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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content="Polaritonic chemistry, vibrational strong coupling, Rabi-splitting, quantum electro-dynamics, quantum mechanics" lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2401.16374v2/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S1" title="In Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2" title="In Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span>Self-consistent harmonic model for collective VSC</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3" title="In Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span>Features of ensemble self-consistency</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS1" title="In III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.1 </span>Modified Polarizabilities Under Collective VSC</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS1.SSS1" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.1.1 </span>Polarizabilities from Perturbation Theory</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS2" title="In III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.2 </span>Cavity Frequency Renormalization</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS3" title="In III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.3 </span>Nuclear equations of motion</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS4" title="In III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III.4 </span>Common Approximations</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4" title="In III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span>Example CO<sub class="ltx_sub">2</sub></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.SS1" title="In IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV.1 </span>Many CO<sub class="ltx_sub">2</sub> molecules</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.SS2" title="In IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV.2 </span>Comparison to ab initio results</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S5" title="In IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span>Conclusion</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A1" title="In V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Derivation of Single Molecular Polarizabilities</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A2" title="In V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B </span>Uncoupled CO<sub class="ltx_sub">2</sub> Molecule</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A3" title="In V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C </span>Numerical Details</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> </ol> </li> </ol> </li> </ol> </li> </ol> </li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <div class="ltx_para" id="p1"> <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.1">\UseTblrLibrary</span> <p class="ltx_p" id="p1.2">booktabs </p> </div> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Jacob Horak </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Max Planck Institute for the Structure and Dynamics of Matter and Center for Free-Electron Laser Science, Luruper Chaussee 149, Hamburg 22761, Germany </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">The Hamburg Center for Ultrafast Imaging, Luruper Chaussee 149, 22761 Hamburg, Germany </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Dominik Sidler </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:dominik.sidler@psi.ch">dominik.sidler@psi.ch</a> </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Paul Scherrer Institut, 5232 Villigen PSI, Switzerland </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Max Planck Institute for the Structure and Dynamics of Matter and Center for Free-Electron Laser Science, Luruper Chaussee 149, Hamburg 22761, Germany </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">The Hamburg Center for Ultrafast Imaging, Luruper Chaussee 149, 22761 Hamburg, Germany </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Thomas Schnappinger </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Department of Physics, Stockholm University, AlbaNova University Center, SE-106 91 Stockholm, Sweden </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Wei-Ming Huang </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Department of Physics and Center for Quantum Information Science, National Cheng Kung University, Tainan 70101, Taiwan </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Max Planck Institute for the Structure and Dynamics of Matter and Center for Free-Electron Laser Science, Luruper Chaussee 149, Hamburg 22761, Germany </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Michael Ruggenthaler </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Max Planck Institute for the Structure and Dynamics of Matter and Center for Free-Electron Laser Science, Luruper Chaussee 149, Hamburg 22761, Germany </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">The Hamburg Center for Ultrafast Imaging, Luruper Chaussee 149, 22761 Hamburg, Germany </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Angel Rubio </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:angel.rubio@mpsd.mpg.de">angel.rubio@mpsd.mpg.de</a> </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Max Planck Institute for the Structure and Dynamics of Matter and Center for Free-Electron Laser Science, Luruper Chaussee 149, Hamburg 22761, Germany </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">The Hamburg Center for Ultrafast Imaging, Luruper Chaussee 149, 22761 Hamburg, Germany </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Center for Computational Quantum Physics (CCQ), The Flatiron Institute, 162 Fifth avenue, New York, NewYork 10010, United States of America </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id3.3">Despite recent numerical evidence, one of the fundamental theoretical mysteries of polaritonic chemistry is how and if collective strong coupling can induce local changes of the electronic structure to modify chemical properties. Here we present non-perturbative analytic results for a model system consisting of an ensemble of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.m1.1a"><mi id="id1.1.m1.1.1" xref="id1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.m1.1b"><ci id="id1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> harmonic molecules under vibrational strong coupling (VSC) that alters our present understanding of this fundamental question. By applying the cavity Born-Oppenheimer partitioning on the Pauli-Fierz Hamiltonian in dipole approximation, the dressed many-molecule problem can be solved self-consistently and analytically in the dilute limit. We discover that the electronic molecular polarizabilities are modified even in the case of vanishingly small single-molecule couplings. Consequently, this non-perturbative local polarization mechanism persists even in the large-<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.2.m2.1"><semantics id="id2.2.m2.1a"><mi id="id2.2.m2.1.1" xref="id2.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.2.m2.1b"><ci id="id2.2.m2.1.1.cmml" xref="id2.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> limit. In contrast, a perturbative calculation of the polarizabilities leads to a qualitatively erroneous scaling behavior with vanishing effects in the large-<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="id3.3.m3.1"><semantics id="id3.3.m3.1a"><mi id="id3.3.m3.1.1" xref="id3.3.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id3.3.m3.1b"><ci id="id3.3.m3.1.1.cmml" xref="id3.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id3.3.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id3.3.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math> limit. Nevertheless, the exact (self-consistent) polarizabilities can be determined from single-molecule strong coupling simulations instead. Our fundamental theoretical observations demonstrate that hitherto existing collective-scaling arguments are insufficient for polaritonic chemistry and they pave the way for refined single- (or few-)molecule strong-coupling ab-initio simulations to chemical systems under collective strong coupling.</p> </div> <div class="ltx_keywords">Polaritonic chemistry, vibrational strong coupling, Rabi-splitting, quantum electro-dynamics, quantum mechanics </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.7">Polaritonic chemistry is an emerging field of research at the interface between quantum optics, quantum chemistry and materials science <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib3" title="">3</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib4" title="">4</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib8" title="">8</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib12" title="">12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>. By placing matter in a photonic environment, e.g., a Fabry-Pérot cavity, it has been shown experimentally that chemical and material properties can be modified. Among others this includes, energy transport <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>, photo-chemical reactions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib15" title="">15</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib16" title="">16</a>]</cite> and also ground-state chemical reactions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib18" title="">18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib21" title="">21</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>. One of the stunning features of polaritonic chemistry is that these modifications can happen in the ”dark”, that is, without external illumination. Instead, chemistry is controlled by the resonances of a photonic structure. For this purpose, a priori intrinsically different control knobs can be identified, such as changing the geometry (e.g., mode volume) or coupling frequency (electronic vs. ro-vibrational) of the cavity. On the matter side, the density, polarizability or composition of the molecular ensemble will affect the strong hybridisation of light and matter inside the optical cavity. Selecting all these parameters wisely remains a formidable challenge to achieve a desired chemical effect. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib3" title="">3</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> For a simple and idealized case of a Fabry-Pérot cavity, a simplified picture emerges in terms of the wavelength of the cavity resonances</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Lambda=\frac{2n_{r}L}{m}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E1.m1.1"><semantics id="S1.E1.m1.1a"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml">L</mi></mrow><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></mfrac></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.1b"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1"><eq id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2">Λ</ci><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.2.4">𝐿</ci></apply><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.1c">\Lambda=\frac{2n_{r}L}{m},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.1d">roman_Λ = divide start_ARG 2 italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_L end_ARG start_ARG italic_m end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.6">and the effective mode volume <math alttext="\mathcal{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">𝒱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">\mathcal{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">caligraphic_V</annotation></semantics></math>, which scales roughly as <math alttext="L^{3}\mathcal{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℱ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1"><times id="S1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝐿</ci><cn id="S1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.3">3</cn></apply><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3">ℱ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">L^{3}\mathcal{F}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_F</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\mathcal{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.cmml">ℱ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m3.1b"><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1">ℱ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m3.1c">\mathcal{F}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m3.1d">caligraphic_F</annotation></semantics></math> is the finesse of the cavity. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> The physical length of the cavity is denoted by <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.p1.4.m4.1a"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m4.1b"><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m4.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m4.1d">italic_L</annotation></semantics></math>, the effective refractive index of the medium by <math alttext="n_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m5.1"><semantics id="S1.p1.5.m5.1a"><msub id="S1.p1.5.m5.1.1" xref="S1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m5.1b"><apply id="S1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m5.1c">n_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m5.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the mode order by <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.6.m6.1"><semantics id="S1.p1.6.m6.1a"><mi id="S1.p1.6.m6.1.1" xref="S1.p1.6.m6.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.6.m6.1b"><ci id="S1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.6.m6.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.6.m6.1d">italic_m</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.2">One critical ingredient to scale up the coupling between light and matter is by <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p2.2.1">collectively</span> coupling to a large number <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.1"><semantics id="S1.p2.1.m1.1a"><mi id="S1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.1b"><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> of molecules inside the cavity. Collective VSC enhances the measured Rabi-splitting by a factor of <math alttext="\sqrt{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.p2.2.m2.1a"><msqrt id="S1.p2.2.m2.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">N</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.2.m2.1b"><apply id="S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1"><root id="S1.p2.2.m2.1.1a.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1"></root><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.2">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.2.m2.1c">\sqrt{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.2.m2.1d">square-root start_ARG italic_N end_ARG</annotation></semantics></math>. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib17" title="">17</a>]</cite> Consequently, the accurate (microscopic) theory of collective VSC a priori requires to take a very large amount of molecules into account, which makes polaritonic chemistry theoretically extremely challenging. This is in stark contrast to traditional theoretical chemistry approaches. For instance, in the case of a dilute gas in free space, one can consider a single or few molecules with high computational accuracy and then perform a statistical treatment of the total ensemble by assuming that the molecules are largely uncorrelated (e.g. canonical ensemble statistics). To reach for a computationally manageable complexity of polaritonic chemistry, two opposing theoretical pathways have mainly been explored so far. Either only a single or few molecules are coupled to the cavity field accurately (with a scaled-up coupling constant) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> or, alternatively, large ensemble sizes can be reached with strong simplifications on the coupling and matter description (e.g., Tavis-Cumming-like coupling schemes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib25" title="">25</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.2">Despite considerable theoretical advances, one of the pressing, still unresolved mysteries of VSC is how (and if) the collective coupling regime can alter individual molecular properties locally as suggested by modified chemical reactions in experiments. Recent numerical evidence suggests that treating the dressed electronic structure problem of the molecular ensemble self-consistently is a crucial ingredient to find cavity-induced microscopic changes under collective VSC. In more detail, a feedback and local-polarization mechanism akin to a spin-glass could been observed, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib29" title="">29</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib30" title="">30</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> for which computational scaling arguments suggest its persistence in the large-<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> limit (<math alttext="N\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S1.p3.2.m2.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p3.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S1.p3.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m2.1b"><apply id="S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1"><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.1">→</ci><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.2">𝑁</ci><infinity id="S1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m2.1c">N\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m2.1d">italic_N → ∞</annotation></semantics></math>). <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib28" title="">28</a>]</cite> This is a major step forward in our theoretical understanding, since most models suggest the absence of any local effect. However, to reach for a more intuitive physical understanding and exploration of the cavity-induced interplay between local and collective properties, a simple exactly solvable ab-initio model is of utter relevance. In this work, we introduce such a model system, for which the Pauli-Fierz Hamiltonian is analytically solvable and provides access to numerous local and collective observables. Most noteworthy, it reveals modified molecular polarizabilities under collective VSC that persist in the thermodynamic limit.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.3">This manuscript is structured as follows: First we introduce and solve the Pauli-Fierz electronic-structure problem analytically for a dilute gas of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> harmonic model molecules. In a second step, cavity-induced local and collective polarization effects are discussed with consequences on the cavity-mode renormalization. Furthermore, a simple recipe is presented to determine molecular polarizabilities ab-initio for complex electronic structures. Afterwards, the classical equations of motions are derived for the nuclei and displacement field coordinates and compared with common approximations in polaritonic chemistry. Eventually, dynamical properties of a canonical ensemble of harmonic CO<sub class="ltx_sub" id="S1.p4.3.1">2</sub> molecules are investigated numerically to verify the analytic predictions. Finally, the analytic formula for the cavity-mode renormalization is tested with accurate single-molecule strong coupling calculations of a realistic CO<sub class="ltx_sub" id="S1.p4.3.2">2</sub> molecule, confirming the chemical relevance of our analytic predictions.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span>Self-consistent harmonic model for collective VSC</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.5">In the following, we investigate collective VSC in a minimal ab-initio molecular setting, which allows an analytic treatment. For this purpose we look at an ensemble of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> identical, non-interacting effective one-dimensional molecules, each one consisting of a single effective electron with negative charge <math alttext="-Z_{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mo id="S2.p1.2.m2.1.1a" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">e</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1"><minus id="S2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1"></minus><apply id="S2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m2.1c">-Z_{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m2.1d">- italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="N_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.p1.3.m3.1a"><msub id="S2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m3.1c">N_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m3.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> nuclei of mass <math alttext="M_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.p1.4.m4.1a"><msub id="S2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">M</mi><mi id="S2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m4.1c">M_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m4.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and with positive charge <math alttext="Z_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.p1.5.m5.1a"><msub id="S2.p1.5.m5.1.1" xref="S2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.5.m5.1c">Z_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.5.m5.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We use atomic units throughout this work. The corresponding bare matter Hamiltonian is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\hat{H}_{\mathrm{m}}=\sum_{i=1}^{N}\Bigg{[}\sum_{n=1}^{N_{n}}\bigg{(}\frac{% \hat{P}_{in}^{2}}{2M_{n}}+\frac{k_{e}}{2}(\hat{R}_{in}-\hat{r}_{i})^{2}\bigg{)% }+\frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2}+V_{i}(\mathbf{\hat{R}}_{i})\Bigg{]}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E2.m1.1"><semantics id="S2.E2.m1.1a"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">P</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">n</mi></mrow><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">M</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msub><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mfrac id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">V</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐑</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.1b"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"><eq id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.3">m</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑃</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">2</cn><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑀</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2"><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑉</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐑</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.1c">\hat{H}_{\mathrm{m}}=\sum_{i=1}^{N}\Bigg{[}\sum_{n=1}^{N_{n}}\bigg{(}\frac{% \hat{P}_{in}^{2}}{2M_{n}}+\frac{k_{e}}{2}(\hat{R}_{in}-\hat{r}_{i})^{2}\bigg{)% }+\frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2}+V_{i}(\mathbf{\hat{R}}_{i})\Bigg{]}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.1d">over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_m end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG over^ start_ARG italic_P end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( over^ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) + divide start_ARG over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG bold_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.13">Nuclear position/displacement and momentum operators are indicated by capital letters, whereas for the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.6.m1.1"><semantics id="S2.p1.6.m1.1a"><mi id="S2.p1.6.m1.1.1" xref="S2.p1.6.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.6.m1.1b"><ci id="S2.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.6.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.6.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.6.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th electron <math alttext="\hat{r}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.7.m2.1"><semantics id="S2.p1.7.m2.1a"><msub id="S2.p1.7.m2.1.1" xref="S2.p1.7.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p1.7.m2.1.1.2" xref="S2.p1.7.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.7.m2.1.1.2.2" xref="S2.p1.7.m2.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.7.m2.1.1.2.1" xref="S2.p1.7.m2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p1.7.m2.1.1.3" xref="S2.p1.7.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.7.m2.1b"><apply id="S2.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.7.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.7.m2.1.1.2"><ci id="S2.p1.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.7.m2.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p1.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.7.m2.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.p1.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.7.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.7.m2.1c">\hat{r}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.7.m2.1d">over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{p}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.8.m3.1"><semantics id="S2.p1.8.m3.1a"><msub id="S2.p1.8.m3.1.1" xref="S2.p1.8.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p1.8.m3.1.1.2" xref="S2.p1.8.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.8.m3.1.1.2.2" xref="S2.p1.8.m3.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.p1.8.m3.1.1.2.1" xref="S2.p1.8.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p1.8.m3.1.1.3" xref="S2.p1.8.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.8.m3.1b"><apply id="S2.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.8.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p1.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.8.m3.1.1.2"><ci id="S2.p1.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.8.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p1.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.8.m3.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S2.p1.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.8.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.8.m3.1c">\hat{p}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.8.m3.1d">over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are used, respectively. The local nucleus-nucleus interaction <math alttext="V(\mathbf{\hat{R}}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.9.m4.1"><semantics id="S2.p1.9.m4.1a"><mrow id="S2.p1.9.m4.1.1" xref="S2.p1.9.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.9.m4.1.1.3" xref="S2.p1.9.m4.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="S2.p1.9.m4.1.1.2" xref="S2.p1.9.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐑</mi><mo id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.9.m4.1b"><apply id="S2.p1.9.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1"><times id="S2.p1.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1.2"></times><ci id="S2.p1.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1.3">𝑉</ci><apply id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝐑</ci></apply><ci id="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.9.m4.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.9.m4.1c">V(\mathbf{\hat{R}}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.9.m4.1d">italic_V ( over^ start_ARG bold_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> with <math alttext="\mathbf{\hat{R}}_{i}=(\hat{R}_{i1},...,\hat{R}_{iN_{n}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.10.m5.3"><semantics id="S2.p1.10.m5.3a"><mrow id="S2.p1.10.m5.3.3" xref="S2.p1.10.m5.3.3.cmml"><msub id="S2.p1.10.m5.3.3.4" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.p1.10.m5.3.3.4.2" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.cmml"><mi id="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.2" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.2.cmml">𝐑</mi><mo id="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.1" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p1.10.m5.3.3.4.3" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p1.10.m5.3.3.3" xref="S2.p1.10.m5.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.1" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.1" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.4" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.10.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p1.10.m5.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.5" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.2.cmml">R</mi><mo id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.1" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.2" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.1" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.2" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.3" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></msub><mo id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.10.m5.3b"><apply id="S2.p1.10.m5.3.3.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3"><eq id="S2.p1.10.m5.3.3.3.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.3"></eq><apply id="S2.p1.10.m5.3.3.4.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m5.3.3.4.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.2"><ci id="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.1">^</ci><ci id="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.2.2">𝐑</ci></apply><ci id="S2.p1.10.m5.3.3.4.3.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.4.3">𝑖</ci></apply><vector id="S2.p1.10.m5.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2"><apply id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2"><ci id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3"><times id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.10.m5.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.1.1">…</ci><apply id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2"><ci id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3"><times id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.2">𝑖</ci><apply id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.p1.10.m5.3.3.2.2.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.10.m5.3c">\mathbf{\hat{R}}_{i}=(\hat{R}_{i1},...,\hat{R}_{iN_{n}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.10.m5.3d">over^ start_ARG bold_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = ( over^ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , over^ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> will be later parameterized by the force constant <math alttext="k_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.11.m6.1"><semantics id="S2.p1.11.m6.1a"><msub id="S2.p1.11.m6.1.1" xref="S2.p1.11.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.11.m6.1.1.2" xref="S2.p1.11.m6.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="S2.p1.11.m6.1.1.3" xref="S2.p1.11.m6.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.11.m6.1b"><apply id="S2.p1.11.m6.1.1.cmml" xref="S2.p1.11.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.11.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.11.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.11.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.11.m6.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.p1.11.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.11.m6.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.11.m6.1c">k_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.11.m6.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (see the specific example given in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A2.E67" title="In Appendix B Uncoupled CO2 Molecule ‣ V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">67</span></a>)), whereas the coupling of the single electron to the nuclei is parameterized by the force constant <math alttext="k_{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.12.m7.1"><semantics id="S2.p1.12.m7.1a"><msub id="S2.p1.12.m7.1.1" xref="S2.p1.12.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.12.m7.1.1.2" xref="S2.p1.12.m7.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="S2.p1.12.m7.1.1.3" xref="S2.p1.12.m7.1.1.3.cmml">e</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.12.m7.1b"><apply id="S2.p1.12.m7.1.1.cmml" xref="S2.p1.12.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.12.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.12.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.12.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.12.m7.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.p1.12.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.12.m7.1.1.3">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.12.m7.1c">k_{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.12.m7.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The molecular ensemble will be collectively coupled to a single effective cavity mode <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.13.m8.1"><semantics id="S2.p1.13.m8.1a"><mi id="S2.p1.13.m8.1.1" xref="S2.p1.13.m8.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.13.m8.1b"><ci id="S2.p1.13.m8.1.1.cmml" xref="S2.p1.13.m8.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.13.m8.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.13.m8.1d">italic_β</annotation></semantics></math>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> e.g., of a Fabry-Pérot cavity. In the length gauge, the Pauli-Fierz Hamiltonian for this system is then given by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib7" title="">7</a>]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\hat{H}=\hat{H}_{\mathrm{m}}+\frac{1}{2}\left[\hat{p}_{\beta}^{2}+\omega_{% \beta}^{2}\left(\hat{q}_{\beta}-\frac{\hat{X}+\hat{x}}{\omega_{\beta}}\right)^% {2}\right]\quad{.}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.1"><semantics id="S2.E3.m1.1a"><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi><mn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi><mn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><msub id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msub></mfrac></mrow><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mspace id="S2.E3.m1.1.1.1.2" width="1.000em" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml"></mspace><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.1b"><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1"><eq id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3"><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.2">𝐻</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.3">m</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑋</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1">^</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜔</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.1c">\hat{H}=\hat{H}_{\mathrm{m}}+\frac{1}{2}\left[\hat{p}_{\beta}^{2}+\omega_{% \beta}^{2}\left(\hat{q}_{\beta}-\frac{\hat{X}+\hat{x}}{\omega_{\beta}}\right)^% {2}\right]\quad{.}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.1d">over^ start_ARG italic_H end_ARG = over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_m end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG [ over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG over^ start_ARG italic_X end_ARG + over^ start_ARG italic_x end_ARG end_ARG start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <figure class="ltx_figure" id="S2.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="431" id="S2.F1.g1" src="x1.png" width="828"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>Sketch of the setup shows cavity (single mode <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.9.m1.1"><semantics id="S2.F1.9.m1.1b"><mi id="S2.F1.9.m1.1.1" xref="S2.F1.9.m1.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.9.m1.1c"><ci id="S2.F1.9.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.9.m1.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.9.m1.1d">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.9.m1.1e">italic_β</annotation></semantics></math> with frequency <math alttext="\omega_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.10.m2.1"><semantics id="S2.F1.10.m2.1b"><msub id="S2.F1.10.m2.1.1" xref="S2.F1.10.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.10.m2.1.1.2" xref="S2.F1.10.m2.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.F1.10.m2.1.1.3" xref="S2.F1.10.m2.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.10.m2.1c"><apply id="S2.F1.10.m2.1.1.cmml" xref="S2.F1.10.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.10.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.10.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.10.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.10.m2.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S2.F1.10.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.10.m2.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.10.m2.1d">\omega_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.10.m2.1e">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and polarized parallel to the matter coordinate) with <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.11.m3.1"><semantics id="S2.F1.11.m3.1b"><mi id="S2.F1.11.m3.1.1" xref="S2.F1.11.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.11.m3.1c"><ci id="S2.F1.11.m3.1.1.cmml" xref="S2.F1.11.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.11.m3.1d">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.11.m3.1e">italic_N</annotation></semantics></math> identical molecules far apart. Each molecule consists of <math alttext="N_{\mathrm{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.12.m4.1"><semantics id="S2.F1.12.m4.1b"><msub id="S2.F1.12.m4.1.1" xref="S2.F1.12.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.12.m4.1.1.2" xref="S2.F1.12.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S2.F1.12.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.F1.12.m4.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.12.m4.1c"><apply id="S2.F1.12.m4.1.1.cmml" xref="S2.F1.12.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.12.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.12.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.12.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.12.m4.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S2.F1.12.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.12.m4.1.1.3">n</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.12.m4.1d">N_{\mathrm{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.12.m4.1e">italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (different) nuclei and one effective electron of charge <math alttext="Z_{\mathrm{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.13.m5.1"><semantics id="S2.F1.13.m5.1b"><msub id="S2.F1.13.m5.1.1" xref="S2.F1.13.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.13.m5.1.1.2" xref="S2.F1.13.m5.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.F1.13.m5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.F1.13.m5.1.1.3.cmml">e</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.13.m5.1c"><apply id="S2.F1.13.m5.1.1.cmml" xref="S2.F1.13.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.13.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.13.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.13.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.13.m5.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S2.F1.13.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.13.m5.1.1.3">e</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.13.m5.1d">Z_{\mathrm{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.13.m5.1e">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> bound by harmonic interactions. The interactions are associated with force constants <math alttext="k_{\mathrm{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.14.m6.1"><semantics id="S2.F1.14.m6.1b"><msub id="S2.F1.14.m6.1.1" xref="S2.F1.14.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.14.m6.1.1.2" xref="S2.F1.14.m6.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="S2.F1.14.m6.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.F1.14.m6.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.14.m6.1c"><apply id="S2.F1.14.m6.1.1.cmml" xref="S2.F1.14.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.14.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.14.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.14.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.14.m6.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.F1.14.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.14.m6.1.1.3">n</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.14.m6.1d">k_{\mathrm{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.14.m6.1e">italic_k start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> between the nuclei and <math alttext="k_{\mathrm{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.15.m7.1"><semantics id="S2.F1.15.m7.1b"><msub id="S2.F1.15.m7.1.1" xref="S2.F1.15.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.15.m7.1.1.2" xref="S2.F1.15.m7.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="S2.F1.15.m7.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.F1.15.m7.1.1.3.cmml">e</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.15.m7.1c"><apply id="S2.F1.15.m7.1.1.cmml" xref="S2.F1.15.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.15.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.15.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.15.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.15.m7.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.F1.15.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.15.m7.1.1.3">e</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.15.m7.1d">k_{\mathrm{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.15.m7.1e">italic_k start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> between nuclei and effective electron, respectively. The nuclei and electron interact with the cavity via the coupling constant <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.16.m8.1"><semantics id="S2.F1.16.m8.1b"><mi id="S2.F1.16.m8.1.1" xref="S2.F1.16.m8.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.16.m8.1c"><ci id="S2.F1.16.m8.1.1.cmml" xref="S2.F1.16.m8.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.16.m8.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.16.m8.1e">italic_λ</annotation></semantics></math>.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.6">We define the polarization operators of the ensemble as <math alttext="\hat{X}:=\lambda\sum_{i=1}^{N}\sum_{n=1}^{N_{n}}Z_{n}\hat{R}_{in}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.2" rspace="0em" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.3.cmml">N</mi></msubsup><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><msubsup id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.3.cmml">n</mi></msub></msubsup><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2"><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3"><times id="S2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3"><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2"><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3"><eq id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2"><times id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.1"></times><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2"><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3"><times id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.1c">\hat{X}:=\lambda\sum_{i=1}^{N}\sum_{n=1}^{N_{n}}Z_{n}\hat{R}_{in}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_X end_ARG := italic_λ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{x}:=-\lambda Z_{e}\sum_{i=1}^{N}\hat{r}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.2.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.3a" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.1a" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.cmml"><msubsup id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.cmml"><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.3.cmml">N</mi></msubsup><msub id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2"><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3"><minus id="S2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3"></minus><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2"><times id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.2">𝑍</ci><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.3">𝑒</ci></apply><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4"><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1">superscript</csymbol><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1">subscript</csymbol><sum id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.2"></sum><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3"><eq id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2"><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.2.4.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.1c">\hat{x}:=-\lambda Z_{e}\sum_{i=1}^{N}\hat{r}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_x end_ARG := - italic_λ italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, for the nuclei and electrons, respectively. The total dipole of the ensemble couples via <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m3.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m3.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> to the effective photon mode with frequency <math alttext="\omega_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.p2.4.m4.1a"><msub id="S2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.p2.4.m4.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.4.m4.1c">\omega_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.4.m4.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The corresponding photonic displacement field operator is given by <math alttext="\hat{q}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.p2.5.m5.1a"><msub id="S2.p2.5.m5.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.p2.5.m5.1.1.2.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.5.m5.1b"><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2"><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.5.m5.1c">\hat{q}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.5.m5.1d">over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with canonical momentum <math alttext="\hat{p}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.p2.6.m6.1a"><msub id="S2.p2.6.m6.1.1" xref="S2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.p2.6.m6.1.1.2.1" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S2.p2.6.m6.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.6.m6.1b"><apply id="S2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2"><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.6.m6.1c">\hat{p}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.6.m6.1d">over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We note that for ground-state chemical reactions the effective single-mode approximation is expected to capture all the essential physics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib31" title="">31</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib23" title="">23</a>]</cite>. The main effect of a proper continuum of modes amounts to an extra dissipation channel as this leads to the radiative decay of the coupled system <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib32" title="">32</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.2">The vectorial photon-matter coupling <math alttext="\bm{\lambda}_{\beta}=\bm{\varepsilon}_{\beta}\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1"><eq id="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.2">𝝀</ci><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3"><times id="S2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.2">𝜺</ci><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">\bm{\lambda}_{\beta}=\bm{\varepsilon}_{\beta}\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT = bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_λ</annotation></semantics></math> depends on the mode polarization vector <math alttext="\bm{\varepsilon}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.p3.2.m2.1a"><msub id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2">𝜺</ci><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.1c">\bm{\varepsilon}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the coupling constant <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib25" title="">25</a>]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda=\sqrt{\frac{4\pi}{\mathcal{V}}}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E4.m1.1"><semantics id="S2.E4.m1.1a"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msqrt id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">π</mi></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">𝒱</mi></mfrac></msqrt></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.1b"><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1"><eq id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3"><root id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><cn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">4</cn><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜋</ci></apply><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝒱</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m1.1c">\lambda=\sqrt{\frac{4\pi}{\mathcal{V}}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m1.1d">italic_λ = square-root start_ARG divide start_ARG 4 italic_π end_ARG start_ARG caligraphic_V end_ARG end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.4">where <math alttext="\mathcal{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m1.1"><semantics id="S2.p3.3.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.3.m1.1.1" xref="S2.p3.3.m1.1.1.cmml">𝒱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m1.1b"><ci id="S2.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m1.1.1">𝒱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m1.1c">\mathcal{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m1.1d">caligraphic_V</annotation></semantics></math> corresponds to the effective mode volume. Here we have assumed for simplicity that all effective one-dimensional molecules are perfectly aligned with respect to the polarization vector <math alttext="\bm{\varepsilon}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.4.m2.1"><semantics id="S2.p3.4.m2.1a"><msub id="S2.p3.4.m2.1.1" xref="S2.p3.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.4.m2.1.1.2" xref="S2.p3.4.m2.1.1.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S2.p3.4.m2.1.1.3" xref="S2.p3.4.m2.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.4.m2.1b"><apply id="S2.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.4.m2.1.1.2">𝜺</ci><ci id="S2.p3.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.4.m2.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.4.m2.1c">\bm{\varepsilon}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.4.m2.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. However, qualitatively similar results are expected for randomly oriented molecules as has previously been shown numerically in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib28" title="">28</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.p4.1">If we would restrict to purely harmonic nucleus-nucleus interactions (as we do later in Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4" title="IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a>) we could in principle consider the full quantum dynamics by merely solving the corresponding classical equations of motion due to the harmonic nature of the model. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib30" title="">30</a>]</cite> However, we here do not assume this and we connect to the cavity Born-Oppenheimer approximation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib33" title="">33</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>, by assuming that the electrons adapt instantaneously on the time-scale of the nuclei and displacement coordinate. Thus we partition our polaritonic problem into two coupled sub-problems, one for the electrons and one for the nuclear and displacement degrees of freedom. The Hamiltonian operator of the coupled nuclear-photon degrees of freedom on the <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.p4.1.m1.1.1" xref="S2.p4.1.m1.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.1.m1.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.1.m1.1d">italic_l</annotation></semantics></math>-th electronic potential-energy surface is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx1"> <tbody id="S2.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hat{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex1.m1.1"><semantics id="S2.Ex1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.Ex1.m1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.1b"><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1"><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.2">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.1c">\displaystyle\hat{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.1d">over^ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="{}^{\mathrm{npt},l}:=\sum_{i=1}^{N}\Bigg{[}\sum_{n=1}^{N_{n}}\bigg{(}\frac{% \hat{P}_{in}^{2}}{2M_{n}}+\frac{k_{e}}{2}\hat{R}_{in}^{2}\bigg{)}+V_{i}(% \mathbf{\hat{R}}_{i})\Bigg{]}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.Ex1.m2.2"><semantics id="S2.Ex1.m2.2a"><mrow id="S2.Ex1.m2.2b"><mmultiscripts id="S2.Ex1.m2.2.3"><mo id="S2.Ex1.m2.2.3.2">:=</mo><mprescripts id="S2.Ex1.m2.2.3a"></mprescripts><mrow id="S2.Ex1.m2.2.3b"></mrow><mrow id="S2.Ex1.m2.2.2.2.4"><mi id="S2.Ex1.m2.1.1.1.1">npt</mi><mo id="S2.Ex1.m2.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S2.Ex1.m2.2.2.2.2">l</mi></mrow></mmultiscripts><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m2.2.4"><munderover id="S2.Ex1.m2.2.4a"><mo id="S2.Ex1.m2.2.4.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.2.4.2.3"><mi id="S2.Ex1.m2.2.4.2.3.2">i</mi><mo id="S2.Ex1.m2.2.4.2.3.1">=</mo><mn id="S2.Ex1.m2.2.4.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex1.m2.2.4.3">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.Ex1.m2.2.5"><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.1" maxsize="260%" minsize="260%">[</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m2.2.5.2"><munderover id="S2.Ex1.m2.2.5.2a"><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.2.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.2.5.2.2.3"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.2.2.3.2">n</mi><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.2.2.3.1">=</mo><mn id="S2.Ex1.m2.2.5.2.2.3.3">1</mn></mrow><msub id="S2.Ex1.m2.2.5.2.3"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.2.3.2">N</mi><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.2.3.3">n</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="S2.Ex1.m2.2.5.3"><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.3.1" maxsize="210%" minsize="210%">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2"><mfrac id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2a"><msubsup id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2"><mover accent="true" id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2.2.2"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2.2.2.2">P</mi><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2.2.2.1">^</mo></mover><mrow id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2.2.3"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2.2.3.2">i</mi><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2.2.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2.2.3.3">n</mi></mrow><mn id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.2.3">2</mn></msubsup><mrow id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.3"><mn id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.3.2">2</mn><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.3.1">⁢</mo><msub id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.3.3"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.3.3.2">M</mi><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.2.3.3.3">n</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.3.3">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m2.2.5.3.4"><mfrac id="S2.Ex1.m2.2.5.3.4a"><msub id="S2.Ex1.m2.2.5.3.4.2"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.4.2.2">k</mi><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.4.2.3">e</mi></msub><mn id="S2.Ex1.m2.2.5.3.4.3">2</mn></mfrac></mstyle><msubsup id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5"><mover accent="true" id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5.2.2"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5.2.2.2">R</mi><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5.2.2.1">^</mo></mover><mrow id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5.2.3"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5.2.3.2">i</mi><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5.2.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5.2.3.3">n</mi></mrow><mn id="S2.Ex1.m2.2.5.3.5.3">2</mn></msubsup><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.3.6" maxsize="210%" minsize="210%">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.4">+</mo><msub id="S2.Ex1.m2.2.5.5"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.5.2">V</mi><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.5.3">i</mi></msub><mrow id="S2.Ex1.m2.2.5.6"><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.6.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S2.Ex1.m2.2.5.6.2"><mover accent="true" id="S2.Ex1.m2.2.5.6.2.2"><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.6.2.2.2">𝐑</mi><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.6.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.Ex1.m2.2.5.6.2.3">i</mi></msub><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m2.2.5.7" maxsize="260%" minsize="260%">]</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m2.2c">{}^{\mathrm{npt},l}:=\sum_{i=1}^{N}\Bigg{[}\sum_{n=1}^{N_{n}}\bigg{(}\frac{% \hat{P}_{in}^{2}}{2M_{n}}+\frac{k_{e}}{2}\hat{R}_{in}^{2}\bigg{)}+V_{i}(% \mathbf{\hat{R}}_{i})\Bigg{]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m2.2d">start_FLOATSUPERSCRIPT roman_npt , italic_l end_FLOATSUPERSCRIPT := ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG over^ start_ARG italic_P end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG over^ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG bold_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{\hat{p}_{\beta}^{2}}{2}+\frac{\omega_{\beta}^{2}}{2}\Big{(% }\hat{q}_{\beta}-\frac{\hat{X}}{\omega_{\beta}}\Big{)}^{2}+\underbrace{\bra{% \Psi_{l}}\hat{H}^{\mathrm{e}}(\mathbf{R},q_{\beta})\ket{\Psi_{l}}}_{=E^{% \mathrm{e}}_{l}(\mathbf{R},q_{\beta})}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E5.m1.7"><semantics id="S2.E5.m1.7a"><mrow id="S2.E5.m1.7.7.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.7.7.1.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3a" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2a" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.3.cmml">β</mi><mn id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mn id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3a" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.cmml">β</mi><mn id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mn id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><msub id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msub></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.1.2a" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.2.cmml">+</mo><munder id="S2.E5.m1.7.7.1.1.4" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.4.cmml"><munder accentunder="true" id="S2.E5.m1.4.4" xref="S2.E5.m1.4.4.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.4.4.4" xref="S2.E5.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1a.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E5.m1.4.4.4.5" xref="S2.E5.m1.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E5.m1.4.4.4.6" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.cmml"><mover accent="true" id="S2.E5.m1.4.4.4.6.2" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.1" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E5.m1.4.4.4.6.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S2.E5.m1.4.4.4.5a" xref="S2.E5.m1.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E5.m1.3.3.3.3" xref="S2.E5.m1.3.3.3.3.cmml">𝐑</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.3" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.2.cmml">,</mo><msub id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.2" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.3" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.4" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E5.m1.4.4.4.5b" xref="S2.E5.m1.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.2.2a.3" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2a.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.4.4.5" xref="S2.E5.m1.4.4.5.cmml">⏟</mo></munder><mrow id="S2.E5.m1.6.6.2" xref="S2.E5.m1.6.6.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.2.4" xref="S2.E5.m1.6.6.2.4.cmml"></mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.2.3" xref="S2.E5.m1.6.6.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.2.2" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.cmml"><msubsup id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.2" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.3" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.3.cmml">l</mi><mi id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.3.cmml">e</mi></msubsup><mo id="S2.E5.m1.6.6.2.2.2" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E5.m1.5.5.1.1" xref="S2.E5.m1.5.5.1.1.cmml">𝐑</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder></mrow><mo id="S2.E5.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.7b"><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1"><plus id="S2.E5.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.2"></plus><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3"><plus id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" 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id="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3"><divide id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑋</ci></apply><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜔</ci><ci id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E5.m1.7.7.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.4.4.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4"><ci id="S2.E5.m1.4.4.5.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.5">⏟</ci><apply id="S2.E5.m1.4.4.4.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4"><times id="S2.E5.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.5"></times><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1a.3.1">bra</csymbol><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.4.4.4.6.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.4.4.4.6.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6">superscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.2"><ci id="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.1">^</ci><ci id="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.4.4.4.6.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.6.3">e</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E5.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.1"><ci id="S2.E5.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.3.3">𝐑</ci><apply id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.4.4.1.1.3">𝛽</ci></apply></interval><apply id="S2.E5.m1.2.2.2.2a.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2a.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.6.6.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2"><eq id="S2.E5.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m1.6.6.2.4.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.4">absent</csymbol><apply id="S2.E5.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2"><times id="S2.E5.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.2"></times><apply id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.2.3">e</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.3.3">𝑙</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1"><ci id="S2.E5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.5.5.1.1">𝐑</ci><apply id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.2.2.1.1.1.3">𝛽</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.7c">\displaystyle+\frac{\hat{p}_{\beta}^{2}}{2}+\frac{\omega_{\beta}^{2}}{2}\Big{(% }\hat{q}_{\beta}-\frac{\hat{X}}{\omega_{\beta}}\Big{)}^{2}+\underbrace{\bra{% \Psi_{l}}\hat{H}^{\mathrm{e}}(\mathbf{R},q_{\beta})\ket{\Psi_{l}}}_{=E^{% \mathrm{e}}_{l}(\mathbf{R},q_{\beta})}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.7d">+ divide start_ARG over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG over^ start_ARG italic_X end_ARG end_ARG start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + under⏟ start_ARG ⟨ start_ARG roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_e end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_R , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) | start_ARG roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT = italic_E start_POSTSUPERSCRIPT roman_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( bold_R , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p4.2">The corresponding <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.2.m1.1"><semantics id="S2.p4.2.m1.1a"><mi id="S2.p4.2.m1.1.1" xref="S2.p4.2.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.2.m1.1b"><ci id="S2.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.2.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.2.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-electron Hamiltonian operator is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx2"> <tbody id="S2.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hat{H}^{\mathrm{e}}(\mathbf{R},q_{\beta}):=\sum_{i=1}^{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex2.m1.2"><semantics id="S2.Ex2.m1.2a"><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.cmml">𝐑</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.4" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.2" rspace="0.278em" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.cmml">:=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.cmml"><munderover id="S2.Ex2.m1.2.2.3a" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.3.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.2b"><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2">assign</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1"><times id="S2.Ex2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2"><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.3.3">e</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1"><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1">𝐑</ci><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝛽</ci></apply></interval></apply><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.2"></sum><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3"><eq id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.2c">\displaystyle\hat{H}^{\mathrm{e}}(\mathbf{R},q_{\beta}):=\sum_{i=1}^{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.2d">over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_e end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_R , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Bigg{[}\frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2}-\sum_{n=1}^{N_{n}}k_{e}R_{in}% \hat{r}_{i}+N_{n}k_{e}\frac{\hat{r}_{i}^{2}}{2}\Bigg{]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex2.m2.1"><semantics id="S2.Ex2.m2.1a"><mrow id="S2.Ex2.m2.1.1.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S2.Ex2.m2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2a" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mn id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><munderover id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.3.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.3.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.1.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><msub id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.1a" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.2.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.2.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.2.3.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.4" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mfrac id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.4a" xref="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.4.cmml"><msubsup id="S2.Ex2.m2.1.1.1.1.3.4.2" 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id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">X</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">q</mi><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6.m1.1b"><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1"><plus id="S2.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><divide id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></divide><cn id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn><cn id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2"><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑋</ci></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">^</ci><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑞</ci><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.1c">\displaystyle+\bigg{(}\frac{1}{2}\hat{x}^{2}+\hat{x}X-\omega_{\beta}\hat{x}q_{% \beta}\bigg{)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.1d">+ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + over^ start_ARG italic_x end_ARG italic_X - italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p4.3">where the electrons only interact due to the presence of the (effective) cavity mode. The electronic Hamiltonian depends only parametrically on all the nuclei positions and displacement field coordinates, written compactly as <math alttext="(\mathbf{R},q_{\beta})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.3.m1.2"><semantics id="S2.p4.3.m1.2a"><mrow id="S2.p4.3.m1.2.2.1" xref="S2.p4.3.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p4.3.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.3.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p4.3.m1.1.1" xref="S2.p4.3.m1.1.1.cmml">𝐑</mi><mo id="S2.p4.3.m1.2.2.1.3" xref="S2.p4.3.m1.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S2.p4.3.m1.2.2.1.1" xref="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.p4.3.m1.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S2.p4.3.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.3.m1.2b"><interval closure="open" id="S2.p4.3.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.3.m1.2.2.1"><ci id="S2.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.p4.3.m1.1.1">𝐑</ci><apply id="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p4.3.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.3.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.3.m1.2.2.1.1.3">𝛽</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.3.m1.2c">(\mathbf{R},q_{\beta})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.3.m1.2d">( bold_R , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.p5.6">Assuming the dilute gas limit (i.e., no electron-electron interaction or setting the integrals <math alttext="\braket{\psi_{i}}{\hat{O}}{\psi_{k}}_{i\neq j}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.1.m1.3"><semantics id="S2.p5.1.m1.3a"><mrow id="S2.p5.1.m1.3.4" xref="S2.p5.1.m1.3.4.cmml"><msub id="S2.p5.1.m1.3.4.2" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.cmml"><mrow id="S2.p5.1.m1.3.3.5" xref="S2.p5.1.m1.3.3.4.cmml"><mo id="S2.p5.1.m1.3.3.5.1" stretchy="false" xref="S2.p5.1.m1.3.3.4.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.1.m1.3.3.5.2" stretchy="false" xref="S2.p5.1.m1.3.3.4.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S2.p5.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">O</mi><mo id="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.p5.1.m1.3.3.5.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.p5.1.m1.3.3.4.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p5.1.m1.3.3.3.3" xref="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.p5.1.m1.3.3.5.4" stretchy="false" xref="S2.p5.1.m1.3.3.4.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.2" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.1" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.1.cmml">≠</mo><mi id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.3" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.p5.1.m1.3.4.1" xref="S2.p5.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p5.1.m1.3.4.3" xref="S2.p5.1.m1.3.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.1.m1.3b"><apply id="S2.p5.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4"><eq id="S2.p5.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S2.p5.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.3.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.p5.1.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.3.5.1">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.2"><ci id="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.2">𝑂</ci></apply><apply id="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2"><neq id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.1"></neq><ci id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S2.p5.1.m1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.1.m1.3.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.1.m1.3c">\braket{\psi_{i}}{\hat{O}}{\psi_{k}}_{i\neq j}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.1.m1.3d">⟨ start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG over^ start_ARG italic_O end_ARG end_ARG | start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_i ≠ italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for any operator <math alttext="\hat{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.p5.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.p5.2.m2.1.1" xref="S2.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.2.m2.1.1.2" xref="S2.p5.2.m2.1.1.2.cmml">O</mi><mo id="S2.p5.2.m2.1.1.1" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.2.m2.1b"><apply id="S2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1"><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1">^</ci><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.2">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.2.m2.1c">\hat{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_O end_ARG</annotation></semantics></math>), the Hartree-Fock wave function reduces to a Hartree product <math alttext="\Psi=\psi_{1}\otimes\psi_{2}\otimes\dots\otimes\psi_{i}\otimes\dots\otimes\psi% _{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.3.m3.1"><semantics id="S2.p5.3.m3.1a"><mrow id="S2.p5.3.m3.1.1" xref="S2.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.p5.3.m3.1.1.1" xref="S2.p5.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.3.m3.1.1.3" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.p5.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p5.3.m3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msub id="S2.p5.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.p5.3.m3.1.1.3.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.4.cmml">⋯</mi><mo id="S2.p5.3.m3.1.1.3.1b" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msub id="S2.p5.3.m3.1.1.3.5" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.cmml"><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.2" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.3" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.3.m3.1.1.3.1c" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3.6" mathvariant="normal" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.6.cmml">⋯</mi><mo id="S2.p5.3.m3.1.1.3.1d" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msub id="S2.p5.3.m3.1.1.3.7" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.cmml"><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.2" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.3" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.3.m3.1b"><apply id="S2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1"><eq id="S2.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S2.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><apply id="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.2">𝜓</ci><cn id="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.2">𝜓</ci><cn id="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.4">⋯</ci><apply id="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.2.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.2">𝜓</ci><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.3.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.5.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.3.6.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.6">⋯</ci><apply id="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.7">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.2.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.2">𝜓</ci><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.3.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.7.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.3.m3.1c">\Psi=\psi_{1}\otimes\psi_{2}\otimes\dots\otimes\psi_{i}\otimes\dots\otimes\psi% _{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.3.m3.1d">roman_Ψ = italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⊗ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⊗ ⋯ ⊗ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⊗ ⋯ ⊗ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.4.m4.1"><semantics id="S2.p5.4.m4.1a"><mi id="S2.p5.4.m4.1.1" xref="S2.p5.4.m4.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.4.m4.1b"><ci id="S2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.4.m4.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.4.m4.1d">italic_N</annotation></semantics></math> single-molecule electronic wave functions <math alttext="\psi_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.5.m5.1"><semantics id="S2.p5.5.m5.1a"><msub id="S2.p5.5.m5.1.1" xref="S2.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.5.m5.1.1.2" xref="S2.p5.5.m5.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.p5.5.m5.1.1.3" xref="S2.p5.5.m5.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.5.m5.1b"><apply id="S2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.5.m5.1c">\psi_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.5.m5.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. These are determined by the following coupled <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.6.m6.1"><semantics id="S2.p5.6.m6.1a"><mi id="S2.p5.6.m6.1.1" xref="S2.p5.6.m6.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.6.m6.1b"><ci id="S2.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p5.6.m6.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.6.m6.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.6.m6.1d">italic_N</annotation></semantics></math> Hartree equations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib29" title="">29</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx3"> <tbody id="S2.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bigg{(}\frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2}-\sum_{n=1}^{N_{n}}k_{e}R_{in}% \hat{r}_{i}+N_{n}k_{e}\frac{\hat{r}_{i}^{2}}{2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E7.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1a"><mrow id="S2.E7.m1.1b"><mo id="S2.E7.m1.1.1" maxsize="210%" minsize="210%">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7.m1.1.2"><mfrac id="S2.E7.m1.1.2a"><msubsup id="S2.E7.m1.1.2.2"><mover accent="true" id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2"><mi id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.2">p</mi><mo id="S2.E7.m1.1.2.2.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.E7.m1.1.2.2.2.3">i</mi><mn id="S2.E7.m1.1.2.2.3">2</mn></msubsup><mn id="S2.E7.m1.1.2.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E7.m1.1.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7.m1.1.4"><munderover id="S2.E7.m1.1.4a"><mo id="S2.E7.m1.1.4.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S2.E7.m1.1.4.2.3"><mi id="S2.E7.m1.1.4.2.3.2">n</mi><mo id="S2.E7.m1.1.4.2.3.1">=</mo><mn id="S2.E7.m1.1.4.2.3.3">1</mn></mrow><msub id="S2.E7.m1.1.4.3"><mi id="S2.E7.m1.1.4.3.2">N</mi><mi id="S2.E7.m1.1.4.3.3">n</mi></msub></munderover></mstyle><msub id="S2.E7.m1.1.5"><mi id="S2.E7.m1.1.5.2">k</mi><mi id="S2.E7.m1.1.5.3">e</mi></msub><msub id="S2.E7.m1.1.6"><mi id="S2.E7.m1.1.6.2">R</mi><mrow id="S2.E7.m1.1.6.3"><mi id="S2.E7.m1.1.6.3.2">i</mi><mo id="S2.E7.m1.1.6.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E7.m1.1.6.3.3">n</mi></mrow></msub><msub id="S2.E7.m1.1.7"><mover accent="true" id="S2.E7.m1.1.7.2"><mi id="S2.E7.m1.1.7.2.2">r</mi><mo id="S2.E7.m1.1.7.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.E7.m1.1.7.3">i</mi></msub><mo id="S2.E7.m1.1.8">+</mo><msub id="S2.E7.m1.1.9"><mi id="S2.E7.m1.1.9.2">N</mi><mi id="S2.E7.m1.1.9.3">n</mi></msub><msub id="S2.E7.m1.1.10"><mi id="S2.E7.m1.1.10.2">k</mi><mi id="S2.E7.m1.1.10.3">e</mi></msub><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7.m1.1.11"><mfrac id="S2.E7.m1.1.11a"><msubsup id="S2.E7.m1.1.11.2"><mover accent="true" id="S2.E7.m1.1.11.2.2.2"><mi id="S2.E7.m1.1.11.2.2.2.2">r</mi><mo id="S2.E7.m1.1.11.2.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.E7.m1.1.11.2.2.3">i</mi><mn id="S2.E7.m1.1.11.2.3">2</mn></msubsup><mn id="S2.E7.m1.1.11.3">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1c">\displaystyle\bigg{(}\frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2}-\sum_{n=1}^{N_{n}}k_{e}R_{in}% \hat{r}_{i}+N_{n}k_{e}\frac{\hat{r}_{i}^{2}}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1d">( divide start_ARG over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\Big{(}X-q_{\beta}\omega_{\beta}+\sum_{j\neq i}^{N}\braket{\psi_% {j}}{\hat{x}_{j}}{\psi_{j}}\Big{)}\hat{x}_{i}+\frac{\hat{x}_{i}^{2}}{2}\bigg{)% }\psi_{i}=\varepsilon_{i}\psi_{i}\quad{.}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.Ex3.m1.3"><semantics id="S2.Ex3.m1.3a"><mrow id="S2.Ex3.m1.3b"><mo id="S2.Ex3.m1.3.4">+</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.5"><mo id="S2.Ex3.m1.3.5.1" maxsize="160%" minsize="160%">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.5.2">X</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.5.3">−</mo><msub id="S2.Ex3.m1.3.5.4"><mi id="S2.Ex3.m1.3.5.4.2">q</mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.5.4.3">β</mi></msub><msub id="S2.Ex3.m1.3.5.5"><mi id="S2.Ex3.m1.3.5.5.2">ω</mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.5.5.3">β</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.5.