Longueur d'un arc — Wikipédia

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class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Arc de classe C1 </button> <ul id="toc-Arc_de_classe_C1-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Une_approche_cinématique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Une_approche_cinématique"> <div class="vector-toc-text"> 2.1 Une approche cinématique </div> </a> <ul id="toc-Une_approche_cinématique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Définitions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Définitions"> <div class="vector-toc-text"> 2.2 Définitions </div> </a> <ul id="toc-Définitions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Formulation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Formulation"> <div class="vector-toc-text"> 2.3 Formulation </div> </a> <ul id="toc-Formulation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemples" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples"> <div class="vector-toc-text"> 2.4 Exemples </div> </a> <ul id="toc-Exemples-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Géométrie_différentielle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Géométrie_différentielle"> <div class="vector-toc-text"> 3 Géométrie différentielle </div> </a> <button aria-controls="toc-Géométrie_différentielle-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Géométrie différentielle </button> <ul id="toc-Géométrie_différentielle-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Principe_de_Fermat" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Principe_de_Fermat"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Principe de Fermat </div> </a> <ul id="toc-Principe_de_Fermat-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Principe_de_moindre_action" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Principe_de_moindre_action"> <div class="vector-toc-text"> 3.2 Principe de moindre action </div> </a> <ul id="toc-Principe_de_moindre_action-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Variété_riemannienne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Variété_riemannienne"> <div class="vector-toc-text"> 3.3 Variété riemannienne </div> </a> <ul id="toc-Variété_riemannienne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Calcul_des_variations" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Calcul_des_variations"> <div class="vector-toc-text"> 3.4 Calcul des variations </div> </a> <ul id="toc-Calcul_des_variations-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espace_de_Sobolev" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espace_de_Sobolev"> <div class="vector-toc-text"> 3.5 Espace de Sobolev </div> </a> <ul id="toc-Espace_de_Sobolev-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Définition_de_Jordan" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Définition_de_Jordan"> <div class="vector-toc-text"> 4 Définition de Jordan </div> </a> <button aria-controls="toc-Définition_de_Jordan-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Définition de Jordan </button> <ul id="toc-Définition_de_Jordan-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Motivation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Motivation"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 Motivation </div> </a> <ul id="toc-Motivation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Approche_formelle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Approche_formelle"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 Approche formelle </div> </a> <ul id="toc-Approche_formelle-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Propriétés" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriétés"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 Propriétés </div> </a> <ul id="toc-Propriétés-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Contenu_de_Minkowski" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Contenu_de_Minkowski"> <div class="vector-toc-text"> 5 Contenu de Minkowski </div> </a> <button aria-controls="toc-Contenu_de_Minkowski-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Contenu de Minkowski </button> <ul id="toc-Contenu_de_Minkowski-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Motivation_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Motivation_2"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 Motivation </div> </a> <ul id="toc-Motivation_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Formalisme" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Formalisme"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 Formalisme </div> </a> <ul id="toc-Formalisme-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Courbe_fractale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Courbe_fractale"> <div class="vector-toc-text"> 5.3 Courbe fractale </div> </a> <ul id="toc-Courbe_fractale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> 6 Notes et références </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> 7 Liens externes </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Basculer la table des matières </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Longueur d'un arc</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 35 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-35" aria-hidden="true" > 35 langues </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8B%A8%E1%8C%8E%E1%89%A3%E1%8C%A3_%E1%88%AD%E1%8B%9D%E1%88%98%E1%89%B5" title="የጎባጣ ርዝመት – amharique" lang="am" hreflang="am" data-title="የጎባጣ ርዝመት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amharique" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B7%D9%88%D9%84_%D9%82%D9%88%D8%B3" title="طول قوس – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="طول قوس" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C6%8Fyrinin_uzunlu%C4%9Fu" title="Əyrinin uzunluğu – azerbaïdjanais" lang="az" hreflang="az" data-title="Əyrinin uzunluğu" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaïdjanais" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B0%D1%9E%D0%B6%D1%8B%D0%BD%D1%8F_%D0%BA%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BE%D0%B9" title="Даўжыня крывой – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Даўжыня крывой" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B0%D1%9E%D0%B6%D1%8B%D0%BD%D1%8F_%D0%BA%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BE%D0%B9" title="Даўжыня крывой – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Даўжыня крывой" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Longitud_d%27arc" title="Longitud d'arc – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Longitud d'arc" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9lka_k%C5%99ivky" title="Délka křivky – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Délka křivky" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kurvel%C3%A6ngde" title="Kurvelængde – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Kurvelængde" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)" title="Länge (Mathematik) – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Länge (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%AE%CE%BA%CE%BF%CF%82_%CF%84%CF%8C%CE%BE%CE%BF%CF%85" title="Μήκος τόξου – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Μήκος τόξου" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length" title="Arc length – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Arc length" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco" title="Longitud de arco – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Longitud de arco" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Pikkus_(matemaatika)" title="Pikkus (matemaatika) – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Pikkus (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B7%D9%88%D9%84_%D9%82%D9%88%D8%B3" title="طول قوس – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="طول قوس" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4yr%C3%A4n_pituus" title="Käyrän pituus – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Käyrän pituus" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dvhossz" title="Ívhossz – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Ívhossz" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Ferillengd" title="Ferillengd – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Ferillengd" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Lunghezza_di_un_arco" title="Lunghezza di un arco – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Lunghezza di un arco" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%B7" title="弧長 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="弧長" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A1%EC%84%A0%EC%9D%98_%EA%B8%B8%EC%9D%B4" title="곡선의 길이 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="곡선의 길이" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Booglengte" title="Booglengte – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Booglengte" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Buelengde" title="Buelengde – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Buelengde" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_krzywej" title="Długość krzywej – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Długość krzywej" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Comprimento_do_arco" title="Comprimento do arco – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Comprimento do arco" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B9" title="Длина кривой – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Длина кривой" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Duljina_luka" title="Duljina luka – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Duljina luka" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Arc_length" title="Arc length – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Arc length" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Dol%C5%BEina_loka" title="Dolžina loka – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Dolžina loka" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Gjat%C3%ABsia_e_harkut" title="Gjatësia e harkut – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Gjatësia e harkut" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%83%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%B0" title="Дужина лука – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Дужина лука" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/B%C3%A5gl%C3%A4ngd" title="Båglängd – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Båglängd" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B9%89%E0%B8%87" title="ความยาวส่วนโค้ง – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="ความยาวส่วนโค้ง" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%97" title="Довжина кривої – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Довжина кривої" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%BF" title="弧长 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="弧长" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%BF" title="弧长 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="弧长" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target">中文</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q670036#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet 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de la définition la plus courante de la longueur d'un arc.</figcaption></figure> En <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a>, la question de la longueur d'un arc est simple à concevoir (intuitive). L'idée d'arc correspond à celle d'une ligne, ou d'une trajectoire d'un point dans un <a href="/wiki/Plan_euclidien" title="Plan euclidien">plan</a> ou l'espace par exemple. Sa longueur peut être vue comme la distance parcourue par un point matériel suivant cette trajectoire ou encore comme la longueur d'un fil prenant exactement la place de cette ligne. La longueur d'un arc est, soit un nombre positif, soit l'infini. Un vieil exemple est celui du demi-<a href="/wiki/Cercle" title="Cercle">cercle</a> de rayon r, où r désigne un <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombre réel</a> positif. Sa longueur est égale à πr. Un exemple, plus simple, est donné par un <a href="/wiki/Segment_(math%C3%A9matiques)" title="Segment (mathématiques)">segment</a>, sa longueur est égale à la distance qui sépare ses deux extrémités. Selon l'époque, différentes méthodes permettent de définir et de mesurer la longueur d'un ensemble d'arcs de plus en plus vaste. <a href="/wiki/Eudoxe_de_Cnide" title="Eudoxe de Cnide">Eudoxe de Cnide</a>, un mathématicien grec du <a href="/wiki/IVe_si%C3%A8cle_av._J.-C." title="IVe siècle av. J.-C."><abbr class="abbr" title="4ᵉ siècle">IVe</abbr> siècle <abbr class="abbr nowrap" title="avant Jésus-Christ">av. J.-C.</abbr></a>, puis <a href="/wiki/Archim%C3%A8de" title="Archimède">Archimède</a> utilisent une méthode, dite d'<a href="/wiki/M%C3%A9thode_d%27exhaustion" title="Méthode d'exhaustion">exhaustion</a> pour calculer celle d'un arc de <a href="/wiki/Cercle" title="Cercle">cercle</a>. La <a href="/wiki/Physique" title="Physique">physique</a> de la fin du <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle développe une nouvelle approche, fondée sur les progrès réalisés en <a href="/wiki/M%C3%A9canique_du_point" title="Mécanique du point">mécanique du point</a> grâce en particulier au <a href="/wiki/Calcul_infinit%C3%A9simal" title="Calcul infinitésimal">calcul infinitésimal</a> appliqué à l'<a href="/wiki/Astronomie" title="Astronomie">astronomie</a>. La longueur d'un arc est perçue comme le produit du temps nécessaire à un point matériel pour parcourir l'arc par sa vitesse, si elle est supposée constante. Cette définition est généralisée par <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a> et devient la pierre angulaire pour construire une distance et de nouvelles formes de géométries, sur des objets maintenant appelés <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne" title="Géométrie riemannienne">variétés riemanniennes</a>. Pour le mathématicien français <a href="/wiki/Camille_Jordan_(math%C3%A9maticien)" title="Camille Jordan (mathématicien)">Camille Jordan</a> (<a href="/wiki/1838_en_science" title="1838 en science">1838</a> - <a href="/wiki/1922_en_science" title="1922 en science">1922</a>), ces définitions sont trop restrictives. Il s'intéresse aux propriétés d'une <a href="/wiki/Courbe_ferm%C3%A9e" title="Courbe fermée">courbe fermée</a>, c'est-à-dire un arc dont le point initial se confond avec le point final. La définition précédente, issue de la physique deux siècles plus tôt, suppose que l'arc soit dérivable. Cette limitation empêche l'usage d'un vaste arsenal de méthodes, pourtant indispensables à la résolution de nombreuses questions. Il propose une nouvelle définition, à l'aide d'une <a href="/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure" class="mw-redirect" title="Borne supérieure">borne supérieure</a> et de la longueur d'une <a href="/wiki/Ligne_polygonale" title="Ligne polygonale">ligne polygonale</a>. C'est maintenant la plus communément utilisée. Pour <a href="/wiki/Hermann_Minkowski" title="Hermann Minkowski">Hermann Minkowski</a> (<a href="/wiki/1864" title="1864">1864</a>-<a href="/wiki/1909" title="1909">1909</a>), les idées de Jordan sont peu adaptées à ses besoins. Dans le contexte des questions qu'il se pose, la longueur qu'il cherche à définir est surtout celle de la <a href="/wiki/Fronti%C3%A8re_(topologie)" title="Frontière (topologie)">frontière</a> d'une surface. Un cercle est défini comme l'ensemble des points P d'un <a href="/wiki/Disque_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Disque (géométrie)">disque</a> tels que tout <a href="/wiki/Voisinage_(topologie)" class="mw-redirect" title="Voisinage (topologie)">voisinage</a> de P contient un point du disque et un point extérieur. Il définit la longueur à l'aide de la notion intuitive de <a href="/wiki/Tube_(math%C3%A9matiques)" title="Tube (mathématiques)">tube</a>, correspondant à l'ensemble des points situés à une distance inférieure à r d'un point de l'arc. Cette définition se prête à de nombreuses généralisations, qui permettent même de donner un sens à la longueur d'une <a href="/wiki/Fractal" class="mw-redirect" title="Fractal">courbe fractale</a>. <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Premiers_calculs">Premiers calculs</h2>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Premiers calculs" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Premiers calculs">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/M%C3%A9thode_d%27exhaustion" title="Méthode d'exhaustion">Méthode d'exhaustion</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Liuhui_Pi_Inequality.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Liuhui_Pi_Inequality.svg/220px-Liuhui_Pi_Inequality.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Liuhui_Pi_Inequality.svg/330px-Liuhui_Pi_Inequality.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Liuhui_Pi_Inequality.svg/440px-Liuhui_Pi_Inequality.svg.png 2x" data-file-width="570" data-file-height="570" /></a><figcaption> Le mathématicien chinois <a href="/wiki/Liu_Hui" title="Liu Hui">Liu Hui</a> utilise la méthode d'exhaustion pour le calcul de π.</figcaption></figure> L'une des mesures de longueur la plus célèbre et la plus ancienne est celle d'un demi-arc de cercle de rayon 1. Cette longueur, notée <a href="/wiki/Pi" title="Pi">π</a> est calculée depuis bien longtemps. Pour les babyloniens, sa valeur se calcule grâce à la relation qui relie l'aire du cercle avec le périmètre du demi-arc, ils trouvent l'approximation 3 + 1/8<a href="#cite_note-1">[1]</a>. Un progrès théorique important est l'œuvre d'<a href="/wiki/Archim%C3%A8de" title="Archimède">Archimède</a><a href="#cite_note-2">[2]</a>. Pour le physicien, un <a href="/wiki/Polygone_convexe" title="Polygone convexe">polygone convexe</a> dont les sommets sont des points du cercle est de périmètre plus petit que celui du cercle. En effet, il est plus court, pour rejoindre deux sommets consécutifs de passer par l'arête (le segment est le plus court chemin entre ses deux points d'extrémités), ce qui donne une minoration de π. Inversement, le polygone convexe régulier dont chaque milieu d'arête est un point du cercle est de périmètre plus grand. S'il ne peut démontrer cette proposition en général car il ne dispose pas d'une définition de la longueur d'un arc qui lui permettrait de réaliser cette prouesse, elle semble intuitive à l'œil, et résulte (dans le cas du cercle) de la proportionnalité entre les aires de secteurs circulaires et les arcs qui les sous-tendent. À l'aide d'un <a href="/wiki/Polygone_r%C3%A9gulier" title="Polygone régulier">polygone régulier</a> de 96 côtés, il démontre que la valeur de π se situe entre 3 + 1/7 et 3 + 10/71. Le principe du calcul est donné dans l'article <a href="/wiki/Pi" title="Pi">pi</a>. La méthode est générale pour tout arc dont la convexité se situe toujours du même côté, c'est-à-dire dont l'arc n'est composé que de points <a href="/wiki/Fronti%C3%A8re_(topologie)" title="Frontière (topologie)">frontières</a> de l'<a href="/wiki/Enveloppe_convexe" title="Enveloppe convexe">enveloppe convexe</a>. Toute ligne polygonale, dont les sommets sont situés sur l'arc, possède une longueur plus petite que celle de l'arc étudié. On dispose ainsi d'un minorant. On peut alors construire une suite de lignes polygonales de longueurs croissantes (pn) toutes plus petites que la longueur de l'arc. On construit ensuite une suite de lignes polygonales à l'extérieur de l'enveloppe convexe, dont les extrémités sont ceux de la ligne polygonale et qui longent de plus en plus précisément l'arc. La suite des longueurs (Pn) est choisie décroissante et chaque longueur est plus grande que celle de l'arc. Les seules valeurs possibles, pour la longueur de l'arc, sont situées dans le segment [pn, Pn]. La suite est construite de manière que la distance entre pn et Pn soit de plus en plus petite à tel point que pour tout nombre strictement positif ε, il existe une valeur n tel que Pn – pn soit strictement plus petit que ε. L'intersection de tous les <a href="/wiki/Intervalle_(math%C3%A9matiques)" title="Intervalle (mathématiques)">intervalles</a> [pn, Pn] est réduite à un point, qui est nécessairement la longueur de l'arc. Cette méthode est dite d'exhaustion. Elle est utilisée par le mathématicien chinois <a href="/wiki/Liu_Hui" title="Liu Hui">Liu Hui</a> durant le <a href="/wiki/IIIe_si%C3%A8cle" title="IIIe siècle"><abbr class="abbr" title="3ᵉ siècle">IIIe</abbr> siècle</a> avec des approximations plus performantes que celles d'Archimède. Il trouve la valeur approchée de π égale à 3,1416<a href="#cite_note-3">[3]</a>. Cette méthode reste en vigueur jusqu'à la fin du <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle et permet de trouver d'autres résultats comme la longueur d'un arc de <a href="/wiki/Spirale_logarithmique" title="Spirale logarithmique">spirale logarithmique</a> par <a href="/wiki/Evangelista_Torricelli" title="Evangelista Torricelli">Torricelli</a><a href="#cite_note-4">[4]</a> en 1645 ou de <a href="/wiki/Cyclo%C3%AFde" title="Cycloïde">cycloïde</a> par <a href="/wiki/Christopher_Wren" title="Christopher Wren">Christopher Wren</a><a href="#cite_note-5">[5]</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Arc_de_classe_C1">Arc de classe C1</h2>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Arc de classe C1" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Arc de classe C1">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article connexe : <a href="/wiki/Abscisse_curviligne" title="Abscisse curviligne">abscisse curviligne</a>.</div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Une_approche_cinématique">Une approche cinématique</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Une approche cinématique" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Une approche cinématique">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Integral.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Integral.svg/220px-Integral.svg.png" decoding="async" width="220" height="153" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Integral.svg/330px-Integral.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Integral.svg/440px-Integral.svg.png 2x" data-file-width="667" data-file-height="464" /></a><figcaption>La longueur d'un arc parcouru à une vitesse f durant la période de longueur a est égale à l'aire en jaune sur la figure.