ci><cn id="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.3">0</cn></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2"><plus id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2"><minus id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2"></minus><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2"></sum><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></times><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝜇</ci><interval closure="closed" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></apply></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4"><times id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.1"></times><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.2">𝛿</ci><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.2">𝐻</ci><cn id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.4.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.5">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E11.m2.1c">\displaystyle H_{0}=-\sum_{j}\mu[{\cal O}_{j},{\cal O}^{\dagger}_{j}]+\delta H% _{0}+C~{},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E11.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_μ [ caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] + italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_C ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.11)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta H_{0}=-\gamma e^{-i\theta}{\cal O}_{j}-\gamma e^{i\theta}{% \cal O}^{\dagger}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E12.m1.1"><semantics id="S2.E12.m1.1a"><mrow id="S2.E12.m1.1.1" xref="S2.E12.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.2.2" xref="S2.E12.m1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.E12.m1.1.1.2.1" xref="S2.E12.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E12.m1.1.1.2.3" xref="S2.E12.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.E12.m1.1.1.2.3.2.cmml">H</mi><mn id="S2.E12.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.E12.m1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.E12.m1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E12.m1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.1.1.3.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.2a" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3a" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.1" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.1a" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.1" xref="S2.E12.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E12.m1.1.1.3.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.3.1a" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.2" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E12.m1.1b"><apply id="S2.E12.m1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1"><eq id="S2.E12.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E12.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.2"><times id="S2.E12.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E12.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.2.2">𝛿</ci><apply id="S2.E12.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.2.3.2">𝐻</ci><cn id="S2.E12.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3"><minus id="S2.E12.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.1"></minus><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2"><minus id="S2.E12.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2"></minus><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2"><times id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3"><minus id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3"></minus><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2"><times id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.1"></times><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.2">𝒪</ci><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.2.2.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3"><times id="S2.E12.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.2">𝛾</ci><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3"><times id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.3.3.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E12.m1.1c">\displaystyle\delta H_{0}=-\gamma e^{-i\theta}{\cal O}_{j}-\gamma e^{i\theta}{% \cal O}^{\dagger}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E12.m1.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p10.6">where <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.2.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p10.2.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p10.2.m1.1.1" xref="S2.SS2.p10.2.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.2.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p10.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.2.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.2.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.2.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mu,\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.3.m2.2"><semantics id="S2.SS2.p10.3.m2.2a"><mrow id="S2.SS2.p10.3.m2.2.3.2" xref="S2.SS2.p10.3.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p10.3.m2.1.1" xref="S2.SS2.p10.3.m2.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS2.p10.3.m2.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p10.3.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p10.3.m2.2.2" xref="S2.SS2.p10.3.m2.2.2.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.3.m2.2b"><list id="S2.SS2.p10.3.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.3.m2.2.3.2"><ci id="S2.SS2.p10.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.3.m2.1.1">𝜇</ci><ci id="S2.SS2.p10.3.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p10.3.m2.2.2">𝛾</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.3.m2.2c">\mu,\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.3.m2.2d">italic_μ , italic_γ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.4.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p10.4.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p10.4.m3.1.1" xref="S2.SS2.p10.4.m3.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.4.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p10.4.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.4.m3.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.4.m3.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.4.m3.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> are real numbers. For type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p10.6.1">\@slowromancap</span>i@ <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.5.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p10.5.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p10.5.m4.1.1" xref="S2.SS2.p10.5.m4.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.5.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p10.5.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.5.m4.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.5.m4.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.5.m4.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> plays the role of the chemical potential while for type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p10.6.2">\@slowromancap</span>ii@ of the <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.6.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p10.6.m5.1a"><mi id="S2.SS2.p10.6.m5.1.1" xref="S2.SS2.p10.6.m5.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.6.m5.1b"><ci id="S2.SS2.p10.6.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.6.m5.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.6.m5.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.6.m5.1d">italic_z</annotation></semantics></math> magnetic field.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p11"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p11.5">Within the scar subspace spanned by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) the Hamiltonian <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p11.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p11.1.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p11.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p11.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p11.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p11.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p11.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the full Hamiltonian <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p11.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p11.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p11.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p11.2.m2.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p11.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.2.m2.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p11.2.m2.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p11.2.m2.1d">italic_H</annotation></semantics></math> are given by a <math alttext="(NK+1)\times(NK+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p11.3.m3.2"><semantics id="S2.SS2.p11.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.3" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.3.cmml">×</mo><mrow id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p11.3.m3.2b"><apply id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2"><times id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.3"></times><apply id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><cn id="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p11.3.m3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1"><plus id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2"><times id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><cn id="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p11.3.m3.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p11.3.m3.2c">(NK+1)\times(NK+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p11.3.m3.2d">( italic_N italic_K + 1 ) × ( italic_N italic_K + 1 )</annotation></semantics></math> tri-diagonal matrix with diagonal matrix elements determined by <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p11.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p11.4.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p11.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p11.4.m4.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p11.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p11.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.4.m4.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p11.4.m4.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p11.4.m4.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> and the off-diagonal ones given by <math alttext="H_{n,n+1}=\gamma e^{i\theta}\frac{P_{N}(n)}{P_{N}(n-1)}=\gamma e^{i\theta}% \sqrt{(NK-n+1)n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p11.5.m5.5"><semantics id="S2.SS2.p11.5.m5.5a"><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.cmml"><msub id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.1a" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.cmml"><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.4.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.cmml"><msub id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.5" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.1a" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.cmml"><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.2" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.3" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.3.cmml">n</mi></mrow></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p11.5.m5.5b"><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6"><and id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6a.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6"></and><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6b.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6"><eq id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.3"></eq><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.2.2">𝐻</ci><list id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2"><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.1.1.1.1">𝑛</ci><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1"><plus id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p11.5.m5.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply></list></apply><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4"><times id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.1"></times><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.2">𝛾</ci><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3"><times id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4"><divide id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4"></divide><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1"><times id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.3.3">𝑁</ci></apply><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2"><times id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.2"></times><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.3.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1"><minus id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p11.5.m5.4.4.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6c.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6"><eq id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.5.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS2.p11.5.m5.5.6.4.cmml" id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6d.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6"></share><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6"><times id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.1"></times><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.2">𝛾</ci><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3"><times id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.6.6.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5"><root id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5a.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5"></root><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1"><times id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2"><minus id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2"><times id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.3">𝐾</ci></apply><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p11.5.m5.5.5.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p11.5.m5.5c">H_{n,n+1}=\gamma e^{i\theta}\frac{P_{N}(n)}{P_{N}(n-1)}=\gamma e^{i\theta}% \sqrt{(NK-n+1)n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p11.5.m5.5d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) end_ARG start_ARG italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n - 1 ) end_ARG = italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT square-root start_ARG ( italic_N italic_K - italic_n + 1 ) italic_n end_ARG</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p12"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p12.4">For any type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p12.4.1">\@slowromancap</span>i@ <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p12.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p12.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p12.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p12.1.m1.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p12.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p12.1.m1.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p12.1.m1.1c">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p12.1.m1.1d">caligraphic_O</annotation></semantics></math> the Hamiltonian <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p12.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p12.2.m2.1a"><msub id="S2.SS2.p12.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p12.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p12.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p12.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p12.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p12.2.m2.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p12.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E11" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.11</span></a>) coincides with the BCS mean-field Hamiltonian written down in real space. Further, the interactions such as Hubbard are typically <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> in the <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p12.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p12.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p12.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p12.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p12.3.m3.1.1"><times id="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p12.3.m3.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p12.3.m3.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p12.3.m3.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> part of the Hamiltonian. Therefore the mean field Hamiltonian <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p12.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p12.4.m4.1a"><msub id="S2.SS2.p12.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p12.4.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p12.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p12.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p12.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p12.4.m4.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p12.4.m4.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> typically thought of as an approximation to an interacting problem is actually the exact Hamiltonian of strongly-interacting electrons within the scar subspace!</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p13"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p13.1">We now proceed to solve <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p13.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p13.1.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p13.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p13.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p13.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p13.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p13.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p13.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p13.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> which fully determines the dynamics within the scar subspace as long as the full Hamiltonian is of the form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E10" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.10</span></a>).</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">II.3 </span>Solution for <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.1.m1.1b"><msub id="S2.SS3.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS3.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.m1.1c"><apply id="S2.SS3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.m1.1d">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.m1.1e">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.5">Summing the local SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2"><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.1.m1.1b"><cn id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.1.m1.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.1.m1.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> generators (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E7" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.7</span></a>) over all sites <math alttext="J_{a}\equiv\sum_{j}J_{a}^{(j)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.1" rspace="0.111em" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.1.cmml">≡</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.3.cmml">j</mi></msub><msubsup id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.3.cmml">a</mi><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2"><equivalent id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.1"></equivalent><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3"><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.2"></sum><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.2.m2.1c">J_{a}\equiv\sum_{j}J_{a}^{(j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.2.m2.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ≡ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we obtain a global SU<math alttext="(2)_{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.3.m3.1a"><msub id="S2.SS3.p1.3.m3.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.3.cmml">A</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.2">subscript</csymbol><cn id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1">2</cn><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.2.3">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.3.m3.1c">(2)_{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.3.m3.1d">( 2 ) start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (subscript indicates the matrix that induces the group) algebra acting on the full Hilbert space. Because of this action, the Hilbert space decomposes into irreducible representations of SU<math alttext="(2)_{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p1.4.m4.1a"><msub id="S2.SS3.p1.4.m4.1.2" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.3.cmml">A</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.2">subscript</csymbol><cn id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1">2</cn><ci id="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.2.3">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.4.m4.1c">(2)_{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.4.m4.1d">( 2 ) start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The largest representation in this decomposition has dimension <math alttext="NK+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1"><plus id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2"><times id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><cn id="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.5.m5.1c">NK+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.5.m5.1d">italic_N italic_K + 1</annotation></semantics></math> and the corresponding lowest weight state is simply the type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p1.5.1">\@slowromancap</span>i@ or type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p1.5.2">\@slowromancap</span>ii@ vacuum.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p2.1">Observing that the coefficients in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E11" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.11</span></a>) are site-independent and using the identification (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E7" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.7</span></a>) and the commutation relations (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E2" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.2</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E5" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.5</span></a>), we can rewrite <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p2.1.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx12"> <tbody id="S2.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{0}=C+2\sqrt{\gamma^{2}+\mu^{2}}\left(-\frac{e^{-i\theta}J_{+}% +e^{i\theta}J_{-}}{2\cosh\tau}+\tanh\tau J_{3}\right)~{}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E13.m2.1"><semantics id="S2.E13.m2.1a"><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E13.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msup id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.1" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">μ</mi><mn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" 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id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">−</mo></msub></mrow></mrow><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" 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mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">tanh</mi><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">J</mi><mn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.300em" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E13.m2.1b"><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1"><eq id="S2.E13.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.2"></plus><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4"><root id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4"></root><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2"><plus id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></plus><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" 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id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><minus id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"></minus><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2"><times id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝐽</ci><plus id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3"></plus></apply></apply><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3"><times id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" 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xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></tanh><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜏</ci><apply id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝐽</ci><cn id="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E13.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E13.m2.1c">\displaystyle H_{0}=C+2\sqrt{\gamma^{2}+\mu^{2}}\left(-\frac{e^{-i\theta}J_{+}% +e^{i\theta}J_{-}}{2\cosh\tau}+\tanh\tau J_{3}\right)~{},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E13.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_C + 2 square-root start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( - divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 roman_cosh italic_τ end_ARG + roman_tanh italic_τ italic_J start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p2.4">where <math alttext="\sinh\tau\equiv-\frac{\mu}{\gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.2.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p2.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.1.cmml">sinh</mi><mo id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.1.cmml">≡</mo><mrow id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3a" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mfrac id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.3.cmml">γ</mi></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.2.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1"><equivalent id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.1"></equivalent><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2"><sinh id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.1"></sinh><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3"><minus id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3"></minus><apply id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2"><divide id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2"></divide><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m1.1.1.3.2.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.2.m1.1c">\sinh\tau\equiv-\frac{\mu}{\gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.2.m1.1d">roman_sinh italic_τ ≡ - divide start_ARG italic_μ end_ARG start_ARG italic_γ end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="C=\mu KN" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.3.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p2.3.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.3.cmml">K</mi><mo id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.1a" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.4" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.4.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.3.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1"><eq id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3"><times id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.3">𝐾</ci><ci id="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m2.1.1.3.4">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.3.m2.1c">C=\mu KN</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.3.m2.1d">italic_C = italic_μ italic_K italic_N</annotation></semantics></math> for type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p2.4.1">\@slowromancap</span>i@ or <math alttext="C=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.4.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p2.4.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.4.m3.1.1" xref="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.4.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m3.1.1"><eq id="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p2.4.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.4.m3.1c">C=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.4.m3.1d">italic_C = 0</annotation></semantics></math> for type <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p2.4.2">\@slowromancap</span>ii@.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.12">We now recall some basic results from the representation theory of an SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.1.m1.1.2.2"><mo id="S2.SS3.p3.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p3.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.1.m1.1b"><cn id="S2.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.1.m1.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.1.m1.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.1.m1.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> group with generators <math alttext="J_{1},J_{2},J_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.2.m2.3"><semantics id="S2.SS3.p3.2.m2.3a"><mrow id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.4.cmml"><msub id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.4" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.5" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.2.m2.3b"><list id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3"><apply id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.2.m2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.2.m2.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.2.m2.3c">J_{1},J_{2},J_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.2.m2.3d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_J start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_J start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Consider a dimension <math alttext="2h+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p3.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mn id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1"><plus id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2"><times id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.1"></times><cn id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><cn id="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.3.m3.1c">2h+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.3.m3.1d">2 italic_h + 1</annotation></semantics></math> irreducible representation of SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p3.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.4.m4.1.2.2"><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p3.4.m4.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.4.m4.1b"><cn id="S2.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.4.m4.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.4.m4.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.4.m4.1d">( 2 )</annotation></semantics></math>. A basis that diagonalizes <math alttext="J_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p3.5.m5.1a"><msub id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.5.m5.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.5.m5.1c">J_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.5.m5.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="|n\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.6.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p3.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.2" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.6.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.6.m6.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.6.m6.1c">|n\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.6.m6.1d">| italic_n ⟩</annotation></semantics></math>, i.e. <math alttext="J_{3}|n\rangle=n|n\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.7.m7.2"><semantics id="S2.SS3.p3.7.m7.2a"><mrow id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.3" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.1" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.2" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS3.p3.7.m7.1.1" xref="S2.SS3.p3.7.m7.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.1" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.1" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS3.p3.7.m7.2.2" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.7.m7.2b"><apply id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3"><eq id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.1"></eq><apply id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2"><times id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.2.3">3</cn></apply><apply id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3"><times id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.3.3.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.7.m7.2.2">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.7.m7.2c">J_{3}|n\rangle=n|n\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.7.m7.2d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT | italic_n ⟩ = italic_n | italic_n ⟩</annotation></semantics></math>, where <math alttext="n=-h,-h+1,\cdots,h-1,h" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.8.m8.5"><semantics id="S2.SS3.p3.8.m8.5a"><mrow id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.5" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.5.cmml">n</mi><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.4" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1a" xref="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1.2.cmml">h</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.4" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2a" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2.2.cmml">h</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.1" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.5" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p3.8.m8.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p3.8.m8.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.6" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.2.cmml">h</mi><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.1" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.7" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p3.8.m8.2.2" xref="S2.SS3.p3.8.m8.2.2.cmml">h</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.8.m8.5b"><apply id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5"><eq id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.4.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.4"></eq><ci id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.5.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.5">𝑛</ci><list id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3"><apply id="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1"><minus id="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.3.3.1.1.1.2">ℎ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2"><plus id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.1"></plus><apply id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2"><minus id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2"></minus><ci id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.2.2">ℎ</ci></apply><cn id="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.8.m8.4.4.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS3.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.1.1">⋯</ci><apply id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3"><minus id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.1"></minus><ci id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.2">ℎ</ci><cn id="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.8.m8.5.5.3.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS3.p3.8.m8.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.8.m8.2.2">ℎ</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.8.m8.5c">n=-h,-h+1,\cdots,h-1,h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.8.m8.5d">italic_n = - italic_h , - italic_h + 1 , ⋯ , italic_h - 1 , italic_h</annotation></semantics></math>. In terms of this basis, the largest eigenvalue of <math alttext="J_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.9.m9.1"><semantics id="S2.SS3.p3.9.m9.1a"><msub id="S2.SS3.p3.9.m9.1.1" xref="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.9.m9.1b"><apply id="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.9.m9.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.9.m9.1c">J_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.9.m9.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> corresponds to the coherent state <math alttext="e^{J_{-}}|h\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.10.m10.1"><semantics id="S2.SS3.p3.10.m10.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.cmml"><msup id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml">e</mi><msub id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.3" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.3.cmml">−</mo></msub></msup><mo id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.1" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS3.p3.10.m10.1.1" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.1.cmml">h</mi><mo id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.10.m10.1b"><apply id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2"><times id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.2">𝐽</ci><minus id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.2.3.3"></minus></apply></apply><apply id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.10.m10.1.1">ℎ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.10.m10.1c">e^{J_{-}}|h\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.10.m10.1d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT | italic_h ⟩</annotation></semantics></math>, where <math alttext="J_{\pm}=J_{1}\pm iJ_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.11.m11.1"><semantics id="S2.SS3.p3.11.m11.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.2.cmml">J</mi><mo id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.3.cmml">±</mo></msub><mo id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.1.cmml">±</mo><mrow id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.1" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.11.m11.1b"><apply id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1"><eq id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.2">𝐽</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.2.3">plus-or-minus</csymbol></apply><apply id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.1">plus-or-minus</csymbol><apply id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3"><times id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.2">𝑖</ci><apply id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.11.m11.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.11.m11.1c">J_{\pm}=J_{1}\pm iJ_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.11.m11.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT ± end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ± italic_i italic_J start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. More generally, for any <math alttext="z\equiv e^{\tau+i\theta}\in\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.12.m12.1"><semantics id="S2.SS3.p3.12.m12.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.3.cmml">≡</mo><msup id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.2" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.2" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.1" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.1" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.5" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.5.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.6.cmml">ℂ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.12.m12.1b"><apply id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1"><and id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1a.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1"></and><apply id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1b.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1"><equivalent id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.3"></equivalent><ci id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3"><plus id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3"><times id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1c.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1"><in id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.5.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS3.p3.12.m12.1.1.4.cmml" id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1d.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1"></share><ci id="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.6.cmml" xref="S2.SS3.p3.12.m12.1.1.6">ℂ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.12.m12.1c">z\equiv e^{\tau+i\theta}\in\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.12.m12.1d">italic_z ≡ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_τ + italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ roman_ℂ</annotation></semantics></math>, define (unnormalized) coherent states</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx13"> <tbody id="S2.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|z)\equiv e^{zJ_{-}}|h\rangle," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E14.m1.1"><semantics id="S2.E14.m1.1a"><mrow id="S2.E14.m1.1b"><mrow id="S2.E14.m1.1.1"><mo fence="false" id="S2.E14.m1.1.1.1" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.E14.m1.1.1.2">z</mi><mo id="S2.E14.m1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E14.m1.1.2">≡</mo><msup id="S2.E14.m1.1.3"><mi id="S2.E14.m1.1.3.2">e</mi><mrow id="S2.E14.m1.1.3.3"><mi id="S2.E14.m1.1.3.3.2">z</mi><mo id="S2.E14.m1.1.3.3.1">⁢</mo><msub id="S2.E14.m1.1.3.3.3"><mi id="S2.E14.m1.1.3.3.3.2">J</mi><mo id="S2.E14.m1.1.3.3.3.3">−</mo></msub></mrow></msup><mo fence="false" id="S2.E14.m1.1.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.E14.m1.1.5">h</mi><mo id="S2.E14.m1.1.6" stretchy="false">⟩</mo><mo id="S2.E14.m1.1.7">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E14.m1.1c">\displaystyle|z)\equiv e^{zJ_{-}}|h\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E14.m1.1d">| italic_z ) ≡ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_z italic_J start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT | italic_h ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.23">satisfying the inner product</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx14"> <tbody id="S2.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad(\bar{w}|z)=(1+\bar{w}z)^{2h},\quad\bar{w}\equiv w^{*}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E15.m1.1"><semantics id="S2.E15.m1.1a"><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1"><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo fence="false" id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><msup id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">z</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">h</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">≡</mo><msup id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E15.m1.1b"><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><plus id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></plus><cn id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><times id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑧</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2"><equivalent id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.1"></equivalent><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑤</ci><times id="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E15.m1.1c">\displaystyle\quad(\bar{w}|z)=(1+\bar{w}z)^{2h},\quad\bar{w}\equiv w^{*}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E15.m1.1d">( over¯ start_ARG italic_w end_ARG | italic_z ) = ( 1 + over¯ start_ARG italic_w end_ARG italic_z ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_h end_POSTSUPERSCRIPT , over¯ start_ARG italic_w end_ARG ≡ italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.13">The action of the SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.13.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p3.13.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.13.m1.1.2.2"><mo id="S2.SS3.p3.13.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS3.p3.13.m1.1.1" xref="S2.SS3.p3.13.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p3.13.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.13.m1.1b"><cn id="S2.SS3.p3.13.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.13.m1.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.13.m1.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.13.m1.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> algebra on these coherent states is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx15"> <tbody id="S2.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle J_{+}|z)=" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.Ex1.m1.1"><semantics id="S2.Ex1.m1.1a"><mrow id="S2.Ex1.m1.1b"><msub id="S2.Ex1.m1.1.1"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.2">J</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.3">+</mo></msub><mo fence="false" id="S2.Ex1.m1.1.2" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.3">z</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.4" stretchy="false">)</mo><mo id="S2.Ex1.m1.1.5">=</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.1c">\displaystyle J_{+}|z)=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT | italic_z ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(2hz-z^{2}\partial_{z})|z),\quad J_{-}|z)=\partial_{z}|z)," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.Ex1.m2.1"><semantics id="S2.Ex1.m2.1a"><mrow id="S2.Ex1.m2.1b"><mrow id="S2.Ex1.m2.1.1"><mrow id="S2.Ex1.m2.1.1.1"><mrow id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1"><mo id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.2">2</mn><mi id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.3">h</mi><mi id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.4">z</mi><mo id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.5">−</mo><msup id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.6"><mi id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.6.2">z</mi><mn id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.6.3">2</mn></msup><msub id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.7"><mo id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.7.2" lspace="0em" rspace="0em">∂</mo><mi id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.7.3">z</mi></msub><mo id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1.8" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S2.Ex1.m2.1.1.1.2" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.Ex1.m2.1.1.1.3">z</mi><mo id="S2.Ex1.m2.1.1.1.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m2.1.1.2" rspace="1.167em">,</mo><msub id="S2.Ex1.m2.1.1.3"><mi id="S2.Ex1.m2.1.1.3.2">J</mi><mo id="S2.Ex1.m2.1.1.3.3">−</mo></msub><mo fence="false" id="S2.Ex1.m2.1.1.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.Ex1.m2.1.1.5">z</mi><mo id="S2.Ex1.m2.1.1.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m2.1.2" rspace="0.1389em">=</mo><msub id="S2.Ex1.m2.1.3"><mo id="S2.Ex1.m2.1.3.2" lspace="0.1389em" rspace="0em">∂</mo><mi id="S2.Ex1.m2.1.3.3">z</mi></msub><mo fence="false" id="S2.Ex1.m2.1.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.Ex1.m2.1.5">z</mi><mo id="S2.Ex1.m2.1.6" stretchy="false">)</mo><mo id="S2.Ex1.m2.1.7">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m2.1c">\displaystyle(2hz-z^{2}\partial_{z})|z),\quad J_{-}|z)=\partial_{z}|z),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m2.1d">( 2 italic_h italic_z - italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ) | italic_z ) , italic_J start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT | italic_z ) = ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT | italic_z ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle J_{3}|z)=(h-z\partial_{z})|z)~{}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E16.m1.1"><semantics id="S2.E16.m1.1a"><mrow id="S2.E16.m1.1b"><mrow id="S2.E16.m1.1.1"><msub id="S2.E16.m1.1.1.1"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.2">J</mi><mn id="S2.E16.m1.1.1.1.3">3</mn></msub><mo fence="false" id="S2.E16.m1.1.1.2" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.E16.m1.1.1.3">z</mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E16.m1.1.2">=</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.3"><mo id="S2.E16.m1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E16.m1.1.3.2">h</mi><mo id="S2.E16.m1.1.3.3">−</mo><mi id="S2.E16.m1.1.3.4">z</mi><msub id="S2.E16.m1.1.3.5"><mo id="S2.E16.m1.1.3.5.2" lspace="0em" rspace="0em">∂</mo><mi id="S2.E16.m1.1.3.5.3">z</mi></msub><mo id="S2.E16.m1.1.3.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S2.E16.m1.1.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.E16.m1.1.5">z</mi><mo id="S2.E16.m1.1.6" rspace="0.052em" stretchy="false">)</mo><mo id="S2.E16.m1.1.7">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E16.m1.1c">\displaystyle J_{3}|z)=(h-z\partial_{z})|z)~{}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E16.m1.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT | italic_z ) = ( italic_h - italic_z ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ) | italic_z ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.16">For any fixed <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.14.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p3.14.m1.1a"><mi id="S2.SS3.p3.14.m1.1.1" xref="S2.SS3.p3.14.m1.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.14.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p3.14.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.14.m1.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.14.m1.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.14.m1.1d">italic_z</annotation></semantics></math>, the state <math alttext="|z)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS3.p3.15.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p3.15.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.15.m2.1b"><mo fence="false" id="S2.SS3.p3.15.m2.1.1" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.SS3.p3.15.m2.1.2">z</mi><mo id="S2.SS3.p3.15.m2.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.15.m2.1c">|z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.15.m2.1d">| italic_z )</annotation></semantics></math> is the (lowest) eigenvalue <math alttext="-h" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.16.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p3.16.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.16.m3.1.1" xref="S2.SS3.p3.16.m3.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.16.m3.1.1a" xref="S2.SS3.p3.16.m3.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS3.p3.16.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.16.m3.1.1.2.cmml">h</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.16.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p3.16.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.16.m3.1.1"><minus id="S2.SS3.p3.16.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.16.m3.1.1"></minus><ci id="S2.SS3.p3.16.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.16.m3.1.1.2">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.16.m3.1c">-h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.16.m3.1d">- italic_h</annotation></semantics></math> eigenstate of the following Hamiltonian</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx16"> <tbody id="S2.E17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{z}=-\frac{e^{-i\theta}J_{+}+e^{i\theta}J_{-}}{2\cosh\tau}+% \tanh\tau J_{3}~{}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E17.m2.1"><semantics id="S2.E17.m2.1a"><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E17.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">z</mi></msub><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3a" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">+</mo></msub></mrow><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><msup id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml">−</mo></msub></mrow></mrow><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" lspace="0.167em" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml">cosh</mi><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">tanh</mi><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">J</mi><mn id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E17.m2.1b"><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1"><eq id="S2.E17.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2"><minus id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><plus id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></plus><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><times id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3"><minus id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3"></minus><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2"><times id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝐽</ci><plus id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3"></plus></apply></apply><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3"><times id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2">𝐽</ci><minus id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3"></minus></apply></apply></apply><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><cn id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">2</cn><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><cosh id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1"></cosh><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3"><tanh id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.1"></tanh><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2"><times id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.2">𝜏</ci><apply id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝐽</ci><cn id="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E17.m2.1c">\displaystyle H_{z}=-\frac{e^{-i\theta}J_{+}+e^{i\theta}J_{-}}{2\cosh\tau}+% \tanh\tau J_{3}~{}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E17.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT = - divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 roman_cosh italic_τ end_ARG + roman_tanh italic_τ italic_J start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.22">This particular linear combination of the SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.17.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p3.17.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.17.m1.1.2.2"><mo id="S2.SS3.p3.17.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS3.p3.17.m1.1.1" xref="S2.SS3.p3.17.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p3.17.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.17.m1.1b"><cn id="S2.SS3.p3.17.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.17.m1.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.17.m1.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.17.m1.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> generators is found by first imposing the cancellation of the <math alttext="\partial_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.18.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p3.18.m2.1a"><msub id="S2.SS3.p3.18.m2.1.1" xref="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.18.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.18.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.18.m2.1.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.2"></partialdiff><ci id="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.18.m2.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.18.m2.1c">\partial_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.18.m2.1d">∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> terms and then tuning the overall normalization such that it is equal to <math alttext="-h" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.19.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p3.19.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p3.19.m3.1.1" xref="S2.SS3.p3.19.m3.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.19.m3.1.1a" xref="S2.SS3.p3.19.m3.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS3.p3.19.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.19.m3.1.1.2.cmml">h</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.19.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p3.19.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.19.m3.1.1"><minus id="S2.SS3.p3.19.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.19.m3.1.1"></minus><ci id="S2.SS3.p3.19.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.19.m3.1.1.2">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.19.m3.1c">-h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.19.m3.1d">- italic_h</annotation></semantics></math>. The full spectrum of <math alttext="H_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.20.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p3.20.m4.1a"><msub id="S2.SS3.p3.20.m4.1.1" xref="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.20.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.20.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.20.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.20.m4.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.20.m4.1c">H_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.20.m4.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the same as that of <math alttext="J_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.21.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p3.21.m5.1a"><msub id="S2.SS3.p3.21.m5.1.1" xref="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.21.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.21.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.21.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.21.m5.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.21.m5.1c">J_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.21.m5.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>: <math alttext="E_{n}=n\in\{-h,-h+1,\cdots,h-1,h\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p3.22.m6.5"><semantics id="S2.SS3.p3.22.m6.5a"><mrow id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.cmml"><msub id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.2" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.2.cmml">E</mi><mi id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.3" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.6" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.6.cmml">=</mo><mi id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.7" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.7.cmml">n</mi><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.8" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.8.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.4.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.4" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.4.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1a" xref="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1.2.cmml">h</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.5" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2a" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2.2.cmml">h</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.1" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.6" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p3.22.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p3.22.m6.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.7" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.2" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.2.cmml">h</mi><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.1" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.3" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.8" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p3.22.m6.2.2" xref="S2.SS3.p3.22.m6.2.2.cmml">h</mi><mo id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.9" stretchy="false" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.4.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p3.22.m6.5b"><apply id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5"><and id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5a.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5"></and><apply id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5b.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5"><eq id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.6.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.6"></eq><apply id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.2">𝐸</ci><ci id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.5.3">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.7.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.7">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5c.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5"><in id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.8.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.8"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS3.p3.22.m6.5.5.7.cmml" id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5d.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5"></share><set id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3"><apply id="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1"><minus id="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.3.3.1.1.1.2">ℎ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2"><plus id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.1"></plus><apply id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2"><minus id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2"></minus><ci id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.2.2">ℎ</ci></apply><cn id="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.22.m6.4.4.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS3.p3.22.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.1.1">⋯</ci><apply id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3"><minus id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.1"></minus><ci id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.2">ℎ</ci><cn id="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p3.22.m6.5.5.3.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS3.p3.22.m6.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p3.22.m6.2.2">ℎ</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p3.22.m6.5c">E_{n}=n\in\{-h,-h+1,\cdots,h-1,h\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p3.22.m6.5d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = italic_n ∈ { - italic_h , - italic_h + 1 , ⋯ , italic_h - 1 , italic_h }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p4.1">The remaining eigenstates can be generated by acting on <math alttext="|z)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p4.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.1.m1.1b"><mo fence="false" id="S2.SS3.p4.1.m1.1.1" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.SS3.p4.1.m1.1.2">z</mi><mo id="S2.SS3.p4.1.m1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.1.m1.1c">|z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.1.m1.1d">| italic_z )</annotation></semantics></math> with</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx17"> <tbody id="S2.E18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle O^{\gamma\dagger}=\frac{\bar{z}J_{+}-\bar{z}^{-1}J_{-}}{2\cosh% \tau}+\frac{J_{3}}{\cosh\tau}~{}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E18.m1.3"><semantics id="S2.E18.m1.3a"><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S2.E18.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">O</mi><mrow id="S2.E18.m1.2.2.2.4" xref="S2.E18.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S2.E18.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S2.E18.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.E18.m1.2.2.2.2" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2a" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">+</mo></msub></mrow><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><msup id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.2.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.3a" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">−</mo></msub></mrow></mrow><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.1" lspace="0.167em" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.cmml">cosh</mi><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3a" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mrow id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.1" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml">cosh</mi><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.3.3.1.2" lspace="0.330em" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E18.m1.3b"><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1"><eq id="S2.E18.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.2.2">𝑂</ci><list id="S2.E18.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S2.E18.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2"><divide id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2"></divide><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2"><minus id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.1"></minus><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2"><times id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" 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id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3"></minus></apply></apply></apply><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3"><times id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">2</cn><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3"><cosh id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1"></cosh><ci id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3"><divide id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3"></divide><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3"><cosh id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.1"></cosh><ci id="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.1.1.3.3.3.2">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E18.m1.3c">\displaystyle O^{\gamma\dagger}=\frac{\bar{z}J_{+}-\bar{z}^{-1}J_{-}}{2\cosh% \tau}+\frac{J_{3}}{\cosh\tau}~{},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E18.m1.3d">italic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG over¯ start_ARG italic_z end_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 roman_cosh italic_τ end_ARG + divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG roman_cosh italic_τ end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p4.4">where the pre-factor is chosen such that the operator <math alttext="O^{\gamma\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.2.m1.2"><semantics id="S2.SS3.p4.2.m1.2a"><msup id="S2.SS3.p4.2.m1.2.3" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.2.m1.2.3.2" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.3.2.cmml">O</mi><mrow id="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p4.2.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.2.m1.2b"><apply id="S2.SS3.p4.2.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.2.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.3.2">𝑂</ci><list id="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS3.p4.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.2.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.2.m1.2c">O^{\gamma\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.2.m1.2d">italic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is related to <math alttext="J_{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.3.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p4.3.m2.1a"><msub id="S2.SS3.p4.3.m2.1.1" xref="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.2.cmml">J</mi><mo id="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.3.cmml">+</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.3.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.2">𝐽</ci><plus id="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p4.3.m2.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.3.m2.1c">J_{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.3.m2.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by a SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p4.4.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p4.4.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p4.4.m3.1.2.2"><mo id="S2.SS3.p4.4.m3.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS3.p4.4.m3.1.1" xref="S2.SS3.p4.4.m3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p4.4.m3.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p4.4.m3.1b"><cn id="S2.SS3.p4.4.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p4.4.m3.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p4.4.m3.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p4.4.m3.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> rotation and is thus a normalized raising operator in the new ”rotated” tower.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p5.1">At this point we can already compute the 1-point expectation value in the coherent state</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx18"> <tbody id="S2.E19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\braket{z}{J^{j}_{-}}{z}=\frac{Ke^{-i\theta}}{2\cosh\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E19.m1.3"><semantics id="S2.E19.m1.3a"><mrow id="S2.E19.m1.3.4" xref="S2.E19.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.3.3a.5" xref="S2.E19.m1.3.3a.4.cmml"><mo id="S2.E19.m1.3.3a.5.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3a.4.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3a.5.2" lspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3a.4.1.cmml">|</mo><msubsup id="S2.E19.m1.2.2.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E19.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S2.E19.m1.3.3a.5.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3a.4.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E19.m1.3.3.3.3" xref="S2.E19.m1.3.3.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3a.5.4" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3a.4.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.4.1" xref="S2.E19.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E19.m1.3.4.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.cmml"><mfrac id="S2.E19.m1.3.4.2a" xref="S2.E19.m1.3.4.2.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.2.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.2.1" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.cmml"><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3a" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.1" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.cmml"><mn id="S2.E19.m1.3.4.2.3.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1" lspace="0.167em" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2.3.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.1" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.1.cmml">cosh</mi><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.2.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E19.m1.3b"><apply id="S2.E19.m1.3.4.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4"><eq id="S2.E19.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.1"></eq><apply id="S2.E19.m1.3.3a.4.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3a.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.E19.m1.3.3a.4.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3a.5.1">quantum-operator-product</csymbol><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1">𝑧</ci><apply id="S2.E19.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><minus id="S2.E19.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.2.2.3"></minus></apply><ci id="S2.E19.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2"><divide id="S2.E19.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2"></divide><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2"><times id="S2.E19.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.1"></times><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.2">𝐾</ci><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3"><minus id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3"></minus><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2"><times id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.1"></times><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3"><times id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1"></times><cn id="S2.E19.m1.3.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.2">2</cn><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.3"><cosh id="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.1"></cosh><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.3.2">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E19.m1.3c">\displaystyle\braket{z}{J^{j}_{-}}{z}=\frac{Ke^{-i\theta}}{2\cosh\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E19.m1.3d">⟨ start_ARG italic_z end_ARG | start_ARG italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_z end_ARG ⟩ = divide start_ARG italic_K italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 roman_cosh italic_τ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.19)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p6.2">Comparing our Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E13" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.13</span></a>) with the general form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E17" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.17</span></a>) and identifying <math alttext="\ket{h}=\ket{0_{\text{\@slowromancap i@}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.1.m1.2"><semantics id="S2.SS3.p6.