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class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#定義"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>定義</span> </div> </a> <ul id="toc-定義-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>例</span> </div> </a> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>性質</span> </div> </a> <ul id="toc-性質-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-基底" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#基底"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>基底</span> </div> </a> <ul id="toc-基底-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-位相的線型包" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#位相的線型包"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>位相的線型包</span> </div> </a> <ul id="toc-位相的線型包-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet 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href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95_%EC%83%9D%EC%84%B1" title="韓国語: 선형 생성" lang="ko" hreflang="ko" data-title="선형 생성" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineair_omhulsel" title="オランダ語: Lineair omhulsel" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Lineair omhulsel" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Podprzestrze%C5%84_liniowa#Powłoka_liniowa" title="ポーランド語: Podprzestrzeń liniowa" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Podprzestrzeń liniowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vectorial_gerado" title="ポルトガル語: Espaço vectorial gerado" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Espaço vectorial gerado" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE#Линейная_оболочка" title="ロシア語: Векторное пространство" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Векторное пространство" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Linearna_ogrinja%C4%8Da" title="スロベニア語: Linearna ogrinjača" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Linearna ogrinjača" 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フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>の特に<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a>あるいはより一般の<a href="/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="函数解析学">函数解析学</a>において、<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>内の与えられたベクトルからなる集合の（線型に）<b>張る</b>部分空間 (<i>linear span</i>) あるいは<b>線型包</b>（せんけいほう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>linear hull</i></span>; 線型苞）もしくは<b>生成する</b> (generated, spanned) 部分空間は、その集合を含む<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E9%83%A8%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93" title="線型部分空間">線型部分空間</a>すべての<a href="/wiki/%E5%85%B1%E9%80%9A%E9%83%A8%E5%88%86" class="mw-redirect" title="共通部分">交わり</a>である<sup id="cite_ref-FOOTNOTEPetersen2012Definition_1.10.7_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEPetersen2012Definition_1.10.7-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。したがって、その集合を含む最小の部分空間である。また、それはその集合に属するベクトルのすべての<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88" title="線型結合">線型結合</a>からなる集合として実現される。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a> <b>K</b> 上の<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a> <i>V</i> が与えられたとき、<i>V</i> の（必ずしも有限でない）部分集合 <i>S</i> に対して、以下は同値である。 </p> <ul><li><i>W</i> は <i>S</i> に属するベクトルによる線型結合<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>注 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>全体の成す集合である。</li> <li><i>W</i> は <i>S</i> を含む <i>V</i> のすべての部分空間交わりである。</li> <li><i>W</i> は <i>S</i> を含む <i>V</i> の最小の部分空間である。</li></ul> <p>このとき <i>W</i> を <i>S</i> の<b>線型包</b> (<i>linear span</i>), <i>S</i> の<b>生成する部分空間</b> (<i>generated subspace</i>), <i>S</i> の（あるいは <i>S</i> に属するベクトルたちの）張る部分空間 (<i>spanned subspace</i>) などと呼び、逆に <i>S</i> を <i>W</i> を生成する集合 (<i>generating set</i>)、張る集合 (<i>spanning set</i>) 、生成系などと呼ぶ。<i>S</i> の線型包は ⟨<i>S</i>⟩, span(<i>S</i>), lin(<i>S</i>), <i>L</i>(<i>S</i>) などで表され、また <i>S</i> が <i>V</i> の有限集合のとき <i>S</i> = {<i>v</i><sub>1</sub>, …, <i>v</i><sub><i>r</i></sub>} とおけば、その線型包 span(<i>S</i>) は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{span}}(v_{1},\dots ,v_{r})=\langle v_{1},\dots ,v_{r}\rangle _{\mathbb {K} }={\mathcal {L}}(v_{1},\dots ,v_{r})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>span</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{span}}(v_{1},\dots ,v_{r})=\langle v_{1},\dots ,v_{r}\rangle _{\mathbb {K} }={\mathcal {L}}(v_{1},\dots ,v_{r})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d15752960e40f73839515e835aa7f2fd637e79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.787ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\text{span}}(v_{1},\dots ,v_{r})=\langle v_{1},\dots ,v_{r}\rangle _{\mathbb {K} }={\mathcal {L}}(v_{1},\dots ,v_{r})}"></span></dd></dl> <p>などとも表される。 </p><p>線型結合の全体であるという性質を具体的に書けば、<i>S</i> の線型包は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle S\rangle =\left\{\,\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {K} ,v_{i}\in S,n\in \mathbb {N} \,\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>S</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∣</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle S\rangle =\left\{\,\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {K} ,v_{i}\in S,n\in \mathbb {N} \,\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827e72d3d33bf214b1fe3b6ff1a54962135a204a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:42.006ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \langle S\rangle =\left\{\,\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {K} ,v_{i}\in S,n\in \mathbb {N} \,\right\}}"></span></dd></dl> <p>で与えられることがわかる<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。特に <i>S</i> が <i>V</i> の有限集合のとき <i>S</i> = {<i>v</i><sub>1</sub>, …, <i>v</i><sub><i>r</i></sub>} とおけば、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}\rangle =\{\,\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\cdots +\alpha _{r}v_{r}\mid \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {K} \,\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>∣</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}\rangle =\{\,\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\cdots +\alpha _{r}v_{r}\mid \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {K} \,\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8970c947803f0cf9ecf01893f13f23d31166c8c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:66.527ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}\rangle =\{\,\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\cdots +\alpha _{r}v_{r}\mid \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {K} \,\}}"></span></dd></dl> <p>と簡略化できる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=2" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:LinearHull.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/LinearHull.svg/250px-LinearHull.svg.png" decoding="async" width="250" height="168" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/LinearHull.svg/375px-LinearHull.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/LinearHull.svg/500px-LinearHull.svg.png 2x" data-file-width="691" data-file-height="465" /></a><figcaption></figcaption></figure> <ul><li><b>R</b><sup>2</sup> の単一のベクトル <i>a</i> (≠ (0, 0)) の張る部分空間 ⟨<i>a</i>⟩ は原点を通る直線になる（右図）。</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実</a>線型空間 <b>R</b><sup>3</sup> は {(2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} を生成系に持つ。この生成系は特に<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a>を成す。先の生成系においてベクトル (2, 0, 0) を (1, 0, 0) に取り換えたものは、<b>R</b><sup>3</sup> の<a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%9F%BA%E5%BA%95" title="標準基底">標準基底</a>を与える。別な生成系として {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1/2, 3), (1, 1, 1)} を与えることができるが、これらのベクトルは<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BE%93%E5%B1%9E" class="mw-redirect" title="線型従属">線型従属</a>ゆえ、これは基底を与えない。また、集合 {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} は <b>R</b><sup>3</sup> の生成系ではなく、これが生成するのは第三成分が 0 であるような <b>R</b><sup>3</sup> のベクトル全体の成す部分空間（つまり <i>xy</i>-平面）である。</li></ul> <ul><li>体 <b>K</b> 上の<a href="/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="形式冪級数">形式冪級数</a>全体の成すベクトル空間</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} [[X]]=\left\lbrace \,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}x^{k}\mid \alpha _{k}\in \mathbb {K} \,\right\rbrace }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} [[X]]=\left\lbrace \,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}x^{k}\mid \alpha _{k}\in \mathbb {K} \,\right\rbrace }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c18a1f69dd27849db16bed9e5a3d7299172abbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.894ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} [[X]]=\left\lbrace \,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}x^{k}\mid \alpha _{k}\in \mathbb {K} \,\right\rbrace }"></span></dd> <dd>において多項式の集合 <i>A</i> = {<i>x</i><sup><i>k</i></sup> | <i>k</i> ∈ <b>N</b>} を考えるとき、<i>A</i> の線型包 ⟨<i>A</i>⟩ は多項式全体の成す部分空間 <b>K</b>[<i>X</i>] に等しい：</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A\rangle =\left\lbrace \,\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {K} ,n\in \mathbb {N} \,\right\rbrace =\mathbb {K} [X].}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A\rangle =\left\lbrace \,\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {K} ,n\in \mathbb {N} \,\right\rbrace =\mathbb {K} [X].}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b478055291ee376b54d27a808490854bd692e9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:43.978ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \langle A\rangle =\left\lbrace \,\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {K} ,n\in \mathbb {N} \,\right\rbrace =\mathbb {K} [X].