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.3.5.7"><munderover id="S2.Ex3.m1.3.5.7a"><mo id="S2.Ex3.m1.3.5.7.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.5.7.2.3"><mi id="S2.Ex3.m1.3.5.7.2.3.2">j</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.5.7.2.3.1">≠</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.5.7.2.3.3">i</mi></mrow><mi id="S2.Ex3.m1.3.5.7.3">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3a.5"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3a.5.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.2">ψ</mi><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3">j</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3a.5.2" stretchy="false">|</mo><msub id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2"><mover accent="true" id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.2"><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2">x</mi><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.3">j</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3a.5.3" rspace="0.170em" stretchy="false">|</mo><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.3.3"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.3.3.2">ψ</mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.3.3.3">j</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3a.5.4" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.5.8" maxsize="160%" minsize="160%">)</mo></mrow><msub id="S2.Ex3.m1.3.6"><mover accent="true" id="S2.Ex3.m1.3.6.2"><mi id="S2.Ex3.m1.3.6.2.2">x</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.6.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.Ex3.m1.3.6.3">i</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.7">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.3.8"><mfrac id="S2.Ex3.m1.3.8a"><msubsup id="S2.Ex3.m1.3.8.2"><mover accent="true" id="S2.Ex3.m1.3.8.2.2.2"><mi id="S2.Ex3.m1.3.8.2.2.2.2">x</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.8.2.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.Ex3.m1.3.8.2.2.3">i</mi><mn id="S2.Ex3.m1.3.8.2.3">2</mn></msubsup><mn id="S2.Ex3.m1.3.8.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex3.m1.3.9" maxsize="210%" minsize="210%">)</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.10">ψ</mi><msub id="S2.Ex3.m1.3.11"><mi id="S2.Ex3.m1.3.11a"></mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.11.1">i</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.12">=</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.13">ε</mi><msub id="S2.Ex3.m1.3.14"><mi id="S2.Ex3.m1.3.14a"></mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.14.1">i</mi></msub><mi id="S2.Ex3.m1.3.15">ψ</mi><msub id="S2.Ex3.m1.3.16"><mi id="S2.Ex3.m1.3.16a"></mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.16.1">i</mi></msub><mspace id="S2.Ex3.m1.3.17" width="1.000em"></mspace><mo id="S2.Ex3.m1.3.18">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.3c">\displaystyle+\Big{(}X-q_{\beta}\omega_{\beta}+\sum_{j\neq i}^{N}\braket{\psi_% {j}}{\hat{x}_{j}}{\psi_{j}}\Big{)}\hat{x}_{i}+\frac{\hat{x}_{i}^{2}}{2}\bigg{)% }\psi_{i}=\varepsilon_{i}\psi_{i}\quad{.}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.3d">+ ( italic_X - italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ≠ italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ) over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p5.17">This model resembles the numerical approach in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib34" title="">34</a>]</cite> to mimic collective effects in Note that in analogy to Hartree-Fock theory, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib35" title="">35</a>]</cite> the total electronic energy is not just the sum of the single molecule energies but one needs to subtract the energy of the two-electron operator to cancel double counting</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx4"> <tbody id="S2.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle E^{\mathrm{e}}=\sum_{i}^{N}\epsilon_{i}-\frac{1}{2}\Big{(}% \braket{x}^{2}-Z_{e}^{2}\lambda^{2}\sum_{i}^{N}\braket{r_{i}}^{2}\Big{)}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.m1.3"><semantics id="S2.E8.m1.3a"><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S2.E8.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">E</mi><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1a" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><msub id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.1.1a.3" xref="S2.E8.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.E8.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E8.m1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E8.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">e</mi><mn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml"><munderover id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1a" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.3" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><msup id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.2.2a.3" xref="S2.E8.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="S2.E8.m1.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E8.m1.2.2.1.1" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E8.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.m1.3b"><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1"><eq id="S2.E8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.2">𝐸</ci><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.3.3">e</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.2"></minus><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3"><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.2"></sum><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.1.1a.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply><cn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn></apply><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜆</ci><cn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.2"></sum><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.2.2a.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S2.E8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m1.3c">\displaystyle E^{\mathrm{e}}=\sum_{i}^{N}\epsilon_{i}-\frac{1}{2}\Big{(}% \braket{x}^{2}-Z_{e}^{2}\lambda^{2}\sum_{i}^{N}\braket{r_{i}}^{2}\Big{)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m1.3d">italic_E start_POSTSUPERSCRIPT roman_e end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( ⟨ start_ARG italic_x end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p5.7">Thanks to our harmonic matter description, the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.7.m1.1"><semantics id="S2.p5.7.m1.1a"><mi id="S2.p5.7.m1.1.1" xref="S2.p5.7.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.7.m1.1b"><ci id="S2.p5.7.m1.1.1.cmml" xref="S2.p5.7.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.7.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.7.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-electron problem given in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E7" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) can be solved analytically. By defining</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx5"> <tbody id="S2.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mu_{i}:=Z_{e}\lambda\sum_{j\neq i}^{N}\braket{\psi_{j}}{\hat{r}_% {j}}{\psi_{j}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E9.m1.4"><semantics id="S2.E9.m1.4a"><mrow id="S2.E9.m1.4.4.1" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.4.4.1.1" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S2.E9.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.4.4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.1a" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.cmml"><munderover id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1a" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.2" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.1" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.1.cmml">≠</mo><mi id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.3" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mi id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.3" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E9.m1.3.3a.5" xref="S2.E9.m1.3.3a.4.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.3a.5.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3a.4.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E9.m1.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.3.3a.5.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3a.4.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E9.m1.2.2.2.2" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E9.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E9.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.3.3a.5.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3a.4.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E9.m1.3.3.3.3" xref="S2.E9.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E9.m1.3.3.3.3.2" xref="S2.E9.m1.3.3.3.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.E9.m1.3.3.3.3.3" xref="S2.E9.m1.3.3.3.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.3.3a.5.4" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3a.4.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.4.4.1.2" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9.m1.4b"><apply id="S2.E9.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3"><times id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝑍</ci><ci id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.3">𝜆</ci><apply id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4"><apply id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.2"></sum><apply id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3"><neq id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.1"></neq><ci id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.4.4.1.1.3.4.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.3.3a.4.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3a.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.3.3a.4.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3a.5.1">quantum-operator-product</csymbol><apply id="S2.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.2"><ci id="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.3.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.E9.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.m1.4c">\displaystyle\mu_{i}:=Z_{e}\lambda\sum_{j\neq i}^{N}\braket{\psi_{j}}{\hat{r}_% {j}}{\psi_{j}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.m1.4d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT := italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_λ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j ≠ italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p5.9">the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.8.m1.1"><semantics id="S2.p5.8.m1.1a"><mi id="S2.p5.8.m1.1.1" xref="S2.p5.8.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.8.m1.1b"><ci id="S2.p5.8.m1.1.1.cmml" xref="S2.p5.8.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.8.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.8.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th electron problem corresponds to a shifted harmonic oscillator parameterized by <math alttext="(\mathbf{R},q_{\beta})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.9.m2.2"><semantics id="S2.p5.9.m2.2a"><mrow id="S2.p5.9.m2.2.2.1" xref="S2.p5.9.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p5.9.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p5.9.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.9.m2.1.1" xref="S2.p5.9.m2.1.1.cmml">𝐑</mi><mo id="S2.p5.9.m2.2.2.1.3" xref="S2.p5.9.m2.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S2.p5.9.m2.2.2.1.1" xref="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.2" xref="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.3" xref="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.p5.9.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S2.p5.9.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.9.m2.2b"><interval closure="open" id="S2.p5.9.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.9.m2.2.2.1"><ci id="S2.p5.9.m2.1.1.cmml" xref="S2.p5.9.m2.1.1">𝐑</ci><apply id="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p5.9.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.9.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.9.m2.2.2.1.1.3">𝛽</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.9.m2.2c">(\mathbf{R},q_{\beta})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.9.m2.2d">( bold_R , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx6"> <tbody id="S2.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bigg{[}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E10.m1.1"><semantics id="S2.E10.m1.1a"><mo id="S2.E10.m1.1.1" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E10.m1.1.1.cmml">[</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E10.m1.1b"><ci id="S2.E10.m1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1">[</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E10.m1.1c">\displaystyle\bigg{[}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E10.m1.1d">[</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2}+\nu_{1,i}\hat{r}_{i}+\frac{\nu_{2}^{2}}% {2}\hat{r}_{i}^{2}\bigg{]}\psi_{i}(r_{i})=\epsilon_{i}\psi_{i}(r_{i})," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E10.m2.2"><semantics id="S2.E10.m2.2a"><mrow id="S2.E10.m2.2b"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E10.m2.2.3"><mfrac id="S2.E10.m2.2.3a"><msubsup id="S2.E10.m2.2.3.2"><mover accent="true" id="S2.E10.m2.2.3.2.2.2"><mi id="S2.E10.m2.2.3.2.2.2.2">p</mi><mo id="S2.E10.m2.2.3.2.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.E10.m2.2.3.2.2.3">i</mi><mn id="S2.E10.m2.2.3.2.3">2</mn></msubsup><mn id="S2.E10.m2.2.3.3">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S2.E10.m2.2.4">+</mo><msub id="S2.E10.m2.2.5"><mi id="S2.E10.m2.2.5.2">ν</mi><mrow id="S2.E10.m2.2.2.2.4"><mn id="S2.E10.m2.1.1.1.1">1</mn><mo id="S2.E10.m2.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S2.E10.m2.2.2.2.2">i</mi></mrow></msub><msub id="S2.E10.m2.2.6"><mover accent="true" id="S2.E10.m2.2.6.2"><mi id="S2.E10.m2.2.6.2.2">r</mi><mo id="S2.E10.m2.2.6.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.E10.m2.2.6.3">i</mi></msub><mo id="S2.E10.m2.2.7">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E10.m2.2.8"><mfrac id="S2.E10.m2.2.8a"><msubsup id="S2.E10.m2.2.8.2"><mi id="S2.E10.m2.2.8.2.2.2">ν</mi><mn id="S2.E10.m2.2.8.2.2.3">2</mn><mn id="S2.E10.m2.2.8.2.3">2</mn></msubsup><mn id="S2.E10.m2.2.8.3">2</mn></mfrac></mstyle><msubsup id="S2.E10.m2.2.9"><mover accent="true" id="S2.E10.m2.2.9.2.2"><mi id="S2.E10.m2.2.9.2.2.2">r</mi><mo id="S2.E10.m2.2.9.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S2.E10.m2.2.9.2.3">i</mi><mn id="S2.E10.m2.2.9.3">2</mn></msubsup><mo id="S2.E10.m2.2.10" maxsize="210%" minsize="210%">]</mo><mi id="S2.E10.m2.2.11">ψ</mi><msub id="S2.E10.m2.2.12"><mi id="S2.E10.m2.2.12a"></mi><mi id="S2.E10.m2.2.12.1">i</mi></msub><mo id="S2.E10.m2.2.13" stretchy="false">(</mo><msub id="S2.E10.m2.2.14"><mi id="S2.E10.m2.2.14.2">r</mi><mi id="S2.E10.m2.2.14.3">i</mi></msub><mo id="S2.E10.m2.2.15" stretchy="false">)</mo><mo id="S2.E10.m2.2.16">=</mo><mi id="S2.E10.m2.2.17">ϵ</mi><msub id="S2.E10.m2.2.18"><mi id="S2.E10.m2.2.18a"></mi><mi id="S2.E10.m2.2.18.1">i</mi></msub><mi id="S2.E10.m2.2.19">ψ</mi><msub id="S2.E10.m2.2.20"><mi id="S2.E10.m2.2.20a"></mi><mi id="S2.E10.m2.2.20.1">i</mi></msub><mo id="S2.E10.m2.2.21" stretchy="false">(</mo><msub id="S2.E10.m2.2.22"><mi id="S2.E10.m2.2.22.2">r</mi><mi id="S2.E10.m2.2.22.3">i</mi></msub><mo id="S2.E10.m2.2.23" stretchy="false">)</mo><mo id="S2.E10.m2.2.24">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E10.m2.2c">\displaystyle\frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2}+\nu_{1,i}\hat{r}_{i}+\frac{\nu_{2}^{2}}% {2}\hat{r}_{i}^{2}\bigg{]}\psi_{i}(r_{i})=\epsilon_{i}\psi_{i}(r_{i}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E10.m2.2d">divide start_ARG over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\nu_{1,i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E11.m1.2"><semantics id="S2.E11.m1.2a"><msub id="S2.E11.m1.2.3" xref="S2.E11.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.3.2" xref="S2.E11.m1.2.3.2.cmml">ν</mi><mrow id="S2.E11.m1.2.2.2.4" 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ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:=-k_{e}\sum_{n=1}^{N_{n}}R_{in}+Z_{e}\lambda(-X+\omega_{\beta}q_% {\beta}+\mu_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E11.m2.1"><semantics id="S2.E11.m2.1a"><mrow id="S2.E11.m2.1.1" xref="S2.E11.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m2.1.1.3" xref="S2.E11.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.E11.m2.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E11.m2.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1" xref="S2.E11.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.3a" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><munderover id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.3.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.3.1" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.3.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.3.cmml"><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.3.2" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.3.3" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover></mstyle><msub id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2" 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id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑅</ci><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.3"><times id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.3.2.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1"><times id="S2.E11.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.3.3">𝑒</ci></apply><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.4">𝜆</ci><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜇</ci><ci id="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E11.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E11.m2.1c">\displaystyle:=-k_{e}\sum_{n=1}^{N_{n}}R_{in}+Z_{e}\lambda(-X+\omega_{\beta}q_% {\beta}+\mu_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E11.m2.1d">:= - italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT + italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_λ ( - italic_X + italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT + italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\nu_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E12.m1.1"><semantics id="S2.E12.m1.1a"><msub id="S2.E12.m1.1.1" xref="S2.E12.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.1.1.2.cmml">ν</mi><mn id="S2.E12.m1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E12.m1.1b"><apply id="S2.E12.m1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="S2.E12.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E12.m1.1c">\displaystyle\nu_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E12.m1.1d">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:=\sqrt{\lambda^{2}Z_{e}^{2}+N_{n}k_{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E12.m2.1"><semantics id="S2.E12.m2.1a"><mrow id="S2.E12.m2.1.1" xref="S2.E12.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m2.1.1.2" xref="S2.E12.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E12.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E12.m2.1.1.1.cmml">:=</mo><msqrt id="S2.E12.m2.1.1.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E12.m2.1.1.3.2" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.cmml"><msup id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">e</mi><mn id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S2.E12.m2.1.1.3.2.1" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E12.m2.1b"><apply id="S2.E12.m2.1.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E12.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.1">assign</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E12.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3"><root id="S2.E12.m2.1.1.3a.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3"></root><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2"><plus id="S2.E12.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2"><times id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.2">𝑍</ci><ci id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3"><times id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E12.m2.1.1.3.2.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E12.m2.1c">\displaystyle:=\sqrt{\lambda^{2}Z_{e}^{2}+N_{n}k_{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E12.m2.1d">:= square-root start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p5.18">The shifted harmonic oscillator energies are then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx7"> <tbody id="S2.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\epsilon^{l}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex4.m1.1"><semantics id="S2.Ex4.m1.1a"><msubsup id="S2.Ex4.m1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.2.3.cmml">l</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m1.1b"><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m1.1c">\displaystyle\epsilon^{l}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m1.1d">italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\Braket{\hat{b}_{i}^{\dagger}\hat{b}_{i}+\frac{1}{2}-\eta_{i}^{2% }(\mathbf{R},q_{\beta})}_{l}\nu_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex4.m2.1"><semantics id="S2.Ex4.m2.1a"><mrow id="S2.Ex4.m2.1.2" xref="S2.Ex4.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m2.1.2.2" xref="S2.Ex4.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex4.m2.1.2.1" xref="S2.Ex4.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex4.m2.1.2.3" xref="S2.Ex4.m2.1.2.3.cmml"><msub id="S2.Ex4.m2.1.2.3.2" xref="S2.Ex4.m2.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m2.1.1a.3" xref="S2.Ex4.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m2.1.1a.3.1" xref="S2.Ex4.m2.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S2.Ex4.m2.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m2.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex4.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m2.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex4.m2.1.1.1.1.4.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex4.m2.1.1.1.1.4.2.2" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_b end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG - italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_R , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(l+\frac{1}{2}-\frac{\nu_{1,i}^{2}}{2\nu_{2}^{3}}\right)\nu% _{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E13.m1.3"><semantics id="S2.E13.m1.3a"><mrow id="S2.E13.m1.3.3" xref="S2.E13.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.E13.m1.3.3.3" xref="S2.E13.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S2.E13.m1.3.3.2" xref="S2.E13.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E13.m1.3.3.1" xref="S2.E13.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E13.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" 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xref="S2.p5.10.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.10.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.10.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S2.p5.10.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝛽</ci></apply></interval></apply><apply id="S2.p5.10.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3"><divide id="S2.p5.10.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.1"></divide><apply id="S2.p5.10.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.10.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.10.m1.4.4.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.2.2">𝜈</ci><list id="S2.p5.10.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.10.m1.2.2.2.4"><cn id="S2.p5.10.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p5.10.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S2.p5.10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.10.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3"><root id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3a.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3"></root><apply id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2"><times id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.1"></times><cn id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.2">2</cn><apply id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.2.2">𝜈</ci><cn id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.10.m1.4.4.3.3.2.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.10.m1.4c">\eta_{i}(\mathbf{R},q_{\beta})=\nu_{1,i}/\sqrt{2\nu_{2}^{3}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.10.m1.4d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( bold_R , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT / square-root start_ARG 2 italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{b}_{i}^{\dagger}=\hat{a}_{i}^{\dagger}+\eta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.11.m2.1"><semantics id="S2.p5.11.m2.1a"><mrow id="S2.p5.11.m2.1.1" xref="S2.p5.11.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S2.p5.11.m2.1.1.2" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.1" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.3" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.11.m2.1.1.2.3" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.p5.11.m2.1.1.1" xref="S2.p5.11.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.11.m2.1.1.3" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.p5.11.m2.1.1.3.1" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.p5.11.m2.1.1.3.3" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.11.m2.1b"><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1"><eq id="S2.p5.11.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.1"></eq><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.11.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2"><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.2.2">𝑏</ci></apply><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3"><plus id="S2.p5.11.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2"><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.2.2">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p5.11.m2.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.11.m2.1c">\hat{b}_{i}^{\dagger}=\hat{a}_{i}^{\dagger}+\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.11.m2.1d">over^ start_ARG italic_b end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = over^ start_ARG italic_a end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\hat{b}_{i}=\hat{a}_{i}+\eta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.12.m3.1"><semantics id="S2.p5.12.m3.1a"><mrow id="S2.p5.12.m3.1.1" xref="S2.p5.12.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.p5.12.m3.1.1.2" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.12.m3.1.1.2.2" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.1" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.12.m3.1.1.2.3" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.12.m3.1.1.1" xref="S2.p5.12.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.12.m3.1.1.3" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.2" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.1" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.3" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.12.m3.1.1.3.1" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.p5.12.m3.1.1.3.3" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.12.m3.1b"><apply id="S2.p5.12.m3.1.1.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1"><eq id="S2.p5.12.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.p5.12.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.12.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.2"><ci id="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.2.2">𝑏</ci></apply><ci id="S2.p5.12.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p5.12.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3"><plus id="S2.p5.12.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2"><ci id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.2.2">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p5.12.m3.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.12.m3.1c">\hat{b}_{i}=\hat{a}_{i}+\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.12.m3.1d">over^ start_ARG italic_b end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_a end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The ladder operators of the original quantum harmonic oscillator are given by <math alttext="\hat{a}_{i}^{\dagger}=\sqrt{\nu_{2}/2}(\hat{r}_{i}-i\hat{p}_{i}/\nu_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.13.m4.1"><semantics id="S2.p5.13.m4.1a"><mrow id="S2.p5.13.m4.1.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.cmml"><msubsup id="S2.p5.13.m4.1.1.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.3.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.13.m4.1.1.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.cmml"><msqrt id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ν</mi><mn id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></msqrt><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ν</mi><mn id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.13.m4.1b"><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1"><eq id="S2.p5.13.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.2"></eq><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.13.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2"><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.2.2">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.3.3">†</ci></apply><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1"><times id="S2.p5.13.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.2"></times><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3"><root id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3"></root><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2"><divide id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.1"></divide><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.2">𝜈</ci><cn id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1"><minus id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜈</ci><cn id="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.13.m4.1c">\hat{a}_{i}^{\dagger}=\sqrt{\nu_{2}/2}(\hat{r}_{i}-i\hat{p}_{i}/\nu_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.13.m4.1d">over^ start_ARG italic_a end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = square-root start_ARG italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT / 2 end_ARG ( over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_i over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{a}_{i}=\sqrt{\nu_{2}/2}(\hat{r}_{i}+i\hat{p}_{i}/\nu_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.14.m5.1"><semantics id="S2.p5.14.m5.1a"><mrow id="S2.p5.14.m5.1.1" xref="S2.p5.14.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.p5.14.m5.1.1.3" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.14.m5.1.1.3.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.1" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.14.m5.1.1.3.3" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.14.m5.1.1.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.14.m5.1.1.1" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.cmml"><msqrt 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id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ν</mi><mn id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.14.m5.1b"><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1"><eq id="S2.p5.14.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.2"></eq><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.14.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.2"><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.2.2">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1"><times id="S2.p5.14.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.2"></times><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.3"><root id="S2.p5.14.m5.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.3"></root><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2"><divide id="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.1"></divide><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.2.2">𝜈</ci><cn id="S2.p5.14.m5.1.1.1.3.2.2.3.cmml" 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xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜈</ci><cn id="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.14.m5.1c">\hat{a}_{i}=\sqrt{\nu_{2}/2}(\hat{r}_{i}+i\hat{p}_{i}/\nu_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.14.m5.1d">over^ start_ARG italic_a end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT / 2 end_ARG ( over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_i over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> with <math alttext="\hat{r}_{i}=\sqrt{1/2\nu_{2}}(\hat{a}_{i}^{\dagger}+\hat{a}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.15.m6.1"><semantics id="S2.p5.15.m6.1a"><mrow id="S2.p5.15.m6.1.1" xref="S2.p5.15.m6.1.1.cmml"><msub id="S2.p5.15.m6.1.1.3" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.15.m6.1.1.3.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.1" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.15.m6.1.1.3.3" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.15.m6.1.1.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.15.m6.1.1.1" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.cmml"><msqrt id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mo 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id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.15.m6.1b"><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1"><eq id="S2.p5.15.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.2"></eq><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.15.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.2"><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1"><times id="S2.p5.15.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.2"></times><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3"><root id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3"></root><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2"><times id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2"><divide id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.1"></divide><cn id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.2">1</cn><cn id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.3.2">𝜈</ci><cn id="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1"><plus id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.15.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.15.m6.1c">\hat{r}_{i}=\sqrt{1/2\nu_{2}}(\hat{a}_{i}^{\dagger}+\hat{a}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.15.m6.1d">over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG 1 / 2 italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( over^ start_ARG italic_a end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT + over^ start_ARG italic_a end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. In other words, the solutions of the shifted quantum harmonic oscillator are connected to the original harmonic oscillator via the unitary displacement operator <math alttext="\hat{U}_{i}=e^{-\eta_{i}\left(\hat{a}_{i}^{\dagger}-\hat{a}_{i}\right)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.16.m7.1"><semantics id="S2.p5.16.m7.1a"><mrow id="S2.p5.16.m7.1.2" xref="S2.p5.16.m7.1.2.cmml"><msub id="S2.p5.16.m7.1.2.2" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.16.m7.1.2.2.2" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.2" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.1" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.16.m7.1.2.2.3" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.16.m7.1.2.1" xref="S2.p5.16.m7.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="S2.p5.16.m7.1.2.3" xref="S2.p5.16.m7.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p5.16.m7.1.2.3.2" xref="S2.p5.16.m7.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p5.16.m7.1.1.1" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p5.16.m7.1.1.1a" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.16.m7.1b"><apply id="S2.p5.16.m7.1.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2"><eq id="S2.p5.16.m7.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.1"></eq><apply id="S2.p5.16.m7.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.16.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.2"><ci id="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.2.2">𝑈</ci></apply><ci id="S2.p5.16.m7.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p5.16.m7.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.16.m7.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p5.16.m7.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1"><minus id="S2.p5.16.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1"></minus><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1"><times id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.16.m7.1c">\hat{U}_{i}=e^{-\eta_{i}\left(\hat{a}_{i}^{\dagger}-\hat{a}_{i}\right)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.16.m7.1d">over^ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_a end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_a end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.p6.1">Since the instantaneous dipoles of the electrons couple to the cavity field we determine the expectation value of the local and the total electric dipole for later reference. When calculating the electronic position expectation value of the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.1.m1.1"><semantics id="S2.p6.1.m1.1a"><mi id="S2.p6.1.m1.1.1" xref="S2.p6.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.1.m1.1b"><ci id="S2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th electron in the ground state, we find a recursive dependency on the position of all other electrons due to the dipole-dipole interaction term, i.e.,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx8"> <tbody id="S2.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\langle\hat{r}_{i}\rangle_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E14.m1.1"><semantics id="S2.E14.m1.1a"><msub id="S2.E14.m1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S2.E14.m1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E14.m1.1b"><apply id="S2.E14.m1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S2.E14.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E14.m1.1c">\displaystyle\langle\hat{r}_{i}\rangle_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E14.m1.1d">⟨ over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle\hat{r}_{i}\rangle_{0}=-\sqrt{\frac{1}{2\nu_{2}}}(\eta_{i% }+\eta_{i}^{*})=-\frac{\nu_{1,i}}{\nu_{2}^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E14.m2.4"><semantics id="S2.E14.m2.4a"><mrow id="S2.E14.m2.4.4" xref="S2.E14.m2.4.4.cmml"><mi id="S2.E14.m2.4.4.4" xref="S2.E14.m2.4.4.4.cmml"></mi><mo id="S2.E14.m2.4.4.5" xref="S2.E14.m2.4.4.5.cmml">=</mo><msub id="S2.E14.m2.3.3.1" xref="S2.E14.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S2.E14.m2.3.3.1.3" xref="S2.E14.m2.3.3.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E14.m2.4.4.6" xref="S2.E14.m2.4.4.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.E14.m2.4.4.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.cmml"><mo id="S2.E14.m2.4.4.2a" xref="S2.E14.m2.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E14.m2.4.4.2.1" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.cmml"><msqrt id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2a" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.cmml"><mn id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.1" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.2.cmml">ν</mi><mn id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.3" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></msqrt><mo id="S2.E14.m2.4.4.2.1.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m2.4.4.7" xref="S2.E14.m2.4.4.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E14.m2.4.4.8" xref="S2.E14.m2.4.4.8.cmml"><mo id="S2.E14.m2.4.4.8a" xref="S2.E14.m2.4.4.8.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E14.m2.2.2" xref="S2.E14.m2.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E14.m2.2.2a" xref="S2.E14.m2.2.2.cmml"><msub id="S2.E14.m2.2.2.2" xref="S2.E14.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E14.m2.2.2.2.4" xref="S2.E14.m2.2.2.2.4.cmml">ν</mi><mrow id="S2.E14.m2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E14.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E14.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.E14.m2.2.2.2.2.2.4.1" xref="S2.E14.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E14.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E14.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><msubsup id="S2.E14.m2.2.2.4" xref="S2.E14.m2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E14.m2.2.2.4.2.2" xref="S2.E14.m2.2.2.4.2.2.cmml">ν</mi><mn id="S2.E14.m2.2.2.4.2.3" xref="S2.E14.m2.2.2.4.2.3.cmml">2</mn><mn id="S2.E14.m2.2.2.4.3" xref="S2.E14.m2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E14.m2.4b"><apply id="S2.E14.m2.4.4.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4"><and id="S2.E14.m2.4.4a.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4"></and><apply id="S2.E14.m2.4.4b.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4"><eq id="S2.E14.m2.4.4.5.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m2.4.4.4.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.4">absent</csymbol><apply id="S2.E14.m2.3.3.1.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E14.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2"><ci id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m2.3.3.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S2.E14.m2.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m2.3.3.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.E14.m2.4.4c.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4"><eq id="S2.E14.m2.4.4.6.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E14.m2.3.3.1.cmml" id="S2.E14.m2.4.4d.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4"></share><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2"><minus id="S2.E14.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2"></minus><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.1.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1"><times id="S2.E14.m2.4.4.2.1.2.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.2"></times><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3"><root id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3a.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3"></root><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2"><divide id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2"></divide><cn id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.2">1</cn><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3"><times id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.1"></times><cn id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.2">2</cn><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.2">𝜈</ci><cn id="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1"><plus id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E14.m2.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" 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italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{N_{n}}\bigg{(}\sum_{n=1}^{N_{n}}R_{in}+\frac{\lambda Z_% {e}}{k_{e}}\Big{(}X+\langle x\rangle_{0}-\omega_{\beta}q_{\beta}\Big{)}\bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E15.m1.2"><semantics id="S2.E15.m1.2a"><mrow id="S2.E15.m1.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.3" xref="S2.E15.m1.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.2" 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xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover></mstyle><msub id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow><msub id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E15.m1.2b"><apply id="S2.E15.m1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2"><eq id="S2.E15.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1"><times id="S2.E15.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.3"><divide id="S2.E15.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.3"></divide><cn id="S2.E15.m1.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.2.2.1.3.2">1</cn><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑍</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑒</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><ci id="S2.E15.m1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1">𝑥</ci></apply><cn id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E15.m1.2c">\displaystyle=\frac{1}{N_{n}}\bigg{(}\sum_{n=1}^{N_{n}}R_{in}+\frac{\lambda Z_% {e}}{k_{e}}\Big{(}X+\langle x\rangle_{0}-\omega_{\beta}q_{\beta}\Big{)}\bigg{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E15.m1.2d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_λ italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_X + ⟨ italic_x ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT - italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{N_{n}}\bigg{(}\sum_{n=1}^{N_{n}}R_{in}-\frac{E_{\perp}Z% _{e}}{k_{e}}\bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E16.m1.1"><semantics id="S2.E16.m1.1a"><mrow id="S2.E16.m1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E16.m1.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E16.m1.1.1.1.3a" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E16.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msub id="S2.E16.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><munderover id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover></mstyle><msub id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">E</mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">⟂</mo></msub><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow><msub id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E16.m1.1b"><apply id="S2.E16.m1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1"><eq id="S2.E16.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E16.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1"><times id="S2.E16.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3"><divide id="S2.E16.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.E16.m1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3"><eq id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑅</ci><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">perpendicular-to</csymbol></apply><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑍</ci><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑒</ci></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E16.m1.1c">\displaystyle=\frac{1}{N_{n}}\bigg{(}\sum_{n=1}^{N_{n}}R_{in}-\frac{E_{\perp}Z% _{e}}{k_{e}}\bigg{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E16.m1.1d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p6.2">where we have implicitly used <math alttext="\mu_{i}=Z_{e}\lambda\sum_{j}^{N}\langle\hat{r}_{j}\rangle_{0}-\langle\hat{r}_{% i}\rangle_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.2.m1.2"><semantics id="S2.p6.2.m1.2a"><mrow id="S2.p6.2.m1.2.2" xref="S2.p6.2.m1.2.2.cmml"><msub id="S2.p6.2.m1.2.2.4" xref="S2.p6.2.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.p6.2.m1.2.2.4.2" xref="S2.p6.2.m1.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mi id="S2.p6.2.m1.2.2.4.3" xref="S2.p6.2.m1.2.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p6.2.m1.2.2.3" xref="S2.p6.2.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p6.2.m1.2.2.2" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.2a" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mi id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msubsup><msub id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S2.p6.2.m1.2.2.2.3" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.3.cmml">−</mo><msub id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.2.m1.2b"><apply id="S2.p6.2.m1.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2"><eq id="S2.p6.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.3"></eq><apply id="S2.p6.2.m1.2.2.4.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.2.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.4.2">𝜇</ci><ci id="S2.p6.2.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p6.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2"><minus id="S2.p6.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.3"></minus><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1"><times id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.3.3">𝑒</ci></apply><ci id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.4">𝜆</ci><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><ci id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.2.m1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.2.m1.2c">\mu_{i}=Z_{e}\lambda\sum_{j}^{N}\langle\hat{r}_{j}\rangle_{0}-\langle\hat{r}_{% i}\rangle_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.2.m1.2d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_λ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT - ⟨ over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the second line. The last step introduces the definition of the transverse electric field</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx9"> <tbody id="S2.E17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle E_{\perp}=\underbrace{\lambda\omega_{\beta}q_{\beta}}_{4\pi D}-% \underbrace{\lambda(X+\langle x\rangle)}_{4\pi P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E17.m1.2"><semantics id="S2.E17.m1.2a"><mrow id="S2.E17.m1.2.3" xref="S2.E17.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.E17.m1.2.3.2" xref="S2.E17.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.3.2.2" xref="S2.E17.m1.2.3.2.2.cmml">E</mi><mo id="S2.E17.m1.2.3.2.3" xref="S2.E17.m1.2.3.2.3.cmml">⟂</mo></msub><mo id="S2.E17.m1.2.3.1" xref="S2.E17.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.3.3" xref="S2.E17.m1.2.3.3.cmml"><munder id="S2.E17.m1.2.3.3.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.1" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.3" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.1a" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.2.cmml">q</mi><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.3" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.1" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.1.cmml">⏟</mo></munder><mrow id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.1" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.3" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.1a" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.4" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.4.cmml">D</mi></mrow></munder><mo id="S2.E17.m1.2.3.3.1" xref="S2.E17.m1.2.3.3.1.cmml">−</mo><munder id="S2.E17.m1.2.3.3.3" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S2.E17.m1.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.2.4" xref="S2.E17.m1.2.2.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.3.cmml">⏟</mo></munder><mrow id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.cmml"><mn id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.2.cmml">4</mn><mo id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.1" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.3" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.1a" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.4" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.4.cmml">P</mi></mrow></munder></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E17.m1.2b"><apply id="S2.E17.m1.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3"><eq id="S2.E17.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.1"></eq><apply id="S2.E17.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.2.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.2.3">perpendicular-to</csymbol></apply><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3"><minus id="S2.E17.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.1"></minus><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2"><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.1">⏟</ci><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2"><times id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.1"></times><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.2">𝜆</ci><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.2">𝜔</ci><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.2">𝑞</ci><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.2.2.4.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3"><times id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.1"></times><cn id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.2">4</cn><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.3">𝜋</ci><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.4.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.2.3.4">𝐷</ci></apply></apply><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E17.m1.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2"><ci id="S2.E17.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.3">⏟</ci><apply id="S2.E17.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.2"><times id="S2.E17.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S2.E17.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.2.4">𝜆</ci><apply id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1"><plus id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><ci id="S2.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2"><times id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.1"></times><cn id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.2">4</cn><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.3">𝜋</ci><ci id="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.4.cmml" xref="S2.E17.m1.2.3.3.3.2.4">𝑃</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E17.m1.2c">\displaystyle E_{\perp}=\underbrace{\lambda\omega_{\beta}q_{\beta}}_{4\pi D}-% \underbrace{\lambda(X+\langle x\rangle)}_{4\pi P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E17.m1.2d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT = under⏟ start_ARG italic_λ italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 4 italic_π italic_D end_POSTSUBSCRIPT - under⏟ start_ARG italic_λ ( italic_X + ⟨ italic_x ⟩ ) end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 4 italic_π italic_P end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p6.5">in the length gauge in terms of the displacement <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.3.m1.1"><semantics id="S2.p6.3.m1.1a"><mi id="S2.p6.3.m1.1.1" xref="S2.p6.3.m1.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.3.m1.1b"><ci id="S2.p6.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m1.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.3.m1.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.3.m1.1d">italic_D</annotation></semantics></math> and polarization fields <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.4.m2.1"><semantics id="S2.p6.4.m2.1a"><mi id="S2.p6.4.m2.1.1" xref="S2.p6.4.m2.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.4.m2.1b"><ci id="S2.p6.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.p6.4.m2.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.4.m2.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.4.m2.1d">italic_P</annotation></semantics></math>. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib36" title="">36</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> We note that if we only couple to the displacement field without including the self-consistent polarization of the system (<math alttext="E_{\perp}=4\pi D" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.5.m3.1"><semantics id="S2.p6.5.m3.1a"><mrow id="S2.p6.5.m3.1.1" xref="S2.p6.5.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.p6.5.m3.1.1.2" xref="S2.p6.5.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p6.5.m3.1.1.2.2" xref="S2.p6.5.m3.1.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="S2.p6.5.m3.1.1.2.3" xref="S2.p6.5.m3.1.1.2.3.cmml">⟂</mo></msub><mo id="S2.p6.5.m3.1.1.1" xref="S2.p6.5.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p6.5.m3.1.1.3" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S2.p6.5.m3.1.1.3.2" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S2.p6.5.m3.1.1.3.1" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p6.5.m3.1.1.3.3" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.p6.5.m3.1.1.3.1a" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p6.5.m3.1.1.3.4" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.4.cmml">D</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.5.m3.1b"><apply id="S2.p6.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1"><eq id="S2.p6.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.p6.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.2.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.p6.5.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.2.3">perpendicular-to</csymbol></apply><apply id="S2.p6.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3"><times id="S2.p6.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.1"></times><cn id="S2.p6.5.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.2">4</cn><ci id="S2.p6.5.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.3">𝜋</ci><ci id="S2.p6.5.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S2.p6.5.m3.1.1.3.4">𝐷</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.5.m3.1c">E_{\perp}=4\pi D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.5.m3.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT = 4 italic_π italic_D</annotation></semantics></math>), then we find a different shifted oscillator as detailed in Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS4" title="III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.4</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.p7.2">Now, we can perform the <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.1.m1.1"><semantics id="S2.p7.1.m1.1a"><mi id="S2.p7.1.m1.1.1" xref="S2.p7.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.1.m1.1b"><ci id="S2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p7.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>-weighted summation over all <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.2.m2.1"><semantics id="S2.p7.2.m2.1a"><mi id="S2.p7.2.m2.1.1" xref="S2.p7.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.2.m2.1b"><ci id="S2.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p7.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> molecules from Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E14" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>) to derive analogously the exact relation</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx10"> <tbody id="S2.E18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ \braket{x}=\big{(}1-" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E18.m1.1"><semantics id="S2.E18.m1.1a"><mrow id="S2.E18.m1.1b"><mrow id="S2.E18.m1.1.1a.3"><mo id="S2.E18.m1.1.1a.3.1" stretchy="false">⟨</mo><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1">x</mi><mo id="S2.E18.m1.1.1a.3.2" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E18.m1.1.2">=</mo><mrow id="S2.E18.m1.1.3"><mo id="S2.E18.m1.1.3.1" maxsize="120%" minsize="120%">(</mo><mn id="S2.E18.m1.1.3.2">1</mn><mo id="S2.E18.m1.1.3.3">−</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E18.m1.1c">\displaystyle\ \braket{x}=\big{(}1-</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E18.m1.1d">⟨ start_ARG italic_x end_ARG ⟩ = ( 1 -</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma^{2}\big{)}\bigg{[}-\frac{k_{e}}{\lambda Z_{e}N}\sum_{i}^{N% }\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{n}}}R_{in}-X+\omega_{\beta}q_{\beta}\bigg{]}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E18.m2.1"><semantics id="S2.E18.m2.1a"><mrow id="S2.E18.m2.1b"><msup id="S2.E18.m2.1.1"><mi id="S2.E18.m2.1.1.2">γ</mi><mn id="S2.E18.m2.1.1.3">2</mn></msup><mo id="S2.E18.m2.1.2" maxsize="120%" minsize="120%">)</mo><mo id="S2.E18.m2.1.3" maxsize="210%" minsize="210%">[</mo><mo id="S2.E18.m2.1.4" lspace="0em">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E18.m2.1.5"><mfrac id="S2.E18.m2.1.5a"><msub id="S2.E18.m2.1.5.2"><mi id="S2.E18.m2.1.5.2.2">k</mi><mi id="S2.E18.m2.1.5.2.3">e</mi></msub><mrow id="S2.E18.m2.1.5.3"><mi id="S2.E18.m2.1.5.3.2">λ</mi><mo id="S2.E18.m2.1.5.3.1">⁢</mo><msub id="S2.E18.m2.1.5.3.3"><mi id="S2.E18.m2.1.5.3.3.2">Z</mi><mi id="S2.E18.m2.1.5.3.3.3">e</mi></msub><mo id="S2.E18.m2.1.5.3.1a">⁢</mo><mi id="S2.E18.m2.1.5.3.4">N</mi></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S2.E18.m2.1.6"><munderover id="S2.E18.m2.1.6a"><mo id="S2.E18.m2.1.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mi id="S2.E18.m2.1.6.2.3">i</mi><mi id="S2.E18.m2.1.6.3">N</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S2.E18.m2.1.7"><munderover id="S2.E18.m2.1.7a"><mo id="S2.E18.m2.1.7.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S2.E18.m2.1.7.2.3"><mi id="S2.E18.m2.1.7.2.3.2">n</mi><mo id="S2.E18.m2.1.7.2.3.1">=</mo><mn id="S2.E18.m2.1.7.2.3.3">1</mn></mrow><msub id="S2.E18.m2.1.7.3"><mi id="S2.E18.m2.1.7.3.2">N</mi><mi id="S2.E18.m2.1.7.3.3" mathvariant="normal">n</mi></msub></munderover></mstyle><msub id="S2.E18.m2.1.8"><mi id="S2.E18.m2.1.8.2">R</mi><mrow id="S2.E18.m2.1.8.3"><mi id="S2.E18.m2.1.8.3.2">i</mi><mo id="S2.E18.m2.1.8.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E18.m2.1.8.3.3">n</mi></mrow></msub><mo id="S2.E18.m2.1.9">−</mo><mi id="S2.E18.m2.1.10">X</mi><mo id="S2.E18.m2.1.11">+</mo><msub id="S2.E18.m2.1.12"><mi id="S2.E18.m2.1.12.2">ω</mi><mi id="S2.E18.m2.1.12.3">β</mi></msub><msub id="S2.E18.m2.1.13"><mi id="S2.E18.m2.1.13.2">q</mi><mi id="S2.E18.m2.1.13.3">β</mi></msub><mo id="S2.E18.m2.1.14" maxsize="210%" minsize="210%">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E18.m2.1c">\displaystyle\gamma^{2}\big{)}\bigg{[}-\frac{k_{e}}{\lambda Z_{e}N}\sum_{i}^{N% }\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{n}}}R_{in}-X+\omega_{\beta}q_{\beta}\bigg{]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E18.m2.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) [ - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT - italic_X + italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma^{2}(N,\lambda)=\frac{1}{1+\lambda^{2}N\alpha_{i}},\quad 0<% \gamma^{2}\leq 1." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E19.m1.3"><semantics id="S2.E19.m1.3a"><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1"><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E19.m1.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><msup id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.2.cmml">α</mi><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><</mo><msup id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.5" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml">≤</mo><mn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.6" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E19.m1.3b"><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E19.m1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S2.E19.m1.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2">𝜆</ci></interval></apply><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"><plus id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1"></plus><cn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝜆</ci><cn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑁</ci><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.2">𝛼</ci><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2"><and id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2a.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2"></and><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2b.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2"><lt id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.3"></lt><cn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.2">0</cn><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.2">𝛾</ci><cn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2c.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2"><leq id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2d.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2"></share><cn id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.2.6">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E19.m1.3c">\displaystyle\gamma^{2}(N,\lambda)=\frac{1}{1+\lambda^{2}N\alpha_{i}},\quad 0<% \gamma^{2}\leq 1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E19.m1.3d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , 0 < italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p7.4">Here we have introduced the scaling constant <math alttext="\gamma^{2}(N,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.3.m1.2"><semantics id="S2.p7.3.m1.2a"><mrow id="S2.p7.3.m1.2.3" xref="S2.p7.3.m1.2.3.cmml"><msup id="S2.p7.3.m1.2.3.2" xref="S2.p7.3.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.p7.3.m1.2.3.2.2" xref="S2.p7.3.m1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S2.p7.3.m1.2.3.2.3" xref="S2.p7.3.m1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.p7.3.m1.2.3.1" xref="S2.p7.3.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p7.3.m1.2.3.3.2" xref="S2.p7.3.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.p7.3.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p7.3.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p7.3.m1.1.1" xref="S2.p7.3.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.p7.3.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.p7.3.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p7.3.m1.2.2" xref="S2.p7.3.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p7.3.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p7.3.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.3.m1.2b"><apply id="S2.p7.3.m1.2.3.cmml" xref="S2.p7.3.m1.2.3"><times id="S2.p7.3.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.p7.3.m1.2.3.1"></times><apply id="S2.p7.3.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.p7.3.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.3.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p7.3.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p7.3.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p7.3.m1.2.3.2.2">𝛾</ci><cn id="S2.p7.3.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p7.3.m1.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S2.p7.3.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p7.3.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.p7.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.p7.3.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S2.p7.3.m1.2.2.cmml" xref="S2.p7.3.m1.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.3.m1.2c">\gamma^{2}(N,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.3.m1.2d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ )</annotation></semantics></math>, which depends on the single molecular (bare matter) polarizability <math alttext="\alpha_{i}=Z_{e}^{2}/(N_{n}k_{e})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.4.m2.1"><semantics id="S2.p7.4.m2.1a"><mrow id="S2.p7.4.m2.1.1" xref="S2.p7.4.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.p7.4.m2.1.1.3" xref="S2.p7.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p7.4.m2.1.1.3.2" xref="S2.p7.4.m2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S2.p7.4.m2.1.1.3.3" xref="S2.p7.4.m2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.p7.4.m2.1.1.2" xref="S2.p7.4.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p7.4.m2.1.1.1" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.2" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.3" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi><mn id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.3" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.p7.4.m2.1.1.1.2" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow><mo id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.4.m2.1b"><apply id="S2.p7.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1"><eq id="S2.p7.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.2"></eq><apply id="S2.p7.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S2.p7.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.p7.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1"><divide id="S2.p7.4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.2"></divide><apply id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.2">𝑍</ci><ci id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1"><times id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p7.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.4.m2.1c">\alpha_{i}=Z_{e}^{2}/(N_{n}k_{e})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.4.m2.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / ( italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> (see discussion in Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS1" title="III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a>). Eventually, using Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E18" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) one can rewrite the transverse electric field, given in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E17" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>), solely in terms of nuclear and displacement field coordinates. This will be convenient to find self-consistent equations of motion for the combined nuclei-displacement subsystem and to have access to non-perturbative polarizability features.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span>Features of ensemble self-consistency</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.2">We now have a self-consistent ab-initio model to investigate VSC in the collective regime. Having access to analytic expressions for all electronic expectation values and therefore its derivatives, we can make use of the Hellmann-Feynman theorem to easily investigate different properties <math alttext="O" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">O</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝑂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">O</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">italic_O</annotation></semantics></math> as <math alttext="\frac{\mathrm{d}\braket{\hat{H}}}{\mathrm{d}O}=\braket{\frac{\mathrm{d}}{% \mathrm{d}O}\hat{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.p1.2.m2.2.3" xref="S3.p1.2.m2.2.3.cmml"><mfrac id="S3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">O</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.p1.2.m2.2.3.1" xref="S3.p1.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">O</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.3"><eq id="S3.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.3.1"></eq><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1"><divide id="S3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1"></divide><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1"><times id="S3.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.3">d</ci><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐻</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.2">d</ci><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1"><times id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1"></times><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2"><divide id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2"></divide><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.2">d</ci><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3"><times id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.2">d</ci><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.3.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3"><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1">^</ci><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2">𝐻</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.2c">\frac{\mathrm{d}\braket{\hat{H}}}{\mathrm{d}O}=\braket{\frac{\mathrm{d}}{% \mathrm{d}O}\hat{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.2d">divide start_ARG roman_d ⟨ start_ARG over^ start_ARG italic_H end_ARG end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG roman_d italic_O end_ARG = ⟨ start_ARG divide start_ARG roman_d end_ARG start_ARG roman_d italic_O end_ARG over^ start_ARG italic_H end_ARG end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>. First, we explore the polarizabilities and re-scaling of the cavity frequency. Then, we look at the equation of motion for the nuclei under VSC and show the effect of common (non-self-consistent) approximations.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.1 </span>Modified Polarizabilities Under Collective VSC</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.5">Molecular polarizabilities are important to understand and probe molecular properties with light. Moreover, they also influence how molecules interact. For example, London dispersion forces are a key element to understand solvation processes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib37" title="">37</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib38" title="">38</a>]</cite> and they have successfully been altered in experiment. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib22" title="">22</a>]</cite> The standard definition of the (static) electronic polarizability <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> of a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p1.5.1">single</span> molecule or an ensemble of uncoupled <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> molecules considers how the respective dipole moment <math alttext="\hat{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.1c">\hat{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math> responds to an external electric field <math alttext="E_{\mathrm{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">E</mi><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">ext</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2">𝐸</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3">ext</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m4.1c">E_{\mathrm{ext}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m4.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, described by <math alttext="\hat{H}_{m}-\hat{d}E_{\mathrm{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mi id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1"><minus id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2"><ci 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href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib39" title="">39</a>]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\alpha=\frac{\partial\braket{d}}{\partial E_{\mathrm{ext}}}=\sum_{i}^{N}Z_{e}% \frac{\partial\braket{\hat{r}_{i}}}{\partial E_{\mathrm{ext}}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E20.m1.3"><semantics id="S3.E20.m1.3a"><mrow id="S3.E20.m1.3.3.1" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.3.3.1.1" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E20.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E20.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E20.m1.1.1" xref="S3.E20.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.E20.m1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.3" 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xref="S3.E20.m1.2.2.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.3"><partialdiff id="S3.E20.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S3.E20.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.E20.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.3.2.3">ext</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E20.m1.3c">\alpha=\frac{\partial\braket{d}}{\partial E_{\mathrm{ext}}}=\sum_{i}^{N}Z_{e}% \frac{\partial\braket{\hat{r}_{i}}}{\partial E_{\mathrm{ext}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E20.m1.3d">italic_α = divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG italic_d end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.7">The electronic dipole operator is given as <math alttext="\hat{d}=Z_{e}\sum_{i}^{N}\hat{r}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.3.cmml">N</mi></msubsup><msub id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3"><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.2"></sum><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m1.1c">\hat{d}=Z_{e}\sum_{i}^{N}\hat{r}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m1.1d">over^ start_ARG italic_d end_ARG = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In case of uncoupled (bare) harmonic molecules (i.e., only probing <math alttext="\hat{H}_{\mathrm{M}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.7.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.7.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.3.cmml">M</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.7.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m2.1.1.3">M</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.7.m2.1c">\hat{H}_{\mathrm{M}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.7.m2.1d">over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) the collective polarizability can either be calculated self-consistently or perturbatively (see Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS1.SSS1" title="III.1.1 Polarizabilities from Perturbation Theory ‣ III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1.1</span></a>), yielding the identical analytical result</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\alpha=N\underbrace{\frac{Z_{e}^{2}}{{N_{\mathrm{n}}}k_{e}}}_{\alpha_{i}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E21.m1.1"><semantics id="S3.E21.m1.1a"><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><munder id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><msubsup id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">e</mi><mn id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><msub id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⏟</mo></munder><msub id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub></munder></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E21.m1.1b"><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1"><eq id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.1">⏟</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"><divide id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"></divide><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3"><times id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1"></times><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3">n</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E21.m1.1c">\alpha=N\underbrace{\frac{Z_{e}^{2}}{{N_{\mathrm{n}}}k_{e}}}_{\alpha_{i}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E21.m1.1d">italic_α = italic_N under⏟ start_ARG divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.11">where <math alttext="\alpha_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.8.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.8.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.8.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.8.m1.1c">\alpha_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.8.m1.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the single-molecule polarizability. Notice that <math alttext="\alpha_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.9.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.9.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.9.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.9.m2.1c">\alpha_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.9.m2.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined by a local perturbation within the uncoupled (bare) matter ensemble, i.e., by <math alttext="\hat{H}_{m}-\hat{d}_{i}E^{i}_{\mathrm{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.10.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.10.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.3.cmml">ext</mi><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.10.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1"><minus id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.3.3.3">ext</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.10.m3.1c">\hat{H}_{m}-\hat{d}_{i}E^{i}_{\mathrm{ext}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.10.m3.1d">over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the ensemble polarizability is merely the single-molecule polarizability scaled linearly by the number of molecules <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.11.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.11.m4.1a"><mi id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.11.m4.1b"><ci id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.11.m4.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.11.m4.1d">italic_N</annotation></semantics></math>. This simple linear relation also holds if we ask, for instance, what would be the response of any subset of molecules of our ensemble to a small perturbation.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.8">For our self-consistent solution of the ensemble, we can check whether this simple linear relation, which reduces everything back to the single-molecule response, is recovered. To check this we consider a few different polarizabilities, specifically the polarizability of the full ensemble <math alttext="\tilde{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.1c">\tilde{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG</annotation></semantics></math>, the polarizability of the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th molecule if the full ensemble is perturbed <math alttext="\tilde{\alpha}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m3.1a"><msub id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m3.1c">\tilde{\alpha}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the polarizability of the full ensemble if only the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m4.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m4.1d">italic_j</annotation></semantics></math>-th molecule is changed <math alttext="\tilde{\alpha}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p2.5.m5.1a"><msup id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml">j</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m5.1c">\tilde{\alpha}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m5.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and finally the polarizability of the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p2.6.m6.1a"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.6.m6.1b"><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.6.m6.