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS3.p6.1.m1.2.3" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml">h</mi><mo id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p6.1.m1.2.3.1" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">0</mn><mrow id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3d.cmml"><mtext class="undefined" id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3a" mathsize="142%" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3d.cmml"><span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3.1nest">\@slowromancap</span></mtext><mtext id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3c" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3d.cmml">i@</mtext></mrow></msub><mo id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.1.m1.2b"><apply id="S2.SS3.p6.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.3"><eq id="S2.SS3.p6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.1.1.1.1">ℎ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2">0</cn><ci id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3d.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3"><mrow id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3"><mtext class="undefined" id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3"><span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3.1anest">\@slowromancap</span></mtext><mtext id="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3c.cmml" mathsize="70%" xref="S2.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3">i@</mtext></mrow></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.1.m1.2c">\ket{h}=\ket{0_{\text{\@slowromancap i@}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.1.m1.2d">| start_ARG italic_h end_ARG ⟩ = | start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT i@ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> or <math alttext="\ket{h}=\ket{0_{\text{\@slowromancap ii@}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p6.2.m2.2"><semantics id="S2.SS3.p6.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.2.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml">h</mi><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.2.3.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">0</mn><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3d.cmml"><mtext class="undefined" id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3a" mathsize="142%" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3d.cmml"><span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3.1nest">\@slowromancap</span></mtext><mtext id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3c" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3d.cmml">ii@</mtext></mrow></msub><mo id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p6.2.m2.2b"><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.3"><eq id="S2.SS3.p6.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.3.1"></eq><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1">ℎ</ci></apply><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2">0</cn><ci id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3d.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3"><mrow id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3"><mtext class="undefined" id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3"><span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3.1anest">\@slowromancap</span></mtext><mtext id="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3c.cmml" mathsize="70%" xref="S2.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3">ii@</mtext></mrow></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p6.2.m2.2c">\ket{h}=\ket{0_{\text{\@slowromancap ii@}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p6.2.m2.2d">| start_ARG italic_h end_ARG ⟩ = | start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT ii@ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> we write down the solution for (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E13" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.13</span></a>) with the ground state energy</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx19"> <tbody id="S2.E20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle E_{0}=C-KN\sqrt{\gamma^{2}+\mu^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E20.m1.1"><semantics id="S2.E20.m1.1a"><mrow id="S2.E20.m1.1.1" xref="S2.E20.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.E20.m1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mn id="S2.E20.m1.1.1.2.3" xref="S2.E20.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E20.m1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E20.m1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="S2.E20.m1.1.1.3.1" xref="S2.E20.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E20.m1.1.1.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S2.E20.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E20.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="S2.E20.m1.1.1.3.3.1a" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.cmml"><msup id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.3" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.1" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.2.cmml">μ</mi><mn id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E20.m1.1b"><apply id="S2.E20.m1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1"><eq id="S2.E20.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E20.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.2.2">𝐸</ci><cn id="S2.E20.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.E20.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3"><minus id="S2.E20.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S2.E20.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.2">𝐶</ci><apply id="S2.E20.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3"><times id="S2.E20.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E20.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.2">𝐾</ci><ci id="S2.E20.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.3">𝑁</ci><apply id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4"><root id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4a.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4"></root><apply id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2"><plus id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.1"></plus><apply id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.2">𝜇</ci><cn id="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.3.3.4.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E20.m1.1c">\displaystyle E_{0}=C-KN\sqrt{\gamma^{2}+\mu^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E20.m1.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_C - italic_K italic_N square-root start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.20)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p7.2">and the corresponding product state wavefunction</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx20"> <tbody id="S2.E21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|\psi_{0}\rangle=N_{\psi}\prod_{j}e^{\frac{v}{u}{\cal O}_{j}^{% \dagger}}\ket{0_{\phi}},\quad N_{\psi}=u^{NK}~{}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E21.m1.2"><semantics id="S2.E21.m1.2a"><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1"><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ψ</mi></msub><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mfrac id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.cmml">u</mi></mfrac><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></msup><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E21.m1.1.1a.3" xref="S2.E21.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E21.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E21.m1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E21.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.E21.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">ψ</mi></msub><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msup id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.2.2.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E21.m1.2b"><apply id="S2.E21.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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xref="S2.E21.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E21.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S2.E21.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2"><eq id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">𝜓</ci></apply><apply id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑢</ci><apply id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3"><times id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1"></times><ci id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E21.m1.2c">\displaystyle|\psi_{0}\rangle=N_{\psi}\prod_{j}e^{\frac{v}{u}{\cal O}_{j}^{% \dagger}}\ket{0_{\phi}},\quad N_{\psi}=u^{NK}~{},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E21.m1.2d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_v end_ARG start_ARG italic_u end_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ , italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT = italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_K end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p7.3">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx21"> <tbody id="S2.E22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\small\quad u=\sqrt{\frac{1+X}{2}},\quad v=e^{i\theta}\sqrt{\frac% {1-X}{2}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E22.m1.1"><semantics id="S2.E22.m1.1a"><mrow id="S2.E22.m1.1.1.1"><mrow id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msqrt id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">X</mi></mrow><mn id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></msqrt></mrow><mo id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mo id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2a" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml"><mn id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.1" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.cmml">X</mi></mrow><mn id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" mathsize="90%" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></msqrt></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E22.m1.1.1.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E22.m1.1b"><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3"><root id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><plus id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></plus><cn id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">1</cn><ci id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑋</ci></apply><cn id="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><times id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><root id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3a.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"></root><apply id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><divide id="S2.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" 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square-root start_ARG divide start_ARG 1 - italic_X end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.22)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle X=\frac{\mu}{E},\quad E=\sqrt{\gamma^{2}+\mu^{2}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex2.m1.1"><semantics id="S2.Ex2.m1.1a"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msqrt id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><msup id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">+</mo><msup id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.1b"><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐸</ci><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3"><root id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3"></root><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><plus id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1"></plus><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2">𝜇</ci><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.1c">\displaystyle X=\frac{\mu}{E},\quad E=\sqrt{\gamma^{2}+\mu^{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.1d">italic_X = divide start_ARG italic_μ end_ARG start_ARG italic_E end_ARG , italic_E = square-root start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p7.1">The normalization factor <math alttext="N_{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p7.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p7.1.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p7.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.3.cmml">ψ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p7.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p7.1.m1.1.1.3">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p7.1.m1.1c">N_{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p7.1.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> follows from the inner product (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E15" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.15</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p8.5">For the Hilbert space of single-orbital spin-1/2 fermions the wavefunction (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E21" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.21</span></a>) coincides (see also Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3" title="III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III</span></a>) with the BCS wavefunction <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite> where its coefficients <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p8.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p8.1.m1.1a"><mi id="S2.SS3.p8.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p8.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p8.1.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p8.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p8.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p8.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> and <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p8.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p8.2.m2.1a"><mi id="S2.SS3.p8.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p8.2.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p8.2.m2.1b"><ci id="S2.SS3.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p8.2.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p8.2.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p8.2.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS3.p8.5.1">are independent of the position on the lattice</span>. This space-invariance is a consequence of the O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p8.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p8.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p8.3.m3.1.2.2"><mo id="S2.SS3.p8.3.m3.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS3.p8.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p8.3.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS3.p8.3.m3.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p8.3.m3.1b"><ci id="S2.SS3.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p8.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p8.3.m3.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p8.3.m3.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> invariance of <math alttext="|\psi_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p8.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p8.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p8.4.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p8.4.m4.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p8.4.m4.1c">|\psi_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p8.4.m4.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, the <math alttext="NK" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p8.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p8.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p8.5.m5.1.1" xref="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p8.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p8.5.m5.1.1"><times id="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p8.5.m5.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p8.5.m5.1c">NK</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p8.5.m5.1d">italic_N italic_K</annotation></semantics></math> excited states above it and of the original basis (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) for this subspace we started from. Furthermore, all these states are many-body scars for a broad class of Hamiltonians (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E10" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.10</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p9"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p9.3">For multi-flavour fermions with <math alttext="K\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p9.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p9.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.1.m1.1.1"><geq id="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p9.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.1.m1.1c">K\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.1.m1.1d">italic_K ≥ 2</annotation></semantics></math> the expansion in the wavefunction (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E21" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.21</span></a>) contains higher (up to <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p9.2.m2.1a"><mi id="S2.SS3.p9.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p9.2.m2.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.2.m2.1b"><ci id="S2.SS3.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.2.m2.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.2.m2.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.2.m2.1d">italic_K</annotation></semantics></math>) powers of <math alttext="{\cal O}_{j}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p9.3.m3.1a"><msubsup id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p9.3.m3.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.3.m3.1c">{\cal O}_{j}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.3.m3.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx22"> <tbody id="S2.E23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|\psi_{0}\rangle=N_{\psi}\prod_{j}\left(1+\frac{v}{u}{\cal O}_{j}% ^{\dagger}+\frac{(\frac{v}{u}{\cal O}_{j}^{\dagger})^{2}}{2}+\dots+\frac{(% \frac{v}{u}{\cal O}_{j}^{\dagger})^{K}}{K!}\right)\ket{0_{\phi}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E23.m1.4"><semantics id="S2.E23.m1.4a"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">ψ</mi></msub><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><munder id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2a" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">u</mi></mfrac></mstyle><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E23.m1.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E23.m1.2.2a" xref="S2.E23.m1.2.2.cmml"><msup id="S2.E23.m1.2.2.1" xref="S2.E23.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mfrac><mo id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E23.m1.2.2.1.3" xref="S2.E23.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S2.E23.m1.2.2.3" xref="S2.E23.m1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml">⋯</mi><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1c" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E23.m1.3.3" xref="S2.E23.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.E23.m1.3.3a" xref="S2.E23.m1.3.3.cmml"><msup id="S2.E23.m1.3.3.1" xref="S2.E23.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mfrac><mo id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E23.m1.3.3.1.3" xref="S2.E23.m1.3.3.1.3.cmml">K</mi></msup><mrow id="S2.E23.m1.3.3.3" xref="S2.E23.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E23.m1.3.3.3.2" xref="S2.E23.m1.3.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S2.E23.m1.3.3.3.1" xref="S2.E23.m1.3.3.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E23.m1.1.1a.3" xref="S2.E23.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E23.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E23.m1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S2.E23.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S2.E23.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E23.m1.4b"><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1"><eq id="S2.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2"><times id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2"></times><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3.3">𝜓</ci></apply><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1"><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.2">product</csymbol><ci id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.1.1"><times 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encoding="application/x-llamapun" id="S2.E23.m1.4d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG italic_v end_ARG start_ARG italic_u end_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG ( divide start_ARG italic_v end_ARG start_ARG italic_u end_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + ⋯ + divide start_ARG ( divide start_ARG italic_v end_ARG start_ARG italic_u end_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_K ! end_ARG ) | start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p9.14">The power-<math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.4.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p9.4.m1.1a"><mi id="S2.SS3.p9.4.m1.1.1" xref="S2.SS3.p9.4.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.4.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p9.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.4.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.4.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.4.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math> terms <math alttext="({\cal O}_{j}^{\dagger})^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.5.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p9.5.m2.1a"><msup id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.5.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.1.1.1.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p9.5.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.5.m2.1c">({\cal O}_{j}^{\dagger})^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.5.m2.1d">( caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> may be interpreted as clustering together of <math alttext="2m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.6.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p9.6.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p9.6.m3.1.1" xref="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.cmml"><mn id="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.6.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.6.m3.1.1"><times id="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.1"></times><cn id="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p9.6.m3.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.6.m3.1c">2m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.6.m3.1d">2 italic_m</annotation></semantics></math> fermions by analogy with pairing for <math alttext="m=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.7.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p9.7.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p9.7.m4.1.1" xref="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.7.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.7.m4.1.1"><eq id="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p9.7.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.7.m4.1c">m=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.7.m4.1d">italic_m = 1</annotation></semantics></math>. We expect that the relative magnitude of the correlations of different order <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.8.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p9.8.m5.1a"><mi id="S2.SS3.p9.8.m5.1.1" xref="S2.SS3.p9.8.m5.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.8.m5.1b"><ci id="S2.SS3.p9.8.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.8.m5.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.8.m5.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.8.m5.1d">italic_m</annotation></semantics></math> is controlled by the ratio <math alttext="\frac{v}{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.9.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p9.9.m6.1a"><mfrac id="S2.SS3.p9.9.m6.1.1" xref="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.3.cmml">u</mi></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.9.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.9.m6.1.1"><divide id="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.9.m6.1.1"></divide><ci id="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p9.9.m6.1.1.3">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.9.m6.1c">\frac{v}{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.9.m6.1d">divide start_ARG italic_v end_ARG start_ARG italic_u end_ARG</annotation></semantics></math>. Namely, higher-<math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.10.m7.1"><semantics id="S2.SS3.p9.10.m7.1a"><mi id="S2.SS3.p9.10.m7.1.1" xref="S2.SS3.p9.10.m7.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.10.m7.1b"><ci id="S2.SS3.p9.10.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.10.m7.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.10.m7.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.10.m7.1d">italic_m</annotation></semantics></math> clustering dominates for <math alttext="\frac{v}{u}>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.11.m8.1"><semantics id="S2.SS3.p9.11.m8.1a"><mrow id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.cmml"><mfrac id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.3.cmml">u</mi></mfrac><mo id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.11.m8.1b"><apply id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1"><gt id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.1"></gt><apply id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2"><divide id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2"></divide><ci id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><cn id="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p9.11.m8.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.11.m8.1c">\frac{v}{u}>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.11.m8.1d">divide start_ARG italic_v end_ARG start_ARG italic_u end_ARG > 1</annotation></semantics></math> which corresponds to <math alttext="\mu<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.12.m9.1"><semantics id="S2.SS3.p9.12.m9.1a"><mrow id="S2.SS3.p9.12.m9.1.1" xref="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.2" xref="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.12.m9.1b"><apply id="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.12.m9.1.1"><lt id="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.1"></lt><ci id="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p9.12.m9.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.12.m9.1c">\mu<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.12.m9.1d">italic_μ < 0</annotation></semantics></math> for <math alttext="\theta=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.13.m10.1"><semantics id="S2.SS3.p9.13.m10.1a"><mrow id="S2.SS3.p9.13.m10.1.1" xref="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.2" xref="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.13.m10.1b"><apply id="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.13.m10.1.1"><eq id="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p9.13.m10.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.13.m10.1c">\theta=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.13.m10.1d">italic_θ = 0</annotation></semantics></math> while regular pairing dominates for <math alttext="\mu>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p9.14.m11.1"><semantics id="S2.SS3.p9.14.m11.1a"><mrow id="S2.SS3.p9.14.m11.1.1" xref="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.2" xref="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.1" xref="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.3" xref="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p9.14.m11.1b"><apply id="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.14.m11.1.1"><gt id="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.1"></gt><ci id="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p9.14.m11.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p9.14.m11.1c">\mu>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p9.14.m11.1d">italic_μ > 0</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p10"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p10.1">The spectrum of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E17" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.17</span></a>) is equidistant with the energy gap of 1. With the pre-factor in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E13" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.13</span></a>) the spectrum in our case is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx23"> <tbody id="S2.E24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle E_{n}=E_{0}+n2E;\,\,\,n=0:1:NK." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E24.m1.1"><semantics id="S2.E24.m1.1a"><mrow id="S2.E24.m1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E24.m1.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">E</mi><mn id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">E</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.4.cmml">:</mo><mn id="S2.E24.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.5.cmml">1</mn><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.6" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.6.cmml">:</mo><mrow id="S2.E24.m1.1.1.1.1.7" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.2" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.3" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.3.cmml">K</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E24.m1.1b"><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1"><and id="S2.E24.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1"><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.4">:</ci><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐸</ci><cn id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝐸</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2"><eq id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></eq><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑛</ci><cn id="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply></apply><cn id="S2.E24.m1.1.1.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.5">1</cn></apply><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1"><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.6">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E24.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="S2.E24.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.7"><times id="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.1"></times><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.2">𝑁</ci><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1.7.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E24.m1.1c">\displaystyle E_{n}=E_{0}+n2E;\,\,\,n=0:1:NK.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E24.m1.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = italic_E start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_n 2 italic_E ; italic_n = 0 : 1 : italic_N italic_K .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.24)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p11"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p11.8">The raising operator <math alttext="O^{\gamma\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p11.1.m1.2"><semantics id="S2.SS3.p11.1.m1.2a"><msup id="S2.SS3.p11.1.m1.2.3" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.3.2.cmml">O</mi><mrow id="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p11.1.m1.2b"><apply id="S2.SS3.p11.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p11.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.3.2">𝑂</ci><list id="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.1.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p11.1.m1.2c">O^{\gamma\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p11.1.m1.2d">italic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E18" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.18</span></a>) is an analog of <math alttext="{\cal O}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p11.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p11.2.m2.1a"><msup id="S2.SS3.p11.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p11.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.2.m2.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p11.2.m2.1c">{\cal O}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p11.2.m2.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>: if we replace <math alttext="{\cal O}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p11.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p11.3.m3.1a"><msup id="S2.SS3.p11.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p11.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.3.m3.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p11.3.m3.1c">{\cal O}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p11.3.m3.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="O^{\gamma\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p11.4.m4.2"><semantics id="S2.SS3.p11.4.m4.2a"><msup id="S2.SS3.p11.4.m4.2.3" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.4.m4.2.3.2" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.3.2.cmml">O</mi><mrow id="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p11.4.m4.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p11.4.m4.2b"><apply id="S2.SS3.p11.4.m4.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p11.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.3.2">𝑂</ci><list id="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S2.SS3.p11.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.4.m4.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.4.m4.2.2.2.2">†</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p11.4.m4.2c">O^{\gamma\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p11.4.m4.2d">italic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) the resulting states <math alttext="\ket{\phi^{\gamma}_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p11.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p11.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">n</mi><mi id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p11.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><ci id="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.5.m5.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p11.5.m5.1c">\ket{\phi^{\gamma}_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p11.5.m5.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> form the full basis for the same scar subspace. Because they are equidistant in energy any initial state that is a linear superposition of <math alttext="\ket{\phi^{\gamma}_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p11.6.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p11.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">n</mi><mi id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p11.6.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><ci id="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.6.m6.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p11.6.m6.1c">\ket{\phi^{\gamma}_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p11.6.m6.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> will return to itself in time evolution with the revivals period of <math alttext="\frac{2\pi}{2E}=\frac{\pi}{\sqrt{\gamma^{2}+\mu^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p11.7.m7.1"><semantics id="S2.SS3.p11.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.cmml"><mfrac id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.1" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.3.cmml">π</mi></mrow><mrow id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.1" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.3.cmml">E</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.1" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.2.cmml">π</mi><msqrt id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.1" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.1.cmml">+</mo><msup id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mn id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p11.7.m7.1b"><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1"><eq id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2"><divide id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2"></divide><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2"><times id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.1"></times><cn id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3"><times id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.2.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3"><divide id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3"></divide><ci id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.2">𝜋</ci><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3"><root id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3"></root><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2"><plus id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.1"></plus><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.2">𝜇</ci><cn id="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p11.7.m7.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p11.7.m7.1c">\frac{2\pi}{2E}=\frac{\pi}{\sqrt{\gamma^{2}+\mu^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p11.7.m7.1d">divide start_ARG 2 italic_π end_ARG start_ARG 2 italic_E end_ARG = divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> for any Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E10" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.10</span></a>) independently of the <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p11.8.m8.1"><semantics id="S2.SS3.p11.8.m8.1a"><mrow id="S2.SS3.p11.8.m8.1.1" xref="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.2" xref="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.1" xref="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.3" xref="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p11.8.m8.1b"><apply id="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.8.m8.1.1"><times id="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.1"></times><ci id="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p11.8.m8.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p11.8.m8.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p11.8.m8.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> terms.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p12"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p12.4">The expectation value of the operator <math alttext="[{\cal O},{\cal O}^{\dagger}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p12.1.m1.2"><semantics id="S2.SS3.p12.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.2.cmml">[</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p12.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p12.1.m1.1.1.cmml">𝒪</mi><mo id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.3" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p12.1.m1.2b"><interval closure="closed" id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1"><ci id="S2.SS3.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.1.m1.1.1">𝒪</ci><apply id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p12.1.m1.2.2.1.1.3">†</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p12.1.m1.2c">[{\cal O},{\cal O}^{\dagger}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p12.1.m1.2d">[ caligraphic_O , caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> (total particle number for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p12.4.1">\@slowromancap</span>i@ and total <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p12.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p12.2.m2.1a"><mi id="S2.SS3.p12.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p12.2.m2.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p12.2.m2.1b"><ci id="S2.SS3.p12.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.2.m2.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p12.2.m2.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p12.2.m2.1d">italic_z</annotation></semantics></math> magnetization for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p12.4.2">\@slowromancap</span>ii@) in the <math alttext="\ket{\phi^{\gamma}_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p12.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p12.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">n</mi><mi id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p12.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><ci id="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p12.3.m3.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p12.3.m3.1c">\ket{\phi^{\gamma}_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p12.3.m3.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> states depends on <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p12.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p12.4.m4.1a"><mi id="S2.SS3.p12.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p12.4.m4.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p12.4.m4.1b"><ci id="S2.SS3.p12.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p12.4.m4.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p12.4.m4.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p12.4.m4.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p13"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p13.1">For <math alttext="\mu=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p13.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p13.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p13.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p13.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p13.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p13.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p13.1.m1.1c">\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p13.1.m1.1d">italic_μ = 0</annotation></semantics></math> they are all half-filled/zero magnetization and the highest state in the tower can be obtained by flipping the sign under the exponent in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E21" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.21</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p14"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p14.1">In Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS1" title="A.1 Single-orbital: Eta subspace ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS2" title="A.2 Single-orbital: Zeta subspace ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.2</span></a> we demonstrate that some parts of the solution obtained here could also be derived for any fixed definition of the <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p14.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p14.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p14.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p14.1.m1.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p14.1.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p14.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p14.1.m1.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p14.1.m1.1c">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p14.1.m1.1d">caligraphic_O</annotation></semantics></math> operator using a canonical Bogoliubov transformation. For the spin-full type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p14.1.1">\@slowromancap</span>i@ excitations it is convenient to use the spinor notation that (similar to the Nambu spinor <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib65" title="">65</a>]</cite>) combines particles and holes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx24"> <tbody id="S2.E25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{j1\uparrow}\dots c^{\dagger}_{jK% \uparrow}c_{j1\downarrow}\dots c_{jK\downarrow}\end{pmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E25.m1.1"><semantics id="S2.E25.m1.1a"><mrow id="S2.E25.m1.1.1a.3" xref="S2.E25.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.1.1a.3.1" xref="S2.E25.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="S2.E25.m1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S2.E25.m1.1.1.1.1a" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S2.E25.m1.1.1.1.1b" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml"></mi></mrow></msub><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">…</mi><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml"><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.2" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.3" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S2.E25.m1.1.1a.3.2" xref="S2.E25.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E25.m1.1b"><apply id="S2.E25.m1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E25.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S2.E25.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.E25.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1"><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1">↑</ci><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑗</ci><cn id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">…</ci><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1">↑</ci><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2"><times id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1"></times><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">𝐾</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑐</ci><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1">↓</ci><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2"><times id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1"></times><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2">𝑗</ci><cn id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3">1</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3">absent</csymbol></apply></apply><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.6">…</ci><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2">𝑐</ci><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3"><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1">↓</ci><apply id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2"><times id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.1"></times><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.3">𝐾</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.3.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E25.m1.1c">\displaystyle\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{j1\uparrow}\dots c^{\dagger}_{jK% \uparrow}c_{j1\downarrow}\dots c_{jK\downarrow}\end{pmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E25.m1.1d">( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 ↑ end_POSTSUBSCRIPT … italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_K ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 ↓ end_POSTSUBSCRIPT … italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_K ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p14.3">whereas for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS3.p14.3.1">\@slowromancap</span>ii@ the spinor that combines the ”magnetic particles” (spin-up) with ”holes” (spin-down)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx25"> <tbody id="S2.E26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{j1\uparrow}\dots c^{\dagger}_{jK% \uparrow}c^{\dagger}_{j1\downarrow}\dots c^{\dagger}_{jK\downarrow}\end{pmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E26.m1.1"><semantics id="S2.E26.m1.1a"><mrow id="S2.E26.m1.1.1a.3" xref="S2.E26.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E26.m1.1.1a.3.1" xref="S2.E26.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="S2.E26.m1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S2.E26.m1.1.1.1.1a" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S2.E26.m1.1.1.1.1b" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">…</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S2.E26.m1.1.1a.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E26.m1.1b"><apply id="S2.E26.m1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E26.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1"><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1">↑</ci><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑗</ci><cn id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">…</ci><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1">↑</ci><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2"><times id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1"></times><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">𝐾</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1">↓</ci><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2"><times id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1"></times><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2">𝑗</ci><cn id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3">1</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3">absent</csymbol></apply></apply><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.6">…</ci><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3"><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1">↓</ci><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2"><times id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.1"></times><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.3">𝐾</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E26.m1.1c">\displaystyle\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{j1\uparrow}\dots c^{\dagger}_{jK% \uparrow}c^{\dagger}_{j1\downarrow}\dots c^{\dagger}_{jK\downarrow}\end{pmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E26.m1.1d">( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 ↑ end_POSTSUBSCRIPT … italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_K ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 ↓ end_POSTSUBSCRIPT … italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_K ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p14.2">The emergence of these two spinors can also be motivated as a more natural way to discuss the spin- and pseudo-spin SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p14.2.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p14.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p14.2.m1.1.2.2"><mo id="S2.SS3.p14.2.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS3.p14.2.m1.1.1" xref="S2.SS3.p14.2.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p14.2.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p14.2.m1.1b"><cn id="S2.SS3.p14.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p14.2.m1.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p14.2.m1.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p14.2.m1.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> groups <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib66" title="">66</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p15"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p15.1">The raising operator <math alttext="{\cal O}^{\gamma\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p15.1.m1.2"><semantics id="S2.SS3.p15.1.m1.2a"><msup id="S2.SS3.p15.1.m1.2.3" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p15.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mrow id="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p15.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p15.1.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p15.1.m1.2b"><apply id="S2.SS3.p15.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p15.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p15.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.3.2">𝒪</ci><list id="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS3.p15.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p15.1.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p15.1.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p15.1.m1.2c">{\cal O}^{\gamma\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p15.1.m1.2d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E18" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.18</span></a>) in this language is constructed according to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E1" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.1</span></a>) or (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E4" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.4</span></a>) where the original fermionic operators are replaced with the Bogoliubov-transformed ones.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">II.4 </span>Correlations and the global energy minimum </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p1.11">Due to the O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.p1.1.m1.1.2.2"><mo id="S2.SS4.p1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS4.p1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.1.m1.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.1.m1.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> invariance of <math alttext="|\psi_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.2.m2.1c">|\psi_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.2.m2.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E21" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.21</span></a>) and of any other state from the scar subspace spanned by <math alttext="\ket{\phi_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.3.m3.1c">\ket{\phi_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.3.m3.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) the one-point functions <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS4.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.4.m4.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.4.m4.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="\braket{{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS4.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.5.m5.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.5.m5.1c">\braket{{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.5.m5.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> do not depend on the measurement point <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.SS4.p1.6.m6.1a"><mi id="S2.SS4.p1.6.m6.1.1" xref="S2.SS4.p1.6.m6.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.6.m6.1b"><ci id="S2.SS4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.6.m6.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.6.m6.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.6.m6.1d">italic_j</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> and the two-point function <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.7.m7.1"><semantics id="S2.SS4.p1.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.7.m7.1b"><apply id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1"><times id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.7.m7.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.7.m7.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> measured in such a state does not depend on the distance between the two points <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.8.m8.1"><semantics id="S2.SS4.p1.8.m8.1a"><mi id="S2.SS4.p1.8.m8.1.1" xref="S2.SS4.p1.8.m8.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.8.m8.1b"><ci id="S2.SS4.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.8.m8.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.8.m8.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.8.m8.1d">italic_i</annotation></semantics></math> and <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.9.m9.1"><semantics id="S2.SS4.p1.9.m9.1a"><mi id="S2.SS4.p1.9.m9.1.1" xref="S2.SS4.p1.9.m9.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.9.m9.1b"><ci id="S2.SS4.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.9.m9.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.9.m9.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.9.m9.1d">italic_j</annotation></semantics></math>. The latter property by definition <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib59" title="">59</a>]</cite> means that these O(<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.10.m10.1"><semantics id="S2.SS4.p1.10.m10.1a"><mi id="S2.SS4.p1.10.m10.1.1" xref="S2.SS4.p1.10.m10.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.10.m10.1b"><ci id="S2.SS4.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.10.m10.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.10.m10.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.10.m10.1d">italic_N</annotation></semantics></math>)-symmetric states have the off-diagonal long-range order of type <math alttext="{\cal O}^{\dagger}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.11.m11.1"><semantics id="S2.SS4.p1.11.m11.1a"><msubsup id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.2" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.11.m11.1b"><apply id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.11.m11.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.11.m11.1c">{\cal O}^{\dagger}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.11.m11.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p2.5">As we argued in Sec <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS1" title="II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.1</span></a> the on-site SU(2) formed by the operators <math alttext="{\cal O}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p2.1.m1.1a"><msub id="S2.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p2.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p2.1.m1.1c">{\cal O}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p2.1.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\cal O}^{\dagger}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.p2.2.m2.1a"><msubsup id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p2.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p2.2.m2.1c">{\cal O}^{\dagger}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p2.2.m2.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has the largest representation with spin <math alttext="K/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.p2.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS4.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p2.3.m3.1b"><apply id="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.3.m3.1.1"><divide id="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.1"></divide><ci id="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p2.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p2.3.m3.1c">K/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p2.3.m3.1d">italic_K / 2</annotation></semantics></math> leading to the maximum value of <math alttext="K/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS4.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS4.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.4.m4.1.1"><divide id="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.1"></divide><ci id="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p2.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p2.4.m4.1c">K/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p2.4.m4.1d">italic_K / 2</annotation></semantics></math> for any of the three generators <math alttext="J_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.SS4.p2.5.m5.1a"><msub id="S2.SS4.p2.5.m5.1.1" xref="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.3.cmml">α</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p2.5.m5.1b"><apply id="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p2.5.m5.1.1.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p2.5.m5.1c">J_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p2.5.m5.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> measured in any state in the Hilbert space.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p3.1">Therefore we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx26"> <tbody id="S2.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}_{j}+{\cal O}_{j}^{\dagger}=J_{+}^{j}+J_{-}^{j}=2J_{x}^{j% }\leq K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E27.m1.1"><semantics id="S2.E27.m1.1a"><mrow id="S2.E27.m1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E27.m1.1.1.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E27.m1.1.1.2.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.2.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E27.m1.1.1.2.1" xref="S2.E27.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E27.m1.1.1.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.E27.m1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E27.m1.1.1.4" xref="S2.E27.m1.1.1.4.cmml"><msubsup id="S2.E27.m1.1.1.4.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.3.cmml">+</mo><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.1" xref="S2.E27.m1.1.1.4.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E27.m1.1.1.4.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.3.cmml">−</mo><mi id="S2.E27.m1.1.1.4.3.3" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E27.m1.1.1.5" xref="S2.E27.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E27.m1.1.1.6" xref="S2.E27.m1.1.1.6.cmml"><mn id="S2.E27.m1.1.1.6.2" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E27.m1.1.1.6.1" xref="S2.E27.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E27.m1.1.1.6.3" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.3.cmml">x</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.6.3.3" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.3.cmml">j</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E27.m1.1.1.7" xref="S2.E27.m1.1.1.7.cmml">≤</mo><mi id="S2.E27.m1.1.1.8" xref="S2.E27.m1.1.1.8.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E27.m1.1b"><apply id="S2.E27.m1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"><and id="S2.E27.m1.1.1a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"></and><apply id="S2.E27.m1.1.1b.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"><eq id="S2.E27.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E27.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2"><plus id="S2.E27.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="S2.E27.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.2.3.3">†</ci></apply></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4"><plus id="S2.E27.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.1"></plus><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.2">𝐽</ci><plus id="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.2.3"></plus></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.2">𝐽</ci><minus id="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.2.3"></minus></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1c.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"><eq id="S2.E27.m1.1.1.5.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E27.m1.1.1.4.cmml" id="S2.E27.m1.1.1d.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"></share><apply id="S2.E27.m1.1.1.6.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6"><times id="S2.E27.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.1"></times><cn id="S2.E27.m1.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S2.E27.m1.1.1.6.2">2</cn><apply id="S2.E27.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.6.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1e.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"><leq id="S2.E27.m1.1.1.7.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E27.m1.1.1.6.cmml" id="S2.E27.m1.1.1f.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1"></share><ci id="S2.E27.m1.1.1.8.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.8">𝐾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E27.m1.1c">\displaystyle{\cal O}_{j}+{\cal O}_{j}^{\dagger}=J_{+}^{j}+J_{-}^{j}=2J_{x}^{j% }\leq K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E27.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_J start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT + italic_J start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = 2 italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_K</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.27)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p4.1">A consequence of this is the bound (over all states in Hilbert space) on the value of the 1-point function</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx27"> <tbody id="S2.E28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Re[\braket{{\cal O}^{\dagger}_{j}}]=\frac{1}{2}\braket{{\cal O}_% {j}+{\cal O}^{\dagger}_{j}}=\frac{K}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E28.m1.2"><semantics id="S2.E28.m1.2a"><mrow id="S2.E28.m1.2.3" xref="S2.E28.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E28.m1.2.3.2" xref="S2.E28.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E28.m1.2.3.2.2" xref="S2.E28.m1.2.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S2.E28.m1.2.3.2.1" xref="S2.E28.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E28.m1.2.3.2.3" xref="S2.E28.m1.2.3.2.3.cmml">e</mi><mo id="S2.E28.m1.2.3.2.1a" xref="S2.E28.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E28.m1.2.3.2.4.2" xref="S2.E28.m1.2.3.2.4.1.cmml"><mo id="S2.E28.m1.2.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E28.m1.2.3.2.4.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E28.m1.1.1a.3" xref="S2.E28.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E28.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E28.m1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.E28.m1.1.1.1.1" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E28.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E28.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E28.m1.2.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E28.m1.2.3.2.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E28.m1.2.3.3" xref="S2.E28.m1.2.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E28.m1.2.3.4" xref="S2.E28.m1.2.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E28.m1.2.3.4.2" xref="S2.E28.m1.2.3.4.2.cmml"><mfrac id="S2.E28.m1.2.3.4.2a" xref="S2.E28.m1.2.3.4.2.cmml"><mn id="S2.E28.m1.2.3.4.2.2" xref="S2.E28.m1.2.3.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E28.m1.2.3.4.2.3" xref="S2.E28.m1.2.3.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E28.m1.2.3.4.1" xref="S2.E28.m1.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E28.m1.2.2a.3" xref="S2.E28.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="S2.E28.m1.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E28.m1.2.2a.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S2.E28.m1.2.2.1.1" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.E28.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E28.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.E28.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E28.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E28.m1.2.3.5" xref="S2.E28.m1.2.3.5.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E28.m1.2.3.6" xref="S2.E28.m1.2.3.6.cmml"><mfrac id="S2.E28.m1.2.3.6a" xref="S2.E28.m1.2.3.6.cmml"><mi id="S2.E28.m1.2.3.6.2" xref="S2.E28.m1.2.3.6.2.cmml">K</mi><mn id="S2.E28.m1.2.3.6.3" xref="S2.E28.m1.2.3.6.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E28.m1.2b"><apply id="S2.E28.m1.2.3.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3"><and id="S2.E28.m1.2.3a.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3"></and><apply id="S2.E28.m1.2.3b.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3"><eq id="S2.E28.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.3"></eq><apply id="S2.E28.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.2"><times id="S2.E28.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E28.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.2.2">𝑅</ci><ci id="S2.E28.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.2.3">𝑒</ci><apply id="S2.E28.m1.2.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.2.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E28.m1.2.3.2.4.1.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.2.4.2.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E28.m1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E28.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E28.m1.2.3.4.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.4"><times id="S2.E28.m1.2.3.4.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.4.1"></times><apply id="S2.E28.m1.2.3.4.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.4.2"><divide id="S2.E28.m1.2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.4.2"></divide><cn id="S2.E28.m1.2.3.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E28.m1.2.3.4.2.2">1</cn><cn id="S2.E28.m1.2.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E28.m1.2.3.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E28.m1.2.2a.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E28.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.E28.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1"><plus id="S2.E28.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E28.m1.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E28.m1.2.3c.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3"><eq id="S2.E28.m1.2.3.5.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E28.m1.2.3.4.cmml" id="S2.E28.m1.2.3d.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3"></share><apply id="S2.E28.m1.2.3.6.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.6"><divide id="S2.E28.m1.2.3.6.1.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.6"></divide><ci id="S2.E28.m1.2.3.6.2.cmml" xref="S2.E28.m1.2.3.6.2">𝐾</ci><cn id="S2.E28.m1.2.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S2.E28.m1.2.3.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E28.m1.2c">\displaystyle Re[\braket{{\cal O}^{\dagger}_{j}}]=\frac{1}{2}\braket{{\cal O}_% {j}+{\cal O}^{\dagger}_{j}}=\frac{K}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E28.m1.2d">italic_R italic_e [ ⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ] = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = divide start_ARG italic_K end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.28)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p5.2">As follows from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E19" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.19</span></a>) the value of the 1-point function in the ground state <math alttext="|\psi_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p5.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p5.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p5.1.m1.1c">|\psi_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p5.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E21" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.21</span></a>) for <math alttext="K=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.p5.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS4.p5.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p5.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.2.m2.1.1"><eq id="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p5.2.m2.1c">K=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p5.2.m2.1d">italic_K = 1</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx28"> <tbody id="S2.E29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\braket{\psi_{0}}{O_{j}^{\dagger}}{\psi_{0}}_{(K=1)}=\frac{e^{-i% \theta}}{2}\sqrt{1-X^{2}}=\frac{e^{-i\theta}}{2}\frac{\gamma}{\sqrt{\gamma^{2}% +\mu^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E29.m1.4"><semantics id="S2.E29.m1.4a"><mrow id="S2.E29.m1.4.5" xref="S2.E29.m1.4.5.cmml"><msub id="S2.E29.m1.4.5.2" xref="S2.E29.m1.4.5.2.cmml"><mrow id="S2.E29.m1.3.3a.5" xref="S2.E29.m1.3.3a.4.cmml"><mo id="S2.E29.m1.3.3a.5.1" stretchy="false" xref="S2.E29.m1.3.3a.4.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E29.m1.1.1.1.1" xref="S2.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E29.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E29.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.E29.m1.1.1.1.1.3" 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id="S2.E29.m1.4.5.4.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4"><times id="S2.E29.m1.4.5.4.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.1"></times><apply id="S2.E29.m1.4.5.4.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2"><divide id="S2.E29.m1.4.5.4.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2"></divide><apply id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3"><minus id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3"></minus><apply id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.2"><times id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.2.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E29.m1.4.5.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E29.m1.4.5.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E29.m1.4.5.4.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3"><root id="S2.E29.m1.4.5.4.3a.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3"></root><apply id="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3.2"><minus id="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.1"></minus><cn id="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.2">1</cn><apply id="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.3.2">𝑋</ci><cn id="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E29.m1.4.5.4.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E29.m1.4.5c.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5"><eq id="S2.E29.m1.4.5.5.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E29.m1.4.5.4.cmml" id="S2.E29.m1.4.5d.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5"></share><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6"><times id="S2.E29.m1.4.5.6.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.1"></times><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2"><divide id="S2.E29.m1.4.5.6.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2"></divide><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3"><minus id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3"></minus><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.2"><times id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.2.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E29.m1.4.5.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E29.m1.4.5.6.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3"><divide id="S2.E29.m1.4.5.6.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3"></divide><ci id="S2.E29.m1.4.5.6.