CINXE.COM

<!DOCTYPE html>    <html>  <head><script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/bundle-playback.js?v=7YQSqjSh" charset="utf-8"></script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/wombat.js?v=txqj7nKC" charset="utf-8"></script> <script>window.RufflePlayer=window.RufflePlayer||{};window.RufflePlayer.config={"autoplay":"on","unmuteOverlay":"hidden"};</script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/ruffle/ruffle.js"></script> <script type="text/javascript"> __wm.init("https://web.archive.org/web"); __wm.wombat("http://n-t.ru:80/tp/ns/mb.htm","20171116225359","https://web.archive.org/","web","https://web-static.archive.org/_static/", "1510872839"); </script> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/banner-styles.css?v=p7PEIJWi" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/iconochive.css?v=3PDvdIFv" />  <title>Математика бесконечности. Препринт. Наука и техника</title> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"/> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <meta name="SKYPE_TOOLBAR" content="SKYPE_TOOLBAR_PARSER_COMPATIBLE"/>  <meta property="og:title" content="Математика бесконечности"> <meta property="og:url" content="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/ns/mb.htm"> <meta property="og:image" content="https://web.archive.org/web/20171116225359im_/http://n-t.ru/n-t158.png"> <meta property="og:image:width" content="316"> <meta property="og:image:height" content="316"> <meta property="og:description" content="Многие утверждают, что бесконечно великое количество увеличено быть не может. О том, что 1/0 есть число, сказано еще в XVIII в. Эйлером! Если нуль есть число, тогда 1/0 – тоже число! Но 1/0 > M, где M – сколь угодно велико! Таким образом существует число – k-число – качественно отличающееся от любого до сих пор известного. Тогда среди «бесконечных» чисел оно не единственное, а только начало ряда: k, 2k, 3k и т.д. Числовая ось перешагнула порог бесконечности. "> <link rel="icon" href="/web/20171116225359im_/http://n-t.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"> <link href="/web/20171116225359cs_/http://n-t.ru/dz/nit.css" rel="stylesheet" type="text/css"> </head> <body> <script type="text/javascript"></script>  <script type="text/javascript"> (function (d, w, c) { (w[c] = w[c] || []).push(function() { try { w.yaCounter31163726 = new Ya.Metrika({ id:31163726, clickmap:true, trackLinks:true, accurateTrackBounce:true, webvisor:true }); } catch(e) { } }); var n = d.getElementsByTagName("script")[0], s = d.createElement("script"), f = function () { n.parentNode.insertBefore(s, n); }; s.type = "text/javascript"; s.async = true; s.src = "https://web.archive.org/web/20171116225359/https://mc.yandex.ru/metrika/watch.js"; if (w.opera == "[object Opera]") { d.addEventListener("DOMContentLoaded", f, false); } else { f(); } })(document, window, "yandex_metrika_callbacks"); </script> <noscript><div><img src="https://web.archive.org/web/20171116225359im_/https://mc.yandex.ru/watch/31163726" style="position:absolute; left:-9999px;" alt=""/></div></noscript>  <div id="fb-root"></div> <script>(function(d, s, id) { var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0]; if (d.getElementById(id)) return; js = d.createElement(s); js.id = id; js.src = "//web.archive.org/web/20171116225359/http://connect.facebook.net/ru_RU/sdk.js#xfbml=1&version=v2.4&appId=1615304618725556"; fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs); }(document, 'script', 'facebook-jssdk'));</script> <div class="vk vkm">  <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/"> <img class="il1" style="float: left;" src="/web/20171116225359im_/http://n-t.ru/dz/1024-logo.gif" border="0" width="208" height="72" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> <img class="il2" style="float: left;" src="/web/20171116225359im_/http://n-t.ru/dz/480-800-logo.gif" border="0" width="50" height="50" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> </a>  <div class="nv nm1">Электронная библиотека «Наука и техника»</div> <div class="nv nm2">n-t.ru: Наука и техника</div>  <div class="nv