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.6.m6.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th molecule if the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p2.7.m7.1a"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.7.m7.1b"><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.7.m7.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.7.m7.1d">italic_j</annotation></semantics></math>-th molecule is perturbed locally <math alttext="\tilde{\alpha}_{i}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S3.SS1.p2.8.m8.1a"><msubsup id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml">j</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.8.m8.1b"><apply id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2"><ci id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.8.m8.1c">\tilde{\alpha}_{i}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.8.m8.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Mathematically these different polarizabilities are obtained by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx11"> <tbody id="S3.E22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}=\frac{\partial\braket{d}}{\partial E_{\mathrm{ext}% }}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}E_{\mathrm{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.m1.1"><semantics id="S3.E22.m1.1a"><mrow id="S3.E22.m1.1.2" xref="S3.E22.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E22.m1.1.2.2" xref="S3.E22.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.2.2.2" xref="S3.E22.m1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E22.m1.1.2.2.1" xref="S3.E22.m1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E22.m1.1.2.3" xref="S3.E22.m1.1.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E22.m1.1.2.4" xref="S3.E22.m1.1.2.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E22.m1.1.1a" xref="S3.E22.m1.1.1a.cmml"><mfrac id="S3.E22.m1.1.1aa" xref="S3.E22.m1.1.1a.cmml"><mrow id="S3.E22.m1.1.1.1a" xref="S3.E22.m1.1.1.1a.cmml"><mo id="S3.E22.m1.1.1.1a.2" rspace="0em" xref="S3.E22.m1.1.1.1a.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.E22.m1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E22.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.E22.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E22.m1.1.1a.3" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.cmml"><mo id="S3.E22.m1.1.1a.3.1" rspace="0em" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.E22.m1.1.1a.3.2" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1a.3.2.2" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S3.E22.m1.1.1a.3.2.3" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.2.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E22.m1.1.2.4.1" lspace="0.500em" xref="S3.E22.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E22.m1.1.2.4.2" xref="S3.E22.m1.1.2.4.2.cmml">with</mi><mo id="S3.E22.m1.1.2.4.1a" lspace="0.500em" xref="S3.E22.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E22.m1.1.2.4.3" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E22.m1.1.2.4.3.2" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.1" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.E22.m1.1.2.4.3.3" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.3.cmml">tot</mi></msub></mrow><mo id="S3.E22.m1.1.2.5" xref="S3.E22.m1.1.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E22.m1.1.2.6" xref="S3.E22.m1.1.2.6.cmml"><mover accent="true" id="S3.E22.m1.1.2.6.2" xref="S3.E22.m1.1.2.6.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.2.6.2.2" xref="S3.E22.m1.1.2.6.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E22.m1.1.2.6.2.1" xref="S3.E22.m1.1.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E22.m1.1.2.6.1" xref="S3.E22.m1.1.2.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E22.m1.1.2.6.3" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E22.m1.1.2.6.3.2" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.2" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.1" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E22.m1.1.2.6.3.1" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E22.m1.1.2.6.3.3" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.2" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.2.cmml">E</mi><mi id="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.3" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22.m1.1b"><apply id="S3.E22.m1.1.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2"><and id="S3.E22.m1.1.2a.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2"></and><apply id="S3.E22.m1.1.2b.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2"><eq id="S3.E22.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.3"></eq><apply id="S3.E22.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.2"><ci id="S3.E22.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E22.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.2.2">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E22.m1.1.2.4.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4"><times id="S3.E22.m1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4.1"></times><apply id="S3.E22.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1a"><divide id="S3.E22.m1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1a"></divide><apply id="S3.E22.m1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1a"><partialdiff id="S3.E22.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1a.2"></partialdiff><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E22.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1a.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1a.3"><partialdiff id="S3.E22.m1.1.1a.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.1"></partialdiff><apply id="S3.E22.m1.1.1a.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1a.3.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1a.3.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.E22.m1.1.1a.3.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1a.3.2.3">ext</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E22.m1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4.2">with</ci><apply id="S3.E22.m1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.2"><ci id="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E22.m1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.4.3.3">tot</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.2c.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2"><eq id="S3.E22.m1.1.2.5.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E22.m1.1.2.4.cmml" id="S3.E22.m1.1.2d.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2"></share><apply id="S3.E22.m1.1.2.6.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6"><minus id="S3.E22.m1.1.2.6.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.1"></minus><apply id="S3.E22.m1.1.2.6.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.2"><ci id="S3.E22.m1.1.2.6.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.2.1">^</ci><ci id="S3.E22.m1.1.2.6.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="S3.E22.m1.1.2.6.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3"><times id="S3.E22.m1.1.2.6.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.1"></times><apply id="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.2"><ci id="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.2.6.3.3.3">ext</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.m1.1c">\displaystyle\tilde{\alpha}=\frac{\partial\braket{d}}{\partial E_{\mathrm{ext}% }}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}E_{\mathrm{ext}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG = divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG italic_d end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_with over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_tot end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_H end_ARG - over^ start_ARG italic_d end_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}=\frac{\partial\braket{d_{i}}}{\partial E_{% \mathrm{ext}}}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}E_{\mathrm{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E23.m1.1"><semantics id="S3.E23.m1.1a"><mrow id="S3.E23.m1.1.2" xref="S3.E23.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.E23.m1.1.2.2" xref="S3.E23.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E23.m1.1.2.2.2" xref="S3.E23.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.E23.m1.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E23.m1.1.2.2.2.1" xref="S3.E23.m1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E23.m1.1.2.2.3" xref="S3.E23.m1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E23.m1.1.2.3" xref="S3.E23.m1.1.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E23.m1.1.2.4" xref="S3.E23.m1.1.2.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E23.m1.1.1a" xref="S3.E23.m1.1.1a.cmml"><mfrac id="S3.E23.m1.1.1aa" xref="S3.E23.m1.1.1a.cmml"><mrow id="S3.E23.m1.1.1.1a" xref="S3.E23.m1.1.1.1a.cmml"><mo id="S3.E23.m1.1.1.1a.2" rspace="0em" xref="S3.E23.m1.1.1.1a.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.E23.m1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E23.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mi id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E23.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E23.m1.1.1a.3" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.cmml"><mo id="S3.E23.m1.1.1a.3.1" rspace="0em" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.E23.m1.1.1a.3.2" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.1.1a.3.2.2" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S3.E23.m1.1.1a.3.2.3" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.2.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E23.m1.1.2.4.1" lspace="0.500em" xref="S3.E23.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m1.1.2.4.2" xref="S3.E23.m1.1.2.4.2.cmml">with</mi><mo id="S3.E23.m1.1.2.4.1a" lspace="0.500em" xref="S3.E23.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E23.m1.1.2.4.3" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E23.m1.1.2.4.3.2" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.1" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.E23.m1.1.2.4.3.3" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.3.cmml">tot</mi></msub></mrow><mo id="S3.E23.m1.1.2.5" xref="S3.E23.m1.1.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E23.m1.1.2.6" xref="S3.E23.m1.1.2.6.cmml"><mover accent="true" id="S3.E23.m1.1.2.6.2" xref="S3.E23.m1.1.2.6.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.1.2.6.2.2" xref="S3.E23.m1.1.2.6.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E23.m1.1.2.6.2.1" xref="S3.E23.m1.1.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E23.m1.1.2.6.1" xref="S3.E23.m1.1.2.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E23.m1.1.2.6.3" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E23.m1.1.2.6.3.2" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.2" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.1" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E23.m1.1.2.6.3.1" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E23.m1.1.2.6.3.3" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.cmml"><mi id="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.2" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.2.cmml">E</mi><mi id="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.3" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E23.m1.1b"><apply id="S3.E23.m1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2"><and id="S3.E23.m1.1.2a.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2"></and><apply id="S3.E23.m1.1.2b.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2"><eq id="S3.E23.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.3"></eq><apply id="S3.E23.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E23.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.2.2"><ci id="S3.E23.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E23.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E23.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E23.m1.1.2.4.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4"><times id="S3.E23.m1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4.1"></times><apply id="S3.E23.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1a"><divide id="S3.E23.m1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1a"></divide><apply id="S3.E23.m1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1a"><partialdiff id="S3.E23.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1a.2"></partialdiff><apply id="S3.E23.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E23.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E23.m1.1.1a.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1a.3"><partialdiff id="S3.E23.m1.1.1a.3.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.1"></partialdiff><apply id="S3.E23.m1.1.1a.3.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.1.1a.3.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E23.m1.1.1a.3.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.E23.m1.1.1a.3.2.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1a.3.2.3">ext</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E23.m1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4.2">with</ci><apply id="S3.E23.m1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.2"><ci id="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E23.m1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.4.3.3">tot</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E23.m1.1.2c.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2"><eq id="S3.E23.m1.1.2.5.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E23.m1.1.2.4.cmml" id="S3.E23.m1.1.2d.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2"></share><apply id="S3.E23.m1.1.2.6.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6"><minus id="S3.E23.m1.1.2.6.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.1"></minus><apply id="S3.E23.m1.1.2.6.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.2"><ci id="S3.E23.m1.1.2.6.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.2.1">^</ci><ci id="S3.E23.m1.1.2.6.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="S3.E23.m1.1.2.6.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3"><times id="S3.E23.m1.1.2.6.3.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.1"></times><apply id="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.2"><ci id="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.3.cmml" xref="S3.E23.m1.1.2.6.3.3.3">ext</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E23.m1.1c">\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}=\frac{\partial\braket{d_{i}}}{\partial E_{% \mathrm{ext}}}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}E_{\mathrm{ext}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E23.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_with over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_tot end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_H end_ARG - over^ start_ARG italic_d end_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}^{j}=\frac{\partial\braket{d}}{\partial E_{\mathrm{% ext}}}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}_{j}E_{\mathrm{ext}}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E24.m1.1"><semantics id="S3.E24.m1.1a"><mrow id="S3.E24.m1.1.2" xref="S3.E24.m1.1.2.cmml"><msup id="S3.E24.m1.1.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E24.m1.1.2.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.2.2.1" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msup><mo id="S3.E24.m1.1.2.3" xref="S3.E24.m1.1.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E24.m1.1.2.4" xref="S3.E24.m1.1.2.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E24.m1.1.1a" xref="S3.E24.m1.1.1a.cmml"><mfrac id="S3.E24.m1.1.1aa" xref="S3.E24.m1.1.1a.cmml"><mrow id="S3.E24.m1.1.1.1a" xref="S3.E24.m1.1.1.1a.cmml"><mo id="S3.E24.m1.1.1.1a.2" rspace="0em" xref="S3.E24.m1.1.1.1a.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.E24.m1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E24.m1.1.1a.3" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.cmml"><mo id="S3.E24.m1.1.1a.3.1" rspace="0em" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.E24.m1.1.1a.3.2" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.2.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.1a.3.2.2" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S3.E24.m1.1.1a.3.2.3" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.2.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E24.m1.1.2.4.1" lspace="0.500em" xref="S3.E24.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E24.m1.1.2.4.2" xref="S3.E24.m1.1.2.4.2.cmml">with</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.4.1a" lspace="0.500em" xref="S3.E24.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E24.m1.1.2.4.3" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E24.m1.1.2.4.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.1" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.E24.m1.1.2.4.3.3" 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id="S3.E24.m1.1.2.4.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4"><times id="S3.E24.m1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4.1"></times><apply id="S3.E24.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1a"><divide id="S3.E24.m1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1a"></divide><apply id="S3.E24.m1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.1a"><partialdiff id="S3.E24.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.1a.2"></partialdiff><apply id="S3.E24.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E24.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><ci id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.E24.m1.1.1a.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1a.3"><partialdiff id="S3.E24.m1.1.1a.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.1"></partialdiff><apply id="S3.E24.m1.1.1a.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.1a.3.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.1.1a.3.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.E24.m1.1.1a.3.2.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1a.3.2.3">ext</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E24.m1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4.2">with</ci><apply id="S3.E24.m1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3.2"><ci id="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E24.m1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.4.3.3">tot</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E24.m1.1.2c.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2"><eq id="S3.E24.m1.1.2.5.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E24.m1.1.2.4.cmml" id="S3.E24.m1.1.2d.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2"></share><apply id="S3.E24.m1.1.2.6.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.6"><minus id="S3.E24.m1.1.2.6.1.cmml" 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xref="S3.E24.m1.1.2.6.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E24.m1.1.2.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.2.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.1.2.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.6.3.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.E24.m1.1.2.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.6.3.3.2.3">ext</ci></apply><ci id="S3.E24.m1.1.2.6.3.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.6.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E24.m1.1c">\displaystyle\tilde{\alpha}^{j}=\frac{\partial\braket{d}}{\partial E_{\mathrm{% ext}}}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}_{j}E_{\mathrm{ext}}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E24.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG italic_d end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_with over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_tot end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_H end_ARG - over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}^{j}=\frac{\partial\braket{d_{i}}}{\partial E_{% \mathrm{ext}}}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}_{j}E_{\mathrm% {ext}}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E25.m1.1"><semantics id="S3.E25.m1.1a"><mrow id="S3.E25.m1.1.2" xref="S3.E25.m1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E25.m1.1.2.2" xref="S3.E25.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E25.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E25.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.E25.m1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E25.m1.1.2.2.3" xref="S3.E25.m1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S3.E25.m1.1.2.3" xref="S3.E25.m1.1.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E25.m1.1.2.4" xref="S3.E25.m1.1.2.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E25.m1.1.1a" xref="S3.E25.m1.1.1a.cmml"><mfrac id="S3.E25.m1.1.1aa" xref="S3.E25.m1.1.1a.cmml"><mrow id="S3.E25.m1.1.1.1a" xref="S3.E25.m1.1.1.1a.cmml"><mo id="S3.E25.m1.1.1.1a.2" rspace="0em" xref="S3.E25.m1.1.1.1a.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.E25.m1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E25.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mi id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E25.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E25.m1.1.1a.3" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.cmml"><mo id="S3.E25.m1.1.1a.3.1" rspace="0em" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.E25.m1.1.1a.3.2" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.1a.3.2.2" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S3.E25.m1.1.1a.3.2.3" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.2.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E25.m1.1.2.4.1" lspace="0.500em" xref="S3.E25.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E25.m1.1.2.4.2" xref="S3.E25.m1.1.2.4.2.cmml">with</mi><mo id="S3.E25.m1.1.2.4.1a" lspace="0.500em" xref="S3.E25.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E25.m1.1.2.4.3" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E25.m1.1.2.4.3.2" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.1" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.E25.m1.1.2.4.3.3" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.3.cmml">tot</mi></msub></mrow><mo id="S3.E25.m1.1.2.5" xref="S3.E25.m1.1.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E25.m1.1.2.6" xref="S3.E25.m1.1.2.6.cmml"><mover accent="true" id="S3.E25.m1.1.2.6.2" xref="S3.E25.m1.1.2.6.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.2.6.2.2" xref="S3.E25.m1.1.2.6.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E25.m1.1.2.6.2.1" xref="S3.E25.m1.1.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E25.m1.1.2.6.1" xref="S3.E25.m1.1.2.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E25.m1.1.2.6.3" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.cmml"><msub id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.2" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.1" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.3" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E25.m1.1.2.6.3.1" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.2" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.3" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.3.cmml">ext</mi><mi id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.3" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.3.cmml">j</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.m1.1b"><apply id="S3.E25.m1.1.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2"><and id="S3.E25.m1.1.2a.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2"></and><apply id="S3.E25.m1.1.2b.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2"><eq id="S3.E25.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.3"></eq><apply id="S3.E25.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E25.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E25.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.1.2.4.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4"><times id="S3.E25.m1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4.1"></times><apply id="S3.E25.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1a"><divide id="S3.E25.m1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1a"></divide><apply id="S3.E25.m1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1a"><partialdiff id="S3.E25.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1a.2"></partialdiff><apply id="S3.E25.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E25.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E25.m1.1.1a.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1a.3"><partialdiff id="S3.E25.m1.1.1a.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.1"></partialdiff><apply id="S3.E25.m1.1.1a.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.1a.3.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.1.1a.3.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.E25.m1.1.1a.3.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1a.3.2.3">ext</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E25.m1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4.2">with</ci><apply id="S3.E25.m1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.2"><ci id="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E25.m1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.4.3.3">tot</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E25.m1.1.2c.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2"><eq id="S3.E25.m1.1.2.5.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E25.m1.1.2.4.cmml" id="S3.E25.m1.1.2d.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2"></share><apply id="S3.E25.m1.1.2.6.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6"><minus id="S3.E25.m1.1.2.6.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.1"></minus><apply id="S3.E25.m1.1.2.6.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.2"><ci id="S3.E25.m1.1.2.6.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.2.1">^</ci><ci id="S3.E25.m1.1.2.6.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.1.2.6.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3"><times id="S3.E25.m1.1.2.6.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.1"></times><apply id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2"><ci id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.1">^</ci><ci id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.2.3">ext</ci></apply><ci id="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.2.6.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.m1.1c">\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}^{j}=\frac{\partial\braket{d_{i}}}{\partial E_{% \mathrm{ext}}}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}_{j}E_{\mathrm% {ext}}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_with over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_tot end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_H end_ARG - over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.9">In dipole approximation the perturbations preserve the harmonicity of our dressed many-electron problem, and thus <math alttext="\hat{H}_{\rm tot}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.9.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.9.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.3.cmml">tot</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.9.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.3">tot</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.9.m1.1c">\hat{H}_{\rm tot}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.9.m1.1d">over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_tot end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be solved analytically and the derivatives are straightforward to calculate. The corresponding, self-consistently calculated polarizabilities in a cavity are then found to be (see App. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A1" title="Appendix A Derivation of Single Molecular Polarizabilities ‣ V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a> for details)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx12"> <tbody id="S3.E26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}(N,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E26.m1.2"><semantics id="S3.E26.m1.2a"><mrow id="S3.E26.m1.2.3" xref="S3.E26.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E26.m1.2.3.2" xref="S3.E26.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E26.m1.2.3.2.2" xref="S3.E26.m1.2.3.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E26.m1.2.3.2.1" xref="S3.E26.m1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E26.m1.2.3.1" xref="S3.E26.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E26.m1.2.3.3.2" xref="S3.E26.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E26.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E26.m1.1.1" xref="S3.E26.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E26.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.E26.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E26.m1.2.2" xref="S3.E26.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E26.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E26.m1.2b"><apply id="S3.E26.m1.2.3.cmml" xref="S3.E26.m1.2.3"><times id="S3.E26.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.E26.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.E26.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.E26.m1.2.3.2"><ci id="S3.E26.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.E26.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.2.3.2.2">𝛼</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E26.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E26.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.E26.m1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.E26.m1.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E26.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}(N,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E26.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG ( italic_N , italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E26.m2.1"><semantics id="S3.E26.m2.1a"><mo id="S3.E26.m2.1.1" xref="S3.E26.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E26.m2.1b"><eq id="S3.E26.m2.1.1.cmml" xref="S3.E26.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E26.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E26.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha\gamma^{2}(N,\lambda)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E26.m3.3"><semantics id="S3.E26.m3.3a"><mrow id="S3.E26.m3.3.3.1" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E26.m3.3.3.1.1" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E26.m3.3.3.1.1.2" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E26.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E26.m3.3.3.1.1.3" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E26.m3.3.3.1.1.1a" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.2" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E26.m3.1.1" xref="S3.E26.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.2.2" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E26.m3.2.2" xref="S3.E26.m3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E26.m3.3.3.1.2" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E26.m3.3b"><apply id="S3.E26.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E26.m3.3.3.1"><times id="S3.E26.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.1"></times><ci id="S3.E26.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E26.m3.3.3.1.1.4.2"><ci id="S3.E26.m3.1.1.cmml" xref="S3.E26.m3.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.E26.m3.2.2.cmml" xref="S3.E26.m3.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E26.m3.3c">\displaystyle\alpha\gamma^{2}(N,\lambda),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E26.m3.3d">italic_α italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}(N,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E27.m1.2"><semantics id="S3.E27.m1.2a"><mrow id="S3.E27.m1.2.3" xref="S3.E27.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.E27.m1.2.3.2" xref="S3.E27.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E27.m1.2.3.2.2" xref="S3.E27.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E27.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.E27.m1.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E27.m1.2.3.2.2.1" xref="S3.E27.m1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E27.m1.2.3.2.3" xref="S3.E27.m1.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E27.m1.2.3.1" xref="S3.E27.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E27.m1.2.3.3.2" xref="S3.E27.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E27.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E27.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E27.m1.1.1" xref="S3.E27.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E27.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.E27.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E27.m1.2.2" xref="S3.E27.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E27.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E27.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E27.m1.2b"><apply id="S3.E27.m1.2.3.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3"><times id="S3.E27.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.E27.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E27.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E27.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3.2.2"><ci id="S3.E27.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E27.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E27.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E27.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E27.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.E27.m1.1.1.cmml" xref="S3.E27.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.E27.m1.2.2.cmml" xref="S3.E27.m1.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E27.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}(N,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E27.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E27.m2.1"><semantics id="S3.E27.m2.1a"><mo id="S3.E27.m2.1.1" xref="S3.E27.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E27.m2.1b"><eq id="S3.E27.m2.1.1.cmml" xref="S3.E27.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E27.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E27.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(N,\lambda)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E27.m3.3"><semantics id="S3.E27.m3.3a"><mrow id="S3.E27.m3.3.3.1" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E27.m3.3.3.1.1" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.E27.m3.3.3.1.1.2" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E27.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E27.m3.3.3.1.1.3" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E27.m3.3.3.1.1.1a" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.2" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E27.m3.1.1" xref="S3.E27.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.2.2" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E27.m3.2.2" xref="S3.E27.m3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E27.m3.3.3.1.2" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E27.m3.3b"><apply id="S3.E27.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1"><times id="S3.E27.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.1"></times><apply id="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E27.m3.3.3.1.1.4.2"><ci id="S3.E27.m3.1.1.cmml" xref="S3.E27.m3.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.E27.m3.2.2.cmml" xref="S3.E27.m3.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E27.m3.3c">\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(N,\lambda),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E27.m3.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}^{j}(N,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E28.m1.2"><semantics id="S3.E28.m1.2a"><mrow id="S3.E28.m1.2.3" xref="S3.E28.m1.2.3.cmml"><msup id="S3.E28.m1.2.3.2" xref="S3.E28.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E28.m1.2.3.2.2" xref="S3.E28.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E28.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E28.m1.2.3.2.2.1" xref="S3.E28.m1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E28.m1.2.3.2.3" xref="S3.E28.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msup><mo id="S3.E28.m1.2.3.1" xref="S3.E28.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E28.m1.2.3.3.2" xref="S3.E28.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E28.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E28.m1.1.1" xref="S3.E28.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E28.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.E28.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E28.m1.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E28.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E28.m1.2b"><apply id="S3.E28.m1.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3"><times id="S3.E28.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.E28.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E28.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3.2.2"><ci id="S3.E28.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E28.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E28.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E28.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.E28.m1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.E28.m1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E28.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}^{j}(N,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E28.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E28.m2.1"><semantics id="S3.E28.m2.1a"><mo id="S3.E28.m2.1.1" xref="S3.E28.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E28.m2.1b"><eq id="S3.E28.m2.1.1.cmml" xref="S3.E28.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E28.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E28.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda)\big{[}1-(N-1)\lambda^{2}Z_{e}^{2}% \big{]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E28.m3.3"><semantics id="S3.E28.m3.3a"><mrow id="S3.E28.m3.3.3" xref="S3.E28.m3.3.3.cmml"><msub id="S3.E28.m3.3.3.3" xref="S3.E28.m3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E28.m3.3.3.3.2" xref="S3.E28.m3.3.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E28.m3.3.3.3.3" xref="S3.E28.m3.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E28.m3.3.3.2" xref="S3.E28.m3.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E28.m3.3.3.4" xref="S3.E28.m3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.E28.m3.3.3.4.2" xref="S3.E28.m3.3.3.4.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E28.m3.3.3.4.3" xref="S3.E28.m3.3.3.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E28.m3.3.3.2a" xref="S3.E28.m3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E28.m3.3.3.5.2" xref="S3.E28.m3.3.3.5.1.cmml"><mo id="S3.E28.m3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E28.m3.3.3.5.1.cmml">(</mo><mn id="S3.E28.m3.1.1" xref="S3.E28.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E28.m3.3.3.5.2.2" xref="S3.E28.m3.3.3.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E28.m3.2.2" xref="S3.E28.m3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E28.m3.3.3.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.E28.m3.3.3.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E28.m3.3.3.2b" xref="S3.E28.m3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E28.m3.3.3.1.1" xref="S3.E28.m3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.E28.m3.3.3.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E28.m3.3.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml">e</mi><mn id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E28.m3.3.3.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E28.m3.3.3.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E28.m3.3b"><apply id="S3.E28.m3.3.3.cmml" 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xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1"><minus id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.2"></minus><cn id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E28.m3.3.3.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E28.m3.3c">\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda)\big{[}1-(N-1)\lambda^{2}Z_{e}^{2}% \big{]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E28.m3.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ ) [ 1 - ( italic_N - 1 ) italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}^{j}(N,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E29.m1.2"><semantics id="S3.E29.m1.2a"><mrow id="S3.E29.m1.2.3" xref="S3.E29.m1.2.3.cmml"><msubsup id="S3.E29.m1.2.3.2" xref="S3.E29.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E29.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.E29.m1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E29.m1.2.3.2.2.2.2" xref="S3.E29.m1.2.3.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E29.m1.2.3.2.2.2.1" xref="S3.E29.m1.2.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E29.m1.2.3.2.2.3" xref="S3.E29.m1.2.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E29.m1.2.3.2.3" xref="S3.E29.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S3.E29.m1.2.3.1" xref="S3.E29.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E29.m1.2.3.3.2" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E29.m1.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.E29.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E29.m1.2.2" xref="S3.E29.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" 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xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.cmml"><mi id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.2" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.3" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.3a" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.2" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.1.cmml"><mo id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.1.cmml">(</mo><mn id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.2.2" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E29.m3.4.4.4ac" xref="S3.E29.m3.4.5.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1b.cmml"><mtext id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1b.cmml">if </mtext><mrow id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E29.m3.4.4.4ad" xref="S3.E29.m3.4.5.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E29.m3.4.4.4ae" xref="S3.E29.m3.4.5.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1a" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.cmml"><msubsup id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.2" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.3" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml">e</mi><mn id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.3" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.2" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.3" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1a" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.cmml"><mi id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.2" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.3" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1b" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.cmml"><mi id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.2" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.3" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1c" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.2" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.1.cmml"><mo id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.1.cmml">(</mo><mn id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.2.2" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" 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xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.2.cmml" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.2">𝛾</ci><cn id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.5.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.1.cmml" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.6.2"><cn id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.1">1</cn><ci id="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E29.m3.2.2.2.2.2.1.2">𝜆</ci></interval></apply><ci id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1"><mtext id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1">if </mtext><mrow id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><mi id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">i</mi><mo id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">=</mo><mi id="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E29.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">j</mi></mrow></mrow></ci><apply id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1"><minus id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1"></minus><apply id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4"><times id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.1"></times><apply id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.2">𝛼</ci><ci id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.3.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.1.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.2.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.2">𝛾</ci><cn id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.3.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.5.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.1.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.4.6.2"><cn id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.1">1</cn><ci id="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E29.m3.3.3.3.3.1.1.2">𝜆</ci></interval></apply></apply><ci id="S3.E29.m3.4.4.4.4.2.1a.cmml" xref="S3.E29.m3.4.4.4.4.2.1"><mtext id="S3.E29.m3.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E29.m3.4.4.4.4.2.1">else.</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E29.m3.4c">\displaystyle\begin{cases*}\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda)&if $i=j$\\ -Z_{e}^{2}\lambda^{2}\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda)&else.\end{cases*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E29.m3.4d">{ start_ROW start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ ) end_CELL start_CELL if italic_i = italic_j end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ ) end_CELL start_CELL else. end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.16">As we see, the simple linear scaling is not recovered for this set of polarizabilities. To some extend this is not a surprise, since we are considering a coupled ensemble of molecules. Yet this result has profound implications for polaritonic chemistry. These implications become specifically striking if we assume the naive Tavis-Cumming scaling</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{\rm TC}=\frac{\lambda_{\mathrm{col}}}{\sqrt{N}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E30.m1.1"><semantics id="S3.E30.m1.1a"><mrow id="S3.E30.m1.1.1.1" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.1.1.1.1" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E30.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">TC</mi></msub><mo id="S3.E30.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">col</mi></msub><msqrt id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi></msqrt></mfrac></mrow><mo id="S3.E30.m1.1.1.1.2" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E30.m1.1b"><apply id="S3.E30.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1"><eq id="S3.E30.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.2.3">TC</ci></apply><apply id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.2.3">col</ci></apply><apply id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3"><root id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3"></root><ci id="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E30.m1.1c">\lambda_{\rm TC}=\frac{\lambda_{\mathrm{col}}}{\sqrt{N}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E30.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_TC end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_N end_ARG end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.14">which neglects that physically there is a largest length scale over which we can couple different molecules via a cavity mode. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> In other words, the mode volume <math alttext="\mathcal{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.10.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.10.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.cmml">𝒱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.10.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1">𝒱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.10.m1.1c">\mathcal{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.10.m1.1d">caligraphic_V</annotation></semantics></math> of Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E4" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) sets a maximal volume into which we can put our ensemble. Consequently, if we choose a specific molecular density <math alttext="N/V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.11.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.11.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.11.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.11.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m2.1.1"><divide id="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.1"></divide><ci id="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m2.1.1.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.11.m2.1c">N/V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.11.m2.1d">italic_N / italic_V</annotation></semantics></math>, where <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.12.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.12.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p2.12.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m3.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.12.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p2.12.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m3.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.12.m3.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.12.m3.1d">italic_V</annotation></semantics></math> can be viewed as the (arbitrary) quantization volume of our theoretical description, and choose <math alttext="V>\mathcal{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.13.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p2.13.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.13.m4.1.1" xref="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.1.cmml">></mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.3.cmml">𝒱</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.13.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m4.1.1"><gt id="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m4.1.1.3">𝒱</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.13.m4.1c">V>\mathcal{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.13.m4.1d">italic_V > caligraphic_V</annotation></semantics></math>, we are effectively describing a different cavity situation. Thus the naive <math alttext="N\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.14.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p2.14.m5.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.14.m5.1.1" xref="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.14.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.14.m5.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.2">𝑁</ci><infinity id="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.14.m5.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.14.m5.1c">N\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.14.m5.1d">italic_N → ∞</annotation></semantics></math> limit should be handled with care. Disregarding this issue for the moment, we can still see what taking such a limit entails. For the few examples of polarizabilties we find</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx13"> <tbody id="S3.E31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}(N,\lambda_{\rm TC})/N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E31.m1.2"><semantics id="S3.E31.m1.2a"><mrow id="S3.E31.m1.2.2" xref="S3.E31.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.2.2.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E31.m1.2.2.1.3" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E31.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.3.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.2" xref="S3.E31.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E31.m1.1.1" xref="S3.E31.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">TC</mi></msub><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m1.2.2.2" xref="S3.E31.m1.2.2.2.cmml">/</mo><mi id="S3.E31.m1.2.2.3" xref="S3.E31.m1.2.2.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E31.m1.2b"><apply id="S3.E31.m1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2"><divide id="S3.E31.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.2"></divide><apply id="S3.E31.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1"><times id="S3.E31.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.E31.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3"><ci id="S3.E31.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.1">~</ci><ci id="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.2">𝛼</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E31.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1"><ci id="S3.E31.m1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.1.1">𝑁</ci><apply id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.3">TC</ci></apply></interval></apply><ci id="S3.E31.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E31.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}(N,\lambda_{\rm TC})/N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E31.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG ( italic_N , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_TC end_POSTSUBSCRIPT ) / italic_N</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E31.m2.1"><semantics id="S3.E31.m2.1a"><mo id="S3.E31.m2.1.1" stretchy="false" xref="S3.E31.m2.1.1.cmml">→</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E31.m2.1b"><ci id="S3.E31.m2.1.1.cmml" xref="S3.E31.m2.1.1">→</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E31.m2.1c">\displaystyle\rightarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E31.m2.1d">→</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda_{\mathrm{col}})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E31.m3.2"><semantics id="S3.E31.m3.2a"><mrow id="S3.E31.m3.2.2.1" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E31.m3.2.2.1.1" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E31.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E31.m3.2.2.1.1.2" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E31.m3.2.2.1.1.4" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.2" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.3" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E31.m3.2.2.1.1.2a" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.E31.m3.1.1" xref="S3.E31.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">col</mi></msub><mo id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m3.2.2.1.2" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E31.m3.2b"><apply id="S3.E31.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1"><times id="S3.E31.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.2">𝛾</ci><cn id="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.4.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1"><cn id="S3.E31.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E31.m3.1.1">1</cn><apply id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E31.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">col</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E31.m3.2c">\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda_{\mathrm{col}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E31.m3.2d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}(N,\lambda_{\rm TC})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E32.m1.2"><semantics id="S3.E32.m1.2a"><mrow id="S3.E32.m1.2.2" xref="S3.E32.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.E32.m1.2.2.3" xref="S3.E32.m1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E32.m1.2.2.3.2" xref="S3.E32.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E32.m1.2.2.3.2.2" xref="S3.E32.m1.2.2.3.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E32.m1.2.2.3.2.1" xref="S3.E32.m1.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E32.m1.2.2.3.3" xref="S3.E32.m1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E32.m1.2.2.2" xref="S3.E32.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.2.2.1.1" xref="S3.E32.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E32.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E32.m1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E32.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E32.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">TC</mi></msub><mo id="S3.E32.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E32.m1.2b"><apply id="S3.E32.m1.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2"><times id="S3.E32.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.2"></times><apply id="S3.E32.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E32.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.3.2"><ci id="S3.E32.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.E32.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.3.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E32.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E32.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1"><ci id="S3.E32.m1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1">𝑁</ci><apply id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.3">TC</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E32.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}(N,\lambda_{\rm TC})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E32.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_TC end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E32.m2.1"><semantics id="S3.E32.m2.1a"><mo id="S3.E32.m2.1.1" stretchy="false" xref="S3.E32.m2.1.1.cmml">→</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E32.m2.1b"><ci id="S3.E32.m2.1.1.cmml" xref="S3.E32.m2.1.1">→</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E32.m2.1c">\displaystyle\rightarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E32.m2.1d">→</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda_{\mathrm{col}})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E32.m3.2"><semantics id="S3.E32.m3.2a"><mrow id="S3.E32.m3.2.2.1" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E32.m3.2.2.1.1" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E32.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E32.m3.2.2.1.1.2" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E32.m3.2.2.1.1.4" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.2" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.3" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E32.m3.2.2.1.1.2a" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.E32.m3.1.1" xref="S3.E32.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">col</mi></msub><mo id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m3.2.2.1.2" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E32.m3.2b"><apply id="S3.E32.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1"><times id="S3.E32.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.2">𝛾</ci><cn id="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.4.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1"><cn id="S3.E32.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E32.m3.1.1">1</cn><apply id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">col</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E32.m3.2c">\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda_{\mathrm{col}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E32.m3.2d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}^{j}(N,\lambda_{\rm TC})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E33.m1.2"><semantics id="S3.E33.m1.2a"><mrow id="S3.E33.m1.2.2" xref="S3.E33.m1.2.2.cmml"><msup id="S3.E33.m1.2.2.3" xref="S3.E33.m1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E33.m1.2.2.3.2" xref="S3.E33.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E33.m1.2.2.3.2.2" xref="S3.E33.m1.2.2.3.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E33.m1.2.2.3.2.1" xref="S3.E33.m1.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E33.m1.2.2.3.3" xref="S3.E33.m1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msup><mo id="S3.E33.m1.2.2.2" xref="S3.E33.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E33.m1.2.2.1.1" xref="S3.E33.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E33.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E33.m1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E33.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E33.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E33.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">TC</mi></msub><mo id="S3.E33.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E33.m1.2b"><apply id="S3.E33.m1.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2"><times id="S3.E33.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.2"></times><apply id="S3.E33.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E33.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.3.2"><ci id="S3.E33.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.E33.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.3.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E33.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E33.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.1.1"><ci id="S3.E33.m1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1">𝑁</ci><apply id="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.2.2.1.1.1.3">TC</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E33.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}^{j}(N,\lambda_{\rm TC})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E33.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_TC end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E33.m2.1"><semantics id="S3.E33.m2.1a"><mo id="S3.E33.m2.1.1" stretchy="false" xref="S3.E33.m2.1.1.cmml">→</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E33.m2.1b"><ci id="S3.E33.m2.1.1.cmml" xref="S3.E33.m2.1.1">→</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E33.m2.1c">\displaystyle\rightarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E33.m2.1d">→</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(1-\lambda_{\mathrm{col}}^{2}Z_{e}^{2})\alpha_{i}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E33.m3.1"><semantics id="S3.E33.m3.1a"><mrow id="S3.E33.m3.1.1.1" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m3.1.1.1.1" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">col</mi><mn id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">e</mi><mn id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E33.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E33.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E33.m3.1.1.1.2" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E33.m3.1b"><apply id="S3.E33.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1"><times id="S3.E33.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">col</ci></apply><cn id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E33.m3.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E33.m3.1c">\displaystyle(1-\lambda_{\mathrm{col}}^{2}Z_{e}^{2})\alpha_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E33.m3.1d">( 1 - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}^{j}(N,\lambda_{\rm TC})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E34.m1.2"><semantics id="S3.E34.m1.2a"><mrow id="S3.E34.m1.2.2" xref="S3.E34.m1.2.2.cmml"><msubsup id="S3.E34.m1.2.2.3" xref="S3.E34.m1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E34.m1.2.2.3.2.2" xref="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.2" xref="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.1" xref="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E34.m1.2.2.3.2.3" xref="S3.E34.m1.2.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E34.m1.2.2.3.3" xref="S3.E34.m1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S3.E34.m1.2.2.2" xref="S3.E34.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E34.m1.2.2.1.1" xref="S3.E34.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E34.m1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E34.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">TC</mi></msub><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E34.m1.2b"><apply id="S3.E34.m1.2.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2"><times id="S3.E34.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.2"></times><apply id="S3.E34.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E34.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3.2.2"><ci id="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E34.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E34.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E34.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1"><ci id="S3.E34.m1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1">𝑁</ci><apply id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.3">TC</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E34.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}^{j}(N,\lambda_{\rm TC})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E34.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_TC end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E34.m2.1"><semantics id="S3.E34.m2.1a"><mo id="S3.E34.m2.1.1" stretchy="false" xref="S3.E34.m2.1.1.cmml">→</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E34.m2.1b"><ci id="S3.E34.m2.1.1.cmml" xref="S3.E34.m2.1.1">→</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E34.m2.1c">\displaystyle\rightarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E34.m2.1d">→</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{cases*}\alpha_{i}&if $i=j$\\ 0&else\end{cases*}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E34.m3.5"><semantics id="S3.E34.m3.5a"><mrow id="S3.E34.m3.5.6.2"><mrow id="S3.E34.m3.4.4a" xref="S3.E34.m3.5.5.1.cmml"><mo id="S3.E34.m3.4.4a.5" xref="S3.E34.m3.5.5.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S3.E34.m3.4.4.4a" rowspacing="0pt" xref="S3.E34.m3.5.5.1.cmml"><mtr id="S3.E34.m3.4.4.4aa" xref="S3.E34.m3.5.5.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E34.m3.4.4.4ab" xref="S3.E34.m3.5.5.1.cmml"><msub id="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.3.cmml">i</mi></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E34.m3.4.4.4ac" xref="S3.E34.m3.5.5.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1b.cmml"><mtext id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1b.cmml">if </mtext><mrow id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E34.m3.4.4.4ad" xref="S3.E34.m3.5.5.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E34.m3.4.4.4ae" xref="S3.E34.m3.5.5.1.cmml"><mn id="S3.E34.m3.3.3.3.3.1.1" xref="S3.E34.m3.3.3.3.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E34.m3.4.4.4af" xref="S3.E34.m3.5.5.1.cmml"><mtext id="S3.E34.m3.4.4.4.4.2.1" xref="S3.E34.m3.4.4.4.4.2.1a.cmml">else</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow><mo id="S3.E34.m3.5.6.2.1" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E34.m3.5b"><apply id="S3.E34.m3.5.5.1.cmml" xref="S3.E34.m3.4.4a"><csymbol cd="latexml" id="S3.E34.m3.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E34.m3.4.4a.5">cases</csymbol><apply id="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.2">𝛼</ci><ci id="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E34.m3.2.2.2.2.2.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1"><mtext id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1">if </mtext><mrow id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><mi id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">i</mi><mo id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">=</mo><mi id="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E34.m3.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">j</mi></mrow></mrow></ci><cn id="S3.E34.m3.3.3.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E34.m3.3.3.3.3.1.1">0</cn><ci id="S3.E34.m3.4.4.4.4.2.1a.cmml" xref="S3.E34.m3.4.4.4.4.2.1"><mtext id="S3.E34.m3.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E34.m3.4.4.4.4.2.1">else</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E34.m3.5c">\displaystyle\begin{cases*}\alpha_{i}&if $i=j$\\ 0&else\end{cases*}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E34.m3.5d">{ start_ROW start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL if italic_i = italic_j end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL else end_CELL end_ROW .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.15">When looking at Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E34" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>), one could be tempted to conclude that locally the molecules in an ensemble are not modified and are all statistically independent. Based on this we would obtain as the polarizability of the full ensemble the linear relation of Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E21" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>). This is clearly wrong, since we should obtain Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E31" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>), which is the exact expression just normalized by the number of molecules <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.15.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.15.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p2.15.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.15.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.15.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p2.15.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.15.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.15.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.15.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>. The same is true also for the polarizability of Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E33" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>). So, what went wrong?</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.1">The answer is as simple as it is insightful for the case of polaritonic chemistry. An individual molecule in the cavity-coupled ensemble is <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p3.1.1">not</span> statistically independent from the rest. Consequently, if we want to know how molecules in the ensemble react, we need to keep track of all the different possibilities the cavity lets them talk to each other. And although the local-local relation of Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E29" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>) is only slightly modified by the cavity, a single molecule in the ensemble is also modified if any number of other molecules is perturbed. Since the number of all possible coupled perturbations increases as we increase the number of molecules, the self-consistent solution stays modified even for <math alttext="N\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><infinity id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">N\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">italic_N → ∞</annotation></semantics></math>. Thus using the limit of Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E34" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>) and then making statements about the properties of the ensemble is inconsistent.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.3">We consider the fact that the polarizabilities are modified even in the large-<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> limit the first quintessential result of this work. Indeed, under VSC polarizabilities can depend on the collective Rabi splitting. This collectively-induced local effects can only appear when self-consistently solving the dressed electronic-structure problem. Notice further that the collective dipole response in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E33" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>) switches sign for <math alttext="\lambda_{\mathrm{col}}^{2}Z_{e}^{2}\rightarrow 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml">col</mi><mn id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi><mn id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1"><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.2.3">col</ci></apply><cn id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m2.1c">\lambda_{\mathrm{col}}^{2}Z_{e}^{2}\rightarrow 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT → 1</annotation></semantics></math>, i.e., the collective medium polarizes opposite to the locally applied electric field. To summarize, we have seen that collective VSC changes global and local polarizabilities. Looking only at the single-molecule response <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p4.3.1">without</span> taking into account the statistical dependence on the other molecules can lead to the wrong conclusion that in the large-<math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p4.3.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.3.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.3.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.3.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math> limit the ensemble is not modified. Let us see next, how a perturbative treatment of the coupled ensembles performs, which is a standard ansatz based on the Tavis-Cumming-scaling argument.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS1.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">III.1.1 </span>Polarizabilities from Perturbation Theory</h4> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.SSS1.p1.2">Treating <math alttext="\hat{d}_{j}E_{\mathrm{ext}}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">ext</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1"><times id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2"><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3">ext</ci></apply><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1c">\hat{d}_{j}E_{\mathrm{ext}}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> or <math alttext="\hat{d}E_{\mathrm{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">E</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">ext</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1"><times id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2"><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.2">𝐸</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.3">ext</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1c">\hat{d}E_{\mathrm{ext}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p1.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_d end_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in perturbation theory, the above four cases reduce to effectively two cases. The local polarizability can be calculated from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib39" title="">39</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx14"> <tbody id="S3.E35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}(N,\lambda)=-2\sum_{l\neq 0}\frac{% \bra{0}Z_{e}\hat{r}_{i}\ket{l}\bra{l}Z_{e}\hat{r}_{i}\ket{0}}{\epsilon_{i}^{0}% -\epsilon_{i}^{l}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E35.m1.6"><semantics id="S3.E35.m1.6a"><mrow id="S3.E35.m1.6.7" xref="S3.E35.m1.6.7.cmml"><mrow id="S3.E35.m1.6.7.2" xref="S3.E35.m1.6.7.2.cmml"><msubsup id="S3.E35.m1.6.7.2.2" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.2" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.1" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E35.m1.6.7.2.2.3" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.3" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.3.cmml">pert</mi></msubsup><mo id="S3.E35.m1.6.7.2.1" xref="S3.E35.m1.6.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.6.7.2.3.2" xref="S3.E35.m1.6.7.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E35.m1.6.7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.6.7.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E35.m1.5.5" xref="S3.E35.m1.5.5.cmml">N</mi><mo id="S3.E35.m1.6.7.2.3.2.2" xref="S3.E35.m1.6.7.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E35.m1.6.6" xref="S3.E35.m1.6.6.cmml">λ</mi><mo id="S3.E35.m1.6.7.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.6.7.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E35.m1.6.7.1" xref="S3.E35.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E35.m1.6.7.3" xref="S3.E35.m1.6.7.3.cmml"><mo id="S3.E35.m1.6.7.3a" xref="S3.E35.m1.6.7.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E35.m1.6.7.3.2" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.cmml"><mn id="S3.E35.m1.6.7.3.2.2" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E35.m1.6.7.3.2.1" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.cmml"><munder id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1a" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.2" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.1" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.1.cmml">≠</mo><mn id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.3" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.E35.m1.4.4a" xref="S3.E35.m1.4.4a.cmml"><mfrac id="S3.E35.m1.4.4aa" xref="S3.E35.m1.4.4a.cmml"><mrow id="S3.E35.m1.4.4.4a" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.cmml"><mrow id="S3.E35.m1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mn id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.5" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E35.m1.4.4.4a.6" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.6.cmml"><mi id="S3.E35.m1.4.4.4a.6.2" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.6.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E35.m1.4.4.4a.6.3" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.6.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.5a" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E35.m1.4.4.4a.7" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.cmml"><mover accent="true" id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.2" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.1" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.3" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.5b" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.2.2.2.2a.3" xref="S3.E35.m1.2.2.2.2a.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.2.2.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E35.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E35.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">l</mi><mo id="S3.E35.m1.2.2.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.5c" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.3.3.3.3a.3" xref="S3.E35.m1.3.3.3.3a.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.3.3.3.3a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.3.3.3.3a.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E35.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S3.E35.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">l</mi><mo id="S3.E35.m1.3.3.3.3a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.3.3.3.3a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.5d" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E35.m1.4.4.4a.8" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.8.cmml"><mi id="S3.E35.m1.4.4.4a.8.2" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.8.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E35.m1.4.4.4a.8.3" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.8.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.5e" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E35.m1.4.4.4a.9" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.cmml"><mover accent="true" id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.2" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.1" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.3" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.4.4.4a.5f" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.4.4.4.4a.3" xref="S3.E35.m1.4.4.4.4a.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.4.4.4.4a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.4.4.4.4a.2.1.cmml">|</mo><mn id="S3.E35.m1.4.4.4.4.1.1" xref="S3.E35.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.E35.m1.4.4.4.4a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.4.4.4.4a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E35.m1.4.4a.6" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.cmml"><msubsup id="S3.E35.m1.4.4a.6.2" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.2" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.3" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.3" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2.3.cmml">0</mn></msubsup><mo id="S3.E35.m1.4.4a.6.1" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.1.cmml">−</mo><msubsup id="S3.E35.m1.4.4a.6.3" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.2" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.3" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.3" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3.3.cmml">l</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E35.m1.6b"><apply id="S3.E35.m1.6.7.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7"><eq id="S3.E35.m1.6.7.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.1"></eq><apply id="S3.E35.m1.6.7.2.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2"><times id="S3.E35.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.1"></times><apply id="S3.E35.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2"><ci id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.2.3">pert</ci></apply><ci id="S3.E35.m1.6.7.2.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.2.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E35.m1.6.7.2.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.2.3.2"><ci id="S3.E35.m1.5.5.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5">𝑁</ci><ci id="S3.E35.m1.6.6.cmml" xref="S3.E35.m1.6.6">𝜆</ci></interval></apply><apply id="S3.E35.m1.6.7.3.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3"><minus id="S3.E35.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3"></minus><apply id="S3.E35.m1.6.7.3.2.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2"><times id="S3.E35.m1.6.7.3.