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.2">𝛾</ci><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3"><root id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3a.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3"></root><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2"><plus id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.1"></plus><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.3.2">𝜇</ci><cn id="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E29.m1.4.5.6.3.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E29.m1.4c">\displaystyle\braket{\psi_{0}}{O_{j}^{\dagger}}{\psi_{0}}_{(K=1)}=\frac{e^{-i% \theta}}{2}\sqrt{1-X^{2}}=\frac{e^{-i\theta}}{2}\frac{\gamma}{\sqrt{\gamma^{2}% +\mu^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E29.m1.4d">⟨ start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_K = 1 ) end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG square-root start_ARG 1 - italic_X start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG divide start_ARG italic_γ end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p5.5">and decreases monotonically with <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p5.3.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p5.3.m1.1a"><mi id="S2.SS4.p5.3.m1.1.1" xref="S2.SS4.p5.3.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p5.3.m1.1b"><ci id="S2.SS4.p5.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.3.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p5.3.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p5.3.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>. For <math alttext="K=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p5.4.m2.1"><semantics id="S2.SS4.p5.4.m2.1a"><mrow id="S2.SS4.p5.4.m2.1.1" xref="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p5.4.m2.1b"><apply id="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.4.m2.1.1"><eq id="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.4.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p5.4.m2.1c">K=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p5.4.m2.1d">italic_K = 2</annotation></semantics></math> the one-point function is factor of two larger: <math alttext="\braket{\psi_{0}}{O_{j}^{\dagger}}{\psi_{0}}_{(K=2)}=2\braket{\psi_{0}}{O_{j}^% {\dagger}}{\psi_{0}}_{(K=1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p5.5.m3.8"><semantics id="S2.SS4.p5.5.m3.8a"><mrow id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.cmml"><msub id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.2.cmml"><mrow id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.5" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.4.cmml"><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.5.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.4.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.5.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.4.1.cmml">|</mo><msubsup id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">O</mi><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.5.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.4.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.5.4" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.cmml"><mn id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.5" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.4.cmml"><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.5.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.4.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.5.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.4.1.cmml">|</mo><msubsup id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.2.cmml">O</mi><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.5.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.4.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.5.4" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.4.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p5.5.m3.8b"><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9"><eq id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.1"></eq><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.4.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.5.1">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.5.m3.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.2.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.5.m3.3.3.3.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1"><eq id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.5.m3.7.7.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3"><times id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.1"></times><cn id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.2">2</cn><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.3.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.9.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.4.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.4.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.5.1">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.5.m3.4.4.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.5.5.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.5.m3.6.6.3.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1"><eq id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p5.5.m3.8.8.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p5.5.m3.8c">\braket{\psi_{0}}{O_{j}^{\dagger}}{\psi_{0}}_{(K=2)}=2\braket{\psi_{0}}{O_{j}^% {\dagger}}{\psi_{0}}_{(K=1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p5.5.m3.8d">⟨ start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_K = 2 ) end_POSTSUBSCRIPT = 2 ⟨ start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_K = 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p6.1">The bound for the two-point function in any product state is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx29"> <tbody id="S2.E30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}=\braket{{\cal O}^{% \dagger}_{i}}\braket{{\cal O}_{j}}\leq\frac{K^{2}}{4}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E30.m1.4"><semantics id="S2.E30.m1.4a"><mrow id="S2.E30.m1.4.4.1" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E30.m1.4.4.1.1" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E30.m1.1.1a.3" xref="S2.E30.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E30.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E30.m1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S2.E30.m1.1.1.1.1" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E30.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E30.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S2.E30.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E30.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E30.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E30.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E30.m1.2.2a.3" xref="S2.E30.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="S2.E30.m1.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E30.m1.2.2a.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.E30.m1.2.2.1.1" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E30.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E30.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E30.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E30.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E30.m1.3.3a.3" xref="S2.E30.m1.3.3a.2.cmml"><mo id="S2.E30.m1.3.3a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E30.m1.3.3a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E30.m1.3.3.1.1" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E30.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S2.E30.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E30.m1.3.3a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E30.m1.3.3a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E30.m1.4.4.1.1.4" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.4.cmml">≤</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.cmml"><mfrac id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5a" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.cmml"><msup id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.cmml"><mi id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.2" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.2.cmml">K</mi><mn id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.3" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.3" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E30.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E30.m1.4b"><apply id="S2.E30.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1"><and id="S2.E30.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1"></and><apply id="S2.E30.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1"><eq id="S2.E30.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S2.E30.m1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E30.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.E30.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1"><times id="S2.E30.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E30.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.3"><times id="S2.E30.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E30.m1.2.2a.2.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E30.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.E30.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.E30.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.E30.m1.3.3a.2.cmml" xref="S2.E30.m1.3.3a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E30.m1.3.3a.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.3.3a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.E30.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S2.E30.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E30.m1.4.4.1.1c.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1"><leq id="S2.E30.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.4"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E30.m1.4.4.1.1.3.cmml" id="S2.E30.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1"></share><apply id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5"><divide id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5"></divide><apply id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.2">𝐾</ci><cn id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.E30.m1.4.4.1.1.5.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E30.m1.4c">\displaystyle\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}=\braket{{\cal O}^{% \dagger}_{i}}\braket{{\cal O}_{j}}\leq\frac{K^{2}}{4}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E30.m1.4d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = ⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ≤ divide start_ARG italic_K start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(II.30)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p7.4">The two bounds (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E28" title="In II.4 Correlations and the global energy minimum ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.28</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E30" title="In II.4 Correlations and the global energy minimum ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.30</span></a>) are exactly saturated by the state <math alttext="|\psi_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p7.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p7.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p7.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p7.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p7.1.m1.1c">|\psi_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p7.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> when <math alttext="\mu=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p7.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.p7.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS4.p7.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p7.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p7.2.m2.1.1"><eq id="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p7.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p7.2.m2.1c">\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p7.2.m2.1d">italic_μ = 0</annotation></semantics></math> for any system size <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p7.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.p7.3.m3.1a"><mi id="S2.SS4.p7.3.m3.1.1" xref="S2.SS4.p7.3.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p7.3.m3.1b"><ci id="S2.SS4.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p7.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p7.3.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p7.3.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math> (there is no <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p7.4.m4.1"><semantics id="S2.SS4.p7.4.m4.1a"><mi id="S2.SS4.p7.4.m4.1.1" xref="S2.SS4.p7.4.m4.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p7.4.m4.1b"><ci id="S2.SS4.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p7.4.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p7.4.m4.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p7.4.m4.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-dependence in either the bounds (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E28" title="In II.4 Correlations and the global energy minimum ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.28</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E30" title="In II.4 Correlations and the global energy minimum ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.30</span></a>) or the expectation values (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E29" title="In II.4 Correlations and the global energy minimum ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.29</span></a>))!</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p8.4">This means that for any Hamiltonian of the form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E10" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.10</span></a>), independently of the terms that appear in <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p8.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p8.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.p8.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p8.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.1.m1.1.1"><times id="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p8.1.m1.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p8.1.m1.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p8.1.m1.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> and their strengths there exists a large enough <math alttext="\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p8.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.p8.2.m2.1a"><msub id="S2.SS4.p8.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p8.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p8.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p8.2.m2.1c">\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p8.2.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that the scar state <math alttext="|\psi_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p8.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.p8.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p8.3.m3.1b"><apply id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p8.3.m3.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p8.3.m3.1c">|\psi_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p8.3.m3.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E23" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.23</span></a>) becomes the ground state for <math alttext="\mu=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p8.4.m4.1"><semantics id="S2.SS4.p8.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS4.p8.4.m4.1.1" xref="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p8.4.m4.1b"><apply id="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.4.m4.1.1"><eq id="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p8.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p8.4.m4.1c">\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p8.4.m4.1d">italic_μ = 0</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p9"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p9.4">For finite <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p9.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p9.1.m1.1a"><mi id="S2.SS4.p9.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.p9.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p9.1.m1.1b"><ci id="S2.SS4.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p9.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p9.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> the value <math alttext="\braket{\psi_{0}}{O_{j}^{\dagger}}{\psi_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p9.2.m2.3"><semantics id="S2.SS4.p9.2.m2.3a"><mrow id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.5" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.4.cmml"><mo id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.5.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.4.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.5.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.4.1.cmml">|</mo><msubsup id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">O</mi><mi id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.5.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.4.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.2" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.5.4" stretchy="false" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p9.2.m2.3b"><apply id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.5.1">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p9.2.m2.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.2.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p9.2.m2.3.3.3.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p9.2.m2.3c">\braket{\psi_{0}}{O_{j}^{\dagger}}{\psi_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p9.2.m2.3d">⟨ start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is slowly decreasing. Numerically we observe that also at finite <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p9.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.p9.3.m3.1a"><mi id="S2.SS4.p9.3.m3.1.1" xref="S2.SS4.p9.3.m3.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p9.3.m3.1b"><ci id="S2.SS4.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.3.m3.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p9.3.m3.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p9.3.m3.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> up to very large magnitudes the value of the one-point function in <math alttext="\ket{\psi_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p9.4.m4.1"><semantics id="S2.SS4.p9.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p9.4.m4.1b"><apply id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p9.4.m4.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p9.4.m4.1c">\ket{\psi_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p9.4.m4.1d">| start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is still larger than in any other state in the Hilbert space. It is however unlikely that one could guarantee this analytically due to the lack of information about the behaviour of generic states.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p10"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p10.5">As long as the Hamiltonian is of the scar-preserving form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E10" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.10</span></a>) the <math alttext="(NK+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p10.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p10.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p10.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1"><plus id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><cn id="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p10.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p10.1.m1.1c">(NK+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p10.1.m1.1d">( italic_N italic_K + 1 )</annotation></semantics></math>-dimensional, <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p10.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.p10.2.m2.1a"><mi id="S2.SS4.p10.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.p10.2.m2.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p10.2.m2.1b"><ci id="S2.SS4.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.2.m2.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p10.2.m2.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p10.2.m2.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-invariant subspace remains dynamically decoupled from the rest of the Hilbert space. Eigenvectors and energies within the subspace are determined by <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p10.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.p10.3.m3.1a"><msub id="S2.SS4.p10.3.m3.1.1" xref="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p10.3.m3.1b"><apply id="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p10.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p10.3.m3.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p10.3.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore any modifications of the <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p10.4.m4.1"><semantics id="S2.SS4.p10.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS4.p10.4.m4.1.1" xref="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p10.4.m4.1b"><apply id="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.4.m4.1.1"><times id="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.1"></times><ci id="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p10.4.m4.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p10.4.m4.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p10.4.m4.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> part of the Hamiltonian may only change the threschold value <math alttext="|\gamma_{c}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p10.5.m5.1"><semantics id="S2.SS4.p10.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p10.5.m5.1b"><apply id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1"><abs id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p10.5.m5.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p10.5.m5.1c">|\gamma_{c}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p10.5.m5.1d">| italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> above which a state from the subspace becomes the ground state.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span>Example 1: 2D single-orbital Hubbard model </h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">For our first example consider the Hilbert space of spin-1/2 fermions without any additional flavours (K=1 for both types) on a 2D square lattice.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.1">The starting point is the standard Hubbard Hamiltonian</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx30"> <tbody id="S3.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H^{H}=\mu_{H}\sum_{i=1}^{N}(n_{i\uparrow}+n_{i\downarrow})+\sum_% {\braket{kj}}(t_{kj}c^{\dagger}_{j}c_{k}+h.c.)+U\sum_{j}n_{j\downarrow}n_{j% \uparrow}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E1.m1.1"><semantics id="S3.E1.m1.1a"><mrow id="S3.E1.m1.1b"><msup id="S3.E1.m1.1.2"><mi id="S3.E1.m1.1.2.2">H</mi><mi id="S3.E1.m1.1.2.3">H</mi></msup><mo id="S3.E1.m1.1.3">=</mo><msub id="S3.E1.m1.1.4"><mi id="S3.E1.m1.1.4.2">μ</mi><mi id="S3.E1.m1.1.4.3">H</mi></msub><mstyle displaystyle="true" id="S3.E1.m1.1.5"><munderover id="S3.E1.m1.1.5a"><mo id="S3.E1.m1.1.5.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.5.2.3"><mi id="S3.E1.m1.1.5.2.3.2">i</mi><mo id="S3.E1.m1.1.5.2.3.1">=</mo><mn id="S3.E1.m1.1.5.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.E1.m1.1.5.3">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.E1.m1.1.6"><mo id="S3.E1.m1.1.6.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E1.m1.1.6.2"><mi id="S3.E1.m1.1.6.2.2">n</mi><mrow id="S3.E1.m1.1.6.2.3"><mi id="S3.E1.m1.1.6.2.3.2">i</mi><mo id="S3.E1.m1.1.6.2.3.1" stretchy="false">↑</mo><mi id="S3.E1.m1.1.6.2.3.3"></mi></mrow></msub><mo id="S3.E1.m1.1.6.3">+</mo><msub id="S3.E1.m1.1.6.4"><mi id="S3.E1.m1.1.6.4.2">n</mi><mrow id="S3.E1.m1.1.6.4.3"><mi id="S3.E1.m1.1.6.4.3.2">i</mi><mo id="S3.E1.m1.1.6.4.3.1" stretchy="false">↓</mo><mi id="S3.E1.m1.1.6.4.3.3"></mi></mrow></msub><mo id="S3.E1.m1.1.6.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.7">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E1.m1.1.8"><munder id="S3.E1.m1.1.8a"><mo id="S3.E1.m1.1.8.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1a.3"><mo id="S3.E1.m1.1.1.1a.3.1" stretchy="false">⟨</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2">k</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3">j</mi></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1a.3.2" stretchy="false">⟩</mo></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.E1.m1.1.9"><mo id="S3.E1.m1.1.9.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E1.m1.1.9.2"><mi id="S3.E1.m1.1.9.2.2">t</mi><mrow id="S3.E1.m1.1.9.2.3"><mi id="S3.E1.m1.1.9.2.3.2">k</mi><mo id="S3.E1.m1.1.9.2.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E1.m1.1.9.2.3.3">j</mi></mrow></msub><msubsup id="S3.E1.m1.1.9.3"><mi id="S3.E1.m1.1.9.3.2.2">c</mi><mi id="S3.E1.m1.1.9.3.3">j</mi><mo id="S3.E1.m1.1.9.3.2.3">†</mo></msubsup><msub id="S3.E1.m1.1.9.4"><mi id="S3.E1.m1.1.9.4.2">c</mi><mi id="S3.E1.m1.1.9.4.3">k</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.1.9.5">+</mo><mi id="S3.E1.m1.1.9.6">h</mi><mo id="S3.E1.m1.1.9.7" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mi id="S3.E1.m1.1.9.8">c</mi><mo id="S3.E1.m1.1.9.9" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S3.E1.m1.1.9.10" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.10">+</mo><mi id="S3.E1.m1.1.11">U</mi><mstyle displaystyle="true" id="S3.E1.m1.1.12"><munder id="S3.E1.m1.1.12a"><mo id="S3.E1.m1.1.12.2" movablelimits="false">∑</mo><mi id="S3.E1.m1.1.12.3">j</mi></munder></mstyle><msub id="S3.E1.m1.1.13"><mi id="S3.E1.m1.1.13.2">n</mi><mrow id="S3.E1.m1.1.13.3"><mi id="S3.E1.m1.1.13.3.2">j</mi><mo id="S3.E1.m1.1.13.3.1" stretchy="false">↓</mo><mi id="S3.E1.m1.1.13.3.3"></mi></mrow></msub><msub id="S3.E1.m1.1.14"><mi id="S3.E1.m1.1.14.2">n</mi><mrow id="S3.E1.m1.1.14.3"><mi id="S3.E1.m1.1.14.3.2">j</mi><mo id="S3.E1.m1.1.14.3.1" stretchy="false">↑</mo><mi id="S3.E1.m1.1.14.3.3"></mi></mrow></msub><mo id="S3.E1.m1.1.15" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E1.m1.1c">\displaystyle H^{H}=\mu_{H}\sum_{i=1}^{N}(n_{i\uparrow}+n_{i\downarrow})+\sum_% {\braket{kj}}(t_{kj}c^{\dagger}_{j}c_{k}+h.c.)+U\sum_{j}n_{j\downarrow}n_{j% \uparrow}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E1.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT = italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_i ↑ end_POSTSUBSCRIPT + italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_i ↓ end_POSTSUBSCRIPT ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG italic_k italic_j end_ARG ⟩ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_h . italic_c . ) + italic_U ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.1)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.1 </span>Scars and <math alttext="H_{0}+OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.1.m1.1b"><mrow id="S3.SS1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.m1.1c"><apply id="S3.SS1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1"><plus id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.m1.1d">H_{0}+OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.m1.1e">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T</annotation></semantics></math> decomposition</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.5">There are three families of scar states in this model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> for purely imaginary (<math alttext="\ket{n^{\eta}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">\ket{n^{\eta}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">| start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>), purely real (<math alttext="\ket{n^{\eta}}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.1a"><msup id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.2">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.1c">\ket{n^{\eta}}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.1d">| start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) or complex (<math alttext="\ket{n^{\zeta}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">ζ</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝜁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.1c">\ket{n^{\zeta}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.1d">| start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>) hopping amplitude <math alttext="t_{kj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m4.1c">t_{kj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m4.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Each of the three families is constructed according to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) where the operator <math alttext="{\cal O}_{j}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m5.1a"><msubsup id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m5.1c">{\cal O}_{j}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m5.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx31"> <tbody id="S3.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\eta_{j}^{\dagger}=\frac{1}{2}\left(c^{\dagger}_{j\uparrow}c^{% \dagger}_{j\downarrow}-c^{\dagger}_{j\downarrow}c^{\dagger}_{j\uparrow}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E2.m1.1"><semantics id="S3.E2.m1.1a"><mrow id="S3.E2.m1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E2.m1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E2.m1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E2.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E2.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.E2.m1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.1.1.3.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E2.m1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E2.m1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E2.m1.1.1.1.3a" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E2.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E2.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" 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id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1">↓</ci><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT - italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.2)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\eta^{\prime}}_{j}^{\dagger}=\frac{1}{2}e^{i\pi j}\left(c^{% \dagger}_{j\uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}-c^{\dagger}_{j\downarrow}c^{% \dagger}_{j\uparrow}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex1.m1.1"><semantics id="S3.Ex1.m1.1a"><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.cmml"><mmultiscripts id="S3.Ex1.m1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.3a" xref="S3.Ex1.m1.1.1.3.cmml"></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.3.3.cmml">†</mo></mmultiscripts><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex1.m1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.3.cmml"><mn 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xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1">↓</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1">↓</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1">↑</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.1c">\displaystyle{\eta^{\prime}}_{j}^{\dagger}=\frac{1}{2}e^{i\pi j}\left(c^{% \dagger}_{j\uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}-c^{\dagger}_{j\downarrow}c^{% \dagger}_{j\uparrow}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_π italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT - italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\zeta}_{j}^{\dagger}=c^{\dagger}_{j\uparrow}c_{j\downarrow}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m1.1"><semantics id="S3.Ex2.m1.1a"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.1b"><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜁</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3"><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1">↑</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑐</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3"><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.1">↓</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.1c">\displaystyle{\zeta}_{j}^{\dagger}=c^{\dagger}_{j\uparrow}c_{j\downarrow}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.1d">italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.6">Observe that the excitations are of type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S3.SS1.p1.6.1">\@slowromancap</span>i@ in the first two cases and of type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S3.SS1.p1.6.2">\@slowromancap</span>ii@ for the third case.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.1">As shown in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> the <math alttext="H_{0}+OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1"><plus id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.1c">H_{0}+OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T</annotation></semantics></math> decomposition of the Hubbard model for the eta and eta’ states reads</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="A3.EGx32"> <tbody id="S3.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H^{H}=H^{H\eta}_{0}+t\sum_{\braket{i,j}}T^{\prime}_{\braket{i,j}% }-\frac{U}{2}\sum\limits_{i}M_{i}^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E3.m1.3"><semantics id="S3.E3.m1.3a"><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S3.E3.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">H</mi><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml"><munder id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E3.m1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></munder><msubsup id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.2.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.E3.m1.2.2.1.3" xref="S3.E3.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.2.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.E3.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S3.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E3.m1.2.2.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.E3.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><munder id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.3.cmml">i</mi></munder><msubsup id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E3.m1.3b"><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1"><eq id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3"><minus id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2"><plus id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2">𝐻</ci><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3"><times id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3"><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.2"></sum><apply id="S3.E3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E3.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.3.1">expectation</csymbol><list id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4"><ci id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑗</ci></list></apply></apply><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" 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id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.m1.3c">\displaystyle H^{H}=H^{H\eta}_{0}+t\sum_{\braket{i,j}}T^{\prime}_{\braket{i,j}% }-\frac{U}{2}\sum\limits_{i}M_{i}^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.m1.3d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT = italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_H italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_t ∑ start_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG italic_i , italic_j end_ARG ⟩ end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG italic_i , italic_j end_ARG ⟩ end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.6">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="A3.EGx33"> <tbody id="S3.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H^{H\eta}_{0}=n\left(\frac{U}{2}+\mu_{H}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E4.m1.1"><semantics id="S3.E4.m1.1a"><mrow id="S3.E4.m1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E4.m1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E4.m1.1.1.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.E4.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.E4.m1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.m1.1b"><apply id="S3.E4.m1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1"><eq id="S3.E4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><apply id="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.3.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.E4.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.m1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S3.E4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1"><times id="S3.E4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E4.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.m1.1c">\displaystyle H^{H\eta}_{0}=n\left(\frac{U}{2}+\mu_{H}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_H italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_n ( divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.5">with <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p2.2.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> total particle number and the remaining (<math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.3.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m2.1.1"><times id="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m2.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m2.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m2.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math>) terms exactly annihilate any state in the scar subspaces spanned by <math alttext="\ket{n^{\eta}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></msup><mo id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m3.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m3.1c">\ket{n^{\eta}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m3.1d">| start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="\ket{n^{\eta}}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.5.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p2.5.m4.1a"><msup id="S3.SS1.p2.5.m4.1.2" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></msup><mo id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.5.m4.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.2.2.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p2.5.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p2.5.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m4.1.2.2">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m4.1c">\ket{n^{\eta}}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m4.1d">| start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.4">The decomposition for the zeta states is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="A3.EGx34"> <tbody id="S3.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H^{H}=H_{0}^{H\zeta}+t\sum_{\braket{i,j}}T^{\prime}_{\braket{i,j% }}+\frac{U}{2}\sum\limits_{i}(n_{i}-1)^{2}\ ," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E5.m1.3"><semantics id="S3.E5.m1.3a"><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S3.E5.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">H</mi><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">ζ</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.2" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml"><munder id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2" 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id="S3.E5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1"><eq id="S3.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3"><times id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝜁</ci></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4"><times id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.1"></times><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.2">𝑡</ci><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3"><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.2"></sum><apply 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xref="S3.E5.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2.1.3.1">expectation</csymbol><list id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4"><ci id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑗</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2"></sum><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.3c">\displaystyle H^{H}=H_{0}^{H\zeta}+t\sum_{\braket{i,j}}T^{\prime}_{\braket{i,j% }}+\frac{U}{2}\sum\limits_{i}(n_{i}-1)^{2}\ ,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.3d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT = italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_H italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_t ∑ start_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG italic_i , italic_j end_ARG ⟩ end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG italic_i , italic_j end_ARG ⟩ end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.5">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="A3.EGx35"> <tbody id="S3.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H_{0}^{H\zeta}=n\left(\frac{U}{2}+\mu_{H}\right)-U\frac{N}{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E6.m1.1"><semantics id="S3.E6.m1.1a"><mrow id="S3.E6.m1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E6.m1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E6.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E6.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.E6.m1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E6.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3.3.cmml">ζ</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.E6.m1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.3.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E6.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mn id="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.1b"><apply id="S3.E6.m1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1"><eq id="S3.E6.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E6.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.E6.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3"><times id="S3.E6.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E6.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.E6.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3.3">𝜁</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1"><minus id="S3.E6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3"><times id="S3.E6.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.3"><divide id="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.3"></divide><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.1c">\displaystyle H_{0}^{H\zeta}=n\left(\frac{U}{2}+\mu_{H}\right)-U\frac{N}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_H italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_n ( divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_U divide start_ARG italic_N end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.3">and the remaining (<math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1"><times id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math>) terms annihilate any state in the zeta scar subspace spanned by <math alttext="\ket{n^{\zeta}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">ζ</mi></msup><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3">𝜁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m2.1c">\ket{n^{\zeta}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m2.1d">| start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>. All the zeta states are half-filled <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>, therefore the action of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E6" title="In III.1 Scars and 𝐻₀+𝑂⁢𝑇 decomposition ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.6</span></a>) within the zeta subspace is just a constant <math alttext="\mu_{H}N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1"><times id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m3.1c">\mu_{H}N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m3.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT italic_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.7">As announced in the general discussion the scar subspace constructed using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) may have symmetry <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> that is higher than O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2"><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m2.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m2.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>. For example the <math alttext="\ket{n^{\eta}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p4.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></msup><mo id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.3.m3.1c">\ket{n^{\eta}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.3.m3.1d">| start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> built using <math alttext="\eta^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p4.4.m4.1a"><msup id="S3.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m4.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.4.m4.1c">\eta^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.4.m4.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E2" title="In III.1 Scars and 𝐻₀+𝑂⁢𝑇 decomposition ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.2</span></a>) are in addition spin-singlets and their full symmetry is <math alttext="G=\widetilde{Sp}(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p4.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.1" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.1" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.3" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.1" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p4.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2"><eq id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.1"></eq><ci id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.2">𝐺</ci><apply id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3"><times id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.1">~</ci><apply id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2"><times id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.2.3.2.2.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m5.1.1">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.5.m5.1c">G=\widetilde{Sp}(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.5.m5.1d">italic_G = over~ start_ARG italic_S italic_p end_ARG ( italic_N )</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib67" title="">67</a>]</cite>. In all three cases O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p4.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.6.m6.1.2.2"><mo id="S3.SS1.p4.6.m6.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.SS1.p4.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p4.6.m6.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.6.m6.1b"><ci id="S3.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.6.m6.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.6.m6.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.6.m6.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> is a sub-group of the full symmetry <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.7.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p4.7.m7.1a"><mi id="S3.SS1.p4.7.m7.1.1" xref="S3.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.7.m7.1b"><ci id="S3.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.7.m7.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.7.m7.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.7.m7.1d">italic_G</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.2 </span>BCS ground state for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S3.SS2.3.1">\@slowromancap</span>i@ <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.1.m1.1b"><mi id="S3.SS2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.1.m1.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.m1.1c"><ci id="S3.SS2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.m1.1d">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.m1.1e">italic_η</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.2.m2.1b"><msup id="S3.SS2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.2.m2.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S3.SS2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.2.m2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.m2.1c"><apply id="S3.SS2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.2.m2.1.1.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.2.m2.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.m2.1d">\eta^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.m2.1e">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.5">Now on top of the Hubbard Hamiltonian we add the pairing potential <math alttext="\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E12" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.12</span></a>) with <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m2.1c">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m2.1d">caligraphic_O</annotation></semantics></math> from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E2" title="In III.1 Scars and 𝐻₀+𝑂⁢𝑇 decomposition ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.2</span></a>). For <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.3.m3.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.3.m3.1d">italic_η</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p1.4.m4.1a"><msup id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.4.m4.1c">\eta^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.4.m4.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> one can think of the resulting Hamiltonian as being a model for a Hubbard material being brought in close proximity of a superconductor. In all the three cases this additional term respects the full symmetry of the respective scar family and becomes part of <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p1.5.m5.1a"><msub id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.5.m5.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.5.m5.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The exact full Hamiltonian that governs eta (for example) scar subspace is then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="A3.EGx36"> <tbody id="S3.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H^{\eta}_{0}=H^{H\eta}_{0}+\delta H^{\eta}_{0}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E7.m1.1"><semantics id="S3.E7.m1.1a"><mrow id="S3.E7.m1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.m1.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E7.m1.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E7.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.2.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="S3.E7.m1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E7.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.E7.m1.1.1.3.1" xref="S3.E7.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">η</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.1b"><apply id="S3.E7.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1"><eq id="S3.E7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.2.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.2.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.E7.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3"><plus id="S3.E7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.E7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.2">𝐻</ci><apply id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3"><times id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.E7.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3"><times id="S3.E7.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E7.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.1.1.3.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.1c">\displaystyle H^{\eta}_{0}=H^{H\eta}_{0}+\delta H^{\eta}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_H italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_δ italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.7">On the other hand one could start from <math alttext="H^{\eta}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.6.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.6.m1.1a"><msubsup id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.6.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.6.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.6.m1.1c">H^{\eta}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.6.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (which is identical to the mean-field Hamiltonian) and consider Hubbard and any further <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.7.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.7.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.7.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.7.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m2.1.1"><times id="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m2.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.7.m2.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.7.m2.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> terms as a perturbation that, independent of its strength, leaves the mean-field solution intact because it is a scar state.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.7">Consider the two cases 1) real hopping in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E1" title="In III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a>), <math alttext="{\cal O}_{j}={\eta^{\prime}}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mmultiscripts id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3a" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"></mrow><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3b" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"></mrow></mmultiscripts></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">{\cal O}_{j}={\eta^{\prime}}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the tower of states <math alttext="\ket{\phi_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">\ket{\phi_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) is then known as momentum <math alttext="k=\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">k=\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">italic_k = italic_π</annotation></semantics></math> eta-pairing states <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib59" title="">59</a>]</cite> defined on any bi-partite lattice 2) imaginary hopping in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E1" title="In III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a>), <math alttext="{\cal O}_{j}={\eta}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m4.1c">{\cal O}_{j}={\eta}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m4.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, states <math alttext="\ket{\phi_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m5.1c">\ket{\phi_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m5.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> are then <math alttext="k=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m6.1c">k=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m6.1d">italic_k = 0</annotation></semantics></math> eta-pairing states <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib59" title="">59</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> defined on arbitrary lattice). Define <math alttext="s_{j}=e^{ikj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p2.7.m7.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.1" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.1a" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.4" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.4.cmml">j</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.7.m7.1b"><apply id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3"><times id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.3">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.3.3.4">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.7.m7.1c">s_{j}=e^{ikj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.7.m7.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.3"><math alttext="H^{\eta}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><msubsup id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">H^{\eta}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is of the general form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E11" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.11</span></a>) with <math alttext="\mu=\frac{U}{2}+\mu_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3"><plus id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2"><divide id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2"></divide><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.2">𝑈</ci><cn id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.1c">\mu=\frac{U}{2}+\mu_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.1d">italic_μ = divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="C=(\frac{U}{2}+\mu_{H})N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2"></eq><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1"><times id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐻</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.3.m3.1c">C=(\frac{U}{2}+\mu_{H})N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.3.m3.1d">italic_C = ( divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ) italic_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.2">According to the general argument for a large enough <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> the ground state of the Hamiltonian <math alttext="H^{H}+\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml">H</mi><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1"><plus id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.2.m2.1c">H^{H}+\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a many-body scar state</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p5"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx37"> <tbody id="S3.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|\psi^{\eta}_{0}\rangle=N_{\psi}\prod_{j}\left(1+\frac{e^{i\theta% }}{\frac{\mu}{\gamma}+\sqrt{\frac{\mu^{2}}{\gamma^{2}}+1}}s_{j}c^{\dagger}_{j% \uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}\right)\ket{0}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E8.m1.2"><semantics id="S3.E8.m1.2a"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">ψ</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml"><munder id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2a" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mfrac id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">γ</mi></mfrac><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml"><msup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><msup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml">1</mn></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.1.1a.3" xref="S3.E8.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mn id="S3.E8.m1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.E8.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E8.m1.2b"><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1"><eq id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2"><times id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2"></times><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝜓</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1"><apply 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id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2"><divide id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2"></divide><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.2">𝜇</ci><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3"><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.1">↑</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3"><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.1">↓</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.5.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E8.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><cn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.2c">\displaystyle|\psi^{\eta}_{0}\rangle=N_{\psi}\prod_{j}\left(1+\frac{e^{i\theta% }}{\frac{\mu}{\gamma}+\sqrt{\frac{\mu^{2}}{\gamma^{2}}+1}}s_{j}c^{\dagger}_{j% \uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}\right)\ket{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.2d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG divide start_ARG italic_μ end_ARG start_ARG italic_γ end_ARG + square-root start_ARG divide start_ARG italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + 1 end_ARG end_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT ) | start_ARG 0 end_ARG ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p5.9">which is also the BCS wavefunction written in real space. For <math alttext="\mu_{H}=-\frac{U}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p5.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3a" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mfrac id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3"></minus><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2"><divide id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2"></divide><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><cn id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.1.m1.1c">\mu_{H}=-\frac{U}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.1.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = - divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p5.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.2.m2.1c">\theta=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.2.m2.1d">italic_θ = 0</annotation></semantics></math> it maximizes over the Hilbert space the value of the one point function <math alttext="\braket{s_{j}c^{\dagger}_{j\uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}}=\frac{e^{-i% \theta}}{2}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{U/2+\mu_{H}}{\gamma}\right)^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.3.m3.2"><semantics id="S3.SS2.p5.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.4.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.cmml"><msup id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3a" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.2.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.2.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.2.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup><mn id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.cmml"><mn id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.3.cmml">1</mn><msqrt id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2" 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id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝐻</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.3.m3.2c">\braket{s_{j}c^{\dagger}_{j\uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}}=\frac{e^{-i% \theta}}{2}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{U/2+\mu_{H}}{\gamma}\right)^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.3.m3.2d">⟨ start_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 1 + ( divide start_ARG italic_U / 2 + italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_γ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math> and its two-point function <math alttext="\braket{\frac{s_{j}}{s_{r}}c^{\dagger}_{j\uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}c_{% r\uparrow}c_{r\downarrow}}=0.25" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p5.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.4.m4.1.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><msub id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">s</mi><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msub></mfrac><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1b" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.3.cmml"></mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1c" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.1" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.2.cmml">0.25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.2"><eq id="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.1"></eq><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2"><divide id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3"><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.1">↑</ci><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3"><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.1">↓</ci><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.2">𝑐</ci><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3"><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.1">↑</ci><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.2">𝑟</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.5.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.2">𝑐</ci><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3"><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.1">↓</ci><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.2">𝑟</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.1.6.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.2.cmml" type="float" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.2.2">0.25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.4.m4.1c">\braket{\frac{s_{j}}{s_{r}}c^{\dagger}_{j\uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}c_{% r\uparrow}c_{r\downarrow}}=0.25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.4.m4.1d">⟨ start_ARG divide start_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = 0.25</annotation></semantics></math> has the maximum value that can be achieved by a product state. For arbitrary <math alttext="\mu_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p5.5.m5.1a"><msub id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2">𝜇</ci><ci id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.5.m5.1c">\mu_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.5.m5.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> both values are independent of the system size <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p5.6.m6.1a"><mi id="S3.SS2.p5.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.6.m6.1b"><ci id="S3.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.6.m6.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.6.m6.1d">italic_N</annotation></semantics></math> and site indexes <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p5.7.m7.1a"><mi id="S3.SS2.p5.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.7.m7.1b"><ci id="S3.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.7.m7.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.7.m7.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.7.m7.1d">italic_j</annotation></semantics></math> and <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.8.m8.1"><semantics id="S3.SS2.p5.8.m8.1a"><mi id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.8.m8.1b"><ci id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.8.m8.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.8.m8.1d">italic_r</annotation></semantics></math> which means the state (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E8" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.8</span></a>) has off-diagonal long-range order <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib59" title="">59</a>]</cite>. The state <math alttext="|\psi^{\eta}_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.9.m9.1"><semantics id="S3.SS2.p5.9.m9.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.9.m9.1b"><apply id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.9.m9.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.9.m9.1c">|\psi^{\eta}_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.9.m9.1d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E8" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.8</span></a>) and its excitations are a linear combination of the states in the original tower (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p6.1">We thus establish that the BCS wavefunction <math alttext="|\psi^{\eta}_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p6.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.1.m1.1c">|\psi^{\eta}_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> is a linear combination of the eta-pairing states!</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.6">As shown in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS1" title="A.1 Single-orbital: Eta subspace ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.1</span></a> the Bogoliubov-transformed fermions diagonalizing</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx38"> <tbody id="S3.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H^{\eta}_{0}=E\left[\left(\sum_{j}\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j% 1}-\gamma^{\dagger}_{j2}\gamma_{j2}\right)+1\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E9.m1.1"><semantics id="S3.E9.m1.1a"><mrow id="S3.E9.m1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E9.m1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E9.m1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E9.m1.1.1.3.3" xref="S3.E9.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E9.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E9.m1.1.1.3.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="S3.E9.m1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><munder id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mn id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E9.m1.1b"><apply id="S3.E9.m1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1"><eq id="S3.E9.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E9.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E9.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.3.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.E9.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.m1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1"><times id="S3.E9.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E9.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2"></sum><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" 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id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT ) + 1 ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.7">are</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx39"> <tbody id="S3.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma^{\dagger}_{j1}=uc^{\dagger}_{j\uparrow}-s_{j}^{*}v^{*}c_{j% \downarrow};\quad\gamma^{\dagger}_{j2}=s_{j}^{*}v^{*}c_{j\uparrow}+uc^{\dagger% }_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.m1.2"><semantics id="S3.E10.m1.2a"><mrow id="S3.E10.m1.2.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow 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xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E10.m1.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S3.E10.m1.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E10.m1.2.2.2.2.1" 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xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.3"><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1">↑</ci><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><times id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"></times></apply><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑣</ci><times id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"></times></apply><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.2">𝑐</ci><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3"><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1">↓</ci><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2"><eq id="S3.E10.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3"><times id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3"><plus id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.1"></plus><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2"><times id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.1"></times><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><times id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.2.3"></times></apply><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑣</ci><times id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.3.3"></times></apply><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.2">𝑐</ci><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.3"><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.3.1">↑</ci><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.2.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3"><times id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.2">𝑢</ci><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.3"><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.3.1">↓</ci><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.3.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.m1.2c">\displaystyle\gamma^{\dagger}_{j1}=uc^{\dagger}_{j\uparrow}-s_{j}^{*}v^{*}c_{j% \downarrow};\quad\gamma^{\dagger}_{j2}=s_{j}^{*}v^{*}c_{j\uparrow}+uc^{\dagger% }_{j\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.m1.2d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_u italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT ; italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT + italic_u italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.5">Both operators <math alttext="\gamma_{j1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p7.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.1.m1.1c">\gamma_{j1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{j2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p7.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.2.m2.1c">\gamma_{j2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.2.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> exactly annihiliate the BCS ground state <math alttext="|\psi^{\eta}_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p7.