</figcaption></figure> Le <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle est celui de <a href="/wiki/Galileo_Galilei" class="mw-redirect" title="Galileo Galilei">Galilée</a>. La notion de vitesse instantanée prend un sens, et même deux. La vitesse est tout d'abord un <a href="/wiki/Vecteur" title="Vecteur">vecteur</a>, celui qu'il faut multiplier par une durée a pour connaître la position d'un point se déplaçant de manière rectiligne uniforme au bout d'un délai a. C'est aussi un scalaire, celui qui indique la distance parcourue au bout de la durée a, dans le cas d'un déplacement uniforme. On parle de vitesse curviligne pour différencier cette grandeur de la vitesse vectorielle. La vitesse curviligne correspond à la <a href="/wiki/Norme_(math%C3%A9matiques)" title="Norme (mathématiques)">norme</a> du vecteur vitesse. Souvent, le terme de vitesse, utilisé dans le langage courant, correspond à la vitesse curviligne, par exemple dans l'expression vitesse de 80 <abbr class="abbr" title="kilomètre par heure">km/h</abbr>, qui correspond à un scalaire et non à un vecteur. Cette définition permet une nouvelle manière d'appréhender la longueur d'un arc. Pour connaître cette longueur, il suffit de trouver une fourmi, supposée petite, se déplaçant toujours à une vitesse curviligne f constante, de lui faire parcourir l'arc. Si la durée du parcours de l'arc est égale à a, alors sa longueur est a.f. Si cette idée est fructueuse, elle demande à être aménagée. Modéliser le parcours d'un arc à vitesse constante est une question souvent plus difficile que le calcul de la longueur recherchée. Si la vitesse f est constante, la longueur peut être vue comme la surface d'un rectangle de longueur le temps a, nécessaire pour parcourir l'arc et de hauteur f. Si la vitesse n'est pas constante, on remplace la droite y = f dans un <a href="/wiki/Rep%C3%A8re_cart%C3%A9sien" class="mw-redirect" title="Repère cartésien">repère cartésien</a> par la ligne d'équation y = f(t), où t varie entre 0 et a. La longueur de l'arc est égale à l'aire située entre les trois droites x = 0, x = a, y = 0 et la ligne y = f(t). On trouve l'aire illustrée en jaune sur la figure de droite. Cette nouvelle approche prend forme à travers l'étude de la parabole semi-cubique<a href="#cite_note-6">[6]</a>, d'équation cy2 = x3. Vers 1660, ce problème est célèbre et intéresse de nombreux mathématiciens. La question du calcul de la longueur d'un arc, que l'on appelait alors problème de rectification, était à l'époque considérée comme très difficile, voire souvent impossible. <a href="/wiki/John_Wallis" title="John Wallis">John Wallis</a> publie la solution<a href="#cite_note-7">[7]</a> en 1659 et en attribue la paternité à Neil. Une des raisons de la célébrité de la preuve est qu'elle débouche sur une valeur <a href="/wiki/Construction_%C3%A0_la_r%C3%A8gle_et_au_compas" title="Construction à la règle et au compas">constructible à la règle et au compas</a>, naissance d'un fol espoir de résolution de la <a href="/wiki/Quadrature_du_cercle" title="Quadrature du cercle">quadrature du cercle</a>. Cette solution est reproduite par <a href="/wiki/Hendrik_van_Heuraet" title="Hendrik van Heuraet">Van Heuraet</a> la même année avec une méthode de rectification de la <a href="/wiki/Parabole" title="Parabole">parabole</a> à l'aide du calcul de la quadrature d'une <a href="/wiki/Hyperbole_(math%C3%A9matiques)" title="Hyperbole (mathématiques)">hyperbole</a><a href="#cite_note-8">[8]</a>. Le problème de la quadrature d'une surface est celui consistant à déterminer son aire. En 1660, <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a> généralise l'approche à toute courbe, qu'à l'époque on imagine comme toujours dérivable, au moins par morceau, même si la notion de <a href="/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e" title="Dérivée">dérivée</a> n'est pas encore formalisée<a href="#cite_note-9">[9]</a>. Un pas de géant est franchi entre 20 et 30 ans plus tard, lorsque <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> et <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a> découvrent le <a href="/wiki/Calcul_infinit%C3%A9simal" title="Calcul infinitésimal">calcul infinitésimal</a> et le <a href="/wiki/Second_th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27analyse" class="mw-redirect" title="Second théorème fondamental de l'analyse">second théorème fondamental de l'analyse</a>, indiquant la relation entre la dérivée et l'<a href="/wiki/Int%C3%A9gration_(math%C3%A9matiques)" title="Intégration (mathématiques)">intégrale</a>. La longueur L d'un arc parcouru durant une période a à une vitesse curviligne égale à f(t) à l'instant t est égale à : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{0}^{a}f(t)~\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{0}^{a}f(t)~\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0757924770496fa62eb320eb082d6c0c62d96b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.922ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{0}^{a}f(t)~\mathrm {d} t.}"></center> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définitions">Définitions</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Définitions" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Définitions">modifier le code</a>]</div> Pour être précis, quelques définitions doivent être données. Ici, E désigne un <a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">espace euclidien</a> de dimension n et ℝ l'ensemble des <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a>. Pour définir une longueur, il est utile d'associer un sens précis au mot arc paramétré de classe Cp, si p est un entier positif : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> Définition d'un arc paramétré —  Un arc paramétré de classe Cp est un couple (I, f) composée d'un intervalle I de ℝ et d'une fonction de I dans un espace euclidien, p fois dérivable, dont la dérivée pième est continue et dont la dérivée première ne s'annule jamais<a href="#cite_note-10">[10]</a>. </div> Demander à la dérivée première de ne jamais s'annuler permet d'éviter des singularités qui ne sont pas l'objet de cet article. Cette définition fournit à la fois l'arc et une manière de le parcourir. Pourtant, géométriquement, parcourir un arc rapidement ou lentement, dans un sens ou dans un autre, ne modifie pas la nature de l'arc. Pour cette raison, on définit une classe d'équivalence entre les arcs paramétrés : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> Définition d'arcs Cp-équivalents — Soient (I, f) (J, g) deux arcs paramétrés à valeurs dans E. S'il existe un <a href="/wiki/Diff%C3%A9omorphisme" title="Difféomorphisme">difféomorphisme</a> θ de classe Cp de I dans J tel que g∘θ soit égal à f on dit que les deux arcs paramétrés sont Cp-équivalents<a href="#cite_note-BG303-11">[11]</a>. </div> Par exemple, le parcours deux fois d'un cercle par un arc paramétré n'est jamais équivalent à un arc paramétré parcourant une seule fois le cercle. En effet, dans un cas tout point du cercle possède deux antécédents et dans l'autre cas un unique, un difféomorphisme ne peut exister. On peut maintenant énoncer la définition d'un arc géométrique : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> Définition d'un arc géométrique de classe Cp — Un arc géométrique est une <a href="/wiki/Relation_d%27%C3%A9quivalence" title="Relation d'équivalence">classe d'équivalence</a> d'arcs Cp-équivalents<a href="#cite_note-BG303-11">[11]</a>. </div> Il devient possible de définir rigoureusement la longueur d'un arc géométrique<a href="#cite_note-12">[12]</a> : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> Définition de la longueur d'un arc géométrique de classe Cp — La longueur d'un arc géométrique ayant pour représentant (I, f) est la valeur L de l'intégrale suivante, égale à un nombre positif ou à l'infini : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{I}\|f'(t)\|~\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{I}\|f'(t)\|~\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e914197ce22cc8039e164efda295ee553c9ca0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.76ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{I}\|f'(t)\|~\mathrm {d} t.}"></center> </div> L'intégrale n'est pas nécessairement finie car l'intervalle I n'est pas nécessairement un <a href="/wiki/Segment_(math%C3%A9matiques)" title="Segment (mathématiques)">segment</a>. Par exemple, si I est égal à ℝ et f à la fonction qui à t associe exp(it) à valeurs dans les nombres complexes identifiés au plan euclidien, l'arc géométrique parcourt un nombre infini de fois le cercle unité, sa longueur est infinie. Pour que la définition ait du sens, il est nécessaire que les longueurs de deux arcs Cp équivalents soient les mêmes. On le vérifie simplement. Si (I, f) et (J, g) sont deux arcs paramétrés Cp équivalents et si le difféomorphisme θ vérifie g∘θ = f, alors l'<a href="/wiki/Int%C3%A9gration_par_changement_de_variable" title="Intégration par changement de variable">intégration par changement de variable</a> montre que : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{J}\|g'(t)\|~\mathrm {d} t=\int _{J}\left\|{\frac {d}{dt}}(f\circ \theta )(t)\right\|~\mathrm {d} t=\int _{J}\|(f'\circ \theta )(t)\||\theta '(t)|~\mathrm {d} t=\int _{I}\|f'(s)\|~\mathrm {d} s.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>J</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mi>g</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>J</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>J</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∘</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>θ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{J}\|g'(t)\|~\mathrm {d} t=\int _{J}\left\|{\frac {d}{dt}}(f\circ \theta )(t)\right\|~\mathrm {d} t=\int _{J}\|(f'\circ \theta )(t)\||\theta '(t)|~\mathrm {d} t=\int _{I}\|f'(s)\|~\mathrm {d} s.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1482152add2c8e71b164a5eeaf379545f4e69d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:83.746ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{J}\|g'(t)\|~\mathrm {d} t=\int _{J}\left\|{\frac {d}{dt}}(f\circ \theta )(t)\right\|~\mathrm {d} t=\int _{J}\|(f'\circ \theta )(t)\||\theta '(t)|~\mathrm {d} t=\int _{I}\|f'(s)\|~\mathrm {d} s.}"></center> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formulation">Formulation</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Formulation" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Formulation">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:ArclengthSegment.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/ArclengthSegment.png/220px-ArclengthSegment.png" decoding="async" width="220" height="213" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bb/ArclengthSegment.png 1.5x" data-file-width="251" data-file-height="243" /></a><figcaption>Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore" title="Théorème de Pythagore">théorème de Pythagore</a> offre une autre explication intuitive de la formule de la longueur d'un arc.</figcaption></figure> Si E désigne un plan euclidien, la fonction f peut s'exprimer à l'aide de deux fonctions coordonnées, de I dans ℝ, notées ici x(t) et y(t). Si les coordonnées s'expriment dans une <a href="/wiki/Base_orthonormale" class="mw-redirect" title="Base orthonormale">base orthonormale</a> et si ]a, b[ désigne l'intervalle I, la formule précédente devient : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c524e3bcc017a4cca4dbe83512234a7f3336cbf9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:32.107ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}"></center> Sous cette forme, la longueur de l'arc trouve une autre justification intuitive que celle de la vitesse. Soit t et dt deux réels positifs tel que t et t + dt soient éléments de I. Notons (x, y) les coordonnées de l'image de t et (x + dx, y + dy) celle de t + dt. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. Si dt est suffisamment petit, la courbe est proche de son approximation tangente. Identifier entre ces deux valeurs du paramètre l'arc avec son approximation linéaire tangente au point t ramène localement le calcul à celui de la longueur ds de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, qui se calcule avec le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore" title="Théorème de Pythagore">théorème de Pythagore</a> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds\approx \|f(t+\mathrm {d} t)-f(t)\|\approx \|f'(t)\mathrm {d} t\|={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mo>≈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>≈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds\approx \|f(t+\mathrm {d} t)-f(t)\|\approx \|f'(t)\mathrm {d} t\|={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c9a18a0b3d1943b4b769746dc11413082f8ff8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:62.342ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle ds\approx \|f(t+\mathrm {d} t)-f(t)\|\approx \|f'(t)\mathrm {d} t\|={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}"></center> Il existe un cas particulier usuel, celui où la courbe est le <a href="/wiki/Graphe_d%27une_fonction" title="Graphe d'une fonction">graphe d'une fonction</a> g de classe C1 sur un intervalle I et à valeurs dans ℝ. Pour revenir à une situation plus proche de la précédente, on peut considérer que la courbe est représentée par l'arc paramétré (I, f) où f est la fonction de I dans ℝ2 qui à t associe (t, g(t)). En supposant toujours que ]a, b[ désigne l'intervalle I, on obtient : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+g'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>g</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+g'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9580d2b8ce98d744983fd1c22760b0d2a1750cc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.469ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+g'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}"></center> Il est parfois plus commode d'utiliser les <a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires" title="Coordonnées polaires">coordonnées polaires</a> pour exprimer l'arc paramétré, ce qui revient à utiliser les notations suivantes : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \quad {\text{et}}\quad y=r(\theta )\sin \theta .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>et</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \quad {\text{et}}\quad y=r(\theta )\sin \theta .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87eb7a87731d2547a5922ab9035419362ba7c265" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \quad {\text{et}}\quad y=r(\theta )\sin \theta .}"></center> On en déduit : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c539d8ea8589faba850412b2bb66d8e1f641163" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:28.322ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta ,}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423a2dfa4e8d17ba04e99d31501b48d730c4c33b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:28.147ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta ,}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}=r'(\theta )^{2}+r(\theta )^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}=r'(\theta )^{2}+r(\theta )^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03066e1bab4e1a6e3ffaac87d8e807b5d533bff0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.809ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}=r'(\theta )^{2}+r(\theta )^{2},}"></center> ce qui permet d'établir la formule : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {r'(\theta )^{2}+r(\theta )^{2}}}\;\mathrm {d} \theta .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>r</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {r'(\theta )^{2}+r(\theta )^{2}}}\;\mathrm {d} \theta .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54ce0adc25762979e3725384df47c7f5b258c9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.999ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {r'(\theta )^{2}+r(\theta )^{2}}}\;\mathrm {d} \theta .}"></center> En dimension 3 et sous les mêmes hypothèses, la formule prend la forme : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d568f8f35057b3bb2dc5db8ade82a0f5fe5888" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:42.639ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}"></center> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exemples">Exemples</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Exemples" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Exemples">modifier le code</a>]</div> Sur le <a href="/wiki/Cercle_trigonom%C3%A9trique" title="Cercle trigonométrique">cercle trigonométrique</a>, la longueur de l'arc ayant pour extrémités l'origine des arcs et le point du premier <a href="/wiki/Quadrant_(math%C3%A9matiques)" title="Quadrant (mathématiques)">quadrant</a> d'<a href="/wiki/Ordonn%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Ordonnée">ordonnée</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> est : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arcsin b=\int _{0}^{b}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;\mathrm {d} t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arcsin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arcsin b=\int _{0}^{b}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;\mathrm {d} t}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2107eb4390dad64aebacc0cd6eb37048ed1a67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.068ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \arcsin b=\int _{0}^{b}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;\mathrm {d} t}">.</center> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Cha%C3%AEnette.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Cha%C3%AEnette.png/220px-Cha%C3%AEnette.png" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Cha%C3%AEnette.png/330px-Cha%C3%AEnette.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Cha%C3%AEnette.png/440px-Cha%C3%AEnette.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="480" /></a><figcaption>Courbe de la <a href="/wiki/Cha%C3%AEnette" title="Chaînette">chaînette</a> pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4208bf5a67fc2ceb3a3bcd75aebb1d74fbb531bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=2}">.</figcaption></figure> Au <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle, le problème de la rectification d'un arc est à la pointe de la recherche. Sans les outils du <a href="/wiki/Calcul_infinit%C3%A9simal" title="Calcul infinitésimal">calcul différentiel</a>, ces questions demandent une grande imagination pour y répondre. Elles deviennent beaucoup plus aisées une fois connue la dérivée et sa relation avec l'intégrale. Un exemple est celui de la <a href="/wiki/Cha%C3%AEnette" title="Chaînette">chaînette</a>, <a href="/wiki/Courbe_plane" title="Courbe plane">courbe plane</a> qui correspond à la forme que prend un câble lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à son propre poids. Il est résolu en 1691 à la fois par Leibniz, <a href="/wiki/Christiaan_Huygens" class="mw-redirect" title="Christiaan Huygens">Huygens</a> et les frères <a href="/wiki/Bernoulli" class="mw-redirect" title="Bernoulli">Bernoulli</a><a href="#cite_note-13">[13]</a>. Si cosh désigne le <a href="/wiki/Cosinus_hyperbolique" title="Cosinus hyperbolique">cosinus hyperbolique</a> et si a désigne un réel strictement positif, son équation est la suivante : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=a\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(\exp \left({\frac {x}{a}}\right)+\exp \left(-{\frac {x}{a}}\right)\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(\exp \left({\frac {x}{a}}\right)+\exp \left(-{\frac {x}{a}}\right)\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c4a98d553db9d62c0d95006122a09d6f71c849" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:46.213ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle y=a\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(\exp \left({\frac {x}{a}}\right)+\exp \left(-{\frac {x}{a}}\right)\right).}"></center> La longueur L0 de la chaînette entre le point d'abscisse 0 et celui d'abscisse x0 est donnée par la formule, si sinh désigne le <a href="/wiki/Sinus_hyperbolique" title="Sinus hyperbolique">sinus hyperbolique</a> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}=a\operatorname {sinh} \left({\frac {x_{0}}{a}}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}=a\operatorname {sinh} \left({\frac {x_{0}}{a}}\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3ba3ea0ea667be7574d7347442dec99a2b98d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.143ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle L_{0}=a\operatorname {sinh} \left({\frac {x_{0}}{a}}\right).}"></center> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Logarithmic_spiral.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Logarithmic_spiral.svg/220px-Logarithmic_spiral.svg.png" decoding="async" width="220" height="173" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Logarithmic_spiral.svg/330px-Logarithmic_spiral.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Logarithmic_spiral.svg/440px-Logarithmic_spiral.svg.png 2x" data-file-width="510" data-file-height="400" /></a><figcaption><a href="/wiki/Spirale_logarithmique" title="Spirale logarithmique">Spirale logarithmique</a>.</figcaption></figure> La longueur d'une <a href="/wiki/Spirale_logarithmique" title="Spirale logarithmique">spirale logarithmique</a> est d'abord déterminée sans l'usage du calcul différentiel. Puis, cet usage permet une résolution du problème de manière très simple, surtout si le paramétrage proposé est polaire si a est un réel strictement positif et b est strictement supérieur à 1 : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (\theta )=a~b^{\theta }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mtext> </mtext> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (\theta )=a~b^{\theta }.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82745a927fd3ddb58476ba48962eb8622ae36cfb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.658ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \rho (\theta )=a~b^{\theta }.}"></center> La longueur Lθ de la spirale entre le point origine et celui d'angle θ, qui peut être supérieur à 2π, est donnée par la formule suivante : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{\theta }={\sqrt {1+(\ln b)^{-2}}}\rho (\theta ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\theta }={\sqrt {1+(\ln b)^{-2}}}\rho (\theta ).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe61879af3b5c5158e9406643736ce0b0689183" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:24.226ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle L_{\theta }={\sqrt {1+(\ln b)^{-2}}}\rho (\theta ).}"></center> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Semicubical_parabola.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Semicubical_parabola.svg/220px-Semicubical_parabola.svg.png" decoding="async" width="220" height="339" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Semicubical_parabola.svg/330px-Semicubical_parabola.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Semicubical_parabola.svg/440px-Semicubical_parabola.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="788" /></a><figcaption>Paraboles de Neil pour différentes valeurs de a.