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.1"></times><cn id="S3.E35.m1.6.7.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.2">2</cn><apply id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3"><apply id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.2"></sum><apply id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3"><neq id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.1"></neq><ci id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.6.7.3.2.3.1.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.E35.m1.4.4a.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a"><divide id="S3.E35.m1.4.4a.5.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a"></divide><apply id="S3.E35.m1.4.4.4a.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a"><times id="S3.E35.m1.4.4.4a.5.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.5"></times><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E35.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1a.3.1">bra</csymbol><cn id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1">0</cn></apply><apply id="S3.E35.m1.4.4.4a.6.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.4.4.4a.6.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.6.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.6.2">𝑍</ci><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.6.3.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.6.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7">subscript</csymbol><apply id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2"><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.1">^</ci><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.7.3.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.7.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.2.2.2.2a.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E35.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.2.2a.3.1">ket</csymbol><ci id="S3.E35.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.2.2.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.3.3.3.3a.2.cmml" xref="S3.E35.m1.3.3.3.3a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E35.m1.3.3.3.3a.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.3.3.3.3a.3.1">bra</csymbol><ci id="S3.E35.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.3.3.3.3.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.4.4.4a.8.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.4.4.4a.8.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.8">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.8.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.8.2">𝑍</ci><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.8.3.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.8.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9">subscript</csymbol><apply id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2"><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.1">^</ci><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S3.E35.m1.4.4.4a.9.3.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4a.9.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.4.4.4.4a.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4.4a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E35.m1.4.4.4.4a.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4.4.4a.3.1">ket</csymbol><cn id="S3.E35.m1.4.4.4.4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.4.4.4.4.1.1">0</cn></apply></apply><apply id="S3.E35.m1.4.4a.6.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6"><minus id="S3.E35.m1.4.4a.6.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.1"></minus><apply id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.E35.m1.4.4a.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E35.m1.4.4a.6.3.3.cmml" xref="S3.E35.m1.4.4a.6.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E35.m1.6c">\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}(N,\lambda)=-2\sum_{l\neq 0}\frac{% \bra{0}Z_{e}\hat{r}_{i}\ket{l}\bra{l}Z_{e}\hat{r}_{i}\ket{0}}{\epsilon_{i}^{0}% -\epsilon_{i}^{l}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E35.m1.6d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) = - 2 ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l ≠ 0 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ⟨ start_ARG 0 end_ARG | italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_l end_ARG ⟩ ⟨ start_ARG italic_l end_ARG | italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG 0 end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.SSS1.p1.4">as (see App. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A1" title="Appendix A Derivation of Single Molecular Polarizabilities ‣ V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a> for details)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx15"> <tbody id="S3.E36"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}(N,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m1.2"><semantics id="S3.Ex5.m1.2a"><mrow id="S3.Ex5.m1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.2.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex5.m1.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex5.m1.2.3.2.3" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.3.cmml">pert</mi></msubsup><mo id="S3.Ex5.m1.2.3.1" xref="S3.Ex5.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.2.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex5.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex5.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.2b"><apply id="S3.Ex5.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3"><times id="S3.Ex5.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex5.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2"><ci id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.2.3">pert</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex5.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}(N,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m2.1"><semantics id="S3.Ex5.m2.1a"><mo id="S3.Ex5.m2.1.1" xref="S3.Ex5.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m2.1b"><eq id="S3.Ex5.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m3.2"><semantics id="S3.Ex5.m3.2a"><mrow id="S3.Ex5.m3.2.3" xref="S3.Ex5.m3.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex5.m3.2.3.2" xref="S3.Ex5.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m3.2.3.2.2" xref="S3.Ex5.m3.2.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex5.m3.2.3.2.3" xref="S3.Ex5.m3.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m3.2.3.1" xref="S3.Ex5.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex5.m3.2.3.3" xref="S3.Ex5.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m3.2.3.3.2" xref="S3.Ex5.m3.2.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.Ex5.m3.2.3.3.3" xref="S3.Ex5.m3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex5.m3.2.3.1a" xref="S3.Ex5.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m3.2.3.4.2" xref="S3.Ex5.m3.2.3.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m3.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m3.2.3.4.1.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex5.m3.1.1" xref="S3.Ex5.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex5.m3.2.3.4.2.2" xref="S3.Ex5.m3.2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m3.2.2" xref="S3.Ex5.m3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex5.m3.2.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m3.2.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m3.2b"><apply id="S3.Ex5.m3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3"><times id="S3.Ex5.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex5.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.Ex5.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.Ex5.m3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m3.2.3.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.Ex5.m3.2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.3.4.2"><cn id="S3.Ex5.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m3.1.1">1</cn><ci id="S3.Ex5.m3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m3.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m3.2c">\displaystyle\alpha_{i}\gamma^{2}(1,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m3.2d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(36)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overset{N\gg 0}{\rightarrow}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E36.m1.1"><semantics id="S3.E36.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.E36.m1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.cmml">≫</mo><mn id="S3.E36.m1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E36.m1.1b"><apply id="S3.E36.m1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1"><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1">much-greater-than</csymbol><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.E36.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.1.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.E36.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.2">→</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E36.m1.1c">\displaystyle\overset{N\gg 0}{\rightarrow}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E36.m1.1d">start_OVERACCENT italic_N ≫ 0 end_OVERACCENT start_ARG → end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha_{i}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E36.m2.1"><semantics id="S3.E36.m2.1a"><mrow id="S3.E36.m2.1.1.1" xref="S3.E36.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E36.m2.1.1.1.1" xref="S3.E36.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m2.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E36.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E36.m2.1.1.1.2" xref="S3.E36.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E36.m2.1b"><apply id="S3.E36.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m2.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S3.E36.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E36.m2.1c">\displaystyle\alpha_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E36.m2.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.SSS1.p1.3">where we have used that the shift of the harmonic oscillator does not affect the overlap matrix elements, i.e., the standard bare matter expressions from Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citenum"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib39" title="">39</a></cite> can be used. The only difference to a bare matter ensemble emerges from the cavity-modified renormalization of the electronic excitation energy, i.e., <math alttext="\nu_{2}^{2}=N_{n}k_{e}\mapsto\lambda^{2}Z_{e}^{2}+N_{n}k_{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.2.cmml">ν</mi><mn id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn><mn id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.cmml"><msub id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.5" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.5.cmml">↦</mo><mrow id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.cmml"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.cmml"><msup id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.2.3.cmml">e</mi><mn id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.cmml"><msub id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.1" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.2" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1"><and id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1"><eq id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.2">𝜈</ci><cn id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4"><times id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.1"></times><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.5">maps-to</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.4.cmml" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1"></share><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6"><plus id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.1"></plus><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2"><times id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.1.cmml" 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id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3"><times id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.1"></times><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1.1.6.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1c">\nu_{2}^{2}=N_{n}k_{e}\mapsto\lambda^{2}Z_{e}^{2}+N_{n}k_{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p1.3.m1.1d">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ↦ italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> within a cavity.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.SSS1.p2.5">For the collective perturbation one simply finds</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx16"> <tbody id="S3.E37"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}(N,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.2"><semantics id="S3.Ex6.m1.2a"><mrow id="S3.Ex6.m1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex6.m1.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex6.m1.2.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex6.m1.2.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.3.cmml">pert</mi></msup><mo id="S3.Ex6.m1.2.3.1" xref="S3.Ex6.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.2.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex6.m1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.2b"><apply id="S3.Ex6.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3"><times id="S3.Ex6.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex6.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.2"><ci id="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex6.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3.2.3">pert</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex6.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.2c">\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}(N,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m2.1"><semantics id="S3.Ex6.m2.1a"><mo id="S3.Ex6.m2.1.1" xref="S3.Ex6.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m2.1b"><eq id="S3.Ex6.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-2\sum_{l\neq 0}\frac{\bra{0}\sum_{i}^{N}Z_{e}\hat{r}_{i}\ket{l}% \bra{l}Z_{e}\sum_{i}^{N}\hat{r}_{i}\ket{0}}{\epsilon_{i}^{0}-\epsilon_{i}^{l}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m3.4"><semantics id="S3.Ex6.m3.4a"><mrow id="S3.Ex6.m3.4.5" xref="S3.Ex6.m3.4.5.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.4.5a" xref="S3.Ex6.m3.4.5.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.4.5.2" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.cmml"><mn id="S3.Ex6.m3.4.5.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex6.m3.4.5.2.1" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1a" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.3" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.3.2" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.3.1" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.3.1.cmml">≠</mo><mn id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.3.3" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m3.4.4a" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m3.4.4aa" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m3.4.4.4a" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m3.1.1.1.1a.3" xref="S3.Ex6.m3.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mn id="S3.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex6.m3.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.1.1.1.1a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.5" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.cmml"><msubsup id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.1.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.1.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.1.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.1.3.cmml">N</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.cmml"><msub id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.2.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1a" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.2.2.2.2a.3" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.2a.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.2.2.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex6.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.2.1.1.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex6.m3.2.2.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1b" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.3.3.3.3a.3" xref="S3.Ex6.m3.3.3.3.3a.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.3.3.3.3a.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.3.3.3.3a.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.Ex6.m3.3.3.3.3.1.1" xref="S3.Ex6.m3.3.3.3.3.1.1.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex6.m3.3.3.3.3a.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.3.3.3.3a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1c" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.4" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.4.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.4.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.4.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.4.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1d" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.cmml"><msubsup id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.1.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.1.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.1.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.1.3.cmml">N</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.cmml"><msub id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.2.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4a.6.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.4.4.4.4a.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4.4a.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4.4a.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4.4a.2.1.cmml">|</mo><mn id="S3.Ex6.m3.4.4.4.4.1.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4.4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.4.4a.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.4.4.4.4a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex6.m3.4.4a.6" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.cmml"><msubsup id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.2.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.2.3.cmml">0</mn></msubsup><mo id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.1.cmml">−</mo><msubsup id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.3.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.3.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.3.2.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex6.m3.4.4a.6.3.3" xref="S3.Ex6.m3.4.4a.6.3.3.cmml">l</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m3.4b"><apply id="S3.Ex6.m3.4.5.cmml" xref="S3.Ex6.m3.4.5"><minus id="S3.Ex6.m3.4.5.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.4.5"></minus><apply id="S3.Ex6.m3.4.5.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2"><times id="S3.Ex6.m3.4.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.1"></times><cn id="S3.Ex6.m3.4.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.2">2</cn><apply id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3"><apply id="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.4.5.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" 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ltx_tag_equation ltx_align_right">(37)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E37.m1.1"><semantics id="S3.E37.m1.1a"><mo id="S3.E37.m1.1.1" xref="S3.E37.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E37.m1.1b"><eq id="S3.E37.m1.1.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E37.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E37.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle N\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}(N,\lambda)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E37.m2.3"><semantics id="S3.E37.m2.3a"><mrow id="S3.E37.m2.3.3.1" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E37.m2.3.3.1.1" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E37.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E37.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml">pert</mi></msubsup><mo id="S3.E37.m2.3.3.1.1.1a" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.2" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E37.m2.1.1" xref="S3.E37.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.2.2" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E37.m2.2.2" xref="S3.E37.m2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E37.m2.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E37.m2.3b"><apply id="S3.E37.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1"><times id="S3.E37.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.1"></times><ci id="S3.E37.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.2">𝑁</ci><apply id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2"><ci id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.2.3">pert</ci></apply><ci id="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E37.m2.3.3.1.1.4.2"><ci id="S3.E37.m2.1.1.cmml" xref="S3.E37.m2.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.E37.m2.2.2.cmml" xref="S3.E37.m2.2.2">𝜆</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E37.m2.3c">\displaystyle N\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}(N,\lambda).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E37.m2.3d">italic_N over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.SSS1.p2.4">We note that <math alttext="\ket{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mn id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><cn id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1c">\ket{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p2.1.m1.1d">| start_ARG 0 end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> corresponds to the collective electronic ground state formed by the product state of the <math alttext="\ket{\psi_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1c">\ket{\psi_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p2.2.m2.1d">| start_ARG italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> wave functions, which are the local ground states with <math alttext="l=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.2">𝑙</ci><cn id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1c">l=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p2.3.m3.1d">italic_l = 0</annotation></semantics></math>. Similarly the collective excited states <math alttext="\ket{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1.1.1.1">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1c">\ket{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p2.4.m4.1d">| start_ARG italic_j end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> labels all possible excited state combinations. However, only very few combinations can contribute, as shown in App. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A1" title="Appendix A Derivation of Single Molecular Polarizabilities ‣ V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a>. Eventually, from perturbation theory and by assuming the usual Tavis-Cummings scaling of Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E30" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>) we find that the polarizabilities of the molecular ensemble are the same inside and outside the cavity. This, however, again contradicts the exact results obtained in Eqs. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E31" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>) - (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E34" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>). The reason being that perturbation theory is not taking into account all possible ways the cavity let’s the molecules of the ensemble talk to each other.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.SSS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.SSS1.p3.1">Interestingly, the perturbative result in Eqs. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E36" title="In III.1.1 Polarizabilities from Perturbation Theory ‣ III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E37" title="In III.1.1 Polarizabilities from Perturbation Theory ‣ III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">37</span></a>) agree with the exact self-consistent solution in Eqs. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E32" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">32</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E31" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>), provided that one assumes single-molecule strong coupling with a scaled coupling constant <math alttext="\lambda\rightarrow\lambda_{\rm col}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><msub id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">col</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3">col</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1c">\lambda\rightarrow\lambda_{\rm col}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p3.1.m1.1d">italic_λ → italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The resulting relations</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx17"> <tbody id="S3.E38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\boxed{\tilde{\alpha}_{i}(N,\lambda)=\tilde{\alpha}_{i}(1,\lambda% _{\mathrm{col}})=\tilde{\alpha}_{i}^{\rm pert}(1,\lambda_{\rm col})\neq\tilde{% \alpha}_{i}^{\rm pert}(N,\lambda)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E38.m1.8"><semantics id="S3.E38.m1.8a"><menclose id="S3.E38.m1.8.8" notation="box" xref="S3.E38.m1.8.8.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.8.8a" xref="S3.E38.m1.8.8.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.8.8.10" xref="S3.E38.m1.8.8.10.cmml"><msub id="S3.E38.m1.8.8.10.2" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E38.m1.8.8.10.2.2" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.cmml"><mi id="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.2" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.1" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E38.m1.8.8.10.2.3" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E38.m1.8.8.10.1" xref="S3.E38.m1.8.8.10.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E38.m1.8.8.10.3.2" xref="S3.E38.m1.8.8.10.3.1.cmml"><mo id="S3.E38.m1.8.8.10.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.8.8.10.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E38.m1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E38.m1.8.8.10.3.2.2" xref="S3.E38.m1.8.8.10.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E38.m1.2.2.2" xref="S3.E38.m1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E38.m1.8.8.10.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.8.8.10.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E38.m1.8.8.11" xref="S3.E38.m1.8.8.11.cmml">=</mo><mrow id="S3.E38.m1.7.7.7" xref="S3.E38.m1.7.7.7.cmml"><msub id="S3.E38.m1.7.7.7.3" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E38.m1.7.7.7.3.2" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.cmml"><mi id="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.2" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.1" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E38.m1.7.7.7.3.3" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E38.m1.7.7.7.2" xref="S3.E38.m1.7.7.7.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.2.cmml"><mo id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.E38.m1.3.3.3" xref="S3.E38.m1.3.3.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.3" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.3.cmml">col</mi></msub><mo id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E38.m1.8.8.12" xref="S3.E38.m1.8.8.12.cmml">=</mo><mrow id="S3.E38.m1.8.8.8" xref="S3.E38.m1.8.8.8.cmml"><msubsup id="S3.E38.m1.8.8.8.3" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.2" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.1" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.3" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E38.m1.8.8.8.3.3" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.3.cmml">pert</mi></msubsup><mo id="S3.E38.m1.8.8.8.2" xref="S3.E38.m1.8.8.8.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.2.cmml"><mo id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.E38.m1.4.4.4" xref="S3.E38.m1.4.4.4.cmml">1</mn><mo id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.3" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.3.cmml">col</mi></msub><mo id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E38.m1.8.8.13" xref="S3.E38.m1.8.8.13.cmml">≠</mo><mrow id="S3.E38.m1.8.8.14" xref="S3.E38.m1.8.8.14.cmml"><msubsup id="S3.E38.m1.8.8.14.2" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.2" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.1" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.3" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E38.m1.8.8.14.2.3" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.3.cmml">pert</mi></msubsup><mo id="S3.E38.m1.8.8.14.1" xref="S3.E38.m1.8.8.14.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E38.m1.8.8.14.3.2" xref="S3.E38.m1.8.8.14.3.1.cmml"><mo id="S3.E38.m1.8.8.14.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.8.8.14.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E38.m1.5.5.5" xref="S3.E38.m1.5.5.5.cmml">N</mi><mo id="S3.E38.m1.8.8.14.3.2.2" xref="S3.E38.m1.8.8.14.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E38.m1.6.6.6" xref="S3.E38.m1.6.6.6.cmml">λ</mi><mo id="S3.E38.m1.8.8.14.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.8.8.14.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></menclose><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E38.m1.8b"><apply id="S3.E38.m1.8.8.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8"><and id="S3.E38.m1.8.8a.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8"></and><apply id="S3.E38.m1.8.8b.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8"><eq id="S3.E38.m1.8.8.11.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.11"></eq><apply id="S3.E38.m1.8.8.10.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10"><times id="S3.E38.m1.8.8.10.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10.1"></times><apply id="S3.E38.m1.8.8.10.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.8.8.10.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.2"><ci id="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E38.m1.8.8.10.2.3.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10.2.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E38.m1.8.8.10.3.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.10.3.2"><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.E38.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.2">𝜆</ci></interval></apply><apply id="S3.E38.m1.7.7.7.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7"><times id="S3.E38.m1.7.7.7.2.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.2"></times><apply id="S3.E38.m1.7.7.7.3.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.7.7.7.3.1.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.2"><ci id="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.1">~</ci><ci id="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E38.m1.7.7.7.3.3.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.3.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E38.m1.7.7.7.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.1"><cn id="S3.E38.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E38.m1.3.3.3">1</cn><apply id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.7.7.7.1.1.1.3">col</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.E38.m1.8.8c.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8"><eq id="S3.E38.m1.8.8.12.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.12"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E38.m1.7.7.7.cmml" id="S3.E38.m1.8.8d.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8"></share><apply id="S3.E38.m1.8.8.8.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8"><times id="S3.E38.m1.8.8.8.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.2"></times><apply id="S3.E38.m1.8.8.8.3.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.8.8.8.3.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2"><ci id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.3.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E38.m1.8.8.8.3.3.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.3.3">pert</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E38.m1.8.8.8.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.1"><cn id="S3.E38.m1.4.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.E38.m1.4.4.4">1</cn><apply id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.8.1.1.1.3">col</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.E38.m1.8.8e.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8"><neq id="S3.E38.m1.8.8.13.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.13"></neq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E38.m1.8.8.8.cmml" id="S3.E38.m1.8.8f.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8"></share><apply id="S3.E38.m1.8.8.14.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14"><times id="S3.E38.m1.8.8.14.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.1"></times><apply id="S3.E38.m1.8.8.14.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.8.8.14.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2"><ci id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.3.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E38.m1.8.8.14.2.3.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.2.3">pert</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E38.m1.8.8.14.3.1.cmml" xref="S3.E38.m1.8.8.14.3.2"><ci id="S3.E38.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.E38.m1.5.5.5">𝑁</ci><ci id="S3.E38.m1.6.6.6.cmml" xref="S3.E38.m1.6.6.6">𝜆</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E38.m1.8c">\displaystyle\boxed{\tilde{\alpha}_{i}(N,\lambda)=\tilde{\alpha}_{i}(1,\lambda% _{\mathrm{col}})=\tilde{\alpha}_{i}^{\rm pert}(1,\lambda_{\rm col})\neq\tilde{% \alpha}_{i}^{\rm pert}(N,\lambda)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E38.m1.8d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) = over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 1 , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT ) = over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT ) ≠ over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(38)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.SSS1.p3.3">we consider the second quintessential results or this work. Indeed, Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E38" title="In III.1.1 Polarizabilities from Perturbation Theory ‣ III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">38</span></a>) provides a practical recipe to determine the single molecule-response of a large ensemble under collective VSC. In particular, it provides access to collectively-dressed polarizabilities of complex electronic structures by solving <math alttext="\tilde{\alpha}_{i}(1,\lambda_{\mathrm{col}})=\tilde{\alpha}_{i}^{\rm pert}(1,% \lambda_{\rm col})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4a"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">col</mi></msub><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.cmml"><msubsup id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.3.cmml">pert</mi></msubsup><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.2.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">col</mi></msub><mo id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4"><eq id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1"><times id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2"><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.3.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1"><cn id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.1.1">1</cn><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.3">col</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2"><times id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.2"></times><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2"><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.3.3">pert</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1"><cn id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.2.2">1</cn><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4.4.2.1.1.1.3">col</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4c">\tilde{\alpha}_{i}(1,\lambda_{\mathrm{col}})=\tilde{\alpha}_{i}^{\rm pert}(1,% \lambda_{\rm col})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p3.2.m1.4d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 1 , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT ) = over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> for a single molecule strongly coupled to a cavity. We note that the perturbative treatment here refers to the external field <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.SSS1.p3.3.1">not</span> the coupling to the scaled-up cavity mode <math alttext="\lambda_{\rm col}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1"><semantics id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1a"><msub id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1" xref="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.3.cmml">col</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1b"><apply id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1.1.3">col</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1c">\lambda_{\rm col}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.SSS1.p3.3.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Notably, Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E38" title="In III.1.1 Polarizabilities from Perturbation Theory ‣ III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">38</span></a>) confirms analytically that accurate single or few molecular strong coupling ab-initio methods <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib40" title="">40</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib41" title="">41</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib42" title="">42</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib43" title="">43</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib44" title="">44</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib45" title="">45</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib46" title="">46</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib47" title="">47</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib48" title="">48</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib49" title="">49</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib29" title="">29</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib33" title="">33</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib50" title="">50</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib51" title="">51</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib43" title="">43</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib52" title="">52</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib53" title="">53</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib54" title="">54</a>]</cite>, which were developed over the past decade, are indeed practically relevant to determine cavity-modified changes and thus chemistry under collective strong coupling conditions. In particular, it confirms that simple scaling arguments<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib55" title="">55</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib56" title="">56</a>]</cite> based on standard quantum-optical models (e.g. Tavis-Cummings) are inadequate<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> to judge the experimental relevance of accurate single-molecular strong coupling ab-initio results. Notice again, all our self-consistent derivations assume the gas phase approximation. Possible consequences on the condensed phase, e.g., cavity-induced modifications to the Clausius-Mossotti relations, will be the focus of a future publication.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.2 </span>Cavity Frequency Renormalization</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.3">Collective strong coupling does not only change molecular polarizabilities, but it also renormalizes the cavity frequency. This can be directly seen when investigating the classical equations of motion for the nuclei and displacement field coordinates. Using the Hellman-Feynman theorem, we find for the dynamics of the displacement coordinate</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx18"> <tbody id="S3.E39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{q}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E39.m1.1"><semantics id="S3.E39.m1.1a"><msub id="S3.E39.m1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E39.m1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.2.2" xref="S3.E39.m1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.E39.m1.1.1.2.1" xref="S3.E39.m1.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mi id="S3.E39.m1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E39.m1.1b"><apply id="S3.E39.m1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.2"><ci id="S3.E39.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.2.1">¨</ci><ci id="S3.E39.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S3.E39.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E39.m1.1c">\displaystyle\ddot{q}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E39.m1.1d">over¨ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\Braket{\frac{\mathrm{d}\hat{H}}{\mathrm{d}q_{\beta}}}_{l}=-% \omega_{\beta}^{2}\bigg{(}q_{\beta}-\frac{X+\braket{\hat{x}}}{\omega_{\beta}}% \bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E39.m2.3"><semantics id="S3.E39.m2.3a"><mrow id="S3.E39.m2.3.3" xref="S3.E39.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.E39.m2.3.3.3" xref="S3.E39.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S3.E39.m2.3.3.4" xref="S3.E39.m2.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E39.m2.3.3.5" xref="S3.E39.m2.3.3.5.cmml"><mo id="S3.E39.m2.3.3.5a" xref="S3.E39.m2.3.3.5.cmml">−</mo><msub id="S3.E39.m2.3.3.5.2" xref="S3.E39.m2.3.3.5.2.cmml"><mrow id="S3.E39.m2.1.1a.3" xref="S3.E39.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E39.m2.1.1a.3.1" xref="S3.E39.m2.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E39.m2.1.1.1.1" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E39.m2.1.1.1.1a" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mrow id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E39.m2.1.1a.3.2" xref="S3.E39.m2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.E39.m2.3.3.5.2.2" xref="S3.E39.m2.3.3.5.2.2.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.E39.m2.3.3.6" xref="S3.E39.m2.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E39.m2.3.3.1" xref="S3.E39.m2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E39.m2.3.3.1a" xref="S3.E39.m2.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E39.m2.3.3.1.1" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml">β</mi><mn id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E39.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mi id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E39.m2.2.2a" xref="S3.E39.m2.2.2a.cmml"><mfrac id="S3.E39.m2.2.2aa" xref="S3.E39.m2.2.2a.cmml"><mrow id="S3.E39.m2.2.2.1a" xref="S3.E39.m2.2.2.1a.cmml"><mi id="S3.E39.m2.2.2.1a.3" xref="S3.E39.m2.2.2.1a.3.cmml">X</mi><mo id="S3.E39.m2.2.2.1a.2" xref="S3.E39.m2.2.2.1a.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E39.m2.2.2.1.1a.3" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E39.m2.2.2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E39.m2.2.2.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><msub id="S3.E39.m2.2.2a.3" xref="S3.E39.m2.2.2a.3.cmml"><mi id="S3.E39.m2.2.2a.3.2" xref="S3.E39.m2.2.2a.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E39.m2.2.2a.3.3" xref="S3.E39.m2.2.2a.3.3.cmml">β</mi></msub></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E39.m2.3b"><apply id="S3.E39.m2.3.3.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3"><and id="S3.E39.m2.3.3a.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3"></and><apply id="S3.E39.m2.3.3b.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3"><eq id="S3.E39.m2.3.3.4.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E39.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S3.E39.m2.3.3.5.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.5"><minus id="S3.E39.m2.3.3.5.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.5"></minus><apply id="S3.E39.m2.3.3.5.2.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m2.3.3.5.2.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.5.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E39.m2.1.1a.2.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E39.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.E39.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1"><divide id="S3.E39.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1"></divide><apply id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2"><times id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.2">d</ci><apply id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3"><ci id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.1">^</ci><ci id="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.2.3.2">𝐻</ci></apply></apply><apply id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3"><times id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.2">d</ci><apply id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E39.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E39.m2.3.3.5.2.2.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.5.2.2">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E39.m2.3.3c.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3"><eq id="S3.E39.m2.3.3.6.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E39.m2.3.3.5.cmml" id="S3.E39.m2.3.3d.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3"></share><apply id="S3.E39.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1"><minus id="S3.E39.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1"></minus><apply id="S3.E39.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1"><times id="S3.E39.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.2"></times><apply id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1"><minus id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci><ci id="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E39.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.E39.m2.2.2a.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2a"><divide id="S3.E39.m2.2.2a.2.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2a"></divide><apply id="S3.E39.m2.2.2.1a.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2.1a"><plus id="S3.E39.m2.2.2.1a.2.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2.1a.2"></plus><ci id="S3.E39.m2.2.2.1a.3.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2.1a.3">𝑋</ci><apply id="S3.E39.m2.2.2.1.1a.2.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E39.m2.2.2.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1"><ci id="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E39.m2.2.2a.3.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2a.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m2.2.2a.3.1.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2a.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m2.2.2a.3.2.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2a.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.E39.m2.2.2a.3.3.cmml" xref="S3.E39.m2.2.2a.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E39.m2.3c">\displaystyle=-\Braket{\frac{\mathrm{d}\hat{H}}{\mathrm{d}q_{\beta}}}_{l}=-% \omega_{\beta}^{2}\bigg{(}q_{\beta}-\frac{X+\braket{\hat{x}}}{\omega_{\beta}}% \bigg{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E39.m2.3d">= - ⟨ start_ARG divide start_ARG roman_d over^ start_ARG italic_H end_ARG end_ARG start_ARG roman_d italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = - italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_X + ⟨ start_ARG over^ start_ARG italic_x end_ARG end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(39)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\gamma^{2}\omega_{\beta}^{2}q_{\beta}+\gamma^{2}\omega_{\beta}X% -\big{(}1-\gamma^{2}\big{)}\frac{k_{e}}{NZ_{e}\lambda}\mathcal{R}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E40.m1.1"><semantics id="S3.E40.m1.1a"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msup id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">β</mi><mn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">q</mi><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">X</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msub><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">λ</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">ℛ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E40.m1.1b"><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1"><eq id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1"><minus 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xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.2">𝑞</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.4.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci><cn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝛽</ci></apply><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑋</ci></apply></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑍</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑒</ci></apply><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.4">ℛ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E40.m1.1c">\displaystyle=-\gamma^{2}\omega_{\beta}^{2}q_{\beta}+\gamma^{2}\omega_{\beta}X% -\big{(}1-\gamma^{2}\big{)}\frac{k_{e}}{NZ_{e}\lambda}\mathcal{R}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E40.m1.1d">= - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT + italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_X - ( 1 - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_ARG caligraphic_R .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(40)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">The nuclear sums are abbreviated as <math alttext="\mathcal{R}=\sum_{in}^{NN_{\mathrm{n}}}R_{in}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ℛ</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></msubsup><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2">ℛ</ci><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.3">n</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\mathcal{R}=\sum_{in}^{NN_{\mathrm{n}}}R_{in}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">caligraphic_R = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This reveals a renormalization of the photon mode frequency by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\omega_{\beta}\rightarrow\tilde{\omega}_{\beta}=\gamma\omega_{\beta}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E41.m1.1"><semantics id="S3.E41.m1.1a"><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.3.cmml">→</mo><msub id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E41.m1.1b"><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1"><and id="S3.E41.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1"><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.3">→</ci><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2"><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.1">~</ci><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.4.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1"><eq id="S3.E41.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E41.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S3.E41.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6"><times id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.1"></times><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.2">𝛾</ci><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.6.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E41.m1.1c">\omega_{\beta}\rightarrow\tilde{\omega}_{\beta}=\gamma\omega_{\beta},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E41.m1.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT → over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(41)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.2">with <math alttext="0<\gamma\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.4" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.5" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.6" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1"><and id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1"><lt id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.3"></lt><cn id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.2">0</cn><ci id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1"><leq id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS2.p1.2.m1.1.1.4.cmml" id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1"></share><cn id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m1.1c">0<\gamma\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m1.1d">0 < italic_γ ≤ 1</annotation></semantics></math> given by Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E19" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>). In other words, the more molecules we fit into the cavity the more red-shifted the cavity becomes, due to self-consistently considering cavity-induced inter-molecular polarization effects.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.2">How does this self-consistent redshift compare against the frequency shift in a Maxwellian standing-wave picture, introduced in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S1.E1" title="In I Introduction ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), where the influence of the matter is described via the (static) refractive index of the medium? For external driving fields, the optical wavelength <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math> of the Fabry-Pérot resonator depends on the refractive index of the contained medium. In more detail, the resulting frequency shift can be related to the real part of the refractive index <math alttext="n_{\mathrm{r}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3">r</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">n_{\mathrm{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT roman_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> via</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm M}=\frac{\omega_{\beta}}{n_{\rm r}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E42.m1.1"><semantics id="S3.E42.m1.1a"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">β</mi><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></msubsup><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></msub><msub id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></msub></mfrac></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E42.m1.1b"><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1"><eq id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.3">M</ci></apply><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.3.3">r</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E42.m1.1c">\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm M}=\frac{\omega_{\beta}}{n_{\rm r}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E42.m1.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_M end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT roman_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(42)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.3">The refractive index in a dilute (gaseous) medium depends on its number density <math alttext="N/V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.3.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m1.1.1"><divide id="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.1"></divide><ci id="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m1.1.1.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m1.1c">N/V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m1.1d">italic_N / italic_V</annotation></semantics></math> and is given by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib39" title="">39</a>]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="n_{r}=\sqrt{\frac{4\pi N\alpha_{i}}{V}+1}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E43.m1.1"><semantics id="S3.E43.m1.1a"><mrow id="S3.E43.m1.1.1" xref="S3.E43.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.E43.m1.1.1.2" xref="S3.E43.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E43.m1.1.1.2.2" xref="S3.E43.m1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E43.m1.1.1.2.3" xref="S3.E43.m1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.E43.m1.1.1.1" xref="S3.E43.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msqrt id="S3.E43.m1.1.1.3" xref="S3.E43.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E43.m1.1.1.3.2" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.1a" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.4" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.4.cmml">N</mi><mo id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.1b" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.cmml"><mi id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.2" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.3" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">V</mi></mfrac><mo id="S3.E43.m1.1.1.3.2.1" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E43.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E43.m1.1b"><apply id="S3.E43.m1.1.1.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1"><eq id="S3.E43.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E43.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E43.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E43.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.E43.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.E43.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3"><root id="S3.E43.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3"></root><apply id="S3.E43.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2"><plus id="S3.E43.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2"><divide id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2"><times id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.1"></times><cn id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.2">4</cn><ci id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.3">𝜋</ci><ci id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.4">𝑁</ci><apply id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.2.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.2">𝛼</ci><ci id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.3.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.2.5.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.2.3">𝑉</ci></apply><cn id="S3.E43.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E43.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E43.m1.1c">n_{r}=\sqrt{\frac{4\pi N\alpha_{i}}{V}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E43.m1.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG divide start_ARG 4 italic_π italic_N italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_V end_ARG + 1 end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(43)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.6">for bare matter. Assuming that the mode volume <math alttext="\mathcal{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml">𝒱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1">𝒱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m1.1c">\mathcal{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m1.1d">caligraphic_V</annotation></semantics></math> corresponds to the physical volume <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m2.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m2.1d">italic_V</annotation></semantics></math> of the diffractive medium, we can use <math alttext="\lambda^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m3.1a"><msup id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m3.1c">\lambda^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m3.1d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> from Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E4" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) and substitute into Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E42" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a>) to write</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm M}=\omega_{\beta}\left(N\lambda^{2}\alpha_{i}+1% \right)^{-\frac{1}{2}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E44.m1.1"><semantics id="S3.E44.m1.1a"><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">M</mi></msubsup><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">α</mi><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E44.m1.1b"><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1"><eq id="S3.E44.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.3">M</ci></apply><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝛼</ci><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E44.m1.1c">\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm M}=\omega_{\beta}\left(N\lambda^{2}\alpha_{i}+1% \right)^{-\frac{1}{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E44.m1.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_M end_POSTSUPERSCRIPT = italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(44)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.7">which depends on the bare single-molecule polarizability <math alttext="\alpha_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.7.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.7.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.7.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.7.m1.1c">\alpha_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.7.m1.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> given in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E21" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>). Comparing the redshifts determined with Eqs. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E41" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E44" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>), respectively, we find</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx19"> <tbody id="S3.E45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\omega}_{\beta}=\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm M}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E45.m1.1"><semantics id="S3.E45.m1.1a"><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">M</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E45.m1.1b"><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1"><eq id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.3">M</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E45.m1.1c">\displaystyle\tilde{\omega}_{\beta}=\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm M}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E45.m1.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT = over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_M end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(45)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.10">Notice that an identical expression for the red-shift was found in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citenum"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib57" title="">57</a></cite> using second order perturbation theory with respect to the coupling strength. The dependency of the red-shift on bare matter quantities is a little surprising, since we have just seen in the Sec <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS1" title="III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a> that the cavity changes the molecular polarizabilities. Therefore, naively, one would expect that <math alttext="\tilde{\alpha}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.8.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.8.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.8.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.8.m1.1c">\tilde{\alpha}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.8.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the corresponding <math alttext="\tilde{n}_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.9.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.9.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.9.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2"><ci id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.2.2">𝑛</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m2.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.9.m2.1c">\tilde{n}_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.9.m2.1d">over~ start_ARG italic_n end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> should be considered in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E44" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>) rather than bare matter properties. Our results show the opposite, i.e., at least within our effective harmonic electronic structure model, the detuning of the cavity is related to bare matter polarizabilities and thus cannot directly be used to access the cavity-induced polarizability changes. To what amount this harmonic result remains valid for more complex electronic structures will be investigated ab-initio in Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.SS2" title="IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV.2</span></a> for real three-dimensional CO<sub class="ltx_sub" id="S3.SS2.p2.10.1">2</sub> molecules. Overall, this ”boring” result again highlights that the properties of a collectively-coupled ensemble are not as straightforward as one might think.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.1">Notice that the above findings apply for dilute media. It would thus be interesting to extend our results to the condensed phase. For non-polar condensed systems one usually models the response of the molecular ensemble (refractive index) by the Clausius-Mossotti equation instead, which considers screening effects from the induced polarization. A priori it seems rather unlikely that the relation in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E45" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>) still persists in the condensed phase. Any experimentally measured deviations from the Clausius-Mossotti relation could provide important microscopic insights to cavity-modified electronic changes and to distinguish the effective mode volume <math alttext="\mathcal{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">𝒱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">𝒱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">\mathcal{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">caligraphic_V</annotation></semantics></math> from the physical volume of the cavity. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> This subtle difference might also be reflected in the experimentally observed resonance condition under collective strong coupling. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib22" title="">22</a>]</cite> That is, the ensemble might only respond coherently if the cavity is tuned on resonance with some infrared-active ro-vibrational transition of the molecules in the ensemble. The present model apriori assumes classical coherence between the molecules on the time-scale of the electrons.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.3 </span>Nuclear equations of motion</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.3">In a next step, we determine the classical equations of motion for the nuclei evolving on the <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_l</annotation></semantics></math>-th collective electronic potential surface. Again by employing the Hellmann-Feynman theorem, we obtain the force acting on the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math>-th nucleus in molecule <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math> from Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E3" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx20"> <tbody id="S3.E46"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M_{n}\ddot{R}_{in}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m1.1"><semantics id="S3.Ex7.m1.1a"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex7.m1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.1b"><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1"><times id="S3.Ex7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.1">¨</ci><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.1c">\displaystyle M_{n}\ddot{R}_{in}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m2.1"><semantics id="S3.Ex7.m2.1a"><mo id="S3.Ex7.m2.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m2.1b"><eq id="S3.Ex7.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R_{in}}V(\bm{R}_{i})-k_{e}(R_{in}-% \langle\hat{r}_{i}\rangle_{l})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m3.2"><semantics id="S3.Ex7.m3.2a"><mrow id="S3.Ex7.m3.2.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m3.1.1.1" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m3.1.1.1a" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mrow id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.3" xref="S3.Ex7.m3.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex7.m3.2.2.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex7.m3.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m3.2b"><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2"><minus id="S3.Ex7.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.3"></minus><apply id="S3.Ex7.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1"><minus id="S3.Ex7.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1"><times id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.2">d</ci><apply id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.2">d</ci><apply id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3"><times id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.4">𝑉</ci><apply id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑹</ci><ci id="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2"><times id="S3.Ex7.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.2"></times><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.3.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1"><minus id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m3.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m3.2c">\displaystyle-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R_{in}}V(\bm{R}_{i})-k_{e}(R_{in}-% \langle\hat{r}_{i}\rangle_{l})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m3.2d">- divide start_ARG roman_d end_ARG start_ARG roman_d italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_V ( bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT - ⟨ over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(46)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\omega_{\beta}\Bigg{(}q_{\beta}-\frac{X+\langle\hat{x}\rangle_{l% }}{\omega_{\beta}}\Bigg{)}\lambda Z_{n}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E46.m1.2"><semantics id="S3.E46.m1.2a"><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1a" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E46.m1.1.1" xref="S3.E46.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E46.m1.1.1a" xref="S3.E46.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E46.m1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.1.1.1.3.cmml">X</mi><mo id="S3.E46.m1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msub id="S3.E46.m1.1.1.1.4" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.1.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="S3.E46.m1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E46.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E46.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.1.1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.E46.m1.1.1.1.4.3" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow><msub id="S3.E46.m1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.1.1.3.2" xref="S3.E46.m1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E46.m1.1.1.3.3" xref="S3.E46.m1.1.1.3.3.cmml">β</mi></msub></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.2b" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E46.m1.2b"><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1"><plus id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1"></plus><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.E46.m1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1"><divide id="S3.E46.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1"></divide><apply id="S3.E46.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1"><plus id="S3.E46.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.2"></plus><ci id="S3.E46.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.3">𝑋</ci><apply id="S3.E46.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.2.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.E46.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.1"><ci id="S3.E46.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.E46.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S3.E46.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.E46.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E46.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.E46.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.4">𝜆</ci><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.2">𝑍</ci><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.5.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E46.m1.2c">\displaystyle+\omega_{\beta}\Bigg{(}q_{\beta}-\frac{X+\langle\hat{x}\rangle_{l% }}{\omega_{\beta}}\Bigg{)}\lambda Z_{n}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E46.m1.2d">+ italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_X + ⟨ over^ start_ARG italic_x end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_λ italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.5">Afterwards, we relate the forces to the transverse electric field from Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E17" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>), which yields the following local equation of motion for the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math>-th nucleus of molecule <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.5.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.5.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p1.5.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.5.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.5.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.5.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx21"> <tbody id="S3.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M_{n}\ddot{R}_{in}\overset{\rm Eq.\eqref{eq:rietrans}}{=}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m1.2"><semantics id="S3.Ex8.m1.2a"><mrow id="S3.Ex8.m1.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.2.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.3.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.2.3.1" xref="S3.Ex8.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m1.2.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex8.m1.2.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.1" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="S3.Ex8.m1.2.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.2.3.1a" xref="S3.Ex8.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex8.m1.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">Eq</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.3a.cmml">.</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.3c.cmml"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E16" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a></mtext><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1a" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.4.cmml">)</mi></mrow></mrow></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.2b"><apply id="S3.Ex8.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3"><times id="S3.Ex8.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex8.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.1">¨</ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.3"><times id="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2"><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.2">formulae-sequence</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1">Eq</ci><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1"><times id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.2">(</ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.3c.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.3"><mtext id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.3"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E16" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a></mtext></ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.1.4">)</ci></apply></apply><eq id="S3.Ex8.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.3"></eq></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.2c">\displaystyle M_{n}\ddot{R}_{in}\overset{\rm Eq.\eqref{eq:rietrans}}{=}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.2d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_OVERACCENT roman_Eq . ( ) end_OVERACCENT start_ARG = end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{d}{dR_{in}}V_{i}(\mathbf{R}_{i})-k_{e}\bigg{(}R_{in}-\sum_% {m=1}^{N_{n}}\frac{R_{im}}{N_{n}}\bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m2.2"><semantics id="S3.Ex8.m2.2a"><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1a" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">V</mi><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐑</mi><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex8.m2.2.2.2.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2a" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub><msub id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m2.2b"><apply id="S3.Ex8.m2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2"><minus id="S3.Ex8.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.3"></minus><apply id="S3.Ex8.m2.1.1.1.cmml" 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id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m2.2c">\displaystyle-\frac{d}{dR_{in}}V_{i}(\mathbf{R}_{i})-k_{e}\bigg{(}R_{in}-\sum_% {m=1}^{N_{n}}\frac{R_{im}}{N_{n}}\bigg{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m2.2d">- divide start_ARG italic_d end_ARG start_ARG italic_d italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( bold_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_m end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\bigg{(}Z_{n}-\frac{Z_{e}}{N_{n}}\bigg{)}E_{\perp}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E47.m1.1"><semantics id="S3.E47.m1.1a"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1a" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msub><msub id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⟂</mo></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E47.m1.1b"><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1"><plus id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.3">perpendicular-to</csymbol></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E47.m1.1c">\displaystyle+\bigg{(}Z_{n}-\frac{Z_{e}}{N_{n}}\bigg{)}E_{\perp}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E47.m1.1d">+ ( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(47)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.8">Notice that the first line contains purely intra-molecular forces (that are present even without a cavity), whereas the second line corresponds to forces that are solely collective and induced by the cavity. As a sanity check, we immediately find that for neutral atoms, where we have only a single nucleus and thus <math alttext="N_{n}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.6.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.6.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.6.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"><eq id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.6.m1.1c">N_{n}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.6.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="Z_{e}=Z_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.7.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.7.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.7.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1"><eq id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.7.m2.1c">Z_{e}=Z_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.7.m2.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the nuclear motion is not influenced by the cavity. The equations of motions given in Eqs. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E40" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E47" title="In III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">47</span></a>) will later be used in Sec. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4" title="IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a> for ab-initio MD simulations of an ensemble of harmonic CO<sub class="ltx_sub" id="S3.SS3.p1.8.1">2</sub> molecules. While for a purely harmonic system classical and quantum equations of motion agree, the two descriptions will start to deviate for anharmonic systems (due to anharmonicities in the electron-nucleus or nucleus-nucleus interaction) and one would have to consider, e.g., hierarchical equations of motion, at high level of accuracy <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib58" title="">58</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib59" title="">59</a>]</cite>. Having access to the exact harmonic dynamic, we can now assess different commonly employed approximations in the following section.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S3.SS3.25"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 1: </span>Comparison of position and field observables / equations of motions for different approximations. <span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span> The self-consistent reference calculations are denoted (sc). Approximations which neglect the dipole-self energy or any modification of the electronic structure, are labeled (D) and (be), respectively. The approximations modify Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E12" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>) as follows: <math alttext="\nu_{1,i}^{\mathrm{D}}=-k_{e}\mathcal{R}_{i}+Z_{e}\lambda\omega_{\beta}q_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m1.2"><semantics id="footnote2.m1.2c"><mrow id="footnote2.m1.2.3" xref="footnote2.m1.2.3.cmml"><msubsup id="footnote2.m1.2.3.2" xref="footnote2.m1.2.3.2.cmml"><mi id="footnote2.m1.2.3.2.2.2" xref="footnote2.m1.2.3.2.2.2.cmml">ν</mi><mrow id="footnote2.m1.2.2.2.4" xref="footnote2.