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.3.m3.1c">|\psi^{\eta}_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.3.m3.1d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E8" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.8</span></a>). The raising operator <math alttext="{\cal O}^{\gamma\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.4.m4.2"><semantics id="S3.SS2.p7.4.m4.2a"><msup id="S3.SS2.p7.4.m4.2.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p7.4.m4.2.3.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.4.m4.2b"><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.3.2">𝒪</ci><list id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2">†</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.4.m4.2c">{\cal O}^{\gamma\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.4.m4.2d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is constructed by replacing the original fermion operators with <math alttext="\gamma^{\dagger}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p7.5.m5.1a"><msubsup id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.5.m5.1c">\gamma^{\dagger}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.5.m5.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E2" title="In III.1 Scars and 𝐻₀+𝑂⁢𝑇 decomposition ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.2</span></a>)</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p8"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx40"> <tbody id="S3.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}^{\gamma\dagger}=\frac{1}{2}\sum_{j}s_{j}\left(\gamma^{% \dagger}_{j1}\gamma^{\dagger}_{j2}-\gamma^{\dagger}_{j2}\gamma^{\dagger}_{j1}% \right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E11.m1.3"><semantics id="S3.E11.m1.3a"><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S3.E11.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mrow id="S3.E11.m1.2.2.2.4" xref="S3.E11.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S3.E11.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.2" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3a" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.m1.3b"><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1"><eq id="S3.E11.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.3.2">𝒪</ci><list id="S3.E11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S3.E11.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3"><divide id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"></sum><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.3c">\displaystyle{\cal O}^{\gamma\dagger}=\frac{1}{2}\sum_{j}s_{j}\left(\gamma^{% \dagger}_{j1}\gamma^{\dagger}_{j2}-\gamma^{\dagger}_{j2}\gamma^{\dagger}_{j1}% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.3d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p8.1">It coincides with the general expression (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E18" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.18</span></a>) and creates the tower of excitations above the BCS ground state <math alttext="|\psi^{\eta}_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p8.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.1.m1.1c">|\psi^{\eta}_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E8" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.8</span></a>) that forms the full transformed basis of the scar subspace (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>).</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.3 </span>Ground state for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S3.SS3.2.1">\@slowromancap</span>ii@ <math alttext="\zeta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.1.m1.1b"><mi id="S3.SS3.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.1.m1.1.1.cmml">ζ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.1.m1.1c"><ci id="S3.SS3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.m1.1.1">𝜁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.1.m1.1d">\zeta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.1.m1.1e">italic_ζ</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.1">For complex-valued hopping in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E1" title="In III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a>) and <math alttext="{\cal O}^{\dagger}_{j}={\zeta}_{j}^{\dagger}=c^{\dagger}_{j\uparrow}c_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msubsup id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.5" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.cmml"><msubsup id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1"><and id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.2">𝜁</ci><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.3">†</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.SS3.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1"></share><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6"><times id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.1"></times><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.1">↑</ci><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.2">𝑐</ci><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.1">↓</ci><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.6.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">{\cal O}^{\dagger}_{j}={\zeta}_{j}^{\dagger}=c^{\dagger}_{j\uparrow}c_{j\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the Hamiltonian governing the scar subspace is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx41"> <tbody id="S3.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{0}^{\zeta}=H_{0}^{H\zeta}+\delta H^{\zeta}_{0}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.m1.1"><semantics id="S3.E12.m1.1a"><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ζ</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.m1.1b"><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1"><eq id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.2.3">𝜁</ci></apply><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜁</ci></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝜁</ci></apply><cn id="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.m1.1c">\displaystyle H_{0}^{\zeta}=H_{0}^{H\zeta}+\delta H^{\zeta}_{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_H italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.12)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.2">It is of the general form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E11" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.11</span></a>) with <math alttext="\mu=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">italic_μ = 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="C=\mu_{H}N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.2.m2.1c">C=\mu_{H}N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.2.m2.1d">italic_C = italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT italic_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.1">The lowest-energy state within the scar subspace (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E21" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.21</span></a>) and the large-<math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> global ground state is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx42"> <tbody id="S3.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ket{\psi^{\zeta}_{0}}=2^{-\frac{N}{2}}\prod_{j}\left(1+e^{i% \theta}c^{\dagger}_{j\uparrow}c_{j\downarrow}\right)\ket{0_{\@slowromancap ii@% }}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E13.m1.3"><semantics id="S3.E13.m1.3a"><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.1.1a.3" xref="S3.E13.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.E13.m1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup><mo id="S3.E13.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3a" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.cmml">N</mi><mn id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></msup><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2a.3" xref="S3.E13.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.2.2a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.cmml">0</mn><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2b.cmml"><mtext id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2a" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2b.cmml">\@slowromancap</mtext></merror><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.1a" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.4" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">i</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.1b" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.5.cmml">@</mi></mrow></msub><mo id="S3.E13.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E13.m1.3b"><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1"><eq id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.E13.m1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.3">𝜁</ci></apply><cn id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3"><minus id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3"></minus><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2"><divide id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2"></divide><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2">𝑁</ci><cn id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1">↑</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑐</ci><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3"><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1">↓</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2a.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2a.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2">0</cn><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3"><times id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2b.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2"><mtext id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2a.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.2">\@slowromancap</mtext></merror></ci><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.4">𝑖</ci><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.5">@</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.3c">\displaystyle\ket{\psi^{\zeta}_{0}}=2^{-\frac{N}{2}}\prod_{j}\left(1+e^{i% \theta}c^{\dagger}_{j\uparrow}c_{j\downarrow}\right)\ket{0_{\@slowromancap ii@% }}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.3d">| start_ARG italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = 2 start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_N end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT ) | start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_i @ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.4">In agreement with the general argument (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E29" title="In II.4 Correlations and the global energy minimum ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.29</span></a>) its one- and two-point (ODLRO) functions are <math alttext="\braket{c^{\dagger}_{j\uparrow}c_{j\downarrow}}=e^{-i\theta}0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.2.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p3.2.m1.1.2" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi 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id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><apply id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.3"><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.3.1">↓</ci><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.3"><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.3.1">↓</ci><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.3.2">𝑟</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5.2">𝑐</ci><apply id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5.3"><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.1.1.1.5.3.1.cmml" 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xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.2.3.2.1"></times><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.2.3.2.2">𝑖</ci><cn id="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.2.3.2.3">2</cn><ci id="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.2.3.2.4.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.2.3.2.4">𝜃</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.3.cmml" type="float" xref="S3.SS3.p3.3.m2.1.2.2.3">0.25</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.3.m2.1c">\braket{c^{\dagger}_{j\uparrow}c_{j\downarrow}c^{\dagger}_{r\downarrow}c_{r% \uparrow}}=e^{-i2\theta}0.25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.3.m2.1d">⟨ start_ARG italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_r ↓ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i 2 italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT 0.25</annotation></semantics></math> and are independent of the system size <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.4.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p3.4.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p3.4.m3.1.1" xref="S3.SS3.p3.4.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.4.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p3.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.4.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.4.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math> and of the positions where they are evaluated.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.2">In Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS2" title="A.2 Single-orbital: Zeta subspace ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.2</span></a> we show that in terms of the emergent fermion operators</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx43"> <tbody id="S3.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma^{\dagger}_{j1}=uc^{\dagger}_{j\uparrow}-v^{*}c^{\dagger}_{% j\downarrow};\quad\gamma_{j2}=v^{*}c_{j\uparrow}+uc_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.m1.2"><semantics id="S3.E14.m1.2a"><mrow id="S3.E14.m1.2.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E14.m1.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S3.E14.m1.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E14.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.3.3" 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id="S3.E14.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1"><eq id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" 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j\downarrow};\quad\gamma_{j2}=v^{*}c_{j\uparrow}+uc_{j\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.m1.2d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_u italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT ; italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT + italic_u italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.1"><math alttext="H_{0}^{\zeta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p4.1.m1.1a"><msubsup id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml">ζ</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.3">𝜁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.1.m1.1c">H_{0}^{\zeta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is simply the total ”magnetization” with respect to the flavour of the transformed fermions</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx44"> <tbody id="S3.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{0}^{\zeta}=\gamma\sum_{j}\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j1}-% \gamma^{\dagger}_{j2}\gamma_{j2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.m1.1"><semantics id="S3.E15.m1.1a"><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><munder id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.m1.1b"><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1"><eq id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.3">𝜁</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝛾</ci><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3"><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.2"></sum><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1"></times><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝛾</ci><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.1"></times><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝛾</ci><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.m1.1c">\displaystyle H_{0}^{\zeta}=\gamma\sum_{j}\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j1}-% \gamma^{\dagger}_{j2}\gamma_{j2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_γ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.15)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p5.2">The raising operator creating scar excitations above <math alttext="|\psi^{\zeta}_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p5.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝜁</ci></apply><cn id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p5.1.m1.1c">|\psi^{\zeta}_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p5.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E13" title="In III.3 Ground state for type-\@slowromancapii@ 𝜁 ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.13</span></a>) flips the ”spin”/flavour of the transformed fermions analogous to <math alttext="{\zeta}_{j}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p5.2.m2.1a"><msubsup id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.2">𝜁</ci><ci id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p5.2.m2.1c">{\zeta}_{j}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p5.2.m2.1d">italic_ζ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E2" title="In III.1 Scars and 𝐻₀+𝑂⁢𝑇 decomposition ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.2</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p6"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx45"> <tbody id="S3.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}^{\gamma\dagger}_{j}=\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E16.m1.3"><semantics id="S3.E16.m1.3a"><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S3.E16.m1.2.2.2.4" xref="S3.E16.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.E16.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S3.E16.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S3.E16.m1.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E16.m1.3b"><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1"><eq id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝒪</ci><list id="S3.E16.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S3.E16.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3"><times id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3"><times id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2">𝛾</ci><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3"><times id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E16.m1.3c">\displaystyle{\cal O}^{\gamma\dagger}_{j}=\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E16.m1.3d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.16)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.4 </span>Benefits of many-body scars</h3> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="137" id="S3.F1.1.g1" src="x1.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="137" id="S3.F1.2.g2" src="x2.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="S3.F1.3.g3" src="x3.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="S3.F1.4.g4" src="x4.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="S3.F1.5.g5" src="x5.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="S3.F1.6.g6" src="x6.png" width="203"/></div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure III.1: </span> Numerical results for single-flavour (<math alttext="K=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.22.m1.1"><semantics id="S3.F1.22.m1.1b"><mrow id="S3.F1.22.m1.1.1" xref="S3.F1.22.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.22.m1.1.1.2" xref="S3.F1.22.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.F1.22.m1.1.1.1" xref="S3.F1.22.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F1.22.m1.1.1.3" xref="S3.F1.22.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.22.m1.1c"><apply id="S3.F1.22.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.22.m1.1.1"><eq id="S3.F1.22.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.22.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.22.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.22.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.F1.22.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.22.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.22.m1.1d">K=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.22.m1.1e">italic_K = 1</annotation></semantics></math>) 2D real-hopping Hubbard model with o.b.c., <math alttext="U=5.01" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.23.m2.1"><semantics id="S3.F1.23.m2.1b"><mrow id="S3.F1.23.m2.1.1" xref="S3.F1.23.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.23.m2.1.1.2" xref="S3.F1.23.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.F1.23.m2.1.1.1" xref="S3.F1.23.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F1.23.m2.1.1.3" xref="S3.F1.23.m2.1.1.3.cmml">5.01</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.23.m2.1c"><apply id="S3.F1.23.m2.1.1.cmml" xref="S3.F1.23.m2.1.1"><eq id="S3.F1.23.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.23.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.23.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.23.m2.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S3.F1.23.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.F1.23.m2.1.1.3">5.01</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.23.m2.1d">U=5.01</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.23.m2.1e">italic_U = 5.01</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mu=-1.2294" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.24.m3.1"><semantics id="S3.F1.24.m3.1b"><mrow id="S3.F1.24.m3.1.1" xref="S3.F1.24.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.24.m3.1.1.2" xref="S3.F1.24.m3.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.F1.24.m3.1.1.1" xref="S3.F1.24.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.24.m3.1.1.3" xref="S3.F1.24.m3.1.1.3.cmml"><mo id="S3.F1.24.m3.1.1.3b" xref="S3.F1.24.m3.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.F1.24.m3.1.1.3.2" xref="S3.F1.24.m3.1.1.3.2.cmml">1.2294</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.24.m3.1c"><apply id="S3.F1.24.m3.1.1.cmml" xref="S3.F1.24.m3.1.1"><eq id="S3.F1.24.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.24.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.24.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.24.m3.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.F1.24.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.24.m3.1.1.3"><minus id="S3.F1.24.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.24.m3.1.1.3"></minus><cn id="S3.F1.24.m3.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S3.F1.24.m3.1.1.3.2">1.2294</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.24.m3.1d">\mu=-1.2294</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.24.m3.1e">italic_μ = - 1.2294</annotation></semantics></math>, <math alttext="\theta=\pi/5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.25.m4.1"><semantics id="S3.F1.25.m4.1b"><mrow id="S3.F1.25.m4.1.1" xref="S3.F1.25.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.25.m4.1.1.2" xref="S3.F1.25.m4.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.F1.25.m4.1.1.1" xref="S3.F1.25.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.25.m4.1.1.3" xref="S3.F1.25.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.F1.25.m4.1.1.3.2" xref="S3.F1.25.m4.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.F1.25.m4.1.1.3.1" xref="S3.F1.25.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F1.25.m4.1.1.3.3" xref="S3.F1.25.m4.1.1.3.3.cmml">5</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.25.m4.1c"><apply id="S3.F1.25.m4.1.1.cmml" xref="S3.F1.25.m4.1.1"><eq id="S3.F1.25.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.25.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.25.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.25.m4.1.1.2">𝜃</ci><apply id="S3.F1.25.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.25.m4.1.1.3"><divide id="S3.F1.25.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.25.m4.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.F1.25.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F1.25.m4.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.F1.25.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.25.m4.1.1.3.3">5</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.25.m4.1d">\theta=\pi/5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.25.m4.1e">italic_θ = italic_π / 5</annotation></semantics></math>. <math alttext="{\cal O}^{\dagger}=\eta^{\dagger\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.26.m5.2"><semantics id="S3.F1.26.m5.2b"><mrow id="S3.F1.26.m5.2.3" xref="S3.F1.26.m5.2.3.cmml"><msup id="S3.F1.26.m5.2.3.2" xref="S3.F1.26.m5.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F1.26.m5.2.3.2.2" xref="S3.F1.26.m5.2.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.F1.26.m5.2.3.2.3" xref="S3.F1.26.m5.2.3.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S3.F1.26.m5.2.3.1" xref="S3.F1.26.m5.2.3.1.cmml">=</mo><msup id="S3.F1.26.m5.2.3.3" xref="S3.F1.26.m5.2.3.3.cmml"><mi id="S3.F1.26.m5.2.3.3.2" xref="S3.F1.26.m5.2.3.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S3.F1.26.m5.2.2.2.2" xref="S3.F1.26.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.F1.26.m5.1.1.1.1" xref="S3.F1.26.m5.1.1.1.1.cmml">†</mo><mo id="S3.F1.26.m5.2.2.2.2.2" lspace="0.222em" xref="S3.F1.26.m5.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S3.F1.26.m5.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.F1.26.m5.2.2.2.2.1.cmml">′</mo></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.26.m5.2c"><apply id="S3.F1.26.m5.2.3.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3"><eq id="S3.F1.26.m5.2.3.1.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3.1"></eq><apply id="S3.F1.26.m5.2.3.2.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.26.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.26.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.F1.26.m5.2.3.2.3.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.F1.26.m5.2.3.3.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.26.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.26.m5.2.3.3.2.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.3.3.2">𝜂</ci><list id="S3.F1.26.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.2.2.2"><ci id="S3.F1.26.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.26.m5.1.1.1.1">†</ci><ci id="S3.F1.26.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.26.m5.2.2.2.2.1">′</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.26.m5.2d">{\cal O}^{\dagger}=\eta^{\dagger\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.26.m5.2e">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_η start_POSTSUPERSCRIPT † ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in a),c),e) with <math alttext="N_{x}\times N_{y}=2\times 4" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.27.m6.1"><semantics id="S3.F1.27.m6.1b"><mrow id="S3.F1.27.m6.1.1" xref="S3.F1.27.m6.1.1.cmml"><mrow id="S3.F1.27.m6.1.1.2" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.cmml"><msub id="S3.F1.27.m6.1.1.2.2" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.2" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.3" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S3.F1.27.m6.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.1.cmml">×</mo><msub id="S3.F1.27.m6.1.1.2.3" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.2" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.3" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.3.cmml">y</mi></msub></mrow><mo id="S3.F1.27.m6.1.1.1" xref="S3.F1.27.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.27.m6.1.1.3" xref="S3.F1.27.m6.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F1.27.m6.1.1.3.2" xref="S3.F1.27.m6.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.F1.27.m6.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.F1.27.m6.1.1.3.1.cmml">×</mo><mn id="S3.F1.27.m6.1.1.3.3" xref="S3.F1.27.m6.1.1.3.3.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.27.m6.1c"><apply id="S3.F1.27.m6.1.1.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1"><eq id="S3.F1.27.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.F1.27.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2"><times id="S3.F1.27.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.1"></times><apply id="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.2.3.3">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S3.F1.27.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.3"><times id="S3.F1.27.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.27.m6.1.1.3.1"></times><cn id="S3.F1.27.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.27.m6.1.1.3.2">2</cn><cn id="S3.F1.27.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.27.m6.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.27.m6.1d">N_{x}\times N_{y}=2\times 4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.27.m6.1e">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT × italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT = 2 × 4</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma=4.61" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.28.m7.1"><semantics id="S3.F1.28.m7.1b"><mrow id="S3.F1.28.m7.1.1" xref="S3.F1.28.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.28.m7.1.1.2" xref="S3.F1.28.m7.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.F1.28.m7.1.1.1" xref="S3.F1.28.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F1.28.m7.1.1.3" xref="S3.F1.28.m7.1.1.3.cmml">4.61</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.28.m7.1c"><apply id="S3.F1.28.m7.1.1.cmml" xref="S3.F1.28.m7.1.1"><eq id="S3.F1.28.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.28.m7.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.28.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.28.m7.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S3.F1.28.m7.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.F1.28.m7.1.1.3">4.61</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.28.m7.1d">\gamma=4.61</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.28.m7.1e">italic_γ = 4.61</annotation></semantics></math>. <math alttext="{\cal O}^{\dagger}=\zeta^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.29.m8.1"><semantics id="S3.F1.29.m8.1b"><mrow id="S3.F1.29.m8.1.1" xref="S3.F1.29.m8.1.1.cmml"><msup id="S3.F1.29.m8.1.1.2" xref="S3.F1.29.m8.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F1.29.m8.1.1.2.2" xref="S3.F1.29.m8.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.F1.29.m8.1.1.2.3" xref="S3.F1.29.m8.1.1.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S3.F1.29.m8.1.1.1" xref="S3.F1.29.m8.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.F1.29.m8.1.1.3" xref="S3.F1.29.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.F1.29.m8.1.1.3.2" xref="S3.F1.29.m8.1.1.3.2.cmml">ζ</mi><mo id="S3.F1.29.m8.1.1.3.3" xref="S3.F1.29.m8.1.1.3.3.cmml">†</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.29.m8.1c"><apply id="S3.F1.29.m8.1.1.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1"><eq id="S3.F1.29.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.1"></eq><apply id="S3.F1.29.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.29.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.29.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.F1.29.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.F1.29.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.29.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.29.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.3.2">𝜁</ci><ci id="S3.F1.29.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F1.29.m8.1.1.3.3">†</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.29.m8.1d">{\cal O}^{\dagger}=\zeta^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.29.m8.1e">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_ζ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in b),d),f) with <math alttext="N_{x}\times N_{y}=3\times 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.30.m9.1"><semantics id="S3.F1.30.m9.1b"><mrow id="S3.F1.30.m9.1.1" xref="S3.F1.30.m9.1.1.cmml"><mrow id="S3.F1.30.m9.1.1.2" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.cmml"><msub id="S3.F1.30.m9.1.1.2.2" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.2" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.3" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S3.F1.30.m9.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.1.cmml">×</mo><msub id="S3.F1.30.m9.1.1.2.3" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.2" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.3" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.3.cmml">y</mi></msub></mrow><mo id="S3.F1.30.m9.1.1.1" xref="S3.F1.30.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.30.m9.1.1.3" xref="S3.F1.30.m9.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F1.30.m9.1.1.3.2" xref="S3.F1.30.m9.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S3.F1.30.m9.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.F1.30.m9.1.1.3.1.cmml">×</mo><mn id="S3.F1.30.m9.1.1.3.3" xref="S3.F1.30.m9.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.30.m9.1c"><apply id="S3.F1.30.m9.1.1.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1"><eq id="S3.F1.30.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.1"></eq><apply id="S3.F1.30.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2"><times id="S3.F1.30.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.1"></times><apply id="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.2.3.3">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S3.F1.30.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.3"><times id="S3.F1.30.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.30.m9.1.1.3.1"></times><cn id="S3.F1.30.m9.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.30.m9.1.1.3.2">3</cn><cn id="S3.F1.30.m9.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.30.m9.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.30.m9.1d">N_{x}\times N_{y}=3\times 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.30.m9.1e">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT × italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT = 3 × 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.31.m10.1"><semantics id="S3.F1.31.m10.1b"><mrow id="S3.F1.31.m10.1.1" xref="S3.F1.31.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.31.m10.1.1.2" xref="S3.F1.31.m10.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.F1.31.m10.1.1.1" xref="S3.F1.31.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F1.31.m10.1.1.3" xref="S3.F1.31.m10.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.31.m10.1c"><apply id="S3.F1.31.m10.1.1.cmml" xref="S3.F1.31.m10.1.1"><eq id="S3.F1.31.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.31.m10.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.31.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.31.m10.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S3.F1.31.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.31.m10.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.31.m10.1d">\gamma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.31.m10.1e">italic_γ = 1</annotation></semantics></math> a),b) entanglement entropy c),d) one-point function <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.32.m11.1"><semantics id="S3.F1.32.m11.1b"><msub id="S3.F1.32.m11.1.2" xref="S3.F1.32.m11.1.2.cmml"><mrow id="S3.F1.32.m11.1.1.3" xref="S3.F1.32.m11.1.1.2.cmml"><mo id="S3.F1.32.m11.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.F1.32.m11.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="S3.F1.32.m11.1.1.1.1" xref="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.2" xref="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.3" xref="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S3.F1.32.m11.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.F1.32.m11.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.F1.32.m11.1.2.2" xref="S3.F1.32.m11.1.2.2.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.32.m11.1c"><apply id="S3.F1.32.m11.1.2.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.32.m11.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.F1.32.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.F1.32.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.1.1.1.3">†</ci></apply></apply><ci id="S3.F1.32.m11.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.32.m11.1.2.2">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.32.m11.1d">\braket{{\cal O}^{\dagger}}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.32.m11.1e">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on site (1,1). Black and yellow horizontal lines indicate the analytical prediction (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E29" title="In II.4 Correlations and the global energy minimum ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.29</span></a>); e),f) two-point function (ODLRO) <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.33.m12.1"><semantics id="S3.F1.33.m12.1b"><mrow id="S3.F1.33.m12.1.1.3" xref="S3.F1.33.m12.1.1.2.cmml"><mo id="S3.F1.33.m12.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.F1.33.m12.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.3" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.1" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.2" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.3" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.F1.33.m12.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.F1.33.m12.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.33.m12.1c"><apply id="S3.F1.33.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.F1.33.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1"><times id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F1.33.m12.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.33.m12.1d">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.33.m12.1e">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> where site <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.34.m13.1"><semantics id="S3.F1.34.m13.1b"><mi id="S3.F1.34.m13.1.1" xref="S3.F1.34.m13.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.34.m13.1c"><ci id="S3.F1.34.m13.1.1.cmml" xref="S3.F1.34.m13.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.34.m13.1d">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.34.m13.1e">italic_i</annotation></semantics></math> is (1,1) and site <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.35.m14.1"><semantics id="S3.F1.35.m14.1b"><mi id="S3.F1.35.m14.1.1" xref="S3.F1.35.m14.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.35.m14.1c"><ci id="S3.F1.35.m14.1.1.cmml" xref="S3.F1.35.m14.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.35.m14.1d">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.35.m14.1e">italic_j</annotation></semantics></math> is <math alttext="(N_{x},N_{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.36.m15.2"><semantics id="S3.F1.36.m15.2b"><mrow id="S3.F1.36.m15.2.2.2" xref="S3.F1.36.m15.2.2.3.cmml"><mo id="S3.F1.36.m15.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.F1.36.m15.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.F1.36.m15.1.1.1.1" xref="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.2" xref="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.3" xref="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S3.F1.36.m15.2.2.2.4" xref="S3.F1.36.m15.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.F1.36.m15.2.2.2.2" xref="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.2" xref="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.3" xref="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S3.F1.36.m15.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.F1.36.m15.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.36.m15.2c"><interval closure="open" id="S3.F1.36.m15.2.2.3.cmml" xref="S3.F1.36.m15.2.2.2"><apply id="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.36.m15.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.36.m15.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.36.m15.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.36.m15.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.36.m15.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F1.36.m15.2.2.2.2.3">𝑦</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.36.m15.2d">(N_{x},N_{y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.36.m15.2e">( italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. In a),c),e) the calculation is performed at fixed (even) total fermion number parity and in b),d),f) at fixed (half-filling) total particle number. Horizontal axis in all the plots is energy. </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.2">Because <math alttext="|\psi_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.1.m1.1c">|\psi_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> and its <math alttext="{\cal O}^{\gamma\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.SS4.p1.2.m2.2a"><msup id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mrow id="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2">𝒪</ci><list id="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2">†</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.2.m2.2c">{\cal O}^{\gamma\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.2.m2.2d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> excitations are scar states the conclusions here hold for any deformed Hamiltonian</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx46"> <tbody id="S3.E17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{H}=H^{H}+\delta H_{0}+\sum_{l}O_{l}T_{l}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E17.m1.1"><semantics id="S3.E17.m1.1a"><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml"><munder id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1a" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.3.cmml">l</mi></munder></mstyle><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><msub id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2.cmml">O</mi><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17.m1.1b"><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1"><eq id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝐻</ci><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4"><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.2"></sum><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.1"></times><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2">𝑂</ci><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17.m1.1c">\displaystyle\tilde{H}=H^{H}+\delta H_{0}+\sum_{l}O_{l}T_{l},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17.m1.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG = italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.10">where <math alttext="O_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p1.3.m1.1a"><msub id="S3.SS4.p1.3.m1.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.2.cmml">O</mi><mi id="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.3.m1.1c">O_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.3.m1.1d">italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an arbitrary operator and <math alttext="T_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.4.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p1.4.m2.1a"><msub id="S3.SS4.p1.4.m2.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.4.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m2.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.4.m2.1c">T_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.4.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a generator of the symmetry group of one of the three scar families. Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> provides an exhaustive list of such generators. They include arbitrary-range hopping terms, spin-orbit coupling (for the eta states <math alttext="{\cal O}_{j}={\eta}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.5.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p1.5.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.5.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1"><eq id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.5.m3.1c">{\cal O}_{j}={\eta}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.5.m3.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>), magnetic field (for eta and eta<sup class="ltx_sup" id="S3.SS4.p1.10.1">′</sup>) and many others. Furthermore the same Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> shows that many commonly used interactions such as Hubbard and Heisenberg also decompose as <math alttext="H_{0}+OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.7.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p1.7.m5.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.1" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.7.m5.1b"><apply id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1"><plus id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3"><times id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m5.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.7.m5.1c">H_{0}+OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.7.m5.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T</annotation></semantics></math>. Thus such interactions might at most shift the values of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.8.m6.1"><semantics id="S3.SS4.p1.8.m6.1a"><mi id="S3.SS4.p1.8.m6.1.1" xref="S3.SS4.p1.8.m6.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.8.m6.1b"><ci id="S3.SS4.p1.8.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m6.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.8.m6.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.8.m6.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.9.m7.1"><semantics id="S3.SS4.p1.9.m7.1a"><mi id="S3.SS4.p1.9.m7.1.1" xref="S3.SS4.p1.9.m7.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.9.m7.1b"><ci id="S3.SS4.p1.9.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m7.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.9.m7.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.9.m7.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> but usually only contribute <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.10.m8.1"><semantics id="S3.SS4.p1.10.m8.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.10.m8.1.1" xref="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.10.m8.1b"><apply id="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.10.m8.1.1"><times id="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.1"></times><ci id="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.10.m8.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.10.m8.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.10.m8.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> terms that are irrelevant within the scar subspace.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.1">We confirm our analytical conclusions by diagonalizing exactly numerically small 2D systems with the results for the eta<sup class="ltx_sup" id="S3.SS4.p2.1.1">′</sup> and zeta states shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.F1" title="Figure III.1 ‣ III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a> and for the eta states in the Appendix Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F1" title="Figure C.1 ‣ C.1 2D single-orbital Hubbard model: eta scar subspace ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.1</span></a>. To illustrate the stability of our solution (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E17" title="In III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.17</span></a>) we choose</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="A3.EGx47"> <tbody id="S3.E18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\sum_{l}O_{l}T_{l}=\sum_{\braket{i,j},p}T_{i,j}O_{ip}T_{i,j}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E18.m1.7"><semantics id="S3.E18.m1.7a"><mrow id="S3.E18.m1.7.7.1" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.7.7.1.1" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.3" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.3.cmml">l</mi></munder><mrow id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">O</mi><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.1" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E18.m1.7.7.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.cmml"><munder id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E18.m1.2.2.2.4" xref="S3.E18.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E18.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E18.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.2.2.2.2" xref="S3.E18.m1.2.2.2.2.cmml">p</mi></mrow></munder><mrow id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.E18.m1.4.4.2.4" xref="S3.E18.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.3.3.1.1" xref="S3.E18.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E18.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E18.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.4.4.2.2" xref="S3.E18.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.1" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.cmml">O</mi><mrow id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.1" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.1a" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.4" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.4.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.3.2.4.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.E18.m1.6.6.2.4" xref="S3.E18.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.5.5.1.1" xref="S3.E18.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E18.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.E18.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.6.6.2.2" xref="S3.E18.m1.6.6.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E18.m1.7.7.1.2" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E18.m1.7b"><apply id="S3.E18.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1"><eq id="S3.E18.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2"><apply id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.2"></sum><ci id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2"><times id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.1"></times><apply id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.2">𝑂</ci><ci id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.1.1.2.2.3.2">𝑇</ci><ci 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italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG italic_i , italic_j end_ARG ⟩ , italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(III.18)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle T_{i,j}=t\sum_{\sigma,p}c_{ip\sigma}^{\dagger}c_{jp\sigma}+h.c.," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.6"><semantics id="S3.Ex3.m1.6a"><mrow id="S3.Ex3.m1.6.6.1"><mrow 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id="S3.Ex3.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.6c">\displaystyle T_{i,j}=t\sum_{\sigma,p}c_{ip\sigma}^{\dagger}c_{jp\sigma}+h.c.,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.6d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_t ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_p italic_σ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_p italic_σ end_POSTSUBSCRIPT + italic_h . italic_c . ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle O_{ip}=\left(r^{(1)i,p}_{\sigma,\sigma^{\prime}}c^{+}_{ip\sigma}% c_{i(p+1)\sigma^{\prime}}+r_{\sigma,\sigma^{\prime}}^{(2)i,p}c^{\dagger}_{ip% \sigma}c^{\dagger}_{i(p+1)\sigma^{\prime}}+{\rm h.c.}\right)" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex4.m1.12"><semantics id="S3.Ex4.m1.12a"><mrow id="S3.Ex4.m1.12b"><msub id="S3.Ex4.m1.12.13"><mi id="S3.Ex4.m1.12.13.2">O</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.12.13.3"><mi id="S3.Ex4.m1.12.13.3.2">i</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.13.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.12.13.3.3">p</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex4.m1.12.14">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.12.15"><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.1">(</mo><msubsup id="S3.Ex4.m1.12.15.2"><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.2.2.2">r</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.5.5.2.2"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1">σ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.5.5.2.2.2">,</mo><msup id="S3.Ex4.m1.5.5.2.2.1"><mi id="S3.Ex4.m1.5.5.2.2.1.2">σ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.5.5.2.2.1.3">′</mo></msup></mrow><mrow id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3"><mrow id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.1"><mrow id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.1.2.2"><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1">1</mn><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.1.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.1.3">i</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.3.3.2">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.2.2">p</mi></mrow></msubsup><msubsup id="S3.Ex4.m1.12.15.3"><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.3.2.2">c</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.12.15.3.3"><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.3.3.2">i</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.3.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.3.3.3">p</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.3.3.1a">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.3.3.4">σ</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.3.2.3">+</mo></msubsup><msub id="S3.Ex4.m1.12.15.4"><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.4.2">c</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.6.6.1"><mi id="S3.Ex4.m1.6.6.1.3">i</mi><mo id="S3.Ex4.m1.6.6.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.6.6.1.1.1"><mo id="S3.Ex4.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.6.6.1.1.1.1"><mi 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id="S3.Ex4.m1.11.11.3.3.1.3">i</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.11.11.3.3.2">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.10.10.2.2">p</mi></mrow></msubsup><msubsup id="S3.Ex4.m1.12.15.7"><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.7.2.2">c</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.12.15.7.3"><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.7.3.2">i</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.7.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.7.3.3">p</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.7.3.1a">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.7.3.4">σ</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.7.2.3">†</mo></msubsup><msubsup id="S3.Ex4.m1.12.15.8"><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.8.2.2">c</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.12.12.1"><mi id="S3.Ex4.m1.12.12.1.3">i</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.12.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.12.12.1.1.1"><mo id="S3.Ex4.m1.12.12.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.12.12.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex4.m1.12.12.1.1.1.1.2">p</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.12.1.1.1.1.1">+</mo><mn id="S3.Ex4.m1.12.12.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.12.12.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.12.12.1.2a">⁢</mo><msup id="S3.Ex4.m1.12.12.1.4"><mi id="S3.Ex4.m1.12.12.1.4.2">σ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.12.1.4.3">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.8.2.3">†</mo></msubsup><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.9">+</mo><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.10" mathvariant="normal">h</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.11" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mi id="S3.Ex4.m1.12.15.12" mathvariant="normal">c</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.13" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S3.Ex4.m1.12.15.14">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.12c">\displaystyle O_{ip}=\left(r^{(1)i,p}_{\sigma,\sigma^{\prime}}c^{+}_{ip\sigma}% c_{i(p+1)\sigma^{\prime}}+r_{\sigma,\sigma^{\prime}}^{(2)i,p}c^{\dagger}_{ip% \sigma}c^{\dagger}_{i(p+1)\sigma^{\prime}}+{\rm h.c.}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.12d">italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_p end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) italic_i , italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_p italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i ( italic_p + 1 ) italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) italic_i , italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_p italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i ( italic_p + 1 ) italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + roman_h . roman_c . )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.6">with <math alttext="r^{(i)b,p}_{\sigma,\sigma^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.2.m1.5"><semantics id="S3.SS4.p2.2.m1.5a"><msubsup id="S3.SS4.p2.2.m1.5.6" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.2.2.cmml">r</mi><mrow id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.2.m1.4.4.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m1.4.4.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.2" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.3" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mrow id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p2.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.2.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m1.2.2.2.2.cmml">p</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.2.m1.5b"><apply id="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.6">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.6">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.6.2.2">𝑟</ci><list id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3"><apply id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1"><times id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.1"></times><ci id="S3.SS4.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.3.3.3.3.1.3">𝑏</ci></apply><ci id="S3.SS4.p2.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.2.2.2.2">𝑝</ci></list></apply><list id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2"><ci id="S3.SS4.p2.2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.4.4.1.1">𝜎</ci><apply id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.2">𝜎</ci><ci id="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m1.5.5.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.2.m1.5c">r^{(i)b,p}_{\sigma,\sigma^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.2.m1.5d">italic_r start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) italic_b , italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> - real random numbers, uniformly distributed between 0 and 1. Here <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.3.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p2.3.m2.1a"><mi id="S3.SS4.p2.3.m2.1.1" xref="S3.SS4.p2.3.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.3.m2.1b"><ci id="S3.SS4.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.3.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.3.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> is chosen to be the same as the amplitude of the hopping term. It is <math alttext="t=e^{i\sqrt{2}\pi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.4.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p2.4.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.1" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3.2" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3.2.cmml">2</mn></msqrt><mo id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.1a" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.4" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.4.cmml">π</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.4.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1"><eq id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3"><times id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.2">𝑖</ci><apply id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3"><root id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3"></root><cn id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.3.2">2</cn></apply><ci id="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m3.1.1.3.3.4">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.4.m3.1c">t=e^{i\sqrt{2}\pi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.4.m3.1d">italic_t = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i square-root start_ARG 2 end_ARG italic_π end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for the zeta states and <math alttext="t=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.5.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p2.5.m4.1a"><mrow id="S3.SS4.p2.5.m4.1.1" xref="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.5.m4.1b"><apply id="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m4.1.1"><eq id="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p2.5.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.5.m4.1c">t=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.5.m4.1d">italic_t = 1</annotation></semantics></math> for the eta<sup class="ltx_sup" id="S3.SS4.p2.6.1">′</sup> states. These additional terms are intended to simulate some quite drastic and strong perturbation that can be added to the Hubbard model without disturbing the BCS scar ground state and its excitations. We also choose it to be quite chaotic such that it breaks most symmetries of the full Hamiltonian.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p3.3">Within the total fermion number parity (or half-filling for zeta states) sector the full Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E17" title="In III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.17</span></a>), indeed has no other symmetries remaining. The bulk of its spectrum (excluding scars) is fully ergodic with the level statistics parameter (average ratio of consecutive energy gaps <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib68" title="">68</a>]</cite>) <math alttext="\braket{r}=0.5325" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.1.m1.1.2" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.2.cmml">0.5325</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.2"><eq id="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.1">expectation</csymbol><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑟</ci></apply><cn id="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.2.cmml" type="float" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.2.2">0.5325</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.1.m1.1c">\braket{r}=0.5325</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.1.m1.1d">⟨ start_ARG italic_r end_ARG ⟩ = 0.5325</annotation></semantics></math> which is rather close to 0.5359 expected <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib68" title="">68</a>]</cite> in a generalized orthogonal ensemble (GOE, real, symmetric, random matrix). The ergodicity of the spectrum bulk is also confirmed by the energy gap distribution that follows the one expected for GOE and exhibits absence of near-zero gaps as a consequence of level repulsion. The data for <math alttext="{\cal O}=\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3">𝜂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.2.m2.1c">{\cal O}=\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.2.m2.1d">caligraphic_O = italic_η</annotation></semantics></math> is shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F1" title="Figure C.1 ‣ C.1 2D single-orbital Hubbard model: eta scar subspace ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.1</span></a> d) and the results for <math alttext="{\cal O}=\eta^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.2">𝒪</ci><apply id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.3.m3.1c">{\cal O}=\eta^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.3.m3.1d">caligraphic_O = italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are identical.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p4.8">The ground states <math alttext="\psi_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p4.1.m1.1a"><msub id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.1.m1.1c">\psi_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.1.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E8" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.8</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E13" title="In III.3 Ground state for type-\@slowromancapii@ 𝜁 ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.13</span></a>) (green filled circles in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.F1" title="Figure III.1 ‣ III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a>) and the excitations <math alttext="({\cal O}^{\gamma\dagger})^{n}\ket{\psi_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.2.m2.4"><semantics id="S3.SS4.p4.2.m2.4a"><mrow id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.cmml"><msup id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mrow id="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.4" xref="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS4.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.3" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.2" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.2.m2.4b"><apply id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4"><times id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.2"></times><apply id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.1.1.1.2">𝒪</ci><list id="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.4"><ci id="S3.SS4.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.2.2.1.1">𝛾</ci><ci id="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.3.3.2.2">†</ci></list></apply><ci id="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.4.4.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.2.m2.4c">({\cal O}^{\gamma\dagger})^{n}\ket{\psi_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.2.m2.4d">( caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> above them (blue triangles) are identified by an exact identity overlap. In all the cases that we have studied numerically the ground state (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) has the largest (over the full Hilbert space) expectation value for both 1- <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p4.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.3.m3.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.3.m3.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.3.m3.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and 2-point <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p4.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.4.m4.1b"><apply id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1"><times id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.4.m4.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.4.m4.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> function also at finite <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.5.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p4.5.m5.1a"><mi id="S3.SS4.p4.5.m5.1.1" xref="S3.SS4.p4.5.m5.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.5.m5.1b"><ci id="S3.SS4.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.5.m5.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.5.m5.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.5.m5.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> where we do not have an analytical argument guaranteeing this. Furthermore scars spanned by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) have higher <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.6.m6.1"><semantics id="S3.SS4.p4.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.6.m6.1b"><apply id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1"><times id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.6.m6.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.6.m6.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.6.m6.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> (ODLRO) as a subspace. Indeed, the average absolute value of ODLRO over the eta<sup class="ltx_sup" id="S3.SS4.p4.8.1">′</sup> states (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.F1" title="Figure III.1 ‣ III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a> e)) is 12.5 times larger than the average value over the remaining states. Similarly for the zeta states this factor is 71! This shows that although adding the pairing potential <math alttext="\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.8.m8.1"><semantics id="S3.SS4.p4.8.m8.1a"><mrow id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.8.m8.1b"><apply id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1"><times id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.1"></times><ci id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p4.8.m8.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.8.m8.1c">\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.8.m8.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> does induce the corresponding fluctuations in all the generic states, ODLRO in the scar subspace remains significantly larger.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p5.4">Red triangles in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.F1" title="Figure III.1 ‣ III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a> indicate the states that fully lie within the subspace spanned by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) with the original raising operator (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E2" title="In III.1 Scars and 𝐻₀+𝑂⁢𝑇 decomposition ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.2</span></a>). Blue triangles indicate the states created by the transformed raising operators <math alttext="{\cal O}^{\gamma\dagger}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.1.m1.2"><semantics id="S3.SS4.p5.1.m1.2a"><msubsup id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.3" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.3.cmml">j</mi><mrow id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.1.m1.2b"><apply id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.2.2">𝒪</ci><list id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.3.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.1.m1.2c">{\cal O}^{\gamma\dagger}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.1.m1.2d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (eqs. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E11" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.11</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E16" title="In III.3 Ground state for type-\@slowromancapii@ 𝜁 ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.16</span></a>)) above the respective ground state <math alttext="|\psi^{\eta}_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p5.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.2.m2.1c">|\psi^{\eta}_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.2.m2.1d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="|\psi^{\zeta}_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p5.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup><mo id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.3">𝜁</ci></apply><cn id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.3.m3.1c">|\psi^{\zeta}_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.3.m3.1d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. The fact that the two groups of states coincide confirms that these ground states and the ”mean-field” excitations above them form a new basis in the original scar subspace (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>). For the case of eta<sup class="ltx_sup" id="S3.SS4.p5.4.1">′</sup> states this confirms that the BCS wavefunction and its excitations are linear combinations of the eta-pairing states.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS5"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.5 </span>What <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS5.1.m1.1b"><mi id="S3.SS5.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.1.m1.1c"><ci id="S3.SS5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.1.m1.1d">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.1.m1.1e">italic_γ</annotation></semantics></math> is large enough?</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p1.10">At a relatively high <math alttext="U=8" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS5.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.cmml">8</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3">8</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.1.m1.1c">U=8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.1.m1.1d">italic_U = 8</annotation></semantics></math> and low <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS5.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.2.m2.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.2.m2.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> of about 0.69 the spectrum separates into the Mott ”lobes” corresponding to fixed Hubbard-U energy that are broadened by the hopping and pairing potential as can be seen in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F2" title="Figure C.2 ‣ C.2 2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta′ scars in spectrum for 𝜇=0 ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a> a) and b). If Hubbard is repulsive the lobe containing the eta and eta<sup class="ltx_sup" id="S3.SS5.p1.10.1">′</sup> subspaces is highest in energy. Therefore to make the BCS wavefunction the ground state the value of <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS5.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.SS5.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS5.p1.4.m4.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.SS5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.4.m4.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.4.m4.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.4.m4.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> roughly needs to exceed the bandwidth of all other Hamiltonian terms. In our numerical experiments with unity hopping amplitude the required <math alttext="\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS5.p1.5.m5.1a"><msub id="S3.SS5.