</figcaption></figure> Un autre calcul est d'importance historique, celui de la parabole de Neil, qui correspond à la courbe d'équation y = ±ax3/2, si a est un entier strictement positif. Sa rectification est réalisée avant la découverte du calcul différentiel. La nouveauté apportée réside dans le fait que, si L0 désigne la longueur de la partie positive de la branche située entre 0 et x0, le résultat intermédiaire suivant est utilisé : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}\;\mathrm {d} x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}\;\mathrm {d} x.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15de3f7e71a019e880f89c4a2921b78fb84f433" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.444ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}\;\mathrm {d} x.}"></center> Une question de rectification est finalement liée à un problème de <a href="/wiki/Quadrature_(math%C3%A9matiques)" title="Quadrature (mathématiques)">quadrature</a>, c'est-à-dire au calcul d'une surface, base de la définition utilisée dans ce paragraphe. Finalement, on trouve : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}={\frac {(4+9a^{2}x_{0})^{\frac {3}{2}}-8}{27a^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>8</mn> </mrow> <mrow> <mn>27</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}={\frac {(4+9a^{2}x_{0})^{\frac {3}{2}}-8}{27a^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62da629149f002b185eef57583648b38603b712f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:24.6ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle L_{0}={\frac {(4+9a^{2}x_{0})^{\frac {3}{2}}-8}{27a^{2}}}.}"></center> Cette démarche permet de résoudre le problème de la rectification de la <a href="/wiki/Parabole" title="Parabole">parabole</a>. Si l'on choisit le paramétrage y = ax2, avec a un réel strictement positif, la longueur L0 de la branche située entre 0 et x0 s'exprime sous la forme d'une quadrature d'hyperbole, que l'on sait réaliser déjà depuis plus de 20 ans : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\left(\mu {\sqrt {\mu ^{2}+1}}+\ln(\mu +{\sqrt {\mu ^{2}+1}})\right)\quad {\text{avec}}\quad \mu =2ax_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>avec</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\left(\mu {\sqrt {\mu ^{2}+1}}+\ln(\mu +{\sqrt {\mu ^{2}+1}})\right)\quad {\text{avec}}\quad \mu =2ax_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3519cb6b97f0ec9492b572c64826468b5b28fcda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.98ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\left(\mu {\sqrt {\mu ^{2}+1}}+\ln(\mu +{\sqrt {\mu ^{2}+1}})\right)\quad {\text{avec}}\quad \mu =2ax_{0}.}"></center> Si l'approche par la vitesse permet de résoudre aisément la question de la longueur de l'arche d'une <a href="/wiki/Cyclo%C3%AFde" title="Cycloïde">cycloïde</a>, égale à 8 fois le rayon du cercle, un problème en apparence aussi simple que de calculer la circonférence de l'<a href="/wiki/Ellipse_(math%C3%A9matiques)" title="Ellipse (mathématiques)">ellipse</a> en fonction des demi-axes conduit à des intégrales qu'on ne peut pas expliciter plus avant : on parle d'<a href="/wiki/Int%C3%A9grale_elliptique" title="Intégrale elliptique">intégrales elliptiques</a> de seconde espèce. Les calculs sont analogues en dimension 3. L'article « <a href="/wiki/Loxodromie" title="Loxodromie">Loxodromie</a> » explicite un exemple. <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Détails des calculs</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <ul><li>Rectification du cercle trigonométrique :</li></ul> On utilise la paramétrisation par les fonctions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> définies sur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}"> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)={\sqrt {1-t^{2}}},\quad y(t)=t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)={\sqrt {1-t^{2}}},\quad y(t)=t}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd44d6ccf08012dc1e466fd32df4869837f940e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.397ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle x(t)={\sqrt {1-t^{2}}},\quad y(t)=t}"></center> Leurs dérivées sont : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'(t)={\frac {u}{\sqrt {1-t^{2}}}},\quad y'(t)=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>u</mi> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'(t)={\frac {u}{\sqrt {1-t^{2}}}},\quad y'(t)=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3adb69a85a4797949f84d0cbbe5bf23f3c029750" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.93ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle x'(t)={\frac {u}{\sqrt {1-t^{2}}}},\quad y'(t)=1}">.</center> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f'(t)\|={\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f'(t)\|={\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7036ccc4d458dc4500eecac81f6cdff9d8140e6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.134ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \|f'(t)\|={\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}}">.</center> D'où : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arcsin b=\int _{0}^{b}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arcsin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arcsin b=\int _{0}^{b}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0092b4e4578aaecd2b1699d5e5b314540698865d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.715ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \arcsin b=\int _{0}^{b}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;\mathrm {d} t.}"></center> <ul><li>Rectification de la chaînette :</li></ul> On utilise ici la paramétrisation par une fonction g, définie par g(x) = acosh(x/a). On obtient les expressions : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+\operatorname {sinh} \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}=\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>g</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+\operatorname {sinh} \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}=\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b287e4d37059ad8aecaa0537498830cea053633" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:45.369ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+\operatorname {sinh} \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}=\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right).}"></center> On en déduit : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right)\mathrm {d} x=\left[a\operatorname {sinh} \left({\frac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{x_{0}}=a\operatorname {sinh} \left({\frac {x_{0}}{a}}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right)\mathrm {d} x=\left[a\operatorname {sinh} \left({\frac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{x_{0}}=a\operatorname {sinh} \left({\frac {x_{0}}{a}}\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49ff0a2bfecb3211f1070fc1f887c5dc2af772b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:56.068ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}\operatorname {cosh} \left({\frac {x}{a}}\right)\mathrm {d} x=\left[a\operatorname {sinh} \left({\frac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{x_{0}}=a\operatorname {sinh} \left({\frac {x_{0}}{a}}\right).}"></center> <ul><li>Rectification de la spirale logarithmique :</li></ul> À l'aide des coordonnées polaires, on obtient : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {\rho '(\mu )^{2}+\rho (\mu )^{2}}}=a{\sqrt {\ln(b)^{2}b^{2\mu }+b^{2\mu }}}=a{\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}b^{\mu }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>ρ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {\rho '(\mu )^{2}+\rho (\mu )^{2}}}=a{\sqrt {\ln(b)^{2}b^{2\mu }+b^{2\mu }}}=a{\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}b^{\mu }.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5b94e11c88534cc7d719502b335e3530a22cb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:57.485ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {\rho '(\mu )^{2}+\rho (\mu )^{2}}}=a{\sqrt {\ln(b)^{2}b^{2\mu }+b^{2\mu }}}=a{\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}b^{\mu }.}"></center> On en déduit : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{\theta }=a{\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}\int _{-\infty }^{\theta }b^{\mu }\mathrm {d} \mu =a{\frac {\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}{\ln(b)}}b^{\theta }={\sqrt {1+\ln(b)^{-2}}}\rho (\theta ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\theta }=a{\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}\int _{-\infty }^{\theta }b^{\mu }\mathrm {d} \mu =a{\frac {\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}{\ln(b)}}b^{\theta }={\sqrt {1+\ln(b)^{-2}}}\rho (\theta ).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6a5d246e2d328d1d0855f9c133723362f6026b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:69.722ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle L_{\theta }=a{\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}\int _{-\infty }^{\theta }b^{\mu }\mathrm {d} \mu =a{\frac {\sqrt {1+\ln(b)^{2}}}{\ln(b)}}b^{\theta }={\sqrt {1+\ln(b)^{-2}}}\rho (\theta ).}"></center> <ul><li>Rectification de la parabole de Neil :</li></ul> L'arc est paramétré par la courbe y = g(x), ce qui amène le calcul : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>g</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39a84c20820c02f2d9d12cfc8e26455b6ca6dc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.36ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}}"></center> puis, en utilisant le changement de variable u = 9a2x/4 : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}\;\mathrm {d} x={\frac {4}{9a^{2}}}\int _{0}^{{\frac {9a^{2}}{4}}x_{0}}{\sqrt {1+u}}\;\mathrm {d} u={\frac {8}{27a^{2}}}\left[(1+u)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{{\frac {9a^{2}}{4}}x_{0}}={\frac {(4+9a^{2}x_{0})^{\frac {3}{2}}-8}{27a^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mrow> <mn>9</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>u</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>8</mn> <mrow> <mn>27</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>8</mn> </mrow> <mrow> <mn>27</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}\;\mathrm {d} x={\frac {4}{9a^{2}}}\int _{0}^{{\frac {9a^{2}}{4}}x_{0}}{\sqrt {1+u}}\;\mathrm {d} u={\frac {8}{27a^{2}}}\left[(1+u)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{{\frac {9a^{2}}{4}}x_{0}}={\frac {(4+9a^{2}x_{0})^{\frac {3}{2}}-8}{27a^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955519469cf2846ecdd85c70dc97fb62a7d1feb6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:98.819ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle L_{0}=\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+{\frac {9a^{2}}{4}}x}}\;\mathrm {d} x={\frac {4}{9a^{2}}}\int _{0}^{{\frac {9a^{2}}{4}}x_{0}}{\sqrt {1+u}}\;\mathrm {d} u={\frac {8}{27a^{2}}}\left[(1+u)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{{\frac {9a^{2}}{4}}x_{0}}={\frac {(4+9a^{2}x_{0})^{\frac {3}{2}}-8}{27a^{2}}}.}"></center> <ul><li>Rectification de la parabole :</li></ul> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Rectification_de_la_parabole.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Rectification_de_la_parabole.jpg/220px-Rectification_de_la_parabole.jpg" decoding="async" width="220" height="212" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Rectification_de_la_parabole.jpg/330px-Rectification_de_la_parabole.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Rectification_de_la_parabole.jpg/440px-Rectification_de_la_parabole.jpg 2x" data-file-width="716" data-file-height="689" /></a><figcaption></figcaption></figure> La rectification de la parabole est un peu plus subtile. Avec les notations précédentes : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {2+u^{2}}}\quad {\text{avec}}\quad u=2{\sqrt {2}}ax.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>g</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>avec</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {2+u^{2}}}\quad {\text{avec}}\quad u=2{\sqrt {2}}ax.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939790c90b10ad2450cbc494bde0b75bfa3c7c7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:64.317ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {1+g'(x)^{2}}}={\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {2+u^{2}}}\quad {\text{avec}}\quad u=2{\sqrt {2}}ax.}"></center> On en déduit : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\int _{0}^{\tau }{\sqrt {2+u^{2}}}\mathrm {d} u\quad {\text{avec}}\quad \tau =2{\sqrt {2}}ax_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>τ</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>u</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>avec</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mi>a</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\int _{0}^{\tau }{\sqrt {2+u^{2}}}\mathrm {d} u\quad {\text{avec}}\quad \tau =2{\sqrt {2}}ax_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59968cea22373a28ef1f634b9e923f0056853d3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:46.539ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\int _{0}^{\tau }{\sqrt {2+u^{2}}}\mathrm {d} u\quad {\text{avec}}\quad \tau =2{\sqrt {2}}ax_{0}.}"></center> L'aire à déterminer est illustrée sur la figure de droite. Elle est comprise entre les deux droites d'équations x = 0 et x = τ, puis entre la droite y = 0 et la fonction dont l'équation est sous l'intégrale. Sans disposer des outils puissants de l'analyse, il est possible de calculer cette aire. On la découpe en trois zones, la jaune, la bleue et la vert clair. La zone jaune correspond à un demi-carré de côté 1, la bleue à un demi-carré de côté τ. Déterminons la surface vf du triangle vert foncé. Pour cela, il suffit de calculer la longueur de sa diagonale vd : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{d}={\sqrt {2+\tau ^{2}}}-\tau \quad {\text{et}}\quad v_{f}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {2+\tau ^{2}}}-\tau \right)^{2}={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}+1).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mi>τ</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>et</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mi>τ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{d}={\sqrt {2+\tau ^{2}}}-\tau \quad {\text{et}}\quad v_{f}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {2+\tau ^{2}}}-\tau \right)^{2}={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}+1).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d545192773b7167da16a9c4c1b3febad09caa63a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:75.002ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle v_{d}={\sqrt {2+\tau ^{2}}}-\tau \quad {\text{et}}\quad v_{f}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {2+\tau ^{2}}}-\tau \right)^{2}={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}+1).}"></center> Il reste encore à déterminer l'aire de la zone vert clair vc, elle est égale à la différence entre l'aire de zone verte v et de la zone vert foncé. La zone verte correspond au <a href="/wiki/Logarithme_n%C3%A9p%C3%A9rien" title="Logarithme népérien">logarithme</a> de la distance qui sépare l'origine du sommet du triangle vert foncé le plus éloigné, on trouve : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=\ln \left({\sqrt {2}}\tau +{\frac {\sqrt {2}}{2}}v_{d}\right)=\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mi>τ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>τ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\ln \left({\sqrt {2}}\tau +{\frac {\sqrt {2}}{2}}v_{d}\right)=\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9970eb9fac3f4ed77b337a17be58bfc94e6d9f80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:52.61ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle v=\ln \left({\sqrt {2}}\tau +{\frac {\sqrt {2}}{2}}v_{d}\right)=\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}.}"></center> On en déduit : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{c}=v-v_{f}=\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}-{\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}+1),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>τ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{c}=v-v_{f}=\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}-{\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}+1),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa5490b61a690944bba0cb032e1ba7db85ecf2b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:66.775ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v_{c}=v-v_{f}=\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}-{\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}+1),}"></center> ce qui montre que, si √2μ = τ : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\left({\frac {\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}}{2}}+\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}\right)={\frac {1}{4a}}\left(\mu {\sqrt {\mu ^{2}+1}}+\ln(\mu +{\sqrt {\mu ^{2}+1}})\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>τ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\left({\frac {\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}}{2}}+\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}\right)={\frac {1}{4a}}\left(\mu {\sqrt {\mu ^{2}+1}}+\ln(\mu +{\sqrt {\mu ^{2}+1}})\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccf43e7d59de700440d223e0ca8f38775e2d281" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:93.5ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle L_{0}={\frac {1}{4a}}\left({\frac {\tau {\sqrt {2+\tau ^{2}}}}{2}}+\ln \left(\tau +{\sqrt {2+\tau ^{2}}}\right)-{\frac {\ln(2)}{2}}\right)={\frac {1}{4a}}\left(\mu {\sqrt {\mu ^{2}+1}}+\ln(\mu +{\sqrt {\mu ^{2}+1}})\right).}"></center> <ul><li>Rectification de la cycloïde :</li></ul> Un paramétrage usuel de la cycloïde de rayon a est le suivant : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(\theta )=a(\theta -\sin \theta )\quad {\text{et}}\quad y(\theta )=a(1-\cos \theta ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>et</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(\theta )=a(\theta -\sin \theta )\quad {\text{et}}\quad y(\theta )=a(1-\cos \theta ).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abdba91f4c249ccfc847281038cafbe8b5f7c30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(\theta )=a(\theta -\sin \theta )\quad {\text{et}}\quad y(\theta )=a(1-\cos \theta ).}"></center> Ce paramétrage permet le calcul de la norme de la dérivée : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=a(1-\cos \theta ),\;{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=a\sin \theta \quad {\text{et}}\quad \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}=a^{2}(2-2\cos(\theta ))=4a^{2}\left(1-\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)=4a^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>et</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>θ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>θ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=a(1-\cos \theta ),\;{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=a\sin \theta \quad {\text{et}}\quad \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}=a^{2}(2-2\cos(\theta ))=4a^{2}\left(1-\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)=4a^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ea5ef28def4ccdf3b4e686e34dc064d18043db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:110.852ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=a(1-\cos \theta ),\;{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=a\sin \theta \quad {\text{et}}\quad \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}=a^{2}(2-2\cos(\theta ))=4a^{2}\left(1-\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)=4a^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}"></center> La longueur recherchée est : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }2a\left|\sin {\frac {\theta }{2}}\right|\mathrm {d} \theta =4a\int _{0}^{\pi }\sin \mu \mathrm {d} \mu =8a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>θ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }2a\left|\sin {\frac {\theta }{2}}\right|\mathrm {d} \theta =4a\int _{0}^{\pi }\sin \mu \mathrm {d} \mu =8a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b436845c262dd677b6394f100f12e3ae5e69ee76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:44.992ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }2a\left|\sin {\frac {\theta }{2}}\right|\mathrm {d} \theta =4a\int _{0}^{\pi }\sin \mu \mathrm {d} \mu =8a.}"></center> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Géométrie_différentielle">Géométrie différentielle</h2>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Géométrie différentielle" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Géométrie différentielle">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Principe_de_Fermat">Principe de Fermat</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Principe de Fermat" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Principe de Fermat">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Principe_de_Fermat" title="Principe de Fermat">Principe de Fermat</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Loi_de_Descartes.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Loi_de_Descartes.gif/220px-Loi_de_Descartes.gif" decoding="async" width="220" height="253" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Loi_de_Descartes.gif 1.5x" data-file-width="269" data-file-height="309" /></a><figcaption>Le maître nageur, situé sur une plage en A1, doit éviter une noyade située en A2 dans la mer. Il doit pour cela trouver le point M tel que le chemin le plus rapide pour lui soit composé du segment A1M puis MA2, dépendant du rapport de sa vitesse sur la plage et celle dans l'eau.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Longueur_d%27un_arc_optique.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Longueur_d%27un_arc_optique.jpg/220px-Longueur_d%27un_arc_optique.jpg" decoding="async" width="220" height="210" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Longueur_d%27un_arc_optique.jpg 1.5x" data-file-width="250" data-file-height="239" /></a><figcaption>Les <a href="/wiki/Lois_de_Snell-Descartes" title="Lois de Snell-Descartes">lois de Descartes</a> peuvent se lire comme l'ajout d'un nouvel <a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">espace métrique</a>.