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="footnote2.m1.1.1.1.1" xref="footnote2.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="footnote2.m1.2.2.2.4.1" xref="footnote2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="footnote2.m1.2.2.2.2" xref="footnote2.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow><mi id="footnote2.m1.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="footnote2.m1.2.3.2.3.cmml">D</mi></msubsup><mo id="footnote2.m1.2.3.1" xref="footnote2.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="footnote2.m1.2.3.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="footnote2.m1.2.3.3.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.cmml"><mo id="footnote2.m1.2.3.3.2c" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.cmml">−</mo><mrow id="footnote2.m1.2.3.3.2.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.cmml"><msub id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.1" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml">ℛ</mi><mi id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="footnote2.m1.2.3.3.1" xref="footnote2.m1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="footnote2.m1.2.3.3.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.cmml"><msub id="footnote2.m1.2.3.3.3.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="footnote2.m1.2.3.3.3.2.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m1.2.3.3.3.2.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="footnote2.m1.2.3.3.3.1" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m1.2.3.3.3.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.3.cmml">λ</mi><mo id="footnote2.m1.2.3.3.3.1c" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="footnote2.m1.2.3.3.3.4" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.4.cmml"><mi id="footnote2.m1.2.3.3.3.4.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.4.2.cmml">ω</mi><mi id="footnote2.m1.2.3.3.3.4.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.4.3.cmml">β</mi></msub><mo id="footnote2.m1.2.3.3.3.1d" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="footnote2.m1.2.3.3.3.5" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.5.cmml"><mi id="footnote2.m1.2.3.3.3.5.2" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.5.2.cmml">q</mi><mi id="footnote2.m1.2.3.3.3.5.3" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.5.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m1.2d"><apply id="footnote2.m1.2.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3"><eq id="footnote2.m1.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.1"></eq><apply id="footnote2.m1.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.2.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m1.2.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.2.2.2">𝜈</ci><list id="footnote2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.2.2.4"><cn id="footnote2.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="footnote2.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="footnote2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="footnote2.m1.2.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.2.3">D</ci></apply><apply id="footnote2.m1.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3"><plus id="footnote2.m1.2.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.1"></plus><apply id="footnote2.m1.2.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2"><minus id="footnote2.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2"></minus><apply id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2"><times id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.1"></times><apply id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.2">ℛ</ci><ci id="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="footnote2.m1.2.3.3.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3"><times id="footnote2.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.1"></times><apply id="footnote2.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.2.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="footnote2.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.3">𝜆</ci><apply id="footnote2.m1.2.3.3.3.4.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.2.3.3.3.4.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m1.2.3.3.3.4.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.4.2">𝜔</ci><ci id="footnote2.m1.2.3.3.3.4.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.4.3">𝛽</ci></apply><apply id="footnote2.m1.2.3.3.3.5.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.2.3.3.3.5.1.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m1.2.3.3.3.5.2.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.5.2">𝑞</ci><ci id="footnote2.m1.2.3.3.3.5.3.cmml" xref="footnote2.m1.2.3.3.3.5.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m1.2e">\nu_{1,i}^{\mathrm{D}}=-k_{e}\mathcal{R}_{i}+Z_{e}\lambda\omega_{\beta}q_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m1.2f">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_D end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_λ italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\nu_{1,i}^{\mathrm{be}}=-k_{e}\mathcal{R}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m2.2"><semantics id="footnote2.m2.2c"><mrow id="footnote2.m2.2.3" xref="footnote2.m2.2.3.cmml"><msubsup id="footnote2.m2.2.3.2" xref="footnote2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="footnote2.m2.2.3.2.2.2" xref="footnote2.m2.2.3.2.2.2.cmml">ν</mi><mrow id="footnote2.m2.2.2.2.4" xref="footnote2.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="footnote2.m2.1.1.1.1" xref="footnote2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="footnote2.m2.2.2.2.4.1" xref="footnote2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="footnote2.m2.2.2.2.2" xref="footnote2.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow><mi id="footnote2.m2.2.3.2.3" xref="footnote2.m2.2.3.2.3.cmml">be</mi></msubsup><mo id="footnote2.m2.2.3.1" xref="footnote2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="footnote2.m2.2.3.3" xref="footnote2.m2.2.3.3.cmml"><mo id="footnote2.m2.2.3.3c" xref="footnote2.m2.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="footnote2.m2.2.3.3.2" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.cmml"><msub id="footnote2.m2.2.3.3.2.2" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="footnote2.m2.2.3.3.2.2.2" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="footnote2.m2.2.3.3.2.2.3" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="footnote2.m2.2.3.3.2.1" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="footnote2.m2.2.3.3.2.3" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="footnote2.m2.2.3.3.2.3.2" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.3.2.cmml">ℛ</mi><mi id="footnote2.m2.2.3.3.2.3.3" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m2.2d"><apply id="footnote2.m2.2.3.cmml" xref="footnote2.m2.2.3"><eq id="footnote2.m2.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.1"></eq><apply id="footnote2.m2.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.2.2.2">𝜈</ci><list id="footnote2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m2.2.2.2.4"><cn id="footnote2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="footnote2.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="footnote2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="footnote2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.2.3">be</ci></apply><apply id="footnote2.m2.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3"><minus id="footnote2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3"></minus><apply id="footnote2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2"><times id="footnote2.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.1"></times><apply id="footnote2.m2.2.3.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.2.2">𝑘</ci><ci id="footnote2.m2.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="footnote2.m2.2.3.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m2.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m2.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.3.2">ℛ</ci><ci id="footnote2.m2.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m2.2e">\nu_{1,i}^{\mathrm{be}}=-k_{e}\mathcal{R}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m2.2f">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_be end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\nu_{2}=\sqrt{N_{\mathrm{n}}k_{\mathrm{e}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m3.1"><semantics id="footnote2.m3.1c"><mrow id="footnote2.m3.1.1" xref="footnote2.m3.1.1.cmml"><msub id="footnote2.m3.1.1.2" xref="footnote2.m3.1.1.2.cmml"><mi id="footnote2.m3.1.1.2.2" xref="footnote2.m3.1.1.2.2.cmml">ν</mi><mn id="footnote2.m3.1.1.2.3" xref="footnote2.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="footnote2.m3.1.1.1" xref="footnote2.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msqrt id="footnote2.m3.1.1.3" xref="footnote2.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="footnote2.m3.1.1.3.2" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.cmml"><msub id="footnote2.m3.1.1.3.2.2" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="footnote2.m3.1.1.3.2.2.2" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="footnote2.m3.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="footnote2.m3.1.1.3.2.1" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="footnote2.m3.1.1.3.2.3" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="footnote2.m3.1.1.3.2.3.2" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="footnote2.m3.1.1.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m3.1d"><apply id="footnote2.m3.1.1.cmml" xref="footnote2.m3.1.1"><eq id="footnote2.m3.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.1"></eq><apply id="footnote2.m3.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m3.1.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m3.1.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.2.2">𝜈</ci><cn id="footnote2.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="footnote2.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="footnote2.m3.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3"><root id="footnote2.m3.1.1.3a.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3"></root><apply id="footnote2.m3.1.1.3.2.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2"><times id="footnote2.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.1"></times><apply id="footnote2.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.2.2">𝑁</ci><ci id="footnote2.m3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.2.3">n</ci></apply><apply id="footnote2.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="footnote2.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m3.1.1.3.2.3.3">e</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m3.1e">\nu_{2}=\sqrt{N_{\mathrm{n}}k_{\mathrm{e}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m3.1f">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> for both cases. We use <math alttext="Z_{n}^{\prime}=Z_{n}-\frac{Z_{e}}{N_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m4.1"><semantics id="footnote2.m4.1c"><mrow id="footnote2.m4.1.1" xref="footnote2.m4.1.1.cmml"><msubsup id="footnote2.m4.1.1.2" xref="footnote2.m4.1.1.2.cmml"><mi id="footnote2.m4.1.1.2.2.2" xref="footnote2.m4.1.1.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m4.1.1.2.2.3" xref="footnote2.m4.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="footnote2.m4.1.1.2.3" xref="footnote2.m4.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="footnote2.m4.1.1.1" xref="footnote2.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="footnote2.m4.1.1.3" xref="footnote2.m4.1.1.3.cmml"><msub id="footnote2.m4.1.1.3.2" xref="footnote2.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="footnote2.m4.1.1.3.2.2" xref="footnote2.m4.1.1.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m4.1.1.3.2.3" xref="footnote2.m4.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="footnote2.m4.1.1.3.1" xref="footnote2.m4.1.1.3.1.cmml">−</mo><mfrac id="footnote2.m4.1.1.3.3" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.cmml"><msub id="footnote2.m4.1.1.3.3.2" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="footnote2.m4.1.1.3.3.2.2" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m4.1.1.3.3.2.3" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.2.3.cmml">e</mi></msub><msub id="footnote2.m4.1.1.3.3.3" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="footnote2.m4.1.1.3.3.3.2" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="footnote2.m4.1.1.3.3.3.3" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m4.1d"><apply id="footnote2.m4.1.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1"><eq id="footnote2.m4.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.1"></eq><apply id="footnote2.m4.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m4.1.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m4.1.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.2.2.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="footnote2.m4.1.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="footnote2.m4.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3"><minus id="footnote2.m4.1.1.3.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.1"></minus><apply id="footnote2.m4.1.1.3.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.2.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="footnote2.m4.1.1.3.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3"><divide id="footnote2.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3"></divide><apply id="footnote2.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.2.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m4.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="footnote2.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="footnote2.m4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m4.1e">Z_{n}^{\prime}=Z_{n}-\frac{Z_{e}}{N_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m4.1f">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, the nuclear sums <math alttext="\mathcal{R}=\sum_{j}^{N}\mathcal{R}_{j}=\sum_{j}^{N}\sum_{m}^{N_{\mathrm{n}}}R% _{jm}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m5.1"><semantics id="footnote2.m5.1c"><mrow id="footnote2.m5.1.1" xref="footnote2.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="footnote2.m5.1.1.2" xref="footnote2.m5.1.1.2.cmml">ℛ</mi><mo id="footnote2.m5.1.1.3" rspace="0.111em" xref="footnote2.m5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="footnote2.m5.1.1.4" xref="footnote2.m5.1.1.4.cmml"><msubsup id="footnote2.m5.1.1.4.1" xref="footnote2.m5.1.1.4.1.cmml"><mo id="footnote2.m5.1.1.4.1.2.2" xref="footnote2.m5.1.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="footnote2.m5.1.1.4.1.2.3" xref="footnote2.m5.1.1.4.1.2.3.cmml">j</mi><mi id="footnote2.m5.1.1.4.1.3" xref="footnote2.m5.1.1.4.1.3.cmml">N</mi></msubsup><msub id="footnote2.m5.1.1.4.2" xref="footnote2.m5.1.1.4.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="footnote2.m5.1.1.4.2.2" xref="footnote2.m5.1.1.4.2.2.cmml">ℛ</mi><mi id="footnote2.m5.1.1.4.2.3" xref="footnote2.m5.1.1.4.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="footnote2.m5.1.1.5" rspace="0.111em" xref="footnote2.m5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="footnote2.m5.1.1.6" xref="footnote2.m5.1.1.6.cmml"><msubsup id="footnote2.m5.1.1.6.1" xref="footnote2.m5.1.1.6.1.cmml"><mo id="footnote2.m5.1.1.6.1.2.2" rspace="0em" xref="footnote2.m5.1.1.6.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="footnote2.m5.1.1.6.1.2.3" xref="footnote2.m5.1.1.6.1.2.3.cmml">j</mi><mi id="footnote2.m5.1.1.6.1.3" xref="footnote2.m5.1.1.6.1.3.cmml">N</mi></msubsup><mrow id="footnote2.m5.1.1.6.2" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.cmml"><msubsup id="footnote2.m5.1.1.6.2.1" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.cmml"><mo id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.2" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.3" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.3.cmml">m</mi><msub id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.cmml"><mi id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.2" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.3.cmml">n</mi></msub></msubsup><msub id="footnote2.m5.1.1.6.2.2" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.2" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.cmml"><mi id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.2" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.1" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.3" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m5.1d"><apply id="footnote2.m5.1.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1"><and id="footnote2.m5.1.1a.cmml" xref="footnote2.m5.1.1"></and><apply id="footnote2.m5.1.1b.cmml" 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id="footnote2.m5.1.1.4.2.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.4.2.2">ℛ</ci><ci id="footnote2.m5.1.1.4.2.3.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="footnote2.m5.1.1c.cmml" xref="footnote2.m5.1.1"><eq id="footnote2.m5.1.1.5.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#footnote2.m5.1.1.4.cmml" id="footnote2.m5.1.1d.cmml" xref="footnote2.m5.1.1"></share><apply id="footnote2.m5.1.1.6.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6"><apply id="footnote2.m5.1.1.6.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m5.1.1.6.1.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.1">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m5.1.1.6.1.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m5.1.1.6.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.1">subscript</csymbol><sum id="footnote2.m5.1.1.6.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.1.2.2"></sum><ci id="footnote2.m5.1.1.6.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="footnote2.m5.1.1.6.1.3.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="footnote2.m5.1.1.6.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2"><apply id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1">subscript</csymbol><sum id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.2"></sum><ci id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.2">𝑁</ci><ci id="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.3.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.1.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.2">𝑅</ci><apply id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3"><times id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.1"></times><ci id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m5.1.1.6.2.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m5.1e">\mathcal{R}=\sum_{j}^{N}\mathcal{R}_{j}=\sum_{j}^{N}\sum_{m}^{N_{\mathrm{n}}}R% _{jm}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m5.1f">caligraphic_R = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="X^{\prime}=X-\frac{Z_{e}\lambda}{N_{n}}\mathcal{R}=\lambda\sum_{j}^{N}\sum_{m}% ^{N_{\mathrm{n}}}Z_{m}^{\prime}R_{jm}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m6.1"><semantics id="footnote2.m6.1c"><mrow id="footnote2.m6.1.1" xref="footnote2.m6.1.1.cmml"><msup id="footnote2.m6.1.1.2" xref="footnote2.m6.1.1.2.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.2.2" xref="footnote2.m6.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="footnote2.m6.1.1.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="footnote2.m6.1.1.3" xref="footnote2.m6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="footnote2.m6.1.1.4" xref="footnote2.m6.1.1.4.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.4.2" xref="footnote2.m6.1.1.4.2.cmml">X</mi><mo id="footnote2.m6.1.1.4.1" xref="footnote2.m6.1.1.4.1.cmml">−</mo><mrow id="footnote2.m6.1.1.4.3" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.cmml"><mfrac id="footnote2.m6.1.1.4.3.2" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.cmml"><mrow id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.cmml"><msub id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.2" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.1" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow><msub id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.2" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.3" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac><mo id="footnote2.m6.1.1.4.3.1" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="footnote2.m6.1.1.4.3.3" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.3.cmml">ℛ</mi></mrow></mrow><mo id="footnote2.m6.1.1.5" xref="footnote2.m6.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="footnote2.m6.1.1.6" xref="footnote2.m6.1.1.6.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.6.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.2.cmml">λ</mi><mo id="footnote2.m6.1.1.6.1" xref="footnote2.m6.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote2.m6.1.1.6.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.cmml"><msubsup id="footnote2.m6.1.1.6.3.1" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.2" rspace="0em" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.3.cmml">j</mi><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1.3.cmml">N</mi></msubsup><mrow id="footnote2.m6.1.1.6.3.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.cmml"><msubsup id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.cmml"><mo id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.3.cmml">m</mi><msub id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.3.cmml">n</mi></msub></msubsup><mrow id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.cmml"><msubsup id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.1" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.2.cmml">R</mi><mrow id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.2" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.1" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.3" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m6.1d"><apply id="footnote2.m6.1.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1"><and id="footnote2.m6.1.1a.cmml" xref="footnote2.m6.1.1"></and><apply id="footnote2.m6.1.1b.cmml" xref="footnote2.m6.1.1"><eq id="footnote2.m6.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.3"></eq><apply id="footnote2.m6.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="footnote2.m6.1.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="footnote2.m6.1.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="footnote2.m6.1.1.4.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4"><minus id="footnote2.m6.1.1.4.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.1"></minus><ci id="footnote2.m6.1.1.4.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.2">𝑋</ci><apply id="footnote2.m6.1.1.4.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3"><times id="footnote2.m6.1.1.4.3.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.1"></times><apply id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2"><divide id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2"></divide><apply id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2"><times id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.1"></times><apply id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="footnote2.m6.1.1.4.3.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.4.3.3">ℛ</ci></apply></apply></apply><apply id="footnote2.m6.1.1c.cmml" xref="footnote2.m6.1.1"><eq id="footnote2.m6.1.1.5.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#footnote2.m6.1.1.4.cmml" id="footnote2.m6.1.1d.cmml" xref="footnote2.m6.1.1"></share><apply id="footnote2.m6.1.1.6.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6"><times id="footnote2.m6.1.1.6.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.1"></times><ci id="footnote2.m6.1.1.6.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.2">𝜆</ci><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3"><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1">subscript</csymbol><sum id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.2"></sum><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.1.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2"><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.2"></sum><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.2">𝑁</ci><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.1.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2"><times id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.1"></times><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.2">𝑅</ci><apply id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3"><times id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.2">𝑗</ci><ci id="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="footnote2.m6.1.1.6.3.2.2.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m6.1e">X^{\prime}=X-\frac{Z_{e}\lambda}{N_{n}}\mathcal{R}=\lambda\sum_{j}^{N}\sum_{m}% ^{N_{\mathrm{n}}}Z_{m}^{\prime}R_{jm}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m6.1f">italic_X start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_X - divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG caligraphic_R = italic_λ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Furthermore, we have defined the nuclear potential such that we would get the nuclear equation of motion without cavity, i.e., <math alttext="-\frac{\partial}{\partial R_{in}}W(\mathbf{R})=-\frac{\partial}{\partial R_{in% }}V(\mathbf{R})-k_{e}\big{(}R_{in}-\frac{1}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}_{i}\big% {)}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m7.3"><semantics id="footnote2.m7.3c"><mrow id="footnote2.m7.3.3" xref="footnote2.m7.3.3.cmml"><mrow id="footnote2.m7.3.3.3" xref="footnote2.m7.3.3.3.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.3c" xref="footnote2.m7.3.3.3.cmml">−</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.cmml"><mfrac id="footnote2.m7.3.3.3.2.2" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.2" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.1" rspace="0em" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msub id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.2" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.1" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.3" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="footnote2.m7.3.3.3.2.1" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m7.3.3.3.2.3" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.3.cmml">W</mi><mo id="footnote2.m7.3.3.3.2.1c" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.3.2.4.2" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="footnote2.m7.1.1" xref="footnote2.m7.1.1.cmml">𝐑</mi><mo id="footnote2.m7.3.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="footnote2.m7.3.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.cmml"><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.1.3c" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.cmml">−</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.cmml"><mfrac id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.1" rspace="0em" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msub id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.3.cmml">V</mi><mo id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.1c" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.4.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="footnote2.m7.2.2" xref="footnote2.m7.2.2.cmml">𝐑</mi><mo id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="footnote2.m7.3.3.1.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.2.cmml">−</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.cmml"><msub id="footnote2.m7.3.3.1.1.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="footnote2.m7.3.3.1.1.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="footnote2.m7.3.3.1.1.3.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="footnote2.m7.3.3.1.1.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><msub id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac><mo id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℛ</mi><mi id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m7.3d"><apply id="footnote2.m7.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3"><eq id="footnote2.m7.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.2"></eq><apply id="footnote2.m7.3.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3"><minus id="footnote2.m7.3.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3"></minus><apply id="footnote2.m7.3.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2"><times id="footnote2.m7.3.3.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.1"></times><apply id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2"><divide id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2"></divide><partialdiff id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.2"></partialdiff><apply id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3"><partialdiff id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.2">𝑅</ci><apply id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3"><times id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.2.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="footnote2.m7.3.3.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.3.2.3">𝑊</ci><ci id="footnote2.m7.1.1.cmml" xref="footnote2.m7.1.1">𝐑</ci></apply></apply><apply id="footnote2.m7.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1"><minus id="footnote2.m7.3.3.1.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.2"></minus><apply id="footnote2.m7.3.3.1.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3"><minus id="footnote2.m7.3.3.1.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3"></minus><apply id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2"><times id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.1"></times><apply id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2"><divide id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2"></divide><partialdiff id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.2"></partialdiff><apply id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3"><partialdiff id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.2">𝑅</ci><apply id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3"><times id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.2.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="footnote2.m7.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.3.2.3">𝑉</ci><ci id="footnote2.m7.2.2.cmml" xref="footnote2.m7.2.2">𝐑</ci></apply></apply><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1"><times id="footnote2.m7.3.3.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.2"></times><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m7.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.3.3">𝑒</ci></apply><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1"><minus id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2">ℛ</ci><ci id="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="footnote2.m7.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m7.3e">-\frac{\partial}{\partial R_{in}}W(\mathbf{R})=-\frac{\partial}{\partial R_{in% }}V(\mathbf{R})-k_{e}\big{(}R_{in}-\frac{1}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}_{i}\big% {)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m7.3f">- divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_W ( bold_R ) = - divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_V ( bold_R ) - italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG caligraphic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Note that for the case of a neutral atom (<math alttext="Z_{n}=Z_{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m8.1"><semantics id="footnote2.m8.1c"><mrow id="footnote2.m8.1.1" xref="footnote2.m8.1.1.cmml"><msub id="footnote2.m8.1.1.2" xref="footnote2.m8.1.1.2.cmml"><mi id="footnote2.m8.1.1.2.2" xref="footnote2.m8.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m8.1.1.2.3" xref="footnote2.m8.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="footnote2.m8.1.1.1" xref="footnote2.m8.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="footnote2.m8.1.1.3" xref="footnote2.m8.1.1.3.cmml"><mi id="footnote2.m8.1.1.3.2" xref="footnote2.m8.1.1.3.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m8.1.1.3.3" xref="footnote2.m8.1.1.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m8.1d"><apply id="footnote2.m8.1.1.cmml" xref="footnote2.m8.1.1"><eq id="footnote2.m8.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.1"></eq><apply id="footnote2.m8.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m8.1.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m8.1.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m8.1.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="footnote2.m8.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m8.1.1.3.1.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m8.1.1.3.2.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m8.1.1.3.3.cmml" xref="footnote2.m8.1.1.3.3">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m8.1e">Z_{n}=Z_{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m8.1f">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="N_{\mathrm{n}}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m9.1"><semantics id="footnote2.m9.1c"><mrow id="footnote2.m9.1.1" xref="footnote2.m9.1.1.cmml"><msub id="footnote2.m9.1.1.2" xref="footnote2.m9.1.1.2.cmml"><mi id="footnote2.m9.1.1.2.2" xref="footnote2.m9.1.1.2.2.cmml">N</mi><mi id="footnote2.m9.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="footnote2.m9.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="footnote2.m9.1.1.1" xref="footnote2.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="footnote2.m9.1.1.3" xref="footnote2.m9.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m9.1d"><apply id="footnote2.m9.1.1.cmml" xref="footnote2.m9.1.1"><eq id="footnote2.m9.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m9.1.1.1"></eq><apply id="footnote2.m9.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m9.1.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m9.1.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m9.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="footnote2.m9.1.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m9.1.1.2.3">n</ci></apply><cn id="footnote2.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="footnote2.m9.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m9.1e">N_{\mathrm{n}}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m9.1f">italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>) the nuclear motion correctly decouples from the cavity for (sc) and (D) because <math alttext="Z_{n}^{\prime}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m10.1"><semantics id="footnote2.m10.1c"><mrow id="footnote2.m10.1.1" xref="footnote2.m10.1.1.cmml"><msubsup id="footnote2.m10.1.1.2" xref="footnote2.m10.1.1.2.cmml"><mi id="footnote2.m10.1.1.2.2.2" xref="footnote2.m10.1.1.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="footnote2.m10.1.1.2.2.3" xref="footnote2.m10.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="footnote2.m10.1.1.2.3" xref="footnote2.m10.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="footnote2.m10.1.1.1" xref="footnote2.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="footnote2.m10.1.1.3" xref="footnote2.m10.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m10.1d"><apply id="footnote2.m10.1.1.cmml" xref="footnote2.m10.1.1"><eq id="footnote2.m10.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m10.1.1.1"></eq><apply id="footnote2.m10.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m10.1.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m10.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="footnote2.m10.1.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m10.1.1.2.2.1.cmml" xref="footnote2.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="footnote2.m10.1.1.2.2.2.cmml" xref="footnote2.m10.1.1.2.2.2">𝑍</ci><ci id="footnote2.m10.1.1.2.2.3.cmml" xref="footnote2.m10.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="footnote2.m10.1.1.2.3.cmml" xref="footnote2.m10.1.1.2.3">′</ci></apply><cn id="footnote2.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="footnote2.m10.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m10.1e">Z_{n}^{\prime}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m10.1f">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> . </span></span></span></figcaption><div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"><span class="ltx_ERROR ltx_figure_panel undefined" id="S3.SS3.25.26">{tblr}</span></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <p class="ltx_p ltx_figure_panel" id="S3.SS3.15.15">lllll Level <math alttext="\braket{\hat{r}_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.1.1.m1.1c">\braket{\hat{r}_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.1.1.m1.1d">⟨ start_ARG over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> <math alttext="\braket{\hat{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.3.1">expectation</csymbol><apply id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1"><ci id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.2.m2.1.1.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.2.m2.1c">\braket{\hat{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.2.m2.1d">⟨ start_ARG over^ start_ARG italic_x end_ARG end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> <math alttext="E_{\perp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.3.3.m3.1a"><msub id="S3.SS3.3.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.3.3.m3.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="S3.SS3.3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.3.3.m3.1.1.3.cmml">⟂</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.3.3.m3.1.1.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.3.3.m3.1.1.3">perpendicular-to</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.3.3.m3.1c">E_{\perp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.3.3.m3.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> Equation of motion <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS3.15.15.1">sc</span> <math alttext="\begin{aligned} \textstyle\frac{1}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}_{i}-\frac{Z_{e}}% {N_{\mathrm{n}}k_{e}}E_{\perp}^{\mathrm{sc}}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.4.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.4.4.m4.1a"><mtable id="S3.SS3.4.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.cmml"><mtr id="S3.SS3.4.4.m4.1.1a" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.4.4.m4.1.1b" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><msub id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac><mo id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ℛ</mi><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mrow id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">E</mi><mo id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">⟂</mo><mi id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">sc</mi></msubsup></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.4.4.m4.1b"><matrix id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.4.4.m4.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1"><apply id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><apply id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2">ℛ</ci><ci id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS3.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" 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xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo 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maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow><msub id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℛ</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.5.5.m5.1b"><matrix id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.5.5.m5.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1"><cerror id="S3.SS3.5.5.m5.1.1b.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.5.5.m5.1.1c.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" 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xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><msubsup id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2.cmml">E</mi><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3.cmml">⟂</mo><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">sc</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.SS3.7.7.m7.1.1d" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1e" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.3.cmml">β</mi></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1f" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2a" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml"><msup id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.3.cmml">β</mi><mn id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.1a" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><msup id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.1a" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.2" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.2.cmml">X</mi><mo id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.3" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.7.7.m7.1b"><matrix id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1"><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1"><times id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.1"></times><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.2"><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.2.1">¨</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.3"><times id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.2.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1"><eq id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4"><plus id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.1"></plus><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.2"><minus id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.2"></minus><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1">𝐑</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3">perpendicular-to</csymbol></apply><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.1.1.1.4.3.3.3">sc</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.SS3.7.7.m7.1.1b.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1"><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2"><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.1">¨</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.1.1.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1"><eq id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3"><plus id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.1"></plus><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2"><minus id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2"></minus><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2"><times id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.1"></times><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.2.2.4.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3"><times id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.1"></times><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.3.cmml" xref="S3.SS3.7.7.m7.1.1.2.2.1.3.3.4.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.7.7.m7.1c">\begin{aligned} \textstyle M_{n}\ddot{R}_{in}&=\textstyle-\frac{\partial W(% \mathbf{R})}{\partial R_{in}}+Z_{n}^{\prime}E_{\perp}^{\mathrm{sc}}\\ \ddot{q}_{\beta}&=-\gamma^{2}\omega_{\beta}^{2}q_{\beta}+\gamma^{2}\omega_{% \beta}X^{\prime}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.7.7.m7.1d">start_ROW start_CELL italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL = - 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alttext="\begin{aligned} \textstyle\frac{1}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}_{i}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.8.8.m8.1"><semantics id="S3.SS3.8.8.m8.1a"><mtable id="S3.SS3.8.8.m8.1.1" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.cmml"><mtr id="S3.SS3.8.8.m8.1.1a" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.8.8.m8.1.1b" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac><mo id="S3.SS3.8.8.m8.1.1.1.1.1.1" 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id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow><msub id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac><mo id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ℛ</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.9.9.m9.1b"><matrix id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.9.9.m9.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1"><apply id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.2.3.3">n</ci></apply></apply><ci id="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.3">ℛ</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.9.9.m9.1c">\begin{aligned} \textstyle-\frac{Z_{e}\lambda}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.9.9.m9.1d">start_ROW start_CELL - divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG caligraphic_R end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math> <math alttext="\begin{aligned} \textstyle\lambda\big{(}\omega_{\beta}q_{\beta}-X^{\prime}\big% {)}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.10.10.m10.1"><semantics id="S3.SS3.10.10.m10.1a"><mtable id="S3.SS3.10.10.m10.1.1" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.cmml"><mtr id="S3.SS3.10.10.m10.1.1a" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.10.10.m10.1.1b" 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id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mo id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml 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id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.10.10.m10.1c">\begin{aligned} \textstyle\lambda\big{(}\omega_{\beta}q_{\beta}-X^{\prime}\big% {)}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.10.10.m10.1d">start_ROW start_CELL italic_λ ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT - italic_X start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math> <math alttext="\begin{aligned} \textstyle M_{n}\ddot{R}_{in}&=\textstyle-\frac{\partial W(% \mathbf{R})}{\partial R_{in}}+Z_{n}E_{\perp}^{\mathrm{be}}\\ \textstyle\ddot{q}_{\beta}&=-\omega_{\beta}^{2}q_{\beta}+\omega_{\beta}X^{% \prime}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.11.11.m11.1"><semantics id="S3.SS3.11.11.m11.1a"><mtable columnspacing="0pt" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.cmml"><mtr id="S3.SS3.11.11.m11.1.1a" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1b" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1c" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2a" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2.cmml">−</mo><mfrac id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝐑</mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><msub id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2.cmml">E</mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3.cmml">⟂</mo><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">be</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.SS3.11.11.m11.1.1d" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1e" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.3.cmml">β</mi></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1f" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2a" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml"><msubsup id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.3.cmml">β</mi><mn id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><msub id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.2" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml">X</mi><mo id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.3" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.11.11.m11.1b"><matrix id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1"><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1"><times id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.1"></times><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2"><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.1">¨</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3"><times id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.2.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1"><eq id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4"><plus id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.1"></plus><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2"><minus id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2"></minus><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1">𝐑</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3">perpendicular-to</csymbol></apply><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.3.3.3">be</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.SS3.11.11.m11.1.1b.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1"><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2"><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.1">¨</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.1.1.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1"><eq id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3"><plus id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.1"></plus><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2"><minus id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2"></minus><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2"><times id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.1"></times><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3"><times id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.1"></times><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.11.11.m11.1.1.2.2.1.3.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.11.11.m11.1c">\begin{aligned} \textstyle M_{n}\ddot{R}_{in}&=\textstyle-\frac{\partial W(% \mathbf{R})}{\partial R_{in}}+Z_{n}E_{\perp}^{\mathrm{be}}\\ \textstyle\ddot{q}_{\beta}&=-\omega_{\beta}^{2}q_{\beta}+\omega_{\beta}X^{% \prime}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.11.11.m11.1d">start_ROW start_CELL italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL = - divide start_ARG ∂ italic_W ( bold_R ) end_ARG start_ARG ∂ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_be end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over¨ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL = - italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT + italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS3.15.15.3">D</span> <math alttext="\begin{aligned} \textstyle\frac{1}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}_{i}-\frac{Z_{e}}% {N_{\mathrm{n}}k_{e}}E_{\perp}^{\mathrm{D}}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.12.12.m12.1"><semantics id="S3.SS3.12.12.m12.1a"><mtable id="S3.SS3.12.12.m12.1.1" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.cmml"><mtr id="S3.SS3.12.12.m12.1.1a" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1b" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><msub id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac><mo id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ℛ</mi><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mrow id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">E</mi><mo id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">⟂</mo><mi id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">D</mi></msubsup></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.12.12.m12.1b"><matrix id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.12.12.m12.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1"><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.2">ℛ</ci><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">n</ci></apply><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.2.3">perpendicular-to</csymbol></apply><ci id="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.3.3">D</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.12.12.m12.1c">\begin{aligned} \textstyle\frac{1}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}_{i}-\frac{Z_{e}}% {N_{\mathrm{n}}k_{e}}E_{\perp}^{\mathrm{D}}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.12.12.m12.1d">start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG caligraphic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_D end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math> <math alttext="\begin{aligned} \textstyle\frac{1-\gamma^{2}}{\gamma^{2}}\omega_{\beta}q_{% \beta}-\frac{Z_{e}\lambda}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.13.13.m13.1"><semantics id="S3.SS3.13.13.m13.1a"><mtable id="S3.SS3.13.13.m13.1.1" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.cmml"><mtr id="S3.SS3.13.13.m13.1.1a" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.13.13.m13.1.1b" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><msup id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msup id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow><msub id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac><mo id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℛ</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.13.13.m13.1b"><matrix id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.13.13.m13.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1"><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></minus><cn id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.2.4.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.3.3">n</ci></apply></apply><ci id="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.13.13.m13.1.1.1.1.1.3.3">ℛ</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.13.13.m13.1c">\begin{aligned} \textstyle\frac{1-\gamma^{2}}{\gamma^{2}}\omega_{\beta}q_{% \beta}-\frac{Z_{e}\lambda}{N_{\mathrm{n}}}\mathcal{R}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.13.13.m13.1d">start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG caligraphic_R end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math> <math alttext="\begin{aligned} \textstyle\lambda\omega_{\beta}q_{\beta}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.14.14.m14.1"><semantics id="S3.SS3.14.14.m14.1a"><mtable id="S3.SS3.14.14.m14.1.1" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.cmml"><mtr id="S3.SS3.14.14.m14.1.1a" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.14.14.m14.1.1b" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.14.14.m14.1b"><matrix id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.14.14.m14.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1"><apply id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.14.14.m14.1.1.1.1.1.4.3">𝛽</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.14.14.m14.1c">\begin{aligned} \textstyle\lambda\omega_{\beta}q_{\beta}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.14.14.m14.1d">start_ROW start_CELL italic_λ italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math> <math alttext="\begin{aligned} M_{n}\ddot{R}^{\mathrm{D}}_{in}&=\textstyle-\frac{\partial W(% \mathbf{R})}{\partial R_{in}}+Z_{n}^{\prime}E_{\perp}^{\mathrm{D}}\\ \ddot{q}_{\beta}&=\textstyle-\frac{2\gamma^{2}-1}{\gamma^{2}}\omega_{\beta}^{2% }q_{\beta}+\omega_{\beta}X^{\prime}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.15.15.m15.1"><semantics id="S3.SS3.15.15.m15.1a"><mtable columnspacing="0pt" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.cmml"><mtr id="S3.SS3.15.15.m15.1.1a" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1b" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml">D</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1c" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.2a" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.2.cmml">−</mo><mfrac id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝐑</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><msubsup id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2.cmml">E</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3.cmml">⟂</mo><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">D</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.SS3.15.15.m15.1.1d" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1e" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.3.cmml">β</mi></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1f" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2a" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.3.cmml">β</mi><mn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.1a" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><msub id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.2" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml">X</mi><mo id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.3" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.15.15.m15.1b"><matrix id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1"><matrixrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1"><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1"><times id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.1"></times><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2"><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.1">¨</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.2.2">𝑅</ci></apply><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.2.3">D</ci></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3"><times id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.2.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1"><eq id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4"><plus id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.1"></plus><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.2"><minus id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.2"></minus><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.1">𝐑</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.2.3">perpendicular-to</csymbol></apply><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.3.3">D</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.SS3.15.15.m15.1.1b.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1"><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2"><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.1">¨</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.1.1.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1"><eq id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3"><plus id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.1"></plus><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2"><minus id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2"></minus><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2"><times id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.1"></times><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2"><divide id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2"></divide><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2"><minus id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2"><times id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.1"></times><cn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.2">2</cn><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.2.2.4.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3"><times id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.1"></times><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.15.15.m15.1.1.2.2.1.3.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.15.15.m15.1c">\begin{aligned} M_{n}\ddot{R}^{\mathrm{D}}_{in}&=\textstyle-\frac{\partial W(% \mathbf{R})}{\partial R_{in}}+Z_{n}^{\prime}E_{\perp}^{\mathrm{D}}\\ \ddot{q}_{\beta}&=\textstyle-\frac{2\gamma^{2}-1}{\gamma^{2}}\omega_{\beta}^{2% }q_{\beta}+\omega_{\beta}X^{\prime}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.15.15.m15.1d">start_ROW start_CELL italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_D end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL = - divide start_ARG ∂ italic_W ( bold_R ) end_ARG start_ARG ∂ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_D end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over¨ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL = - divide start_ARG 2 italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT + italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_table ltx_figure_panel" id="S3.SS3.25.25"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 2: </span>Comparison of the dressed single-molecule (local) polarizabilities <math alttext="\tilde{\alpha}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.18.18.3.m1.1"><semantics id="S3.SS3.18.18.3.m1.1b"><msub id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.18.18.3.m1.1c"><apply id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.18.18.3.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.18.18.3.m1.1d">\tilde{\alpha}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.18.18.3.m1.1e">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the detuning of the cavity frequency <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.19.19.4.m2.1"><semantics id="S3.SS3.19.19.4.m2.1b"><msub id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.1" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.19.19.4.m2.1c"><apply id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2"><ci id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.19.19.4.m2.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.19.19.4.m2.1d">\tilde{\omega}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.19.19.4.m2.1e">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the self-consistent (sc) reference setup with respect to the displacement field-only (D) and the bare electron (be) approximation. </figcaption><div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"><span class="ltx_ERROR ltx_figure_panel undefined" id="S3.SS3.25.25.11">{tblr}</span></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <p class="ltx_p ltx_figure_panel" id="S3.SS3.25.25.10">lll Level Local Polarizability Cavity Mode Frequency <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS3.25.25.10.1">sc</span> <math alttext="\tilde{\alpha}_{i}=\gamma^{2}(N,\lambda)\alpha_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2"><semantics id="S3.SS3.20.20.5.m1.2a"><mrow id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.1" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.3" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.1" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.cmml"><msup id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.3" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.1" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.20.20.5.m1.1.1" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.1a" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.2" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.2.cmml">α</mi><mi id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.3" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2b"><apply id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3"><eq id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.1"></eq><apply id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2"><ci id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3"><times id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.1"></times><apply id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.3.2"><ci id="S3.SS3.20.20.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.2">𝜆</ci></interval><apply id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.3.cmml" xref="S3.SS3.20.20.5.m1.2.3.3.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2c">\tilde{\alpha}_{i}=\gamma^{2}(N,\lambda)\alpha_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.20.20.5.m1.2d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}=\gamma(N,\lambda)\omega_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.21.21.6.m2.2"><semantics id="S3.SS3.21.21.6.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.cmml"><msub id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.2" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.1" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.3" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.1" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.1" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.2" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.21.21.6.m2.1.1" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.2" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.1a" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.2" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.3" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.21.21.6.m2.2b"><apply id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3"><eq id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.1"></eq><apply id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2"><ci id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3"><times id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.1"></times><ci id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.2">𝛾</ci><interval closure="open" id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.3.2"><ci id="S3.SS3.21.21.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.2">𝜆</ci></interval><apply id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.21.21.6.m2.2.3.3.4.3.cmml" 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id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.2"><ci id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.2.3">D</ci></apply><apply id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.24.24.9.m5.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.24.24.9.m5.1c">\tilde{\alpha}_{i}^{\mathrm{D}}=\alpha_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.24.24.9.m5.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_D end_POSTSUPERSCRIPT = italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}^{\mathrm{D}}=\sqrt{2-1/\gamma^{2}(N,\lambda)}\omega_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2"><semantics id="S3.SS3.25.25.10.m6.2a"><mrow id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.cmml"><msubsup id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.1" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.3" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.3.cmml">β</mi><mi id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.3.cmml">D</mi></msubsup><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.1" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.cmml"><msqrt id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.cmml"><mn id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.4" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.3" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.cmml"><mn id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.1" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.1.cmml">/</mo><msup id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.3" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.1" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.25.25.10.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.2.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msqrt><mo id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.1" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.2" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.3" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2b"><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3"><eq id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.1"></eq><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2"><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.2.3">D</ci></apply><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3"><times id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.1"></times><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2"><root id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2a.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2"></root><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2"><minus id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.3"></minus><cn id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.4">2</cn><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5"><times id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.1"></times><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2"><divide id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.1"></divide><cn id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.2">1</cn><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.2.3.3">2</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.5.3.2"><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.1.1.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.2.2.2">𝜆</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.25.25.10.m6.2.3.3.2.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2c">\tilde{\omega}_{\beta}^{\mathrm{D}}=\sqrt{2-1/\gamma^{2}(N,\lambda)}\omega_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.25.25.10.m6.2d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_D end_POSTSUPERSCRIPT = square-root start_ARG 2 - 1 / italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) end_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <section class="ltx_subsection ltx_figure_panel" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">III.4 </span>Common Approximations</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.3">Next we want to compare our self-consistent results with two common approximations that are used to simplify the dressed electronic-structure problem for VSC. The first approximation is to disregard any modification of the electronic structure and instead only consider the bare (uncoupled) electronic structure problem. We denote this approximation in the following as <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS4.p1.3.1">bare electronic (be)</span> approximation. In the literature this approximation is sometimes also called the “<math alttext="\mu^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p1.1.m1.1a"><msup id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.1.m1.1c">\mu^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.1.m1.1d">italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>” approximation where <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> labels the sum over the electronic and nuclear dipole moments.<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib60" title="">60</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib61" title="">61</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib57" title="">57</a>]</cite> Looking at the corresponding equation of motion for the nuclear and displacement field dynamics in <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#footnote2" title="footnote 2 ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">footnote 2</span></a>, we immediately notice that non-physical effects emerge. For instance, the bare electronic approximation leads to a spurious coupling of neutral atoms to the cavity within the dipole approximation. That is, the atomic nuclei couple via their nuclear charge <math alttext="Z_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.3.m3.1c">Z_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.3.m3.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to the field since the screening of the nuclear charge via the effective electron is missing. Furthermore, the bare electronic approximation can neither account for the experimentally observed cavity mode renormalization (red-shift) nor for any (self-consistent) change of the molecular polarizabilities (see <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS3" title="III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">subsection III.3</span></a> for details). Notice that any further simplified model will also lack these fundamental features, e.g., the Tavis-Cummings model that disregards the electronic structure entirely under VSC.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.5">A second common approximation is to discard the quadratic dipole self-interaction terms in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E3" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) for the electrons and nuclei. However, in contrast to the bare electronic approximation, one keeps the coupling to the displacement field <math alttext="-\omega_{\beta}\hat{q}_{\beta}(\hat{X}+\hat{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1a" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2a" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1"><minus id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1"></minus><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1"><times id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2"><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.4.3">𝛽</ci></apply><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci></apply><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.1.m1.1c">-\omega_{\beta}\hat{q}_{\beta}(\hat{X}+\hat{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.1.m1.1d">- italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_X end_ARG + over^ start_ARG italic_x end_ARG )</annotation></semantics></math>. The resulting electronic structure problem cannot account for cavity-mediated polarizations according to Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E17" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>). This simplification we denote as <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS4.p2.5.1">displacement-field coupling (D)</span> approximation. It is commonly employed, e.g., for the coupling of the bare nuclear Tavis-Cummings model. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib36" title="">36</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> Disregarding the dipole self-energy term for the nuclei and electrons as shown in <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#footnote2" title="footnote 2 ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">footnote 2</span></a> is at least consistent with the exact dynamics of Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E47" title="In III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">47</span></a>) in the trivial case of an ensemble of neutral atoms. Furthermore, on a first glance the cavity-mode renormalization <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p2.2.m2.1a"><msubsup id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">β</mi><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.cmml">D</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2"><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3">D</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.2.m2.1c">\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_D end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (red shift) appears similar to the reference calculations (sc), at least for small collective couplings, i.e., for <math alttext="\gamma^{2}\approx 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.1.cmml">≈</mo><mn id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1"><approx id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.1"></approx><apply id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.3.m3.1c">\gamma^{2}\approx 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.3.m3.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≈ 1</annotation></semantics></math>. However, as we will see later, when looking at CO<sub class="ltx_sub" id="S3.SS4.p2.5.2">2</sub> molecules, the displacement-field coupling approximation suggests a qualitatively erroneous scaling behavior with respect to the collective coupling strength. Furthermore, we note that the displacement-field coupling approach is only possible because we have a harmonic electronic model, since the binding potential for the effective electron becomes arbitrarily strong as we move away from the minimum. For realistic Coulombic interactions, which approach a finite value for <math alttext="|r_{i}|\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.2.cmml">→</mo><mi id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1"><ci id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.2">→</ci><apply id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1"><abs id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><infinity id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.5.m5.1c">|r_{i}|\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.5.m5.1d">| italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | → ∞</annotation></semantics></math>, such dipolar couplings are non-physical since no ground state exists in the basis-set limit <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib62" title="">62</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib63" title="">63</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib63" title="">63</a>]</cite>. Moreover, neglecting the dipole self-energy term does not yield any changes of the molecular polarizabilities, in contrast to the exact self-consistent solution. Thus, when neglecting the exact polarization of the electronic structure, non-physical effects might emerge and we lack any polarization mechanism that can affect the molecular ensemble under collective VSC.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span>Example CO<sub class="ltx_sub" id="S4.2.1">2</sub> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">IV.1 </span>Many CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS1.2.1">2</sub> molecules</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.6">As a concrete example we investigate an ensemble of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> one-dimensional CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS1.p1.6.1">2</sub> molecules. It is a simple, linear and charge-neutral molecule, which possesses an infra-red active and infra-red inactive vibrational mode. Furthermore, CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS1.p1.6.2">2</sub> under VSC has previously been studied ab-initio, using different levels of approximations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib64" title="">64</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib61" title="">61</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib65" title="">65</a>]</cite>. However, so far, the dressed electronic structure of molecular ensembles has not be solved self-consistently. We first write the equation of motions for a system of one-dimensional CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS1.p1.6.3">2</sub> molecules inside a cavity with respect to its bare eigenmode coordinates <math alttext="(\bm{\rho}_{\rm t},\bm{\rho}_{\rm s},\bm{\rho}_{\rm a})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.5.m5.3"><semantics id="S4.SS1.p1.5.m5.3a"><mrow id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.4.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">𝝆</mi><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.5" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml">𝝆</mi><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.6" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.2.cmml">𝝆</mi><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.5.m5.3b"><vector id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3"><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.2">𝝆</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.3">t</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.2">𝝆</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.3">s</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.2">𝝆</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.3.3.3.3.3">a</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.5.m5.3c">(\bm{\rho}_{\rm t},\bm{\rho}_{\rm s},\bm{\rho}_{\rm a})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.5.m5.3d">( bold_italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_t end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_s end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> (given in <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A2" title="Appendix B Uncoupled CO2 Molecule ‣ V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Appendix B</span></a>) using Eqs. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E40" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E47" title="In III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">47</span></a>). For this purpose we determine the self-consistent transverse electric field in terms of <math alttext="(\bm{\rho}_{a},q_{\beta})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.6.m6.2"><semantics id="S4.SS1.p1.6.m6.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">𝝆</mi><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.6.m6.2b"><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.2">𝝆</ci><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.2.2.3">𝛽</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.6.m6.2c">(\bm{\rho}_{a},q_{\beta})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.6.m6.2d">( bold_italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. We do so by using Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E18" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) in conjunction with Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E17" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>), such that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx22"> <tbody id="S4.E48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle E_{\perp}=\lambda\gamma^{2}\left(\omega_{\beta}q_{\beta}+\lambda% \epsilon_{\rm a}\rho_{\rm a}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E48.m1.1"><semantics id="S4.E48.m1.1a"><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">⟂</mo></msub><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">q</mi><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" mathvariant="normal" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">a</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E48.m1.1b"><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1"><eq id="S4.E48.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.3">perpendicular-to</csymbol></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝛾</ci><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜔</ci><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">a</ci></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝜌</ci><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">a</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E48.m1.1c">\displaystyle E_{\perp}=\lambda\gamma^{2}\left(\omega_{\beta}q_{\beta}+\lambda% \epsilon_{\rm a}\rho_{\rm a}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E48.m1.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(48)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.7">where the collective asymmetric vibrational mode is defined as <math alttext="\rho_{\rm a}=\sum_{i=1}^{N}\rho_{{\rm a},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.7.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p1.7.m1.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.1" rspace="0.111em" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.3" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.3.cmml">N</mi></msubsup><msub id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.7.