nv1"><a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/pp.htm">Препринт</a> / <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/ns/">Наука сегодня</a></div> <div class="nv nv2"><a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/pp.htm">Препринт</a> / <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/ns/">Наука сегодня</a></div> <div class="fp1"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20171116225359/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20171116225359/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> </div> <div class="pl plm"> <div class="pll pllm"> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ns/" class="arz">Научные статьи</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ns/fz/" class="arb">Физика звёзд</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ns/fm/" class="arb">Физика микромира</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nj/" class="arz">Журналы</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nj/pr/" class="arb">Природа</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nj/nz/" class="arb">Наука и жизнь</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nj/pl/" class="arb">Природа и люди</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nj/tm/" class="arb">Техника – молодёжи</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/" class="arz">Нобелевские лауреаты</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/fz/" class="arb">Премия по физике</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/hm/" class="arb">Премия по химии</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/lt/" class="arb">Премия по литературе</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/mf/" class="arb">Премия по медицине</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/ek/" class="arb">Премия по экономике</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/mr/" class="arb">Премия мира</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ri/" class="arz">Книги</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ri/gl/ek.htm" id="rb">В поисках «энергетической капсулы»</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ri/dm/km.htm" id="rb">Как мы видим то, что видим</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ri/kr/mg.htm" id="rb">Магнит за три тысячелетия</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ri/kz/pe.htm" id="rb">Превращение элементов</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ri/se/uh.htm" id="rb">Ум хорошо...</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ri/rj/ev.htm" id="rb">Этюды о Вселенной</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ii/" class="arz">Издания НиТ</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ii/ba/" class="arb">Батарейки и аккумуляторы</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ii/os/" class="arb">Охранные системы</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ii/ie/" class="arb">Источники энергии</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ii/st/" class="arb">Свет и тепло</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/pp.htm" class="arz">Научно-популярные статьи</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/ns/" class="arb">Наука сегодня</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/ng/" class="arb">Научные гипотезы</a> <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://ntbu.ru/to/" class="arb">Теория относительности</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/in/" class="arb">История науки</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/nr/" class="arb">Научные развлечения</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/ts/" class="arb">Техника сегодня</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/it/" class="arb">История техники</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/iz/" class="arb">Измерения в технике</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/ie/" class="arb">Источники энергии</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/rn/" class="arb">Наука и религия</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/mr/" class="arb">Мир, в котором мы живём</a> <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://ntbu.ru/lt/" class="arb">Лит. творчество