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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India.</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2411.13834v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S1" title="In Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2" title="In Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Preliminaries and Problem Formulation</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.SS1" title="In 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Notation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.SS2" title="In 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>System Definition</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.SS3" title="In 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.3 </span>Problem Formulation</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3" title="In Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4" title="In Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Controller Design</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5" title="In Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Case Study</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS1" title="In 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.1 </span>Omnidirectional Robot</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS2" title="In 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.2 </span>Euler-Lagrange System</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS3" title="In 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.3 </span>Magnetic Levitator System</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS4" title="In 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.4 </span>Drones</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S6" title="In Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>Conclusion and Future Work</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems <span class="ltx_note ltx_role_thanks" id="id2.id1"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_type">thanks: </span> This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India.</span></span></span> </h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname"> Ratnangshu Das <br class="ltx_break"/>Robert Bosch Centre for Cyber-Physical Systems <br class="ltx_break"/>IISc, Bengaluru, India <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id3.2.id1">ratnangshud@iisc.ac.in</span> <br class="ltx_break"/>&Ahan Basu<sup class="ltx_sup" id="id4.3.id2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id4.3.id2.1">†</span></sup> <br class="ltx_break"/>Robert Bosch Centre for Cyber-Physical Systems <br class="ltx_break"/>IISc, Bengaluru, India <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id5.4.id3">ahanbasu@iisc.ac.in</span> <br class="ltx_break"/>&Pushpak Jagtap <br class="ltx_break"/>Robert Bosch Centre for Cyber-Physical Systems <br class="ltx_break"/>IISc, Bengaluru, India <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id6.5.id4">pushpak@iisc.ac.in</span> <br class="ltx_break"/> </span><span class="ltx_author_notes">Authors contributed equally.</span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id7.id1">The paper considers the controller synthesis problem for general MIMO systems with unknown dynamics, aiming to fulfill the temporal reach-avoid-stay task, where the unsafe regions are time-dependent, and the target must be reached within a specified time frame. The primary aim of the paper is to construct the spatiotemporal tube (STT) using a sampling-based approach and thereby devise a closed-form approximation-free control strategy to ensure that system trajectory reaches the target set while avoiding time-dependent unsafe sets. The proposed scheme utilizes a novel method involving STTs to provide controllers that guarantee both system safety and reachability. In our sampling-based framework, we translate the requirements of STTs into a Robust optimization program (ROP). To address the infeasibility of ROP caused by infinite constraints, we utilize the sampling-based Scenario optimization program (SOP). Subsequently, we solve the SOP to generate the tube and closed-form controller for an unknown system, ensuring the temporal reach-avoid-stay specification. Finally, the effectiveness of the proposed approach is demonstrated through three case studies: an omnidirectional robot, a SCARA manipulator, and a magnetic levitation system.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Autonomous systems have been a focal point in control theory, owing to their broad range of applications, including safety-critical situations such as self-driving cars and unmanned aerial vehicles. A principal challenge in deploying these systems is reaching specific targets while avoiding unsafe regions and respecting state constraints. The study of these reach-avoid-stay (RAS) specifications <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> becomes even more crucial as they often form the foundation for more complex specifications <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. This underlines the importance of developing and implementing safe and reliable control strategies.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">The adoption of formal languages <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite> to define tasks has led to the increasing popularity of symbolic control. This method abstracts the continuous state space into a finite symbolic model, simplifying the design of controllers with formal guarantees <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>. Enhancements such as the fixed-point algorithm for RAS controller synthesis <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite>, the integration of barrier certificates <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> and incrementally building a directed tree to approximate the product automaton’s state space <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> have improved upon the traditional abstraction-based method. However, as the system becomes more complex or the granularity of the abstraction increases, the symbolic model expands exponentially, leading to greater computational complexity.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">Alternatively, control barrier functions (CBFs) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib8" title="">8</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> offer a discretization-free approach to controller synthesis and have been extensively used for safety-critical systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, particularly to meet obstacle avoidance <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, a class of signal temporal logic (STL) and linear temporal logic (LTL) specifications (excluding avoid specification) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib13" title="">13</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>, and RAS specifications <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>. While CBFs mitigate some of the scalability issues associated with symbolic control, they still rely on an optimization step, making them computationally demanding for high-dimensional systems. Additionally, CBFs require precise knowledge of system dynamics, which is a serious constraint for real-world systems.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">Some other methods for achieving RAS objectives under disturbances include Hamilton-Jacobi (HJ) reachability <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>, which ensures safety but is computationally infeasible for high-dimensional systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite> and requires precise system dynamics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>. Gaussian processes (GP) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite> offer robustness by learning unknown dynamics but become computationally intensive as datasets grow <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>. Neural networks (NN) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite> can approximate complex dynamics but often lack formal safety guarantees <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">Funnel-based control <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite> addresses these challenges by providing approximation-free closed-form control law that constrains tracking error within exponentially decaying funnel-shaped boundaries. This allows for rapid response to disturbances and changes in system dynamics without the overhead of real-time optimization. This approach has been used in tracking control problems in unknown nonlinear systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> and multi-agent systems with intricate tasks <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>. Despite its success in meeting reachability specifications <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib3" title="">3</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>, handling nonconvex requirements like avoiding unsafe areas remains significantly challenging <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib29" title="">29</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">Some studies <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib30" title="">30</a>]</cite> combine path-planning algorithms with funnel-based tracking control to achieve RAS. However, separating the trajectory planning from funnel formulation can compromise avoid-constraints under disturbances. To address this <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib31" title="">31</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite> enlarge the obstacles and construct paths in an extended free space. But, it reduces the available navigable area, potentially blocking paths that exist within the original free space. This added conservatism limits the controller’s effectiveness in tight environments. Additionally, these works are restricted to static star-shaped and spherical obstacles, limiting their applicability to more general or dynamic obstacle configurations.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">To solve this, the idea is to eliminate the trajectory generation step and directly design time-varying guidance functions in the state space, which ensures that the target set is reached within the prescribed time while avoiding time-dependent unsafe sets and adhering to state constraints. However, the main challenge lies in devising these time-varying guidance functions through the free state space. The spatiotemporal tube (STT) approach in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib33" title="">33</a>]</cite>, uses the circumvent function <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib34" title="">34</a>]</cite> to define smooth time-varying tube functions. The tubes adapt around the unsafe regions, providing a safe channel for the trajectory to enforce RAS and prescribed-time RAS tasks. However, it assumes unsafe sets are unions of convex sets and handle only control-affine dynamics. Moreover, the abrupt STT adjustments, due to the circumvent function, significantly increase the control effort.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.1">In this paper, we propose a sampling-based technique, inspired from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib35" title="">35</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib36" title="">36</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib37" title="">37</a>]</cite>, to design STTs to address temporal-reach avoid stay specifications (T-RAS), i.e., given an initial set, the system trajectory should reach a target set within desired time interval while avoiding any time-varying unsafe sets. Given a T-RAS specification, we first frame the conditions of STTs as a robust optimization problem (ROP). We proceed by sampling points in time and the unsafe set to establish a scenario optimization program (SOP) associated with the ROP. By solving the SOP, we construct the STTs that adhere to the T-RAS specification with a formal correctness guarantee. Subsequently, we develop a closed-form approximation-free control law that ensures the output of a general higher-order unknown MIMO system remains within these tubes, thereby achieving T-RAS objectives. The efficacy of the proposed approach is demonstrated through the various case studies.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Preliminaries and Problem Formulation</h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>Notation</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.38">The symbols <math alttext="{\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">ℕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1">ℕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.1c">{\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.1d">blackboard_N</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.1c">{\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\mathbb{R}}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m3.1a"><msup id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.2">ℝ</ci><plus id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m3.1c">{\mathbb{R}}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m3.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="{\mathbb{R}}_{0}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m4.1a"><msubsup id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">0</mn><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.2">ℝ</ci><cn id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.2.3">0</cn></apply><plus id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m4.1c">{\mathbb{R}}_{0}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m4.1d">blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the set of natural, real, positive real, and nonnegative real numbers, respectively. A vector space of real matrices with <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m5.1a"><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m5.1b"><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m5.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m5.1d">italic_n</annotation></semantics></math> rows and <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p1.6.m6.1a"><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.6.m6.1b"><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.6.m6.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.6.m6.1d">italic_m</annotation></semantics></math> columns is denoted by <math alttext="{\mathbb{R}}^{n\times m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p1.7.m7.1a"><msup id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.7.m7.1c">{\mathbb{R}}^{n\times m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.7.m7.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. A column vector with <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p1.8.m8.1a"><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.8.m8.1b"><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.8.m8.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.8.m8.1d">italic_n</annotation></semantics></math> rows is represented by <math alttext="{\mathbb{R}}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.9.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p1.9.m9.1a"><msup id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.9.m9.1b"><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.9.m9.1c">{\mathbb{R}}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.9.m9.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The Euclidean norm is represented using <math alttext="\lVert\cdot\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.10.m10.1"><semantics id="S2.SS1.p1.10.m10.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.2.1" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.1.1.cmml">∥</mo><mo id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml">⋅</mo><mo fence="true" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.10.m10.1b"><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.10.m10.1c">\lVert\cdot\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.10.m10.1d">∥ ⋅ ∥</annotation></semantics></math>. For <math alttext="a,b\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.11.m11.2"><semantics id="S2.SS1.p1.11.m11.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.11.m11.2b"><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3"><in id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.1"></in><list id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2"><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.2">𝑏</ci></list><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.11.m11.2c">a,b\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.11.m11.2d">italic_a , italic_b ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> with <math alttext="a\leq b" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.12.m12.1"><semantics id="S2.SS1.p1.12.m12.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.12.m12.1b"><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1"><leq id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.1"></leq><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.12.m12.1c">a\leq b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.12.m12.1d">italic_a ≤ italic_b</annotation></semantics></math>, the closed interval in <math alttext="\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.13.m13.1"><semantics id="S2.SS1.p1.13.m13.1a"><mi id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.cmml">ℕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.13.m13.1b"><ci id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1">ℕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.13.m13.1c">\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.13.m13.1d">blackboard_N</annotation></semantics></math> is denoted as <math alttext="[a;b]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.14.m14.2"><semantics id="S2.SS1.p1.14.m14.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S2.SS1.p1.14.m14.2.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.14.m14.2b"><list id="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.2.3.2"><ci id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p1.14.m14.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.2.2">𝑏</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.14.m14.2c">[a;b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.14.m14.2d">[ italic_a ; italic_b ]</annotation></semantics></math>. A vector <math alttext="x\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.15.m15.1"><semantics id="S2.SS1.p1.15.m15.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.15.m15.1b"><apply id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1"><in id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.15.m15.1c">x\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.15.m15.1d">italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with entries <math alttext="x_{1},\ldots,x_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.16.m16.3"><semantics id="S2.SS1.p1.16.m16.3a"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.4" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.16.m16.3b"><list id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2"><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.16.m16.3c">x_{1},\ldots,x_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.16.m16.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is represented as <math alttext="[x_{1},\ldots,x_{n}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.17.m17.3"><semantics id="S2.SS1.p1.17.m17.3a"><msup id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.17.m17.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.17.m17.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.5" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.4" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.4.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.17.m17.3b"><apply id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3">superscript</csymbol><list id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2"><apply id="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.17.m17.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.17.m17.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.1.1">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.17.m17.3.3.4">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.17.m17.3c">[x_{1},\ldots,x_{n}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.17.m17.3d">[ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="x_{i}\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.18.m18.1"><semantics id="S2.SS1.p1.18.m18.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.18.m18.1b"><apply id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1"><in id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.18.m18.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.18.m18.1c">x_{i}\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.18.m18.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math> denotes the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.19.m19.1"><semantics id="S2.SS1.p1.19.m19.1a"><mi id="S2.SS1.p1.19.m19.1.1" xref="S2.SS1.p1.19.m19.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.19.m19.1b"><ci id="S2.SS1.p1.19.m19.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.19.m19.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.19.m19.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.19.m19.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th element of vector <math alttext="x\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.20.m20.1"><semantics id="S2.SS1.p1.20.m20.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.20.m20.1b"><apply id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1"><in id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.20.m20.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.20.m20.1c">x\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.20.m20.1d">italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.21.m21.2"><semantics id="S2.SS1.p1.21.m21.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p1.21.m21.1.1" xref="S2.SS1.p1.21.m21.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S2.SS1.p1.21.m21.2.2" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.21.m21.2b"><apply id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3"><in id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.2">𝑖</ci><list id="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.3.3.2"><cn id="S2.SS1.p1.21.m21.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.21.m21.1.1">1</cn><ci id="S2.SS1.p1.21.m21.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.21.m21.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.21.m21.2c">i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.21.m21.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>. A diagonal matrix in <math alttext="{\mathbb{R}}^{n\times n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.22.m22.1"><semantics id="S2.SS1.p1.22.m22.1a"><msup id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.22.m22.1b"><apply id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.22.m22.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.22.m22.1c">{\mathbb{R}}^{n\times n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.22.m22.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with diagonal entries <math alttext="d_{1},\ldots,d_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.23.m23.3"><semantics id="S2.SS1.p1.23.m23.3a"><mrow id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.23.m23.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.23.m23.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.4" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.23.m23.3b"><list id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2"><apply id="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.23.m23.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.23.m23.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.1.1">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.23.m23.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.23.m23.3c">d_{1},\ldots,d_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.23.m23.3d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is denoted by <math alttext="\textsf{diag}(d_{1},\ldots,d_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.24.m24.3"><semantics id="S2.SS1.p1.24.m24.3a"><mrow id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_sans-serif" id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.4" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.4a.cmml">diag</mtext><mo id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.24.m24.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.24.m24.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.5" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.24.m24.3b"><apply id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3"><times id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.3"></times><ci id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.4a.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.4"><mtext class="ltx_mathvariant_sans-serif" id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.4">diag</mtext></ci><vector id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2"><apply id="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.24.m24.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.24.m24.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.1.1">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.24.m24.3.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.24.m24.3c">\textsf{diag}(d_{1},\ldots,d_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.24.m24.3d">diag ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Given a matrix <math alttext="M\in{\mathbb{R}}^{n\times m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.25.m25.1"><semantics id="S2.SS1.p1.25.m25.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.25.m25.1b"><apply id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1"><in id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.2">𝑀</ci><apply id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3"><times id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.25.m25.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.25.m25.1c">M\in{\mathbb{R}}^{n\times m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.25.m25.1d">italic_M ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="M^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.26.m26.1"><semantics id="S2.SS1.p1.26.m26.1a"><msup id="S2.SS1.p1.26.m26.1.1" xref="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.3.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.26.m26.1b"><apply id="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.26.m26.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.26.m26.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.2">𝑀</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.26.m26.1.1.3">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.26.m26.1c">M^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.26.m26.1d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represents transpose of matrix <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.27.m27.1"><semantics id="S2.SS1.p1.27.m27.1a"><mi id="S2.SS1.p1.27.m27.1.1" xref="S2.SS1.p1.27.m27.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.27.m27.1b"><ci id="S2.SS1.p1.27.m27.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.27.m27.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.27.m27.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.27.m27.1d">italic_M</annotation></semantics></math>. The power set of a set <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS1.p1.38.1">A</span> is defined as <math alttext="\mathcal{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.28.m28.1"><semantics id="S2.SS1.p1.28.m28.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.28.m28.1.1" xref="S2.SS1.p1.28.m28.1.1.cmml">𝒫</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.28.m28.1b"><ci id="S2.SS1.p1.28.m28.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.28.m28.1.1">𝒫</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.28.m28.1c">\mathcal{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.28.m28.1d">caligraphic_P</annotation></semantics></math>(<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS1.p1.38.2">A</span>). Given <math alttext="N\in{\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.29.m29.1"><semantics id="S2.SS1.p1.29.m29.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.29.m29.1.1" xref="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.29.m29.1b"><apply id="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.29.m29.1.1"><in id="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.29.m29.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.29.m29.1c">N\in{\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.29.m29.1d">italic_N ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> sets <math alttext="\textbf{A}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.30.m30.1"><semantics id="S2.SS1.p1.30.m30.1a"><msub id="S2.SS1.p1.30.m30.1.1" xref="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.2a.cmml">A</mtext><mi id="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.30.m30.1b"><apply id="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.30.m30.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.30.m30.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.2">A</mtext></ci><ci id="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.30.m30.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.30.m30.1c">\textbf{A}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.30.m30.1d">A start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="i\in\left[1;N\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.31.m31.2"><semantics id="S2.SS1.p1.31.m31.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.2.1" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p1.31.m31.1.1" xref="S2.SS1.p1.31.m31.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S2.SS1.p1.31.m31.2.2" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.31.m31.2b"><apply id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3"><in id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.2">𝑖</ci><list id="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.3.3.2"><cn id="S2.SS1.p1.31.m31.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.31.m31.1.1">1</cn><ci id="S2.SS1.p1.31.m31.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.31.m31.2.2">𝑁</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.31.m31.2c">i\in\left[1;N\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.31.m31.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_N ]</annotation></semantics></math>, we denote the Cartesian product of the sets by <math alttext="\textbf{A}=\prod_{i\in\left[1;N\right]}\textbf{A}_{i}:=\{(x_{1},\ldots,x_{N})|% x_{i}\in\textbf{A}_{i},i\in\left[1;N\right]\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.32.m32.7"><semantics id="S2.SS1.p1.32.m32.7a"><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.4" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.4a.cmml">A</mtext><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.5" rspace="0.111em" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.4.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.2.1" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p1.32.m32.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.32.m32.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.1.cmml">;</mo><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.2.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><msub id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.2a.cmml">A</mtext><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.7" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.7.cmml">:=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.4" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.32.m32.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.5" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.2a.cmml">A</mtext><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p1.32.m32.4.4" xref="S2.SS1.p1.32.m32.4.4.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S2.SS1.p1.32.m32.5.5" xref="S2.SS1.p1.32.m32.5.5.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.32.m32.7b"><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7"><and id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7a.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7"></and><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7b.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7"><eq id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.5"></eq><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.4a.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.4"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.4">A</mtext></ci><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6"><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.1.2">product</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2"><in id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.3"></in><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.4">𝑖</ci><list id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.5.2"><cn id="S2.SS1.p1.32.m32.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.32.m32.1.1.1.1">1</cn><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.2.2.2.2">𝑁</ci></list></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.2">A</mtext></ci><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7c.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.7.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.7">assign</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.SS1.p1.32.m32.7.7.6.cmml" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7d.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7"></share><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.3">conditional-set</csymbol><vector id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2"><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.3.3">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.6.6.1.1.1.2.2.3">𝑁</ci></apply></vector><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1"><in id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.2">A</mtext></ci><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2"><in id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><list id="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.7.7.2.2.2.2.2.3.2"><cn id="S2.SS1.p1.32.m32.4.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.32.m32.4.4">1</cn><ci id="S2.SS1.p1.32.m32.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.32.m32.5.5">𝑁</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.32.m32.7c">\textbf{A}=\prod_{i\in\left[1;N\right]}\textbf{A}_{i}:=\{(x_{1},\ldots,x_{N})|% x_{i}\in\textbf{A}_{i},i\in\left[1;N\right]\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.32.m32.7d">A = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i ∈ [ 1 ; italic_N ] end_POSTSUBSCRIPT A start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT := { ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ) | italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ A start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_i ∈ [ 1 ; italic_N ] }</annotation></semantics></math>. The projection of a set <math alttext="\textbf{A}\subset\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.33.m33.1"><semantics id="S2.SS1.p1.33.m33.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.2a.cmml">A</mtext><mo id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.1.cmml">⊂</mo><msup id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.33.m33.1b"><apply id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1"><subset id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.1"></subset><ci id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.2">A</mtext></ci><apply id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.33.m33.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.33.m33.1c">\textbf{A}\subset\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.33.m33.1d">A ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> onto the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.34.m34.1"><semantics id="S2.SS1.p1.34.m34.1a"><mi id="S2.SS1.p1.34.m34.1.1" xref="S2.SS1.p1.34.m34.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.34.m34.1b"><ci id="S2.SS1.p1.34.m34.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.34.m34.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.34.m34.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.34.m34.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th dimension, where <math alttext="i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.35.m35.2"><semantics id="S2.SS1.p1.35.m35.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p1.35.m35.1.1" xref="S2.SS1.p1.35.m35.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S2.SS1.p1.35.m35.2.2" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.35.m35.2b"><apply id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3"><in id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.2">𝑖</ci><list id="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.3.3.2"><cn id="S2.SS1.p1.35.m35.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.35.m35.1.1">1</cn><ci id="S2.SS1.p1.35.m35.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.35.m35.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.35.m35.2c">i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.35.m35.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>, is represented by an interval <math alttext="[\textbf{A}_{i,L},\textbf{A}_{i,U}]\subset\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.36.m36.6"><semantics id="S2.SS1.p1.36.m36.6a"><mrow id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.2a.cmml">A</mtext><mrow id="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.36.m36.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.36.m36.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.2a.cmml">A</mtext><mrow id="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.4" xref="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.36.m36.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p1.36.m36.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.3" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.3.cmml">⊂</mo><mi id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.4" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.4.