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.7.m1.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.7.m1.2b"><apply id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3"><eq id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.1"></eq><apply id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.2">𝜌</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.2.3">a</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3"><apply id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3"><eq id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.3.3.2.2">𝜌</ci><list id="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.SS1.p1.7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.1.1.1.1">a</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.7.m1.2c">\rho_{\rm a}=\sum_{i=1}^{N}\rho_{{\rm a},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.7.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx23"> <tbody id="S4.E49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\epsilon_{a}=\frac{\sqrt{2M}{\left(Z_{C}-Z_{O}\right)}}{3\,\sqrt{% M_{C}}\sqrt{M_{O}}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E49.m1.2"><semantics id="S4.E49.m1.2a"><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.cmml"><msub 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xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S4.E49.m1.1.1.3" xref="S4.E49.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E49.m1.1.1.3.2" xref="S4.E49.m1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S4.E49.m1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S4.E49.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.E49.m1.1.1.3.3" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.E49.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">M</mi><mi id="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">C</mi></msub></msqrt><mo id="S4.E49.m1.1.1.3.1a" xref="S4.E49.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.E49.m1.1.1.3.4" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4.cmml"><msub id="S4.E49.m1.1.1.3.4.2" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.2.cmml">M</mi><mi id="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.3.cmml">O</mi></msub></msqrt></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E49.m1.2b"><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1"><eq id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.E49.m1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1"><divide id="S4.E49.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1"></divide><apply id="S4.E49.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1"><times id="S4.E49.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E49.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.3"><root id="S4.E49.m1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.3"></root><apply id="S4.E49.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.3.2"><times id="S4.E49.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S4.E49.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E49.m1.1.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S4.E49.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.3.2.3">𝑀</ci></apply></apply><apply id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E49.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3"><times id="S4.E49.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.E49.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E49.m1.1.1.3.2">3</cn><apply id="S4.E49.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3"><root id="S4.E49.m1.1.1.3.3a.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3"></root><apply id="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.3.2.3">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S4.E49.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4"><root id="S4.E49.m1.1.1.3.4a.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4"></root><apply id="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.4.2.3">𝑂</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E49.m1.2c">\displaystyle\epsilon_{a}=\frac{\sqrt{2M}{\left(Z_{C}-Z_{O}\right)}}{3\,\sqrt{% M_{C}}\sqrt{M_{O}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E49.m1.2d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG square-root start_ARG 2 italic_M end_ARG ( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT - italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG 3 square-root start_ARG italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT end_ARG square-root start_ARG italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(49)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.11">We note that the results in this section are obtained for a system of neutral molecules, i.e., <math alttext="2Z_{O}+Z_{C}=Z_{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.8.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.8.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.3.cmml">C</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.2.cmml">Z</mi><mi id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.8.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1"><eq id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2"><plus id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2"><times id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.1"></times><cn id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.2">2</cn><apply id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.2">𝑍</ci><ci id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.2">𝑍</ci><ci id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.2.3.3">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m1.1.1.3.3">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.8.m1.1c">2Z_{O}+Z_{C}=Z_{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.8.m1.1d">2 italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT + italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. For the charged molecules, we would have deviations such as a contribution from the translational eigenmode to the transverse electric field of the form <math alttext="-\lambda^{2}\gamma^{2}\epsilon_{\rm t}\rho_{\rm t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.9.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.9.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1a" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.cmml"><msup id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.1a" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.2" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.1b" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.2" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.2.cmml">ρ</mi><mi id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.9.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1"><minus id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1"></minus><apply id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2"><times id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.2">𝛾</ci><cn id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.4.3">t</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.2">𝜌</ci><ci id="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m2.1.1.2.5.3">t</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.9.m2.1c">-\lambda^{2}\gamma^{2}\epsilon_{\rm t}\rho_{\rm t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.9.m2.1d">- italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT roman_t end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The equations of motion of the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.10.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.10.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p1.10.m3.1.1" xref="S4.SS1.p1.10.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.10.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.10.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.10.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS1.p1.11.1">2</sub> molecule under VSC in normal mode coordinates is then given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx24"> <tbody id="S4.E50"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm t},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E50.m1.2"><semantics id="S4.E50.m1.2a"><msub id="S4.E50.m1.2.3" xref="S4.E50.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E50.m1.2.3.2" xref="S4.E50.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E50.m1.2.3.2.2" xref="S4.E50.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E50.m1.2.3.2.1" xref="S4.E50.m1.2.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="S4.E50.m1.2.2.2.4" xref="S4.E50.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E50.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E50.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E50.m1.2.2.2.2" xref="S4.E50.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E50.m1.2b"><apply id="S4.E50.m1.2.3.cmml" xref="S4.E50.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.E50.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E50.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.3.2"><ci id="S4.E50.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E50.m1.2.3.2.1">¨</ci><ci id="S4.E50.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.3.2.2">𝜌</ci></apply><list id="S4.E50.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1">t</ci><ci id="S4.E50.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E50.m1.2c">\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm t},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E50.m1.2d">over¨ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_t , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E50.m2.1"><semantics id="S4.E50.m2.1a"><mrow id="S4.E50.m2.1.1.1" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E50.m2.1.1.1.1" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E50.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.E50.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E50.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E50.m2.1.1.1.2" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E50.m2.1b"><apply id="S4.E50.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m2.1.1.1"><eq id="S4.E50.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E50.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><cn id="S4.E50.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E50.m2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E50.m2.1c">\displaystyle=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E50.m2.1d">= 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(50)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm s},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E51.m1.2"><semantics id="S4.E51.m1.2a"><msub id="S4.E51.m1.2.3" xref="S4.E51.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E51.m1.2.3.2" xref="S4.E51.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E51.m1.2.3.2.2" xref="S4.E51.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E51.m1.2.3.2.1" xref="S4.E51.m1.2.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="S4.E51.m1.2.2.2.4" xref="S4.E51.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S4.E51.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E51.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E51.m1.2.2.2.2" xref="S4.E51.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E51.m1.2b"><apply id="S4.E51.m1.2.3.cmml" xref="S4.E51.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.E51.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E51.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.E51.m1.2.3.2"><ci id="S4.E51.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E51.m1.2.3.2.1">¨</ci><ci id="S4.E51.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E51.m1.2.3.2.2">𝜌</ci></apply><list id="S4.E51.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E51.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1">s</ci><ci id="S4.E51.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E51.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E51.m1.2c">\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm s},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E51.m1.2d">over¨ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_s , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-k_{\rm s}\rho_{{\rm s},i}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E51.m2.3"><semantics id="S4.E51.m2.3a"><mrow id="S4.E51.m2.3.3.1" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E51.m2.3.3.1.1" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E51.m2.3.3.1.1.2" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.E51.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3a" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.1" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S4.E51.m2.2.2.2.4" xref="S4.E51.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E51.m2.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.E51.m2.1.1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S4.E51.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.E51.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E51.m2.2.2.2.2" xref="S4.E51.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E51.m2.3.3.1.2" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E51.m2.3b"><apply id="S4.E51.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1"><eq id="S4.E51.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E51.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3"><minus id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3"></minus><apply id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2"><times id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.2.3">s</ci></apply><apply id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E51.m2.3.3.1.1.3.2.3.2">𝜌</ci><list id="S4.E51.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E51.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.E51.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m2.1.1.1.1">s</ci><ci id="S4.E51.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E51.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E51.m2.3c">\displaystyle=-k_{\rm s}\rho_{{\rm s},i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E51.m2.3d">= - italic_k start_POSTSUBSCRIPT roman_s end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_s , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(51)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm a},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E52.m1.2"><semantics id="S4.E52.m1.2a"><msub id="S4.E52.m1.2.3" xref="S4.E52.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E52.m1.2.3.2" xref="S4.E52.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E52.m1.2.3.2.2" xref="S4.E52.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E52.m1.2.3.2.1" xref="S4.E52.m1.2.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="S4.E52.m1.2.2.2.4" xref="S4.E52.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.E52.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E52.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E52.m1.2.2.2.2" 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ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-k_{\rm a}\rho_{{\rm a},i}-\left(\epsilon_{\rm a}\lambda\rho_{% \rm a}+\omega_{\beta}q_{\beta}\right)\epsilon_{\rm a}\gamma^{2}\lambda," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E52.m2.3"><semantics id="S4.E52.m2.3a"><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3a" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S4.E52.m2.2.2.2.4" xref="S4.E52.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E52.m2.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.E52.m2.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.E52.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.E52.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E52.m2.2.2.2.2" xref="S4.E52.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.2b" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.5" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.5.cmml">λ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E52.m2.3.3.1.2" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E52.m2.3b"><apply id="S4.E52.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1"><eq 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id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.2">𝜌</ci><list id="S4.E52.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E52.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.E52.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m2.1.1.1.1">a</ci><ci id="S4.E52.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E52.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply 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xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">a</ci></apply><apply id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.2">𝛾</ci><cn id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply><ci id="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E52.m2.3.3.1.1.1.1.5">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E52.m2.3c">\displaystyle=-k_{\rm a}\rho_{{\rm a},i}-\left(\epsilon_{\rm a}\lambda\rho_{% \rm a}+\omega_{\beta}q_{\beta}\right)\epsilon_{\rm a}\gamma^{2}\lambda,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E52.m2.3d">= - italic_k start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a , italic_i end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT italic_λ italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT + italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(52)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{q}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E53.m1.1"><semantics id="S4.E53.m1.1a"><msub id="S4.E53.m1.1.1" xref="S4.E53.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E53.m1.1.1.2" xref="S4.E53.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E53.m1.1.1.2.2" xref="S4.E53.m1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S4.E53.m1.1.1.2.1" xref="S4.E53.m1.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mi id="S4.E53.m1.1.1.3" xref="S4.E53.m1.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E53.m1.1b"><apply id="S4.E53.m1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E53.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.2"><ci id="S4.E53.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.2.1">¨</ci><ci id="S4.E53.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S4.E53.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E53.m1.1c">\displaystyle\ddot{q}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E53.m1.1d">over¨ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\gamma^{2}\omega_{\beta}\epsilon_{\rm a}\lambda\rho_{\rm a}-% \underbrace{\omega_{\beta}^{2}\gamma^{2}}_{=\tilde{\omega}^{2}_{\beta}}q_{% \beta}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E53.m2.1"><semantics id="S4.E53.m2.1a"><mrow id="S4.E53.m2.1.1.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E53.m2.1.1.1.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2" 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id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1b" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.5" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.5.cmml">λ</mi><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1c" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.cmml"><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.2.cmml">ρ</mi><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.3" mathvariant="normal" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.3.cmml">a</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><munder id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml">β</mi><mn id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⏟</mo></munder><mrow id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><msubsup id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">β</mi><mn id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></munder><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E53.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E53.m2.1b"><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1"><eq id="S4.E53.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2"><minus id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3">a</ci></apply><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.5.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.5">𝜆</ci><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.2">𝜌</ci><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.2.2.6.3">a</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2"><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.1">⏟</ci><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2"><times id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1"></times><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2">𝜔</ci><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2">𝛾</ci><cn id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3"><eq id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.2">absent</csymbol><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2"><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E53.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E53.m2.1c">\displaystyle=-\gamma^{2}\omega_{\beta}\epsilon_{\rm a}\lambda\rho_{\rm a}-% \underbrace{\omega_{\beta}^{2}\gamma^{2}}_{=\tilde{\omega}^{2}_{\beta}}q_{% \beta}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E53.m2.1d">= - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT italic_λ italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT - under⏟ start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_POSTSUBSCRIPT = over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(53)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.12">These equations provide valuable insights even without propagating them. We first note that only the asymmetric mode <math alttext="\rho_{{\rm a},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.12.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p1.12.m1.2a"><msub id="S4.SS1.p1.12.m1.2.3" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.12.m1.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.12.m1.2b"><apply id="S4.SS1.p1.12.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.12.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.3.2">𝜌</ci><list id="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.SS1.p1.12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m1.1.1.1.1">a</ci><ci id="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.12.m1.2c">\rho_{{\rm a},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.12.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> couples to the cavity. This may not seem surprising at first sight, since it is well established that symmetric stretch modes are not infra-red active in linear spectroscopy, which can be shown with perturbative theoretical arguments. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib66" title="">66</a>]</cite> However, as we have seen for the polarizabilities under collective strong coupling, a perturbative picture may be misleading and thus a priori it is not clear why the symmetric and translational modes should not couple to the cavity as well for our self-consistently solved harmonic model. The sole coupling of the asymmetric mode becomes only evident from Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.E51" title="In IV.1 Many CO2 molecules ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">51</span></a>). For real (anharmonic) molecules with complex electronic structures, small corrections seem possible. That is, also other modes could self-consistently couple to the cavity. This is clearly an interesting question for future investigations.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.3">In the following discussion, we can safely ignore the uncoupled translational and symmetric modes. If we look at the single-molecule Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.E52" title="In IV.1 Many CO2 molecules ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">52</span></a>), the collective motion acts similar to an external force. Thus we find a feedback effect from the collective on the single-molecule vibrational motion. The corresponding equation of motion of the collective asymmetric normal mode is then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx25"> <tbody id="S4.E54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm a}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E54.m1.1"><semantics id="S4.E54.m1.1a"><msub id="S4.E54.m1.1.1" xref="S4.E54.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E54.m1.1.1.2" xref="S4.E54.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.2.2" xref="S4.E54.m1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E54.m1.1.1.2.1" xref="S4.E54.m1.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mi id="S4.E54.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.E54.m1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E54.m1.1b"><apply id="S4.E54.m1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E54.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.2"><ci id="S4.E54.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.2.1">¨</ci><ci id="S4.E54.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><ci id="S4.E54.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.3">a</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E54.m1.1c">\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm a}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E54.m1.1d">over¨ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\underbrace{\left(k_{\rm a}+N\epsilon_{\rm a}^{2}\lambda^{2}% \gamma^{2}\right)}_{=\tilde{k}_{a}}\rho_{{\rm a}}-\frac{N\epsilon_{\rm a}% \lambda}{\omega_{\beta}}\tilde{\omega}^{2}_{\beta}q_{\beta}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E54.m2.2"><semantics id="S4.E54.m2.2a"><mrow id="S4.E54.m2.2.2.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E54.m2.2.2.1.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2a" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><munder id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E54.m2.1.1" xref="S4.E54.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E54.m2.1.1.1.1" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E54.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">a</mi><mn id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E54.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.E54.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E54.m2.1.1.2" xref="S4.E54.m2.1.1.2.cmml">⏟</mo></munder><mrow id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"></mi><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.2.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow></munder><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">ρ</mi><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2a" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.1a" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.4" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.2.4.cmml">λ</mi></mrow><msub id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">β</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.2.2.1" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">β</mi><mn id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.1a" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.4" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.4.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.4.2.cmml">q</mi><mi id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.4.3" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.4.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E54.m2.2.2.1.2" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E54.m2.2b"><apply id="S4.E54.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1"><eq id="S4.E54.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E54.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3"><minus id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2"><minus id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2"></minus><apply id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2"><times id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E54.m2.1.1.cmml" xref="S4.E54.m2.1.1"><ci id="S4.E54.m2.1.1.2.cmml" 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id="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.E54.m2.2.2.1.1.3.3.4.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E54.m2.2c">\displaystyle=-\underbrace{\left(k_{\rm a}+N\epsilon_{\rm a}^{2}\lambda^{2}% \gamma^{2}\right)}_{=\tilde{k}_{a}}\rho_{{\rm a}}-\frac{N\epsilon_{\rm a}% \lambda}{\omega_{\beta}}\tilde{\omega}^{2}_{\beta}q_{\beta},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E54.m2.2d">= - under⏟ start_ARG ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT + italic_N italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_POSTSUBSCRIPT = over~ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG italic_N italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_ARG start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(54)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.2">Here we see a change in the collective force constant <math alttext="k_{a}\rightarrow\tilde{k}_{a}=\left(k_{a}+N\epsilon_{\rm a}^{2}\lambda^{2}% \gamma^{2}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.4.cmml">→</mo><msub id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.6" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">a</mi><mn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1"><and id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1a.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1"></and><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1b.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1"><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.4">→</ci><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2"><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.2.2">𝑘</ci></apply><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1c.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.SS1.p2.1.m1.1.1.5.cmml" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1d.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1"></share><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><plus id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">a</ci></apply><cn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝜆</ci><cn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.2">𝛾</ci><cn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">k_{a}\rightarrow\tilde{k}_{a}=\left(k_{a}+N\epsilon_{\rm a}^{2}\lambda^{2}% \gamma^{2}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT → over~ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT + italic_N italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> of the collective infrared mode <math alttext="\rho_{\rm a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">ρ</mi><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3">a</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.1c">\rho_{\rm a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. That is, besides the red shift of the cavity mode we find an accompanying stiffening of the collective vibrational mode.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.3">Finally, we simulate the nuclear dynamics of an ensemble of CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS1.p3.3.1">2</sub> molecules having the cavity tuned on resonance with the infra-red active vibrational mode (see <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.F2" title="Figure 2 ‣ IV.1 Many CO2 molecules ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure 2</span></a>). The simulations are performed in Cartesian coordinates, which is an excellent consistency check for the normal mode discussion as well to verify the analytic results of the cavity renormalization. The simulations rely on the analytic forces given by Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E47" title="In III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">47</span></a>) together with a thermostat (described in detail in <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A3" title="Appendix C Numerical Details ‣ V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Appendix C</span></a>). This allows for a highly efficient implementation, since there is no need anymore to solve the electronic-structure problem numerically. The vibrational spectra can be determined locally (green) and collectively (blue) by evaluating the corresponding dipole fluctuations using standard techniques from molecular dynamics (see e.g. Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citenum"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib28" title="">28</a></cite>). Besides confirming the analytic red-shift of the cavity frequency <math alttext="\omega_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p3.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.2.m2.1c">\omega_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.2.m2.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we observe a Rabi split in both collective as well as local dipole moments. However, the local polaritons in the harmonic CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS1.p3.3.2">2</sub> system vanish when increasing the number of molecules, while keeping the collective Rabi-splitting fixed (green arrows). This we also anticipate analytically in the local normal mode picture of Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.E52" title="In IV.1 Many CO2 molecules ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">52</span></a>) when applying the Tavis-Cummings scaling argument given in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E30" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>). Thus, the vibrational modes seem locally unaffected by the cavity in the harmonic model, despite having modified polarizabilities. It seems that a more complex electronic/nuclear structure is required (i.e., anharmonic) to obtain such (small, but finite) effects on the nuclear dynamics. For example, see the numerical discussion of an ensemble of Shin-Metiu molecules in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citenum"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib28" title="">28</a></cite> that allows for a non-vanishing polarization pattern under collective VSC (polarization glass).</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="209" id="S4.F2.g1" src="x2.png" width="335"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Molecular-dynamics simulation for one-dimensional and harmonic CO<sub class="ltx_sub" id="S4.F2.16.1">2</sub> molecules with the cavity frequency tuned to the asymmetric vibration yields resonance spectrum with Rabi split in agreement to normal mode representation from <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4" title="IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">section IV</span></a>. Solid plots are C-O bond (grey), total dipole (blue) and local dipole (green) resonances calculated from molecular-dynamics autocorrelation functions; for details see appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A3" title="Appendix C Numerical Details ‣ V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C</span></a>. Vertical lines mark system dependent frequencies: symmetric vibration <math alttext="\sqrt{k_{s}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.9.m2.1"><semantics id="S4.F2.9.m2.1b"><msqrt id="S4.F2.9.m2.1.1" xref="S4.F2.9.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.F2.9.m2.1.1.2" xref="S4.F2.9.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F2.9.m2.1.1.2.2" xref="S4.F2.9.m2.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.F2.9.m2.1.1.2.3" xref="S4.F2.9.m2.1.1.2.3.cmml">s</mi></msub></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.9.m2.1c"><apply id="S4.F2.9.m2.1.1.cmml" xref="S4.F2.9.m2.1.1"><root id="S4.F2.9.m2.1.1a.cmml" xref="S4.F2.9.m2.1.1"></root><apply id="S4.F2.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.9.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.9.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F2.9.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.9.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F2.9.m2.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S4.F2.9.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F2.9.m2.1.1.2.3">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.9.m2.1d">\sqrt{k_{s}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.9.m2.1e">square-root start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, and asymmetric vibration <math alttext="\sqrt{k_{a}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.10.m3.1"><semantics id="S4.F2.10.m3.1b"><msqrt id="S4.F2.10.m3.1.1" xref="S4.F2.10.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.F2.10.m3.1.1.2" xref="S4.F2.10.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F2.10.m3.1.1.2.2" xref="S4.F2.10.m3.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.F2.10.m3.1.1.2.3" xref="S4.F2.10.m3.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.10.m3.1c"><apply id="S4.F2.10.m3.1.1.cmml" xref="S4.F2.10.m3.1.1"><root id="S4.F2.10.m3.1.1a.cmml" xref="S4.F2.10.m3.1.1"></root><apply id="S4.F2.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.10.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.10.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F2.10.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.10.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F2.10.m3.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S4.F2.10.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F2.10.m3.1.1.2.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.10.m3.1d">\sqrt{k_{a}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.10.m3.1e">square-root start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> (purple) and cavity <math alttext="\omega_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.11.m4.1"><semantics id="S4.F2.11.m4.1b"><msub id="S4.F2.11.m4.1.1" xref="S4.F2.11.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.11.m4.1.1.2" xref="S4.F2.11.m4.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.F2.11.m4.1.1.3" xref="S4.F2.11.m4.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.11.m4.1c"><apply id="S4.F2.11.m4.1.1.cmml" xref="S4.F2.11.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.11.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.11.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.11.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.11.m4.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.F2.11.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.11.m4.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.11.m4.1d">\omega_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.11.m4.1e">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (orange). While the bare system frequencies are dashed, renormalized frequencies due to coupling like <math alttext="\tilde{k}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.12.m5.1"><semantics id="S4.F2.12.m5.1b"><msub id="S4.F2.12.m5.1.1" xref="S4.F2.12.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F2.12.m5.1.1.2" xref="S4.F2.12.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F2.12.m5.1.1.2.2" xref="S4.F2.12.m5.1.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.F2.12.m5.1.1.2.1" xref="S4.F2.12.m5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.F2.12.m5.1.1.3" xref="S4.F2.12.m5.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.12.m5.1c"><apply id="S4.F2.12.m5.1.1.cmml" xref="S4.F2.12.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.12.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.12.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F2.12.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.12.m5.1.1.2"><ci id="S4.F2.12.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F2.12.m5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F2.12.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F2.12.m5.1.1.2.2">𝑘</ci></apply><ci id="S4.F2.12.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.12.m5.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.12.m5.1d">\tilde{k}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.12.m5.1e">over~ start_ARG italic_k end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.13.m6.1"><semantics id="S4.F2.13.m6.1b"><msub id="S4.F2.13.m6.1.1" xref="S4.F2.13.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F2.13.m6.1.1.2" xref="S4.F2.13.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F2.13.m6.1.1.2.2" xref="S4.F2.13.m6.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.F2.13.m6.1.1.2.1" xref="S4.F2.13.m6.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.F2.13.m6.1.1.3" xref="S4.F2.13.m6.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.13.m6.1c"><apply id="S4.F2.13.m6.1.1.cmml" xref="S4.F2.13.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.13.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.13.m6.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F2.13.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.13.m6.1.1.2"><ci id="S4.F2.13.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F2.13.m6.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F2.13.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F2.13.m6.1.1.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S4.F2.13.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.13.m6.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.13.m6.1d">\tilde{\omega}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.13.m6.1e">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are drawn solid. Note that here self-consistent coupling to a cavity mode follows traditional infra-red selection rules, i.e., the symmetric vibration does not couple to the cavity. Furthermore, for small number of molecules and high simulation strength, local polaritons can be seen. However, when increasing the number of molecules while keeping the Rabi splitting (or <math alttext="\lambda_{\mathrm{col}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.14.m7.1"><semantics id="S4.F2.14.m7.1b"><msub id="S4.F2.14.m7.1.1" xref="S4.F2.14.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.14.m7.1.1.2" xref="S4.F2.14.m7.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.F2.14.m7.1.1.3" xref="S4.F2.14.m7.1.1.3.cmml">col</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.14.m7.1c"><apply id="S4.F2.14.m7.1.1.cmml" xref="S4.F2.14.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.14.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.14.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.14.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.14.m7.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.F2.14.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.14.m7.1.1.3">col</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.14.m7.1d">\lambda_{\mathrm{col}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.14.m7.1e">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_col end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) constant, their intensities vanish (indicated by green arrows) leaving only the peak for the asymmetric vibration. </figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">IV.2 </span>Comparison to ab initio results</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.1">For the harmonic model we could surprisingly relate the self-consistent red shift of the cavity frequency to its bare matter refractive index, despite observing a cavity-induced change of the molecular polarizabilities. To verify if Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E45" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>) still holds for complex electronic structures, we calculate the self-consistent vibro-polaritonic infra-red spectra of one CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS2.p1.1.1">2</sub> molecule coupled to a single cavity mode within the cavity-Born-Oppenheimer Hartree-Fock (cBO-HF) approximation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib30" title="">30</a>]</cite>. Note that perturbative approaches to determine the cavity-mode renormalization<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib65" title="">65</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib57" title="">57</a>]</cite> recover the same red shift as our harmonic model in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E44" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>). Thus the results of the following analyis are directly transferable.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.6">In <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure 3</span></a>, different cavity-induced redshifts are compared for a single CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS2.p2.6.1">2</sub> molecule with respect to different couplings <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.2.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.2.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> by means of normalized cavity frequencies <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}/\omega_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">/</mo><msub id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1"><divide id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1"></divide><apply id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2"><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.3.m3.1c">\tilde{\omega}_{\beta}/\omega_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT / italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The reference data is shown in solid lines, whereas dashed lines correspond to the self-consistent harmonic electronic model description <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm sc}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p2.4.m4.1a"><msubsup id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">β</mi><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">sc</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2"><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.3">sc</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.4.m4.1c">\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm sc}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_sc end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The qualitatively different physics of the displacement-field coupling model <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm lin}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p2.5.m5.1a"><msubsup id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml">β</mi><mi id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">lin</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2"><ci id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.3">lin</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.5.m5.1c">\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm lin}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.5.m5.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_lin end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is shown by dot-dashed lines. Note that for the reference cBO-HF results of <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}(\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.cmml"><msub id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.1" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.6.m6.1b"><apply id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2"><times id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.1"></times><apply id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2"><ci id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.2.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.6.m6.1.1">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.6.m6.1c">\tilde{\omega}_{\beta}(\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.6.m6.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ )</annotation></semantics></math>, the cavity mode needed to be detuned from any IR-active vibration to avoid Rabi splitting and preserve its photonic character in the eigenvector.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.2">Comparing the redshifts for different molecular orientations with respect to the cavity, we find that the self-consistent harmonic model either over or underestimates the red shift of the cavity with respect to the reference. The deviations of the harmonic self-consistent model become larger, the more polarizable the real molecule is (i.e., parallel alignment). Or alternatively, for weakly polarizable molecules and low coupling strength the analytic red shift in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E44" title="In III.2 Cavity Frequency Renormalization ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>) reproduces the ab-intio results very well. This also explains the almost perfect agreement in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citenum"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib57" title="">57</a></cite> of the coupled spectra obtained from perturbation theory for a HF molecule, because its polarizability is small compared to CO<sub class="ltx_sub" id="S4.SS2.p3.2.1">2</sub>. Interestingly, the spatial averaging for an ensemble of randomly oriented molecules leads to significant error-cancellation and thus the analytic model and numerics agree relatively well. In more detail, the spatial averaging is applied with 2/3 of the molecules being orthogonal and 1/3 parallel. The observed error cancellation suggests that our analytic redshift model might be applicable with relatively high accuracy to experimental data. Moreover, it could also be the reason why the standard Maxwellian approach <math alttext="\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p3.2.m2.1a"><msubsup id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">β</mi><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">M</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2"><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3">M</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.2.m2.1c">\tilde{\omega}_{\beta}^{\rm M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_M end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> seems sufficient to predict cavity-induced detunings, even-though its small deviations could provide important physical insights into cavity-induced microscopic changes.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="211" id="S4.F3.g1" src="x3.png" width="722"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>a) Red shift (bold lines) of the cavity frequency from ab-initio cBO-HF calculation for a single realistic CO<sub class="ltx_sub" id="S4.F3.12.1">2</sub> molecule coupled to a cavity mode aligned parallel (red) or orthogonal (blue) to the bond axis is compared to analytical expressions from our model. The self-consistent (sc) model (dashed lines) and the displacement-field coupled (D) model (dot-dashed lines) red shifts use the bare matter polarizability and are calculated based on <a class="ltx_ref ltx_refmacro_autoref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.SS3" title="III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">subsection III.3</span></a>. The analytical expressions based on the corresponding bare matter polarizability components <math alttext="\alpha_{xx}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.6.m2.1"><semantics id="S4.F3.6.m2.1b"><msub id="S4.F3.6.m2.1.1" xref="S4.F3.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.6.m2.1.1.2" xref="S4.F3.6.m2.1.1.2.cmml">α</mi><mrow id="S4.F3.6.m2.1.1.3" xref="S4.F3.6.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F3.6.m2.1.1.3.2" xref="S4.F3.6.m2.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F3.6.m2.1.1.3.1" xref="S4.F3.6.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F3.6.m2.1.1.3.3" xref="S4.F3.6.m2.1.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.6.m2.1c"><apply id="S4.F3.6.m2.1.1.cmml" xref="S4.F3.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.6.m2.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S4.F3.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.6.m2.1.1.3"><times id="S4.F3.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F3.6.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.F3.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F3.6.m2.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.F3.6.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.F3.6.m2.1.1.3.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.6.m2.1d">\alpha_{xx}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.6.m2.1e">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_x italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\alpha_{zz}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.7.m3.1"><semantics id="S4.F3.7.m3.1b"><msub id="S4.F3.7.m3.1.1" xref="S4.F3.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.7.m3.1.1.2" xref="S4.F3.7.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mrow id="S4.F3.7.m3.1.1.3" xref="S4.F3.7.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F3.7.m3.1.1.3.2" xref="S4.F3.7.m3.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F3.7.m3.1.1.3.1" xref="S4.F3.7.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F3.7.m3.1.1.3.3" xref="S4.F3.7.m3.1.1.3.3.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.7.m3.1c"><apply id="S4.F3.7.m3.1.1.cmml" xref="S4.F3.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.7.m3.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S4.F3.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.7.m3.1.1.3"><times id="S4.F3.7.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F3.7.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.F3.7.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F3.7.m3.1.1.3.2">𝑧</ci><ci id="S4.F3.7.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.F3.7.m3.1.1.3.3">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.7.m3.1d">\alpha_{zz}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.7.m3.1e">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_z italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> both over- and under-estimate the red shift for the orthogonal and parallel setup, respectively. After spatial averaging good agreement is found thanks to error cancellation. The coupling strength regime shown here corresponds to Rabi splittings up to a few hundred cm<sup class="ltx_sup" id="S4.F3.13.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.F3.13.2.1">-1</span></sup> and covers the chemically relevant regime (based on typical polarizability densities). b) Increasing the coupling further reveals the non-physical behavior of the displacement-field coupling (<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.F3.14.3">D</span>) approximation in the ultra-strong coupling regime. </figcaption> </figure> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">Let us collect the major results that we have obtained. Thanks to the harmonic design of our model, the dressed electronic structure problem of an ensemble of molecules in an optical cavity can be solved analytically in the dilute gas limit. Our setup does not impose any approximations on the dipole self-energy term, thus allowing for intermolecular polarization effects. This provides unique non-perturbative insights in the resulting scaling behavior of large molecular ensembles. Most notable, the self-consistent inclusion of an externally applied (static) electric field reveals a cavity-modified molecular polarizability, which is local in nature, but depends on the collective coupling strength. Therefore, this local polarization mechanism can persists in the thermodynamic limit. In contrast, a perturbative calculation of the polarizability would lead to a qualitatively different scaling behavior with vanishing local effects in the thermodynamic limit. Therefore, we conclude that it is vital to accurately (self-consistently) account for the delicate nature and changes of the cavity-induced local dipole-dipole interaction to recover the correct physics. Perturbation theory seems insufficient for this purpose and can even introduce qualitatively wrong scaling behavior. However, surprisingly, the exact (self-consistent) polarizability was recovered perturbatively for our harmonic ensemble, when assuming ad-hoc single-molecular strong coupling conditions instead! This fundamental theoretical observation has far reaching implications to justify the broad applicability of the numerous recently developed ab-initio simulation methods, which are naturally restricted to single or few-molecular strong coupling situations due to their computational load.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.1">When investigating the dynamics of the nuclei and displacement field coordinates for our analytical model, we also find an analytic expression for the renormalization of the cavity mode frequency, showing its relation to the bare matter refractive index of a dilute gas. The red-shift in the cavity thus appears to not be affected by the aforementioned changes of the local polarizability. Furthermore, when investigating the dynamics of the nuclei with a normal-mode analysis we find that despite the self-consistent treatment of the electronic structure problem, only the infra-red active modes couple to the cavity. Comparing our results with different common approximations reveals not only for the polarizability and red-shift a qualitatively different physics, but also for the local equations of motions. Eventually, we compare the analytic red-shift formula of our harmonic model with the self-consistently determined value of one realistic CO<sub class="ltx_sub" id="S5.p2.1.1">2</sub> molecule, with particularly very good agreement for randomly oriented molecular ensembles. This indicates that our harmonic model is indeed capable of capturing relevant properties of real chemical system.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.1">However, above results are clearly not the end of the story. For example, the locally modified polarizability is expected to alter the local fluctuations of the electronic structure. Consequently, the dispersion interactions and thus the van der Waals forces between the molecules should be modified by the cavity as already suggested by experimental evidence. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib22" title="">22</a>]</cite> Moreover, it will also be interesting to investigate how the subtle interplay of local vs. collective properties behaves in the condensed phase. As a straightforward consequence, we expect the standard Clausius-Mossotti relations to be modified under collective VSC, i.e., the relation of the macroscopic dielectric constant to the single molecular polarizabilities might be altered in a non-trivial fashion due to self-consistent feedback effects. In addition, we highlight two other important properties of VSC that were not accessible with our idealized harmonic ensemble model: There is theoretical evidence for a polarization glass-like frustration effects <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> as well as for a strong (experimentally detectable) resonance condition in cavity-modified reaction rates. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib22" title="">22</a>]</cite> However, we consider our model a first analytic step towards a better justification of recently developed rate theories<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib67" title="">67</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib68" title="">68</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib69" title="">69</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib70" title="">70</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib71" title="">71</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib72" title="">72</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib73" title="">73</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib74" title="">74</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib75" title="">75</a>]</cite> for optical cavities that often rely on the applicability of the single-molecular strong coupling hypothesis under collective VSC. At least for the molecular polarizability, we could now confirm this hypothesis ab-initio. We therefore expect that our self-consistent model will provide further valuable insights under various conditions (e.g. thermal equilibrium), that will help to unravel the mysteries of VSC.</p> </div> <div class="ltx_acknowledgements"> <h6 class="ltx_title ltx_title_acknowledgements">Acknowledgements.</h6> JH and DS contributed equally to this work. This work was made possible through the support of the RouTe Project (13N14839), financed by the Federal Ministry of Education and Research (Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF)) and supported by the European Research Council (ERC-2015-AdG694097), the Cluster of Excellence “CUI: Advanced Imaging of Matter” of the Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG), EXC 2056, project ID 390715994 and the Grupos Consolidados (IT1453-22). The Flatiron Institute is a division of the Simons Foundation. </div> <section class="ltx_appendix" id="A1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix A </span>Derivation of Single Molecular Polarizabilities </h2> <div class="ltx_para" id="A1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.p1.1">Here we briefly give details to the derivation of the two quintessential relations for the polarizabilities shown in Eqs. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E32" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">32</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E38" title="In III.1.1 Polarizabilities from Perturbation Theory ‣ III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">38</span></a>). The self-consistently, determined local polarization for a collective external field-perturbation is defined as follows,</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p2"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx26"> <tbody id="A1.E55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}=\frac{\partial\braket{d_{i}}}{\partial E_{% \mathrm{ext}}}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}E_{\mathrm{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E55.m1.1"><semantics id="A1.E55.m1.1a"><mrow id="A1.E55.m1.1.2" xref="A1.E55.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.E55.m1.1.2.2" xref="A1.E55.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E55.m1.1.2.2.2" xref="A1.E55.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E55.m1.1.2.2.2.2" xref="A1.E55.m1.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.E55.m1.1.2.2.2.1" xref="A1.E55.m1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.E55.m1.1.2.2.3" xref="A1.E55.m1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E55.m1.1.2.3" xref="A1.E55.m1.1.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.E55.m1.1.2.4" xref="A1.E55.m1.1.2.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E55.m1.1.1a" xref="A1.E55.m1.1.1a.cmml"><mfrac id="A1.E55.m1.1.1aa" xref="A1.E55.m1.1.1a.cmml"><mrow id="A1.E55.m1.1.1.1a" xref="A1.E55.m1.1.1.1a.cmml"><mo id="A1.E55.m1.1.1.1a.2" rspace="0em" xref="A1.E55.m1.1.1.1a.2.cmml">∂</mo><mrow id="A1.E55.m1.1.1.1.1a.3" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E55.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mi id="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E55.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.E55.m1.1.1a.3" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.cmml"><mo id="A1.E55.m1.1.1a.3.1" rspace="0em" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A1.E55.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.2.cmml"><mi id="A1.E55.m1.1.1a.3.2.2" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E55.m1.1.1a.3.2.3" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.2.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A1.E55.m1.1.2.4.1" lspace="0.500em" xref="A1.E55.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E55.m1.1.2.4.2" xref="A1.E55.m1.1.2.4.2.cmml">with</mi><mo id="A1.E55.m1.1.2.4.1a" lspace="0.500em" xref="A1.E55.m1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E55.m1.1.2.4.3" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.E55.m1.1.2.4.3.2" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.cmml"><mi id="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.2" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.1" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E55.m1.1.2.4.3.3" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.3.cmml">tot</mi></msub></mrow><mo id="A1.E55.m1.1.2.5" xref="A1.E55.m1.1.2.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.E55.m1.1.2.6" xref="A1.E55.m1.1.2.6.cmml"><mover accent="true" id="A1.E55.m1.1.2.6.2" xref="A1.E55.m1.1.2.6.2.cmml"><mi id="A1.E55.m1.1.2.6.2.2" xref="A1.E55.m1.1.2.6.2.2.cmml">H</mi><mo id="A1.E55.m1.1.2.6.2.1" xref="A1.E55.m1.1.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.E55.m1.1.2.6.1" xref="A1.E55.m1.1.2.6.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E55.m1.1.2.6.3" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.E55.m1.1.2.6.3.2" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.cmml"><mi id="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.2" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.1" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.E55.m1.1.2.6.3.1" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E55.m1.1.2.6.3.3" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.cmml"><mi id="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.2" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.3" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E55.m1.1b"><apply id="A1.E55.m1.1.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2"><and id="A1.E55.m1.1.2a.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2"></and><apply id="A1.E55.m1.1.2b.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2"><eq id="A1.E55.m1.1.2.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.3"></eq><apply id="A1.E55.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E55.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E55.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.2.2"><ci id="A1.E55.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="A1.E55.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="A1.E55.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E55.m1.1.2.4.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4"><times id="A1.E55.m1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4.1"></times><apply id="A1.E55.m1.1.1a.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1a"><divide id="A1.E55.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1a"></divide><apply id="A1.E55.m1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1.1a"><partialdiff id="A1.E55.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1.1a.2"></partialdiff><apply id="A1.E55.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E55.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E55.m1.1.1a.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1a.3"><partialdiff id="A1.E55.m1.1.1a.3.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.1"></partialdiff><apply id="A1.E55.m1.1.1a.3.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E55.m1.1.1a.3.2.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E55.m1.1.1a.3.2.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.2.2">𝐸</ci><ci id="A1.E55.m1.1.1a.3.2.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.1a.3.2.3">ext</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.E55.m1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4.2">with</ci><apply id="A1.E55.m1.1.2.4.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E55.m1.1.2.4.3.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.2"><ci id="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.1">^</ci><ci id="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="A1.E55.m1.1.2.4.3.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.4.3.3">tot</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E55.m1.1.2c.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2"><eq id="A1.E55.m1.1.2.5.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A1.E55.m1.1.2.4.cmml" id="A1.E55.m1.1.2d.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2"></share><apply id="A1.E55.m1.1.2.6.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6"><minus id="A1.E55.m1.1.2.6.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.1"></minus><apply id="A1.E55.m1.1.2.6.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.2"><ci id="A1.E55.m1.1.2.6.2.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.2.1">^</ci><ci id="A1.E55.m1.1.2.6.2.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="A1.E55.m1.1.2.6.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3"><times id="A1.E55.m1.1.2.6.3.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.1"></times><apply id="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.2"><ci id="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.1">^</ci><ci id="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.1.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.2.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.2">𝐸</ci><ci id="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.3.cmml" xref="A1.E55.m1.1.2.6.3.3.3">ext</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E55.m1.1c">\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}=\frac{\partial\braket{d_{i}}}{\partial E_{% \mathrm{ext}}}\ \mathrm{with}\ \hat{H}_{\rm tot}=\hat{H}-\hat{d}E_{\mathrm{ext}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E55.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_with over^ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_tot end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_H end_ARG - over^ start_ARG italic_d end_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(55)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p2.1">Including <math alttext="\hat{d_{i}}E_{\mathrm{ext}}=Z_{e}\hat{r_{i}}E_{\mathrm{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.p2.1.m1.1a"><mrow id="A1.p2.1.m1.1.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.p2.1.m1.1.1.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.2" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">E</mi><mi id="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">ext</mi></msub></mrow><mo id="A1.p2.1.m1.1.1.1" 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xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.4.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.1.m1.1b"><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1"><eq id="A1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2"><times id="A1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2"><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.1">^</ci><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.2">𝐸</ci><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.2.3.3">ext</ci></apply></apply><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3"><times id="A1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.3"><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.1">^</ci><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝑟</ci><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A1.p2.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.1.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.4.2">𝐸</ci><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1.3.4.3">ext</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.1.m1.1c">\hat{d_{i}}E_{\mathrm{ext}}=Z_{e}\hat{r_{i}}E_{\mathrm{ext}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> explicitly when solving Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E10" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), we find for the local polarizability,</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx27"> <tbody id="A1.E56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}=Z_{e}\frac{\partial\braket{\hat{r}_{i}}}{% \partial E_{\mathrm{ext}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E56.m1.1"><semantics id="A1.E56.m1.1a"><mrow id="A1.E56.m1.1.2" xref="A1.E56.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.E56.m1.1.2.2" xref="A1.E56.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E56.m1.1.2.2.2" xref="A1.E56.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E56.m1.1.2.2.2.2" xref="A1.E56.m1.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.E56.m1.1.2.2.2.1" xref="A1.E56.m1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.E56.m1.1.2.2.3" xref="A1.E56.m1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E56.m1.1.2.1" xref="A1.E56.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E56.m1.1.2.3" xref="A1.E56.m1.1.2.3.cmml"><msub id="A1.E56.m1.1.2.3.2" xref="A1.E56.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E56.m1.1.2.3.2.2" xref="A1.E56.m1.1.2.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E56.m1.1.2.3.2.3" xref="A1.E56.m1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A1.E56.m1.1.2.3.1" xref="A1.E56.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.E56.m1.1.1a" xref="A1.E56.m1.1.1a.cmml"><mfrac id="A1.E56.m1.1.1aa" xref="A1.E56.m1.1.1a.cmml"><mrow id="A1.E56.m1.1.1.1a" xref="A1.E56.m1.1.1.1a.cmml"><mo id="A1.E56.m1.1.1.1a.2" rspace="0em" xref="A1.E56.m1.1.1.1a.2.cmml">∂</mo><mrow id="A1.E56.m1.1.1.1.1a.3" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E56.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E56.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.E56.m1.1.1a.3" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.cmml"><mo id="A1.E56.m1.1.1a.3.1" rspace="0em" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A1.E56.m1.1.1a.3.2" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.2.cmml"><mi id="A1.E56.m1.1.1a.3.2.2" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E56.m1.1.1a.3.2.3" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.2.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E56.m1.1b"><apply id="A1.E56.m1.1.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2"><eq id="A1.E56.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.1"></eq><apply id="A1.E56.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E56.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E56.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.2.2"><ci id="A1.E56.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="A1.E56.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="A1.E56.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E56.m1.1.2.3.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.3"><times id="A1.E56.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.3.1"></times><apply id="A1.E56.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E56.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E56.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.3.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.E56.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E56.m1.1.2.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A1.E56.m1.1.1a.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1a"><divide id="A1.E56.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1a"></divide><apply id="A1.E56.m1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1a"><partialdiff id="A1.E56.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1a.2"></partialdiff><apply id="A1.E56.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E56.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E56.m1.1.1a.3.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1a.3"><partialdiff id="A1.E56.m1.1.1a.3.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.1"></partialdiff><apply id="A1.E56.m1.1.1a.3.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E56.m1.1.1a.3.2.1.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E56.m1.1.1a.3.2.2.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.2.2">𝐸</ci><ci id="A1.E56.m1.1.1a.3.2.3.cmml" xref="A1.E56.m1.1.1a.3.2.3">ext</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E56.m1.1c">\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}=Z_{e}\frac{\partial\braket{\hat{r}_{i}}}{% \partial E_{\mathrm{ext}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E56.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(56)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p3.1">with</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx28"> <tbody id="A1.E57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\braket{\hat{r}_{i}}(E_{\mathrm{ext}})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E57.m1.2"><semantics id="A1.E57.m1.2a"><mrow id="A1.E57.m1.2.2" xref="A1.E57.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.E57.m1.1.1a.3" xref="A1.E57.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E57.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E57.m1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.E57.m1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E57.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E57.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E57.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E57.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.E57.m1.2.2.2" xref="A1.E57.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E57.m1.2.2.1.1" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E57.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.E57.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">ext</mi></msub><mo id="A1.E57.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E57.m1.2b"><apply id="A1.E57.m1.2.2.cmml" xref="A1.E57.m1.2.2"><times id="A1.E57.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E57.m1.2.2.2"></times><apply id="A1.E57.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E57.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E57.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E57.m1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="A1.E57.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E57.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E57.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.2">𝐸</ci><ci id="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E57.m1.2.2.1.1.1.3">ext</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E57.m1.2c">\displaystyle\braket{\hat{r}_{i}}(E_{\mathrm{ext}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E57.m1.2d">⟨ start_ARG over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E57.m2.1"><semantics id="A1.E57.m2.1a"><mo id="A1.E57.m2.1.1" xref="A1.E57.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E57.m2.1b"><eq id="A1.E57.m2.1.1.cmml" xref="A1.E57.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E57.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E57.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{\nu_{1,i}(E_{\mathrm{ext}})}{\nu_{2}^{2}}\overset{\rm Eq.% \ \eqref{eq:r_i}}{=}\frac{1}{N_{n}}\bigg{(}\sum_{n=1}^{N_{n}}R_{in}+\frac{% \lambda Z_{e}}{k_{e}}\Big{(}X+\langle x\rangle_{0}(E_{\mathrm{ext}})-\omega_{% \beta}q_{\beta}\Big{)}+\frac{Z_{e}}{k_{e}}E_{\mathrm{ext}}\bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E57.m3.7"><semantics id="A1.E57.m3.7a"><mrow id="A1.E57.m3.7.7" xref="A1.E57.m3.7.7.cmml"><mo id="A1.E57.m3.7.7a" xref="A1.E57.m3.7.7.cmml">−</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E57.m3.3.3" xref="A1.E57.m3.3.3.cmml"><mfrac id="A1.E57.m3.3.3a" xref="A1.E57.m3.3.3.cmml"><mrow id="A1.E57.m3.3.3.3" xref="A1.E57.m3.3.3.3.cmml"><msub id="A1.E57.m3.3.3.3.5" xref="A1.E57.m3.3.3.3.5.cmml"><mi id="A1.E57.m3.3.3.3.5.2" xref="A1.E57.m3.3.3.3.5.2.cmml">ν</mi><mrow id="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.4" xref="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.E57.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="A1.E57.m3.3.3.3.4" xref="A1.E57.m3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.2" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.3" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.3.cmml">ext</mi></msub><mo id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msubsup id="A1.E57.m3.3.3.5" xref="A1.E57.m3.3.3.5.cmml"><mi id="A1.E57.m3.3.3.5.2.2" xref="A1.E57.m3.3.3.5.2.2.cmml">ν</mi><mn id="A1.E57.m3.3.3.5.2.3" xref="A1.E57.m3.3.3.5.2.3.cmml">2</mn><mn id="A1.E57.m3.3.3.5.3" xref="A1.E57.m3.3.3.5.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A1.E57.m3.5.5" xref="A1.E57.m3.5.5.cmml"><mo id="A1.E57.m3.5.5.3" xref="A1.E57.m3.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.E57.m3.5.5.2.2" xref="A1.E57.m3.5.5.2.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.4.4.1.1" xref="A1.E57.m3.4.4.1.1.cmml">Eq</mi><mo id="A1.E57.m3.5.5.2.2.2" lspace="0em" rspace="0.667em" xref="A1.E57.m3.5.5.2.3a.cmml">.</mo><mrow id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.2.cmml">(</mi><mo id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.1" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.3" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.3c.cmml"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E15" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a></mtext><mo id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.1a" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.4" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.4.cmml">)</mi></mrow></mrow></mover><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.2a" xref="A1.E57.m3.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.E57.m3.7.7.1.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.cmml"><mfrac id="A1.E57.m3.7.7.1.3a" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.cmml"><mn id="A1.E57.m3.7.7.1.3.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.2.cmml">1</mn><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.3.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.2.cmml">N</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.2b" xref="A1.E57.m3.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover></mstyle><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml">in</mi></msub></mrow><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="A1.E57.m3.6.6" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.6.6.cmml">x</mi><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ext</mi></msub><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.2a" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2a" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml"><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">e</mi></msub><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">e</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.1" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.3.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.4.3.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E57.m3.7b"><apply id="A1.E57.m3.7.7.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7"><minus id="A1.E57.m3.7.7.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7"></minus><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1"><times id="A1.E57.m3.7.7.1.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.2"></times><apply id="A1.E57.m3.3.3.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3"><divide id="A1.E57.m3.3.3.4.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3"></divide><apply id="A1.E57.m3.3.3.3.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3"><times id="A1.E57.m3.3.3.3.4.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3.4"></times><apply id="A1.E57.m3.3.3.3.5.