</figcaption></figure> <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a> est un des précurseurs du <a href="/wiki/Calcul_diff%C3%A9rentiel" title="Calcul différentiel">calcul différentiel</a>, avant Leibniz et Newton. Il propose une interprétation des <a href="/wiki/Lois_de_Snell-Descartes" title="Lois de Snell-Descartes">lois de Snell-Descartes</a> dans une lettre de 1662 et adressée à Marin Cureau de la Chambre en énonçant un principe très général : « la nature agit toujours par les voies les plus courtes<a href="#cite_note-14">[14]</a> » qui implique les règles de propagation de la lumière pour l'<a href="/wiki/Optique_g%C3%A9om%C3%A9trique" title="Optique géométrique">optique géométrique</a>. L'intuition de Fermat est exacte. La <a href="/wiki/Vitesse_de_la_lumi%C3%A8re" title="Vitesse de la lumière">vitesse de la lumière</a> est plus lente dans l'eau ou dans du verre que dans le vide ou dans l'air. La trajectoire de la lumière est en conséquence fonction du rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux. Il est possible d'illustrer ce principe par le problème dit du maître nageur, représenté sur la figure de gauche. Un maître nageur, situé au point A1 doit éviter une noyade en A2. Pour être le plus rapide possible, le maître-nageur doit trouver le point M situé à la frontière entre la plage et la mer tel que courir de A1 à M, puis nager de M à A2, soit le trajet le plus rapide. Comme il court plus vite qu'il ne nage, le point M se trouve nécessairement plus proche de A2 que le point du segment A1A2 à la frontière de la plage et de la mer. Une autre manière de modéliser cette question est d'équiper l'espace d'une nouvelle distance d2, associée à la vitesse de déplacement de la lumière ou de celle du maître-nageur. La distance entre deux points est donnée par le temps nécessaire pour aller d'un point à un autre. Si C est un arc géométrique de paramétrage (I, f), et nA le rapport entre la vitesse du maitre nageur sur la plage et celle au point A, la longueur de l'arc C s'exprime par : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{C}=\int _{I}n_{f(t)}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\;\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{C}=\int _{I}n_{f(t)}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\;\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b49fc8a753ac11b2444de307c78a49d48693db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.238ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle L_{C}=\int _{I}n_{f(t)}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\;\mathrm {d} t.}"></center> C'est maintenant la longueur d'un arc qui permet de définir la distance d2 : la distance entre deux points est la plus petite longueur d'un arc reliant ces deux points. La figure de droite illustre la géométrie de l'espace, vue avec les deux distances. L'espace équipé de la distance d2 est illustré en haut. Les trajectoires les plus courtes pour le maitre nageur sont les droites représentées en vert, et les points à égale distance de sa position sont les arcs de cercle, en rouge sur la plage et en bleu dans la mer. Cette même figure est reproduite sur la figure du bas, cette fois avec la distance usuelle. Comme le maître nageur est moins rapide dans l'eau, les portions de cercles dans la mer sont écrasées. Ce tassement déforme les portions de droites vertes qui se trouvent dans l'eau. Les angles obtenus, entre un segment vert sur la plage et son prolongement dans l'eau, suivent les lois de Descartes<a href="#cite_note-15">[15]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Principe_de_moindre_action">Principe de moindre action</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Principe de moindre action" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Principe de moindre action">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Principe_de_moindre_action" title="Principe de moindre action">Principe de moindre action</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Longueur_d%27un_arc_Brachistochrone.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Longueur_d%27un_arc_Brachistochrone.jpg/220px-Longueur_d%27un_arc_Brachistochrone.jpg" decoding="async" width="220" height="136" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Longueur_d%27un_arc_Brachistochrone.jpg 1.5x" data-file-width="300" data-file-height="185" /></a><figcaption>En <a href="/wiki/M%C3%A9canique_du_point" title="Mécanique du point">mécanique</a>, le <a href="/wiki/Principe_de_Fermat" title="Principe de Fermat">principe de Fermat</a> porte souvent le nom de <a href="/wiki/Principe_de_moindre_action" title="Principe de moindre action">principe de moindre action</a>. Il est illustré ici pour la résolution du problème <a href="/wiki/Brachistochrone" class="mw-redirect" title="Brachistochrone">brachistochrone</a>.</figcaption></figure> L'expression utilisée par Fermat pour décrire son principe est habile. Rien n'indique, dans sa formulation, qu'il est limité à l'optique géométrique. L'avenir lui donne raison. Une question, déjà abordée par <a href="/wiki/Galileo_Galilei" class="mw-redirect" title="Galileo Galilei">Galilée</a> sans succès en 1638<a href="#cite_note-16">[16]</a>, consiste à trouver la courbe que doit emprunter un point matériel glissant sans frottement pour aller le plus rapidement possible d'un point A à un point B. Le point B est supposé se trouver à une altitude inférieure ou égale à celle du point A pour que la question ait une solution. Cette question porte le nom de problème <a href="/wiki/Brachistochrone" class="mw-redirect" title="Brachistochrone">brachistochrone</a>. Elle est remise à l'honneur par <a href="/wiki/Jean_Bernoulli" title="Jean Bernoulli">Jean Bernoulli</a> en 1696 et posée comme défi aux lecteurs du journal <a href="/wiki/Acta_Eruditorum" title="Acta Eruditorum">Acta Eruditorum</a><a href="#cite_note-17">[17]</a>. Une solution consiste encore à appliquer le principe de Fermat. Si la distance entre deux points A et B est mesurée par le temps nécessaire pour aller du plus haut au plus bas, l'espace est cette fois dilaté de manière parabolique sur l'axe vertical. En effet, si on appelle 1 la longueur parcourue verticalement en 1 unité de temps, la longueur parcourue verticalement en 2 unités de temps est de 4, puis celle parcourue en 3 est de 9, etc. Résoudre le problème brachistrochrone revient à trouver les lois de passage entre l'espace mesuré par la vitesse du point matériel et celui mesuré de la manière usuelle. La réponse est illustrée sur la figure de droite. Comme précédemment la figure du dessus représente l'espace mesurée à l'aide de la distance d2, correspondant à la vitesse du point matériel. On considère les trajectoires, vues avec la distance d2 comme des demi-droites issues d'un même point, où la vitesse du point est initialement nulle. Ces demi-droites sont régulièrement espacées d'un angle de π/8 sur la figure. En rouge sont indiquées les positions possibles du point au bout d'un temps fixe et régulier, 1, 2, 3 et 4 secondes. Les courbes rouges correspondent à ce que l'on appelle usuellement des demi-cercles. Cette même figure, vue avec la distance usuelle est illustrée sous la première. Elle est un peu plus difficile à lire que celle correspondant à la géométrie précédente. Le plus simple est de commencer par la ligne verte numérotée 1. Elle correspond à un déplacement horizontal. Comme le point matériel possède une vitesse initiale nulle, son déplacement est nul et la droite est transformé en un point, noté 1 sur la figure du bas. La trajectoire noire correspond à une courbe dont la tangente initiale est verticale. Il n'existe pas une courbe possible, mais une infinité, dont deux sont illustrées sur la figure du bas, en noir. Ces courbes correspondent à des arches complètes de <a href="/wiki/Cyclo%C3%AFde" title="Cycloïde">cycloïde</a>. Toute arche de cycloïde de point initial celui de la figure correspond à une droite de tangente initiale verticale avec la distance d2. Cette situation est analogue pour l'image de toutes les demi-droites vertes de la figure supérieure. Ainsi, la demi-droite numéroté 2 correspond à une portion de cycloïde illustrée sur la partie basse de la figure, et toute homothétie de cette portion de cycloïde correspond aussi à une image de la demi-droite 2. La technique utilisée pour résoudre le problème brachistochrone est de même nature que celle du paragraphe précédent en optique. On cherche l'arc le plus court pour une <a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">distance</a> bien choisie. Le principe de Fermat prend parfois le nom de principe de moindre action, que <a href="/wiki/Pierre_Louis_Moreau_de_Maupertuis" title="Pierre Louis Moreau de Maupertuis">Maupertuis</a> redécouvre et énonce ainsi : « L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible<a href="#cite_note-18">[18]</a>. » <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Variété_riemannienne">Variété riemannienne</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Variété riemannienne" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Variété riemannienne">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne" title="Variété riemannienne">Variété riemannienne</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:PseudoSphere.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/PseudoSphere.jpg/220px-PseudoSphere.jpg" decoding="async" width="220" height="248" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/PseudoSphere.jpg/330px-PseudoSphere.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/PseudoSphere.jpg/440px-PseudoSphere.jpg 2x" data-file-width="814" data-file-height="917" /></a><figcaption>La définition de <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Riemann</a> de la longueur d'un arc est le fondement d'une nouvelle manière de définir la <a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">distance</a>.</figcaption></figure> Dans l'exemple du problème brachistochrone, l'équivalent de l'indice de réfraction correspond un facteur de compression de l'espace, à l'image de l'exemple d'optique. Comme ici l'espace a plutôt tendance à se dilater, l'indice est rapidement compris entre 0 et 1. Il est précisément égal à (2gh)-1/2 si h est l'altitude, comptée négativement. Pour résoudre l'équation différentielle de Newton, indiquant la trajectoire des planètes, la même méthode s'applique avec un coefficient cette fois ci, égal à a/h. Les calculs sont un peu plus simples et les arches de cycloïdes sont transformées en demi-cercles. <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Saddle_point.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Saddle_point.png/220px-Saddle_point.png" decoding="async" width="220" height="183" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Saddle_point.png/330px-Saddle_point.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Saddle_point.png/440px-Saddle_point.png 2x" data-file-width="978" data-file-height="813" /></a><figcaption>Une surface ayant en un point une <a href="/wiki/Courbure" title="Courbure">courbure</a> négative, ressemble localement à une selle de cheval.</figcaption></figure> Si <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a>, un élève de <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a>, s'intéresse suffisamment à cette question pour en faire son sujet de thèse<a href="#cite_note-19">[19]</a>, ce n'est pas pour proposer une nouvelle méthode de résolution d'une célèbre <a href="/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle" title="Équation différentielle">équation différentielle</a>, mais pour mieux comprendre la géométrie. Si l'on retire les points d'altitude 0 (un point d'altitude 0 est en effet à une distance non nulle de lui-même, ce qui ne fait guère sens), on obtient un espace métrique. Pour définir cette métrique, on commence par une nouvelle définition de la longueur LC d'un arc C de l'espace G qui, s'il est paramétré par (I, f) vaut dans le cas particulier étudié : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{C}=\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\quad {\text{avec}}\quad \forall p\in G,\;\forall u\in {\mathcal {T}}_{p}\quad \|p\|=n_{p}\|u\|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>avec</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>p</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>u</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>p</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>u</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{C}=\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\quad {\text{avec}}\quad \forall p\in G,\;\forall u\in {\mathcal {T}}_{p}\quad \|p\|=n_{p}\|u\|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b90f89abe5b7ae54c3ef2e1a1a896d60eedb3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:57.876ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle L_{C}=\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\quad {\text{avec}}\quad \forall p\in G,\;\forall u\in {\mathcal {T}}_{p}\quad \|p\|=n_{p}\|u\|}"></center> Chaque point p de G possède un <a href="/wiki/Espace_tangent" title="Espace tangent">espace tangent</a> Tp, muni d'un <a href="/wiki/Produit_scalaire" title="Produit scalaire">produit scalaire</a> et donc d'une norme. Dans le cas particulier du paragraphe, la norme est celle du plan, que multiplie le facteur de compression np proportionnel à l'inverse de l'altitude de p. La définition de la longueur d'un arc permet ensuite de définir la distance entre deux points. Elle est égale à la longueur du plus petit arc reliant ces deux points. Qualitativement, l'espace que l'on vient de définir ressemble un peu à la figure de droite. Le formalisme de Riemann, consistant à d'abord définir la longueur d'un arc puis la distance, est finalement très puissant. Il permet de définir un large ensemble de géométries, dans lequel les concepts classiques comme les droites (qui prennent le nom de <a href="/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sique" title="Géodésique">géodésiques</a>), les cercles ou les <a href="/wiki/Courbure" title="Courbure">courbures</a> s'étendent. Cette méthode permet de définir des <a href="/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Surface (géométrie)">surfaces</a> qui n'existent pas en dimension 3. Celle considérée dans ce paragraphe possède une courbure constante négative. La courbure en un point p correspond au produit des deux courbures les plus extrêmes que peuvent prendre les arcs paramétrés à l'aide d'une <a href="/wiki/Abscisse_curviligne" title="Abscisse curviligne">abscisse curviligne</a> au point p. Si les deux <a href="/wiki/Cercle_osculateur" title="Cercle osculateur">cercles osculateurs</a> se trouvent sur un <a href="/wiki/Ellipso%C3%AFde" title="Ellipsoïde">ellipsoïde</a>, on parle de courbure positive. s'ils se trouvent sur une selle de cheval, on parle de courbure négative. Aucune surface en dimension 3 ne possède de courbure négative constante, raison pour laquelle la géométrie décrite dans ce paragraphe n'est pas exactement celle de la figure de droite<a href="#cite_note-20">[20]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Calcul_des_variations">Calcul des variations</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Calcul des variations" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Calcul des variations">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Calcul_des_variations" title="Calcul des variations">Calcul des variations</a>.</div></div> Les trois paragraphes précédents ont un point commun, pour être opérationnel, ils nécessitent la capacité de trouver le plus court chemin entre deux points d'une surface ou d'une géométrie particulière, ce qui n'est pas, en général, une question facile. <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Tangentialvektor.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Tangentialvektor.svg/220px-Tangentialvektor.svg.png" decoding="async" width="220" height="151" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Tangentialvektor.svg/330px-Tangentialvektor.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Tangentialvektor.svg/440px-Tangentialvektor.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="440" /></a><figcaption>Un optimum possède un <a href="/wiki/Gradient" title="Gradient">gradient</a> nul.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Calcul-des-variations.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Calcul-des-variations.jpg" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a><figcaption>L'<a href="/wiki/%C3%89quation_d%27Euler-Lagrange" title="Équation d'Euler-Lagrange">équation d'Euler-Lagrange</a> détermine le <a href="/wiki/Gradient" title="Gradient">gradient</a> qui, à un espace de courbes associe sa longueur.</figcaption></figure> La méthode la plus fructueuse s'apparente à celle de la géométrie différentielle. En dimension finie, et sous les bonnes hypothèses, un point optimal possède une approximation linéaire tangente plate, illustrée sur la figure de gauche. En terme mathématiques, cela signifie que le <a href="/wiki/Gradient" title="Gradient">gradient</a> de la fonction à optimiser est nul sur un point extrémal. C'est une méthode de cette nature qu'utilise Bernoulli pour résoudre le problème brachistochrone. Elle est illustrée sur la figure de droite, une petite variation autour du chemin optimal ne change pas sa longueur, au premier ordre. Ainsi le chemin proche de l'optimal, illustré en vert, est au premier ordre, de même longueur que la courbe optimale, illustrée en gris. <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> affine la méthode et propose une première démonstration de la résolution du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique" title="Théorème isopérimétrique">problème isopérimétrique</a><a href="#cite_note-21">[21]</a> consistant à trouver l'arc fermé d'une longueur donnée et enserrant une surface de plus grande aire possible. (La démonstration d'Euler est proposée dans l'article <a href="/wiki/Multiplicateur_de_Lagrange" title="Multiplicateur de Lagrange">Multiplicateur de Lagrange</a>.) En 1755, <a href="/wiki/Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Lagrange</a> écrit une lettre à Euler. Elle porte sur le calcul de la <a href="/wiki/Courbe_tautochrone" title="Courbe tautochrone">courbe tautochrone</a>, correspondant à une question analogue au problème brachistochrone<a href="#cite_note-22">[22]</a>. Cette correspondance est le début d'un long travail commun et permet d'établir l'<a href="/wiki/%C3%89quation_d%27Euler-Lagrange" title="Équation d'Euler-Lagrange">équation d'Euler-Lagrange</a>, une méthode très générale pour trouver les géodésiques. Si l'équation d'Euler-Lagrange est suffisante pour résoudre le problème tautochrone, il est parfois nécessaire de l'enrichir, par exemple pour trouver la courbe de la <a href="/wiki/Cha%C3%AEnette" title="Chaînette">chaînette</a>, c'est-à-dire la position qu'occupe au repos un câble de densité linéaire (les physiciens emploient l'expression <a href="/wiki/Masse_lin%C3%A9ique" title="Masse linéique">masse linéique</a>) constante, soumis à la gravité. La méthode est enrichie par celle du <a href="/wiki/Multiplicateur_de_Lagrange" title="Multiplicateur de Lagrange">multiplicateur de Lagrange</a>. Les mathématiques du <abbr class="abbr" title="18ᵉ siècle">XVIIIe</abbr> siècle sont encore insuffisantes pour démontrer rigoureusement la pertinence des calculs d'Euler et de Lagrange. Leur connaissance en <a href="/wiki/Analyse_fonctionnelle_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse fonctionnelle (mathématiques)">analyse fonctionnelle</a> est encore bien trop limitée. Ces méthodes, qui prennent le nom de calcul des variations, deviennent vraiment rigoureuses sous l'influence de <a href="/wiki/Karl_Weierstrass" title="Karl Weierstrass">Karl Weierstrass</a> au <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle et surtout les travaux de <a href="/wiki/Stefan_Banach" title="Stefan Banach">Banach</a> et <a href="/wiki/Sergue%C3%AF_Sobolev" title="Sergueï Sobolev">Sobolev</a> au <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espace_de_Sobolev">Espace de Sobolev</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Espace de Sobolev" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Espace de Sobolev">modifier le code</a>]</div> Posons la question en termes flous : deux courbes « proches » ont-elles des longueurs voisines ? Voici un exemple négatif. On prend le graphe de la fonction constante égale à 0 sur [0, 1]. Celui-ci est de longueur 1. On fabrique facilement une suite de fonctions continues sur [0, 1], rectifiables, qui <a href="/wiki/Convergence_uniforme" title="Convergence uniforme">converge uniformément</a> vers f et dont la longueur ne converge pas vers 1. Par exemple : f1 est une fonction <a href="/wiki/Triangle" title="Triangle">triangle</a> avec des pentes 1 sur [0, 1/2] et –1 sur [1/2, 1]. Puis f2 est une fonction formée de deux triangles, avec des pentes 1 sur [0, 1/4], –1 sur [1/4, 1/2], 1 sur [1/2, 3/4], –1 sur [3/4, 1], et ainsi de suite (4,8,16 triangles…). Chacune des fonctions fn a un graphe de longueur √2, et par ailleurs il y a bien convergence uniforme vers f. Pour obtenir des résultats de continuité pour l'application « longueur », il ne faut donc pas travailler avec la norme de la convergence uniforme. Il faudrait plutôt une norme du type de celles des <a href="/wiki/Espace_de_Sobolev" title="Espace de Sobolev">espaces de Sobolev</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition_de_Jordan">Définition de Jordan</h2>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Définition de Jordan" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Définition de Jordan">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Motivation">Motivation</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Motivation" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Motivation">modifier le code</a>]</div> Pendant 150 ans, la définition du <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle remplit les besoins des mathématiciens, au besoin avec la généralisation de Riemann. Encore maintenant, il n'est pas rare qu'elle soit utilisée<a href="#cite_note-23">[23]</a> quand le sujet se limite à de la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle" title="Géométrie différentielle">géométrie différentielle</a>. Durant la deuxième moitié du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle, de nouvelles questions imposent une approche plus générale. Les courbes étudiées ne possèdent plus systématiquement une origine spécifiquement mécanique ou <a href="/wiki/Cin%C3%A9matique" title="Cinématique">cinématique</a> mais proviennent aussi d'autres branches des mathématiques. <a href="/wiki/Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Giuseppe Peano</a> découvre<a href="#cite_note-24">[24]</a> la <a href="/wiki/Courbe_de_Peano" title="Courbe de Peano">courbe qui porte maintenant son nom</a> et qui recouvre intégralement la surface d'un carré de côté 1. <a href="/wiki/Hermann_Minkowski" title="Hermann Minkowski">Hermann Minkowski</a> utilise des convexes pour résoudre des questions de <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres" title="Théorie algébrique des nombres">théorie algébrique des nombres</a><a href="#cite_note-25">[25]</a>. Les <a href="/wiki/Fronti%C3%A8re_(topologie)" title="Frontière (topologie)">frontières</a> de ces convexes, s'ils sont dans un plan euclidien, peuvent parfois être paramétrées comme des arcs. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Arclength.