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.36.m36.6b"><apply id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6"><subset id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.3"></subset><interval closure="closed" id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2"><apply id="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.5.5.1.1.1.2">A</mtext></ci><list id="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.36.m36.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.2.2.2.2">A</mtext></ci><list id="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.36.m36.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply></interval><ci id="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.36.m36.6.6.4">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.36.m36.6c">[\textbf{A}_{i,L},\textbf{A}_{i,U}]\subset\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.36.m36.6d">[ A start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , A start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ] ⊂ blackboard_R</annotation></semantics></math>, where: <math alttext="\textbf{A}_{i,L}:=\min\{x_{i}\in\mathbb{R}\mid[x_{1},\ldots,x_{n}]\in\textbf{A}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.37.m37.5"><semantics id="S2.SS1.p1.37.m37.5a"><mrow id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.2" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.2a.cmml">A</mtext><mrow id="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.37.m37.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.2.cmml">:=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.4.4" xref="S2.SS1.p1.37.m37.4.4.cmml">min</mi><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1a" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.3" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.5" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.4" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.4.cmml">ℝ</mi><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">∣</mo><mrow id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.37.m37.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.6" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.6.cmml">∈</mo><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.7" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.7a.cmml">A</mtext></mrow><mo id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.37.m37.5b"><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.2">assign</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.3.2">A</mtext></ci><list id="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1"><min id="S2.SS1.p1.37.m37.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.4.4"></min><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1"><and id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1"></and><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1"><in id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.5"></in><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.3">conditional</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.4">ℝ</ci><list id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.3.3">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1"><in id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.2.cmml" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1"></share><ci id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.7a.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.7"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.SS1.p1.37.m37.5.5.1.1.1.1.7">A</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.37.m37.5c">\textbf{A}_{i,L}:=\min\{x_{i}\in\mathbb{R}\mid[x_{1},\ldots,x_{n}]\in\textbf{A}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.37.m37.5d">A start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT := roman_min { italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R ∣ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ] ∈ A }</annotation></semantics></math>, <math alttext="\textbf{A}_{i,U}:=\max\{x_{i}\in\mathbb{R}\mid[x_{1},\ldots,x_{n}]\in\textbf{A}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.38.m38.5"><semantics id="S2.SS1.p1.38.m38.5a"><mrow id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.2" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.2a.cmml">A</mtext><mrow id="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.38.m38.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.2.cmml">:=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.4.4" xref="S2.SS1.p1.38.m38.4.4.cmml">max</mi><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1a" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.3" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.5" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.4" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.4.cmml">ℝ</mi><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">∣</mo><mrow id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.38.m38.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.6" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.6.cmml">∈</mo><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.7" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.7a.cmml">A</mtext></mrow><mo id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.38.m38.5b"><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.2">assign</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.2a.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.3.2">A</mtext></ci><list id="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1"><max id="S2.SS1.p1.38.m38.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.4.4"></max><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1"><and id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1"></and><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1"><in id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.5"></in><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.3">conditional</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.4">ℝ</ci><list id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.3.3">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1"><in id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.2.cmml" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1"></share><ci id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.7a.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.7"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.SS1.p1.38.m38.5.5.1.1.1.1.7">A</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.38.m38.5c">\textbf{A}_{i,U}:=\max\{x_{i}\in\mathbb{R}\mid[x_{1},\ldots,x_{n}]\in\textbf{A}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.38.m38.5d">A start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT := roman_max { italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R ∣ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ] ∈ A }</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>System Definition</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.3">Consider a class of control-affine MIMO nonlinear pure-feedback systems characterized by the following dynamics:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx1"> <tbody id="S2.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{x}_{i}(t)=f_{i}(\overline{x}_{i}(t))+g_{i}(\overline{x}_{i}(% t))x_{i+1}(t)+w_{i}(t),i\in[1;N-1]," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex1.m2.7"><semantics id="S2.Ex1.m2.7a"><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1"><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m2.1.1" xref="S2.Ex1.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" 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id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.3" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.2b" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m2.4.4" xref="S2.Ex1.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow 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id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S2.Ex1.m2.6.6" xref="S2.Ex1.m2.6.6.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">;</mo><mrow id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m2.7.7.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m2.7b"><apply id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.3.cmml" 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id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m2.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑥</ci><apply id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3"><plus id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.1"></plus><ci id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex1.m2.4.4.cmml" xref="S2.Ex1.m2.4.4">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.1.1.2.4"><times 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id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m2.7c">\displaystyle\dot{x}_{i}(t)=f_{i}(\overline{x}_{i}(t))+g_{i}(\overline{x}_{i}(% t))x_{i+1}(t)+w_{i}(t),i\in[1;N-1],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m2.7d">over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) + italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) + italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_i ∈ [ 1 ; italic_N - 1 ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{x}_{N}(t)=f_{N}(\overline{x}_{N}(t))+g_{N}(\overline{x}_{N}(% t))u(t)+w_{N}(t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.m1.6"><semantics id="S2.E1.m1.6a"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.cmml"><msub id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.2.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.3" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.3.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi 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id="S2.E1.m1.6c">\displaystyle\dot{x}_{N}(t)=f_{N}(\overline{x}_{N}(t))+g_{N}(\overline{x}_{N}(% t))u(t)+w_{N}(t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.6d">over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) + italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) italic_u ( italic_t ) + italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle y(t)=x_{1}(t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex2.m1.3"><semantics id="S2.Ex2.m1.3a"><mrow id="S2.Ex2.m1.3.3.1" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.3b"><apply id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2"><times id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.3c">\displaystyle y(t)=x_{1}(t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.3d">italic_y ( italic_t ) = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.2">where for <math alttext="t\in{\mathbb{R}}^{+}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1"><in id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2">ℝ</ci><plus id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3"></plus></apply><cn id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">t\in{\mathbb{R}}^{+}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">italic_t ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="i\in[1;N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3"><in id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.1"></in><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2">𝑖</ci><list id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1">1</cn><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.2">𝑁</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.2c">i\in[1;N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_N ]</annotation></semantics></math>,</p> <ul class="ltx_itemize" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.1"><math alttext="x_{i}(t)=[x_{i,1}(t),\ldots,x_{i,n}(t)]^{\top}\in{{\mathbf{X}}}_{i}\subset% \mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.cmml"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.cmml"><msub id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.5.5" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.5" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.5.cmml">=</mo><msup id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.3.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.6.6" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.4" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.8.8" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.8.8.cmml">…</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.5" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.7.7" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.4" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.4.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.6" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.6.cmml">∈</mo><msub id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.8" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.8.cmml">⊂</mo><msup id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10b"><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10"><and id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10a.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10"></and><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10b.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10"><eq id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.5.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.5"></eq><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4"><times id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.1"></times><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.5.5">𝑡</ci></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2">superscript</csymbol><list id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2"><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1"><times id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><list id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.6.6">𝑡</ci></apply><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.8.8.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.8.8">…</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2"><times id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><list id="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.2">𝑛</ci></list></apply><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.7.7.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.7.7">𝑡</ci></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.4.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.4">top</csymbol></apply></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10c.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10"><in id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.6.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.2.cmml" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10d.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10"></share><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.2">𝐗</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10e.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10"><subset id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.8.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.8"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.7.cmml" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10f.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10"></share><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.2">ℝ</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.10.10.9.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10c">x_{i}(t)=[x_{i,1}(t),\ldots,x_{i,n}(t)]^{\top}\in{{\mathbf{X}}}_{i}\subset% \mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.10d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ bold_X start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the state vector,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.1"><math alttext="\overline{x}_{i}(t):=[x_{1}^{\top}(t),x_{2}^{\top}(t),...,x_{i}^{\top}(t)]^{% \top}\in\overline{{\mathbf{X}}}_{i}=\prod_{j=1}^{i}{\mathbf{X}}_{j}\subset% \mathbb{R}^{ni}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.cmml"><msub id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.6" rspace="0.278em" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.6.cmml">:=</mo><msup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.5" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.6" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.7" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml"><msubsup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.4.4" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.8" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.5" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.5.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.7" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.7.cmml">∈</mo><msub id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.cmml"><mover accent="true" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.9" rspace="0.111em" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.9.cmml">=</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.cmml"><msubsup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.3.cmml">i</mi></msubsup><msub id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.11" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.11.cmml">⊂</mo><msup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.3.cmml">i</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8b"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"><and id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8a.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"></and><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8b.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.6.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.6">assign</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5"><times id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.1"></times><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2">subscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2"><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.5.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.4.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3">superscript</csymbol><list id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" 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id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.3">top</csymbol></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.4.4">𝑡</ci></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.5.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.5">top</csymbol></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8c.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"><in id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.7.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.7"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.cmml" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8d.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"></share><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8">subscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2"><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.1">¯</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.2.2">𝐗</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8e.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"><eq id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.9.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.8.cmml" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8f.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"></share><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1">superscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.2">product</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3"><eq id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.2">𝐗</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8g.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"><subset id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.11.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.11"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.10.cmml" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8h.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8"></share><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.2">ℝ</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3"><times id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.1"></times><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.8.8.12.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8c">\overline{x}_{i}(t):=[x_{1}^{\top}(t),x_{2}^{\top}(t),...,x_{i}^{\top}(t)]^{% \top}\in\overline{{\mathbf{X}}}_{i}=\prod_{j=1}^{i}{\mathbf{X}}_{j}\subset% \mathbb{R}^{ni}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.8d">over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) := [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ over¯ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n italic_i end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i3.p1.1"><math alttext="u(t)\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2"><in id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.1"></in><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2"><times id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1c">u(t)\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1d">italic_u ( italic_t ) ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is control input vector,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i4.p1.1"><math alttext="w_{i}(t)\in\mathbf{W}\subset{\mathbb{R}}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.2" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.3" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.3" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.3.cmml">∈</mo><mi id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.4" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.4.cmml">𝐖</mi><mo id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.5" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.5.cmml">⊂</mo><msup id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.cmml"><mi id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.2" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.3" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2"><and id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2a.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2"></and><apply id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2b.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2"><in id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.3"></in><apply id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2"><times id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><apply id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.4.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.4">𝐖</ci></apply><apply id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2c.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2"><subset id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.5.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.4.cmml" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2d.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2"></share><apply id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.2.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.2">ℝ</ci><ci id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.3.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.2.6.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1c">w_{i}(t)\in\mathbf{W}\subset{\mathbb{R}}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ bold_W ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is unknown bounded external disturbance, and</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i5" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.I1.i5.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i5.p1.1"><math alttext="y(t)=[x_{1,1}(t),\ldots,x_{1,n}(t)]\in{\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10"><semantics id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10a"><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.cmml"><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.cmml"><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.2.cmml">y</mi><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.1" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.3.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.cmml"><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.5.5" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.5" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml"><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.cmml"><msub id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.I1.i5.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.6.6" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.4" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.8.8" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.8.8.cmml">…</mi><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.5" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.cmml"><msub id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S2.I1.i5.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.1" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.3.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.cmml"><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.7.7" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.6" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.6.cmml">∈</mo><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.7" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.7.cmml">𝐘</mi><mo id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.8" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.8.cmml">=</mo><msub id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.cmml"><mi id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.2" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.2.cmml">𝐗</mi><mn id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.3" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10b"><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10"><and id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10a.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10"></and><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10b.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10"><eq id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.5.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.5"></eq><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4"><times id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.1.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.1"></times><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.2.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.4.2">𝑦</ci><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.5.5">𝑡</ci></apply><list id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2"><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1"><times id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.1"></times><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.9.9.1.1.1.2.2">𝑥</ci><list id="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S2.I1.i5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.6.6">𝑡</ci></apply><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.8.8.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.8.8">…</ci><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2"><times id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.1"></times><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.2.2.2.2">𝑥</ci><list id="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.4"><cn id="S2.I1.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.4.4.2.2">𝑛</ci></list></apply><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.7.7.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.7.7">𝑡</ci></apply></list></apply><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10c.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10"><in id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.6.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.2.cmml" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10d.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10"></share><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.7.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.7">𝐘</ci></apply><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10e.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10"><eq id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.8.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.7.cmml" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10f.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10"></share><apply id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.1.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.2.cmml" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.2">𝐗</ci><cn id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i5.p1.1.m1.10.10.9.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10c">y(t)=[x_{1,1}(t),\ldots,x_{1,n}(t)]\in{\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i5.p1.1.m1.10d">italic_y ( italic_t ) = [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ] ∈ bold_Y = bold_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the output vector.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.2">The functions <math alttext="f_{i}:\overline{{\mathbf{X}}}_{i}\rightarrow\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.2">𝐗</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">f_{i}:\overline{{\mathbf{X}}}_{i}\rightarrow\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT : over¯ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> , <math alttext="g_{i}:\overline{{\mathbf{X}}}_{i}\rightarrow\mathbb{R}^{n\times n},i\in[1;N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.4"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.4a"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.2.cmml">g</mi><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.3.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">→</mo><msup id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.4b"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.3">:</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.2">𝑔</ci><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.3a.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.1">→</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2">𝐗</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2"><in id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.1"></in><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑖</ci><list id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.2.2.2.3.2"><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1">1</cn><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2">𝑁</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.4c">g_{i}:\overline{{\mathbf{X}}}_{i}\rightarrow\mathbb{R}^{n\times n},i\in[1;N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.4d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT : over¯ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , italic_i ∈ [ 1 ; italic_N ]</annotation></semantics></math>, follows the Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#Thmassumption1" title="Assumption 1 ‣ 2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#Thmassumption2" title="Assumption 2 ([23, 38]) ‣ 2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption1.1.1.1">Assumption 1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption1.p1.3.3">For all <math alttext="i\in[1;N]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">N</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3"><in id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.2">𝑖</ci><list id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.3.3.2"><cn id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2">𝑁</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2c">i\in[1;N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_N ]</annotation></semantics></math>, functions <math alttext="f_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑓</ci><ci id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1c">f_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="g_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">g</mi><mi id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑔</ci><ci id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1c">g_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are unknown and locally Lipschitz.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption2.1.1.1">Assumption 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption2.2.2"> (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib38" title="">38</a>]</cite>)</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption2.p1.4.4">The matrix <math alttext="g_{i,s}(\overline{x}_{i}):=\frac{g_{i}(\overline{x}_{i})+g_{i}(\overline{x}_{i% })^{\top}}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5"><semantics id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5a"><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.cmml"><msub id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.3.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.2" rspace="0.278em" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.2.cmml">:=</mo><mfrac id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">g</mi><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">+</mo><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><msub id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mrow id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo 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xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4"><divide id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4"></divide><apply id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2"><plus id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.3"></plus><apply id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1"><times id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2"></times><apply id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci 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xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.3">top</csymbol></apply></apply></apply><cn id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.4.cmml" type="integer" xref="Thmassumption2.p1.1.1.m1.4.4.4">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5c">g_{i,s}(\overline{x}_{i}):=\frac{g_{i}(\overline{x}_{i})+g_{i}(\overline{x}_{i% })^{\top}}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption2.p1.1.1.m1.5d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) := divide start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math> is uniformly sign definite with known signs for all <math alttext="\overline{x}_{i}\in\overline{{\mathbf{X}}}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msub 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id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1"><in id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.1"></in><apply id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.2"><ci id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.2"><ci id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2">𝐗</ci></apply><ci id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1c">\overline{x}_{i}\in\overline{{\mathbf{X}}}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption2.p1.2.2.m2.1d">over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ over¯ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Without loss of generality, we assume <math alttext="g_{i,s}(\overline{x}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3"><semantics id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.cmml"><msub id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3.2" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3.2.cmml">g</mi><mrow id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.4" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.2" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.1" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3b"><apply id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3"><times id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.2"></times><apply id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.3.2">𝑔</ci><list id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.4"><ci id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2"><ci id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3c">g_{i,s}(\overline{x}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption2.p1.3.3.m3.3d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is positive definite, i.e., there exists a constant <math alttext="\underline{g_{i}}\in\mathbb{R}^{+},\forall i\in[1;N]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4"><semantics id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4a"><mrow id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.3.cmml"><mrow id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.3" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.1" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.3" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.3" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml"><mrow id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.1" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.1.cmml"><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.2.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.2.2.cmml">N</mi><mo id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4b"><apply id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.3a.