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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script 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ltx_tag_ref">III </span>Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S4" title="In Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span>Summary</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5" title="In Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span>Appendix</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS1" title="In V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.1 </span>EP dynamics of two-level system</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS2" title="In V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.2 </span>NESS of an open two-level system</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS3" title="In V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.3 </span>Non-Hermitian Heisenberg model and EP dynamics</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS3.SSS1" title="In V.3 Non-Hermitian Heisenberg model and EP dynamics ‣ V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.3.1 </span>model and EP</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS3.SSS2" title="In V.3 Non-Hermitian Heisenberg model and EP dynamics ‣ V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.3.2 </span>high order EP dynamics</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS4" title="In V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.4 </span>NESS of the open quantum spin system subjected to a local magnetic field</span></a></li> </ol> </li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">X. Z. Zhang </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:zhangxz@tjnu.edu.cn">zhangxz@tjnu.edu.cn</a> </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">College of Physics and Materials Science, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.1">The dynamics described by the non-Hermitian Hamiltonian typically capture the short-term behavior of open quantum systems before quantum jumps occur. In contrast, the long-term dynamics, characterized by the Lindblad master equation (LME), drive the system towards a non-equilibrium steady state (NESS), which is an eigenstate with zero energy of the Liouvillian superoperator, denoted as <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="id1.1.m1.1.1" xref="id1.1.m1.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.m1.1b"><ci id="id1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.m1.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.m1.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math>. Conventionally, these two types of evolutions exhibit distinct dynamical behaviors. However, in this study, we challenge this common belief and demonstrate that the effective non-Hermitian Hamiltonian can accurately represent the long-term dynamics of a critical two-level open quantum system. The criticality of the system arises from the exceptional point (EP) of the effective non-Hermitian Hamiltonian. Additionally, the NESS is identical to the coalescent state of the effective non-Hermitian Hamiltonian. We apply this finding to a series of critical open quantum systems and show that a local dissipation channel can induce collective alignment of all spins in the same direction. This direction can be well controlled by modulating the quantum jump operator. The corresponding NESS is a product state and maintains long-time coherence, facilitating quantum control in open many-body systems. This discovery paves the way for a better understanding of the long-term dynamics of critical open quantum systems.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Open quantum many-body systems have emerged as a captivating research field at the intersection of theoretical and experimental physics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Breuer and Petruccione (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib1" title="">2002</a>); Weiss (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib2" title="">2012</a>); Rivas and Huelga (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib3" title="">2012</a>)</cite>. Comprising numerous interacting quantum particles, these systems exhibit intricate and captivating dynamics that elude traditional closed quantum systems. The interaction of these systems with an external environment leads to dissipation and decoherence, presenting new challenges and opportunities for exploring quantum phenomena <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Pellizzari <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib4" title="">1995</a>); Balasubramanian <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib5" title="">2009</a>); Lanyon <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib6" title="">2011</a>); Paik <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib7" title="">2011</a>)</cite>. Recent advancements have been made in the realization and manipulation of open quantum many-body systems in atomic, molecular, and optical (AMO) systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Kasprzak <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib8" title="">2006</a>); Bloch <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib9" title="">2008</a>); Bloch (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib10" title="">2008</a>); Diehl <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib11" title="">2008</a>); Syassen <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib12" title="">2008</a>); Baumann <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib13" title="">2010</a>); Barreiro <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib14" title="">2011</a>); Schauß <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib15" title="">2012</a>); Ritsch <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib16" title="">2013</a>); Carusotto and Ciuti (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib17" title="">2013</a>); Daley (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib18" title="">2014</a>)</cite>, which offer precise control over individual quantum particles and enable the engineering of complex interactions and dissipation mechanisms. In addition, state-of-the-art measurement techniques, such as quantum state tomography and quantum non-demolition measurements, provide unprecedented opportunities to investigate the dynamics of these systems with high precision <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Nelson <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib19" title="">2007</a>); Gericke <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib20" title="">2008</a>); Hofferberth <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib21" title="">2008</a>); Bakr <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib22" title="">2009</a>); Sherson <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib23" title="">2010</a>); Miranda <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib24" title="">2015</a>); Cheuk <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib25" title="">2015</a>); Parsons <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib26" title="">2015</a>); Haller <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib27" title="">2015</a>); Omran <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib28" title="">2015</a>); Edge <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib29" title="">2015</a>); Yamamoto <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib30" title="">2016</a>); Alberti <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib31" title="">2016</a>)</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">The dynamics of an open quantum system are typically described by a quantum master equation, specifically the Lindblad master equation (LME). This is attributed to the weak coupling and separation of timescales between the system and its environment. The Liouvillian superoperator <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.1"><semantics id="S1.p2.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.1b"><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> governs the time evolution of the density matrix, fully characterizing the relaxation dynamics of an open quantum system through its complex spectrum and eigenmodes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Rivas and Huelga (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib3" title="">2012</a>)</cite>. A notable feature of open quantum systems is the presence of long-lived states that emerge far from equilibrium, known as non-equilibrium steady states (NESS). These NESS can exhibit novel properties, such as the presence of quantum correlations and the breakdown of conventional statistical mechanics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Eisert <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib32" title="">2015</a>)</cite>. Investigating the conditions and properties of NESS is currently an active area of research.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S1.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="164" id="S1.F1.g1" src="x1.png" width="398"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>Schematic illustration of the magnetization in a non-equilibrium quantum spin system. The system comprises six spins, with the third spin subjected to a local external field represented as <math alttext="\lambda s_{3}^{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F1.3.m1.1"><semantics id="S1.F1.3.m1.1b"><mrow id="S1.F1.3.m1.1.1" xref="S1.F1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.F1.3.m1.1.1.2" xref="S1.F1.3.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.F1.3.m1.1.1.1" xref="S1.F1.3.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.F1.3.m1.1.1.3" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.2" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.3" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn><mi id="S1.F1.3.m1.1.1.3.3" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F1.3.m1.1c"><apply id="S1.F1.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1"><times id="S1.F1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1.1"></times><ci id="S1.F1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S1.F1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3.2.3">3</cn></apply><ci id="S1.F1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.F1.3.m1.1.1.3.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F1.3.m1.1d">\lambda s_{3}^{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F1.3.m1.1e">italic_λ italic_s start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and a dissipation channel characterized by the quantum jump operator <math alttext="L=e^{-i\pi s^{x}/2}s_{3}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F1.4.m2.1"><semantics id="S1.F1.4.m2.1b"><mrow id="S1.F1.4.m2.1.1" xref="S1.F1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.F1.4.m2.1.1.2" xref="S1.F1.4.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S1.F1.4.m2.1.1.1" xref="S1.F1.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.F1.4.m2.1.1.3" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.cmml"><msup id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.2" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3b" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.cmml"><mrow id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.1" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.1b" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.cmml"><mi id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.cmml">s</mi><mi id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.3" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.3.cmml">x</mi></msup></mrow><mo id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.1" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.3" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="S1.F1.4.m2.1.1.3.1" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">3</mn><mo id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.3" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F1.4.m2.1c"><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1"><eq id="S1.F1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.F1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.2">𝐿</ci><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3"><times id="S1.F1.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3"><minus id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3"></minus><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2"><divide id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.1"></divide><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2"><times id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.1"></times><ci id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.3">𝜋</ci><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2">𝑠</ci><ci id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.3.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.2.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.2.3">3</cn></apply><minus id="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.F1.4.m2.1.1.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F1.4.m2.1d">L=e^{-i\pi s^{x}/2}s_{3}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F1.4.m2.1e">italic_L = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_π italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT / 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The green-shaded region in the illustration depicts the local external field. The long-lived NESS of the system converges to a coherent product state, with all spins aligning in the same direction, when a critical field is activated. This behavior results from the identical dynamic effects induced by two types of probability of the the SSE in each quantum trajectory. Importantly, this finding remains robust irrespective of the system’s structure and the initial spin configuration.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">The non-Hermitian Hamiltonian is an extension of standard quantum mechanics that allows for the description of dissipative systems in a minimalistic manner. In recent years, there has been a growing interest in using non-Hermitian descriptions to study condensed matter systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Lee (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib33" title="">2016</a>); Kunst <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib34" title="">2018</a>); Yao <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib35" title="">2018</a>); Gong <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib36" title="">2018</a>); El-Ganainy <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib37" title="">2018</a>); Nakagawa <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib38" title="">2018</a>); Shen and Fu (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib39" title="">2018</a>); Wu <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib40" title="">2019</a>); Yamamoto <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib41" title="">2019</a>); Song <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib42" title="">2019</a>); Yang and Hu (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib43" title="">2019</a>); Hamazaki <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib44" title="">2019</a>); Li <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib45" title="">2019</a>); Kawabata <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib46" title="">2019a</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib47" title="">b</a>); Lee <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib48" title="">2019</a>); Yokomizo and Murakami (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib49" title="">2019</a>); Jin <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib50" title="">2020</a>)</cite> . These descriptions have not only expanded the realm of condensed-matter physics, providing insightful perspectives, but also offered a fruitful framework for understanding inelastic collisions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Xu <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib51" title="">2017</a>)</cite>, disorder effects <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Shen and Fu (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib39" title="">2018</a>); Hamazaki <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib44" title="">2019</a>)</cite>, and system-environment couplings <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Nakagawa <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib38" title="">2018</a>); Yang and Hu (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib43" title="">2019</a>); Song <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib42" title="">2019</a>)</cite>. The interplay between non-Hermiticity and interactions can lead to exotic quantum many-body effects, such as non-Hermitian extensions of the Kondo effect <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Nakagawa <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib38" title="">2018</a>); Lourenço <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib52" title="">2018</a>)</cite>, many-body localization <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Hamazaki <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib44" title="">2019</a>)</cite>, and fermionic superfluidity <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Yamamoto <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib41" title="">2019</a>); Okuma and Sato (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib53" title="">2019</a>)</cite>. One intriguing feature of non-Hermitian systems is the presence of exceptional points (EPs), which are degeneracies of non-Hermitian operators where the eigenvalues and corresponding eigenstates merge into a single state <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Berry (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib54" title="">2004</a>); Heiss (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib55" title="">2012</a>); Lee (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib33" title="">2016</a>); Miri and Alù (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib56" title="">2019</a>); Zhang and Gong (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib57" title="">2020</a>)</cite>. These EPs give rise to fascinating dynamical phenomena, including asymmetric mode switching <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Doppler <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib58" title="">2016</a>)</cite>, topological energy transfer <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Xu <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib59" title="">2016</a>)</cite>, robust wireless power transfer <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Assawaworrarit <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib60" title="">2017</a>)</cite>, and enhanced sensitivity <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Wiersig (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib61" title="">2014</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib62" title="">2016</a>); Hodaei <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib63" title="">2017</a>); Chen <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib64" title="">2017</a>)</cite>, depending on the nature of their EP degeneracies. High-order EPs, where more than two eigenstates coalesce, have attracted significant attention due to their topological and distinct dynamical properties <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Zhang <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib65" title="">2012</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib66" title="">2020a</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib67" title="">2020b</a>); Zhang and Song (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib68" title="">2020</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib69" title="">2021</a>); Yang and Song (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib70" title="">2021</a>); Xu <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib71" title="">2023</a>); Xu and Jin (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib72" title="">2023</a>)</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">In the context of open quantum systems, the evolved density matrix driven by the LME can be obtained by averaging an ensemble of quantum trajectories. Each trajectory is determined by the stochastic Schröinger equation (SSE). The SSE involves two types of probability evolution: a non-unitary evolution determined by the effective non-Hermitian Hamiltonian and a state collapse induced by the quantum jump operator. Generally, the non-Hermitian Hamiltonian captures the short-term dynamics of the open quantum system before a quantum jump occurs or describes a post-selected trajectory that necessitates substantial experimental resources. The dynamical consequences of the effective non-Hermitian system are irrelevant to the NESS of the open quantum system. The objective of this paper is to establish the connection between the dynamics determined by the non-Hermitian Hamiltonian and the LME. First, we review the connection between the stochastic SSE and the LME. We demonstrate how to modulate the quantum jump operator to make the evolved state converge to the coalescent state determined by the critical non-Hermitian Hamiltonian in each quantum trajectory. Essentially, the evolution direction dictated by the critical non-Hermitian Hamiltonian coincides with that determined by the quantum jump operator. This is a unique characteristic of the critical non-Hermitian Hamiltonian that lacks in non-Hermitian Hamiltonians without exceptional points (EPs) or imaginary energy levels. Furthermore, we generalize this mechanism to the critical quantum spin system with high-order EPs. We demonstrate that a single local dissipation can cause the collective rotation of spins in a specific direction, which is shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S1.F1" title="Figure 1 ‣ I Introduction ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. The achieved NESS is equivalent to the coalescent state of such a critical non-Hermitian Hamiltonian. Remarkably, this non-equilibrium behavior remains unaffected by the system’s geometry, initial spin configuration, and weak disorder, thus highlighting its robustness. These analytical findings possess independent interest and hold the potential to inspire future analytical studies on critical open quantum systems.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">The remainder of the paper is organized as follows: Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S2" title="II Heuristic derivation ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II</span></a> provides a review of the LME and the SSE, demonstrating the underlying mechanism using a two-level open quantum system. Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3" title="III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III</span></a> applies the obtained mechanism to an open quantum spin system. We showcase the coincidence between EP dynamics and the magnetization of the open quantum spin system. Furthermore, we analyze the proposed scheme across various system parameters. We conclude the paper in Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S4" title="IV Summary ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a>. Supplementary details of our calculation are provided in the Appendix.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S1.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="301" id="S1.F2.g1" src="x2.png" width="373"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Plot of the purity Tr<math alttext="\left(\rho_{\mathrm{NESS}}^{2}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.12.m1.1"><semantics id="S1.F2.12.m1.1b"><mrow id="S1.F2.12.m1.1.1.1" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.F2.12.m1.1.1.1.2" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">NESS</mi><mn id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S1.F2.12.m1.1.1.1.3" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.12.m1.1c"><apply id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.2.3">NESS</ci></apply><cn id="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.F2.12.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.12.m1.1d">\left(\rho_{\mathrm{NESS}}^{2}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.12.m1.1e">( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> as the function of <math alttext="\lambda/\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.13.m2.1"><semantics id="S1.F2.13.m2.1b"><mrow id="S1.F2.13.m2.1.1" xref="S1.F2.13.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.F2.13.m2.1.1.2" xref="S1.F2.13.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.F2.13.m2.1.1.1" xref="S1.F2.13.m2.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S1.F2.13.m2.1.1.3" xref="S1.F2.13.m2.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.13.m2.1c"><apply id="S1.F2.13.m2.1.1.cmml" xref="S1.F2.13.m2.1.1"><divide id="S1.F2.13.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.F2.13.m2.1.1.1"></divide><ci id="S1.F2.13.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.F2.13.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S1.F2.13.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.F2.13.m2.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.13.m2.1d">\lambda/\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.13.m2.1e">italic_λ / italic_γ</annotation></semantics></math>. The blue and red lines correspond to the quantum jump operators <math alttext="L=s^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.14.m3.1"><semantics id="S1.F2.14.m3.1b"><mrow id="S1.F2.14.m3.1.1" xref="S1.F2.14.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.F2.14.m3.1.1.2" xref="S1.F2.14.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S1.F2.14.m3.1.1.1" xref="S1.F2.14.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S1.F2.14.m3.1.1.3" xref="S1.F2.14.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S1.F2.14.m3.1.1.3.2" xref="S1.F2.14.m3.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.F2.14.m3.1.1.3.3" xref="S1.F2.14.m3.1.1.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.14.m3.1c"><apply id="S1.F2.14.m3.1.1.cmml" xref="S1.F2.14.m3.1.1"><eq id="S1.F2.14.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.F2.14.m3.1.1.1"></eq><ci id="S1.F2.14.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.F2.14.m3.1.1.2">𝐿</ci><apply id="S1.F2.14.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.F2.14.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F2.14.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.F2.14.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.F2.14.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.F2.14.m3.1.1.3.2">𝑠</ci><minus id="S1.F2.14.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.F2.14.m3.1.1.3.3"></minus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.14.m3.1d">L=s^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.14.m3.1e">italic_L = italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\widetilde{L}=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}s^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.15.m4.1"><semantics id="S1.F2.15.m4.1b"><mrow id="S1.F2.15.m4.1.1" xref="S1.F2.15.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.F2.15.m4.1.1.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.F2.15.m4.1.1.2.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S1.F2.15.m4.1.1.2.1" xref="S1.F2.15.m4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S1.F2.15.m4.1.1.1" xref="S1.F2.15.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.F2.15.m4.1.1.3" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.cmml"><msup id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3b" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.1" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.1b" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.cmml"><mi id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.2.cmml">s</mi><mi id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.3" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.3.cmml">x</mi></msup></mrow></mrow></msup><mo id="S1.F2.15.m4.1.1.3.1" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.F2.15.m4.1.1.3.3" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.2" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.3" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.15.m4.1c"><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1"><eq id="S1.F2.15.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.1"></eq><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.2"><ci id="S1.F2.15.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S1.F2.15.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3"><times id="S1.F2.15.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.1"></times><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3"><minus id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3"></minus><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2"><times id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.1"></times><ci id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3"><divide id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3"></divide><ci id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.2">𝜋</ci><cn id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.2">𝑠</ci><ci id="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.3.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.2.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.2">𝑠</ci><minus id="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.F2.15.m4.1.1.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.15.m4.1d">\widetilde{L}=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}s^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.15.m4.1e">over~ start_ARG italic_L end_ARG = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively. The blue line monotonically decreases to <math alttext="0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.16.m5.1"><semantics id="S1.F2.16.m5.1b"><mn id="S1.F2.16.m5.1.1" xref="S1.F2.16.m5.1.1.cmml">0.5</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.16.m5.1c"><cn id="S1.F2.16.m5.1.1.cmml" type="float" xref="S1.F2.16.m5.1.1">0.5</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.16.m5.1d">0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.16.m5.1e">0.5</annotation></semantics></math>, indicating a completely mixed state. The red line initially decreases and then returns to <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.17.m6.1"><semantics id="S1.F2.17.m6.1b"><mn id="S1.F2.17.m6.1.1" xref="S1.F2.17.m6.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.17.m6.1c"><cn id="S1.F2.17.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.F2.17.m6.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.17.m6.1d">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.17.m6.1e">1</annotation></semantics></math>. There is a range around <math alttext="0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.18.m7.1"><semantics id="S1.F2.18.m7.1b"><mn id="S1.F2.18.m7.1.1" xref="S1.F2.18.m7.1.1.cmml">0.5</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.18.m7.1c"><cn id="S1.F2.18.m7.1.1.cmml" type="float" xref="S1.F2.18.m7.1.1">0.5</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.18.m7.1d">0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.18.m7.1e">0.5</annotation></semantics></math> where the evolved state can be approximated as a pure state. When <math alttext="\lambda/\gamma=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.19.m8.1"><semantics id="S1.F2.19.m8.1b"><mrow id="S1.F2.19.m8.1.1" xref="S1.F2.19.m8.1.1.cmml"><mrow id="S1.F2.19.m8.1.1.2" xref="S1.F2.19.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S1.F2.19.m8.1.1.2.2" xref="S1.F2.19.m8.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.F2.19.m8.1.1.2.1" xref="S1.F2.19.m8.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S1.F2.19.m8.1.1.2.3" xref="S1.F2.19.m8.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S1.F2.19.m8.1.1.1" xref="S1.F2.19.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.F2.19.m8.1.1.3" xref="S1.F2.19.m8.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.19.m8.1c"><apply id="S1.F2.19.m8.1.1.cmml" xref="S1.F2.19.m8.1.1"><eq id="S1.F2.19.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.F2.19.m8.1.1.1"></eq><apply id="S1.F2.19.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.F2.19.m8.1.1.2"><divide id="S1.F2.19.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S1.F2.19.m8.1.1.2.1"></divide><ci id="S1.F2.19.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S1.F2.19.m8.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S1.F2.19.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S1.F2.19.m8.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S1.F2.19.m8.1.1.3.cmml" type="float" xref="S1.F2.19.m8.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.19.m8.1d">\lambda/\gamma=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.19.m8.1e">italic_λ / italic_γ = 0.5</annotation></semantics></math>, the NESS is <math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.20.m9.1"><semantics id="S1.F2.20.m9.1b"><msub id="S1.F2.20.m9.1.1" xref="S1.F2.20.m9.1.1.cmml"><mi id="S1.F2.20.m9.1.1.2" xref="S1.F2.20.m9.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S1.F2.20.m9.1.1.3" xref="S1.F2.20.m9.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.20.m9.1c"><apply id="S1.F2.20.m9.1.1.cmml" xref="S1.F2.20.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.F2.20.m9.1.1.1.cmml" xref="S1.F2.20.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.F2.20.m9.1.1.2.cmml" xref="S1.F2.20.m9.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S1.F2.20.m9.1.1.3.cmml" xref="S1.F2.20.m9.1.1.3">NESS</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.20.m9.1d">\rho_{\mathrm{NESS}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.20.m9.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="|y,+\rangle\langle y,+|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S1.F2.21.m10.2"><semantics id="S1.F2.21.m10.2b"><mrow id="S1.F2.21.m10.2c"><mo fence="false" id="S1.F2.21.m10.2.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S1.F2.21.m10.1.1">y</mi><mo id="S1.F2.21.m10.2.4" rspace="0em">,</mo><mo id="S1.F2.21.m10.2.2" lspace="0em" rspace="0em">+</mo><mo id="S1.F2.21.m10.2.5" stretchy="false">⟩</mo><mo id="S1.F2.21.m10.2.6" stretchy="false">⟨</mo><mi id="S1.F2.21.m10.2.7">y</mi><mo id="S1.F2.21.m10.2.8" rspace="0em">,</mo><mo id="S1.F2.21.m10.2.9" lspace="0em" rspace="0em">+</mo><mo fence="false" id="S1.F2.21.m10.2.10" stretchy="false">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.21.m10.2d">|y,+\rangle\langle y,+|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.21.m10.2e">| italic_y , + ⟩ ⟨ italic_y , + |</annotation></semantics></math>, which is also the coalescent of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F2.22.m11.1"><semantics id="S1.F2.22.m11.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.F2.22.m11.1.1" xref="S1.F2.22.m11.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F2.22.m11.1c"><ci id="S1.F2.22.m11.1.1.cmml" xref="S1.F2.22.m11.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F2.22.m11.1d">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F2.22.m11.1e">caligraphic_H</annotation></semantics></math>.</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span>Heuristic derivation</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">The dynamics of open quantum systems coupled to a Markovian environment are commonly described by the LME. The equation describing the time evolution of the density matrix <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\text{{d}}\rho}{\text{{d}}t}=-i(\mathcal{H}\rho-\rho\mathcal{H}^{\dagger% })+\sum_{\mu}\Gamma_{\mu}L_{\mu}\rho L_{\mu}^{\dagger}\equiv\mathcal{L}\rho." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.1"><semantics id="S2.E1.m1.1a"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mtext id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2a.cmml">d</mtext><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ρ</mi></mrow><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mtext id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2a.cmml">d</mtext><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">†</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">μ</mi></munder><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Γ</mi><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">L</mi><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1b" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.cmml">μ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.5.cmml">≡</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.1b"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1"><and id="S2.E1.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1"><eq id="S2.E1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2a.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2"><mtext id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2">d</mtext></ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2a.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2"><mtext id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2">d</mtext></ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℋ</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜌</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">ℋ</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">†</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">Γ</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜇</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4">𝜌</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.2">𝐿</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.5.3">†</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1"><equivalent id="S2.E1.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.5"></equivalent><share href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S2.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S2.E1.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.6"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.2">ℒ</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.6.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.1c">\frac{\text{{d}}\rho}{\text{{d}}t}=-i(\mathcal{H}\rho-\rho\mathcal{H}^{\dagger% })+\sum_{\mu}\Gamma_{\mu}L_{\mu}\rho L_{\mu}^{\dagger}\equiv\mathcal{L}\rho.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.1d">divide start_ARG d italic_ρ end_ARG start_ARG d italic_t end_ARG = - italic_i ( caligraphic_H italic_ρ - italic_ρ caligraphic_H start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ≡ caligraphic_L italic_ρ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.11">In this equation, <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m1.1"><semantics id="S2.p1.2.m1.1a"><mi id="S2.p1.2.m1.1.1" xref="S2.p1.2.m1.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m1.1b"><ci id="S2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m1.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m1.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m1.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> represents the density matrix. The non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m2.1"><semantics id="S2.p1.3.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.3.m2.1.1" xref="S2.p1.3.m2.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m2.1b"><ci id="S2.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m2.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m2.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m2.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> is given by <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m3.1"><semantics id="S2.p1.4.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.4.m3.1.1" xref="S2.p1.4.m3.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m3.1b"><ci id="S2.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m3.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m3.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m3.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> <math alttext="\mathcal{=}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.5.m4.1"><semantics id="S2.p1.5.m4.1a"><mo id="S2.p1.5.m4.1.1" xref="S2.p1.5.m4.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.5.m4.1b"><eq id="S2.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m4.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.5.m4.1c">\mathcal{=}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.5.m4.1d">=</annotation></semantics></math> <math alttext="H-\frac{i}{2}\sum_{\mu}\Gamma_{\mu}L_{\mu}^{\dagger}L_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.6.m5.1"><semantics id="S2.p1.6.m5.1a"><mrow id="S2.p1.6.m5.1.1" xref="S2.p1.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.2" xref="S2.p1.6.m5.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.p1.6.m5.1.1.1" xref="S2.p1.6.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.p1.6.m5.1.1.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.p1.6.m5.1.1.3.2" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.2" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mn id="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.p1.6.m5.1.1.3.1" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.2" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.3.cmml">μ</mi></msub><mrow id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.2.cmml">Γ</mi><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.1" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml">μ</mi><mo id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.1a" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.2" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.2.cmml">L</mi><mi id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.3" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.3.cmml">μ</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.6.m5.1b"><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1"><minus id="S2.p1.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.1"></minus><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3"><times id="S2.p1.6.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.1"></times><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.2"><divide id="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.2"></divide><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.2">𝑖</ci><cn id="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3"><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.2"></sum><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2"><times id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.2">Γ</ci><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.2">𝐿</ci><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.3.3">†</ci></apply><apply id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.2">𝐿</ci><ci id="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S2.p1.6.m5.1.1.3.3.2.4.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.6.m5.1c">H-\frac{i}{2}\sum_{\mu}\Gamma_{\mu}L_{\mu}^{\dagger}L_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.6.m5.1d">italic_H - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.7.m6.1"><semantics id="S2.p1.7.m6.1a"><mi id="S2.p1.7.m6.1.1" xref="S2.p1.7.m6.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.7.m6.1b"><ci id="S2.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="S2.p1.7.m6.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.7.m6.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.7.m6.1d">italic_H</annotation></semantics></math> is a Hermitian operator representing the system Hamiltonian. The non-Hermitian nature of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.8.m7.1"><semantics id="S2.p1.8.m7.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.8.m7.1.1" xref="S2.p1.8.m7.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.8.m7.1b"><ci id="S2.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="S2.p1.8.m7.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.8.m7.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.8.m7.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> accounts for the non-unitary dynamics observed in open quantum systems. The jump operators <math alttext="L_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.9.m8.1"><semantics id="S2.p1.9.m8.1a"><msub id="S2.p1.9.m8.1.1" xref="S2.p1.9.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.9.m8.1.1.2" xref="S2.p1.9.m8.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S2.p1.9.m8.1.1.3" xref="S2.p1.9.m8.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.9.m8.1b"><apply id="S2.p1.9.m8.1.1.cmml" xref="S2.p1.9.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.9.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.9.m8.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S2.p1.9.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.9.m8.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.9.m8.1c">L_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.9.m8.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> describe the dissipative quantum channels with a strength of <math alttext="\Gamma_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.10.m9.1"><semantics id="S2.p1.10.m9.1a"><msub id="S2.p1.10.m9.1.1" xref="S2.p1.10.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.10.m9.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p1.10.m9.1.1.2.cmml">Γ</mi><mi id="S2.p1.10.m9.1.1.3" xref="S2.p1.10.m9.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.10.m9.1b"><apply id="S2.p1.10.m9.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.10.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.10.m9.1.1.2">Γ</ci><ci id="S2.p1.10.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.10.m9.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.10.m9.1c">\Gamma_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.10.m9.1d">roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.11.m10.1"><semantics id="S2.p1.11.m10.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.11.m10.1.1" xref="S2.p1.11.m10.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.11.m10.1b"><ci id="S2.p1.11.m10.1.1.cmml" xref="S2.p1.11.m10.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.11.m10.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.11.m10.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> is the Liouvillian superoperator. Alternatively, one can track the trajectory of a pure state using a SSE, such as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx1"> <tbody id="S2.E2"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\text{{d}}|\Psi\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex1.m1.1"><semantics id="S2.Ex1.m1.1a"><mrow id="S2.Ex1.m1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.1.2.cmml"><mtext id="S2.Ex1.m1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.1.2.2a.cmml">d</mtext><mo id="S2.Ex1.m1.1.2.1" xref="S2.Ex1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.1.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.1.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.1b"><apply id="S2.Ex1.m1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.2"><times id="S2.Ex1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex1.m1.1.2.2a.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.2.2"><mtext id="S2.Ex1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.2.2">d</mtext></ci><apply id="S2.Ex1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1">Ψ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.1c">\displaystyle\text{{d}}|\Psi\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.1d">d | roman_Ψ ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex1.m2.1"><semantics id="S2.Ex1.m2.1a"><mo id="S2.Ex1.m2.1.1" xref="S2.Ex1.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m2.1b"><eq id="S2.Ex1.m2.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-i\mathcal{H}|\Psi\rangle\text{{d}}t+\frac{1}{2}\sum_{\mu}\Gamma_% {\mu}[\langle\Psi|L_{\mu}^{\dagger}L_{\mu}|\Psi\rangle]|\Psi\rangle\text{{d}}t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex1.m3.5"><semantics id="S2.Ex1.m3.5a"><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5" xref="S2.Ex1.m3.5.5.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.3a" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.3.cmml">ℋ</mi><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1a" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.4.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex1.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Ex1.m3.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.4.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1b" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.5" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.5a.cmml">d</mtext><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1c" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.6" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.6.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.1" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m3.5.5.1.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex1.m3.5.5.1.3a" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex1.m3.5.5.1.3.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex1.m3.5.5.1.3.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.2a" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.2.3.cmml">μ</mi></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.3.2.cmml">Γ</mi><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.3.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.Ex1.m3.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex1.m3.3.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">μ</mi><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">μ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex1.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex1.m3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.5" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.2a" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex1.m3.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex1.m3.4.4.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.2b" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.5" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.5a.cmml">d</mtext><mo id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.2c" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.6" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.6.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m3.5b"><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5"><plus id="S2.Ex1.m3.5.5.2.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.2"></plus><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3"><minus id="S2.Ex1.m3.5.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3"></minus><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.3.2"><times id="S2.Ex1.m3.5.5.3.2.1.cmml" 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id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">quantum-operator-product</csymbol><ci id="S2.Ex1.m3.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m3.3.3">Ψ</ci><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜇</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex1.m3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m3.2.2">Ψ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m3.5.5.1.1.1.4.2.1">ket</csymbol><ci id="S2.Ex1.m3.4.4.cmml" 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italic_t</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum_{\mu}(\frac{L_{\mu}|\Psi\rangle}{\sqrt{\langle\Psi|L_{\mu}^% {\dagger}L_{\mu}|\Psi\rangle}}-|\Psi\rangle)\text{{d}}N_{\mu}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.m1.6"><semantics id="S2.E2.m1.6a"><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1a" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" 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id="S2.E2.m1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><msqrt id="S2.E2.m1.4.4.4" xref="S2.E2.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.4.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E2.m1.3.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.3.3.3.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.3" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.4.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.cmml"><msubsup id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.2" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.3.cmml">μ</mi><mo id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3.2" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3.3.cmml">μ</mi></msub></mrow><mo id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.4.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E2.m1.2.2.2.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.5" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" 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xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.6b"><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1"><plus id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1"></plus><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1"><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.2.2"></sum><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E2.m1.4.4.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4"><divide id="S2.E2.m1.4.4.5.cmml" 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id="S2.E2.m1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.3.2.2.2">Ψ</ci><apply id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1"><times id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.1"></times><apply id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.4.3.3.3.1.3.1.cmml" 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xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.4.2">𝑁</ci><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.1.4.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.6c">\displaystyle+\sum_{\mu}(\frac{L_{\mu}|\Psi\rangle}{\sqrt{\langle\Psi|L_{\mu}^% {\dagger}L_{\mu}|\Psi\rangle}}-|\Psi\rangle)\text{{d}}N_{\mu},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.6d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( divide start_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT | roman_Ψ ⟩ end_ARG start_ARG square-root start_ARG ⟨ roman_Ψ | italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT | roman_Ψ ⟩ end_ARG end_ARG - | roman_Ψ ⟩ ) d italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.18">where the Poisson increment d<math alttext="N_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.12.m1.1"><semantics id="S2.p1.12.m1.1a"><msub id="S2.p1.12.m1.1.1" xref="S2.p1.12.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.12.m1.1.1.2" xref="S2.p1.12.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S2.p1.12.m1.1.1.3" xref="S2.p1.12.m1.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.12.m1.1b"><apply id="S2.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.12.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.12.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.12.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.12.m1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S2.p1.12.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.12.m1.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.12.m1.1c">N_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.12.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> satisfies d<math alttext="N_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.13.m2.1"><semantics id="S2.p1.13.m2.1a"><msub id="S2.p1.13.m2.1.1" xref="S2.p1.13.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.13.m2.1.1.2" xref="S2.p1.13.m2.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S2.p1.13.m2.1.1.3" xref="S2.p1.13.m2.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.13.m2.1b"><apply id="S2.p1.13.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.13.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.13.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.13.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.13.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.13.m2.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S2.p1.13.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.13.m2.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.13.m2.1c">N_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.13.m2.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>d<math alttext="N_{\nu}=\delta_{\mu\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.14.m3.1"><semantics id="S2.p1.14.m3.1a"><mrow id="S2.p1.14.m3.1.1" xref="S2.p1.14.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.p1.14.m3.1.1.2" xref="S2.p1.14.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.14.m3.1.1.2.2" xref="S2.p1.14.m3.1.1.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.p1.14.m3.1.1.2.3" xref="S2.p1.14.m3.1.1.2.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S2.p1.14.m3.1.1.1" xref="S2.p1.14.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S2.p1.14.m3.1.1.3" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p1.14.m3.1.1.3.2" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S2.p1.14.m3.1.1.3.3" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.1" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.14.m3.1b"><apply id="S2.p1.14.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1"><eq id="S2.p1.14.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.p1.14.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.14.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.14.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.p1.14.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S2.p1.14.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.14.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.14.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.3"><times id="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p1.14.m3.1.1.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.14.m3.1c">N_{\nu}=\delta_{\mu\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.14.m3.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, taking the value <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.15.m4.1"><semantics id="S2.p1.15.m4.1a"><mn id="S2.p1.15.m4.1.1" xref="S2.p1.15.m4.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.15.m4.1b"><cn id="S2.p1.15.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p1.15.m4.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> or <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.16.m5.1"><semantics id="S2.p1.16.m5.1a"><mn id="S2.p1.16.m5.1.1" xref="S2.p1.16.m5.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.16.m5.1b"><cn id="S2.p1.16.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p1.16.m5.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.16.m5.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.16.m5.1d">1</annotation></semantics></math>. The jump operators in the LME correspond to the stochastic jumps in the SSE. If d<math alttext="N_{\mu}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.17.m6.1"><semantics id="S2.p1.17.m6.1a"><mrow id="S2.p1.17.m6.1.1" xref="S2.p1.17.m6.1.1.cmml"><msub id="S2.p1.17.m6.1.1.2" xref="S2.p1.17.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.17.m6.1.1.2.2" xref="S2.p1.17.m6.1.1.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.p1.17.m6.1.1.2.3" xref="S2.p1.17.m6.1.1.2.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.p1.17.m6.1.1.1" xref="S2.p1.17.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p1.17.m6.1.1.3" xref="S2.p1.17.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.17.m6.1b"><apply id="S2.p1.17.m6.1.1.cmml" xref="S2.p1.17.m6.1.1"><eq id="S2.p1.17.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.17.m6.1.1.1"></eq><apply id="S2.p1.17.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.17.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.17.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.17.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.17.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.17.m6.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.p1.17.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p1.17.m6.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><cn id="S2.p1.17.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.17.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.17.m6.1c">N_{\mu}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.17.m6.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, the evolution is solely described by the non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.18.m7.1"><semantics id="S2.p1.18.m7.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.18.m7.1.1" xref="S2.p1.18.m7.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.18.m7.1b"><ci id="S2.p1.18.m7.1.1.cmml" xref="S2.p1.18.m7.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.18.m7.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.18.m7.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>, which is referred to as the no-click limit <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Daley (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib18" title="">2014</a>)</cite>. However, this limit is rarely achieved in experiments since its realization requires exponentially many experiments to be carried out before a desired trajectory is obtained. The connection between the SSE and the LME lies in the relationship between the individual wave function trajectories and the ensemble-averaged density matrix. By averaging over the different realizations of the stochastic trajectories generated by the SSE, one can recover the ensemble-averaged dynamics described by the LME. In this way, the SSE provides a more detailed and microscopic description of the dynamics, while the LME provides a coarse-grained description that captures the averaged behavior of the system <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Daley (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib18" title="">2014</a>)</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.15">To fully grasp the essence of this paper, we begin by considering a simple quantum system comprising two levels with orthonormal states. This model has diverse applications and can describe phenomena such as the spin degree of freedom of an electron, a simplified representation of an atom with only two atomic levels, the lowest eigenstates of a superconducting circuit, or the discrete charge states of a quantum dot. In this model, the system Hamiltonian is given by <math alttext="H=\lambda s^{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">x</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1"><eq id="S2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3"><times id="S2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.1c">H=\lambda s^{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.1d">italic_H = italic_λ italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> represents the energy difference between the two states and <math alttext="\sigma^{x}=2s^{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">x</mi></msup><mo id="S2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S2.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mi id="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">x</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m3.1b"><apply id="S2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1"><eq id="S2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3"><times id="S2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.1"></times><cn id="S2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.2">2</cn><apply id="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m3.1c">\sigma^{x}=2s^{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m3.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT = 2 italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the Pauli matrix corresponding to the <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.p2.4.m4.1a"><mi id="S2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.p2.4.m4.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.4.m4.1b"><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.4.m4.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.4.m4.1d">italic_x</annotation></semantics></math>-direction. The quantum jump operator is denoted as <math alttext="L_{\mu}=s^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S2.p2.5.m5.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.5.m5.1b"><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1"><eq id="S2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3.2">𝑠</ci><minus id="S2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3.3"></minus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.5.m5.1c">L_{\mu}=s^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.5.m5.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT = italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with a strength <math alttext="\Gamma_{\mu}=\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S2.p2.6.m6.1.1" xref="S2.p2.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.6.m6.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">Γ</mi><mi id="S2.p2.6.m6.1.1.2.3" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.p2.6.m6.1.1.1" xref="S2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S2.p2.6.m6.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.6.m6.1b"><apply id="S2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1"><eq id="S2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.2">Γ</ci><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.6.m6.1c">\Gamma_{\mu}=\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.6.m6.1d">roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="s^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.7.m7.1"><semantics id="S2.p2.7.m7.1a"><msup id="S2.p2.7.m7.1.1" xref="S2.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.7.m7.1.1.2" xref="S2.p2.7.m7.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p2.7.m7.1.1.3" xref="S2.p2.7.m7.1.1.3.cmml">−</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.7.m7.1b"><apply id="S2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1.2">𝑠</ci><minus id="S2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.7.m7.1c">s^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.7.m7.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the lowering operator responsible for the spin flip from the spin-up state to the spin-down state. The initial state <math alttext="|\Psi\left(0\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.8.m8.2"><semantics id="S2.p2.8.m8.2a"><mrow id="S2.p2.8.m8.2.2.1" xref="S2.p2.8.m8.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p2.8.m8.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.8.m8.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.3.2" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.cmml">(</mo><mn id="S2.p2.8.m8.1.1" xref="S2.p2.8.m8.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.8.m8.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.8.m8.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.8.m8.2b"><apply id="S2.p2.8.m8.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.8.m8.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1"><times id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.8.m8.2.2.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.p2.8.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p2.8.m8.1.1">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.8.m8.2c">|\Psi\left(0\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.8.m8.2d">| roman_Ψ ( 0 ) ⟩</annotation></semantics></math> is assumed to be an arbitrary pure state applicable to various many-body examples. In this context, the initial state is represented by the density matrix <math alttext="\rho\left(t=0\right)=|\Psi\left(0\right)\rangle\langle\Psi\left(0\right)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.9.m9.5"><semantics id="S2.p2.9.m9.5a"><mrow id="S2.p2.9.m9.5.5" xref="S2.p2.9.m9.5.5.cmml"><mrow id="S2.p2.9.m9.3.3.1" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.cmml"><mi id="S2.p2.9.m9.3.3.1.3" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S2.p2.9.m9.3.3.1.2" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.3" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.9.m9.5.5.4" xref="S2.p2.9.m9.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.9.m9.5.5.3" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.1" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.3.2.1" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S2.p2.9.m9.1.1" xref="S2.p2.9.m9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p2.9.m9.5.5.3.3" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.2.cmml"><mo id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.1" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.3.2" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.3.2.1" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.cmml">(</mo><mn id="S2.p2.9.m9.2.2" xref="S2.p2.9.m9.2.2.cmml">0</mn><mo id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.3.2.2" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.9.m9.5b"><apply id="S2.p2.9.m9.5.5.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5"><eq id="S2.p2.9.m9.5.5.4.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5.4"></eq><apply id="S2.p2.9.m9.3.3.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1"><times id="S2.p2.9.m9.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.2"></times><ci id="S2.p2.9.m9.3.3.1.3.cmml" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.3">𝜌</ci><apply id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1"><eq id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.p2.9.m9.5.5.3.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3"><times id="S2.p2.9.m9.5.5.3.3.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.3"></times><apply id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1"><times id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.1"></times><ci id="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.9.m9.4.4.2.1.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.p2.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p2.9.m9.1.1">0</cn></apply></apply><apply id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.2.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1"><times id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.1"></times><ci id="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.9.m9.5.5.3.2.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.p2.9.m9.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p2.9.m9.2.2">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.9.m9.5c">\rho\left(t=0\right)=|\Psi\left(0\right)\rangle\langle\Psi\left(0\right)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.9.m9.5d">italic_ρ ( italic_t = 0 ) = | roman_Ψ ( 0 ) ⟩ ⟨ roman_Ψ ( 0 ) |</annotation></semantics></math>. Referring to the Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S2.E2" title="In II Heuristic derivation ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), the evolution of <math alttext="|\Psi\left(t+\delta t\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.10.m10.1"><semantics id="S2.p2.10.m10.1a"><mrow id="S2.p2.10.m10.1.1.1" xref="S2.p2.10.m10.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.10.m10.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.10.m10.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.10.m10.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.10.m10.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.10.m10.1b"><apply id="S2.p2.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1"><times id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.3">Ψ</ci><apply id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.10.m10.1c">|\Psi\left(t+\delta t\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.10.m10.1d">| roman_Ψ ( italic_t + italic_δ italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> is determined by either <math alttext="\frac{\left(1-i\mathcal{H}\delta t\right)}{\sqrt{1-\delta p}}|\Psi\left(t% \right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.11.m11.3"><semantics id="S2.p2.11.m11.3a"><mrow id="S2.p2.11.m11.3.3" xref="S2.p2.11.m11.3.3.cmml"><mfrac id="S2.p2.11.m11.1.1" xref="S2.p2.11.m11.1.1.cmml"><mrow id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℋ</mi><mo id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.4.cmml">δ</mi><mo id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.5" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.5.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msqrt id="S2.p2.11.m11.1.1.3" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.2" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.1" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.2" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.1" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.3" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow></msqrt></mfrac><mo id="S2.p2.11.m11.3.3.2" xref="S2.p2.11.m11.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.1" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.11.m11.2.2" xref="S2.p2.11.m11.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.11.m11.3b"><apply id="S2.p2.11.m11.3.3.cmml" xref="S2.p2.11.m11.3.3"><times id="S2.p2.11.m11.3.3.2.cmml" xref="S2.p2.11.m11.3.3.2"></times><apply id="S2.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1"><divide id="S2.p2.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1"></divide><apply id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1"><minus id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.3">ℋ</ci><ci id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.4">𝛿</ci><ci id="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.5">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.p2.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3"><root id="S2.p2.11.m11.1.1.3a.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3"></root><apply id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2"><minus id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3"><times id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.11.m11.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.p2.11.m11.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.11.m11.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1"><times id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.11.m11.3.3.1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.p2.11.m11.2.2.cmml" xref="S2.p2.11.m11.2.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.11.m11.3c">\frac{\left(1-i\mathcal{H}\delta t\right)}{\sqrt{1-\delta p}}|\Psi\left(t% \right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.11.m11.3d">divide start_ARG ( 1 - italic_i caligraphic_H italic_δ italic_t ) end_ARG start_ARG square-root start_ARG 1 - italic_δ italic_p end_ARG end_ARG | roman_Ψ ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> with a probability of <math alttext="1-\delta p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.12.m12.1"><semantics id="S2.p2.12.m12.1a"><mrow id="S2.p2.12.m12.1.1" xref="S2.p2.12.m12.1.1.cmml"><mn id="S2.p2.12.m12.1.1.2" xref="S2.p2.12.m12.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p2.12.m12.1.1.1" xref="S2.p2.12.m12.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.p2.12.m12.1.1.3" xref="S2.p2.12.m12.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.12.m12.1.1.3.2" xref="S2.p2.12.m12.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.p2.12.m12.1.1.3.1" xref="S2.p2.12.m12.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.12.m12.1.1.3.3" xref="S2.p2.12.m12.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.12.m12.1b"><apply id="S2.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.p2.12.m12.1.1"><minus id="S2.p2.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.12.m12.1.1.1"></minus><cn id="S2.p2.12.m12.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.p2.12.m12.1.1.2">1</cn><apply id="S2.p2.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.12.m12.1.1.3"><times id="S2.p2.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.12.m12.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p2.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.12.m12.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S2.p2.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.12.m12.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.12.m12.1c">1-\delta p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.12.m12.1d">1 - italic_δ italic_p</annotation></semantics></math> or <math alttext="\frac{L}{\sqrt{\delta p/\delta t}}|\Psi\left(t\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.13.m13.2"><semantics id="S2.p2.13.m13.2a"><mrow id="S2.p2.13.m13.2.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.cmml"><mfrac id="S2.p2.13.m13.2.2.3" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.13.m13.2.2.3.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.2.cmml">L</mi><msqrt id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.1" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.3" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.1" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.1.cmml">/</mo><mi id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.3" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.1" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.3" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.3.cmml">t</mi></mrow></msqrt></mfrac><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.1" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.13.m13.1.1" xref="S2.p2.13.m13.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.13.m13.2b"><apply id="S2.p2.13.m13.2.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2"><times id="S2.p2.13.m13.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.2"></times><apply id="S2.p2.13.m13.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3"><divide id="S2.p2.13.m13.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3"></divide><ci id="S2.p2.13.m13.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.2">𝐿</ci><apply id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3"><root id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3a.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3"></root><apply id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2"><times id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.1"></times><apply id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2"><divide id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.1"></divide><apply id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2"><times id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.1"></times><ci id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.2.3">𝛿</ci></apply><ci id="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.3.3.2.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.p2.13.m13.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.13.m13.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1"><times id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.13.m13.2.2.1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.p2.13.m13.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.13.m13.2c">\frac{L}{\sqrt{\delta p/\delta t}}|\Psi\left(t\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.13.m13.2d">divide start_ARG italic_L end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_δ italic_p / italic_δ italic_t end_ARG end_ARG | roman_Ψ ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> with a probability of <math alttext="\delta p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.14.m14.1"><semantics id="S2.p2.14.m14.1a"><mrow id="S2.p2.14.m14.1.1" xref="S2.p2.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.14.m14.1.1.2" xref="S2.p2.14.m14.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.p2.14.m14.1.1.1" xref="S2.p2.14.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.14.m14.1.1.3" xref="S2.p2.14.m14.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.14.m14.1b"><apply id="S2.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.p2.14.m14.1.1"><times id="S2.p2.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.14.m14.1.1.1"></times><ci id="S2.p2.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.14.m14.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S2.p2.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.14.m14.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.14.m14.1c">\delta p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.14.m14.1d">italic_δ italic_p</annotation></semantics></math>. Here <math alttext="\delta p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.15.m15.1"><semantics id="S2.p2.15.m15.1a"><mrow id="S2.p2.15.m15.1.1" xref="S2.p2.15.m15.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.15.m15.1.1.2" xref="S2.p2.15.m15.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.p2.15.m15.1.1.1" xref="S2.p2.15.m15.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.15.m15.1.1.3" xref="S2.p2.15.m15.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.15.m15.1b"><apply id="S2.p2.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.p2.15.m15.1.1"><times id="S2.p2.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.15.m15.1.1.1"></times><ci id="S2.p2.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.15.m15.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S2.p2.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.15.m15.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.15.m15.1c">\delta p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.15.m15.1d">italic_δ italic_p</annotation></semantics></math> is red defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\delta p=\langle\Psi\left(t\right)|s^{+}s^{-}|\Psi\left(t\right)\rangle\delta t." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.3"><semantics id="S2.E3.m1.3a"><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.5" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.4" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.4.cmml"><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.4.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.5" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.4.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.6" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.4.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.2.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.2.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.5" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.5.cmml">δ</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4a" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.6" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.6.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.3b"><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1"><eq id="S2.E3.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.4"></eq><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.5"><times id="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.1"></times><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.2">𝛿</ci><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.5.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4"></times><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.4.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.4">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><times id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci><plus id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3"></plus></apply><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑠</ci><minus id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3"></minus></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3"><times id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2">Ψ</ci><ci id="S2.E3.m1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.5.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.5">𝛿</ci><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.6.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.6">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.3c">\delta p=\langle\Psi\left(t\right)|s^{+}s^{-}|\Psi\left(t\right)\rangle\delta t.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.3d">italic_δ italic_p = ⟨ roman_Ψ ( italic_t ) | italic_s start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT | roman_Ψ ( italic_t ) ⟩ italic_δ italic_t .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.20">Notice that when <math alttext="\lambda>\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1"><gt id="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3"><divide id="S2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">\lambda>\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">italic_λ > italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, the state <math alttext="|\Psi\left(t\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.2"><semantics id="S2.p3.2.m2.2a"><mrow id="S2.p3.2.m2.2.2.1" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.2b"><apply id="S2.p3.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1"><times id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.2c">|\Psi\left(t\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.2d">| roman_Ψ ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> oscillates between the two eigenstates of the non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.p3.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.p3.3.m3.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m3.1b"><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m3.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m3.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> , which possesses a full real spectrum except for a common imaginary part eliminated by the amplitude <math alttext="1/\sqrt{1-\delta p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.p3.4.m4.1a"><mrow id="S2.p3.4.m4.1.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p3.4.m4.1.1.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.1.cmml">/</mo><msqrt id="S2.p3.4.m4.1.1.3" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.2" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.3" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.4.m4.1b"><apply id="S2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1"><divide id="S2.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.1"></divide><cn id="S2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.p3.4.m4.1.1.2">1</cn><apply id="S2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3"><root id="S2.p3.4.m4.1.1.3a.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3"></root><apply id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2"><minus id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3"><times id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.4.m4.1c">1/\sqrt{1-\delta p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.4.m4.1d">1 / square-root start_ARG 1 - italic_δ italic_p end_ARG</annotation></semantics></math>. On the other hand, if <math alttext="\lambda<\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.5.m5.1"><semantics id="S2.p3.5.m5.1a"><mrow id="S2.p3.5.m5.1.1" xref="S2.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.5.m5.1.1.2" xref="S2.p3.5.m5.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p3.5.m5.1.1.1" xref="S2.p3.5.m5.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S2.p3.5.m5.1.1.3" xref="S2.p3.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p3.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.p3.5.m5.1.1.3.1" xref="S2.p3.5.m5.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p3.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.5.m5.1b"><apply id="S2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1"><lt id="S2.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1.1"></lt><ci id="S2.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1.3"><divide id="S2.p3.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S2.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.5.m5.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.5.m5.1c">\lambda<\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.5.m5.1d">italic_λ < italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="|\Psi\left(t\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.6.m6.2"><semantics id="S2.p3.6.m6.2a"><mrow id="S2.p3.6.m6.2.2.1" xref="S2.p3.6.m6.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p3.6.m6.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.6.m6.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.3.2" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.6.m6.1.1" xref="S2.p3.6.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.6.m6.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.6.m6.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.6.m6.2b"><apply id="S2.p3.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.6.m6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1"><times id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.6.m6.2.2.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p3.6.m6.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.6.m6.2c">|\Psi\left(t\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.6.m6.2d">| roman_Ψ ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> relaxes to the eigenstate with the maximum imaginary part, as <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.7.m7.1"><semantics id="S2.p3.7.m7.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.7.m7.1.1" xref="S2.p3.7.m7.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.7.m7.1b"><ci id="S2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p3.7.m7.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.7.m7.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.7.m7.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> has two complex eigenvalues. It is worth noting that when <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.8.m8.1"><semantics id="S2.p3.8.m8.1a"><mrow id="S2.p3.8.m8.1.1" xref="S2.p3.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.8.m8.1.1.2" xref="S2.p3.8.m8.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p3.8.m8.1.1.1" xref="S2.p3.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p3.8.m8.1.1.3" xref="S2.p3.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p3.8.m8.1.1.3.2" xref="S2.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.p3.8.m8.1.1.3.1" xref="S2.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p3.8.m8.1.1.3.3" xref="S2.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.8.m8.1b"><apply id="S2.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.p3.8.m8.1.1"><eq id="S2.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S2.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.8.m8.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.p3.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.8.m8.1.1.3"><divide id="S2.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p3.8.m8.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p3.8.m8.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S2.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.8.m8.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.8.m8.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.8.m8.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, an exceptional point (EP) exists in the spectrum of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.9.m9.1"><semantics id="S2.p3.9.m9.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.9.m9.1.1" xref="S2.p3.9.m9.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.9.m9.1b"><ci id="S2.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.p3.9.m9.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.9.m9.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.9.m9.