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Arclength.svg/220px-Arclength.svg.png" decoding="async" width="220" height="57" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Arclength.svg/330px-Arclength.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Arclength.svg/440px-Arclength.svg.png 2x" data-file-width="582" data-file-height="152" /></a><figcaption>Il est possible d'approximer aussi précisément que souhaité la longueur d'un arc par une ligne polygonale, si cette longueur est finie.</figcaption></figure> <a href="/wiki/Camille_Jordan_(math%C3%A9maticien)" title="Camille Jordan (mathématicien)">Camille Jordan</a> est un précurseur dans l'étude des courbes du plan euclidien ayant une autre origine que cinématique. Il essaie de résoudre certaines questions apparemment anodines comme celle du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Jordan" title="Théorème de Jordan">théorème portant son nom</a>, ce résultat traite d'une courbe fermée et simple. Fermée signifie que l'image des extrémités du segment de définition sont confondues et simple que l'unique point double est l'extrémité. Une telle courbe sépare le plan en deux parties <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexes</a>, l'intérieur et l'extérieur de la courbe. Pour supporter un tel développement, il est nécessaire de ne pas se limiter aux arcs géométriques de classe C1. Jordan propose une nouvelle définition de la longueur<a href="#cite_note-26">[26]</a> fondée sur une démarche plus proche de celle d'Archimède que des analystes du <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle. Une méthode intuitive pour comprendre sa logique consiste à poser une corde le plus précisément possible sur l'arc que l'on désire mesurer. Pour pouvoir aisément calculer la longueur de la corde, on lui impose de suivre un trajet polygonal. On punaise les sommets de la corde sur l'arc étudié, de telle manière à ce que les punaises se succèdent, comme sur la figure de droite. En ajoutant de plus en plus de punaises, on impose à la corde de suivre de plus en plus précisément l'arc. Une fois accrochée une infinité de punaises régulièrement espacées on obtient la longueur recherchée. Si cette approche possède l'avantage d'être pertinente, même dans le cas d'un arc non dérivable, donner un sens rigoureux à l'idée d'une infinité de punaises régulièrement espacées serait un peu délicat. Jordan propose plutôt la borne supérieure des longueurs des différentes cordes imaginables, attachées avec un nombre fini de punaises. Cette démarche allie la rigueur avec une généralisation de la longueur aux arcs non nécessairement dérivables. Par delà le fait de pouvoir traiter des courbes non dérivables, de nouvelles méthodes deviennent utilisables qui ne l'étaient pas avec la définition précédente. Un exemple est donné avec le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique" title="Théorème isopérimétrique">théorème isopérimétrique</a>. Ce théorème stipule que toute surface possède une aire plus petite que celle du disque de même périmètre. Certaines démonstrations, présentées dans l'article sur cette question, nécessitent la définition de longueur au sens de Jordan. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Approche_formelle">Approche formelle</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Approche formelle" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Approche formelle">modifier le code</a>]</div> L'ensemble d'arrivée n'est maintenant plus nécessairement euclidien, (E, d) désigne dans ce paragraphe un <a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">espace métrique</a> et I toujours un intervalle de ℝ. Le couple (I, f) est un arc, c'est-à-dire une fonction continue de I dans E. La logique suivie pour la définition est proche de celle utilisée pour l'<a href="/wiki/Int%C3%A9grale_de_Riemann" title="Intégrale de Riemann">intégrale de Riemann</a>. Soit S une suite finie a0, … , an strictement croissante d'éléments de I. Une telle suite est appelée une <a href="/wiki/Subdivision_d%27un_intervalle" title="Subdivision d'un intervalle">subdivision</a> de l'intervalle [a0, an] de I. À la suite S on peut associer la longueur L(S), définie par : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(S)=\sum _{i=1}^{n}d\left(f(a_{i-1}),f(a_{i})\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(S)=\sum _{i=1}^{n}d\left(f(a_{i-1}),f(a_{i})\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7688d737a46823ccb5ed6153c6d4be893b55232" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:29.547ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle L(S)=\sum _{i=1}^{n}d\left(f(a_{i-1}),f(a_{i})\right).}"></center> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Von_koch_6_etapes.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Von_koch_6_etapes.svg/220px-Von_koch_6_etapes.svg.png" decoding="async" width="220" height="64" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Von_koch_6_etapes.svg/330px-Von_koch_6_etapes.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Von_koch_6_etapes.svg/440px-Von_koch_6_etapes.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="174" /></a><figcaption>Un arc n'est pas toujours rectifiable, cette figure illustre un contre-exemple.</figcaption></figure> La valeur L(S) est appelée ici longueur de la ligne polygonale de sommets les images de la suite S par f. L'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_triangulaire" title="Inégalité triangulaire">inégalité triangulaire</a> impose de définir la longueur de l'arc C comme supérieure à celle d'une ligne polygonale associée à une subdivision d'un intervalle de I. La ligne droite que suit la ligne polygonale entre deux sommets consécutifs est en effet le chemin le plus rapide entre ces deux points et passer par la courbe C est nécessairement plus long. En revanche, si la subdivision est très fine, on peut espérer obtenir une bonne approximation de la longueur de C, ce qui justifie la définition suivante : <dl><dd><ul><li>La longueur de l'arc C est la <a href="/wiki/Fonction_%C3%A0_variation_born%C3%A9e" title="Fonction à variation bornée">variation totale</a> de f, c'est-à-dire la borne supérieure de l'ensemble des longueurs des lignes polygonales de sommets les images d'une subdivision d'un intervalle de I<a href="#cite_note-27">[27]</a>.</li></ul></dd></dl> Une telle définition n'impose pas à la longueur d'être finie. Par exemple une droite est de longueur infinie. Des contre-exemples moins triviaux sont donnés par la figure de droite ou encore la <a href="/wiki/Courbe_de_Peano" title="Courbe de Peano">courbe de Peano</a>, qui est continue mais nulle part dérivable, et dont l'image du segment [0,1] est l'ensemble des points d'un carré de côté 1. Ceci donne lieu à la définition suivante : <dl><dd><ul><li>Un arc est dit rectifiable si sa longueur est finie.</li></ul></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propriétés">Propriétés</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Propriétés" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Propriétés">modifier le code</a>]</div> <ul><li>La longueur d'un arc géométrique est supérieure à la distance qui sépare les extrémités, si elles existent. Cette proposition n'est que la généralisation de l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_triangulaire" title="Inégalité triangulaire">inégalité triangulaire</a>. Dans un espace euclidien, la trajectoire la plus courte entre deux points est le segment de droite. Tout support d'arc géométrique d'extrémités ces deux points est nécessairement plus long. Cette proposition n'a d'intérêt que si les deux extrémités ne sont pas confondues, comme pour le cercle.</li> <li>La longueur de deux supports géométriques d'arcs qui partagent une extrémité est la somme des longueurs des deux supports. Cette proposition est encore très intuitive. Suivre une route qui va de A à B, puis continuer jusqu'à un point C représente la même longueur que suivre la même route pour aller de A à C.</li> <li>Si l'ensemble d'arrivée est un <a href="/wiki/Espace_affine" title="Espace affine">espace affine</a>, muni d'une distance issue d'une <a href="/wiki/Norme_(math%C3%A9matiques)" title="Norme (mathématiques)">norme</a>, alors une <a href="/wiki/Homoth%C3%A9tie" title="Homothétie">homothétie</a> d'un rapport k, appliquée à un arc géométrique, accroit la longueur de l'arc d'un rapport k.</li></ul> Une dernière propriété est utile pour assurer la cohérence de la définition de longueur. Ici E désigne à nouveau un espace euclidien : <ul><li>Soit (I, f) un arc paramétré de classe C1 rectifiable. L'intégrale de la norme de la dérivée de f sur l'intervalle I est convergente et la longueur L de l'arc (I, f) au sens de Jordan est égale à celle définie par l'intégrale de la norme de sa dérivée.</li></ul> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce036771bdbb51edb50a1607d07cb7f06ad8aa00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.32ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t.}"></center> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstrations</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <dl><dd><ul><li>L'intégrale de la norme de la dérivée de f sur l'intervalle I est convergente et la longueur L de l'arc (I, f) au sens de Jordan est égale à celle définie par l'intégrale de la norme de sa dérivée<a href="#cite_note-28">[28]</a> :</li></ul></dd></dl> Soit ε un réel strictement positif. Le fait que l'arc soit rectifiable se traduit par l'existence d'un découpage de I : a0, …, an tel que la longueur de la ligne polygonale des images par f approxime L, la longueur de l'arc à ε/3 près. Ces hypothèses se traduisent par la majoration : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1)\quad L-\sum _{i=1}^{n}\left\|f(a_{i-1})-f(a_{i})\right\|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>ϵ</mi> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1)\quad L-\sum _{i=1}^{n}\left\|f(a_{i-1})-f(a_{i})\right\|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75536834ceabb149ba80bb8cbb7648198f273a89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.704ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle (1)\quad L-\sum _{i=1}^{n}\left\|f(a_{i-1})-f(a_{i})\right\|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}"></center> Sur le segment [a0, an], la dérivée de f est une fonction <a href="/wiki/Continuit%C3%A9_uniforme" title="Continuité uniforme">uniformément continue</a>. On en déduit que, quitte à affiner le découpage choisi : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall i\in [1,n],\;\forall x\in [a_{i-1},a_{i}]\quad \left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)\right\|\ \leq {\frac {\epsilon }{3(a_{n}-a_{0})}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>ϵ</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall i\in [1,n],\;\forall x\in [a_{i-1},a_{i}]\quad \left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)\right\|\ \leq {\frac {\epsilon }{3(a_{n}-a_{0})}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0bb055fec974189ec69cdf68799ab610464fdb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:65.413ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \forall i\in [1,n],\;\forall x\in [a_{i-1},a_{i}]\quad \left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)\right\|\ \leq {\frac {\epsilon }{3(a_{n}-a_{0})}}.}"></center> Ceci montre que, d'après l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_des_accroissements_finis_pour_les_fonctions_%C3%A0_valeurs_vectorielles" class="mw-redirect" title="Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles">inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles</a> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall i\in [1,n-1]\quad \|f(a_{i})-f(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})(a_{i}-a_{i-1})\|\leq {\frac {\epsilon (a_{i}-a_{i-1})}{3(a_{n}-a_{0})}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="1em" /> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall i\in [1,n-1]\quad \|f(a_{i})-f(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})(a_{i}-a_{i-1})\|\leq {\frac {\epsilon (a_{i}-a_{i-1})}{3(a_{n}-a_{0})}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083b4e1c4588250e823a8de25c0f1c80d91a289d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:73.028ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \forall i\in [1,n-1]\quad \|f(a_{i})-f(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})(a_{i}-a_{i-1})\|\leq {\frac {\epsilon (a_{i}-a_{i-1})}{3(a_{n}-a_{0})}}.}"></center> En sommant ces n – 1 majorations, on obtient : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2)\quad \left|\sum _{i=1}^{n}\|f(a_{i})-f(a_{i-1})\|-\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|f(a_{i})-f(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})(a_{i}-a_{i-1})\right\|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>ϵ</mi> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2)\quad \left|\sum _{i=1}^{n}\|f(a_{i})-f(a_{i-1})\|-\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|f(a_{i})-f(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})(a_{i}-a_{i-1})\right\|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e528cd878e34ab1c741043073422e74edd871d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:107.109ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle (2)\quad \left|\sum _{i=1}^{n}\|f(a_{i})-f(a_{i-1})\|-\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|f(a_{i})-f(a_{i-1})-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})(a_{i}-a_{i-1})\right\|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}"></center> En combinant les majorations (1) et (2), on obtient : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})\leq L+{\frac {2\epsilon }{3}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>ϵ</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})\leq L+{\frac {2\epsilon }{3}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f164849caae0c8aca20dd99c18e7c17c3dde5986" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:37.772ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})\leq L+{\frac {2\epsilon }{3}}.}"></center> La dernière majoration est vraie pour tout découpage de I suffisamment fin. Ce qui indique que l'<a href="/wiki/Int%C3%A9grale_impropre" title="Intégrale impropre">intégrale impropre</a> de la norme de la dérivée de f entre a et b est convergente. Autrement dit, quitte à encore affiner le découpage, on dispose aussi de la troisième majoration : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (3)\quad \left|\sum _{i=1}^{n}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})-\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>ϵ</mi> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (3)\quad \left|\sum _{i=1}^{n}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})-\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bb173ad318a305177c9d79cdbe7a439c18a09e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:53.161ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle (3)\quad \left|\sum _{i=1}^{n}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}(a_{i-1})\right\|(a_{i}-a_{i-1})-\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {\epsilon }{3}}.}"></center> En sommant les trois majorations (1), (2) et (3), on obtient : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|L-\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\right|\leq \epsilon .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>ϵ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|L-\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\right|\leq \epsilon .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3094d11ce2e0fa9be15123398ddf3cd22f930d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.398ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \left|L-\int _{I}\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|\mathrm {d} t\right|\leq \epsilon .}"></center> La dernière majoration étant vraie pour tout ε strictement positif, l'égalité entre la longueur de l'arc et l'intégrale est bien vérifiée. </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Semi-continuit%C3%A9-inf%C3%A9rieure.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/Semi-continuit%C3%A9-inf%C3%A9rieure.jpg" decoding="async" width="200" height="196" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="196" /></a><figcaption>La fonction qui à un arc associe sa longueur n'est pas continue.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Semi-continuit%C3%A9-inf%C3%A9rieure(2)-.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Semi-continuit%C3%A9-inf%C3%A9rieure%282%29-.jpg" decoding="async" width="200" height="196" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="196" /></a><figcaption>En revanche elle est <a href="/wiki/Semi-continuit%C3%A9" title="Semi-continuité">semi-continue inférieurement</a>.</figcaption></figure> Les <a href="/wiki/Fonction_born%C3%A9e" title="Fonction bornée">fonctions bornées</a> de I dans E sont dotées de la distance de la <a href="/wiki/Continuit%C3%A9_uniforme" title="Continuité uniforme">continuité uniforme</a>. Il est naturel de s'interroger sur la continuité de la fonction qui, à un arc, associe sa longueur. La figure de gauche montre que cette fonction n'est pas continue. En effet, dire qu'un arc, en rouge sur la figure, est proche d'un autre, le cercle bleu sur la figure, signifie que l'arc se trouve dans une espèce de <a href="/wiki/Tube_(math%C3%A9matiques)" title="Tube (mathématiques)">tube</a>, de petite largeur. La courbe en rouge montre qu'il est possible de construire une telle courbe qui oscille suffisamment pour avoir une longueur très différente. En revanche, si la courbe rouge est proche de la bleue, sa longueur ne peut être beaucoup plus petite que la bleue. Celle de plus petite longueur est illustrée à droite en vert. On parle de <a href="/wiki/Semi-continuit%C3%A9" title="Semi-continuité">semi-continuité</a> inférieure. <ul><li>La fonction « longueur » (i.e. <a href="/wiki/Fonction_%C3%A0_variation_born%C3%A9e" title="Fonction à variation bornée">variation totale</a>), à valeurs dans [0, +∞], est semi-continue inférieurement sur l'espace (muni de la distance de la convergence uniforme) des fonctions bornées de I dans un espace métrique E.</li></ul> En effet<a href="#cite_note-29">[29]</a>, pour toute subdivision σ d'un intervalle de I, la fonction f ↦ V(f, σ) est continue, donc la fonction longueur est semi-continue inférieurement, <a href="/wiki/Semi-continuit%C3%A9#Propriétés" title="Semi-continuité">comme borne supérieure des V(f, σ)</a>. <div class="clear" style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Contenu_de_Minkowski">Contenu de Minkowski</h2>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Contenu de Minkowski" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Contenu de Minkowski">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Motivation_2">Motivation</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Motivation" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Motivation">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Longueur_d%27un_arc_Lampion_v%C3%A9nitien.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Longueur_d%27un_arc_Lampion_v%C3%A9nitien.jpg/220px-Longueur_d%27un_arc_Lampion_v%C3%A9nitien.jpg" decoding="async" width="220" height="428" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Longueur_d%27un_arc_Lampion_v%C3%A9nitien.jpg/330px-Longueur_d%27un_arc_Lampion_v%C3%A9nitien.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Longueur_d%27un_arc_Lampion_v%C3%A9nitien.jpg/440px-Longueur_d%27un_arc_Lampion_v%C3%A9nitien.jpg 2x" data-file-width="900" data-file-height="1750" /></a><figcaption>Un lampion peut posséder une surface plus grande que celle du cylindre qui le circonscrit.</figcaption></figure> Minkowski s'intéresse surtout aux courbes fermées et simples car elles définissent une frontière d'un <a href="/wiki/Compacit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Compacité (mathématiques)">espace compact</a> dans le plan euclidien. Les résultats qu'il établit sont particulièrement intéressants s'il peut les généraliser aux dimensions supérieures. Les outils issus de la géométrie différentielle ne sont pas toujours très adaptés pour cela. Un exemple est donné par le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique" title="Théorème isopérimétrique">théorème isopérimétrique</a>, dans le cas général on cherche à démontrer qu'un solide d'un espace euclidien de dimension n possède un volume plus petit que celui de la <a href="/wiki/Boule_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Boule (mathématiques)">boule</a> de même surface. Le terme de boule de rayon r désigne l'ensemble des points à une distance inférieure à r d'un point donné appelé centre. Il n'est pas trop complexe de montrer que la courbure moyenne en chaque point d'une surface, frontière d'un solide qui atteint l'optimum isopérimétrique, est nécessairement constante. En dimension 2, il est très simple de montrer que l'unique courbe simple et fermée de courbure moyenne constante est le <a href="/wiki/Cercle" title="Cercle">cercle</a>, une démonstration naturelle est l'œuvre de <a href="/wiki/Adolf_Hurwitz" title="Adolf Hurwitz">Hurwitz</a> et utilise l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Wirtinger" title="Inégalité de Wirtinger">inégalité de Wirtinger</a><a href="#cite_note-30">[30]</a>. En dimension 3, la démonstration est connue, mais elle est suffisamment technique<a href="#cite_note-31">[31]</a> pour ne dater que du début du <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle. Le cas général n'est toujours pas démontré<a href="#cite_note-32">[32]</a>. <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Probl%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique_dimension_quelconque_(1).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Probl%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique_dimension_quelconque_%281%29.jpg/220px-Probl%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique_dimension_quelconque_%281%29.jpg" decoding="async" width="220" height="194" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Probl%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique_dimension_quelconque_%281%29.jpg/330px-Probl%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique_dimension_quelconque_%281%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Probl%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique_dimension_quelconque_%281%29.jpg/440px-Probl%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique_dimension_quelconque_%281%29.jpg 2x" data-file-width="667" data-file-height="589" /></a><figcaption>Le contenu 1-dimensionnel d'un <a href="/wiki/Courbe_ferm%C3%A9e" title="Courbe fermée">lacet simple</a> correspond à la longueur de l'arc, au sens de Jordan.