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1"><in id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1"></in><apply id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2"><ci id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.1">¯</ci><apply id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.2">ℝ</ci><plus id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.3.3.1.1.3.3"></plus></apply></apply><apply id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2"><in id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.1"></in><apply id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2">𝑖</ci></apply><list id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3.2"><cn id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.1.1">1</cn><ci id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.4.4.m4.2.2">𝑁</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4c">\underline{g_{i}}\in\mathbb{R}^{+},\forall i\in[1;N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption2.p1.4.4.m4.4d">under¯ start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_N ]</annotation></semantics></math> such that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="0<\underline{g_{i}}\leq\lambda_{\min}(g_{i,s}(\overline{x}_{i})),\forall\ % \overline{x}_{i}\in\overline{{\mathbf{X}}}_{i}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex3.m1.3"><semantics id="S2.Ex3.m1.3a"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><</mo><munder accentunder="true" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.2.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.2.2.cmml">g</mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.2.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">min</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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id="Thmassumption2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption2.p1.5.1">where <math alttext="\lambda_{\min}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1a"><mrow id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.2" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.3" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.3.cmml">min</mi></msub><mo id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.1" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.3.2" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mo id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1b"><apply id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2"><times id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.2">𝜆</ci><min id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.2.2.3"></min></apply><ci id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1c">\lambda_{\min}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption2.p1.5.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_min end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> represents the smallest eigenvalue of the matrix.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.2">This assumption ensures that in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) global controllability is guaranteed, i.e., <math alttext="g_{i,s}(\overline{x}_{i})\neq 0," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.1.m1.3"><semantics id="S2.SS2.p3.1.m1.3a"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">≠</mo><mn id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.1.m1.3b"><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1"><neq id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2"></neq><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑔</ci><list id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.1.m1.3c">g_{i,s}(\overline{x}_{i})\neq 0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.1.m1.3d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ≠ 0 ,</annotation></semantics></math> for all <math alttext="\overline{x}_{i}\in\overline{{\mathbf{X}}}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1"><in id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.1"></in><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2"><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2"><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.2">𝐗</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.2.m2.1c">\overline{x}_{i}\in\overline{{\mathbf{X}}}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.2.m2.1d">over¯ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ over¯ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S2.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem1.1.1.1">Remark 2.1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheorem1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheorem1.p1.1.1">While this paper considers a control-affine structure for the system in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>), the results can be extended to nonaffine systems. By leveraging techniques from the literature, such as affine transformations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib40" title="">40</a>]</cite> through coordinate changes or Taylor series expansions, we can include the additional terms that represent the discrepancy between the actual nonaffine dynamics and the affine approximation as an unknown disturbance within the model. This extension would enable a broader application of the proposed approach beyond control-affine dynamics.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.3 </span>Problem Formulation</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.1">Let the output of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>), <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS3.p1.1.1">i.e.</span> <math alttext="y(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2"><times id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.1.m1.1c">y(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.1.m1.1d">italic_y ( italic_t )</annotation></semantics></math>, be subject to a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS3.p1.1.2">temporal reach-avoid-stay specifications</span> defined next.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem2.1.1.1">Definition 2.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem2.2.2"> (Temporal reach-avoid-stay (T-RAS) task)</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheorem2.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8">Given an output-space <math alttext="\mathbf{Y}={\mathbf{X}}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝐗</mi><mn id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐘</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝐗</ci><cn id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">\mathbf{Y}={\mathbf{X}}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">bold_Y = bold_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, prescribed time <math alttext="t_{c}\in{\mathbb{R}}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">t</mi><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1"><in id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1"></in><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><plus id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">t_{c}\in{\mathbb{R}}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, a time-varying unsafe set <math alttext="{\mathbf{U}}:{\mathbb{R}}_{0}^{+}\rightarrow\mathcal{P}({\mathbf{Y}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.cmml"><msubsup id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.2.cmml">𝒫</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝐘</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2"><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.1">:</ci><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.2">𝐔</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3"><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.1">→</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.2">ℝ</ci><cn id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2.3">0</cn></apply><plus id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.3"></plus></apply><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3"><times id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.1"></times><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.2">𝒫</ci><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1">𝐘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1c">{\mathbf{U}}:{\mathbb{R}}_{0}^{+}\rightarrow\mathcal{P}({\mathbf{Y}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1d">bold_U : blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT → caligraphic_P ( bold_Y )</annotation></semantics></math>, an initial set <math alttext="{\mathbf{S}}\subset\mathbf{Y}\setminus{\mathbf{U}}(0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.cmml">(</mo><mn id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2"><subset id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.1"></subset><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.2">𝐒</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3"><setdiff id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.2">𝐘</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3"><times id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.1"></times><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.2.3.3.2">𝐔</ci><cn id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1c">{\mathbf{S}}\subset\mathbf{Y}\setminus{\mathbf{U}}(0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1d">bold_S ⊂ bold_Y ∖ bold_U ( 0 )</annotation></semantics></math>, and a target set <math alttext="{\mathbf{T}}\subset\mathbf{Y}\setminus{\mathbf{U}}(t_{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.3.cmml">𝐘</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.2.cmml">∖</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1"><subset id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.2"></subset><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.3">𝐓</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1"><setdiff id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.2"></setdiff><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.3">𝐘</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1"><times id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3">𝐔</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1c">{\mathbf{T}}\subset\mathbf{Y}\setminus{\mathbf{U}}(t_{c})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1d">bold_T ⊂ bold_Y ∖ bold_U ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, we say that the output of the system satisfies temporal reach-avoid-stay specifications if <math alttext="y(0)\in{\mathbf{S}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.3.cmml">𝐒</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2"><in id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.1"></in><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2"><times id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.1"></times><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.2.2">𝑦</ci><cn id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1">0</cn></apply><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.2.3">𝐒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1c">y(0)\in{\mathbf{S}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1d">italic_y ( 0 ) ∈ bold_S</annotation></semantics></math>, <math alttext="y(t_{c})\in{\mathbf{T}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.3.cmml">y</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">∈</mo><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">𝐓</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1"><in id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.2"></in><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1"><times id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.3">𝑦</ci><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.3">𝐓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1c">y(t_{c})\in{\mathbf{T}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1d">italic_y ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ bold_T</annotation></semantics></math> and for all <math alttext="s\in[0,t_{c}],y(s)\in\mathbf{Y}\setminus{\mathbf{U}}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5"><semantics id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5a"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.2.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.1" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.3.3" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.3.3.cmml">s</mi><mo id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5b"><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.3a.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1"><in id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.2"></in><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.3">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1"><cn id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1">0</cn><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval></apply><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2"><in id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.1"></in><apply id="S2.Thmtheorem2.p1.8.8.m8.5.5.2.2.2.cmml" 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id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3"><semantics id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.1" rspace="0.111em" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.cmml"><msubsup 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id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3b"><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4"><eq id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2"><times id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.2.2">𝐔</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3"><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1">subscript</csymbol><union id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.2"></union><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.3"><eq id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2"><times id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.1"></times><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.1.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2"><semantics id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2a"><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.cmml"><msup id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.2.cmml">𝒰</mi><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2b"><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3"><times id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.3.2.2">𝒰</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci></apply><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2.2">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2c">{\mathcal{U}}^{(j)}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem3.p1.2.1.m1.2d">caligraphic_U start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> represents time-dependent connected unsafe set. Hence, <math alttext="{\mathbf{U}}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2"><times id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.2.2">𝐔</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1c">{\mathbf{U}}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem3.p1.3.2.m2.1d">bold_U ( italic_t )</annotation></semantics></math> can be disconnected, representing multiple time-varying obstacles. Also, if <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem3.p1.4.3.m3.1d">bold_Y</annotation></semantics></math> has an arbitrary shape, we redefine the output space as <math alttext="\hat{{\mathbf{Y}}}=\prod_{i=1}^{n}[{\mathbf{Y}}_{i,L},{\mathbf{Y}}_{i,U}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6"><semantics id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6a"><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.3" rspace="0.111em" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.cmml"><msubsup id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.2" rspace="0em" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.3.cmml">n</mi></msubsup><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.4" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.4" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.4" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.3.3.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6b"><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6"><eq id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.3"></eq><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4"><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.1">^</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.4.2">𝐘</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2"><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3"><eq id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.3.3">𝑛</ci></apply><interval closure="closed" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2"><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.5.5.1.1.1.1.2">𝐘</ci><list id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6.6.2.2.2.2.2">𝐘</ci><list id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6c">\hat{{\mathbf{Y}}}=\prod_{i=1}^{n}[{\mathbf{Y}}_{i,L},{\mathbf{Y}}_{i,U}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem3.p1.5.4.m4.6d">over^ start_ARG bold_Y end_ARG = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT [ bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math> and expand the unsafe set to <math alttext="\hat{{\mathbf{U}}}(t)={\mathbf{U}}(t)\cup(\hat{\mathbf{Y}}\setminus\mathbf{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3"><semantics id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3a"><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.2.cmml">∪</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∖</mo><mi id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.cmml">𝐘</mi></mrow><mo id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3b"><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3"><eq id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.2"></eq><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3"><times id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.1"></times><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2"><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.1">^</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.3.2.2">𝐔</ci></apply><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1"><union id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.2"></union><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3"><times id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.1"></times><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.3.2">𝐔</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1"><setdiff id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.1"></setdiff><apply id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2"><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐘</ci></apply><ci id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3.3.1.1.1.1.3">𝐘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3c">\hat{{\mathbf{U}}}(t)={\mathbf{U}}(t)\cup(\hat{\mathbf{Y}}\setminus\mathbf{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem3.p1.6.5.m5.3d">over^ start_ARG bold_U end_ARG ( italic_t ) = bold_U ( italic_t ) ∪ ( over^ start_ARG bold_Y end_ARG ∖ bold_Y )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_problem" id="S2.Thmtheorem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem4.1.1.1">Problem 2.4</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheorem4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheorem4.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2">Given the system in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>), we aim to design an approximation-free, closed-form control law <math alttext="u(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2"><times id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1c">u(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1d">italic_u ( italic_t )</annotation></semantics></math> ensuring the output <math alttext="y(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2"><times id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1c">y(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1d">italic_y ( italic_t )</annotation></semantics></math> adheres to the T-RAS specification defined in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem2" title="Definition 2.2 (Temporal reach-avoid-stay (T-RAS) task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>. </span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p2.1">To solve the aforementioned problem, we leverage the STTs defined next.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmtheorem5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem5.1.1.1">Definition 2.5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem5.2.2"> (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task)</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheorem5.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheorem5.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5">Given a T-RAS task in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem2" title="Definition 2.2 (Temporal reach-avoid-stay (T-RAS) task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>, time-varying intervals <math alttext="[\gamma_{i,L}(t),\gamma_{i,U}(t)]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8"><semantics id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8a"><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.cmml"><msub id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.5.5" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.4" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.cmml"><msub id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.4" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.6.6" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.3.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8b"><interval closure="closed" id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2"><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1"><times id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1"></times><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2.2">𝛾</ci><list id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.5.5.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.5.5">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2"><times id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.1"></times><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8.8.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.6.6.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.6.6">𝑡</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8c">[\gamma_{i,L}(t),\gamma_{i,U}(t)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.8d">[ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ]</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\gamma_{i,L}:{\mathbb{R}}_{0}^{+}\rightarrow{\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.cmml"><msubsup id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2b"><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.1">:</ci><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.2.2">𝛾</ci><list id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.1">→</ci><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.2">ℝ</ci><cn id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2.3">0</cn></apply><plus id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.2.3"></plus></apply><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2.3.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2c">\gamma_{i,L}:{\mathbb{R}}_{0}^{+}\rightarrow{\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.2d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT : blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT → blackboard_R</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{i,U}:{\mathbb{R}}_{0}^{+}\rightarrow{\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.4" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.cmml"><msubsup id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.1">:</ci><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.2.2">𝛾</ci><list id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.1">→</ci><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.2">ℝ</ci><cn id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2.3">0</cn></apply><plus id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.2.3"></plus></apply><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.3.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2c">\gamma_{i,U}:{\mathbb{R}}_{0}^{+}\rightarrow{\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT : blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT → blackboard_R</annotation></semantics></math> are continuously differentiable functions with <math alttext="\gamma_{i,L}(t)<\gamma_{i,U}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6"><semantics id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6a"><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.cmml"><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.cmml"><msub id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.4" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.5.5" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.5.5.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.1.cmml"><</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.cmml"><msub id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.4" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.3.3.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.6" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.6.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6b"><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7"><lt id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.1"></lt><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2"><times id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.1"></times><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.2.2.2">𝛾</ci><list id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.5.5.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.5.5">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3"><times id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.1"></times><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.7.3.2.2">𝛾</ci><list id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.6.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6.6">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6c">\gamma_{i,L}(t)<\gamma_{i,U}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) < italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>, are called STTs for T-RAS, if for all <math alttext="i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2"><semantics id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.2" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2b"><apply id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3"><in id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.1"></in><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.2">𝑖</ci><list id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.3.3.2"><cn id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1">1</cn><ci id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2c">i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheorem5.p1.5.5.m5.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>, the following holds:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx2"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{i=1}^{n}[\gamma_{i,L}(t),\gamma_{i,U}(t)]\subseteq{\mathbf% {Y}},\forall t\in[0,t_{c}]," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.1.m1.8"><semantics id="S2.E2.1.m1.8a"><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1"><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml"><munderover id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.E2.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.E2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.E2.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.1.m1.5.5" xref="S2.E2.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.E2.1.m1.4.4.2.4" xref="S2.E2.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.E2.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.E2.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.E2.1.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.1.m1.6.6" xref="S2.E2.1.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml">⊆</mo><mi id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.4" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi></mrow><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S2.E2.1.m1.7.7" xref="S2.E2.1.m1.7.7.cmml">0</mn><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.1.m1.8.8.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.1.m1.8b"><apply id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.3a.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1"><subset id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.3"></subset><apply id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2"><apply id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml" 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xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="S2.E2.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E2.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.E2.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E2.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E2.1.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S2.E2.1.m1.6.6.cmml" xref="S2.E2.1.m1.6.6">𝑡</ci></apply></interval></apply><ci id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.1.1.4">𝐘</ci></apply><apply id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2"><in id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.2"></in><apply id="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.1.m1.8.8.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" 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encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.1.m1.8d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ] ⊆ bold_Y , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{i=1}^{n}[\gamma_{i,L}(0),\gamma_{i,U}(0)]\subseteq{\mathbf% {S}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.2.m1.7"><semantics id="S2.E2.2.m1.7a"><mrow id="S2.E2.2.m1.7.7.1" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><munderover id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3a" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.3.2" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.3.1" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.3.3" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.E2.2.m1.2.2.2.4" xref="S2.E2.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.2.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.2.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E2.2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.2.m1.2.2.2.2" xref="S2.E2.2.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S2.E2.2.m1.5.5" xref="S2.E2.2.m1.5.5.cmml">0</mn><mo 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id="S2.E2.2.m1.6.6" xref="S2.E2.2.m1.6.6.cmml">0</mn><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.3.cmml">⊆</mo><mi id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.4" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.4.cmml">𝐒</mi></mrow><mo id="S2.E2.2.m1.7.7.1.2" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.2.m1.7b"><apply id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1"><subset id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.3"></subset><apply id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2"><apply id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.2.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml" 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ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{i=1}^{n}[\gamma_{i,L}(t_{c}),\gamma_{i,U}(t_{c})]\subseteq% {\mathbf{T}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.3.m1.5"><semantics id="S2.E2.3.m1.5a"><mrow id="S2.E2.3.m1.5.5.1" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><munderover id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3a" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.2" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.1" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.3" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.E2.3.m1.2.2.2.4" xref="S2.E2.3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m1.1.1.1.1" 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xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.3.cmml">⊆</mo><mi id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.4" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.4.cmml">𝐓</mi></mrow><mo id="S2.E2.3.m1.5.5.1.2" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.3.m1.5b"><apply id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1"><subset id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.3"></subset><apply id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2"><apply id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" 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id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2">𝛾</ci><list id="S2.E2.3.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E2.3.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.E2.3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E2.3.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.E2.3.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" 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ltx_align_right">(2c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\prod_{i=1}^{n}[\gamma_{i,L}(t),\gamma_{i,U}(t)]\cap{\mathbf{U}}(% t)=\emptyset,\forall t\in[0,t_{c}]." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.4.m1.9"><semantics id="S2.E2.4.m1.9a"><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1"><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><munderover id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">n</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.E2.4.m1.2.2.2.4" xref="S2.E2.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.4.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.4.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.4.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E2.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.4.m1.2.2.2.2" xref="S2.E2.4.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.4.m1.5.5" xref="S2.E2.4.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2" 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xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">∩</mo><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.1" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.cmml"><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.4.m1.7.7" xref="S2.E2.4.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mi id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.1.1.4.cmml">∅</mi></mrow><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S2.E2.4.m1.8.8" xref="S2.E2.4.m1.8.8.cmml">0</mn><mo id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.4.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2" 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ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2d)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S2.Thmtheorem6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheorem6.1.1.1">Remark 2.6</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheorem6.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheorem6.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheorem6.p1.1.1">If one designs a control law that constrains the output trajectory within the STTs defined in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem5" title="Definition 2.5 (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.5</span></a>, i.e.,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx3"> <tbody id="S2.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{i,L}(t)<y_{i}(t)<\gamma_{i,U}(t),\forall i\in[1;n],% \implies\gamma_{L}(t)<x_{1}(t)<\gamma_{U}(t)," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E3.m1.9"><semantics id="S2.E3.m1.9a"><mrow id="S2.E3.m1.9b"><msub id="S2.E3.m1.9.10"><mi id="S2.E3.m1.9.10.2">γ</mi><mrow id="S2.E3.m1.2.2.2.4"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1">i</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2.2.2">L</mi></mrow></msub><mrow id="S2.E3.m1.9.11"><mo id="S2.E3.m1.9.11.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5">t</mi><mo id="S2.E3.m1.9.11.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.12"><</mo><msub id="S2.E3.m1.9.13"><mi id="S2.E3.m1.9.13.2">y</mi><mi id="S2.E3.m1.9.13.3">i</mi></msub><mrow id="S2.E3.m1.9.14"><mo id="S2.E3.m1.9.14.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6">t</mi><mo id="S2.E3.m1.9.14.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.15"><</mo><msub id="S2.E3.m1.9.16"><mi id="S2.E3.m1.9.16.2">γ</mi><mrow id="S2.E3.m1.4.4.2.4"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1">i</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.2.4.1">,</mo><mi id="S2.E3.m1.4.4.2.2">U</mi></mrow></msub><mrow id="S2.E3.m1.9.17"><mo id="S2.E3.m1.9.17.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E3.m1.7.7">t</mi><mo id="S2.E3.m1.9.17.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.18">,</mo><mo id="S2.E3.m1.9.19" rspace="0.167em">∀</mo><mi id="S2.E3.m1.9.20">i</mi><mo id="S2.E3.m1.9.21">∈</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.22"><mo id="S2.E3.m1.9.22.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S2.E3.m1.8.8">1</mn><mo id="S2.E3.m1.9.22.2">;</mo><mi id="S2.E3.m1.9.9">n</mi><mo id="S2.E3.m1.9.22.3" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.23">,</mo><mo id="S2.E3.m1.9.24" lspace="0em" stretchy="false">⟹</mo><msub id="S2.E3.m1.9.25"><mi id="S2.E3.m1.9.25.2">γ</mi><mi id="S2.E3.m1.9.25.3">L</mi></msub><mrow id="S2.E3.m1.9.26"><mo id="S2.E3.m1.9.26.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E3.m1.9.26.2">t</mi><mo id="S2.E3.m1.9.26.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.27"><</mo><msub id="S2.E3.m1.9.28"><mi id="S2.E3.m1.9.28.2">x</mi><mn id="S2.E3.m1.9.28.3">1</mn></msub><mrow id="S2.E3.m1.9.29"><mo id="S2.E3.m1.9.29.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E3.m1.9.29.2">t</mi><mo id="S2.E3.m1.9.29.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.30"><</mo><msub id="S2.E3.m1.9.31"><mi id="S2.E3.m1.9.31.2">γ</mi><mi id="S2.E3.m1.9.31.3">U</mi></msub><mrow id="S2.E3.m1.9.32"><mo id="S2.E3.m1.9.32.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E3.m1.9.32.2">t</mi><mo id="S2.E3.m1.9.32.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.33">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.9c">\displaystyle\gamma_{i,L}(t)<y_{i}(t)<\gamma_{i,U}(t),\forall i\in[1;n],% \implies\gamma_{L}(t)<x_{1}(t)<\gamma_{U}(t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.9d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) < italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) < italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , ∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] , ⟹ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) < italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) < italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheorem6.