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.5.m5.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.5.m5.1c">\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.5.m5.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is about the same as the Hubbard <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS5.p1.6.m6.1a"><mi id="S3.SS5.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS5.p1.6.m6.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.6.m6.1b"><ci id="S3.SS5.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.6.m6.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.6.m6.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.6.m6.1d">italic_U</annotation></semantics></math>. For attractive Hubbard the eta/eta<sup class="ltx_sup" id="S3.SS5.p1.10.2">′</sup> subspace is in the lowest energy ”lobe” and to make BCS state the ground state <math alttext="\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.SS5.p1.8.m8.1a"><msub id="S3.SS5.p1.8.m8.1.1" xref="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.8.m8.1b"><apply id="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.8.m8.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.8.m8.1c">\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.8.m8.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> only needs to exceed the bandwidth of that lobe. Numerically we observe that the required <math alttext="\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.9.m9.1"><semantics id="S3.SS5.p1.9.m9.1a"><msub id="S3.SS5.p1.9.m9.1.1" xref="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.9.m9.1b"><apply id="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.9.m9.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.9.m9.1c">\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.9.m9.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is about <math alttext="U/10" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.10.m10.1"><semantics id="S3.SS5.p1.10.m10.1a"><mrow id="S3.SS5.p1.10.m10.1.1" xref="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.1" xref="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.3.cmml">10</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.10.m10.1b"><apply id="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.10.m10.1.1"><divide id="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.1"></divide><ci id="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.p1.10.m10.1.1.3">10</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.10.m10.1c">U/10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.10.m10.1d">italic_U / 10</annotation></semantics></math>. More detailed discussion of our numerical experiments can be found in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.SS2" title="C.2 2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta′ scars in spectrum for 𝜇=0 ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span>Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model </h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.3">Consider an example of the type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.p1.3.1">\@slowromancap</span>ii@ Hilbert space with <math alttext="K=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1"><eq id="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">K=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_K = 2</annotation></semantics></math> orbitals or fermion flavours per site: <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math> and <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.3.m3.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.3.m3.1d">italic_B</annotation></semantics></math> and the inter-orbital magnetic excitation creation operator</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx48"> <tbody id="S4.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}^{\dagger}_{j}=c^{A\dagger}_{j\uparrow}c^{B}_{j\downarrow% }+c^{B\dagger}_{j\uparrow}c^{A}_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E1.m1.4"><semantics id="S4.E1.m1.4a"><mrow id="S4.E1.m1.4.5" xref="S4.E1.m1.4.5.cmml"><msubsup id="S4.E1.m1.4.5.2" xref="S4.E1.m1.4.5.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E1.m1.4.5.2.2.2" xref="S4.E1.m1.4.5.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.E1.m1.4.5.2.3" xref="S4.E1.m1.4.5.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.E1.m1.4.5.2.2.3" xref="S4.E1.m1.4.5.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S4.E1.m1.4.5.1" xref="S4.E1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E1.m1.4.5.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.4.5.3.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.cmml"><msubsup id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.2.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mrow id="S4.E1.m1.2.2.2.4" xref="S4.E1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S4.E1.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E1.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E1.m1.2.2.2.2" xref="S4.E1.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E1.m1.4.5.3.2.1" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.3.cmml">B</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E1.m1.4.5.3.1" xref="S4.E1.m1.4.5.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E1.m1.4.5.3.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.cmml"><msubsup id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.2.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mrow id="S4.E1.m1.4.4.2.4" xref="S4.E1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.cmml">B</mi><mo id="S4.E1.m1.4.4.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E1.m1.4.4.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E1.m1.4.4.2.2" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E1.m1.4.5.3.3.1" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.2" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mi id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.3" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.3.cmml">A</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E1.m1.4b"><apply id="S4.E1.m1.4.5.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5"><eq id="S4.E1.m1.4.5.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.1"></eq><apply id="S4.E1.m1.4.5.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S4.E1.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S4.E1.m1.4.5.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3"><plus id="S4.E1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.1"></plus><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2"><times id="S4.E1.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.1"></times><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.2.2">𝑐</ci><list id="S4.E1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.1.1.1.1">𝐴</ci><ci id="S4.E1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3"><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.1">↑</ci><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3"><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.1">↓</ci><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.2.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3"><times id="S4.E1.m1.4.5.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.1"></times><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.2.2">𝑐</ci><list id="S4.E1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1">𝐵</ci><ci id="S4.E1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2">†</ci></list></apply><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3"><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.1">↑</ci><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3"><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.1">↓</ci><ci id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.5.3.3.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E1.m1.4c">\displaystyle{\cal O}^{\dagger}_{j}=c^{A\dagger}_{j\uparrow}c^{B}_{j\downarrow% }+c^{B\dagger}_{j\uparrow}c^{A}_{j\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E1.m1.4d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT + italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p1.4">that couples the spin and orbital degrees of freedom.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1">We start from a generalized Hubbard Hamiltonian in external magnetic field <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.1d">italic_B</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx49"> <tbody id="S4.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H^{B}=B\sum_{i=1}^{N}(n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow})+\sum_{% \braket{kj}}(t_{kj}c^{\dagger}_{j}c_{k}+h.c.)+U\sum_{j}H_{j}^{\zeta Hub}," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.E2.m1.1"><semantics id="S4.E2.m1.1a"><mrow id="S4.E2.m1.1b"><msup id="S4.E2.m1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.1.2.2">H</mi><mi id="S4.E2.m1.1.2.3">B</mi></msup><mo id="S4.E2.m1.1.3">=</mo><mi id="S4.E2.m1.1.4">B</mi><mstyle displaystyle="true" id="S4.E2.m1.1.5"><munderover id="S4.E2.m1.1.5a"><mo id="S4.E2.m1.1.5.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.5.2.3"><mi id="S4.E2.m1.1.5.2.3.2">i</mi><mo id="S4.E2.m1.1.5.2.3.1">=</mo><mn id="S4.E2.m1.1.5.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S4.E2.m1.1.5.3">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E2.m1.1.6"><mo id="S4.E2.m1.1.6.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S4.E2.m1.1.6.2"><mi id="S4.E2.m1.1.6.2.2">n</mi><mrow id="S4.E2.m1.1.6.2.3"><mi id="S4.E2.m1.1.6.2.3.2">i</mi><mo id="S4.E2.m1.1.6.2.3.1" stretchy="false">↑</mo><mi id="S4.E2.m1.1.6.2.3.3"></mi></mrow></msub><mo id="S4.E2.m1.1.6.3">−</mo><msub id="S4.E2.m1.1.6.4"><mi id="S4.E2.m1.1.6.4.2">n</mi><mrow id="S4.E2.m1.1.6.4.3"><mi id="S4.E2.m1.1.6.4.3.2">i</mi><mo id="S4.E2.m1.1.6.4.3.1" stretchy="false">↓</mo><mi id="S4.E2.m1.1.6.4.3.3"></mi></mrow></msub><mo id="S4.E2.m1.1.6.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E2.m1.1.7">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E2.m1.1.8"><munder id="S4.E2.m1.1.8a"><mo id="S4.E2.m1.1.8.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1a.3"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1a.3.1" stretchy="false">⟨</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2">k</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3">j</mi></mrow><mo id="S4.E2.m1.1.1.1a.3.2" stretchy="false">⟩</mo></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E2.m1.1.9"><mo id="S4.E2.m1.1.9.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S4.E2.m1.1.9.2"><mi id="S4.E2.m1.1.9.2.2">t</mi><mrow id="S4.E2.m1.1.9.2.3"><mi id="S4.E2.m1.1.9.2.3.2">k</mi><mo id="S4.E2.m1.1.9.2.3.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.1.9.2.3.3">j</mi></mrow></msub><msubsup id="S4.E2.m1.1.9.3"><mi id="S4.E2.m1.1.9.3.2.2">c</mi><mi id="S4.E2.m1.1.9.3.3">j</mi><mo id="S4.E2.m1.1.9.3.2.3">†</mo></msubsup><msub id="S4.E2.m1.1.9.4"><mi id="S4.E2.m1.1.9.4.2">c</mi><mi id="S4.E2.m1.1.9.4.3">k</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.1.9.5">+</mo><mi id="S4.E2.m1.1.9.6">h</mi><mo id="S4.E2.m1.1.9.7" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mi id="S4.E2.m1.1.9.8">c</mi><mo id="S4.E2.m1.1.9.9" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S4.E2.m1.1.9.10" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E2.m1.1.10">+</mo><mi id="S4.E2.m1.1.11">U</mi><mstyle displaystyle="true" id="S4.E2.m1.1.12"><munder id="S4.E2.m1.1.12a"><mo id="S4.E2.m1.1.12.2" movablelimits="false">∑</mo><mi id="S4.E2.m1.1.12.3">j</mi></munder></mstyle><msubsup id="S4.E2.m1.1.13"><mi id="S4.E2.m1.1.13.2.2">H</mi><mi id="S4.E2.m1.1.13.2.3">j</mi><mrow id="S4.E2.m1.1.13.3"><mi id="S4.E2.m1.1.13.3.2">ζ</mi><mo id="S4.E2.m1.1.13.3.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.1.13.3.3">H</mi><mo id="S4.E2.m1.1.13.3.1a">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.1.13.3.4">u</mi><mo id="S4.E2.m1.1.13.3.1b">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.1.13.3.5">b</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E2.m1.1.14">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E2.m1.1c">\displaystyle H^{B}=B\sum_{i=1}^{N}(n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow})+\sum_{% \braket{kj}}(t_{kj}c^{\dagger}_{j}c_{k}+h.c.)+U\sum_{j}H_{j}^{\zeta Hub},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E2.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT = italic_B ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_i ↑ end_POSTSUBSCRIPT - italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_i ↓ end_POSTSUBSCRIPT ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG italic_k italic_j end_ARG ⟩ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_h . italic_c . ) + italic_U ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ italic_H italic_u italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.3">where the hopping amplitudes <math alttext="t_{kj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.p3.1.m1.1a"><msub id="S4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.p3.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3"><times id="S4.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.1c">t_{kj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are imaginary (and are thus generators of O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.p3.2.m2.1a"><mrow id="S4.p3.2.m2.1.2.2"><mo id="S4.p3.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.p3.2.m2.1.1" xref="S4.p3.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.p3.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m2.1b"><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m2.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m2.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>) and the generalized 2-orbital Hubbard interaction <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib67" title="">67</a>]</cite> <math alttext="\sum_{j}H_{j}^{\zeta Hub}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.p3.3.m3.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.p3.3.m3.1.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p3.3.m3.1.1.1.2" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><msubsup id="S4.p3.3.m3.1.1.2" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">ζ</mi><mo id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.1a" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.4" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.4.cmml">u</mi><mo id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.1b" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.5" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.5.cmml">b</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1"><apply id="S4.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S4.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.2"></sum><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.2">𝐻</ci><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3"><times id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.2">𝜁</ci><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.3">𝐻</ci><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.4">𝑢</ci><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.5.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1.2.3.5">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.3.m3.1c">\sum_{j}H_{j}^{\zeta Hub}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.3.m3.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ italic_H italic_u italic_b end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx50"> <tbody id="S4.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{j}^{\zeta Hub}=\frac{1}{2}(n_{j}^{2}-n_{j})=\frac{1}{2}n_{j}(% n_{j}-1)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E3.m1.1"><semantics id="S4.E3.m1.1a"><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">H</mi><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">ζ</mi><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">H</mi><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1a" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.4" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.4.cmml">u</mi><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1b" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.5" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.5.cmml">b</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.2a" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E3.m1.1b"><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1"><and id="S4.E3.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1"><eq id="S4.E3.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝐻</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝜁</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝐻</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.4.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.4">𝑢</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.5.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.4.3.5">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1"><eq id="S4.E3.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S4.E3.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3"></divide><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝑛</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E3.m1.1c">\displaystyle H_{j}^{\zeta Hub}=\frac{1}{2}(n_{j}^{2}-n_{j})=\frac{1}{2}n_{j}(% n_{j}-1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E3.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ italic_H italic_u italic_b end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.6">is O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.4.m1.1"><semantics id="S4.p3.4.m1.1a"><mrow id="S4.p3.4.m1.1.2.2"><mo id="S4.p3.4.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.p3.4.m1.1.1" xref="S4.p3.4.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.p3.4.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.4.m1.1b"><ci id="S4.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.4.m1.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.4.m1.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-invariant and acts as a constant on any half-filled states including the scar subspace spanned by <math alttext="\ket{\phi_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.5.m2.1"><semantics id="S4.p3.5.m2.1a"><mrow id="S4.p3.5.m2.1.1.3" xref="S4.p3.5.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.5.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.5.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.p3.5.m2.1.1.1.1" xref="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.p3.5.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.5.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.5.m2.1b"><apply id="S4.p3.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.5.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.5.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.5.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.5.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.5.m2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.5.m2.1c">\ket{\phi_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.5.m2.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) with <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.6.m3.1"><semantics id="S4.p3.6.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p3.6.m3.1.1" xref="S4.p3.6.m3.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.6.m3.1b"><ci id="S4.p3.6.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.6.m3.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.6.m3.1c">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.6.m3.1d">caligraphic_O</annotation></semantics></math> from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E1" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.1</span></a>). In the single-flavour (K=1) case this interaction is identical to the standard Hubbard interaction. In the present two-flavour case (K=2) it can also be written <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib67" title="">67</a>]</cite> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx51"> <tbody id="S4.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{j}^{\zeta Hub}=\sum_{\sigma}n_{jA\sigma}n_{jB\sigma}+\sum_{p}% n_{jp\uparrow}n_{jp\downarrow}+\sum_{p,q}n_{jp\uparrow}\sigma^{1}_{pq}n_{jq% \downarrow}~{}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E4.m1.3"><semantics id="S4.E4.m1.3a"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">ζ</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">H</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.1a" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.4" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.4.cmml">u</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.1b" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.5" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.5.cmml">b</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml"><munder id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1a" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.3.cmml">σ</mi></munder></mstyle><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">A</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1a" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.4" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.4.cmml">σ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">B</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.1a" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.4" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.4.cmml">σ</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1a" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml"></mi></mrow></msub><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3" 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id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.3.cmml">q</mi></mrow><mn id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.1a" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.1" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.1" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.3.3.1.2" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E4.m1.3b"><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1"><eq id="S4.E4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝐻</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝜁</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.3">𝐻</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.4">𝑢</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.5.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.2.3.5">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2"><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.2"></sum><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.3">𝐴</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.4.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.4">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3">𝐵</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.4.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.4">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3"><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.2"></sum><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3"><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.1">↑</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.1"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3"><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.1">↓</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.1"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4"><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.1.2"></sum><list id="S4.E4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="S4.E4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2">𝑞</ci></list></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.1"></times><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3"><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.1">↑</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.1"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.1"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.3.3.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.2">𝑛</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3"><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.1">↓</ci><apply id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2"><times id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.1"></times><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.2.3">𝑞</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.4.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E4.m1.3c">\displaystyle H_{j}^{\zeta Hub}=\sum_{\sigma}n_{jA\sigma}n_{jB\sigma}+\sum_{p}% n_{jp\uparrow}n_{jp\downarrow}+\sum_{p,q}n_{jp\uparrow}\sigma^{1}_{pq}n_{jq% \downarrow}~{},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E4.m1.3d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ italic_H italic_u italic_b end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_A italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_B italic_σ end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_p ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_p ↓ end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_p ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_q ↓ end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.7">which is a special case of the on-site Coulomb interaction for <math alttext="\rm{Sr_{2}RuO_{4}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.7.m1.1"><semantics id="S4.p3.7.m1.1a"><mrow id="S4.p3.7.m1.1.1" xref="S4.p3.7.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.p3.7.m1.1.1.2" xref="S4.p3.7.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.7.m1.1.1.2.2" xref="S4.p3.7.m1.1.1.2.2.cmml">Sr</mi><mn id="S4.p3.7.m1.1.1.2.3" xref="S4.p3.7.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p3.7.m1.1.1.1" xref="S4.p3.7.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p3.7.m1.1.1.3" xref="S4.p3.7.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.7.m1.1.1.3.2" xref="S4.p3.7.m1.1.1.3.2.cmml">RuO</mi><mn id="S4.p3.7.m1.1.1.3.3" xref="S4.p3.7.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.7.m1.1b"><apply id="S4.p3.7.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1"><times id="S4.p3.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.p3.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1.2.2">Sr</ci><cn id="S4.p3.7.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.7.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p3.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1.3.2">RuO</ci><cn id="S4.p3.7.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.7.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.7.m1.1c">\rm{Sr_{2}RuO_{4}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.7.m1.1d">roman_Sr start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT roman_RuO start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> considered in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib69" title="">69</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.1">The particle number operator is</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx52"> <tbody id="S4.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle n_{j}=n_{j\uparrow}+n_{j\downarrow}=\sum^{B}_{p=A}c^{p\dagger}_{% j,\uparrow}c^{p}_{j,\uparrow}+\sum^{B}_{p=A}c^{p\dagger}_{j,\downarrow}c^{p}_{% j,\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E5.m1.12"><semantics id="S4.E5.m1.12a"><mrow id="S4.E5.m1.12.13" xref="S4.E5.m1.12.13.cmml"><msub id="S4.E5.m1.12.13.2" xref="S4.E5.m1.12.13.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.2.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E5.m1.12.13.2.3" xref="S4.E5.m1.12.13.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.12.13.3" xref="S4.E5.m1.12.13.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E5.m1.12.13.4" xref="S4.E5.m1.12.13.4.cmml"><msub id="S4.E5.m1.12.13.4.2" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.4.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E5.m1.12.13.4.2.3" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.2" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.3" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.3.cmml"></mi></mrow></msub><mo id="S4.E5.m1.12.13.4.1" xref="S4.E5.m1.12.13.4.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E5.m1.12.13.4.3" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.4.3.2" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E5.m1.12.13.4.3.3" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.2" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.3" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E5.m1.12.13.5" xref="S4.E5.m1.12.13.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E5.m1.12.13.6" xref="S4.E5.m1.12.13.6.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.12.13.6.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.cmml"><munderover id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1a" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.1" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.1.cmml">=</mo><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.3.cmml">A</mi></mrow><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.3.cmml">B</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.cmml"><msubsup id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E5.m1.4.4.2.4" xref="S4.E5.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.E5.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.E5.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mo id="S4.E5.m1.4.4.2.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.4.4.2.2.cmml">↑</mo></mrow><mrow id="S4.E5.m1.2.2.2.4" xref="S4.E5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S4.E5.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E5.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E5.m1.2.2.2.2" xref="S4.E5.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.1" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E5.m1.6.6.2.4" xref="S4.E5.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.5.5.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.E5.m1.6.6.2.4.1" xref="S4.E5.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mo id="S4.E5.m1.6.6.2.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.6.6.2.2.cmml">↑</mo></mrow><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.12.13.6.1" xref="S4.E5.m1.12.13.6.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E5.m1.12.13.6.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.cmml"><munderover id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1a" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.1" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.1.cmml">=</mo><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.3.cmml">A</mi></mrow><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.3.cmml">B</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.cmml"><msubsup id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E5.m1.10.10.2.4" xref="S4.E5.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.9.9.1.1" xref="S4.E5.m1.9.9.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.E5.m1.10.10.2.4.1" xref="S4.E5.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mo id="S4.E5.m1.10.10.2.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.10.10.2.2.cmml">↓</mo></mrow><mrow id="S4.E5.m1.8.8.2.4" xref="S4.E5.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.7.7.1.1" xref="S4.E5.m1.7.7.1.1.cmml">p</mi><mo id="S4.E5.m1.8.8.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E5.m1.8.8.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E5.m1.8.8.2.2" xref="S4.E5.m1.8.8.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.1" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.2" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E5.m1.12.12.2.4" xref="S4.E5.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.11.11.1.1" xref="S4.E5.m1.11.11.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.E5.m1.12.12.2.4.1" xref="S4.E5.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mo id="S4.E5.m1.12.12.2.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.12.12.2.2.cmml">↓</mo></mrow><mi id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.3" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E5.m1.12b"><apply id="S4.E5.m1.12.13.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13"><and id="S4.E5.m1.12.13a.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13"></and><apply id="S4.E5.m1.12.13b.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13"><eq id="S4.E5.m1.12.13.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.3"></eq><apply id="S4.E5.m1.12.13.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.12.13.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.E5.m1.12.13.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.4.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4"><plus id="S4.E5.m1.12.13.4.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.1"></plus><apply id="S4.E5.m1.12.13.4.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.4.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.12.13.4.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.2">𝑛</ci><apply id="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.3"><ci id="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.1">↑</ci><ci id="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.4.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.4.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.12.13.4.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.2">𝑛</ci><apply id="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.3"><ci id="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.1">↓</ci><ci id="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.4.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13c.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13"><eq id="S4.E5.m1.12.13.5.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E5.m1.12.13.4.cmml" id="S4.E5.m1.12.13d.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13"></share><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6"><plus id="S4.E5.m1.12.13.6.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.1"></plus><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2"><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1">superscript</csymbol><sum id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.2"></sum><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3"><eq id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.1"></eq><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2"><times id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.1"></times><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.2.2.2">𝑐</ci><list id="S4.E5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="S4.E5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><list id="S4.E5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.E5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.2.2">↑</ci></list></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.2.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><list id="S4.E5.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.6.6.2.4"><ci id="S4.E5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.E5.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.6.6.2.2">↑</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3"><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1">superscript</csymbol><sum id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.2"></sum><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3"><eq id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.1"></eq><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2"><times id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.1"></times><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.2.2.2">𝑐</ci><list id="S4.E5.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.8.8.2.4"><ci id="S4.E5.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.7.7.1.1">𝑝</ci><ci id="S4.E5.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.8.8.2.2">†</ci></list></apply><list id="S4.E5.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.10.10.2.4"><ci id="S4.E5.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.9.9.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.E5.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.10.10.2.2">↓</ci></list></apply><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.13.6.3.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><list id="S4.E5.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.12.12.2.4"><ci id="S4.E5.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.11.11.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.E5.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.12.12.2.2">↓</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E5.m1.12c">\displaystyle n_{j}=n_{j\uparrow}+n_{j\downarrow}=\sum^{B}_{p=A}c^{p\dagger}_{% j,\uparrow}c^{p}_{j,\uparrow}+\sum^{B}_{p=A}c^{p\dagger}_{j,\downarrow}c^{p}_{% j,\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E5.m1.12d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT + italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p = italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_p † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , ↑ end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p = italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_p † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , ↓ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.5)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.5">The first and last terms of the Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E2" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.2</span></a>) are O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.p6.1.m1.1.2.2"><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.1.m1.1b"><ci id="S4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.1.m1.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.1.m1.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-invariant and therefore qualify <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> as <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.p6.2.m2.1a"><msub id="S4.p6.2.m2.1.1" xref="S4.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.p6.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S4.p6.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p6.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.2.m2.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with respect to the group O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.p6.3.m3.1a"><mrow id="S4.p6.3.m3.1.2.2"><mo id="S4.p6.3.m3.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.p6.3.m3.1.1" xref="S4.p6.3.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.p6.3.m3.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.3.m3.1b"><ci id="S4.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p6.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.3.m3.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.3.m3.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>. The <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.4.m4.1"><semantics id="S4.p6.4.m4.1a"><msub id="S4.p6.4.m4.1.1" xref="S4.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.4.m4.1.1.2" xref="S4.p6.4.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p6.4.m4.1.1.3" xref="S4.p6.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.4.m4.1b"><apply id="S4.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.4.m4.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S4.p6.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p6.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.4.m4.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.4.m4.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> part of the Hamiltonian upon addition of <math alttext="\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.5.m5.1"><semantics id="S4.p6.5.m5.1a"><mrow id="S4.p6.5.m5.1.1" xref="S4.p6.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.5.m5.1.1.2" xref="S4.p6.5.m5.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S4.p6.5.m5.1.1.1" xref="S4.p6.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p6.5.m5.1.1.3" xref="S4.p6.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p6.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.p6.5.m5.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p6.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.p6.5.m5.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.5.m5.1b"><apply id="S4.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m5.1.1"><times id="S4.p6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S4.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.5.m5.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S4.p6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p6.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p6.5.m5.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.p6.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p6.5.m5.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.5.m5.1c">\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.5.m5.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E12" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.12</span></a>) then reads</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx53"> <tbody id="S4.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{0}^{ib\zeta}=B\sum_{i=1}^{N}(n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow})-% \gamma\sum_{j}(e^{i\theta}{\cal O}^{\dagger}_{j}+e^{-i\theta}{\cal O}_{j})," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E6.m1.1"><semantics id="S4.E6.m1.1a"><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.1a" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.4" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.4.cmml">ζ</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"></mi></mrow></msub><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">γ</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><munder id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2a" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E6.m1.1b"><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1"><eq id="S4.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝐻</ci><cn id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑏</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.4.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.4.3.4">𝜁</ci></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.3"></minus><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐵</ci><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1">↑</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">↓</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝛾</ci><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1"><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2"></sum><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><plus id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2">𝒪</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3">†</ci></apply><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3"></minus><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.1"></times><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝒪</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E6.m1.1c">\displaystyle H_{0}^{ib\zeta}=B\sum_{i=1}^{N}(n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow})-% \gamma\sum_{j}(e^{i\theta}{\cal O}^{\dagger}_{j}+e^{-i\theta}{\cal O}_{j}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E6.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_b italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_B ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_i ↑ end_POSTSUBSCRIPT - italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_i ↓ end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_γ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p6.6">where we omitted the constant coming from the Hubbard interaction.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.p7.3">The second term in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E2" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.2</span></a>) is made of the generators of O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.p7.1.m1.1a"><mrow id="S4.p7.1.m1.1.2.2"><mo id="S4.p7.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.p7.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.1.m1.1b"><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.1.m1.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.1.m1.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> and therefore exactly annihilates O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.p7.2.m2.1a"><mrow id="S4.p7.2.m2.1.2.2"><mo id="S4.p7.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.p7.2.m2.1.1" xref="S4.p7.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.p7.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.2.m2.1b"><ci id="S4.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.2.m2.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.2.m2.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-invariant states including the scar tower <math alttext="\ket{\phi_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.p7.3.m3.1a"><mrow id="S4.p7.3.m3.1.1.3" xref="S4.p7.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p7.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.p7.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.p7.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p7.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.3.m3.1b"><apply id="S4.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.p7.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.3.m3.1c">\ket{\phi_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.3.m3.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.p8.1">Therefore the general solution from Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS3" title="II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.3</span></a> can be used identifying <math alttext="\mu=B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.1.m1.1"><semantics id="S4.p8.1.m1.1a"><mrow id="S4.p8.1.m1.1.1" xref="S4.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.1.m1.1.1.2" xref="S4.p8.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.p8.1.m1.1.1.1" xref="S4.p8.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.p8.1.m1.1.1.3" xref="S4.p8.1.m1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.1.m1.1b"><apply id="S4.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1"><eq id="S4.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.1.m1.1c">\mu=B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.1.m1.1d">italic_μ = italic_B</annotation></semantics></math>. Thus the lowest energy scar state is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx54"> <tbody id="S4.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|\psi^{ib\zeta}_{g}\rangle=N_{\psi}\prod_{j}\left(1+\frac{v}{u}{% \cal O}_{j}^{\dagger}+\frac{(\frac{v}{u}{\cal O}_{j}^{\dagger})^{2}}{2}\right)% \ket{0_{\phi}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E7.m1.3"><semantics id="S4.E7.m1.3a"><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">ζ</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">ψ</mi></msub><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml"><munder id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2a" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">u</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E7.m1.2.2" xref="S4.E7.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E7.m1.2.2a" xref="S4.E7.m1.2.2.cmml"><msup id="S4.E7.m1.2.2.1" xref="S4.E7.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mfrac><mo id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E7.m1.2.2.1.3" xref="S4.E7.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S4.E7.m1.2.2.3" xref="S4.E7.m1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1a.3" xref="S4.E7.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E7.m1.3b"><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1"><eq id="S4.E7.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑏</ci><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.4">𝜁</ci></apply></apply><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2"><times id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.2"></times><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.3.3">𝜓</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1"><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.2">product</csymbol><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1"><times id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"><plus id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝒪</ci><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3">†</ci></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2"><divide id="S4.E7.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2"></divide><apply id="S4.E7.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1"><times id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2"></divide><ci id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝒪</ci><ci id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">†</ci></apply></apply><cn id="S4.E7.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.2.2.1.3">2</cn></apply><cn id="S4.E7.m1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1a.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E7.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E7.m1.3c">\displaystyle|\psi^{ib\zeta}_{g}\rangle=N_{\psi}\prod_{j}\left(1+\frac{v}{u}{% \cal O}_{j}^{\dagger}+\frac{(\frac{v}{u}{\cal O}_{j}^{\dagger})^{2}}{2}\right)% \ket{0_{\phi}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E7.m1.3d">| italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_b italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG italic_v end_ARG start_ARG italic_u end_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG ( divide start_ARG italic_v end_ARG start_ARG italic_u end_ARG caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) | start_ARG 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.7)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.p9.1">For the numerical calculations presented in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.F1" title="Figure IV.1 ‣ IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.1</span></a> we again consider the Hamiltonian where a perturbation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E18" title="In III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.18</span></a>) with <math alttext="t=i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p9.1.m1.1"><semantics id="S4.p9.1.m1.1a"><mrow id="S4.p9.1.m1.1.1" xref="S4.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p9.1.m1.1.1.2" xref="S4.p9.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.p9.1.m1.1.1.1" xref="S4.p9.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.p9.1.m1.1.1.3" xref="S4.p9.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p9.1.m1.1b"><apply id="S4.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p9.1.m1.1.1"><eq id="S4.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p9.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p9.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p9.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p9.1.m1.1c">t=i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p9.1.m1.1d">italic_t = italic_i</annotation></semantics></math> (that has no effect on the scar subspace) is added to the Hubbard model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E2" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.2</span></a>)</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p10"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx55"> <tbody id="S4.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H^{ib\zeta}=H^{B}+\delta H_{0}+\sum_{l}O_{l}T_{l}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E8.m1.1"><semantics id="S4.E8.m1.1a"><mrow id="S4.E8.m1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E8.m1.1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mrow id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">ζ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">B</mi></msup><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml"><munder id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1a" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.3.cmml">l</mi></munder></mstyle><mrow id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><msub id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2.cmml">O</mi><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml">T</mi><mi id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E8.m1.1.1.1.2" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E8.m1.1b"><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1"><eq id="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑏</ci><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.2.3.4">𝜁</ci></apply></apply><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝛿</ci><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4"><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.2"></sum><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2"><times id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.1"></times><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2">𝑂</ci><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E8.m1.1c">\displaystyle H^{ib\zeta}=H^{B}+\delta H_{0}+\sum_{l}O_{l}T_{l},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E8.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_b italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.8)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="137" id="S4.F1.1.g1" src="x7.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="S4.F1.2.g2" src="x8.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="S4.F1.3.g3" src="x9.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="127" id="S4.F1.4.g4" src="x10.png" width="203"/></div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure IV.1: </span> Numerical exact diagonalization results for <math alttext="K=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.18.m1.1"><semantics id="S4.F1.18.m1.1b"><mrow id="S4.F1.18.m1.1.1" xref="S4.F1.18.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.18.m1.1.1.2" xref="S4.F1.18.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S4.F1.18.m1.1.1.1" xref="S4.F1.18.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.18.m1.1.1.3" xref="S4.F1.18.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.18.m1.1c"><apply id="S4.F1.18.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.18.m1.1.1"><eq id="S4.F1.18.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.18.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.18.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.18.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.F1.18.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.18.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.18.m1.1d">K=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.18.m1.1e">italic_K = 2</annotation></semantics></math>, inter-band zeta <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.19.m2.1"><semantics id="S4.F1.19.m2.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.F1.19.m2.1.1" xref="S4.F1.19.m2.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.19.m2.1c"><ci id="S4.F1.19.m2.1.1.cmml" xref="S4.F1.19.m2.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.19.m2.1d">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.19.m2.1e">caligraphic_O</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E1" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.1</span></a>) and the generalized Hubbard Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E8" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.8</span></a>). One dimension, <math alttext="N=4" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.20.m3.1"><semantics id="S4.F1.20.m3.1b"><mrow id="S4.F1.20.m3.1.1" xref="S4.F1.20.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.20.m3.1.1.2" xref="S4.F1.20.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.F1.20.m3.1.1.1" xref="S4.F1.20.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.20.m3.1.1.3" xref="S4.F1.20.m3.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.20.m3.1c"><apply id="S4.F1.20.m3.1.1.cmml" xref="S4.F1.20.m3.1.1"><eq id="S4.F1.20.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.20.m3.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.20.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.20.m3.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.F1.20.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.20.m3.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.20.m3.1d">N=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.20.m3.1e">italic_N = 4</annotation></semantics></math>, <math alttext="t=i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.21.m4.1"><semantics id="S4.F1.21.m4.1b"><mrow id="S4.F1.21.m4.1.1" xref="S4.F1.21.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.21.m4.1.1.2" xref="S4.F1.21.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.F1.21.m4.1.1.1" xref="S4.F1.21.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.F1.21.m4.1.1.3" xref="S4.F1.21.m4.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.21.m4.1c"><apply id="S4.F1.21.m4.1.1.cmml" xref="S4.F1.21.m4.1.1"><eq id="S4.F1.21.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.21.m4.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.21.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.21.m4.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.F1.21.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.21.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.21.m4.1d">t=i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.21.m4.1e">italic_t = italic_i</annotation></semantics></math>, <math alttext="B=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.22.m5.1"><semantics id="S4.F1.22.m5.1b"><mrow id="S4.F1.22.m5.1.1" xref="S4.F1.22.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.22.m5.1.1.2" xref="S4.F1.22.m5.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S4.F1.22.m5.1.1.1" xref="S4.F1.22.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.22.m5.1.1.3" xref="S4.F1.22.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.22.m5.1c"><apply id="S4.F1.22.m5.1.1.cmml" xref="S4.F1.22.m5.1.1"><eq id="S4.F1.22.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.22.m5.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.22.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.22.m5.1.1.2">𝐵</ci><cn id="S4.F1.22.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.22.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.22.m5.1d">B=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.22.m5.1e">italic_B = 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="U=5.01" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.23.m6.1"><semantics id="S4.F1.23.m6.1b"><mrow id="S4.F1.23.m6.1.1" xref="S4.F1.23.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.23.m6.1.1.2" xref="S4.F1.23.m6.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S4.F1.23.m6.1.1.1" xref="S4.F1.23.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.23.m6.1.1.3" xref="S4.F1.23.m6.1.1.3.cmml">5.01</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.23.m6.1c"><apply id="S4.F1.23.m6.1.1.cmml" xref="S4.F1.23.m6.1.1"><eq id="S4.F1.23.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.23.m6.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.23.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.23.m6.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S4.F1.23.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.F1.23.m6.1.1.3">5.01</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.23.m6.1d">U=5.01</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.23.m6.1e">italic_U = 5.01</annotation></semantics></math>, <math alttext="\gamma=6.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.24.m7.1"><semantics id="S4.F1.24.m7.1b"><mrow id="S4.F1.24.m7.1.1" xref="S4.F1.24.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.24.m7.1.1.2" xref="S4.F1.24.m7.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.24.m7.1.1.1" xref="S4.F1.24.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.24.m7.1.1.3" xref="S4.F1.24.m7.1.1.3.cmml">6.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.24.m7.1c"><apply id="S4.F1.24.m7.1.1.cmml" xref="S4.F1.24.m7.1.1"><eq id="S4.F1.24.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.24.m7.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.24.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.24.m7.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.F1.24.m7.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.F1.24.m7.1.1.3">6.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.24.m7.1d">\gamma=6.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.24.m7.1e">italic_γ = 6.5</annotation></semantics></math>. Calculation is performed at fixed total particle number (half-filling). a) Entanglement entropy (middle cut) b) One-point function <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.25.m8.1"><semantics id="S4.F1.25.m8.1b"><mrow id="S4.F1.25.m8.1.1.3" xref="S4.F1.25.m8.1.1.2.cmml"><mo id="S4.F1.25.m8.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.F1.25.m8.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.2" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.3" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.3" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S4.F1.25.m8.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.F1.25.m8.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.25.m8.1c"><apply id="S4.F1.25.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.F1.25.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.25.m8.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.25.m8.1d">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.25.m8.1e">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> at site <math alttext="j=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.26.m9.1"><semantics id="S4.F1.26.m9.1b"><mrow id="S4.F1.26.m9.1.1" xref="S4.F1.26.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.26.m9.1.1.2" xref="S4.F1.26.m9.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.F1.26.m9.1.1.1" xref="S4.F1.26.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.26.m9.1.1.3" xref="S4.F1.26.m9.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.26.m9.1c"><apply id="S4.F1.26.m9.1.1.cmml" xref="S4.F1.26.m9.1.1"><eq id="S4.F1.26.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.26.m9.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.26.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.26.m9.1.1.2">𝑗</ci><cn id="S4.F1.26.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.26.m9.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.26.m9.1d">j=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.26.m9.1e">italic_j = 1</annotation></semantics></math> c) Two-point function (ODLRO) <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.27.m10.1"><semantics id="S4.F1.27.m10.1b"><mrow id="S4.F1.27.m10.1.1.3" xref="S4.F1.27.m10.1.1.2.cmml"><mo id="S4.F1.27.m10.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.F1.27.m10.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.3" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.1" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.2" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.3" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.F1.27.m10.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.F1.27.m10.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.27.m10.1c"><apply id="S4.F1.27.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.F1.27.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1"><times id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.F1.27.m10.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.27.m10.1d">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.27.m10.1e">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> with <math alttext="i=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.28.m11.1"><semantics id="S4.F1.28.m11.1b"><mrow id="S4.F1.28.m11.1.1" xref="S4.F1.28.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.28.m11.1.1.2" xref="S4.F1.28.m11.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.F1.28.m11.1.1.1" xref="S4.F1.28.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.28.m11.1.1.3" xref="S4.F1.28.m11.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.28.m11.1c"><apply id="S4.F1.28.m11.1.1.cmml" xref="S4.F1.28.m11.1.1"><eq id="S4.F1.28.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.28.m11.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.28.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.28.m11.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S4.F1.28.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.28.m11.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.28.m11.1d">i=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.28.m11.1e">italic_i = 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="j=N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.29.m12.1"><semantics id="S4.F1.29.m12.1b"><mrow id="S4.F1.29.m12.1.1" xref="S4.F1.29.m12.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.29.m12.1.1.2" xref="S4.F1.29.m12.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.F1.29.m12.1.1.1" xref="S4.F1.29.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.F1.29.m12.1.1.3" xref="S4.F1.29.m12.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.29.m12.1c"><apply id="S4.F1.29.m12.1.1.cmml" xref="S4.F1.29.m12.1.1"><eq id="S4.F1.29.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.29.m12.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.29.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.29.m12.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S4.F1.29.m12.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.29.m12.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.29.m12.1d">j=N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.29.m12.1e">italic_j = italic_N</annotation></semantics></math>. d) Distribution of the energy gaps in the full Hilbert space with the exception of the O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.30.m13.1"><semantics id="S4.F1.30.m13.1b"><mrow id="S4.F1.30.m13.1.2.2"><mo id="S4.F1.30.m13.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.F1.30.m13.1.1" xref="S4.F1.30.m13.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.F1.30.m13.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.30.m13.1c"><ci id="S4.F1.30.m13.1.1.cmml" xref="S4.F1.30.m13.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.30.m13.1d">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.30.m13.1e">( italic_N )</annotation></semantics></math>-symmetric subspace. Horizontal axis in a),b),c) is energy.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.p11"> <p class="ltx_p" id="S4.p11.3">Note that besides the actual inter-band zeta states <math alttext="\ket{\phi_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p11.1.m1.1"><semantics id="S4.p11.1.m1.1a"><mrow id="S4.p11.1.m1.1.1.3" xref="S4.p11.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p11.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p11.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.p11.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.p11.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p11.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p11.1.m1.1b"><apply id="S4.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p11.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.p11.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p11.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p11.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p11.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p11.1.m1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p11.1.m1.1c">\ket{\phi_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p11.1.m1.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) we are interested in, a number of further O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p11.2.m2.1"><semantics id="S4.p11.2.m2.1a"><mrow id="S4.p11.2.m2.1.2.2"><mo id="S4.p11.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.p11.2.m2.1.1" xref="S4.p11.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.p11.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p11.2.m2.1b"><ci id="S4.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p11.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p11.2.m2.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p11.2.m2.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> symmetric scars are present for the model <math alttext="H^{ib\zeta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p11.3.m3.1"><semantics id="S4.p11.3.m3.1a"><msup id="S4.p11.3.m3.1.1" xref="S4.p11.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p11.3.m3.1.1.2" xref="S4.p11.3.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mrow id="S4.p11.3.m3.1.1.3" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p11.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p11.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p11.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.p11.3.m3.1.1.3.1a" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p11.3.m3.1.1.3.4" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.4.cmml">ζ</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p11.3.m3.1b"><apply id="S4.p11.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p11.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p11.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p11.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p11.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p11.3.m3.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p11.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3"><times id="S4.p11.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.p11.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.p11.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.3">𝑏</ci><ci id="S4.p11.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S4.p11.3.m3.1.1.3.4">𝜁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p11.3.m3.1c">H^{ib\zeta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p11.3.m3.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_b italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Many of them for the Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E8" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.8</span></a>) are degenerate with some of the excitations above the BCS scar ground state which prevents these from being identified as such numerically. In Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.SS3" title="C.3 Two-orbital inter-band magnetism ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.3</span></a> and Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F3" title="Figure C.3 ‣ C.3 Two-orbital inter-band magnetism ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.3</span></a> we show that additional Hamiltonian terms can be added to remove this degeneracy and make all the excitations clearly visible.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p12"> <p class="ltx_p" id="S4.p12.2">Using the type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.p12.2.1">\@slowromancap</span>ii@ spinor basis and performing the Bogoliubov transformation (see Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS3" title="A.3 Two-orbital: Inter-band zeta ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.3</span></a>) we find the new fermionic operators (with ”orbital” index <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.1.m1.1"><semantics id="S4.p12.1.m1.1a"><mi id="S4.p12.1.m1.1.1" xref="S4.p12.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.1.m1.1b"><ci id="S4.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p12.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math>,<math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.2.m2.1"><semantics id="S4.p12.2.m2.1a"><mi id="S4.p12.2.m2.1.1" xref="S4.p12.2.m2.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.2.m2.1b"><ci id="S4.p12.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p12.2.m2.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.2.m2.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.2.m2.1d">italic_D</annotation></semantics></math> and ”spin” index 1,2)</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p13"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx56"> <tbody id="S4.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma^{C\dagger}_{j1}=u^{*}c^{A\dagger}_{j\uparrow}-v^{*}c^{B% \dagger}_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E9.m1.6"><semantics id="S4.E9.m1.6a"><mrow id="S4.E9.m1.6.7" xref="S4.E9.m1.6.7.cmml"><msubsup id="S4.E9.m1.6.7.2" xref="S4.E9.m1.6.7.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.6.7.2.2.2" xref="S4.E9.m1.6.7.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E9.m1.6.7.2.3" xref="S4.E9.m1.6.7.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.6.7.2.3.2" xref="S4.E9.m1.6.7.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E9.m1.6.7.2.3.1" xref="S4.E9.m1.6.7.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E9.m1.6.7.2.3.3" xref="S4.E9.m1.6.7.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E9.m1.2.2.2.4" xref="S4.E9.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E9.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E9.m1.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E9.m1.6.7.1" xref="S4.E9.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E9.m1.6.7.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.6.7.3.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.cmml"><msup id="S4.E9.m1.6.7.3.2.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.6.7.3.2.2.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S4.E9.m1.6.7.3.2.2.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E9.m1.6.7.3.2.1" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E9.m1.6.7.3.2.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.2.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.3.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.3.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mrow id="S4.E9.m1.4.4.2.4" xref="S4.E9.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.3.3.1.1" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.cmml">A</mi><mo id="S4.E9.m1.4.4.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E9.m1.4.4.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E9.m1.4.4.2.2" xref="S4.E9.m1.4.4.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.E9.m1.6.7.3.1" xref="S4.E9.m1.6.7.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E9.m1.6.7.3.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.cmml"><msup id="S4.E9.m1.6.7.3.3.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.6.7.3.3.2.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.2.2.cmml">v</mi><mo id="S4.E9.m1.6.7.3.3.2.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E9.m1.6.7.3.3.1" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E9.m1.6.7.3.3.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.2.