</figcaption></figure> La définition de Jordan pour la longueur d'une courbe n'est pas adaptée non plus car elle ne se généralise pas directement aux dimensions supérieures. La généralisation naturelle consisterait à définir l'aire de la surface d'une portion de cylindre comme la borne supérieure de la surface d'un <a href="/wiki/Poly%C3%A8dre" title="Polyèdre">polyèdre</a> dont les sommets se trouveraient sur la frontière du cylindre. L'exemple sur la droite illustre l'inconsistance d'une telle généralisation. Le polyèdre utilisé est un lampion dont les sommets sont situés sur des hexagones parallèles, chaque fois décalés d'un douzième de tour. Si les plans des hexagones se rapprochent de plus en plus, la surface du polyèdre augmente jusqu'à l'infini<a href="#cite_note-33">[33]</a>. Minkowski trouve une solution pour définir la longueur d'un arc qui résiste au passage à une dimension supérieure. Son approche intuitive est différente de celles considérées jusqu'ici. Il ne s'appuie pas comme Jordan sur la longueur d'une ligne polygonale, mais directement sur la fonction volume de l'espace euclidien de dimension n. Cette fonction est en général définie par la <a href="/wiki/Mesure_de_Lebesgue" title="Mesure de Lebesgue">mesure de Lebesgue</a>. Pour une valeur ε, suffisamment petite, il considère les points à une distance inférieure à ε de la courbe C qu'il étudie. Il obtient un ensemble, illustré en rose sur un exemple en dimension 2 sur la figure de gauche, la courbe C est représentée en bleu. Un tel ensemble est appelé un <a href="/wiki/Tube_(math%C3%A9matiques)" title="Tube (mathématiques)">tube</a>. Si la valeur ε diminue, le volume du tube se rapproche du produit de la longueur de l'arc par le volume de la boule de dimension n – 1 et de rayon ε. Dans le cas du cercle de rayon r et en dimension 2, le tube est constitué de la zone de l'espace compris entre un cercle de rayon r + ε et un autre de même centre et de rayon r – ε. Son volume est exactement 2πr que multiplie 2ε. En dimension 3, le tube est un tore, une fois encore son volume est exactement le produit de 2πr par la surface d'un disque de rayon ε. Cette définition, si elle est un peu plus complexe à mettre en œuvre, se généralise aisément aux dimensions supérieures. <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Cas du cercle en dimension 2</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> Si ε est un entier plus petit que r, la zone Cε est celle qui se trouve à l'intérieur d'un <a href="/wiki/Disque_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Disque (géométrie)">disque</a> de rayon r + ε et à l'extérieur du disque ouvert de rayon r – ε. La surface Vol (Cε) est égale à : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=\pi \left((r+\epsilon )^{2}-(r-\epsilon )^{2}\right)=2\pi r(2\epsilon ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>ϵ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mi>ϵ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=\pi \left((r+\epsilon )^{2}-(r-\epsilon )^{2}\right)=2\pi r(2\epsilon ).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c126baa0cb57e2e64a0f9ca155efb1835c390f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:44.365ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=\pi \left((r+\epsilon )^{2}-(r-\epsilon )^{2}\right)=2\pi r(2\epsilon ).}"></center> Or, 2πr correspond à la longueur du cercle et en dimension 1, la boule de rayon ε est de volume égal à 2ε en dimension 1. Le contenu de Minkowski est bien égal à la longueur du cercle. </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formalisme">Formalisme</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Formalisme" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Formalisme">modifier le code</a>]</div> Minkowski et <a href="/wiki/Felix_Hausdorff" title="Felix Hausdorff">Hausdorff</a> développent des outils permettant de mieux appréhender l'étude générale des solides. L'ensemble étudié est celui des compacts non vides d'un espace euclidien E, de dimension n. La <a href="/wiki/Somme_de_Minkowski" title="Somme de Minkowski">somme de Minkowski</a> associe à deux ensembles A et B le solide A + B composé des sommes d'éléments de A et de B. Cet ensemble est équipé d'une distance, dite <a href="/wiki/Distance_de_Hausdorff" title="Distance de Hausdorff">distance de Hausdorff</a>. Le tube étudié correspond à la somme d'un compact C, correspondant à la courbe dont on souhaite mesurer la longueur et de la boule de rayon ε, il est noté ici Cε. Si la courbe C est simple et fermée et de classe C2, alors le volume du tube Vol(Cε) s'exprime en fonction de la longueur LC de l'arc C et du volume Vol(Bn-1(ε)) de la boule d'un espace euclidien de dimension n – 1 et de rayon ε, ceci à condition que ε reste suffisamment petit : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Vol} (C_{\epsilon })=L_{C}\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon )).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Vol} (C_{\epsilon })=L_{C}\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon )).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa3114a07975165bc39cd9c7a0bd02da511db8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Vol} (C_{\epsilon })=L_{C}\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon )).}"></center> Si la courbe n'est pas fermée, l'égalité reste vraie si l'on ajoute le volume d'une boule de rayon ε en dimension n. En effet, deux demi-boules vont s'ajouter, chacune à l'une des extrémités de la courbe, on obtient : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Vol} (T_{\epsilon })=L_{C}\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon ))+\operatorname {Vol} (B_{n}(\epsilon )).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Vol} (T_{\epsilon })=L_{C}\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon ))+\operatorname {Vol} (B_{n}(\epsilon )).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f161d6f8c2c0999a40772a951770ce600aa2b5a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Vol} (T_{\epsilon })=L_{C}\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon ))+\operatorname {Vol} (B_{n}(\epsilon )).}"></center> Quelle que soit la configuration précédente, on obtient une nouvelle manière de définir la longueur d'un arc<a href="#cite_note-34">[34]</a> : <dl><dd><ul><li>Le contenu 1-dimensionnel d'un ensemble C d'un espace euclidien de dimension n, noté M1(C), est la <a href="/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)" title="Limite (mathématiques)">limite</a> suivante, quand elle existe :</li></ul></dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{1}(C)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\operatorname {Vol} (T_{\epsilon })}{\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon ))}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{1}(C)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\operatorname {Vol} (T_{\epsilon })}{\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon ))}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c063c9f27470b518e88c9c7257822e683c48fc69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:28.28ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle M_{1}(C)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\operatorname {Vol} (T_{\epsilon })}{\operatorname {Vol} (B_{n-1}(\epsilon ))}}.}"></center> Cette définition est bien une généralisation de la longueur définie précédemment : <dl><dd><ul><li>Si C est l'ensemble d'arrivée d'un arc paramétré compact de classe C2, la longueur de C est égale à son contenu 1-dimensionnel.</li></ul></dd></dl> Cette définition est particulièrement pertinente dans le cas de l'étude de la longueur de la frontière d'une surface S compacte en dimension 2 de frontière C. Si la frontière est paramétrable par un arc de classe C2, on dispose du théorème suivant, appelé <a href="/wiki/Formule_de_Steiner-Minkowski" title="Formule de Steiner-Minkowski">formule de Steiner-Minkowski</a> : <dl><dd><ul><li>La longueur LC de l'arc C est égale à la limite suivante :</li></ul></dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{C}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\operatorname {Vol} (S+B_{2}(\epsilon ))}{\operatorname {Vol} (S)}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>Vol</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{C}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\operatorname {Vol} (S+B_{2}(\epsilon ))}{\operatorname {Vol} (S)}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2678948fd848634e68fe0424f42bddf5dadd88a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:26.535ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle L_{C}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\operatorname {Vol} (S+B_{2}(\epsilon ))}{\operatorname {Vol} (S)}}.}"></center> Le contenu de Minkowski permet de généraliser à de nombreuses surfaces cette formule. <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration de l'équivalence des définitions<a href="#cite_note-35">[35]</a></div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> Fixons les notations, E est un espace euclidien de dimension n, ([a, b], f) est un <a href="/wiki/Abscisse_curviligne" title="Abscisse curviligne">paramétrage curviligne</a> de classe C2 d'un arc géométrique, fermé et simple et dont l'image est égale à C. Dire que le paramétrage est fermé revient à dire que f(a) est égal à f(b), dire qu'il est simple est équivalent à dire que si s et t sont deux éléments de ]a, b[, alors f(s) est différent de f(t). Enfin, dire que le paramétrage est curviligne revient à dire que la norme de la dérivée de f(t) est toujours égale à 1, si t est un élément de [a, b]. La valeur ε désigne un réel strictement positif, compris entre 0 et μ, où μ est un réel strictement positif à déterminer. Ht désigne l'hyperplan de E orthogonal à f(t) et Ba,μ la boule unité fermée de l'hyperplan Ha et de rayon μ. On note ut la dérivée de f au point t et vt le vecteur de norme 1 colinéaire à la dérivée seconde de f et de même sens. Dire que f est un paramétrage curviligne implique que ut et vt sont orthogonaux. Enfin, on note c(t) la courbure de f en t, la dérivée seconde de f en t est égale au produit de c(t) par vt. La technique utilisée pour la démonstration consiste à construire un <a href="/wiki/Plongement" title="Plongement">plongement</a> ψ de [a, b]xBa,μ dans Cμ de classe C1. Ce plongement fournit le bon changement de variable pour calculer l'intégrale donnant l'aire de Cε. Pour construire ψ, on construit une application φt de classe C1 de [a, b] à valeurs dans les rotations de E, telle que l'image de ua par φt soit égale à ut. <dl><dd><dl><dd><ul><li>Construction de φt :</li></ul></dd></dl></dd> <dd>Equation différentielle :</dd> <dd>Une solution élégante consiste à construire φt comme la solution d'une <a href="/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_lin%C3%A9aire" title="Équation différentielle linéaire">équation différentielle linéaire</a>. Pour cela, on définit une application χ d'un ensemble D dans L(E) l'ensemble des endomorphismes de l'espace E. Ici D désigne les couples (u, v) de vecteurs de E tels que u et v soient de normes égales à 1 et tels que u et v soient orthogonaux. L'endomorphisme χ(u,v) associe à u le vecteur v, à v le vecteur -u et le vecteur nul à tout vecteur orthogonal à u et à v. On remarque que pour tout vecteur z de E, le <a href="/wiki/Produit_scalaire" title="Produit scalaire">produit scalaire</a> de z avec son image par χ(u,v) est nul. En effet, il est possible d'écrire z sous la forme α.u + β.v + w, où α et β sont deux scalaires et w un vecteur orthogonal à u et à v. On a bien, si <.,.> désigne le produit scalaire :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \chi _{(u,v)}(z),z\rangle =\langle \chi _{(u,v)}(\alpha u+\beta v+w),\alpha u+\beta v+w\rangle =\langle -\beta u+\alpha v|\alpha u+\beta v+w\rangle =\alpha \beta -\alpha \beta =0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>α</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \chi _{(u,v)}(z),z\rangle =\langle \chi _{(u,v)}(\alpha u+\beta v+w),\alpha u+\beta v+w\rangle =\langle -\beta u+\alpha v|\alpha u+\beta v+w\rangle =\alpha \beta -\alpha \beta =0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c98203674ebe57fc5d603e193cc16999e625207" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:94.735ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle \chi _{(u,v)}(z),z\rangle =\langle \chi _{(u,v)}(\alpha u+\beta v+w),\alpha u+\beta v+w\rangle =\langle -\beta u+\alpha v|\alpha u+\beta v+w\rangle =\alpha \beta -\alpha \beta =0.}"></center> <dl><dd>Cette application nous permet de définir la fonction ψ, de [a, b] dans L(E), par :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad \psi _{t}=c(t)\chi _{(u_{t},v_{t})}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad \psi _{t}=c(t)\chi _{(u_{t},v_{t})}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f324f9e830485158edf38fe437fb705407f5635" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:28.045ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad \psi _{t}=c(t)\chi _{(u_{t},v_{t})}.}"></center> <dl><dd>L'application ψ est bien continue, elle est en effet composée d'applications continues. Il existe une petite difficulté si la courbure c(t) est nulle, car vt n'est pas défini, mais définir ψ comme nulle en ces points est clairement un prolongement par continuité, la norme de ψt étant égale à c(t). La norme choisie ici pour L(E) est celle qui, à un endomorphisme associe la borne supérieure de la norme de l'image de la boule unité. On considère l'<a href="/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle" title="Équation différentielle">équation différentielle</a> suivante, sur [a, b] et à valeurs dans L(E):</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}\circ X\quad {\text{avec}}\quad X_{0}=Id.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>∘</mo> <mi>X</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>avec</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mi>d</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}\circ X\quad {\text{avec}}\quad X_{0}=Id.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae3187340103af9604970cd8063d20b76de26d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:31.932ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}\circ X\quad {\text{avec}}\quad X_{0}=Id.}"></center> <dl><dd>La continuité de ψ et la compacité de [a, b] montrent que la fonction, qui à t associe la norme de ψ, atteint sa borne supérieure m. L'application qui à X associe la composée de ψ et de X est donc continue et <a href="/wiki/Application_lipschitzienne" title="Application lipschitzienne">m-lipschitzienne</a>. Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cauchy-Lipschitz" title="Théorème de Cauchy-Lipschitz">théorème de Cauchy-Lipschitz</a> garantit l'existence d'une solution unique φ à l'équation différentielle. Il est même possible de donner une expression explicite de φ :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad \varphi _{t}=\exp \left(\int _{a}^{t}\psi _{\tau }\mathrm {d} \tau \right)\quad {\text{avec, si}}\quad m\in {\mathcal {L}}(E)\quad \exp(m)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m^{n}}{n!}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>τ</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>τ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>avec, si</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>m</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad \varphi _{t}=\exp \left(\int _{a}^{t}\psi _{\tau }\mathrm {d} \tau \right)\quad {\text{avec, si}}\quad m\in {\mathcal {L}}(E)\quad \exp(m)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m^{n}}{n!}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e214126a37b84f6199238e2f6f3b40a49665c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:76.69ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad \varphi _{t}=\exp \left(\int _{a}^{t}\psi _{\tau }\mathrm {d} \tau \right)\quad {\text{avec, si}}\quad m\in {\mathcal {L}}(E)\quad \exp(m)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m^{n}}{n!}}.}"></center> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Frenet.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Frenet.svg/220px-Frenet.svg.png" decoding="async" width="220" height="262" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Frenet.svg/330px-Frenet.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Frenet.svg/440px-Frenet.svg.png 2x" data-file-width="628" data-file-height="749" /></a><figcaption>Un <a href="/wiki/Rep%C3%A8re_de_Frenet" title="Repère de Frenet">repère de Frenet</a>, dans le cas où la dérivée seconde n'est jamais nulle.</figcaption></figure> À l'exception du caractère un peu inhabituel des ensembles utilisés ici, la méthode proposée n'utilise qu'une équation différentielle linéaire très simple. L'application φ permet presque de définir un <a href="/wiki/Rep%C3%A8re_de_Frenet" title="Repère de Frenet">repère de Frenet</a>. Il suffirait d'associer au point a une base de Frenet et la base de Frenet serait, au point t son image par φ. Ce résultat n'est vrai que si la courbe est birégulière, c'est-à-dire que la dérivée seconde de f ne s'annule jamais. Après le premier point d'inflexion, il n'existe aucune raison de penser que l'image de v0 soit encore colinéaire à la dérivée seconde de f. Il suffit maintenant de vérifier que φ est bien l'application recherchée. <dl><dd><dl><dd>L'application φ est à valeurs dans un ensemble de rotations et l'image de ua par φt est égale à ut :</dd></dl></dd> <dd>Montrons tout d'abord que φ est à valeurs dans un ensemble de rotations. ce qui revient à montrer que si z est un vecteur de E, φt(z) est de même norme que z. Ce résultat est trivialement vrai si t est égal à a car φa est l'identité. Il suffit de montrer que la dérivée de la fonction, qui à t associe le carré de la norme de φt(z), est nulle, pour établir que φt est une isométrie :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \langle \varphi _{t}(z),\varphi _{t}(z)\rangle }{\mathrm {d} t}}=2\langle {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}}{\mathrm {d} t}}(z),\varphi _{t}(z)\rangle =2\langle \psi _{t}\left(\varphi _{t}(z)\right),\varphi _{t}(z)\rangle =0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \langle \varphi _{t}(z),\varphi _{t}(z)\rangle }{\mathrm {d} t}}=2\langle {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}}{\mathrm {d} t}}(z),\varphi _{t}(z)\rangle =2\langle \psi _{t}\left(\varphi _{t}(z)\right),\varphi _{t}(z)\rangle =0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584221b8c2a3f1a334a9ce1c3f7e35bc5b91679b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:62.6ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \langle \varphi _{t}(z),\varphi _{t}(z)\rangle }{\mathrm {d} t}}=2\langle {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}}{\mathrm {d} t}}(z),\varphi _{t}(z)\rangle =2\langle \psi _{t}\left(\varphi _{t}(z)\right),\varphi _{t}(z)\rangle =0.}"></center> <dl><dd>Il reste à montrer que le <a href="/wiki/D%C3%A9terminant_(math%C3%A9matiques)" title="Déterminant (mathématiques)">déterminant</a> de φt est égal à 1. Comme φt est une isométrie, son déterminant est égal à ±1. L'image de l'application qui à t associe det φt est un <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexe</a> car l'application est continue. Comme en a, l'application vaut 1, elle vaut 1 partout et le déterminant de φt est bien égal à 1.</dd></dl> <dl><dd>Montrons ensuite que φt(ua) est bien égal à ut. Pour cela, il suffit de vérifier que les deux arcs, qui à t associe φt(ua) d'une part et ut d'autre part ont même valeur initiale et satisfont à la même équation différentielle linéaire. L'unicité de la solution, garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz, montre l'égalité. Par construction φa est égal à l'identité ; les deux arcs ont donc bien même valeur initiale. Vérifions maintenant que les deux arcs sont solutions de la même équation différentielle :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}(u_{0})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}}{\mathrm {d} t}}(u_{0})=\psi _{t}\circ \varphi _{t}(u_{0})\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}(u_{0})}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}\left(\varphi _{t}(u_{0})\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>∘</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>donc</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}(u_{0})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}}{\mathrm {d} t}}(u_{0})=\psi _{t}\circ \varphi _{t}(u_{0})\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}(u_{0})}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}\left(\varphi _{t}(u_{0})\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861a2071ee62b77e4794c2a9cabe5ab1076a7b11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:79.757ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}(u_{0})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}}{\mathrm {d} t}}(u_{0})=\psi _{t}\circ \varphi _{t}(u_{0})\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\mathrm {d} \varphi _{t}(u_{0})}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}\left(\varphi _{t}(u_{0})\right).}"></center> <dl><dd>D'autre part :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad {\frac {\mathrm {d} u_{t}}{\mathrm {d} t}}=c(t)v_{t}=c(t)\chi _{(u_{t},v_{t})}=\psi _{t}(u_{t})\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\mathrm {d} u_{t}}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}(u_{t}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>χ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>donc</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad {\frac {\mathrm {d} u_{t}}{\mathrm {d} t}}=c(t)v_{t}=c(t)\chi _{(u_{t},v_{t})}=\psi _{t}(u_{t})\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\mathrm {d} u_{t}}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}(u_{t}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23b51ab9f5de4b0c32f62ef3edfb20c85428736" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:71.212ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad {\frac {\mathrm {d} u_{t}}{\mathrm {d} t}}=c(t)v_{t}=c(t)\chi _{(u_{t},v_{t})}=\psi _{t}(u_{t})\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\mathrm {d} u_{t}}{\mathrm {d} t}}=\psi _{t}(u_{t}).}"></center> On en déduit que φt(Ha) est bien égal à Ht. En effet, Ha est l'orthogonal de ua, son image par φt est l'orthogonal de φt(ua) car φt est une rotation. Il suffit de remarquer que φt(ua) est égal à ut pour conclure. <dl><dd><ul><li>Injectivité de Γ :</li></ul></dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Somme-de-Minkowski-(4).