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheorem6.p1.2.1">then one can ensure the satisfaction of T-RAS specification.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.1">The STTs approach <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib33" title="">33</a>]</cite> increases the conservatism of the specifications by restricting the unsafe set to only a union of convex sets and requiring that the projection of the unsafe set does not overlap with the initial and target set in at least one dimension. Additionally, the circumvent function—a time-varying function used to capture the unsafe set—introduces sharp changes in the tube shape (as shown in Figure 1 of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib33" title="">33</a>]</cite>), which increases control effort. To address these limitations and extend the concept of STTs of Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem5" title="Definition 2.5 (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.5</span></a> to more general T-RAS specifications mentioned in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem2" title="Definition 2.2 (Temporal reach-avoid-stay (T-RAS) task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>, we propose a sampling-based approach in this paper.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">In this section, the main goal is to construct the STTs that start from the initial set and reach the target set, avoiding the obstacles denoted by the unsafe sets.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.1">In our sampling-based setting, we fix the structure of the curves that form the STTs for the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th dimension as,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},t)=\sum_{k=1}^{z_{i,{\mathcal{o}}% }}c_{i,{\mathcal{o}}}^{k}p_{i,{\mathcal{o}}}^{k}(t),\ {\mathcal{o}}\in{L,U},\ % i\in[1;n]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex1.m1.17"><semantics id="S3.Ex1.m1.17a"><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1"><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex1.m1.4.4.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m1.11.11" xref="S3.Ex1.m1.11.11.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex1.m1.6.6.2" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2.4.cmml">z</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub></munderover><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.8.8.2.4" xref="S3.Ex1.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex1.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.Ex1.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1.m1.8.8.2.2" xref="S3.Ex1.m1.8.8.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow><mi id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.10.10.2.4" xref="S3.Ex1.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex1.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex1.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.Ex1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1.m1.10.10.2.2" xref="S3.Ex1.m1.10.10.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow><mi id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m1.12.12" xref="S3.Ex1.m1.12.12.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.2.cmml">ℴ</mi><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.15.15" xref="S3.Ex1.m1.15.15.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m1.16.16" xref="S3.Ex1.m1.16.16.cmml">U</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Ex1.m1.13.13" xref="S3.Ex1.m1.13.13.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.Ex1.m1.14.14" xref="S3.Ex1.m1.14.14.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.17.17.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m1.17b"><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.4.4.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S3.Ex1.m1.11.11.cmml" xref="S3.Ex1.m1.11.11">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3"><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.6.6.2.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2.4">𝑧</ci><list id="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.6.6.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex1.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.Ex1.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex1.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.8.8.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑝</ci><list id="S3.Ex1.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.Ex1.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex1.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.10.10.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex1.m1.12.12.cmml" xref="S3.Ex1.m1.12.12">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1"><in id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.1"></in><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.2">ℴ</ci><list id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex1.m1.15.15.cmml" xref="S3.Ex1.m1.15.15">𝐿</ci><ci id="S3.Ex1.m1.16.16.cmml" xref="S3.Ex1.m1.16.16">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2"><in id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.1"></in><ci id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.2">𝑖</ci><list id="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.17.17.1.1.2.2.2.2.3.2"><cn id="S3.Ex1.m1.13.13.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.13.13">1</cn><ci id="S3.Ex1.m1.14.14.cmml" xref="S3.Ex1.m1.14.14">𝑛</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.17c">\gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},t)=\sum_{k=1}^{z_{i,{\mathcal{o}}% }}c_{i,{\mathcal{o}}}^{k}p_{i,{\mathcal{o}}}^{k}(t),\ {\mathcal{o}}\in{L,U},\ % i\in[1;n],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.17d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , caligraphic_o ∈ italic_L , italic_U , italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.5">where <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m1.1"><semantics id="S3.p2.2.m1.1a"><mi id="S3.p2.2.m1.1.1" xref="S3.p2.2.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m1.1b"><ci id="S3.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math> and <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m2.1"><semantics id="S3.p2.3.m2.1a"><mi id="S3.p2.3.m2.1.1" xref="S3.p2.3.m2.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m2.1b"><ci id="S3.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m2.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m2.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m2.1d">italic_U</annotation></semantics></math> denote the lower and upper constraints, respectively. <math alttext="p_{i,{\mathcal{o}}}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m3.3"><semantics id="S3.p2.4.m3.3a"><mrow id="S3.p2.4.m3.3.4" xref="S3.p2.4.m3.3.4.cmml"><msub id="S3.p2.4.m3.3.4.2" xref="S3.p2.4.m3.3.4.2.cmml"><mi id="S3.p2.4.m3.3.4.2.2" xref="S3.p2.4.m3.3.4.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.p2.4.m3.2.2.2.4" xref="S3.p2.4.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.4.m3.1.1.1.1" xref="S3.p2.4.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.4.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.p2.4.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p2.4.m3.2.2.2.2" xref="S3.p2.4.m3.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.p2.4.m3.3.4.1" xref="S3.p2.4.m3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.4.m3.3.4.3.2" xref="S3.p2.4.m3.3.4.cmml"><mo id="S3.p2.4.m3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.4.m3.3.3" xref="S3.p2.4.m3.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.4.m3.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m3.3b"><apply id="S3.p2.4.m3.3.4.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.4"><times id="S3.p2.4.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.4.1"></times><apply id="S3.p2.4.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m3.3.4.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.4.2.2">𝑝</ci><list id="S3.p2.4.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.p2.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p2.4.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S3.p2.4.m3.3.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m3.3c">p_{i,{\mathcal{o}}}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m3.3d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> are user-defined nonlinear continuously differentiable basis functions and <math alttext="c_{i,{\mathcal{o}}}=[c_{i,{\mathcal{o}}}^{1};c_{i,{\mathcal{o}}}^{2};...;c_{i,% {\mathcal{o}}}^{z_{i,{\mathcal{o}}}}]\in\mathbb{R}^{z_{i,{\mathcal{o}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m4.16"><semantics id="S3.p2.5.m4.16a"><mrow id="S3.p2.5.m4.16.16" xref="S3.p2.5.m4.16.16.cmml"><msub id="S3.p2.5.m4.16.16.5" xref="S3.p2.5.m4.16.16.5.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.16.16.5.2" xref="S3.p2.5.m4.16.16.5.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.p2.5.m4.2.2.2.4" xref="S3.p2.5.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.1.1.1.1" xref="S3.p2.5.m4.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.5.m4.2.2.2.4.1" xref="S3.p2.5.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p2.5.m4.2.2.2.2" xref="S3.p2.5.m4.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.p2.5.m4.16.16.6" xref="S3.p2.5.m4.16.16.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.4.cmml"><mo id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.4.cmml">[</mo><msubsup id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.2.2" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.p2.5.m4.4.4.2.4" xref="S3.p2.5.m4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.3.3.1.1" xref="S3.p2.5.m4.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.5.m4.4.4.2.4.1" xref="S3.p2.5.m4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p2.5.m4.4.4.2.2" xref="S3.p2.5.m4.4.4.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow><mn id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.3" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.5" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.4.cmml">;</mo><msubsup id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.2.2" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.p2.5.m4.6.6.2.4" xref="S3.p2.5.m4.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.5.5.1.1" xref="S3.p2.5.m4.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.5.m4.6.6.2.4.1" xref="S3.p2.5.m4.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p2.5.m4.6.6.2.2" xref="S3.p2.5.m4.6.6.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow><mn id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.3" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.6" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.4.cmml">;</mo><mi id="S3.p2.5.m4.13.13" mathvariant="normal" xref="S3.p2.5.m4.13.13.cmml">…</mi><mo id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.7" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.4.cmml">;</mo><msubsup id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.2.2" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.p2.5.m4.8.8.2.4" xref="S3.p2.5.m4.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.7.7.1.1" xref="S3.p2.5.m4.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.5.m4.8.8.2.4.1" xref="S3.p2.5.m4.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p2.5.m4.8.8.2.2" xref="S3.p2.5.m4.8.8.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow><msub id="S3.p2.5.m4.10.10.2" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.10.10.2.4" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2.4.cmml">z</mi><mrow id="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.4" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.9.9.1.1.1.1" xref="S3.p2.5.m4.9.9.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.4.1" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.2" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub></msubsup><mo id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.8" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.p2.5.m4.16.16.7" xref="S3.p2.5.m4.16.16.7.cmml">∈</mo><msup id="S3.p2.5.m4.16.16.8" xref="S3.p2.5.m4.16.16.8.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.16.16.8.2" xref="S3.p2.5.m4.16.16.8.2.cmml">ℝ</mi><msub id="S3.p2.5.m4.12.12.2" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.12.12.2.4" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2.4.cmml">z</mi><mrow id="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.4" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.11.11.1.1.1.1" xref="S3.p2.5.m4.11.11.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.4.1" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.2" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m4.16b"><apply id="S3.p2.5.m4.16.16.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16"><and id="S3.p2.5.m4.16.16a.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16"></and><apply id="S3.p2.5.m4.16.16b.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16"><eq id="S3.p2.5.m4.16.16.6.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.6"></eq><apply id="S3.p2.5.m4.16.16.5.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.16.16.5.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.5">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m4.16.16.5.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.5.2">𝑐</ci><list id="S3.p2.5.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.2.2.2.4"><ci id="S3.p2.5.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p2.5.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><list id="S3.p2.5.m4.16.16.3.4.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.3"><apply id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.2.2">𝑐</ci><list id="S3.p2.5.m4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.4.4.2.4"><ci id="S3.p2.5.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p2.5.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.4.4.2.2">ℴ</ci></list></apply><cn id="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.5.m4.14.14.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.2.2">𝑐</ci><list id="S3.p2.5.m4.6.6.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.6.6.2.4"><ci id="S3.p2.5.m4.5.5.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p2.5.m4.6.6.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.6.6.2.2">ℴ</ci></list></apply><cn id="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.5.m4.15.15.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.p2.5.m4.13.13.cmml" xref="S3.p2.5.m4.13.13">…</ci><apply id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.3.3.3.2.2">𝑐</ci><list id="S3.p2.5.m4.8.8.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.8.8.2.4"><ci id="S3.p2.5.m4.7.7.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p2.5.m4.8.8.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.8.8.2.2">ℴ</ci></list></apply><apply id="S3.p2.5.m4.10.10.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.10.10.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m4.10.10.2.4.cmml" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2.4">𝑧</ci><list id="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.4"><ci id="S3.p2.5.m4.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.9.9.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.10.10.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply></apply></list></apply><apply id="S3.p2.5.m4.16.16c.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16"><in id="S3.p2.5.m4.16.16.7.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.7"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.p2.5.m4.16.16.3.cmml" id="S3.p2.5.m4.16.16d.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16"></share><apply id="S3.p2.5.m4.16.16.8.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.16.16.8.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.8">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m4.16.16.8.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.16.16.8.2">ℝ</ci><apply id="S3.p2.5.m4.12.12.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.12.12.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m4.12.12.2.4.cmml" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2.4">𝑧</ci><list id="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.4"><ci id="S3.p2.5.m4.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.11.11.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.12.12.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m4.16c">c_{i,{\mathcal{o}}}=[c_{i,{\mathcal{o}}}^{1};c_{i,{\mathcal{o}}}^{2};...;c_{i,% {\mathcal{o}}}^{z_{i,{\mathcal{o}}}}]\in\mathbb{R}^{z_{i,{\mathcal{o}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m4.16d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ; italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ; … ; italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ] ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the unknown coefficients.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.7">To satisfy the conditions in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem5" title="Definition 2.5 (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.5</span></a>, we formulate the following Robust optimization program (ROP):</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E4"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx4"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\min_{[d_{1},d_{2},...,d_{n},\eta]}\quad\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.x1.m1.7"><semantics id="S3.E4.x1.m1.7a"><mrow id="S3.E4.x1.m1.7.7.1" xref="S3.E4.x1.m1.7.7.2.cmml"><munder id="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1" xref="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.6.cmml"><mo id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.4" stretchy="false" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.6.cmml">[</mo><msub id="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1" xref="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.2.cmml">d</mi><mn id="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.5" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2" xref="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.3" xref="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.6" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.x1.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E4.x1.m1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.7" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.cmml"><mi id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.2" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.2.cmml">d</mi><mi id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.3" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.8" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.x1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E4.x1.m1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.9" stretchy="false" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.6.cmml">]</mo></mrow></munder><mspace id="S3.E4.x1.m1.7.7.1.2" width="1.167em" xref="S3.E4.x1.m1.7.7.2.cmml"></mspace><mi id="S3.E4.x1.m1.6.6" xref="S3.E4.x1.m1.6.6.cmml">η</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.x1.m1.7b"><list id="S3.E4.x1.m1.7.7.2.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.7.7.1"><apply id="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1">subscript</csymbol><min id="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.7.7.1.1.2"></min><list id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.6.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5"><apply id="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.2">𝑑</ci><cn id="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.x1.m1.3.3.3.3.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.x1.m1.4.4.4.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E4.x1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.1.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.2.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.3.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.5.5.5.5.3.3">𝑛</ci></apply><ci id="S3.E4.x1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.2.2.2.2">𝜂</ci></list></apply><ci id="S3.E4.x1.m1.6.6.cmml" xref="S3.E4.x1.m1.6.6">𝜂</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.x1.m1.7c">\displaystyle\min_{[d_{1},d_{2},...,d_{n},\eta]}\quad\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.x1.m1.7d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT [ italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_η ] end_POSTSUBSCRIPT italic_η</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.x2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="S3.E4.x2.3.2.1.1">s.t.</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall i=[1;n],\gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},0)=% \hat{{\mathbf{S}}}_{i,{\mathcal{o}}},\ \gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal% {o}}},t_{c})=\hat{{\mathbf{T}}}_{i,{\mathcal{o}}};" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.1.m1.16"><semantics id="S3.E4.1.m1.16a"><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1"><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E4.1.m1.13.13" xref="S3.E4.1.m1.13.13.cmml">1</mn><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.E4.1.m1.14.14" xref="S3.E4.1.m1.14.14.cmml">n</mi><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.3" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.E4.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E4.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E4.1.m1.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.1.m1.4.4.2.4" xref="S3.E4.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E4.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E4.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.E4.1.m1.4.4.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.E4.1.m1.15.15" xref="S3.E4.1.m1.15.15.cmml">0</mn><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E4.1.m1.6.6.2.4" xref="S3.E4.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.5.5.1.1" xref="S3.E4.1.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.1.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.E4.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.1.m1.6.6.2.2" xref="S3.E4.1.m1.6.6.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.1.m1.8.8.2.4" xref="S3.E4.1.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.7.7.1.1" xref="S3.E4.1.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.1.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.E4.1.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.1.m1.8.8.2.2" xref="S3.E4.1.m1.8.8.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.1.m1.10.10.2.4" xref="S3.E4.1.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.9.9.1.1" xref="S3.E4.1.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.1.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.E4.1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.1.m1.10.10.2.2" xref="S3.E4.1.m1.10.10.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><msub id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.2" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.1" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E4.1.m1.12.12.2.4" xref="S3.E4.1.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.11.11.1.1" xref="S3.E4.1.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.1.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.E4.1.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.1.m1.12.12.2.2" xref="S3.E4.1.m1.12.12.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E4.1.m1.16.16.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.1.m1.16b"><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.3a.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1"><eq id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.1.1.3.2"><cn id="S3.E4.1.m1.13.13.cmml" type="integer" xref="S3.E4.1.m1.13.13">1</cn><ci id="S3.E4.1.m1.14.14.cmml" xref="S3.E4.1.m1.14.14">𝑛</ci></list></apply><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1"><eq id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝛾</ci><list id="S3.E4.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E4.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.E4.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.4.4.2.2">ℴ</ci></list></apply><cn id="S3.E4.1.m1.15.15.cmml" type="integer" xref="S3.E4.1.m1.15.15">0</cn></interval></apply><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2"><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝐒</ci></apply><list id="S3.E4.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.E4.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.6.6.2.2">ℴ</ci></list></apply></apply><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2"><eq id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.3"></eq><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.E4.1.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.E4.1.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.1.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.8.8.2.2">ℴ</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E4.1.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.E4.1.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.1.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.10.10.2.2">ℴ</ci></list></apply><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2"><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.2">𝐓</ci></apply><list id="S3.E4.1.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.E4.1.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.11.11.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.1.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.12.12.2.2">ℴ</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.1.m1.16c">\displaystyle\forall i=[1;n],\gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},0)=% \hat{{\mathbf{S}}}_{i,{\mathcal{o}}},\ \gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal% {o}}},t_{c})=\hat{{\mathbf{T}}}_{i,{\mathcal{o}}};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.1.m1.16d">∀ italic_i = [ 1 ; italic_n ] , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , 0 ) = over^ start_ARG bold_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) = over^ start_ARG bold_T end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.x3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall(t,i)\in[0,t_{c}]\times[1;n]:" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.x3.m1.6"><semantics id="S3.E4.x3.m1.6a"><mrow id="S3.E4.x3.m1.6.6" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.E4.x3.m1.6.6.1" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.cmml"><mrow id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.cmml"><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.1" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.1.cmml">∀</mo><mrow id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.2.2" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.x3.m1.1.1" xref="S3.E4.x3.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.2.2.2" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.x3.m1.2.2" xref="S3.E4.x3.m1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.3.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.2" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.E4.x3.m1.3.3" xref="S3.E4.x3.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.1.4" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.3.2" 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id="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.1.1.3.2"><cn id="S3.E4.x3.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.E4.x3.m1.4.4">1</cn><ci id="S3.E4.x3.m1.5.5.cmml" xref="S3.E4.x3.m1.5.5">𝑛</ci></list></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.x3.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.E4.x3.m1.6.6.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.x3.m1.6c">\displaystyle\forall(t,i)\in[0,t_{c}]\times[1;n]:</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.x3.m1.6d">∀ ( italic_t , italic_i ) ∈ [ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] × [ 1 ; italic_n ] :</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad{\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)\leq\eta_{i},% \gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-{\mathbf{Y}}_{i,U}\leq\eta_{i}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.2.m1.15"><semantics id="S3.E4.2.m1.15a"><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1"><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.E4.2.m1.2.2.2.4" xref="S3.E4.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.2.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E4.2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.2.m1.2.2.2.2" xref="S3.E4.2.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.2.m1.4.4.2.4" xref="S3.E4.2.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.3.3.1.1" xref="S3.E4.2.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.2.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E4.2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.2.m1.4.4.2.2" xref="S3.E4.2.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.2.m1.6.6.2.4" xref="S3.E4.2.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.5.5.1.1" xref="S3.E4.2.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.2.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.E4.2.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.2.m1.6.6.2.2" xref="S3.E4.2.m1.6.6.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.2.m1.13.13" xref="S3.E4.2.m1.13.13.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.2.m1.8.8.2.4" xref="S3.E4.2.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.7.7.1.1" xref="S3.E4.2.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.2.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.E4.2.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.2.m1.8.8.2.2" xref="S3.E4.2.m1.8.8.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.2.m1.10.10.2.4" xref="S3.E4.2.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.9.9.1.1" xref="S3.E4.2.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.2.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.E4.2.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.2.m1.10.10.2.2" xref="S3.E4.2.m1.10.10.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.2.m1.14.14" xref="S3.E4.2.m1.14.14.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.2.cmml">−</mo><msub id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.E4.2.m1.12.12.2.4" xref="S3.E4.2.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.11.11.1.1" xref="S3.E4.2.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.2.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.E4.2.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.2.m1.12.12.2.2" xref="S3.E4.2.m1.12.12.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E4.2.m1.15.15.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.2.m1.15b"><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.3a.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1"><leq id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.2">𝐘</ci><list id="S3.E4.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply 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xref="S3.E4.2.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.E4.2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.2.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.6.6.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S3.E4.2.m1.13.13.cmml" xref="S3.E4.2.m1.13.13">𝑡</ci></interval></apply></apply><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2"><leq id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.2"></leq><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1"><minus id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.2"></minus><apply 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xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E4.2.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.E4.2.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.2.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.10.10.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S3.E4.2.m1.14.14.cmml" xref="S3.E4.2.m1.14.14">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.1.3.2">𝐘</ci><list id="S3.E4.2.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.E4.2.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.11.11.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.2.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.12.12.2.2">𝑈</ci></list></apply></apply><apply id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.2.m1.15c">\displaystyle\quad{\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)\leq\eta_{i},% \gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-{\mathbf{Y}}_{i,U}\leq\eta_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.2.m1.15d">bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)+\gamma_{i,d}% \leq\eta_{i}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.3.m1.13"><semantics id="S3.E4.3.m1.13a"><mrow id="S3.E4.3.m1.13.13.1" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.3.m1.2.2.2.4" xref="S3.E4.3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.1.1.1.1" xref="S3.E4.3.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.3.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E4.3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.3.m1.2.2.2.2" xref="S3.E4.3.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.3.m1.4.4.2.4" xref="S3.E4.3.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.3.3.1.1" xref="S3.E4.3.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.3.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E4.3.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.3.m1.4.4.2.2" xref="S3.E4.3.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.3.m1.11.11" xref="S3.E4.3.m1.11.11.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.3" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.3.m1.6.6.2.4" xref="S3.E4.3.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.5.5.1.1" xref="S3.E4.3.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.3.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.E4.3.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.3.m1.6.6.2.2" xref="S3.E4.3.m1.6.6.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.3.m1.8.8.2.4" xref="S3.E4.3.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.7.7.1.1" xref="S3.E4.3.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.3.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.E4.3.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.3.m1.8.8.2.2" xref="S3.E4.3.m1.8.8.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.3.m1.12.12" xref="S3.E4.3.m1.12.12.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.3" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.3.cmml">+</mo><msub id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.4" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.4.2" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.3.m1.10.10.2.4" xref="S3.E4.3.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.3.m1.9.9.1.1" xref="S3.E4.3.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.3.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.E4.3.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.3.m1.10.10.2.2" xref="S3.E4.3.m1.10.10.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.3" xref="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S3.E4.3.m1.13.13.1.1.4" 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end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\dot{\gamma}_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},t)-\hat{% \mathcal{L}}_{{\mathcal{o}}}\leq\eta_{i};" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.4.m1.6"><semantics id="S3.E4.4.m1.6a"><mrow id="S3.E4.4.m1.6.6.1" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow 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id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">ℴ</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.4.m1.6.6.1.2" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.4.m1.6b"><apply id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1"><leq id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.2"></leq><apply id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1"><minus id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.2"></minus><apply 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id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E4.4.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E4.4.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.E4.4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E4.4.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.4.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E4.4.m1.4.4.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S3.E4.4.m1.5.5.cmml" xref="S3.E4.4.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.2.2">ℒ</ci></apply><ci id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.1.3.3">ℴ</ci></apply></apply><apply id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.4.m1.6.6.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.4.m1.6c">\displaystyle\quad\dot{\gamma}_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},t)-\hat{% \mathcal{L}}_{{\mathcal{o}}}\leq\eta_{i};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.4.m1.6d">over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4d)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.x4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall(t,{y})\in[0,t_{c}]\times{\mathbf{U}}(t),\exists i\in[1;n]:" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.x4.m1.8"><semantics id="S3.E4.x4.m1.8a"><mrow id="S3.E4.x4.m1.8.8" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.cmml"><mrow id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.3.cmml"><mrow id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.3.1" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml">∀</mo><mrow id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.1" 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id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.3" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.1.cmml">∃</mo><mi id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.2" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.1" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.2" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E4.x4.m1.5.5" xref="S3.E4.x4.m1.5.5.cmml">1</mn><mo id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.E4.x4.m1.6.6" xref="S3.E4.x4.m1.6.6.cmml">n</mi><mo id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.2.