ученых</a> <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://ntbu.ru/co/" class="arb">Человек и общество</a> <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://ntbu.ru/ob/" class="arb">Образование</a> <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://ntbu.ru/rz/" class="arb">Разное</a> </div> <div class="plp plpm"> <h1>Математика бесконечности</h1> <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/mailto:Ruthenium@mtu-net.ru">Юрий ЛЕБЕДЕВ</a> <h2>Аш-функция Хевисайда</h2> Все происходит по ступеням, Как жизнь сама. Я чувствую, что постепенно Схожу с ума. Н. Глазков, 1943 г. Однажды вечером Серафим Серафимович Аралов, директор музея истории МХТИ им. Д.И. Менделеева, позвонил мне и сказал, что в связи с реконструкцией дома у метро «Смоленская» под угрозой находятся остатки архива известного химика Петра Петровича Будникова. Нужно было попытаться спасти документы. Следующий день у меня был занят, и мы договорились поехать за бумагами послезавтра. Увы! Мы опоздали. Именно назавтра весь «хлам» из будниковской квартиры был выброшен строителями на помойку. С тех пор я не могу проходить спокойно мимо куч строительного мусора – мне все кажется, что среди этих палок, битого кирпича и клочков бумаги могут валяться чьи-то рукописи, потеря которых приведет в отчаяние будущих историков науки. И, представьте себе, эти опасения оказались не напрасными! Спустя некоторое – довольно продолжительное – время случай снова поманил меня к архивным изысканиям. В заброшенной деревне Копьево Костромской области, где я проводил лето, рухнул от ветхости дом, и я, глядя не еще пылящую кучу старых бревен, соломы, ободранных обоев, вспомнил историю будниковского архива. А вдруг?! Когда у меня в руках оказалась старая картонная папка, я был уже уверен, что в ней не вырезки из газет о «царице полей» кукурузе. И совершенно не удивился тому, что моя уверенность оправдалась. В папке находились рукописи или, точнее, черновики двух статей – «Принципы семиотической термодинамики», «Отказ от исключения» – и целая пачка других, для прочтения которых потребуется еще много усилий. Ни имени автора, ни даты написания на листках не было. Вероятнее всего, папку забыл кто-то из «дикарей» прошлых лет. Не имея возможности объясниться с автором, я решил предложить вашему вниманию свой вариант расшифровки одной из этих до крайности небрежно написанных неудобочитаемым почерком статей. Я долго не мог понять, к какому жанру относится найденная мною рукопись, чего хотел неизвестный автор? Теперь, как мне кажется, я нашел ответ. Папка хранила научные фантазии! Этот жанр, широко известный благодаря трудам С. Лема, не следует путать с научной фантастикой, в которой столь же плодотворно работал Лем. «Солярис» – это научная фантастика, а «История битической литературы» – это научная фантазия. И поскольку любой жанр, кроме скучного, имеет право претендовать на внимание читателя, найденные мною тексты попытаются реализовать это свое право. Насколько оно законно, судите сами. <h2>Отказ от исключения</h2> ...одни сотрудники все время занимались делением нуля на нуль на настольных «мерседесах», а другие отпрашивались в командировки на бесконечность... А. и Б. Стругацкие. Понедельник начинается в субботу <h3>Листок первый</h3> Весь предшествующий опыт утверждает нас в вере, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/fz/einstein.htm">А. Эйнштейн</a>. О методе теоретической физики. Спенсеровская лекция, 10 июля 1939 г. Что значит «простейших»? когда летом 1966 г. я задумался над удивительным запретом арифметики – запретом деления на нуль, мне казалось, что простейшим элементом, альфой и омегой всей теории чисел является нуль. Теперь ясно, что и он также сложен, как и все в мире. Как точно сказал об этом Леонардо да Винчи: «Среди великих вещей, который находятся меж нас, существование Ничто – вещь величайшая!» Сейчас не важно, откуда взялась уверенность в том, что нуль – полноправное число, да и не важно строго математическое понимание термина «число». Все дальнейшее – не более чем интуитивная догадка, из которой профессионалы (если захотят!) могут извлечь «научную компоненту», а остальные, смею надеяться, порадуются тем