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Somme-de-Minkowski-%284%29.jpg" decoding="async" width="160" height="247" class="mw-file-element" data-file-width="160" data-file-height="247" /></a><figcaption></figcaption></figure> Pour que l'application Γ soit un <a href="/wiki/Plongement" title="Plongement">plongement</a>, il est nécessaire de bien choisir la valeur μ. Si elle est trop élevée, l'application Γ n'est pas nécessairement injective. Un exemple est donné sur la figure de droite. Le plus petit rayon de courbure est donné par le point de <a href="/wiki/Cercle_osculateur" title="Cercle osculateur">cercle osculateur</a> violet. La valeur μ est choisie plus grande que le rayon du cercle osculateur, appelé <a href="/wiki/Courbure" title="Courbure">rayon de courbure</a>. Le point rouge est élément de l'hyperplan orthogonal à la tangente du point de cercle osculateur violet, et il est à une distance égale à cette valeur de μ. Les points à une distance inférieure ou égale à μ de la courbe sont illustrés en vert. Le point rouge est aussi élément du plan orthogonal d'un autre point, illustré en jaune. Si μ est choisi plus petit que le plus petit rayon de courbure atteint par les points de la courbe, cette situation ne peut pas se produire. L'application Γ est alors localement injective. <dl><dd><dl><dd>Injectivité locale de Γ :</dd></dl></dd> <dd>La fonction c(t) qui à t associe la courbure de l'arc au point f(t) est continue. Elle est définie sur un compact, elle atteint sa borne supérieure. Notons rm l'inverse de cette borne, qui correspond au plus petit rayon de courbure de l'arc. On suppose que μ est choisi plus petit que rm/2. L'objectif est de montrer que Γ est localement injective, c'est-à-dire que si t est un élément de [a, b], Γ est injective sur l'ensemble ]t-δ, t+δ[xBa,μ. La valeur δ correspond à un nombre réel strictement positif indépendant de t et à déterminer.</dd></dl> <dl><dd>Pour simplifier les notations, on suppose, quitte à translater l'intervalle [a, b], que t est égal à 0. On suppose de plus, quitte à modifier le repère, que f(0) est égal au vecteur nul. On va montrer qu'un point p image par Γ d'un point (0, p) de ]t-δ, t+δ[xBa,μ n'a pas d'autre antécédent dans cet ensemble. Dire que p est une telle image, revient à dire que sa norme est plus petite que μ, donc que rm/2 et que p est orthogonal à u0. On considère un autre antécédent de première coordonnée notée t et l'on va montrer que t est nécessairement plus grand qu'une valeur δ. Dire que t est un autre antécédent implique que p est dans le plan orthogonal à ut et passant par f(t). Ce qui montre l'égalité :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle p-f(t),u_{t}\rangle =0\quad {\text{donc}}\quad \langle p,u_{t}\rangle =\langle f(t),u_{t}\rangle .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>donc</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle p-f(t),u_{t}\rangle =0\quad {\text{donc}}\quad \langle p,u_{t}\rangle =\langle f(t),u_{t}\rangle .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7060e90cd0cadb2cbffe0f5bd5c11e221781a8bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle p-f(t),u_{t}\rangle =0\quad {\text{donc}}\quad \langle p,u_{t}\rangle =\langle f(t),u_{t}\rangle .}"></center> <dl><dd>La <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor" title="Théorème de Taylor">formule de Taylor-Lagrange</a> montre l'existence d'une valeur τ1, comprise entre 0 et t, telle que :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle p,u_{t}\rangle =\langle p,u_{0}+tc(\tau _{1})v_{\tau _{1}}\rangle =tc(\tau _{1})\langle p,v_{\tau _{1}}\rangle \leq tc_{m}\|p\|\leq t{\frac {c_{m}}{2c_{m}}}\leq {\frac {t}{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>≤</mo> <mi>t</mi> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>p</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>≤</mo> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle p,u_{t}\rangle =\langle p,u_{0}+tc(\tau _{1})v_{\tau _{1}}\rangle =tc(\tau _{1})\langle p,v_{\tau _{1}}\rangle \leq tc_{m}\|p\|\leq t{\frac {c_{m}}{2c_{m}}}\leq {\frac {t}{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e91570208db67beaba89426da9963b0ce3a4efe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:67.364ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \langle p,u_{t}\rangle =\langle p,u_{0}+tc(\tau _{1})v_{\tau _{1}}\rangle =tc(\tau _{1})\langle p,v_{\tau _{1}}\rangle \leq tc_{m}\|p\|\leq t{\frac {c_{m}}{2c_{m}}}\leq {\frac {t}{2}}.}"></center> <dl><dd>Le même raisonnement montre l'existence de deux valeurs τ2 et τ3, aussi comprises entre 0 et t, telles que :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle f(t),u_{t}\rangle =\langle tu_{0}+{\frac {c(\tau 2)t^{2}}{2}}v_{\tau _{2}},u_{0}+c(\tau _{3})tv_{\tau _{3}}\rangle \geq t\left(1-{\frac {3}{2}}tc_{m}-{\frac {c_{m}^{2}}{2}}t^{2}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>t</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>t</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>≥</mo> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>t</mi> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle f(t),u_{t}\rangle =\langle tu_{0}+{\frac {c(\tau 2)t^{2}}{2}}v_{\tau _{2}},u_{0}+c(\tau _{3})tv_{\tau _{3}}\rangle \geq t\left(1-{\frac {3}{2}}tc_{m}-{\frac {c_{m}^{2}}{2}}t^{2}\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f98ab6c72890c35960fdad2fa566eca632394ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:72.168ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \langle f(t),u_{t}\rangle =\langle tu_{0}+{\frac {c(\tau 2)t^{2}}{2}}v_{\tau _{2}},u_{0}+c(\tau _{3})tv_{\tau _{3}}\rangle \geq t\left(1-{\frac {3}{2}}tc_{m}-{\frac {c_{m}^{2}}{2}}t^{2}\right).}"></center> Si l'on choisit δ plus petit que min(1, 1/cm)/6, on est assuré que le terme <p, ut> est strictement plus petit que le deuxième produit scalaire, et l'injectivité locale sur l'intervalle ]t-δ, t+δ[xBa,μ est bien garantie. <dl><dd><dl><dd>Injectivité globale de Γ :</dd></dl></dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Somme-de-Minkowski-(3).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/Somme-de-Minkowski-%283%29.jpg" decoding="async" width="200" height="365" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="365" /></a><figcaption></figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Voisinage_impossible_pour_une_vari%C3%A9t%C3%A9.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Voisinage_impossible_pour_une_vari%C3%A9t%C3%A9.jpg/220px-Voisinage_impossible_pour_une_vari%C3%A9t%C3%A9.jpg" decoding="async" width="220" height="196" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Voisinage_impossible_pour_une_vari%C3%A9t%C3%A9.jpg/330px-Voisinage_impossible_pour_une_vari%C3%A9t%C3%A9.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Voisinage_impossible_pour_une_vari%C3%A9t%C3%A9.jpg/440px-Voisinage_impossible_pour_une_vari%C3%A9t%C3%A9.jpg 2x" data-file-width="900" data-file-height="800" /></a><figcaption></figcaption></figure> L'injectivité locale n'implique pas l'injectivité de Γ. L'illustration de droite montre la raison. Si la courbe est suffisamment pincée, un point d'abscisse éloignée peut être arbitrairement proche du point étudié. Il faut alors vérifier qu'une zone rouge, à l'image de la figure, n'existe pas si μ est bien choisi. Comme par hypothèse, l'arc ne contient pas de point double, la configuration désagréable serait celle de gauche, avec une infinité de brins de l'arc qui s'approchent de plus en plus du point critique. La compacité du segment [a, b], impliquant celle du graphe C empêche l'apparition de ce phénomène. <dl><dd>Pour s'en persuader, considérons la fonction qui à t associe le minimum de la distance entre f(t) et l'image par f des intervalles [a, t - δ] et [t + δ, b]. Comme la fonction distance est continue et que l'union des segments [a, t - δ] et [t + δ, b] est un compact, ce minimum est atteint. Comme l'arc est simple, c'est-à-dire qu'il n'admet pas de point multiple, ce minimum est différent de 0. La fonction de [a, b] dans ℝ qui à t associe le minimum défini précédemment est encore continue. Elle est encore définie sur un compact, ce qui implique qu'elle atteint encore son minimum μ1 qui n'est pas nul.</dd></dl> <dl><dd>Si la valeur μ est choisie strictement plus petite que μ1/2 (il faut diviser par 2 car la contrainte n'est pas que la zone verte ne doit pas rencontrer de manière indue la courbe C en bleu, mais que la zone verte ne s'intersecte pas avec elle-même) et que rm/2, les preuves précédentes garantissent l'injectivité de Γ.</dd></dl> Pour pouvoir effectuer le changement de variable dans le calcul du volume, il faut encore s'assurer que l'ensemble d'arrivée de Γ restreint à [a, b]xBa,ε, où ε est un nombre réel strictement positif et plus petit que μ est bien Cε. Elle est plus facile à vérifier. <dl><dd><ul><li>Surjectivité de Γ restreint à [a, b]xBa,ε dans Cε:</li></ul></dd> <dd>Soit p un point de Cε. La fonction de C dans ℝ, qui à un point associe sa distance à p, est continue. Elle atteint son minimum en un point f(t), avec une distance inférieure à ε par hypothèse. Si h est un réel tel que t + h soit un élément de [a, b] la distance entre p et f(t+h) est plus grande que le minimum précédemment cité. On en déduit :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle p-f(t+h),p-f(t+h)\rangle =\langle p-f(t)+hu_{t}+o(h),p-f(t)+hu_{t}+o(h)\rangle =\|p-f(t)\|^{2}+2h\langle p-f(t),u_{t}\rangle +o(h)\geq \|p-f(t)\|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>h</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≥</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle p-f(t+h),p-f(t+h)\rangle =\langle p-f(t)+hu_{t}+o(h),p-f(t)+hu_{t}+o(h)\rangle =\|p-f(t)\|^{2}+2h\langle p-f(t),u_{t}\rangle +o(h)\geq \|p-f(t)\|^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e2ebcb16cc42b4c727feb90e96e7416ee25aa5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:130.667ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle p-f(t+h),p-f(t+h)\rangle =\langle p-f(t)+hu_{t}+o(h),p-f(t)+hu_{t}+o(h)\rangle =\|p-f(t)\|^{2}+2h\langle p-f(t),u_{t}\rangle +o(h)\geq \|p-f(t)\|^{2}.}"></center> <dl><dd>La majoration est vraie pour les valeurs positives comme négatives de h, ce qui montre que p - f(t) est orthogonal à ut. Une autre manière de dire les choses est que p est dans l'image de Γ. Plus précisément, son antécédent est (t, φt-1(p- f(t))).</dd></dl> <dl><dd><ul><li>Calcul du jacobien :</li></ul></dd> <dd>Pour effectuer le changement de variable, il est utile de calculer le <a href="/wiki/Matrice_jacobienne" title="Matrice jacobienne">déterminant jacobien</a> de ψ en un point (t, z). Pour cela calculons dans un premier temps la <a href="/wiki/Diff%C3%A9rentielle" title="Différentielle">différentielle</a> de ψ en ce point. Soit vt,a l'antécédent du vecteur normalisé de u't par φt, si la dérivée seconde de f n'est pas nulle et un vecteur de Ha de norme 1 et orthogonal à ua si la dérivée seconde est nulle. On note Kt,a l'hyperplan de Ha orthogonal à vt,a. On note (td, zd) un petit vecteur de Ba,μ tel que la somme du point (t, z) et de (td, zd) soit dans Ba,μ. Enfin, on utilise les notations :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=\zeta v_{t,a}+z_{k}\quad {\text{et}}\quad z_{d}=\zeta _{d}v_{t,a}+z_{kd}\quad {\text{avec}}\quad \zeta ,\zeta _{d}\in \mathbb {R} ,\;z_{k},z_{kd}\in K_{t,a}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>ζ</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>et</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ζ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>avec</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>ζ</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>ζ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=\zeta v_{t,a}+z_{k}\quad {\text{et}}\quad z_{d}=\zeta _{d}v_{t,a}+z_{kd}\quad {\text{avec}}\quad \zeta ,\zeta _{d}\in \mathbb {R} ,\;z_{k},z_{kd}\in K_{t,a}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f254d698accb8a70b2a9f09212501c995f7f582" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:70.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=\zeta v_{t,a}+z_{k}\quad {\text{et}}\quad z_{d}=\zeta _{d}v_{t,a}+z_{kd}\quad {\text{avec}}\quad \zeta ,\zeta _{d}\in \mathbb {R} ,\;z_{k},z_{kd}\in K_{t,a}.}"></center> <dl><dd>On a :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (t+t_{d},z+z_{d})=f(t+t_{d})+\varphi _{t+t_{d}}(z+z_{d})=f(t)+\varphi _{t}(z)+t_{d}\left(u_{t}+D\varphi _{t}(\zeta v_{t,a}+z_{k})\right)+\varphi _{t}(z_{d})+o(t_{d})+o(z_{d}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ζ</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (t+t_{d},z+z_{d})=f(t+t_{d})+\varphi _{t+t_{d}}(z+z_{d})=f(t)+\varphi _{t}(z)+t_{d}\left(u_{t}+D\varphi _{t}(\zeta v_{t,a}+z_{k})\right)+\varphi _{t}(z_{d})+o(t_{d})+o(z_{d}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54b39a96b901a6232d27c4aa10a8e2898db18c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:111.715ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi (t+t_{d},z+z_{d})=f(t+t_{d})+\varphi _{t+t_{d}}(z+z_{d})=f(t)+\varphi _{t}(z)+t_{d}\left(u_{t}+D\varphi _{t}(\zeta v_{t,a}+z_{k})\right)+\varphi _{t}(z_{d})+o(t_{d})+o(z_{d}).}"></center> <dl><dd>On en déduit la différentielle :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\psi _{(t,z)}(t_{d},z_{d})=t_{d}(u_{t}-c(t)\zeta u_{t})+\zeta _{d}v_{t}+\varphi _{t}(z_{k}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ζ</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>ζ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\psi _{(t,z)}(t_{d},z_{d})=t_{d}(u_{t}-c(t)\zeta u_{t})+\zeta _{d}v_{t}+\varphi _{t}(z_{k}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea1cb2e3092d58297db77328f4919c94390aed8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:49.176ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D\psi _{(t,z)}(t_{d},z_{d})=t_{d}(u_{t}-c(t)\zeta u_{t})+\zeta _{d}v_{t}+\varphi _{t}(z_{k}).}"></center> <dl><dd>Pour le calcul du déterminant, on remarque que la différentielle possède deux espaces stables, celui engendré par ut et vt, puis Kt,a. Sur l'espace Kt,a, la différentielle est une rotation ; son déterminant est égal à 1 ; le jacobien recherché est celui de l'espace vectoriel de dimension 2 engendré par les deux vecteurs ut et vt. Dans cette base, la matrice M est égale à :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1-c(t)\zeta &0\\0&1\end{pmatrix}}\quad {\text{et}}\quad \det D\psi _{(t,z)}=1-c(t)\zeta .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ζ</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>et</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mi>D</mi> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ζ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1-c(t)\zeta &0\\0&1\end{pmatrix}}\quad {\text{et}}\quad \det D\psi _{(t,z)}=1-c(t)\zeta .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276816b73f03edf8de112388f6dd0f067f9d1c62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:51.807ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1-c(t)\zeta &0\\0&1\end{pmatrix}}\quad {\text{et}}\quad \det D\psi _{(t,z)}=1-c(t)\zeta .}"></center> Le résultat n'est pas étonnant. Il signifie que si la courbure est localement nulle, l'application ψ ne modifie pas le volume. Le même phénomène se produit aux alentours de la courbe C. En revanche, si un petit volume est choisi avec une coordonnée <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }"> positive, c'est-à-dire dans la concavité de la courbure, alors le volume diminue. Il irait jusqu'à 0 si l'on se rapprochait du rayon de courbure, égal à 1/c(t), ce qui ne peut se produire avec le choix de μ, qui ne dépasse jamais la moitié du rayon de courbure. En revanche, dans la direction opposée, le volume augmente. <dl><dd><ul><li>Calcul du volume de Cε :</li></ul></dd> <dd>On peut maintenant appliquer le changement de variable ψ :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=\int _{C_{\epsilon }}1\mathrm {d} \sigma =\int _{[a,b]\times B_{\mu ,a}}|\det D\varphi _{t,z}|\;\mathrm {d} t\mathrm {d} \zeta \mathrm {d} z_{k}=(b-a)Vol(B_{n-1}(\epsilon ))-\int _{[a,b]\times B_{\mu ,a}}c(t)\zeta \;\mathrm {d} t\mathrm {d} \zeta \mathrm {d} z_{k}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>σ</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mi>D</mi> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>ζ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ζ</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>ζ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=\int _{C_{\epsilon }}1\mathrm {d} \sigma =\int _{[a,b]\times B_{\mu ,a}}|\det D\varphi _{t,z}|\;\mathrm {d} t\mathrm {d} \zeta \mathrm {d} z_{k}=(b-a)Vol(B_{n-1}(\epsilon ))-\int _{[a,b]\times B_{\mu ,a}}c(t)\zeta \;\mathrm {d} t\mathrm {d} \zeta \mathrm {d} z_{k}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f66fc83724a14b03d26d5f9fefb46974485fd7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:100.133ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=\int _{C_{\epsilon }}1\mathrm {d} \sigma =\int _{[a,b]\times B_{\mu ,a}}|\det D\varphi _{t,z}|\;\mathrm {d} t\mathrm {d} \zeta \mathrm {d} z_{k}=(b-a)Vol(B_{n-1}(\epsilon ))-\int _{[a,b]\times B_{\mu ,a}}c(t)\zeta \;\mathrm {d} t\mathrm {d} \zeta \mathrm {d} z_{k}.}"></center> <dl><dd>Or le solide [a, b]x Ba,μ est symétrique par rapport à Ka et le volume de la surface coupée à l'ordonnée ζ est exactement le même que celle coupée à l'ordonnée -ζ. La deuxième intégrale est égale à 0. On trouve :</dd></dl> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=(b-a)Vol(B_{n-1}(\epsilon )).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=(b-a)Vol(B_{n-1}(\epsilon )).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83abeafd39eca042d300eb1b2ff225f13271c3af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.855ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vol(C_{\epsilon })=(b-a)Vol(B_{n-1}(\epsilon )).}"></center> Le contenu 1-dimensionnel de la courbe C est égal à b – a, c'est-à-dire à la longueur de la courbe, car son paramétrage correspond à une abscisse curviligne. Dans le cas du cercle et en dimension 3, on retrouve une formule connue, le volume d'un <a href="/wiki/Tore" title="Tore">tore</a>. Dans le cas d'une courbe qui n'est pas fermée, la démonstration est exactement la même, il suffit d'ajouter les deux demi-boules aux extrémités. Dans le cas d'une courbe de classe C2 et admettant des points doubles, montrer que le contenu 1-dimensionnel de Minkowski est encore égal à la longueur n'est pas très compliqué, mais l'égalité du produit précédent et du volume du tube n'est plus vérifiée. Le résultat est encore vrai pour les courbes de classe C1, les polygones ou les courbes fermées non vides compacts et convexes en dimension 2, mais les démonstrations sont différentes. </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Courbe_fractale">Courbe fractale</h3>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Courbe fractale" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Courbe fractale">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Dimension_de_Hausdorff" title="Dimension de Hausdorff">Dimension de Hausdorff</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Hilbert_curve.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Hilbert_curve.png/220px-Hilbert_curve.png" decoding="async" width="220" height="142" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Hilbert_curve.png/330px-Hilbert_curve.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Hilbert_curve.png/440px-Hilbert_curve.png 2x" data-file-width="544" data-file-height="352" /></a><figcaption>La <a href="/wiki/Courbe_de_Peano" title="Courbe de Peano">courbe de Peano</a> possède une image mesurable, mais cette mesure correspond à celle d'une surface.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png/220px-Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png" decoding="async" width="220" height="179" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png/330px-Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png/440px-Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png 2x" data-file-width="965" data-file-height="784" /></a><figcaption>L'<a href="/wiki/Attracteur_%C3%A9trange" class="mw-redirect" title="Attracteur étrange">attracteur</a> de Lorenz n'est ni de dimension 1, ni de dimension 2.</figcaption></figure> Dès 1872, <a href="/wiki/Karl_Weierstrass" title="Karl Weierstrass">Karl Weierstrass</a> montre qu'une courbe peut avoir un comportement étrange ; il construit un exemple d'arc, par définition continu, et nulle part différentiable. Plus tard, Peano construit <a href="/wiki/Courbe_de_Peano" title="Courbe de Peano">sa courbe</a>, dont l'image est l'ensemble des points d'un carré de côté 1. En 1904, le mathématicien suédois <a href="/wiki/Helge_von_Koch" title="Helge von Koch">von Koch</a> trouve un exemple concret de courbe répondant au cahier des charges de Weierstrass, à travers un étrange <a href="/wiki/Courbe_de_Koch" class="mw-redirect" title="Courbe de Koch">flocon</a><a href="#cite_note-36">[36]</a>. Tous ces exemples correspondent à ce qui est maintenant appelé une <a href="/wiki/Fractale" title="Fractale">fractale</a>. Cette famille de courbes, initialement considérées comme un peu pathologiques, s'avère essentielle pour une meilleure compréhension de certaines branches des mathématiques. L'étude d'un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique" title="Système dynamique">système dynamique</a> comme celui de <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique_de_Lorenz" title="Système dynamique de Lorenz">Lorenz</a> porte sur une <a href="/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle" title="Équation différentielle">équation différentielle</a> dont le comportement limite se situe à l'intérieur d'une zone géométrique définie par une telle courbe (pour être plus précis, la zone correspond à l'<a href="/wiki/Adh%C3%A9rence_(math%C3%A9matiques)" title="Adhérence (mathématiques)">adhérence</a> d'une telle courbe)<a href="#cite_note-37">[37]</a>. Pour l'analyse de telles courbes, un équivalent de la longueur s'avère nécessaire. Or pour la courbe de Peano, la définition différentielle n'a pas de sens et celle de Jordan donne l'infini. Si le contenu 1-dimensionnel de Minkowski donne aussi l'infini, il n'est pas très compliqué de l'adapter pour trouver une réponse qui a du sens. Si P désigne l'ensemble d'arrivée de la courbe de Peano : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{2}(C)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {Vol(P_{\varepsilon })}{Vol(B_{n-2}(\varepsilon ))}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{2}(C)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {Vol(P_{\varepsilon })}{Vol(B_{n-2}(\varepsilon ))}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0477766990715dde0283a81bdd9ee39a70d2099" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:28.477ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle M_{2}(C)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {Vol(P_{\varepsilon })}{Vol(B_{n-2}(\varepsilon ))}}.}"></center> Ici, Pε désigne l'ensemble des points à distance inférieure à ε de P. L'astuce a consisté à diviser le rapport, non pas par le volume d'une boule (n – 1)-dimensionnelle, mais (n - 2)-dimensionnelle. Pour une nappe de classe C2 et de dimension 2, le contenu correspond à la mesure de la surface. Pour l'attracteur de Lorenz ou le flocon de Koch, aucun entier k ne permet de définir un contenu (n – k)-dimensionnel qui ne soit ni 0 ni l'infini. En revanche, il est possible d'utiliser une définition du volume d'une boule de dimension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }"> qui ait du sens, même si ζ n'est pas un entier : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vol(B_{\zeta }(\varepsilon ))={\frac {2\pi ^{\zeta /2}}{\zeta \Gamma (\zeta /2)}}\varepsilon ^{\zeta }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ζ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ζ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>ζ</mi> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ζ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ζ</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vol(B_{\zeta }(\varepsilon ))={\frac {2\pi ^{\zeta /2}}{\zeta \Gamma (\zeta /2)}}\varepsilon ^{\zeta }.