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E4.x4.m1.8.8.3" 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xref="S3.E4.x4.m1.2.2">𝑦</ci></interval></apply><apply id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1"><times id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"></times><interval closure="closed" id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><cn id="S3.E4.x4.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.x4.m1.3.3">0</cn><apply id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval><ci id="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.7.7.1.1.1.1.1.3">𝐔</ci></apply><ci id="S3.E4.x4.m1.4.4.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.4.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2"><in id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.1"></in><apply id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2"><exists id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.1"></exists><ci id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.2.2.2.3.2"><cn id="S3.E4.x4.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S3.E4.x4.m1.5.5">1</cn><ci id="S3.E4.x4.m1.6.6.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.6.6">𝑛</ci></list></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.x4.m1.8.8.4.cmml" xref="S3.E4.x4.m1.8.8.4">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.x4.m1.8c">\displaystyle\forall(t,{y})\in[0,t_{c}]\times{\mathbf{U}}(t),\exists i\in[1;n]:</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.x4.m1.8d">∀ ( italic_t , italic_y ) ∈ [ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] × bold_U ( italic_t ) , ∃ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] :</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.5"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\min\left\{{y}_{i}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t),\gamma_{i,U}(c_{i% ,U},t)-{y}_{i}\right\}\leq\eta_{i};" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.5.m1.12"><semantics id="S3.E4.5.m1.12a"><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.11.11" xref="S3.E4.5.m1.11.11.cmml">min</mi><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2a" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.3.cmml">{</mo><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.5.m1.2.2.2.4" xref="S3.E4.5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.1.1.1.1" xref="S3.E4.5.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.5.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E4.5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.5.m1.2.2.2.2" xref="S3.E4.5.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.5.m1.4.4.2.4" xref="S3.E4.5.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.3.3.1.1" xref="S3.E4.5.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.5.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E4.5.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.5.m1.4.4.2.2" xref="S3.E4.5.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.5.m1.9.9" xref="S3.E4.5.m1.9.9.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><msub id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E4.5.m1.6.6.2.4" xref="S3.E4.5.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.5.5.1.1" xref="S3.E4.5.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.5.m1.6.6.2.4.1" 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id="S3.E4.5.m1.10.10" xref="S3.E4.5.m1.10.10.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><msub id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">y</mi><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.2.2.5" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.4" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.4.2" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.4.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.4.3" xref="S3.E4.5.m1.12.12.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.5.m1.12.12.1.2" 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id="S3.E4.5.m1.12c">\displaystyle\quad\min\left\{{y}_{i}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t),\gamma_{i,U}(c_{i% ,U},t)-{y}_{i}\right\}\leq\eta_{i};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.5.m1.12d">roman_min { italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4e)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.6"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall i=[1;n],\eta_{i}\leq\eta," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.6.m1.3"><semantics id="S3.E4.6.m1.3a"><mrow id="S3.E4.6.m1.3.3.1"><mrow id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E4.6.m1.1.1" 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xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><cn id="S3.E4.6.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E4.6.m1.1.1">1</cn><ci id="S3.E4.6.m1.2.2.cmml" xref="S3.E4.6.m1.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2"><leq id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.1"></leq><apply id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.6.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.6.m1.3c">\displaystyle\forall i=[1;n],\eta_{i}\leq\eta,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.6.m1.3d">∀ italic_i = [ 1 ; italic_n ] , italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4f)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.x5"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{i}=[c_{i,L},c_{i,U},\eta_{i}]." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.x5.m1.5"><semantics id="S3.E4.x5.m1.5a"><mrow id="S3.E4.x5.m1.5.5.1" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.2" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.2.cmml">d</mi><mi id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.3" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml"><mo id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">[</mo><msub id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.x5.m1.2.2.2.4" xref="S3.E4.x5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.x5.m1.1.1.1.1" xref="S3.E4.x5.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.x5.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E4.x5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.x5.m1.2.2.2.2" xref="S3.E4.x5.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.5" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E4.x5.m1.4.4.2.4" xref="S3.E4.x5.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.x5.m1.3.3.1.1" xref="S3.E4.x5.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E4.x5.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E4.x5.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.x5.m1.4.4.2.2" xref="S3.E4.x5.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.6" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.7" stretchy="false" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.x5.m1.5b"><apply id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1"><eq id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.4"></eq><apply id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.2">𝑑</ci><ci id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.5.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3"><apply id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E4.x5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E4.x5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.x5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2">𝑐</ci><list id="S3.E4.x5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.E4.x5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E4.x5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E4.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.3">𝑖</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.x5.m1.5c">\displaystyle d_{i}=[c_{i,L},c_{i,U},\eta_{i}].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.x5.m1.5d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.6">Here, <math alttext="{\mathcal{o}}\in\{L,U\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.2"><semantics id="S3.p3.1.m1.2a"><mrow id="S3.p3.1.m1.2.3" xref="S3.p3.1.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p3.1.m1.2.3.2" xref="S3.p3.1.m1.2.3.2.cmml">ℴ</mi><mo id="S3.p3.1.m1.2.3.1" xref="S3.p3.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.p3.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p3.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.cmml">L</mi><mo id="S3.p3.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.1.m1.2.2" xref="S3.p3.1.m1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S3.p3.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.1.m1.2b"><apply id="S3.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.3"><in id="S3.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.3.1"></in><ci id="S3.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.3.2">ℴ</ci><set id="S3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1">𝐿</ci><ci id="S3.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.2">𝑈</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.2c">{\mathcal{o}}\in\{L,U\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.2d">caligraphic_o ∈ { italic_L , italic_U }</annotation></semantics></math>, <math alttext="y(0)\in\prod_{i=1}^{n}[\hat{{\mathbf{S}}}_{i,L},\hat{{\mathbf{S}}}_{i,U}]% \subseteq{\mathbf{S}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.7"><semantics id="S3.p3.2.m2.7a"><mrow id="S3.p3.2.m2.7.7" xref="S3.p3.2.m2.7.7.cmml"><mrow id="S3.p3.2.m2.7.7.4" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.7.7.4.2" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4.2.cmml">y</mi><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.4.1" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.2.m2.7.7.4.3.2" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4.cmml"><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4.cmml">(</mo><mn id="S3.p3.2.m2.5.5" xref="S3.p3.2.m2.5.5.cmml">0</mn><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.5" rspace="0.111em" xref="S3.p3.2.m2.7.7.5.cmml">∈</mo><mrow id="S3.p3.2.m2.7.7.2" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.cmml"><msubsup id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.2" rspace="0em" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.2" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.1" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.3" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.3" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.3.cmml">n</mi></msubsup><mrow id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.p3.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p3.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S3.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.4" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.p3.2.m2.4.4.2.4" xref="S3.p3.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.p3.2.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p3.2.m2.4.4.2.4.1" xref="S3.p3.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.2.m2.4.4.2.2" xref="S3.p3.2.m2.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.2.m2.7.7.6" xref="S3.p3.2.m2.7.7.6.cmml">⊆</mo><mi id="S3.p3.2.m2.7.7.7" xref="S3.p3.2.m2.7.7.7.cmml">𝐒</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.7b"><apply id="S3.p3.2.m2.7.7.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7"><and id="S3.p3.2.m2.7.7a.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7"></and><apply id="S3.p3.2.m2.7.7b.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7"><in id="S3.p3.2.m2.7.7.5.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.5"></in><apply id="S3.p3.2.m2.7.7.4.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4"><times id="S3.p3.2.m2.7.7.4.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4.1"></times><ci id="S3.p3.2.m2.7.7.4.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.4.2">𝑦</ci><cn id="S3.p3.2.m2.5.5.cmml" type="integer" xref="S3.p3.2.m2.5.5">0</cn></apply><apply id="S3.p3.2.m2.7.7.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2"><apply id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.2">product</csymbol><apply id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3"><eq id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.3.3">𝑛</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2"><apply id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2"><ci id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2.2">𝐒</ci></apply><list id="S3.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2"><ci id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2">𝐒</ci></apply><list id="S3.p3.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.4.4.2.4"><ci id="S3.p3.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p3.2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.p3.2.m2.7.7c.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7"><subset id="S3.p3.2.m2.7.7.6.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.6"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.p3.2.m2.7.7.2.cmml" id="S3.p3.2.m2.7.7d.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7"></share><ci id="S3.p3.2.m2.7.7.7.cmml" xref="S3.p3.2.m2.7.7.7">𝐒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.7c">y(0)\in\prod_{i=1}^{n}[\hat{{\mathbf{S}}}_{i,L},\hat{{\mathbf{S}}}_{i,U}]% \subseteq{\mathbf{S}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.7d">italic_y ( 0 ) ∈ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT [ over^ start_ARG bold_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG bold_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ] ⊆ bold_S</annotation></semantics></math> and <math alttext="y(t_{c})\in\prod_{i=1}^{n}[\hat{{\mathbf{T}}}_{i,L},\hat{{\mathbf{T}}}_{i,U}]% \subseteq{\mathbf{T}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.3.m3.7"><semantics id="S3.p3.3.m3.7a"><mrow id="S3.p3.3.m3.7.7" xref="S3.p3.3.m3.7.7.cmml"><mrow id="S3.p3.3.m3.5.5.1" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.5.5.1.3" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.3.cmml">y</mi><mo id="S3.p3.3.m3.5.5.1.2" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.3.m3.7.7.5" rspace="0.111em" xref="S3.p3.3.m3.7.7.5.cmml">∈</mo><mrow id="S3.p3.3.m3.7.7.3" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.cmml"><msubsup id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.cmml"><mo id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.2" rspace="0em" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.2" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.1" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.3" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.3" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.3.cmml">n</mi></msubsup><mrow id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.2" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.1" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.p3.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.4" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.1" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.p3.3.m3.4.4.2.4" xref="S3.p3.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.3.3.1.1" xref="S3.p3.3.m3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p3.3.m3.4.4.2.4.1" xref="S3.p3.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.3.m3.4.4.2.2" xref="S3.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.3.m3.7.7.6" xref="S3.p3.3.m3.7.7.6.cmml">⊆</mo><mi id="S3.p3.3.m3.7.7.7" xref="S3.p3.3.m3.7.7.7.cmml">𝐓</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.3.m3.7b"><apply id="S3.p3.3.m3.7.7.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7"><and id="S3.p3.3.m3.7.7a.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7"></and><apply id="S3.p3.3.m3.7.7b.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7"><in id="S3.p3.3.m3.7.7.5.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.5"></in><apply id="S3.p3.3.m3.5.5.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1"><times id="S3.p3.3.m3.5.5.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.2"></times><ci id="S3.p3.3.m3.5.5.1.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.3">𝑦</ci><apply id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.3.m3.7.7.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3"><apply id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.2">product</csymbol><apply id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3"><eq id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.3.3">𝑛</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2"><apply id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2"><ci id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.2">𝐓</ci></apply><list id="S3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2"><ci id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.3.2.2.2.2.2">𝐓</ci></apply><list id="S3.p3.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.4.4.2.4"><ci id="S3.p3.3.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.p3.3.m3.7.7c.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7"><subset id="S3.p3.3.m3.7.7.6.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.6"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.p3.3.m3.7.7.3.cmml" id="S3.p3.3.m3.7.7d.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7"></share><ci id="S3.p3.3.m3.7.7.7.cmml" xref="S3.p3.3.m3.7.7.7">𝐓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.3.m3.7c">y(t_{c})\in\prod_{i=1}^{n}[\hat{{\mathbf{T}}}_{i,L},\hat{{\mathbf{T}}}_{i,U}]% \subseteq{\mathbf{T}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.3.m3.7d">italic_y ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT [ over^ start_ARG bold_T end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG bold_T end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ] ⊆ bold_T</annotation></semantics></math>. Also, <math alttext="\gamma_{i,d}\in{\mathbb{R}}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.4.m4.2"><semantics id="S3.p3.4.m4.2a"><mrow id="S3.p3.4.m4.2.3" xref="S3.p3.4.m4.2.3.cmml"><msub id="S3.p3.4.m4.2.3.2" xref="S3.p3.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p3.4.m4.2.3.2.2" xref="S3.p3.4.m4.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.p3.4.m4.2.2.2.4" xref="S3.p3.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p3.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S3.p3.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.4.m4.2.2.2.2" xref="S3.p3.4.m4.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.4.m4.2.3.1" xref="S3.p3.4.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.p3.4.m4.2.3.3" xref="S3.p3.4.m4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.4.m4.2.3.3.2" xref="S3.p3.4.m4.2.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.p3.4.m4.2.3.3.3" xref="S3.p3.4.m4.2.3.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.4.m4.2b"><apply id="S3.p3.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3"><in id="S3.p3.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3.1"></in><apply id="S3.p3.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3.2.2">𝛾</ci><list id="S3.p3.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.p3.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.p3.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.4.m4.2.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3.3.2">ℝ</ci><plus id="S3.p3.4.m4.2.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.2.3.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.4.m4.2c">\gamma_{i,d}\in{\mathbb{R}}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.4.m4.2d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> defines a minimum separation between the tubes and <math alttext="\hat{\mathcal{L}}_{{\mathcal{o}}}\in{\mathbb{R}}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.p3.5.m5.1a"><mrow id="S3.p3.5.m5.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.p3.5.m5.1.1.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.p3.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p3.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.3.cmml">ℴ</mi></msub><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.p3.5.m5.1.1.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1"><in id="S3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1"></in><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.2"><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.2">ℒ</ci></apply><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.3">ℴ</ci></apply><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3.2">ℝ</ci><plus id="S3.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.5.m5.1c">\hat{\mathcal{L}}_{{\mathcal{o}}}\in{\mathbb{R}}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.5.m5.1d">over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> defines the maximum slope of the STTs with respect to time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.p3.6.m6.1a"><mi id="S3.p3.6.m6.1.1" xref="S3.p3.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.6.m6.1b"><ci id="S3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p3.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.p4.1">One can readily observe that if the solution to the ROP <math alttext="\eta^{*}\leq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S3.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S3.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S3.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1"><leq id="S3.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1"></leq><apply id="S3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><times id="S3.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.3"></times></apply><cn id="S3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.1.m1.1c">\eta^{*}\leq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.1.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 0</annotation></semantics></math>, then it ensures the conditions in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem5" title="Definition 2.5 (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.5</span></a> will be satisfied.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S3.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem1.1.1.1">Remark 3.1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1">Note that the constraint (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E4.4" title="In 4 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4d</span></a>) on the derivative of tube functions is used to limit abrupt changes in the shape of tubes.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.p5.1">One faces two major challenges to solve the proposed ROP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E4" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>). First, the ROP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E4" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) has infinitely many constraints since the output space and time are continuous. In addition, though knowledge of the unsafe set is priorly known, constructing the tube avoiding all points in the unsafe set leads to an infinite number of equations. To tackle these challenges, we aim to develop a sampling-based scheme for the construction of the curves that form the tube.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.p6.9">To do so, we consider the augmented unsafe set <math alttext="{\mathbf{W}}=[0,t_{c}]\times{\mathbf{U}}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.1.m1.3"><semantics id="S3.p6.1.m1.3a"><mrow id="S3.p6.1.m1.3.3" xref="S3.p6.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.p6.1.m1.3.3.3" xref="S3.p6.1.m1.3.3.3.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.p6.1.m1.3.3.2" xref="S3.p6.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p6.1.m1.3.3.1" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.4" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.3.cmml">𝐔</mi></mrow><mo id="S3.p6.1.m1.3.3.1.2" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.1.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p6.1.m1.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p6.1.m1.2.2" xref="S3.p6.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p6.1.m1.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.1.m1.3b"><apply id="S3.p6.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3"><eq id="S3.p6.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.2"></eq><ci id="S3.p6.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.3">𝐖</ci><apply id="S3.p6.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1"><times id="S3.p6.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1"><times id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.2"></times><interval closure="closed" id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1"><cn id="S3.p6.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p6.1.m1.1.1">0</cn><apply id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval><ci id="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.1.m1.3.3.1.1.3">𝐔</ci></apply><ci id="S3.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.1.m1.3c">{\mathbf{W}}=[0,t_{c}]\times{\mathbf{U}}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.1.m1.3d">bold_W = [ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] × bold_U ( italic_t )</annotation></semantics></math>. Collect <math alttext="N_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.2.m2.1"><semantics id="S3.p6.2.m2.1a"><msub id="S3.p6.2.m2.1.1" xref="S3.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.2.m2.1.1.2" xref="S3.p6.2.m2.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.p6.2.m2.1.1.3" xref="S3.p6.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.2.m2.1b"><apply id="S3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.2.m2.1c">N_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.2.m2.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> samples <math alttext="w_{r}=(t_{r},{y}_{r})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.3.m3.2"><semantics id="S3.p6.3.m3.2a"><mrow id="S3.p6.3.m3.2.2" xref="S3.p6.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.p6.3.m3.2.2.4" xref="S3.p6.3.m3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p6.3.m3.2.2.4.2" xref="S3.p6.3.m3.2.2.4.2.cmml">w</mi><mi id="S3.p6.3.m3.2.2.4.3" xref="S3.p6.3.m3.2.2.4.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.p6.3.m3.2.2.3" xref="S3.p6.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.4" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.3.m3.2b"><apply id="S3.p6.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2"><eq id="S3.p6.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.3"></eq><apply id="S3.p6.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.3.m3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.3.m3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.4.2">𝑤</ci><ci id="S3.p6.3.m3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.4.3">𝑟</ci></apply><interval closure="open" id="S3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p6.3.m3.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.3.m3.2c">w_{r}=(t_{r},{y}_{r})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.3.m3.2d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> from <math alttext="{\mathbf{W}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.4.m4.1"><semantics id="S3.p6.4.m4.1a"><mi id="S3.p6.4.m4.1.1" xref="S3.p6.4.m4.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.4.m4.1b"><ci id="S3.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.4.m4.1c">{\mathbf{W}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.4.m4.1d">bold_W</annotation></semantics></math>, where <math alttext="r=[1;N_{t}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.5.m5.2"><semantics id="S3.p6.5.m5.2a"><mrow id="S3.p6.5.m5.2.2" xref="S3.p6.5.m5.2.2.cmml"><mi id="S3.p6.5.m5.2.2.3" xref="S3.p6.5.m5.2.2.3.cmml">r</mi><mo id="S3.p6.5.m5.2.2.2" xref="S3.p6.5.m5.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.p6.5.m5.1.1" xref="S3.p6.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.3" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.5.m5.2b"><apply id="S3.p6.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.p6.5.m5.2.2"><eq id="S3.p6.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.p6.5.m5.2.2.2"></eq><ci id="S3.p6.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.p6.5.m5.2.2.3">𝑟</ci><list id="S3.p6.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.1"><cn id="S3.p6.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p6.5.m5.1.1">1</cn><apply id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.5.m5.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.5.m5.2c">r=[1;N_{t}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.5.m5.2d">italic_r = [ 1 ; italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. Consider a ball <math alttext="{\mathbf{W}}_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.6.m6.1"><semantics id="S3.p6.6.m6.1a"><msub id="S3.p6.6.m6.1.1" xref="S3.p6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.6.m6.1.1.2" xref="S3.p6.6.m6.1.1.2.cmml">𝐖</mi><mi id="S3.p6.6.m6.1.1.3" xref="S3.p6.6.m6.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.6.m6.1b"><apply id="S3.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p6.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.6.m6.1.1.2">𝐖</ci><ci id="S3.p6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.6.m6.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.6.m6.1c">{\mathbf{W}}_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.6.m6.1d">bold_W start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> around each sample <math alttext="w_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.7.m7.1"><semantics id="S3.p6.7.m7.1a"><msub id="S3.p6.7.m7.1.1" xref="S3.p6.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.7.m7.1.1.2" xref="S3.p6.7.m7.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S3.p6.7.m7.1.1.3" xref="S3.p6.7.m7.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.7.m7.1b"><apply id="S3.p6.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.p6.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.7.m7.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.p6.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.7.m7.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.7.m7.1c">w_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.7.m7.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with radius <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.8.m8.1"><semantics id="S3.p6.8.m8.1a"><mi id="S3.p6.8.m8.1.1" xref="S3.p6.8.m8.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.8.m8.1b"><ci id="S3.p6.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.p6.8.m8.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.8.m8.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.8.m8.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>, such that, <math alttext="[0,t_{c}]\times{\mathbf{U}}(t)\subseteq\bigcup_{r=1}^{N_{t}}{\mathbf{W}}_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.9.m9.3"><semantics id="S3.p6.9.m9.3a"><mrow id="S3.p6.9.m9.3.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.cmml"><mrow id="S3.p6.9.m9.3.3.1" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.p6.9.m9.1.1" xref="S3.p6.9.m9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.4" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.3.cmml">𝐔</mi></mrow><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.1.2" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.9.m9.3.3.1.3.2" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p6.9.m9.2.2" xref="S3.p6.9.m9.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.2" rspace="0.111em" xref="S3.p6.9.m9.3.3.2.cmml">⊆</mo><mrow id="S3.p6.9.m9.3.3.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.cmml"><msubsup id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.2" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.2.cmml">⋃</mo><mrow id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.2" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.1" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.2" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.2.cmml">N</mi><mi id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.3.cmml">t</mi></msub></msubsup><msub id="S3.p6.9.m9.3.3.3.2" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.2" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.2.cmml">𝐖</mi><mi id="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.3" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.9.m9.3b"><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3"><subset id="S3.p6.9.m9.3.3.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.2"></subset><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1"><times id="S3.p6.9.m9.3.3.1.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.2"></times><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1"><times id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.2"></times><interval closure="closed" id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1"><cn id="S3.p6.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p6.9.m9.1.1">0</cn><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval><ci id="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.1.1.3">𝐔</ci></apply><ci id="S3.p6.9.m9.2.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.3.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3"><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1">subscript</csymbol><union id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.2"></union><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3"><eq id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.2">𝑟</ci><cn id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.2">𝐖</ci><ci id="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p6.9.m9.3.3.3.2.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.9.m9.3c">[0,t_{c}]\times{\mathbf{U}}(t)\subseteq\bigcup_{r=1}^{N_{t}}{\mathbf{W}}_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.9.m9.3d">[ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] × bold_U ( italic_t ) ⊆ ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_r = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT bold_W start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx5"> <tbody id="S3.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lVert(t,{y})-w_{r}\rVert\leq\epsilon,\forall(t,{y})\in{\mathbf{W% }}_{r}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E5.m1.5"><semantics id="S3.E5.m1.5a"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E5.m1.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E5.m1.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4" xref="S3.E5.m1.4.4.cmml">y</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">𝐖</mi><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E5.m1.5b"><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1"><leq id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><interval closure="open" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.E5.m1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.E5.m1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2">𝑦</ci></interval><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2"><in id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.1"></in><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><interval closure="open" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S3.E5.m1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3">𝑡</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4">𝑦</ci></interval></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2">𝐖</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.5c">\displaystyle\lVert(t,{y})-w_{r}\rVert\leq\epsilon,\forall(t,{y})\in{\mathbf{W% }}_{r}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.5d">∥ ( italic_t , italic_y ) - italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≤ italic_ϵ , ∀ ( italic_t , italic_y ) ∈ bold_W start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.p7.1">Now, we construct the Scenario optimization program (SOP) associated with the ROP:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E6"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx6"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\min_{[d_{1},d_{2},...,d_{n},\eta]}\quad\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.x1.m1.7"><semantics id="S3.E6.x1.m1.7a"><mrow id="S3.E6.x1.m1.7.7.1" xref="S3.E6.x1.m1.7.7.2.cmml"><munder id="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1" xref="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.6.cmml"><mo id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.4" stretchy="false" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.6.cmml">[</mo><msub id="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1" xref="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.2.cmml">d</mi><mn id="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.5" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2" xref="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.3" xref="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.6" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.x1.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E6.x1.m1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.7" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.cmml"><mi id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.2" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.2.cmml">d</mi><mi id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.3" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.8" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.x1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E6.x1.m1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.9" stretchy="false" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.6.cmml">]</mo></mrow></munder><mspace id="S3.E6.x1.m1.7.7.1.2" width="1.167em" xref="S3.E6.x1.m1.7.7.2.cmml"></mspace><mi id="S3.E6.x1.m1.6.6" xref="S3.E6.x1.m1.6.6.cmml">η</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.x1.m1.7b"><list id="S3.E6.x1.m1.7.7.2.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.7.7.1"><apply id="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1">subscript</csymbol><min id="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.7.7.1.1.2"></min><list id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.6.