ассоциациям, которые возникнут при чтении. Кстати, скажу для профессионалов, что и о работах индийского математика и астронома VI...VII вв. Брахмагупты, который рассматривал употребление нуля во всех арифметических действиях, я тогда, летом 1966 г., абсолютно ничего не знал. Главное, по-моему, все-таки то, что идея возникла. Прав Эйнштейн, «открытие не является делом логического мышления, даже если конечный продукт связан с логической формой». Итак, утверждение: нуль есть число. Следствие: 1/0 – тоже число! Но 1/0 > M, где M – сколь угодно велико! И это очень важно – существует число, качественно отличающееся от любого до сих пор известного. Качественно новое число... k-число. Пусть так и обозначается в дальнейшем. Любопытно отметить, что среди «бесконечных» чисел оно не единственное, оно только начало ряда: k, 2k, 3k и т.д. Числовая ось перешагнула порог бесконечности. <h3>Листок второй</h3> Дорогу осилит идущий... Ригведа. Гимн щедрости, X век до н.э. Еще раз. Для ясности, k-число так же конкретно и единственно, как и любое другое число. Просто раньше бесконечность являлась той мусорной кучей, куда валили обломки всех функций, разбившихся при делении на нуль. (Хм... Опять мотив мусорной кучи, в которой и была найдена эта рукопись... Но не в этом дело. Фраза у автора получилась выразительной, но по сути она неправильна, ибо с натяжкой может быть отнесена лишь к потенциальной бесконечности, к актуальной же и вовсе неприменима. Кроме того, в ней подразумевается, что нуль – это предел функции, и бесконечность – функциональная. В тексте же рассматривается числовая бесконечность. Но не будем придираться, как всякая образная фраза, интуитивно она может быть и глубока. – Ю.Л.) Более того, k-числа – продолжение оси действительных чисел: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - ... - k - 2k - 3k - 4k - 5k - 6k- ... А что такое ∞·k? Может быть, это – k2? В таком случае – опять качественный скачок в направлении возрастания чисел и числовая ось принимает вид: 0 - 1 - 2 - ... - k - 2k - 3k - ... - k2 - 2k2 - 3k2 - ... - k3 - 2k3 - 3k3 - ... - kn - Эти отрезки числовой оси имеют качественные границы k, k2, ..., kn. Но они не изолированы друг от друга. Все тот же нуль связывает их. Действительно, k2·0 = k·k·0 = k·1/0·0 = k, ибо нуль – число, и его можно сокращать как обычные числа. Отсюда правило: при умножении на нуль в области чисел вида kn происходит переход в область чисел вида kn–1. При делении на нуль, что равносильно умножению на k, происходит переход в область kn+1. <h3>Листок третий</h3> Разбросанным в пыли по магазинам (Где их никто не брал и не берет!) Моим стихам, как драгоценным винам, Настанет свой черед. М.И. Цветаева, май 1913 г., Коктебель Увы!.. Все новое – это хорошо забытое старое. Цитирую из «Оснований алгебры Леонарда Эйлера части первой первыя три отделения, переведенныя с французского языка на Российской, со многими присовокуплениями, Василием Висковатовым, Академии Наук Экстраординарным Академиком». Издано в 1812 г. в Санкт-Петербурге: «§83 ...Поелику дробь 1/∞ показывает частное, происходящее от деления 1 на ∞, и мы знаем также, что когда делимое 1 на частное число 1/∞ или 0, как прежде мы видели, разделится, то выйдет делитель ∞, и из сего получаем мы новое понятие о бесконечности, а именно, что оная происходит от разделения 1 на 0; чего ради по справедливости сказать можно, что 1, разделенная на 0, означает бесконечно великое число, или ∞...» Итак, о том, что 1/0 есть именно число, а не предел функции, сказано еще в XVIII в. Эйлером! Однако здорово же пропылилась на книжных полках эта «новость»... (Может быть, именно эта пропыленность и мешает современным математикам воспринимать ее серьезно? Ведь k-числа не только не вошли в школьные учебники, но и среди преподавателей математики мало кто о них знает. – Ю.Л.) Но хватит эмоций. Продолжу цитату: «§84 Здесь надлежит еще опровергнуть довольно обыкновенное заблуждение: многие утверждают, что бесконечно великое количество увеличено уже быть не может; но сие мнение не согласуется с вышеупомянутыми твердыми основаниями. Ибо когда 1/0 бесконечно великое число означает, и 2/0 неоспоримо в два раза больше 1/0, то из сего явствует, что бесконечно великое число сделаться может еще вдвое, или даже в несколько раз больше». И чему это я так бурно радовался? Мои «прозрения» – это только несколько элементарных утверждений из области чисел, больших бесконечности, о которых еще в XVIII в. говорил Эйлер. (Да, Эйлер говорил вполне внятно. Но слушали его почему-то впол-уха. – Ю.