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>, where there is only one coalescent eigenstate <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,i\right)^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.10.m10.3"><semantics id="S2.p3.10.m10.3a"><mrow id="S2.p3.10.m10.3.3" xref="S2.p3.10.m10.3.3.cmml"><mrow id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p3.10.m10.3.3.2" xref="S2.p3.10.m10.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p3.10.m10.3.3.3" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.cmml"><mfrac id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.cmml"><mn id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.2" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3.cmml"><mn id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3.2" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3.2.cmml">2</mn></msqrt></mfrac><mo id="S2.p3.10.m10.3.3.3.1" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.2" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.2.1" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.1.cmml">(</mo><mn id="S2.p3.10.m10.1.1" xref="S2.p3.10.m10.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.2.2" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p3.10.m10.2.2" xref="S2.p3.10.m10.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.2.3" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.3" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.10.m10.3b"><apply id="S2.p3.10.m10.3.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3"><eq id="S2.p3.10.m10.3.3.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.2"></eq><apply id="S2.p3.10.m10.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.10.m10.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S2.p3.10.m10.3.3.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3"><times id="S2.p3.10.m10.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.1"></times><apply id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2"><divide id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2"></divide><cn id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.2">1</cn><apply id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3"><root id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3a.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3"></root><cn id="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.2.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.2.2"><cn id="S2.p3.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p3.10.m10.1.1">1</cn><ci id="S2.p3.10.m10.2.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.2.2">𝑖</ci></interval><ci id="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.3.3.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.10.m10.3c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,i\right)^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.10.m10.3d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 end_ARG end_ARG ( 1 , italic_i ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. For an arbitrary initial state <math alttext="|\Psi\left(0\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.11.m11.2"><semantics id="S2.p3.11.m11.2a"><mrow id="S2.p3.11.m11.2.2.1" xref="S2.p3.11.m11.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p3.11.m11.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.11.m11.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.1" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.3.2" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.cmml">(</mo><mn id="S2.p3.11.m11.1.1" xref="S2.p3.11.m11.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.11.m11.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.11.m11.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.11.m11.2b"><apply id="S2.p3.11.m11.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.11.m11.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1"><times id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.11.m11.2.2.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.p3.11.m11.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p3.11.m11.1.1">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.11.m11.2c">|\Psi\left(0\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.11.m11.2d">| roman_Ψ ( 0 ) ⟩</annotation></semantics></math>, it evolves towards the coalescent state <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.12.m12.1"><semantics id="S2.p3.12.m12.1a"><mrow id="S2.p3.12.m12.1.1.1" xref="S2.p3.12.m12.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p3.12.m12.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.12.m12.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p3.12.m12.1.1.1.1" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.2" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.p3.12.m12.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.12.m12.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.12.m12.1b"><apply id="S2.p3.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.12.m12.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.12.m12.1c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.12.m12.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> due to the nilpotent matrix property of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.13.m13.1"><semantics id="S2.p3.13.m13.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.13.m13.1.1" xref="S2.p3.13.m13.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.13.m13.1b"><ci id="S2.p3.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.p3.13.m13.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.13.m13.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.13.m13.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="\mathcal{H}^{2}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.14.m14.1"><semantics id="S2.p3.14.m14.1a"><mrow id="S2.p3.14.m14.1.1" xref="S2.p3.14.m14.1.1.cmml"><msup id="S2.p3.14.m14.1.1.2" xref="S2.p3.14.m14.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.14.m14.1.1.2.2" xref="S2.p3.14.m14.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mn id="S2.p3.14.m14.1.1.2.3" xref="S2.p3.14.m14.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.p3.14.m14.1.1.1" xref="S2.p3.14.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p3.14.m14.1.1.3" xref="S2.p3.14.m14.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.14.m14.1b"><apply id="S2.p3.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.p3.14.m14.1.1"><eq id="S2.p3.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.14.m14.1.1.1"></eq><apply id="S2.p3.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.14.m14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.14.m14.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.14.m14.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p3.14.m14.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p3.14.m14.1.1.2.2">ℋ</ci><cn id="S2.p3.14.m14.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.14.m14.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.p3.14.m14.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.14.m14.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.14.m14.1c">\mathcal{H}^{2}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.14.m14.1d">caligraphic_H start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> (see Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS1" title="V.1 EP dynamics of two-level system ‣ V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">V.1</span></a> for more details). Alternatively, if the final state is a steady pure state, it can be projected onto the Bloch sphere, revealing a definite spin direction. However, the presence of the quantum jump operator <math alttext="s^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.15.m15.1"><semantics id="S2.p3.15.m15.1a"><msup id="S2.p3.15.m15.1.1" xref="S2.p3.15.m15.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.15.m15.1.1.2" xref="S2.p3.15.m15.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p3.15.m15.1.1.3" xref="S2.p3.15.m15.1.1.3.cmml">−</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.15.m15.1b"><apply id="S2.p3.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.p3.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.15.m15.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p3.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.15.m15.1.1.2">𝑠</ci><minus id="S2.p3.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.15.m15.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.15.m15.1c">s^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.15.m15.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> disrupts the evolution driven by <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.16.m16.1"><semantics id="S2.p3.16.m16.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.16.m16.1.1" xref="S2.p3.16.m16.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.16.m16.1b"><ci id="S2.p3.16.m16.1.1.cmml" xref="S2.p3.16.m16.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.16.m16.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.16.m16.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> and consequently affects the direction. The steady state must strike a balance between these two probabilistic evolutions. To gain further insight into the NESS <math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.17.m17.1"><semantics id="S2.p3.17.m17.1a"><msub id="S2.p3.17.m17.1.1" xref="S2.p3.17.m17.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.17.m17.1.1.2" xref="S2.p3.17.m17.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S2.p3.17.m17.1.1.3" xref="S2.p3.17.m17.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.17.m17.1b"><apply id="S2.p3.17.m17.1.1.cmml" xref="S2.p3.17.m17.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.17.m17.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.17.m17.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.17.m17.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.17.m17.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S2.p3.17.m17.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.17.m17.1.1.3">NESS</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.17.m17.1c">\rho_{\mathrm{NESS}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.17.m17.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> defined by d<math alttext="\left(\rho_{\mathrm{NESS}}\right)/" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.p3.18.m18.1"><semantics id="S2.p3.18.m18.1a"><mrow id="S2.p3.18.m18.1b"><mrow id="S2.p3.18.m18.1.1"><mo id="S2.p3.18.m18.1.1.1">(</mo><msub id="S2.p3.18.m18.1.1.2"><mi id="S2.p3.18.m18.1.1.2.2">ρ</mi><mi id="S2.p3.18.m18.1.1.2.3">NESS</mi></msub><mo id="S2.p3.18.m18.1.1.3">)</mo></mrow><mo id="S2.p3.18.m18.1.2">/</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.18.m18.1c">\left(\rho_{\mathrm{NESS}}\right)/</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.18.m18.1d">( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT ) /</annotation></semantics></math>d<math alttext="t=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.19.m19.1"><semantics id="S2.p3.19.m19.1a"><mrow id="S2.p3.19.m19.1.1" xref="S2.p3.19.m19.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.19.m19.1.1.2" xref="S2.p3.19.m19.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.p3.19.m19.1.1.1" xref="S2.p3.19.m19.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p3.19.m19.1.1.3" xref="S2.p3.19.m19.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.19.m19.1b"><apply id="S2.p3.19.m19.1.1.cmml" xref="S2.p3.19.m19.1.1"><eq id="S2.p3.19.m19.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.19.m19.1.1.1"></eq><ci id="S2.p3.19.m19.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.19.m19.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.p3.19.m19.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.19.m19.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.19.m19.1c">t=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.19.m19.1d">italic_t = 0</annotation></semantics></math>, we employ a spin bi-base mapping, also known as the Choi-Jamiołkowski isomorphism, to map a density matrix to a vector in the computational bases (see Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS2" title="V.2 NESS of an open two-level system ‣ V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">V.2</span></a> for more details). The NESS corresponds to the eigenstate of <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.20.m20.1"><semantics id="S2.p3.20.m20.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.20.m20.1.1" xref="S2.p3.20.m20.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.20.m20.1b"><ci id="S2.p3.20.m20.1.1.cmml" xref="S2.p3.20.m20.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.20.m20.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.20.m20.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> with zero eigenvalue, which can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{\lambda^{2}}{2\lambda^{2}+% \gamma^{2}}&-i\frac{\lambda\gamma}{2\lambda^{2}+\gamma^{2}}\\ i\frac{\lambda\gamma}{2\lambda^{2}+\gamma^{2}}&\frac{\lambda^{2}+\gamma^{2}}{2% \lambda^{2}+\gamma^{2}}\end{array}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E4.m1.2"><semantics id="S2.E4.m1.2a"><mrow id="S2.E4.m1.2.2.1" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.2.2.1.1" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.E4.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S2.E4.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">NESS</mi></msub><mo id="S2.E4.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E4.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml"><mo id="S2.E4.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S2.E4.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml"><mtr id="S2.E4.m1.1.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml"><mtd id="S2.E4.m1.1.1b" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S2.E4.m1.1.1c" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mfrac id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3a" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml"><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E4.m1.1.1d" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml"><mtd id="S2.E4.m1.1.1e" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3a" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mrow id="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mrow 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id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><msup id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo id="S2.E4.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.2b"><apply id="S2.E4.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.2.2.1"><eq id="S2.E4.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S2.E4.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" 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start_CELL - italic_i divide start_ARG italic_λ italic_γ end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_i divide start_ARG italic_λ italic_γ end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.p4.10">The coherence of a system can be measured by its purity, which is quantified by the function Tr<math alttext="(\rho_{\mathrm{NESS}}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S2.p4.1.m1.1.1.1" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">NESS</mi><mn id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.p4.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.1.m1.1b"><apply id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.2.3">NESS</ci></apply><cn id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.1.m1.1c">(\rho_{\mathrm{NESS}}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.1.m1.1d">( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S1.F2" title="Figure 2 ‣ I Introduction ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, we depict the behavior of Tr<math alttext="(\rho_{\mathrm{NESS}}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.p4.2.m2.1a"><mrow id="S2.p4.2.m2.1.1.1" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.2.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">NESS</mi><mn id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.p4.2.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3">NESS</ci></apply><cn id="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.2.m2.1c">(\rho_{\mathrm{NESS}}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.2.m2.1d">( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> as a function of <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.p4.3.m3.1a"><mi id="S2.p4.3.m3.1.1" xref="S2.p4.3.m3.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.3.m3.1b"><ci id="S2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.3.m3.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.3.m3.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>, while keeping <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.4.m4.1"><semantics id="S2.p4.4.m4.1a"><mi id="S2.p4.4.m4.1.1" xref="S2.p4.4.m4.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.4.m4.1b"><ci id="S2.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.4.m4.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.4.m4.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> fixed at 1. Let us first consider two limiting cases: When <math alttext="\lambda=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.p4.5.m5.1a"><mrow id="S2.p4.5.m5.1.1" xref="S2.p4.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.5.m5.1.1.2" xref="S2.p4.5.m5.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p4.5.m5.1.1.1" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p4.5.m5.1.1.3" xref="S2.p4.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.5.m5.1b"><apply id="S2.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1"><eq id="S2.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S2.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S2.p4.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.5.m5.1c">\lambda=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.5.m5.1d">italic_λ = 0</annotation></semantics></math>, the non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.6.m6.1"><semantics id="S2.p4.6.m6.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p4.6.m6.1.1" xref="S2.p4.6.m6.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.6.m6.1b"><ci id="S2.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p4.6.m6.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.6.m6.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.6.m6.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> drives the initial state to <math alttext="|\psi_{\mathrm{f}}\rangle=(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.7.m7.3"><semantics id="S2.p4.7.m7.3a"><mrow id="S2.p4.7.m7.3.3" xref="S2.p4.7.m7.3.3.cmml"><mrow id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p4.7.m7.3.3.2" xref="S2.p4.7.m7.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.7.m7.3.3.3.2" xref="S2.p4.7.m7.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.p4.7.m7.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.7.m7.3.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.p4.7.m7.1.1" xref="S2.p4.7.m7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p4.7.m7.3.3.3.2.2" xref="S2.p4.7.m7.3.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.p4.7.m7.2.2" xref="S2.p4.7.m7.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p4.7.m7.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p4.7.m7.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.7.m7.3b"><apply id="S2.p4.7.m7.3.3.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3"><eq id="S2.p4.7.m7.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3.2"></eq><apply id="S2.p4.7.m7.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.7.m7.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3">f</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S2.p4.7.m7.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.3.3.3.2"><cn id="S2.p4.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p4.7.m7.1.1">0</cn><cn id="S2.p4.7.m7.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p4.7.m7.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.7.m7.3c">|\psi_{\mathrm{f}}\rangle=(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.7.m7.3d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_f end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>. Simultaneously, the quantum jump operator projects the spin to the down state. Consequently, <math alttext="|\psi_{\mathrm{f}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.8.m8.1"><semantics id="S2.p4.8.m8.1a"><mrow id="S2.p4.8.m8.1.1.1" xref="S2.p4.8.m8.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p4.8.m8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.8.m8.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p4.8.m8.1.1.1.1" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.2" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S2.p4.8.m8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.8.m8.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.8.m8.1b"><apply id="S2.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.1.3">f</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.8.m8.1c">|\psi_{\mathrm{f}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.8.m8.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_f end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> becomes the non-equilibrium steady state (NESS). On the other hand, when <math alttext="\lambda\gg\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.9.m9.1"><semantics id="S2.p4.9.m9.1a"><mrow id="S2.p4.9.m9.1.1" xref="S2.p4.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.9.m9.1.1.2" xref="S2.p4.9.m9.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p4.9.m9.1.1.1" xref="S2.p4.9.m9.1.1.1.cmml">≫</mo><mi id="S2.p4.9.m9.1.1.3" xref="S2.p4.9.m9.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.9.m9.1b"><apply id="S2.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.1.1.1">much-greater-than</csymbol><ci id="S2.p4.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S2.p4.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.9.m9.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.9.m9.1c">\lambda\gg\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.9.m9.1d">italic_λ ≫ italic_γ</annotation></semantics></math>, the density matrix <math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.10.m10.1"><semantics id="S2.p4.10.m10.1a"><msub id="S2.p4.10.m10.1.1" xref="S2.p4.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.10.m10.1.1.2" xref="S2.p4.10.m10.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S2.p4.10.m10.1.1.3" xref="S2.p4.10.m10.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.10.m10.1b"><apply id="S2.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.p4.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.10.m10.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S2.p4.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.10.m10.1.1.3">NESS</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.10.m10.1c">\rho_{\mathrm{NESS}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.10.m10.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> simplifies to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}=\left(\begin{array}[]{cc}1/2&0\\ 0&1/2\end{array}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.2"><semantics id="S2.E5.m1.2a"><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">NESS</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S2.E5.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml"><mtr id="S2.E5.m1.1.1a" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml"><mtd id="S2.E5.m1.1.1b" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow></mtd><mtd id="S2.E5.m1.1.1c" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.E5.m1.1.1.1.2.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S2.E5.m1.1.1d" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml"><mtd id="S2.E5.m1.1.1e" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.E5.m1.1.1.2.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S2.E5.m1.1.1f" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.1.1.2.2.1" xref="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mn id="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">2</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.2" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.2b"><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1"><eq id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.3">NESS</ci></apply><matrix id="S2.E5.m1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.3.2"><matrixrow id="S2.E5.m1.1.1a.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.3.2"><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2">1</cn><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S2.E5.m1.1.1b.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.3.2"><cn id="S2.E5.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.2.2.1"><divide id="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.1"></divide><cn id="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.2">1</cn><cn id="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.2.2.1.3">2</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.2c">\rho_{\mathrm{NESS}}=\left(\begin{array}[]{cc}1/2&0\\ 0&1/2\end{array}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT = ( start_ARRAY start_ROW start_CELL 1 / 2 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 / 2 end_CELL end_ROW end_ARRAY ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p4.37">which corresponds to a completely mixed state. This can be understood as follows: Under the influence of the non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.11.m1.1"><semantics id="S2.p4.11.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p4.11.m1.1.1" xref="S2.p4.11.m1.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.11.m1.1b"><ci id="S2.p4.11.m1.1.1.cmml" xref="S2.p4.11.m1.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.11.m1.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.11.m1.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>, the evolved state does not have a definite direction. Instead, it oscillates between the two eigenvectors along the <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.12.m2.1"><semantics id="S2.p4.12.m2.1a"><mi id="S2.p4.12.m2.1.1" xref="S2.p4.12.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.12.m2.1b"><ci id="S2.p4.12.m2.1.1.cmml" xref="S2.p4.12.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.12.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.12.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math>-direction, i.e., <math alttext="|\psi_{\mathrm{1}}\rangle=\left(1,\text{ }1\right)^{T}/\sqrt{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.13.m3.3"><semantics id="S2.p4.13.m3.3a"><mrow id="S2.p4.13.m3.3.3" xref="S2.p4.13.m3.3.3.cmml"><mrow id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p4.13.m3.3.3.3" xref="S2.p4.13.m3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.13.m3.3.3.2" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.cmml"><msup id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.cmml"><mrow id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.2" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.p4.13.m3.1.1" xref="S2.p4.13.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.3" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.2a.cmml"> </mtext><mo id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.4" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.3" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S2.p4.13.m3.3.3.2.2" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.2.cmml">/</mo><msqrt id="S2.p4.13.m3.3.3.2.3" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.3.cmml"><mn id="S2.p4.13.m3.3.3.2.3.2" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.3.2.cmml">2</mn></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.13.m3.3b"><apply id="S2.p4.13.m3.3.3.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3"><eq id="S2.p4.13.m3.3.3.3.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.3"></eq><apply id="S2.p4.13.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.13.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.13.m3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.p4.13.m3.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2"><divide id="S2.p4.13.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.2"></divide><apply id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.2.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1"><cn id="S2.p4.13.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p4.13.m3.1.1">1</cn><apply id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1"><times id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.2"><mtext id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.2"> </mtext></ci><cn id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></interval><ci id="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.3.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.p4.13.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.3"><root id="S2.p4.13.m3.3.3.2.3a.cmml" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.3"></root><cn id="S2.p4.13.m3.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p4.13.m3.3.3.2.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.13.m3.3c">|\psi_{\mathrm{1}}\rangle=\left(1,\text{ }1\right)^{T}/\sqrt{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.13.m3.3d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ( 1 , 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT / square-root start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="|\psi_{\mathrm{2}}\rangle=\left(1,\text{ }-1\right)^{T}/\sqrt{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.14.m4.3"><semantics id="S2.p4.14.m4.3a"><mrow id="S2.p4.14.m4.3.3" xref="S2.p4.14.m4.3.3.cmml"><mrow id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p4.14.m4.3.3.3" xref="S2.p4.14.m4.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.14.m4.3.3.2" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.cmml"><msup id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.cmml"><mrow id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.2" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.p4.14.m4.1.1" xref="S2.p4.14.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.3" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.2a.cmml"> </mtext><mo id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.4" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.3" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S2.p4.14.m4.3.3.2.2" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.2.cmml">/</mo><msqrt id="S2.p4.14.m4.3.3.2.3" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.3.cmml"><mn id="S2.p4.14.m4.3.3.2.3.2" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.3.2.cmml">2</mn></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.14.m4.3b"><apply id="S2.p4.14.m4.3.3.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3"><eq id="S2.p4.14.m4.3.3.3.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.3"></eq><apply id="S2.p4.14.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.14.m4.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.14.m4.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.p4.14.m4.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2"><divide id="S2.p4.14.m4.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.2"></divide><apply id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.2.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1"><cn id="S2.p4.14.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p4.14.m4.1.1">1</cn><apply id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1"><minus id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.2"><mtext id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.2"> </mtext></ci><cn id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></interval><ci id="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.3.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.p4.14.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.3"><root id="S2.p4.14.m4.3.3.2.3a.cmml" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.3"></root><cn id="S2.p4.14.m4.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p4.14.m4.3.3.2.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.14.m4.3c">|\psi_{\mathrm{2}}\rangle=\left(1,\text{ }-1\right)^{T}/\sqrt{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.14.m4.3d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ( 1 , - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT / square-root start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math>. However, the quantum jump operator forces the spin to align parallel to the <math alttext="-z" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.15.m5.1"><semantics id="S2.p4.15.m5.1a"><mrow id="S2.p4.15.m5.1.1" xref="S2.p4.15.m5.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.15.m5.1.1a" xref="S2.p4.15.m5.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.p4.15.m5.1.1.2" xref="S2.p4.15.m5.1.1.2.cmml">z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.15.m5.1b"><apply id="S2.p4.15.m5.1.1.cmml" xref="S2.p4.15.m5.1.1"><minus id="S2.p4.15.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.15.m5.1.1"></minus><ci id="S2.p4.15.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.15.m5.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.15.m5.1c">-z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.15.m5.1d">- italic_z</annotation></semantics></math>-direction. The consequences of the two effects are completely independent and cannot be reconciled, leading to a thermal state with infinite temperature. Generally, the NESS is not a pure state, except for a few limiting cases. Therefore the evolution of the state cannot be mapped onto the Bloch sphere, making it impossible to analyze its trajectory on the sphere. However, by applying a rotation to the quantum jump operator, i.e., <math alttext="\widetilde{L}=Us^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.16.m6.1"><semantics id="S2.p4.16.m6.1a"><mrow id="S2.p4.16.m6.1.1" xref="S2.p4.16.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p4.16.m6.1.1.2" xref="S2.p4.16.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p4.16.m6.1.1.2.2" xref="S2.p4.16.m6.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.p4.16.m6.1.1.2.1" xref="S2.p4.16.m6.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.p4.16.m6.1.1.1" xref="S2.p4.16.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.16.m6.1.1.3" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p4.16.m6.1.1.3.2" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S2.p4.16.m6.1.1.3.1" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p4.16.m6.1.1.3.3" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.2" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.3" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.16.m6.1b"><apply id="S2.p4.16.m6.1.1.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1"><eq id="S2.p4.16.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.1"></eq><apply id="S2.p4.16.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.2"><ci id="S2.p4.16.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.p4.16.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.p4.16.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3"><times id="S2.p4.16.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p4.16.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.2">𝑠</ci><minus id="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p4.16.m6.1.1.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.16.m6.1c">\widetilde{L}=Us^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.16.m6.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG = italic_U italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="U=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.17.m7.1"><semantics id="S2.p4.17.m7.1a"><mrow id="S2.p4.17.m7.1.1" xref="S2.p4.17.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.17.m7.1.1.2" xref="S2.p4.17.m7.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S2.p4.17.m7.1.1.1" xref="S2.p4.17.m7.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S2.p4.17.m7.1.1.3" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p4.17.m7.1.1.3.2" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3a" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.2" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.1" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.1a" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.2" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.2.cmml">s</mi><mi id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.3" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.3.cmml">x</mi></msup></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.17.m7.1b"><apply id="S2.p4.17.m7.1.1.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1"><eq id="S2.p4.17.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.1"></eq><ci id="S2.p4.17.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S2.p4.17.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.17.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.17.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3"><minus id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3"></minus><apply id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2"><times id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3"><divide id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3"></divide><ci id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.2">𝜋</ci><cn id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.2">𝑠</ci><ci id="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S2.p4.17.m7.1.1.3.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.17.m7.1c">U=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.17.m7.1d">italic_U = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> corresponds to a unitary feedback operator <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Lloyd (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib73" title="">2000</a>); Nelson <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib74" title="">2000</a>)</cite>, the new quantum jump operator <math alttext="\widetilde{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.18.m8.1"><semantics id="S2.p4.18.m8.1a"><mover accent="true" id="S2.p4.18.m8.1.1" xref="S2.p4.18.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.18.m8.1.1.2" xref="S2.p4.18.m8.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S2.p4.18.m8.1.1.1" xref="S2.p4.18.m8.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.18.m8.1b"><apply id="S2.p4.18.m8.1.1.cmml" xref="S2.p4.18.m8.1.1"><ci id="S2.p4.18.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.18.m8.1.1.1">~</ci><ci id="S2.p4.18.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.18.m8.1.1.2">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.18.m8.1c">\widetilde{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.18.m8.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG</annotation></semantics></math> drives the evolved state <math alttext="|\Psi\left(t\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.19.m9.2"><semantics id="S2.p4.19.m9.2a"><mrow id="S2.p4.19.m9.2.2.1" xref="S2.p4.19.m9.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p4.19.m9.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.19.m9.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.1" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.3.2" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p4.19.m9.1.1" xref="S2.p4.19.m9.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p4.19.m9.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.19.m9.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.19.m9.2b"><apply id="S2.p4.19.m9.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.19.m9.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1"><times id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.19.m9.2.2.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.p4.19.m9.1.1.cmml" xref="S2.p4.19.m9.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.19.m9.2c">|\Psi\left(t\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.19.m9.2d">| roman_Ψ ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> towards <math alttext="|y,+\rangle=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.20.m10.4"><semantics id="S2.p4.20.m10.4a"><mrow id="S2.p4.20.m10.4.4" xref="S2.p4.20.m10.4.4.cmml"><mrow id="S2.p4.20.m10.3.3.1.1" xref="S2.p4.20.m10.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.20.m10.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.20.m10.1.1" xref="S2.p4.20.m10.1.1.cmml">y</mi><mo id="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.1.1.cmml">,</mo><mo id="S2.p4.20.m10.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.p4.20.m10.2.2.cmml">+</mo></mrow><mo id="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.20.m10.3.3.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p4.20.m10.4.4.3" xref="S2.p4.20.m10.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.2.cmml"><mo id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.2" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.20.m10.4b"><apply id="S2.p4.20.m10.4.4.cmml" xref="S2.p4.20.m10.4.4"><eq id="S2.p4.20.m10.4.4.3.cmml" xref="S2.p4.20.m10.4.4.3"></eq><apply id="S2.p4.20.m10.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p4.20.m10.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.20.m10.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.2">ket</csymbol><list id="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.20.m10.3.3.1.1.1.2"><ci id="S2.p4.20.m10.1.1.cmml" xref="S2.p4.20.m10.1.1">𝑦</ci><plus id="S2.p4.20.m10.2.2.cmml" xref="S2.p4.20.m10.2.2"></plus></list></apply><apply id="S2.p4.20.m10.4.4.2.2.cmml" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.20.m10.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.cmml" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.20.m10.4.4.2.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.20.m10.4c">|y,+\rangle=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.20.m10.4d">| italic_y , + ⟩ = | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, which is the eigenstate of the operator <math alttext="s^{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.21.m11.1"><semantics id="S2.p4.21.m11.1a"><msup id="S2.p4.21.m11.1.1" xref="S2.p4.21.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.21.m11.1.1.2" xref="S2.p4.21.m11.1.1.2.cmml">s</mi><mi id="S2.p4.21.m11.1.1.3" xref="S2.p4.21.m11.1.1.3.cmml">y</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.21.m11.1b"><apply id="S2.p4.21.m11.1.1.cmml" xref="S2.p4.21.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.21.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.21.m11.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.21.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.21.m11.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S2.p4.21.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.21.m11.1.1.3">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.21.m11.1c">s^{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.21.m11.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_y end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with eigenenergy <math alttext="1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.22.m12.1"><semantics id="S2.p4.22.m12.1a"><mrow id="S2.p4.22.m12.1.1" xref="S2.p4.22.m12.1.1.cmml"><mn id="S2.p4.22.m12.1.1.2" xref="S2.p4.22.m12.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p4.22.m12.1.1.1" xref="S2.p4.22.m12.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p4.22.m12.1.1.3" xref="S2.p4.22.m12.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.22.m12.1b"><apply id="S2.p4.22.m12.1.1.cmml" xref="S2.p4.22.m12.1.1"><divide id="S2.p4.22.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.22.m12.1.1.1"></divide><cn id="S2.p4.22.m12.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.p4.22.m12.1.1.2">1</cn><cn id="S2.p4.22.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.22.m12.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.22.m12.1c">1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.22.m12.1d">1 / 2</annotation></semantics></math>. Importantly, the probability <math alttext="\delta p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.23.m13.1"><semantics id="S2.p4.23.m13.1a"><mrow id="S2.p4.23.m13.1.1" xref="S2.p4.23.m13.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.23.m13.1.1.2" xref="S2.p4.23.m13.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S2.p4.23.m13.1.1.1" xref="S2.p4.23.m13.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p4.23.m13.1.1.3" xref="S2.p4.23.m13.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.23.m13.1b"><apply id="S2.p4.23.m13.1.1.cmml" xref="S2.p4.23.m13.1.1"><times id="S2.p4.23.m13.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.23.m13.1.1.1"></times><ci id="S2.p4.23.m13.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.23.m13.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S2.p4.23.m13.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.23.m13.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.23.m13.1c">\delta p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.23.m13.1d">italic_δ italic_p</annotation></semantics></math> and the non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.24.m14.1"><semantics id="S2.p4.24.m14.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p4.24.m14.1.1" xref="S2.p4.24.m14.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.24.m14.1b"><ci id="S2.p4.24.m14.1.1.cmml" xref="S2.p4.24.m14.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.24.m14.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.24.m14.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> remain unchanged since <math alttext="\widetilde{L}^{\dagger}\widetilde{L}=s^{+}s^{-}=L^{\dagger}L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.25.m15.1"><semantics id="S2.p4.25.m15.1a"><mrow id="S2.p4.25.m15.1.1" xref="S2.p4.25.m15.1.1.cmml"><mrow id="S2.p4.25.m15.1.1.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.cmml"><msup id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.1" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.3" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.2.1" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.p4.25.m15.1.1.2.3" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.1" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.3" xref="S2.p4.25.m15.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.25.m15.1.1.4" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.cmml"><msup id="S2.p4.25.m15.1.1.4.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.3" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.4.1" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p4.25.m15.1.1.4.3" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.3" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.5" xref="S2.p4.25.m15.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.25.m15.1.1.6" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.cmml"><msup id="S2.p4.25.m15.1.1.6.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.2" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.3" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S2.p4.25.m15.1.1.6.1" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p4.25.m15.1.1.6.3" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.25.m15.1b"><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1"><and id="S2.p4.25.m15.1.1a.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1"></and><apply id="S2.p4.25.m15.1.1b.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1"><eq id="S2.p4.25.m15.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.3"></eq><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2"><times id="S2.p4.25.m15.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.1"></times><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2"><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.2.2">𝐿</ci></apply><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.3"><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.1">~</ci><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.2.3.2">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.4.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4"><times id="S2.p4.25.m15.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.1"></times><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.2">𝑠</ci><plus id="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.2.3"></plus></apply><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.2">𝑠</ci><minus id="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.4.3.3"></minus></apply></apply></apply><apply id="S2.p4.25.m15.1.1c.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1"><eq id="S2.p4.25.m15.1.1.5.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S2.p4.25.m15.1.1.4.cmml" id="S2.p4.25.m15.1.1d.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1"></share><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.6.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6"><times id="S2.p4.25.m15.1.1.6.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.1"></times><apply id="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.2">𝐿</ci><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.3.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.2.3">†</ci></apply><ci id="S2.p4.25.m15.1.1.6.3.cmml" xref="S2.p4.25.m15.1.1.6.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.25.m15.1c">\widetilde{L}^{\dagger}\widetilde{L}=s^{+}s^{-}=L^{\dagger}L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.25.m15.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_L end_ARG = italic_s start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_L</annotation></semantics></math>. When <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.26.m16.1"><semantics id="S2.p4.26.m16.1a"><mrow id="S2.p4.26.m16.1.1" xref="S2.p4.26.m16.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.26.m16.1.1.2" xref="S2.p4.26.m16.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p4.26.m16.1.1.1" xref="S2.p4.26.m16.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.26.m16.1.1.3" xref="S2.p4.26.m16.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p4.26.m16.1.1.3.2" xref="S2.p4.26.m16.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.p4.26.m16.1.1.3.1" xref="S2.p4.26.m16.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p4.26.m16.1.1.3.3" xref="S2.p4.26.m16.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.26.m16.1b"><apply id="S2.p4.26.m16.1.1.cmml" xref="S2.p4.26.m16.1.1"><eq id="S2.p4.26.m16.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.26.m16.1.1.1"></eq><ci id="S2.p4.26.m16.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.26.m16.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.p4.26.m16.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.26.m16.1.1.3"><divide id="S2.p4.26.m16.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p4.26.m16.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.p4.26.m16.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p4.26.m16.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S2.p4.26.m16.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.26.m16.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.26.m16.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.26.m16.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="|y,+\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.27.m17.3"><semantics id="S2.p4.27.m17.3a"><mrow id="S2.p4.27.m17.3.3.1" xref="S2.p4.27.m17.3.3.2.cmml"><mo id="S2.p4.27.m17.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.27.m17.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p4.27.m17.3.3.1.1.2" xref="S2.p4.27.m17.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.27.m17.1.1" xref="S2.p4.27.m17.1.1.cmml">y</mi><mo id="S2.p4.27.m17.3.3.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S2.p4.27.m17.3.3.1.1.1.cmml">,</mo><mo id="S2.p4.27.m17.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.p4.27.m17.2.2.cmml">+</mo></mrow><mo id="S2.p4.27.m17.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.27.m17.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.27.m17.3b"><apply id="S2.p4.27.m17.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.27.m17.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.27.m17.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p4.27.m17.3.3.1.2">ket</csymbol><list id="S2.p4.27.m17.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.27.m17.3.3.1.1.2"><ci id="S2.p4.27.m17.1.1.cmml" xref="S2.p4.27.m17.1.1">𝑦</ci><plus id="S2.p4.27.m17.2.2.cmml" xref="S2.p4.27.m17.2.2"></plus></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.27.m17.3c">|y,+\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.27.m17.3d">| italic_y , + ⟩</annotation></semantics></math> also represents the coalescent state of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.28.m18.1"><semantics id="S2.p4.28.m18.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p4.28.m18.1.1" xref="S2.p4.28.m18.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.28.m18.1b"><ci id="S2.p4.28.m18.1.1.cmml" xref="S2.p4.28.m18.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.28.m18.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.28.m18.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>. The EP dynamics guides the evolved state <math alttext="|\Psi\left(t\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.29.m19.2"><semantics id="S2.p4.29.m19.2a"><mrow id="S2.p4.29.m19.2.2.1" xref="S2.p4.29.m19.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p4.29.m19.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.29.m19.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.1" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.3.2" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p4.29.m19.1.1" xref="S2.p4.29.m19.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p4.29.m19.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.29.m19.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.29.m19.2b"><apply id="S2.p4.29.m19.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.29.m19.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1"><times id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.29.m19.2.2.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.p4.29.m19.1.1.cmml" xref="S2.p4.29.m19.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.29.m19.2c">|\Psi\left(t\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.29.m19.2d">| roman_Ψ ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> towards <math alttext="|y,+\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.30.m20.3"><semantics id="S2.p4.30.m20.3a"><mrow id="S2.p4.30.m20.3.3.1" xref="S2.p4.30.m20.3.3.2.cmml"><mo id="S2.p4.30.m20.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.30.m20.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p4.30.m20.3.3.1.1.2" xref="S2.p4.30.m20.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.30.m20.1.1" xref="S2.p4.30.m20.1.1.cmml">y</mi><mo id="S2.p4.30.m20.3.3.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S2.p4.30.m20.3.3.1.1.1.cmml">,</mo><mo id="S2.p4.30.m20.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.p4.30.m20.2.2.cmml">+</mo></mrow><mo id="S2.p4.30.m20.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.30.m20.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.30.m20.3b"><apply id="S2.p4.30.m20.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.30.m20.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.30.m20.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p4.30.m20.3.3.1.2">ket</csymbol><list id="S2.p4.30.m20.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.30.m20.3.3.1.1.2"><ci id="S2.p4.30.m20.1.1.cmml" xref="S2.p4.30.m20.1.1">𝑦</ci><plus id="S2.p4.30.m20.2.2.cmml" xref="S2.p4.30.m20.2.2"></plus></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.30.m20.3c">|y,+\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.30.m20.3d">| italic_y , + ⟩</annotation></semantics></math>. These two probabilistic evolutions tend to drive the arbitrary initial state <math alttext="|\Psi\left(0\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.31.m21.2"><semantics id="S2.p4.31.m21.2a"><mrow id="S2.p4.31.m21.2.2.1" xref="S2.p4.31.m21.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p4.31.m21.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.31.m21.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.1" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.3.2" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.cmml">(</mo><mn id="S2.p4.31.m21.1.1" xref="S2.p4.31.m21.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p4.31.m21.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.31.m21.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.31.m21.2b"><apply id="S2.p4.31.m21.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.31.m21.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1"><times id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.31.m21.2.2.1.1.2">Ψ</ci><cn id="S2.p4.31.m21.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p4.31.m21.1.1">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.31.m21.2c">|\Psi\left(0\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.31.m21.2d">| roman_Ψ ( 0 ) ⟩</annotation></semantics></math> to <math alttext="|y,+\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.32.m22.3"><semantics id="S2.p4.32.m22.3a"><mrow id="S2.p4.32.m22.3.3.1" xref="S2.p4.32.m22.3.3.2.cmml"><mo id="S2.p4.32.m22.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.32.m22.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p4.32.m22.3.3.1.1.2" xref="S2.p4.32.m22.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.32.m22.1.1" xref="S2.p4.32.m22.1.1.cmml">y</mi><mo id="S2.p4.32.m22.3.3.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S2.p4.32.m22.3.3.1.1.1.cmml">,</mo><mo id="S2.p4.32.m22.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.p4.32.m22.2.2.cmml">+</mo></mrow><mo id="S2.p4.32.m22.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.32.m22.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.32.m22.3b"><apply id="S2.p4.32.m22.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.32.m22.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.32.m22.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p4.32.m22.3.3.1.2">ket</csymbol><list id="S2.p4.32.m22.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.32.m22.3.3.1.1.2"><ci id="S2.p4.32.m22.1.1.cmml" xref="S2.p4.32.m22.1.1">𝑦</ci><plus id="S2.p4.32.m22.2.2.cmml" xref="S2.p4.32.m22.2.2"></plus></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.32.m22.3c">|y,+\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.32.m22.3d">| italic_y , + ⟩</annotation></semantics></math>, resulting in the final steady state being a pure state <math alttext="|y,+\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.33.m23.3"><semantics id="S2.p4.33.m23.3a"><mrow id="S2.p4.33.m23.3.3.1" xref="S2.p4.33.m23.3.3.2.cmml"><mo id="S2.p4.33.m23.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.33.m23.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p4.33.m23.3.3.1.1.2" xref="S2.p4.33.m23.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.33.m23.1.1" xref="S2.p4.33.m23.1.1.cmml">y</mi><mo id="S2.p4.33.m23.3.3.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S2.p4.33.m23.3.3.1.1.1.cmml">,</mo><mo id="S2.p4.33.m23.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.p4.33.m23.2.2.cmml">+</mo></mrow><mo id="S2.p4.33.m23.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.33.m23.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.33.m23.3b"><apply id="S2.p4.33.m23.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.33.m23.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.33.m23.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p4.33.m23.3.3.1.2">ket</csymbol><list id="S2.p4.33.m23.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.33.m23.3.3.1.1.2"><ci id="S2.p4.33.m23.1.1.cmml" xref="S2.p4.33.m23.1.1">𝑦</ci><plus id="S2.p4.33.m23.2.2.cmml" xref="S2.p4.33.m23.2.2"></plus></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.33.m23.3c">|y,+\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.33.m23.3d">| italic_y , + ⟩</annotation></semantics></math>. This can be demonstrated in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S1.F2" title="Figure 2 ‣ I Introduction ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. The purity of <math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.34.m24.1"><semantics id="S2.p4.34.m24.1a"><msub id="S2.p4.34.m24.1.1" xref="S2.p4.34.m24.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.34.m24.1.1.2" xref="S2.p4.34.m24.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S2.p4.34.m24.1.1.3" xref="S2.p4.34.m24.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.34.m24.1b"><apply id="S2.p4.34.m24.1.1.cmml" xref="S2.p4.34.m24.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.34.m24.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.34.m24.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.34.m24.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.34.m24.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S2.p4.34.m24.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.34.m24.1.1.3">NESS</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.34.m24.1c">\rho_{\mathrm{NESS}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.34.m24.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, represented by the red line, initially decays and then recovers to <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.35.m25.1"><semantics id="S2.p4.35.m25.1a"><mn id="S2.p4.35.m25.1.1" xref="S2.p4.35.m25.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.35.m25.1b"><cn id="S2.p4.35.m25.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p4.35.m25.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.35.m25.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.35.m25.1d">1</annotation></semantics></math> when <math alttext="\lambda/\gamma=1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.36.m26.1"><semantics id="S2.p4.36.m26.1a"><mrow id="S2.p4.36.m26.1.1" xref="S2.p4.36.m26.1.1.cmml"><mrow id="S2.p4.36.m26.1.1.2" xref="S2.p4.36.m26.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p4.36.m26.1.1.2.2" xref="S2.p4.36.m26.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p4.36.m26.1.1.2.1" xref="S2.p4.36.m26.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S2.p4.36.m26.1.1.2.3" xref="S2.p4.36.m26.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S2.p4.36.m26.1.1.1" xref="S2.p4.36.m26.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.36.m26.1.1.3" xref="S2.p4.36.m26.1.1.3.cmml"><mn id="S2.p4.36.m26.1.1.3.2" xref="S2.p4.36.m26.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p4.36.m26.1.1.3.1" xref="S2.p4.36.m26.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p4.36.m26.1.1.3.3" xref="S2.p4.36.m26.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.36.m26.1b"><apply id="S2.p4.36.m26.1.1.cmml" xref="S2.p4.36.m26.1.1"><eq id="S2.p4.36.m26.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.36.m26.1.1.1"></eq><apply id="S2.p4.36.m26.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.36.m26.1.1.2"><divide id="S2.p4.36.m26.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.36.m26.1.1.2.1"></divide><ci id="S2.p4.36.m26.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p4.36.m26.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S2.p4.36.m26.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p4.36.m26.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S2.p4.36.m26.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.36.m26.1.1.3"><divide id="S2.p4.36.m26.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p4.36.m26.1.1.3.1"></divide><cn id="S2.p4.36.m26.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p4.36.m26.1.1.3.2">1</cn><cn id="S2.p4.36.m26.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.36.m26.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.36.m26.1c">\lambda/\gamma=1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.36.m26.1d">italic_λ / italic_γ = 1 / 2</annotation></semantics></math>. At this point, <math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}=\left(I_{2}+\sigma^{y}\right)/2=|y,+\rangle\langle y,+|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.p4.37.m27.2"><semantics id="S2.p4.37.m27.2a"><mrow id="S2.p4.37.m27.2b"><msub id="S2.p4.37.m27.2.3"><mi id="S2.p4.37.m27.2.3.2">ρ</mi><mi id="S2.p4.37.m27.2.3.3">NESS</mi></msub><mo id="S2.p4.37.m27.2.4">=</mo><mrow id="S2.p4.37.m27.2.5"><mo id="S2.p4.37.m27.2.5.1">(</mo><msub id="S2.p4.37.m27.2.5.2"><mi id="S2.p4.37.m27.2.5.2.2">I</mi><mn id="S2.p4.37.m27.2.5.2.3">2</mn></msub><mo id="S2.p4.37.m27.2.5.3">+</mo><msup id="S2.p4.37.m27.2.5.4"><mi id="S2.p4.37.m27.2.5.4.2">σ</mi><mi id="S2.p4.37.m27.2.5.4.3">y</mi></msup><mo id="S2.p4.37.m27.2.5.5">)</mo></mrow><mo id="S2.p4.37.m27.2.6">/</mo><mn id="S2.p4.37.m27.2.7">2</mn><mo id="S2.p4.37.m27.2.8" rspace="0em">=</mo><mo fence="false" id="S2.p4.37.m27.2.9" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.p4.37.m27.1.1">y</mi><mo id="S2.p4.37.m27.2.10" rspace="0em">,</mo><mo id="S2.p4.37.m27.2.2" lspace="0em" rspace="0em">+</mo><mo id="S2.p4.37.m27.2.11" stretchy="false">⟩</mo><mo id="S2.p4.37.m27.2.12" stretchy="false">⟨</mo><mi id="S2.p4.37.m27.2.13">y</mi><mo id="S2.p4.37.m27.2.14" rspace="0em">,</mo><mo id="S2.p4.37.m27.2.15" lspace="0em" rspace="0em">+</mo><mo fence="false" id="S2.p4.37.m27.2.16" stretchy="false">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.37.m27.2c">\rho_{\mathrm{NESS}}=\left(I_{2}+\sigma^{y}\right)/2=|y,+\rangle\langle y,+|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.37.m27.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_I start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT italic_y end_POSTSUPERSCRIPT ) / 2 = | italic_y , + ⟩ ⟨ italic_y , + |</annotation></semantics></math>, which validates our previous analysis. Based on the above calculations, one can appropriately choose the quantum jump operator to achieve the desired spin polarization.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span>Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel</h2> <figure class="ltx_figure" id="S3.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="295" id="S3.F3.g1" src="x3.png" width="373"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>The time evolutions of the Uhlmann fidelity <math alttext="F(\rho(t),\rho_{\mathrm{c}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.14.m1.3"><semantics id="S3.F3.14.m1.3b"><mrow id="S3.F3.14.m1.3.3" xref="S3.F3.14.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.F3.14.m1.3.3.4" xref="S3.F3.14.m1.3.3.4.cmml">F</mi><mo id="S3.F3.14.m1.3.3.3" xref="S3.F3.14.m1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.F3.14.m1.1.1" xref="S3.F3.14.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.4" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.14.m1.3c"><apply id="S3.F3.14.m1.3.3.cmml" xref="S3.F3.14.m1.3.3"><times id="S3.F3.14.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.F3.14.m1.3.3.3"></times><ci id="S3.F3.14.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.F3.14.m1.3.3.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.F3.14.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.2"><apply id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.14.m1.2.2.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.F3.14.m1.1.1.cmml" xref="S3.F3.14.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F3.14.m1.3.3.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.14.m1.3d">F(\rho(t),\rho_{\mathrm{c}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.14.m1.3e">italic_F ( italic_ρ ( italic_t ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and quantum mutual information <math alttext="I_{AB}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.15.m2.1"><semantics id="S3.F3.15.m2.1b"><mrow id="S3.F3.15.m2.1.2" xref="S3.F3.15.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.F3.15.m2.1.2.2" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F3.15.m2.1.2.2.2" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.F3.15.m2.1.2.2.3" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.2" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.1" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.3" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.F3.15.m2.1.2.1" xref="S3.F3.15.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F3.15.m2.1.2.3.2" xref="S3.F3.15.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.F3.15.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F3.15.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F3.15.m2.1.1" xref="S3.F3.15.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F3.15.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.F3.15.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.15.m2.1c"><apply id="S3.F3.15.m2.1.2.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2"><times id="S3.F3.15.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.F3.15.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.15.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.15.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.2">𝐼</ci><apply id="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.3"><times id="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.2.2.3.3">𝐵</ci></apply></apply><ci id="S3.F3.15.m2.1.1.cmml" xref="S3.F3.15.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.15.m2.1d">I_{AB}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.15.m2.1e">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>. The blue and red lines represent the driven systems under the quantum jump operators <math alttext="L_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.16.m3.1"><semantics id="S3.F3.16.m3.1b"><msub id="S3.F3.16.m3.1.1" xref="S3.F3.16.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.F3.16.m3.1.1.2" xref="S3.F3.16.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S3.F3.16.m3.1.1.3" xref="S3.F3.16.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.16.m3.1c"><apply id="S3.F3.16.m3.1.1.cmml" xref="S3.F3.16.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.16.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.16.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.16.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.16.m3.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.F3.16.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F3.16.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.16.m3.1d">L_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.16.m3.1e">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widetilde{L}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.17.m4.1"><semantics id="S3.F3.17.m4.1b"><msub id="S3.F3.17.m4.1.1" xref="S3.F3.17.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.F3.17.m4.1.1.2" xref="S3.F3.17.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F3.17.m4.1.1.2.2" xref="S3.F3.17.m4.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S3.F3.17.m4.1.1.2.1" xref="S3.F3.17.m4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.F3.17.m4.1.1.3" xref="S3.F3.17.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.17.m4.1c"><apply id="S3.F3.17.m4.1.1.cmml" xref="S3.F3.17.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.17.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.17.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.F3.17.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.17.m4.1.1.2"><ci id="S3.F3.17.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F3.17.m4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.F3.17.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F3.17.m4.1.1.2.2">𝐿</ci></apply><cn id="S3.F3.17.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F3.17.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.17.m4.1d">\widetilde{L}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.17.m4.1e">over~ start_ARG italic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively. The system parameters are chosen as <math alttext="\lambda/\gamma=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.18.m5.1"><semantics id="S3.F3.18.m5.1b"><mrow id="S3.F3.18.m5.1.1" xref="S3.F3.18.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.F3.18.m5.1.1.2" xref="S3.F3.18.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F3.18.m5.1.1.2.2" xref="S3.F3.18.m5.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F3.18.m5.1.1.2.1" xref="S3.F3.18.m5.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F3.18.m5.1.1.2.3" xref="S3.F3.18.m5.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F3.18.m5.1.1.1" xref="S3.F3.18.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F3.18.m5.1.1.3" xref="S3.F3.18.m5.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.18.m5.1c"><apply id="S3.F3.18.m5.1.1.cmml" xref="S3.F3.18.m5.1.1"><eq id="S3.F3.18.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.18.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.F3.18.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.18.m5.1.1.2"><divide id="S3.F3.18.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F3.18.m5.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F3.18.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F3.18.m5.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F3.18.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F3.18.m5.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.F3.18.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.F3.18.m5.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.18.m5.1d">\lambda/\gamma=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.18.m5.1e">italic_λ / italic_γ = 0.5</annotation></semantics></math> and <math alttext="J_{ij}/\gamma=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.19.m6.1"><semantics id="S3.F3.19.m6.1b"><mrow id="S3.F3.19.m6.1.1" xref="S3.F3.19.m6.1.1.cmml"><mrow id="S3.F3.19.m6.1.1.2" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.cmml"><msub id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.2" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.2" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.1" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.3" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.F3.19.m6.1.1.2.1" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F3.19.m6.1.1.2.3" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F3.19.m6.1.1.1" xref="S3.F3.19.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F3.19.m6.1.1.3" xref="S3.F3.19.m6.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.19.m6.1c"><apply id="S3.F3.19.m6.1.1.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1"><eq id="S3.F3.19.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.F3.19.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2"><divide id="S3.F3.19.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.1"></divide><apply id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.2">𝐽</ci><apply id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3"><times id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.F3.19.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F3.19.m6.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.F3.19.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F3.19.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.19.m6.1d">J_{ij}/\gamma=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.19.m6.1e">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT / italic_γ = 2</annotation></semantics></math>. The system is initially prepared in the state <math alttext="|\Downarrow\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.20.m7.1"><semantics id="S3.F3.20.m7.1b"><mrow id="S3.F3.20.m7.1.2.2" xref="S3.F3.20.m7.1.2.1.cmml"><mo id="S3.F3.20.m7.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.F3.20.m7.1.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.F3.20.m7.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.F3.20.m7.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S3.F3.20.m7.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.F3.20.m7.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.20.m7.1c"><apply id="S3.F3.20.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.F3.20.m7.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.F3.20.m7.1.2.1.1.cmml" xref="S3.F3.20.m7.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.F3.20.m7.1.1.cmml" xref="S3.F3.20.m7.1.1">⇓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.20.m7.1d">|\Downarrow\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.20.m7.1e">| ⇓ ⟩</annotation></semantics></math> such that <math alttext="F(\rho(0),\rho_{\mathrm{c}})=1/N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.21.m8.3"><semantics id="S3.F3.21.m8.3b"><mrow id="S3.F3.21.m8.3.3" xref="S3.F3.21.m8.3.3.cmml"><mrow id="S3.F3.21.m8.3.3.2" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.cmml"><mi id="S3.F3.21.m8.3.3.2.4" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.4.cmml">F</mi><mo id="S3.F3.21.m8.3.3.2.3" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.F3.21.m8.1.1" xref="S3.F3.21.m8.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.4" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F3.21.m8.3.3.3" xref="S3.F3.21.m8.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.F3.21.m8.3.3.4" xref="S3.F3.21.m8.3.3.4.cmml"><mn id="S3.F3.21.m8.3.3.4.2" xref="S3.F3.21.m8.3.3.4.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F3.21.m8.3.3.4.1" xref="S3.F3.21.m8.3.3.4.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F3.21.m8.3.3.4.3" xref="S3.F3.21.m8.3.3.4.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.21.m8.3c"><apply id="S3.F3.21.m8.3.3.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3"><eq id="S3.F3.21.m8.3.3.3.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.3"></eq><apply id="S3.F3.21.m8.3.3.2.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2"><times id="S3.F3.21.m8.3.3.2.3.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.3"></times><ci id="S3.F3.21.m8.3.3.2.4.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2"><apply id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.21.m8.2.2.1.1.1.1.2">𝜌</ci><cn id="S3.F3.21.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F3.21.m8.1.1">0</cn></apply><apply id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.2.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.F3.21.m8.3.3.4.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.4"><divide id="S3.F3.21.m8.3.3.4.1.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.4.1"></divide><cn id="S3.F3.21.m8.3.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.F3.21.m8.3.3.4.2">1</cn><ci id="S3.F3.21.m8.3.3.4.3.cmml" xref="S3.F3.21.m8.3.3.4.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.21.m8.3d">F(\rho(0),\rho_{\mathrm{c}})=1/N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.21.m8.3e">italic_F ( italic_ρ ( 0 ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ) = 1 / italic_N</annotation></semantics></math>, where <math alttext="N=4" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.22.m9.1"><semantics id="S3.F3.22.m9.1b"><mrow id="S3.F3.22.m9.1.1" xref="S3.F3.22.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.F3.22.m9.1.1.2" xref="S3.F3.22.m9.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.F3.22.m9.1.1.1" xref="S3.F3.22.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F3.22.m9.1.1.3" xref="S3.F3.22.m9.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.22.m9.1c"><apply id="S3.F3.22.m9.1.1.cmml" xref="S3.F3.22.m9.1.1"><eq id="S3.F3.22.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.22.m9.1.1.1"></eq><ci id="S3.F3.22.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.22.m9.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.F3.22.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F3.22.m9.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.22.m9.1d">N=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.22.m9.1e">italic_N = 4</annotation></semantics></math> for simplicity. In the absence of modulation, the Uhlmann fidelity <math alttext="F(\rho(t),\rho_{\mathrm{c}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.23.m10.3"><semantics id="S3.F3.23.m10.3b"><mrow id="S3.F3.23.m10.3.3" xref="S3.F3.23.m10.3.3.cmml"><mi id="S3.F3.23.m10.3.3.4" xref="S3.F3.23.m10.3.3.4.cmml">F</mi><mo id="S3.F3.23.m10.3.3.3" xref="S3.F3.23.m10.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.2" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.1" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.F3.23.m10.1.1" xref="S3.F3.23.m10.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.4" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.2" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.23.m10.3c"><apply id="S3.F3.23.m10.3.3.cmml" xref="S3.F3.23.m10.3.3"><times id="S3.F3.23.m10.3.3.3.cmml" xref="S3.F3.23.m10.3.3.3"></times><ci id="S3.F3.23.m10.3.3.4.cmml" xref="S3.F3.23.m10.3.3.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.F3.23.m10.3.3.2.3.cmml" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.2"><apply id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1"><times id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.23.m10.2.2.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.F3.23.m10.1.1.cmml" xref="S3.F3.23.m10.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F3.23.m10.3.3.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.23.m10.3d">F(\rho(t),\rho_{\mathrm{c}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.23.m10.3e">italic_F ( italic_ρ ( italic_t ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> (blue curve) saturates at approximately 0.75. On the other hand, the local dissipation channel <math alttext="\widetilde{L}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.24.m11.1"><semantics id="S3.F3.24.m11.1b"><msub id="S3.F3.24.m11.1.1" xref="S3.F3.24.m11.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.F3.24.m11.1.1.2" xref="S3.F3.24.m11.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F3.24.m11.1.1.2.2" xref="S3.F3.24.m11.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S3.F3.24.m11.1.1.2.1" xref="S3.F3.24.m11.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.F3.24.m11.1.1.3" xref="S3.F3.24.m11.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.24.m11.1c"><apply id="S3.F3.24.m11.1.1.cmml" xref="S3.F3.24.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.24.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.24.m11.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.F3.24.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.24.m11.1.1.2"><ci id="S3.F3.24.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F3.24.m11.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.F3.24.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F3.24.m11.1.1.2.2">𝐿</ci></apply><cn id="S3.F3.24.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F3.24.m11.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.24.m11.1d">\widetilde{L}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.24.m11.1e">over~ start_ARG italic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> drives the system towards the state <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.25.m12.1"><semantics id="S3.F3.25.m12.1b"><msub id="S3.F3.25.m12.1.1" xref="S3.F3.25.m12.1.1.cmml"><mi id="S3.F3.25.m12.1.1.2" xref="S3.F3.25.m12.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F3.25.m12.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F3.25.m12.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.25.m12.1c"><apply id="S3.F3.25.m12.1.1.cmml" xref="S3.F3.25.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.25.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.25.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.25.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.25.m12.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.F3.25.m12.1.1.3.cmml" xref="S3.F3.25.m12.1.1.3">c</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.25.m12.1d">\rho_{\mathrm{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.25.m12.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with zero quantum mutual information <math alttext="I_{AB}(t\rightarrow\infty)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.26.m13.1"><semantics id="S3.F3.26.m13.1b"><mrow id="S3.F3.26.m13.1.1" xref="S3.F3.26.m13.1.1.cmml"><mrow id="S3.F3.26.m13.1.1.1" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.cmml"><msub id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.2" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.2" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.1" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.3" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.F3.26.m13.1.1.1.2" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F3.26.m13.1.1.2" xref="S3.F3.26.m13.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.F3.26.m13.1.1.3" xref="S3.F3.26.m13.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.26.m13.1c"><apply id="S3.F3.26.m13.1.1.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1"><eq id="S3.F3.26.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.2"></eq><apply id="S3.F3.26.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1"><times id="S3.F3.26.m13.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.2"></times><apply id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.2">𝐼</ci><apply id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3"><times id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1"><ci id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F3.26.m13.1.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply><cn id="S3.F3.26.m13.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F3.26.m13.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.26.m13.1d">I_{AB}(t\rightarrow\infty)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.26.m13.1e">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t → ∞ ) = 0</annotation></semantics></math>. It is noteworthy that these conclusions hold irrespective of the system’s configuration and size.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">In this section, we extend our main conclusion to a many-body quantum spin system based on the mechanism described above. In this case, the system is assumed to be described by a Heisenberg Hamiltonian under the influence of an external field. The Hamiltonian <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> is defined as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx2"> <tbody id="S3.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m1.1"><semantics id="S3.E6.m1.1a"><mi id="S3.E6.m1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.1b"><ci id="S3.E6.m1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.1c">\displaystyle H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m2.1"><semantics id="S3.E6.m2.1a"><mo id="S3.E6.m2.1.1" xref="S3.E6.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m2.1b"><eq id="S3.E6.m2.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\text{{spin}}}+H_{\mathrm{e}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m3.1"><semantics id="S3.E6.m3.1a"><mrow id="S3.E6.m3.1.1.1" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m3.1.1.1.1" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E6.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.3a.cmml">spin</mtext></msub><mo id="S3.E6.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E6.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mi id="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow><mo id="S3.E6.m3.1.1.1.2" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m3.1b"><apply id="S3.E6.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1"><plus id="S3.E6.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.2.3">spin</mtext></ci></apply><apply id="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m3.1.1.1.1.3.3">e</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m3.1c">\displaystyle H_{\text{{spin}}}+H_{\mathrm{e}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT + italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\text{{spin}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m1.1"><semantics id="S3.Ex2.m1.1a"><msub id="S3.Ex2.m1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.Ex2.m1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3a.cmml">spin</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.1b"><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3"><mtext id="S3.Ex2.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.1c">\displaystyle H_{\text{{spin}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m2.1"><semantics id="S3.Ex2.m2.1a"><mo id="S3.Ex2.m2.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m2.1b"><eq id="S3.Ex2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\sum_{i,j\neq i}(J_{ij}/2)\left(s_{i}^{+}s_{j}^{-}+s_{i}^{-}s_{j% }^{+}\right)+\sum_{i,j\neq i}\Delta_{ij}s_{i}^{z}s_{j}^{z}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m3.5"><semantics id="S3.Ex2.m3.5a"><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><munder id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3a" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.4.2.1" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.3.cmml">≠</mo><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.5" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.5.cmml">i</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.1.cmml"><munder id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.1a" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.4.4.2" xref="S3.Ex2.m3.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m3.4.4.2.4.2" xref="S3.Ex2.m3.4.4.2.4.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.3.3.1.1" xref="S3.Ex2.m3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex2.m3.4.4.2.4.2.1" xref="S3.Ex2.m3.4.4.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m3.4.4.2.2" xref="S3.Ex2.m3.4.4.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m3.4.4.2.3" xref="S3.Ex2.m3.4.4.2.3.cmml">≠</mo><mi id="S3.Ex2.m3.4.4.2.5" xref="S3.Ex2.m3.4.4.2.5.cmml">i</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.cmml"><msub id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.3.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.3.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.3.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.1" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.3.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.3.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.3.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.3.3.cmml">z</mi></msubsup><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.1a" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.3" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.3.cmml">z</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m3.5.5.1.2" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m3.5b"><apply id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1"><plus id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.3"></plus><apply id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2"><minus id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2"></minus><apply id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.3.2"></sum><apply id="S3.Ex2.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2"><neq id="S3.Ex2.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.3"></neq><list id="S3.Ex2.m3.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.4.2"><ci id="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2">𝑗</ci></list><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.5">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.2.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.5.5.1.1.4.2.4.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m3.5c">\displaystyle-\sum_{i,j\neq i}(J_{ij}/2)\left(s_{i}^{+}s_{j}^{-}+s_{i}^{-}s_{j% }^{+}\right)+\sum_{i,j\neq i}\Delta_{ij}s_{i}^{z}s_{j}^{z},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m3.5d">- ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j ≠ italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT / 2 ) ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT + italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j ≠ italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\mathrm{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.m1.1"><semantics id="S3.E7.m1.1a"><msub id="S3.E7.m1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S3.E7.