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5"><apply id="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.2">𝑑</ci><cn id="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.x1.m1.3.3.3.3.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.x1.m1.4.4.4.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E6.x1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.1.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.2.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.3.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.5.5.5.5.3.3">𝑛</ci></apply><ci id="S3.E6.x1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.2.2.2.2">𝜂</ci></list></apply><ci id="S3.E6.x1.m1.6.6.cmml" xref="S3.E6.x1.m1.6.6">𝜂</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.x1.m1.7c">\displaystyle\min_{[d_{1},d_{2},...,d_{n},\eta]}\quad\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.x1.m1.7d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT [ italic_d start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_d start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_η ] end_POSTSUBSCRIPT italic_η</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.x2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="S3.E6.x2.3.2.1.1">s.t.</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall i\in[1;n]:\gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},0)% =\hat{{\mathbf{S}}}_{i,{\mathcal{o}}},\ \gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{% \mathcal{o}}},t_{c})=\hat{{\mathbf{T}}}_{i,{\mathcal{o}}};" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.1.m1.16"><semantics id="S3.E6.1.m1.16a"><mrow id="S3.E6.1.m1.16.16.1" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.2.cmml"><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.2.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.1" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.3.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E6.1.m1.13.13" xref="S3.E6.1.m1.13.13.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.3.2.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.E6.1.m1.14.14" xref="S3.E6.1.m1.14.14.cmml">n</mi><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.3.2.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.3" rspace="0.278em" 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xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E6.1.m1.4.4.2.4" xref="S3.E6.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E6.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E6.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.E6.1.m1.4.4.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.E6.1.m1.15.15" xref="S3.E6.1.m1.15.15.cmml">0</mn><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E6.1.m1.6.6.2.4" xref="S3.E6.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.5.5.1.1" xref="S3.E6.1.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.1.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.E6.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E6.1.m1.6.6.2.2" xref="S3.E6.1.m1.6.6.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mi 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xref="S3.E6.1.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.1.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.E6.1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E6.1.m1.10.10.2.2" xref="S3.E6.1.m1.10.10.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.3.cmml">=</mo><msub id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.1" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E6.1.m1.12.12.2.4" xref="S3.E6.1.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.11.11.1.1" xref="S3.E6.1.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.1.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.E6.1.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E6.1.m1.12.12.2.2" xref="S3.E6.1.m1.12.12.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.16.16.1.2" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.1.m1.16b"><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1"><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.3">:</ci><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4"><in id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.4.1.cmml" 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xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E6.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.4.4.2.2">ℴ</ci></list></apply><cn id="S3.E6.1.m1.15.15.cmml" type="integer" xref="S3.E6.1.m1.15.15">0</cn></interval></apply><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐒</ci></apply><list id="S3.E6.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.E6.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.6.6.2.2">ℴ</ci></list></apply></apply><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2"><eq id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.3"></eq><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.3"></times><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.E6.1.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.E6.1.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.1.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.8.8.2.2">ℴ</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2"><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E6.1.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.E6.1.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.1.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.10.10.2.2">ℴ</ci></list></apply><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2"><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.16.16.1.1.2.2.2.4.2.2">𝐓</ci></apply><list id="S3.E6.1.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.E6.1.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.11.11.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.1.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.12.12.2.2">ℴ</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.1.m1.16c">\displaystyle\forall i\in[1;n]:\gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},0)% =\hat{{\mathbf{S}}}_{i,{\mathcal{o}}},\ \gamma_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{% \mathcal{o}}},t_{c})=\hat{{\mathbf{T}}}_{i,{\mathcal{o}}};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.1.m1.16d">∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] : italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , 0 ) = over^ start_ARG bold_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) = over^ start_ARG bold_T end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.x3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall r\in[1;N_{t}],(t_{r},i)\in[0,t_{c}]\times[1;n]:" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.x3.m1.7"><semantics id="S3.E6.x3.m1.7a"><mrow id="S3.E6.x3.m1.7.7" xref="S3.E6.x3.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2" xref="S3.E6.x3.m1.7.7.2.3.cmml"><mrow id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.E6.x3.m1.1.1" xref="S3.E6.x3.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E6.x3.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.3" xref="S3.E6.x3.m1.7.7.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.2" xref="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.2.1.1" xref="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E6.x3.m1.7.7.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi 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alttext="\displaystyle\quad{\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})\leq\eta_{i},% \gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})-{\mathbf{Y}}_{i,U}\leq\eta_{i}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.2.m1.13"><semantics id="S3.E6.2.m1.13a"><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1"><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.E6.2.m1.2.2.2.4" xref="S3.E6.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.2.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E6.2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.2.m1.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E6.2.m1.4.4.2.4" xref="S3.E6.2.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.2.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.2.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E6.2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.2.m1.4.4.2.2" xref="S3.E6.2.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E6.2.m1.6.6.2.4" xref="S3.E6.2.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.5.5.1.1" xref="S3.E6.2.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.2.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.E6.2.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.2.m1.6.6.2.2" xref="S3.E6.2.m1.6.6.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.4" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.4.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E6.2.m1.8.8.2.4" xref="S3.E6.2.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.7.7.1.1" xref="S3.E6.2.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.2.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.E6.2.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.2.m1.8.8.2.2" xref="S3.E6.2.m1.8.8.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E6.2.m1.10.10.2.4" xref="S3.E6.2.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.9.9.1.1" xref="S3.E6.2.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.2.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.E6.2.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.2.m1.10.10.2.2" xref="S3.E6.2.m1.10.10.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml">−</mo><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.4.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.2.4.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.E6.2.m1.12.12.2.4" xref="S3.E6.2.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.11.11.1.1" xref="S3.E6.2.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.2.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.E6.2.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.2.m1.12.12.2.2" xref="S3.E6.2.m1.12.12.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.3.cmml">≤</mo><msub id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.4" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.4.2" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.4.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.4.3" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.13.13.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.2.m1.13b"><apply id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.3a.cmml" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1"><leq id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.3"></leq><apply id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2"><minus id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.3"></minus><apply id="S3.E6.2.m1.13.13.1.1.1.1.2.4.cmml" 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\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})-{\mathbf{Y}}_{i,U}\leq\eta_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.2.m1.13d">bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})+% \gamma_{i,d}\leq\eta_{i}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.3.m1.11"><semantics id="S3.E6.3.m1.11a"><mrow id="S3.E6.3.m1.11.11.1" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.4" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.2" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E6.3.m1.2.2.2.4" xref="S3.E6.3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.3.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.3.m1.2.2.2.2" xref="S3.E6.3.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E6.3.m1.4.4.2.4" xref="S3.E6.3.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.3.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E6.3.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.3.m1.4.4.2.2" xref="S3.E6.3.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.4" 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xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.6.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.6.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.6.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.4.6.2">𝛾</ci><list id="S3.E6.3.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.E6.3.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.3.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.10.10.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.6.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.6.2">𝜂</ci><ci id="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.11.11.1.1.6.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.3.m1.11c">\displaystyle\quad\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})+% \gamma_{i,d}\leq\eta_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.3.m1.11d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\dot{\gamma}_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},t_{r})-% \hat{\mathcal{L}}_{{\mathcal{o}}}\leq\eta_{i};" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.4.m1.5"><semantics id="S3.E6.4.m1.5a"><mrow id="S3.E6.4.m1.5.5.1" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.2.4.2" 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xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4.2"><ci id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4.2.1">^</ci><ci id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4.2.2">ℒ</ci></apply><ci id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.2.4.3">ℴ</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.4.2">𝜂</ci><ci id="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E6.4.m1.5.5.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.4.m1.5c">\displaystyle\quad\dot{\gamma}_{i,{\mathcal{o}}}(c_{i,{\mathcal{o}}},t_{r})-% \hat{\mathcal{L}}_{{\mathcal{o}}}\leq\eta_{i};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.4.m1.5d">over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6d)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.x4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall r\in[1;N_{t}],(t_{r},{y}_{r})\in{\mathbf{W}},\exists i\in% [1;n]:" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.x4.m1.5"><semantics id="S3.E6.x4.m1.5a"><mrow id="S3.E6.x4.m1.5.5" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.3.cmml"><mrow id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.E6.x4.m1.1.1" xref="S3.E6.x4.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.3" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.4" 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xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E6.x4.m1.2.2" xref="S3.E6.x4.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.E6.x4.m1.3.3" xref="S3.E6.x4.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.2.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.x4.m1.5.5.3" rspace="0.278em" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.3.cmml">:</mo><mi id="S3.E6.x4.m1.5.5.4" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.4.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.x4.m1.5b"><apply id="S3.E6.x4.m1.5.5.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5"><ci id="S3.E6.x4.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.3">:</ci><apply id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.3a.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1"><in id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.2"></in><apply id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝑟</ci></apply><list id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1"><cn id="S3.E6.x4.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.x4.m1.1.1">1</cn><apply id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1"><in id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.3"></in><interval closure="open" id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2"><apply id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval><ci id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.1.1.4">𝐖</ci></apply><apply id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2"><in id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.1"></in><apply id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.2"><exists id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1"></exists><ci id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.2"><cn id="S3.E6.x4.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.x4.m1.2.2">1</cn><ci id="S3.E6.x4.m1.3.3.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.3.3">𝑛</ci></list></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.x4.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.E6.x4.m1.5.5.4">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.x4.m1.5c">\displaystyle\forall r\in[1;N_{t}],(t_{r},{y}_{r})\in{\mathbf{W}},\exists i\in% [1;n]:</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.x4.m1.5d">∀ italic_r ∈ [ 1 ; italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] , ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ bold_W , ∃ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] :</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.5"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad\min\left\{{y}_{i,r}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r}),\gamma_{i,U% }(c_{i,U},t_{r})-{y}_{i,r}\right\}\leq\eta_{i};" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.5.m1.14"><semantics id="S3.E6.5.m1.14a"><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.13.13" xref="S3.E6.5.m1.13.13.cmml">min</mi><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2a" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.3.cmml">{</mo><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.E6.5.m1.2.2.2.4" xref="S3.E6.5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.1.1.1.1" xref="S3.E6.5.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.5.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E6.5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.5.m1.2.2.2.2" xref="S3.E6.5.m1.2.2.2.2.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E6.5.m1.4.4.2.4" xref="S3.E6.5.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.5.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.5.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E6.5.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.5.m1.4.4.2.2" xref="S3.E6.5.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E6.5.m1.6.6.2.4" xref="S3.E6.5.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.5.5.1.1" xref="S3.E6.5.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.5.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.E6.5.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.5.m1.6.6.2.2" xref="S3.E6.5.m1.6.6.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.E6.5.m1.8.8.2.4" xref="S3.E6.5.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.7.7.1.1" xref="S3.E6.5.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.5.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.E6.5.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.5.m1.8.8.2.2" xref="S3.E6.5.m1.8.8.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E6.5.m1.10.10.2.4" xref="S3.E6.5.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.9.9.1.1" xref="S3.E6.5.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.5.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.E6.5.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.5.m1.10.10.2.2" xref="S3.E6.5.m1.10.10.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.4" 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xref="S3.E6.5.m1.12.12.2.2.cmml">r</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.5" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.3" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.3" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E6.5.m1.14.14.1.2" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.5.m1.14b"><apply id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1"><leq id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.3"></leq><apply id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2"><min id="S3.E6.5.m1.13.13.cmml" xref="S3.E6.5.m1.13.13"></min><apply id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1"><minus 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xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.E6.5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.E6.5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E6.5.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.E6.5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.5.m1.6.6.2.2.cmml" 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id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.E6.5.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.E6.5.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.5.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.8.8.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><apply id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E6.5.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.E6.5.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.5.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.10.10.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.4.2">𝑦</ci><list id="S3.E6.5.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.E6.5.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.11.11.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.5.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.12.12.2.2">𝑟</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.2">𝜂</ci><ci id="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E6.5.m1.14.14.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.5.m1.14c">\displaystyle\quad\min\left\{{y}_{i,r}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r}),\gamma_{i,U% }(c_{i,U},t_{r})-{y}_{i,r}\right\}\leq\eta_{i};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.5.m1.14d">roman_min { italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_r end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_r end_POSTSUBSCRIPT } ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6e)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.6"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall i=[1;n],\eta_{i}\leq\eta," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.6.m1.3"><semantics id="S3.E6.6.m1.3a"><mrow id="S3.E6.6.m1.3.3.1"><mrow id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E6.6.m1.1.1" xref="S3.E6.6.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.E6.6.m1.2.2" xref="S3.E6.6.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E6.6.m1.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.6.m1.3b"><apply id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><cn id="S3.E6.6.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.6.m1.1.1">1</cn><ci id="S3.E6.6.m1.2.2.cmml" xref="S3.E6.6.m1.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2"><leq id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.1"></leq><apply id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.6.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.6.m1.3c">\displaystyle\forall i=[1;n],\eta_{i}\leq\eta,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.6.m1.3d">∀ italic_i = [ 1 ; italic_n ] , italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6f)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.x5"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{i}=[c_{i,L},c_{i,U},\eta_{i}]." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.x5.m1.5"><semantics id="S3.E6.x5.m1.5a"><mrow id="S3.E6.x5.m1.5.5.1" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.2" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.2.cmml">d</mi><mi id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.3" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml"><mo id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">[</mo><msub id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E6.x5.m1.2.2.2.4" xref="S3.E6.x5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.x5.m1.1.1.1.1" xref="S3.E6.x5.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.x5.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E6.x5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.x5.m1.2.2.2.2" xref="S3.E6.x5.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.5" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.E6.x5.m1.4.4.2.4" xref="S3.E6.x5.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.x5.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.x5.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.x5.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.E6.x5.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.x5.m1.4.4.2.2" xref="S3.E6.x5.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.6" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.7" stretchy="false" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.x5.m1.5b"><apply id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1"><eq id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.4"></eq><apply id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.2">𝑑</ci><ci id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.5.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3"><apply id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.E6.x5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E6.x5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.x5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2">𝑐</ci><list id="S3.E6.x5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.E6.x5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.E6.x5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.x5.m1.5.5.1.1.3.3.3.3">𝑖</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.x5.m1.5c">\displaystyle d_{i}=[c_{i,L},c_{i,U},\eta_{i}].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.x5.m1.5d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.p8.1">Here <math alttext="{y}_{r}=[{y}_{1,r},\ldots,{y}_{n,r}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p8.1.m1.7"><semantics id="S3.p8.1.m1.7a"><mrow id="S3.p8.1.m1.7.7" xref="S3.p8.1.m1.7.7.cmml"><msub id="S3.p8.1.m1.7.7.4" xref="S3.p8.1.m1.7.7.4.cmml"><mi id="S3.p8.1.m1.7.7.4.2" xref="S3.p8.1.m1.7.7.4.2.cmml">y</mi><mi id="S3.p8.1.m1.7.7.4.3" xref="S3.p8.1.m1.7.7.4.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.p8.1.m1.7.7.3" xref="S3.p8.1.m1.7.7.3.cmml">=</mo><msup id="S3.p8.1.m1.7.7.2" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.p8.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.p8.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.p8.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.p8.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p8.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.p8.1.m1.2.2.2.2.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.4" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p8.1.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S3.p8.1.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.5" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.p8.1.m1.4.4.2.4" xref="S3.p8.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.p8.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.p8.1.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.p8.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.p8.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p8.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.p8.1.m1.4.4.2.2.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.p8.1.m1.7.7.2.4" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p8.1.m1.7b"><apply id="S3.p8.1.m1.7.7.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7"><eq id="S3.p8.1.m1.7.7.3.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.3"></eq><apply id="S3.p8.1.m1.7.7.4.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.1.m1.7.7.4.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p8.1.m1.7.7.4.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.4.2">𝑦</ci><ci id="S3.p8.1.m1.7.7.4.3.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.4.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.p8.1.m1.7.7.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.1.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2">superscript</csymbol><list id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2"><apply id="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.6.6.1.1.1.1.2">𝑦</ci><list id="S3.p8.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p8.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S3.p8.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.2.2.2.2">𝑟</ci></list></apply><ci id="S3.p8.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.p8.1.m1.5.5">…</ci><apply id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.2.2.2.2">𝑦</ci><list id="S3.p8.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.p8.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.p8.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.3.3.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.p8.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.4.4.2.2">𝑟</ci></list></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S3.p8.1.m1.7.7.2.4.cmml" xref="S3.p8.1.m1.7.7.2.4">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p8.1.m1.7c">{y}_{r}=[{y}_{1,r},\ldots,{y}_{n,r}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p8.1.m1.7d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_r end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_r end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. One can readily observe that SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) has a finite number of constraints of the same form as (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E4" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.p9.1">Now, to guarantee that the tubes formed by solving the SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>), fulfill the constraints of ROP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E4" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>), we assume the following:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption3.1.1.1">Assumption 3</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption3.p1.6"><math alttext="\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.1.m1.6"><semantics id="Thmassumption3.p1.1.m1.6a"><mrow id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.cmml"><msub id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3.2" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.2" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.1.m1.5.5" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.1.m1.6b"><apply id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6"><times id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.2"></times><apply id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Thmassumption3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1"><apply id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="Thmassumption3.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="Thmassumption3.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.1.m1.6c">\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.1.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption3.p1.6.5"> and <math alttext="\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6"><semantics id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6a"><mrow id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.cmml"><msub id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3.2" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.4.1" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.2" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.4" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.4.1" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.5.5" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6b"><apply id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6"><times id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.2"></times><apply id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1"><apply id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.4"><ci id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.5.5.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.1.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6c">\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.2.1.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> are Lipschitz continuous with respect to <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1a"><mi id="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1b"><ci id="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.3.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> with Lipschitz constants <math alttext="\mathcal{L}_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1a"><msub id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1" xref="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.2">ℒ</ci><ci id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1c">\mathcal{L}_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.4.3.m3.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}_{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1a"><msub id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1" xref="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.3.cmml">U</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.2">ℒ</ci><ci id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1c">\mathcal{L}_{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.5.4.m4.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2"><semantics id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2a"><mrow id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.2" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.1" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.2" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.1.1" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.2.2" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.2" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.2.cmml">n</mi><mo id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2b"><apply id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3"><in id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.1"></in><ci id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.2">𝑖</ci><list id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.3.3.2"><cn id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.1.1">1</cn><ci id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2c">i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.6.5.m5.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.p10.1">Under Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#Thmassumption3" title="Assumption 3 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.Thmtheorem2" title="Theorem 3.2 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a> outlines a sampling-based methodology for constructing STTs with a certified confidence of 1.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="S3.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 3.2</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4">Under Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#Thmassumption3" title="Assumption 3 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, suppose the SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) is solved with <math alttext="N_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">N_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> sampled data as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E5" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>). Let the optimal value of SOP be <math alttext="\eta_{S}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><msubsup id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">\eta_{S}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with solution <math alttext="d_{i}^{*}=[c_{i,L}^{*},c_{i,U}^{*},\eta_{i}^{*}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.cmml"><msubsup id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.2.cmml">d</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.4" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.4.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.4.cmml">[</mo><msubsup id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.5" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.4" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.3.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.6" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.7" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.4.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7"><eq id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.4"></eq><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.5.3"></times></apply><list id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.2.2">𝑐</ci><list id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><times id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.5.5.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.2.2">𝑐</ci><list id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><times id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.6.6.2.2.2.3"></times></apply><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7.7.3.3.3.3"></times></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7c">d_{i}^{*}=[c_{i,L}^{*},c_{i,U}^{*},\eta_{i}^{*}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.3.m3.7d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = [ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> <math alttext="\forall i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3"><in id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.1"></in><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.3.3.2"><cn id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1">1</cn><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2c">\forall i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.4.m4.2d">∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>. If</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta_{S}^{*}+\mathcal{L}\epsilon\leq 0," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E7.m1.1"><semantics id="S3.E7.m1.1a"><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.1b"><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1"><leq id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1"></leq><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply><cn id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.1c">\eta_{S}^{*}+\mathcal{L}\epsilon\leq 0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_L italic_ϵ ≤ 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem2.