Л.) <h3>Листок четвертый</h3> Если же существуют математические предметы, то необходимо, чтобы они либо находились в чувственно воспринимаемом... либо существовали отдельно от чувственно воспринимаемого... а если они не существуют ни тем, ни другим образом, то они либо вообще не существуют, либо существуют иным способом. Аристотель, Метафизика, кн. 13, гл. 1 Итак, числовая ось включает качественно однородные отрезки, разделенные особыми точками. Назовем их точками связи. Удобно рассматривать математику целых k-чисел. Обобщение может быть получено при умножении целых k-чисел на некое неравное целому a. Рассмотрим отрезки между точками связи. Начнем с отрезка от 1 до k. Далее – от k до k2, еще далее – от k2 до k3. В этой серии отрезков обобщенной числовой оси точками связи являются числа вида kn, где n – целое положительное. Продвигаясь в том же направлении далее, мы встретимся с точками связи нового вида: при n = k точка связи имеет вид kk. Точки связи в первой серии можно назвать точками связи первого рода (символ k входит в них один раз), во второй – точками связи второго рода (символ k входит в них два раза). Например, kk, k2k, kk^2, kk+1 и т.д. Но и они не замыкают последовательность! Возникают точки связи третьего рода: kk^k! А там и четвертого, пятого... Качественное разнообразие числовой оси безгранично. И безгранично велико разнообразие качественно различных бесконечных чисел. (А почему, собственно, нужно тут удивляться? Бесконечность – это элемент некоего непустого множества, и было бы более удивительно, если бы оно вдруг оказалось единичным. – Ю.Л.) <h3>Листок пятый</h3> Рассказали страшное, Дали точный адрес. <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/lt/pasternak.htm">Б. Пастернак</a>. Звезды летом. Ну, а теперь можно крикнуть «Эврика!». А если n = –2 ? В этом случае: k–2 = 1/k2 = 1/(1/0)2 = 02! Это число получено от умножения нуля на нуль. Следовательно, оно на разряд меньше нуля – смотри правило умножения на нуль в «Листке втором». В самом нуле – бесконечно много k-чисел, имеющих отрицательную степень. В тишине нуля скрыто нескончаемое движение Вселенных... Вглядимся попристальнее в нуль. Сначала мы увидим: - –1 - 0 - +1 - или - –k0 - k–1 - +k0 - Глубже: - –0 - 02 - +0 - или - –k–1 - k–2 - +k–1 - И наконец, поняв идею сложного строения нуля: - –0n–1 - 0n - +0n–1 - или - –k–(n–1) – k–n - +k–(n–1) - Таким образом, нуль безгранично глубок, а граница между плюсом и минусом более непроницаема, чем граница между единицей и бесконечностью, поскольку во втором случае между единицей и бесконечностью одна точка связи первого рода – k, а в первом – неисчислимое множество точек связи как угодно большого рода. Теперь очень важное замечание. Обычно принимают, что 1 + 0 = 1. В этом есть определенный практический смысл. Если к k-числу высшего разряда прибавить число низшего разряда, то оно «не изменится». В самом деле, что значит Вселенная плюс атом? Без большого греха результат такого сложения можно принять равным Вселенной. Но ведь это не так... Сумма двух k-чисел, одно из которых принадлежит к низшему разряду, выражает структуру k-числа. Эта сумма и равна одному из слагаемых, и в то же время отлична от него! Это несколько похоже на тонкую структуру линий спектра. Число, этот математический атом, не является «первокирпичиком», оно имеет структуру! Оно содержит в себе противоречие – тождественно и нетождественно самому себе – и, следовательно, способно к какой-то форме движения и развития. <h3>Листок шестой</h3> В самом деле, когда же было иначе, когда это порицалось, когда запрещалось, когда нельзя было того, что можно? М.