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E7.m1.1.1.3.cmml">e</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.1b"><apply id="S3.E7.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.3">e</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.1c">\displaystyle H_{\mathrm{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.m2.1"><semantics id="S3.E7.m2.1a"><mo id="S3.E7.m2.1.1" 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id="S3.E7.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1"><apply id="S3.E7.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E7.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.1.2"></sum><ci id="S3.E7.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.1">⋅</ci><apply id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.2.3">𝐡</ci></apply><apply id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.3.2">𝐬</ci><ci id="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E7.m3.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m3.1c">\displaystyle\sum_{i}\lambda_{i}\mathbf{h}\cdot\mathbf{s}_{i}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m3.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT bold_h ⋅ bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p1.36">Here the operators <math alttext="s_{i}^{\pm}=s_{i}^{x}\pm is_{i}^{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m1.1"><semantics id="S3.p1.2.m1.1a"><mrow id="S3.p1.2.m1.1.1" xref="S3.p1.2.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.p1.2.m1.1.1.2" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.2.m1.1.1.2.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="S3.p1.2.m1.1.1.1" xref="S3.p1.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.2.m1.1.1.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.cmml">x</mi></msubsup><mo id="S3.p1.2.m1.1.1.3.1" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml">±</mo><mrow id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">y</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m1.1b"><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1"><eq id="S3.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.2.3">plus-or-minus</csymbol></apply><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.1">plus-or-minus</csymbol><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3"><times id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m1.1c">s_{i}^{\pm}=s_{i}^{x}\pm is_{i}^{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m1.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT = italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT ± italic_i italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_y end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="s_{i}^{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m2.1"><semantics id="S3.p1.3.m2.1a"><msubsup id="S3.p1.3.m2.1.1" xref="S3.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.3.m2.1.1.2.2" xref="S3.p1.3.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p1.3.m2.1.1.2.3" xref="S3.p1.3.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.p1.3.m2.1.1.3" xref="S3.p1.3.m2.1.1.3.cmml">z</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m2.1b"><apply id="S3.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.3.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.3.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.3.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p1.3.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.3.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.3.m2.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m2.1c">s_{i}^{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represent spin-<math alttext="1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m3.1"><semantics id="S3.p1.4.m3.1a"><mrow id="S3.p1.4.m3.1.1" xref="S3.p1.4.m3.1.1.cmml"><mn id="S3.p1.4.m3.1.1.2" xref="S3.p1.4.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p1.4.m3.1.1.1" xref="S3.p1.4.m3.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p1.4.m3.1.1.3" xref="S3.p1.4.m3.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m3.1b"><apply id="S3.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m3.1.1"><divide id="S3.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m3.1.1.1"></divide><cn id="S3.p1.4.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.p1.4.m3.1.1.2">1</cn><cn id="S3.p1.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.4.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m3.1c">1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m3.1d">1 / 2</annotation></semantics></math> operators at the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.5.m4.1"><semantics id="S3.p1.5.m4.1a"><mi id="S3.p1.5.m4.1.1" xref="S3.p1.5.m4.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.5.m4.1b"><ci id="S3.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m4.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.5.m4.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.5.m4.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th site, which obey the standard SU(2) symmetry relations: <math alttext="[s_{i}^{z},s_{j}^{\pm}]=\pm s_{i}^{\pm}\delta_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.6.m5.2"><semantics id="S3.p1.6.m5.2a"><mrow id="S3.p1.6.m5.2.2" xref="S3.p1.6.m5.2.2.cmml"><mrow id="S3.p1.6.m5.2.2.2.2" xref="S3.p1.6.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p1.6.m5.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m5.2.2.2.3.cmml">[</mo><msubsup id="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></msubsup><mo id="S3.p1.6.m5.2.2.2.2.4" xref="S3.p1.6.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.p1.6.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.p1.6.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.6.m5.2.2.2.2.2.2.2" 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id="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.2" xref="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.3" xref="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.3.2" xref="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.3.1" xref="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.3.3" xref="S3.p1.6.m5.2.2.4.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.6.m5.2b"><apply id="S3.p1.6.m5.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m5.2.2"><eq id="S3.p1.6.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.6.m5.2.2.3"></eq><interval closure="closed" id="S3.p1.6.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.6.m5.2.2.2.2"><apply id="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.6.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="S3.p1.8.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.8.m7.1.1.3.2" xref="S3.p1.8.m7.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.8.m7.1.1.3.1" xref="S3.p1.8.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.8.m7.1.1.3.3" xref="S3.p1.8.m7.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.8.m7.1b"><apply id="S3.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="S3.p1.8.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.8.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.8.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.8.m7.1.1.2">𝛿</ci><apply id="S3.p1.8.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.8.m7.1.1.3"><times id="S3.p1.8.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.8.m7.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p1.8.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.8.m7.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.p1.8.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.8.m7.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.8.m7.1c">\delta_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.8.m7.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the Dirac delta function. The summation <math alttext="\sum_{i,j\neq i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.9.m8.2"><semantics id="S3.p1.9.m8.2a"><msub id="S3.p1.9.m8.2.3" xref="S3.p1.9.m8.2.3.cmml"><mo id="S3.p1.9.m8.2.3.2" xref="S3.p1.9.m8.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.p1.9.m8.2.2.2" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.p1.9.m8.2.2.2.4.2" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S3.p1.9.m8.1.1.1.1" xref="S3.p1.9.m8.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.9.m8.2.2.2.4.2.1" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.9.m8.2.2.2.2" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.p1.9.m8.2.2.2.3" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.3.cmml">≠</mo><mi id="S3.p1.9.m8.2.2.2.5" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.5.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.9.m8.2b"><apply id="S3.p1.9.m8.2.3.cmml" xref="S3.p1.9.m8.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.9.m8.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.9.m8.2.3">subscript</csymbol><sum id="S3.p1.9.m8.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.9.m8.2.3.2"></sum><apply id="S3.p1.9.m8.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2"><neq id="S3.p1.9.m8.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.3"></neq><list id="S3.p1.9.m8.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.4.2"><ci id="S3.p1.9.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.9.m8.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p1.9.m8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.2">𝑗</ci></list><ci id="S3.p1.9.m8.2.2.2.5.cmml" xref="S3.p1.9.m8.2.2.2.5">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.9.m8.2c">\sum_{i,j\neq i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.9.m8.2d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j ≠ italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> implies the summation over of possible pair interactions within an arbitrary range. The parameter <math alttext="J_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.10.m9.1"><semantics id="S3.p1.10.m9.1a"><msub id="S3.p1.10.m9.1.1" xref="S3.p1.10.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.10.m9.1.1.2" xref="S3.p1.10.m9.1.1.2.cmml">J</mi><mrow id="S3.p1.10.m9.1.1.3" xref="S3.p1.10.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.10.m9.1.1.3.2" xref="S3.p1.10.m9.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.10.m9.1.1.3.1" xref="S3.p1.10.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.10.m9.1.1.3.3" xref="S3.p1.10.m9.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.10.m9.1b"><apply id="S3.p1.10.m9.1.1.cmml" xref="S3.p1.10.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.10.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.10.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.10.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.10.m9.1.1.2">𝐽</ci><apply id="S3.p1.10.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.10.m9.1.1.3"><times id="S3.p1.10.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.10.m9.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p1.10.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.10.m9.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.p1.10.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.10.m9.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.10.m9.1c">J_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.10.m9.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the inhomogeneous spin-spin interaction, while <math alttext="\Delta_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.11.m10.1"><semantics id="S3.p1.11.m10.1a"><msub id="S3.p1.11.m10.1.1" xref="S3.p1.11.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.11.m10.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.11.m10.1.1.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S3.p1.11.m10.1.1.3" xref="S3.p1.11.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.11.m10.1.1.3.2" xref="S3.p1.11.m10.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.11.m10.1.1.3.1" xref="S3.p1.11.m10.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.11.m10.1.1.3.3" xref="S3.p1.11.m10.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.11.m10.1b"><apply id="S3.p1.11.m10.1.1.cmml" xref="S3.p1.11.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.11.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.11.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.11.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.11.m10.1.1.2">Δ</ci><apply id="S3.p1.11.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.11.m10.1.1.3"><times id="S3.p1.11.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.11.m10.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p1.11.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.11.m10.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.p1.11.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.11.m10.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.11.m10.1c">\Delta_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.11.m10.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> characterizes the anisotropy of the spin system <math alttext="H_{\text{{spin}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.12.m11.1"><semantics id="S3.p1.12.m11.1a"><msub id="S3.p1.12.m11.1.1" xref="S3.p1.12.m11.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.12.m11.1.1.2" xref="S3.p1.12.m11.1.1.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.p1.12.m11.1.1.3" xref="S3.p1.12.m11.1.1.3a.cmml">spin</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.12.m11.1b"><apply id="S3.p1.12.m11.1.1.cmml" xref="S3.p1.12.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.12.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.12.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.12.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.12.m11.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p1.12.m11.1.1.3a.cmml" xref="S3.p1.12.m11.1.1.3"><mtext id="S3.p1.12.m11.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p1.12.m11.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.12.m11.1c">H_{\text{{spin}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.12.m11.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The local external field <math alttext="\mathbf{h}=(1,0,0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.13.m12.3"><semantics id="S3.p1.13.m12.3a"><mrow id="S3.p1.13.m12.3.4" xref="S3.p1.13.m12.3.4.cmml"><mi id="S3.p1.13.m12.3.4.2" xref="S3.p1.13.m12.3.4.2.cmml">𝐡</mi><mo id="S3.p1.13.m12.3.4.1" xref="S3.p1.13.m12.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.13.m12.3.4.3.2" xref="S3.p1.13.m12.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.p1.13.m12.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.13.m12.3.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.p1.13.m12.1.1" xref="S3.p1.13.m12.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.p1.13.m12.3.4.3.2.2" xref="S3.p1.13.m12.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.p1.13.m12.2.2" xref="S3.p1.13.m12.2.2.cmml">0</mn><mo id="S3.p1.13.m12.3.4.3.2.3" xref="S3.p1.13.m12.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.p1.13.m12.3.3" xref="S3.p1.13.m12.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.p1.13.m12.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.p1.13.m12.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.13.m12.3b"><apply id="S3.p1.13.m12.3.4.cmml" xref="S3.p1.13.m12.3.4"><eq id="S3.p1.13.m12.3.4.1.cmml" xref="S3.p1.13.m12.3.4.1"></eq><ci id="S3.p1.13.m12.3.4.2.cmml" xref="S3.p1.13.m12.3.4.2">𝐡</ci><vector id="S3.p1.13.m12.3.4.3.1.cmml" xref="S3.p1.13.m12.3.4.3.2"><cn id="S3.p1.13.m12.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p1.13.m12.1.1">1</cn><cn id="S3.p1.13.m12.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.p1.13.m12.2.2">0</cn><cn id="S3.p1.13.m12.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.13.m12.3.3">0</cn></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.13.m12.3c">\mathbf{h}=(1,0,0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.13.m12.3d">bold_h = ( 1 , 0 , 0 )</annotation></semantics></math> can be interpreted as a magnetic field along the <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.14.m13.1"><semantics id="S3.p1.14.m13.1a"><mi id="S3.p1.14.m13.1.1" xref="S3.p1.14.m13.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.14.m13.1b"><ci id="S3.p1.14.m13.1.1.cmml" xref="S3.p1.14.m13.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.14.m13.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.14.m13.1d">italic_x</annotation></semantics></math>-direction and is experimentally accessible in ultracold atom experiments <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Lee and Chan (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib75" title="">2014</a>); Ashida <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib76" title="">2017</a>); Pan <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib77" title="">2019</a>)</cite>. The strength experienced by each spin is denoted as <math alttext="\lambda_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.15.m14.1"><semantics id="S3.p1.15.m14.1a"><msub id="S3.p1.15.m14.1.1" xref="S3.p1.15.m14.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.15.m14.1.1.2" xref="S3.p1.15.m14.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.p1.15.m14.1.1.3" xref="S3.p1.15.m14.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.15.m14.1b"><apply id="S3.p1.15.m14.1.1.cmml" xref="S3.p1.15.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.15.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.15.m14.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.15.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.15.m14.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.p1.15.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.15.m14.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.15.m14.1c">\lambda_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.15.m14.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. When <math alttext="\Delta_{ij}=J_{ij}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.16.m15.1"><semantics id="S3.p1.16.m15.1a"><mrow id="S3.p1.16.m15.1.1" xref="S3.p1.16.m15.1.1.cmml"><msub id="S3.p1.16.m15.1.1.2" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.16.m15.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S3.p1.16.m15.1.1.2.3" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.2" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.1" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.3" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.16.m15.1.1.1" xref="S3.p1.16.m15.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.16.m15.1.1.3" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.cmml"><msub id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.2" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.2" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.1" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.3" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.16.m15.1.1.3.1" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p1.16.m15.1.1.3.3" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.16.m15.1b"><apply id="S3.p1.16.m15.1.1.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1"><eq id="S3.p1.16.m15.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.1"></eq><apply id="S3.p1.16.m15.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.16.m15.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.16.m15.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.2">Δ</ci><apply id="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.3"><times id="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.p1.16.m15.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3"><divide id="S3.p1.16.m15.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.1"></divide><apply id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3"><times id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S3.p1.16.m15.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.16.m15.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.16.m15.1c">\Delta_{ij}=J_{ij}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.16.m15.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT / 2</annotation></semantics></math>, the system <math alttext="H_{\text{{spin}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.17.m16.1"><semantics id="S3.p1.17.m16.1a"><msub id="S3.p1.17.m16.1.1" xref="S3.p1.17.m16.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.17.m16.1.1.2" xref="S3.p1.17.m16.1.1.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.p1.17.m16.1.1.3" xref="S3.p1.17.m16.1.1.3a.cmml">spin</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.17.m16.1b"><apply id="S3.p1.17.m16.1.1.cmml" xref="S3.p1.17.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.17.m16.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.17.m16.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.17.m16.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.17.m16.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p1.17.m16.1.1.3a.cmml" xref="S3.p1.17.m16.1.1.3"><mtext id="S3.p1.17.m16.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p1.17.m16.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.17.m16.1c">H_{\text{{spin}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.17.m16.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> corresponds to a ferromagnetic Heisenberg Hamiltonian that respects the SU(2) symmetry, i.e., <math alttext="[\sum_{i}s_{i}^{\sigma},H_{\text{{spin}}}]=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.18.m17.2"><semantics id="S3.p1.18.m17.2a"><mrow id="S3.p1.18.m17.2.2" xref="S3.p1.18.m17.2.2.cmml"><mrow id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><msubsup id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.4" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.3" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.3a.cmml">spin</mtext></msub><mo id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.p1.18.m17.2.2.3" xref="S3.p1.18.m17.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S3.p1.18.m17.2.2.4" xref="S3.p1.18.m17.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.18.m17.2b"><apply id="S3.p1.18.m17.2.2.cmml" xref="S3.p1.18.m17.2.2"><eq id="S3.p1.18.m17.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.18.m17.2.2.3"></eq><interval closure="closed" id="S3.p1.18.m17.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2"><apply id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1"><apply id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.2"></sum><ci id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.18.m17.1.1.1.1.1.2.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.3"><mtext id="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p1.18.m17.2.2.2.2.2.3">spin</mtext></ci></apply></interval><cn id="S3.p1.18.m17.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.p1.18.m17.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.18.m17.2c">[\sum_{i}s_{i}^{\sigma},H_{\text{{spin}}}]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.18.m17.2d">[ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT ] = 0</annotation></semantics></math> with <math alttext="\sigma=\pm,z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.19.m18.2"><semantics id="S3.p1.19.m18.2a"><mrow id="S3.p1.19.m18.2.3" xref="S3.p1.19.m18.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.19.m18.2.3.2" xref="S3.p1.19.m18.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.p1.19.m18.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.p1.19.m18.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.19.m18.2.3.3.2" xref="S3.p1.19.m18.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p1.19.m18.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.p1.19.m18.1.1.cmml">±</mo><mo id="S3.p1.19.m18.2.3.3.2.1" xref="S3.p1.19.m18.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.19.m18.2.2" xref="S3.p1.19.m18.2.2.cmml">z</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.19.m18.2b"><apply id="S3.p1.19.m18.2.3.cmml" xref="S3.p1.19.m18.2.3"><eq id="S3.p1.19.m18.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.19.m18.2.3.1"></eq><ci id="S3.p1.19.m18.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.19.m18.2.3.2">𝜎</ci><list id="S3.p1.19.m18.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.19.m18.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.19.m18.1.1.cmml" xref="S3.p1.19.m18.1.1">plus-or-minus</csymbol><ci id="S3.p1.19.m18.2.2.cmml" xref="S3.p1.19.m18.2.2">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.19.m18.2c">\sigma=\pm,z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.19.m18.2d">italic_σ = ± , italic_z</annotation></semantics></math>. Thus, the eigenstates of <math alttext="H_{\text{{spin}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.20.m19.1"><semantics id="S3.p1.20.m19.1a"><msub id="S3.p1.20.m19.1.1" xref="S3.p1.20.m19.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.20.m19.1.1.2" xref="S3.p1.20.m19.1.1.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.p1.20.m19.1.1.3" xref="S3.p1.20.m19.1.1.3a.cmml">spin</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.20.m19.1b"><apply id="S3.p1.20.m19.1.1.cmml" xref="S3.p1.20.m19.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.20.m19.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.20.m19.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.20.m19.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.20.m19.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p1.20.m19.1.1.3a.cmml" xref="S3.p1.20.m19.1.1.3"><mtext id="S3.p1.20.m19.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p1.20.m19.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.20.m19.1c">H_{\text{{spin}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.20.m19.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be classified based on the total spin number <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.21.m20.1"><semantics id="S3.p1.21.m20.1a"><mi id="S3.p1.21.m20.1.1" xref="S3.p1.21.m20.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.21.m20.1b"><ci id="S3.p1.21.m20.1.1.cmml" xref="S3.p1.21.m20.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.21.m20.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.21.m20.1d">italic_s</annotation></semantics></math>. Among these states, a fully polarized ferromagnetic state, denoted as <math alttext="\left|\Uparrow\right\rangle=\prod\limits_{i=1}^{N}\left|\uparrow\right\rangle_% {i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.22.m21.2"><semantics id="S3.p1.22.m21.2a"><mrow id="S3.p1.22.m21.2.3" xref="S3.p1.22.m21.2.3.cmml"><mrow id="S3.p1.22.m21.2.3.2.2" xref="S3.p1.22.m21.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.p1.22.m21.2.3.2.2.1" xref="S3.p1.22.m21.2.3.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p1.22.m21.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p1.22.m21.1.1.cmml">⇑</mo><mo id="S3.p1.22.m21.2.3.2.2.2" xref="S3.p1.22.m21.2.3.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p1.22.m21.2.3.1" rspace="0.111em" xref="S3.p1.22.m21.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.22.m21.2.3.3" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.cmml"><munderover id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.2" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.1" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.3" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.3" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.3.cmml">N</mi></munderover><msub id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.2" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.1.cmml"><mo id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.2.1" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p1.22.m21.2.2" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p1.22.m21.2.2.cmml">↑</mo><mo id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.2.2" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.3" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.22.m21.2b"><apply id="S3.p1.22.m21.2.3.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3"><eq id="S3.p1.22.m21.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.1"></eq><apply id="S3.p1.22.m21.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.22.m21.2.3.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p1.22.m21.1.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.1.1">⇑</ci></apply><apply id="S3.p1.22.m21.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3"><apply id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3"><eq id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p1.22.m21.2.2.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.2">↑</ci></apply><ci id="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.22.m21.2.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.22.m21.2c">\left|\Uparrow\right\rangle=\prod\limits_{i=1}^{N}\left|\uparrow\right\rangle_% {i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.22.m21.2d">| ⇑ ⟩ = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT | ↑ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> belongs to the ground states multiplet, where <math alttext="|\uparrow\rangle_{i}\left(|\downarrow\rangle_{i}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.23.m22.3"><semantics id="S3.p1.23.m22.3a"><mrow id="S3.p1.23.m22.3.3" xref="S3.p1.23.m22.3.3.cmml"><msub id="S3.p1.23.m22.3.3.3" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.2" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p1.23.m22.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p1.23.m22.1.1.cmml">↑</mo><mo id="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.p1.23.m22.3.3.3.3" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.p1.23.m22.3.3.2" xref="S3.p1.23.m22.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.2" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p1.23.m22.2.2" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p1.23.m22.2.2.cmml">↓</mo><mo id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.3" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.3" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.23.m22.3b"><apply id="S3.p1.23.m22.3.3.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3"><times id="S3.p1.23.m22.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.2"></times><apply id="S3.p1.23.m22.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.23.m22.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p1.23.m22.1.1.cmml" xref="S3.p1.23.m22.1.1">↑</ci></apply><ci id="S3.p1.23.m22.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p1.23.m22.2.2.cmml" xref="S3.p1.23.m22.2.2">↓</ci></apply><ci id="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.23.m22.3.3.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.23.m22.3c">|\uparrow\rangle_{i}\left(|\downarrow\rangle_{i}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.23.m22.3d">| ↑ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( | ↓ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the eigenstate of <math alttext="s_{i}^{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.24.m23.1"><semantics id="S3.p1.24.m23.1a"><msubsup id="S3.p1.24.m23.1.1" xref="S3.p1.24.m23.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.24.m23.1.1.2.2" xref="S3.p1.24.m23.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p1.24.m23.1.1.2.3" xref="S3.p1.24.m23.1.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.p1.24.m23.1.1.3" xref="S3.p1.24.m23.1.1.3.cmml">z</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.24.m23.1b"><apply id="S3.p1.24.m23.1.1.cmml" xref="S3.p1.24.m23.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.24.m23.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.24.m23.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.24.m23.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.24.m23.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.24.m23.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.24.m23.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.24.m23.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.24.m23.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p1.24.m23.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.24.m23.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.p1.24.m23.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.24.m23.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.24.m23.1c">s_{i}^{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.24.m23.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with eigenenergy <math alttext="\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.25.m24.1"><semantics id="S3.p1.25.m24.1a"><mrow id="S3.p1.25.m24.1.1" xref="S3.p1.25.m24.1.1.cmml"><mfrac id="S3.p1.25.m24.1.1.3" xref="S3.p1.25.m24.1.1.3.cmml"><mn id="S3.p1.25.m24.1.1.3.2" xref="S3.p1.25.m24.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.p1.25.m24.1.1.3.3" xref="S3.p1.25.m24.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.p1.25.m24.1.1.2" xref="S3.p1.25.m24.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1a" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.25.m24.1b"><apply id="S3.p1.25.m24.1.1.cmml" xref="S3.p1.25.m24.1.1"><times id="S3.p1.25.m24.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.25.m24.1.1.2"></times><apply id="S3.p1.25.m24.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.25.m24.1.1.3"><divide id="S3.p1.25.m24.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.25.m24.1.1.3"></divide><cn id="S3.p1.25.m24.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p1.25.m24.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.p1.25.m24.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.25.m24.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1"><minus id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.25.m24.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.25.m24.1c">\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.25.m24.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG )</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Heisenberg (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib78" title="">1928</a>); Yang and Yang (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib79" title="">1966</a>)</cite>. The degenerate ground states <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.26.m25.1"><semantics id="S3.p1.26.m25.1a"><mrow id="S3.p1.26.m25.1.1.1" xref="S3.p1.26.m25.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.26.m25.1.1.1.2" xref="S3.p1.26.m25.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p1.26.m25.1.1.1.3" xref="S3.p1.26.m25.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.26.m25.1b"><set id="S3.p1.26.m25.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1"><apply id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.26.m25.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.26.m25.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.26.m25.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> belonging to the subspace <math alttext="s=N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.27.m26.1"><semantics id="S3.p1.27.m26.1a"><mrow id="S3.p1.27.m26.1.1" xref="S3.p1.27.m26.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.27.m26.1.1.2" xref="S3.p1.27.m26.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p1.27.m26.1.1.1" xref="S3.p1.27.m26.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.27.m26.1.1.3" xref="S3.p1.27.m26.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.27.m26.1.1.3.2" xref="S3.p1.27.m26.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p1.27.m26.1.1.3.1" xref="S3.p1.27.m26.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p1.27.m26.1.1.3.3" xref="S3.p1.27.m26.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.27.m26.1b"><apply id="S3.p1.27.m26.1.1.cmml" xref="S3.p1.27.m26.1.1"><eq id="S3.p1.27.m26.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.27.m26.1.1.1"></eq><ci id="S3.p1.27.m26.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.27.m26.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.p1.27.m26.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.27.m26.1.1.3"><divide id="S3.p1.27.m26.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.27.m26.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p1.27.m26.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.27.m26.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p1.27.m26.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.27.m26.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.27.m26.1c">s=N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.27.m26.1d">italic_s = italic_N / 2</annotation></semantics></math> are given by <math alttext="\left|G_{n}\right\rangle=(\sum_{i}s_{i}^{-})^{n-1}\left|\Uparrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.28.m27.3"><semantics id="S3.p1.28.m27.3a"><mrow id="S3.p1.28.m27.3.3" xref="S3.p1.28.m27.3.3.cmml"><mrow id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.2" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.3" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.3" xref="S3.p1.28.m27.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.28.m27.3.3.2" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.cmml"><msup id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.cmml"><mrow id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><msubsup id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.2" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.1" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.3" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.2.2" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.2" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.2.1" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p1.28.m27.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p1.28.m27.1.1.cmml">⇑</mo><mo id="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.2.2" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.28.m27.3b"><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3"><eq id="S3.p1.28.m27.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.3"></eq><apply id="S3.p1.28.m27.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.28.m27.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.28.m27.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2"><times id="S3.p1.28.m27.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.2"></times><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1"><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.2"></sum><ci id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><minus id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.1.1.1.2.3"></minus></apply></apply><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3"><minus id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.1"></minus><ci id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.1.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.3.3.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p1.28.m27.1.1.cmml" xref="S3.p1.28.m27.1.1">⇑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.28.m27.3c">\left|G_{n}\right\rangle=(\sum_{i}s_{i}^{-})^{n-1}\left|\Uparrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.28.m27.3d">| italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | ⇑ ⟩</annotation></semantics></math>, where <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.29.m28.1"><semantics id="S3.p1.29.m28.1a"><mi id="S3.p1.29.m28.1.1" xref="S3.p1.29.m28.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.29.m28.1b"><ci id="S3.p1.29.m28.1.1.cmml" xref="S3.p1.29.m28.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.29.m28.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.29.m28.1d">italic_n</annotation></semantics></math> ranges from <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.30.m29.1"><semantics id="S3.p1.30.m29.1a"><mn id="S3.p1.30.m29.1.1" xref="S3.p1.30.m29.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.30.m29.1b"><cn id="S3.p1.30.m29.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p1.30.m29.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.30.m29.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.30.m29.1d">1</annotation></semantics></math> to <math alttext="N+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.31.m30.1"><semantics id="S3.p1.31.m30.1a"><mrow id="S3.p1.31.m30.1.1" xref="S3.p1.31.m30.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.31.m30.1.1.2" xref="S3.p1.31.m30.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p1.31.m30.1.1.1" xref="S3.p1.31.m30.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p1.31.m30.1.1.3" xref="S3.p1.31.m30.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.31.m30.1b"><apply id="S3.p1.31.m30.1.1.cmml" xref="S3.p1.31.m30.1.1"><plus id="S3.p1.31.m30.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.31.m30.1.1.1"></plus><ci id="S3.p1.31.m30.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.31.m30.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.p1.31.m30.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.31.m30.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.31.m30.1c">N+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.31.m30.1d">italic_N + 1</annotation></semantics></math>. Clearly, <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.32.m31.1"><semantics id="S3.p1.32.m31.1a"><mrow id="S3.p1.32.m31.1.1.1" xref="S3.p1.32.m31.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.32.m31.1.1.1.2" xref="S3.p1.32.m31.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p1.32.m31.1.1.1.3" xref="S3.p1.32.m31.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.32.m31.1b"><set id="S3.p1.32.m31.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1"><apply id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.32.m31.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.32.m31.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.32.m31.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> are the degenerate groundstates of <math alttext="H_{\text{{spin}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.33.m32.1"><semantics id="S3.p1.33.m32.1a"><msub id="S3.p1.33.m32.1.1" xref="S3.p1.33.m32.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.33.m32.1.1.2" xref="S3.p1.33.m32.1.1.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.p1.33.m32.1.1.3" xref="S3.p1.33.m32.1.1.3a.cmml">spin</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.33.m32.1b"><apply id="S3.p1.33.m32.1.1.cmml" xref="S3.p1.33.m32.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.33.m32.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.33.m32.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.33.m32.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.33.m32.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p1.33.m32.1.1.3a.cmml" xref="S3.p1.33.m32.1.1.3"><mtext id="S3.p1.33.m32.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p1.33.m32.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.33.m32.1c">H_{\text{{spin}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.33.m32.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with an <math alttext="(N+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.34.m33.1"><semantics id="S3.p1.34.m33.1a"><mrow id="S3.p1.34.m33.1.1.1" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.34.m33.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p1.34.m33.1.1.1.1" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.p1.34.m33.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.34.m33.1b"><apply id="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1"><plus id="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.34.m33.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.34.m33.1c">(N+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.34.m33.1d">( italic_N + 1 )</annotation></semantics></math>-fold degeneracy, where all the spins are aligned in the same direction. However, the presence of the external field <math alttext="H_{\mathrm{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.35.m34.1"><semantics id="S3.p1.35.m34.1a"><msub id="S3.p1.35.m34.1.1" xref="S3.p1.35.m34.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.35.m34.1.1.2" xref="S3.p1.35.m34.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S3.p1.35.m34.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p1.35.m34.1.1.3.cmml">e</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.35.m34.1b"><apply id="S3.p1.35.m34.1.1.cmml" xref="S3.p1.35.m34.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.35.m34.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.35.m34.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.35.m34.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.35.m34.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p1.35.m34.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.35.m34.1.1.3">e</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.35.m34.1c">H_{\mathrm{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.35.m34.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> breaks the SU(2) symmetry of the system, consequently splitting the degeneracy of these states. From this point onward, we will assume <math alttext="\Delta_{ij}=J_{ij}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.36.m35.1"><semantics id="S3.p1.36.m35.1a"><mrow id="S3.p1.36.m35.1.1" xref="S3.p1.36.m35.1.1.cmml"><msub id="S3.p1.36.m35.1.1.2" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.36.m35.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S3.p1.36.m35.1.1.2.3" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.2" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.1" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.3" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.36.m35.1.1.1" xref="S3.p1.36.m35.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.36.m35.1.1.3" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.cmml"><msub id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.2" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.2" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.1" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.3" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.36.m35.1.1.3.1" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p1.36.m35.1.1.3.3" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.36.m35.1b"><apply id="S3.p1.36.m35.1.1.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1"><eq id="S3.p1.36.m35.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.1"></eq><apply id="S3.p1.36.m35.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.36.m35.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.36.m35.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.2">Δ</ci><apply id="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.3"><times id="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.p1.36.m35.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3"><divide id="S3.p1.36.m35.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.1"></divide><apply id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3"><times id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S3.p1.36.m35.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.36.m35.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.36.m35.1c">\Delta_{ij}=J_{ij}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.36.m35.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT / 2</annotation></semantics></math> for clarity.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="294" id="S3.F4.g1" src="x4.png" width="373"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Plots of Uhlmann fidelity <math alttext="F(\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right),\rho_{\text{{l}}}\left(t\right))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.27.m1.4"><semantics id="S3.F4.27.m1.4b"><mrow id="S3.F4.27.m1.4.4" xref="S3.F4.27.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.F4.27.m1.4.4.4" xref="S3.F4.27.m1.4.4.4.cmml">F</mi><mo id="S3.F4.27.m1.4.4.3" xref="S3.F4.27.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.F4.27.m1.1.1" xref="S3.F4.27.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.3.2.1" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F4.27.m1.2.2" xref="S3.F4.27.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.3.2.2" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.27.m1.4c"><apply id="S3.F4.27.m1.4.4.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4"><times id="S3.F4.27.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.3"></times><ci id="S3.F4.27.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.F4.27.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.27.m1.3.3.1.1.1.2.3">nh</mtext></ci></apply><ci id="S3.F4.27.m1.1.1.cmml" xref="S3.F4.27.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2"><times id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.1"></times><apply id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.3"><mtext id="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.27.m1.4.4.2.2.2.2.3">l</mtext></ci></apply><ci id="S3.F4.27.m1.2.2.cmml" xref="S3.F4.27.m1.2.2">𝑡</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.27.m1.4d">F(\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right),\rho_{\text{{l}}}\left(t\right))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.27.m1.4e">italic_F ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT nh end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) )</annotation></semantics></math> as a function of time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.28.m2.1"><semantics id="S3.F4.28.m2.1b"><mi id="S3.F4.28.m2.1.1" xref="S3.F4.28.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.28.m2.1c"><ci id="S3.F4.28.m2.1.1.cmml" xref="S3.F4.28.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.28.m2.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.28.m2.1e">italic_t</annotation></semantics></math>. Both <math alttext="\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.29.m3.1"><semantics id="S3.F4.29.m3.1b"><mrow id="S3.F4.29.m3.1.2" xref="S3.F4.29.m3.1.2.cmml"><msub id="S3.F4.29.m3.1.2.2" xref="S3.F4.29.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F4.29.m3.1.2.2.2" xref="S3.F4.29.m3.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.29.m3.1.2.2.3" xref="S3.F4.29.m3.1.2.2.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.F4.29.m3.1.2.1" xref="S3.F4.29.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.29.m3.1.2.3.2" xref="S3.F4.29.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.F4.29.m3.1.2.3.2.1" xref="S3.F4.29.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F4.29.m3.1.1" xref="S3.F4.29.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.29.m3.1.2.3.2.2" xref="S3.F4.29.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.29.m3.1c"><apply id="S3.F4.29.m3.1.2.cmml" xref="S3.F4.29.m3.1.2"><times id="S3.F4.29.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.29.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.F4.29.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.29.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.29.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F4.29.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.29.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.29.m3.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.29.m3.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.F4.29.m3.1.2.2.3"><mtext id="S3.F4.29.m3.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.29.m3.1.2.2.3">nh</mtext></ci></apply><ci id="S3.F4.29.m3.1.1.cmml" xref="S3.F4.29.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.29.m3.1d">\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.29.m3.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT nh end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\rho_{\text{{l}}}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.30.m4.1"><semantics id="S3.F4.30.m4.1b"><mrow id="S3.F4.30.m4.1.2" xref="S3.F4.30.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.F4.30.m4.1.2.2" xref="S3.F4.30.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F4.30.m4.1.2.2.2" xref="S3.F4.30.m4.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.30.m4.1.2.2.3" xref="S3.F4.30.m4.1.2.2.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.F4.30.m4.1.2.1" xref="S3.F4.30.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.30.m4.1.2.3.2" xref="S3.F4.30.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.F4.30.m4.1.2.3.2.1" xref="S3.F4.30.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F4.30.m4.1.1" xref="S3.F4.30.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.30.m4.1.2.3.2.2" xref="S3.F4.30.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.30.m4.1c"><apply id="S3.F4.30.m4.1.2.cmml" xref="S3.F4.30.m4.1.2"><times id="S3.F4.30.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.30.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.F4.30.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.30.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.30.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F4.30.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.30.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.30.m4.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.30.m4.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.F4.30.m4.1.2.2.3"><mtext id="S3.F4.30.m4.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.30.m4.1.2.2.3">l</mtext></ci></apply><ci id="S3.F4.30.m4.1.1.cmml" xref="S3.F4.30.m4.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.30.m4.1d">\rho_{\text{{l}}}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.30.m4.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> are initialized in the state <math alttext="\left|\Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.31.m5.1"><semantics id="S3.F4.31.m5.1b"><mrow id="S3.F4.31.m5.1.2.2" xref="S3.F4.31.m5.1.2.1.cmml"><mo id="S3.F4.31.m5.1.2.2.1" xref="S3.F4.31.m5.1.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.F4.31.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.F4.31.m5.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S3.F4.31.m5.1.2.2.2" xref="S3.F4.31.m5.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.31.m5.1c"><apply id="S3.F4.31.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.31.m5.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.F4.31.m5.1.2.1.1.cmml" xref="S3.F4.31.m5.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.F4.31.m5.1.1.cmml" xref="S3.F4.31.m5.1.1">⇓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.31.m5.1d">\left|\Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.31.m5.1e">| ⇓ ⟩</annotation></semantics></math> and driven by the effective non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.32.m6.1"><semantics id="S3.F4.32.m6.1b"><msub id="S3.F4.32.m6.1.1" xref="S3.F4.32.m6.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F4.32.m6.1.1.2" xref="S3.F4.32.m6.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.F4.32.m6.1.1.3" xref="S3.F4.32.m6.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.32.m6.1c"><apply id="S3.F4.32.m6.1.1.cmml" xref="S3.F4.32.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.32.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.32.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.32.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.32.m6.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.F4.32.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.32.m6.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.32.m6.1d">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.32.m6.1e">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.33.m7.1"><semantics id="S3.F4.33.m7.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F4.33.m7.1.1" xref="S3.F4.33.m7.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.33.m7.1c"><ci id="S3.F4.33.m7.1.1.cmml" xref="S3.F4.33.m7.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.33.m7.1d">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.33.m7.1e">caligraphic_L</annotation></semantics></math>. The blue, red, and yellow lines correspond to values of <math alttext="\lambda/\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.34.m8.1"><semantics id="S3.F4.34.m8.1b"><mrow id="S3.F4.34.m8.1.1" xref="S3.F4.34.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.F4.34.m8.1.1.2" xref="S3.F4.34.m8.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F4.34.m8.1.1.1" xref="S3.F4.34.m8.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F4.34.m8.1.1.3" xref="S3.F4.34.m8.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.34.m8.1c"><apply id="S3.F4.34.m8.1.1.cmml" xref="S3.F4.34.m8.1.1"><divide id="S3.F4.34.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.34.m8.1.1.1"></divide><ci id="S3.F4.34.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.34.m8.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.F4.34.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.34.m8.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.34.m8.1d">\lambda/\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.34.m8.1e">italic_λ / italic_γ</annotation></semantics></math> equal to <math alttext="2/3" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.35.m9.1"><semantics id="S3.F4.35.m9.1b"><mrow id="S3.F4.35.m9.1.1" xref="S3.F4.35.m9.1.1.cmml"><mn id="S3.F4.35.m9.1.1.2" xref="S3.F4.35.m9.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.F4.35.m9.1.1.1" xref="S3.F4.35.m9.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F4.35.m9.1.1.3" xref="S3.F4.35.m9.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.35.m9.1c"><apply id="S3.F4.35.m9.1.1.cmml" xref="S3.F4.35.m9.1.1"><divide id="S3.F4.35.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.35.m9.1.1.1"></divide><cn id="S3.F4.35.m9.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.F4.35.m9.1.1.2">2</cn><cn id="S3.F4.35.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F4.35.m9.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.35.m9.1d">2/3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.35.m9.1e">2 / 3</annotation></semantics></math>, <math alttext="1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.36.m10.1"><semantics id="S3.F4.36.m10.1b"><mrow id="S3.F4.36.m10.1.1" xref="S3.F4.36.m10.1.1.cmml"><mn id="S3.F4.36.m10.1.1.2" xref="S3.F4.36.m10.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F4.36.m10.1.1.1" xref="S3.F4.36.m10.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F4.36.m10.1.1.3" xref="S3.F4.36.m10.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.36.m10.1c"><apply id="S3.F4.36.m10.1.1.cmml" xref="S3.F4.36.m10.1.1"><divide id="S3.F4.36.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.36.m10.1.1.1"></divide><cn id="S3.F4.36.m10.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.F4.36.m10.1.1.2">1</cn><cn id="S3.F4.36.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F4.36.m10.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.36.m10.1d">1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.36.m10.1e">1 / 2</annotation></semantics></math>, and <math alttext="1/4" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.37.m11.1"><semantics id="S3.F4.37.m11.1b"><mrow id="S3.F4.37.m11.1.1" xref="S3.F4.37.m11.1.1.cmml"><mn id="S3.F4.37.m11.1.1.2" xref="S3.F4.37.m11.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F4.37.m11.1.1.1" xref="S3.F4.37.m11.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F4.37.m11.1.1.3" xref="S3.F4.37.m11.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.37.m11.1c"><apply id="S3.F4.37.m11.1.1.cmml" xref="S3.F4.37.m11.1.1"><divide id="S3.F4.37.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.37.m11.1.1.1"></divide><cn id="S3.F4.37.m11.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.F4.37.m11.1.1.2">1</cn><cn id="S3.F4.37.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F4.37.m11.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.37.m11.1d">1/4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.37.m11.1e">1 / 4</annotation></semantics></math>, respectively. At <math alttext="\lambda/\gamma=1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.38.m12.1"><semantics id="S3.F4.38.m12.1b"><mrow id="S3.F4.38.m12.1.1" xref="S3.F4.38.m12.1.1.cmml"><mrow id="S3.F4.38.m12.1.1.2" xref="S3.F4.38.m12.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F4.38.m12.1.1.2.2" xref="S3.F4.38.m12.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F4.38.m12.1.1.2.1" xref="S3.F4.38.m12.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F4.38.m12.1.1.2.3" xref="S3.F4.38.m12.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F4.38.m12.1.1.1" xref="S3.F4.38.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F4.38.m12.1.1.3" xref="S3.F4.38.m12.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F4.38.m12.1.1.3.2" xref="S3.F4.38.m12.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F4.38.m12.1.1.3.1" xref="S3.F4.38.m12.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F4.38.m12.1.1.3.3" xref="S3.F4.38.m12.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.38.m12.1c"><apply id="S3.F4.38.m12.1.1.cmml" xref="S3.F4.38.m12.1.1"><eq id="S3.F4.38.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.38.m12.1.1.1"></eq><apply id="S3.F4.38.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.38.m12.1.1.2"><divide id="S3.F4.38.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.38.m12.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F4.38.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.38.m12.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F4.38.m12.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F4.38.m12.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S3.F4.38.m12.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.38.m12.1.1.3"><divide id="S3.F4.38.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F4.38.m12.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.F4.38.m12.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F4.38.m12.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.F4.38.m12.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F4.38.m12.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.38.m12.1d">\lambda/\gamma=1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.38.m12.1e">italic_λ / italic_γ = 1 / 2</annotation></semantics></math>, which corresponds to the EP of <math alttext="\mathcal{H}{\text{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.39.m13.1"><semantics id="S3.F4.39.m13.1b"><mrow id="S3.F4.39.m13.1.1" xref="S3.F4.39.m13.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F4.39.m13.1.1.2" xref="S3.F4.39.m13.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.F4.39.m13.1.1.1" xref="S3.F4.39.m13.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.F4.39.m13.1.1.3" xref="S3.F4.39.m13.1.1.3a.cmml">spin</mtext></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.39.m13.1c"><apply id="S3.F4.39.m13.1.1.cmml" xref="S3.F4.39.m13.1.1"><times id="S3.F4.39.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.39.m13.1.1.1"></times><ci id="S3.F4.39.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.39.m13.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.F4.39.m13.1.1.3a.cmml" xref="S3.F4.39.m13.1.1.3"><mtext id="S3.F4.39.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.39.m13.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.39.m13.1d">\mathcal{H}{\text{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.39.m13.1e">caligraphic_H spin</annotation></semantics></math>, <math alttext="F(\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right),\rho_{\text{{l}}}\left(t\right))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.40.m14.4"><semantics id="S3.F4.40.m14.4b"><mrow id="S3.F4.40.m14.4.4" xref="S3.F4.40.m14.4.4.cmml"><mi id="S3.F4.40.m14.4.4.4" xref="S3.F4.40.m14.4.4.4.cmml">F</mi><mo id="S3.F4.40.m14.4.4.3" xref="S3.F4.40.m14.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.1" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.F4.40.m14.1.1" xref="S3.F4.40.m14.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.4" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.1" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.3.2" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.3.2.1" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F4.40.m14.2.2" xref="S3.F4.40.m14.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.3.2.2" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.40.m14.4c"><apply id="S3.F4.40.m14.4.4.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4"><times id="S3.F4.40.m14.4.4.3.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.3"></times><ci id="S3.F4.40.m14.4.4.4.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.F4.40.m14.4.4.2.3.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2"><apply id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1"><times id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.40.m14.3.3.1.1.1.2.3">nh</mtext></ci></apply><ci id="S3.F4.40.m14.1.1.cmml" xref="S3.F4.40.m14.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2"><times id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.1"></times><apply id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.3"><mtext id="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.40.m14.4.4.2.2.2.2.3">l</mtext></ci></apply><ci id="S3.F4.40.m14.2.2.cmml" xref="S3.F4.40.m14.2.2">𝑡</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.40.m14.4d">F(\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right),\rho_{\text{{l}}}\left(t\right))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.40.m14.4e">italic_F ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT nh end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) )</annotation></semantics></math> approaches <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.41.m15.1"><semantics id="S3.F4.41.m15.1b"><mn id="S3.F4.41.m15.1.1" xref="S3.F4.41.m15.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.41.m15.1c"><cn id="S3.F4.41.m15.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F4.41.m15.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.41.m15.1d">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.41.m15.1e">1</annotation></semantics></math> since the coalescent state <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.42.m16.1"><semantics id="S3.F4.42.m16.1b"><msub id="S3.F4.42.m16.1.1" xref="S3.F4.42.m16.1.1.cmml"><mi id="S3.F4.42.m16.1.1.2" xref="S3.F4.42.m16.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F4.42.m16.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F4.42.m16.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.42.m16.1c"><apply id="S3.F4.42.m16.1.1.cmml" xref="S3.F4.42.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.42.m16.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.42.m16.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.42.m16.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.42.m16.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.42.m16.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.42.m16.1.1.3">c</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.42.m16.1d">\rho_{\mathrm{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.42.m16.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the final steady state for <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.43.m17.1"><semantics id="S3.F4.43.m17.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F4.43.m17.1.1" xref="S3.F4.43.m17.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.43.m17.1c"><ci id="S3.F4.43.m17.1.1.cmml" xref="S3.F4.43.m17.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.43.m17.1d">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.43.m17.1e">caligraphic_L</annotation></semantics></math>. For <math alttext="\lambda/\gamma>1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.44.m18.1"><semantics id="S3.F4.44.m18.1b"><mrow id="S3.F4.44.m18.1.1" xref="S3.F4.44.m18.1.1.cmml"><mrow id="S3.F4.44.m18.1.1.2" xref="S3.F4.44.m18.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F4.44.m18.1.1.2.2" xref="S3.F4.44.m18.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F4.44.m18.1.1.2.1" xref="S3.F4.44.m18.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F4.44.m18.1.1.2.3" xref="S3.F4.44.m18.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F4.44.m18.1.1.1" xref="S3.F4.44.m18.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="S3.F4.44.m18.1.1.3" xref="S3.F4.44.m18.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F4.44.m18.1.1.3.2" xref="S3.F4.44.m18.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F4.44.m18.1.1.3.1" xref="S3.F4.44.m18.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F4.44.m18.1.1.3.3" xref="S3.F4.44.m18.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.44.m18.1c"><apply id="S3.F4.44.m18.1.1.cmml" xref="S3.F4.44.m18.1.1"><gt id="S3.F4.44.m18.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.44.m18.1.1.1"></gt><apply id="S3.F4.44.m18.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.44.m18.1.1.2"><divide id="S3.F4.44.m18.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.44.m18.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F4.44.m18.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.44.m18.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F4.44.m18.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F4.44.m18.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S3.F4.44.m18.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.44.m18.1.1.3"><divide id="S3.F4.44.m18.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F4.44.m18.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.F4.44.m18.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F4.44.m18.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.F4.44.m18.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F4.44.m18.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.44.m18.1d">\lambda/\gamma>1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.44.m18.1e">italic_λ / italic_γ > 1 / 2</annotation></semantics></math>, a full real spectrum of <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.45.m19.1"><semantics id="S3.F4.45.m19.1b"><msub id="S3.F4.45.m19.1.1" xref="S3.F4.45.m19.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F4.45.m19.1.1.2" xref="S3.F4.45.m19.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.F4.45.m19.1.1.3" xref="S3.F4.45.m19.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.45.m19.1c"><apply id="S3.F4.45.m19.1.1.cmml" xref="S3.F4.45.m19.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.45.m19.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.45.m19.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.45.m19.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.45.m19.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.F4.45.m19.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.45.m19.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.45.m19.1d">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.45.m19.1e">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> emerges leading to the periodic evolution of <math alttext="\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.46.m20.1"><semantics id="S3.F4.46.m20.1b"><mrow id="S3.F4.46.m20.1.2" xref="S3.F4.46.m20.1.2.cmml"><msub id="S3.F4.46.m20.1.2.2" xref="S3.F4.46.m20.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F4.46.m20.1.2.2.2" xref="S3.F4.46.m20.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.46.m20.1.2.2.3" xref="S3.F4.46.m20.1.2.2.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.F4.46.m20.1.2.1" xref="S3.F4.46.m20.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.46.m20.1.2.3.2" xref="S3.F4.46.m20.1.2.cmml"><mo id="S3.F4.46.m20.1.2.3.2.1" xref="S3.F4.46.m20.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F4.46.m20.1.1" xref="S3.F4.46.m20.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.46.m20.1.2.3.2.2" xref="S3.F4.46.m20.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.46.m20.1c"><apply id="S3.F4.46.m20.1.2.cmml" xref="S3.F4.46.m20.1.2"><times id="S3.F4.46.m20.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.46.m20.1.2.1"></times><apply id="S3.F4.46.m20.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.46.m20.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.46.m20.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F4.46.m20.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.46.m20.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.46.m20.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.46.m20.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.F4.46.m20.1.2.2.3"><mtext id="S3.F4.46.m20.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.46.m20.1.2.2.3">nh</mtext></ci></apply><ci id="S3.F4.46.m20.1.1.cmml" xref="S3.F4.46.m20.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.46.m20.1d">\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.46.m20.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT nh end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> without a definite direction in the Bloch sphere. This oscillatory behavior is represented by the blue line. When <math alttext="\lambda/\gamma<1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.47.m21.1"><semantics id="S3.F4.47.m21.1b"><mrow id="S3.F4.47.m21.1.1" xref="S3.F4.47.m21.1.1.cmml"><mrow id="S3.F4.47.m21.1.1.2" xref="S3.F4.47.m21.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F4.47.m21.1.1.2.2" xref="S3.F4.47.m21.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F4.47.m21.1.1.2.1" xref="S3.F4.47.m21.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F4.47.m21.1.1.2.3" xref="S3.F4.47.m21.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F4.47.m21.1.1.1" xref="S3.F4.47.m21.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.F4.47.m21.1.1.3" xref="S3.F4.47.m21.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F4.47.m21.1.1.3.2" xref="S3.F4.47.m21.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F4.47.m21.1.1.3.1" xref="S3.F4.47.m21.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F4.47.m21.1.1.3.3" xref="S3.F4.47.m21.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.47.m21.1c"><apply id="S3.F4.47.m21.1.1.cmml" xref="S3.F4.47.m21.1.1"><lt id="S3.F4.47.m21.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.47.m21.1.1.1"></lt><apply id="S3.F4.47.m21.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.47.m21.1.1.2"><divide id="S3.F4.47.m21.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.47.m21.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F4.47.m21.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.47.m21.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F4.47.m21.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F4.47.m21.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S3.F4.47.m21.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.47.m21.1.1.3"><divide id="S3.F4.47.m21.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F4.47.m21.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.F4.47.m21.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F4.47.m21.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.F4.47.m21.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F4.47.m21.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.47.m21.1d">\lambda/\gamma<1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.47.m21.1e">italic_λ / italic_γ < 1 / 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathcal{H}{\text{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.48.m22.1"><semantics id="S3.F4.48.m22.1b"><mrow id="S3.F4.48.m22.1.1" xref="S3.F4.48.m22.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F4.48.m22.1.1.2" xref="S3.F4.48.m22.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.F4.48.m22.1.1.1" xref="S3.F4.48.m22.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.F4.48.m22.1.1.3" xref="S3.F4.48.m22.1.1.3a.cmml">spin</mtext></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.48.m22.1c"><apply id="S3.F4.48.m22.1.1.cmml" xref="S3.F4.48.m22.1.1"><times id="S3.F4.48.m22.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.48.m22.1.1.1"></times><ci id="S3.F4.48.m22.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.48.m22.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.F4.48.m22.1.1.3a.cmml" xref="S3.F4.48.m22.1.1.3"><mtext id="S3.F4.48.m22.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.48.m22.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.48.m22.1d">\mathcal{H}{\text{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.48.m22.1e">caligraphic_H spin</annotation></semantics></math> exhibits imaginary energy levels, and the final steady state is determined by the maximum value among them. However, this state does not coincide with <math alttext="\rho_{\text{l}}(t\rightarrow\infty)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.49.m23.1"><semantics id="S3.F4.49.m23.1b"><mrow id="S3.F4.49.m23.1.1" xref="S3.F4.49.m23.1.1.cmml"><msub id="S3.F4.49.m23.1.1.3" xref="S3.F4.49.m23.1.1.3.cmml"><mi id="S3.F4.49.m23.1.1.3.2" xref="S3.F4.49.m23.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.49.m23.1.1.3.3" xref="S3.F4.49.m23.1.1.3.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.F4.49.m23.1.1.2" xref="S3.F4.49.m23.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.49.m23.1c"><apply id="S3.F4.49.m23.1.1.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1"><times id="S3.F4.49.m23.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.2"></times><apply id="S3.F4.49.m23.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.49.m23.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.49.m23.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.3.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.49.m23.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.3.3"><mtext id="S3.F4.49.m23.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.49.m23.1.1.3.3">l</mtext></ci></apply><apply id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1"><ci id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.49.m23.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.49.m23.1d">\rho_{\text{l}}(t\rightarrow\infty)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.49.m23.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math> due to the different effects of the jump operator <math alttext="L_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.50.m24.1"><semantics id="S3.F4.50.m24.1b"><msub id="S3.F4.50.m24.1.1" xref="S3.F4.50.m24.1.1.cmml"><mi id="S3.F4.50.m24.1.1.2" xref="S3.F4.50.m24.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S3.F4.50.m24.1.1.3" xref="S3.F4.50.m24.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.50.m24.1c"><apply id="S3.F4.50.m24.1.1.cmml" xref="S3.F4.50.m24.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.50.m24.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.50.m24.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.50.m24.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.50.m24.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.F4.50.m24.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F4.50.m24.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.50.m24.1d">L_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.50.m24.1e">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{H}{\text{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.51.m25.1"><semantics id="S3.F4.51.m25.1b"><mrow id="S3.F4.51.m25.1.1" xref="S3.F4.51.m25.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F4.51.m25.1.1.2" xref="S3.F4.51.m25.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.F4.51.m25.1.1.1" xref="S3.F4.51.m25.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.F4.51.m25.1.1.3" xref="S3.F4.51.m25.1.1.3a.cmml">spin</mtext></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.51.m25.1c"><apply id="S3.F4.51.m25.1.1.cmml" xref="S3.F4.51.m25.1.1"><times id="S3.F4.51.m25.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.51.m25.1.1.1"></times><ci id="S3.F4.51.m25.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.51.m25.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.F4.51.m25.1.1.3a.cmml" xref="S3.F4.51.m25.1.1.3"><mtext id="S3.F4.51.m25.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.51.m25.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.51.m25.1d">\mathcal{H}{\text{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.51.m25.1e">caligraphic_H spin</annotation></semantics></math>. Consequently, <math alttext="F(\rho_{\text{nh}}(t\rightarrow\infty),\rho_{\text{l}}(t\rightarrow\infty))<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.52.m26.2"><semantics id="S3.F4.52.m26.2b"><mrow id="S3.F4.52.m26.2.2" xref="S3.F4.52.m26.2.2.cmml"><mrow id="S3.F4.52.m26.2.2.2" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F4.52.m26.2.2.2.4" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.2.3" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.4" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F4.52.m26.2.2.3" xref="S3.F4.52.m26.2.2.3.cmml"><</mo><mn id="S3.F4.52.m26.2.2.4" xref="S3.F4.52.m26.2.2.4.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.52.m26.2c"><apply id="S3.F4.52.m26.2.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2"><lt id="S3.F4.52.m26.2.2.3.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.3"></lt><apply id="S3.F4.52.m26.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2"><times id="S3.F4.52.m26.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.3"></times><ci id="S3.F4.52.m26.2.2.2.4.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2"><apply id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.3.3">nh</mtext></ci></apply><apply id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.52.m26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2"><times id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜌</ci><ci id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.3a.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.3"><mtext id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.3.3">l</mtext></ci></apply><apply id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1"><ci id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F4.52.m26.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></interval></apply><cn id="S3.F4.52.m26.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.F4.52.m26.2.2.4">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.52.m26.2d">F(\rho_{\text{nh}}(t\rightarrow\infty),\rho_{\text{l}}(t\rightarrow\infty))<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.52.m26.2e">italic_F ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT nh end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t → ∞ ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t → ∞ ) ) < 1</annotation></semantics></math>, indicating a deviation from unity. This can be observed in the plot represented by the yellow line.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.7">The dissipation channels <math alttext="L_{i}=s_{i}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1"><eq id="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><minus id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3"></minus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">L_{i}=s_{i}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are now applied to all the local sites under the influence of a magnetic field. For simplicity, we will focus on the case where only a single lattice site is affected by the external field and dissipation channel. Specifically, we set <math alttext="\lambda_{i}=\lambda\delta_{i,1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.p2.2.m2.2.3" xref="S3.p2.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S3.p2.2.m2.2.3.2" xref="S3.p2.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.p2.2.m2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.p2.2.m2.2.3.2.3" xref="S3.p2.2.m2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.p2.2.m2.2.3.1" xref="S3.p2.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.2.m2.2.3.3" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p2.2.m2.2.3.3.1" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p2.2.m2.2.3.3.3" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.2.3.3.3.2" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.p2.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S3.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S3.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.2b"><apply id="S3.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3"><eq id="S3.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.1"></eq><apply id="S3.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.p2.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.p2.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3"><times id="S3.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.1"></times><ci id="S3.p2.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.p2.2.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.2.m2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.3.3.3.2">𝛿</ci><list id="S3.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="S3.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.p2.2.m2.2.2.2.2">1</cn></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.2c">\lambda_{i}=\lambda\delta_{i,1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.2d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Gamma_{\mu}=\gamma\delta_{\mu,1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.2"><semantics id="S3.p2.3.m3.2a"><mrow id="S3.p2.3.m3.2.3" xref="S3.p2.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S3.p2.3.m3.2.3.2" xref="S3.p2.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml">Γ</mi><mi id="S3.p2.3.m3.2.3.2.3" xref="S3.p2.3.m3.2.3.2.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S3.p2.3.m3.2.3.1" xref="S3.p2.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.3.m3.2.3.3" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.p2.3.m3.2.3.3.1" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p2.3.m3.2.3.3.3" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.2.3.3.3.2" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.p2.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S3.p2.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S3.p2.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.2b"><apply id="S3.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3"><eq id="S3.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.1"></eq><apply id="S3.p2.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.2.2">Γ</ci><ci id="S3.p2.3.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S3.p2.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3"><times id="S3.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S3.p2.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.2">𝛾</ci><apply id="S3.p2.3.m3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.3.m3.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.3.3.3.2">𝛿</ci><list id="S3.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.1.1">𝜇</ci><cn id="S3.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.p2.3.m3.2.2.2.2">1</cn></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m3.2c">\Gamma_{\mu}=\gamma\delta_{\mu,1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m3.2d">roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ , 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The extension to multiple lattice sites is straightforward. Following Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S2.E2" title="In II Heuristic derivation ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), we can divide the dynamics into two parts: the first part involves the quantum jump operator that flips the spin on the first site from the up state <math alttext="|\uparrow\rangle_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.p2.4.m4.1a"><msub id="S3.p2.4.m4.1.2" xref="S3.p2.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S3.p2.4.m4.1.2.2.2" xref="S3.p2.4.m4.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.p2.4.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m4.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p2.4.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m4.1.1.cmml">↑</mo><mo id="S3.p2.4.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m4.1.2.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S3.p2.4.m4.1.2.3" xref="S3.p2.4.m4.1.2.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.p2.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p2.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.4.m4.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.2.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1">↑</ci></apply><cn id="S3.p2.4.m4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.4.m4.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m4.1c">|\uparrow\rangle_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m4.1d">| ↑ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to the down state <math alttext="|\downarrow\rangle_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.p2.5.m5.1a"><msub id="S3.p2.5.m5.1.2" xref="S3.p2.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p2.5.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.1.1.cmml">↓</mo><mo id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S3.p2.5.m5.1.2.3" xref="S3.p2.5.m5.1.2.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.p2.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.1">↓</ci></apply><cn id="S3.p2.5.m5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.5.m5.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m5.1c">|\downarrow\rangle_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m5.1d">| ↓ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Considering the external field as a perturbation, the low-energy excitation of the ferromagnetic Heisenberg model can be described by magnons. Intuitively, the collective behavior of spins leads to the spreading of the effect of <math alttext="s_{1}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.p2.6.m6.1a"><msubsup id="S3.p2.6.m6.1.1" xref="S3.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p2.6.m6.1.1.2.3" xref="S3.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.p2.6.m6.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.1.1.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.6.m6.1.1.2.3">1</cn></apply><minus id="S3.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.6.m6.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.6.m6.1c">s_{1}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.6.m6.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> across the entire system, ultimately resulting in the attainment of the final steady state <math alttext="\left|\Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.7.m7.1"><semantics id="S3.p2.7.m7.1a"><mrow id="S3.p2.7.m7.1.2.2" xref="S3.p2.7.m7.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p2.7.m7.1.2.2.1" xref="S3.p2.7.m7.1.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p2.7.m7.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p2.7.m7.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S3.p2.7.m7.1.2.2.2" xref="S3.p2.7.m7.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.7.m7.1b"><apply id="S3.p2.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.7.m7.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m7.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m7.1.1">⇓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.7.m7.1c">\left|\Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.7.m7.1d">| ⇓ ⟩</annotation></semantics></math>. The second part characterizes the non-unitary dynamics driven by the non-Hermitian spin Hamiltonian</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}=H-i\gamma s_{1}^{+}s_{1}^{-}/2." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E8.m1.1"><semantics id="S3.E8.m1.1a"><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E8.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1a" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1b" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E8.m1.1b"><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1"><eq id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.2">ℋ</ci><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.2.3">spin</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.2">𝐻</ci><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3"><divide id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1"></divide><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2"><times id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝛾</ci><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.3">1</cn></apply><plus id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.4.3"></plus></apply><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.3">1</cn></apply><minus id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.5.3"></minus></apply></apply><cn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}=H-i\gamma s_{1}^{+}s_{1}^{-}/2.