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.3.3.3.5.1.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="A1.E57.m3.3.3.3.5.2.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3.5.2">𝜈</ci><list id="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.4"><cn id="A1.E57.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E57.m3.1.1.1.1.1.1">1</cn><ci id="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E57.m3.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.2">𝐸</ci><ci id="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.3.3.1.1.3">ext</ci></apply></apply><apply id="A1.E57.m3.3.3.5.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.3.3.5.1.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.5">superscript</csymbol><apply id="A1.E57.m3.3.3.5.2.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.3.3.5.2.1.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="A1.E57.m3.3.3.5.2.2.cmml" xref="A1.E57.m3.3.3.5.2.2">𝜈</ci><cn id="A1.E57.m3.3.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E57.m3.3.3.5.2.3">2</cn></apply><cn id="A1.E57.m3.3.3.5.3.cmml" type="integer" xref="A1.E57.m3.3.3.5.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E57.m3.5.5.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5"><apply id="A1.E57.m3.5.5.2.3.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.5.5.2.3a.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.2">formulae-sequence</csymbol><ci id="A1.E57.m3.4.4.1.1.cmml" xref="A1.E57.m3.4.4.1.1">Eq</ci><apply id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1"><times id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.1"></times><ci id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.2">(</ci><ci id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.3c.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.3"><mtext id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.3"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E15" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a></mtext></ci><ci id="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.4.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.2.2.1.4">)</ci></apply></apply><eq id="A1.E57.m3.5.5.3.cmml" xref="A1.E57.m3.5.5.3"></eq></apply><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.3.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3"><divide id="A1.E57.m3.7.7.1.3.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3"></divide><cn id="A1.E57.m3.7.7.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.2">1</cn><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.2">N</ci><ci id="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.3.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1"><plus id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3"><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.2">n</ci><cn id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.2">N</ci><ci id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.1.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.2">R</ci><ci id="A1.E57.m3.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml" 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( ) end_OVERACCENT start_ARG = end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG roman_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT roman_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_R start_POSTSUBSCRIPT roman_in end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_λ roman_Z start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG roman_k start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( roman_X + ⟨ roman_x ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( roman_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT roman_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) + divide start_ARG roman_Z start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG roman_k start_POSTSUBSCRIPT roman_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(57)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\braket{x}_{0}(E_{\mathrm{ext}})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E58.m1.2"><semantics id="A1.E58.m1.2a"><mrow id="A1.E58.m1.2.2" xref="A1.E58.m1.2.2.cmml"><msub id="A1.E58.m1.2.2.3" xref="A1.E58.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="A1.E58.m1.1.1a.3" xref="A1.E58.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E58.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E58.m1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="A1.E58.m1.1.1.1.1" xref="A1.E58.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.E58.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E58.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="A1.E58.m1.2.2.3.2" xref="A1.E58.m1.2.2.3.2.cmml">0</mn></msub><mo id="A1.E58.m1.2.2.2" xref="A1.E58.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E58.m1.2.2.1.1" xref="A1.E58.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E58.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E58.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.E58.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E58.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E58.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E58.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E58.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E58.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">ext</mi></msub><mo id="A1.E58.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E58.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E58.m1.2b"><apply id="A1.E58.m1.2.2.cmml" xref="A1.E58.m1.2.2"><times id="A1.E58.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E58.m1.2.2.2"></times><apply id="A1.E58.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E58.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E58.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E58.m1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.E58.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E58.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E58.m1.1.1a.2.1.cmml" 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\eqref{eq:relationx}}{=}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E58.m2.2"><semantics id="A1.E58.m2.2a"><mover accent="true" id="A1.E58.m2.2.2" xref="A1.E58.m2.2.2.cmml"><mo id="A1.E58.m2.2.2.3" xref="A1.E58.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.E58.m2.2.2.2.2" xref="A1.E58.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E58.m2.1.1.1.1" xref="A1.E58.m2.1.1.1.1.cmml">Eq</mi><mo id="A1.E58.m2.2.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0.667em" xref="A1.E58.m2.2.2.2.3a.cmml">.</mo><mrow id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mi><mo id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.3" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.3c.cmml"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E18" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a></mtext><mo id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.1a" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.4" mathvariant="normal" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.4.cmml">)</mi></mrow></mrow></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E58.m2.2b"><apply id="A1.E58.m2.2.2.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2"><apply id="A1.E58.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E58.m2.2.2.2.3a.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.2">formulae-sequence</csymbol><ci id="A1.E58.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E58.m2.1.1.1.1">Eq</ci><apply id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1"><times id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.2">(</ci><ci id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.3c.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.3"><mtext id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.3"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S2.E18" title="In II Self-consistent harmonic model for collective VSC ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a></mtext></ci><ci id="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.2.2.1.4">)</ci></apply></apply><eq id="A1.E58.m2.2.2.3.cmml" xref="A1.E58.m2.2.2.3"></eq></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E58.m2.2c">\displaystyle\overset{\rm Eq.\ \eqref{eq:relationx}}{=}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E58.m2.2d">start_OVERACCENT roman_Eq . ( ) end_OVERACCENT start_ARG = end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\big{(}1-\gamma^{2}(N,\lambda)\big{)}\bigg{[}-\frac{k_{e}}{% \lambda Z_{e}N}\sum_{i}^{N}\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{n}}}R_{in}-X+\omega_{\beta}q% _{\beta}-\frac{1}{\lambda}E_{\mathrm{ext}}\bigg{]}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E58.m3.4"><semantics id="A1.E58.m3.4a"><mrow id="A1.E58.m3.4.4" xref="A1.E58.m3.4.4.cmml"><mrow id="A1.E58.m3.3.3.1.1" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E58.m3.3.3.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><msup id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.1" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E58.m3.1.1" xref="A1.E58.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E58.m3.2.2" xref="A1.E58.m3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E58.m3.3.3.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E58.m3.4.4.3" xref="A1.E58.m3.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1" xref="A1.E58.m3.4.4.2.2.cmml"><mo id="A1.E58.m3.4.4.2.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.E58.m3.4.4.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2a" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2a" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.1a" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.4" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.4.cmml">N</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.1" 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id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.2.3.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.2.3.1" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.2.3.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover></mstyle><msub id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi 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id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.1" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2a" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.1" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.2" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.3" 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id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E58.m3.3.3.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.E58.m3.1.1.cmml" xref="A1.E58.m3.1.1">𝑁</ci><ci id="A1.E58.m3.2.2.cmml" xref="A1.E58.m3.2.2">𝜆</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E58.m3.4.4.2.2.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1"><minus id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2"><plus id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.1"></plus><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2"><minus id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.1"></minus><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.cmml" 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id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.2">𝑁</ci><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2">𝑅</ci><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3"><times id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.2.3">𝑋</ci></apply><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3"><times id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.1"></times><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.2.2">𝜔</ci><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.2">𝑞</ci><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.2.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3"><times id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2"><divide id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2"></divide><cn id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.2">𝐸</ci><ci id="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E58.m3.4.4.2.1.1.3.3.3">ext</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E58.m3.4c">\displaystyle\big{(}1-\gamma^{2}(N,\lambda)\big{)}\bigg{[}-\frac{k_{e}}{% \lambda Z_{e}N}\sum_{i}^{N}\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{n}}}R_{in}-X+\omega_{\beta}q% _{\beta}-\frac{1}{\lambda}E_{\mathrm{ext}}\bigg{]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E58.m3.4d">( 1 - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) ) [ - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT - italic_X + italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_λ end_ARG italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(58)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p3.2">which leads to</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx29"> <tbody id="A1.E59"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E59.m1.1"><semantics id="A1.E59.m1.1a"><msub id="A1.E59.m1.1.1" xref="A1.E59.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E59.m1.1.1.2" xref="A1.E59.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E59.m1.1.1.2.2" xref="A1.E59.m1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.E59.m1.1.1.2.1" xref="A1.E59.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.E59.m1.1.1.3" xref="A1.E59.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E59.m1.1b"><apply id="A1.E59.m1.1.1.cmml" xref="A1.E59.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E59.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E59.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E59.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E59.m1.1.1.2"><ci id="A1.E59.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E59.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.E59.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E59.m1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="A1.E59.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E59.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E59.m1.1c">\displaystyle\tilde{\alpha}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E59.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E59.m2.1"><semantics id="A1.E59.m2.1a"><mo id="A1.E59.m2.1.1" xref="A1.E59.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E59.m2.1b"><eq id="A1.E59.m2.1.1.cmml" xref="A1.E59.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E59.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E59.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Z_{e}\frac{\partial\braket{\hat{r}_{i}}}{\partial E_{\mathrm{ext% }}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E59.m3.1"><semantics id="A1.E59.m3.1a"><mrow id="A1.E59.m3.1.2" xref="A1.E59.m3.1.2.cmml"><msub id="A1.E59.m3.1.2.2" xref="A1.E59.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.E59.m3.1.2.2.2" xref="A1.E59.m3.1.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E59.m3.1.2.2.3" xref="A1.E59.m3.1.2.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A1.E59.m3.1.2.1" xref="A1.E59.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.E59.m3.1.1a" xref="A1.E59.m3.1.1a.cmml"><mfrac id="A1.E59.m3.1.1aa" xref="A1.E59.m3.1.1a.cmml"><mrow id="A1.E59.m3.1.1.1a" xref="A1.E59.m3.1.1.1a.cmml"><mo id="A1.E59.m3.1.1.1a.2" rspace="0em" xref="A1.E59.m3.1.1.1a.2.cmml">∂</mo><mrow id="A1.E59.m3.1.1.1.1a.3" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E59.m3.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E59.m3.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.E59.m3.1.1a.3" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.cmml"><mo id="A1.E59.m3.1.1a.3.1" rspace="0em" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A1.E59.m3.1.1a.3.2" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.2.cmml"><mi id="A1.E59.m3.1.1a.3.2.2" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="A1.E59.m3.1.1a.3.2.3" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.2.3.cmml">ext</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E59.m3.1b"><apply id="A1.E59.m3.1.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.2"><times id="A1.E59.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.E59.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.E59.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E59.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E59.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E59.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.2.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.E59.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E59.m3.1.2.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A1.E59.m3.1.1a.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1a"><divide id="A1.E59.m3.1.1a.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1a"></divide><apply id="A1.E59.m3.1.1.1a.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1a"><partialdiff id="A1.E59.m3.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1a.2"></partialdiff><apply id="A1.E59.m3.1.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E59.m3.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1a.3.1">expectation</csymbol><apply id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E59.m3.1.1a.3.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1a.3"><partialdiff id="A1.E59.m3.1.1a.3.1.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.1"></partialdiff><apply id="A1.E59.m3.1.1a.3.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E59.m3.1.1a.3.2.1.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E59.m3.1.1a.3.2.2.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.2.2">𝐸</ci><ci id="A1.E59.m3.1.1a.3.2.3.cmml" xref="A1.E59.m3.1.1a.3.2.3">ext</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E59.m3.1c">\displaystyle Z_{e}\frac{\partial\braket{\hat{r}_{i}}}{\partial E_{\mathrm{ext% }}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E59.m3.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ ⟨ start_ARG over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG ∂ italic_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ext end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(59)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E60"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E60.m1.1"><semantics id="A1.E60.m1.1a"><mo id="A1.E60.m1.1.1" xref="A1.E60.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E60.m1.1b"><eq id="A1.E60.m1.1.1.cmml" xref="A1.E60.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E60.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E60.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{Z_{e}^{2}}{N_{n}k_{e}}(1-(1-\gamma^{2}(N,\lambda)))=\alpha_% {i}\gamma^{2}(N,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E60.m2.5"><semantics id="A1.E60.m2.5a"><mrow id="A1.E60.m2.5.5" xref="A1.E60.m2.5.5.cmml"><mrow id="A1.E60.m2.5.5.1" xref="A1.E60.m2.5.5.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E60.m2.5.5.1.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.cmml"><mfrac id="A1.E60.m2.5.5.1.3a" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.cmml"><msubsup id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.3.cmml">e</mi><mn id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.cmml"><msub id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.1" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mn id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E60.m2.1.1" xref="A1.E60.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E60.m2.2.2" xref="A1.E60.m2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E60.m2.5.5.2" xref="A1.E60.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E60.m2.5.5.3" xref="A1.E60.m2.5.5.3.cmml"><msub id="A1.E60.m2.5.5.3.2" xref="A1.E60.m2.5.5.3.2.cmml"><mi id="A1.E60.m2.5.5.3.2.2" xref="A1.E60.m2.5.5.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="A1.E60.m2.5.5.3.2.3" xref="A1.E60.m2.5.5.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E60.m2.5.5.3.1" xref="A1.E60.m2.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E60.m2.5.5.3.3" xref="A1.E60.m2.5.5.3.3.cmml"><mi id="A1.E60.m2.5.5.3.3.2" xref="A1.E60.m2.5.5.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="A1.E60.m2.5.5.3.3.3" xref="A1.E60.m2.5.5.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.E60.m2.5.5.3.1a" xref="A1.E60.m2.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E60.m2.5.5.3.4.2" xref="A1.E60.m2.5.5.3.4.1.cmml"><mo id="A1.E60.m2.5.5.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E60.m2.5.5.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E60.m2.3.3" xref="A1.E60.m2.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E60.m2.5.5.3.4.2.2" xref="A1.E60.m2.5.5.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E60.m2.4.4" xref="A1.E60.m2.4.4.cmml">λ</mi><mo id="A1.E60.m2.5.5.3.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.E60.m2.5.5.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E60.m2.5b"><apply id="A1.E60.m2.5.5.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5"><eq id="A1.E60.m2.5.5.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.2"></eq><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1"><times id="A1.E60.m2.5.5.1.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.2"></times><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3"><divide id="A1.E60.m2.5.5.1.3.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3"></divide><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3"><times id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.1"></times><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.2">𝑁</ci><ci id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.3.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1"><minus id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.2"></minus><cn id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E60.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" 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id="A1.E60.m2.5.5.3.2.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E60.m2.5.5.3.3.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E60.m2.5.5.3.3.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.3.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E60.m2.5.5.3.3.2.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.3.3.2">𝛾</ci><cn id="A1.E60.m2.5.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E60.m2.5.5.3.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="A1.E60.m2.5.5.3.4.1.cmml" xref="A1.E60.m2.5.5.3.4.2"><ci id="A1.E60.m2.3.3.cmml" xref="A1.E60.m2.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E60.m2.4.4.cmml" xref="A1.E60.m2.4.4">𝜆</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E60.m2.5c">\displaystyle\frac{Z_{e}^{2}}{N_{n}k_{e}}(1-(1-\gamma^{2}(N,\lambda)))=\alpha_% {i}\gamma^{2}(N,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E60.m2.5d">divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( 1 - ( 1 - italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ ) ) ) = italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N , italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(60)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p3.3">and thus proves the cavity induced local polarizability change in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E32" title="In III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">32</span></a>), when considering self-consistently the impact of the external electric field. The other self-consistent (local and non-local) polarizabilities introduced in the manuscript follow from equivalent derivations.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p4"> <p class="ltx_p" id="A1.p4.4">When calculating the local polarizability perturbatively, as it is common practice in quantum chemistry, we find for</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx30"> <tbody id="A1.E61"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}=-2\sum_{l\neq 0}\frac{\bra{0}Z_{e}% \hat{r}_{i}\ket{l}\bra{l}Z_{e}\hat{r}_{i}\ket{0}}{\epsilon_{i}^{0}-\epsilon_{i% }^{l}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E61.m1.4"><semantics id="A1.E61.m1.4a"><mrow id="A1.E61.m1.4.5" xref="A1.E61.m1.4.5.cmml"><msubsup id="A1.E61.m1.4.5.2" xref="A1.E61.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E61.m1.4.5.2.2.2" xref="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.2" xref="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.1" xref="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.E61.m1.4.5.2.3" xref="A1.E61.m1.4.5.2.3.cmml">i</mi><mi id="A1.E61.m1.4.5.2.2.3" xref="A1.E61.m1.4.5.2.2.3.cmml">pert</mi></msubsup><mo id="A1.E61.m1.4.5.1" xref="A1.E61.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E61.m1.4.5.3" xref="A1.E61.m1.4.5.3.cmml"><mo id="A1.E61.m1.4.5.3a" xref="A1.E61.m1.4.5.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.E61.m1.4.5.3.2" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.cmml"><mn id="A1.E61.m1.4.5.3.2.2" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E61.m1.4.5.3.2.1" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.cmml"><munder id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1a" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.cmml"><mi id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.2" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.1" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.1.cmml">≠</mo><mn id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.3" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.E61.m1.4.4a" xref="A1.E61.m1.4.4a.cmml"><mfrac id="A1.E61.m1.4.4aa" xref="A1.E61.m1.4.4a.cmml"><mrow id="A1.E61.m1.4.4.4a" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.cmml"><mrow id="A1.E61.m1.1.1.1.1a.3" xref="A1.E61.m1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E61.m1.1.1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E61.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mn id="A1.E61.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.E61.m1.1.1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E61.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.5" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E61.m1.4.4.4a.6" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.6.cmml"><mi id="A1.E61.m1.4.4.4a.6.2" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.6.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E61.m1.4.4.4a.6.3" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.6.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.5a" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E61.m1.4.4.4a.7" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.cmml"><mover accent="true" id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.cmml"><mi id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.2" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.1" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.3" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.5b" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E61.m1.2.2.2.2a.3" xref="A1.E61.m1.2.2.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E61.m1.2.2.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E61.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mi id="A1.E61.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.E61.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.E61.m1.2.2.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E61.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.5c" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E61.m1.3.3.3.3a.3" xref="A1.E61.m1.3.3.3.3a.2.cmml"><mo id="A1.E61.m1.3.3.3.3a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E61.m1.3.3.3.3a.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="A1.E61.m1.3.3.3.3.1.1" xref="A1.E61.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.E61.m1.3.3.3.3a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E61.m1.3.3.3.3a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.5d" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E61.m1.4.4.4a.8" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.8.cmml"><mi id="A1.E61.m1.4.4.4a.8.2" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.8.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E61.m1.4.4.4a.8.3" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.8.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.5e" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E61.m1.4.4.4a.9" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.cmml"><mover accent="true" id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.cmml"><mi id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.2" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.1" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.3" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E61.m1.4.4.4a.5f" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E61.m1.4.4.4.4a.3" xref="A1.E61.m1.4.4.4.4a.2.cmml"><mo id="A1.E61.m1.4.4.4.4a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E61.m1.4.4.4.4a.2.1.cmml">|</mo><mn id="A1.E61.m1.4.4.4.4.1.1" xref="A1.E61.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.E61.m1.4.4.4.4a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E61.m1.4.4.4.4a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.E61.m1.4.4a.6" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.cmml"><msubsup id="A1.E61.m1.4.4a.6.2" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2.cmml"><mi id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.2" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.3" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.3" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2.3.cmml">0</mn></msubsup><mo id="A1.E61.m1.4.4a.6.1" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E61.m1.4.4a.6.3" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3.cmml"><mi id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.2" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.3" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.3" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3.3.cmml">l</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E61.m1.4b"><apply id="A1.E61.m1.4.5.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5"><eq id="A1.E61.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.1"></eq><apply id="A1.E61.m1.4.5.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E61.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2.2.2"><ci id="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.1">~</ci><ci id="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="A1.E61.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2.2.3">pert</ci></apply><ci id="A1.E61.m1.4.5.2.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E61.m1.4.5.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3"><minus id="A1.E61.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3"></minus><apply id="A1.E61.m1.4.5.3.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2"><times id="A1.E61.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.1"></times><cn id="A1.E61.m1.4.5.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.2">2</cn><apply id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3"><apply id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.2"></sum><apply id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3"><neq id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.1"></neq><ci id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E61.m1.4.5.3.2.3.1.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="A1.E61.m1.4.4a.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a"><divide id="A1.E61.m1.4.4a.5.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a"></divide><apply id="A1.E61.m1.4.4.4a.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a"><times id="A1.E61.m1.4.4.4a.5.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.5"></times><apply id="A1.E61.m1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E61.m1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E61.m1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.1.1.1.1a.3.1">bra</csymbol><cn id="A1.E61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E61.m1.1.1.1.1.1.1">0</cn></apply><apply id="A1.E61.m1.4.4.4a.6.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.4.4a.6.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.6">subscript</csymbol><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.6.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.6.2">𝑍</ci><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.6.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.6.3">𝑒</ci></apply><apply id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7">subscript</csymbol><apply id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2"><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.1">^</ci><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.7.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.7.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E61.m1.2.2.2.2a.2.cmml" xref="A1.E61.m1.2.2.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E61.m1.2.2.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.2.2.2.2a.3.1">ket</csymbol><ci id="A1.E61.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E61.m1.2.2.2.2.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="A1.E61.m1.3.3.3.3a.2.cmml" xref="A1.E61.m1.3.3.3.3a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E61.m1.3.3.3.3a.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.3.3.3.3a.3.1">bra</csymbol><ci id="A1.E61.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E61.m1.3.3.3.3.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="A1.E61.m1.4.4.4a.8.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.4.4a.8.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.8">subscript</csymbol><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.8.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.8.2">𝑍</ci><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.8.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.8.3">𝑒</ci></apply><apply id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9">subscript</csymbol><apply id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2"><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.1">^</ci><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E61.m1.4.4.4a.9.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4a.9.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E61.m1.4.4.4.4a.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4.4a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E61.m1.4.4.4.4a.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4.4.4a.3.1">ket</csymbol><cn id="A1.E61.m1.4.4.4.4.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E61.m1.4.4.4.4.1.1">0</cn></apply></apply><apply id="A1.E61.m1.4.4a.6.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6"><minus id="A1.E61.m1.4.4a.6.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.1"></minus><apply id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="A1.E61.m1.4.4a.6.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.2.3">0</cn></apply><apply id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.1.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.2.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A1.E61.m1.4.4a.6.3.3.cmml" xref="A1.E61.m1.4.4a.6.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E61.m1.4c">\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}=-2\sum_{l\neq 0}\frac{\bra{0}Z_{e}% \hat{r}_{i}\ket{l}\bra{l}Z_{e}\hat{r}_{i}\ket{0}}{\epsilon_{i}^{0}-\epsilon_{i% }^{l}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E61.m1.4d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = - 2 ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l ≠ 0 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ⟨ start_ARG 0 end_ARG | italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_l end_ARG ⟩ ⟨ start_ARG italic_l end_ARG | italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG 0 end_ARG ⟩ end_ARG start_ARG italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(61)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.5">using that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx31"> <tbody id="A1.E62"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bra{0}\hat{r}_{i}\ket{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E62.m1.2"><semantics id="A1.E62.m1.2a"><mrow id="A1.E62.m1.2.3" xref="A1.E62.m1.2.3.cmml"><mrow id="A1.E62.m1.1.1a.3" xref="A1.E62.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E62.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E62.m1.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mn id="A1.E62.m1.1.1.1.1" xref="A1.E62.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.E62.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E62.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.E62.m1.2.3.1" xref="A1.E62.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E62.m1.2.3.2" xref="A1.E62.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E62.m1.2.3.2.2" xref="A1.E62.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E62.m1.2.3.2.2.2" xref="A1.E62.m1.2.3.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E62.m1.2.3.2.2.1" xref="A1.E62.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E62.m1.2.3.2.3" xref="A1.E62.m1.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E62.m1.2.3.1a" xref="A1.E62.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E62.m1.2.2a.3" xref="A1.E62.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E62.m1.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E62.m1.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mi id="A1.E62.m1.2.2.1.1" xref="A1.E62.m1.2.2.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.E62.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E62.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E62.m1.2b"><apply id="A1.E62.m1.2.3.cmml" xref="A1.E62.m1.2.3"><times id="A1.E62.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.E62.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.E62.m1.1.1a.2.cmml" xref="A1.E62.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E62.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E62.m1.1.1a.3.1">bra</csymbol><cn id="A1.E62.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E62.m1.1.1.1.1">0</cn></apply><apply id="A1.E62.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.E62.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E62.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E62.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E62.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E62.m1.2.3.2.2"><ci id="A1.E62.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E62.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.E62.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E62.m1.2.3.2.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E62.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E62.m1.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E62.m1.2.2a.2.cmml" xref="A1.E62.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E62.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E62.m1.2.2a.3.1">ket</csymbol><ci id="A1.E62.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E62.m1.2.2.1.1">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E62.m1.2c">\displaystyle\bra{0}\hat{r}_{i}\ket{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E62.m1.2d">⟨ start_ARG 0 end_ARG | over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_l end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E62.m2.1"><semantics id="A1.E62.m2.1a"><mo id="A1.E62.m2.1.1" xref="A1.E62.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E62.m2.1b"><eq id="A1.E62.m2.1.1.cmml" xref="A1.E62.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E62.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E62.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bra{0}\hat{U}_{i}^{\dagger}\hat{U}_{i}\hat{r}_{i}\hat{U}_{i}^{% \dagger}\hat{U}_{i}\ket{l}=\bra{0^{\prime}}\hat{r}_{i}+\braket{r}_{0}\ket{l^{% \prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E62.m3.5"><semantics id="A1.E62.m3.5a"><mrow id="A1.E62.m3.5.6" xref="A1.E62.m3.5.6.cmml"><mrow id="A1.E62.m3.5.6.2" xref="A1.E62.m3.5.6.2.cmml"><mrow id="A1.E62.m3.1.1a.3" xref="A1.E62.m3.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E62.m3.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E62.m3.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><mn id="A1.E62.m3.1.1.1.1" xref="A1.E62.m3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.E62.m3.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E62.m3.1.1a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.E62.m3.5.6.2.1" xref="A1.E62.m3.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E62.m3.5.6.2.2" xref="A1.E62.m3.5.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E62.m3.5.6.2.2.2.2" xref="A1.E62.m3.5.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E62.m3.5.6.2.2.2.2.2" xref="A1.E62.m3.5.6.2.2.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="A1.E62.m3.5.6.2.2.2.2.1" xref="A1.E62.m3.5.6.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E62.m3.5.6.2.2.2.3" xref="A1.E62.m3.5.6.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="A1.E62.m3.5.6.2.2.3" xref="A1.E62.m3.5.6.2.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.E62.m3.5.6.2.1a" xref="A1.E62.m3.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E62.m3.5.6.2.3" xref="A1.E62.m3.5.6.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.E62.m3.5.6.2.3.2" xref="A1.E62.m3.5.6.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E62.m3.5.6.2.3.2.2" xref="A1.E62.m3.5.6.2.3.2.2.cmml">U</mi><mo id="A1.E62.m3.5.6.2.3.2.1" xref="A1.E62.m3.5.6.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E62.m3.5.6.2.3.3" 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id="A1.E62.m3.5.6.2.1d" xref="A1.E62.m3.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E62.m3.5.6.2.6" xref="A1.E62.m3.5.6.2.6.cmml"><mover accent="true" id="A1.E62.m3.5.6.2.6.2" xref="A1.E62.m3.5.6.2.6.2.cmml"><mi id="A1.E62.m3.5.6.2.6.2.2" xref="A1.E62.m3.5.6.2.6.2.2.cmml">U</mi><mo id="A1.E62.m3.5.6.2.6.2.1" xref="A1.E62.m3.5.6.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E62.m3.5.6.2.6.3" xref="A1.E62.m3.5.6.2.6.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E62.m3.5.6.2.1e" xref="A1.E62.m3.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E62.m3.2.2a.3" xref="A1.E62.m3.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E62.m3.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E62.m3.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mi id="A1.E62.m3.2.2.1.1" xref="A1.E62.m3.2.2.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.E62.m3.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E62.m3.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E62.m3.5.6.1" xref="A1.E62.m3.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.E62.m3.5.6.3" xref="A1.E62.m3.5.6.3.cmml"><mrow id="A1.E62.m3.5.6.3.2" xref="A1.E62.m3.5.6.3.2.cmml"><mrow id="A1.E62.m3.3.3a.3" 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id="A1.E62.m3.5c">\displaystyle\bra{0}\hat{U}_{i}^{\dagger}\hat{U}_{i}\hat{r}_{i}\hat{U}_{i}^{% \dagger}\hat{U}_{i}\ket{l}=\bra{0^{\prime}}\hat{r}_{i}+\braket{r}_{0}\ket{l^{% \prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E62.m3.5d">⟨ start_ARG 0 end_ARG | over^ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_l end_ARG ⟩ = ⟨ start_ARG 0 start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ⟨ start_ARG italic_r end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(62)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E63"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E63.m1.1"><semantics id="A1.E63.m1.1a"><mo id="A1.E63.m1.1.1" xref="A1.E63.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E63.m1.1b"><eq id="A1.E63.m1.1.1.cmml" xref="A1.E63.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E63.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E63.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bra{0^{\prime}}\hat{r}_{i}\ket{l^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E63.m2.2"><semantics id="A1.E63.m2.2a"><mrow id="A1.E63.m2.2.3" xref="A1.E63.m2.2.3.cmml"><mrow id="A1.E63.m2.1.1a.3" xref="A1.E63.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E63.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E63.m2.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="A1.E63.m2.1.1.1.1" xref="A1.E63.m2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E63.m2.1.1.1.1.2" xref="A1.E63.m2.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="A1.E63.m2.1.1.1.1.3" xref="A1.E63.m2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.E63.m2.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E63.m2.1.1a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.E63.m2.2.3.1" xref="A1.E63.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E63.m2.2.3.2" xref="A1.E63.m2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E63.m2.2.3.2.2" xref="A1.E63.m2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E63.m2.2.3.2.2.2" xref="A1.E63.m2.2.3.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E63.m2.2.3.2.2.1" xref="A1.E63.m2.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E63.m2.2.3.2.3" xref="A1.E63.m2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E63.m2.2.3.1a" xref="A1.E63.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E63.m2.2.2a.3" xref="A1.E63.m2.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E63.m2.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E63.m2.2.2a.2.1.cmml">|</mo><msup id="A1.E63.m2.2.2.1.1" xref="A1.E63.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.E63.m2.2.2.1.1.2" xref="A1.E63.m2.2.2.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E63.m2.2.2.1.1.3" xref="A1.E63.m2.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.E63.m2.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E63.m2.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E63.m2.2b"><apply id="A1.E63.m2.2.3.cmml" xref="A1.E63.m2.2.3"><times id="A1.E63.m2.2.3.1.cmml" xref="A1.E63.m2.2.3.1"></times><apply id="A1.E63.m2.1.1a.2.cmml" xref="A1.E63.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E63.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="A1.E63.m2.1.1a.3.1">bra</csymbol><apply id="A1.E63.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E63.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E63.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E63.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><cn id="A1.E63.m2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.E63.m2.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="A1.E63.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E63.m2.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A1.E63.m2.2.3.2.cmml" xref="A1.E63.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E63.m2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E63.m2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E63.m2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E63.m2.2.3.2.2"><ci id="A1.E63.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E63.m2.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.E63.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E63.m2.2.3.2.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E63.m2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E63.m2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E63.m2.2.2a.2.cmml" xref="A1.E63.m2.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E63.m2.2.2a.2.1.cmml" xref="A1.E63.m2.2.2a.3.1">ket</csymbol><apply id="A1.E63.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E63.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E63.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E63.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.E63.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E63.m2.2.2.1.1.2">𝑙</ci><ci id="A1.E63.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E63.m2.2.2.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E63.m2.2c">\displaystyle\bra{0^{\prime}}\hat{r}_{i}\ket{l^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E63.m2.2d">⟨ start_ARG 0 start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(63)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.2">where the <sup class="ltx_sup" id="A1.p4.2.1">′</sup> indicates a bare (no shift) quantum harmonic oscillator wave-function <math alttext="\ket{\psi^{\prime}}=\hat{U}_{i}\ket{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.2.m2.2"><semantics id="A1.p4.2.m2.2a"><mrow id="A1.p4.2.m2.2.3" xref="A1.p4.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="A1.p4.2.m2.1.1.3" xref="A1.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.p4.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="A1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.2" xref="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.3" xref="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.p4.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.p4.2.m2.2.3.1" xref="A1.p4.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p4.2.m2.2.3.2" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.cmml"><msub id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.2" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.1" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.3" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.p4.2.m2.2.3.2.1" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p4.2.m2.2.2.3" xref="A1.p4.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.p4.2.m2.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.p4.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="A1.p4.2.m2.2.2.1.1" xref="A1.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="A1.p4.2.m2.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A1.p4.2.m2.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.2.m2.2b"><apply id="A1.p4.2.m2.2.3.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3"><eq id="A1.p4.2.m2.2.3.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.1"></eq><apply id="A1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A1.p4.2.m2.2.3.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2"><times id="A1.p4.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.1"></times><apply id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2"><ci id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.2.2">𝑈</ci></apply><ci id="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.3.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.p4.2.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.2.3.1">ket</csymbol><ci id="A1.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.2.2.1.1">𝜓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.2.m2.2c">\ket{\psi^{\prime}}=\hat{U}_{i}\ket{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.2.m2.2d">| start_ARG italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ = over^ start_ARG italic_U end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_ψ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>. Consequently, only the first excited state has a non-zero contribution to the transition dipole element and we recover the dressed perturbative solution for the local polarizability as,<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib39" title="">39</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx32"> <tbody id="A1.E64"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E64.m1.1"><semantics id="A1.E64.m1.1a"><msubsup id="A1.E64.m1.1.1" xref="A1.E64.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E64.m1.1.1.2.2" xref="A1.E64.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.E64.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.E64.m1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.E64.m1.1.1.2.2.1" xref="A1.E64.m1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.E64.m1.1.1.3" xref="A1.E64.m1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="A1.E64.m1.1.1.2.3" xref="A1.E64.m1.1.1.2.3.cmml">pert</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E64.m1.1b"><apply id="A1.E64.m1.1.1.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E64.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E64.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E64.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E64.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1.2.2"><ci id="A1.E64.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="A1.E64.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="A1.E64.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1.2.3">pert</ci></apply><ci id="A1.E64.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E64.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E64.m1.1c">\displaystyle\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E64.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E64.m2.1"><semantics id="A1.E64.m2.1a"><mo id="A1.E64.m2.1.1" xref="A1.E64.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E64.m2.1b"><eq id="A1.E64.m2.1.1.cmml" xref="A1.E64.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E64.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E64.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{2Z_{e}^{2}}{\nu_{2}}\bra{0^{\prime}}\hat{r}_{i}\ket{1^{% \prime}}\bra{1^{\prime}}\hat{r}_{i}\ket{0^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E64.m3.4"><semantics id="A1.E64.m3.4a"><mrow id="A1.E64.m3.4.5" xref="A1.E64.m3.4.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E64.m3.4.5.2" xref="A1.E64.m3.4.5.2.cmml"><mfrac id="A1.E64.m3.4.5.2a" xref="A1.E64.m3.4.5.2.cmml"><mrow id="A1.E64.m3.4.5.2.2" xref="A1.E64.m3.4.5.2.2.cmml"><mn id="A1.E64.m3.4.5.2.2.2" xref="A1.E64.m3.4.5.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E64.m3.4.5.2.2.1" xref="A1.E64.m3.4.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E64.m3.4.5.2.2.3" xref="A1.E64.m3.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E64.m3.4.5.2.2.3.2.2" xref="A1.E64.m3.4.5.2.2.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E64.m3.4.5.2.2.3.2.3" xref="A1.E64.m3.4.5.2.2.3.2.3.cmml">e</mi><mn id="A1.E64.m3.4.5.2.2.3.3" xref="A1.E64.m3.4.5.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><msub id="A1.E64.m3.4.5.2.3" xref="A1.E64.m3.4.5.2.3.cmml"><mi id="A1.E64.m3.4.5.2.3.2" xref="A1.E64.m3.4.5.2.3.2.cmml">ν</mi><mn id="A1.E64.m3.4.5.2.3.3" xref="A1.E64.m3.4.5.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mfrac></mstyle><mo id="A1.E64.m3.4.5.1" xref="A1.E64.m3.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E64.m3.1.1a.3" xref="A1.E64.m3.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E64.m3.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A1.E64.m3.1.1a.2.1.cmml">⟨</mo><msup id="A1.E64.m3.1.1.1.1" xref="A1.E64.m3.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E64.m3.1.1.1.1.2" xref="A1.E64.m3.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="A1.E64.m3.1.1.1.1.3" xref="A1.E64.m3.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.E64.m3.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A1.E64.m3.1.1a.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.E64.m3.4.5.1a" xref="A1.E64.m3.4.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E64.m3.4.5.3" xref="A1.E64.m3.4.5.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.E64.m3.4.5.3.2" xref="A1.E64.m3.4.5.3.2.cmml"><mi id="A1.E64.m3.4.5.3.2.2" xref="A1.E64.m3.4.5.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E64.m3.4.5.3.2.1" xref="A1.E64.m3.4.5.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E64.m3.4.5.3.3" xref="A1.E64.m3.4.5.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.E64.m3.4.5.1b" xref="A1.E64.m3.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E64.m3.2.2a.3" xref="A1.E64.m3.2.2a.2.cmml"><mo id="A1.E64.m3.2.2a.3.1" stretchy="false" 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id="A1.E64.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.E64.m3.3.3.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A1.E64.m3.4.5.4.cmml" xref="A1.E64.m3.4.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E64.m3.4.5.4.1.cmml" xref="A1.E64.m3.4.5.4">subscript</csymbol><apply id="A1.E64.m3.4.5.4.2.cmml" xref="A1.E64.m3.4.5.4.2"><ci id="A1.E64.m3.4.5.4.2.1.cmml" xref="A1.E64.m3.4.5.4.2.1">^</ci><ci id="A1.E64.m3.4.5.4.2.2.cmml" xref="A1.E64.m3.4.5.4.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E64.m3.4.5.4.3.cmml" xref="A1.E64.m3.4.5.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E64.m3.4.4a.2.cmml" xref="A1.E64.m3.4.4a.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E64.m3.4.4a.2.1.cmml" xref="A1.E64.m3.4.4a.3.1">ket</csymbol><apply id="A1.E64.m3.4.4.1.1.cmml" xref="A1.E64.m3.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E64.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.E64.m3.4.4.1.1">superscript</csymbol><cn id="A1.E64.m3.4.4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.E64.m3.4.4.1.1.2">0</cn><ci id="A1.E64.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="A1.E64.m3.4.4.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E64.m3.4c">\displaystyle\frac{2Z_{e}^{2}}{\nu_{2}}\bra{0^{\prime}}\hat{r}_{i}\ket{1^{% \prime}}\bra{1^{\prime}}\hat{r}_{i}\ket{0^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E64.m3.4d">divide start_ARG 2 italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ν start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟨ start_ARG 0 start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG 1 start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ ⟨ start_ARG 1 start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | over^ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG 0 start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(64)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E65"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E65.m1.1"><semantics id="A1.E65.m1.1a"><mo id="A1.E65.m1.1.1" xref="A1.E65.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E65.m1.1b"><eq id="A1.E65.m1.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E65.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E65.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{2Z_{e}^{2}}{\nu_{2}}\bigg{(}\frac{1}{\sqrt{2\nu_{2}}}\bigg{% )}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E65.m2.1"><semantics id="A1.E65.m2.1a"><mrow id="A1.E65.m2.1.2" xref="A1.E65.m2.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E65.m2.1.2.2" xref="A1.E65.m2.1.2.2.cmml"><mfrac id="A1.E65.m2.1.2.2a" xref="A1.E65.m2.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.E65.m2.1.2.2.2" xref="A1.E65.m2.1.2.2.2.cmml"><mn id="A1.E65.m2.1.2.2.2.2" xref="A1.E65.m2.1.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E65.m2.1.2.2.2.1" xref="A1.E65.m2.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E65.m2.1.2.2.2.3" xref="A1.E65.m2.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E65.m2.1.2.2.2.3.2.2" xref="A1.E65.m2.1.2.2.2.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A1.E65.m2.1.2.2.2.3.2.3" xref="A1.E65.m2.1.2.2.2.3.2.3.cmml">e</mi><mn id="A1.E65.m2.1.2.2.2.3.3" xref="A1.E65.m2.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><msub id="A1.E65.m2.1.2.2.3" xref="A1.E65.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E65.m2.1.2.2.3.2" xref="A1.E65.m2.1.2.2.3.2.cmml">ν</mi><mn id="A1.E65.m2.1.2.2.3.3" xref="A1.E65.m2.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mfrac></mstyle><mo id="A1.E65.m2.1.2.1" xref="A1.E65.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E65.m2.1.2.3" xref="A1.E65.m2.1.2.3.cmml"><mrow id="A1.E65.m2.1.2.3.2.2" xref="A1.E65.m2.1.1.cmml"><mo id="A1.E65.m2.1.2.3.2.2.1" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.E65.m2.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.E65.m2.1.1" xref="A1.E65.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A1.E65.m2.1.1a" xref="A1.E65.m2.1.1.cmml"><mn id="A1.E65.m2.1.1.2" xref="A1.E65.m2.1.1.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.E65.m2.1.1.3" xref="A1.E65.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E65.m2.1.1.3.2" xref="A1.E65.m2.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.E65.m2.1.1.3.2.2" xref="A1.E65.m2.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E65.m2.1.1.3.2.1" xref="A1.E65.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E65.m2.1.1.3.2.3" xref="A1.E65.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E65.m2.1.1.3.2.3.2" xref="A1.E65.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">ν</mi><mn id="A1.E65.m2.1.1.3.2.3.3" 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ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E66.m1.1"><semantics id="A1.E66.m1.1a"><mo id="A1.E66.m1.1.1" xref="A1.E66.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E66.m1.1b"><eq id="A1.E66.m1.1.1.cmml" xref="A1.E66.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E66.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E66.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{Z_{e}^{2}}{\lambda^{2}Z_{e}^{2}+N_{n}k_{e}}=\alpha_{i}% \gamma^{2}(1,\lambda)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E66.m2.3"><semantics id="A1.E66.m2.3a"><mrow id="A1.E66.m2.3.3.1" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.E66.m2.3.3.1.1" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2a" 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id="A1.E66.m2.2.2" xref="A1.E66.m2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E66.m2.3.3.1.2" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E66.m2.3b"><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1"><eq id="A1.E66.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.1"></eq><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2"><divide id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2"></divide><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3"><plus id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.1"></plus><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2"><times id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.1"></times><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.2.2">𝜆</ci><cn id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3"><times id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.1"></times><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.2.2">𝑁</ci><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.2.3.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3"><times id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.3.2">𝛾</ci><cn id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.E66.m2.3.3.1.1.3.4.2"><cn id="A1.E66.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E66.m2.1.1">1</cn><ci id="A1.E66.m2.2.2.cmml" xref="A1.E66.m2.2.2">𝜆</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E66.m2.3c">\displaystyle\frac{Z_{e}^{2}}{\lambda^{2}Z_{e}^{2}+N_{n}k_{e}}=\alpha_{i}% \gamma^{2}(1,\lambda),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E66.m2.3d">divide start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , italic_λ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(66)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.3">which leads to the erroneous perturbative scaling relation summarized in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E38" title="In III.1.1 Polarizabilities from Perturbation Theory ‣ III.1 Modified Polarizabilities Under Collective VSC ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">38</span></a>). The generalization to the collective case is trivial, yielding <math alttext="\tilde{\alpha}^{\rm pert}=N\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.3.m1.1"><semantics id="A1.p4.3.m1.1a"><mrow id="A1.p4.3.m1.1.1" xref="A1.p4.3.m1.1.1.cmml"><msup id="A1.p4.3.m1.1.1.2" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.p4.3.m1.1.1.2.2" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.1" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.p4.3.m1.1.1.2.3" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.3.cmml">pert</mi></msup><mo id="A1.p4.3.m1.1.1.1" xref="A1.p4.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p4.3.m1.1.1.3" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p4.3.m1.1.1.3.2" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="A1.p4.3.m1.1.1.3.1" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.3" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi><mi id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">pert</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.3.m1.1b"><apply id="A1.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1"><eq id="A1.p4.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.1"></eq><apply id="A1.p4.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.2"><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.2.3">pert</ci></apply><apply id="A1.p4.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3"><times id="A1.p4.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2"><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.3">pert</ci></apply><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.3.m1.1c">\tilde{\alpha}^{\rm pert}=N\tilde{\alpha}^{\rm pert}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.3.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT = italic_N over~ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT roman_pert end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix B </span>Uncoupled CO<sub class="ltx_sub" id="A2.3.1">2</sub> Molecule</h2> <div class="ltx_para" id="A2.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.p1.1">Next, we want to write the equation of motion of the nuclei in such a way that the influence, i.e., the coupling, of the cavity can be easily observed. The vibrations of a CO<sub class="ltx_sub" id="A2.p1.1.1">2</sub> molecule can be approximated by the classical motion of the nuclei each interacting harmonically with its neighbor via the potential</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E67"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{i}(\mathbf{R}_{i})=\frac{k_{n}}{2}(R_{i1}-R_{i2})^{2}+\frac{k_{n}}{2}(R_{i2% }-R_{i3})^{2}\\ " class="ltx_Math" display="block" id="A2.E67.m1.3"><semantics id="A2.E67.m1.3a"><mrow id="A2.E67.m1.3.3" xref="A2.E67.m1.3.3.cmml"><mrow id="A2.E67.m1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E67.m1.1.1.1.3" xref="A2.E67.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E67.m1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="A2.E67.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E67.m1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.E67.m1.1.1.1.2" xref="A2.E67.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐑</mi><mi id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E67.m1.3.3.4" xref="A2.E67.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="A2.E67.m1.3.3.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A2.E67.m1.2.2.2.1" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.cmml"><mfrac id="A2.E67.m1.2.2.2.1.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.cmml"><msub id="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.2.2" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.2.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.2.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mn id="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E67.m1.2.2.2.1.2" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.3" xref="A2.E67.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A2.E67.m1.3.3.3.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.3.cmml">+</mo><mrow id="A2.E67.m1.3.3.3.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.cmml"><mfrac id="A2.E67.m1.3.3.3.2.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.cmml"><msub id="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.2.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.2.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.2.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mn id="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E67.m1.3.3.3.2.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.cmml"><mrow id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.3" 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xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3"><times id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><cn id="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E67.m1.3.3.3.2.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E67.m1.3c">W_{i}(\mathbf{R}_{i})=\frac{k_{n}}{2}(R_{i1}-R_{i2})^{2}+\frac{k_{n}}{2}(R_{i2% }-R_{i3})^{2}\\ </annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E67.m1.3d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( bold_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 3 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(67)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.p2.2">For the bare molecules we can perform a simple normal mode expansion. From the classical equations of motion for the bare molecules</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx33"> <tbody id="A2.E68"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M_{O}\ddot{R}_{i1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E68.m1.1"><semantics id="A2.E68.m1.1a"><mrow id="A2.E68.m1.1.1" xref="A2.E68.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.E68.m1.1.1.2" xref="A2.E68.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E68.m1.1.1.2.2" xref="A2.E68.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E68.m1.1.1.2.3" xref="A2.E68.m1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A2.E68.m1.1.1.1" xref="A2.E68.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E68.m1.1.1.3" xref="A2.E68.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E68.m1.1.1.3.2" xref="A2.E68.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E68.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E68.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="A2.E68.m1.1.1.3.2.1" xref="A2.E68.m1.1.1.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="A2.E68.m1.1.1.3.3" xref="A2.E68.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E68.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.E68.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E68.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.E68.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E68.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.E68.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E68.m1.1b"><apply id="A2.E68.m1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1"><times id="A2.E68.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.E68.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E68.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E68.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E68.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A2.E68.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E68.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A2.E68.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3.2"><ci id="A2.E68.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3.2.1">¨</ci><ci id="A2.E68.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="A2.E68.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3.3"><times id="A2.E68.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E68.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E68.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E68.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E68.m1.1c">\displaystyle M_{O}\ddot{R}_{i1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E68.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E68.m2.1"><semantics id="A2.E68.m2.1a"><mo id="A2.E68.m2.1.1" xref="A2.E68.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E68.m2.1b"><eq id="A2.E68.m2.1.1.cmml" xref="A2.E68.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E68.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E68.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-k_{n}(R_{i1}-R_{i2})," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E68.m3.1"><semantics id="A2.E68.m3.1a"><mrow id="A2.E68.m3.1.1.1" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E68.m3.1.1.1.1" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E68.m3.1.1.1.1a" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E68.m3.1.1.1.2" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E68.m3.1b"><apply id="A2.E68.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1"><minus id="A2.E68.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1"></minus><apply id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1"><times id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E68.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E68.m3.1c">\displaystyle-k_{n}(R_{i1}-R_{i2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E68.m3.1d">- italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(68)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E69"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M_{C}\ddot{R}_{i2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E69.m1.1"><semantics id="A2.E69.m1.1a"><mrow id="A2.E69.m1.1.1" xref="A2.E69.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.E69.m1.1.1.2" xref="A2.E69.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E69.m1.1.1.2.2" xref="A2.E69.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E69.m1.1.1.2.3" xref="A2.E69.m1.1.1.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="A2.E69.m1.1.1.1" xref="A2.E69.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E69.m1.1.1.3" xref="A2.E69.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E69.m1.1.1.3.2" xref="A2.E69.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E69.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E69.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="A2.E69.m1.1.1.3.2.1" xref="A2.E69.m1.1.1.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="A2.E69.m1.1.1.3.3" xref="A2.E69.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E69.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.E69.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E69.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.E69.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E69.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.E69.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E69.m1.1b"><apply id="A2.E69.m1.1.1.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1"><times id="A2.E69.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.E69.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E69.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E69.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E69.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="A2.E69.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E69.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A2.E69.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.3.2"><ci id="A2.E69.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.3.2.1">¨</ci><ci id="A2.E69.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="A2.E69.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.3.3"><times id="A2.E69.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E69.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E69.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E69.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E69.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E69.m1.1c">\displaystyle M_{C}\ddot{R}_{i2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E69.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E69.m2.1"><semantics id="A2.E69.m2.1a"><mo id="A2.E69.m2.1.1" xref="A2.E69.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E69.m2.1b"><eq id="A2.E69.m2.1.1.cmml" xref="A2.E69.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E69.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E69.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle k_{n}(R_{i1}-R_{i2})-k_{n}(R_{i2}-R_{i3})," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E69.m3.1"><semantics id="A2.E69.m3.1a"><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" 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id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2"><times id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" 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xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3"><times id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E69.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E69.m3.1c">\displaystyle k_{n}(R_{i1}-R_{i2})-k_{n}(R_{i2}-R_{i3}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E69.m3.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 3 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(69)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E70"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M_{O}\ddot{R}_{i3}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E70.m1.1"><semantics id="A2.E70.m1.1a"><mrow id="A2.E70.m1.1.1" xref="A2.E70.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.E70.m1.1.1.2" xref="A2.E70.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E70.m1.1.1.2.2" xref="A2.E70.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E70.m1.1.1.2.3" xref="A2.E70.m1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A2.E70.m1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E70.m1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E70.m1.1.1.3.2" xref="A2.E70.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E70.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E70.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="A2.E70.m1.1.1.3.2.1" xref="A2.E70.m1.1.1.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="A2.E70.m1.1.1.3.3" xref="A2.E70.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E70.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.E70.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E70.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.E70.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E70.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.E70.m1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E70.m1.1b"><apply id="A2.E70.m1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1"><times id="A2.E70.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.E70.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E70.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A2.E70.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.3.2"><ci id="A2.E70.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.3.2.1">¨</ci><ci id="A2.E70.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.3.3"><times id="A2.E70.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E70.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E70.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E70.m1.1c">\displaystyle M_{O}\ddot{R}_{i3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E70.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E70.m2.1"><semantics id="A2.E70.m2.1a"><mo id="A2.E70.m2.1.1" xref="A2.E70.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E70.m2.1b"><eq id="A2.E70.m2.1.1.cmml" xref="A2.E70.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E70.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E70.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle k_{n}(R_{i2}-R_{i3})," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E70.m3.1"><semantics id="A2.E70.m3.1a"><mrow id="A2.E70.m3.1.1.1" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E70.m3.1.1.1.1" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E70.m3.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A2.E70.m3.1.1.1.1.2" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E70.m3.1.1.1.2" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E70.m3.1b"><apply id="A2.E70.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1"><times id="A2.E70.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E70.m3.1c">\displaystyle k_{n}(R_{i2}-R_{i3}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E70.m3.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 3 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(70)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p2.3">the following three normal-mode coordinates, denoted respectively as translational, symmetric and asymmetric, suggest themselves <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib39" title="">39</a>]</cite></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A3.EGx34"> <tbody id="A2.E71"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rho_{{\rm t},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E71.m1.2"><semantics id="A2.E71.m1.2a"><msub id="A2.E71.m1.2.3" xref="A2.E71.m1.2.3.cmml"><mi id="A2.E71.m1.2.3.2" xref="A2.E71.m1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E71.m1.2.2.2.4" xref="A2.E71.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E71.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E71.m1.2.2.2.4.1" xref="A2.E71.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E71.m1.2.2.2.2" xref="A2.E71.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E71.m1.2b"><apply id="A2.E71.m1.2.3.cmml" xref="A2.E71.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E71.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E71.m1.2.3.2">𝜌</ci><list id="A2.E71.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E71.m1.2.2.2.4"><ci id="A2.E71.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1">t</ci><ci id="A2.E71.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E71.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E71.m1.2c">\displaystyle\rho_{{\rm t},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E71.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_t , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E71.m2.1"><semantics id="A2.E71.m2.1a"><mo id="A2.E71.m2.1.1" xref="A2.E71.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E71.m2.1b"><eq id="A2.E71.m2.1.1.cmml" xref="A2.E71.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E71.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E71.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\sqrt{M}}\left(M_{O}R_{i1}+M_{C}R_{i2}+M_{O}R_{i3}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E71.m3.1"><semantics id="A2.E71.m3.1a"><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3a" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">M</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E71.m3.1.1.1.2" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E71.m3.1b"><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1"><times id="A2.E71.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3"><divide id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3"><root id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3"></root><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.3.3.2">𝑀</ci></apply></apply><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1"><plus id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3"><times id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1"></times><ci id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E71.m3.1c">\displaystyle\frac{1}{\sqrt{M}}\left(M_{O}R_{i1}+M_{C}R_{i2}+M_{O}R_{i3}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E71.m3.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_M end_ARG end_ARG ( italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 3 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(71)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E72"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rho_{{\rm s},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E72.m1.2"><semantics id="A2.E72.m1.2a"><msub id="A2.E72.m1.2.3" xref="A2.E72.m1.2.3.cmml"><mi id="A2.E72.m1.2.3.2" xref="A2.E72.m1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E72.m1.2.2.2.4" xref="A2.E72.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E72.