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1">where <math alttext="\mathcal{L}=\max\{\mathcal{L}_{L},\mathcal{L}_{U},\mathcal{L}_{L}+\mathcal{L}_% {U},\mathcal{L}_{L}+1,\mathcal{L}_{U}+1" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.1">ℒ</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.2">=</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.3">max</mi><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.1" stretchy="false">{</mo><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.2"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.2.2">ℒ</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.2.3">L</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.3">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.4"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.4.2">ℒ</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.4.3">U</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.5">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.6"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.6.2">ℒ</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.6.3">L</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.7">+</mo><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.8"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.8.2">ℒ</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.8.3">U</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.9">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.10"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.10.2">ℒ</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.10.3">L</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.11">+</mo><mn id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.12">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.13">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.14"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.14.2">ℒ</mi><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.14.3">U</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.15">+</mo><mn id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1.4.16">1</mn></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1c">\mathcal{L}=\max\{\mathcal{L}_{L},\mathcal{L}_{U},\mathcal{L}_{L}+\mathcal{L}_% {U},\mathcal{L}_{L}+1,\mathcal{L}_{U}+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.1.m1.1d">caligraphic_L = roman_max { caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT + caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT + 1 , caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT + 1</annotation></semantics></math></span>}<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3">, then the STTs functions <math alttext="\gamma_{i,L}\text{ and }\gamma_{i,U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.3a.cmml"> and </mtext><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.1a" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.4" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.3.3.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5"><times id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.1"></times><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.2.2">𝛾</ci><list id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.3a.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.3"> and </mtext></ci><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.5.4.2">𝛾</ci><list id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4c">\gamma_{i,L}\text{ and }\gamma_{i,U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.2.m1.4d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT and italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3"><in id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.1"></in><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.3.3.2"><cn id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.1.1">1</cn><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2c">\forall i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.3.m2.2d">∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>, obtained from the SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) ensures the satisfaction of conditions of Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem5" title="Definition 2.5 (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.5</span></a>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proof" id="S3.Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem3.1.1.1">Proof 3.3</span></span></h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem3.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4">First, we demonstrate that under condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E7" title="In Theorem 3.2 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>), the <math alttext="\gamma_{i,L}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4"><times id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.1"></times><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.2">𝛾</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3c">\gamma_{i,L}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{i,U}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4"><times id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.1"></times><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.2">𝛾</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3c">\gamma_{i,U}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> constructed through solving the SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) satisfy Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.E2.1" title="In 2 ‣ Definition 2.5 (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2a</span></a>). The optimal <math alttext="\eta_{S}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1a"><msubsup id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1c">\eta_{S}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, obtained through solving the (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>), guarantees for any <math alttext="r\in[1;N_{t}],(t_{r},i)\in[0,t_{c}]\times[1;n]," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.3.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.4" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.2" rspace="0.222em" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.4.4" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.4.4.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.5.5" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.5.5.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1"><in id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.2"></in><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.3">𝑟</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1"><cn id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1">1</cn><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></list></apply><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2"><in id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.3"></in><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.2.2">𝑖</ci></interval><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2"><times id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.2"></times><interval closure="closed" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1"><cn id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.3.3">0</cn><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval><list id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6.6.1.1.2.2.2.3.2"><cn id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.4.4">1</cn><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.5.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.5.5">𝑛</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6c">r\in[1;N_{t}],(t_{r},i)\in[0,t_{c}]\times[1;n],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p1.4.4.m4.6d">italic_r ∈ [ 1 ; italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] , ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , italic_i ) ∈ [ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] × [ 1 ; italic_n ] ,</annotation></semantics></math> we have:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx7"> <tbody id="S3.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})\leq\eta_{S}^{*}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.7"><semantics id="S3.Ex6.m1.7a"><mrow id="S3.Ex6.m1.7.7.1" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex6.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex6.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex6.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.Ex6.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex6.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex6.m1.6.6.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.3.cmml">≤</mo><msubsup id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.3" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.7.7.1.2" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.7b"><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1"><leq id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.3"></leq><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2"><minus id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3"></minus><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4.2">𝐘</ci><list id="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2"><times id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex6.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.Ex6.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex6.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.6.6.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.7.7.1.1.4.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.7c">\displaystyle{\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})\leq\eta_{S}^{*},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.7d">bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{i,U}(c_{i,L},t_{r})-{\mathbf{Y}}_{i,U}\leq\eta_{S}^{*}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m1.7"><semantics id="S3.Ex7.m1.7a"><mrow id="S3.Ex7.m1.7.7.1" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex7.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex7.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.Ex7.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.3.cmml">≤</mo><msubsup id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.3" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.1.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.7b"><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1"><leq id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.3"></leq><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2"><minus id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.3"></minus><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2"><times id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.2.4.2">𝐘</ci><list id="S3.Ex7.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.Ex7.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex7.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.2.2">𝑈</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.1.1.4.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.7c">\displaystyle\gamma_{i,U}(c_{i,L},t_{r})-{\mathbf{Y}}_{i,U}\leq\eta_{S}^{*},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.7d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})+\gamma_{i% ,d}\leq\eta_{S}^{*}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m1.11"><semantics id="S3.Ex8.m1.11a"><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.1" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex8.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.5" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.5.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex8.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex8.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.Ex8.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex8.m1.6.6.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.2.4" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex8.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.8.8.2.2" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.4" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.5" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.5.cmml">+</mo><msub id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.10.10.2.4" xref="S3.Ex8.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex8.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.Ex8.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.10.10.2.2" xref="S3.Ex8.m1.10.10.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.5" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.5.cmml">≤</mo><msubsup id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.3" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.3" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.1.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.11b"><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1"><leq id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.5"></leq><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4"><plus id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.5.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.5"></plus><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4"><minus id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.5.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.5"></minus><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex8.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4"><times id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.3"></times><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.4.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex8.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.Ex8.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex8.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.6.6.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2"><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.3.3.3.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex8.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.Ex8.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex8.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.4.4.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.4.6.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex8.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.Ex8.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex8.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.10.10.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.1.1.6.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.11c">\displaystyle\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})+\gamma_{i% ,d}\leq\eta_{S}^{*},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.11d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem3.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4">Now from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E5" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>), we infer that <math alttext="\forall t\in[0,t_{c}],\exists\hskip 1.99997ptt_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.1" rspace="0.367em" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">∃</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3"><in id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.3"></in><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.4.2">𝑡</ci></apply><list id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2"><interval closure="closed" id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1"><cn id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1">0</cn><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2"><exists id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.1"></exists><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3.3.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3c">\forall t\in[0,t_{c}],\exists\hskip 1.99997ptt_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p1.5.1.m1.3d">∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] , ∃ italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> s.t. <math alttext="|t-t_{r}|\leq\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1"><leq id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.2"></leq><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1"><abs id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1c">|t-t_{r}|\leq\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1d">| italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT | ≤ italic_ϵ</annotation></semantics></math>. Thus, <math alttext="\forall i\in[1;n],\forall r\in[1;N_{t}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.2.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.3.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.3.3.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.3a.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1"><in id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.1"></in><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.4.4.1.1.3.2"><cn id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2"><in id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.2"></in><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.3.2">𝑟</ci></apply><list id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1"><cn id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.3.3">1</cn><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5c">\forall i\in[1;n],\forall r\in[1;N_{t}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p1.7.3.m3.5d">∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] , ∀ italic_r ∈ [ 1 ; italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall t\in[0,t_{c}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2"><in id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.2"></in><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1"><cn id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1">0</cn><apply id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2c">\forall t\in[0,t_{c}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p1.8.4.m4.2d">∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>:</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(a)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix1.p1.1"><math alttext="{\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)={\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{% i,L},t_{r})+\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)\leq\eta_{S}^{*% }+\mathcal{L}_{L}|t-t_{r}|\leq\mathcal{L}\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29"><semantics id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29a"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.cmml"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.3.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.3.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.1.2" 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xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.9.9.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.11.11.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.5" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.cmml"><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.13.13.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.13.13.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.4.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.15.15.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.15.15.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.4.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.6" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.6.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.cmml"><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.17.17.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.17.17.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.4.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1.2" 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xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.3.2.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.3.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.3.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow 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class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.13" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.13.cmml">≤</mo><mn id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.14" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.14.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.10.10.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2"><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.11.11.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.12.12.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4"><times id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.3"></times><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.4.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.4"><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.13.13.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.14.14.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2"><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.26.26.4.3.3.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.4"><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.15.15.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.15.15.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.16.16.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.27.27.5.4.4.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5"><times id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.2"></times><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.3.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.4"><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.17.17.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.17.17.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.18.18.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1"><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.28.28.6.5.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.20.20.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.20.20.2.4"><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.19.19.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.19.19.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.20.20.2.2.cmml" 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id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.11.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.11"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.7.cmml" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29f.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29"></share><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12"><plus id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.1"></plus><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2"><times id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.1"></times><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29g.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29"><leq id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.13.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.13"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.12.cmml" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29h.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29"></share><cn id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.14.cmml" type="integer" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29.29.14">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29c">{\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)={\mathbf{Y}}_{i,L}-\gamma_{i,L}(c_{% i,L},t_{r})+\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)\leq\eta_{S}^{*% }+\mathcal{L}_{L}|t-t_{r}|\leq\mathcal{L}\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.29d">bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) = bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT | italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT | ≤ caligraphic_L italic_ϵ + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix1.p1.1.1">,</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(b)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix2.p1.1"><math alttext="\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-{\mathbf{Y}}_{i,U}=\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-\gamma_{i,U% }(c_{i,U},t_{r})+\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})-{\mathbf{Y}}_{i,U}\leq\mathcal{L}% _{U}|t-t_{r}|+\eta_{S}^{*}\leq\mathcal{L}\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29"><semantics id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29a"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.cmml"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.cmml"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.21.21" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.21.21.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.2.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.23.23.1.3.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.9" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.9.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.cmml"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.cmml"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.cmml"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.8.8.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.7.7.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.8.8.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.8.8.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.10.10.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.9.9.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.10.10.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.10.10.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.22.22" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.22.22.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.24.24.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.cmml"><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.4.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.12.12.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.11.11.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.12.12.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.12.12.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.25.25.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.14.14.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.14.14.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.13.13.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.13.13.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.14.14.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.14.14.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.14.14.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.14.14.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.26.26.4.3.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.6" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.6.cmml">+</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.cmml"><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.4.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.16.16.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.16.16.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.15.15.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.15.15.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.16.16.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.16.16.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.16.16.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.16.16.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.27.27.5.4.4.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.27.27.5.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.27.27.5.4.4.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.27.27.5.4.4.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.17.17.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.17.17.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.6" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.6.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7.2.cmml">𝐘</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.19.19.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.19.19.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.4.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.10" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.10.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.cmml"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.2.cmml">+</mo><msubsup id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.11" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.11.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.cmml"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.13" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.13.cmml">≤</mo><mn 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xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.27.27.5.4.4.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.4"><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.17.17.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.17.17.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.18.18.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.5.5.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.7.2">𝐘</ci><list id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.4"><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.19.19.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.19.19.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.20.20.2.2">𝑈</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29c.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29"><leq id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.10.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.10"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix2.p1.1.m1.28.28.6.cmml" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29d.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29"></share><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7"><plus id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.2"></plus><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1"><times id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.2"></times><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.3.3">𝑈</ci></apply><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1"><abs id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29e.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29"><leq id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.11.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.11"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.7.cmml" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29f.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29"></share><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12"><plus id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.1"></plus><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2"><times id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.1"></times><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29g.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29"><leq id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.13.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.13"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.12.cmml" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29h.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29"></share><cn id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.14.cmml" type="integer" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29.29.14">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29c">\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-{\mathbf{Y}}_{i,U}=\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-\gamma_{i,U% }(c_{i,U},t_{r})+\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})-{\mathbf{Y}}_{i,U}\leq\mathcal{L}% _{U}|t-t_{r}|+\eta_{S}^{*}\leq\mathcal{L}\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.29d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - bold_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ≤ caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT | italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT | + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ caligraphic_L italic_ϵ + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix2.p1.1.1">,</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(c)</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.I1.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix3.p1.1"><math alttext="\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)+\gamma_{i,d}\\ =\left(\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})\right)+\big{(}% \gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})+\gamma_{i,d}\big{)}+% \left(\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)\right)\\ \leq\mathcal{L}_{L}|t-t_{r}|+\eta_{S}^{*}+\mathcal{L}_{U}|t-t_{r}|\leq(% \mathcal{L}_{L}+\mathcal{L}_{U})\epsilon+\eta_{S}^{*}\\ \leq\mathcal{L}\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48"><semantics id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48a"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.37.37" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.37.37.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.41.41.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.6.6.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.5.5.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.6.6.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.8.8.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.7.7.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.8.8.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.8.8.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.38.38" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.38.38.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.3.cmml">+</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.4.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.42.42.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.10.10.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.9.9.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.10.10.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.10.10.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.10" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.10.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.12.12.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.11.11.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.12.12.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.12.12.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.13.13.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.13.13.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.39.39" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.39.39.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.15.15.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.15.15.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.17.17.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.17.17.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.19.19.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.19.19.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.21.21.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.21.21.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.5" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.5.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.23.23.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.23.23.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.25.25.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.25.25.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.5" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.5.cmml">+</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.27.27.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.27.27.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.4a" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.29.29.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.29.29.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.31.31.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.31.31.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.33.33.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.33.33.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.35.35.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.35.35.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.40.40" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.40.40.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.11" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.11.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.3.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.3.cmml">+</mo><msubsup id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.3a" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.12" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.12.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.3.cmml">U</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.2.cmml">+</mo><msubsup id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.13" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.13.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14" 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id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.13.13.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.14.14.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.39.39.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.39.39">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.3"></times><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.4.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.15.15.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.15.15.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.16.16.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2"><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.17.17.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.17.17.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.18.18.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.43.43.3.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1"><plus id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.5.