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT = italic_H - italic_i italic_γ italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT / 2 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.24">Clearly, the local external field <math alttext="H_{\mathrm{e}}=\lambda s_{1}^{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.8.m1.1"><semantics id="S3.p2.8.m1.1a"><mrow id="S3.p2.8.m1.1.1" xref="S3.p2.8.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.p2.8.m1.1.1.2" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.8.m1.1.1.2.2" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mi id="S3.p2.8.m1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.p2.8.m1.1.1.1" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.8.m1.1.1.3" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.8.m1.1.1.3.2" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p2.8.m1.1.1.3.1" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.8.m1.1b"><apply id="S3.p2.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1"><eq id="S3.p2.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.p2.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.3">e</ci></apply><apply id="S3.p2.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3"><times id="S3.p2.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.8.m1.1c">H_{\mathrm{e}}=\lambda s_{1}^{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.8.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and on-site dissipation channel <math alttext="-i\gamma s_{1}^{+}s_{1}^{-}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.9.m2.1"><semantics id="S3.p2.9.m2.1a"><mrow id="S3.p2.9.m2.1.1" xref="S3.p2.9.m2.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.9.m2.1.1a" xref="S3.p2.9.m2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.p2.9.m2.1.1.2" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.1" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.1a" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.2" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.3" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.3" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.1b" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.2" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.3" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.3" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.p2.9.m2.1.1.2.1" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.9.m2.1.1.2.3" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.9.m2.1b"><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1"><minus id="S3.p2.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1"></minus><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2"><divide id="S3.p2.9.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.1"></divide><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2"><times id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.3">𝛾</ci><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.2.3">1</cn></apply><plus id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.4.3"></plus></apply><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.2.3">1</cn></apply><minus id="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.2.5.3"></minus></apply></apply><cn id="S3.p2.9.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.9.m2.1c">-i\gamma s_{1}^{+}s_{1}^{-}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.9.m2.1d">- italic_i italic_γ italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT / 2</annotation></semantics></math> can be combined into a complex filed <math alttext="H_{\mathrm{ec}}=\lambda s_{1}^{x}-i\gamma s_{1}^{+}s_{1}^{-}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.10.m3.1"><semantics id="S3.p2.10.m3.1a"><mrow id="S3.p2.10.m3.1.1" xref="S3.p2.10.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.p2.10.m3.1.1.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.2.2.cmml">H</mi><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.2.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.2.3.cmml">ec</mi></msub><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.1" xref="S3.p2.10.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.10.m3.1.1.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.1" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.3.1" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.1" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.1a" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.1b" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.1" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.10.m3.1b"><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1"><eq id="S3.p2.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.1"></eq><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.2.3">ec</ci></apply><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3"><minus id="S3.p2.10.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2"><times id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3"><divide id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.1"></divide><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2"><times id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.3">𝛾</ci><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.2.3">1</cn></apply><plus id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.4.3"></plus></apply><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.2.3">1</cn></apply><minus id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.2.5.3"></minus></apply></apply><cn id="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.10.m3.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.10.m3.1c">H_{\mathrm{ec}}=\lambda s_{1}^{x}-i\gamma s_{1}^{+}s_{1}^{-}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.10.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_γ italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT / 2</annotation></semantics></math> applied to the ferromagnetic Heisenberg Hamiltonian <math alttext="H_{\text{{spin}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.11.m4.1"><semantics id="S3.p2.11.m4.1a"><msub id="S3.p2.11.m4.1.1" xref="S3.p2.11.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.11.m4.1.1.2" xref="S3.p2.11.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.p2.11.m4.1.1.3" xref="S3.p2.11.m4.1.1.3a.cmml">spin</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.11.m4.1b"><apply id="S3.p2.11.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.11.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.11.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p2.11.m4.1.1.3a.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.1.3"><mtext id="S3.p2.11.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p2.11.m4.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.11.m4.1c">H_{\text{{spin}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.11.m4.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In general, the commutation relation <math alttext="[H_{\text{{spin}}}," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.p2.12.m5.1"><semantics id="S3.p2.12.m5.1a"><mrow id="S3.p2.12.m5.1b"><mo id="S3.p2.12.m5.1.1" stretchy="false">[</mo><msub id="S3.p2.12.m5.1.2"><mi id="S3.p2.12.m5.1.2.2">H</mi><mtext id="S3.p2.12.m5.1.2.3">spin</mtext></msub><mo id="S3.p2.12.m5.1.3">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.12.m5.1c">[H_{\text{{spin}}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.12.m5.1d">[ italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math> <math alttext="H_{\mathrm{ec}}]\neq 0" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.p2.13.m6.1"><semantics id="S3.p2.13.m6.1a"><mrow id="S3.p2.13.m6.1b"><msub id="S3.p2.13.m6.1.1"><mi id="S3.p2.13.m6.1.1.2">H</mi><mi id="S3.p2.13.m6.1.1.3">ec</mi></msub><mo id="S3.p2.13.m6.1.2" stretchy="false">]</mo><mo id="S3.p2.13.m6.1.3">≠</mo><mn id="S3.p2.13.m6.1.4">0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.13.m6.1c">H_{\mathrm{ec}}]\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.13.m6.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT ] ≠ 0</annotation></semantics></math> leads to a splitting of the ground state of <math alttext="H_{\text{{spin}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.14.m7.1"><semantics id="S3.p2.14.m7.1a"><msub id="S3.p2.14.m7.1.1" xref="S3.p2.14.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.14.m7.1.1.2" xref="S3.p2.14.m7.1.1.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.p2.14.m7.1.1.3" xref="S3.p2.14.m7.1.1.3a.cmml">spin</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.14.m7.1b"><apply id="S3.p2.14.m7.1.1.cmml" xref="S3.p2.14.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.14.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.14.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.14.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.14.m7.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p2.14.m7.1.1.3a.cmml" xref="S3.p2.14.m7.1.1.3"><mtext id="S3.p2.14.m7.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p2.14.m7.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.14.m7.1c">H_{\text{{spin}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.14.m7.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> under the influence of <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.15.m8.1"><semantics id="S3.p2.15.m8.1a"><msub id="S3.p2.15.m8.1.1" xref="S3.p2.15.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.15.m8.1.1.2" xref="S3.p2.15.m8.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S3.p2.15.m8.1.1.3" xref="S3.p2.15.m8.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.15.m8.1b"><apply id="S3.p2.15.m8.1.1.cmml" xref="S3.p2.15.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.15.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.15.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.15.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.15.m8.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p2.15.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.15.m8.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.15.m8.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.15.m8.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. However, when <math alttext="\lambda\rightarrow\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.16.m9.1"><semantics id="S3.p2.16.m9.1a"><mrow id="S3.p2.16.m9.1.1" xref="S3.p2.16.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.16.m9.1.1.2" xref="S3.p2.16.m9.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p2.16.m9.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p2.16.m9.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="S3.p2.16.m9.1.1.3" xref="S3.p2.16.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.16.m9.1.1.3.2" xref="S3.p2.16.m9.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.p2.16.m9.1.1.3.1" xref="S3.p2.16.m9.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.16.m9.1.1.3.3" xref="S3.p2.16.m9.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.16.m9.1b"><apply id="S3.p2.16.m9.1.1.cmml" xref="S3.p2.16.m9.1.1"><ci id="S3.p2.16.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.16.m9.1.1.1">→</ci><ci id="S3.p2.16.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.16.m9.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.p2.16.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.16.m9.1.1.3"><divide id="S3.p2.16.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.16.m9.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p2.16.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.16.m9.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.p2.16.m9.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.16.m9.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.16.m9.1c">\lambda\rightarrow\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.16.m9.1d">italic_λ → italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, the spliting approaches <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.17.m10.1"><semantics id="S3.p2.17.m10.1a"><mn id="S3.p2.17.m10.1.1" xref="S3.p2.17.m10.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.17.m10.1b"><cn id="S3.p2.17.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.17.m10.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math>, allowing us to treat <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.18.m11.1"><semantics id="S3.p2.18.m11.1a"><msub id="S3.p2.18.m11.1.1" xref="S3.p2.18.m11.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.18.m11.1.1.2" xref="S3.p2.18.m11.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S3.p2.18.m11.1.1.3" xref="S3.p2.18.m11.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.18.m11.1b"><apply id="S3.p2.18.m11.1.1.cmml" xref="S3.p2.18.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.18.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.18.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.18.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.18.m11.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p2.18.m11.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.18.m11.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.18.m11.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.18.m11.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as a non-Hermitian perturbation. To facilitate this treatment, we introduce the unitary transformation <math alttext="U=\prod\nolimits_{j}U^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.19.m12.1"><semantics id="S3.p2.19.m12.1a"><mrow id="S3.p2.19.m12.1.1" xref="S3.p2.19.m12.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.19.m12.1.1.2" xref="S3.p2.19.m12.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.p2.19.m12.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.p2.19.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.19.m12.1.1.3" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.cmml"><msub id="S3.p2.19.m12.1.1.3.1" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.2" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.3" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></msub><msup id="S3.p2.19.m12.1.1.3.2" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.2" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.3" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.19.m12.1b"><apply id="S3.p2.19.m12.1.1.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1"><eq id="S3.p2.19.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.1"></eq><ci id="S3.p2.19.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S3.p2.19.m12.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3"><apply id="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.2">product</csymbol><ci id="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.19.m12.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.19.m12.1c">U=\prod\nolimits_{j}U^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.19.m12.1d">italic_U = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="U^{j}=e^{-i\pi s_{j}^{x}/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.20.m13.1"><semantics id="S3.p2.20.m13.1a"><mrow id="S3.p2.20.m13.1.1" xref="S3.p2.20.m13.1.1.cmml"><msup id="S3.p2.20.m13.1.1.2" xref="S3.p2.20.m13.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.20.m13.1.1.2.2" xref="S3.p2.20.m13.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.p2.20.m13.1.1.2.3" xref="S3.p2.20.m13.1.1.2.3.cmml">j</mi></msup><mo id="S3.p2.20.m13.1.1.1" xref="S3.p2.20.m13.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.p2.20.m13.1.1.3" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.20.m13.1.1.3.2" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3a" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.1" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.1a" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.2" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.3" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.3" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.1" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.3" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.20.m13.1b"><apply id="S3.p2.20.m13.1.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1"><eq id="S3.p2.20.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.1"></eq><apply id="S3.p2.20.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.20.m13.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.20.m13.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.p2.20.m13.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.p2.20.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.20.m13.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.20.m13.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3"><minus id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3"></minus><apply id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2"><divide id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.1"></divide><apply id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2"><times id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.1"></times><ci id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.3">𝜋</ci><apply id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.20.m13.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.20.m13.1c">U^{j}=e^{-i\pi s_{j}^{x}/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.20.m13.1d">italic_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_π italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which represents a collective spin rotation along the <math alttext="s^{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.21.m14.1"><semantics id="S3.p2.21.m14.1a"><msup id="S3.p2.21.m14.1.1" xref="S3.p2.21.m14.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.21.m14.1.1.2" xref="S3.p2.21.m14.1.1.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p2.21.m14.1.1.3" xref="S3.p2.21.m14.1.1.3.cmml">x</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.21.m14.1b"><apply id="S3.p2.21.m14.1.1.cmml" xref="S3.p2.21.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.21.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.21.m14.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.21.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.21.m14.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S3.p2.21.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.21.m14.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.21.m14.1c">s^{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.21.m14.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> direction by an angle <math alttext="\pi/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.22.m15.1"><semantics id="S3.p2.22.m15.1a"><mrow id="S3.p2.22.m15.1.1" xref="S3.p2.22.m15.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.22.m15.1.1.2" xref="S3.p2.22.m15.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S3.p2.22.m15.1.1.1" xref="S3.p2.22.m15.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.22.m15.1.1.3" xref="S3.p2.22.m15.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.22.m15.1b"><apply id="S3.p2.22.m15.1.1.cmml" xref="S3.p2.22.m15.1.1"><divide id="S3.p2.22.m15.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.22.m15.1.1.1"></divide><ci id="S3.p2.22.m15.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.22.m15.1.1.2">𝜋</ci><cn id="S3.p2.22.m15.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.22.m15.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.22.m15.1c">\pi/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.22.m15.1d">italic_π / 2</annotation></semantics></math>. The matrix form of <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.23.m16.1"><semantics id="S3.p2.23.m16.1a"><msub id="S3.p2.23.m16.1.1" xref="S3.p2.23.m16.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.23.m16.1.1.2" xref="S3.p2.23.m16.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S3.p2.23.m16.1.1.3" xref="S3.p2.23.m16.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.23.m16.1b"><apply id="S3.p2.23.m16.1.1.cmml" xref="S3.p2.23.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.23.m16.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.23.m16.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.23.m16.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.23.m16.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p2.23.m16.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.23.m16.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.23.m16.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.23.m16.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the degenerate subspace spanned by <math alttext="\{|\widetilde{G}_{n}\rangle\}=\{U|G_{n}\rangle\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.24.m17.2"><semantics id="S3.p2.24.m17.2a"><mrow id="S3.p2.24.m17.2.2" xref="S3.p2.24.m17.2.2.cmml"><mrow id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.p2.24.m17.2.2.3" xref="S3.p2.24.m17.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.3" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.3.cmml">U</mi><mo id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.2" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi 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xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.24.m17.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set><set id="S3.p2.24.m17.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1"><apply id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1"><times id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.2"></times><ci id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.3">𝑈</ci><apply id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.24.m17.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.24.m17.2c">\{|\widetilde{G}_{n}\rangle\}=\{U|G_{n}\rangle\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.24.m17.2d">{ | over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ } = { italic_U | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> can be given as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx3"> <tbody id="S3.E9"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle W_{m,n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3.m1.2"><semantics id="S3.Ex3.m1.2a"><msub id="S3.Ex3.m1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.2.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.2b"><apply id="S3.Ex3.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.3.2">𝑊</ci><list id="S3.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.2c">\displaystyle W_{m,n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3.m2.1"><semantics id="S3.Ex3.m2.1a"><mo id="S3.Ex3.m2.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m2.1b"><eq id="S3.Ex3.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{\left(N+1-m\right)m}[\left(\lambda-\gamma/2\right)\delta_{m% +1,n}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex3.m3.3"><semantics id="S3.Ex3.m3.3a"><mrow id="S3.Ex3.m3.3b"><msqrt id="S3.Ex3.m3.1.1"><mrow id="S3.Ex3.m3.1.1.1"><mrow id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">N</mi><mo id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1">+</mo><mn id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.1.1">−</mo><mi id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.1.3">m</mi></mrow><mo id="S3.Ex3.m3.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m3.1.1.1.2">⁢</mo><mi id="S3.Ex3.m3.1.1.1.3">m</mi></mrow></msqrt><mrow id="S3.Ex3.m3.3.4"><mo id="S3.Ex3.m3.3.4.1" stretchy="false">[</mo><mrow id="S3.Ex3.m3.3.4.2"><mo id="S3.Ex3.m3.3.4.2.1">(</mo><mi id="S3.Ex3.m3.3.4.2.2">λ</mi><mo id="S3.Ex3.m3.3.4.2.3">−</mo><mi id="S3.Ex3.m3.3.4.2.4">γ</mi><mo id="S3.Ex3.m3.3.4.2.5">/</mo><mn id="S3.Ex3.m3.3.4.2.6">2</mn><mo id="S3.Ex3.m3.3.4.2.7">)</mo></mrow><msub id="S3.Ex3.m3.3.4.3"><mi id="S3.Ex3.m3.3.4.3.2">δ</mi><mrow id="S3.Ex3.m3.3.3.2.2"><mrow id="S3.Ex3.m3.3.3.2.2.1"><mi id="S3.Ex3.m3.3.3.2.2.1.2">m</mi><mo id="S3.Ex3.m3.3.3.2.2.1.1">+</mo><mn id="S3.Ex3.m3.3.3.2.2.1.3">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex3.m3.3.3.2.2.2">,</mo><mi id="S3.Ex3.m3.2.2.1.1">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m3.3c">\displaystyle\sqrt{\left(N+1-m\right)m}[\left(\lambda-\gamma/2\right)\delta_{m% +1,n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m3.3d">square-root start_ARG ( italic_N + 1 - italic_m ) italic_m end_ARG [ ( italic_λ - italic_γ / 2 ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 , italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\left(\lambda+\gamma/2\right)\delta_{m,n+1}]/2N." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E9.m1.2"><semantics id="S3.E9.m1.2a"><mrow id="S3.E9.m1.2b"><mo id="S3.E9.m1.2.3">+</mo><mrow id="S3.E9.m1.2.4"><mo id="S3.E9.m1.2.4.1">(</mo><mi id="S3.E9.m1.2.4.2">λ</mi><mo id="S3.E9.m1.2.4.3">+</mo><mi id="S3.E9.m1.2.4.4">γ</mi><mo id="S3.E9.m1.2.4.5">/</mo><mn id="S3.E9.m1.2.4.6">2</mn><mo id="S3.E9.m1.2.4.7">)</mo></mrow><msub id="S3.E9.m1.2.5"><mi id="S3.E9.m1.2.5.2">δ</mi><mrow id="S3.E9.m1.2.2.2.2"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1">m</mi><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.2.2">,</mo><mrow id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1"><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.2">n</mi><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.1">+</mo><mn id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.3">1</mn></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E9.m1.2.6" stretchy="false">]</mo><mo id="S3.E9.m1.2.7">/</mo><mn id="S3.E9.m1.2.8">2</mn><mi id="S3.E9.m1.2.9">N</mi><mo id="S3.E9.m1.2.10" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.m1.2c">\displaystyle+\left(\lambda+\gamma/2\right)\delta_{m,n+1}]/2N.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.m1.2d">+ ( italic_λ + italic_γ / 2 ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ] / 2 italic_N .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.28">Here, <math alttext="W_{m,n}=\langle\widetilde{G}_{m}|UH_{\mathrm{ec}}U^{-1}|\widetilde{G}_{n}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.25.m1.5"><semantics id="S3.p2.25.m1.5a"><mrow id="S3.p2.25.m1.5.5" xref="S3.p2.25.m1.5.5.cmml"><msub id="S3.p2.25.m1.5.5.5" xref="S3.p2.25.m1.5.5.5.cmml"><mi id="S3.p2.25.m1.5.5.5.2" xref="S3.p2.25.m1.5.5.5.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.p2.25.m1.2.2.2.4" xref="S3.p2.25.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.25.m1.1.1.1.1" xref="S3.p2.25.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.p2.25.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.p2.25.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.25.m1.2.2.2.2" xref="S3.p2.25.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S3.p2.25.m1.5.5.4" xref="S3.p2.25.m1.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.4.cmml"><mo id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.4.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.5" stretchy="false" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.4.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml">H</mi><mi id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">ec</mi></msub><mo id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.1a" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.2" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.2.cmml">U</mi><mrow id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3.cmml"><mo id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3a" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3.2" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.6" stretchy="false" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.4.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.3" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.7" stretchy="false" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.25.m1.5b"><apply id="S3.p2.25.m1.5.5.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5"><eq id="S3.p2.25.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.4"></eq><apply id="S3.p2.25.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.25.m1.5.5.5.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.25.m1.5.5.5.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.5.2">𝑊</ci><list id="S3.p2.25.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.25.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.p2.25.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S3.p2.25.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S3.p2.25.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.25.m1.5.5.3.4.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.4">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2"><ci id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.25.m1.3.3.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2"><times id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.1"></times><ci id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.2">𝑈</ci><apply id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.3.3">ec</ci></apply><apply id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.2">𝑈</ci><apply id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3"><minus id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3"></minus><cn id="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p2.25.m1.4.4.2.2.2.4.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2"><ci id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.25.m1.5.5.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.25.m1.5c">W_{m,n}=\langle\widetilde{G}_{m}|UH_{\mathrm{ec}}U^{-1}|\widetilde{G}_{n}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.25.m1.5d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | italic_U italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. When <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.26.m2.1"><semantics id="S3.p2.26.m2.1a"><mrow id="S3.p2.26.m2.1.1" xref="S3.p2.26.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.26.m2.1.1.2" xref="S3.p2.26.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p2.26.m2.1.1.1" xref="S3.p2.26.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.26.m2.1.1.3" xref="S3.p2.26.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.26.m2.1.1.3.2" xref="S3.p2.26.m2.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.p2.26.m2.1.1.3.1" xref="S3.p2.26.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.26.m2.1.1.3.3" xref="S3.p2.26.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.26.m2.1b"><apply id="S3.p2.26.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.26.m2.1.1"><eq id="S3.p2.26.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.26.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.p2.26.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.26.m2.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.p2.26.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.26.m2.1.1.3"><divide id="S3.p2.26.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.26.m2.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p2.26.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.26.m2.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.p2.26.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.26.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.26.m2.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.26.m2.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, it reduces to a Jordan block matrix with an EP of (<math alttext="N+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.27.m3.1"><semantics id="S3.p2.27.m3.1a"><mrow id="S3.p2.27.m3.1.1" xref="S3.p2.27.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.27.m3.1.1.2" xref="S3.p2.27.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.27.m3.1.1.1" xref="S3.p2.27.m3.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p2.27.m3.1.1.3" xref="S3.p2.27.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.27.m3.1b"><apply id="S3.p2.27.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.27.m3.1.1"><plus id="S3.p2.27.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.27.m3.1.1.1"></plus><ci id="S3.p2.27.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.27.m3.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.p2.27.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.27.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.27.m3.1c">N+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.27.m3.1d">italic_N + 1</annotation></semantics></math>) order. The corresponding coalescent state with geometric multiplicity of <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.28.m4.1"><semantics id="S3.p2.28.m4.1a"><mn id="S3.p2.28.m4.1.1" xref="S3.p2.28.m4.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.28.m4.1b"><cn id="S3.p2.28.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.28.m4.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.28.m4.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.28.m4.1d">1</annotation></semantics></math> is given as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="|\widetilde{G}_{1}\rangle=\prod\nolimits_{j}|y,+\rangle_{j}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E10.m1.3"><semantics id="S3.E10.m1.3a"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.cmml">y</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">,</mo><mo id="S3.E10.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E10.m1.2.2.cmml">+</mo></mrow><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.m1.3b"><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1"><eq id="S3.E10.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><cn id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2"><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2">product</csymbol><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">ket</csymbol><list id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E10.m1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1">𝑦</ci><plus id="S3.E10.m1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2"></plus></list></apply><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.m1.3c">|\widetilde{G}_{1}\rangle=\prod\nolimits_{j}|y,+\rangle_{j},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.m1.3d">| over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_y , + ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.32">which represents all the spins aligning parallel to the <math alttext="+y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.29.m1.1"><semantics id="S3.p2.29.m1.1a"><mrow id="S3.p2.29.m1.1.1" xref="S3.p2.29.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.29.m1.1.1a" xref="S3.p2.29.m1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.p2.29.m1.1.1.2" xref="S3.p2.29.m1.1.1.2.cmml">y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.29.m1.1b"><apply id="S3.p2.29.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.29.m1.1.1"><plus id="S3.p2.29.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.29.m1.1.1"></plus><ci id="S3.p2.29.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.29.m1.1.1.2">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.29.m1.1c">+y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.29.m1.1d">+ italic_y</annotation></semantics></math> direction. These results are detailed and exemplified in the Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS3" title="V.3 Non-Hermitian Heisenberg model and EP dynamics ‣ V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">V.3</span></a>. For an arbitrary initial state <math alttext="\sum_{n}c_{n}\left(0\right)|\widetilde{G}_{n}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.30.m2.2"><semantics id="S3.p2.30.m2.2a"><mrow id="S3.p2.30.m2.2.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.cmml"><msub id="S3.p2.30.m2.2.2.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.p2.30.m2.2.2.2.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.p2.30.m2.2.2.2.3" xref="S3.p2.30.m2.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mrow id="S3.p2.30.m2.2.2.1" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.cmml"><msub id="S3.p2.30.m2.2.2.1.3" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.3" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p2.30.m2.2.2.1.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.30.m2.2.2.1.4.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.p2.30.m2.2.2.1.4.2.1" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.cmml">(</mo><mn id="S3.p2.30.m2.1.1" xref="S3.p2.30.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.p2.30.m2.2.2.1.4.2.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p2.30.m2.2.2.1.2a" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.30.m2.2b"><apply id="S3.p2.30.m2.2.2.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2"><apply id="S3.p2.30.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.30.m2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.2">subscript</csymbol><sum id="S3.p2.30.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.2.2"></sum><ci id="S3.p2.30.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.p2.30.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1"><times id="S3.p2.30.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.3.3">𝑛</ci></apply><cn id="S3.p2.30.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.30.m2.1.1">0</cn><apply id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.30.m2.2.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.30.m2.2c">\sum_{n}c_{n}\left(0\right)|\widetilde{G}_{n}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.30.m2.2d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) | over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> within the subspace <math alttext="s=N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.31.m3.1"><semantics id="S3.p2.31.m3.1a"><mrow id="S3.p2.31.m3.1.1" xref="S3.p2.31.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.31.m3.1.1.2" xref="S3.p2.31.m3.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p2.31.m3.1.1.1" xref="S3.p2.31.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.31.m3.1.1.3" xref="S3.p2.31.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.31.m3.1.1.3.2" xref="S3.p2.31.m3.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.31.m3.1.1.3.1" xref="S3.p2.31.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.31.m3.1.1.3.3" xref="S3.p2.31.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.31.m3.1b"><apply id="S3.p2.31.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.31.m3.1.1"><eq id="S3.p2.31.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.31.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.p2.31.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.31.m3.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.p2.31.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.31.m3.1.1.3"><divide id="S3.p2.31.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.31.m3.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p2.31.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.31.m3.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p2.31.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.31.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.31.m3.1c">s=N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.31.m3.1d">italic_s = italic_N / 2</annotation></semantics></math>, the coefficient <math alttext="c_{m}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.32.m4.1"><semantics id="S3.p2.32.m4.1a"><mrow id="S3.p2.32.m4.1.2" xref="S3.p2.32.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.p2.32.m4.1.2.2" xref="S3.p2.32.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.32.m4.1.2.2.2" xref="S3.p2.32.m4.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S3.p2.32.m4.1.2.2.3" xref="S3.p2.32.m4.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.p2.32.m4.1.2.1" xref="S3.p2.32.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.32.m4.1.2.3.2" xref="S3.p2.32.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.32.m4.1.2.3.2.1" xref="S3.p2.32.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.32.m4.1.1" xref="S3.p2.32.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.32.m4.1.2.3.2.2" xref="S3.p2.32.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.32.m4.1b"><apply id="S3.p2.32.m4.1.2.cmml" xref="S3.p2.32.m4.1.2"><times id="S3.p2.32.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.32.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.32.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.32.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.32.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.32.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.32.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.32.m4.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.p2.32.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.32.m4.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.p2.32.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.32.m4.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.32.m4.1c">c_{m}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.32.m4.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> is given by the EP dynamics as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx4"> <tbody id="S3.E11"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{m}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m1.1"><semantics id="S3.Ex4.m1.1a"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Ex4.m1.1.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.1.2.1" xref="S3.Ex4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.1.2.3.2.1" xref="S3.Ex4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.1b"><apply id="S3.Ex4.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.2"><times id="S3.Ex4.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.Ex4.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.1c">\displaystyle c_{m}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m2.1"><semantics id="S3.Ex4.m2.1a"><mo id="S3.Ex4.m2.1.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m2.1b"><eq id="S3.Ex4.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{m}\left(0\right)+\sum_{n\neq m}\left(\frac{-it\lambda}{N}% \right)^{m-n}\frac{h\left(m-n\right)}{\left(m-n\right)!}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m3.4"><semantics id="S3.Ex4.m3.4a"><mrow id="S3.Ex4.m3.4.5" xref="S3.Ex4.m3.4.5.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m3.4.5.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.2.cmml"><msub id="S3.Ex4.m3.4.5.2.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m3.4.5.2.2.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Ex4.m3.4.5.2.2.3" xref="S3.Ex4.m3.4.5.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.2.1" xref="S3.Ex4.m3.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m3.4.5.2.3.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.2.3.2.1" xref="S3.Ex4.m3.4.5.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex4.m3.3.3" xref="S3.Ex4.m3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.2.3.2.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.1" xref="S3.Ex4.m3.4.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex4.m3.4.5.3" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m3.4.5.3.1" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex4.m3.4.5.3.1a" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.1" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.1.cmml">≠</mo><mi id="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.3" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.cmml"><msup id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m3.4.4.cmml"><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex4.m3.4.4.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m3.4.4" xref="S3.Ex4.m3.4.4.cmml"><mfrac id="S3.Ex4.m3.4.4a" xref="S3.Ex4.m3.4.4.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m3.4.4.2" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m3.4.4.2a" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.1" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.1a" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.4" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.4.cmml">λ</mi></mrow></mrow><mi id="S3.Ex4.m3.4.4.3" xref="S3.Ex4.m3.4.4.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m3.4.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.3" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.3.1" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.3.3" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.1" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m3.2.2" xref="S3.Ex4.m3.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex4.m3.2.2a" xref="S3.Ex4.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m3.1.1.1" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m3.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.3.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex4.m3.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex4.m3.2.2.2" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m3.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m3.2.2.2.2.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m3.4b"><apply id="S3.Ex4.m3.4.5.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5"><plus id="S3.Ex4.m3.4.5.1.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5.1"></plus><apply 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id="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2"><times id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m3.4.4.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.2.2"><divide id="S3.Ex4.m3.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.5.3.2.2.2.2"></divide><apply id="S3.Ex4.m3.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2"><minus id="S3.Ex4.m3.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2"></minus><apply id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2"><times id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.3">𝑡</ci><ci id="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex4.m3.4.4.2.2.4">𝜆</ci></apply></apply><ci 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xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.2.2.1.2" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.m1.2b"><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1"><times id="S3.E11.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.2"></times><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><cn id="S3.E11.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.2c">\displaystyle\times[\prod\limits_{p=n+1}^{m}p\left(N+1-p\right)]^{1/2}c_{n}% \left(0\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.2d">× [ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p = italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT italic_p ( italic_N + 1 - italic_p ) ] start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.46">where <math alttext="h\left(m-n\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.33.m1.1"><semantics id="S3.p2.33.m1.1a"><mrow id="S3.p2.33.m1.1.1" xref="S3.p2.33.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.33.m1.1.1.3" xref="S3.p2.33.m1.1.1.3.cmml">h</mi><mo id="S3.p2.33.m1.1.1.2" xref="S3.p2.33.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.33.m1.1b"><apply id="S3.p2.33.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.33.m1.1.1"><times id="S3.p2.33.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.33.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.p2.33.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.33.m1.1.1.3">ℎ</ci><apply id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1"><minus id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.33.m1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.33.m1.1c">h\left(m-n\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.33.m1.1d">italic_h ( italic_m - italic_n )</annotation></semantics></math> is the Heaviside step function (refer to Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS3" title="V.3 Non-Hermitian Heisenberg model and EP dynamics ‣ V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">V.3</span></a> for more details). The expression shows that the coefficient <math alttext="c_{N+1}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.34.m2.1"><semantics id="S3.p2.34.m2.1a"><mrow id="S3.p2.34.m2.1.2" xref="S3.p2.34.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.p2.34.m2.1.2.2" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.34.m2.1.2.2.2" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.p2.34.m2.1.2.2.3" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.2" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.1" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.3" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.p2.34.m2.1.2.1" xref="S3.p2.34.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.34.m2.1.2.3.2" xref="S3.p2.34.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.34.m2.1.2.3.2.1" xref="S3.p2.34.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.34.m2.1.1" xref="S3.p2.34.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.34.m2.1.2.3.2.2" xref="S3.p2.34.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.34.m2.1b"><apply id="S3.p2.34.m2.1.2.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.2"><times id="S3.p2.34.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.34.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.34.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.34.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.3"><plus id="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.34.m2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p2.34.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.34.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.34.m2.1c">c_{N+1}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.34.m2.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> of the evolved state always contains the highest power of time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.35.m3.1"><semantics id="S3.p2.35.m3.1a"><mi id="S3.p2.35.m3.1.1" xref="S3.p2.35.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.35.m3.1b"><ci id="S3.p2.35.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.35.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.35.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.35.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. As a result, the component <math alttext="c_{N+1}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.36.m4.1"><semantics id="S3.p2.36.m4.1a"><mrow id="S3.p2.36.m4.1.2" xref="S3.p2.36.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.p2.36.m4.1.2.2" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.36.m4.1.2.2.2" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.p2.36.m4.1.2.2.3" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.2" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.1" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.3" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.p2.36.m4.1.2.1" xref="S3.p2.36.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.36.m4.1.2.3.2" xref="S3.p2.36.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.36.m4.1.2.3.2.1" xref="S3.p2.36.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.36.m4.1.1" xref="S3.p2.36.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.36.m4.1.2.3.2.2" xref="S3.p2.36.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.36.m4.1b"><apply id="S3.p2.36.m4.1.2.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.2"><times id="S3.p2.36.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.36.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.36.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.36.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.3"><plus id="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.36.m4.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p2.36.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.36.m4.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.36.m4.1c">c_{N+1}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.36.m4.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> dominates over the other components, leading to the final steady state being the coalescent state <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}\left|\Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.37.m5.2"><semantics id="S3.p2.37.m5.2a"><mrow id="S3.p2.37.m5.2.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.cmml"><mrow id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.37.m5.2.2.3" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.cmml"><msup id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3a" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.1" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.3" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.1a" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.cmml"><mi id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.3" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.3.cmml">x</mi></msup></mrow></mrow></msup><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.3.1" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.2.1" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p2.37.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p2.37.m5.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.2.2" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.37.m5.2b"><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2"><eq id="S3.p2.37.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.2"></eq><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.37.m5.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3"><times id="S3.p2.37.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.1"></times><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3"><minus id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3"></minus><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2"><times id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.1"></times><ci id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3"><divide id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3"></divide><ci id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.2.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.2">𝑠</ci><ci id="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.3.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.2.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.2.2.3.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p2.37.m5.1.1.cmml" xref="S3.p2.37.m5.1.1">⇓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.37.m5.2c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}\left|\Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.37.m5.2d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT | ⇓ ⟩</annotation></semantics></math> with <math alttext="s^{x}=\sum_{i}s_{i}^{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.38.m6.1"><semantics id="S3.p2.38.m6.1a"><mrow id="S3.p2.38.m6.1.1" xref="S3.p2.38.m6.1.1.cmml"><msup id="S3.p2.38.m6.1.1.2" xref="S3.p2.38.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.38.m6.1.1.2.2" xref="S3.p2.38.m6.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p2.38.m6.1.1.2.3" xref="S3.p2.38.m6.1.1.2.3.cmml">x</mi></msup><mo id="S3.p2.38.m6.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.p2.38.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.38.m6.1.1.3" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.cmml"><msub id="S3.p2.38.m6.1.1.3.1" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.2" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.3" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.3.cmml">i</mi></msub><msubsup id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.2" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.3" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.3" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.38.m6.1b"><apply id="S3.p2.38.m6.1.1.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1"><eq id="S3.p2.38.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.p2.38.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.38.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.38.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p2.38.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.p2.38.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3"><apply id="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.38.m6.1.1.3.2.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.38.m6.1c">s^{x}=\sum_{i}s_{i}^{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.38.m6.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This implies that all spins align in parallel to the <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.39.m7.1"><semantics id="S3.p2.39.m7.1a"><mi id="S3.p2.39.m7.1.1" xref="S3.p2.39.m7.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.39.m7.1b"><ci id="S3.p2.39.m7.1.1.cmml" xref="S3.p2.39.m7.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.39.m7.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.39.m7.1d">italic_y</annotation></semantics></math>-direction. We would like to emphasize that while our primary focus lies on the subspace indexed by <math alttext="s=N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.40.m8.1"><semantics id="S3.p2.40.m8.1a"><mrow id="S3.p2.40.m8.1.1" xref="S3.p2.40.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.40.m8.1.1.2" xref="S3.p2.40.m8.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p2.40.m8.1.1.1" xref="S3.p2.40.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.40.m8.1.1.3" xref="S3.p2.40.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.40.m8.1.1.3.2" xref="S3.p2.40.m8.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.40.m8.1.1.3.1" xref="S3.p2.40.m8.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.40.m8.1.1.3.3" xref="S3.p2.40.m8.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.40.m8.1b"><apply id="S3.p2.40.m8.1.1.cmml" xref="S3.p2.40.m8.1.1"><eq id="S3.p2.40.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.40.m8.1.1.1"></eq><ci id="S3.p2.40.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.40.m8.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.p2.40.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.40.m8.1.1.3"><divide id="S3.p2.40.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.40.m8.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p2.40.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.40.m8.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p2.40.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.40.m8.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.40.m8.1c">s=N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.40.m8.1d">italic_s = italic_N / 2</annotation></semantics></math>, the critical complex magnetic field resulting from local dissipation can also lead to the coalescence of eigenstates in each degenerate subspace with different quantum number <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.41.m9.1"><semantics id="S3.p2.41.m9.1a"><mi id="S3.p2.41.m9.1.1" xref="S3.p2.41.m9.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.41.m9.1b"><ci id="S3.p2.41.m9.1.1.cmml" xref="S3.p2.41.m9.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.41.m9.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.41.m9.1d">italic_s</annotation></semantics></math>. Consequently, the coalescent states in each subspace have a geometric multiplicity of <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.42.m10.1"><semantics id="S3.p2.42.m10.1a"><mn id="S3.p2.42.m10.1.1" xref="S3.p2.42.m10.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.42.m10.1b"><cn id="S3.p2.42.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.42.m10.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.42.m10.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.42.m10.1d">1</annotation></semantics></math>. By following the EP<math alttext="(N+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.43.m11.1"><semantics id="S3.p2.43.m11.1a"><mrow id="S3.p2.43.m11.1.1.1" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.43.m11.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p2.43.m11.1.1.1.1" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.p2.43.m11.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.43.m11.1b"><apply id="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1"><plus id="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.43.m11.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.43.m11.1c">(N+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.43.m11.1d">( italic_N + 1 )</annotation></semantics></math> dynamics in the <math alttext="s=N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.44.m12.1"><semantics id="S3.p2.44.m12.1a"><mrow id="S3.p2.44.m12.1.1" xref="S3.p2.44.m12.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.44.m12.1.1.2" xref="S3.p2.44.m12.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p2.44.m12.1.1.1" xref="S3.p2.44.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.44.m12.1.1.3" xref="S3.p2.44.m12.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.44.m12.1.1.3.2" xref="S3.p2.44.m12.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.44.m12.1.1.3.1" xref="S3.p2.44.m12.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.44.m12.1.1.3.3" xref="S3.p2.44.m12.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.44.m12.1b"><apply id="S3.p2.44.m12.1.1.cmml" xref="S3.p2.44.m12.1.1"><eq id="S3.p2.44.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.44.m12.1.1.1"></eq><ci id="S3.p2.44.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.44.m12.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.p2.44.m12.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.44.m12.1.1.3"><divide id="S3.p2.44.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.44.m12.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p2.44.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.44.m12.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p2.44.m12.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.44.m12.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.44.m12.1c">s=N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.44.m12.1d">italic_s = italic_N / 2</annotation></semantics></math> subspace, an arbitrary initial state in a <math alttext="s\neq N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.45.m13.1"><semantics id="S3.p2.45.m13.1a"><mrow id="S3.p2.45.m13.1.1" xref="S3.p2.45.m13.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.45.m13.1.1.2" xref="S3.p2.45.m13.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p2.45.m13.1.1.1" xref="S3.p2.45.m13.1.1.1.cmml">≠</mo><mrow id="S3.p2.45.m13.1.1.3" xref="S3.p2.45.m13.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.45.m13.1.1.3.2" xref="S3.p2.45.m13.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.45.m13.1.1.3.1" xref="S3.p2.45.m13.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.45.m13.1.1.3.3" xref="S3.p2.45.m13.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.45.m13.1b"><apply id="S3.p2.45.m13.1.1.cmml" xref="S3.p2.45.m13.1.1"><neq id="S3.p2.45.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.45.m13.1.1.1"></neq><ci id="S3.p2.45.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.45.m13.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.p2.45.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.45.m13.1.1.3"><divide id="S3.p2.45.m13.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.45.m13.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p2.45.m13.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.45.m13.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p2.45.m13.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.45.m13.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.45.m13.1c">s\neq N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.45.m13.1d">italic_s ≠ italic_N / 2</annotation></semantics></math> subspace evolves towards the corresponding coalescent state. If the initial state consists of multiple different types of coalescent states, then the final state is determined by the coalescent state whose time-dependent coefficient has the highest power of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.46.m14.1"><semantics id="S3.p2.46.m14.1a"><mi id="S3.p2.46.m14.1.1" xref="S3.p2.46.m14.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.46.m14.1b"><ci id="S3.p2.46.m14.1.1.cmml" xref="S3.p2.46.m14.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.46.m14.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.46.m14.1d">italic_t</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="240" id="S3.F5.g1" src="x5.png" width="789"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 5: </span>Time evolutions of the correlator <math alttext="\mathcal{C}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.16.m1.1"><semantics id="S3.F5.16.m1.1b"><mrow id="S3.F5.16.m1.1.2" xref="S3.F5.16.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.16.m1.1.2.2" xref="S3.F5.16.m1.1.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.F5.16.m1.1.2.1" xref="S3.F5.16.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F5.16.m1.1.2.3.2" xref="S3.F5.16.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.F5.16.m1.1.2.3.2.1" xref="S3.F5.16.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F5.16.m1.1.1" xref="S3.F5.16.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F5.16.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.F5.16.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.16.m1.1c"><apply id="S3.F5.16.m1.1.2.cmml" xref="S3.F5.16.m1.1.2"><times id="S3.F5.16.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.16.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.F5.16.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.16.m1.1.2.2">𝒞</ci><ci id="S3.F5.16.m1.1.1.cmml" xref="S3.F5.16.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.16.m1.1d">\mathcal{C}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.16.m1.1e">caligraphic_C ( italic_t )</annotation></semantics></math> for the evolved states <math alttext="\rho_{\text{{l}}}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.17.m2.1"><semantics id="S3.F5.17.m2.1b"><mrow id="S3.F5.17.m2.1.2" xref="S3.F5.17.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.F5.17.m2.1.2.2" xref="S3.F5.17.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F5.17.m2.1.2.2.2" xref="S3.F5.17.m2.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F5.17.m2.1.2.2.3" xref="S3.F5.17.m2.1.2.2.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.F5.17.m2.1.2.1" xref="S3.F5.17.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F5.17.m2.1.2.3.2" xref="S3.F5.17.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.F5.17.m2.1.2.3.2.1" xref="S3.F5.17.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F5.17.m2.1.1" xref="S3.F5.17.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F5.17.m2.1.2.3.2.2" xref="S3.F5.17.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.17.m2.1c"><apply id="S3.F5.17.m2.1.2.cmml" xref="S3.F5.17.m2.1.2"><times id="S3.F5.17.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.17.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.F5.17.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.17.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F5.17.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F5.17.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F5.17.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F5.17.m2.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F5.17.m2.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.F5.17.m2.1.2.2.3"><mtext id="S3.F5.17.m2.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F5.17.m2.1.2.2.3">l</mtext></ci></apply><ci id="S3.F5.17.m2.1.1.cmml" xref="S3.F5.17.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.17.m2.1d">\rho_{\text{{l}}}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.17.m2.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.18.m3.1"><semantics id="S3.F5.18.m3.1b"><mrow id="S3.F5.18.m3.1.2" xref="S3.F5.18.m3.1.2.cmml"><msub id="S3.F5.18.m3.1.2.2" xref="S3.F5.18.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F5.18.m3.1.2.2.2" xref="S3.F5.18.m3.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.F5.18.m3.1.2.2.3" xref="S3.F5.18.m3.1.2.2.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.F5.18.m3.1.2.1" xref="S3.F5.18.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F5.18.m3.1.2.3.2" xref="S3.F5.18.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.F5.18.m3.1.2.3.2.1" xref="S3.F5.18.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F5.18.m3.1.1" xref="S3.F5.18.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F5.18.m3.1.2.3.2.2" xref="S3.F5.18.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.18.m3.1c"><apply id="S3.F5.18.m3.1.2.cmml" xref="S3.F5.18.m3.1.2"><times id="S3.F5.18.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.18.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.F5.18.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.18.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F5.18.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F5.18.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F5.18.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F5.18.m3.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F5.18.m3.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.F5.18.m3.1.2.2.3"><mtext id="S3.F5.18.m3.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F5.18.m3.1.2.2.3">nh</mtext></ci></apply><ci id="S3.F5.18.m3.1.1.cmml" xref="S3.F5.18.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.18.m3.1d">\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.18.m3.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT nh end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>. The system parameters are set as follows: (a) <math alttext="\lambda/\gamma=2/3" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.19.m4.1"><semantics id="S3.F5.19.m4.1b"><mrow id="S3.F5.19.m4.1.1" xref="S3.F5.19.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.F5.19.m4.1.1.2" xref="S3.F5.19.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F5.19.m4.1.1.2.2" xref="S3.F5.19.m4.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F5.19.m4.1.1.2.1" xref="S3.F5.19.m4.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F5.19.m4.1.1.2.3" xref="S3.F5.19.m4.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F5.19.m4.1.1.1" xref="S3.F5.19.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F5.19.m4.1.1.3" xref="S3.F5.19.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F5.19.m4.1.1.3.2" xref="S3.F5.19.m4.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.F5.19.m4.1.1.3.1" xref="S3.F5.19.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F5.19.m4.1.1.3.3" xref="S3.F5.19.m4.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.19.m4.1c"><apply id="S3.F5.19.m4.1.1.cmml" xref="S3.F5.19.m4.1.1"><eq id="S3.F5.19.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.19.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.F5.19.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.19.m4.1.1.2"><divide id="S3.F5.19.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.19.m4.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F5.19.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.19.m4.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F5.19.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F5.19.m4.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S3.F5.19.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.F5.19.m4.1.1.3"><divide id="S3.F5.19.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F5.19.m4.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.F5.19.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F5.19.m4.1.1.3.2">2</cn><cn id="S3.F5.19.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F5.19.m4.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.19.m4.1d">\lambda/\gamma=2/3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.19.m4.1e">italic_λ / italic_γ = 2 / 3</annotation></semantics></math>, (b) <math alttext="\lambda/\gamma=1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.20.m5.1"><semantics id="S3.F5.20.m5.1b"><mrow id="S3.F5.20.m5.1.1" xref="S3.F5.20.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.F5.20.m5.1.1.2" xref="S3.F5.20.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F5.20.m5.1.1.2.2" xref="S3.F5.20.m5.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F5.20.m5.1.1.2.1" xref="S3.F5.20.m5.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F5.20.m5.1.1.2.3" xref="S3.F5.20.m5.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F5.20.m5.1.1.1" xref="S3.F5.20.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F5.20.m5.1.1.3" xref="S3.F5.20.m5.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F5.20.m5.1.1.3.2" xref="S3.F5.20.m5.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F5.20.m5.1.1.3.1" xref="S3.F5.20.m5.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F5.20.m5.1.1.3.3" xref="S3.F5.20.m5.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.20.m5.1c"><apply id="S3.F5.20.m5.1.1.cmml" xref="S3.F5.20.m5.1.1"><eq id="S3.F5.20.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.20.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.F5.20.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.20.m5.1.1.2"><divide id="S3.F5.20.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.20.m5.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F5.20.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.20.m5.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F5.20.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F5.20.m5.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S3.F5.20.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.F5.20.m5.1.1.3"><divide id="S3.F5.20.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F5.20.m5.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.F5.20.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F5.20.m5.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.F5.20.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F5.20.m5.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.20.m5.1d">\lambda/\gamma=1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.20.m5.1e">italic_λ / italic_γ = 1 / 2</annotation></semantics></math>, and (c) <math alttext="\lambda/\gamma=1/4" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.21.m6.1"><semantics id="S3.F5.21.m6.1b"><mrow id="S3.F5.21.m6.1.1" xref="S3.F5.21.m6.1.1.cmml"><mrow id="S3.F5.21.m6.1.1.2" xref="S3.F5.21.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F5.21.m6.1.1.2.2" xref="S3.F5.21.m6.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F5.21.m6.1.1.2.1" xref="S3.F5.21.m6.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F5.21.m6.1.1.2.3" xref="S3.F5.21.m6.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F5.21.m6.1.1.1" xref="S3.F5.21.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F5.21.m6.1.1.3" xref="S3.F5.21.m6.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F5.21.m6.1.1.3.2" xref="S3.F5.21.m6.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F5.21.m6.1.1.3.1" xref="S3.F5.21.m6.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F5.21.m6.1.1.3.3" xref="S3.F5.21.m6.1.1.3.3.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.21.m6.1c"><apply id="S3.F5.21.m6.1.1.cmml" xref="S3.F5.21.m6.1.1"><eq id="S3.F5.21.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.21.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.F5.21.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.21.m6.1.1.2"><divide id="S3.F5.21.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.21.m6.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F5.21.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.21.m6.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F5.21.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F5.21.m6.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S3.F5.21.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.F5.21.m6.1.1.3"><divide id="S3.F5.21.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F5.21.m6.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.F5.21.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F5.21.m6.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.F5.21.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F5.21.m6.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.21.m6.1d">\lambda/\gamma=1/4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.21.m6.1e">italic_λ / italic_γ = 1 / 4</annotation></semantics></math>. In each panel, the blue and red lines represent the <math alttext="\mathcal{C}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.22.m7.1"><semantics id="S3.F5.22.m7.1b"><mrow id="S3.F5.22.m7.1.2" xref="S3.F5.22.m7.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.22.m7.1.2.2" xref="S3.F5.22.m7.1.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.F5.22.m7.1.2.1" xref="S3.F5.22.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F5.22.m7.1.2.3.2" xref="S3.F5.22.m7.1.2.cmml"><mo id="S3.F5.22.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F5.22.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F5.22.m7.1.1" xref="S3.F5.22.m7.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F5.22.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.F5.22.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.22.m7.1c"><apply id="S3.F5.22.m7.1.2.cmml" xref="S3.F5.22.m7.1.2"><times id="S3.F5.22.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.22.m7.1.2.1"></times><ci id="S3.F5.22.m7.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.22.m7.1.2.2">𝒞</ci><ci id="S3.F5.22.m7.1.1.cmml" xref="S3.F5.22.m7.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.22.m7.1d">\mathcal{C}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.22.m7.1e">caligraphic_C ( italic_t )</annotation></semantics></math> driven by the Liouvillian superoperator <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.23.m8.1"><semantics id="S3.F5.23.m8.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.23.m8.1.1" xref="S3.F5.23.m8.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.23.m8.1c"><ci id="S3.F5.23.m8.1.1.cmml" xref="S3.F5.23.m8.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.23.m8.1d">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.23.m8.1e">caligraphic_L</annotation></semantics></math> and the effective non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}_{\text{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.24.m9.1"><semantics id="S3.F5.24.m9.1b"><msub id="S3.F5.24.m9.1.1" xref="S3.F5.24.m9.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.24.m9.1.1.2" xref="S3.F5.24.m9.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mtext id="S3.F5.24.m9.1.1.3" xref="S3.F5.24.m9.1.1.3a.cmml">spin</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.24.m9.1c"><apply id="S3.F5.24.m9.1.1.cmml" xref="S3.F5.24.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F5.24.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.24.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F5.24.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.24.m9.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.F5.24.m9.1.1.3a.cmml" xref="S3.F5.24.m9.1.1.3"><mtext id="S3.F5.24.m9.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.F5.24.m9.1.1.3">spin</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.24.m9.1d">\mathcal{H}_{\text{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.24.m9.1e">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively. The correlator <math alttext="\mathcal{C}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.25.m10.1"><semantics id="S3.F5.25.m10.1b"><mrow id="S3.F5.25.m10.1.2" xref="S3.F5.25.m10.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.25.m10.1.2.2" xref="S3.F5.25.m10.1.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.F5.25.m10.1.2.1" xref="S3.F5.25.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F5.25.m10.1.2.3.2" xref="S3.F5.25.m10.1.2.cmml"><mo id="S3.F5.25.m10.1.2.3.2.1" xref="S3.F5.25.m10.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F5.25.m10.1.1" xref="S3.F5.25.m10.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F5.25.m10.1.2.3.2.2" xref="S3.F5.25.m10.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.25.m10.1c"><apply id="S3.F5.25.m10.1.2.cmml" xref="S3.F5.25.m10.1.2"><times id="S3.F5.25.m10.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.25.m10.1.2.1"></times><ci id="S3.F5.25.m10.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.25.m10.1.2.2">𝒞</ci><ci id="S3.F5.25.m10.1.1.cmml" xref="S3.F5.25.m10.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.25.m10.1d">\mathcal{C}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.25.m10.1e">caligraphic_C ( italic_t )</annotation></semantics></math> driven by <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.26.m11.1"><semantics id="S3.F5.26.m11.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.26.m11.1.1" xref="S3.F5.26.m11.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.26.m11.1c"><ci id="S3.F5.26.m11.1.1.cmml" xref="S3.F5.26.m11.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.26.m11.1d">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.26.m11.1e">caligraphic_L</annotation></semantics></math> characterizes the spin-spin correlation of the NESS and asymptotically approaches a steady value over time. However, in the presence of an EP or imaginary energy levels in the Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.27.m12.1"><semantics id="S3.F5.27.m12.1b"><msub id="S3.F5.27.m12.1.1" xref="S3.F5.27.m12.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.27.m12.1.1.2" xref="S3.F5.27.m12.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.F5.27.m12.1.1.3" xref="S3.F5.27.m12.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.27.m12.1c"><apply id="S3.F5.27.m12.1.1.cmml" xref="S3.F5.27.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F5.27.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.27.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F5.27.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.27.m12.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.F5.27.m12.1.1.3.cmml" xref="S3.F5.27.m12.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.27.m12.1d">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.27.m12.1e">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the correlator <math alttext="\mathcal{C}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.28.m13.1"><semantics id="S3.F5.28.m13.1b"><mrow id="S3.F5.28.m13.1.2" xref="S3.F5.28.m13.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.28.m13.1.2.2" xref="S3.F5.28.m13.1.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.F5.28.m13.1.2.1" xref="S3.F5.28.m13.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F5.28.m13.1.2.3.2" xref="S3.F5.28.m13.1.2.cmml"><mo id="S3.F5.28.m13.1.2.3.2.1" xref="S3.F5.28.m13.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F5.28.m13.1.1" xref="S3.F5.28.m13.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F5.28.m13.1.2.3.2.2" xref="S3.F5.28.m13.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.28.m13.1c"><apply id="S3.F5.28.m13.1.2.cmml" xref="S3.F5.28.m13.1.2"><times id="S3.F5.28.m13.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.28.m13.1.2.1"></times><ci id="S3.F5.28.m13.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.28.m13.1.2.2">𝒞</ci><ci id="S3.F5.28.m13.1.1.cmml" xref="S3.F5.28.m13.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.28.m13.1d">\mathcal{C}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.28.m13.1e">caligraphic_C ( italic_t )</annotation></semantics></math> converges to a specific asymptotic value instead of exhibiting indefinite oscillation. At the EP (<math alttext="\lambda/\gamma=1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.29.m14.1"><semantics id="S3.F5.29.m14.1b"><mrow id="S3.F5.29.m14.1.1" xref="S3.F5.29.m14.1.1.cmml"><mrow id="S3.F5.29.m14.1.1.2" xref="S3.F5.29.m14.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F5.29.m14.1.1.2.2" xref="S3.F5.29.m14.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F5.29.m14.1.1.2.1" xref="S3.F5.29.m14.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F5.29.m14.1.1.2.3" xref="S3.F5.29.m14.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F5.29.m14.1.1.1" xref="S3.F5.29.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F5.29.m14.1.1.3" xref="S3.F5.29.m14.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F5.29.m14.1.1.3.2" xref="S3.F5.29.m14.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F5.29.m14.1.1.3.1" xref="S3.F5.29.m14.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F5.29.m14.1.1.3.3" xref="S3.F5.29.m14.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.29.m14.1c"><apply id="S3.F5.29.m14.1.1.cmml" xref="S3.F5.29.m14.1.1"><eq id="S3.F5.29.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.29.m14.1.1.1"></eq><apply id="S3.F5.29.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.29.m14.1.1.2"><divide id="S3.F5.29.m14.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F5.29.m14.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F5.29.m14.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F5.29.m14.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F5.29.m14.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F5.29.m14.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S3.F5.29.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.F5.29.m14.1.1.3"><divide id="S3.F5.29.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F5.29.m14.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.F5.29.m14.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F5.29.m14.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.F5.29.m14.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F5.29.m14.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.29.m14.1d">\lambda/\gamma=1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.29.m14.1e">italic_λ / italic_γ = 1 / 2</annotation></semantics></math>), both lines converge to the same value, <math alttext="\mathcal{C}(t\rightarrow\infty)=1/4" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F5.30.m15.1"><semantics id="S3.F5.30.m15.1b"><mrow id="S3.F5.30.m15.1.1" xref="S3.F5.30.m15.1.1.cmml"><mrow id="S3.F5.30.m15.1.1.1" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F5.30.m15.1.1.1.3" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.3.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.F5.30.m15.1.1.1.2" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F5.30.m15.1.1.2" xref="S3.F5.30.m15.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.F5.30.m15.1.1.3" xref="S3.F5.30.m15.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F5.30.m15.1.1.3.2" xref="S3.F5.30.m15.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.F5.30.m15.1.1.3.1" xref="S3.F5.30.m15.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.F5.30.m15.1.1.3.3" xref="S3.F5.30.m15.1.1.3.3.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F5.30.m15.1c"><apply id="S3.F5.30.m15.1.1.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1"><eq id="S3.F5.30.m15.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.2"></eq><apply id="S3.F5.30.m15.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1"><times id="S3.F5.30.m15.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.2"></times><ci id="S3.F5.30.m15.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.3">𝒞</ci><apply id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1"><ci id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.F5.30.m15.1.1.3.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.3"><divide id="S3.F5.30.m15.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F5.30.m15.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.F5.30.m15.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F5.30.m15.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.F5.30.m15.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F5.30.m15.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F5.30.m15.1d">\mathcal{C}(t\rightarrow\infty)=1/4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F5.30.m15.1e">caligraphic_C ( italic_t → ∞ ) = 1 / 4</annotation></semantics></math>, as shown in Fig. 4(b).</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.2">It can be imagined that the system will not approach the coalescent state <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.p3.1.m1.1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.1c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> under the effect of the Liouvillian superoperator <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.p3.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> due to the distinct operations of two types of evolutions. To confirm this conjecture, we introduce Uhlmann fidelity <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Jozsa (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib80" title="">1994</a>)</cite> which measures the distance between density operators, defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="F\left(\rho\left(t\right),\rho_{\mathrm{c}}\right)=(\text{{Tr}}\sqrt{\sqrt{% \rho\left(t\right)}\rho_{\mathrm{c}}\sqrt{\rho\left(t\right)}})^{2}\text{,}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E12.m1.6"><semantics id="S3.E12.m1.6a"><mrow id="S3.E12.m1.6.6" xref="S3.E12.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.5.5.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.5.5.2.4" xref="S3.E12.m1.5.5.2.4.cmml">F</mi><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.3" xref="S3.E12.m1.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.m1.3.3" xref="S3.E12.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.4" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.5" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.6.6.4" xref="S3.E12.m1.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12.m1.6.6.3" xref="S3.E12.m1.6.6.3.cmml"><msup id="S3.E12.m1.6.6.3.1" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.2a.cmml">Tr</mtext><mo id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.E12.m1.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.2.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.2.cmml"><msqrt id="S3.E12.m1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt><mo id="S3.E12.m1.2.2.2.3" xref="S3.E12.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E12.m1.2.2.2.4" xref="S3.E12.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E12.m1.2.2.2.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.E12.m1.2.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.E12.m1.2.2.2.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E12.m1.2.2.2.3a" xref="S3.E12.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.E12.m1.2.2.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.4.2" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.4.2.1" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.4.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow></msqrt></mrow><mo id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E12.m1.6.6.3.1.3" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E12.m1.6.6.3.2" xref="S3.E12.m1.6.6.3.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E12.m1.6.6.3.3" xref="S3.E12.m1.6.6.3.3a.cmml">,</mtext></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.m1.6b"><apply id="S3.E12.m1.6.6.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6"><eq id="S3.E12.m1.6.6.4.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.4"></eq><apply id="S3.E12.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2"><times id="S3.E12.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.3"></times><ci id="S3.E12.m1.5.5.2.4.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.E12.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2"><apply id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.E12.m1.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.E12.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3"><times id="S3.E12.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.2"></times><apply id="S3.E12.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.6.6.3.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1"><times id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.2"><mtext id="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.1.1.1.2">Tr</mtext></ci><apply id="S3.E12.m1.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2"><root id="S3.E12.m1.2.2a.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2"></root><apply id="S3.E12.