}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=3" title="節を編集: 性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>K</b>-線型空間 <i>V</i> の二つの部分集合 <i>A</i>, <i>B</i> が任意に与えられたとき、 </p> <ol><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq \langle A\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>⊆</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq \langle A\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad7f85a4d7533e0d4f7ec8a36322d5415cb9da9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.394ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq \langle A\rangle }"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq B\implies \langle A\rangle \subseteq \langle B\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>⊆</mo> <mi>B</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⟹</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>⊆</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\implies \langle A\rangle \subseteq \langle B\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cef4695d00a4f93c91d691172785212998a1ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.216ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\implies \langle A\rangle \subseteq \langle B\rangle }"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A\rangle =\langle \langle A\rangle \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A\rangle =\langle \langle A\rangle \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53971138cb1c10ff2bf464f7ee187d045492492" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.013ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle A\rangle =\langle \langle A\rangle \rangle }"></span></li></ol> <p>の三性質が成り立つ、つまり線型包を取る操作は<a href="/w/index.php?title=%E9%96%89%E5%8C%85%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「閉包作用素」 (存在しないページ)">閉包作用素</a>である<sup id="cite_ref-FOOTNOTELau2011Satz_4.2.2_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTELau2011Satz_4.2.2-4"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。他の重要な性質としては： </p> <ul><li>ベクトル空間 <i>V</i> の部分集合の線型包はそれ自体が <i>V</i> の部分空間を成す。</li> <li>ベクトル空間 <i>V</i> の任意の部分空間 <i>U</i> に対して ⟨<i>U</i>⟩ = <i>U</i> が成り立つ。</li> <li>ベクトルからなる集合は、その線型包を生成する。特に、部分空間の生成系を成すベクトルの集合はもとの部分空間を生成する。</li> <li>二つの部分空間 <i>U</i>, <i>V</i> の和空間 <i>U</i> + <i>V</i> = { <i>u</i> + <i>v</i> | <i>u</i> ∈ <i>U</i>, <i>v</i> ∈ <i>V</i> } は <i>U</i> と <i>V</i> の合併の線型包である。すなわち <i>U</i> + <i>V</i> = ⟨<i>U</i> ∪ <i>V</i>⟩ が成り立つ。</li> <li>ベクトル空間の部分集合すべてからなる族 <i>T</i> において、「合併の線型包をとる」という操作およびその双対として「交叉の線型包をとる」という操作は二項演算を与え、<i>T</i> はこれら二つの二項演算に関して<a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">束</a>を成す。</li> <li>二つの部分空間 <i>U</i>, <i>V</i> に対し、その交わりの線型包の次元に関して等式 dim(<i>U</i> + <i>V</i>) + dim(<i>U</i> ∩ <i>V</i>) = dim(<i>U</i>) + dim(<i>V</i>) が成立する。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="基底"><span id=".E5.9F.BA.E5.BA.95"></span>基底</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=4" title="節を編集: 基底"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底 (線型代数学)</a>」を参照</div> <dl><dt>定理</dt> <dd>ベクトル空間 <i>V</i> を張る任意の生成系 <i>S</i> は、少なくとも <i>V</i> の任意の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%8B%AC%E7%AB%8B" title="線型独立">線型独立</a>系と同じ数のベクトルを含まなければならない。</dd> <dt>定理</dt> <dd><i>V</i> が有限次元ベクトル空間ならば、<i>V</i> を張る任意の生成系は、必要ならば（すなわち、線型従属なベクトルが存在するならば）適当な元を取り除くことによって <i>V</i> の<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a>にすることができる。<a href="/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86" title="選択公理">選択公理</a>を認めるならば、有限次元という仮定は除いてよい。</dd></dl> <p>以上から、基底は <i>V</i> の最小生成系と言ってもよいことがわかる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="位相的線型包"><span id=".E4.BD.8D.E7.9B.B8.E7.9A.84.E7.B7.9A.E5.9E.8B.E5.8C.85"></span>位相的線型包</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=5" title="節を編集: 位相的線型包"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="函数解析学">函数解析学</a>において、ベクトルの集合の張る閉部分空間（閉線型包）もしくは位相的に生成する部分空間（位相的線型包）とは、その集合を含む最小の閉部分空間を言う。<i>X</i> がノルム線型空間で <i>E</i> を <i>X</i> の空でない部分空間のとき、<i>E</i> が位相的に張る部分空間 <span lang="en" class="texhtml"><span style="text-decoration-line:overline">Sp</span>(<i>E</i>)</span>（あるいは <span lang="en" class="texhtml"><span style="text-decoration-line:overline">span</span>(<i>E</i>)</span>）は、<i>X</i> の閉部分空間で <i>E</i> を含むもの全ての交わりに等しい。一つの定式化としては </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)=\{\,u\in X\mid \forall \epsilon >0,\,\exists x\in {\text{span}}(E),\;\|x-u\|<\epsilon \,\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mtext>span</mtext> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>u</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>∣</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>span</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>u</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo><</mo> <mi>ϵ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)=\{\,u\in X\mid \forall \epsilon >0,\,\exists x\in {\text{span}}(E),\;\|x-u\|<\epsilon \,\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8f26d525a89bfb3fdb45fd65df1d79b8142662" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.825ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)=\{\,u\in X\mid \forall \epsilon >0,\,\exists x\in {\text{span}}(E),\;\|x-u\|<\epsilon \,\}}"></span></dd></dl> <p>がある。 </p> <dl><dt>注意</dt> <dd>与えられた集合の線型包は閉線型包の中で<a href="/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88" title="稠密集合">稠密</a>である。さらに以下に述べる補題の意味で、閉線型包は実際に線型包の<a href="/wiki/%E9%96%89%E5%8C%85_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)" title="閉包 (位相空間論)">閉包</a>になっている。</dd></dl> <p>閉線型包は閉部分空間を扱う上で重要である（閉部分空間自体、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C" title="リースの補題">リースの補題</a>を考えれば、非常に重要である）。 </p> <dl><dt>補題</dt> <dd><i>X</i> が<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ノルム線型空間">ノルム線型空間</a>で <i>E</i> は <i>X</i> の空でない任意の部分集合とする。</dd></dl> <dl><dt><ol><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mtext>span</mtext> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1b9ef10d43cc3d59ffa423273c99c82437fecc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)}"></span> は <i>E</i> を含む <i>X</i> の閉線型部分空間である。</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)={\overline {{\text{span}}(E)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mtext>span</mtext> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>span</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)={\overline {{\text{span}}(E)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91521587f332a190238dd2e6796a95e0ec29314d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.826ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)={\overline {{\text{span}}(E)}}}"></span>, すなわち <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mtext>span</mtext> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1b9ef10d43cc3d59ffa423273c99c82437fecc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)}"></span> は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{span}}(E)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>span</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{span}}(E)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35149b6a057fff626636f1fe531a1c15755069f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.249ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\text{span}}(E)}"></span> の閉包である。</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{\perp }=({\text{span}}(E))^{\perp }=({\overline {{\text{span}}(E)}})^{\perp }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊥</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>span</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊥</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>span</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊥</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{\perp }=({\text{span}}(E))^{\perp }=({\overline {{\text{span}}(E)}})^{\perp }.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39333a51e3c9cf7477e9d772b2105c4ada532069" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.401ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle E^{\perp }=({\text{span}}(E))^{\perp }=({\overline {{\text{span}}(E)}})^{\perp }.}"></span></li></ol></dt></dl> <p>ゆえに、閉線型包を求める方法として、まず線型包を求めてからその閉包を取るのが普通である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=6" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=7" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">ただし<a href="/wiki/%E7%A9%BA%E5%92%8C" title="空和">空和</a>は0とする。すなわち <i>S</i> = ∅ に対しては <i>W</i> = {0} である。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=8" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTEPetersen2012Definition_1.10.7-1"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEPetersen2012Definition_1.10.7_1-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFPetersen2012">Petersen 2012</a>, <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=v1syL6ZODMEC&pg=PA56">Definition 1.10.7</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text">Siegfried Bosch: <i>Lineare Algebra.</i> Springer, 2001, <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/3540418539" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-41853-9</a>, S. 29–30 </span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTELau2011Satz_4.2.2-4"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTELau2011Satz_4.2.2_4-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFLau2011">Lau 2011</a>, <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=rZEhBAAAQBAJ&pg=PA162">Satz 4.2.2</a></span>.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=9" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFLau2011">Lau, Dietlinde (2011). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=rZEhBAAAQBAJ"><i>Algebra und Diskrete Mathematik 1</i></a>. Springer. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-3-642-19443-6" title="特別:文献資料/978-3-642-19443-6">978-3-642-19443-6</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.co.jp/books?id=rZEhBAAAQBAJ">https://books.google.co.jp/books?id=rZEhBAAAQBAJ</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra+und+Diskrete+Mathematik+1&rft.aulast=Lau&rft.aufirst=Dietlinde&rft.au=Lau%2C%26%2332%3BDietlinde&rft.date=2011&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-3-642-19443-6&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.co.jp%2Fbooks%3Fid%3DrZEhBAAAQBAJ&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFPetersen2012">Petersen, Peter (2012). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=v1syL6ZODMEC"><i>Linear Algebra</i></a>. Springer. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-4614-3612-6" title="特別:文献資料/978-1-4614-3612-6">978-1-4614-3612-6</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.co.jp/books?id=v1syL6ZODMEC">https://books.google.co.jp/books?id=v1syL6ZODMEC</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Linear+Algebra&rft.aulast=Petersen&rft.aufirst=Peter&rft.au=Petersen%2C%26%2332%3BPeter&rft.date=2012&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-4614-3612-6&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.co.jp%2Fbooks%3Fid%3Dv1syL6ZODMEC&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li>Rynne & Youngson (2001). <i>Linear functional analysis</i>, Springer.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85&action=edit&section=10" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFM.I._Voitsekhovskii2001">M.I. Voitsekhovskii (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Linear_hull">“Linear hull”</a>, in Hazewinkel, Michiel, <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></i>, Springer, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Linear_hull">https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Linear_hull</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Linear+hull&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=M.I.+Voitsekhovskii&rft.au=M.I.+Voitsekhovskii&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="線型代数学・行列解析" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="Template:線形代数"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:線形代数」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="線型代数学・行列解析" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a>・<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="行列解析">行列解析</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%AB%8B%E4%B8%80%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="連立一次方程式">連立一次方程式</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95" title="ガウスの消去法">ガウスの消去法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="クラメルの公式">クラメルの公式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%87%E3%83%AB%E6%B3%95" title="ガウス＝ザイデル法">ガウス＝ザイデル法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%B3%95" title="ヤコビ法">ヤコビ法</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="空間ベクトル">ベクトル</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%8B%AC%E7%AB%8B" title="線型独立">線型独立</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88" title="線型結合">線型結合</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%9F%BA%E5%BA%95" title="双対基底">双対基底</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="双対空間">双対空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A0%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="核空間">核空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="固有空間">固有空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BA%83%E7%BE%A9%E5%9B%BA%E6%9C%89%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="広義固有ベクトル">広義固有空間</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">線型包</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E7%A9%BA%E9%96%93" title="行空間">行空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%96%93" title="列空間">列空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%A1%E3%83%AB%E6%AC%A1%E5%85%83" class="mw-redirect" title="ハメル次元">次元</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="計量ベクトル空間">計量ベクトル空間</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%83%88%E7%A9%8D" title="ドット積">ドット積</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="コーシー＝シュワルツの不等式">コーシー＝シュワルツの不等式</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4" title="直交">直交</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%B3%BB" title="正規直交系">正規直交系</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%9F%BA%E5%BA%95" title="正規直交基底">正規直交基底</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%8C%96%E6%B3%95" title="グラム・シュミットの正規直交化法">グラム・シュミットの正規直交化法</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A3%9C%E7%A9%BA%E9%96%93" title="直交補空間">直交補空間</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97" title="行列">行列</a>・<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">演算・操作</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%B9%97%E6%B3%95" title="行列の乗法">乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97" title="転置行列">転置</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="逆行列">逆行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%96%B9%E6%B3%95" title="サラスの方法">サラスの方法</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%A4%89%E5%BD%A2" title="行列の基本変形">基本変形</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96" title="対角化">対角化</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%88%86%E8%A7%A3" title="行列の分解">分解</a> <ul><li><a