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.3.2" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.3.3" xref="S4.E9.m1.6.7.3.3.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mrow id="S4.E9.m1.6.6.2.4" xref="S4.E9.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.5.5.1.1" xref="S4.E9.m1.5.5.1.1.cmml">B</mi><mo id="S4.E9.m1.6.6.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E9.m1.6.6.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E9.m1.6.6.2.2" xref="S4.E9.m1.6.6.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E9.m1.6b"><apply id="S4.E9.m1.6.7.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7"><eq id="S4.E9.m1.6.7.1.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.1"></eq><apply id="S4.E9.m1.6.7.2.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.E9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1">𝐶</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><apply id="S4.E9.m1.6.7.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.2.3"><times id="S4.E9.m1.6.7.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.2.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.6.7.2.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E9.m1.6.7.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.6.7.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.6.7.3.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.3"><minus id="S4.E9.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.3.1"></minus><apply id="S4.E9.m1.6.7.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.6.7.3.2"><times 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id="S4.E9.m1.6d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_C † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_u start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.9)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma^{D\dagger}_{j1}=u^{*}c^{B\dagger}_{j\uparrow}-v^{*}c^{A% \dagger}_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E10.m1.6"><semantics id="S4.E10.m1.6a"><mrow id="S4.E10.m1.6.7" xref="S4.E10.m1.6.7.cmml"><msubsup id="S4.E10.m1.6.7.2" xref="S4.E10.m1.6.7.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.6.7.2.2.2" xref="S4.E10.m1.6.7.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E10.m1.6.7.2.3" xref="S4.E10.m1.6.7.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.6.7.2.3.2" xref="S4.E10.m1.6.7.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E10.m1.6.7.2.3.1" xref="S4.E10.m1.6.7.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E10.m1.6.7.2.3.3" xref="S4.E10.m1.6.7.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E10.m1.2.2.2.4" xref="S4.E10.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.E10.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E10.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E10.m1.2.2.2.2" xref="S4.E10.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E10.m1.6.7.1" xref="S4.E10.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E10.m1.6.7.3" xref="S4.E10.m1.6.7.3.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.6.7.3.2" 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id="S4.E10.m1.5.5.1.1" xref="S4.E10.m1.5.5.1.1.cmml">A</mi><mo id="S4.E10.m1.6.6.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E10.m1.6.6.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E10.m1.6.6.2.2" xref="S4.E10.m1.6.6.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E10.m1.6b"><apply id="S4.E10.m1.6.7.cmml" xref="S4.E10.m1.6.7"><eq id="S4.E10.m1.6.7.1.cmml" xref="S4.E10.m1.6.7.1"></eq><apply id="S4.E10.m1.6.7.2.cmml" xref="S4.E10.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.6.7.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.6.7.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.6.7.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.E10.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1">𝐷</ci><ci id="S4.E10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><apply 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id="S4.E11.m1.1c">\displaystyle\gamma^{C}_{j2}=v^{*}c^{A}_{j\uparrow}+u^{*}c^{B}_{j\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E11.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT + italic_u start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.11)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma^{D}_{j2}=v^{*}c^{B}_{j\uparrow}+u^{*}c^{A}_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E12.m1.1"><semantics id="S4.E12.m1.1a"><mrow id="S4.E12.m1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E12.m1.1.1.2" xref="S4.E12.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E12.m1.1.1.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.E12.m1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E12.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.E12.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E12.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="S4.E12.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.2.2.3.cmml">D</mi></msubsup><mo id="S4.E12.m1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E12.m1.1.1.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.1.1.3.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S4.E12.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E12.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">↑</mo><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">B</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.1.1.3.1" xref="S4.E12.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E12.m1.1.1.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S4.E12.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E12.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mi id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">A</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E12.m1.1b"><apply id="S4.E12.m1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1"><eq id="S4.E12.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E12.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.E12.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2.2.3">𝐷</ci></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2.3"><times id="S4.E12.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E12.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E12.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3"><plus id="S4.E12.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2"><times id="S4.E12.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.2">𝑣</ci><times id="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.2.3"></times></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3"><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.1">↑</ci><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.2.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3"><times id="S4.E12.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><times id="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.2.3"></times></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3"><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.1">↓</ci><ci id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.3.3.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E12.m1.1c">\displaystyle\gamma^{D}_{j2}=v^{*}c^{B}_{j\uparrow}+u^{*}c^{A}_{j\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E12.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT + italic_u start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.12)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p14"> <p class="ltx_p" id="S4.p14.1">in terms of which the Hamiltonian <math alttext="H^{ib\zeta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.1.m1.1"><semantics id="S4.p14.1.m1.1a"><msup id="S4.p14.1.m1.1.1" xref="S4.p14.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p14.1.m1.1.1.2" xref="S4.p14.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mrow id="S4.p14.1.m1.1.1.3" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p14.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p14.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p14.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.p14.1.m1.1.1.3.1a" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p14.1.m1.1.1.3.4" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.4.cmml">ζ</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.1.m1.1b"><apply id="S4.p14.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p14.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p14.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3"><times id="S4.p14.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.p14.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.p14.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.3">𝑏</ci><ci id="S4.p14.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1.3.4">𝜁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.1.m1.1c">H^{ib\zeta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_b italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> within the scar subspace is simply the total magnetization with respect to the ”spin” of the transformed fermions</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx57"> <tbody id="S4.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{0}^{ib\zeta}=E\sum_{p=C}^{D}(n^{p}_{1}-n^{p}_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E14.m1.1"><semantics id="S4.E14.m1.1a"><mrow id="S4.E14.m1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E14.m1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S4.E14.m1.1.1.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E14.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.E14.m1.1.1.3.3.1a" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.1.1.3.3.4" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.4.cmml">ζ</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E14.m1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">C</mi></mrow><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">n</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E14.m1.1b"><apply id="S4.E14.m1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1"><eq id="S4.E14.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E14.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3"><times id="S4.E14.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E14.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.3">𝑏</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.3.3.4">𝜁</ci></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1"><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝐶</ci></apply></apply><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑝</ci></apply><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E14.m1.1c">\displaystyle H_{0}^{ib\zeta}=E\sum_{p=C}^{D}(n^{p}_{1}-n^{p}_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E14.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_b italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_E ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p = italic_C end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.14)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p15"> <p class="ltx_p" id="S4.p15.1">The raising operator (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E18" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.18</span></a>) in the transformed tower that creates excitations above the ground state (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E7" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.7</span></a>) coincides with the original raising operator (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E1" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.1</span></a>) written in terms of the Bogoliubov-transformed fermions</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx58"> <tbody id="S4.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}^{\gamma\dagger}=\sum_{j}\gamma^{C\dagger}_{j1}\gamma^{D}% _{j2}+\gamma^{D\dagger}_{j1}\gamma^{C}_{j2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E15.m1.6"><semantics id="S4.E15.m1.6a"><mrow id="S4.E15.m1.6.7" xref="S4.E15.m1.6.7.cmml"><msup id="S4.E15.m1.6.7.2" xref="S4.E15.m1.6.7.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E15.m1.6.7.2.2" xref="S4.E15.m1.6.7.2.2.cmml">𝒪</mi><mrow id="S4.E15.m1.2.2.2.4" xref="S4.E15.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S4.E15.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E15.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E15.m1.2.2.2.2" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msup><mo id="S4.E15.m1.6.7.1" xref="S4.E15.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E15.m1.6.7.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.6.7.3.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E15.m1.6.7.3.2.1" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.cmml"><munder id="S4.E15.m1.6.7.3.2.1a" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.cmml"><msubsup id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.2.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.1" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E15.m1.4.4.2.4" xref="S4.E15.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.3.3.1.1" xref="S4.E15.m1.3.3.1.1.cmml">C</mi><mo id="S4.E15.m1.4.4.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E15.m1.4.4.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E15.m1.4.4.2.2" xref="S4.E15.m1.4.4.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.1" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.1" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.3.cmml">D</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.6.7.3.1" xref="S4.E15.m1.6.7.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E15.m1.6.7.3.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.cmml"><msubsup id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.2.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.1" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E15.m1.6.6.2.4" xref="S4.E15.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.5.5.1.1" xref="S4.E15.m1.5.5.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.E15.m1.6.6.2.4.1" lspace="0.222em" xref="S4.E15.m1.6.6.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S4.E15.m1.6.6.2.2" xref="S4.E15.m1.6.6.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E15.m1.6.7.3.3.1" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.2" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.1" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.3" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.3.cmml">C</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E15.m1.6b"><apply id="S4.E15.m1.6.7.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7"><eq id="S4.E15.m1.6.7.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.1"></eq><apply id="S4.E15.m1.6.7.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.2.2">𝒪</ci><list id="S4.E15.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="S4.E15.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3"><plus id="S4.E15.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.1"></plus><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2"><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.2"></sum><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2"><times id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.1"></times><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.E15.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E15.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.3.3.1.1">𝐶</ci><ci id="S4.E15.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4.2.2">†</ci></list></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3"><times id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.2.3">𝐷</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3"><times id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.6.7.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3"><times id="S4.E15.m1.6.7.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.1"></times><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.E15.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.6.2.4"><ci id="S4.E15.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.5.5.1.1">𝐷</ci><ci id="S4.E15.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.6.2.2">†</ci></list></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3"><times id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3"><times id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.1"></times><ci id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.6.7.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E15.m1.6c">\displaystyle{\cal O}^{\gamma\dagger}=\sum_{j}\gamma^{C\dagger}_{j1}\gamma^{D}% _{j2}+\gamma^{D\dagger}_{j1}\gamma^{C}_{j2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E15.m1.6d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_C † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_D † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(IV.15)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span>Discussion and Outlook</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.3">The solution presented here does not materially depend on the matrices <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> (eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E1" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.1</span></a>)) and <math alttext="\tilde{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.p1.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S5.p1.2.m2.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1"><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.2.m2.1c">\tilde{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> (eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E4" title="In II.1 The two types of excitations ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.4</span></a>)) that specify the particular type of pairing. Therefore our conclusions hold for any compatible type of pairing including unconventional! It would be interesting to see if our approach can be extended to pairing operators <math alttext="{\cal O}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.p1.3.m3.1a"><msub id="S5.p1.3.m3.1.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2">𝒪</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.3.m3.1c">{\cal O}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.3.m3.1d">caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> that act on more than one site.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.3">Consider a strongly-interacting model such as Hubbard and decompose it as <math alttext="H_{0}+OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.p2.1.m1.1a"><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S5.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1"><plus id="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S5.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3"><times id="S5.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.1c">H_{0}+OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T</annotation></semantics></math>. In many cases (as shown explicitly in the examples we considered) all the interactions are part of <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.p2.2.m2.1a"><mrow id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S5.p2.2.m2.1.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><times id="S5.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> and annihilate the group-invariant scar subspace exactly or act on it as an irrelevant constant. Therefore, within the scar subspace, which is in some examples spanned by the BCS ground state and all its BCS excitations, all the dynamics is governed by <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.p2.3.m3.1a"><msub id="S5.p2.3.m3.1.1" xref="S5.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.3.m3.1.1.2" xref="S5.p2.3.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S5.p2.3.m3.1.1.3" xref="S5.p2.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.3.m3.1b"><apply id="S5.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S5.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.3.m3.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.3.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> only which coincides with the mean-field Hamiltonian. This presents an alternative view on the mean-field Hamiltonian as the exact Hamiltonian within the scar subspace rather than a rough approximation in the full Hilbert space.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.5">Pure uniform mean-field BCS Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E11" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.11</span></a>) is O(<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.p3.1.m1.1a"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.1.m1.1b"><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>)-invariant and can be regarded as <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.p3.2.m2.1a"><msub id="S5.p3.2.m2.1.1" xref="S5.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.2.m2.1.1.2" xref="S5.p3.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S5.p3.2.m2.1.1.3" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.2.m2.1b"><apply id="S5.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S5.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.2.m2.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Its ground state is the BCS wavefunction which together with its excitations span the scar subspace. These states (and any dynamics within the scar subspace) remain identically unchanged for plenty of different <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.p3.3.m3.1a"><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.3.m3.1b"><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1"><times id="S5.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1"></times><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.3.m3.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.3.m3.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> terms (including interactions) added to the Hamiltonian which can be regarded as perturbations over the mean-field. For small strengths of these terms the BCS will remain the ground state (for higher strength and larger bandwidth of <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.4.m4.1"><semantics id="S5.p3.4.m4.1a"><mrow id="S5.p3.4.m4.1.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.4.m4.1b"><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1"><times id="S5.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1"></times><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.4.m4.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.4.m4.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> terms a non-scar may become lower in energy). Which means we show that the BCS wavefunction is a particularly stable solution even in presence of various <math alttext="OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.5.m5.1"><semantics id="S5.p3.5.m5.1a"><mrow id="S5.p3.5.m5.1.1" xref="S5.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.5.m5.1.1.2" xref="S5.p3.5.m5.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S5.p3.5.m5.1.1.1" xref="S5.p3.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p3.5.m5.1.1.3" xref="S5.p3.5.m5.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.5.m5.1b"><apply id="S5.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.1"><times id="S5.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S5.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.1.2">𝑂</ci><ci id="S5.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.5.m5.1c">OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.5.m5.1d">italic_O italic_T</annotation></semantics></math> interactions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.p4.15">In Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.SS4" title="II.4 Correlations and the global energy minimum ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.4</span></a> we show that the state <math alttext="|\psi_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.p4.1.m1.1a"><mrow id="S5.p4.1.m1.1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.1.m1.1b"><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.1.m1.1c">|\psi_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> has the maximum <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.2.m2.1"><semantics id="S5.p4.2.m2.1a"><mrow id="S5.p4.2.m2.1.1.3" xref="S5.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p4.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S5.p4.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.2.m2.1b"><apply id="S5.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.2.m2.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.2.m2.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> over the full Hilbert space for <math alttext="\mu=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.3.m3.1"><semantics id="S5.p4.3.m3.1a"><mrow id="S5.p4.3.m3.1.1" xref="S5.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.3.m3.1.1.2" xref="S5.p4.3.m3.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p4.3.m3.1.1.1" xref="S5.p4.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p4.3.m3.1.1.3" xref="S5.p4.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.3.m3.1b"><apply id="S5.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1"><eq id="S5.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S5.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.3.m3.1c">\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.3.m3.1d">italic_μ = 0</annotation></semantics></math>. It therefore reacts the most to the term <math alttext="\delta H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.4.m4.1"><semantics id="S5.p4.4.m4.1a"><mrow id="S5.p4.4.m4.1.1" xref="S5.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.4.m4.1.1.2" xref="S5.p4.4.m4.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S5.p4.4.m4.1.1.1" xref="S5.p4.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p4.4.m4.1.1.3" xref="S5.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p4.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S5.p4.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.4.m4.1b"><apply id="S5.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p4.4.m4.1.1"><times id="S5.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.4.m4.1.1.1"></times><ci id="S5.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.4.m4.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S5.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p4.4.m4.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S5.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.4.m4.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.4.m4.1c">\delta H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.4.m4.1d">italic_δ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E12" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.12</span></a>). Let’s say we have a Hamiltonian <math alttext="\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.5.m5.1"><semantics id="S5.p4.5.m5.1a"><mover accent="true" id="S5.p4.5.m5.1.1" xref="S5.p4.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.5.m5.1.1.2" xref="S5.p4.5.m5.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S5.p4.5.m5.1.1.1" xref="S5.p4.5.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.5.m5.1b"><apply id="S5.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m5.1.1"><ci id="S5.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m5.1.1.1">~</ci><ci id="S5.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.5.m5.1.1.2">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.5.m5.1c">\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.5.m5.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> of the form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E10" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.10</span></a>) that supports O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.6.m6.1"><semantics id="S5.p4.6.m6.1a"><mrow id="S5.p4.6.m6.1.2.2"><mo id="S5.p4.6.m6.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S5.p4.6.m6.1.1" xref="S5.p4.6.m6.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.p4.6.m6.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.6.m6.1b"><ci id="S5.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p4.6.m6.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.6.m6.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.6.m6.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-invariant scars but they are in the arbitrary positions in the spectrum. Adding to <math alttext="\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.7.m7.1"><semantics id="S5.p4.7.m7.1a"><mover accent="true" id="S5.p4.7.m7.1.1" xref="S5.p4.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.7.m7.1.1.2" xref="S5.p4.7.m7.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S5.p4.7.m7.1.1.1" xref="S5.p4.7.m7.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.7.m7.1b"><apply id="S5.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.p4.7.m7.1.1"><ci id="S5.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.7.m7.1.1.1">~</ci><ci id="S5.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.7.m7.1.1.2">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.7.m7.1c">\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.7.m7.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> a term <math alttext="-\gamma({\cal O}^{\dagger}+{\cal O})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.8.m8.1"><semantics id="S5.p4.8.m8.1a"><mrow id="S5.p4.8.m8.1.1" xref="S5.p4.8.m8.1.1.cmml"><mo id="S5.p4.8.m8.1.1a" xref="S5.p4.8.m8.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.p4.8.m8.1.1.1" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.8.m8.1.1.1.3" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.3.cmml">γ</mi><mo id="S5.p4.8.m8.1.1.1.2" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒪</mi></mrow><mo id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.8.m8.1b"><apply id="S5.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1"><minus id="S5.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1"></minus><apply id="S5.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1"><times id="S5.p4.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.2"></times><ci id="S5.p4.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.3">𝛾</ci><apply id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1"><plus id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">𝒪</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.8.m8.1c">-\gamma({\cal O}^{\dagger}+{\cal O})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.8.m8.1d">- italic_γ ( caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_O )</annotation></semantics></math> we will always, for large enough <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.9.m9.1"><semantics id="S5.p4.9.m9.1a"><mi id="S5.p4.9.m9.1.1" xref="S5.p4.9.m9.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.9.m9.1b"><ci id="S5.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.p4.9.m9.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.9.m9.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.9.m9.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>, obtain the ground state that is an O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.10.m10.1"><semantics id="S5.p4.10.m10.1a"><mrow id="S5.p4.10.m10.1.2.2"><mo id="S5.p4.10.m10.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S5.p4.10.m10.1.1" xref="S5.p4.10.m10.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.p4.10.m10.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.10.m10.1b"><ci id="S5.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.p4.10.m10.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.10.m10.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.10.m10.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-invariant scar <math alttext="|\psi_{0}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.11.m11.1"><semantics id="S5.p4.11.m11.1a"><mrow id="S5.p4.11.m11.1.1.1" xref="S5.p4.11.m11.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p4.11.m11.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p4.11.m11.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.p4.11.m11.1.1.1.1" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.2" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.3" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.p4.11.m11.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p4.11.m11.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.11.m11.1b"><apply id="S5.p4.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.11.m11.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.11.m11.1c">|\psi_{0}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.11.m11.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E23" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.23</span></a>). Because the terms <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.12.m12.1"><semantics id="S5.p4.12.m12.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p4.12.m12.1.1" xref="S5.p4.12.m12.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.12.m12.1b"><ci id="S5.p4.12.m12.1.1.cmml" xref="S5.p4.12.m12.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.12.m12.1c">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.12.m12.1d">caligraphic_O</annotation></semantics></math> are strictly local and relatively simple this provides the first practical protocol to initialize a fermionic system to a scar state in (a quantum simulator) experiment. For type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S5.p4.15.1">\@slowromancap</span>i@ the condition <math alttext="\mu=\mu_{H}+U/2=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.13.m13.1"><semantics id="S5.p4.13.m13.1a"><mrow id="S5.p4.13.m13.1.1" xref="S5.p4.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.13.m13.1.1.2" xref="S5.p4.13.m13.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S5.p4.13.m13.1.1.3" xref="S5.p4.13.m13.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.p4.13.m13.1.1.4" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.cmml"><msub id="S5.p4.13.m13.1.1.4.2" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.2" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.3" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S5.p4.13.m13.1.1.4.1" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.p4.13.m13.1.1.4.3" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.2" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.2.cmml">U</mi><mo id="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.1" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.3" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mo id="S5.p4.13.m13.1.1.5" xref="S5.p4.13.m13.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S5.p4.13.m13.1.1.6" xref="S5.p4.13.m13.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.13.m13.1b"><apply id="S5.p4.13.m13.1.1.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1"><and id="S5.p4.13.m13.1.1a.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1"></and><apply id="S5.p4.13.m13.1.1b.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1"><eq id="S5.p4.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.3"></eq><ci id="S5.p4.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S5.p4.13.m13.1.1.4.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4"><plus id="S5.p4.13.m13.1.1.4.1.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.1"></plus><apply id="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.2">𝜇</ci><ci id="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.3"><divide id="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.1"></divide><ci id="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.2">𝑈</ci><cn id="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.13.m13.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p4.13.m13.1.1c.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1"><eq id="S5.p4.13.m13.1.1.5.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S5.p4.13.m13.1.1.4.cmml" id="S5.p4.13.m13.1.1d.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1"></share><cn id="S5.p4.13.m13.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S5.p4.13.m13.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.13.m13.1c">\mu=\mu_{H}+U/2=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.13.m13.1d">italic_μ = italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT + italic_U / 2 = 0</annotation></semantics></math> can be achieved by tuning the chemical potential <math alttext="\mu_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.14.m14.1"><semantics id="S5.p4.14.m14.1a"><msub id="S5.p4.14.m14.1.1" xref="S5.p4.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.14.m14.1.1.2" xref="S5.p4.14.m14.1.1.2.cmml">μ</mi><mi id="S5.p4.14.m14.1.1.3" xref="S5.p4.14.m14.1.1.3.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.14.m14.1b"><apply id="S5.p4.14.m14.1.1.cmml" xref="S5.p4.14.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.14.m14.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.14.m14.1.1.2">𝜇</ci><ci id="S5.p4.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.14.m14.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.14.m14.1c">\mu_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.14.m14.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> using a global electric gate. For type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="S5.p4.15.2">\@slowromancap</span>ii@ by adjusting the magnetic field. The term <math alttext="{\cal O}^{\dagger}+{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.15.m15.1"><semantics id="S5.p4.15.m15.1a"><mrow id="S5.p4.15.m15.1.1" xref="S5.p4.15.m15.1.1.cmml"><msup id="S5.p4.15.m15.1.1.2" xref="S5.p4.15.m15.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p4.15.m15.1.1.2.2" xref="S5.p4.15.m15.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S5.p4.15.m15.1.1.2.3" xref="S5.p4.15.m15.1.1.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S5.p4.15.m15.1.1.1" xref="S5.p4.15.m15.1.1.1.cmml">+</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p4.15.m15.1.1.3" xref="S5.p4.15.m15.1.1.3.cmml">𝒪</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.15.m15.1b"><apply id="S5.p4.15.m15.1.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.1.1"><plus id="S5.p4.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.1.1.1"></plus><apply id="S5.p4.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.15.m15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.15.m15.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p4.15.m15.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p4.15.m15.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S5.p4.15.m15.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p4.15.m15.1.1.2.3">†</ci></apply><ci id="S5.p4.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.15.m15.1.1.3">𝒪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.15.m15.1c">{\cal O}^{\dagger}+{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.15.m15.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_O</annotation></semantics></math> may be induced by proximity or designed directly in a quantum simulator.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.p5.9">There exists (at least for fixed <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.p5.1.m1.1a"><mi id="S5.p5.1.m1.1.1" xref="S5.p5.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.1.m1.1b"><ci id="S5.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>) a critical value <math alttext="\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.2.m2.1"><semantics id="S5.p5.2.m2.1a"><msub id="S5.p5.2.m2.1.1" xref="S5.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.2.m2.1.1.2" xref="S5.p5.2.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S5.p5.2.m2.1.1.3" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.2.m2.1b"><apply id="S5.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S5.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.2.m2.1c">\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.2.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that the ground state of the full system is in the scar subspace above it and in the remainder of the Hilbert space below. Suppose we start at <math alttext="\gamma>\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.3.m3.1"><semantics id="S5.p5.3.m3.1a"><mrow id="S5.p5.3.m3.1.1" xref="S5.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.3.m3.1.1.2" xref="S5.p5.3.m3.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.p5.3.m3.1.1.1" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><msub id="S5.p5.3.m3.1.1.3" xref="S5.p5.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S5.p5.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.3.m3.1b"><apply id="S5.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1"><gt id="S5.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1"></gt><ci id="S5.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S5.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S5.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.3.m3.1c">\gamma>\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.3.m3.1d">italic_γ > italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and have a pure ground state that is fully located within the scar subspace. We now slowly lower <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.4.m4.1"><semantics id="S5.p5.4.m4.1a"><mi id="S5.p5.4.m4.1.1" xref="S5.p5.4.m4.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.4.m4.1b"><ci id="S5.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.4.m4.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.4.m4.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> staying at <math alttext="T=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.5.m5.1"><semantics id="S5.p5.5.m5.1a"><mrow id="S5.p5.5.m5.1.1" xref="S5.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.5.m5.1.1.2" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.p5.5.m5.1.1.1" xref="S5.p5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p5.5.m5.1.1.3" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.5.m5.1b"><apply id="S5.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1"><eq id="S5.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S5.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S5.p5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.5.m5.1c">T=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.5.m5.1d">italic_T = 0</annotation></semantics></math>. A phase transition could be expected as we pass through <math alttext="\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.6.m6.1"><semantics id="S5.p5.6.m6.1a"><msub id="S5.p5.6.m6.1.1" xref="S5.p5.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.6.m6.1.1.2" xref="S5.p5.6.m6.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S5.p5.6.m6.1.1.3" xref="S5.p5.6.m6.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.6.m6.1b"><apply id="S5.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p5.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.6.m6.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S5.p5.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.6.m6.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.6.m6.1c">\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.6.m6.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. However, because of the ergodicity breaking and dynamical decoupling of the subspaces there are no matrix elements that could transform the wavefunction into the ”would be” non-scar ground state beyond the transition. Instead the system will remain in a linear combination of scar states. Alternatively, from the same starting point we could keep <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.7.m7.1"><semantics id="S5.p5.7.m7.1a"><mi id="S5.p5.7.m7.1.1" xref="S5.p5.7.m7.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.7.m7.1b"><ci id="S5.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.p5.7.m7.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.7.m7.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.7.m7.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> fixed and start increasing the temperature. Because of the decoupling the state of the system can not leave the scar subspace and will turn into a linear combination of scars each of which has ODLRO <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.8.m8.1"><semantics id="S5.p5.8.m8.1a"><mrow id="S5.p5.8.m8.1.1.3" xref="S5.p5.8.m8.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p5.8.m8.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S5.p5.8.m8.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.8.m8.1b"><apply id="S5.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1"><times id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p5.8.m8.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.8.m8.1c">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}{\cal O}_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.8.m8.1d">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> that is much larger than in generic states. It would be interesting to study how these predictions change if the Hamiltonian deviates <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib63" title="">63</a>]</cite> from the <math alttext="H_{0}+OT" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.9.m9.1"><semantics id="S5.p5.9.m9.1a"><mrow id="S5.p5.9.m9.1.1" xref="S5.p5.9.m9.1.1.cmml"><msub id="S5.p5.9.m9.1.1.2" xref="S5.p5.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p5.9.m9.1.1.2.2" xref="S5.p5.9.m9.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S5.p5.9.m9.1.1.2.3" xref="S5.p5.9.m9.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.p5.9.m9.1.1.1" xref="S5.p5.9.m9.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.p5.9.m9.1.1.3" xref="S5.p5.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.9.m9.1.1.3.2" xref="S5.p5.9.m9.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S5.p5.9.m9.1.1.3.1" xref="S5.p5.9.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p5.9.m9.1.1.3.3" xref="S5.p5.9.m9.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.9.m9.1b"><apply id="S5.p5.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1"><plus id="S5.p5.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1.1"></plus><apply id="S5.p5.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S5.p5.9.m9.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.9.m9.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.p5.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1.3"><times id="S5.p5.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p5.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="S5.p5.9.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p5.9.m9.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.9.m9.1c">H_{0}+OT</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.9.m9.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_O italic_T</annotation></semantics></math> form.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.p6.1">Immediately after the eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E23" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.23</span></a>) we discuss the conditions for the higher-order clustering to dominate over the regular pairing in our general solution ground states. It would be interesting to investigate if this can be related to the so-called ”4e-superconductivity” discussed in literature <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib70" title="">70</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib71" title="">71</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib72" title="">72</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib73" title="">73</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib74" title="">74</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib75" title="">75</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib76" title="">76</a>]</cite>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">VI </span>Acknowledgements</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">We thank Manfred Sigrist for many illuminating discussions and acknowledge useful exchanges with Kirill Samokhin, Yuto Shibata and Ilaria Maccari. We also thank Igor Klebanov and Fedor Popov for the collaboration on the several related publications in preparation. The simulations presented in this work were performed on computational resources managed and supported by Princeton’s Institute for Computational Science <math alttext="\&" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.p1.1.m1.1a"><mo id="S6.p1.1.m1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.cmml">&</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.1b"><and id="S6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1"></and></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.1c">\&</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.1d">&</annotation></semantics></math> Engineering and OIT Research Computing.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix A </span>Solving the <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.1.m1.1"><semantics id="A1.1.m1.1b"><msub id="A1.1.m1.1.1" xref="A1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.1.m1.1.1.2" xref="A1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A1.1.m1.1.1.3" xref="A1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.1.m1.1c"><apply id="A1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.1.m1.1d">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.1.m1.1e">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> Hamiltonian using the Bogoliubov transformation</h2> <div class="ltx_para" id="A1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.p1.1">The <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.p1.1.m1.1a"><msub id="A1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> Hamiltonian governing the scar subspace in the examples considered in Sections <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3" title="III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4" title="IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a> in the main text can alternatively be solved using a canonical transformation as is customary for the BCS mean field Hamiltonians.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.1 </span>Single-orbital: Eta subspace </h3> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p1.3">With respect to the symmetry groups of the <math alttext="\ket{\eta}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝜂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p1.1.m1.1c">\ket{\eta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p1.1.m1.1d">| start_ARG italic_η end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="\ket{\eta}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS1.p1.2.m2.1a"><msup id="A1.SS1.p1.2.m2.1.2" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.SS1.p1.2.m2.1.2.2" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝜂</ci></apply><ci id="A1.SS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p1.2.m2.1.2.2">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p1.2.m2.1c">\ket{\eta}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p1.2.m2.1d">| start_ARG italic_η end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> states the <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.SS1.p1.3.m3.1a"><msub id="A1.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.p1.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p1.3.m3.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p1.3.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> part of the Hamiltonian is given by eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E7" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.7</span></a>)</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p2.2">Let’s write it (consider the case of eta states with <math alttext="{\cal O}^{\dagger}=\eta_{j}^{\dagger}=c^{\dagger}_{j\uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msup id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msubsup id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.2" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.2.cmml">η</mi><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.5" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.cmml"><msubsup id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.cmml"><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.2" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.2" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.1" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.2" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.2" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.3" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1"><and id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1"></and><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1b.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.2">𝜂</ci><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.3">†</ci></apply></apply><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1c.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.5.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS1.p2.1.m1.1.1.4.cmml" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1d.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1"></share><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6"><times id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.1"></times><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2">superscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3"><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.1">↑</ci><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3">subscript</csymbol><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3">superscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3"><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.1">↓</ci><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.6.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p2.1.m1.1c">{\cal O}^{\dagger}=\eta_{j}^{\dagger}=c^{\dagger}_{j\uparrow}c^{\dagger}_{j\downarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p2.1.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) using the type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="A1.SS1.p2.2.1">\@slowromancap</span>i@ spinor (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E25" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.25</span></a>) and <math alttext="\mu=(U/2+\mu_{H})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="A1.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1"><eq id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.2"></eq><ci id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.3">𝜇</ci><apply id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1"><plus id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2"><divide id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.1"></divide><ci id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p2.2.m2.1c">\mu=(U/2+\mu_{H})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p2.2.m2.1d">italic_μ = ( italic_U / 2 + italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx59"> <tbody id="A1.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H^{\eta}_{0}=\sum_{j}\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{j\uparrow}&c_{j% \downarrow}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mu&-\gamma e^{i\theta}\\ -\gamma e^{-i\theta}&-\mu\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\ c^{\dagger}_{j\downarrow}\end{pmatrix}+\mu N" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E1.m1.3"><semantics id="A1.E1.m1.3a"><mrow id="A1.E1.m1.3.4" xref="A1.E1.m1.3.4.cmml"><msubsup id="A1.E1.m1.3.4.2" xref="A1.E1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="A1.E1.m1.3.4.2.2.2" xref="A1.E1.m1.3.4.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="A1.E1.m1.3.4.2.3" xref="A1.E1.m1.3.4.2.3.cmml">0</mn><mi id="A1.E1.m1.3.4.2.2.3" xref="A1.E1.m1.3.4.2.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="A1.E1.m1.3.4.1" xref="A1.E1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E1.m1.3.4.3" xref="A1.E1.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="A1.E1.m1.3.4.3.2" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E1.m1.3.4.3.2.1" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.cmml"><munder id="A1.E1.m1.3.4.3.2.1a" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.3" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="A1.E1.m1.3.4.3.2.2" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mrow id="A1.E1.m1.1.1a.3" xref="A1.E1.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E1.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E1.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E1.m1.1.1.1.1" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E1.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E1.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd><mtd id="A1.E1.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E1.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E1.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E1.m1.3.4.3.2.2.1" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E1.m1.2.2a.3" xref="A1.E1.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E1.m1.2.2a.3.1" xref="A1.E1.m1.2.2a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E1.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.E1.m1.2.2.1.1a" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E1.m1.2.2.1.1b" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">μ</mi></mtd><mtd id="A1.E1.m1.2.2.1.1c" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1a" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.1" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.3" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.E1.m1.2.2.1.1d" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E1.m1.2.2.1.1e" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1a" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml"><mo id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3a" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.1" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.3" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mtd><mtd id="A1.E1.m1.2.2.1.1f" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1a" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml">μ</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E1.m1.2.2a.3.2" xref="A1.E1.m1.2.2a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E1.m1.3.4.3.2.2.1a" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E1.m1.3.3a.3" xref="A1.E1.m1.3.3a.2.cmml"><mo id="A1.E1.m1.3.3a.3.1" xref="A1.E1.m1.3.3a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E1.m1.3.3.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mtr id="A1.E1.m1.3.3.1.1a" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E1.m1.3.3.1.1b" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E1.m1.3.3.1.1c" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E1.m1.3.3.1.1d" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E1.m1.3.3a.3.2" xref="A1.E1.m1.3.3a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E1.m1.3.4.3.1" xref="A1.E1.m1.3.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E1.m1.3.4.3.3" xref="A1.E1.m1.3.4.3.3.cmml"><mi id="A1.E1.m1.3.4.3.3.2" xref="A1.E1.m1.3.4.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.E1.m1.3.4.3.3.1" xref="A1.E1.m1.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E1.m1.3.4.3.3.3" xref="A1.E1.m1.3.4.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E1.m1.3b"><apply id="A1.E1.m1.3.4.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4"><eq id="A1.E1.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.1"></eq><apply id="A1.E1.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E1.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.2.2.2">𝐻</ci><ci id="A1.E1.m1.3.4.2.2.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.2.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="A1.E1.m1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E1.m1.3.4.2.3">0</cn></apply><apply id="A1.E1.m1.3.4.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3"><plus id="A1.E1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.1"></plus><apply id="A1.E1.m1.3.4.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2"><apply id="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.2"></sum><ci id="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E1.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.2"><times id="A1.E1.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.2.2.1"></times><apply id="A1.E1.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E1.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.E1.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">↑</ci><ci id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3"><ci id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1">↓</ci><ci id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E1.m1.2.2a.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E1.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1"><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1">𝜇</ci><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1"><minus id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1"></minus><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2"><times id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1"></times><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3"><times id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.1"></times><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E1.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1"><minus id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1"></minus><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2"><times id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1"></times><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3"><minus id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3"></minus><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2"><times id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.1"></times><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1"><minus id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1"></minus><ci id="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E1.m1.2.2.1.1.2.2.1.2">𝜇</ci></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E1.m1.3.3a.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E1.m1.3.3a.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1"><matrixrow id="A1.E1.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1">↑</ci><ci id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E1.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><ci id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1">↓</ci><ci id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply><apply id="A1.E1.m1.3.4.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.3"><times id="A1.E1.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.3.1"></times><ci id="A1.E1.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.E1.m1.3.4.3.3.3.cmml" xref="A1.E1.m1.3.4.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E1.m1.3c">\displaystyle H^{\eta}_{0}=\sum_{j}\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{j\uparrow}&c_{j% \downarrow}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mu&-\gamma e^{i\theta}\\ -\gamma e^{-i\theta}&-\mu\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\ c^{\dagger}_{j\downarrow}\end{pmatrix}+\mu N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E1.m1.3d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_μ end_CELL start_CELL - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_μ end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) + italic_μ italic_N</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.1)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p4.1">Observe that this Hamiltonian is very similar to the BCS mean-field Hamiltonian <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx60"> <tbody id="A1.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{0}=\sum_{k}\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{k\uparrow}&c_{-k% \downarrow}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\xi_{k}&-\Delta_{k}\\ -\Delta^{*}_{k}&-\xi_{k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{k\uparrow}\\ c^{\dagger}_{-k\downarrow}\end{pmatrix}+K_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E2.m1.3"><semantics id="A1.E2.m1.3a"><mrow id="A1.E2.m1.3.4" xref="A1.E2.m1.3.4.cmml"><msub id="A1.E2.m1.3.4.2" xref="A1.E2.m1.3.4.2.cmml"><mi id="A1.E2.m1.3.4.2.2" xref="A1.E2.m1.3.4.2.2.cmml">H</mi><mn id="A1.E2.m1.3.4.2.3" xref="A1.E2.m1.3.4.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A1.E2.m1.3.4.1" xref="A1.E2.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E2.m1.3.4.3" xref="A1.E2.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="A1.E2.m1.3.4.3.2" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E2.m1.3.4.3.2.1" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.cmml"><munder id="A1.E2.m1.3.4.3.2.1a" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.3" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.3.cmml">k</mi></munder></mstyle><mrow id="A1.E2.m1.3.4.3.2.2" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mrow id="A1.E2.m1.1.1a.3" xref="A1.E2.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E2.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E2.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E2.m1.1.1.1.1" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E2.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E2.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd><mtd id="A1.E2.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mrow id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml"><mo id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2a" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">−</mo><mi id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E2.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E2.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E2.m1.3.4.3.2.2.1" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E2.m1.2.2a.3" xref="A1.E2.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E2.m1.2.2a.3.1" xref="A1.E2.m1.2.2a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E2.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.E2.m1.2.2.1.1a" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E2.m1.2.2.1.1b" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub></mtd><mtd id="A1.E2.m1.2.2.1.1c" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1a" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><msub id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.E2.m1.2.2.1.1d" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E2.m1.2.2.1.1e" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1a" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml">k</mi><mo id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="A1.E2.m1.2.2.1.1f" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1a" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E2.m1.2.2a.3.2" xref="A1.E2.m1.2.2a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E2.m1.3.4.3.2.2.1a" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E2.m1.3.3a.3" xref="A1.E2.m1.3.3a.2.cmml"><mo id="A1.E2.m1.3.3a.3.1" xref="A1.E2.m1.3.3a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E2.m1.3.3.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mtr id="A1.E2.m1.3.3.1.1a" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E2.m1.3.3.1.1b" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E2.m1.3.3.1.1c" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E2.m1.3.3.1.1d" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2a" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml">−</mo><mi id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E2.m1.3.3a.3.2" xref="A1.E2.m1.3.3a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E2.m1.3.4.3.1" xref="A1.E2.m1.3.4.3.1.cmml">+</mo><msub id="A1.E2.m1.3.4.3.3" xref="A1.E2.m1.3.4.3.3.cmml"><mi id="A1.E2.m1.3.4.3.3.2" xref="A1.E2.m1.3.4.3.3.2.cmml">K</mi><mn id="A1.E2.m1.3.4.3.3.3" xref="A1.E2.m1.3.4.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E2.m1.3b"><apply id="A1.E2.m1.3.4.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4"><eq id="A1.E2.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.1"></eq><apply id="A1.E2.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.2.2">𝐻</ci><cn id="A1.E2.m1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E2.m1.3.4.2.3">0</cn></apply><apply id="A1.E2.m1.3.4.3.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3"><plus id="A1.E2.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.1"></plus><apply id="A1.E2.m1.3.4.3.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2"><apply id="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.2"></sum><ci id="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.3.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.E2.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.2"><times id="A1.E2.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.2.2.1"></times><apply id="A1.E2.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E2.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.E2.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">↑</ci><ci id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3"><ci id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1">↓</ci><apply id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2"><minus id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2"></minus><ci id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2">𝑘</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E2.m1.2.2a.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E2.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="A1.E2.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1"><minus id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1"></minus><apply id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2">Δ</ci><ci id="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E2.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1"><minus id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1"></minus><apply id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.2">Δ</ci><times id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.3"></times></apply><ci id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1"><minus id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1"></minus><apply id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2">𝜉</ci><ci id="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="A1.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E2.m1.3.3a.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E2.m1.3.3a.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1"><matrixrow id="A1.E2.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1">↑</ci><ci id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E2.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><ci id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1">↓</ci><apply id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2"><minus id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2"></minus><ci id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2">𝑘</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply><apply id="A1.E2.m1.3.4.3.3.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E2.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E2.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="A1.E2.m1.3.4.3.3.2">𝐾</ci><cn id="A1.E2.m1.3.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E2.m1.3.4.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E2.m1.3c">\displaystyle H_{0}=\sum_{k}\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{k\uparrow}&c_{-k% \downarrow}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\xi_{k}&-\Delta_{k}\\ -\Delta^{*}_{k}&-\xi_{k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{k\uparrow}\\ c^{\dagger}_{-k\downarrow}\end{pmatrix}+K_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E2.m1.3d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT - italic_k ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL - roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT - italic_k ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) + italic_K start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.2)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p5.1">We can therefore diagonalize (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.E1" title="In A.1 Single-orbital: Eta subspace ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.1</span></a>) using the Bogoliubov canonical transformation.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p6"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx61"> <tbody id="A1.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{0}=\sum_{j}E_{1}\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j1}+E_{2}\gamma^% {\dagger}_{j2}\gamma_{j2}-E_{2}=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E3.m1.1"><semantics id="A1.E3.m1.1a"><mrow id="A1.E3.m1.1.1" xref="A1.E3.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.E3.m1.1.1.2" xref="A1.E3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.2.2" xref="A1.E3.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="A1.E3.m1.1.1.2.3" xref="A1.E3.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A1.E3.m1.1.1.3" xref="A1.E3.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4" xref="A1.E3.m1.1.1.4.cmml"><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.1.cmml"><munder id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.1a" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.1.cmml"><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.1.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.cmml"><msub id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml">E</mi><mn id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.2.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.2.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.3.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.3.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.3.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.2.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.1a" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.3.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.3.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.3.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.2.2.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.cmml"><msub id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.2.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.2.2.cmml">E</mi><mn id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.2.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.2.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.2.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.1a" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E3.m1.1.1.4.1" xref="A1.E3.m1.1.1.4.1.cmml">−</mo><msub id="A1.E3.m1.1.1.4.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.E3.m1.1.1.4.3.2" xref="A1.E3.m1.1.1.4.3.2.cmml">E</mi><mn id="A1.E3.m1.1.1.4.3.3" xref="A1.E3.m1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A1.E3.m1.1.1.5" xref="A1.E3.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="A1.E3.m1.1.1.6" xref="A1.E3.m1.1.1.6.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E3.m1.1b"><apply id="A1.E3.m1.1.1.