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2"><times id="S3.E12.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1"><root id="S3.E12.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1"></root><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.3">𝜌</ci><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.4.2">𝜌</ci><ci id="S3.E12.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.4.3">c</ci></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2"><root id="S3.E12.m1.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2"></root><apply id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1"><times id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.3">𝜌</ci><ci id="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E12.m1.6.6.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.6.6.3.1.3">2</cn></apply><ci id="S3.E12.m1.6.6.3.3a.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.3"><mtext id="S3.E12.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.3.3">,</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.m1.6c">F\left(\rho\left(t\right),\rho_{\mathrm{c}}\right)=(\text{{Tr}}\sqrt{\sqrt{% \rho\left(t\right)}\rho_{\mathrm{c}}\sqrt{\rho\left(t\right)}})^{2}\text{,}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.m1.6d">italic_F ( italic_ρ ( italic_t ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ) = ( Tr square-root start_ARG square-root start_ARG italic_ρ ( italic_t ) end_ARG italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT square-root start_ARG italic_ρ ( italic_t ) end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.6">where <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle\langle\psi_{\mathrm{c}}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.3.m1.2"><semantics id="S3.p3.3.m1.2a"><mrow id="S3.p3.3.m1.2.2" xref="S3.p3.3.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.p3.3.m1.2.2.4" xref="S3.p3.3.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p3.3.m1.2.2.4.2" xref="S3.p3.3.m1.2.2.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.3.m1.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.3.m1.2.2.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.3.m1.2.2.3" xref="S3.p3.3.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.3.m1.2.2.2" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p3.3.m1.2.2.2.3" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.3.m1.2b"><apply id="S3.p3.3.m1.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2"><eq id="S3.p3.3.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.3"></eq><apply id="S3.p3.3.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.4.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.3.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.4.3">c</ci></apply><apply id="S3.p3.3.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2"><times id="S3.p3.3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.3.m1.2.2.2.2.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.3.m1.2c">\rho_{\mathrm{c}}=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle\langle\psi_{\mathrm{c}}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.3.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT = | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> and <math alttext="\rho\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.4.m2.1"><semantics id="S3.p3.4.m2.1a"><mrow id="S3.p3.4.m2.1.2" xref="S3.p3.4.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.4.m2.1.2.2" xref="S3.p3.4.m2.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.p3.4.m2.1.2.1" xref="S3.p3.4.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.4.m2.1.2.3.2" xref="S3.p3.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.4.m2.1.2.3.2.1" xref="S3.p3.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.4.m2.1.1" xref="S3.p3.4.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.4.m2.1.2.3.2.2" xref="S3.p3.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.4.m2.1b"><apply id="S3.p3.4.m2.1.2.cmml" xref="S3.p3.4.m2.1.2"><times id="S3.p3.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.4.m2.1.2.1"></times><ci id="S3.p3.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.4.m2.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.4.m2.1c">\rho\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.4.m2.1d">italic_ρ ( italic_t )</annotation></semantics></math> denotes the evolved density matrix. The system is initialized in the state <math alttext="\left|\Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.5.m3.1"><semantics id="S3.p3.5.m3.1a"><mrow id="S3.p3.5.m3.1.2.2" xref="S3.p3.5.m3.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p3.5.m3.1.2.2.1" xref="S3.p3.5.m3.1.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p3.5.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p3.5.m3.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S3.p3.5.m3.1.2.2.2" xref="S3.p3.5.m3.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.5.m3.1b"><apply id="S3.p3.5.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.5.m3.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.5.m3.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m3.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m3.1.1">⇓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.5.m3.1c">\left|\Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.5.m3.1d">| ⇓ ⟩</annotation></semantics></math>. The second physical quantity of interest is the quantum mutual information of the bipartite state <math alttext="\rho_{AB}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.6.m4.1"><semantics id="S3.p3.6.m4.1a"><mrow id="S3.p3.6.m4.1.2" xref="S3.p3.6.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.6.m4.1.2.2" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.6.m4.1.2.2.2" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S3.p3.6.m4.1.2.2.3" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.1" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.3" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.6.m4.1.2.1" xref="S3.p3.6.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.6.m4.1.2.3.2" xref="S3.p3.6.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.6.m4.1.2.3.2.1" xref="S3.p3.6.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.6.m4.1.1" xref="S3.p3.6.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.6.m4.1.2.3.2.2" xref="S3.p3.6.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.6.m4.1b"><apply id="S3.p3.6.m4.1.2.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2"><times id="S3.p3.6.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.6.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.6.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.6.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.2">𝜌</ci><apply id="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.3"><times id="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.2.2.3.3">𝐵</ci></apply></apply><ci id="S3.p3.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.6.m4.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.6.m4.1c">\rho_{AB}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.6.m4.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>, which is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="I_{AB}=S\left(\rho_{A}\right)+S\left(\rho_{B}\right)-S\left(\rho_{AB}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E13.m1.1"><semantics id="S3.E13.m1.1a"><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">B</mi></msub><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">S</mi><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E13.m1.1b"><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1"><eq id="S3.E13.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.2">𝐼</ci><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3"><times id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.4"></minus><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2"><plus id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.3"></plus><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"></times><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑆</ci><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝐵</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.2"></times><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑆</ci><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><times id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.1c">I_{AB}=S\left(\rho_{A}\right)+S\left(\rho_{B}\right)-S\left(\rho_{AB}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT = italic_S ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_S ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_S ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.35">where <math alttext="S\left(\rho_{\sigma}\right)=-" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.7.m1.1"><semantics id="S3.p3.7.m1.1a"><mrow id="S3.p3.7.m1.1.1" xref="S3.p3.7.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.p3.7.m1.1.1.1" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.7.m1.1.1.1.3" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S3.p3.7.m1.1.1.1.2" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.7.m1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.p3.7.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mo id="S3.p3.7.m1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.p3.7.m1.1.1.3.cmml">−</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.7.m1.1b"><apply id="S3.p3.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1"><eq id="S3.p3.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.p3.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1"><times id="S3.p3.7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.p3.7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.3">𝑆</ci><apply id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply></apply><minus id="S3.p3.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.7.m1.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.7.m1.1c">S\left(\rho_{\sigma}\right)=-</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.7.m1.1d">italic_S ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ) = -</annotation></semantics></math>Tr<math alttext="\rho_{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.8.m2.1"><semantics id="S3.p3.8.m2.1a"><msub id="S3.p3.8.m2.1.1" xref="S3.p3.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.8.m2.1.1.2" xref="S3.p3.8.m2.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.8.m2.1.1.3" xref="S3.p3.8.m2.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.8.m2.1b"><apply id="S3.p3.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.8.m2.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.8.m2.1.1.3">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.8.m2.1c">\rho_{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.8.m2.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>ln<math alttext="\rho_{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.9.m3.1"><semantics id="S3.p3.9.m3.1a"><msub id="S3.p3.9.m3.1.1" xref="S3.p3.9.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.9.m3.1.1.2" xref="S3.p3.9.m3.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.9.m3.1.1.3" xref="S3.p3.9.m3.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.9.m3.1b"><apply id="S3.p3.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.9.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.9.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.9.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.9.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.9.m3.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.9.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.9.m3.1.1.3">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.9.m3.1c">\rho_{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.9.m3.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="\sigma=A,B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.10.m4.2"><semantics id="S3.p3.10.m4.2a"><mrow id="S3.p3.10.m4.2.3" xref="S3.p3.10.m4.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.10.m4.2.3.2" xref="S3.p3.10.m4.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.p3.10.m4.2.3.1" xref="S3.p3.10.m4.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.10.m4.2.3.3.2" xref="S3.p3.10.m4.2.3.3.1.cmml"><mi id="S3.p3.10.m4.1.1" xref="S3.p3.10.m4.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.10.m4.2.3.3.2.1" xref="S3.p3.10.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.10.m4.2.2" xref="S3.p3.10.m4.2.2.cmml">B</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.10.m4.2b"><apply id="S3.p3.10.m4.2.3.cmml" xref="S3.p3.10.m4.2.3"><eq id="S3.p3.10.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.10.m4.2.3.1"></eq><ci id="S3.p3.10.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.10.m4.2.3.2">𝜎</ci><list id="S3.p3.10.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.10.m4.2.3.3.2"><ci id="S3.p3.10.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.10.m4.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.p3.10.m4.2.2.cmml" xref="S3.p3.10.m4.2.2">𝐵</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.10.m4.2c">\sigma=A,B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.10.m4.2d">italic_σ = italic_A , italic_B</annotation></semantics></math>) represents the Von Neumann entropy of <math alttext="\rho_{\sigma}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.11.m5.1"><semantics id="S3.p3.11.m5.1a"><mrow id="S3.p3.11.m5.1.2" xref="S3.p3.11.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.11.m5.1.2.2" xref="S3.p3.11.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.11.m5.1.2.2.2" xref="S3.p3.11.m5.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.11.m5.1.2.2.3" xref="S3.p3.11.m5.1.2.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S3.p3.11.m5.1.2.1" xref="S3.p3.11.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.11.m5.1.2.3.2" xref="S3.p3.11.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.11.m5.1.2.3.2.1" xref="S3.p3.11.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.11.m5.1.1" xref="S3.p3.11.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.11.m5.1.2.3.2.2" xref="S3.p3.11.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.11.m5.1b"><apply id="S3.p3.11.m5.1.2.cmml" xref="S3.p3.11.m5.1.2"><times id="S3.p3.11.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.11.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.11.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.11.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.11.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.11.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.11.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.11.m5.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.11.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.11.m5.1.2.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="S3.p3.11.m5.1.1.cmml" xref="S3.p3.11.m5.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.11.m5.1c">\rho_{\sigma}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.11.m5.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>. This entropy is obtained by tracing out system <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.12.m6.1"><semantics id="S3.p3.12.m6.1a"><mi id="S3.p3.12.m6.1.1" xref="S3.p3.12.m6.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.12.m6.1b"><ci id="S3.p3.12.m6.1.1.cmml" xref="S3.p3.12.m6.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.12.m6.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.12.m6.1d">italic_B</annotation></semantics></math> or <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.13.m7.1"><semantics id="S3.p3.13.m7.1a"><mi id="S3.p3.13.m7.1.1" xref="S3.p3.13.m7.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.13.m7.1b"><ci id="S3.p3.13.m7.1.1.cmml" xref="S3.p3.13.m7.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.13.m7.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.13.m7.1d">italic_A</annotation></semantics></math> from the joint density matrix <math alttext="\rho_{AB}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.14.m8.1"><semantics id="S3.p3.14.m8.1a"><msub id="S3.p3.14.m8.1.1" xref="S3.p3.14.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.14.m8.1.1.2" xref="S3.p3.14.m8.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S3.p3.14.m8.1.1.3" xref="S3.p3.14.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.14.m8.1.1.3.2" xref="S3.p3.14.m8.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.14.m8.1.1.3.1" xref="S3.p3.14.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.14.m8.1.1.3.3" xref="S3.p3.14.m8.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.14.m8.1b"><apply id="S3.p3.14.m8.1.1.cmml" xref="S3.p3.14.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.14.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.14.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.14.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.14.m8.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S3.p3.14.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.14.m8.1.1.3"><times id="S3.p3.14.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.14.m8.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.14.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.14.m8.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.14.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.14.m8.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.14.m8.1c">\rho_{AB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.14.m8.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. More specifically, <math alttext="\rho_{A}\left(t\right)=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.15.m9.1"><semantics id="S3.p3.15.m9.1a"><mrow id="S3.p3.15.m9.1.2" xref="S3.p3.15.m9.1.2.cmml"><mrow id="S3.p3.15.m9.1.2.2" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.cmml"><msub id="S3.p3.15.m9.1.2.2.2" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.2" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.3" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S3.p3.15.m9.1.2.2.1" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.15.m9.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.cmml"><mo id="S3.p3.15.m9.1.2.2.3.2.1" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.15.m9.1.1" xref="S3.p3.15.m9.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.15.m9.1.2.2.3.2.2" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.15.m9.1.2.1" xref="S3.p3.15.m9.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.p3.15.m9.1.2.3" xref="S3.p3.15.m9.1.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.15.m9.1b"><apply id="S3.p3.15.m9.1.2.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2"><eq id="S3.p3.15.m9.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2.1"></eq><apply id="S3.p3.15.m9.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2"><times id="S3.p3.15.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.1"></times><apply id="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2.2.2.3">𝐴</ci></apply><ci id="S3.p3.15.m9.1.1.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.1">𝑡</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.15.m9.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.15.m9.1.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.15.m9.1c">\rho_{A}\left(t\right)=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.15.m9.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) =</annotation></semantics></math>Tr<math alttext="{}_{B}[\rho_{AB}\left(t\right)]" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.p3.16.m10.1"><semantics id="S3.p3.16.m10.1a"><mmultiscripts id="S3.p3.16.m10.1.1"><mrow id="S3.p3.16.m10.1.1.2"><mo id="S3.p3.16.m10.1.1.2.1" stretchy="false">[</mo><msub id="S3.p3.16.m10.1.1.2.2"><mi id="S3.p3.16.m10.1.1.2.2.2">ρ</mi><mrow id="S3.p3.16.m10.1.1.2.2.3"><mi id="S3.p3.16.m10.1.1.2.2.3.2">A</mi><mo id="S3.p3.16.m10.1.1.2.2.3.1">⁢</mo><mi id="S3.p3.16.m10.1.1.2.2.3.3">B</mi></mrow></msub><mrow id="S3.p3.16.m10.1.1.2.3"><mo id="S3.p3.16.m10.1.1.2.3.1">(</mo><mi id="S3.p3.16.m10.1.1.2.3.2">t</mi><mo id="S3.p3.16.m10.1.1.2.3.3">)</mo></mrow><mo id="S3.p3.16.m10.1.1.2.4" stretchy="false">]</mo></mrow><mprescripts id="S3.p3.16.m10.1.1a"></mprescripts><mi id="S3.p3.16.m10.1.1.3">B</mi><mrow id="S3.p3.16.m10.1.1b"></mrow></mmultiscripts><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.16.m10.1b">{}_{B}[\rho_{AB}\left(t\right)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.16.m10.1c">start_FLOATSUBSCRIPT italic_B end_FLOATSUBSCRIPT [ italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ]</annotation></semantics></math> or <math alttext="\rho_{B}\left(t\right)=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.17.m11.1"><semantics id="S3.p3.17.m11.1a"><mrow id="S3.p3.17.m11.1.2" xref="S3.p3.17.m11.1.2.cmml"><mrow id="S3.p3.17.m11.1.2.2" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.cmml"><msub id="S3.p3.17.m11.1.2.2.2" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.2" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.3" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.3.cmml">B</mi></msub><mo id="S3.p3.17.m11.1.2.2.1" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.17.m11.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.cmml"><mo id="S3.p3.17.m11.1.2.2.3.2.1" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.17.m11.1.1" xref="S3.p3.17.m11.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.17.m11.1.2.2.3.2.2" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.17.m11.1.2.1" xref="S3.p3.17.m11.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.p3.17.m11.1.2.3" xref="S3.p3.17.m11.1.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.17.m11.1b"><apply id="S3.p3.17.m11.1.2.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2"><eq id="S3.p3.17.m11.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2.1"></eq><apply id="S3.p3.17.m11.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2"><times id="S3.p3.17.m11.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.1"></times><apply id="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2.2.2.3">𝐵</ci></apply><ci id="S3.p3.17.m11.1.1.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.1">𝑡</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.17.m11.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.17.m11.1.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.17.m11.1c">\rho_{B}\left(t\right)=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.17.m11.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) =</annotation></semantics></math>Tr<math alttext="{}_{A}[\rho_{AB}\left(t\right)]" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.p3.18.m12.1"><semantics id="S3.p3.18.m12.1a"><mmultiscripts id="S3.p3.18.m12.1.1"><mrow id="S3.p3.18.m12.1.1.2"><mo id="S3.p3.18.m12.1.1.2.1" stretchy="false">[</mo><msub id="S3.p3.18.m12.1.1.2.2"><mi id="S3.p3.18.m12.1.1.2.2.2">ρ</mi><mrow id="S3.p3.18.m12.1.1.2.2.3"><mi id="S3.p3.18.m12.1.1.2.2.3.2">A</mi><mo id="S3.p3.18.m12.1.1.2.2.3.1">⁢</mo><mi id="S3.p3.18.m12.1.1.2.2.3.3">B</mi></mrow></msub><mrow id="S3.p3.18.m12.1.1.2.3"><mo id="S3.p3.18.m12.1.1.2.3.1">(</mo><mi id="S3.p3.18.m12.1.1.2.3.2">t</mi><mo id="S3.p3.18.m12.1.1.2.3.3">)</mo></mrow><mo id="S3.p3.18.m12.1.1.2.4" stretchy="false">]</mo></mrow><mprescripts id="S3.p3.18.m12.1.1a"></mprescripts><mi id="S3.p3.18.m12.1.1.3">A</mi><mrow id="S3.p3.18.m12.1.1b"></mrow></mmultiscripts><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.18.m12.1b">{}_{A}[\rho_{AB}\left(t\right)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.18.m12.1c">start_FLOATSUBSCRIPT italic_A end_FLOATSUBSCRIPT [ italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ]</annotation></semantics></math>. <math alttext="S\left(\rho_{AB}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.19.m13.1"><semantics id="S3.p3.19.m13.1a"><mrow id="S3.p3.19.m13.1.1" xref="S3.p3.19.m13.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.19.m13.1.1.3" xref="S3.p3.19.m13.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S3.p3.19.m13.1.1.2" xref="S3.p3.19.m13.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.19.m13.1b"><apply id="S3.p3.19.m13.1.1.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1"><times id="S3.p3.19.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.2"></times><ci id="S3.p3.19.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.3">𝑆</ci><apply id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.19.m13.1.1.1.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.19.m13.1c">S\left(\rho_{AB}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.19.m13.1d">italic_S ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> denotes the Von Neumann entropy of the total state. The quantity <math alttext="I_{AB}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.20.m14.1"><semantics id="S3.p3.20.m14.1a"><msub id="S3.p3.20.m14.1.1" xref="S3.p3.20.m14.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.20.m14.1.1.2" xref="S3.p3.20.m14.1.1.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.p3.20.m14.1.1.3" xref="S3.p3.20.m14.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.20.m14.1.1.3.2" xref="S3.p3.20.m14.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.20.m14.1.1.3.1" xref="S3.p3.20.m14.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.20.m14.1.1.3.3" xref="S3.p3.20.m14.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.20.m14.1b"><apply id="S3.p3.20.m14.1.1.cmml" xref="S3.p3.20.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.20.m14.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.20.m14.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.p3.20.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.20.m14.1.1.3"><times id="S3.p3.20.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.20.m14.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.20.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.20.m14.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.20.m14.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.20.m14.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.20.m14.1c">I_{AB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.20.m14.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is formally equivalent to the classical mutual information, with the Shannon entropy replaced by its quantum counterpart. Utilizing <math alttext="I_{AB}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.21.m15.1"><semantics id="S3.p3.21.m15.1a"><msub id="S3.p3.21.m15.1.1" xref="S3.p3.21.m15.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.21.m15.1.1.2" xref="S3.p3.21.m15.1.1.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.p3.21.m15.1.1.3" xref="S3.p3.21.m15.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.21.m15.1.1.3.2" xref="S3.p3.21.m15.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.21.m15.1.1.3.1" xref="S3.p3.21.m15.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.21.m15.1.1.3.3" xref="S3.p3.21.m15.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.21.m15.1b"><apply id="S3.p3.21.m15.1.1.cmml" xref="S3.p3.21.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.21.m15.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.21.m15.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.21.m15.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.21.m15.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.p3.21.m15.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.21.m15.1.1.3"><times id="S3.p3.21.m15.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.21.m15.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.21.m15.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.21.m15.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.21.m15.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.21.m15.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.21.m15.1c">I_{AB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.21.m15.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we can effectively capture the separability of the evolved state. If <math alttext="I_{AB}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.22.m16.1"><semantics id="S3.p3.22.m16.1a"><mrow id="S3.p3.22.m16.1.1" xref="S3.p3.22.m16.1.1.cmml"><msub id="S3.p3.22.m16.1.1.2" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.22.m16.1.1.2.2" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.p3.22.m16.1.1.2.3" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.2" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.1" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.3" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.22.m16.1.1.1" xref="S3.p3.22.m16.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p3.22.m16.1.1.3" xref="S3.p3.22.m16.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.22.m16.1b"><apply id="S3.p3.22.m16.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1"><eq id="S3.p3.22.m16.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1.1"></eq><apply id="S3.p3.22.m16.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m16.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m16.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.2">𝐼</ci><apply id="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.3"><times id="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m16.1.1.2.3.3">𝐵</ci></apply></apply><cn id="S3.p3.22.m16.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.22.m16.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.22.m16.1c">I_{AB}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.22.m16.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, the evolved state <math alttext="\rho_{AB}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.23.m17.1"><semantics id="S3.p3.23.m17.1a"><mrow id="S3.p3.23.m17.1.2" xref="S3.p3.23.m17.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.23.m17.1.2.2" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.23.m17.1.2.2.2" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S3.p3.23.m17.1.2.2.3" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.1" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.3" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.23.m17.1.2.1" xref="S3.p3.23.m17.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.23.m17.1.2.3.2" xref="S3.p3.23.m17.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.23.m17.1.2.3.2.1" xref="S3.p3.23.m17.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.23.m17.1.1" xref="S3.p3.23.m17.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.23.m17.1.2.3.2.2" xref="S3.p3.23.m17.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.23.m17.1b"><apply id="S3.p3.23.m17.1.2.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2"><times id="S3.p3.23.m17.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.23.m17.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m17.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m17.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.2">𝜌</ci><apply id="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.3"><times id="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.2.2.3.3">𝐵</ci></apply></apply><ci id="S3.p3.23.m17.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m17.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.23.m17.1c">\rho_{AB}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.23.m17.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> is considered simply separable or a product state. In our system, we divide it into two parts: part <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.24.m18.1"><semantics id="S3.p3.24.m18.1a"><mi id="S3.p3.24.m18.1.1" xref="S3.p3.24.m18.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.24.m18.1b"><ci id="S3.p3.24.m18.1.1.cmml" xref="S3.p3.24.m18.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.24.m18.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.24.m18.1d">italic_A</annotation></semantics></math> consists of a single local spin, while part <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.25.m19.1"><semantics id="S3.p3.25.m19.1a"><mi id="S3.p3.25.m19.1.1" xref="S3.p3.25.m19.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.25.m19.1b"><ci id="S3.p3.25.m19.1.1.cmml" xref="S3.p3.25.m19.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.25.m19.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.25.m19.1d">italic_B</annotation></semantics></math> represents its complement. When the NESS assumes a product form, <math alttext="I_{AB}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.26.m20.1"><semantics id="S3.p3.26.m20.1a"><msub id="S3.p3.26.m20.1.1" xref="S3.p3.26.m20.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.26.m20.1.1.2" xref="S3.p3.26.m20.1.1.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.p3.26.m20.1.1.3" xref="S3.p3.26.m20.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.26.m20.1.1.3.2" xref="S3.p3.26.m20.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.26.m20.1.1.3.1" xref="S3.p3.26.m20.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.26.m20.1.1.3.3" xref="S3.p3.26.m20.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.26.m20.1b"><apply id="S3.p3.26.m20.1.1.cmml" xref="S3.p3.26.m20.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.26.m20.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.26.m20.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.26.m20.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.26.m20.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.p3.26.m20.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.26.m20.1.1.3"><times id="S3.p3.26.m20.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.26.m20.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.26.m20.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.26.m20.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.26.m20.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.26.m20.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.26.m20.1c">I_{AB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.26.m20.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> will be <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.27.m21.1"><semantics id="S3.p3.27.m21.1a"><mn id="S3.p3.27.m21.1.1" xref="S3.p3.27.m21.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.27.m21.1b"><cn id="S3.p3.27.m21.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p3.27.m21.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math>. In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.F3" title="Figure 3 ‣ III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, we conduct a numerical simulation on these two quantities. The results indicate that <math alttext="F\left(\rho\left(t\right),\rho_{\mathrm{c}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.28.m22.3"><semantics id="S3.p3.28.m22.3a"><mrow id="S3.p3.28.m22.3.3" xref="S3.p3.28.m22.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.28.m22.3.3.4" xref="S3.p3.28.m22.3.3.4.cmml">F</mi><mo id="S3.p3.28.m22.3.3.3" xref="S3.p3.28.m22.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.3" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.28.m22.1.1" xref="S3.p3.28.m22.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.4" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.2" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.5" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.28.m22.3b"><apply id="S3.p3.28.m22.3.3.cmml" xref="S3.p3.28.m22.3.3"><times id="S3.p3.28.m22.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.28.m22.3.3.3"></times><ci id="S3.p3.28.m22.3.3.4.cmml" xref="S3.p3.28.m22.3.3.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.p3.28.m22.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.2"><apply id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1"><times id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.28.m22.2.2.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.28.m22.1.1.cmml" xref="S3.p3.28.m22.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.28.m22.3.3.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.28.m22.3c">F\left(\rho\left(t\right),\rho_{\mathrm{c}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.28.m22.3d">italic_F ( italic_ρ ( italic_t ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> initially increases during the short-time evolution, as it is determined by the non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.29.m23.1"><semantics id="S3.p3.29.m23.1a"><msub id="S3.p3.29.m23.1.1" xref="S3.p3.29.m23.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p3.29.m23.1.1.2" xref="S3.p3.29.m23.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p3.29.m23.1.1.3" xref="S3.p3.29.m23.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.29.m23.1b"><apply id="S3.p3.29.m23.1.1.cmml" xref="S3.p3.29.m23.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.29.m23.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.29.m23.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.29.m23.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.29.m23.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p3.29.m23.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.29.m23.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.29.m23.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.29.m23.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which drives <math alttext="\rho\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.30.m24.1"><semantics id="S3.p3.30.m24.1a"><mrow id="S3.p3.30.m24.1.2" xref="S3.p3.30.m24.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.30.m24.1.2.2" xref="S3.p3.30.m24.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.p3.30.m24.1.2.1" xref="S3.p3.30.m24.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.30.m24.1.2.3.2" xref="S3.p3.30.m24.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.30.m24.1.2.3.2.1" xref="S3.p3.30.m24.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.30.m24.1.1" xref="S3.p3.30.m24.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.30.m24.1.2.3.2.2" xref="S3.p3.30.m24.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.30.m24.1b"><apply id="S3.p3.30.m24.1.2.cmml" xref="S3.p3.30.m24.1.2"><times id="S3.p3.30.m24.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.30.m24.1.2.1"></times><ci id="S3.p3.30.m24.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.30.m24.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.30.m24.1.1.cmml" xref="S3.p3.30.m24.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.30.m24.1c">\rho\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.30.m24.1d">italic_ρ ( italic_t )</annotation></semantics></math> towards <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.31.m25.1"><semantics id="S3.p3.31.m25.1a"><msub id="S3.p3.31.m25.1.1" xref="S3.p3.31.m25.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.31.m25.1.1.2" xref="S3.p3.31.m25.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.31.m25.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.31.m25.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.31.m25.1b"><apply id="S3.p3.31.m25.1.1.cmml" xref="S3.p3.31.m25.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.31.m25.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.31.m25.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.31.m25.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.31.m25.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.31.m25.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.31.m25.1.1.3">c</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.31.m25.1c">\rho_{\mathrm{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.31.m25.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. However, as the long-time evolution progresses, a compromise between two distinct types of probabilistic evolution emerges, leading to a deviation of the NESS from <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.32.m26.1"><semantics id="S3.p3.32.m26.1a"><msub id="S3.p3.32.m26.1.1" xref="S3.p3.32.m26.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.32.m26.1.1.2" xref="S3.p3.32.m26.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p3.32.m26.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.32.m26.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.32.m26.1b"><apply id="S3.p3.32.m26.1.1.cmml" xref="S3.p3.32.m26.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.32.m26.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.32.m26.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.32.m26.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.32.m26.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.32.m26.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.32.m26.1.1.3">c</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.32.m26.1c">\rho_{\mathrm{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.32.m26.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Additionally, we observe that the minimum value of <math alttext="I_{AB}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.33.m27.1"><semantics id="S3.p3.33.m27.1a"><msub id="S3.p3.33.m27.1.1" xref="S3.p3.33.m27.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.33.m27.1.1.2" xref="S3.p3.33.m27.1.1.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.p3.33.m27.1.1.3" xref="S3.p3.33.m27.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.33.m27.1.1.3.2" xref="S3.p3.33.m27.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p3.33.m27.1.1.3.1" xref="S3.p3.33.m27.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.33.m27.1.1.3.3" xref="S3.p3.33.m27.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.33.m27.1b"><apply id="S3.p3.33.m27.1.1.cmml" xref="S3.p3.33.m27.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.33.m27.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.33.m27.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.33.m27.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.33.m27.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.p3.33.m27.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.33.m27.1.1.3"><times id="S3.p3.33.m27.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.33.m27.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.33.m27.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.33.m27.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p3.33.m27.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.33.m27.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.33.m27.1c">I_{AB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.33.m27.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is approximately <math alttext="0.136" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.34.m28.1"><semantics id="S3.p3.34.m28.1a"><mn id="S3.p3.34.m28.1.1" xref="S3.p3.34.m28.1.1.cmml">0.136</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.34.m28.1b"><cn id="S3.p3.34.m28.1.1.cmml" type="float" xref="S3.p3.34.m28.1.1">0.136</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.34.m28.1c">0.136</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.34.m28.1d">0.136</annotation></semantics></math>, implying that the spin at the first site remains correlated with the other component. Consequently, the evolved state <math alttext="\rho(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.35.m29.1"><semantics id="S3.p3.35.m29.1a"><mrow id="S3.p3.35.m29.1.2" xref="S3.p3.35.m29.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.35.m29.1.2.2" xref="S3.p3.35.m29.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.p3.35.m29.1.2.1" xref="S3.p3.35.m29.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.35.m29.1.2.3.2" xref="S3.p3.35.m29.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.35.m29.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.35.m29.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.35.m29.1.1" xref="S3.p3.35.m29.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.35.m29.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.35.m29.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.35.m29.1b"><apply id="S3.p3.35.m29.1.2.cmml" xref="S3.p3.35.m29.1.2"><times id="S3.p3.35.m29.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.35.m29.1.2.1"></times><ci id="S3.p3.35.m29.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.35.m29.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p3.35.m29.1.1.cmml" xref="S3.p3.35.m29.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.35.m29.1c">\rho(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.35.m29.1d">italic_ρ ( italic_t )</annotation></semantics></math> is not a product state.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.p4.2">To recover the final state <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.1.m1.1c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.1.m1.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, one should introduce a unitary operator <math alttext="U=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.p4.2.m2.1.1.1" xref="S3.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3a" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.1" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.1a" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.3.cmml">x</mi></msup></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1"><eq id="S3.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3"><minus id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3"></minus><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2"><times id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3"><divide id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3"></divide><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.2">𝑠</ci><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.2.m2.1c">U=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.2.m2.1d">italic_U = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to the quantum jump operator</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{L}_{1}=Us_{1}^{-}=\left(s_{1}^{x}-is_{1}^{z}\right)U." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E14.m1.1"><semantics id="S3.E14.m1.1a"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.4" 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xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci></apply><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.1"></times><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2">𝑈</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2.3">1</cn></apply><minus id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.3"></minus></apply></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1"><eq id="S3.E14.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.E14.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="S3.E14.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑧</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.m1.1c">\widetilde{L}_{1}=Us_{1}^{-}=\left(s_{1}^{x}-is_{1}^{z}\right)U.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.m1.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_U italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_U .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.48">The operator <math alttext="\widetilde{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.3.m1.1"><semantics id="S3.p4.3.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.p4.3.m1.1.1" xref="S3.p4.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.3.m1.1.1.2" xref="S3.p4.3.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S3.p4.3.m1.1.1.1" xref="S3.p4.3.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.3.m1.1b"><apply id="S3.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.p4.3.m1.1.1"><ci id="S3.p4.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.3.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.p4.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.3.m1.1.1.2">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.3.m1.1c">\widetilde{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.3.m1.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG</annotation></semantics></math> performs two operations: firstly, it rotates the spin by an angle of <math alttext="\pi/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.4.m2.1"><semantics id="S3.p4.4.m2.1a"><mrow id="S3.p4.4.m2.1.1" xref="S3.p4.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.4.m2.1.1.2" xref="S3.p4.4.m2.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S3.p4.4.m2.1.1.1" xref="S3.p4.4.m2.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p4.4.m2.1.1.3" xref="S3.p4.4.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.4.m2.1b"><apply id="S3.p4.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.p4.4.m2.1.1"><divide id="S3.p4.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.4.m2.1.1.1"></divide><ci id="S3.p4.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.4.m2.1.1.2">𝜋</ci><cn id="S3.p4.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.4.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.4.m2.1c">\pi/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.4.m2.1d">italic_π / 2</annotation></semantics></math> along the <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.5.m3.1"><semantics id="S3.p4.5.m3.1a"><mi id="S3.p4.5.m3.1.1" xref="S3.p4.5.m3.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.5.m3.1b"><ci id="S3.p4.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.p4.5.m3.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.5.m3.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.5.m3.1d">italic_x</annotation></semantics></math>-direction, and secondly, it projects the spin at the first site onto the <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.6.m4.1"><semantics id="S3.p4.6.m4.1a"><mi id="S3.p4.6.m4.1.1" xref="S3.p4.6.m4.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.6.m4.1b"><ci id="S3.p4.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.p4.6.m4.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.6.m4.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.6.m4.1d">italic_y</annotation></semantics></math>-direction, resulting in the state <math alttext="|y_{1},+\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.7.m5.2"><semantics id="S3.p4.7.m5.2a"><mrow id="S3.p4.7.m5.2.2.1" xref="S3.p4.7.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S3.p4.7.m5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.7.m5.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mn id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mo id="S3.p4.7.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.p4.7.m5.1.1.cmml">+</mo></mrow><mo id="S3.p4.7.m5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.p4.7.m5.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.7.m5.2b"><apply id="S3.p4.7.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.7.m5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.2">ket</csymbol><list id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1"><apply id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2">𝑦</ci><cn id="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><plus id="S3.p4.7.m5.1.1.cmml" xref="S3.p4.7.m5.1.1"></plus></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.7.m5.2c">|y_{1},+\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.7.m5.2d">| italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , + ⟩</annotation></semantics></math>. The unitary operation <math alttext="U=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.8.m6.1"><semantics id="S3.p4.8.m6.1a"><mrow id="S3.p4.8.m6.1.1" xref="S3.p4.8.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.8.m6.1.1.2" xref="S3.p4.8.m6.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.p4.8.m6.1.1.1" xref="S3.p4.8.m6.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.p4.8.m6.1.1.3" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.8.m6.1.1.3.2" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3a" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.1" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.1a" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.2" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.3" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.3.cmml">x</mi></msup></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.8.m6.1b"><apply id="S3.p4.8.m6.1.1.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1"><eq id="S3.p4.8.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.1"></eq><ci id="S3.p4.8.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S3.p4.8.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.8.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.8.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3"><minus id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3"></minus><apply id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2"><times id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3"><divide id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3"></divide><ci id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.2">𝑠</ci><ci id="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.p4.8.m6.1.1.3.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.8.m6.1c">U=e^{-i\frac{\pi}{2}s^{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.8.m6.1d">italic_U = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> does not affect non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.9.m7.1"><semantics id="S3.p4.9.m7.1a"><msub id="S3.p4.9.m7.1.1" xref="S3.p4.9.m7.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.9.m7.1.1.2" xref="S3.p4.9.m7.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.9.m7.1.1.3" xref="S3.p4.9.m7.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.9.m7.1b"><apply id="S3.p4.9.m7.1.1.cmml" xref="S3.p4.9.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.9.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.9.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.9.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.9.m7.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p4.9.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.9.m7.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.9.m7.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.9.m7.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> since <math alttext="\widetilde{L}_{1}^{\dagger}\widetilde{L}_{1}=L_{1}^{\dagger}L_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.10.m8.1"><semantics id="S3.p4.10.m8.1a"><mrow id="S3.p4.10.m8.1.1" xref="S3.p4.10.m8.1.1.cmml"><mrow id="S3.p4.10.m8.1.1.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.2.cmml">L</mi><mo id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.p4.10.m8.1.1.2.1" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.1" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.p4.10.m8.1.1.1" xref="S3.p4.10.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.10.m8.1.1.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.p4.10.m8.1.1.3.1" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p4.10.m8.1.1.3.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.2" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.3" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.10.m8.1b"><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1"><eq id="S3.p4.10.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.1"></eq><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2"><times id="S3.p4.10.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.1"></times><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.2.2">𝐿</ci></apply><cn id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2"><ci id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.2.2">𝐿</ci></apply><cn id="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.10.m8.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3"><times id="S3.p4.10.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.1"></times><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.10.m8.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.10.m8.1c">\widetilde{L}_{1}^{\dagger}\widetilde{L}_{1}=L_{1}^{\dagger}L_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.10.m8.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Its effect is limited to the quantum trajectories that deviate from the post-selected no-click trajectory. However, the effect of <math alttext="\widetilde{L}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.11.m9.1"><semantics id="S3.p4.11.m9.1a"><msub id="S3.p4.11.m9.1.1" xref="S3.p4.11.m9.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p4.11.m9.1.1.2" xref="S3.p4.11.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p4.11.m9.1.1.2.2" xref="S3.p4.11.m9.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S3.p4.11.m9.1.1.2.1" xref="S3.p4.11.m9.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.p4.11.m9.1.1.3" xref="S3.p4.11.m9.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.11.m9.1b"><apply id="S3.p4.11.m9.1.1.cmml" xref="S3.p4.11.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.11.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.11.m9.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p4.11.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.11.m9.1.1.2"><ci id="S3.p4.11.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.11.m9.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.p4.11.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.11.m9.1.1.2.2">𝐿</ci></apply><cn id="S3.p4.11.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.11.m9.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.11.m9.1c">\widetilde{L}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.11.m9.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on the first spin is equivalent to that of <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.12.m10.1"><semantics id="S3.p4.12.m10.1a"><msub id="S3.p4.12.m10.1.1" xref="S3.p4.12.m10.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.12.m10.1.1.2" xref="S3.p4.12.m10.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.12.m10.1.1.3" xref="S3.p4.12.m10.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.12.m10.1b"><apply id="S3.p4.12.m10.1.1.cmml" xref="S3.p4.12.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.12.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.12.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.12.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.12.m10.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p4.12.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.12.m10.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.12.m10.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.12.m10.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> which tends to freeze each spin along <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.13.m11.1"><semantics id="S3.p4.13.m11.1a"><mi id="S3.p4.13.m11.1.1" xref="S3.p4.13.m11.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.13.m11.1b"><ci id="S3.p4.13.m11.1.1.cmml" xref="S3.p4.13.m11.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.13.m11.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.13.m11.1d">italic_y</annotation></semantics></math>-direction. As a result, regardless of the type of probabilistic evolution in each quantum trajectory, the long-term tendency leads to the same consequence, suggesting that <math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle\langle\psi_{\mathrm{c}}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.14.m12.2"><semantics id="S3.p4.14.m12.2a"><mrow id="S3.p4.14.m12.2.2" xref="S3.p4.14.m12.2.2.cmml"><msub id="S3.p4.14.m12.2.2.4" xref="S3.p4.14.m12.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p4.14.m12.2.2.4.2" xref="S3.p4.14.m12.2.2.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p4.14.m12.2.2.4.3" xref="S3.p4.14.m12.2.2.4.3.cmml">NESS</mi></msub><mo id="S3.p4.14.m12.2.2.3" xref="S3.p4.14.m12.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.14.m12.2.2.2" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p4.14.m12.2.2.2.3" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.14.m12.2b"><apply id="S3.p4.14.m12.2.2.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2"><eq id="S3.p4.14.m12.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.3"></eq><apply id="S3.p4.14.m12.2.2.4.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.14.m12.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.14.m12.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.4.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.14.m12.2.2.4.3.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.4.3">NESS</ci></apply><apply id="S3.p4.14.m12.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2"><times id="S3.p4.14.m12.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.3"></times><apply id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.14.m12.1.1.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.14.m12.2.2.2.2.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.14.m12.2c">\rho_{\mathrm{NESS}}=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle\langle\psi_{\mathrm{c}}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.14.m12.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT = | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> represents the NESS of the open quantum spin system. In the Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS4" title="V.4 NESS of the open quantum spin system subjected to a local magnetic field ‣ V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">V.4</span></a>, we verify that <math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.15.m13.1"><semantics id="S3.p4.15.m13.1a"><msub id="S3.p4.15.m13.1.1" xref="S3.p4.15.m13.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.15.m13.1.1.2" xref="S3.p4.15.m13.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p4.15.m13.1.1.3" xref="S3.p4.15.m13.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.15.m13.1b"><apply id="S3.p4.15.m13.1.1.cmml" xref="S3.p4.15.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.15.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.15.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.15.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.15.m13.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.15.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.15.m13.1.1.3">NESS</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.15.m13.1c">\rho_{\mathrm{NESS}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.15.m13.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is indeed the eigenfunction of the Liouvillian superoperator <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.16.m14.1"><semantics id="S3.p4.16.m14.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.16.m14.1.1" xref="S3.p4.16.m14.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.16.m14.1b"><ci id="S3.p4.16.m14.1.1.cmml" xref="S3.p4.16.m14.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.16.m14.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.16.m14.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> with zero energy. Consequently, <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.17.m15.1"><semantics id="S3.p4.17.m15.1a"><msub id="S3.p4.17.m15.1.1" xref="S3.p4.17.m15.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.17.m15.1.1.2" xref="S3.p4.17.m15.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.17.m15.1.1.3" xref="S3.p4.17.m15.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.17.m15.1b"><apply id="S3.p4.17.m15.1.1.cmml" xref="S3.p4.17.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.17.m15.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.17.m15.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.17.m15.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.17.m15.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p4.17.m15.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.17.m15.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.17.m15.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.17.m15.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.18.m16.1"><semantics id="S3.p4.18.m16.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.18.m16.1.1" xref="S3.p4.18.m16.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.18.m16.1b"><ci id="S3.p4.18.m16.1.1.cmml" xref="S3.p4.18.m16.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.18.m16.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.18.m16.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> share the same steady state within the subspace <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.19.m17.1"><semantics id="S3.p4.19.m17.1a"><mrow id="S3.p4.19.m17.1.1.1" xref="S3.p4.19.m17.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.19.m17.1.1.1.2" xref="S3.p4.19.m17.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p4.19.m17.1.1.1.3" xref="S3.p4.19.m17.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.19.m17.1b"><set id="S3.p4.19.m17.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1"><apply id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.19.m17.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.19.m17.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.19.m17.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math>. This is further confirmed in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.F3" title="Figure 3 ‣ III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, where the Uhlmann fidelity <math alttext="F\left(\rho\left(t\right),\rho_{\mathrm{c}}\right)\rightarrow 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.20.m18.3"><semantics id="S3.p4.20.m18.3a"><mrow id="S3.p4.20.m18.3.3" xref="S3.p4.20.m18.3.3.cmml"><mrow id="S3.p4.20.m18.3.3.2" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.20.m18.3.3.2.4" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.4.cmml">F</mi><mo id="S3.p4.20.m18.3.3.2.3" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.3" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.20.m18.1.1" xref="S3.p4.20.m18.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.4" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.5" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.20.m18.3.3.3" stretchy="false" xref="S3.p4.20.m18.3.3.3.cmml">→</mo><mn id="S3.p4.20.m18.3.3.4" xref="S3.p4.20.m18.3.3.4.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.20.m18.3b"><apply id="S3.p4.20.m18.3.3.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3"><ci id="S3.p4.20.m18.3.3.3.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.3">→</ci><apply id="S3.p4.20.m18.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2"><times id="S3.p4.20.m18.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.3"></times><ci id="S3.p4.20.m18.3.3.2.4.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2"><apply id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.20.m18.2.2.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.20.m18.1.1.cmml" xref="S3.p4.20.m18.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.20.m18.3.3.2.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply><cn id="S3.p4.20.m18.3.3.4.cmml" type="integer" xref="S3.p4.20.m18.3.3.4">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.20.m18.3c">F\left(\rho\left(t\right),\rho_{\mathrm{c}}\right)\rightarrow 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.20.m18.3d">italic_F ( italic_ρ ( italic_t ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ) → 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="I_{AB}\left(t\right)\rightarrow 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.21.m19.1"><semantics id="S3.p4.21.m19.1a"><mrow id="S3.p4.21.m19.1.2" xref="S3.p4.21.m19.1.2.cmml"><mrow id="S3.p4.21.m19.1.2.2" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.cmml"><msub id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.2" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.2" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.1" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.3" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.p4.21.m19.1.2.2.1" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.21.m19.1.2.2.3.2" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.cmml"><mo id="S3.p4.21.m19.1.2.2.3.2.1" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.21.m19.1.1" xref="S3.p4.21.m19.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.21.m19.1.2.2.3.2.2" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.21.m19.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.21.m19.1.2.1.cmml">→</mo><mn id="S3.p4.21.m19.1.2.3" xref="S3.p4.21.m19.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.21.m19.1b"><apply id="S3.p4.21.m19.1.2.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2"><ci id="S3.p4.21.m19.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.1">→</ci><apply id="S3.p4.21.m19.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2"><times id="S3.p4.21.m19.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.1"></times><apply id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.2">𝐼</ci><apply id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3"><times id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.2.2.2.3.3">𝐵</ci></apply></apply><ci id="S3.p4.21.m19.1.1.cmml" xref="S3.p4.21.m19.1.1">𝑡</ci></apply><cn id="S3.p4.21.m19.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.21.m19.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.21.m19.1c">I_{AB}\left(t\right)\rightarrow 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.21.m19.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) → 0</annotation></semantics></math> correspond to the final product state of <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.22.m20.1"><semantics id="S3.p4.22.m20.1a"><mrow id="S3.p4.22.m20.1.1.1" xref="S3.p4.22.m20.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.22.m20.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.22.m20.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p4.22.m20.1.1.1.1" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.22.m20.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p4.22.m20.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.22.m20.1b"><apply id="S3.p4.22.m20.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.22.m20.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.22.m20.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.22.m20.1c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.22.m20.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. Furthermore, we compare the evolution of two density matrices driven by <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.23.m21.1"><semantics id="S3.p4.23.m21.1a"><msub id="S3.p4.23.m21.1.1" xref="S3.p4.23.m21.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.23.m21.1.1.2" xref="S3.p4.23.m21.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.23.m21.1.1.3" xref="S3.p4.23.m21.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.23.m21.1b"><apply id="S3.p4.23.m21.1.1.cmml" xref="S3.p4.23.m21.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.23.m21.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.23.m21.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.23.m21.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.23.m21.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p4.23.m21.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.23.m21.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.23.m21.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.23.m21.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.24.m22.1"><semantics id="S3.p4.24.m22.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.24.m22.1.1" xref="S3.p4.24.m22.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.24.m22.1b"><ci id="S3.p4.24.m22.1.1.cmml" xref="S3.p4.24.m22.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.24.m22.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.24.m22.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math>, at <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.25.m23.1"><semantics id="S3.p4.25.m23.1a"><mrow id="S3.p4.25.m23.1.1" xref="S3.p4.25.m23.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.25.m23.1.1.2" xref="S3.p4.25.m23.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p4.25.m23.1.1.1" xref="S3.p4.25.m23.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.25.m23.1.1.3" xref="S3.p4.25.m23.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.25.m23.1.1.3.2" xref="S3.p4.25.m23.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.p4.25.m23.1.1.3.1" xref="S3.p4.25.m23.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p4.25.m23.1.1.3.3" xref="S3.p4.25.m23.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.25.m23.1b"><apply id="S3.p4.25.m23.1.1.cmml" xref="S3.p4.25.m23.1.1"><eq id="S3.p4.25.m23.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.25.m23.1.1.1"></eq><ci id="S3.p4.25.m23.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.25.m23.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.p4.25.m23.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.25.m23.1.1.3"><divide id="S3.p4.25.m23.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.25.m23.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p4.25.m23.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.25.m23.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.p4.25.m23.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.25.m23.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.25.m23.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.25.m23.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, respectively. The initial state is <math alttext="\left|\Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.26.m24.1"><semantics id="S3.p4.26.m24.1a"><mrow id="S3.p4.26.m24.1.2.2" xref="S3.p4.26.m24.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p4.26.m24.1.2.2.1" xref="S3.p4.26.m24.1.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p4.26.m24.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p4.26.m24.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S3.p4.26.m24.1.2.2.2" xref="S3.p4.26.m24.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.26.m24.1b"><apply id="S3.p4.26.m24.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.26.m24.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.26.m24.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p4.26.m24.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p4.26.m24.1.1.cmml" xref="S3.p4.26.m24.1.1">⇓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.26.m24.1c">\left|\Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.26.m24.1d">| ⇓ ⟩</annotation></semantics></math>, prepared within the subspace <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.27.m25.1"><semantics id="S3.p4.27.m25.1a"><mrow id="S3.p4.27.m25.1.1.1" xref="S3.p4.27.m25.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.27.m25.1.1.1.2" xref="S3.p4.27.m25.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p4.27.m25.1.1.1.3" xref="S3.p4.27.m25.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.27.m25.1b"><set id="S3.p4.27.m25.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1"><apply id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.27.m25.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.27.m25.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.27.m25.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math>. We examine the Uhlmann fidelity between the two evolved states <math alttext="\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.28.m26.1"><semantics id="S3.p4.28.m26.1a"><mrow id="S3.p4.28.m26.1.2" xref="S3.p4.28.m26.1.2.cmml"><msub id="S3.p4.28.m26.1.2.2" xref="S3.p4.28.m26.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.28.m26.1.2.2.2" xref="S3.p4.28.m26.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.p4.28.m26.1.2.2.3" xref="S3.p4.28.m26.1.2.2.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.p4.28.m26.1.2.1" xref="S3.p4.28.m26.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.28.m26.1.2.3.2" xref="S3.p4.28.m26.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.28.m26.1.2.3.2.1" xref="S3.p4.28.m26.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.28.m26.1.1" xref="S3.p4.28.m26.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.28.m26.1.2.3.2.2" xref="S3.p4.28.m26.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.28.m26.1b"><apply id="S3.p4.28.m26.1.2.cmml" xref="S3.p4.28.m26.1.2"><times id="S3.p4.28.m26.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.28.m26.1.2.1"></times><apply id="S3.p4.28.m26.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.28.m26.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.28.m26.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.28.m26.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.28.m26.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.28.m26.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.28.m26.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.p4.28.m26.1.2.2.3"><mtext id="S3.p4.28.m26.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p4.28.m26.1.2.2.3">nh</mtext></ci></apply><ci id="S3.p4.28.m26.1.1.cmml" xref="S3.p4.28.m26.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.28.m26.1c">\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.28.m26.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT nh end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\rho_{\text{{l}}}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.29.m27.1"><semantics id="S3.p4.29.m27.1a"><mrow id="S3.p4.29.m27.1.2" xref="S3.p4.29.m27.1.2.cmml"><msub id="S3.p4.29.m27.1.2.2" xref="S3.p4.29.m27.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.29.m27.1.2.2.2" xref="S3.p4.29.m27.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.p4.29.m27.1.2.2.3" xref="S3.p4.29.m27.1.2.2.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.p4.29.m27.1.2.1" xref="S3.p4.29.m27.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.29.m27.1.2.3.2" xref="S3.p4.29.m27.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.29.m27.1.2.3.2.1" xref="S3.p4.29.m27.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.29.m27.1.1" xref="S3.p4.29.m27.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.29.m27.1.2.3.2.2" xref="S3.p4.29.m27.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.29.m27.1b"><apply id="S3.p4.29.m27.1.2.cmml" xref="S3.p4.29.m27.1.2"><times id="S3.p4.29.m27.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.29.m27.1.2.1"></times><apply id="S3.p4.29.m27.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.29.m27.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.29.m27.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.29.m27.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.29.m27.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.29.m27.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.29.m27.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.p4.29.m27.1.2.2.3"><mtext id="S3.p4.29.m27.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p4.29.m27.1.2.2.3">l</mtext></ci></apply><ci id="S3.p4.29.m27.1.1.cmml" xref="S3.p4.29.m27.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.29.m27.1c">\rho_{\text{{l}}}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.29.m27.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> as depicted in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.F4" title="Figure 4 ‣ III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, where <math alttext="\rho_{\text{{nh}}}\left(t\right)=e^{-i\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}t}\rho_{\text% {{nh}}}\left(0\right)e^{i\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}^{\dagger}t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.30.m28.2"><semantics id="S3.p4.30.m28.2a"><mrow id="S3.p4.30.m28.2.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.cmml"><mrow id="S3.p4.30.m28.2.3.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.cmml"><msub id="S3.p4.30.m28.2.3.2.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.2.2.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.p4.30.m28.2.3.2.2.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.2.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.2.1" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.30.m28.2.3.2.3.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.cmml"><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.2.3.2.1" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.30.m28.1.1" xref="S3.p4.30.m28.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.2.3.2.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.1" xref="S3.p4.30.m28.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.30.m28.2.3.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.cmml"><msup id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3a" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.1" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.3.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.3.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.3.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.3.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.1a" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.4" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.2.3.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.1" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p4.30.m28.2.3.3.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.3.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.3.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.p4.30.m28.2.3.3.3.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.3.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.1a" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.30.m28.2.3.3.4.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.cmml"><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.4.2.1" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.cmml">(</mo><mn id="S3.p4.30.m28.2.2" xref="S3.p4.30.m28.2.2.cmml">0</mn><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.4.2.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.1b" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.cmml"><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.cmml"><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.1" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.3.2.2" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.3.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.3.2.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.3.2.3.cmml">spin</mi><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.3.3" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.3.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.1a" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.4" xref="S3.p4.30.m28.2.3.3.5.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.30.m28.2b"><apply id="S3.p4.30.m28.2.3.cmml" xref="S3.p4.30.m28.2.3"><eq id="S3.p4.30.m28.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.30.m28.2.3.1"></eq><apply id="S3.p4.30.m28.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2"><times id="S3.p4.30.m28.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.1"></times><apply id="S3.p4.30.m28.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.30.m28.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.30.m28.2.3.2.2.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\rho_{\text{{l}}}\left(t\right)=e^{\mathcal{L}t}\rho_{\text{{l}}}\left(0\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.31.m29.2"><semantics id="S3.p4.31.m29.2a"><mrow id="S3.p4.31.m29.2.3" xref="S3.p4.31.m29.2.3.cmml"><mrow id="S3.p4.31.m29.2.3.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.cmml"><msub id="S3.p4.31.m29.2.3.2.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.3" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.2.1" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.31.m29.2.3.2.3.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.cmml"><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.2.3.2.1" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.31.m29.1.1" xref="S3.p4.31.m29.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.2.3.2.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.1" xref="S3.p4.31.m29.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.31.m29.2.3.3" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.cmml"><msup id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.1" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.3" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.3.1" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p4.31.m29.2.3.3.3" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.3" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.3.1a" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.31.m29.2.3.3.4.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.cmml"><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.3.4.2.1" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.cmml">(</mo><mn id="S3.p4.31.m29.2.2" xref="S3.p4.31.m29.2.2.cmml">0</mn><mo id="S3.p4.31.m29.2.3.3.4.2.2" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.31.m29.2b"><apply id="S3.p4.31.m29.2.3.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3"><eq id="S3.p4.31.m29.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.1"></eq><apply id="S3.p4.31.m29.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2"><times id="S3.p4.31.m29.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.1"></times><apply id="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.3a.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.3"><mtext id="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p4.31.m29.2.3.2.2.3">l</mtext></ci></apply><ci id="S3.p4.31.m29.1.1.cmml" xref="S3.p4.31.m29.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.p4.31.m29.2.3.3.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3"><times id="S3.p4.31.m29.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.1"></times><apply id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3"><times id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.3a.cmml" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.3"><mtext id="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p4.31.m29.2.3.3.3.3">l</mtext></ci></apply><cn id="S3.p4.31.m29.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.p4.31.m29.2.2">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.31.m29.2c">\rho_{\text{{l}}}\left(t\right)=e^{\mathcal{L}t}\rho_{\text{{l}}}\left(0\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.31.m29.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_L italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math>. The two states <math alttext="\rho_{\text{{nh}}}\left(0\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.32.m30.1"><semantics id="S3.p4.32.m30.1a"><mrow id="S3.p4.32.m30.1.2" xref="S3.p4.32.m30.1.2.cmml"><msub id="S3.p4.32.m30.1.2.2" xref="S3.p4.32.m30.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.32.m30.1.2.2.2" xref="S3.p4.32.m30.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.p4.32.m30.1.2.2.3" xref="S3.p4.32.m30.1.2.2.3a.cmml">nh</mtext></msub><mo id="S3.p4.32.m30.1.2.1" xref="S3.p4.32.m30.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.32.m30.1.2.3.2" xref="S3.p4.32.m30.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.32.m30.1.2.3.2.1" xref="S3.p4.32.m30.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.p4.32.m30.1.1" xref="S3.p4.32.m30.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.p4.32.m30.1.2.3.2.2" xref="S3.p4.32.m30.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.32.m30.1b"><apply id="S3.p4.32.m30.1.2.cmml" xref="S3.p4.32.m30.1.2"><times id="S3.p4.32.m30.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.32.m30.1.2.1"></times><apply id="S3.p4.32.m30.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.32.m30.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.32.m30.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.32.m30.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.32.m30.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.32.m30.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.32.m30.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.p4.32.m30.1.2.2.3"><mtext id="S3.p4.32.m30.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p4.32.m30.1.2.2.3">nh</mtext></ci></apply><cn id="S3.p4.32.m30.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p4.32.m30.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.32.m30.1c">\rho_{\text{{nh}}}\left(0\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.32.m30.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT nh end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\rho_{\text{{l}}}\left(0\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.33.m31.1"><semantics id="S3.p4.33.m31.1a"><mrow id="S3.p4.33.m31.1.2" xref="S3.p4.33.m31.1.2.cmml"><msub id="S3.p4.33.m31.1.2.2" xref="S3.p4.33.m31.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.33.m31.1.2.2.2" xref="S3.p4.33.m31.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mtext id="S3.p4.33.m31.1.2.2.3" xref="S3.p4.33.m31.1.2.2.3a.cmml">l</mtext></msub><mo id="S3.p4.33.m31.1.2.1" xref="S3.p4.33.m31.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.33.m31.1.2.3.2" xref="S3.p4.33.m31.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.33.m31.1.2.3.2.1" xref="S3.p4.33.m31.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.p4.33.m31.1.1" xref="S3.p4.33.m31.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.p4.33.m31.1.2.3.2.2" xref="S3.p4.33.m31.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.33.m31.1b"><apply id="S3.p4.33.m31.1.2.cmml" xref="S3.p4.33.m31.1.2"><times id="S3.p4.33.m31.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.33.m31.1.2.1"></times><apply id="S3.p4.33.m31.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.33.m31.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.33.m31.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.33.m31.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.33.m31.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.33.m31.1.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.33.m31.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.p4.33.m31.1.2.2.3"><mtext id="S3.p4.33.m31.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p4.33.m31.1.2.2.3">l</mtext></ci></apply><cn id="S3.p4.33.m31.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p4.33.m31.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.33.m31.1c">\rho_{\text{{l}}}\left(0\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.33.m31.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT l end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math> are initialized in the state <math alttext="\left|\Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.34.m32.1"><semantics id="S3.p4.34.m32.1a"><mrow id="S3.p4.34.m32.1.2.2" xref="S3.p4.34.m32.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p4.34.m32.1.2.2.1" xref="S3.p4.34.m32.1.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p4.34.m32.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p4.34.m32.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S3.p4.34.m32.1.2.2.2" xref="S3.p4.34.m32.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.34.m32.1b"><apply id="S3.p4.34.m32.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.34.m32.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.34.m32.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p4.34.m32.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p4.34.m32.1.1.cmml" xref="S3.p4.34.m32.1.1">⇓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.34.m32.1c">\left|\Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.34.m32.1d">| ⇓ ⟩</annotation></semantics></math>. The fidelity initially decreases and then rapidly increases to <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.35.m33.1"><semantics id="S3.p4.35.m33.1a"><mn id="S3.p4.35.m33.1.1" xref="S3.p4.35.m33.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.35.m33.1b"><cn id="S3.p4.35.m33.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p4.35.m33.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.35.m33.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.35.m33.1d">1</annotation></semantics></math>, indicating that the long-time dynamics of <math alttext="\rho\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.36.m34.1"><semantics id="S3.p4.36.m34.1a"><mrow id="S3.p4.36.m34.1.2" xref="S3.p4.36.m34.1.2.cmml"><mi id="S3.p4.36.m34.1.2.2" xref="S3.p4.36.m34.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.p4.36.m34.1.2.1" xref="S3.p4.36.m34.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.36.m34.1.2.3.2" xref="S3.p4.36.m34.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.36.m34.1.2.3.2.1" xref="S3.p4.36.m34.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.36.m34.1.1" xref="S3.p4.36.m34.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.36.m34.1.2.3.2.2" xref="S3.p4.36.m34.