href="/wiki/LU%E5%88%86%E8%A7%A3" title="LU分解">LU</a></li> <li><a href="/wiki/QR%E5%88%86%E8%A7%A3" title="QR分解">QR</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E5%88%86%E8%A7%A3" title="コレスキー分解">コレスキー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E5%88%86%E8%A7%A3" class="mw-redirect" title="シューア分解">シューア</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="特異値分解">特異値</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="固有値分解">固有値</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">不変量</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B7%A1_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="跡 (線型代数学)">跡</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0" title="行列の階数">階数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E3%81%A8%E5%9B%BA%E6%9C%89%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="固有値と固有ベクトル">固有値と固有ベクトル</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="固有多項式">固有多項式</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="最小多項式 (線型代数学)">最小多項式</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="単因子">単因子</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" class="mw-redirect" title="階数標準形">階数標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9F%E3%82%B9%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" class="mw-redirect" title="スミス標準形">スミス標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" title="ジョルダン標準形">ジョルダン標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" title="有理標準形">有理標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8F%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="小行列式">小行列式</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">クラス</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">正則</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="基本行列">基本</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97" title="対称行列">対称</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97" title="エルミート行列">エルミート</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正規行列">正規</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">直交</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97" title="回転行列">回転</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニタリ行列">ユニタリ</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E8%A1%8C%E5%88%97" title="冪零行列">冪零</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="射影行列">射影</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E5%80%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="正定値行列">正定値</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニモジュラ行列">ユニモジュラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E8%A1%8C%E5%88%97" title="置換行列">置換</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8C%BA%E5%88%86%E8%A1%8C%E5%88%97" title="区分行列">区分</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%B1%95%E9%96%8B" title="余因子展開">余因子展開</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E8%A1%8C%E5%88%97" title="余因子行列">余因子行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%81%AE%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="ヴァンデルモンドの行列式">ヴァンデルモンドの行列式</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%82%E7%B5%90%E5%BC%8F" title="終結式">終結式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="コーシー・ビネの公式">コーシー・ビネの公式</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="多重線型代数">多重線型代数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)" title="直積 (ベクトル)">外積</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="外積代数">外積代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="対称代数">対称代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="テンソル代数">テンソル代数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="数値線形代数">数値線形代数</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">基本的な概念</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0" title="浮動小数点数">浮動小数点</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E7%9A%84%E5%AE%89%E5%AE%9A%E6%80%A7" title="数値的安定性">数値的安定性</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%96%8E%E8%A1%8C%E5%88%97" title="疎行列">疎行列</a></li> <li><a href="/wiki/Z-%E8%A1%8C%E5%88%97" title="Z-行列">Z-行列</a></li> <li><a