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A2.E72.m1.2.2.2.4.1" xref="A2.E72.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E72.m1.2.2.2.2" xref="A2.E72.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E72.m1.2b"><apply id="A2.E72.m1.2.3.cmml" xref="A2.E72.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E72.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E72.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E72.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E72.m1.2.3.2">𝜌</ci><list id="A2.E72.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E72.m1.2.2.2.4"><ci id="A2.E72.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1">s</ci><ci id="A2.E72.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E72.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E72.m1.2c">\displaystyle\rho_{{\rm s},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E72.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_s , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E72.m2.1"><semantics id="A2.E72.m2.1a"><mo id="A2.E72.m2.1.1" xref="A2.E72.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E72.m2.1b"><eq id="A2.E72.m2.1.1.cmml" xref="A2.E72.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E72.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E72.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\sqrt{M_{O}}}{\sqrt{2}}\left(R_{i1}-R_{i3}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E72.m3.1"><semantics id="A2.E72.m3.1a"><mrow id="A2.E72.m3.1.1.1" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E72.m3.1.1.1.1" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3a" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.cmml"><msqrt id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">O</mi></msub></msqrt><msqrt id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A2.E72.m3.1.1.1.1.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E72.m3.1.1.1.2" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E72.m3.1b"><apply id="A2.E72.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1"><times id="A2.E72.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3"><divide id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3"></divide><apply id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2"><root id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2a.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2"></root><apply id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3"><root id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3"></root><cn id="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.3.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E72.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" 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encoding="application/x-llamapun" id="A2.E72.m3.1d">divide start_ARG square-root start_ARG italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 end_ARG end_ARG ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 3 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(72)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E73"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rho_{{\rm a},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E73.m1.2"><semantics id="A2.E73.m1.2a"><msub id="A2.E73.m1.2.3" xref="A2.E73.m1.2.3.cmml"><mi id="A2.E73.m1.2.3.2" xref="A2.E73.m1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E73.m1.2.2.2.4" xref="A2.E73.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E73.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="A2.E73.m1.2.2.2.4.1" xref="A2.E73.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E73.m1.2.2.2.2" xref="A2.E73.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E73.m1.2b"><apply id="A2.E73.m1.2.3.cmml" xref="A2.E73.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E73.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E73.m1.2.3.2">𝜌</ci><list id="A2.E73.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E73.m1.2.2.2.4"><ci id="A2.E73.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1">a</ci><ci id="A2.E73.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E73.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E73.m1.2c">\displaystyle\rho_{{\rm a},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E73.m1.2d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E73.m2.1"><semantics id="A2.E73.m2.1a"><mo id="A2.E73.m2.1.1" xref="A2.E73.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E73.m2.1b"><eq id="A2.E73.m2.1.1.cmml" xref="A2.E73.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E73.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E73.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\sqrt{M_{O}M_{C}}}{\sqrt{2M}}\left(R_{i1}-2R_{i2}+R_{i3}% \right)," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E73.m3.1"><semantics id="A2.E73.m3.1a"><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3a" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.cmml"><msqrt id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">C</mi></msub></mrow></msqrt><msqrt id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">M</mi></mrow></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E73.m3.1.1.1.2" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E73.m3.1b"><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1"><times id="A2.E73.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3"><divide id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3"></divide><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2"><root id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2a.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2"></root><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2"><times id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑀</ci><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3"><root id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3"></root><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2"><times id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.1"></times><cn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.2">2</cn><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑀</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1"><plus id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><times id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1"></times><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E73.m3.1c">\displaystyle\frac{\sqrt{M_{O}M_{C}}}{\sqrt{2M}}\left(R_{i1}-2R_{i2}+R_{i3}% \right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E73.m3.1d">divide start_ARG square-root start_ARG italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 italic_M end_ARG end_ARG ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT - 2 italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i 3 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(73)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p2.1">with <math alttext="M=2M_{O}+M_{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.1.m1.1"><semantics id="A2.p2.1.m1.1a"><mrow id="A2.p2.1.m1.1.1" xref="A2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="A2.p2.1.m1.1.1.1" xref="A2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.p2.1.m1.1.1.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.1" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">M</mi><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="A2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">C</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.1.m1.1b"><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1"><eq id="A2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.2">𝑀</ci><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3"><plus id="A2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2"><times id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.1"></times><cn id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑀</ci><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.2">𝑀</ci><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.1.m1.1c">M=2M_{O}+M_{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.1.m1.1d">italic_M = 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT + italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Their corresponding equation of motions are given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx35"> <tbody id="A2.E74"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm t},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E74.m1.2"><semantics id="A2.E74.m1.2a"><msub id="A2.E74.m1.2.3" xref="A2.E74.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E74.m1.2.3.2" xref="A2.E74.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E74.m1.2.3.2.2" xref="A2.E74.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E74.m1.2.3.2.1" xref="A2.E74.m1.2.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="A2.E74.m1.2.2.2.4" xref="A2.E74.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E74.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E74.m1.2.2.2.4.1" xref="A2.E74.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E74.m1.2.2.2.2" xref="A2.E74.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E74.m1.2b"><apply id="A2.E74.m1.2.3.cmml" xref="A2.E74.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E74.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E74.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="A2.E74.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E74.m1.2.3.2"><ci id="A2.E74.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E74.m1.2.3.2.1">¨</ci><ci id="A2.E74.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E74.m1.2.3.2.2">𝜌</ci></apply><list id="A2.E74.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E74.m1.2.2.2.4"><ci id="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1">t</ci><ci id="A2.E74.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E74.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E74.m1.2c">\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm t},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E74.m1.2d">over¨ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_t , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E74.m2.1"><semantics id="A2.E74.m2.1a"><mrow id="A2.E74.m2.1.1.1" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E74.m2.1.1.1.1" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E74.m2.1.1.1.1.2" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A2.E74.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E74.m2.1.1.1.1.3" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="A2.E74.m2.1.1.1.2" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E74.m2.1b"><apply id="A2.E74.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E74.m2.1.1.1"><eq id="A2.E74.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E74.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><cn id="A2.E74.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E74.m2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E74.m2.1c">\displaystyle=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E74.m2.1d">= 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(74)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E75"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm s},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E75.m1.2"><semantics id="A2.E75.m1.2a"><msub id="A2.E75.m1.2.3" xref="A2.E75.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E75.m1.2.3.2" xref="A2.E75.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E75.m1.2.3.2.2" xref="A2.E75.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E75.m1.2.3.2.1" xref="A2.E75.m1.2.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="A2.E75.m1.2.2.2.4" xref="A2.E75.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A2.E75.m1.2.2.2.4.1" xref="A2.E75.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E75.m1.2.2.2.2" xref="A2.E75.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E75.m1.2b"><apply id="A2.E75.m1.2.3.cmml" xref="A2.E75.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E75.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="A2.E75.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E75.m1.2.3.2"><ci id="A2.E75.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E75.m1.2.3.2.1">¨</ci><ci id="A2.E75.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E75.m1.2.3.2.2">𝜌</ci></apply><list id="A2.E75.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E75.m1.2.2.2.4"><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1">s</ci><ci id="A2.E75.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E75.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E75.m1.2c">\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm s},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E75.m1.2d">over¨ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_s , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\underbrace{\frac{k_{n}}{M_{O}}}_{=k_{\rm s}}\rho_{{\rm s},i}," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E75.m2.3"><semantics id="A2.E75.m2.3a"><mrow id="A2.E75.m2.3.3.1" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A2.E75.m2.3.3.1.1" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A2.E75.m2.3.3.1.1.1" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3a" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.cmml"><munder id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><munder accentunder="true" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2a" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><msub id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><msub id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">O</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.1" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⏟</mo></munder><mrow id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.1" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">s</mi></msub></mrow></munder><mo id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.1" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E75.m2.2.2.2.4" xref="A2.E75.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E75.m2.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A2.E75.m2.1.1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A2.E75.m2.2.2.2.4.1" xref="A2.E75.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E75.m2.2.2.2.2" xref="A2.E75.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E75.m2.3.3.1.2" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E75.m2.3b"><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1"><eq id="A2.E75.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3"><minus id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3"></minus><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2"><times id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.1"></times><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2"><ci id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.1">⏟</ci><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2"><divide id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2"></divide><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝑀</ci><ci id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3">𝑂</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3"><eq id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.2">absent</csymbol><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3">s</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E75.m2.3.3.1.1.3.2.3.2">𝜌</ci><list id="A2.E75.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E75.m2.2.2.2.4"><ci id="A2.E75.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E75.m2.1.1.1.1">s</ci><ci id="A2.E75.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E75.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E75.m2.3c">\displaystyle=-\underbrace{\frac{k_{n}}{M_{O}}}_{=k_{\rm s}}\rho_{{\rm s},i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E75.m2.3d">= - under⏟ start_ARG divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT = italic_k start_POSTSUBSCRIPT roman_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_s , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(75)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm a},i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E76.m1.2"><semantics id="A2.E76.m1.2a"><msub id="A2.E76.m1.2.3" xref="A2.E76.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E76.m1.2.3.2" xref="A2.E76.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E76.m1.2.3.2.2" xref="A2.E76.m1.2.3.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E76.m1.2.3.2.1" xref="A2.E76.m1.2.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="A2.E76.m1.2.2.2.4" xref="A2.E76.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E76.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A2.E76.m1.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="A2.E76.m1.2.2.2.4.1" xref="A2.E76.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E76.m1.2.2.2.2" xref="A2.E76.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E76.m1.2b"><apply id="A2.E76.m1.2.3.cmml" xref="A2.E76.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E76.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E76.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="A2.E76.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E76.m1.2.3.2"><ci id="A2.E76.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E76.m1.2.3.2.1">¨</ci><ci id="A2.E76.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E76.m1.2.3.2.2">𝜌</ci></apply><list id="A2.E76.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E76.m1.2.2.2.4"><ci id="A2.E76.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E76.m1.1.1.1.1">a</ci><ci id="A2.E76.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E76.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E76.m1.2c">\displaystyle\ddot{\rho}_{{\rm a},i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E76.m1.2d">over¨ start_ARG italic_ρ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_a , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\underbrace{\frac{Mk_{n}}{M_{O}M_{C}}}_{=k_{\rm a}}\rho_{{\rm a% },i}." class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E76.m2.3"><semantics id="A2.E76.m2.3a"><mrow id="A2.E76.m2.3.3.1" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A2.E76.m2.3.3.1.1" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A2.E76.m2.3.3.1.1.1" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3a" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.cmml"><munder id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><munder accentunder="true" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2a" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">M</mi><mo id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mrow id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.1" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2.cmml">M</mi><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3.cmml">C</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.1" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⏟</mo></munder><mrow id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.1" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow></munder><mo id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.1" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E76.m2.2.2.2.4" xref="A2.E76.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E76.m2.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A2.E76.m2.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="A2.E76.m2.2.2.2.4.1" xref="A2.E76.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E76.m2.2.2.2.2" xref="A2.E76.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E76.m2.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E76.m2.3b"><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1"><eq id="A2.E76.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3"><minus id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3"></minus><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2"><times id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.1"></times><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2"><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.1">⏟</ci><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2"><divide id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2"></divide><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2"><times id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝑀</ci><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3"><times id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2">𝑀</ci><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3"><eq id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.2">absent</csymbol><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.3.3">a</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E76.m2.3.3.1.1.3.2.3.2">𝜌</ci><list id="A2.E76.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E76.m2.2.2.2.4"><ci id="A2.E76.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E76.m2.1.1.1.1">a</ci><ci id="A2.E76.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E76.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E76.m2.3c">\displaystyle=-\underbrace{\frac{Mk_{n}}{M_{O}M_{C}}}_{=k_{\rm a}}\rho_{{\rm a% },i}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E76.m2.3d">= - under⏟ start_ARG divide start_ARG italic_M italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT = italic_k start_POSTSUBSCRIPT roman_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT roman_a , italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(76)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p2.4">As the translational mode describes the motion of the center of mass of the molecule it has 0 eigenfrequency.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.p3.2">To have the same equations of motions for our single-electron molecule outside the cavity we are free to make the choice for the nuclear potential as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E77"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V_{i}(\mathbf{R}_{i})=W_{i}(\mathbf{R}_{i})-\frac{k_{e}}{2}\Bigg{(}\sum_{n=1}^% {3}R_{in}^{2}-\frac{1}{3}\bigg{(}\sum_{n=1}^{3}R_{in}\bigg{)}^{2}\Bigg{)}." class="ltx_Math" display="block" id="A2.E77.m1.1"><semantics id="A2.E77.m1.1a"><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐑</mi><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">𝐑</mi><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">k</mi><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">e</mi></msub><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml">3</mn></munderover><msubsup id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">n</mi></mrow><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mfrac><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></munderover><msub id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E77.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E77.m1.1b"><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1"><eq id="A2.E77.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐑</ci><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.3"></minus><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1"><times id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.2"></times><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑊</ci><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝐑</ci><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.2"></times><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3"><divide id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3"></divide><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1"><minus id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2"></minus><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3"><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3">3</cn></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3"><times id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1"><times id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3"><divide id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><eq id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">3</cn></apply><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><cn id="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E77.m1.1c">V_{i}(\mathbf{R}_{i})=W_{i}(\mathbf{R}_{i})-\frac{k_{e}}{2}\Bigg{(}\sum_{n=1}^% {3}R_{in}^{2}-\frac{1}{3}\bigg{(}\sum_{n=1}^{3}R_{in}\bigg{)}^{2}\Bigg{)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E77.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( bold_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( bold_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(77)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p3.1">That is, for the out of cavity case (<math alttext="\lambda=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.1.m1.1"><semantics id="A2.p3.1.m1.1a"><mrow id="A2.p3.1.m1.1.1" xref="A2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.1.m1.1.1.2" xref="A2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.p3.1.m1.1.1.1" xref="A2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.p3.1.m1.1.1.3" xref="A2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.1.m1.1b"><apply id="A2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p3.1.m1.1.1"><eq id="A2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="A2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.1.m1.1c">\lambda=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.1.m1.1d">italic_λ = 0</annotation></semantics></math>), which we also call “bare matter”, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#S3.E47" title="In III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">47</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx36"> <tbody id="A2.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M_{n}\ddot{R}_{in}^{\mathrm{bare}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex9.m1.1"><semantics id="A2.Ex9.m1.1a"><mrow id="A2.Ex9.m1.1.1" xref="A2.Ex9.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex9.m1.1.1.2" xref="A2.Ex9.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex9.m1.1.1.2.2" xref="A2.Ex9.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="A2.Ex9.m1.1.1.2.3" xref="A2.Ex9.m1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A2.Ex9.m1.1.1.1" xref="A2.Ex9.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex9.m1.1.1.3" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">R</mi><mo id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.1" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow><mi id="A2.Ex9.m1.1.1.3.3" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.3.cmml">bare</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex9.m1.1b"><apply id="A2.Ex9.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1"><times id="A2.Ex9.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex9.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="A2.Ex9.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A2.Ex9.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2"><ci id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.1">¨</ci><ci id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3"><times id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="A2.Ex9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m1.1.1.3.3">bare</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex9.m1.1c">\displaystyle M_{n}\ddot{R}_{in}^{\mathrm{bare}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex9.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_bare end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\frac{d}{dR_{in}}V_{i}(\mathbf{R}_{i})-k_{e}\bigg{(}R_{in}-\sum% _{m=1}^{N_{n}}\frac{R_{im}}{N_{n}}\bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex9.m2.2"><semantics id="A2.Ex9.m2.2a"><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.4" xref="A2.Ex9.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1a" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mrow id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐑</mi><mi id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.3.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.3.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.3.cmml">n</mi></msub></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2a" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub><msub id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex9.m2.2b"><apply id="A2.Ex9.m2.2.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2"><eq id="A2.Ex9.m2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex9.m2.2.2.4.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.4">absent</csymbol><apply id="A2.Ex9.m2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2"><minus id="A2.Ex9.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.3"></minus><apply id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1"><minus id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1"></minus><apply id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1"><times id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3"><divide id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><apply id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑅</ci><apply id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3"><times id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐑</ci><ci id="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2"><times id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.2.cmml" 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id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.2">𝑁</ci><ci id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2"></divide><apply id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3"><times id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex9.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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</tr></tbody> <tbody id="A2.E78"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\frac{\partial}{\partial R_{in}}W_{i}(\mathbf{R}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E78.m1.1"><semantics id="A2.E78.m1.1a"><mrow id="A2.E78.m1.1.1" xref="A2.E78.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E78.m1.1.1.3" xref="A2.E78.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A2.E78.m1.1.1.2" xref="A2.E78.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E78.m1.1.1.1" xref="A2.E78.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E78.m1.1.1.1a" xref="A2.E78.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E78.m1.1.1.1.1" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.E78.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E78.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">W</mi><mi id="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.E78.m1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐑</mi><mi id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E78.m1.1b"><apply id="A2.E78.m1.1.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1"><eq id="A2.E78.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E78.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A2.E78.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1"><minus id="A2.E78.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1"></minus><apply id="A2.E78.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1"><times id="A2.E78.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3"><divide id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3"></divide><partialdiff id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.2"></partialdiff><apply id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.2">𝑊</ci><ci id="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐑</ci><ci id="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E78.m1.1c">\displaystyle=-\frac{\partial}{\partial R_{in}}W_{i}(\mathbf{R}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E78.m1.1d">= - divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( bold_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(78)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p3.3">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E79"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\braket{r}_{i}^{\mathrm{bare}}=\frac{1}{N_{\mathrm{n}}}\sum_{i}^{N}R_{in}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E79.m1.1"><semantics id="A2.E79.m1.1a"><mrow id="A2.E79.m1.1.2" xref="A2.E79.m1.1.2.cmml"><msubsup id="A2.E79.m1.1.2.2" xref="A2.E79.m1.1.2.2.cmml"><mrow id="A2.E79.m1.1.1.3" xref="A2.E79.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E79.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E79.m1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="A2.E79.m1.1.1.1.1" xref="A2.E79.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A2.E79.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E79.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="A2.E79.m1.1.2.2.2.2" xref="A2.E79.m1.1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mi id="A2.E79.m1.1.2.2.3" xref="A2.E79.m1.1.2.2.3.cmml">bare</mi></msubsup><mo id="A2.E79.m1.1.2.1" xref="A2.E79.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E79.m1.1.2.3" xref="A2.E79.m1.1.2.3.cmml"><mfrac id="A2.E79.m1.1.2.3.2" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.cmml"><mn id="A2.E79.m1.1.2.3.2.2" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.2.cmml">1</mn><msub id="A2.E79.m1.1.2.3.2.3" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.2" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mfrac><mo id="A2.E79.m1.1.2.3.1" xref="A2.E79.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E79.m1.1.2.3.3" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.cmml"><munderover id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.3" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.3" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.3.cmml">N</mi></munderover><msub id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.2" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.2" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.1" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.3" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E79.m1.1b"><apply id="A2.E79.m1.1.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2"><eq id="A2.E79.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.1"></eq><apply id="A2.E79.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E79.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E79.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E79.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A2.E79.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E79.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.1.3.1">expectation</csymbol><ci id="A2.E79.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.1.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="A2.E79.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.2.2.2">𝑖</ci></apply><ci id="A2.E79.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.2.3">bare</ci></apply><apply id="A2.E79.m1.1.2.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3"><times id="A2.E79.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.1"></times><apply id="A2.E79.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2"><divide id="A2.E79.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2"></divide><cn id="A2.E79.m1.1.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.2">1</cn><apply id="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.2.3.3">n</ci></apply></apply><apply id="A2.E79.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3"><apply id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.2"></sum><ci id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.2">𝑅</ci><apply id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3"><times id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E79.m1.1.2.3.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E79.m1.1c">\braket{r}_{i}^{\mathrm{bare}}=\frac{1}{N_{\mathrm{n}}}\sum_{i}^{N}R_{in}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E79.m1.1d">⟨ start_ARG italic_r end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_bare end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT roman_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(79)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix C </span>Numerical Details</h2> <div class="ltx_para" id="A3.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.p1.2">Molecular dynamics and spectra calculation follows the process from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib28" title="">28</a>]</cite> to which we refer the reader for more details. The code was adapted to our model of harmonic one-dimensional CO<sub class="ltx_sub" id="A3.p1.2.1">2</sub> molecules where analytical force calculation reduces the computational cost. We employ classical canonical equilibrium conditions by weakly coupling our ensemble to a thermal bath at temperature <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.2.m2.1"><semantics id="A3.p1.2.m2.1a"><mi id="A3.p1.2.m2.1.1" xref="A3.p1.2.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.2.m2.1b"><ci id="A3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.p1.2.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.2.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.2.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math>. The resulting classical Langevin equations of motion are given by,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A3.EGx37"> <tbody id="A3.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M_{n}\ddot{R}_{in}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.Ex10.m1.1"><semantics id="A3.Ex10.m1.1a"><mrow id="A3.Ex10.m1.1.1" xref="A3.Ex10.m1.1.1.cmml"><msub id="A3.Ex10.m1.1.1.2" xref="A3.Ex10.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.Ex10.m1.1.1.2.2" xref="A3.Ex10.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="A3.Ex10.m1.1.1.2.3" xref="A3.Ex10.m1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A3.Ex10.m1.1.1.1" xref="A3.Ex10.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.Ex10.m1.1.1.3" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A3.Ex10.m1.1.1.3.2" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.2" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.1" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.1.cmml">¨</mo></mover><mrow id="A3.Ex10.m1.1.1.3.3" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.1" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.Ex10.m1.1b"><apply id="A3.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1"><times id="A3.Ex10.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.1"></times><apply id="A3.Ex10.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex10.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex10.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="A3.Ex10.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A3.Ex10.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex10.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.2"><ci id="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.1">¨</ci><ci id="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.3"><times id="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.Ex10.m1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.Ex10.m1.1c">\displaystyle M_{n}\ddot{R}_{in}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.Ex10.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over¨ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\frac{\partial W(\mathbf{R})}{\partial R_{in}}+Z_{n}^{\prime}E_% {\perp}^{\mathrm{sc}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.Ex10.m2.1"><semantics id="A3.Ex10.m2.1a"><mrow id="A3.Ex10.m2.1.2" xref="A3.Ex10.m2.1.2.cmml"><mi id="A3.Ex10.m2.1.2.2" xref="A3.Ex10.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A3.Ex10.m2.1.2.1" xref="A3.Ex10.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.Ex10.m2.1.2.3" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.cmml"><mrow id="A3.Ex10.m2.1.2.3.2" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.2.cmml"><mo id="A3.Ex10.m2.1.2.3.2a" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="A3.Ex10.m2.1.1" xref="A3.Ex10.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A3.Ex10.m2.1.1a" xref="A3.Ex10.m2.1.1.cmml"><mrow id="A3.Ex10.m2.1.1.1" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A3.Ex10.m2.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.2" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.1" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.3.2" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A3.Ex10.m2.1.1.1.1" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.1.cmml">𝐑</mi><mo id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="A3.Ex10.m2.1.1.3" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.cmml"><mo id="A3.Ex10.m2.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.2" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.2" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.1" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.3" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A3.Ex10.m2.1.2.3.1" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.cmml"><msubsup id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.2" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.3" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.3" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.1" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.2" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.2.cmml">E</mi><mo id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.3" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.3.cmml">⟂</mo><mi id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.3" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.3.cmml">sc</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.Ex10.m2.1b"><apply id="A3.Ex10.m2.1.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2"><eq id="A3.Ex10.m2.1.2.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A3.Ex10.m2.1.2.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A3.Ex10.m2.1.2.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3"><plus id="A3.Ex10.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.1"></plus><apply id="A3.Ex10.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.2"><minus id="A3.Ex10.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.2"></minus><apply id="A3.Ex10.m2.1.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1"><divide id="A3.Ex10.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1"></divide><apply id="A3.Ex10.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1"><partialdiff id="A3.Ex10.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3"><times id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="A3.Ex10.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.1.1">𝐑</ci></apply></apply><apply id="A3.Ex10.m2.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3"><partialdiff id="A3.Ex10.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.2">𝑅</ci><apply id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3"><times id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3"><times id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.1"></times><apply id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.2">𝑍</ci><ci id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.2.3">′</ci></apply><apply id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.2">𝐸</ci><csymbol cd="latexml" id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.2.3">perpendicular-to</csymbol></apply><ci id="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="A3.Ex10.m2.1.2.3.3.3.3">sc</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.Ex10.m2.1c">\displaystyle=-\frac{\partial W(\mathbf{R})}{\partial R_{in}}+Z_{n}^{\prime}E_% {\perp}^{\mathrm{sc}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.Ex10.m2.1d">= - divide start_ARG ∂ italic_W ( bold_R ) end_ARG start_ARG ∂ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT ⟂ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_sc end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A3.E80"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad-\gamma_{T}M_{n}\dot{R}_{in}+\sqrt{2M_{n}\gamma_{T}k_{B}T}S_% {in}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.E80.m1.1"><semantics id="A3.E80.m1.1a"><mrow id="A3.E80.m1.1.1" xref="A3.E80.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E80.m1.1.1.2" xref="A3.E80.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E80.m1.1.1.2a" xref="A3.E80.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A3.E80.m1.1.1.2.2" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A3.E80.m1.1.1.2.2.2" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.2" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.3" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="A3.E80.m1.1.1.2.2.1" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E80.m1.1.1.2.2.3" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.2" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">M</mi><mi id="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.3" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A3.E80.m1.1.1.2.2.1a" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.2" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.2.cmml">R</mi><mo id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.1" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.2" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.1" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.3" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A3.E80.m1.1.1.1" xref="A3.E80.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.E80.m1.1.1.3" xref="A3.E80.m1.1.1.3.cmml"><msqrt id="A3.E80.m1.1.1.3.2" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.1" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">M</mi><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.1a" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.2" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.3" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">T</mi></msub><mo id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.1b" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.2" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.2.cmml">k</mi><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.3" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.3.cmml">B</mi></msub><mo id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.1c" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.6" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.6.cmml">T</mi></mrow></msqrt><mo id="A3.E80.m1.1.1.3.1" xref="A3.E80.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E80.m1.1.1.3.3" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mrow id="A3.E80.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.2" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.1" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.3" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E80.m1.1b"><apply id="A3.E80.m1.1.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1"><plus id="A3.E80.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.1"></plus><apply id="A3.E80.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2"><minus id="A3.E80.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2"></minus><apply id="A3.E80.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2"><times id="A3.E80.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.1"></times><apply id="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.2">𝑀</ci><ci id="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2"><ci id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.1">˙</ci><ci id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.2.2">𝑅</ci></apply><apply id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3"><times id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.1"></times><ci id="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.2.2.4.3.2">𝑖</ci><ci 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cd="ambiguous" id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.2">𝛾</ci><ci id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.2">𝑘</ci><ci id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.5.3">𝐵</ci></apply><ci id="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.6.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.2.2.6">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A3.E80.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E80.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E80.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><apply id="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.3"><times id="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A3.E80.m1.1.1.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E80.m1.1c">\displaystyle\quad-\gamma_{T}M_{n}\dot{R}_{in}+\sqrt{2M_{n}\gamma_{T}k_{B}T}S_% {in}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E80.m1.1d">- italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT over˙ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT + square-root start_ARG 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_T end_ARG italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(80)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A3.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ddot{q}_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.Ex11.m1.1"><semantics id="A3.Ex11.m1.1a"><msub id="A3.Ex11.m1.1.1" xref="A3.Ex11.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.Ex11.m1.1.1.2" xref="A3.Ex11.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.Ex11.m1.1.1.2.2" xref="A3.Ex11.m1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="A3.Ex11.m1.1.1.2.1" xref="A3.Ex11.m1.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mi id="A3.Ex11.m1.1.1.3" xref="A3.Ex11.m1.1.1.3.cmml">β</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.Ex11.m1.1b"><apply id="A3.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="A3.Ex11.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex11.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.Ex11.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.Ex11.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.Ex11.m1.1.1.2"><ci id="A3.Ex11.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.Ex11.m1.1.1.2.1">¨</ci><ci id="A3.Ex11.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.Ex11.m1.1.1.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="A3.Ex11.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.Ex11.m1.1.1.3">𝛽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.Ex11.m1.1c">\displaystyle\ddot{q}_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.Ex11.m1.1d">over¨ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\omega_{\beta}^{2}q_{\beta}+\omega_{\beta}(X+\langle x\rangle)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.Ex11.m2.2"><semantics id="A3.Ex11.m2.2a"><mrow id="A3.Ex11.m2.2.2" xref="A3.Ex11.m2.2.2.cmml"><mi id="A3.Ex11.m2.2.2.3" xref="A3.Ex11.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="A3.Ex11.m2.2.2.2" 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id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.2.2">𝜔</ci><ci id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.3.1.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.3.2.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.3.3.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.3.2.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A3.Ex11.m2.2.2.1.1"><times id="A3.Ex11.m2.2.2.1.1.2.cmml" 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xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝛾</ci><ci id="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.4.2">𝑘</ci><ci id="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.4.3">𝐵</ci></apply><ci id="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.5.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.2.2.5">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A3.E81.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E81.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E81.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A3.E81.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.E81.m1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E81.m1.1c">\displaystyle\quad-\gamma_{T}\dot{q}_{\alpha}+\sqrt{2\gamma_{T}k_{B}T}S_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E81.m1.1d">- italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT over˙ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT + square-root start_ARG 2 italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_T end_ARG italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(81)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A3.E82"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\langle S_{in}(t)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.E82.m1.2"><semantics id="A3.E82.m1.2a"><mrow id="A3.E82.m1.2.2.1" xref="A3.E82.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A3.E82.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A3.E82.m1.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A3.E82.m1.2.2.1.1" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">S</mi><mrow id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="A3.E82.m1.2.2.1.1.1" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E82.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="A3.E82.m1.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.E82.m1.1.1" xref="A3.E82.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A3.E82.m1.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.E82.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A3.E82.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E82.m1.2b"><apply id="A3.E82.m1.2.2.2.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E82.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.E82.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1"><times id="A3.E82.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.1"></times><apply id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3"><times id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.E82.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="A3.E82.m1.1.1.cmml" xref="A3.E82.m1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E82.m1.2c">\displaystyle\langle S_{in}(t)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E82.m1.2d">⟨ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0,\quad\langle S_{in}(t)S_{in}(t^{\prime})\rangle=\delta(t-t^{% \prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.E82.m2.3"><semantics id="A3.E82.m2.3a"><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2" xref="A3.E82.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="A3.E82.m2.2.2.1.1" xref="A3.E82.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A3.E82.m2.2.2.1.1.2" xref="A3.E82.m2.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A3.E82.m2.2.2.1.1.1" xref="A3.E82.m2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.E82.m2.2.2.1.1.3" xref="A3.E82.m2.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.3" rspace="1.167em" xref="A3.E82.m2.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.cmml"><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.2.cmml"><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.4.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.E82.m2.1.1" xref="A3.E82.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.2a" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.cmml"><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.2.cmml">S</mi><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.2b" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">δ</mi><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.1" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E82.m2.3b"><apply id="A3.E82.m2.3.3.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E82.m2.3.3.3a.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A3.E82.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A3.E82.m2.2.2.1.1"><eq id="A3.E82.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E82.m2.2.2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A3.E82.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A3.E82.m2.2.2.1.1.2">absent</csymbol><cn id="A3.E82.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.E82.m2.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2"><eq id="A3.E82.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.3"></eq><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.2.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1"><times id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3"><times id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="A3.E82.m2.1.1.cmml" xref="A3.E82.m2.1.1">𝑡</ci><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.2">𝑆</ci><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3"><times id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.2">𝑖</ci><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.5.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2"><times id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.2"></times><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.3">𝛿</ci><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1"><minus id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E82.m2.3.3.2.2.2.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E82.m2.3c">\displaystyle=0,\quad\langle S_{in}(t)S_{in}(t^{\prime})\rangle=\delta(t-t^{% \prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E82.m2.3d">= 0 , ⟨ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟩ = italic_δ ( italic_t - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(82)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.p1.16">with friction coefficient <math alttext="\gamma_{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.3.m1.1"><semantics id="A3.p1.3.m1.1a"><msub id="A3.p1.3.m1.1.1" xref="A3.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.3.m1.1.1.2" xref="A3.p1.3.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="A3.p1.3.m1.1.1.3" xref="A3.p1.3.m1.1.1.3.cmml">T</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.3.m1.1b"><apply id="A3.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="A3.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.3.m1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="A3.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.3.m1.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.3.m1.1c">\gamma_{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.3.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Atomic units were used throughout the calculations such that <math alttext="M_{C}=21874" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.4.m2.1"><semantics id="A3.p1.4.m2.1a"><mrow id="A3.p1.4.m2.1.1" xref="A3.p1.4.m2.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.4.m2.1.1.2" xref="A3.p1.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.4.m2.1.1.2.2" xref="A3.p1.4.m2.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="A3.p1.4.m2.1.1.2.3" xref="A3.p1.4.m2.1.1.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="A3.p1.4.m2.1.1.1" xref="A3.p1.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.p1.4.m2.1.1.3" xref="A3.p1.4.m2.1.1.3.cmml">21874</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.4.m2.1b"><apply id="A3.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m2.1.1"><eq id="A3.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m2.1.1.1"></eq><apply id="A3.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.4.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.4.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.4.m2.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="A3.p1.4.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.4.m2.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><cn id="A3.p1.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.4.m2.1.1.3">21874</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.4.m2.1c">M_{C}=21874</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.4.m2.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT = 21874</annotation></semantics></math> a.u. and <math alttext="M_{O}=29166" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.5.m3.1"><semantics id="A3.p1.5.m3.1a"><mrow id="A3.p1.5.m3.1.1" xref="A3.p1.5.m3.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.5.m3.1.1.2" xref="A3.p1.5.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.5.m3.1.1.2.2" xref="A3.p1.5.m3.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="A3.p1.5.m3.1.1.2.3" xref="A3.p1.5.m3.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A3.p1.5.m3.1.1.1" xref="A3.p1.5.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.p1.5.m3.1.1.3" xref="A3.p1.5.m3.1.1.3.cmml">29166</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.5.m3.1b"><apply id="A3.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="A3.p1.5.m3.1.1"><eq id="A3.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.5.m3.1.1.1"></eq><apply id="A3.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.5.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.5.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.5.m3.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="A3.p1.5.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.5.m3.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><cn id="A3.p1.5.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.5.m3.1.1.3">29166</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.5.m3.1c">M_{O}=29166</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.5.m3.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT = 29166</annotation></semantics></math> a.u. We chose the unit charge <math alttext="Z_{C}=1/2Z_{O}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.6.m4.1"><semantics id="A3.p1.6.m4.1a"><mrow id="A3.p1.6.m4.1.1" xref="A3.p1.6.m4.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.6.m4.1.1.2" xref="A3.p1.6.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.6.m4.1.1.2.2" xref="A3.p1.6.m4.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A3.p1.6.m4.1.1.2.3" xref="A3.p1.6.m4.1.1.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="A3.p1.6.m4.1.1.3" xref="A3.p1.6.m4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.6.m4.1.1.4" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.cmml"><mrow id="A3.p1.6.m4.1.1.4.2" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.cmml"><mn id="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.2" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.1" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.1.cmml">/</mo><mn id="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.3" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A3.p1.6.m4.1.1.4.1" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.p1.6.m4.1.1.4.3" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.cmml"><mi id="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.2" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.2.cmml">Z</mi><mi id="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.3" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="A3.p1.6.m4.1.1.5" xref="A3.p1.6.m4.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="A3.p1.6.m4.1.1.6" xref="A3.p1.6.m4.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.6.m4.1b"><apply id="A3.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1"><and id="A3.p1.6.m4.1.1a.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1"></and><apply id="A3.p1.6.m4.1.1b.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1"><eq id="A3.p1.6.m4.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.3"></eq><apply id="A3.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.6.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.6.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="A3.p1.6.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="A3.p1.6.m4.1.1.4.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4"><times id="A3.p1.6.m4.1.1.4.1.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.1"></times><apply id="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.2"><divide id="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.1.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.1"></divide><cn id="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.2">1</cn><cn id="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.2.3">2</cn></apply><apply id="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.1.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.2.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.2">𝑍</ci><ci id="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.3.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.4.3.3">𝑂</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.p1.6.m4.1.1c.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1"><eq id="A3.p1.6.m4.1.1.5.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A3.p1.6.m4.1.1.4.cmml" id="A3.p1.6.m4.1.1d.cmml" xref="A3.p1.6.m4.1.1"></share><cn id="A3.p1.6.m4.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A3.p1.6.m4.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.6.m4.1c">Z_{C}=1/2Z_{O}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.6.m4.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT = 1 / 2 italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="Z_{e}=Z_{C}+2Z_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.7.m5.1"><semantics id="A3.p1.7.m5.1a"><mrow id="A3.p1.7.m5.1.1" xref="A3.p1.7.m5.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.7.m5.1.1.2" xref="A3.p1.7.m5.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.7.m5.1.1.2.2" xref="A3.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A3.p1.7.m5.1.1.2.3" xref="A3.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A3.p1.7.m5.1.1.1" xref="A3.p1.7.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.7.m5.1.1.3" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.cmml"><msub id="A3.p1.7.m5.1.1.3.2" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.2" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.2.cmml">Z</mi><mi id="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.3" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="A3.p1.7.m5.1.1.3.1" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml"><mn id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.2" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.1" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.2" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.2.cmml">Z</mi><mi id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.3" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.7.m5.1b"><apply id="A3.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1"><eq id="A3.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.1"></eq><apply id="A3.p1.7.m5.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="A3.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A3.p1.7.m5.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3"><plus id="A3.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.1"></plus><apply id="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.2">𝑍</ci><ci id="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3"><times id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.1"></times><cn id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.2">2</cn><apply id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.2">𝑍</ci><ci id="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A3.p1.7.m5.1.1.3.3.3.3">𝑂</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.7.m5.1c">Z_{e}=Z_{C}+2Z_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.7.m5.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT = italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="k_{e}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.8.m6.1"><semantics id="A3.p1.8.m6.1a"><mrow id="A3.p1.8.m6.1.1" xref="A3.p1.8.m6.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.8.m6.1.1.2" xref="A3.p1.8.m6.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.8.m6.1.1.2.2" xref="A3.p1.8.m6.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="A3.p1.8.m6.1.1.2.3" xref="A3.p1.8.m6.1.1.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A3.p1.8.m6.1.1.1" xref="A3.p1.8.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.p1.8.m6.1.1.3" xref="A3.p1.8.m6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.8.m6.1b"><apply id="A3.p1.8.m6.1.1.cmml" xref="A3.p1.8.m6.1.1"><eq id="A3.p1.8.m6.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.8.m6.1.1.1"></eq><apply id="A3.p1.8.m6.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.8.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.8.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.8.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.8.m6.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.8.m6.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="A3.p1.8.m6.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.8.m6.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><cn id="A3.p1.8.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.8.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.8.m6.1c">k_{e}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.8.m6.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> while <math alttext="k_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.9.m7.1"><semantics id="A3.p1.9.m7.1a"><msub id="A3.p1.9.m7.1.1" xref="A3.p1.9.m7.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.9.m7.1.1.2" xref="A3.p1.9.m7.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="A3.p1.9.m7.1.1.3" xref="A3.p1.9.m7.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.9.m7.1b"><apply id="A3.p1.9.m7.1.1.cmml" xref="A3.p1.9.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.9.m7.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.9.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.9.m7.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.9.m7.1.1.2">𝑘</ci><ci id="A3.p1.9.m7.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.9.m7.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.9.m7.1c">k_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.9.m7.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> was calculated from cBO-HF asymmetric stretch (<math alttext="\sqrt{k_{a}}=2538" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.10.m8.1"><semantics id="A3.p1.10.m8.1a"><mrow id="A3.p1.10.m8.1.1" xref="A3.p1.10.m8.1.1.cmml"><msqrt id="A3.p1.10.m8.1.1.2" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2.cmml"><msub id="A3.p1.10.m8.1.1.2.2" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.2" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.3" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub></msqrt><mo id="A3.p1.10.m8.1.1.1" xref="A3.p1.10.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.p1.10.m8.1.1.3" xref="A3.p1.10.m8.1.1.3.cmml">2538</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.10.m8.1b"><apply id="A3.p1.10.m8.1.1.cmml" xref="A3.p1.10.m8.1.1"><eq id="A3.p1.10.m8.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.10.m8.1.1.1"></eq><apply id="A3.p1.10.m8.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2"><root id="A3.p1.10.m8.1.1.2a.cmml" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2"></root><apply id="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.2">𝑘</ci><ci id="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.p1.10.m8.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply></apply><cn id="A3.p1.10.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.10.m8.1.1.3">2538</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.10.m8.1c">\sqrt{k_{a}}=2538</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.10.m8.1d">square-root start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = 2538</annotation></semantics></math> cm<sup class="ltx_sup" id="A3.p1.16.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A3.p1.16.1.1">-1</span></sup> <math alttext="=0.0116" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.12.m10.1"><semantics id="A3.p1.12.m10.1a"><mrow id="A3.p1.12.m10.1.1" xref="A3.p1.12.m10.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.12.m10.1.1.2" xref="A3.p1.12.m10.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A3.p1.12.m10.1.1.1" xref="A3.p1.12.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.p1.12.m10.1.1.3" xref="A3.p1.12.m10.1.1.3.cmml">0.0116</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.12.m10.1b"><apply id="A3.p1.12.m10.1.1.cmml" xref="A3.p1.12.m10.1.1"><eq id="A3.p1.12.m10.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.12.m10.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A3.p1.12.m10.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.12.m10.1.1.2">absent</csymbol><cn id="A3.p1.12.m10.1.1.3.cmml" type="float" xref="A3.p1.12.m10.1.1.3">0.0116</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.12.m10.1c">=0.0116</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.12.m10.1d">= 0.0116</annotation></semantics></math> H) via the bare matter relation from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#A2.E76" title="In Appendix B Uncoupled CO2 Molecule ‣ V Conclusion ‣ IV.2 Comparison to ab initio results ‣ IV Example CO2 ‣ III.4 Common Approximations ‣ III.3 Nuclear equations of motion ‣ III Features of ensemble self-consistency ‣ Analytic Model Reveals Local Molecular Polarizability Changes Induced by Collective Strong Coupling in Optical Cavities"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">76</span></a>). The classical Langevin equations of motion were propagated numerically using the scheme of Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citenum"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib76" title="">76</a></cite> with a time step <math alttext="\delta t=20" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.13.m11.1"><semantics id="A3.p1.13.m11.1a"><mrow id="A3.p1.13.m11.1.1" xref="A3.p1.13.m11.1.1.cmml"><mrow id="A3.p1.13.m11.1.1.2" xref="A3.p1.13.m11.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.13.m11.1.1.2.2" xref="A3.p1.13.m11.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="A3.p1.13.m11.1.1.2.1" xref="A3.p1.13.m11.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.p1.13.m11.1.1.2.3" xref="A3.p1.13.m11.1.1.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A3.p1.13.m11.1.1.1" xref="A3.p1.13.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.p1.13.m11.1.1.3" xref="A3.p1.13.m11.1.1.3.cmml">20</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.13.m11.1b"><apply id="A3.p1.13.m11.1.1.cmml" xref="A3.p1.13.m11.1.1"><eq id="A3.p1.13.m11.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.13.m11.1.1.1"></eq><apply id="A3.p1.13.m11.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.13.m11.1.1.2"><times id="A3.p1.13.m11.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.13.m11.1.1.2.1"></times><ci id="A3.p1.13.m11.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.13.m11.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="A3.p1.13.m11.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.13.m11.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="A3.p1.13.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.13.m11.1.1.3">20</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.13.m11.1c">\delta t=20</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.13.m11.1d">italic_δ italic_t = 20</annotation></semantics></math>. Trajectories were simulated over 200000 time-steps for <math alttext="N=20" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.14.m12.1"><semantics id="A3.p1.14.m12.1a"><mrow id="A3.p1.14.m12.1.1" xref="A3.p1.14.m12.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.14.m12.1.1.2" xref="A3.p1.14.m12.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="A3.p1.14.m12.1.1.1" xref="A3.p1.14.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.p1.14.m12.1.1.3" xref="A3.p1.14.m12.1.1.3.cmml">20</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.14.m12.1b"><apply id="A3.p1.14.m12.1.1.cmml" xref="A3.p1.14.m12.1.1"><eq id="A3.p1.14.m12.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.14.m12.1.1.1"></eq><ci id="A3.p1.14.m12.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.14.m12.1.1.2">𝑁</ci><cn id="A3.p1.14.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.14.m12.1.1.3">20</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.14.m12.1c">N=20</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.14.m12.1d">italic_N = 20</annotation></semantics></math> molecules for spectra calculations. The nuclei were initialized randomly distributed in the vicinity of the ground-state. Thermostating parameters were set to <math alttext="k_{B}T=10^{-3}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.15.m13.1"><semantics id="A3.p1.15.m13.1a"><mrow id="A3.p1.15.m13.1.1" xref="A3.p1.15.m13.1.1.cmml"><mrow id="A3.p1.15.m13.1.1.2" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.cmml"><msub id="A3.p1.15.m13.1.1.2.2" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.2" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.3" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.3.cmml">B</mi></msub><mo id="A3.p1.15.m13.1.1.2.1" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.p1.15.m13.1.1.2.3" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="A3.p1.15.m13.1.1.1" xref="A3.p1.15.m13.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="A3.p1.15.m13.1.1.3" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.cmml"><mn id="A3.p1.15.m13.1.1.3.2" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.2.cmml">10</mn><mrow id="A3.p1.15.m13.1.1.3.3" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.3.cmml"><mo id="A3.p1.15.m13.1.1.3.3a" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.p1.15.m13.1.1.3.3.2" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.15.m13.1b"><apply id="A3.p1.15.m13.1.1.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1"><eq id="A3.p1.15.m13.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.1"></eq><apply id="A3.p1.15.m13.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2"><times id="A3.p1.15.m13.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.1"></times><apply id="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.2">𝑘</ci><ci id="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.2.3">𝐵</ci></apply><ci id="A3.p1.15.m13.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A3.p1.15.m13.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.15.m13.1.1.3.1.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="A3.p1.15.m13.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.2">10</cn><apply id="A3.p1.15.m13.1.1.3.3.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.3"><minus id="A3.p1.15.m13.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.3"></minus><cn id="A3.p1.15.m13.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.p1.15.m13.1.1.3.3.2">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.15.m13.1c">k_{B}T=10^{-3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.15.m13.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_T = 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with low friction coefficient <math alttext="\gamma_{T}=0.5\times 10^{-5}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.16.m14.1"><semantics id="A3.p1.16.m14.1a"><mrow id="A3.p1.16.m14.1.1" xref="A3.p1.16.m14.1.1.cmml"><msub id="A3.p1.16.m14.1.1.2" xref="A3.p1.16.m14.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.16.m14.1.1.2.2" xref="A3.p1.16.m14.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A3.p1.16.m14.1.1.2.3" xref="A3.p1.16.m14.1.1.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="A3.p1.16.m14.1.1.1" xref="A3.p1.16.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.16.m14.1.1.3" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.cmml"><mn id="A3.p1.16.m14.1.1.3.2" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.2.cmml">0.5</mn><mo id="A3.p1.16.m14.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.cmml"><mn id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.2" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mrow id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3a" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3.2" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3.2.cmml">5</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.16.m14.1b"><apply id="A3.p1.16.m14.1.1.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1"><eq id="A3.p1.16.m14.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.1"></eq><apply id="A3.p1.16.m14.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.16.m14.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.p1.16.m14.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="A3.p1.16.m14.1.1.2.3.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A3.p1.16.m14.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3"><times id="A3.p1.16.m14.1.1.3.1.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.1"></times><cn id="A3.p1.16.m14.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.2">0.5</cn><apply id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3">superscript</csymbol><cn id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.2">10</cn><apply id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3"><minus id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3"></minus><cn id="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.p1.16.m14.1.1.3.3.3.2">5</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.16.m14.1c">\gamma_{T}=0.5\times 10^{-5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.16.m14.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT = 0.5 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 5 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (underdamped regime).</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.p2"> <p class="ltx_p" id="A3.p2.3">Vibrational cBO Hartree Fock (cBO-HF) calculations were done as described in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib30" title="">30</a>]</cite> for a single CO<sub class="ltx_sub" id="A3.p2.3.1">2</sub> molecule with its bond axis oriented parallel and orthogonal to a single cavity mode tuned on resonance to the symmetric matter vibration (1496<sup class="ltx_sup" id="A3.p2.3.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A3.p2.3.2.1">-1</span></sup> cm). The cBO-HF ansatz have been implemented in the Psi4NumPy environment <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib77" title="">77</a>]</cite>, which is an extension of the PSI4 <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib78" title="">78</a>]</cite> electronic structure package. All calculations were performed using the aug-cc-pVDZ basis set <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib79" title="">79</a>]</cite> and all geometries were pre-optimized at the Hartree-Fock level of theory. It should be noted that only the situation where the bond axis of CO<sub class="ltx_sub" id="A3.p2.3.3">2</sub> is oriented orthogonal to a single cavity mode is a real minimum, and the parallel situation represents a transition state along the rotation with respect to the polarization axis <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib80" title="">80</a>]</cite>. The vibrational cBO-HF calculations were performed in a reproducible environment using the Nix package manager together with NixOS-QChem <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2401.16374v2#bib.bib81" title="">81</a>]</cite> (commit f5dad404) and Nixpkgs (nixpkgs, 22.11, commit 594ef126).</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Ebbesen [2016]</span> <span class="ltx_bibblock">T. W. Ebbesen, Hybrid Light–Matter States in a Molecular and Material Science Perspective, <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://doi.org/10/f9ctqq" title="">Acc. Chem. 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