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2abba7668f973063a699414c8e106c6d617f22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:25.53ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle Vol(B_{\zeta }(\varepsilon ))={\frac {2\pi ^{\zeta /2}}{\zeta \Gamma (\zeta /2)}}\varepsilon ^{\zeta }.}"></center> Ici Γ désigne la <a href="/wiki/Fonction_gamma" title="Fonction gamma">fonction gamma</a>. Le contenu de Minkowski se généralise ainsi à des dimensions non entières. Cette dimension, qui permet de donner un sens à la longueur d'un arc, est appelée <a href="/wiki/Dimension_de_Hausdorff" title="Dimension de Hausdorff">dimension de Hausdorff</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Notes et références">modifier le code</a>]</div> <div class="references-small decimal" style="column-width:36em; column-count:2;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Tablettes de Suse - voir par exemple <a rel="nofollow" class="external text" href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/">π et √2 chez les babyloniens</a>. </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Archimède, <a href="/wiki/De_la_sph%C3%A8re_et_du_cylindre" title="De la sphère et du cylindre">De la sphère et du cylindre</a> - <a href="/wiki/De_la_mesure_du_cercle" title="De la mesure du cercle">De la mesure du cercle</a> - Sur les conoïdes et les sphéroïdes, tome 1 Belles Lettres (2003) (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2251000240" title="Spécial:Ouvrages de référence/2251000240">2251000240</a>). </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="/wiki/Karine_Chemla" title="Karine Chemla">Karine Chemla</a> et Guo Shuchun, <cite class="italique">Les neuf chapitres : Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires</cite> [<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Neuf_Chapitres_(ChemlaShuchun)" title="Référence:Neuf Chapitres (ChemlaShuchun)">détail de l’édition</a>]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Les+neuf+chapitres&rft.stitle=Le+classique+math%C3%A9matique+de+la+Chine+ancienne+et+ses+commentaires&rft.aulast=Chemla&rft.aufirst=Karine&rft.au=Shuchun%2C+Guo&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ALongueur+d%27un+arc">, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 144-147. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Torricelli, Opere, III, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 368 et 477 : Lettres à Ricci de 1646 et à Cavalieri (1598-1647). </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> James W. P. Campbell, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.vrijmetselaarsgilde.eu/Maconnieke%20Encyclopedie/WMAP~1/wren/science"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Scientific Work of Christopher Wren</cite></a> », <time>2001</time>. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Voir par exemple R. Ferreol et J. Madonnet, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathcurve.com/courbes2d/parabolesemicubic/parabolesemicubic.shtml"><cite style="font-style:normal;">Parabole semi-cubique</cite></a> », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, <time>2003</time>. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : latin">(la)</abbr> <a href="/wiki/John_Wallis" title="John Wallis">J. Wallis</a>, Tractatus duo, Opera t. 1 (1659), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 551. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Ces preuves sont publiées par <a href="/wiki/Frans_van_Schooten" title="Frans van Schooten">van Schooten</a> en 1659 dans la <a href="/wiki/La_G%C3%A9om%C3%A9trie_(Descartes)" title="La Géométrie (Descartes)">Géométrie</a> de <a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">Descartes</a>. </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : latin">(la)</abbr> <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">P. de Fermat</a>, Dissertatio de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione, Œuvres t.1 (1660), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 211. </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <a href="/wiki/Marcel_Berger" title="Marcel Berger">Marcel Berger</a> et Bernard Gostiaux, <cite class="italique">Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces</cite> [<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_(Berger,_Gostiaux)" title="Référence:Géométrie différentielle (Berger, Gostiaux)">détail des éditions</a>]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=G%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+%3A+vari%C3%A9t%C3%A9s%2C+courbes+et+surfaces&rft.aulast=Berger&rft.aufirst=Marcel&rft.au=Gostiaux%2C+Bernard&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ALongueur+d%27un+arc">, p. 302. </li> <li id="cite_note-BG303-11">↑ <a href="#cite_ref-BG303_11-0">a</a> et <a href="#cite_ref-BG303_11-1">b</a> <a href="#BergerGostiaux">Berger et Gostiaux</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 303. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> « Il est essentiel de remarquer que la […] longueur L [d'un arc ([a, b], f)] n'est jamais égale à la longueur du <a href="/wiki/Graphe_d%27une_fonction" title="Graphe d'une fonction">graphe</a> de f ; celle-ci est un élément de l'intervalle ]L, L + b – a]. » — <a href="/wiki/Gustave_Choquet" title="Gustave Choquet">Gustave Choquet</a>, <cite class="italique">Cours d'analyse</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> II : Topologie, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 104<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cours+d%27analyse&rft.aulast=Choquet&rft.aufirst=Gustave&rft.volume=II&rft.pages=104&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ALongueur+d%27un+arc">. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a>, La naissance du calcul différentiel, rééd. <a href="/wiki/Librairie_philosophique_J._Vrin" class="mw-redirect" title="Librairie philosophique J. Vrin">Vrin</a>, 2000 (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2711609979" title="Spécial:Ouvrages de référence/2711609979">2711609979</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 203. </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> <cite style="font-style:normal">« Lettre de Fermat à C. de la Chambre du Dimanche <abbr class="abbr" title="Premier">1er</abbr> janvier 1662 »</cite>, dans <a href="/wiki/Paul_Tannery" title="Paul Tannery">Paul Tannery</a> et <a href="/wiki/Charles_Henry" title="Charles Henry">Charles Henry</a>, <cite class="italique">Œuvres de Fermat</cite> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABR8792.0002.001;didno=ABR8792.0002.001;view=pdf;seq=00000472">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 458<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=%C5%92uvres+de+Fermat&rft.atitle=Lettre+de+Fermat+%C3%A0+C.+de+la+Chambre+du+Dimanche+1er+janvier+1662&rft.pages=458&rft_id=http%3A%2F%2Fquod.lib.umich.edu%2Fcgi%2Ft%2Ftext%2Fpageviewer-idx%3Fc%3Dumhistmath%3Bcc%3Dumhistmath%3Brgn%3Dfull%2520text%3Bidno%3DABR8792.0002.001%3Bdidno%3DABR8792.0002.001%3Bview%3Dpdf%3Bseq%3D00000472&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ALongueur+d%27un+arc">. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Pour plus de détails, voir par exemple : J.-P. Pérez et E. Anterrieu, Optique : Fondements et applications, Dunod (<abbr class="abbr" title="Septième">7e</abbr> édition) 2004 (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-210048497-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-210048497-3">978-210048497-3</a>). </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Galilée avait imaginé que la solution au problème brachistrochrone était le cercle : <a href="/wiki/Galileo_Galilei" class="mw-redirect" title="Galileo Galilei">Galileo Galilei</a> Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze Édité par Appresso gli elsevirii (1638) </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/John_J._O%27Connor" title="John J. O'Connor">John J. O'Connor</a> et <a href="/wiki/Edmund_Robertson" title="Edmund Robertson">Edmund F. Robertson</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone"><cite style="font-style:normal;" lang="en">The brachistochrone problem</cite></a> », sur <a href="/wiki/MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor</a>, <a href="/wiki/Universit%C3%A9_de_St_Andrews" title="Université de St Andrews">université de St Andrews</a>. </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> P. Maupertuis, Accord de différentes lois de la nature, texte original de 1744 édité dans Œuvres de Maupertuis, vol. IV, 1768, p. 16-17. </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">B. Riemann</a> Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen) publié par <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Dedekind</a> dans Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen vol. 13, 1867 et accessible en anglais <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/">lire</a> </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Pour plus de détails sur les variétés riemanniennes, voir <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Marcel_Berger" title="Marcel Berger">Marcel Berger</a>, <cite class="italique" lang="en">A Panoramic View of Riemannian Geometry</cite>, <time>2003</time> [<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_(Berger)" title="Référence:Géométrie différentielle (Berger)">détail de l’édition</a>]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Panoramic+View+of+Riemannian+Geometry&rft.aulast=Berger&rft.aufirst=Marcel&rft.date=2003&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ALongueur+d%27un+arc">. </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> J. Peiffer, Euler: Variations autour d'une courbe, Les cahiers de science et vie, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 68, 2002, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 72-79 </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> F. Martin-Robine, Histoire du principe de moindre action, Vuibert, 2006 (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2711771516" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2711771516">978-2711771516</a>) </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Dans un livre de géométrie différentielle, la définition précédente est en effet parfaitement suffisante : <a href="#BergerGostiaux">Berger et Gostiaux</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 315. </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> <a href="/wiki/Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">G. Peano</a>, Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane, dans <a href="/wiki/Mathematische_Annalen" title="Mathematische Annalen">Mathematische Annalen</a>, vol. 36, 1890, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 157-160 </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="/wiki/Hermann_Minkowski" title="Hermann Minkowski">H. Minkowski</a>, Geometrie der Zahlen, Teubner, Leipzig, 1896 ; republié par Johnson, New York, 1968 </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> <a href="/wiki/Camille_Jordan_(math%C3%A9maticien)" title="Camille Jordan (mathématicien)">C. Jordan</a>, Cours d'analyse de l'école polytechnique, 3 volumes, Jacques Gabay, première publication entre 1882 et 1887 (1991) (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-287647018-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-287647018-7">978-287647018-7</a>) </li> <li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> Cette définition est équivalente à celle de <a href="#BergerGostiaux">Berger et Gostiaux</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 314. </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> La démonstration présentée ici est un grand classique ; on la trouve par exemple dans <a href="/wiki/Jacques_Dixmier" title="Jacques Dixmier">Jacques Dixmier</a>, Cours de mathématiques du premier cycle Gauthier-Villars, 1976 (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-04-002687-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-04-002687-5">978-2-04-002687-5</a>), chap. 53. </li> <li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> <a href="#Choquet">Choquet</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 138. </li> <li id="cite_note-30"><a href="#cite_ref-30">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> A. P. Burton et P. Smith, « Isoperimetric inequalities and areas of projections in Rn », dans <a href="/wiki/Acta_Mathematica_Hungarica" title="Acta Mathematica Hungarica">Acta Mathematica Hungarica</a>, vol. 62, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 3-4, 1993 </li> <li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> H. Liebmann, « Über die Verbiegung der geschlossenen Flachen positiver Krümm », dans <a href="/wiki/Mathematische_Annalen" title="Mathematische Annalen">Math. Ann.</a>, vol. 53, 1900, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 81-112 </li> <li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Robert Osserman, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The isoperimetric inequality</cite> », Bull. Amer. Math. Soc., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 84, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 6,‎ <time>1978</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 1183-1238 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/S0002-9904-1978-14553-4.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+isoperimetric+inequality&rft.jtitle=Bull.+Amer.+Math.+Soc.&rft.issue=6&rft.aulast=Osserman&rft.aufirst=Robert&rft.date=1978&rft.volume=84&rft.pages=1183-1238&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.ams.org%2Fbull%2F1978-84-06%2FS0002-9904-1978-14553-4%2FS0002-9904-1978-14553-4.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ALongueur+d%27un+arc"> : <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 1188. </li> <li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">↑</a> Cet exemple est tiré de <a href="#BergerGostiaux">Berger et Gostiaux</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 226. </li> <li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> On trouve cette définition dans <a href="#Osserman1978">Osserman 1978</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 1189. </li> <li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">↑</a> La démonstration présentée ici s'inspire de celle du corollaire de <a href="#BergerGostiaux">Berger et Gostiaux</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 254. </li> <li id="cite_note-36"><a href="#cite_ref-36">↑</a> H. von Koch, « Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes », <a href="/wiki/Acta_Mathematica" title="Acta Mathematica">Acta Math.</a>, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 30, 1906, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 145-174. </li> <li id="cite_note-37"><a href="#cite_ref-37">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Edward_Lorenz" title="Edward Lorenz">Edward N. Lorenz</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Deterministic Nonperiodic Flow</cite> », J. Atmos. Sci., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 20,‎ <time>1963</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 130-141 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1175/1520-0469%281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2">10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Deterministic+Nonperiodic+Flow&rft.jtitle=J.+Atmos.+Sci.&rft.aulast=Lorenz&rft.aufirst=Edward+N.&rft.date=1963&rft.volume=20&rft.pages=130-141&rft_id=info%3Adoi%2F10.1175%2F1520-0469%281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ALongueur+d%27un+arc">. </li> </ol> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liens_externes">Liens externes</h2>[<a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Liens externes">modifier le code</a>]</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.lacosmo.com/ortho/ortho.html">Distance à vol d'oiseau entre deux points de la surface terrestre</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://the-blade-of-parliament.chez-alice.fr//Perimetre.pdf">Périmètre de la représentation graphique d'une fonction f(x)</a> (à ne pas confondre avec la longueur de l'arc f)</li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_%C3%89tude_de_courbe" title="Modèle:Palette Étude de courbe"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_%C3%89tude_de_courbe&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Fichier:Nuvola_apps_kmplot.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/40px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/60px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/80px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a> <a href="/wiki/Courbe" title="Courbe">Courbe</a> - Éléments de navigation</div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:90px">Modes de génération</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Repr%C3%A9sentation_graphique_d%27une_fonction_math%C3%A9matique" title="Représentation graphique d'une fonction mathématique">Représentation graphique d'une fonction mathématique</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_cart%C3%A9sienne" title="Équation cartésienne">Équation cartésienne</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_polaire" title="Équation polaire">Équation polaire</a></li> <li><a href="/wiki/Arc_param%C3%A9tr%C3%A9" title="Arc paramétré">Arc paramétré</a></li> <li><a href="/wiki/Trajectoire" title="Trajectoire">Trajectoire</a></li> <li><a href="/wiki/Courbe_de_niveau" title="Courbe de niveau">Courbe de niveau</a></li> <li><a href="/wiki/Courbe_plane" title="Courbe plane">Courbe plane</a></li> <li><a href="/wiki/Courbe_gauche" title="Courbe gauche">Courbe gauche</a></li> <li><a href="/wiki/Courbe_trac%C3%A9e_sur_une_surface" title="Courbe tracée sur une surface">Courbe tracée sur une surface</a></li> <li><a href="/wiki/Courbe_alg%C3%A9brique_r%C3%A9elle_plane" title="Courbe algébrique réelle plane">Courbe algébrique</a></li> <li><a href="/wiki/Courbe_elliptique" title="Courbe elliptique">Courbe elliptique</a></li> <li><a href="/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier" title="Courbe de Bézier">Courbe de Bézier</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:90px">Éléments remarquables</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Tangente_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Tangente (géométrie)">Tangente</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Longueur d'un arc</a></li> <li><a href="/wiki/Abscisse_curviligne" title="Abscisse curviligne">Abscisse curviligne</a></li> <li><a href="/wiki/Courbure_d%27un_arc" title="Courbure d'un arc">Courbure</a></li> <li><a href="/wiki/Cercle_osculateur" title="Cercle osculateur">Cercle osculateur</a></li> <li><a href="/wiki/Rayon_de_courbure" title="Rayon de courbure">Rayon de courbure</a></li> <li><a href="/wiki/Cercle_osculateur" title="Cercle osculateur">Centre de courbure</a></li> <li><a href="/wiki/Torsion_d%27une_courbe" title="Torsion d'une courbe">Torsion</a></li> <li><a href="/wiki/Rep%C3%A8re_de_Frenet" title="Repère de Frenet">Repère de Frenet</a></li> <li><a href="/wiki/Rep%C3%A8re_de_Darboux" title="Repère de Darboux">Repère de Darboux</a></li> <li><a href="/wiki/Sinuosit%C3%A9" title="Sinuosité">Sinuosité</a></li> <li><a href="/wiki/Asymptote" title="Asymptote">Asymptote</a></li> <li><a href="/wiki/Point_d%27inflexion" title="Point d'inflexion">Point d'inflexion</a></li> <li><a href="/wiki/Point_de_rebroussement" title="Point de rebroussement">Point de rebroussement</a></li> <li><a href="/wiki/Bitangente" title="Bitangente">Bitangente</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:90px">Traçage</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Compas_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Compas (géométrie)">Compas</a></li> <li><a href="/wiki/Compas_parfait" title="Compas parfait">Compas parfait</a></li> <li><a href="/wiki/Ellipsographe" title="Ellipsographe">Ellipsographe</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canisme_de_Watt" title="Mécanisme de Watt">Mécanisme de Watt</a></li> <li><a href="/wiki/Pantographe_(dessin)" title="Pantographe (dessin)">Pantographe</a></li> <li><a href="/wiki/Spirographe_(jeu)" title="Spirographe (jeu)">Spirographe</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27universalit%C3%A9_de_Kempe" title="Théorème d'universalité de Kempe">Théorème d'universalité de Kempe</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:90px">Transformées</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/D%C3%A9velopp%C3%A9e" title="Développée">Développée</a></li> <li><a href="/wiki/D%C3%A9veloppante" class="mw-redirect" title="Développante">Développante</a></li> <li><a href="/wiki/Podaire" title="Podaire">Podaire</a></li> <li><a href="/wiki/Caustique" title="Caustique">Caustique</a></li> <li><a href="/wiki/Tractoire" title="Tractoire">Tractoire</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <td class="navbox-list navbox-even" style="" colspan="2"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Courbes" title="Modèle:Palette Courbes">Familles de courbes</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><a href="/wiki/Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Portail de la géométrie"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/24px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/36px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/48px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a> <a href="/wiki/Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Portail:Géométrie">Portail de la géométrie</a> </li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&oldid=214812420">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Longueur_d%27un_arc&oldid=214812420</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégorie</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:%C3%89tude_m%C3%A9trique_des_courbes" title="Catégorie:Étude métrique des courbes">Étude métrique des courbes</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Géométrie/Articles liés">Portail:Géométrie/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Math%C3%A9matiques/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Mathématiques/Articles liés">Portail:Mathématiques/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 4 mai 2024 à 10:42.</li> <li id="footer-info-copyright"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit 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Longueur d'un arc — Wikipédia