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.36.m34.1b"><apply id="S3.p4.36.m34.1.2.cmml" xref="S3.p4.36.m34.1.2"><times id="S3.p4.36.m34.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.36.m34.1.2.1"></times><ci id="S3.p4.36.m34.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.36.m34.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.36.m34.1.1.cmml" xref="S3.p4.36.m34.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.36.m34.1c">\rho\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.36.m34.1d">italic_ρ ( italic_t )</annotation></semantics></math> driven by <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.37.m35.1"><semantics id="S3.p4.37.m35.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.37.m35.1.1" xref="S3.p4.37.m35.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.37.m35.1b"><ci id="S3.p4.37.m35.1.1.cmml" xref="S3.p4.37.m35.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.37.m35.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.37.m35.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> can be effectively described by <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.38.m36.1"><semantics id="S3.p4.38.m36.1a"><msub id="S3.p4.38.m36.1.1" xref="S3.p4.38.m36.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.38.m36.1.1.2" xref="S3.p4.38.m36.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.38.m36.1.1.3" xref="S3.p4.38.m36.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.38.m36.1b"><apply id="S3.p4.38.m36.1.1.cmml" xref="S3.p4.38.m36.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.38.m36.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.38.m36.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.38.m36.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.38.m36.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p4.38.m36.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.38.m36.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.38.m36.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.38.m36.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. To gain further insight into the two types of the evolution, we also investigate the time evolution of the correlator <math alttext="\mathcal{C}\left(t\right)=\mathrm{Tr}[\rho\left(t\right)s_{1}^{+}s_{N}^{-}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.39.m37.3"><semantics id="S3.p4.39.m37.3a"><mrow id="S3.p4.39.m37.3.3" xref="S3.p4.39.m37.3.3.cmml"><mrow id="S3.p4.39.m37.3.3.3" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.39.m37.3.3.3.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.3.1" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.39.m37.3.3.3.3.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3.cmml"><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.3.3.2.1" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.39.m37.1.1" xref="S3.p4.39.m37.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.3.3.2.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.39.m37.3.3.1" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.cmml"><mi id="S3.p4.39.m37.3.3.1.3" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.39.m37.2.2" xref="S3.p4.39.m37.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.1b" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.2" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.3" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.3.cmml">N</mi><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.3" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.39.m37.3b"><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3"><eq id="S3.p4.39.m37.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.2"></eq><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.3.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3"><times id="S3.p4.39.m37.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3.1"></times><ci id="S3.p4.39.m37.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.3.2">𝒞</ci><ci id="S3.p4.39.m37.1.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1"><times id="S3.p4.39.m37.3.3.1.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.2"></times><ci id="S3.p4.39.m37.3.3.1.3.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.3">Tr</ci><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p4.39.m37.2.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.2.2">𝑡</ci><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.2.3">1</cn></apply><plus id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.4.3"></plus></apply><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.2.3">𝑁</ci></apply><minus id="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.p4.39.m37.3.3.1.1.1.1.5.3"></minus></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.39.m37.3c">\mathcal{C}\left(t\right)=\mathrm{Tr}[\rho\left(t\right)s_{1}^{+}s_{N}^{-}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.39.m37.3d">caligraphic_C ( italic_t ) = roman_Tr [ italic_ρ ( italic_t ) italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> for two such evolved states. In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.F5" title="Figure 5 ‣ III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>(b), the two curves exhibit the same long-time tendency and finally approaches <math alttext="\mathcal{C}\left(t\right)=0.25" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.40.m38.1"><semantics id="S3.p4.40.m38.1a"><mrow id="S3.p4.40.m38.1.2" xref="S3.p4.40.m38.1.2.cmml"><mrow id="S3.p4.40.m38.1.2.2" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.40.m38.1.2.2.2" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.p4.40.m38.1.2.2.1" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.40.m38.1.2.2.3.2" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2.cmml"><mo id="S3.p4.40.m38.1.2.2.3.2.1" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.40.m38.1.1" xref="S3.p4.40.m38.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.40.m38.1.2.2.3.2.2" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.40.m38.1.2.1" xref="S3.p4.40.m38.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p4.40.m38.1.2.3" xref="S3.p4.40.m38.1.2.3.cmml">0.25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.40.m38.1b"><apply id="S3.p4.40.m38.1.2.cmml" xref="S3.p4.40.m38.1.2"><eq id="S3.p4.40.m38.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.40.m38.1.2.1"></eq><apply id="S3.p4.40.m38.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2"><times id="S3.p4.40.m38.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2.1"></times><ci id="S3.p4.40.m38.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.40.m38.1.2.2.2">𝒞</ci><ci id="S3.p4.40.m38.1.1.cmml" xref="S3.p4.40.m38.1.1">𝑡</ci></apply><cn id="S3.p4.40.m38.1.2.3.cmml" type="float" xref="S3.p4.40.m38.1.2.3">0.25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.40.m38.1c">\mathcal{C}\left(t\right)=0.25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.40.m38.1d">caligraphic_C ( italic_t ) = 0.25</annotation></semantics></math> when <math alttext="\lambda/\gamma=1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.41.m39.1"><semantics id="S3.p4.41.m39.1a"><mrow id="S3.p4.41.m39.1.1" xref="S3.p4.41.m39.1.1.cmml"><mrow id="S3.p4.41.m39.1.1.2" xref="S3.p4.41.m39.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p4.41.m39.1.1.2.2" xref="S3.p4.41.m39.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p4.41.m39.1.1.2.1" xref="S3.p4.41.m39.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.p4.41.m39.1.1.2.3" xref="S3.p4.41.m39.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.p4.41.m39.1.1.1" xref="S3.p4.41.m39.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.41.m39.1.1.3" xref="S3.p4.41.m39.1.1.3.cmml"><mn id="S3.p4.41.m39.1.1.3.2" xref="S3.p4.41.m39.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p4.41.m39.1.1.3.1" xref="S3.p4.41.m39.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p4.41.m39.1.1.3.3" xref="S3.p4.41.m39.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.41.m39.1b"><apply id="S3.p4.41.m39.1.1.cmml" xref="S3.p4.41.m39.1.1"><eq id="S3.p4.41.m39.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.41.m39.1.1.1"></eq><apply id="S3.p4.41.m39.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.41.m39.1.1.2"><divide id="S3.p4.41.m39.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.41.m39.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.p4.41.m39.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.41.m39.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.p4.41.m39.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p4.41.m39.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S3.p4.41.m39.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.41.m39.1.1.3"><divide id="S3.p4.41.m39.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.41.m39.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.p4.41.m39.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p4.41.m39.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.p4.41.m39.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.41.m39.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.41.m39.1c">\lambda/\gamma=1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.41.m39.1d">italic_λ / italic_γ = 1 / 2</annotation></semantics></math>, which can be also captured by the Uhlmann fidelity. This result is quite astonishing as it challenges the common belief that <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.42.m40.1"><semantics id="S3.p4.42.m40.1a"><msub id="S3.p4.42.m40.1.1" xref="S3.p4.42.m40.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.42.m40.1.1.2" xref="S3.p4.42.m40.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.42.m40.1.1.3" xref="S3.p4.42.m40.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.42.m40.1b"><apply id="S3.p4.42.m40.1.1.cmml" xref="S3.p4.42.m40.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.42.m40.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.42.m40.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.42.m40.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.42.m40.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p4.42.m40.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.42.m40.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.42.m40.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.42.m40.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> captures the short-time dynamics before a quantum jump occurs, while <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.43.m41.1"><semantics id="S3.p4.43.m41.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.43.m41.1.1" xref="S3.p4.43.m41.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.43.m41.1b"><ci id="S3.p4.43.m41.1.1.cmml" xref="S3.p4.43.m41.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.43.m41.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.43.m41.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> characterizes the long-time dynamics. Before ending this discussion, it is worth noting that when the initial state is prepared in a different degenerate subspace (<math alttext="s\neq N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.44.m42.1"><semantics id="S3.p4.44.m42.1a"><mrow id="S3.p4.44.m42.1.1" xref="S3.p4.44.m42.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.44.m42.1.1.2" xref="S3.p4.44.m42.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p4.44.m42.1.1.1" xref="S3.p4.44.m42.1.1.1.cmml">≠</mo><mrow id="S3.p4.44.m42.1.1.3" xref="S3.p4.44.m42.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.44.m42.1.1.3.2" xref="S3.p4.44.m42.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p4.44.m42.1.1.3.1" xref="S3.p4.44.m42.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p4.44.m42.1.1.3.3" xref="S3.p4.44.m42.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.44.m42.1b"><apply id="S3.p4.44.m42.1.1.cmml" xref="S3.p4.44.m42.1.1"><neq id="S3.p4.44.m42.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.44.m42.1.1.1"></neq><ci id="S3.p4.44.m42.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.44.m42.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.p4.44.m42.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.44.m42.1.1.3"><divide id="S3.p4.44.m42.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.44.m42.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p4.44.m42.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.44.m42.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p4.44.m42.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.44.m42.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.44.m42.1c">s\neq N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.44.m42.1d">italic_s ≠ italic_N / 2</annotation></semantics></math>), the final evolved state becomes an entangled state rather than a separable state where all the spins align in the same direction, as observed in the <math alttext="s=N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.45.m43.1"><semantics id="S3.p4.45.m43.1a"><mrow id="S3.p4.45.m43.1.1" xref="S3.p4.45.m43.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.45.m43.1.1.2" xref="S3.p4.45.m43.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p4.45.m43.1.1.1" xref="S3.p4.45.m43.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.45.m43.1.1.3" xref="S3.p4.45.m43.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.45.m43.1.1.3.2" xref="S3.p4.45.m43.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p4.45.m43.1.1.3.1" xref="S3.p4.45.m43.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p4.45.m43.1.1.3.3" xref="S3.p4.45.m43.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.45.m43.1b"><apply id="S3.p4.45.m43.1.1.cmml" xref="S3.p4.45.m43.1.1"><eq id="S3.p4.45.m43.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.45.m43.1.1.1"></eq><ci id="S3.p4.45.m43.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.45.m43.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.p4.45.m43.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.45.m43.1.1.3"><divide id="S3.p4.45.m43.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.45.m43.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p4.45.m43.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.45.m43.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p4.45.m43.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.45.m43.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.45.m43.1c">s=N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.45.m43.1d">italic_s = italic_N / 2</annotation></semantics></math> subspace. Achieving collective magnetization requires careful modulation of the quantum jump operator <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.46.m44.1"><semantics id="S3.p4.46.m44.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.46.m44.1.1" xref="S3.p4.46.m44.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.46.m44.1b"><ci id="S3.p4.46.m44.1.1.cmml" xref="S3.p4.46.m44.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.46.m44.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.46.m44.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> to align its action with the effect of <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.47.m45.1"><semantics id="S3.p4.47.m45.1a"><msub id="S3.p4.47.m45.1.1" xref="S3.p4.47.m45.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p4.47.m45.1.1.2" xref="S3.p4.47.m45.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p4.47.m45.1.1.3" xref="S3.p4.47.m45.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.47.m45.1b"><apply id="S3.p4.47.m45.1.1.cmml" xref="S3.p4.47.m45.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.47.m45.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.47.m45.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.47.m45.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.47.m45.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p4.47.m45.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.47.m45.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.47.m45.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.47.m45.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This process may involve multiple dissipation channels and present significant challenges in both theoretical and experimental aspects. Consequently, our proposal is specifically applicable to the <math alttext="s=N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.48.m46.1"><semantics id="S3.p4.48.m46.1a"><mrow id="S3.p4.48.m46.1.1" xref="S3.p4.48.m46.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.48.m46.1.1.2" xref="S3.p4.48.m46.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p4.48.m46.1.1.1" xref="S3.p4.48.m46.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.48.m46.1.1.3" xref="S3.p4.48.m46.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.48.m46.1.1.3.2" xref="S3.p4.48.m46.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p4.48.m46.1.1.3.1" xref="S3.p4.48.m46.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p4.48.m46.1.1.3.3" xref="S3.p4.48.m46.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.48.m46.1b"><apply id="S3.p4.48.m46.1.1.cmml" xref="S3.p4.48.m46.1.1"><eq id="S3.p4.48.m46.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.48.m46.1.1.1"></eq><ci id="S3.p4.48.m46.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.48.m46.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.p4.48.m46.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.48.m46.1.1.3"><divide id="S3.p4.48.m46.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.48.m46.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p4.48.m46.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.48.m46.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p4.48.m46.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.48.m46.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.48.m46.1c">s=N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.48.m46.1d">italic_s = italic_N / 2</annotation></semantics></math> subspace.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F6"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="S3.F6.g1" src="x6.png" width="373"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 6: </span>Plot of <math alttext="F\left(\rho_{\mathrm{NESS}},\rho_{\mathrm{c}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F6.7.m1.2"><semantics id="S3.F6.7.m1.2b"><mrow id="S3.F6.7.m1.2.2" xref="S3.F6.7.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.F6.7.m1.2.2.4" xref="S3.F6.7.m1.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S3.F6.7.m1.2.2.3" xref="S3.F6.7.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><mo id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.5" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F6.7.m1.2c"><apply id="S3.F6.7.m1.2.2.cmml" xref="S3.F6.7.m1.2.2"><times id="S3.F6.7.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.F6.7.m1.2.2.3"></times><ci id="S3.F6.7.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.F6.7.m1.2.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.F6.7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F6.7.m1.1.1.1.1.1.3">NESS</ci></apply><apply id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F6.7.m1.2.2.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F6.7.m1.2d">F\left(\rho_{\mathrm{NESS}},\rho_{\mathrm{c}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F6.7.m1.2e">italic_F ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> as a function of <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F6.8.m2.1"><semantics id="S3.F6.8.m2.1b"><mi id="S3.F6.8.m2.1.1" xref="S3.F6.8.m2.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F6.8.m2.1c"><ci id="S3.F6.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.F6.8.m2.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F6.8.m2.1d">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F6.8.m2.1e">italic_γ</annotation></semantics></math>. The strength of the external field is fixed at <math alttext="\lambda=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F6.9.m3.1"><semantics id="S3.F6.9.m3.1b"><mrow id="S3.F6.9.m3.1.1" xref="S3.F6.9.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.F6.9.m3.1.1.2" xref="S3.F6.9.m3.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F6.9.m3.1.1.1" xref="S3.F6.9.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F6.9.m3.1.1.3" xref="S3.F6.9.m3.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F6.9.m3.1c"><apply id="S3.F6.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.F6.9.m3.1.1"><eq id="S3.F6.9.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.F6.9.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.F6.9.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.F6.9.m3.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S3.F6.9.m3.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.F6.9.m3.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F6.9.m3.1d">\lambda=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F6.9.m3.1e">italic_λ = 0.5</annotation></semantics></math>. The configuration of the system is shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S1.F1" title="Figure 1 ‣ I Introduction ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Notably, a peak is observed at <math alttext="\gamma=2\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F6.10.m4.1"><semantics id="S3.F6.10.m4.1b"><mrow id="S3.F6.10.m4.1.1" xref="S3.F6.10.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.F6.10.m4.1.1.2" xref="S3.F6.10.m4.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.F6.10.m4.1.1.1" xref="S3.F6.10.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F6.10.m4.1.1.3" xref="S3.F6.10.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F6.10.m4.1.1.3.2" xref="S3.F6.10.m4.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.F6.10.m4.1.1.3.1" xref="S3.F6.10.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F6.10.m4.1.1.3.3" xref="S3.F6.10.m4.1.1.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F6.10.m4.1c"><apply id="S3.F6.10.m4.1.1.cmml" xref="S3.F6.10.m4.1.1"><eq id="S3.F6.10.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.F6.10.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.F6.10.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.F6.10.m4.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S3.F6.10.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.F6.10.m4.1.1.3"><times id="S3.F6.10.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F6.10.m4.1.1.3.1"></times><cn id="S3.F6.10.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F6.10.m4.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.F6.10.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F6.10.m4.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F6.10.m4.1d">\gamma=2\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F6.10.m4.1e">italic_γ = 2 italic_λ</annotation></semantics></math>, which corresponds to the EP of the effective non-Hermitian Hamiltonian <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F6.11.m5.1"><semantics id="S3.F6.11.m5.1b"><msub id="S3.F6.11.m5.1.1" xref="S3.F6.11.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F6.11.m5.1.1.2" xref="S3.F6.11.m5.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.F6.11.m5.1.1.3" xref="S3.F6.11.m5.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F6.11.m5.1c"><apply id="S3.F6.11.m5.1.1.cmml" xref="S3.F6.11.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F6.11.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.F6.11.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F6.11.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.F6.11.m5.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.F6.11.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.F6.11.m5.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F6.11.m5.1d">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F6.11.m5.1e">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. It is worth mentioning that slight deviations from <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F6.12.m6.1"><semantics id="S3.F6.12.m6.1b"><mn id="S3.F6.12.m6.1.1" xref="S3.F6.12.m6.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F6.12.m6.1c"><cn id="S3.F6.12.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F6.12.m6.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F6.12.m6.1d">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F6.12.m6.1e">1</annotation></semantics></math> do not significantly impact the NESS. This observation indicates the existence of a parameter window that allows for magnetization induced by local dissipation.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.p5.15">Now let us further investigate whether this conclusion holds when the system parameters are not finely tuned. First, we consider the case where <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.p5.1.m1.1a"><mi id="S3.p5.1.m1.1.1" xref="S3.p5.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.1.m1.1b"><ci id="S3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> deviates from <math alttext="\gamma_{c}=\lambda/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.p5.2.m2.1a"><mrow id="S3.p5.2.m2.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1"><eq id="S3.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3"><divide id="S3.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.2.m2.1c">\gamma_{c}=\lambda/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.2.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ / 2</annotation></semantics></math>. We plot Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.F6" title="Figure 6 ‣ III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>, which shows <math alttext="F\left(\rho\left(t\rightarrow\infty\right),\rho_{\mathrm{c}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.3.m3.2"><semantics id="S3.p5.3.m3.2a"><mrow id="S3.p5.3.m3.2.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.4" xref="S3.p5.3.m3.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.4" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.5" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.3.m3.2b"><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2"><times id="S3.p5.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3"></times><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1"><times id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝜌</ci><apply id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.3.m3.2c">F\left(\rho\left(t\rightarrow\infty\right),\rho_{\mathrm{c}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.3.m3.2d">italic_F ( italic_ρ ( italic_t → ∞ ) , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> as a function of <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.p5.4.m4.1a"><mi id="S3.p5.4.m4.1.1" xref="S3.p5.4.m4.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.4.m4.1b"><ci id="S3.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p5.4.m4.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.4.m4.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.4.m4.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>. It can be observed that the final steady state is almost unaffected as <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.5.m5.1"><semantics id="S3.p5.5.m5.1a"><mi id="S3.p5.5.m5.1.1" xref="S3.p5.5.m5.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.5.m5.1b"><ci id="S3.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p5.5.m5.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.5.m5.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.5.m5.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> deviates slightly from <math alttext="\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.6.m6.1"><semantics id="S3.p5.6.m6.1a"><msub id="S3.p5.6.m6.1.1" xref="S3.p5.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.6.m6.1.1.2" xref="S3.p5.6.m6.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.p5.6.m6.1.1.3" xref="S3.p5.6.m6.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.6.m6.1b"><apply id="S3.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p5.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.6.m6.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.p5.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.6.m6.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.6.m6.1c">\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.6.m6.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. However, when <math alttext="\gamma\ll\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.7.m7.1"><semantics id="S3.p5.7.m7.1a"><mrow id="S3.p5.7.m7.1.1" xref="S3.p5.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.7.m7.1.1.2" xref="S3.p5.7.m7.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.p5.7.m7.1.1.1" xref="S3.p5.7.m7.1.1.1.cmml">≪</mo><msub id="S3.p5.7.m7.1.1.3" xref="S3.p5.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p5.7.m7.1.1.3.2" xref="S3.p5.7.m7.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.p5.7.m7.1.1.3.3" xref="S3.p5.7.m7.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.7.m7.1b"><apply id="S3.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.p5.7.m7.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.7.m7.1.1.1">much-less-than</csymbol><ci id="S3.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.7.m7.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S3.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p5.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p5.7.m7.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.p5.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p5.7.m7.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.7.m7.1c">\gamma\ll\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.7.m7.1d">italic_γ ≪ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, there are no EP and complex energy in <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.8.m8.1"><semantics id="S3.p5.8.m8.1a"><msub id="S3.p5.8.m8.1.1" xref="S3.p5.8.m8.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p5.8.m8.1.1.2" xref="S3.p5.8.m8.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p5.8.m8.1.1.3" xref="S3.p5.8.m8.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.8.m8.1b"><apply id="S3.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.p5.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.8.m8.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p5.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.8.m8.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.8.m8.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.8.m8.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In this case, the state initialized in the subspace <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.9.m9.1"><semantics id="S3.p5.9.m9.1a"><mrow id="S3.p5.9.m9.1.1.1" xref="S3.p5.9.m9.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p5.9.m9.1.1.1.2" xref="S3.p5.9.m9.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p5.9.m9.1.1.1.3" xref="S3.p5.9.m9.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.9.m9.1b"><set id="S3.p5.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1"><apply id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.9.m9.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.9.m9.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.9.m9.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> will not tend to a definite state but instead oscillates between different eigenenergies, resulting in a periodic oscillation of the physical observables. This can be seen from the Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.F5" title="Figure 5 ‣ III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>(a). Consequently, the density matrix driven by <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.10.m10.1"><semantics id="S3.p5.10.m10.1a"><msub id="S3.p5.10.m10.1.1" xref="S3.p5.10.m10.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p5.10.m10.1.1.2" xref="S3.p5.10.m10.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p5.10.m10.1.1.3" xref="S3.p5.10.m10.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.10.m10.1b"><apply id="S3.p5.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.p5.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.10.m10.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p5.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.10.m10.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.10.m10.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.10.m10.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> will exhibit distinct dynamics from the quantum jump operator which forces the spin along the <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.11.m11.1"><semantics id="S3.p5.11.m11.1a"><mi id="S3.p5.11.m11.1.1" xref="S3.p5.11.m11.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.11.m11.1b"><ci id="S3.p5.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.p5.11.m11.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.11.m11.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.11.m11.1d">italic_y</annotation></semantics></math>-direction. Combining both effects, the NESS deviates from <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.12.m12.1"><semantics id="S3.p5.12.m12.1a"><msub id="S3.p5.12.m12.1.1" xref="S3.p5.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.12.m12.1.1.2" xref="S3.p5.12.m12.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p5.12.m12.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p5.12.m12.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.12.m12.1b"><apply id="S3.p5.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.p5.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.12.m12.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p5.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.12.m12.1.1.3">c</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.12.m12.1c">\rho_{\mathrm{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.12.m12.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. On the other hand, when <math alttext="\gamma\gg\gamma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.13.m13.1"><semantics id="S3.p5.13.m13.1a"><mrow id="S3.p5.13.m13.1.1" xref="S3.p5.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.13.m13.1.1.2" xref="S3.p5.13.m13.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.p5.13.m13.1.1.1" xref="S3.p5.13.m13.1.1.1.cmml">≫</mo><msub id="S3.p5.13.m13.1.1.3" xref="S3.p5.13.m13.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p5.13.m13.1.1.3.2" xref="S3.p5.13.m13.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.p5.13.m13.1.1.3.3" xref="S3.p5.13.m13.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.13.m13.1b"><apply id="S3.p5.13.m13.1.1.cmml" xref="S3.p5.13.m13.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p5.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.13.m13.1.1.1">much-greater-than</csymbol><ci id="S3.p5.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.13.m13.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S3.p5.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.13.m13.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.13.m13.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p5.13.m13.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.13.m13.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p5.13.m13.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.p5.13.m13.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p5.13.m13.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.13.m13.1c">\gamma\gg\gamma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.13.m13.1d">italic_γ ≫ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.14.m14.1"><semantics id="S3.p5.14.m14.1a"><msub id="S3.p5.14.m14.1.1" xref="S3.p5.14.m14.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p5.14.m14.1.1.2" xref="S3.p5.14.m14.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p5.14.m14.1.1.3" xref="S3.p5.14.m14.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.14.m14.1b"><apply id="S3.p5.14.m14.1.1.cmml" xref="S3.p5.14.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.14.m14.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.14.m14.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p5.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.14.m14.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.14.m14.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.14.m14.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> drives all the spins to the down states since the eigenstate <math alttext="\left|\Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.15.m15.1"><semantics id="S3.p5.15.m15.1a"><mrow id="S3.p5.15.m15.1.2.2" xref="S3.p5.15.m15.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p5.15.m15.1.2.2.1" xref="S3.p5.15.m15.1.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.p5.15.m15.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S3.p5.15.m15.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S3.p5.15.m15.1.2.2.2" xref="S3.p5.15.m15.1.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.15.m15.1b"><apply id="S3.p5.15.m15.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.15.m15.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p5.15.m15.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p5.15.m15.1.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S3.p5.15.m15.1.1.cmml" xref="S3.p5.15.m15.1.1">⇓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.15.m15.1c">\left|\Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.15.m15.1d">| ⇓ ⟩</annotation></semantics></math> has the largest imaginary part. However, this contradicts the action of the quantum jump operator. As a consequence of the parameter deviation, the final state is no longer a product state with a definite direction but a mixed state that loses some of its coherence.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F7"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="289" id="S3.F7.g1" src="x7.png" width="373"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 7: </span>Numerical simulations of <math alttext="\overline{F}\left(\rho_{\mathrm{NESS}},\rho_{\mathrm{c}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.11.m1.2"><semantics id="S3.F7.11.m1.2b"><mrow id="S3.F7.11.m1.2.2" xref="S3.F7.11.m1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.F7.11.m1.2.2.4" xref="S3.F7.11.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.F7.11.m1.2.2.4.2" xref="S3.F7.11.m1.2.2.4.2.cmml">F</mi><mo id="S3.F7.11.m1.2.2.4.1" xref="S3.F7.11.m1.2.2.4.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.F7.11.m1.2.2.3" xref="S3.F7.11.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><mo id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.5" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.11.m1.2c"><apply id="S3.F7.11.m1.2.2.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2"><times id="S3.F7.11.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.3"></times><apply id="S3.F7.11.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.4"><ci id="S3.F7.11.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.4.1">¯</ci><ci id="S3.F7.11.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.4.2">𝐹</ci></apply><interval closure="open" id="S3.F7.11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.11.m1.1.1.1.1.1.3">NESS</ci></apply><apply id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F7.11.m1.2.2.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.11.m1.2d">\overline{F}\left(\rho_{\mathrm{NESS}},\rho_{\mathrm{c}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.11.m1.2e">over¯ start_ARG italic_F end_ARG ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\overline{\mathcal{C}}\left(t\rightarrow\infty\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.12.m2.1"><semantics id="S3.F7.12.m2.1b"><mrow id="S3.F7.12.m2.1.1" xref="S3.F7.12.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.F7.12.m2.1.1.3" xref="S3.F7.12.m2.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F7.12.m2.1.1.3.2" xref="S3.F7.12.m2.1.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.F7.12.m2.1.1.3.1" xref="S3.F7.12.m2.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.F7.12.m2.1.1.2" xref="S3.F7.12.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.12.m2.1c"><apply id="S3.F7.12.m2.1.1.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1"><times id="S3.F7.12.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1.2"></times><apply id="S3.F7.12.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1.3"><ci id="S3.F7.12.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.F7.12.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1.3.2">𝒞</ci></apply><apply id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1"><ci id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.12.m2.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.12.m2.1d">\overline{\mathcal{C}}\left(t\rightarrow\infty\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.12.m2.1e">over¯ start_ARG caligraphic_C end_ARG ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\overline{I}_{AB}\left(t\rightarrow\infty\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.13.m3.1"><semantics id="S3.F7.13.m3.1b"><mrow id="S3.F7.13.m3.1.1" xref="S3.F7.13.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.F7.13.m3.1.1.3" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.F7.13.m3.1.1.3.2" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.2" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.1" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.F7.13.m3.1.1.3.3" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.1" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.F7.13.m3.1.1.2" xref="S3.F7.13.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.13.m3.1c"><apply id="S3.F7.13.m3.1.1.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1"><times id="S3.F7.13.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.2"></times><apply id="S3.F7.13.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F7.13.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.2"><ci id="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.2.2">𝐼</ci></apply><apply id="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.3"><times id="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1"><ci id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.13.m3.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.13.m3.1d">\overline{I}_{AB}\left(t\rightarrow\infty\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.13.m3.1e">over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math> as functions of the disorder strength <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.14.m4.1"><semantics id="S3.F7.14.m4.1b"><mi id="S3.F7.14.m4.1.1" xref="S3.F7.14.m4.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.14.m4.1c"><ci id="S3.F7.14.m4.1.1.cmml" xref="S3.F7.14.m4.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.14.m4.1d">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.14.m4.1e">italic_h</annotation></semantics></math>. The system parameters are fixed at <math alttext="\lambda/\gamma=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.15.m5.1"><semantics id="S3.F7.15.m5.1b"><mrow id="S3.F7.15.m5.1.1" xref="S3.F7.15.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.F7.15.m5.1.1.2" xref="S3.F7.15.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F7.15.m5.1.1.2.2" xref="S3.F7.15.m5.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F7.15.m5.1.1.2.1" xref="S3.F7.15.m5.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F7.15.m5.1.1.2.3" xref="S3.F7.15.m5.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F7.15.m5.1.1.1" xref="S3.F7.15.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F7.15.m5.1.1.3" xref="S3.F7.15.m5.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.15.m5.1c"><apply id="S3.F7.15.m5.1.1.cmml" xref="S3.F7.15.m5.1.1"><eq id="S3.F7.15.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.15.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.F7.15.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.15.m5.1.1.2"><divide id="S3.F7.15.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F7.15.m5.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.F7.15.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F7.15.m5.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.F7.15.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F7.15.m5.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.F7.15.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.F7.15.m5.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.15.m5.1d">\lambda/\gamma=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.15.m5.1e">italic_λ / italic_γ = 0.5</annotation></semantics></math>, and <math alttext="J_{ij}/\gamma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.16.m6.1"><semantics id="S3.F7.16.m6.1b"><mrow id="S3.F7.16.m6.1.1" xref="S3.F7.16.m6.1.1.cmml"><mrow id="S3.F7.16.m6.1.1.2" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.cmml"><msub id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.2" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.2" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.1" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.3" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.F7.16.m6.1.1.2.1" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.F7.16.m6.1.1.2.3" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.F7.16.m6.1.1.1" xref="S3.F7.16.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F7.16.m6.1.1.3" xref="S3.F7.16.m6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.16.m6.1c"><apply id="S3.F7.16.m6.1.1.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1"><eq id="S3.F7.16.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.F7.16.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2"><divide id="S3.F7.16.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.1"></divide><apply id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.2">𝐽</ci><apply id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3"><times id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.F7.16.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F7.16.m6.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.F7.16.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F7.16.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.16.m6.1d">J_{ij}/\gamma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.16.m6.1e">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT / italic_γ = 1</annotation></semantics></math>. The structure of the system is depicted in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S1.F1" title="Figure 1 ‣ I Introduction ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. The average Uhlmann fidelity <math alttext="\overline{F}\left(\rho_{\mathrm{NESS}},\rho_{\mathrm{c}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.17.m7.2"><semantics id="S3.F7.17.m7.2b"><mrow id="S3.F7.17.m7.2.2" xref="S3.F7.17.m7.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.F7.17.m7.2.2.4" xref="S3.F7.17.m7.2.2.4.cmml"><mi id="S3.F7.17.m7.2.2.4.2" xref="S3.F7.17.m7.2.2.4.2.cmml">F</mi><mo id="S3.F7.17.m7.2.2.4.1" xref="S3.F7.17.m7.2.2.4.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.F7.17.m7.2.2.3" xref="S3.F7.17.m7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.3" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1" xref="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><mo id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.4" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.2" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.5" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.17.m7.2c"><apply id="S3.F7.17.m7.2.2.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2"><times id="S3.F7.17.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.3"></times><apply id="S3.F7.17.m7.2.2.4.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.4"><ci id="S3.F7.17.m7.2.2.4.1.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.4.1">¯</ci><ci id="S3.F7.17.m7.2.2.4.2.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.4.2">𝐹</ci></apply><interval closure="open" id="S3.F7.17.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.2"><apply id="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.17.m7.1.1.1.1.1.3">NESS</ci></apply><apply id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F7.17.m7.2.2.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.17.m7.2d">\overline{F}\left(\rho_{\mathrm{NESS}},\rho_{\mathrm{c}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.17.m7.2e">over¯ start_ARG italic_F end_ARG ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, average correlator <math alttext="\overline{\mathcal{C}}\left(t\rightarrow\infty\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.18.m8.1"><semantics id="S3.F7.18.m8.1b"><mrow id="S3.F7.18.m8.1.1" xref="S3.F7.18.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.F7.18.m8.1.1.3" xref="S3.F7.18.m8.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.F7.18.m8.1.1.3.2" xref="S3.F7.18.m8.1.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.F7.18.m8.1.1.3.1" xref="S3.F7.18.m8.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.F7.18.m8.1.1.2" xref="S3.F7.18.m8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.3" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.18.m8.1c"><apply id="S3.F7.18.m8.1.1.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1"><times id="S3.F7.18.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1.2"></times><apply id="S3.F7.18.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1.3"><ci id="S3.F7.18.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.F7.18.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1.3.2">𝒞</ci></apply><apply id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1"><ci id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.18.m8.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.18.m8.1d">\overline{\mathcal{C}}\left(t\rightarrow\infty\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.18.m8.1e">over¯ start_ARG caligraphic_C end_ARG ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math>, and average quantum mutual information <math alttext="\overline{I}_{AB}\left(t\rightarrow\infty\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.19.m9.1"><semantics id="S3.F7.19.m9.1b"><mrow id="S3.F7.19.m9.1.1" xref="S3.F7.19.m9.1.1.cmml"><msub id="S3.F7.19.m9.1.1.3" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.F7.19.m9.1.1.3.2" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.2" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.1" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.F7.19.m9.1.1.3.3" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.2" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.1" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.3" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.F7.19.m9.1.1.2" xref="S3.F7.19.m9.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.3" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.19.m9.1c"><apply id="S3.F7.19.m9.1.1.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1"><times id="S3.F7.19.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.2"></times><apply id="S3.F7.19.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F7.19.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.2"><ci id="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.2.2">𝐼</ci></apply><apply id="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.3"><times id="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1"><ci id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.19.m9.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.19.m9.1d">\overline{I}_{AB}\left(t\rightarrow\infty\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.19.m9.1e">over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math> are calculated by averaging over 1000 disorder configurations. The simulations demonstrated that the realization of <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F7.20.m10.1"><semantics id="S3.F7.20.m10.1b"><msub id="S3.F7.20.m10.1.1" xref="S3.F7.20.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.F7.20.m10.1.1.2" xref="S3.F7.20.m10.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.F7.20.m10.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.F7.20.m10.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F7.20.m10.1c"><apply id="S3.F7.20.m10.1.1.cmml" xref="S3.F7.20.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F7.20.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.F7.20.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F7.20.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.F7.20.m10.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.F7.20.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.F7.20.m10.1.1.3">c</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F7.20.m10.1d">\rho_{\mathrm{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F7.20.m10.1e">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> remains unaffected by the specific system configuration and is immune to weak disorder, as indicated by the gray shaded region. This property is advantageous for observing the magnetization induced by single local dissipation in experimental setups.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.p6.1">Besides the deviation from the EP, another factor influencing the success of the scheme is the presence of disorder. In the experiment, our proposal can be realized in a cold atom system, particularly in the Rydberg atom quantum simulator. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Smith <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib81" title="">2016</a>); Zhang <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib82" title="">2017</a>); Marcuzzi <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib83" title="">2017</a>); Shibata <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib84" title="">2020</a>); Mondragon-Shem <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib85" title="">2021</a>)</cite> The system can be subjected to disorder through external fields, such as electric or magnetic fields. Fluctuations or variations in the strength and direction of these fields can impact the energy levels and dynamics. It is crucial to examine the system’s robustness to disorder. To achieve this, we introduce disorder by considering a random magnetic field in the <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.p6.1.m1.1a"><mi id="S3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.1.m1.1b"><ci id="S3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.1.m1.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.1.m1.1d">italic_z</annotation></semantics></math> direction. The modified system Hamiltonian is given as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H_{\text{{spin}}}^{\mathrm{d}}=H_{\text{{spin}}}+H^{\mathrm{d}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E15.m1.1"><semantics id="S3.E15.m1.1a"><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">spin</mtext><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">spin</mtext></msub><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.m1.1b"><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1"><eq id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.2.3">spin</mtext></ci></apply><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.2.3">d</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" 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ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p6.19">with</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H^{\mathrm{d}}=\sum_{i}h_{i}s_{i}^{z}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E16.m1.1"><semantics id="S3.E16.m1.1a"><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E16.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" 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id="S3.p6.18">where <math alttext="h_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.2.m1.1"><semantics id="S3.p6.2.m1.1a"><msub id="S3.p6.2.m1.1.1" xref="S3.p6.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.2.m1.1.1.2" xref="S3.p6.2.m1.1.1.2.cmml">h</mi><mi id="S3.p6.2.m1.1.1.3" xref="S3.p6.2.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.2.m1.1b"><apply id="S3.p6.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.p6.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.2.m1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="S3.p6.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.2.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.2.m1.1c">h_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.2.m1.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents a random number within the range <math alttext="(-h," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.p6.3.m2.1"><semantics id="S3.p6.3.m2.1a"><mrow id="S3.p6.3.m2.1b"><mo id="S3.p6.3.m2.1.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S3.p6.3.m2.1.2" lspace="0em">−</mo><mi id="S3.p6.3.m2.1.3">h</mi><mo id="S3.p6.3.m2.1.4">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.3.m2.1c">(-h,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.3.m2.1d">( - italic_h ,</annotation></semantics></math> <math alttext="h)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.p6.4.m3.1"><semantics id="S3.p6.4.m3.1a"><mrow id="S3.p6.4.m3.1b"><mi id="S3.p6.4.m3.1.1">h</mi><mo id="S3.p6.4.m3.1.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.4.m3.1c">h)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.4.m3.1d">italic_h )</annotation></semantics></math>. Clearly, <math alttext="H^{\mathrm{d}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.5.m4.1"><semantics id="S3.p6.5.m4.1a"><msup id="S3.p6.5.m4.1.1" xref="S3.p6.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.5.m4.1.1.2" xref="S3.p6.5.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S3.p6.5.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p6.5.m4.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.5.m4.1b"><apply id="S3.p6.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.p6.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.5.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p6.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.5.m4.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S3.p6.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.5.m4.1.1.3">d</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.5.m4.1c">H^{\mathrm{d}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.5.m4.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT roman_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> breaks the SU(2) symmetry of <math alttext="H_{\text{{spin}}}^{\mathrm{d}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.6.m5.1"><semantics id="S3.p6.6.m5.1a"><msubsup id="S3.p6.6.m5.1.1" xref="S3.p6.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.6.m5.1.1.2.2" xref="S3.p6.6.m5.1.1.2.2.cmml">H</mi><mtext id="S3.p6.6.m5.1.1.2.3" xref="S3.p6.6.m5.1.1.2.3a.cmml">spin</mtext><mi id="S3.p6.6.m5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p6.6.m5.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.6.m5.1b"><apply id="S3.p6.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.p6.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.6.m5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p6.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.6.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p6.6.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.6.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p6.6.m5.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.p6.6.m5.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.p6.6.m5.1.1.2.3"><mtext id="S3.p6.6.m5.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p6.6.m5.1.1.2.3">spin</mtext></ci></apply><ci id="S3.p6.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.6.m5.1.1.3">d</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.6.m5.1c">H_{\text{{spin}}}^{\mathrm{d}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.6.m5.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT spin end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and hence prevents the formation of the subpace of <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.7.m6.1"><semantics id="S3.p6.7.m6.1a"><mrow id="S3.p6.7.m6.1.1.1" xref="S3.p6.7.m6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.7.m6.1.1.1.2" xref="S3.p6.7.m6.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p6.7.m6.1.1.1.3" xref="S3.p6.7.m6.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.7.m6.1b"><set id="S3.p6.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1"><apply id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.7.m6.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.7.m6.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.7.m6.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math>. Although exact SU(2) symmetry is spoiled, it can be inferred that the directed evolution in the <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.8.m7.1"><semantics id="S3.p6.8.m7.1a"><mrow id="S3.p6.8.m7.1.1.1" xref="S3.p6.8.m7.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.8.m7.1.1.1.2" xref="S3.p6.8.m7.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p6.8.m7.1.1.1.3" xref="S3.p6.8.m7.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.8.m7.1b"><set id="S3.p6.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1"><apply id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.8.m7.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.8.m7.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.8.m7.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> subspace may still exist under weak disorder. In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.F7" title="Figure 7 ‣ III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>, we perform the numerical simulation to examine the average Uhlmann fidelity <math alttext="\overline{F}\left(\rho_{\mathrm{NESS}},\rho_{\mathrm{c}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.9.m8.2"><semantics id="S3.p6.9.m8.2a"><mrow id="S3.p6.9.m8.2.2" xref="S3.p6.9.m8.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.p6.9.m8.2.2.4" xref="S3.p6.9.m8.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p6.9.m8.2.2.4.2" xref="S3.p6.9.m8.2.2.4.2.cmml">F</mi><mo id="S3.p6.9.m8.2.2.4.1" xref="S3.p6.9.m8.2.2.4.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.p6.9.m8.2.2.3" xref="S3.p6.9.m8.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.3" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><mo id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.4" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.5" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.9.m8.2b"><apply id="S3.p6.9.m8.2.2.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2"><times id="S3.p6.9.m8.2.2.3.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.3"></times><apply id="S3.p6.9.m8.2.2.4.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.4"><ci id="S3.p6.9.m8.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.4.1">¯</ci><ci id="S3.p6.9.m8.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.4.2">𝐹</ci></apply><interval closure="open" id="S3.p6.9.m8.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.2"><apply id="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.9.m8.1.1.1.1.1.3">NESS</ci></apply><apply id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p6.9.m8.2.2.2.2.2.3">c</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.9.m8.2c">\overline{F}\left(\rho_{\mathrm{NESS}},\rho_{\mathrm{c}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.9.m8.2d">over¯ start_ARG italic_F end_ARG ( italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT , italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, average correlator <math alttext="\overline{\mathcal{C}}\left(t\rightarrow\infty\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.10.m9.1"><semantics id="S3.p6.10.m9.1a"><mrow id="S3.p6.10.m9.1.1" xref="S3.p6.10.m9.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p6.10.m9.1.1.3" xref="S3.p6.10.m9.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p6.10.m9.1.1.3.2" xref="S3.p6.10.m9.1.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.p6.10.m9.1.1.3.1" xref="S3.p6.10.m9.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.p6.10.m9.1.1.2" xref="S3.p6.10.m9.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.10.m9.1b"><apply id="S3.p6.10.m9.1.1.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1"><times id="S3.p6.10.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1.2"></times><apply id="S3.p6.10.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1.3"><ci id="S3.p6.10.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.p6.10.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1.3.2">𝒞</ci></apply><apply id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1"><ci id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.10.m9.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.10.m9.1c">\overline{\mathcal{C}}\left(t\rightarrow\infty\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.10.m9.1d">over¯ start_ARG caligraphic_C end_ARG ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math> and average quantum mutual information <math alttext="\overline{I}_{AB}\left(t\rightarrow\infty\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.11.m10.1"><semantics id="S3.p6.11.m10.1a"><mrow id="S3.p6.11.m10.1.1" xref="S3.p6.11.m10.1.1.cmml"><msub id="S3.p6.11.m10.1.1.3" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.p6.11.m10.1.1.3.2" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.2" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.1" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.p6.11.m10.1.1.3.3" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.2" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.1" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.3" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.p6.11.m10.1.1.2" xref="S3.p6.11.m10.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.11.m10.1b"><apply id="S3.p6.11.m10.1.1.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1"><times id="S3.p6.11.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.2"></times><apply id="S3.p6.11.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.11.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.2"><ci id="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.2.2">𝐼</ci></apply><apply id="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.3"><times id="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1"><ci id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.11.m10.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.11.m10.1c">\overline{I}_{AB}\left(t\rightarrow\infty\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.11.m10.1d">over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math>. The results demonstrate that a small distribution of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.12.m11.1"><semantics id="S3.p6.12.m11.1a"><mi id="S3.p6.12.m11.1.1" xref="S3.p6.12.m11.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.12.m11.1b"><ci id="S3.p6.12.m11.1.1.cmml" xref="S3.p6.12.m11.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.12.m11.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.12.m11.1d">italic_h</annotation></semantics></math> does not induce a transition in the final state as the degenerate subspace <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.13.m12.1"><semantics id="S3.p6.13.m12.1a"><mrow id="S3.p6.13.m12.1.1.1" xref="S3.p6.13.m12.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.13.m12.1.1.1.2" xref="S3.p6.13.m12.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.p6.13.m12.1.1.1.3" xref="S3.p6.13.m12.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.13.m12.1b"><set id="S3.p6.13.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1"><apply id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.13.m12.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.13.m12.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.13.m12.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> is approximately preserved, as manifested by the behavior of <math alttext="\overline{\mathcal{C}}\left(t\rightarrow\infty\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.14.m13.1"><semantics id="S3.p6.14.m13.1a"><mrow id="S3.p6.14.m13.1.1" xref="S3.p6.14.m13.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p6.14.m13.1.1.3" xref="S3.p6.14.m13.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p6.14.m13.1.1.3.2" xref="S3.p6.14.m13.1.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.p6.14.m13.1.1.3.1" xref="S3.p6.14.m13.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.p6.14.m13.1.1.2" xref="S3.p6.14.m13.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.14.m13.1b"><apply id="S3.p6.14.m13.1.1.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1"><times id="S3.p6.14.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1.2"></times><apply id="S3.p6.14.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1.3"><ci id="S3.p6.14.m13.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.p6.14.m13.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1.3.2">𝒞</ci></apply><apply id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1"><ci id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.14.m13.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.14.m13.1c">\overline{\mathcal{C}}\left(t\rightarrow\infty\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.14.m13.1d">over¯ start_ARG caligraphic_C end_ARG ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\overline{I}_{AB}\left(t\rightarrow\infty\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.15.m14.1"><semantics id="S3.p6.15.m14.1a"><mrow id="S3.p6.15.m14.1.1" xref="S3.p6.15.m14.1.1.cmml"><msub id="S3.p6.15.m14.1.1.3" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.p6.15.m14.1.1.3.2" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.2" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.1" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.p6.15.m14.1.1.3.3" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.2" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.1" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.3" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S3.p6.15.m14.1.1.2" xref="S3.p6.15.m14.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.15.m14.1b"><apply id="S3.p6.15.m14.1.1.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1"><times id="S3.p6.15.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.2"></times><apply id="S3.p6.15.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.15.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.2"><ci id="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.2.2">𝐼</ci></apply><apply id="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.3"><times id="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1"><ci id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><infinity id="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.15.m14.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.15.m14.1c">\overline{I}_{AB}\left(t\rightarrow\infty\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.15.m14.1d">over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_A italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t → ∞ )</annotation></semantics></math> in the grey shaded region. However, when <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.16.m15.1"><semantics id="S3.p6.16.m15.1a"><mi id="S3.p6.16.m15.1.1" xref="S3.p6.16.m15.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.16.m15.1b"><ci id="S3.p6.16.m15.1.1.cmml" xref="S3.p6.16.m15.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.16.m15.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.16.m15.1d">italic_h</annotation></semantics></math> is large enough to completely destroy the SU(2) symmetry, the dynamics of EP cannot be maintained as the degenerate subspace ceases to exist. In such a scenario, the action of <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.17.m16.1"><semantics id="S3.p6.17.m16.1a"><msub id="S3.p6.17.m16.1.1" xref="S3.p6.17.m16.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p6.17.m16.1.1.2" xref="S3.p6.17.m16.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S3.p6.17.m16.1.1.3" xref="S3.p6.17.m16.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.17.m16.1b"><apply id="S3.p6.17.m16.1.1.cmml" xref="S3.p6.17.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.17.m16.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.17.m16.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.17.m16.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.17.m16.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S3.p6.17.m16.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.17.m16.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.17.m16.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.17.m16.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the quantum jump operator <math alttext="\widetilde{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.18.m17.1"><semantics id="S3.p6.18.m17.1a"><mover accent="true" id="S3.p6.18.m17.1.1" xref="S3.p6.18.m17.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.18.m17.1.1.2" xref="S3.p6.18.m17.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S3.p6.18.m17.1.1.1" xref="S3.p6.18.m17.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.18.m17.1b"><apply id="S3.p6.18.m17.1.1.cmml" xref="S3.p6.18.m17.1.1"><ci id="S3.p6.18.m17.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.18.m17.1.1.1">~</ci><ci id="S3.p6.18.m17.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.18.m17.1.1.2">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.18.m17.1c">\widetilde{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.18.m17.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG</annotation></semantics></math> exhibit distinct dynamics, leading to the collapse of the final ferromagnetic state.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span>Summary</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">In conclusion, we have demonstrated that the critical non-Hermitian system accurately captures the long-term dynamics of the open quantum system. Specifically, the master equation of the open quantum system can be rephrased as a stochastic average over individual trajectories, which can be numerically evolved as pure states over time. Each trajectory’s evolution is determined by the SSE. There are two types of probabilistic evolution: a non-unitary evolution driven by the effective non-Hermitian Hamiltonian and a state projection determined by the quantum jump operator. The trade-off between these two evolutions determines the final NESS. For the non-Hermitian Hamiltonian, a definite final evolved state can be achieved if the system possesses the EP or an imaginary energy level. In the former case, the evolved state is forced towards the coalescent state, while in the latter case, it approaches the eigenstate with the maximum value of the imaginary energy level. If the final evolved state coincides with the state under the quantum jump operation, then the NESS of the open quantum system is identical to the coalescent state of the effective non-Hermitian Hamiltonian. Furthermore, we apply this mechanism to the open quantum spin system and find that local critical dissipation can induce a high-order EP in the effective non-Hermitian ferromagnetic Heisenberg system. The dimension of the degenerate subspace determines the order of the EP. The corresponding coalescent state represents all the spins aligned in parallel to the <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_y</annotation></semantics></math>-direction. From a dynamical perspective, when the initial state is prepared within the degenerate subspace, the EP dynamics force all the spins to align in the y-direction regardless of the initial spin configuration. On the other hand, the quantum jump operator rotates the spin that passes the first site to align with the direction of the coalescent state. Both actions of the two probabilistic propagations are identical, leading to the NESS being the coalescent state. The realization of this type of NESS is immune to weak disorder and holds within a certain range of system parameters. These findings serve as the building blocks for understanding critical open quantum systems from both theoretical and experimental perspectives.</p> </div> <div class="ltx_acknowledgements"> <h6 class="ltx_title ltx_title_acknowledgements">Acknowledgements.</h6>X.Z.Z. gratefully acknowledge Y.L. for hosting and generously providing the necessary resources for this study. We acknowledge the support of the National Natural Science Foundation of China (Grants No. 12275193, No. 12225507, and No. 12088101), and NSAF (Grant No. U1930403). </div> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span>Appendix</h2> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">V.1 </span>EP dynamics of two-level system</h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.17">In this subsection, we analyze the EP dynamics in a non-Hermitian two-level system. The Hamiltonian, given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{H}=\lambda s^{x}-\frac{i\gamma}{2}s^{+}s^{-}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E17.m1.1"><semantics id="S5.E17.m1.1a"><mrow id="S5.E17.m1.1.1.1" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E17.m1.1.1.1.1" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E17.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">x</mi></msup></mrow><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mn id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">−</mo></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E17.m1.1.1.1.2" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E17.m1.1b"><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1"><eq id="S5.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S5.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.2">ℋ</ci><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"><times id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1"></times><ci id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><plus id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"></plus></apply><apply id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2">𝑠</ci><minus id="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S5.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3"></minus></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E17.m1.1c">\mathcal{H}=\lambda s^{x}-\frac{i\gamma}{2}s^{+}s^{-},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E17.m1.1d">caligraphic_H = italic_λ italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.3">is non-Hermitian due to the dissipation channel. In the basis of <math alttext="\{|\uparrow\rangle," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.1.m1.1b"><mrow id="S5.SS1.p1.1.m1.1.2"><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.2.1" stretchy="false">{</mo><mo fence="false" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.2.2" stretchy="false">|</mo><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1" lspace="0.167em" rspace="0em" stretchy="false">↑</mo><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.2.3" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.3">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.1.m1.1c">\{|\uparrow\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.1.m1.1d">{ | ↑ ⟩ ,</annotation></semantics></math> <math alttext="|\downarrow\rangle\}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.2.m2.1b"><mrow id="S5.SS1.p1.2.m2.1.2"><mo fence="false" id="S5.SS1.p1.2.m2.1.2.1" stretchy="false">|</mo><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1" lspace="0.167em" rspace="0em" stretchy="false">↓</mo><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.1.2.2" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.1.3" stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.2.m2.1c">|\downarrow\rangle\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.2.m2.1d">| ↓ ⟩ }</annotation></semantics></math>, the matrix form of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.3.m3.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.3.m3.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> is expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}[]{cc}-i\gamma/2&\lambda\\ \lambda&i\gamma/2\end{array}\right)-\frac{i\gamma}{4}I," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E18.m1.2"><semantics id="S5.E18.m1.2a"><mrow id="S5.E18.m1.2.2.1" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E18.m1.2.2.1.1" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E18.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.E18.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.1" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.E18.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.E18.m1.1.1a" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E18.m1.1.1b" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.E18.m1.1.1c" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.E18.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.E18.m1.1.1.1.2.1.cmml">λ</mi></mtd></mtr><mtr id="S5.E18.m1.1.1d" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E18.m1.1.1e" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.E18.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.E18.m1.1.1.2.1.1.cmml">λ</mi></mtd><mtd id="S5.E18.m1.1.1f" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">2</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.E18.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mn id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">4</mn></mfrac><mo id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">I</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E18.m1.2.2.1.2" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E18.m1.2b"><apply id="S5.E18.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1"><eq id="S5.E18.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S5.E18.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.2">ℋ</ci><apply id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3"><minus id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2"><times id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2"><divide id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2"></divide><cn id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.2">1</cn><cn id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><matrix id="S5.E18.m1.1.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.3.2"><matrixrow id="S5.E18.m1.1.1a.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.3.2"><apply id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><apply id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E18.m1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.E18.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.1.2.1">𝜆</ci></matrixrow><matrixrow id="S5.E18.m1.1.1b.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.2.3.2"><ci id="S5.E18.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.2.1.1">𝜆</ci><apply id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1"><divide id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.1"></divide><apply id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2"><times id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.1"></times><ci id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E18.m1.1.1.2.2.1.3">2</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3"><times id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2"><divide id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2"><times id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.1"></times><ci id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.2.3">4</cn></apply><ci id="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E18.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝐼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E18.m1.2c">\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}[]{cc}-i\gamma/2&\lambda\\ \lambda&i\gamma/2\end{array}\right)-\frac{i\gamma}{4}I,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E18.m1.2d">caligraphic_H = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( start_ARRAY start_ROW start_CELL - italic_i italic_γ / 2 end_CELL start_CELL italic_λ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_λ end_CELL start_CELL italic_i italic_γ / 2 end_CELL end_ROW end_ARRAY ) - divide start_ARG italic_i italic_γ end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_I ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.13">where <math alttext="\frac{i\gamma}{4}I" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.4.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p1.4.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mn id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml">4</mn></mfrac><mo id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.4.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1"><times id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.1"></times><apply id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2"><divide id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2"></divide><apply id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2"><times id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.2.3">4</cn></apply><ci id="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m1.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.4.m1.1c">\frac{i\gamma}{4}I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.4.m1.1d">divide start_ARG italic_i italic_γ end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_I</annotation></semantics></math> is a constant term that does not affect the relative probability of populating the two different energy states. The two eigenstates of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.5.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p1.5.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p1.5.m2.1.1" xref="S5.SS1.p1.5.m2.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.5.m2.1b"><ci id="S5.SS1.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m2.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.5.m2.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.5.m2.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> coalesce at the EP when <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.6.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p1.6.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.6.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3"><divide id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.6.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.6.m3.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.6.m3.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>. The corresponding coalescent state is <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=|y,+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,\text{ }i% \right)^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.7.m4.6"><semantics id="S5.SS1.p1.7.m4.6a"><mrow id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.5" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1" xref="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.7.m4.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m4.1.1.cmml">y</mi><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.1.1.cmml">,</mo><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.SS1.p1.7.m4.2.2.cmml">+</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.6" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.cmml"><mfrac id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.2" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3.2" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3.2.cmml">2</mn></msqrt></mfrac><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.2" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.SS1.p1.7.m4.3.3" xref="S5.SS1.p1.7.m4.3.3.cmml">1</mn><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.2a.cmml"> </mtext><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.4" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.3" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.7.m4.6b"><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6"><and id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6a.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6"></and><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6b.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6"><eq id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.5.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.5"></eq><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.4.4.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.2">ket</csymbol><list id="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.1.1.2"><ci id="S5.SS1.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.1.1">𝑦</ci><plus id="S5.SS1.p1.7.m4.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.2.2"></plus></list></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6c.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6"><eq id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.6.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.SS1.p1.7.m4.5.5.2.cmml" id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6d.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6"></share><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3"><times id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.2"></times><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3"><divide id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3"></divide><cn id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.2">1</cn><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3"><root id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3a.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3"></root><cn id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.3.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1"><cn id="S5.SS1.p1.7.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.7.m4.3.3">1</cn><apply id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1"><times id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.2"><mtext id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.2"> </mtext></ci><ci id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></interval><ci id="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m4.6.6.3.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.7.m4.6c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=|y,+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,\text{ }i% \right)^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.7.m4.6d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = | italic_y , + ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 end_ARG end_ARG ( 1 , italic_i ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> which also represents the eigenstate of <math alttext="s^{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.8.m5.1"><semantics id="S5.SS1.p1.8.m5.1a"><msup id="S5.SS1.p1.8.m5.1.1" xref="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.3.cmml">y</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.8.m5.1b"><apply id="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m5.1.1.3">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.8.m5.1c">s^{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.8.m5.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_y end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with eigenenergy <math alttext="1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.9.m6.1"><semantics id="S5.SS1.p1.9.m6.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.9.m6.1.1" xref="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.9.m6.1b"><apply id="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.9.m6.1.1"><divide id="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.1"></divide><cn id="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.2">1</cn><cn id="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.9.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.9.m6.1c">1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.9.m6.1d">1 / 2</annotation></semantics></math>. Now, let us turn focus on the system propagator <math alttext="\mathcal{U}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.10.m7.1"><semantics id="S5.SS1.p1.10.m7.1a"><msub id="S5.SS1.p1.10.m7.1.1" xref="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.2.cmml">𝒰</mi><mn id="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.10.m7.1b"><apply id="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.10.