Т. Цицерон. «В защиту Марка Целия Руфа» Оказывается, k-числа не могут пожаловаться на отсутствие внимания к себе. На одну известную мне работу в этой области – уже цитировавшегося Эйлера – есть по крайней мере две критические заметки. Представляю их в хронологической последовательности с сохранением грамматики: Первая. Это сноска В. Висковатова в разбиравшейся книге «Оснований алгебры...» под номером 31. В тексте Эйлер выводит формулу ряда: 1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 + ... + an + an+1/(1 – a) и пишет: «Положим, во-первых, а = 1; наш ряд сделается: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и так далее бесконечно; а дробь, которой он должен быть равен, сделается 1/0. Но мы уже заметили выше, что 1/0 есть число бесконечно великое». На что В. Висковатов – переводчик и комментатор – замечает: «Возьмем общее выражение 1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 + ... + an + an+1/(1 – a). Когда положим а = 1, то выйдет 1/0 = 1 + 1 + 1 + ... + 1/0 или 1/0 + n + 1 = 1/0, и когда 1/0 почитать за количество, то выйдет n + 1 = 0, что совсем нелепо... Когда в выражении 1/0 = n + 1 + 1/0 оба количества умножить на нуль, то выйдет 1 = (n + 1)·0 + 1 или 1 = 1, что весьма справедливо; и так то же самое выражение 1/0 = n + 1 + 1/0 вести может и к нелепому и к истинному заключению; а сие само показывает, что выражение сие само есть нелепое». Весьма обстоятельно, но... неверно! Ошибка Висковатова заключается в том, что из-за отсутствия четкого понятия k-числа и его разрядов он не понял сущности суммы n + 1 + 1/0. В данном случае в правой части стоит сумма k + n + 1, где n + 1 = (n + 1)·k0, т.е. сумма k и k0, каковая может быть записана просто как k (по аналогии с 1 + 0 = 1). Умножая же на нуль обе части, мы переводим их в разряд k-чисел низшего порядка. А здесь аналогичное равенство привычно, а потому и очевидно: 1 + 0 = 1. (Автор вступился за честь Эйлера. Это невеликий подвиг! Вот если кто-то вступится за Висковатова против Эйлера и автора – это будет мужественным поступком. Конечно, если причина тому не простое упрямство. – Ю.Л.) Вторая. В «Математических рукописях» Карл Маркс пишет: «...так как 1/0 = 1/(1 – 1), а 1/(1 – 1) = 2·1/2·(1 – 1) = 2/(2 – 2), то опять-таки 2/0 = 1/0. С тем же успехом, как с помощью ряда из единиц вроде 1/0 = 1/(1 – 1) = 1 + 1 + 1 + ... можно представить ∞ посредством бесконечного ряда чисел, растущих в любом заданном отношении. Хотя при этом определенная часть одного бесконечного ряда может быть равна 1/2, 1/3 и т.д. определенной части другого бесконечного ряда, но ни первая, ни вторая определенная часть не находится в какой-нибудь пропорции ко всему бесконечному ряду, и в этом случае можно сказать только, что ряды по-разному шагают в бесконечность» (Курсив К. Маркса.) Может быть, кто-то сочтет мое утверждение кощунственным, но я все-таки рискну утверждать: в данном случае Маркс был не прав! Хотя и убедительно продемонстрировал недостаточную доказательность эйлеровского утверждения о том, что 2/0 > 1/0. Доказать же это более строго можно следующим образом: 1/0 = 1/(1 – 1) = 2·1/(2·(1 – 1)) = 2/(2·0) = 1/0. Ошибка Маркса в том, что 2·0 ≠ 0, так как 2·0 = 2·k–1, что совсем не то же самое, что k–1. Любопытно отметить, что Маркс обращался к понятию нуля и в других работах. Например, в работе «О дифференциале» он совершенно четко разделил «нуль-число» и «нуль-предел» как совершенно различные самостоятельные понятия. Об авторе: <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://piramyd.express.ru/disput/lebedev/lebedev.htm">Лебедев Юрий Александрович</a>, область творческих интересов – мировоззренческие и гуманитарные аспекты естественнонаучного познания, история и философия науки e-mail: <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/mailto:Ruthenium@mtu-net.ru">Ruthenium@mtu-net.ru</a> Ранее опубликовано: <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://piramyd.express.ru/disput/lebedev/h-func.htm">http://piramyd.express.ru/disput/lebedev/h-func.htm</a>  <div class="dk"> <div class="dp"> Дата публикации: 18 мая 2001 года </div> <div class="ev"> Электронная версия: © <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/">НиТ</a>. <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/pp.htm">Препринт</a>, 1997 </div> </div> </div> </div>  <div class="nk nkm"> <div