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1"><and id="A1.E3.m1.1.1a.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1"></and><apply id="A1.E3.m1.1.1b.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1"><eq id="A1.E3.m1.1.1.3.cmml" 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id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3"><times id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.1.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.2.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.2">𝛾</ci><apply id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3"><times id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.1.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.1"></times><ci id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.2.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E3.m1.1.1.4.2.3.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E3.m1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E3.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E3.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.4.3.2">𝐸</ci><cn id="A1.E3.m1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E3.m1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.E3.m1.1.1c.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1"><eq id="A1.E3.m1.1.1.5.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.E3.m1.1.1.4.cmml" id="A1.E3.m1.1.1d.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1"></share><csymbol cd="latexml" id="A1.E3.m1.1.1.6.cmml" xref="A1.E3.m1.1.1.6">absent</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E3.m1.1c">\displaystyle H_{0}=\sum_{j}E_{1}\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j1}+E_{2}\gamma^% {\dagger}_{j2}\gamma_{j2}-E_{2}=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E3.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.3)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{pmatrix}\gamma^{\dagger}_{j1}&\gamma_{j2}\end{pmatrix}% \begin{pmatrix}E_{1}&0\\ 0&E_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_{j1}\\ \gamma^{\dagger}_{j2}\end{pmatrix}-E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E4.m1.3"><semantics id="A1.E4.m1.3a"><mrow id="A1.E4.m1.3.4" xref="A1.E4.m1.3.4.cmml"><mrow id="A1.E4.m1.3.4.2" xref="A1.E4.m1.3.4.2.cmml"><mrow id="A1.E4.m1.1.1a.3" xref="A1.E4.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E4.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E4.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E4.m1.1.1.1.1" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E4.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E4.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd><mtd id="A1.E4.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A1.E4.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E4.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E4.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E4.m1.3.4.2.1" xref="A1.E4.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E4.m1.2.2a.3" xref="A1.E4.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E4.m1.2.2a.3.1" xref="A1.E4.m1.2.2a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E4.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.E4.m1.2.2.1.1a" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E4.m1.2.2.1.1b" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E4.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="A1.E4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd><mtd id="A1.E4.m1.2.2.1.1c" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A1.E4.m1.2.2.1.1d" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E4.m1.2.2.1.1e" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E4.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E4.m1.2.2.1.1f" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E4.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="A1.E4.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="A1.E4.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml">E</mi><mn 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\gamma^{\dagger}_{j2}\end{pmatrix}-E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E4.m1.3d">( start_ARG start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) - italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.4)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p7.1">Where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx62"> <tbody id="A1.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\ c^{\dagger}_{j\downarrow}\end{pmatrix}=U_{j}\begin{pmatrix}\gamma_{j1}\\ \gamma^{\dagger}_{j2}\end{pmatrix}," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E5.m1.3"><semantics id="A1.E5.m1.3a"><mrow id="A1.E5.m1.3.3.1" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.E5.m1.3.3.1.1" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.E5.m1.1.1a.3" xref="A1.E5.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E5.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E5.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E5.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E5.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E5.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E5.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E5.m1.1.1.1.1d" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" 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id="A1.E5.m1.2.2a.3" xref="A1.E5.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E5.m1.2.2a.3.1" xref="A1.E5.m1.2.2a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E5.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.E5.m1.2.2.1.1a" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E5.m1.2.2.1.1b" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E5.m1.2.2.1.1c" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E5.m1.2.2.1.1d" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E5.m1.2.2a.3.2" xref="A1.E5.m1.2.2a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E5.m1.3.3.1.2" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E5.m1.3b"><apply id="A1.E5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.3.3.1"><eq id="A1.E5.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="A1.E5.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E5.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.E5.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">↑</ci><ci id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E5.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.3"><ci id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1">↓</ci><ci id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E5.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.2"><times id="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E5.m1.2.2a.2.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E5.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="A1.E5.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E5.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3"><times id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E5.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E5.m1.3c">\displaystyle\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\ c^{\dagger}_{j\downarrow}\end{pmatrix}=U_{j}\begin{pmatrix}\gamma_{j1}\\ \gamma^{\dagger}_{j2}\end{pmatrix},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E5.m1.3d">( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.5)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p8"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx63"> <tbody id="A1.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle U_{j}=\begin{pmatrix}u^{*}_{j}&v_{j}\\ -v^{*}_{j}&u_{j}\end{pmatrix}," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E6.m1.2"><semantics id="A1.E6.m1.2a"><mrow id="A1.E6.m1.2.2.1" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E6.m1.2.2.1.1" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E6.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E6.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E6.m1.1.1a.3" xref="A1.E6.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E6.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E6.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E6.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E6.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E6.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mtd><mtd id="A1.E6.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">v</mi><mi id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">j</mi></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E6.m1.1.1.1.1d" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E6.m1.1.1.1.1e" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="A1.E6.m1.1.1.1.1f" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">u</mi><mi id="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">j</mi></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E6.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E6.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E6.m1.2.2.1.2" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E6.m1.2b"><apply id="A1.E6.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E6.m1.2.2.1"><eq id="A1.E6.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E6.m1.2.2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E6.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E6.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.E6.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><times id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑣</ci><ci id="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑗</ci></apply></matrixrow><matrixrow 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,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p8.1"><math alttext="E_{1}=-E_{2}=E" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p8.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.p8.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mn id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.3" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.cmml"><mo id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4a" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.cmml">−</mo><msub id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.2" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.2.cmml">E</mi><mn id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.3" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.5" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.6" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.6.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p8.1.m1.1b"><apply id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1"><and id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1"></and><apply id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1b.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.2">𝐸</ci><cn id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4"><minus id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4"></minus><apply id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.2">𝐸</ci><cn id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1c.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.5.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.SS1.p8.1.m1.1.1.4.cmml" id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1d.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1"></share><ci id="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.6.cmml" xref="A1.SS1.p8.1.m1.1.1.6">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p8.1.m1.1c">E_{1}=-E_{2}=E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p8.1.m1.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = - italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_E</annotation></semantics></math> and the definitions of eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E22" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.22</span></a>) are used.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p9"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p9.1">The creation operators of the new emergent fermions are given in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E10" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.10</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p10"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p10.1">The eigenstates of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.E3" title="In A.1 Single-orbital: Eta subspace ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.3</span></a>) is a tower of <math alttext="N+1" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p10.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.p10.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.p10.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p10.1.m1.1b"><apply id="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p10.1.m1.1.1"><plus id="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.1"></plus><ci id="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.p10.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p10.1.m1.1c">N+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p10.1.m1.1d">italic_N + 1</annotation></semantics></math> states (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) with the raising operator that creates one additional quasiparticle of each type</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx64"> <tbody id="A1.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}^{\gamma\dagger}_{j}=\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma^{\dagger% }_{j2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E7.m1.2"><semantics id="A1.E7.m1.2a"><mrow id="A1.E7.m1.2.3" xref="A1.E7.m1.2.3.cmml"><msubsup id="A1.E7.m1.2.3.2" xref="A1.E7.m1.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E7.m1.2.3.2.2.2" xref="A1.E7.m1.2.3.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.E7.m1.2.3.2.3" xref="A1.E7.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi><mrow id="A1.E7.m1.2.2.2.4" xref="A1.E7.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E7.m1.1.1.1.1" xref="A1.E7.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="A1.E7.m1.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="A1.E7.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="A1.E7.m1.2.2.2.2" xref="A1.E7.m1.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E7.m1.2.3.1" xref="A1.E7.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E7.m1.2.3.3" xref="A1.E7.m1.2.3.3.cmml"><msubsup id="A1.E7.m1.2.3.3.2" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.2" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E7.m1.2.3.3.2.3" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.2" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.1" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.3" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.3" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.E7.m1.2.3.3.1" xref="A1.E7.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E7.m1.2.3.3.3" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.2" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E7.m1.2.3.3.3.3" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.2" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.1" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.3" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.3" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E7.m1.2b"><apply id="A1.E7.m1.2.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3"><eq id="A1.E7.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.1"></eq><apply id="A1.E7.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E7.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E7.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E7.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E7.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.2.2.2">𝒪</ci><list id="A1.E7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.2.2.4"><ci id="A1.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E7.m1.1.1.1.1">𝛾</ci><ci id="A1.E7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.2.2.2">†</ci></list></apply><ci id="A1.E7.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E7.m1.2.3.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3"><times id="A1.E7.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.1"></times><apply id="A1.E7.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E7.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.3"><times id="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E7.m1.2.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E7.m1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E7.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.3"><times id="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.1"></times><ci id="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E7.m1.2.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E7.m1.2c">\displaystyle{\cal O}^{\gamma\dagger}_{j}=\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma^{\dagger% }_{j2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E7.m1.2d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.7)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p11"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p11.2">The lowest-energy state <math alttext="\ket{\psi^{\eta}_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p11.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.p11.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p11.1.m1.1b"><apply id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.p11.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p11.1.m1.1c">\ket{\psi^{\eta}_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p11.1.m1.1d">| start_ARG italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> in the tower scar subspace (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E8" title="In III.2 BCS ground state for type-\@slowromancapi@ 𝜂 and 𝜂' ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.8</span></a>), the BCS wavefunction, has no excitations of either type and thus satisfies for any site <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p11.2.m2.1"><semantics id="A1.SS1.p11.2.m2.1a"><mi id="A1.SS1.p11.2.m2.1.1" xref="A1.SS1.p11.2.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p11.2.m2.1b"><ci id="A1.SS1.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p11.2.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p11.2.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p11.2.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx65"> <tbody id="A1.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\cal O}^{\gamma}_{j}\ket{\psi^{\eta}_{0}}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E8.m1.1"><semantics id="A1.E8.m1.1a"><mrow id="A1.E8.m1.1.2" xref="A1.E8.m1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E8.m1.1.2.2" xref="A1.E8.m1.1.2.2.cmml"><msubsup id="A1.E8.m1.1.2.2.2" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.E8.m1.1.2.2.2.3" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi><mi id="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.3.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="A1.E8.m1.1.2.2.1" xref="A1.E8.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E8.m1.1.1a.3" xref="A1.E8.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E8.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E8.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A1.E8.m1.1.1.1.1" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="A1.E8.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msubsup><mo id="A1.E8.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E8.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E8.m1.1.2.1" xref="A1.E8.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E8.m1.1.2.3" xref="A1.E8.m1.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E8.m1.1b"><apply id="A1.E8.m1.1.2.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2"><eq id="A1.E8.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.1"></eq><apply id="A1.E8.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2"><times id="A1.E8.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2.1"></times><apply id="A1.E8.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E8.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.2">𝒪</ci><ci id="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2.2.3">𝛾</ci></apply><ci id="A1.E8.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E8.m1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E8.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E8.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E8.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E8.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="A1.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="A1.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E8.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply><cn id="A1.E8.m1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E8.m1.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E8.m1.1c">\displaystyle{\cal O}^{\gamma}_{j}\ket{\psi^{\eta}_{0}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E8.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.8)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.2 </span>Single-orbital: Zeta subspace </h3> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p1.2">With respect to the symmetry group of the <math alttext="\ket{\zeta}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">ζ</mi><mo id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1">𝜁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.p1.1.m1.1c">\ket{\zeta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.p1.1.m1.1d">| start_ARG italic_ζ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> states the <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS2.p1.2.m2.1a"><msub id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.p1.2.m2.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.p1.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> part of the Hamiltonian is given by eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E12" title="In III.3 Ground state for type-\@slowromancapii@ 𝜁 ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.12</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p2.1">Using the type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="A1.SS2.p2.1.1">\@slowromancap</span>ii@ spinor (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E26" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.26</span></a>) we write it as</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx66"> <tbody id="A1.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H^{\zeta}_{0}=\sum_{j}\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{j\uparrow}&c^{% \dagger}_{j\downarrow}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-\gamma e^{i\theta}\\ -\gamma e^{-i\theta}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\ c_{j\downarrow}\end{pmatrix}+\mu N" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E9.m1.3"><semantics id="A1.E9.m1.3a"><mrow id="A1.E9.m1.3.4" xref="A1.E9.m1.3.4.cmml"><msubsup id="A1.E9.m1.3.4.2" xref="A1.E9.m1.3.4.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.3.4.2.2.2" xref="A1.E9.m1.3.4.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="A1.E9.m1.3.4.2.3" xref="A1.E9.m1.3.4.2.3.cmml">0</mn><mi id="A1.E9.m1.3.4.2.2.3" xref="A1.E9.m1.3.4.2.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup><mo id="A1.E9.m1.3.4.1" xref="A1.E9.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E9.m1.3.4.3" xref="A1.E9.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.3.4.3.2" xref="A1.E9.m1.3.4.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E9.m1.3.4.3.2.1" xref="A1.E9.m1.3.4.3.2.1.cmml"><munder id="A1.E9.m1.3.4.3.2.1a" xref="A1.E9.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="A1.E9.m1.3.4.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A1.E9.m1.3.4.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.E9.m1.3.4.3.2.1.3" xref="A1.E9.m1.3.4.3.2.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="A1.E9.m1.3.4.3.2.2" xref="A1.E9.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.1.1a.3" xref="A1.E9.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E9.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E9.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E9.m1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E9.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E9.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd><mtd id="A1.E9.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E9.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E9.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E9.m1.3.4.3.2.2.1" xref="A1.E9.m1.3.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E9.m1.2.2a.3" xref="A1.E9.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E9.m1.2.2a.3.1" xref="A1.E9.m1.2.2a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E9.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.E9.m1.2.2.1.1a" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E9.m1.2.2.1.1b" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E9.m1.2.2.1.1c" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1a" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.E9.m1.2.2.1.1d" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E9.m1.2.2.1.1e" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1a" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml"><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3a" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.2" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.3" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mtd><mtd id="A1.E9.m1.2.2.1.1f" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E9.m1.2.2a.3.2" xref="A1.E9.m1.2.2a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E9.m1.3.4.3.2.2.1a" xref="A1.E9.m1.3.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E9.m1.3.3a.3" xref="A1.E9.m1.3.3a.2.cmml"><mo id="A1.E9.m1.3.3a.3.1" xref="A1.E9.m1.3.3a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E9.m1.3.3.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><mtr id="A1.E9.m1.3.3.1.1a" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E9.m1.3.3.1.1b" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E9.m1.3.3.1.1c" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E9.m1.3.3.1.1d" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E9.m1.3.3a.3.2" xref="A1.E9.m1.3.3a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E9.m1.3.4.3.1" xref="A1.E9.m1.3.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E9.m1.3.4.3.3" xref="A1.E9.m1.3.4.3.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.3.4.3.3.2" xref="A1.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.E9.m1.3.4.3.3.1" xref="A1.E9.m1.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E9.m1.3.4.3.3.3" xref="A1.E9.m1.3.4.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E9.m1.3b"><apply id="A1.E9.m1.3.4.cmml" xref="A1.E9.m1.3.4"><eq id="A1.E9.m1.3.4.1.cmml" 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xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1">↓</ci><ci id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E9.m1.2.2a.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E9.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1"><cn id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1">0</cn><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1"><minus id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1"></minus><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2"><times id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1"></times><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3"><times id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.1"></times><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E9.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1"><minus id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1"></minus><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2"><times id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1"></times><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3"><minus id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3"></minus><apply id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2"><times id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.1"></times><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="A1.E9.m1.2.2.1.1.2.2.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E9.m1.3.3a.2.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E9.m1.3.3a.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E9.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1"><matrixrow id="A1.E9.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1">↑</ci><ci id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E9.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><ci id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1">↓</ci><ci id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply><apply id="A1.E9.m1.3.4.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.3.4.3.3"><times id="A1.E9.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.3.4.3.3.1"></times><ci id="A1.E9.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.3.4.3.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.E9.m1.3.4.3.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.3.4.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E9.m1.3c">\displaystyle H^{\zeta}_{0}=\sum_{j}\begin{pmatrix}c^{\dagger}_{j\uparrow}&c^{% \dagger}_{j\downarrow}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-\gamma e^{i\theta}\\ -\gamma e^{-i\theta}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\ c_{j\downarrow}\end{pmatrix}+\mu N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E9.m1.3d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) + italic_μ italic_N</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.9)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p4.1">The transformation is the same as in the eta case (replacing <math alttext="\mu=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p4.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><cn id="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.p4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.p4.1.m1.1c">\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.p4.1.m1.1d">italic_μ = 0</annotation></semantics></math> and using definitions (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.E6" title="In A.1 Single-orbital: Eta subspace ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.6</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E22" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.22</span></a>))</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx67"> <tbody id="A1.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\ c_{j\downarrow}\end{pmatrix}=U_{j}\begin{pmatrix}\gamma_{j1}\\ \gamma_{j2}\end{pmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E10.m1.2"><semantics id="A1.E10.m1.2a"><mrow id="A1.E10.m1.2.3" xref="A1.E10.m1.2.3.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.1.1a.3" xref="A1.E10.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E10.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E10.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E10.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E10.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E10.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E10.m1.1.1.1.1d" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E10.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E10.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.3.1" xref="A1.E10.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.3.2.cmml"><msub id="A1.E10.m1.2.3.2.2" xref="A1.E10.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.3.2.2.2" xref="A1.E10.m1.2.3.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="A1.E10.m1.2.3.2.2.3" xref="A1.E10.m1.2.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E10.m1.2.3.2.1" xref="A1.E10.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2a.3" xref="A1.E10.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2a.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E10.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.E10.m1.2.2.1.1a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E10.m1.2.2.1.1b" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E10.m1.2.2.1.1c" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E10.m1.2.2.1.1d" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E10.m1.2.2a.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E10.m1.2b"><apply id="A1.E10.m1.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.3"><eq id="A1.E10.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.3.1"></eq><apply id="A1.E10.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.E10.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">↑</ci><ci id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E10.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3"><ci id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1">↓</ci><ci id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E10.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.3.2"><times id="A1.E10.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.3.2.1"></times><apply id="A1.E10.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.3.2.2.2">𝑈</ci><ci id="A1.E10.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2a.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3"><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E10.m1.2c">\displaystyle\begin{pmatrix}c_{j\uparrow}\\ c_{j\downarrow}\end{pmatrix}=U_{j}\begin{pmatrix}\gamma_{j1}\\ \gamma_{j2}\end{pmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E10.m1.2d">( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) = italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p4.2">leading to the new fermion operators given in eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E14" title="In III.3 Ground state for type-\@slowromancapii@ 𝜁 ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.14</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p5.1">The Hamiltonian after the canonical transformation is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx68"> <tbody id="A1.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H^{\zeta}_{0}=\begin{pmatrix}\gamma^{\dagger}_{j1}&\gamma^{% \dagger}_{j2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{1}&0\\ 0&E_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_{j1}\\ \gamma_{j2}\end{pmatrix}=E\sum_{j}\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j1}-\gamma^{% \dagger}_{j2}\gamma_{j2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E11.m1.3"><semantics id="A1.E11.m1.3a"><mrow id="A1.E11.m1.3.4" xref="A1.E11.m1.3.4.cmml"><msubsup id="A1.E11.m1.3.4.2" xref="A1.E11.m1.3.4.2.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.2.2.2" xref="A1.E11.m1.3.4.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="A1.E11.m1.3.4.2.3" xref="A1.E11.m1.3.4.2.3.cmml">0</mn><mi id="A1.E11.m1.3.4.2.2.3" xref="A1.E11.m1.3.4.2.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup><mo id="A1.E11.m1.3.4.3" xref="A1.E11.m1.3.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.E11.m1.3.4.4" xref="A1.E11.m1.3.4.4.cmml"><mrow id="A1.E11.m1.1.1a.3" xref="A1.E11.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E11.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E11.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E11.m1.1.1.1.1" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E11.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E11.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd><mtd id="A1.E11.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E11.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E11.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E11.m1.3.4.4.1" xref="A1.E11.m1.3.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E11.m1.2.2a.3" xref="A1.E11.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E11.m1.2.2a.3.1" xref="A1.E11.m1.2.2a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E11.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.E11.m1.2.2.1.1a" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E11.m1.2.2.1.1b" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd><mtd id="A1.E11.m1.2.2.1.1c" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A1.E11.m1.2.2.1.1d" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E11.m1.2.2.1.1e" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E11.m1.2.2.1.1f" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml">E</mi><mn id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.3" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E11.m1.2.2a.3.2" xref="A1.E11.m1.2.2a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E11.m1.3.4.4.1a" xref="A1.E11.m1.3.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E11.m1.3.3a.3" xref="A1.E11.m1.3.3a.2.cmml"><mo id="A1.E11.m1.3.3a.3.1" xref="A1.E11.m1.3.3a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E11.m1.3.3.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><mtr id="A1.E11.m1.3.3.1.1a" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E11.m1.3.3.1.1b" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="A1.E11.m1.3.3.1.1c" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E11.m1.3.3.1.1d" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E11.m1.3.3a.3.2" xref="A1.E11.m1.3.3a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E11.m1.3.4.5" xref="A1.E11.m1.3.4.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6" xref="A1.E11.m1.3.4.6.cmml"><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.2.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.2.cmml">E</mi><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.2.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.cmml"><munder id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1a" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.cmml"><msubsup id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.cmml"><msubsup id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.3.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.2" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.1" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.3" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E11.m1.3b"><apply id="A1.E11.m1.3.4.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4"><and id="A1.E11.m1.3.4a.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4"></and><apply id="A1.E11.m1.3.4b.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4"><eq id="A1.E11.m1.3.4.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.3"></eq><apply id="A1.E11.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E11.m1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.3.4.2.2.2.cmml" 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id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3"><times id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1"></times><ci id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E11.m1.2.2a.2.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E11.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="A1.E11.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝐸</ci><cn id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="A1.E11.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1"><cn id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.2">𝐸</ci><cn id="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.3">2</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E11.m1.3.3a.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E11.m1.3.3a.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1"><matrixrow id="A1.E11.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E11.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><times id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply><apply id="A1.E11.m1.3.4c.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4"><eq id="A1.E11.m1.3.4.5.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.E11.m1.3.4.4.cmml" id="A1.E11.m1.3.4d.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4"></share><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6"><minus id="A1.E11.m1.3.4.6.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.1"></minus><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2"><times id="A1.E11.m1.3.4.6.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.1"></times><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.2">𝐸</ci><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3"><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.2"></sum><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2"><times id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.1"></times><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3"><times id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.2">𝛾</ci><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3"><times id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.1"></times><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.3.4.6.2.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3"><times id="A1.E11.m1.3.4.6.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.1"></times><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3"><times id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.1"></times><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.2">𝛾</ci><apply id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3"><times id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.1"></times><ci id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E11.m1.3.4.6.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E11.m1.3c">\displaystyle H^{\zeta}_{0}=\begin{pmatrix}\gamma^{\dagger}_{j1}&\gamma^{% \dagger}_{j2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{1}&0\\ 0&E_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_{j1}\\ \gamma_{j2}\end{pmatrix}=E\sum_{j}\gamma^{\dagger}_{j1}\gamma_{j1}-\gamma^{% \dagger}_{j2}\gamma_{j2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E11.m1.3d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) = italic_E ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p5.2">and is the total ”magnetization” wrt to the flavour of the transformed fermions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p6.1">The eigenstates of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A1.E11" title="In A.2 Single-orbital: Zeta subspace ‣ Appendix A Solving the 𝐻₀ Hamiltonian using the Bogoliubov transformation ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.11</span></a>) is a tower of states (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>) where the raising operator is (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E16" title="In III.3 Ground state for type-\@slowromancapii@ 𝜁 ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.16</span></a>). The lowest energy state (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E13" title="In III.3 Ground state for type-\@slowromancapii@ 𝜁 ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.13</span></a>) in the tower has the BCS form.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.3 </span>Two-orbital: Inter-band zeta </h3> <div class="ltx_para" id="A1.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.p1.1">In the type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="A1.SS3.p1.1.1">\@slowromancap</span>ii@ spinor (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E26" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.26</span></a>) basis the <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS3.p1.1.m1.1a"><msub id="A1.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.p1.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.p1.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> part of the Hamiltonian relevant for the scar subspace reads</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx69"> <tbody id="A1.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\small\begin{pmatrix}c^{A\dagger}_{j\uparrow}&c^{B\dagger}_{j% \uparrow}&c^{A\dagger}_{j\downarrow}&c^{B\dagger}_{j\downarrow}\end{pmatrix}% \begin{pmatrix}B&0&0&-\gamma e^{i\theta}\\ 0&B&-\gamma e^{i\theta}&0\\ 0&-\gamma e^{-i\theta}&-B&0\\ -\gamma e^{-i\theta}&0&0&-B\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}c^{A}_{j\uparrow}\\ c^{B}_{j\uparrow}\\ c^{A}_{j\downarrow}\\ c^{B}_{j\downarrow}\end{pmatrix}\normalsize" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E12.m1.3"><semantics id="A1.E12.m1.3a"><mrow id="A1.E12.m1.3.4" xref="A1.E12.m1.3.4.cmml"><mrow id="A1.E12.m1.1.1a.3" xref="A1.E12.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E12.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E12.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E12.m1.1.1.1.1" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E12.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E12.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.3.cmml"></mi></mrow><mrow id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup></mtd><mtd id="A1.E12.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.4.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.3" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.3.cmml"></mi></mrow><mrow id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.4" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">B</mi><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup></mtd><mtd id="A1.E12.m1.1.1.1.1d" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.4.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.5" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.5.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.5.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.5.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.5.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.5.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.5.3" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.5.3.cmml"></mi></mrow><mrow id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.2.2.4" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.5.5.5.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.5.5.5.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup></mtd><mtd id="A1.E12.m1.1.1.1.1e" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.4.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.5" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.5.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.5.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.5.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.5.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.5.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.5.3" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.5.3.cmml"></mi></mrow><mrow id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.2.2.4" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.1.1.1.1.7.7.7.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.7.7.7.1.1.1.1.cmml">B</mi><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.2.2.4.1" lspace="0.222em" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.8.8.8.2.2.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E12.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E12.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E12.m1.3.4.1" xref="A1.E12.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E12.m1.2.2a.3" xref="A1.E12.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2a.3.1" xref="A1.E12.m1.2.2a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E12.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.E12.m1.2.2.1.1a" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1b" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">B</mi></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1c" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1d" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.3.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1e" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1a" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3.3" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.E12.m1.2.2.1.1f" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1g" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.1.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1h" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">B</mi></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1i" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1a" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.3" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1j" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.4.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A1.E12.m1.2.2.1.1k" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1l" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.1.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1m" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1a" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3a" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.3" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1n" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1a" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.cmml">B</mi></mrow></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1o" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.4.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A1.E12.m1.2.2.1.1p" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1q" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1a" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3a" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.3" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1r" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.2.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1s" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.3.1" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E12.m1.2.2.1.1t" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1.cmml"><mo id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1a" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1.2.cmml">B</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E12.m1.2.2a.3.2" xref="A1.E12.m1.2.2a.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E12.m1.3.4.1a" xref="A1.E12.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E12.m1.3.3a.3" xref="A1.E12.m1.3.3a.2.cmml"><mo id="A1.E12.m1.3.3a.3.1" xref="A1.E12.m1.3.3a.2.1.cmml">(</mo><mtable id="A1.E12.m1.3.3.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><mtr id="A1.E12.m1.3.3.1.1a" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E12.m1.3.3.1.1b" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msubsup></mtd></mtr><mtr id="A1.E12.m1.3.3.1.1c" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E12.m1.3.3.1.1d" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3.cmml">B</mi></msubsup></mtd></mtr><mtr id="A1.E12.m1.3.3.1.1e" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="A1.E12.m1.3.3.1.1f" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3.cmml"></mi></mrow><mi id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.3.cmml">A</mi></msubsup></mtd></mtr><mtr id="A1.E12.m1.3.3.1.1g" 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id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.4"><ci id="A1.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1">𝐵</ci><ci id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.2">†</ci></list></apply><apply id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5"><ci id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.1.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.1">↑</ci><ci id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.2.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.3.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.5.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.4.cmml" xref="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.1.1.1.1.6.6.6.2.4.1.cmml" 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id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1"><minus id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1"></minus><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2"><times id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.1"></times><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3"><times id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.1"></times><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.3.cmml" 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xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3"><minus id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3"></minus><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2"><times id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.1"></times><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1"><minus id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1"></minus><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.2">𝐵</ci></apply><cn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.4.1.cmml" type="integer" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.3.4.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="A1.E12.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1"><minus id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1"></minus><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2"><times id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.1"></times><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3"><minus id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3"></minus><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2"><times id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.1"></times><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.1.1.2.3.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml" type="integer" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.2.1">0</cn><cn id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.3.1.cmml" type="integer" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.3.1">0</cn><apply id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1"><minus id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1"></minus><ci id="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1.2.cmml" xref="A1.E12.m1.2.2.1.1.4.4.1.2">𝐵</ci></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A1.E12.m1.3.3a.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E12.m1.3.3a.2.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3a.3.1">matrix</csymbol><matrix 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xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E12.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1">↑</ci><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E12.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3"><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.1">↓</ci><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E12.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.3"><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.3.1">↓</ci><ci id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.3.2">𝑗</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E12.m1.3.3.1.1.4.1.1.3.3">absent</csymbol></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E12.m1.3c">\displaystyle\small\begin{pmatrix}c^{A\dagger}_{j\uparrow}&c^{B\dagger}_{j% \uparrow}&c^{A\dagger}_{j\downarrow}&c^{B\dagger}_{j\downarrow}\end{pmatrix}% \begin{pmatrix}B&0&0&-\gamma e^{i\theta}\\ 0&B&-\gamma e^{i\theta}&0\\ 0&-\gamma e^{-i\theta}&-B&0\\ -\gamma e^{-i\theta}&0&0&-B\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}c^{A}_{j\uparrow}\\ c^{B}_{j\uparrow}\\ c^{A}_{j\downarrow}\\ c^{B}_{j\downarrow}\end{pmatrix}\normalsize</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E12.m1.3d">( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_B end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_B end_CELL start_CELL - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_B end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_γ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_B end_CELL end_ROW end_ARG ) ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↑ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j ↓ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.12)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.p2.4">it is diagonialized by the following unitary transformation</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx70"> <tbody id="A1.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle U=\begin{pmatrix}u^{*}&0&v&0&\\ 0&u^{*}&0&v&\\ 0&-v^{*}&0&u&\\ -v^{*}&0&u&0&\\ \end{pmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E13.m1.1"><semantics id="A1.E13.m1.1a"><mrow id="A1.E13.m1.1.2" xref="A1.E13.m1.1.2.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.2.2" xref="A1.E13.m1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="A1.E13.m1.1.2.1" xref="A1.E13.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E13.m1.1.1a.3" xref="A1.E13.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E13.m1.1.1a.3.1" xref="A1.E13.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A1.E13.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E13.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1d" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">v</mi></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1e" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1f" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="A1.E13.m1.1.1.1.1g" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1h" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1i" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">u</mi><mo id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">∗</mo></msup></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1j" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1k" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.4.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">v</mi></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1l" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="A1.E13.m1.1.1.1.1m" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1n" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1o" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><msup id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1p" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1q" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.4.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">u</mi></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1r" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="A1.E13.m1.1.1.1.1s" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1t" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml"><mo id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1a" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">−</mo><msup id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.2" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.3" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1u" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.2.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1v" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">u</mi></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1w" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.4.1" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A1.E13.m1.1.1.1.1x" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E13.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E13.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E13.m1.1b"><apply id="A1.E13.m1.1.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.2"><eq id="A1.E13.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.2.1"></eq><ci id="A1.E13.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="A1.E13.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E13.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.E13.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><times id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><cn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn><ci id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.3.1">𝑣</ci><cn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" type="integer" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.1.4.1">0</cn><cerror id="A1.E13.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E13.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="A1.E13.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><cn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.2">𝑢</ci><times id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"></times></apply><cn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" type="integer" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.3.1">0</cn><ci id="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.2.4.1">𝑣</ci><cerror id="A1.E13.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E13.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="A1.E13.m1.1.1.1.1g.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><cn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.1.1">0</cn><apply id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1"><minus id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><apply id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2">𝑣</ci><times id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3"></times></apply></apply><cn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" type="integer" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1">0</cn><ci id="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.3.4.1">𝑢</ci><cerror id="A1.E13.m1.1.1.1.1h.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E13.m1.1.1.1.1i.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="A1.E13.m1.1.1.1.1j.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1"><minus id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1"></minus><apply id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.2">𝑣</ci><times id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.3"></times></apply></apply><cn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" type="integer" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.2.1">0</cn><ci id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.3.1">𝑢</ci><cn id="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" type="integer" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1.4.4.1">0</cn><cerror id="A1.E13.m1.1.1.1.1k.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E13.m1.1.1.1.1l.cmml" xref="A1.E13.m1.1.1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E13.m1.1c">\displaystyle U=\begin{pmatrix}u^{*}&0&v&0&\\ 0&u^{*}&0&v&\\ 0&-v^{*}&0&u&\\ -v^{*}&0&u&0&\\ \end{pmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E13.m1.1d">italic_U = ( start_ARG start_ROW start_CELL italic_u start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_v end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_u start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_v end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_u end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_u end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(A.13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.p2.3">where <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.SS3.p2.1.m1.1a"><mi id="A1.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="A1.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="A1.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS3.p2.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.p2.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.p2.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> and <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="A1.SS3.p2.2.m2.1a"><mi id="A1.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="A1.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.p2.2.m2.1b"><ci id="A1.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS3.p2.2.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.p2.2.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.p2.2.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math> are given by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E22" title="In II.3 Solution for 𝐻₀ ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.22</span></a>) with <math alttext="\mu=B" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="A1.SS3.p2.3.m3.1a"><mrow id="A1.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.2" xref="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.1" xref="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.3" xref="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.p2.3.m3.1b"><apply id="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS3.p2.3.m3.1.1"><eq id="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.2">𝜇</ci><ci id="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.SS3.p2.3.m3.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.p2.3.m3.1c">\mu=B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.p2.3.m3.1d">italic_μ = italic_B</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_appendix" id="A2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix B </span>On the SU(2) generators forming the ”basis” for eligible <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.1.m1.1"><semantics id="A2.1.m1.1b"><msub id="A2.1.m1.1.1" xref="A2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.1.m1.1.1.2" xref="A2.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A2.1.m1.1.1.3" xref="A2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.1.m1.1c"><apply id="A2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.1.m1.1d">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.1.m1.1e">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> terms </h2> <div class="ltx_para" id="A2.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.p1.1">Consider the NK+1 dimensional subspace of the scars spanned by the tower <math alttext="\ket{\phi_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.p1.1.m1.1a"><mrow id="A2.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="A2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A2.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p1.1.m1.1c">\ket{\phi_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p1.1.m1.1d">| start_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S2.E9" title="In II.2 The O(𝑁)-invariant many-body scars ‣ II General case ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II.9</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.p2.9">Within this subspace and in this basis any valid <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.1.m1.1"><semantics id="A2.p2.1.m1.1a"><msub id="A2.p2.1.m1.1.1" xref="A2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A2.p2.1.m1.1.1.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.1.m1.1b"><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> Hamiltonian is given by a <math alttext="(NK+1)\times(NK+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.2.m2.2"><semantics id="A2.p2.2.m2.2a"><mrow id="A2.p2.2.m2.2.2" xref="A2.p2.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.p2.2.m2.2.2.3" rspace="0.222em" xref="A2.p2.2.m2.2.2.3.cmml">×</mo><mrow id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.1" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.3" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">K</mi></mrow><mo id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.2.m2.2b"><apply id="A2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="A2.p2.2.m2.2.2"><times id="A2.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="A2.p2.2.m2.2.2.3"></times><apply id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1"><plus id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2"><times id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><cn id="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1"><plus id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2"><times id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><cn id="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.2.m2.2c">(NK+1)\times(NK+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.2.m2.2d">( italic_N italic_K + 1 ) × ( italic_N italic_K + 1 )</annotation></semantics></math> matrix. Diagonal entries can only come from the commutator <math alttext="[{\cal O},{\cal O}^{\dagger}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.3.m3.2"><semantics id="A2.p2.3.m3.2a"><mrow id="A2.p2.3.m3.2.2.1" xref="A2.p2.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="A2.p2.3.m3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.p2.3.m3.2.2.2.cmml">[</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p2.3.m3.1.1" xref="A2.p2.3.m3.1.1.cmml">𝒪</mi><mo id="A2.p2.3.m3.2.2.1.3" xref="A2.p2.3.m3.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="A2.p2.3.m3.2.2.1.1" xref="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.2" xref="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.3" xref="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="A2.p2.3.m3.2.2.1.4" stretchy="false" xref="A2.p2.3.m3.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="A2.p2.3.m3.2.2.2.cmml" xref="A2.p2.3.m3.2.2.1"><ci id="A2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.p2.3.m3.1.1">𝒪</ci><apply id="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="A2.p2.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.3.m3.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.2">𝒪</ci><ci id="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.3.m3.2.2.1.1.3">†</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.3.m3.2c">[{\cal O},{\cal O}^{\dagger}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.3.m3.2d">[ caligraphic_O , caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> which are chemical potential/magnetization terms. Let us introduce the restriction that for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="A2.p2.9.1">\@slowromancap</span>i@ all the chemical potential terms <math alttext="\mu_{\alpha}n_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.4.m4.1"><semantics id="A2.p2.4.m4.1a"><mrow id="A2.p2.4.m4.1.1" xref="A2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="A2.p2.4.m4.1.1.2" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">α</mi></msub><mo id="A2.p2.4.m4.1.1.1" xref="A2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.p2.4.m4.1.1.3" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A2.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="A2.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">α</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.4.m4.1b"><apply id="A2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1"><times id="A2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.1"></times><apply id="A2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="A2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="A2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.4.m4.1c">\mu_{\alpha}n_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.4.m4.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> must have the same strength with <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.5.m5.1"><semantics id="A2.p2.5.m5.1a"><mi id="A2.p2.5.m5.1.1" xref="A2.p2.5.m5.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.5.m5.1b"><ci id="A2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.p2.5.m5.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.5.m5.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.5.m5.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> thus independent of flavour <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.6.m6.1"><semantics id="A2.p2.6.m6.1a"><mi id="A2.p2.6.m6.1.1" xref="A2.p2.6.m6.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.6.m6.1b"><ci id="A2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="A2.p2.6.m6.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.6.m6.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.6.m6.1d">italic_α</annotation></semantics></math>. Similarly, for type-<span class="ltx_ERROR undefined" id="A2.p2.9.2">\@slowromancap</span>ii@ we require that all the couplings in the terms of the form <math alttext="B_{\alpha}(n_{\alpha\uparrow}-n_{\alpha\downarrow})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.7.m7.1"><semantics id="A2.p2.7.m7.1a"><mrow id="A2.p2.7.m7.1.1" xref="A2.p2.7.m7.1.1.cmml"><msub id="A2.p2.7.m7.1.1.3" xref="A2.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="A2.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="A2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="A2.p2.7.m7.1.1.3.3" xref="A2.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml">α</mi></msub><mo id="A2.p2.7.m7.1.1.2" xref="A2.p2.7.m7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mrow id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">↑</mo><mi id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"></mi></mrow></msub><mo id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mrow id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">↓</mo><mi id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"></mi></mrow></msub></mrow><mo id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.7.m7.1b"><apply id="A2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1"><times id="A2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.2"></times><apply id="A2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="A2.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1"><minus id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.2">𝑛</ci><apply id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.1">↑</ci><ci id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.2">𝛼</ci><csymbol cd="latexml" id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.3">absent</csymbol></apply></apply><apply id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><apply id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.1">↓</ci><ci id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><csymbol cd="latexml" id="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.3.3">absent</csymbol></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.7.m7.1c">B_{\alpha}(n_{\alpha\uparrow}-n_{\alpha\downarrow})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.7.m7.1d">italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_α ↑ end_POSTSUBSCRIPT - italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_α ↓ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are the same with <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.8.m8.1"><semantics id="A2.p2.8.m8.1a"><mi id="A2.p2.8.m8.1.1" xref="A2.p2.8.m8.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.8.m8.1b"><ci id="A2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="A2.p2.8.m8.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.8.m8.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.8.m8.1d">italic_B</annotation></semantics></math> independent of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.9.m9.1"><semantics id="A2.p2.9.m9.1a"><mi id="A2.p2.9.m9.1.1" xref="A2.p2.9.m9.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.9.m9.1b"><ci id="A2.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="A2.p2.9.m9.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.9.m9.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.9.m9.1d">italic_α</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.p3.15">The terms above and below diagonal come from <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.1.m1.1"><semantics id="A2.p3.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p3.1.m1.1.1" xref="A2.p3.1.m1.