href="/wiki/M%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="M行列">M行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%95%B0" title="条件数">条件数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ゲルシュゴリンの定理">ゲルシュゴリンの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%AD%E3%83%95%E9%83%A8%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93" title="クリロフ部分空間">クリロフ部分空間</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A2" title="ソフトウェア">ソフトウェア</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/MATLAB" title="MATLAB">MATLAB</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%81%AE%E6%AF%94%E8%BC%83" title="数値解析ソフトの比較">数値解析ソフトの比較</a>/<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="数値解析ソフトウェアの一覧">一覧</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">ライブラリ</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Armadillo_(%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA)" title="Armadillo (線形代数ライブラリ)">Armadillo</a></li> <li><a href="/wiki/Basic_Linear_Algebra_Subprograms" title="Basic Linear Algebra Subprograms">Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)</a></li> <li><a href="/wiki/INTLAB" title="INTLAB">INTLAB</a></li> <li><a href="/wiki/Intel_Math_Kernel_Library" title="Intel Math Kernel Library">Intel oneAPI Math Kernel Library</a></li> <li><a href="/wiki/LAPACK" title="LAPACK">LAPACK</a></li> <li><a href="/wiki/NumPy" title="NumPy">NumPy</a></li> <li><a href="/wiki/OpenBLAS" title="OpenBLAS">OpenBLAS</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%81%AE%E6%AF%94%E8%BC%83" title="線型代数学ライブラリの比較">線型代数学ライブラリの比較</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E5%8F%8D%E5%BE%A9%E6%B3%95_(%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A8%88%E7%AE%97)" title="反復法 (数値計算)">反復法</a>・技法</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/SOR%E6%B3%95" title="SOR法">SOR法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E5%8B%BE%E9%85%8D%E6%B3%95" title="共役勾配法">共役勾配法</a></li> <li><a href="/wiki/GMRES%E6%B3%95" title="GMRES法">GMRES法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%B3%95" title="固有値問題の数値解法">固有値問題の数値解法</a> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%81%E3%83%A7%E3%82%B9%E6%B3%95" title="ランチョス法">ランチョス法</a></li> <li><a href="/wiki/QR%E6%B3%95" title="QR法">QR法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%81%B9%E3%81%8D%E4%B9%97%E6%B3%95" title="べき乗法">べき乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E3%81%B9%E3%81%8D%E4%B9%97%E6%B3%95" title="逆べき乗法">逆べき乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%B3%95_(%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C)" title="ヤコビ法 (固有値問題)">ヤコビ法 (固有値問題)</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0" title="シュトラッセンのアルゴリズム">シュトラッセンのアルゴリズム</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%BC%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ハウスホルダー変換">ハウスホルダー変換</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AE%E3%83%96%E3%83%B3%E3%82%B9%E5%9B%9E%E8%BB%A2" title="ギブンス回転">ギブンス回転</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">人物</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BBH%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%B3" title="ジェームズ・H・ウィルキンソン">ジェームズ・H・ウィルキンソン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%A9%E3%83%BC" title="クリーブ・モラー">クリーブ・モラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%A0" title="ニコラス・ハイアム">ニコラス・ハイアム</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%83%96" title="ジーン・ゴラブ">ジーン・ゴラブ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%AB%E3%82%AC" title="リチャード・バルガ">リチャード・バルガ</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%80%A4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="行列値関数">行列値関数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="行列指数関数">行列指数関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="行列の対数">行列の対数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="行列の平方根">行列の平方根</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="スカラー (数学)">スカラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ケイリー・ハミルトンの定理">ケイリー・ハミルトンの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AD%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ペロン＝フロベニウスの定理">ペロン＝フロベニウスの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E8%A3%9C%E8%A1%8C%E5%88%97" title="シューア補行列">シューア補行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%85%A3%E6%80%A7%E6%B3%95%E5%89%87" title="シルヴェスターの慣性法則">シルヴェスターの慣性法則</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 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href="/wiki/Category:%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:抽象代数学">抽象代数学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:線型代数学">線型代数学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a href="/wiki/Category:ISBN%E3%83%9E%E3%82%B8%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%92%E4%BD%BF%E7%94%A8%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8" title="Category:ISBNマジックリンクを使用しているページ">ISBNマジックリンクを使用しているページ</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> 最終更新 2022年12月30日 (金) 15:13 （日時は<a 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