class="fp2"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20171116225359/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20171116225359/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff;"><a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/">В начало сайта</a> | <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ri/">Книги</a> | <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/tp/">Статьи</a> | <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nj/">Журналы</a> | <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nl/">Нобелевские лауреаты</a> | <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ii/">Издания НиТ</a> | <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/nitnews.htm">Подписка</a> <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ks.htm#n-t">Карта сайта</a> | <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/sp/">Cовместные проекты</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://smbr.ru/">Журнал «Сумбур»</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://o-val.ru/">Игумен Валериан</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://ntbu.ru/">Техническая библиотека</a> </div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #fffceb; border-top: 1px solid #99D8FF;">© <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://n-t.ru/">МОО «Наука и техника»</a>, 1997...2017</div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff; border-top: 1px solid #99D8FF;"><a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/md.htm">Об организации</a> • <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ad.htm">Аудитория</a> • <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/ki.htm">Связаться с нами</a> • <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/rr.htm">Разместить рекламу</a> • <a href="/web/20171116225359/http://n-t.ru/pi.htm">Правовая информация</a> </div> </div>  <div style="max-width: 352px; margin: auto; background: #fff; border: 0px solid #e0e0e0;"> <div style="float: left; max-width: 222px; margin: 0px 0px 4px 0px; background: #fff;"><script type="text/javascript" src="//web.archive.org/web/20171116225359js_/http://yastatic.net/share/share.js" charset="utf-8"></script><div class="yashare-auto-init" data-yasharel10n="ru" data-yasharetype="link" data-yasharequickservices="vkontakte,facebook,twitter,odnoklassniki,moimir,lj"></div></div> <div style="float: right; margin: 4px 0px 0px 0px;" class="fb-follow" data-href="https://www.facebook.com/nit.ru" data-layout="button" data-show-faces="true"></div> <div style="clear: left;"></div> <div style="float: left;"><a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://www.yandex.ru/cy?base=0&host=n-t.ru" rel="nofollow"><img src="https://web.archive.org/web/20171116225359im_/http://www.yandex.ru/cycounter?n-t.ru" width="88" height="31" alt="Яндекс цитирования" border="0"></a></div> <div style="float: left;"><a href="//web.archive.org/web/20171116225359/http://www.liveinternet.ru/click" rel="nofollow" target="_blank"><img src="//web.archive.org/web/20171116225359im_/http://counter.yadro.ru/logo?14.13" title="LiveInternet: показано число просмотров за 24 часа, посетителей за 24 часа и за сегодня" alt="" border="0" width="88" height="31"/></a></div> <div style="float: left;"> <a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/https://metrika.yandex.ru/stat/?id=31163726&from=informer" target="_blank" rel="nofollow"><img src="https://web.archive.org/web/20171116225359im_/https://mc.yandex.ru/informer/31163726/3_0_F4FFF4FF_F4FFF4FF_0_pageviews" style="width:88px; height:31px; border:0;" alt="Яндекс.Метрика" title="Яндекс.Метрика: данные за сегодня (просмотры, визиты и уникальные посетители)" onclick="try{Ya.Metrika.informer({i:this,id:31163726,lang:'ru'});return false}catch(e){}"/></a> </div> <div style="float: left;"> <script id="top100Counter" type="text/javascript" src="https://web.archive.org/web/20171116225359js_/http://counter.rambler.ru/top100.jcn?95690"></script> <noscript><a href="https://web.archive.org/web/20171116225359/http://top100.rambler.ru/navi/95690/"><img src="https://web.archive.org/web/20171116225359im_/http://counter.rambler.ru/top100.cnt?95690" alt="Rambler's Top100" border="0"/></a></noscript> </div> <div style="clear: left;"></div> </div> </body></html>