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.10.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.2">𝒰</ci><cn id="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.10.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.10.m7.1c">\mathcal{U}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.10.m7.1d">caligraphic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Due to the nilpotent matrix property of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.11.m8.1"><semantics id="S5.SS1.p1.11.m8.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p1.11.m8.1.1" xref="S5.SS1.p1.11.m8.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.11.m8.1b"><ci id="S5.SS1.p1.11.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.11.m8.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.11.m8.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.11.m8.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="\mathcal{H}^{2}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.12.m9.1"><semantics id="S5.SS1.p1.12.m9.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.cmml"><msup id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mn id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.12.m9.1b"><apply id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1"><eq id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.2">ℋ</ci><cn id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.12.m9.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.12.m9.1c">\mathcal{H}^{2}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.12.m9.1d">caligraphic_H start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathcal{U}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.13.m10.1"><semantics id="S5.SS1.p1.13.m10.1a"><msub id="S5.SS1.p1.13.m10.1.1" xref="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.2.cmml">𝒰</mi><mn id="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.13.m10.1b"><apply id="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.13.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.13.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.2">𝒰</ci><cn id="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.13.m10.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.13.m10.1c">\mathcal{U}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.13.m10.1d">caligraphic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> simplifies to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{U}_{2}=e^{-i\mathcal{H}t}=e^{-\gamma t/4}\left[1-\frac{i\lambda t}{2}% \left(\begin{array}[]{cc}-i&1\\ 1&i\end{array}\right)\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E19.m1.2"><semantics id="S5.E19.m1.2a"><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.E19.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">𝒰</mi><mn id="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.4" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><msup id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.cmml"><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3a" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.3.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.1a" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.4" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.6" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3a" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">4</mn></mrow></mrow></msup><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml">t</mi></mrow><mn id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.E19.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.E19.m1.1.1a" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E19.m1.1.1b" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E19.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E19.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E19.m1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E19.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E19.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E19.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.E19.m1.1.1c" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.E19.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.E19.m1.1.1.1.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.E19.m1.1.1d" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E19.m1.1.1e" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.E19.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.E19.m1.1.1.2.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.E19.m1.1.1f" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.E19.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.E19.m1.1.1.2.2.1.cmml">i</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E19.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E19.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E19.m1.2b"><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1"><and id="S5.E19.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1"></and><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1"><eq id="S5.E19.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.4"></eq><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.2">𝒰</ci><cn id="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.2">𝑒</ci><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3"><minus id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3"></minus><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2"><times id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.1"></times><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.3">ℋ</ci><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.4.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.5.3.2.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1"><eq id="S5.E19.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.E19.m1.2.2.1.1.5.cmml" id="S5.E19.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1"></share><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1"><times id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3"><minus id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3"></minus><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2"><divide id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1"></divide><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2"><times id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1"></times><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3">4</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜆</ci><ci id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.4">𝑡</ci></apply><cn id="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><matrix id="S5.E19.m1.1.1.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><matrixrow id="S5.E19.m1.1.1a.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><apply id="S5.E19.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E19.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E19.m1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.E19.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E19.m1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci></apply><cn id="S5.E19.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.E19.m1.1.1.1.2.1">1</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.E19.m1.1.1b.cmml" xref="S5.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><cn id="S5.E19.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.E19.m1.1.1.2.1.1">1</cn><ci id="S5.E19.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E19.m1.1.1.2.2.1">𝑖</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E19.m1.2c">\mathcal{U}_{2}=e^{-i\mathcal{H}t}=e^{-\gamma t/4}\left[1-\frac{i\lambda t}{2}% \left(\begin{array}[]{cc}-i&1\\ 1&i\end{array}\right)\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E19.m1.2d">caligraphic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i caligraphic_H italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ italic_t / 4 end_POSTSUPERSCRIPT [ 1 - divide start_ARG italic_i italic_λ italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( start_ARRAY start_ROW start_CELL - italic_i end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL italic_i end_CELL end_ROW end_ARRAY ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.14">For an arbitrary initial state <math alttext="|\psi\left(0\right)\rangle=\left(a,\text{ }b\right)^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.14.m1.4"><semantics id="S5.SS1.p1.14.m1.4a"><mrow id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S5.SS1.p1.14.m1.1.1" xref="S5.SS1.p1.14.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.3" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.3.cmml">=</mo><msup id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS1.p1.14.m1.2.2" xref="S5.SS1.p1.14.m1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mtext id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.2a.cmml"> </mtext><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.4" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.3" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.3.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.14.m1.4b"><apply id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4"><eq id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.3"></eq><apply id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1"><times id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.3.3.1.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S5.SS1.p1.14.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.14.m1.1.1">0</cn></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1"><ci id="S5.SS1.p1.14.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.2.2">𝑎</ci><apply id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1"><times id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.1"></times><ci id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.2a.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.2"><mtext id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.2"> </mtext></ci><ci id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.1.1.1.3">𝑏</ci></apply></interval><ci id="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.14.m1.4.4.2.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.14.m1.4c">|\psi\left(0\right)\rangle=\left(a,\text{ }b\right)^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.14.m1.4d">| italic_ψ ( 0 ) ⟩ = ( italic_a , italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the evolved state can be given as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="|\psi\left(t\right)\rangle=e^{-\gamma t/4}\left(\begin{array}[]{c}a-i\lambda t% /2\\ b+\lambda t/2\end{array}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E20.m1.3"><semantics id="S5.E20.m1.3a"><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.E20.m1.1.1" xref="S5.E20.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msup id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3a" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml"><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.cmml">4</mn></mrow></mrow></msup><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S5.E20.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S5.E20.m1.2.2.cmml">(</mo><mtable displaystyle="true" id="S5.E20.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.E20.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.E20.m1.2.2a" xref="S5.E20.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.E20.m1.2.2b" xref="S5.E20.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.4" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.E20.m1.2.2c" xref="S5.E20.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.E20.m1.2.2d" xref="S5.E20.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E20.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E20.m1.3.3.1.2" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E20.m1.3b"><apply id="S5.E20.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1"><eq id="S5.E20.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.E20.m1.1.1.cmml" xref="S5.E20.m1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3"><times id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3"><minus id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3"></minus><apply id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2"><divide id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1"></divide><apply id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2"><times id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.1"></times><ci id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3">4</cn></apply></apply></apply><matrix id="S5.E20.m1.2.2.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2"><matrixrow id="S5.E20.m1.2.2a.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2"><apply id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3"><divide id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.1"></divide><apply id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2"><times id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci><ci id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.2.4">𝑡</ci></apply><cn id="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E20.m1.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.E20.m1.2.2b.cmml" xref="S5.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2"><apply id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1"><plus id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3"><divide id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.1"></divide><apply id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2"><times id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E20.m1.2.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E20.m1.3c">|\psi\left(t\right)\rangle=e^{-\gamma t/4}\left(\begin{array}[]{c}a-i\lambda t% /2\\ b+\lambda t/2\end{array}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E20.m1.3d">| italic_ψ ( italic_t ) ⟩ = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ italic_t / 4 end_POSTSUPERSCRIPT ( start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_a - italic_i italic_λ italic_t / 2 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_b + italic_λ italic_t / 2 end_CELL end_ROW end_ARRAY ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.16">As time tends to infinity, <math alttext="|\psi\left(t\right)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.15.m1.2"><semantics id="S5.SS1.p1.15.m1.2a"><mrow id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS1.p1.15.m1.1.1" xref="S5.SS1.p1.15.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.15.m1.2b"><apply id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1"><times id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.1"></times><ci id="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.15.m1.2.2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS1.p1.15.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.15.m1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.15.m1.2c">|\psi\left(t\right)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.15.m1.2d">| italic_ψ ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math> normalized in terms of Dirac probability approaches <math alttext="|\psi\left(\infty\right)\rangle=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.16.m2.3"><semantics id="S5.SS1.p1.16.m2.3a"><mrow id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS1.p1.16.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p1.16.m2.1.1.cmml">∞</mi><mo id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.3" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.16.m2.3b"><apply id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3"><eq id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.3"></eq><apply id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1"><times id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><infinity id="S5.SS1.p1.16.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.1.1"></infinity></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.16.m2.3.3.2.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.16.m2.3c">|\psi\left(\infty\right)\rangle=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.16.m2.3d">| italic_ψ ( ∞ ) ⟩ = | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">V.2 </span>NESS of an open two-level system</h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.8">In this subsection, we derive the NESS of the two-level open system under consideration. The LME describing the open system dynamics is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\text{{d}}\rho}{\text{{d}}t}=-i\lambda[s^{x},\rho]-\frac{\gamma}{2}\left% (s^{+}s^{-}\rho+\rho s^{+}s^{-}\right)+\gamma s^{-}\rho s^{+}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E21.m1.2"><semantics id="S5.E21.m1.2a"><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.2.cmml"><mtext id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2a.cmml">d</mtext><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.2.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.2.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml">ρ</mi></mrow><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.3.cmml"><mtext id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.3.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.3.2a.cmml">d</mtext><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.3.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.3.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><msup id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msup><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.E21.m1.1.1" xref="S5.E21.m1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msup id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msup><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.4" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.3.cmml">−</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.1" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.3.cmml">−</mo></msup><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.1a" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.4" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.4.cmml">ρ</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.1b" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.cmml"><mi id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.2" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.3" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.3.cmml">+</mo></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E21.m1.2.2.1.2" lspace="0em" 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id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"><plus id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><plus id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3"></plus></apply><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑠</ci><minus id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3"></minus></apply><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.4">𝜌</ci></apply><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝜌</ci><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><plus id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3"></plus></apply><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.2">𝑠</ci><minus id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.4.3"></minus></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4"><times id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.1"></times><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.2">𝛾</ci><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.2">𝑠</ci><minus id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.3.3"></minus></apply><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.4.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.4">𝜌</ci><apply id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.1.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5">superscript</csymbol><ci id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.2.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.2">𝑠</ci><plus id="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.3.cmml" xref="S5.E21.m1.2.2.1.1.2.4.5.3"></plus></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E21.m1.2c">\frac{\text{{d}}\rho}{\text{{d}}t}=-i\lambda[s^{x},\rho]-\frac{\gamma}{2}\left% (s^{+}s^{-}\rho+\rho s^{+}s^{-}\right)+\gamma s^{-}\rho s^{+}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E21.m1.2d">divide start_ARG d italic_ρ end_ARG start_ARG d italic_t end_ARG = - italic_i italic_λ [ italic_s start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ρ ] - divide start_ARG italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_s start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ + italic_ρ italic_s start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_γ italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ italic_s start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.9">By applying the Choi-Jamiołkowski isomorphism, the LME can be written as an equivalent form:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\text{{d}}\rho}{\text{{d}}t}\equiv\widetilde{\mathcal{L}}\rho," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E22.m1.1"><semantics id="S5.E22.m1.1a"><mrow id="S5.E22.m1.1.1.1" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E22.m1.1.1.1.1" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mtext id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2a.cmml">d</mtext><mo id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ρ</mi></mrow><mrow id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mtext id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.2a.cmml">d</mtext><mo id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S5.E22.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.1.cmml">≡</mo><mrow id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E22.m1.1.1.1.2" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E22.m1.1b"><apply id="S5.E22.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1"><equivalent id="S5.E22.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.1"></equivalent><apply id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2"><divide id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2a.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2"><mtext id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.2">d</mtext></ci><ci id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.2a.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.2"><mtext id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.2">d</mtext></ci><ci id="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.2.2">ℒ</ci></apply><ci id="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E22.m1.1.1.1.1.3.3">𝜌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E22.m1.1c">\frac{\text{{d}}\rho}{\text{{d}}t}\equiv\widetilde{\mathcal{L}}\rho,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E22.m1.1d">divide start_ARG d italic_ρ end_ARG start_ARG d italic_t end_ARG ≡ over~ start_ARG caligraphic_L end_ARG italic_ρ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.1">where the vectorized density matrix <math alttext="|\rho\rangle=\sum_{m,n}\rho_{m,n}|m\rangle\otimes|n\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.1.m1.7"><semantics id="S5.SS2.p1.1.m1.7a"><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.5.5" xref="S5.SS2.p1.1.m1.5.5.cmml">ρ</mi><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.1" rspace="0.111em" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.6.6" xref="S5.SS2.p1.1.m1.6.6.cmml">m</mi><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.1" rspace="0.222em" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.1.cmml">⊗</mo><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.7.7" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.7.cmml">n</mi><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.1.m1.7b"><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8"><eq id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.1"></eq><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.5.5">𝜌</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3"><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.1.2"></sum><list id="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.1">tensor-product</csymbol><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2"><times id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.1"></times><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.2.2">𝜌</ci><list id="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.6.6">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.8.3.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.7.7.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.7.7">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.1.m1.7c">|\rho\rangle=\sum_{m,n}\rho_{m,n}|m\rangle\otimes|n\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.1.m1.7d">| italic_ρ ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT | italic_m ⟩ ⊗ | italic_n ⟩</annotation></semantics></math> represents the density matrix in the double space. The Liouvillian superoperator is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx5"> <tbody id="S5.E23"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widetilde{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex5.m1.1"><semantics id="S5.Ex5.m1.1a"><mover accent="true" id="S5.Ex5.m1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.Ex5.m1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex5.m1.1b"><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1"><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.2">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex5.m1.1c">\displaystyle\widetilde{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex5.m1.1d">over~ start_ARG caligraphic_L end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex5.m2.1"><semantics id="S5.Ex5.m2.1a"><mo id="S5.Ex5.m2.1.1" xref="S5.Ex5.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex5.m2.1b"><eq id="S5.Ex5.m2.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex5.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex5.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-i\lambda\left(s^{x}\otimes I-I\otimes s^{x}\right)+\gamma s^{-}% \otimes s^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex5.m3.1"><semantics id="S5.Ex5.m3.1a"><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1" xref="S5.Ex5.m3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1.1" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.1a" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></msup><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⊗</mo><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">I</mi></mrow><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msup id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">x</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex5.m3.1.1.3.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msup id="S5.Ex5.m3.1.1.3.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex5.m3.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex5.m3.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex5.m3.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex5.m3.1b"><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1"><plus id="S5.Ex5.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1"><minus id="S5.Ex5.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1"><times id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.3">𝑖</ci><ci id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.4">𝜆</ci><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1">tensor-product</csymbol><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐼</ci></apply><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><ci id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐼</ci><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex5.m3.1.1.3.cmml" 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ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{\gamma}{2}\left(s^{+}s^{-}\otimes I+I\otimes s^{+}s^{-}% \right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E23.m1.1"><semantics id="S5.E23.m1.1a"><mrow id="S5.E23.m1.1.1.1" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E23.m1.1.1.1.1" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E23.m1.1.1.1.1a" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">tensor-product</csymbol><ci id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐼</ci><apply id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑠</ci><plus id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"></plus></apply></apply><apply id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><minus id="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E23.m1.1c">\displaystyle-\frac{\gamma}{2}\left(s^{+}s^{-}\otimes I+I\otimes s^{+}s^{-}% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E23.m1.1d">- divide start_ARG italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_s start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_I + italic_I ⊗ italic_s start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.2">The matrix representation of <math alttext="\widetilde{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.2.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p1.2.m1.1a"><mover accent="true" id="S5.SS2.p1.2.m1.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.2.m1.1b"><apply id="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m1.1.1"><ci id="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m1.1.1.2">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.2.m1.1c">\widetilde{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.2.m1.1d">over~ start_ARG caligraphic_L end_ARG</annotation></semantics></math> can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{\mathcal{L}}=\left(\begin{array}[]{cccc}-\gamma&i\frac{\lambda}{2}&% -i\frac{\lambda}{2}&0\\ i\frac{\lambda}{2}&-\frac{1}{2}\gamma&0&-i\frac{\lambda}{2}\\ -i\frac{\lambda}{2}&0&-\frac{1}{2}\gamma&i\frac{\lambda}{2}\\ \gamma&-i\frac{\lambda}{2}&i\frac{\lambda}{2}&0\end{array}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E24.m1.2"><semantics id="S5.E24.m1.2a"><mrow id="S5.E24.m1.2.2.1" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.2.2.1.1" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.E24.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S5.E24.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E24.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.E24.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.E24.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.E24.m1.1.1a" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E24.m1.1.1b" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E24.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E24.m1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E24.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E24.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1c" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.3a" xref="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S5.E24.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1d" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1a" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.3a" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S5.E24.m1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1e" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.E24.m1.1.1.1.4.1" xref="S5.E24.m1.1.1.1.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.E24.m1.1.1f" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E24.m1.1.1g" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.3a" xref="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.E24.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1h" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1a" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.2a" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml"><mn id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S5.E24.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1i" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.E24.m1.1.1.2.3.1" xref="S5.E24.m1.1.1.2.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1j" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.cmml"><mo id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1a" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.3" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.3a" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.3.3" xref="S5.E24.m1.1.1.2.4.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.E24.m1.1.1k" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E24.m1.1.1l" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1a" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.3" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.3a" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="S5.E24.m1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1m" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.E24.m1.1.1.3.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1n" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1a" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.2a" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml"><mn id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.2.3" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S5.E24.m1.1.1.3.3.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1o" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.3.4.1" xref="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.1" xref="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.3" xref="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.3a" xref="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.3.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.3.3" xref="S5.E24.m1.1.1.3.4.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.E24.m1.1.1p" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E24.m1.1.1q" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.4.1.1" xref="S5.E24.m1.1.1.4.1.1.cmml">γ</mi></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1r" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1a" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.1" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.3" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.3a" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.3.3" xref="S5.E24.m1.1.1.4.2.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1s" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.2" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.1" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3a" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.cmml"><mi id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.2" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.3" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="S5.E24.m1.1.1t" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.E24.m1.1.1.4.4.1" xref="S5.E24.m1.1.1.4.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.E24.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.E24.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E24.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E24.m1.2b"><apply id="S5.E24.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E24.m1.2.2.1"><eq id="S5.E24.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.2"><ci id="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.2.2">ℒ</ci></apply><matrix id="S5.E24.m1.1.1.cmml" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.3.2"><matrixrow id="S5.E24.m1.1.1a.cmml" xref="S5.E24.m1.2.2.1.1.3.2"><apply 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xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3"><divide id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.1.cmml" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3"></divide><ci id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.2.cmml" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E24.m1.1.1.4.3.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.E24.m1.1.1.4.4.1.cmml" type="integer" xref="S5.E24.m1.1.1.4.4.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E24.m1.2c">\widetilde{\mathcal{L}}=\left(\begin{array}[]{cccc}-\gamma&i\frac{\lambda}{2}&% -i\frac{\lambda}{2}&0\\ i\frac{\lambda}{2}&-\frac{1}{2}\gamma&0&-i\frac{\lambda}{2}\\ -i\frac{\lambda}{2}&0&-\frac{1}{2}\gamma&i\frac{\lambda}{2}\\ \gamma&-i\frac{\lambda}{2}&i\frac{\lambda}{2}&0\end{array}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E24.m1.2d">over~ start_ARG caligraphic_L end_ARG = ( start_ARRAY start_ROW start_CELL - italic_γ end_CELL start_CELL italic_i divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL start_CELL - italic_i divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_i divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_γ end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_i divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_i divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_γ end_CELL start_CELL italic_i divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_γ end_CELL start_CELL - italic_i divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL start_CELL italic_i divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARRAY ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.7">The complete spectrum of the Liouvillian superoperator <math alttext="\mathcal{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.3.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p1.3.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p1.3.m1.1.1" xref="S5.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.3.m1.1b"><ci id="S5.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m1.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.3.m1.1c">\mathcal{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.3.m1.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> can be obtained by solving the eigen-equation: <math alttext="\widetilde{\mathcal{L}}|\rho_{k}\rangle=\varepsilon_{k}|\rho_{k}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.4.m2.2"><semantics id="S5.SS2.p1.4.m2.2a"><mrow id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.3" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mi id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.3" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.4.m2.2b"><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2"><eq id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.3"></eq><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1"><times id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3"><ci id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3.2">ℒ</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2"><times id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.2"></times><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.2">𝜀</ci><ci id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.4.m2.2c">\widetilde{\mathcal{L}}|\rho_{k}\rangle=\varepsilon_{k}|\rho_{k}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.4.m2.2d">over~ start_ARG caligraphic_L end_ARG | italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, where <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.5.m3.1"><semantics id="S5.SS2.p1.5.m3.1a"><mi id="S5.SS2.p1.5.m3.1.1" xref="S5.SS2.p1.5.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.5.m3.1b"><ci id="S5.SS2.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.5.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.5.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math> represents the eigenvalue and <math alttext="|\rho_{k}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.6.m4.1"><semantics id="S5.SS2.p1.6.m4.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.6.m4.1b"><apply id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m4.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.6.m4.1c">|\rho_{k}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.6.m4.1d">| italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> denotes its corresponding eigenmatrix. The NESS is unique and corresponds to the eigenvalue <math alttext="\varepsilon_{k}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.7.m5.1"><semantics id="S5.SS2.p1.7.m5.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.7.m5.1b"><apply id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.2">𝜀</ci><ci id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.7.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.7.m5.1c">\varepsilon_{k}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.7.m5.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. Straightforward algebra reveals that the corresponding eigenmatrix is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{\lambda^{2}}{2\lambda^{2}+% \gamma^{2}}&-i\frac{\lambda\gamma}{2\lambda^{2}+\gamma^{2}}\\ i\frac{\lambda\gamma}{2\lambda^{2}+\gamma^{2}}&\frac{\lambda^{2}+\gamma^{2}}{2% \lambda^{2}+\gamma^{2}}\end{array}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E25.m1.2"><semantics id="S5.E25.m1.2a"><mrow id="S5.E25.m1.2.2.1" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.2.2.1.1" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.E25.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">NESS</mi></msub><mo id="S5.E25.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E25.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.E25.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.E25.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.E25.m1.1.1a" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E25.m1.1.1b" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S5.E25.m1.1.1c" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1a" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3a" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mrow id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml"><mn id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.1" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.E25.m1.1.1d" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E25.m1.1.1e" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3a" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mrow id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="S5.E25.m1.1.1f" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mfrac id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1a" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><msup id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mn id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.E25.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.E25.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E25.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E25.m1.2b"><apply id="S5.E25.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E25.m1.2.2.1"><eq id="S5.E25.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.2.3">NESS</ci></apply><matrix id="S5.E25.m1.1.1.cmml" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.3.2"><matrixrow id="S5.E25.m1.1.1a.cmml" xref="S5.E25.m1.2.2.1.1.3.2"><apply id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜆</ci><cn id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E25.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1"><minus id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2"><times id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.1"></times><ci id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.2">𝑖</ci><apply id="S5.E25.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" 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xref="S5.E25.m1.1.1.2.2.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E25.m1.2c">\rho_{\mathrm{NESS}}=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{\lambda^{2}}{2\lambda^{2}+% \gamma^{2}}&-i\frac{\lambda\gamma}{2\lambda^{2}+\gamma^{2}}\\ i\frac{\lambda\gamma}{2\lambda^{2}+\gamma^{2}}&\frac{\lambda^{2}+\gamma^{2}}{2% \lambda^{2}+\gamma^{2}}\end{array}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E25.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT = ( start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL - italic_i divide start_ARG italic_λ italic_γ end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_i divide start_ARG italic_λ italic_γ end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">V.3 </span>Non-Hermitian Heisenberg model and EP dynamics</h3> <section class="ltx_subsubsection" id="S5.SS3.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">V.3.1 </span>model and EP</h4> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.50">In this subsection, we analyze the non-Hermitian Heisenberg model with a local dissipation channel and identify the EP. According to the main text, the Hamiltonian of the effective non-Hermitian Heisenberg model in the LME under an external field is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}=H_{\mathrm{spin}}+H_{\mathrm{ec}}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E26.m1.1"><semantics id="S5.E26.m1.1a"><mrow id="S5.E26.m1.1.1.1" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E26.m1.1.1.1.1" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E26.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.E26.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mi id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mi id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ec</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.E26.m1.1.1.1.2" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E26.m1.1b"><apply id="S5.E26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1"><eq id="S5.E26.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.2">ℋ</ci><ci id="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.2.3">spin</ci></apply><apply id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><ci id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.2.3">spin</ci></apply><apply id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐻</ci><ci id="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3">ec</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E26.m1.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}=H_{\mathrm{spin}}+H_{\mathrm{ec}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E26.m1.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT = italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT + italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.51">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H_{\mathrm{spin}}=-\frac{1}{2}\sum_{i,j\neq i}J_{ij}(s_{i}^{+}s_{j}^{-}+s_{i}^% {-}s_{j}^{+}+2s_{i}^{z}s_{j}^{z})," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E27.m1.3"><semantics id="S5.E27.m1.3a"><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.E27.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">H</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1a" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.E27.m1.2.2.2" xref="S5.E27.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.E27.m1.2.2.2.4.2" xref="S5.E27.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S5.E27.m1.1.1.1.1" xref="S5.E27.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.E27.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S5.E27.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S5.E27.m1.2.2.2.2" xref="S5.E27.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.E27.m1.2.2.2.3" xref="S5.E27.m1.2.2.2.3.cmml">≠</mo><mi id="S5.E27.m1.2.2.2.5" xref="S5.E27.m1.2.2.2.5.cmml">i</mi></mrow></munder><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">z</mi></msubsup><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">z</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E27.m1.3.3.1.2" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E27.m1.3b"><apply id="S5.E27.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E27.m1.3.3.1"><eq id="S5.E27.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S5.E27.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.E27.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E27.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT + italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.52">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H_{\mathrm{ec}}=\sum_{\left\{i\right\}}\lambda_{i}\mathbf{h}\cdot\mathbf{s}_{i% }-\frac{i}{2}\sum_{i}\Gamma_{i}s_{i}^{+}s_{i}^{-}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E28.m1.2"><semantics id="S5.E28.m1.2a"><mrow id="S5.E28.m1.2.2.1" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E28.m1.2.2.1.1" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.E28.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E28.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">H</mi><mi id="S5.E28.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">ec</mi></msub><mo id="S5.E28.m1.2.2.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><munder id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.E28.m1.1.1.1.3" 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id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2">Γ</ci><ci id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><plus id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.3"></plus></apply><apply id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.1.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.2.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.2.1.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.2.2.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.2.3.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.2.3">𝑖</ci></apply><minus id="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.3.cmml" xref="S5.E28.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4.3"></minus></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E28.m1.2c">H_{\mathrm{ec}}=\sum_{\left\{i\right\}}\lambda_{i}\mathbf{h}\cdot\mathbf{s}_{i% }-\frac{i}{2}\sum_{i}\Gamma_{i}s_{i}^{+}s_{i}^{-}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E28.m1.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT { italic_i } end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT bold_h ⋅ bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.24"><math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be deemed as the external complex magnetic filed. Here, <math alttext="\left\{i\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">{</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1">𝑖</ci></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1c">\left\{i\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1d">{ italic_i }</annotation></semantics></math> represents a set of multiple local sites that are subjected to the local complex fields. The presence of inhomogeneous magnetic fields breaks the <math alttext="SU(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml">U</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.2">𝑆</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.2.3">𝑈</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.1">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1c">SU(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1d">italic_S italic_U ( 2 )</annotation></semantics></math> symmetry, i.e., <math alttext="\left[s^{\pm},\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}\right]\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">[</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">±</mo></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml">≠</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2"><neq id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.3"></neq><interval closure="closed" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3">plus-or-minus</csymbol></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2">ℋ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3">spin</ci></apply></interval><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2c">\left[s^{\pm},\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}\right]\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.2d">[ italic_s start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT , caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT ] ≠ 0</annotation></semantics></math>. However, <math alttext="H_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1c">H_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m6.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, commute with each other when the homogeneous magnetic field and dissipation are applied, i.e., <math alttext="\lambda_{i}=\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1c">\lambda_{i}=\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m7.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Gamma_{i}=\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml">Γ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.2">Γ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1c">\Gamma_{i}=\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m8.1d">roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ</annotation></semantics></math>. Although these Hamiltonians share common eigenstates, the properties of the ground states are unclear due to the non-Hermitian nature of <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m9.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This poses a challenge to perturbation theory in Hermitian quantum mechanics since the omission of high-order corrections cannot be guaranteed in the complex regime. To simplify the analysis, we consider <math alttext="\lambda_{i}=\lambda\delta_{i,1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.4.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.3.3.3.2">𝛿</ci><list id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.4"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2.2.2.2">1</cn></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2c">\lambda_{i}=\lambda\delta_{i,1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m10.2d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\Gamma_{i}=\gamma\delta_{i,1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.2.cmml">Γ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.4.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.2">Γ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.2">𝛾</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.3.3.3.2">𝛿</ci><list id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.4"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2.2.2.2">1</cn></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2c">\Gamma_{i}=\gamma\delta_{i,1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m11.2d">roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> from this point onwards. To proceed, we introduce a similarity transformation <math alttext="\mathcal{S}_{1}=\prod\nolimits_{j}\mathcal{S}_{1}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></msub><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.2">product</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1c">\mathcal{S}_{1}=\prod\nolimits_{j}\mathcal{S}_{1}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m12.1d">caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\mathcal{S}_{1}^{j}=e^{-i\theta s_{j}^{y}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.3.cmml">θ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.3.cmml">y</mi></msubsup></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3"><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3"></minus><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.3">𝜃</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1.1.3.3.2.4.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1c">\mathcal{S}_{1}^{j}=e^{-i\theta s_{j}^{y}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m13.1d">caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_θ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_y end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represents a counter-clockwise spin rotation in the <math alttext="s_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.3.cmml">x</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1c">s_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m14.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-<math alttext="s_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1c">s_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m15.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> plane around the <math alttext="s_{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.3.cmml">y</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1.1.3">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1c">s_{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m16.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-axis by an angle <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m17.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>. Here <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m18.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> is a complex number dependent on the strength of the complex field, given by <math alttext="\theta=\tan^{-1}\left(2\lambda/i\gamma\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.4.cmml">θ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.3.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.2.cmml">tan</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml"><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.3"></eq><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.4">𝜃</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><tan id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.2"></tan><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2"><divide id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.1"></divide><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.1"></times><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.2">2</cn><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2.2.2.2.2.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2c">\theta=\tan^{-1}\left(2\lambda/i\gamma\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m19.2d">italic_θ = roman_tan start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_λ / italic_i italic_γ )</annotation></semantics></math>. It is important to note that the spin rotation <math alttext="\mathcal{S}_{1}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1a"><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.3.cmml">j</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1c">\mathcal{S}_{1}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m20.1d">caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is valid at arbitrary <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m21.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> except at EP of <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m22.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m23.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>), where <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m24.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> takes a non-diagonalizable Jordan block form. Under the spin-rotation, the transformed Hamiltonian is as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx6"> <tbody id="S5.E29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E29.m1.1"><semantics id="S5.E29.m1.1a"><msub id="S5.E29.m1.1.1" xref="S5.E29.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.E29.m1.1.1.2" xref="S5.E29.m1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E29.m1.1.1.2.2" xref="S5.E29.m1.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.E29.m1.1.1.2.1" xref="S5.E29.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.E29.m1.1.1.3" xref="S5.E29.m1.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E29.m1.1b"><apply id="S5.E29.m1.1.1.cmml" xref="S5.E29.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E29.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E29.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.E29.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E29.m1.1.1.2"><ci id="S5.E29.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E29.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.E29.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E29.m1.1.1.2.2">ℋ</ci></apply><ci id="S5.E29.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E29.m1.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E29.m1.1c">\displaystyle\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E29.m1.1d">over¯ start_ARG caligraphic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E29.m2.1"><semantics id="S5.E29.m2.1a"><mo id="S5.E29.m2.1.1" xref="S5.E29.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E29.m2.1b"><eq id="S5.E29.m2.1.1.cmml" xref="S5.E29.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E29.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E29.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overline{H}_{\mathrm{spin}}+\overline{H}_{\mathrm{ec}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E29.m3.1"><semantics id="S5.E29.m3.1a"><mrow id="S5.E29.m3.1.1.1" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E29.m3.1.1.1.1" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.E29.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">ec</mi></msub></mrow><mo id="S5.E29.m3.1.1.1.2" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E29.m3.1b"><apply id="S5.E29.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1"><plus id="S5.E29.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.2.3">spin</ci></apply><apply id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E29.m3.1.1.1.1.3.3">ec</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E29.m3.1c">\displaystyle\overline{H}_{\mathrm{spin}}+\overline{H}_{\mathrm{ec}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E29.m3.1d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overline{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E30.m1.1"><semantics id="S5.E30.m1.1a"><msub id="S5.E30.m1.1.1" xref="S5.E30.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.E30.m1.1.1.2" xref="S5.E30.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E30.m1.1.1.2.2" xref="S5.E30.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.E30.m1.1.1.2.1" xref="S5.E30.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.E30.m1.1.1.3" xref="S5.E30.m1.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E30.m1.1b"><apply id="S5.E30.m1.1.1.cmml" xref="S5.E30.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E30.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E30.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.E30.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E30.m1.1.1.2"><ci id="S5.E30.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E30.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.E30.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E30.m1.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.E30.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E30.m1.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E30.m1.1c">\displaystyle\overline{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E30.m1.1d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E30.m2.1"><semantics id="S5.E30.m2.1a"><mo id="S5.E30.m2.1.1" xref="S5.E30.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E30.m2.1b"><eq id="S5.E30.m2.1.1.cmml" xref="S5.E30.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E30.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E30.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i,j\neq i}J_{ij}(\tau_{i}^{+}\tau_{j}^{-}+\tau_% {i}^{-}\tau_{j}^{+}+2\tau_{i}^{z}\tau_{j}^{z})," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E30.m3.3"><semantics id="S5.E30.m3.3a"><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1a" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.3a" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.E30.m3.2.2.2" xref="S5.E30.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.E30.m3.2.2.2.4.2" xref="S5.E30.m3.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S5.E30.m3.1.1.1.1" xref="S5.E30.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.E30.m3.2.2.2.4.2.1" xref="S5.E30.m3.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S5.E30.m3.2.2.2.2" xref="S5.E30.m3.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.E30.m3.2.2.2.3" xref="S5.E30.m3.2.2.2.3.cmml">≠</mo><mi id="S5.E30.m3.2.2.2.5" xref="S5.E30.m3.2.2.2.5.cmml">i</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.E30.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" 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start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT + italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overline{H}_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E31.m1.1"><semantics id="S5.E31.m1.1a"><msub id="S5.E31.m1.1.1" xref="S5.E31.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.E31.m1.1.1.2" xref="S5.E31.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E31.m1.1.1.2.2" xref="S5.E31.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.E31.m1.1.1.2.1" xref="S5.E31.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.E31.m1.1.1.3" xref="S5.E31.m1.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E31.m1.1b"><apply id="S5.E31.m1.1.1.cmml" xref="S5.E31.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E31.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E31.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.E31.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E31.m1.1.1.2"><ci id="S5.E31.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E31.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.E31.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E31.m1.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.E31.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E31.m1.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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id="S5.E31.m3.1a"><mrow id="S5.E31.m3.1.1.1" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E31.m3.1.1.1.1" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.cmml"><msqrt id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><msup id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">4</mn></mrow></mrow></msqrt><mo id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">z</mi></msubsup></mrow><mo id="S5.E31.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E31.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E31.m3.1.1.1.1.3a" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo 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id="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E31.m3.1.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E31.m3.1c">\displaystyle\sqrt{\lambda^{2}-\gamma^{2}/4}\tau_{1}^{z}-\frac{i\gamma}{4},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E31.m3.1d">square-root start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 4 end_ARG italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i italic_γ end_ARG start_ARG 4 end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.49">where the new set of operators <math alttext="\tau_{j}^{\pm}=(\mathcal{S}_{1}^{j})^{-1}s_{j}^{\pm}\mathcal{S}_{1}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.2a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.3">plus-or-minus</csymbol></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.3.3">plus-or-minus</csymbol></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1c">\tau_{j}^{\pm}=(\mathcal{S}_{1}^{j})^{-1}s_{j}^{\pm}\mathcal{S}_{1}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT = ( caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{j}^{z}=(\mathcal{S}_{1}^{j})^{-1}s_{j}^{z}\mathcal{S}_{1}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.3.cmml">z</mi></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.3.cmml">z</mi></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.2a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1c">\tau_{j}^{z}=(\mathcal{S}_{1}^{j})^{-1}s_{j}^{z}\mathcal{S}_{1}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT = ( caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> also satisfies the Lie algebra. We omit the overall decay factor <math alttext="-i\gamma/4" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.3.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1"><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1"></minus><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2"><divide id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.1"></divide><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1.1.2.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1c">-i\gamma/4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m3.1d">- italic_i italic_γ / 4</annotation></semantics></math> which served as the energy base has no effects on the subsequent evolution. Specifically, they obey the commutation relations <math alttext="[\tau_{i}^{z},\tau_{j}^{\pm}]=\pm\tau_{i}^{\pm}\delta_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.3.cmml">[</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.cmml">±</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.cmml"><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.3"></eq><interval closure="closed" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.2.2.2.3">plus-or-minus</csymbol></apply></interval><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4">plus-or-minus</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.2.3">plus-or-minus</csymbol></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.2">𝛿</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2.2.4.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2c">[\tau_{i}^{z},\tau_{j}^{\pm}]=\pm\tau_{i}^{\pm}\delta_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m4.2d">[ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT ] = ± italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="[\tau_{i}^{+},\tau_{j}^{-}]=2\tau_{i}^{z}\delta_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.3.cmml">[</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.cmml"><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.2.cmml">2</mn><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.3.cmml">z</mi></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.3"></eq><interval closure="closed" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><plus id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.1.1.1.1.1.3"></plus></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.2.2.2.3"></minus></apply></interval><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.1"></times><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.2">2</cn><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.2">𝛿</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2.2.4.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2c">[\tau_{i}^{+},\tau_{j}^{-}]=2\tau_{i}^{z}\delta_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m5.2d">[ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ] = 2 italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. It is important to note that <math alttext="\tau_{j}^{\pm}\neq(\tau_{j}^{\mp})^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.2.cmml">≠</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∓</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.3.cmml">†</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1"><neq id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.2"></neq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.3.3">plus-or-minus</csymbol></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.1.1.1.3">minus-or-plus</csymbol></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1.1.1.3">†</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1c">\tau_{j}^{\pm}\neq(\tau_{j}^{\mp})^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m6.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT ≠ ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∓ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> due to the complex rotation angle <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m7.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>. We consider the eigenstates of the operator <math alttext="\sum_{i}s_{i}^{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.3.cmml">z</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.2"></sum><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1.1.2.3">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1c">\sum_{i}s_{i}^{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m8.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, denoted as <math alttext="\left\{\left|\psi_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1c">\left\{\left|\psi_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m9.1d">{ | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math>, which represent possible spin configurations along the <math alttext="+z" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1.cmml">+</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1.2.cmml">z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1"><plus id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1c">+z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m10.1d">+ italic_z</annotation></semantics></math> direction. Under the biorthogonal basis of <math alttext="\{\mathcal{S}^{-1}\left|\psi_{n}\right\rangle\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.2">𝒮</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3"><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1c">\{\mathcal{S}^{-1}\left|\psi_{n}\right\rangle\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m11.1d">{ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> and <math alttext="\{\mathcal{S}^{\dagger}\left|\psi_{n}\right\rangle\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒮</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.2">𝒮</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.3.3">†</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1c">\{\mathcal{S}^{\dagger}\left|\psi_{n}\right\rangle\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m12.1d">{ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math>, the matrix form of <math alttext="\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.2.2">ℋ</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1c">\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m13.1d">over¯ start_ARG caligraphic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is Hermitian for <math alttext="\lambda>\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1"><gt id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.1"></gt><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1c">\lambda>\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m14.1d">italic_λ > italic_γ / 2</annotation></semantics></math> except a complex energy base. Although the presence of the local complex field breaks the SU(2) symmetry of the system, as indicated by <math alttext="[\overline{H}_{\mathrm{ec}}," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1b"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1.1" stretchy="false">[</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1.2"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1.2.2.2">H</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1.2.2.1">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1.2.3">ec</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1.3">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1c">[\overline{H}_{\mathrm{ec}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m15.1d">[ over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math> <math alttext="\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}]\neq 0" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1b"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1.1"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1.1.2"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1.1.2.2">ℋ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1.1.2.1">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1.1.3">spin</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1.2" stretchy="false">]</mo><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1.3">≠</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1.4">0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1c">\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}]\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m16.1d">over¯ start_ARG caligraphic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT ] ≠ 0</annotation></semantics></math>, the entirely real spectrum remains without symmetry protection. When <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m17.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, the transformation of <math alttext="\mathcal{S}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.2">𝒮</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1c">\mathcal{S}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.42.m18.1d">caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is ill-defined, indicating that <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.43.m19.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is non-diagonalizable, which corresponds to the presence of an EP. In principle, the EP of <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.44.m20.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> or <math alttext="\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.2.2">ℋ</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1c">\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.45.m21.1d">over¯ start_ARG caligraphic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> may not coincide with the EP of <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.46.m22.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> at <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.47.m23.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>. In the following, we will demonstrate that <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.48.m24.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.49.m25.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> exhibit the same EP behavior within the framework of perturbation theory.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.11">The Hermiticity of the matrix representation of <math alttext="\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2">ℋ</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1c">\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1d">over¯ start_ARG caligraphic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> allows us to apply various approximation methods in quantum mechanics. As<math alttext="\ \gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1c">\ \gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> approaches <math alttext="2\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1"></times><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2">2</cn><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1c">2\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1d">2 italic_λ</annotation></semantics></math>, the value of <math alttext="\sqrt{\lambda^{2}-\gamma^{2}/4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1a"><msqrt id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></mrow></mrow></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1"><root id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1a.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1"></root><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2"><minus id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.1"></divide><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1c">\sqrt{\lambda^{2}-\gamma^{2}/4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1d">square-root start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 4 end_ARG</annotation></semantics></math> becomes small, allowing <math alttext="\overline{H}_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1c">\overline{H}_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m5.1d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the new frame to be treated as a weak perturbation. Our focus is on the influence of <math alttext="\overline{H}_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1c">\overline{H}_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m6.1d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on the ground states <math alttext="\left\{\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1c">\left\{\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m7.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> of <math alttext="\overline{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1c">\overline{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m8.1d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Due to the properties of the ferromagnetic spin system <math alttext="\overline{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1c">\overline{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m9.1d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the ground states <math alttext="\left\{\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1c">\left\{\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m10.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math> exhibit <math alttext="(N+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1"><plus id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1c">(N+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m11.1d">( italic_N + 1 )</annotation></semantics></math> fold-degeneracy and can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle=(\sum_{i}\tau_{i}^{-})^{n-1}\left|\Uparrow% \right\rangle^{\prime}\text{ }\left(n=1,\text{ }2\text{ }...\text{ }N+1\right)% \text{, }" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E32.m1.5"><semantics id="S5.E32.m1.5a"><mrow id="S5.E32.m1.5.5" xref="S5.E32.m1.5.5.cmml"><mrow id="S5.E32.m1.3.3.1.1" xref="S5.E32.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S5.E32.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.E32.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.E32.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.E32.m1.3.3.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.E32.m1.5.5.4" xref="S5.E32.m1.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.E32.m1.5.5.3" xref="S5.E32.m1.5.5.3.cmml"><msup id="S5.E32.m1.4.4.2.1" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.cmml"><mrow id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><munder id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></munder><msubsup id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.E32.m1.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S5.E32.m1.5.5.3.3b" xref="S5.E32.m1.5.5.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.cmml"><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.2" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.3" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.2" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.E32.m1.2.2" xref="S5.E32.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.2" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.2a.cmml"> </mtext><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.4a.cmml"> </mtext><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.5" mathvariant="normal" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.5.cmml">…</mi><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1c" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.6" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.6a.cmml"> </mtext><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1d" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.7" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.7.cmml">N</mi></mrow><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.3" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E32.m1.5.5.3.3c" xref="S5.E32.m1.5.5.3.3.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.E32.m1.5.5.3.6" xref="S5.E32.m1.5.5.3.6a.cmml">, </mtext></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E32.m1.5b"><apply id="S5.E32.m1.5.5.cmml" xref="S5.E32.m1.5.5"><eq id="S5.E32.m1.5.5.4.cmml" xref="S5.E32.m1.5.5.4"></eq><apply id="S5.E32.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E32.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E32.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E32.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" 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id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.6"> </mtext></ci><ci id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.2.7">𝑁</ci></apply><cn id="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E32.m1.5.5.3.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply><ci id="S5.E32.m1.5.5.3.6a.cmml" xref="S5.E32.m1.5.5.3.6"><mtext id="S5.E32.m1.5.5.3.6.cmml" xref="S5.E32.m1.5.5.3.6">, </mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E32.m1.5c">\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle=(\sum_{i}\tau_{i}^{-})^{n-1}\left|\Uparrow% \right\rangle^{\prime}\text{ }\left(n=1,\text{ }2\text{ }...\text{ }N+1\right)% \text{, }</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E32.m1.5d">| italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | ⇑ ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n = 1 , 2 … italic_N + 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.44">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left|\Uparrow\right\rangle^{\prime}=(\mathcal{S}_{1})^{-1}\left|\Uparrow% \right\rangle\text{, and }\left|\Uparrow\right\rangle=\prod\limits_{i=1}^{N}% \left|\uparrow\right\rangle_{i}\text{.}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E33.m1.5"><semantics id="S5.E33.m1.5a"><mrow id="S5.E33.m1.5.5" xref="S5.E33.m1.5.5.cmml"><msup id="S5.E33.m1.5.5.3" xref="S5.E33.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S5.E33.m1.5.5.3.2.2" xref="S5.E33.m1.5.5.3.2.1.cmml"><mo id="S5.E33.m1.5.5.3.2.2.1" xref="S5.E33.m1.5.5.3.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S5.E33.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S5.E33.m1.1.1.cmml">⇑</mo><mo id="S5.E33.m1.5.5.3.2.2.2" xref="S5.E33.m1.5.5.3.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.E33.m1.5.5.3.3" xref="S5.E33.m1.5.5.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.E33.m1.5.5.4" xref="S5.E33.m1.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.E33.m1.5.5.1" xref="S5.E33.m1.5.5.1.cmml"><msup id="S5.E33.m1.5.5.1.1" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.E33.m1.5.5.1.1.3" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.1.3a" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E33.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S5.E33.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.2" xref="S5.E33.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E33.m1.5.5.1.3.2" xref="S5.E33.m1.5.5.1.3.1.cmml"><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.3.2.1" xref="S5.E33.m1.5.5.1.3.1.1.cmml">|</mo><mo id="S5.E33.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S5.E33.m1.2.2.cmml">⇑</mo><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.3.2.2" xref="S5.E33.m1.5.5.1.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.2a" xref="S5.E33.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.E33.m1.5.5.1.4" xref="S5.E33.m1.5.5.1.4a.cmml">, and </mtext><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.2b" xref="S5.E33.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E33.m1.5.5.1.5.2" xref="S5.E33.m1.5.5.1.5.1.cmml"><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.5.2.1" xref="S5.E33.m1.5.5.1.5.1.1.cmml">|</mo><mo id="S5.E33.m1.3.3" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S5.E33.m1.3.3.cmml">⇑</mo><mo id="S5.E33.m1.5.5.1.5.2.2" xref="S5.E33.m1.5.5.1.5.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E33.m1.5.5.5" rspace="0.111em" xref="S5.E33.m1.5.5.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.E33.m1.5.5.6" xref="S5.E33.m1.5.5.6.cmml"><munderover id="S5.E33.m1.5.5.6.1" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.cmml"><mo id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.2" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.1" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.3" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.E33.m1.5.5.6.1.3" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S5.E33.m1.5.5.6.2" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.cmml"><msub id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.cmml"><mrow id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.2" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.1.cmml"><mo id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.2.1" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mo id="S5.E33.m1.4.4" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S5.E33.m1.4.4.cmml">↑</mo><mo id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.2.2" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.3" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.E33.m1.5.5.6.2.1" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.E33.m1.5.5.6.2.3" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.3a.cmml">.</mtext></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E33.m1.5b"><apply id="S5.E33.m1.5.5.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5"><and id="S5.E33.m1.5.5a.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5"></and><apply id="S5.E33.m1.5.5b.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5"><eq id="S5.E33.m1.5.5.4.cmml" 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id="S5.E33.m1.5.5c.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5"><eq id="S5.E33.m1.5.5.5.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.E33.m1.5.5.1.cmml" id="S5.E33.m1.5.5d.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5"></share><apply id="S5.E33.m1.5.5.6.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6"><apply id="S5.E33.m1.5.5.6.1.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E33.m1.5.5.6.1.1.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.2.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.2">product</csymbol><apply id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3"><eq id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.1"></eq><ci id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.E33.m1.5.5.6.1.3.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S5.E33.m1.5.5.6.2.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2"><times id="S5.E33.m1.5.5.6.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.1"></times><apply id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.2.2.1">ket</csymbol><ci id="S5.E33.m1.4.4.cmml" xref="S5.E33.m1.4.4">↑</ci></apply><ci id="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.E33.m1.5.5.6.2.3a.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.3"><mtext id="S5.E33.m1.5.5.6.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.5.5.6.2.3">.</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E33.m1.5c">\left|\Uparrow\right\rangle^{\prime}=(\mathcal{S}_{1})^{-1}\left|\Uparrow% \right\rangle\text{, and }\left|\Uparrow\right\rangle=\prod\limits_{i=1}^{N}% \left|\uparrow\right\rangle_{i}\text{.}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E33.m1.5d">| ⇑ ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = ( caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | ⇑ ⟩ , and | ⇑ ⟩ = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT | ↑ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.20"><math alttext="\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1c">\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m1.1d">| italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> is also the eigenstate of <math alttext="\mathbf{\tau}^{2}=\sum_{i}\mathbf{\tau}_{i}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.3.cmml">i</mi></msub><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1c">\mathbf{\tau}^{2}=\sum_{i}\mathbf{\tau}_{i}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.13.m2.1d">italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\tau=N/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1c">\tau=N/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.14.m3.1d">italic_τ = italic_N / 2</annotation></semantics></math>, where <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.15.m4.1d">italic_N</annotation></semantics></math> denotes the total number of spins. Noticeably, the presence of degenerate ground states is irrelevant to the system’s structure. This property can be observed in other types of systems as well <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Heisenberg (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib78" title="">1928</a>); Yang and Yang (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib79" title="">1966</a>)</cite>. Following the principles of degenerate perturbation theory, the eigenvalues up to first order can be determined by the matrix representation of <math alttext="\overline{H}_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1c">\overline{H}_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.16.m5.1d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> within the subspace spanned by <math alttext="\left\{\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1c">\left\{\left|G_{n}^{\prime}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.17.m6.