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.1.m1.1b"><ci id="A2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p3.1.m1.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.1.m1.1c">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.1.m1.1d">caligraphic_O</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\cal O}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.2.m2.1"><semantics id="A2.p3.2.m2.1a"><msup id="A2.p3.2.m2.1.1" xref="A2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p3.2.m2.1.1.2" xref="A2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A2.p3.2.m2.1.1.3" xref="A2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.2.m2.1b"><apply id="A2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.2.m2.1.1.2">𝒪</ci><ci id="A2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.p3.2.m2.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.2.m2.1c">{\cal O}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.2.m2.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> respectively. Any other matrix element would connect <math alttext="\ket{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.3.m3.1"><semantics id="A2.p3.3.m3.1a"><mrow id="A2.p3.3.m3.1.1.3" xref="A2.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="A2.p3.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="A2.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A2.p3.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.3.m3.1b"><apply id="A2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.3.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.3.m3.1c">\ket{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.3.m3.1d">| start_ARG italic_n end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> with <math alttext="\ket{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.4.m4.1"><semantics id="A2.p3.4.m4.1a"><mrow id="A2.p3.4.m4.1.1.3" xref="A2.p3.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="A2.p3.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="A2.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="A2.p3.4.m4.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.4.m4.1b"><apply id="A2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.4.m4.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.4.m4.1.1.1.1">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.4.m4.1c">\ket{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.4.m4.1d">| start_ARG italic_m end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> where <math alttext="|m-n|\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.5.m5.1"><semantics id="A2.p3.5.m5.1a"><mrow id="A2.p3.5.m5.1.1" xref="A2.p3.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.p3.5.m5.1.1.2" xref="A2.p3.5.m5.1.1.2.cmml">≥</mo><mn id="A2.p3.5.m5.1.1.3" xref="A2.p3.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.5.m5.1b"><apply id="A2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.p3.5.m5.1.1"><geq id="A2.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.5.m5.1.1.2"></geq><apply id="A2.p3.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1"><abs id="A2.p3.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1"><minus id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><cn id="A2.p3.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.p3.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.5.m5.1c">|m-n|\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.5.m5.1d">| italic_m - italic_n | ≥ 2</annotation></semantics></math>. Which means such a matrix element can only be created by a Hamiltonian term that creates two or more excitatiions: <math alttext="({\cal O}^{\dagger})^{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.6.m6.1"><semantics id="A2.p3.6.m6.1a"><msup id="A2.p3.6.m6.1.1" xref="A2.p3.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.p3.6.m6.1.1.3" xref="A2.p3.6.m6.1.1.3.cmml">p</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.6.m6.1b"><apply id="A2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="A2.p3.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3">†</ci></apply><ci id="A2.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A2.p3.6.m6.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.6.m6.1c">({\cal O}^{\dagger})^{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.6.m6.1d">( caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="p\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.7.m7.1"><semantics id="A2.p3.7.m7.1a"><mrow id="A2.p3.7.m7.1.1" xref="A2.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.7.m7.1.1.2" xref="A2.p3.7.m7.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="A2.p3.7.m7.1.1.1" xref="A2.p3.7.m7.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A2.p3.7.m7.1.1.3" xref="A2.p3.7.m7.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.7.m7.1b"><apply id="A2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="A2.p3.7.m7.1.1"><geq id="A2.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.7.m7.1.1.1"></geq><ci id="A2.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.7.m7.1.1.2">𝑝</ci><cn id="A2.p3.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.p3.7.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.7.m7.1c">p\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.7.m7.1d">italic_p ≥ 2</annotation></semantics></math>. Any such operator would need to be at least 4-body, such as <math alttext="c^{\dagger}c^{\dagger}\dots c^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.8.m8.1"><semantics id="A2.p3.8.m8.1a"><mrow id="A2.p3.8.m8.1.1" xref="A2.p3.8.m8.1.1.cmml"><msup id="A2.p3.8.m8.1.1.2" xref="A2.p3.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p3.8.m8.1.1.2.2" xref="A2.p3.8.m8.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="A2.p3.8.m8.1.1.2.3" xref="A2.p3.8.m8.1.1.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="A2.p3.8.m8.1.1.1" xref="A2.p3.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.p3.8.m8.1.1.3" xref="A2.p3.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="A2.p3.8.m8.1.1.3.2" xref="A2.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="A2.p3.8.m8.1.1.3.3" xref="A2.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml">†</mo></msup><mo id="A2.p3.8.m8.1.1.1a" xref="A2.p3.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.p3.8.m8.1.1.4" mathvariant="normal" xref="A2.p3.8.m8.1.1.4.cmml">…</mi><mo id="A2.p3.8.m8.1.1.1b" xref="A2.p3.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.p3.8.m8.1.1.5" xref="A2.p3.8.m8.1.1.5.cmml"><mi id="A2.p3.8.m8.1.1.5.2" xref="A2.p3.8.m8.1.1.5.2.cmml">c</mi><mo id="A2.p3.8.m8.1.1.5.3" xref="A2.p3.8.m8.1.1.5.3.cmml">†</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.8.m8.1b"><apply id="A2.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1"><times id="A2.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.1"></times><apply id="A2.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.p3.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A2.p3.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A2.p3.8.m8.1.1.3.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="A2.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.3.3">†</ci></apply><ci id="A2.p3.8.m8.1.1.4.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.4">…</ci><apply id="A2.p3.8.m8.1.1.5.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.8.m8.1.1.5.1.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="A2.p3.8.m8.1.1.5.2.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.5.2">𝑐</ci><ci id="A2.p3.8.m8.1.1.5.3.cmml" xref="A2.p3.8.m8.1.1.5.3">†</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.8.m8.1c">c^{\dagger}c^{\dagger}\dots c^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.8.m8.1d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT … italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, multiplied <math alttext="p\geq 4" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.9.m9.1"><semantics id="A2.p3.9.m9.1a"><mrow id="A2.p3.9.m9.1.1" xref="A2.p3.9.m9.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.9.m9.1.1.2" xref="A2.p3.9.m9.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="A2.p3.9.m9.1.1.1" xref="A2.p3.9.m9.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A2.p3.9.m9.1.1.3" xref="A2.p3.9.m9.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.9.m9.1b"><apply id="A2.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="A2.p3.9.m9.1.1"><geq id="A2.p3.9.m9.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.9.m9.1.1.1"></geq><ci id="A2.p3.9.m9.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.9.m9.1.1.2">𝑝</ci><cn id="A2.p3.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.p3.9.m9.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.9.m9.1c">p\geq 4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.9.m9.1d">italic_p ≥ 4</annotation></semantics></math> times. If we exclude those (unphysical and non-local) operators then any valid O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.10.m10.1"><semantics id="A2.p3.10.m10.1a"><mrow id="A2.p3.10.m10.1.2.2"><mo id="A2.p3.10.m10.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A2.p3.10.m10.1.1" xref="A2.p3.10.m10.1.1.cmml">N</mi><mo id="A2.p3.10.m10.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.10.m10.1b"><ci id="A2.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="A2.p3.10.m10.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.10.m10.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.10.m10.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math>-invariant <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.11.m11.1"><semantics id="A2.p3.11.m11.1a"><msub id="A2.p3.11.m11.1.1" xref="A2.p3.11.m11.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.11.m11.1.1.2" xref="A2.p3.11.m11.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A2.p3.11.m11.1.1.3" xref="A2.p3.11.m11.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.11.m11.1b"><apply id="A2.p3.11.m11.1.1.cmml" xref="A2.p3.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.11.m11.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.p3.11.m11.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.11.m11.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A2.p3.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.p3.11.m11.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.11.m11.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.11.m11.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> within the scar subspace expands as a linear combination of the 3 SU<math alttext="(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.12.m12.1"><semantics id="A2.p3.12.m12.1a"><mrow id="A2.p3.12.m12.1.2.2"><mo id="A2.p3.12.m12.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="A2.p3.12.m12.1.1" xref="A2.p3.12.m12.1.1.cmml">2</mn><mo id="A2.p3.12.m12.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.12.m12.1b"><cn id="A2.p3.12.m12.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.p3.12.m12.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.12.m12.1c">(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.12.m12.1d">( 2 )</annotation></semantics></math> generators: <math alttext="[{\cal O},{\cal O}^{\dagger}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.13.m13.2"><semantics id="A2.p3.13.m13.2a"><mrow id="A2.p3.13.m13.2.2.1" xref="A2.p3.13.m13.2.2.2.cmml"><mo id="A2.p3.13.m13.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.p3.13.m13.2.2.2.cmml">[</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p3.13.m13.1.1" xref="A2.p3.13.m13.1.1.cmml">𝒪</mi><mo id="A2.p3.13.m13.2.2.1.3" xref="A2.p3.13.m13.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="A2.p3.13.m13.2.2.1.1" xref="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.2" xref="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.3" xref="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="A2.p3.13.m13.2.2.1.4" stretchy="false" xref="A2.p3.13.m13.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.13.m13.2b"><interval closure="closed" id="A2.p3.13.m13.2.2.2.cmml" xref="A2.p3.13.m13.2.2.1"><ci id="A2.p3.13.m13.1.1.cmml" xref="A2.p3.13.m13.1.1">𝒪</ci><apply id="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.cmml" xref="A2.p3.13.m13.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.13.m13.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.2">𝒪</ci><ci id="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.p3.13.m13.2.2.1.1.3">†</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.13.m13.2c">[{\cal O},{\cal O}^{\dagger}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.13.m13.2d">[ caligraphic_O , caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.14.m14.1"><semantics id="A2.p3.14.m14.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p3.14.m14.1.1" xref="A2.p3.14.m14.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.14.m14.1b"><ci id="A2.p3.14.m14.1.1.cmml" xref="A2.p3.14.m14.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.14.m14.1c">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.14.m14.1d">caligraphic_O</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\cal O}^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.15.m15.1"><semantics id="A2.p3.15.m15.1a"><msup id="A2.p3.15.m15.1.1" xref="A2.p3.15.m15.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.p3.15.m15.1.1.2" xref="A2.p3.15.m15.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A2.p3.15.m15.1.1.3" xref="A2.p3.15.m15.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.15.m15.1b"><apply id="A2.p3.15.m15.1.1.cmml" xref="A2.p3.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.15.m15.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.15.m15.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.p3.15.m15.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.15.m15.1.1.2">𝒪</ci><ci id="A2.p3.15.m15.1.1.3.cmml" xref="A2.p3.15.m15.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.15.m15.1c">{\cal O}^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.15.m15.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix C </span>Additional numerical data</h2> <section class="ltx_subsection" id="A3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">C.1 </span>2D single-orbital Hubbard model: eta scar subspace </h3> <div class="ltx_para" id="A3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.SS1.p1.2">In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F1" title="Figure C.1 ‣ C.1 2D single-orbital Hubbard model: eta scar subspace ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.1</span></a> we present the numerical results for the 2D Hubbard model that are in many ways analogous to the ones presented in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.F1" title="Figure III.1 ‣ III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a> a),c),e) with the only major difference that <math alttext="{\cal O}^{\dagger}=\eta^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="A3.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">†</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1"><eq id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">†</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.1.m1.1c">{\cal O}^{\dagger}=\eta^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.1.m1.1d">caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_η start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E2" title="In III.1 Scars and 𝐻₀+𝑂⁢𝑇 decomposition ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.2</span></a>) was used here (instead of <math alttext="\eta^{\dagger\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="A3.SS1.p1.2.m2.2a"><msup id="A3.SS1.p1.2.m2.2.3" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.2.m2.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.cmml">η</mi><mrow id="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">†</mo><mo id="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" lspace="0.222em" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">′</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.2.m2.2b"><apply id="A3.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.3.2">𝜂</ci><list id="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"><ci id="A3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">†</ci><ci id="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1">′</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.2.m2.2c">\eta^{\dagger\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.2.m2.2d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT † ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) and the hopping in the Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S3.E17" title="In III.4 Benefits of many-body scars ‣ III Example 1: 2D single-orbital Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.17</span></a>) is purely imaginary (instead of purely real).</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="A3.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="137" id="A3.F1.1.g1" src="x11.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="A3.F1.2.g2" src="x12.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="A3.F1.3.g3" src="x13.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="127" id="A3.F1.4.g4" src="x14.png" width="203"/></div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure C.1: </span> Numerical results for o.b.c., <math alttext="U=5.01" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.15.m1.1"><semantics id="A3.F1.15.m1.1b"><mrow id="A3.F1.15.m1.1.1" xref="A3.F1.15.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.F1.15.m1.1.1.2" xref="A3.F1.15.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="A3.F1.15.m1.1.1.1" xref="A3.F1.15.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F1.15.m1.1.1.3" xref="A3.F1.15.m1.1.1.3.cmml">5.01</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.15.m1.1c"><apply id="A3.F1.15.m1.1.1.cmml" xref="A3.F1.15.m1.1.1"><eq id="A3.F1.15.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.15.m1.1.1.1"></eq><ci id="A3.F1.15.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.15.m1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="A3.F1.15.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.F1.15.m1.1.1.3">5.01</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.15.m1.1d">U=5.01</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.15.m1.1e">italic_U = 5.01</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mu=-1.2294" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.16.m2.1"><semantics id="A3.F1.16.m2.1b"><mrow id="A3.F1.16.m2.1.1" xref="A3.F1.16.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.F1.16.m2.1.1.2" xref="A3.F1.16.m2.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A3.F1.16.m2.1.1.1" xref="A3.F1.16.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.F1.16.m2.1.1.3" xref="A3.F1.16.m2.1.1.3.cmml"><mo id="A3.F1.16.m2.1.1.3b" xref="A3.F1.16.m2.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A3.F1.16.m2.1.1.3.2" xref="A3.F1.16.m2.1.1.3.2.cmml">1.2294</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.16.m2.1c"><apply id="A3.F1.16.m2.1.1.cmml" xref="A3.F1.16.m2.1.1"><eq id="A3.F1.16.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.16.m2.1.1.1"></eq><ci id="A3.F1.16.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.16.m2.1.1.2">𝜇</ci><apply id="A3.F1.16.m2.1.1.3.cmml" xref="A3.F1.16.m2.1.1.3"><minus id="A3.F1.16.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A3.F1.16.m2.1.1.3"></minus><cn id="A3.F1.16.m2.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="A3.F1.16.m2.1.1.3.2">1.2294</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.16.m2.1d">\mu=-1.2294</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.16.m2.1e">italic_μ = - 1.2294</annotation></semantics></math>, <math alttext="\theta=\pi/5" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.17.m3.1"><semantics id="A3.F1.17.m3.1b"><mrow id="A3.F1.17.m3.1.1" xref="A3.F1.17.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.F1.17.m3.1.1.2" xref="A3.F1.17.m3.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="A3.F1.17.m3.1.1.1" xref="A3.F1.17.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.F1.17.m3.1.1.3" xref="A3.F1.17.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A3.F1.17.m3.1.1.3.2" xref="A3.F1.17.m3.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="A3.F1.17.m3.1.1.3.1" xref="A3.F1.17.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A3.F1.17.m3.1.1.3.3" xref="A3.F1.17.m3.1.1.3.3.cmml">5</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.17.m3.1c"><apply id="A3.F1.17.m3.1.1.cmml" xref="A3.F1.17.m3.1.1"><eq id="A3.F1.17.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.17.m3.1.1.1"></eq><ci id="A3.F1.17.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.17.m3.1.1.2">𝜃</ci><apply id="A3.F1.17.m3.1.1.3.cmml" xref="A3.F1.17.m3.1.1.3"><divide id="A3.F1.17.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A3.F1.17.m3.1.1.3.1"></divide><ci id="A3.F1.17.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A3.F1.17.m3.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="A3.F1.17.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.F1.17.m3.1.1.3.3">5</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.17.m3.1d">\theta=\pi/5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.17.m3.1e">italic_θ = italic_π / 5</annotation></semantics></math>. with <math alttext="N_{x}\times N_{y}=2\times 4" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.18.m4.1"><semantics id="A3.F1.18.m4.1b"><mrow id="A3.F1.18.m4.1.1" xref="A3.F1.18.m4.1.1.cmml"><mrow id="A3.F1.18.m4.1.1.2" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.cmml"><msub id="A3.F1.18.m4.1.1.2.2" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.2" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.3" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="A3.F1.18.m4.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.1.cmml">×</mo><msub id="A3.F1.18.m4.1.1.2.3" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.2" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.3" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.3.cmml">y</mi></msub></mrow><mo id="A3.F1.18.m4.1.1.1" xref="A3.F1.18.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.F1.18.m4.1.1.3" xref="A3.F1.18.m4.1.1.3.cmml"><mn id="A3.F1.18.m4.1.1.3.2" xref="A3.F1.18.m4.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="A3.F1.18.m4.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.F1.18.m4.1.1.3.1.cmml">×</mo><mn id="A3.F1.18.m4.1.1.3.3" xref="A3.F1.18.m4.1.1.3.3.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.18.m4.1c"><apply id="A3.F1.18.m4.1.1.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1"><eq id="A3.F1.18.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.1"></eq><apply id="A3.F1.18.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2"><times id="A3.F1.18.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.1"></times><apply id="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.2.3.3">𝑦</ci></apply></apply><apply id="A3.F1.18.m4.1.1.3.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.3"><times id="A3.F1.18.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A3.F1.18.m4.1.1.3.1"></times><cn id="A3.F1.18.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.F1.18.m4.1.1.3.2">2</cn><cn id="A3.F1.18.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.F1.18.m4.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.18.m4.1d">N_{x}\times N_{y}=2\times 4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.18.m4.1e">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT × italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT = 2 × 4</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma=4.61" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.19.m5.1"><semantics id="A3.F1.19.m5.1b"><mrow id="A3.F1.19.m5.1.1" xref="A3.F1.19.m5.1.1.cmml"><mi id="A3.F1.19.m5.1.1.2" xref="A3.F1.19.m5.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.F1.19.m5.1.1.1" xref="A3.F1.19.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F1.19.m5.1.1.3" xref="A3.F1.19.m5.1.1.3.cmml">4.61</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.19.m5.1c"><apply id="A3.F1.19.m5.1.1.cmml" xref="A3.F1.19.m5.1.1"><eq id="A3.F1.19.m5.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.19.m5.1.1.1"></eq><ci id="A3.F1.19.m5.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.19.m5.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.F1.19.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.F1.19.m5.1.1.3">4.61</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.19.m5.1d">\gamma=4.61</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.19.m5.1e">italic_γ = 4.61</annotation></semantics></math>. a) entanglement entropy (cut separates the ”top” 5 sites (two top rows without 1 site) from the remaining 4 sites (bottom row + 1 site)) b) one-point function <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.20.m6.1"><semantics id="A3.F1.20.m6.1b"><msub id="A3.F1.20.m6.1.2" xref="A3.F1.20.m6.1.2.cmml"><mrow id="A3.F1.20.m6.1.1.3" xref="A3.F1.20.m6.1.1.2.cmml"><mo id="A3.F1.20.m6.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.F1.20.m6.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="A3.F1.20.m6.1.1.1.1" xref="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.2" xref="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.3" xref="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="A3.F1.20.m6.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.F1.20.m6.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="A3.F1.20.m6.1.2.2" xref="A3.F1.20.m6.1.2.2.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.20.m6.1c"><apply id="A3.F1.20.m6.1.2.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.20.m6.1.2.1.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.2">subscript</csymbol><apply id="A3.F1.20.m6.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A3.F1.20.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.2">𝒪</ci><ci id="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.1.1.1.3">†</ci></apply></apply><ci id="A3.F1.20.m6.1.2.2.cmml" xref="A3.F1.20.m6.1.2.2">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.20.m6.1d">\braket{{\cal O}^{\dagger}}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.20.m6.1e">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on site (1,1), c) two-point function (ODLRO) <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}O_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.21.m7.1"><semantics id="A3.F1.21.m7.1b"><mrow id="A3.F1.21.m7.1.1.3" xref="A3.F1.21.m7.1.1.2.cmml"><mo id="A3.F1.21.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.F1.21.m7.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.2" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.3" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.3" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.1" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.2" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.3" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A3.F1.21.m7.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.F1.21.m7.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.21.m7.1c"><apply id="A3.F1.21.m7.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A3.F1.21.m7.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1"><times id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><ci id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.F1.21.m7.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.21.m7.1d">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{i}O_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.21.m7.1e">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> where site <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.22.m8.1"><semantics id="A3.F1.22.m8.1b"><mi id="A3.F1.22.m8.1.1" xref="A3.F1.22.m8.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.22.m8.1c"><ci id="A3.F1.22.m8.1.1.cmml" xref="A3.F1.22.m8.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.22.m8.1d">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.22.m8.1e">italic_i</annotation></semantics></math> is (1,1) and site <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.23.m9.1"><semantics id="A3.F1.23.m9.1b"><mi id="A3.F1.23.m9.1.1" xref="A3.F1.23.m9.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.23.m9.1c"><ci id="A3.F1.23.m9.1.1.cmml" xref="A3.F1.23.m9.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.23.m9.1d">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.23.m9.1e">italic_j</annotation></semantics></math> is <math alttext="(N_{x},N_{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F1.24.m10.2"><semantics id="A3.F1.24.m10.2b"><mrow id="A3.F1.24.m10.2.2.2" xref="A3.F1.24.m10.2.2.3.cmml"><mo id="A3.F1.24.m10.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A3.F1.24.m10.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A3.F1.24.m10.1.1.1.1" xref="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.2" xref="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.3" xref="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="A3.F1.24.m10.2.2.2.4" xref="A3.F1.24.m10.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A3.F1.24.m10.2.2.2.2" xref="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.cmml"><mi id="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.2" xref="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.3" xref="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="A3.F1.24.m10.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A3.F1.24.m10.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F1.24.m10.2c"><interval closure="open" id="A3.F1.24.m10.2.2.3.cmml" xref="A3.F1.24.m10.2.2.2"><apply id="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.24.m10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F1.24.m10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.F1.24.m10.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.cmml" xref="A3.F1.24.m10.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.F1.24.m10.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.F1.24.m10.2.2.2.2.3">𝑦</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F1.24.m10.2d">(N_{x},N_{y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F1.24.m10.2e">( italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. d) Energy gap histogram. Horizontal axis in a),b),c) is energy.The calculation is performed at fixed (even) total fermion number parity. </figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="A3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">C.2 </span>2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta<sup class="ltx_sup" id="A3.SS2.3.1">′</sup> scars in spectrum for <math alttext="\mu=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.2.m2.1"><semantics id="A3.SS2.2.m2.1b"><mrow id="A3.SS2.2.m2.1.1" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.2.m2.1.1.2" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A3.SS2.2.m2.1.1.1" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.SS2.2.m2.1.1.3" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.2.m2.1c"><apply id="A3.SS2.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS2.2.m2.1.1"><eq id="A3.SS2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="A3.SS2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.2">𝜇</ci><cn id="A3.SS2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.2.m2.1d">\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.2.m2.1e">italic_μ = 0</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="A3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p1.9">At a relatively high <math alttext="U=8" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="A3.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">8</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1"><eq id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.3">8</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.1.m1.1c">U=8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.1.m1.1d">italic_U = 8</annotation></semantics></math> and low <math alttext="\gamma=0.69" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="A3.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0.69</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1"><eq id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.3">0.69</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.2.m2.1c">\gamma=0.69</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.2.m2.1d">italic_γ = 0.69</annotation></semantics></math> the spectrum separates into the Mott ”lobes” corresponding to fixed Hubbard-U energy that are broadened by the hopping and pairing potential as can be seen in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F2" title="Figure C.2 ‣ C.2 2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta′ scars in spectrum for 𝜇=0 ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a> a) and b). If Hubbard is repulsive (<math alttext="U>0" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="A3.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1"><gt id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.1"></gt><ci id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.2">𝑈</ci><cn id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.3.m3.1c">U>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.3.m3.1d">italic_U > 0</annotation></semantics></math>, Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F2" title="Figure C.2 ‣ C.2 2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta′ scars in spectrum for 𝜇=0 ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a> a) the lobe containing the eta subspace is highest in energy because the eta pairing states contain pairs of opposite spins on the same site which has high Hubbard-<math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="A3.SS2.p1.4.m4.1a"><mi id="A3.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="A3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.4.m4.1b"><ci id="A3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.4.m4.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.4.m4.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.4.m4.1d">italic_U</annotation></semantics></math> cost. To make the state <math alttext="\ket{\psi^{\eta\prime}_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="A3.SS2.p1.5.m5.1a"><mrow id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.4.2" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.4.2.cmml">ψ</mi><mn id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.5" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.5.cmml">0</mn><mrow id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2.2" lspace="0em" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.4.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.4.2">𝜓</ci><list id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1">𝜂</ci><ci id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2.1">′</ci></list></apply><cn id="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.5.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.5">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.5.m5.1c">\ket{\psi^{\eta\prime}_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.5.m5.1d">| start_ARG italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> the g.s. in a repulsive Hubbard model a relatively high <math alttext="\gamma=6.9" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="A3.SS2.p1.6.m6.1a"><mrow id="A3.SS2.p1.6.m6.1.1" xref="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.2" xref="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml">6.9</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.6.m6.1b"><apply id="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.6.m6.1.1"><eq id="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.SS2.p1.6.m6.1.1.3">6.9</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.6.m6.1c">\gamma=6.9</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.6.m6.1d">italic_γ = 6.9</annotation></semantics></math> is needed, see Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F2" title="Figure C.2 ‣ C.2 2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta′ scars in spectrum for 𝜇=0 ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a> c) as the splitting induced by <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.7.m7.1"><semantics id="A3.SS2.p1.7.m7.1a"><mi id="A3.SS2.p1.7.m7.1.1" xref="A3.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.7.m7.1b"><ci id="A3.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.7.m7.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.7.m7.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.7.m7.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> needs to extend beyond the bandwidth of the rest of the Hamiltonian. Note that the lobes observed in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F2" title="Figure C.2 ‣ C.2 2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta′ scars in spectrum for 𝜇=0 ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a> c) are due to the <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.8.m8.1"><semantics id="A3.SS2.p1.8.m8.1a"><mi id="A3.SS2.p1.8.m8.1.1" xref="A3.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.8.m8.1b"><ci id="A3.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.8.m8.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.8.m8.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.8.m8.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> term now, not U, so <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.9.m9.1"><semantics id="A3.SS2.p1.9.m9.1a"><mi id="A3.SS2.p1.9.m9.1.1" xref="A3.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.9.m9.1b"><ci id="A3.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.9.m9.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.9.m9.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.9.m9.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> actually dominates the spectrum there.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p2.4">For the attractive Hubbard (<math alttext="U<0" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="A3.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1"><lt id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p2.1.m1.1c">U<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p2.1.m1.1d">italic_U < 0</annotation></semantics></math>) the U-lobes are flipped and the eta subspace is in the lowest-energy lobe, see Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F2" title="Figure C.2 ‣ C.2 2D single-orbital Hubbard model: position of the eta and eta′ scars in spectrum for 𝜇=0 ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a> b). Now to make the state <math alttext="\ket{\psi^{\eta\prime}_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="A3.SS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">ψ</mi><mn id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.5" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.5.cmml">0</mn><mrow id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" lspace="0em" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2">𝜓</ci><list id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1">𝜂</ci><ci id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.1">′</ci></list></apply><cn id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.5.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.5">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p2.2.m2.1c">\ket{\psi^{\eta\prime}_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p2.2.m2.1d">| start_ARG italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_η ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> to be the g.s. the splitting induced by <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="A3.SS2.p2.3.m3.1a"><mi id="A3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="A3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p2.3.m3.1b"><ci id="A3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.3.m3.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p2.3.m3.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p2.3.m3.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> only needs to exceed the ”bandwidth” of this one lobe (the energy scale should be given by the hopping amplitude). For the parameters considered the required <math alttext="\gamma=0.69" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="A3.SS2.p2.4.m4.1a"><mrow id="A3.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.2" xref="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.1" xref="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.3" xref="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">0.69</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p2.4.m4.1b"><apply id="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.4.m4.1.1"><eq id="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.SS2.p2.4.m4.1.1.3">0.69</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p2.4.m4.1c">\gamma=0.69</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p2.4.m4.1d">italic_γ = 0.69</annotation></semantics></math> is 10 times smaller than the threshold for the repulsive Hubbard.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="A3.F2"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="137" id="A3.F2.1.g1" src="x15.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="137" id="A3.F2.2.g2" src="x16.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="137" id="A3.F2.3.g3" src="x17.png" width="203"/></div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure C.2: </span> N=6. obc., t=1, real-hopping Hubbard model. <math alttext="\theta=\pi/5" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F2.11.m1.1"><semantics id="A3.F2.11.m1.1b"><mrow id="A3.F2.11.m1.1.1" xref="A3.F2.11.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.F2.11.m1.1.1.2" xref="A3.F2.11.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="A3.F2.11.m1.1.1.1" xref="A3.F2.11.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.F2.11.m1.1.1.3" xref="A3.F2.11.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.F2.11.m1.1.1.3.2" xref="A3.F2.11.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="A3.F2.11.m1.1.1.3.1" xref="A3.F2.11.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A3.F2.11.m1.1.1.3.3" xref="A3.F2.11.m1.1.1.3.3.cmml">5</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F2.11.m1.1c"><apply id="A3.F2.11.m1.1.1.cmml" xref="A3.F2.11.m1.1.1"><eq id="A3.F2.11.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.F2.11.m1.1.1.1"></eq><ci id="A3.F2.11.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.F2.11.m1.1.1.2">𝜃</ci><apply id="A3.F2.11.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.F2.11.m1.1.1.3"><divide id="A3.F2.11.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.F2.11.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="A3.F2.11.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.F2.11.m1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="A3.F2.11.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.F2.11.m1.1.1.3.3">5</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F2.11.m1.1d">\theta=\pi/5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F2.11.m1.1e">italic_θ = italic_π / 5</annotation></semantics></math>. entanglement entropy a) <math alttext="\gamma=0.69" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F2.12.m2.1"><semantics id="A3.F2.12.m2.1b"><mrow id="A3.F2.12.m2.1.1" xref="A3.F2.12.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.F2.12.m2.1.1.2" xref="A3.F2.12.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.F2.12.m2.1.1.1" xref="A3.F2.12.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F2.12.m2.1.1.3" xref="A3.F2.12.m2.1.1.3.cmml">0.69</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F2.12.m2.1c"><apply id="A3.F2.12.m2.1.1.cmml" xref="A3.F2.12.m2.1.1"><eq id="A3.F2.12.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.F2.12.m2.1.1.1"></eq><ci id="A3.F2.12.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.F2.12.m2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.F2.12.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.F2.12.m2.1.1.3">0.69</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F2.12.m2.1d">\gamma=0.69</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F2.12.m2.1e">italic_γ = 0.69</annotation></semantics></math>, U=8, <math alttext="\mu=-4" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F2.13.m3.1"><semantics id="A3.F2.13.m3.1b"><mrow id="A3.F2.13.m3.1.1" xref="A3.F2.13.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.F2.13.m3.1.1.2" xref="A3.F2.13.m3.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A3.F2.13.m3.1.1.1" xref="A3.F2.13.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.F2.13.m3.1.1.3" xref="A3.F2.13.m3.1.1.3.cmml"><mo id="A3.F2.13.m3.1.1.3b" xref="A3.F2.13.m3.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A3.F2.13.m3.1.1.3.2" xref="A3.F2.13.m3.1.1.3.2.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F2.13.m3.1c"><apply id="A3.F2.13.m3.1.1.cmml" xref="A3.F2.13.m3.1.1"><eq id="A3.F2.13.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.F2.13.m3.1.1.1"></eq><ci id="A3.F2.13.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.F2.13.m3.1.1.2">𝜇</ci><apply id="A3.F2.13.m3.1.1.3.cmml" xref="A3.F2.13.m3.1.1.3"><minus id="A3.F2.13.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A3.F2.13.m3.1.1.3"></minus><cn id="A3.F2.13.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.F2.13.m3.1.1.3.2">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F2.13.m3.1d">\mu=-4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F2.13.m3.1e">italic_μ = - 4</annotation></semantics></math>, repulsive Hubbard b) <math alttext="\gamma=0.69" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F2.14.m4.1"><semantics id="A3.F2.14.m4.1b"><mrow id="A3.F2.14.m4.1.1" xref="A3.F2.14.m4.1.1.cmml"><mi id="A3.F2.14.m4.1.1.2" xref="A3.F2.14.m4.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.F2.14.m4.1.1.1" xref="A3.F2.14.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F2.14.m4.1.1.3" xref="A3.F2.14.m4.1.1.3.cmml">0.69</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F2.14.m4.1c"><apply id="A3.F2.14.m4.1.1.cmml" xref="A3.F2.14.m4.1.1"><eq id="A3.F2.14.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.F2.14.m4.1.1.1"></eq><ci id="A3.F2.14.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.F2.14.m4.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.F2.14.m4.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.F2.14.m4.1.1.3">0.69</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F2.14.m4.1d">\gamma=0.69</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F2.14.m4.1e">italic_γ = 0.69</annotation></semantics></math>, U=-8, <math alttext="\mu_{H}=4" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F2.15.m5.1"><semantics id="A3.F2.15.m5.1b"><mrow id="A3.F2.15.m5.1.1" xref="A3.F2.15.m5.1.1.cmml"><msub id="A3.F2.15.m5.1.1.2" xref="A3.F2.15.m5.1.1.2.cmml"><mi id="A3.F2.15.m5.1.1.2.2" xref="A3.F2.15.m5.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A3.F2.15.m5.1.1.2.3" xref="A3.F2.15.m5.1.1.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="A3.F2.15.m5.1.1.1" xref="A3.F2.15.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F2.15.m5.1.1.3" xref="A3.F2.15.m5.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F2.15.m5.1c"><apply id="A3.F2.15.m5.1.1.cmml" xref="A3.F2.15.m5.1.1"><eq id="A3.F2.15.m5.1.1.1.cmml" xref="A3.F2.15.m5.1.1.1"></eq><apply id="A3.F2.15.m5.1.1.2.cmml" xref="A3.F2.15.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F2.15.m5.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F2.15.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.F2.15.m5.1.1.2.2.cmml" xref="A3.F2.15.m5.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A3.F2.15.m5.1.1.2.3.cmml" xref="A3.F2.15.m5.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><cn id="A3.F2.15.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F2.15.m5.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F2.15.m5.1d">\mu_{H}=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F2.15.m5.1e">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = 4</annotation></semantics></math>, attractive Hubbard c) <math alttext="\gamma=6.9" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F2.16.m6.1"><semantics id="A3.F2.16.m6.1b"><mrow id="A3.F2.16.m6.1.1" xref="A3.F2.16.m6.1.1.cmml"><mi id="A3.F2.16.m6.1.1.2" xref="A3.F2.16.m6.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.F2.16.m6.1.1.1" xref="A3.F2.16.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F2.16.m6.1.1.3" xref="A3.F2.16.m6.1.1.3.cmml">6.9</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F2.16.m6.1c"><apply id="A3.F2.16.m6.1.1.cmml" xref="A3.F2.16.m6.1.1"><eq id="A3.F2.16.m6.1.1.1.cmml" xref="A3.F2.16.m6.1.1.1"></eq><ci id="A3.F2.16.m6.1.1.2.cmml" xref="A3.F2.16.m6.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.F2.16.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.F2.16.m6.1.1.3">6.9</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F2.16.m6.1d">\gamma=6.9</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F2.16.m6.1e">italic_γ = 6.9</annotation></semantics></math>, U=8, <math alttext="\mu_{H}=-4" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F2.17.m7.1"><semantics id="A3.F2.17.m7.1b"><mrow id="A3.F2.17.m7.1.1" xref="A3.F2.17.m7.1.1.cmml"><msub id="A3.F2.17.m7.1.1.2" xref="A3.F2.17.m7.1.1.2.cmml"><mi id="A3.F2.17.m7.1.1.2.2" xref="A3.F2.17.m7.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A3.F2.17.m7.1.1.2.3" xref="A3.F2.17.m7.1.1.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="A3.F2.17.m7.1.1.1" xref="A3.F2.17.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.F2.17.m7.1.1.3" xref="A3.F2.17.m7.1.1.3.cmml"><mo id="A3.F2.17.m7.1.1.3b" xref="A3.F2.17.m7.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A3.F2.17.m7.1.1.3.2" xref="A3.F2.17.m7.1.1.3.2.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F2.17.m7.1c"><apply id="A3.F2.17.m7.1.1.cmml" xref="A3.F2.17.m7.1.1"><eq id="A3.F2.17.m7.1.1.1.cmml" xref="A3.F2.17.m7.1.1.1"></eq><apply id="A3.F2.17.m7.1.1.2.cmml" xref="A3.F2.17.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F2.17.m7.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F2.17.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.F2.17.m7.1.1.2.2.cmml" xref="A3.F2.17.m7.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A3.F2.17.m7.1.1.2.3.cmml" xref="A3.F2.17.m7.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="A3.F2.17.m7.1.1.3.cmml" xref="A3.F2.17.m7.1.1.3"><minus id="A3.F2.17.m7.1.1.3.1.cmml" xref="A3.F2.17.m7.1.1.3"></minus><cn id="A3.F2.17.m7.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.F2.17.m7.1.1.3.2">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F2.17.m7.1d">\mu_{H}=-4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F2.17.m7.1e">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = - 4</annotation></semantics></math>, repulsive Hubbard. TOT term that we usually use with scars is turned off so the Hamiltonian is purely Hubbard. Horizontal axis is energy.</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="A3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">C.3 </span>Two-orbital inter-band magnetism </h3> <div class="ltx_para" id="A3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.SS3.p1.2">The <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="A3.SS3.p1.1.m1.1a"><msub id="A3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS3.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS3.p1.1.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E8" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.8</span></a>) leaves some of the states in the inter-band zeta subspace degenerate with other O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="A3.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="A3.SS3.p1.2.m2.1.2.2"><mo id="A3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="A3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="A3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS3.p1.2.m2.1b"><ci id="A3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p1.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS3.p1.2.m2.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS3.p1.2.m2.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> singlets which leads to the eigenvectors we obtain having mixed character and being not identifiable as can be seen in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.F1" title="Figure IV.1 ‣ IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.1</span></a> where only the BCS-like ground state and the highest excitation in the tower are found by overlap.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="A3.SS3.p2.1">To lift the degeneracy we add here the following terms to the Hamiltonian (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E8" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.8</span></a>): quadratic Casimir of the group Sp(2N), quadratic Casimir of the group Sp(N) and the spin-orbit coupling from Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#bib.bib69" title="">69</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="A3.EGx71"> <tbody id="A3.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H_{SO}=-\lambda i\sum_{r\alpha\beta}\sigma^{z}_{\alpha\beta}c^{% \dagger}_{rA\alpha}c_{rB\beta}+\mathrm{H.c.}." class="ltx_Math" display="block" id="A3.E1.m1.2"><semantics id="A3.E1.m1.2a"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">O</mi></mrow></msub><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2a" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><munder id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml"><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.2" movablelimits="false" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.2.cmml">r</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.3.cmml">α</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.1a" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.4" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.4.cmml">β</mi></mrow></munder><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml"><msubsup id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.3.cmml">β</mi></mrow><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.3" 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id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.2.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.1a" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.cmml"><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.2" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.2.cmml">r</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.1" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.3" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.3.cmml">B</mi><mo id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.1a" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.4" 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xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑆</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3"><plus id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"><minus id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" 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id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.4.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.3.4">𝛽</ci></apply></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.1"></times><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.1"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.2">𝛼</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3">subscript</csymbol><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.2.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.2.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.2.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.2.3">†</ci></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.1"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.2">𝑟</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.3">𝐴</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.4.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.3.4">𝛼</ci></apply></apply><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.2">𝑐</ci><apply id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3"><times id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.1.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.1"></times><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.2.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.2">𝑟</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.3">𝐵</ci><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.4.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.4.3.4">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">H</ci></apply></apply><ci id="A3.E1.m1.1.1.cmml" xref="A3.E1.m1.1.1">c</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E1.m1.2c">\displaystyle H_{SO}=-\lambda i\sum_{r\alpha\beta}\sigma^{z}_{\alpha\beta}c^{% \dagger}_{rA\alpha}c_{rB\beta}+\mathrm{H.c.}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E1.m1.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_S italic_O end_POSTSUBSCRIPT = - italic_λ italic_i ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_A italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_B italic_β end_POSTSUBSCRIPT + roman_H . roman_c . .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(C.1)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="A3.SS3.p3.4">The inter-band zeta states have at least Sp<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="A3.SS3.p3.1.m1.1a"><mrow id="A3.SS3.p3.1.m1.1.2.2"><mo id="A3.SS3.p3.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A3.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="A3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A3.SS3.p3.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="A3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p3.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS3.p3.1.m1.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS3.p3.1.m1.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> symmetry (which includes O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="A3.SS3.p3.2.m2.1a"><mrow id="A3.SS3.p3.2.m2.1.2.2"><mo id="A3.SS3.p3.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A3.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="A3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="A3.SS3.p3.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS3.p3.2.m2.1b"><ci id="A3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p3.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS3.p3.2.m2.1c">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS3.p3.2.m2.1d">( italic_N )</annotation></semantics></math> as a subgroup). They also have a fixed representation of Sp<math alttext="(2N)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="A3.SS3.p3.3.m3.1a"><mrow id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.2" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.3" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS3.p3.3.m3.1b"><apply id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1"><times id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.1"></times><cn id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS3.p3.3.m3.1c">(2N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS3.p3.3.m3.1d">( 2 italic_N )</annotation></semantics></math> group. This is why the mentioned terms become part of <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="A3.SS3.p3.4.m4.1a"><msub id="A3.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.2" xref="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.3" xref="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS3.p3.4.m4.1b"><apply id="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.2">𝐻</ci><cn id="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS3.p3.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS3.p3.4.m4.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS3.p3.4.m4.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Once the full symmetry group of these states is known it will be possible to replace the long-range Casimir terms with other short-range generators.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="A3.SS3.p4.1">Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#A3.F3" title="Figure C.3 ‣ C.3 Two-orbital inter-band magnetism ‣ Appendix C Additional numerical data ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.3</span></a> confirms that once the unwanted degeneracies are lifted all the <math alttext="2N=8" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="A3.SS3.p4.1.m1.1a"><mrow id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.1" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.1" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml">8</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS3.p4.1.m1.1b"><apply id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1"><eq id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2"><times id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.1"></times><cn id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2">2</cn><ci id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><cn id="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS3.p4.1.m1.1.1.3">8</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS3.p4.1.m1.1c">2N=8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS3.p4.1.m1.1d">2 italic_N = 8</annotation></semantics></math> excitations (blue triangles) above the BCS-like ground state can be exactly identified in agreement with the general solution.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="A3.F3"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="137" id="A3.F3.1.g1" src="x18.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="A3.F3.2.g2" src="x19.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="134" id="A3.F3.3.g3" src="x20.png" width="203"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="114" id="A3.F3.4.g4" src="x21.png" width="203"/></div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure C.3: </span> Numerical calculation for the inter-band zeta <math alttext="{\cal O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.14.m1.1"><semantics id="A3.F3.14.m1.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.F3.14.m1.1.1" xref="A3.F3.14.m1.1.1.cmml">𝒪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.14.m1.1c"><ci id="A3.F3.14.m1.1.1.cmml" xref="A3.F3.14.m1.1.1">𝒪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.14.m1.1d">{\cal O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.14.m1.1e">caligraphic_O</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E1" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.1</span></a>) and additional terms added to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E8" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.8</span></a>). Another difference is that here complex hopping amplitude is used as opposed to the imaginary one in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13651v1#S4.E8" title="In IV Example 2: Inter-orbital magnetism in a two-orbital generalized Hubbard model ‣ Certain BCS wavefunctions are quantum many-body scars"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.8</span></a>). 1D, <math alttext="K=2" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.15.m2.1"><semantics id="A3.F3.15.m2.1b"><mrow id="A3.F3.15.m2.1.1" xref="A3.F3.15.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.F3.15.m2.1.1.2" xref="A3.F3.15.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="A3.F3.15.m2.1.1.1" xref="A3.F3.15.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F3.15.m2.1.1.3" xref="A3.F3.15.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.15.m2.1c"><apply id="A3.F3.15.m2.1.1.cmml" xref="A3.F3.15.m2.1.1"><eq id="A3.F3.15.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.15.m2.1.1.1"></eq><ci id="A3.F3.15.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.15.m2.1.1.2">𝐾</ci><cn id="A3.F3.15.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F3.15.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.15.m2.1d">K=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.15.m2.1e">italic_K = 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="N=4" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.16.m3.1"><semantics id="A3.F3.16.m3.1b"><mrow id="A3.F3.16.m3.1.1" xref="A3.F3.16.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.F3.16.m3.1.1.2" xref="A3.F3.16.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="A3.F3.16.m3.1.1.1" xref="A3.F3.16.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F3.16.m3.1.1.3" xref="A3.F3.16.m3.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.16.m3.1c"><apply id="A3.F3.16.m3.1.1.cmml" xref="A3.F3.16.m3.1.1"><eq id="A3.F3.16.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.16.m3.1.1.1"></eq><ci id="A3.F3.16.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.16.m3.1.1.2">𝑁</ci><cn id="A3.F3.16.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F3.16.m3.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.16.m3.1d">N=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.16.m3.1e">italic_N = 4</annotation></semantics></math>, <math alttext="B=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.17.m4.1"><semantics id="A3.F3.17.m4.1b"><mrow id="A3.F3.17.m4.1.1" xref="A3.F3.17.m4.1.1.cmml"><mi id="A3.F3.17.m4.1.1.2" xref="A3.F3.17.m4.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="A3.F3.17.m4.1.1.1" xref="A3.F3.17.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F3.17.m4.1.1.3" xref="A3.F3.17.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.17.m4.1c"><apply id="A3.F3.17.m4.1.1.cmml" xref="A3.F3.17.m4.1.1"><eq id="A3.F3.17.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.17.m4.1.1.1"></eq><ci id="A3.F3.17.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.17.m4.1.1.2">𝐵</ci><cn id="A3.F3.17.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F3.17.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.17.m4.1d">B=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.17.m4.1e">italic_B = 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="U=5.01" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.18.m5.1"><semantics id="A3.F3.18.m5.1b"><mrow id="A3.F3.18.m5.1.1" xref="A3.F3.18.m5.1.1.cmml"><mi id="A3.F3.18.m5.1.1.2" xref="A3.F3.18.m5.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="A3.F3.18.m5.1.1.1" xref="A3.F3.18.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F3.18.m5.1.1.3" xref="A3.F3.18.m5.1.1.3.cmml">5.01</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.18.m5.1c"><apply id="A3.F3.18.m5.1.1.cmml" xref="A3.F3.18.m5.1.1"><eq id="A3.F3.18.m5.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.18.m5.1.1.1"></eq><ci id="A3.F3.18.m5.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.18.m5.1.1.2">𝑈</ci><cn id="A3.F3.18.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.F3.18.m5.1.1.3">5.01</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.18.m5.1d">U=5.01</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.18.m5.1e">italic_U = 5.01</annotation></semantics></math>, <math alttext="\gamma=6.5" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.19.m6.1"><semantics id="A3.F3.19.m6.1b"><mrow id="A3.F3.19.m6.1.1" xref="A3.F3.19.m6.1.1.cmml"><mi id="A3.F3.19.m6.1.1.2" xref="A3.F3.19.m6.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A3.F3.19.m6.1.1.1" xref="A3.F3.19.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F3.19.m6.1.1.3" xref="A3.F3.19.m6.1.1.3.cmml">6.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.19.m6.1c"><apply id="A3.F3.19.m6.1.1.cmml" xref="A3.F3.19.m6.1.1"><eq id="A3.F3.19.m6.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.19.m6.1.1.1"></eq><ci id="A3.F3.19.m6.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.19.m6.1.1.2">𝛾</ci><cn id="A3.F3.19.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.F3.19.m6.1.1.3">6.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.19.m6.1d">\gamma=6.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.19.m6.1e">italic_γ = 6.5</annotation></semantics></math>. a) Entanglement entropy b) <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.20.m7.1"><semantics id="A3.F3.20.m7.1b"><mrow id="A3.F3.20.m7.1.1.3" xref="A3.F3.20.m7.1.1.2.cmml"><mo id="A3.F3.20.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.F3.20.m7.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.2" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mn id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.3" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.3" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A3.F3.20.m7.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.F3.20.m7.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.20.m7.1c"><apply id="A3.F3.20.m7.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.20.m7.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A3.F3.20.m7.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F3.20.m7.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.2">𝒪</ci><ci id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><cn id="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F3.20.m7.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.20.m7.1d">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.20.m7.1e">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> c) <math alttext="\braket{{\cal O}^{\dagger}_{1}{\cal O}_{4}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.21.m8.1"><semantics id="A3.F3.21.m8.1b"><mrow id="A3.F3.21.m8.1.1.3" xref="A3.F3.21.m8.1.1.2.cmml"><mo id="A3.F3.21.m8.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.F3.21.m8.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.2" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒪</mi><mn id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.3" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.3" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.1" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.2" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mn id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.3" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="A3.F3.21.m8.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.F3.21.m8.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.21.m8.1c"><apply id="A3.F3.21.m8.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A3.F3.21.m8.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1"><times id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.2">𝒪</ci><ci id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.2.3">†</ci></apply><cn id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><cn id="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.F3.21.m8.1.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.21.m8.1d">\braket{{\cal O}^{\dagger}_{1}{\cal O}_{4}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.21.m8.1e">⟨ start_ARG caligraphic_O start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> d) Histogram of the energy gaps with O<math alttext="(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F3.22.m9.1"><semantics id="A3.F3.22.m9.1b"><mrow id="A3.F3.22.m9.1.2.2"><mo id="A3.F3.22.m9.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A3.F3.22.m9.1.1" xref="A3.F3.22.m9.1.1.cmml">N</mi><mo id="A3.F3.22.m9.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F3.22.m9.1c"><ci id="A3.F3.22.m9.1.1.cmml" xref="A3.F3.22.m9.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F3.22.m9.1d">(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F3.22.m9.1e">( italic_N )</annotation></semantics></math> singlets excluded from the spectrum. Horizontal axis in a),b),c) is energy. Calculation is performed at fixed total particle number (half-filling).</figcaption> </figure> </section> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Pakrouski <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib1.2.2.1">et al.</em> [2020]</span> <span class="ltx_bibblock">K. Pakrouski, P. N. Pallegar, F. K. Popov, and I. R. Klebanov, Many-body scars as a group invariant sector of hilbert space, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.230602" title="">Phys. Rev. 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Bernevig, <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib29.1.m1.1"><semantics id="bib.bib29.1.m1.1a"><mi id="bib.bib29.1.m1.1.1" xref="bib.bib29.1.m1.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib29.1.m1.1b"><ci id="bib.bib29.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib29.1.m1.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib29.1.m1.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib29.1.m1.1d">italic_η</annotation></semantics></math>-pairing in hubbard models: From spectrum generating algebras to quantum many-body scars, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevB.102.085140" title="">Phys. Rev. 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Wang, Solvable model for a charge-<math alttext="4e" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib75.1.m1.1"><semantics id="bib.bib75.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib75.1.m1.1.1" xref="bib.bib75.1.m1.1.1.cmml"><mn id="bib.bib75.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib75.1.m1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="bib.bib75.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib75.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="bib.bib75.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib75.1.m1.1.1.3.cmml">e</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib75.1.m1.1b"><apply id="bib.bib75.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib75.1.m1.1.1"><times id="bib.bib75.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib75.1.m1.1.1.1"></times><cn id="bib.bib75.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="bib.bib75.1.m1.1.1.2">4</cn><ci id="bib.bib75.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib75.1.m1.1.1.3">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib75.1.m1.1c">4e</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib75.1.m1.1d">4 italic_e</annotation></semantics></math> superconductor, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevB.106.094508" title="">Phys. 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Hu, Charge 4e superconductor: A wavefunction approach, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.scib.2024.06.002" title="">Science Bulletin <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib76.3.1.1">69</span>, 2328 (2024)</a>. </span> </li> </ul> </section> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Wed Nov 20 18:57:31 2024 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAsAAAAOCAYAAAD5YeaVAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAAZiS0dEAP8A/wD/oL2nkwAAAAlwSFlzAAALEwAACxMBAJqcGAAAAAd0SU1FB9wKExQZLWTEaOUAAAAddEVYdENvbW1lbnQAQ3JlYXRlZCB3aXRoIFRoZSBHSU1Q72QlbgAAAdpJREFUKM9tkL+L2nAARz9fPZNCKFapUn8kyI0e4iRHSR1Kb8ng0lJw6FYHFwv2LwhOpcWxTjeUunYqOmqd6hEoRDhtDWdA8ApRYsSUCDHNt5ul13vz4w0vWCgUnnEc975arX6ORqN3VqtVZbfbTQC4uEHANM3jSqXymFI6yWazP2KxWAXAL9zCUa1Wy2tXVxheKA9YNoR8Pt+aTqe4FVVVvz05O6MBhqUIBGk8Hn8HAOVy+T+XLJfLS4ZhTiRJgqIoVBRFIoric47jPnmeB1mW/9rr9ZpSSn3Lsmir1fJZlqWlUonKsvwWwD8ymc/nXwVBeLjf7xEKhdBut9Hr9WgmkyGEkJwsy5eHG5vN5g0AKIoCAEgkEkin0wQAfN9/cXPdheu6P33fBwB4ngcAcByHJpPJl+fn54mD3Gg0NrquXxeLRQAAwzAYj8cwTZPwPH9/sVg8PXweDAauqqr2cDjEer1GJBLBZDJBs9mE4zjwfZ85lAGg2+06hmGgXq+j3+/DsixYlgVN03a9Xu8jgCNCyIegIAgx13Vfd7vdu+FweG8YRkjXdWy329+dTgeSJD3ieZ7RNO0VAXAPwDEAO5VKndi2fWrb9jWl9Esul6PZbDY9Go1OZ7PZ9z/lyuD3OozU2wAAAABJRU5ErkJggg=="/></a> </div></footer> </div> </body> </html>