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math>. For simplicity, we refer to the corresponding perturbed matrix as <math alttext="W^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1a"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1c">W^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.18.m7.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, with elements given by <math alttext="W_{m,n}^{\prime}=\langle\overline{G}_{m}^{\prime}|\overline{H}_{\mathrm{ec}}|G% _{n}^{\prime}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.cmml"><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.2.2.cmml">W</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.4.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.4.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.4.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.5" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.4.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.3.cmml">ec</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.6" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.4.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.4"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.2.2">𝑊</ci><list id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.4"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.5.3">′</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.4">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.4.4.2.2.2.3">ec</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5.5.3.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5c">W_{m,n}^{\prime}=\langle\overline{G}_{m}^{\prime}|\overline{H}_{\mathrm{ec}}|G% _{n}^{\prime}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.19.m8.5d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = ⟨ over¯ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. The biorthogonal left eigenvectors are denoted as <math alttext="\{\langle\overline{G}_{m}^{\prime}|\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1c">\{\langle\overline{G}_{m}^{\prime}|\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.20.m9.1d">{ ⟨ over¯ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | }</annotation></semantics></math> and can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\overline{G}_{m}^{\prime}|=\left\langle\Uparrow\right|\mathcal{S}_{1}(% \sum_{i}\tau_{i}^{+})^{m-1}\text{ }\left(m=1,\text{ }2\text{ }...\text{ }N+1% \right)." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S5.E34.m1.1"><semantics id="S5.E34.m1.1a"><mrow id="S5.E34.m1.1b"><mo id="S5.E34.m1.1.1" stretchy="false">⟨</mo><msubsup id="S5.E34.m1.1.2"><mover accent="true" id="S5.E34.m1.1.2.2.2"><mi id="S5.E34.m1.1.2.2.2.2">G</mi><mo id="S5.E34.m1.1.2.2.2.1">¯</mo></mover><mi id="S5.E34.m1.1.2.2.3">m</mi><mo id="S5.E34.m1.1.2.3">′</mo></msubsup><mo fence="false" id="S5.E34.m1.1.3" stretchy="false">|</mo><mo id="S5.E34.m1.1.4" lspace="0.167em">=</mo><mrow id="S5.E34.m1.1.5"><mo id="S5.E34.m1.1.5.1">⟨</mo><mo id="S5.E34.m1.1.5.2" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false">⇑</mo><mo fence="false" id="S5.E34.m1.1.5.3" rspace="0.167em">|</mo><msub id="S5.E34.m1.1.5.4"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E34.m1.1.5.4.2">𝒮</mi><mn id="S5.E34.m1.1.5.4.3">1</mn></msub><msup id="S5.E34.m1.1.5.5"><mrow id="S5.E34.m1.1.5.5.2"><mo id="S5.E34.m1.1.5.5.2.1" stretchy="false">(</mo><munder id="S5.E34.m1.1.5.5.2.2"><mo id="S5.E34.m1.1.5.5.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false">∑</mo><mi id="S5.E34.m1.1.5.5.2.2.3">i</mi></munder><msubsup id="S5.E34.m1.1.5.5.2.3"><mi id="S5.E34.m1.1.5.5.2.3.2.2">τ</mi><mi id="S5.E34.m1.1.5.5.2.3.2.3">i</mi><mo id="S5.E34.m1.1.5.5.2.3.3">+</mo></msubsup><mo id="S5.E34.m1.1.5.5.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S5.E34.m1.1.5.5.3"><mi id="S5.E34.m1.1.5.5.3.2">m</mi><mo id="S5.E34.m1.1.5.5.3.1">−</mo><mn id="S5.E34.m1.1.5.5.3.3">1</mn></mrow></msup><mtext id="S5.E34.m1.1.5.6"> </mtext><mrow id="S5.E34.m1.1.5.7"><mo id="S5.E34.m1.1.5.7.1">(</mo><mi id="S5.E34.m1.1.5.7.2">m</mi><mo id="S5.E34.m1.1.5.7.3">=</mo><mn id="S5.E34.m1.1.5.7.4">1</mn><mo id="S5.E34.m1.1.5.7.5">,</mo><mtext id="S5.E34.m1.1.5.7.6"> </mtext><mn id="S5.E34.m1.1.5.7.7">2</mn><mtext id="S5.E34.m1.1.5.7.8"> </mtext><mi id="S5.E34.m1.1.5.7.9" mathvariant="normal">…</mi><mtext id="S5.E34.m1.1.5.7.10"> </mtext><mi id="S5.E34.m1.1.5.7.11">N</mi><mo id="S5.E34.m1.1.5.7.12">+</mo><mn id="S5.E34.m1.1.5.7.13">1</mn><mo id="S5.E34.m1.1.5.7.14">)</mo></mrow><mo id="S5.E34.m1.1.5.8" lspace="0em">.</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E34.m1.1c">\langle\overline{G}_{m}^{\prime}|=\left\langle\Uparrow\right|\mathcal{S}_{1}(% \sum_{i}\tau_{i}^{+})^{m-1}\text{ }\left(m=1,\text{ }2\text{ }...\text{ }N+1% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E34.m1.1d">⟨ over¯ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | = ⟨ ⇑ | caligraphic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m = 1 , 2 … italic_N + 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.29">Two important points are highlighted: (i) Owing to the Hermiticity of the matrix <math alttext="W^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1a"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1c">W^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.21.m1.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, higher-order corrections can be safely disregarded as<math alttext="\ \gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1c">\ \gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.22.m2.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> approaches <math alttext="2\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.cmml"><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.1"></times><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.2">2</cn><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1c">2\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.23.m3.1d">2 italic_λ</annotation></semantics></math>. (ii) When a homogeneous magnetic field is applied, <math alttext="\left[\overline{H}_{\mathrm{ec}},\text{ }\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}% }\right]=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.2a.cmml"> </mtext><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">spin</mi></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.5" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.3"></eq><interval closure="closed" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.1.1.1.1.1.3">ec</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.2a.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.2"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.2"> </mtext></ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.2.2">ℋ</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.2.2.2.3.3">spin</ci></apply></apply></interval><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2c">\left[\overline{H}_{\mathrm{ec}},\text{ }\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}% }\right]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.24.m4.2d">[ over¯ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT , over¯ start_ARG caligraphic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT ] = 0</annotation></semantics></math>, enabling the decomposition of <math alttext="\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.2.2">ℋ</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1c">\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.25.m5.1d">over¯ start_ARG caligraphic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> into block matrices based on the eigenvectors of <math alttext="\mathbf{\tau}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1a"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1c">\mathbf{\tau}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.26.m6.1d">italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Consequently, the eigenvalues of <math alttext="W^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1a"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1c">W^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.27.m7.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> comprise the energies of the ground state and <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.28.m8.1d">italic_N</annotation></semantics></math> excited states of <math alttext="\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.2.2">ℋ</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1c">\overline{\mathcal{H}}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.29.m9.1d">over¯ start_ARG caligraphic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. After straightforward algebras, the entry of the matrix can be obtained as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\ W_{m,n}^{\prime}=\sqrt{\lambda^{2}-\gamma^{2}/4}[\left(N/2-m+1\right)\delta_% {m,n}]/N," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E35.m1.5"><semantics id="S5.E35.m1.5a"><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.cmml"><msubsup id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mrow id="S5.E35.m1.2.2.2.4" xref="S5.E35.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E35.m1.1.1.1.1" xref="S5.E35.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.E35.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.E35.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E35.m1.2.2.2.2" xref="S5.E35.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msup id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">4</mn></mrow></mrow></msqrt><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.E35.m1.4.4.2.4" xref="S5.E35.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S5.E35.m1.3.3.1.1" xref="S5.E35.m1.3.3.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.E35.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.E35.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E35.m1.4.4.2.2" xref="S5.E35.m1.4.4.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">/</mo><mi id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E35.m1.5.5.1.2" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E35.m1.5b"><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1"><eq id="S5.E35.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝑊</ci><list id="S5.E35.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E35.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.E35.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E35.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.E35.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E35.m1.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply><ci id="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.3.3">′</ci></apply><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1"><divide id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.2"></divide><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3"><root id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3"></root><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1"></minus><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3"><divide id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.1"></divide><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝛾</ci><cn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.3">4</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></divide><ci id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑁</ci><cn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><list id="S5.E35.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.E35.m1.4.4.2.4"><ci id="S5.E35.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E35.m1.3.3.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.E35.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.E35.m1.4.4.2.2">𝑛</ci></list></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E35.m1.5.5.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E35.m1.5c">\ W_{m,n}^{\prime}=\sqrt{\lambda^{2}-\gamma^{2}/4}[\left(N/2-m+1\right)\delta_% {m,n}]/N,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E35.m1.5d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = square-root start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 4 end_ARG [ ( italic_N / 2 - italic_m + 1 ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT ] / italic_N ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.35">where the factor <math alttext="1/N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1"><divide id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.1"></divide><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1c">1/N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.30.m1.1d">1 / italic_N</annotation></semantics></math> arises from the translation symmetry of the ground state <math alttext="\{\left|G_{n}\right\rangle^{\prime}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.2.cmml">{</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1.1.1.1.3">′</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1c">\{\left|G_{n}\right\rangle^{\prime}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.31.m2.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>. By performing the transformation <math alttext="W=U\mathcal{S}_{1}W^{\prime}(\mathcal{S}_{1})^{-1}U^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.3.cmml">U</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.4.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.2a" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.5" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.5.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.5.2.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.5.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.5.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.2b" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒮</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.2c" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6.2.cmml">U</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.32.m3.1.1.1.6.3.2" 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id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.5" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.4.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.3.cmml">ec</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.2.cmml">U</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.6" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.4.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.4"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.5.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.5.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.5.2">𝑊</ci><list id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.2.2.2.4"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.4">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.3.3.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.2">𝑈</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.3.3">ec</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.2">𝑈</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3"><minus id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3"></minus><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.4.4.2.2.2.4.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.1">~</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5.5.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5c">W_{m,n}=\langle\widetilde{G}_{m}|UH_{\mathrm{ec}}U^{-1}|\widetilde{G}_{n}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.33.m4.5d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | italic_U italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> with <math alttext="|\widetilde{G}_{n}\rangle=U\left|G_{n}\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.3.cmml">U</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.3"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.2"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.3">𝑈</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2c">|\widetilde{G}_{n}\rangle=U\left|G_{n}\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.34.m5.2d">| over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_U | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>), the matrix element of <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.35.m6.1d">italic_W</annotation></semantics></math> can be expressed as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx7"> <tbody id="S5.E36"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle W_{m,n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex6.m1.2"><semantics id="S5.Ex6.m1.2a"><msub id="S5.Ex6.m1.2.3" xref="S5.Ex6.m1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.2.3.2" xref="S5.Ex6.m1.2.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S5.Ex6.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex6.m1.2b"><apply id="S5.Ex6.m1.2.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex6.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex6.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.3.2">𝑊</ci><list id="S5.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex6.m1.2c">\displaystyle W_{m,n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex6.m1.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex6.m2.1"><semantics id="S5.Ex6.m2.1a"><mo id="S5.Ex6.m2.1.1" xref="S5.Ex6.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex6.m2.1b"><eq id="S5.Ex6.m2.1.1.cmml" xref="S5.Ex6.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex6.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex6.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{\left(N+1-m\right)m}[\left(\lambda-\gamma/2\right)\delta_{m% +1,n}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.Ex6.m3.3"><semantics id="S5.Ex6.m3.3a"><mrow id="S5.Ex6.m3.3b"><msqrt id="S5.Ex6.m3.1.1"><mrow id="S5.Ex6.m3.1.1.1"><mrow id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1"><mo id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">N</mi><mo id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1.2.1">+</mo><mn id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1.2.3">1</mn></mrow><mo id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1.1">−</mo><mi id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1.3">m</mi></mrow><mo id="S5.Ex6.m3.1.1.1.1.1.3">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex6.m3.1.1.1.2">⁢</mo><mi id="S5.Ex6.m3.1.1.1.3">m</mi></mrow></msqrt><mrow id="S5.Ex6.m3.3.4"><mo id="S5.Ex6.m3.3.4.1" stretchy="false">[</mo><mrow id="S5.Ex6.m3.3.4.2"><mo id="S5.Ex6.m3.3.4.2.1">(</mo><mi id="S5.Ex6.m3.3.4.2.2">λ</mi><mo id="S5.Ex6.m3.3.4.2.3">−</mo><mi id="S5.Ex6.m3.3.4.2.4">γ</mi><mo id="S5.Ex6.m3.3.4.2.5">/</mo><mn id="S5.Ex6.m3.3.4.2.6">2</mn><mo id="S5.Ex6.m3.3.4.2.7">)</mo></mrow><msub id="S5.Ex6.m3.3.4.3"><mi id="S5.Ex6.m3.3.4.3.2">δ</mi><mrow id="S5.Ex6.m3.3.3.2.2"><mrow id="S5.Ex6.m3.3.3.2.2.1"><mi id="S5.Ex6.m3.3.3.2.2.1.2">m</mi><mo id="S5.Ex6.m3.3.3.2.2.1.1">+</mo><mn id="S5.Ex6.m3.3.3.2.2.1.3">1</mn></mrow><mo id="S5.Ex6.m3.3.3.2.2.2">,</mo><mi id="S5.Ex6.m3.2.2.1.1">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex6.m3.3c">\displaystyle\sqrt{\left(N+1-m\right)m}[\left(\lambda-\gamma/2\right)\delta_{m% +1,n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex6.m3.3d">square-root start_ARG ( italic_N + 1 - italic_m ) italic_m end_ARG [ ( italic_λ - italic_γ / 2 ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 , italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(36)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\left(\lambda+\gamma/2\right)\delta_{m,n+1}]/2N." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.E36.m1.2"><semantics id="S5.E36.m1.2a"><mrow id="S5.E36.m1.2b"><mo id="S5.E36.m1.2.3">+</mo><mrow id="S5.E36.m1.2.4"><mo id="S5.E36.m1.2.4.1">(</mo><mi id="S5.E36.m1.2.4.2">λ</mi><mo id="S5.E36.m1.2.4.3">+</mo><mi id="S5.E36.m1.2.4.4">γ</mi><mo id="S5.E36.m1.2.4.5">/</mo><mn id="S5.E36.m1.2.4.6">2</mn><mo id="S5.E36.m1.2.4.7">)</mo></mrow><msub id="S5.E36.m1.2.5"><mi id="S5.E36.m1.2.5.2">δ</mi><mrow id="S5.E36.m1.2.2.2.2"><mi id="S5.E36.m1.1.1.1.1">m</mi><mo id="S5.E36.m1.2.2.2.2.2">,</mo><mrow id="S5.E36.m1.2.2.2.2.1"><mi id="S5.E36.m1.2.2.2.2.1.2">n</mi><mo id="S5.E36.m1.2.2.2.2.1.1">+</mo><mn id="S5.E36.m1.2.2.2.2.1.3">1</mn></mrow></mrow></msub><mo id="S5.E36.m1.2.6" stretchy="false">]</mo><mo id="S5.E36.m1.2.7">/</mo><mn id="S5.E36.m1.2.8">2</mn><mi id="S5.E36.m1.2.9">N</mi><mo id="S5.E36.m1.2.10" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E36.m1.2c">\displaystyle+\left(\lambda+\gamma/2\right)\delta_{m,n+1}]/2N.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E36.m1.2d">+ ( italic_λ + italic_γ / 2 ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ] / 2 italic_N .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.43">When <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.36.m1.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>, it reduces to a Jordan block form, and an EP of order <math alttext="N+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1"><plus id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1c">N+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.37.m2.1d">italic_N + 1</annotation></semantics></math> occurs. The corresponding coalsecent is <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=\prod\nolimits_{j}e^{-i\frac{\pi}{2}s_{j}^{x}}\left|% \Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.2" rspace="0.111em" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.3.cmml">j</mi></msub><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.1.1.cmml">|</mo><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.2"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.2">product</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3"><minus id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3"></minus><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3"></divide><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.2">𝜋</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.2.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2.2.3.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.1.1">⇓</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=\prod\nolimits_{j}e^{-i\frac{\pi}{2}s_{j}^{x}}\left|% \Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.38.m3.2d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT | ⇓ ⟩</annotation></semantics></math>. It is worth mentioning that if we express <math alttext="H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1c">H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.39.m4.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the basis of <math alttext="\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1b"><set id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1c">\left\{\left|G_{n}\right\rangle\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.40.m5.1d">{ | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math>, it describes a <math alttext="\mathcal{PT}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.2.cmml">𝒫</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.3.cmml">𝒯</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.2">𝒫</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1.1.3">𝒯</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1c">\mathcal{PT}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.41.m6.1d">caligraphic_P caligraphic_T</annotation></semantics></math>-symmetric hypercube graph of <math alttext="N+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1"><plus id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1c">N+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.42.m7.1d">italic_N + 1</annotation></semantics></math> dimension <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Zhang <em class="ltx_emph ltx_font_italic">et al.</em> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#bib.bib65" title="">2012</a>)</cite>. The EP also emerges when <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3"><divide id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.43.m8.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S5.SS3.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">V.3.2 </span>high order EP dynamics</h4> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.4">In this subsection, our objective is to generate a saturated ferromagnetic state where all local spins (or conduction electron spins) are aligned parallel to the <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1d">italic_y</annotation></semantics></math>-direction. The non-Hermitian Heisenberg Hamiltonian is represented by Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S3.E8" title="In III Magnetization in open quantum spin systems induced by a local dissipation channel ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) in the main text. Considering the EP <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3"><divide id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m2.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math> within the subspace <math alttext="\{|\widetilde{G}_{n}\rangle\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1b"><set id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1c">\{|\widetilde{G}_{n}\rangle\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m3.1d">{ | over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩ }</annotation></semantics></math>, the matrix form of <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m4.1d">italic_W</annotation></semantics></math> can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{m,n}=\lambda\sqrt{\left(N+1-m\right)m}\delta_{m,n+1}/N," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E37.m1.6"><semantics id="S5.E37.m1.6a"><mrow id="S5.E37.m1.6.6.1" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S5.E37.m1.6.6.1.1" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S5.E37.m1.6.6.1.1.2" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E37.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="S5.E37.m1.2.2.2.4" xref="S5.E37.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E37.m1.1.1.1.1" xref="S5.E37.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.E37.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.E37.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E37.m1.2.2.2.2" xref="S5.E37.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S5.E37.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S5.E37.m1.3.3" xref="S5.E37.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.E37.m1.3.3.1" xref="S5.E37.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E37.m1.3.3.1.2" xref="S5.E37.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E37.m1.3.3.1.3" xref="S5.E37.m1.3.3.1.3.cmml">m</mi></mrow></msqrt><mo id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.1a" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.E37.m1.5.5.2.2" xref="S5.E37.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S5.E37.m1.4.4.1.1" xref="S5.E37.m1.4.4.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.E37.m1.5.5.2.2.2" xref="S5.E37.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.E37.m1.5.5.2.2.1" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.2" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.3" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E37.m1.6.6.1.2" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E37.m1.6b"><apply id="S5.E37.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1"><eq id="S5.E37.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.1"></eq><apply id="S5.E37.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E37.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E37.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.2.2">𝑊</ci><list id="S5.E37.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E37.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.E37.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E37.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.E37.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E37.m1.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3"><divide id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.1"></divide><apply id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2"><times id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E37.m1.3.3.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3"><root id="S5.E37.m1.3.3a.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3"></root><apply id="S5.E37.m1.3.3.1.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1"><times id="S5.E37.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2"><plus id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.E37.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S5.E37.m1.3.3.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.2.3.2">𝛿</ci><list id="S5.E37.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2"><ci id="S5.E37.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.E37.m1.4.4.1.1">𝑚</ci><apply id="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2.1"><plus id="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.1"></plus><ci id="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.2">𝑛</ci><cn id="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E37.m1.5.5.2.2.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply><ci id="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E37.m1.6.6.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E37.m1.6c">W_{m,n}=\lambda\sqrt{\left(N+1-m\right)m}\delta_{m,n+1}/N,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E37.m1.6d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ square-root start_ARG ( italic_N + 1 - italic_m ) italic_m end_ARG italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT / italic_N ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(37)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.10">which corresponds to a Jordan block of dimension <math alttext="N+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1c">N+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1d">italic_N + 1</annotation></semantics></math>. The coalescent eigenstate is <math alttext="|\widetilde{G}_{N+1}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1c">|\widetilde{G}_{N+1}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1d">| over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. It is important to note that <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1d">italic_W</annotation></semantics></math> is a nilpotent matrix with order <math alttext="\left(N+1\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1c">\left(N+1\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m4.1d">( italic_N + 1 )</annotation></semantics></math> meaning that <math alttext="\left(W\right)^{N+1}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.1.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2"><eq id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.1">𝑊</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1c">\left(W\right)^{N+1}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m5.1d">( italic_W ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. The element of matrix <math alttext="W^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1a"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1c">W^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m6.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can be given as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(W^{k}\right)_{mn}=[\prod\limits_{p=m+1-k}^{m}p\left(N+1-p\right)]^{1/2}(% \frac{\lambda}{N})^{k}\delta_{m,n+k}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E38.m1.4"><semantics id="S5.E38.m1.4a"><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msup id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml">+</mo><mn 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xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.1" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E38.m1.3.3.cmml"><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.E38.m1.3.3.cmml">(</mo><mfrac id="S5.E38.m1.3.3" xref="S5.E38.m1.3.3.cmml"><mi id="S5.E38.m1.3.3.2" xref="S5.E38.m1.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.E38.m1.3.3.3" xref="S5.E38.m1.3.3.3.cmml">N</mi></mfrac><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.E38.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.2a" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.E38.m1.2.2.2.2" xref="S5.E38.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E38.m1.1.1.1.1" xref="S5.E38.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.E38.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.E38.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.E38.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mi id="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">k</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S5.E38.m1.4.4.1.2" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E38.m1.4b"><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1"><eq id="S5.E38.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E38.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><apply 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xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3"><minus id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></minus><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><plus id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1"></plus><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><times id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3"><divide id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.1"></divide><cn id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.2">1</cn><cn id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E38.m1.3.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.2.2"><divide id="S5.E38.m1.3.3.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.2.2"></divide><ci id="S5.E38.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.E38.m1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S5.E38.m1.3.3.3.cmml" xref="S5.E38.m1.3.3.3">𝑁</ci></apply><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.E38.m1.4.4.1.1.2.4.2">𝛿</ci><list id="S5.E38.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2"><ci id="S5.E38.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E38.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><apply id="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2.1"><plus id="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.2">𝑛</ci><ci id="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.E38.m1.2.2.2.2.1.3">𝑘</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E38.m1.4c">\left(W^{k}\right)_{mn}=[\prod\limits_{p=m+1-k}^{m}p\left(N+1-p\right)]^{1/2}(% \frac{\lambda}{N})^{k}\delta_{m,n+k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E38.m1.4d">( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_n end_POSTSUBSCRIPT = [ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p = italic_m + 1 - italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT italic_p ( italic_N + 1 - italic_p ) ] start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n + italic_k end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(38)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.14">where <math alttext="k<m+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1"><lt id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.1"></lt><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.2">𝑘</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1c">k<m+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m1.1d">italic_k < italic_m + 1</annotation></semantics></math>. Our attention now shifts to the dynamics of the critical matrix <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m2.1d">italic_W</annotation></semantics></math>, and the evolution of states within this subspace is governed by the propagator <math alttext="\mathcal{U=}e^{-iWt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.4" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.2">𝒰</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3"><minus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3"></minus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.3">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1.1.3.3.2.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1c">\mathcal{U=}e^{-iWt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m3.1d">caligraphic_U = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_W italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Utilizing Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2406.00268v1#S5.E38" title="In V.3.2 high order EP dynamics ‣ V.3 Non-Hermitian Heisenberg model and EP dynamics ‣ V Appendix ‣ Magnetization in a non-equilibrium quantum spin system"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">38</span></a>), we can derive the elements of the propagator <math alttext="\mathcal{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1c">\mathcal{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m4.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math> as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx8"> <tbody id="S5.E39"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{U}_{m,n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex7.m1.2"><semantics id="S5.Ex7.m1.2a"><msub id="S5.Ex7.m1.2.3" xref="S5.Ex7.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.Ex7.m1.2.3.2" xref="S5.Ex7.m1.2.3.2.cmml">𝒰</mi><mrow id="S5.Ex7.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex7.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex7.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex7.m1.2b"><apply id="S5.Ex7.m1.2.3.cmml" xref="S5.Ex7.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex7.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex7.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.2.3.2">𝒰</ci><list id="S5.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex7.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.2.2.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex7.m1.2c">\displaystyle\mathcal{U}_{m,n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex7.m1.2d">caligraphic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex7.m2.1"><semantics id="S5.Ex7.m2.1a"><mo id="S5.Ex7.m2.1.1" xref="S5.Ex7.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex7.m2.1b"><eq id="S5.Ex7.m2.1.1.cmml" xref="S5.Ex7.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex7.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex7.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta_{mn}+\left(\frac{-it\lambda}{N}\right)^{m-n}\frac{h\left(m% -n\right)}{\left(m-n\right)!}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex7.m3.3"><semantics id="S5.Ex7.m3.3a"><mrow id="S5.Ex7.m3.3.4" xref="S5.Ex7.m3.3.4.cmml"><msub id="S5.Ex7.m3.3.4.2" xref="S5.Ex7.m3.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex7.m3.3.4.2.2" xref="S5.Ex7.m3.3.4.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.Ex7.m3.3.4.2.3" xref="S5.Ex7.m3.3.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex7.m3.3.4.2.3.2" xref="S5.Ex7.m3.3.4.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex7.m3.3.4.2.3.1" xref="S5.Ex7.m3.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex7.m3.3.4.2.3.3" xref="S5.Ex7.m3.3.4.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex7.m3.3.4.1" xref="S5.Ex7.m3.3.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex7.m3.3.4.3" xref="S5.Ex7.m3.3.4.3.cmml"><msup id="S5.Ex7.m3.3.4.3.2" xref="S5.Ex7.m3.3.4.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex7.m3.3.4.3.2.2.2" xref="S5.Ex7.m3.3.3.cmml"><mo 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encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex7.m3.3d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_n end_POSTSUBSCRIPT + ( divide start_ARG - italic_i italic_t italic_λ end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_h ( italic_m - italic_n ) end_ARG start_ARG ( italic_m - italic_n ) ! end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(39)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\times[\prod\limits_{p=n+1}^{m}p\left(N+1-p\right)]^{1/2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E39.m1.1"><semantics 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xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.E39.m1.1.1.1.2" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E39.m1.1b"><apply id="S5.E39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E39.m1.1.1.1"><times id="S5.E39.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.2"></times><csymbol cd="latexml" id="S5.E39.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" 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id="S5.E39.m1.1c">\displaystyle\times[\prod\limits_{p=n+1}^{m}p\left(N+1-p\right)]^{1/2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E39.m1.1d">× [ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p = italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT italic_p ( italic_N + 1 - italic_p ) ] start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.21">where <math alttext="h\left(x\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.2.cmml">h</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.2.2">ℎ</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1c">h\left(x\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1d">italic_h ( italic_x )</annotation></semantics></math> is a step function defined as <math alttext="h\left(x\right)=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2"><eq id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.1">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1c">h\left(x\right)=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m2.1d">italic_h ( italic_x ) = 1</annotation></semantics></math> <math alttext="\left(x>0\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1"><gt id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.1"></gt><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1c">\left(x>0\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m3.1d">( italic_x > 0 ) ,</annotation></semantics></math> and <math alttext="h\left(x\right)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2"><eq id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.1">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1c">h\left(x\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m4.1d">italic_h ( italic_x ) = 0</annotation></semantics></math> <math alttext="\left(x<0\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1"><lt id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.1"></lt><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1c">\left(x<0\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m5.1d">( italic_x < 0 )</annotation></semantics></math>. Considering an arbitrary initial state <math alttext="\sum_{n}c_{n}\left(0\right)|\widetilde{G}_{n}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.4.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.4.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.cmml">(</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.2a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2">subscript</csymbol><sum id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.2"></sum><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.3.3">𝑛</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.1.1">0</cn><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2c">\sum_{n}c_{n}\left(0\right)|\widetilde{G}_{n}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m6.2d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) | over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, the coefficient <math alttext="c_{m}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1c">c_{m}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m7.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> of the evolved state is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx9"> <tbody id="S5.E40"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{m}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex8.m1.1"><semantics id="S5.Ex8.m1.1a"><mrow id="S5.Ex8.m1.1.2" xref="S5.Ex8.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex8.m1.1.2.2" xref="S5.Ex8.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex8.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex8.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S5.Ex8.m1.1.2.2.3" xref="S5.Ex8.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex8.m1.1.2.1" xref="S5.Ex8.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex8.m1.1.2.3.2" xref="S5.Ex8.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex8.m1.1.2.3.2.1" xref="S5.Ex8.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex8.m1.1.1" xref="S5.Ex8.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex8.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex8.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex8.m1.1b"><apply id="S5.Ex8.m1.1.2.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.2"><times id="S5.Ex8.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex8.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex8.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex8.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S5.Ex8.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex8.m1.1c">\displaystyle c_{m}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex8.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex8.m2.1"><semantics id="S5.Ex8.m2.1a"><mo id="S5.Ex8.m2.1.1" xref="S5.Ex8.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex8.m2.1b"><eq id="S5.Ex8.m2.1.1.cmml" xref="S5.Ex8.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex8.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex8.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{m}\left(0\right)+\sum_{n\neq m}\left(\frac{-it\lambda}{N}% \right)^{m-n}\frac{h\left(m-n\right)}{\left(m-n\right)!}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex8.m3.4"><semantics id="S5.Ex8.m3.4a"><mrow id="S5.Ex8.m3.4.5" xref="S5.Ex8.m3.4.5.cmml"><mrow id="S5.Ex8.m3.4.5.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.2.cmml"><msub id="S5.Ex8.m3.4.5.2.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex8.m3.4.5.2.2.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S5.Ex8.m3.4.5.2.2.3" xref="S5.Ex8.m3.4.5.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.2.1" xref="S5.Ex8.m3.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex8.m3.4.5.2.3.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.2.cmml"><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.2.3.2.1" xref="S5.Ex8.m3.4.5.2.cmml">(</mo><mn id="S5.Ex8.m3.3.3" xref="S5.Ex8.m3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.2.3.2.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.1" xref="S5.Ex8.m3.4.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex8.m3.4.5.3" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex8.m3.4.5.3.1" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.cmml"><munder id="S5.Ex8.m3.4.5.3.1a" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.3" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.3.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.3.1" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.3.1.cmml">≠</mo><mi id="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.3.3" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.cmml"><msup id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex8.m3.4.4.cmml"><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex8.m3.4.4.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex8.m3.4.4" xref="S5.Ex8.m3.4.4.cmml"><mfrac id="S5.Ex8.m3.4.4a" xref="S5.Ex8.m3.4.4.cmml"><mrow id="S5.Ex8.m3.4.4.2" xref="S5.Ex8.m3.4.4.2.cmml"><mo id="S5.Ex8.m3.4.4.2a" xref="S5.Ex8.m3.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex8.m3.4.4.2.2" xref="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.2" xref="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.3" xref="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.1a" xref="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.4" xref="S5.Ex8.m3.4.4.2.2.4.cmml">λ</mi></mrow></mrow><mi id="S5.Ex8.m3.4.4.3" xref="S5.Ex8.m3.4.4.3.cmml">N</mi></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex8.m3.4.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.3" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.1" xref="S5.Ex8.m3.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex8.m3.2.2" xref="S5.Ex8.m3.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex8.m3.2.2a" xref="S5.Ex8.m3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex8.m3.1.1.1" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex8.m3.1.1.1.3" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.3.cmml">h</mi><mo id="S5.Ex8.m3.1.1.1.2" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex8.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex8.m3.2.2.2" 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id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.4.2.1" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S5.E40.m1.1.1" xref="S5.E40.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.4.2.2" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E40.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E40.m1.2b"><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1"><times id="S5.E40.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.2"></times><csymbol cd="latexml" id="S5.E40.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1"><times id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><plus id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E40.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><cn id="S5.E40.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.E40.m1.1.1">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E40.m1.2c">\displaystyle\times[\prod\limits_{p=n+1}^{m}p\left(N+1-p\right)]^{1/2}c_{n}% \left(0\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E40.m1.2d">× [ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p = italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT italic_p ( italic_N + 1 - italic_p ) ] start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.25">It is evident that regardless of the initial state chosen, the coefficient <math alttext="c_{N+1}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1c">c_{N+1}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> of evolved state always contains the highest power of time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. As time progresses, the component <math alttext="c_{N+1}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1c">c_{N+1}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m3.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> of the evolved state overwhelms the other components, ensuring the final state is coalescent state <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=\prod\nolimits_{j}e^{-i\frac{\pi}{2}s_{j}^{x}}\left|% \Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.2" rspace="0.111em" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.3.cmml">j</mi></msub><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.3.1.1.cmml">|</mo><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" 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xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.2">product</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.2.cmml" 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id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2.2.3.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.1.1">⇓</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=\prod\nolimits_{j}e^{-i\frac{\pi}{2}s_{j}^{x}}\left|% \Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m4.2d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT | ⇓ ⟩</annotation></semantics></math> under the Dirac normalization. The different types of initial states only determine how the total probability of the evolved state increases over time and the relaxation time for it to evolve towards the coalescent state.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">V.4 </span>NESS of the open quantum spin system subjected to a local magnetic field</h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p1.1">In this subsection, we demonstrate that the critical density matrix <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle\langle\psi_{\mathrm{c}}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.1.m1.2"><semantics id="S5.SS4.p1.1.m1.2a"><mrow id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.1.m1.2b"><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2"><eq id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.4.3">c</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2"><times id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.1.m1.2c">\rho_{\mathrm{c}}=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle\langle\psi_{\mathrm{c}}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.1.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT = | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> is also the NESS of the open quantum spin system. The dynamics of the open quantum spin system under consideration is governed by LME, expressed as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx10"> <tbody id="S5.E41"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\text{{d}}\rho}{\text{{d}}t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex9.m1.1"><semantics id="S5.Ex9.m1.1a"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex9.m1.1.1" xref="S5.Ex9.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex9.m1.1.1a" xref="S5.Ex9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex9.m1.1.1.2" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2.cmml"><mtext id="S5.Ex9.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2.2a.cmml">d</mtext><mo id="S5.Ex9.m1.1.1.2.1" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex9.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></mrow><mrow id="S5.Ex9.m1.1.1.3" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3.cmml"><mtext id="S5.Ex9.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3.2a.cmml">d</mtext><mo id="S5.Ex9.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex9.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac></mstyle><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex9.m1.1b"><apply id="S5.Ex9.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1"><divide id="S5.Ex9.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1"></divide><apply id="S5.Ex9.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2"><times id="S5.Ex9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex9.m1.1.1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2.2"><mtext id="S5.Ex9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2.2">d</mtext></ci><ci id="S5.Ex9.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S5.Ex9.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3"><times id="S5.Ex9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex9.m1.1.1.3.2a.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3.2"><mtext id="S5.Ex9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3.2">d</mtext></ci><ci id="S5.Ex9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex9.m1.1c">\displaystyle\frac{\text{{d}}\rho}{\text{{d}}t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex9.m1.1d">divide start_ARG d italic_ρ end_ARG start_ARG d italic_t end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex9.m2.1"><semantics id="S5.Ex9.m2.1a"><mo id="S5.Ex9.m2.1.1" xref="S5.Ex9.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex9.m2.1b"><eq id="S5.Ex9.m2.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex9.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex9.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-i(\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}\rho-\rho\mathcal{H}_{\mathrm{spin}% }^{\dagger})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex9.m3.1"><semantics id="S5.Ex9.m3.1a"><mrow id="S5.Ex9.m3.1.1" xref="S5.Ex9.m3.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex9.m3.1.1a" xref="S5.Ex9.m3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex9.m3.1.1.1" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex9.m3.1.1.1.3" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex9.m3.1.1.1.2" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">spin</mi><mo id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex9.m3.1b"><apply id="S5.Ex9.m3.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1"><minus id="S5.Ex9.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1"></minus><apply id="S5.Ex9.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1"><times id="S5.Ex9.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex9.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.3">𝑖</ci><apply id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex9.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">ℋ</ci><ci 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class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\gamma\left(s_{1}^{x}-is_{1}^{z}\right)U\rho U^{-1}\left(s_{1}^{% x}+is_{1}^{z}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex10.m1.2"><semantics id="S5.Ex10.m1.2a"><mrow id="S5.Ex10.m1.2.2" xref="S5.Ex10.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex10.m1.2.2a" xref="S5.Ex10.m1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.2.2.2" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.4.cmml">γ</mi><mo id="S5.Ex10.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mi 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id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">x</mi></msubsup><mo id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">z</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑖</ci><apply id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex10.m1.2c">\displaystyle+\gamma\left(s_{1}^{x}-is_{1}^{z}\right)U\rho U^{-1}\left(s_{1}^{% x}+is_{1}^{z}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex10.m1.2d">+ italic_γ ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_U italic_ρ italic_U start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT + italic_i italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\equiv" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E41.m1.1"><semantics id="S5.E41.m1.1a"><mo id="S5.E41.m1.1.1" xref="S5.E41.m1.1.1.cmml">≡</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E41.m1.1b"><equivalent id="S5.E41.m1.1.1.cmml" xref="S5.E41.m1.1.1"></equivalent></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E41.m1.1c">\displaystyle\equiv</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E41.m1.1d">≡</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{L}\rho," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E41.m2.1"><semantics id="S5.E41.m2.1a"><mrow id="S5.E41.m2.1.1.1" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E41.m2.1.1.1.1" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E41.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.E41.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E41.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="S5.E41.m2.1.1.1.2" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E41.m2.1b"><apply id="S5.E41.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E41.m2.1.1.1"><times id="S5.E41.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.E41.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S5.E41.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E41.m2.1.1.1.1.3">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E41.m2.1c">\displaystyle\mathcal{L}\rho,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E41.m2.1d">caligraphic_L italic_ρ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p1.3">where <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.2.m1.1"><semantics id="S5.SS4.p1.2.m1.1a"><mi id="S5.SS4.p1.2.m1.1.1" xref="S5.SS4.p1.2.m1.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.2.m1.1b"><ci id="S5.SS4.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m1.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.2.m1.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.2.m1.1d">italic_U</annotation></semantics></math> is defined as the product of operators <math alttext="U=\prod\nolimits_{j}e^{-i\pi s_{j}^{x}/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.3.m2.1"><semantics id="S5.SS4.p1.3.m2.1a"><mrow id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.2" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.3" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></msub><msup id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3a" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.1" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.1a" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.2" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.3" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.3" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow><mo id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.1" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.3" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.3.m2.1b"><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1"><eq id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3"><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.2">product</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3"><minus id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3"></minus><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2"><divide id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.1"></divide><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2"><times id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.1"></times><ci id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.3">𝜋</ci><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.3.m2.1c">U=\prod\nolimits_{j}e^{-i\pi s_{j}^{x}/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.3.m2.1d">italic_U = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_π italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S5.EGx11"> <tbody id="S5.E42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E42.m1.1"><semantics id="S5.E42.m1.1a"><msub id="S5.E42.m1.1.1" xref="S5.E42.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E42.m1.1.1.2" xref="S5.E42.m1.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.E42.m1.1.1.3" xref="S5.E42.m1.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E42.m1.1b"><apply id="S5.E42.m1.1.1.cmml" xref="S5.E42.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E42.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E42.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E42.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E42.m1.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S5.E42.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E42.m1.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E42.m1.1c">\displaystyle\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E42.m1.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E42.m2.1"><semantics id="S5.E42.m2.1a"><mo id="S5.E42.m2.1.1" xref="S5.E42.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E42.m2.1b"><eq id="S5.E42.m2.1.1.cmml" xref="S5.E42.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E42.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E42.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\mathrm{spin}}+H_{\mathrm{ec}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E42.m3.1"><semantics id="S5.E42.m3.1a"><mrow id="S5.E42.m3.1.1.1" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E42.m3.1.1.1.1" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E42.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mi id="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.E42.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.E42.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mi id="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">ec</mi></msub></mrow><mo id="S5.E42.m3.1.1.1.2" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E42.m3.1b"><apply id="S5.E42.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1"><plus id="S5.E42.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.2.3">spin</ci></apply><apply id="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.2">𝐻</ci><ci id="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E42.m3.1.1.1.1.3.3">ec</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E42.m3.1c">\displaystyle H_{\mathrm{spin}}+H_{\mathrm{ec}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E42.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT + italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(42)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E43.m1.1"><semantics id="S5.E43.m1.1a"><msub id="S5.E43.m1.1.1" xref="S5.E43.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.E43.m1.1.1.2" xref="S5.E43.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.E43.m1.1.1.3" xref="S5.E43.m1.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E43.m1.1b"><apply id="S5.E43.m1.1.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E43.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E43.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.E43.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E43.m1.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E43.m1.1c">\displaystyle H_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E43.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E43.m2.1"><semantics id="S5.E43.m2.1a"><mo id="S5.E43.m2.1.1" xref="S5.E43.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E43.m2.1b"><eq id="S5.E43.m2.1.1.cmml" xref="S5.E43.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E43.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E43.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i,j\neq i}J_{ij}(s_{i}^{+}s_{j}^{-}+s_{i}^{-}s_% {j}^{+}+2s_{i}^{z}s_{j}^{z})," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E43.m3.3"><semantics id="S5.E43.m3.3a"><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1a" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.3a" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.E43.m3.2.2.2" xref="S5.E43.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.E43.m3.2.2.2.4.2" xref="S5.E43.m3.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S5.E43.m3.1.1.1.1" xref="S5.E43.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.E43.m3.2.2.2.4.2.1" xref="S5.E43.m3.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S5.E43.m3.2.2.2.2" xref="S5.E43.m3.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.E43.m3.2.2.2.3" xref="S5.E43.m3.2.2.2.3.cmml">≠</mo><mi id="S5.E43.m3.2.2.2.5" xref="S5.E43.m3.2.2.2.5.cmml">i</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" 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xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" 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id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><apply id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S5.E43.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E43.m3.3c">\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i,j\neq i}J_{ij}(s_{i}^{+}s_{j}^{-}+s_{i}^{-}s_% {j}^{+}+2s_{i}^{z}s_{j}^{z}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E43.m3.3d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j ≠ italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT + italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(43)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\mathrm{ec}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E44.m1.1"><semantics id="S5.E44.m1.1a"><msub id="S5.E44.m1.1.1" xref="S5.E44.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.E44.m1.1.1.2" xref="S5.E44.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="S5.E44.m1.1.1.3" xref="S5.E44.m1.1.1.3.cmml">ec</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E44.m1.1b"><apply id="S5.E44.m1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E44.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E44.m1.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S5.E44.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E44.m1.1.1.3">ec</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E44.m1.1c">\displaystyle H_{\mathrm{ec}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E44.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_ec end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E44.m2.1"><semantics id="S5.E44.m2.1a"><mo id="S5.E44.m2.1.1" xref="S5.E44.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E44.m2.1b"><eq id="S5.E44.m2.1.1.cmml" xref="S5.E44.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E44.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E44.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lambda s_{1}^{x}-\frac{i\gamma}{2}s_{1}^{+}s_{1}^{-}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E44.m3.1"><semantics id="S5.E44.m3.1a"><mrow id="S5.E44.m3.1.1.1" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E44.m3.1.1.1.1" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow><mo id="S5.E44.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2a" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mn id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn><mo id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">s</mi><mn id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">1</mn><mo id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.E44.m3.1.1.1.2" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E44.m3.1b"><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1"><minus id="S5.E44.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2"><times id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3"><times id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2"><divide id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" 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xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.3.3"></plus></apply><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑠</ci><cn id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.2.3">1</cn></apply><minus id="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.E44.m3.1.1.1.1.3.4.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E44.m3.1c">\displaystyle\lambda s_{1}^{x}-\frac{i\gamma}{2}s_{1}^{+}s_{1}^{-},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E44.m3.1d">italic_λ italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_i italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(44)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p1.8">Here <math alttext="\lambda=\gamma/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.4.m1.1"><semantics id="S5.SS4.p1.4.m1.1a"><mrow id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.4.m1.1b"><apply id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1"><eq id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3"><divide id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.4.m1.1c">\lambda=\gamma/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.4.m1.1d">italic_λ = italic_γ / 2</annotation></semantics></math> is assumed when <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.5.m2.1"><semantics id="S5.SS4.p1.5.m2.1a"><msub id="S5.SS4.p1.5.m2.1.1" xref="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.3.cmml">spin</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.5.m2.1b"><apply id="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.5.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.5.m2.1.1.3">spin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.5.m2.1c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.5.m2.1d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is at EP. Next, we substitute <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle\langle\psi_{\mathrm{c}}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.6.m3.2"><semantics id="S5.SS4.p1.6.m3.2a"><mrow id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.cmml"><msub id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.2" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.6.m3.2b"><apply id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2"><eq id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.3"></eq><apply id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.4.3">c</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2"><times id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.3"></times><apply id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.6.m3.2.2.2.2.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.6.m3.2c">\rho_{\mathrm{c}}=|\psi_{\mathrm{c}}\rangle\langle\psi_{\mathrm{c}}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.6.m3.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT = | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> into the above equation. Recalling that the <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=\prod\nolimits_{j}e^{-i\frac{\pi}{2}s_{j}^{x}}\left|% \Downarrow\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.7.m4.2"><semantics id="S5.SS4.p1.7.m4.2a"><mrow id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.2" rspace="0.111em" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.cmml"><msub id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.3" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.3.cmml">j</mi></msub><mrow id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.cmml"><msup id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3a" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.1" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.3" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.1a" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.3" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.3.cmml">x</mi></msubsup></mrow></mrow></msup><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.1" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.2.1" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.1.1.cmml">|</mo><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.7.m4.1.1.cmml">⇓</mo><mo id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.2.2" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.7.m4.2b"><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2"><eq id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.2"></eq><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.3">c</ci></apply></apply><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3"><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.2">product</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2"><times id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.1"></times><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3"><minus id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3"></minus><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2"><times id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.1"></times><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3"><divide id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3"></divide><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.2">𝜋</ci><cn id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.2.3.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.2.2.3.2.3.2.1">ket</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.7.m4.1.1">⇓</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.7.m4.2c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=\prod\nolimits_{j}e^{-i\frac{\pi}{2}s_{j}^{x}}\left|% \Downarrow\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.7.m4.2d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT | ⇓ ⟩</annotation></semantics></math>, we can readily deduce that <math alttext="\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=-i\gamma/4|\psi_{\mathrm{% c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.8.m5.2"><semantics id="S5.SS4.p1.8.m5.2a"><mrow id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.3" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2a" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.1" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.3" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.1" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.3" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.3.cmml">4</mn></mrow><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.8.m5.2b"><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2"><eq id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.3"></eq><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1"><times id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.2">ℋ</ci><ci id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.3.3">spin</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2"><minus id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2"></minus><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1"><times id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.2"></times><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3"><divide id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.1"></divide><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2"><times id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.1"></times><ci id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.3.3">4</cn></apply><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.8.m5.2c">\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}|\psi_{\mathrm{c}}\rangle=-i\gamma/4|\psi_{\mathrm{% c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.8.m5.2d">caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = - italic_i italic_γ / 4 | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, resulting in</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="-i(\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}\rho_{\mathrm{c}}-\rho_{\mathrm{c}}\mathcal{H}_{% \mathrm{spin}}^{\dagger})=-\frac{\gamma}{2}\rho_{\mathrm{c}}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E45.m1.1"><semantics id="S5.E45.m1.1a"><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">spin</mi></msub><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">spin</mi><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E45.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E45.m1.1b"><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1"><eq id="S5.E45.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">ℋ</ci><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">spin</ci></apply><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜌</ci><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">c</ci></apply></apply><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜌</ci><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">c</ci></apply><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">ℋ</ci><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">spin</ci></apply><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">†</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜌</ci><ci id="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">c</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E45.m1.1c">-i(\mathcal{H}_{\mathrm{spin}}\rho_{\mathrm{c}}-\rho_{\mathrm{c}}\mathcal{H}_{% \mathrm{spin}}^{\dagger})=-\frac{\gamma}{2}\rho_{\mathrm{c}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E45.m1.1d">- italic_i ( caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT - italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT roman_spin end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) = - divide start_ARG italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(45)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p1.14">Applying <math alttext="\left(s_{1}^{x}-is_{1}^{z}\right)U" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.9.m1.1"><semantics id="S5.SS4.p1.9.m1.1a"><mrow id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">x</mi></msubsup><mo id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">z</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.3.cmml">U</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.9.m1.1b"><apply id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1"><times id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1"><minus id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><apply id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑧</ci></apply></apply></apply><ci id="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.9.m1.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.9.m1.1c">\left(s_{1}^{x}-is_{1}^{z}\right)U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.9.m1.1d">( italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_U</annotation></semantics></math> to <math alttext="|\psi_{\mathrm{c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.10.m2.1"><semantics id="S5.SS4.p1.10.m2.1a"><mrow id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.10.m2.1b"><apply id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.10.m2.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.10.m2.1c">|\psi_{\mathrm{c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.10.m2.1d">| italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> yields <math alttext="\frac{1}{\sqrt{2}}|\psi_{\mathrm{c}}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.11.m3.1"><semantics id="S5.SS4.p1.11.m3.1a"><mrow id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.cmml"><mfrac id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3.2" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3.2.cmml">2</mn></msqrt></mfrac><mo id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.11.m3.1b"><apply id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1"><times id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.2"></times><apply id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3"><divide id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3"></divide><cn id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.2">1</cn><apply id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3"><root id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3a.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3"></root><cn id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.3.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.11.m3.1.1.1.1.1.3">c</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.11.m3.1c">\frac{1}{\sqrt{2}}|\psi_{\mathrm{c}}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.11.m3.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 end_ARG end_ARG | italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. Thus, we can conclude that <math alttext="\mathcal{L}\rho_{\mathrm{c}}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.12.m4.1"><semantics id="S5.SS4.p1.12.m4.1a"><mrow id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.2" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.1" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.2" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.12.m4.1b"><apply id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1"><eq id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2"><times id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.2">ℒ</ci><apply id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.2.3.3">c</ci></apply></apply><cn id="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.12.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.12.m4.1c">\mathcal{L}\rho_{\mathrm{c}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.12.m4.1d">caligraphic_L italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, demonstrating that <math alttext="\rho_{\mathrm{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.13.m5.1"><semantics id="S5.SS4.p1.13.m5.1a"><msub id="S5.SS4.p1.13.m5.1.1" xref="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.13.m5.1b"><apply id="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.13.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.13.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.13.m5.1.1.3">c</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.13.m5.1c">\rho_{\mathrm{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.13.m5.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is indeed the NESS <math alttext="\rho_{\mathrm{NESS}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.14.m6.1"><semantics id="S5.SS4.p1.14.m6.1a"><msub id="S5.SS4.p1.14.m6.1.1" xref="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.3.cmml">NESS</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.14.m6.1b"><apply id="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.14.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.14.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.14.m6.1.1.3">NESS</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.14.m6.1c">\rho_{\mathrm{NESS}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.14.m6.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_NESS end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the open quantum spin system.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Breuer and Petruccione (2002)</span> <span class="ltx_bibblock">Heinz-Peter Breuer and Francesco Petruccione, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">The theory of open quantum systems</em> (Oxford University Press, USA, 2002). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Weiss (2012)</span> <span class="ltx_bibblock">Ulrich Weiss, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib2.1.1">Quantum dissipative systems</em> (World Scientific, 2012). </span> </li> <li class="ltx_bibitem" 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Hemmer, Fedor Jelezko, and Jörg Wrachtrup, “Ultralong spin coherence time in isotopically engineered diamond,” <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10.1038/nmat2420" title="">Nature Materials <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib5.3.1.1">8</span>, 383–387 (2009)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Lanyon <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib6.2.2.1">et al.</em> (2011)</span> <span class="ltx_bibblock">B. P. Lanyon, C. Hempel, D. Nigg, M. Müller, R. Gerritsma, F. Zähringer, P. Schindler, J. T. Barreiro, M. Rambach, G. Kirchmair, M. Hennrich, P. Zoller, R. Blatt, and C. F. 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Chiu, Widagdo Setiawan, Katherine Wooley-Brown, Sebastian Blatt, and Markus Greiner, “Site-resolved imaging of fermionic <math alttext="{}^{6}\mathrm{Li}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib26.1.m1.1"><semantics id="bib.bib26.1.m1.1a"><mmultiscripts id="bib.bib26.1.m1.1.1" xref="bib.bib26.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib26.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib26.1.m1.1.1.2.cmml">Li</mi><mprescripts id="bib.bib26.1.m1.1.1a" xref="bib.bib26.1.m1.1.1.cmml"></mprescripts><mrow id="bib.bib26.1.m1.1.1b" xref="bib.bib26.1.m1.1.1.cmml"></mrow><mn id="bib.bib26.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib26.1.m1.1.1.3.cmml">6</mn></mmultiscripts><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib26.1.m1.1b"><apply id="bib.bib26.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib26.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib26.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib26.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="bib.bib26.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib26.1.m1.1.1.2">Li</ci><cn id="bib.bib26.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib26.1.m1.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib26.1.m1.1c">{}^{6}\mathrm{Li}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib26.1.m1.1d">start_FLOATSUPERSCRIPT 6 end_FLOATSUPERSCRIPT roman_Li</annotation></semantics></math> in an optical lattice,” <a class="ltx_ref ltx_href" href="http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.114.213002" title="">Phys. Rev. Lett. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib26.4.1.1">114</span>, 213002 (2015)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib27"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Haller <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib27.2.2.1">et al.</em> (2015)</span> <span class="ltx_bibblock">Elmar Haller, James Hudson, Andrew Kelly, Dylan A. Cotta, Bruno Peaudecerf, Graham D. Bruce, and Stefan Kuhr, “Single-atom imaging of fermions in a quantum-gas microscope,” <a class="ltx_ref ltx_href" href="http://dx.doi.org/10.1038/nphys3403" title="">Nature Physics <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib27.3.1.1">11</span>, 738–742 (2015)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib28"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Omran <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib28.2.2.1">et al.</em> (2015)</span> <span class="ltx_bibblock">Ahmed Omran, Martin Boll, Timon A. 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A <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib29.3.1.1">92</span>, 063406 (2015)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib30"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Yamamoto <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib30.2.2.1">et al.</em> (2016)</span> <span class="ltx_bibblock">Ryuta Yamamoto, Jun Kobayashi, Takuma Kuno, Kohei Kato, and Yoshiro Takahashi, “An ytterbium quantum gas microscope with narrow-line laser cooling,” <a class="ltx_ref ltx_href" href="http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/18/2/023016" title="">New Journal of Physics <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib30.3.1.1">18</span>, 023016 (2016)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib31"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Alberti <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib31.2.2.1">et al.</em> (2016)</span> <span class="ltx_bibblock">Andrea Alberti, Carsten Robens, Wolfgang Alt, Stefan Brakhane, Michał Karski, René Reimann, Artur Widera, and Dieter Meschede, “Super-resolution microscopy of single atoms in optical lattices,” <a class="ltx_ref ltx_href" href="http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/18/5/053010" title="">New Journal of Physics <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib31.3.1.1">18</span>, 053010 (2016)</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib32"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Eisert <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib32.2.2.1">et al.</em> (2015)</span> <span class="ltx_bibblock">J. 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Pereira, “Kondo effect in a <math alttext="\mathcal{PT}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib52.1.m1.1"><semantics id="bib.bib52.1.m1.1a"><mrow id="bib.bib52.1.m1.1.1" xref="bib.bib52.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="bib.bib52.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib52.1.m1.1.1.2.cmml">𝒫</mi><mo id="bib.bib52.1.m1.1.1.1" xref="bib.bib52.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="bib.bib52.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib52.1.m1.1.1.3.cmml">𝒯</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib52.1.m1.1b"><apply id="bib.bib52.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib52.1.m1.1.1"><times id="bib.bib52.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib52.1.m1.1.1.1"></times><ci id="bib.bib52.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib52.1.m1.1.1.2">𝒫</ci><ci id="bib.bib52.1.m1.1.1.3.cmml" xref="bib.bib52.1.m1.1.1.3">𝒯</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib52.1.m1.1c">\mathcal{PT}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib52.1.m1.1d">caligraphic_P caligraphic_T</annotation></semantics></math>-symmetric non-hermitian hamiltonian,” <a class="ltx_ref ltx_href" href="http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.98.085126" title="">Phys. 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