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.5"></plus><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4"><minus id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.5.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.5"></minus><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.3"></times><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.19.19.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.19.19.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.20.20.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2"><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.21.21.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.21.21.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.22.22.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.3"></times><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.4.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.23.23.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.23.23.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.24.24.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2"><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.3.3.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.25.25.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.25.25.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.26.26.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.4.4.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.44.44.4.2.1.1.6.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.27.27.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.27.27.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.28.28.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1"><minus id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.4"></minus><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.3"></times><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.29.29.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.29.29.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.30.30.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2"><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.31.31.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.31.31.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.32.32.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.2"></times><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.3.2">𝛾</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.33.33.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.33.33.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.34.34.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1"><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.3.1.1.3.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.4"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.35.35.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.35.35.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.36.36.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.40.40.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.40.40">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48c.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48"><leq id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.11.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.11"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix3.p1.1.m1.45.45.5.cmml" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48d.cmml" 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id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.46.46.6.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.4.3"></times></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.2"></times><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.3.3">𝑈</ci></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1"><abs id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1"><minus id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.2.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48e.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48"><leq id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.12.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.12"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix3.p1.1.m1.47.47.7.cmml" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48f.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48"></share><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8"><plus id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.2"></plus><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.2"></times><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1"><plus id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.1.1.1.3.3">𝑈</ci></apply></apply><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.1.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48g.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48"><leq id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.13.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.13"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.8.cmml" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48h.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48"></share><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14"><plus id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.1"></plus><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.2"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.2.1"></times><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48i.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48"><leq id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.15.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.15"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.14.cmml" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48j.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48"></share><cn id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.16.cmml" type="integer" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48.48.16">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48c">\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)+\gamma_{i,d}\\ =\left(\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})\right)+\big{(}% \gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})+\gamma_{i,d}\big{)}+% \left(\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)\right)\\ \leq\mathcal{L}_{L}|t-t_{r}|+\eta_{S}^{*}+\mathcal{L}_{U}|t-t_{r}|\leq(% \mathcal{L}_{L}+\mathcal{L}_{U})\epsilon+\eta_{S}^{*}\\ \leq\mathcal{L}\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.48d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_d end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) ) + ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ) + ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) ) ≤ caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT | italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT | + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT | italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT | ≤ ( caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT + caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ϵ + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ caligraphic_L italic_ϵ + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix3.p1.1.1">.</span></p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem3.p2.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8">Next, we show that when the condition in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E7" title="In Theorem 3.2 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) is satisfied, the <math alttext="\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.5.5" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6"><times id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.2"></times><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6c">\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.1.1.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.5.5" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6"><times id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.2"></times><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.5.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6c">\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.2.2.m2.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> formulated by solving the SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) satisfy argument (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.E2.4" title="In 2 ‣ Definition 2.5 (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2d</span></a>). The optimal <math alttext="\eta_{i}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1a"><msubsup id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1c">\eta_{i}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.3.3.m3.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, obtained from solving the SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>), also ensures that for any <math alttext="r\in[1;N_{t}],(t_{r},{y}_{r})\in{\mathbf{W}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.2.4.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.3a.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1"><in id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.2"></in><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.3">𝑟</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1"><cn id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.1.1">1</cn><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.12.12.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.11.11.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.12.12.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.12.12.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.12.12.2.2.cmml">r</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.2.2.5" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.3.cmml">≤</mo><msubsup id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.2" lspace="0em" 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xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑦</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.2.2.2.2">𝑟</ci></list></apply><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci 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id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.11.11.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.12.12.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.12.12.2.2">𝑟</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14.14.1.1.4.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14c">\min\left\{{y}_{i,r}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r}),\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})-{% y}_{i,r}\right\}\leq\eta_{i}^{*}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.5.5.m5.14d">roman_min { italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_r end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_r end_POSTSUBSCRIPT } ≤ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math> Now, <math alttext="\forall i\in[1;n],\forall r\in[1;N_{t}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.2.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.3.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.3.3.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.3a.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1"><in id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.1"></in><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.4.4.1.1.3.2"><cn id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.1.1">1</cn><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2"><in id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.2"></in><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.3.2">𝑟</ci></apply><list id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1"><cn id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.3.3">1</cn><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5.5.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5c">\forall i\in[1;n],\forall r\in[1;N_{t}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.6.6.m6.5d">∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] , ∀ italic_r ∈ [ 1 ; italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall t\in[0,t_{c}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2"><in id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.2"></in><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1"><cn id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.1.1">0</cn><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2c">\forall t\in[0,t_{c}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.7.7.m7.2d">∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall{y}_{i}\in{\mathbf{U}}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.1.cmml">∀</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2"><in id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.1"></in><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.1">for-all</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3"><times id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.2.3.2">𝐔</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1c">\forall{y}_{i}\in{\mathbf{U}}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.8.8.m8.1d">∀ italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ bold_U ( italic_t )</annotation></semantics></math>:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx8"> <tbody id="S3.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{y}_{i}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex9.m1.6"><semantics id="S3.Ex9.m1.6a"><mrow id="S3.Ex9.m1.6.6" xref="S3.Ex9.m1.6.6.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.6.6.3" xref="S3.Ex9.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.6.6.3.2" xref="S3.Ex9.m1.6.6.3.2.cmml">y</mi><mi id="S3.Ex9.m1.6.6.3.3" xref="S3.Ex9.m1.6.6.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.6.6.2" xref="S3.Ex9.m1.6.6.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.6.6.1" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.6.6.1.3" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.6.6.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.6.6.1.2" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.5.5" xref="S3.Ex9.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m1.6b"><apply id="S3.Ex9.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6"><minus id="S3.Ex9.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.2"></minus><apply id="S3.Ex9.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.3.2">𝑦</ci><ci id="S3.Ex9.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1"><times id="S3.Ex9.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.3.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1"><apply id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.6c">\displaystyle{y}_{i}-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.6d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left({y}_{i}-{y}_{i,r}\right)+\left({y}_{i,r}-\gamma_{i,L}(c_{i% ,L},t_{r})\right)+\big{(}\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)% \big{)}\leq\epsilon+\eta_{i}^{*}+\mathcal{L}_{L}|t-t_{r}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m1.21"><semantics id="S3.Ex10.m1.21a"><mrow id="S3.Ex10.m1.21.21" xref="S3.Ex10.m1.21.21.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.21.21.6" xref="S3.Ex10.m1.21.21.6.cmml"></mi><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.7" xref="S3.Ex10.m1.21.21.7.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.20.20.3" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.2.cmml">y</mi><mi id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.cmml">r</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.4" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.2" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex10.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex10.m1.6.6.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.8.8.2.4" xref="S3.Ex10.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex10.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.8.8.2.2" xref="S3.Ex10.m1.8.8.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.3" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.4a" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.10.10.2.4" xref="S3.Ex10.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex10.m1.9.9.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.10.10.2.2" xref="S3.Ex10.m1.10.10.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.12.12.2.4" xref="S3.Ex10.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.11.11.1.1" xref="S3.Ex10.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.12.12.2.2" xref="S3.Ex10.m1.12.12.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.14.14.2.4" xref="S3.Ex10.m1.14.14.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.13.13.1.1" xref="S3.Ex10.m1.13.13.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.14.14.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.14.14.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.14.14.2.2" xref="S3.Ex10.m1.14.14.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.16.16.2.4" xref="S3.Ex10.m1.16.16.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.15.15.1.1" xref="S3.Ex10.m1.15.15.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.16.16.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.16.16.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.16.16.2.2" xref="S3.Ex10.m1.16.16.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.17.17" xref="S3.Ex10.m1.17.17.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.8" xref="S3.Ex10.m1.21.21.8.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.21.21.4" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.21.21.4.3" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.3.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.4.2" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.2.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.2" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.3" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.3" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.4.2a" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.2" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.21b"><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21"><and id="S3.Ex10.m1.21.21a.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21"></and><apply id="S3.Ex10.m1.21.21b.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21"><eq id="S3.Ex10.m1.21.21.7.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.7"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.21.21.6.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.6">absent</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3"><plus id="S3.Ex10.m1.20.20.3.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.4"></plus><apply id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1"><minus id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.18.18.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><list id="S3.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2">𝑟</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1"><minus id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.3"></minus><apply id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.4.2">𝑦</ci><list id="S3.Ex10.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2">𝑟</ci></list></apply><apply id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2"><times id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex10.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex10.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.6.6.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex10.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex10.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.8.8.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1"><minus id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.4"></minus><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2"><times id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex10.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.9.9.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex10.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.10.10.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex10.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.11.11.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex10.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.12.12.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3"><times id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.2"></times><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.3.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex10.m1.14.14.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.14.14.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.13.13.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex10.m1.14.14.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.14.14.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1"><apply id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.20.20.3.3.1.1.3.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex10.m1.16.16.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.16.16.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.15.15.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.15.15.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex10.m1.16.16.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.16.16.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S3.Ex10.m1.17.17.cmml" xref="S3.Ex10.m1.17.17">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.21.21c.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21"><leq id="S3.Ex10.m1.21.21.8.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.8"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.Ex10.m1.20.20.3.cmml" id="S3.Ex10.m1.21.21d.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21"></share><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4"><plus id="S3.Ex10.m1.21.21.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.2"></plus><ci id="S3.Ex10.m1.21.21.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.3">italic-ϵ</ci><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.4.3"></times></apply><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1"><times id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1"><abs id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.21c">\displaystyle=\left({y}_{i}-{y}_{i,r}\right)+\left({y}_{i,r}-\gamma_{i,L}(c_{i% ,L},t_{r})\right)+\big{(}\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{r})-\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)% \big{)}\leq\epsilon+\eta_{i}^{*}+\mathcal{L}_{L}|t-t_{r}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.21d">= ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) + ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_r end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) ) + ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) ) ≤ italic_ϵ + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT | italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq(\mathcal{L}_{L}+1)\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq\mathcal{L}% \epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m1.1"><semantics id="S3.Ex11.m1.1a"><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.4" xref="S3.Ex11.m1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.5" xref="S3.Ex11.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.6" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.6.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex11.m1.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.6.2.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.6.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.6.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex11.m1.1.1.6.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.6.3.2.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.6.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.6.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.7" xref="S3.Ex11.m1.1.1.7.cmml">≤</mo><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.8" xref="S3.Ex11.m1.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.1b"><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1"><and id="S3.Ex11.m1.1.1a.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><span class="ltx_text ltx_markedasmath ltx_font_italic" id="S3.Ex12.3.2.1.1">Or</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-{y}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex13.m1.6"><semantics id="S3.Ex13.m1.6a"><mrow id="S3.Ex13.m1.6.6" xref="S3.Ex13.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.6.6.1" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.6.6.1.3" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.3.cmml"><mi 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id="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex13.m1.5.5" xref="S3.Ex13.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.6.6.2" xref="S3.Ex13.m1.6.6.2.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex13.m1.6.6.3" xref="S3.Ex13.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.6.6.3.2" xref="S3.Ex13.m1.6.6.3.2.cmml">y</mi><mi id="S3.Ex13.m1.6.6.3.3" xref="S3.Ex13.m1.6.6.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m1.6b"><apply id="S3.Ex13.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6"><minus id="S3.Ex13.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.2"></minus><apply id="S3.Ex13.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1"><times id="S3.Ex13.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.2"></times><apply id="S3.Ex13.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.3.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1"><apply id="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S3.Ex13.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S3.Ex13.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.3.2">𝑦</ci><ci id="S3.Ex13.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.6.6.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.6c">\displaystyle\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-{y}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left({y}_{i,r}-{y}_{i}\right)+\left(\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})% -{y}_{i,r}\right)+\big{(}\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})% \big{)}\leq\epsilon+\eta_{i}^{*}+\mathcal{L}_{U}|t-t_{r}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m1.21"><semantics id="S3.Ex14.m1.21a"><mrow id="S3.Ex14.m1.21.21" xref="S3.Ex14.m1.21.21.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.21.21.6" xref="S3.Ex14.m1.21.21.6.cmml"></mi><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.7" xref="S3.Ex14.m1.21.21.7.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.20.20.3" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex14.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex14.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo 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id="S3.Ex14.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.Ex14.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex14.m1.6.6.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.3.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.2.4" xref="S3.Ex14.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.7.7.1.1" 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id="S3.Ex14.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.Ex14.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m1.10.10.2.2" xref="S3.Ex14.m1.10.10.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex14.m1.12.12.2.4" xref="S3.Ex14.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.11.11.1.1" xref="S3.Ex14.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex14.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.Ex14.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m1.12.12.2.2" xref="S3.Ex14.m1.12.12.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi 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stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.8" xref="S3.Ex14.m1.21.21.8.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.21.21.4" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.21.21.4.3" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.3.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.4.2" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.2.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.2" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.3" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.3" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.4.2a" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.cmml"><msub id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.2" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.2" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m1.21b"><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21"><and id="S3.Ex14.m1.21.21a.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21"></and><apply id="S3.Ex14.m1.21.21b.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21"><eq id="S3.Ex14.m1.21.21.7.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.7"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex14.m1.21.21.6.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.6">absent</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.20.20.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3"><plus id="S3.Ex14.m1.20.20.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.4"></plus><apply id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1"><minus id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.2.2">𝑦</ci><list id="S3.Ex14.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex14.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2.2.2">𝑟</ci></list></apply><apply id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><ci id="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.18.18.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1"><minus id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.3"></minus><apply id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2"><times id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.4.2">𝛾</ci><list id="S3.Ex14.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex14.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex14.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex14.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.Ex14.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex14.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.6.6.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.19.19.2.2.1.1.4.2">𝑦</ci><list id="S3.Ex14.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.Ex14.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.7.7.1.1">𝑖</ci><ci 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xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Ex14.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.Ex14.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.11.11.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex14.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.12.12.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S3.Ex14.m1.17.17.cmml" xref="S3.Ex14.m1.17.17">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3"><times id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.3"></times><apply id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.4.1.cmml" 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xref="S3.Ex14.m1.16.16.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.20.20.3.3.1.1.3.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m1.21.21c.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21"><leq id="S3.Ex14.m1.21.21.8.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.8"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.Ex14.m1.20.20.3.cmml" id="S3.Ex14.m1.21.21d.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21"></share><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4"><plus id="S3.Ex14.m1.21.21.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.2"></plus><ci id="S3.Ex14.m1.21.21.4.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.3">italic-ϵ</ci><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.4.3"></times></apply><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1"><times id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.2"></times><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.3.3">𝑈</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1"><abs id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.21.21.4.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.21c">\displaystyle=\left({y}_{i,r}-{y}_{i}\right)+\left(\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})% -{y}_{i,r}\right)+\big{(}\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)-\gamma_{i,U}(c_{i,U},t_{r})% \big{)}\leq\epsilon+\eta_{i}^{*}+\mathcal{L}_{U}|t-t_{r}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.21d">= ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_r end_POSTSUBSCRIPT - italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) + ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) + ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) ) ≤ italic_ϵ + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT | italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq(\mathcal{L}_{U}+1)\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq\mathcal{L}% \epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m1.1"><semantics id="S3.Ex15.m1.1a"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.7" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.7.cmml">≤</mo><mn id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.8" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.1b"><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"><and id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"><leq id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.4"></leq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><cn id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"><leq id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6"><plus id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.1"></plus><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2"><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.1"></times><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"><leq id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.Ex15.m1.1.1.1.1.6.cmml" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"></share><cn id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.1c">\displaystyle\leq(\mathcal{L}_{U}+1)\epsilon+\eta_{S}^{*}\leq\mathcal{L}% \epsilon+\eta_{S}^{*}\leq 0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.1d">≤ ( caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT + 1 ) italic_ϵ + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ caligraphic_L italic_ϵ + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem3.p2.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3">Therefore, if the condition in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E7" title="In Theorem 3.2 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) is met, the STT constructed with boundaries defined by <math alttext="\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.5.5" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6"><times id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.2"></times><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6c">\gamma_{i,L}(c_{i,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.9.1.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.4" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.5.5" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6"><times id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.2"></times><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.5.5.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6c">\gamma_{i,U}(c_{i,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.10.2.m2.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math>, for all <math alttext="i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2"><semantics id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.1.1" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.2" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2b"><apply id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3"><in id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.1"></in><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.2">𝑖</ci><list id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.3.3.2"><cn id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2c">i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem3.p2.11.3.m3.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math> as determined by solving the SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) satisfies Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem5" title="Definition 2.5 (Spatiotemporal Tubes for T-RAS task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.5</span></a>, thereby completing the proof.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S3.Thmtheorem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem4.1.1.1">Remark 3.4</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem4.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2">Note that the Lipschitz constants <math alttext="\mathcal{L}_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1a"><msub id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{L}_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}_{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1a"><msub id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">U</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1c">\mathcal{L}_{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are required to check condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E7" title="In Theorem 3.2 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) in Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.Thmtheorem2" title="Theorem 3.2 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>. We introduce Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#alg1" title="Algorithm 1 ‣ Appendix A. Computation of Lipschitz constants ℒ_𝐿 and ℒ_𝑈 ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> to estimate these Lipschitz constants in Appendix A, which follows the similar procedure as <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib36" title="">36</a>, Algorithm 1]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib37" title="">37</a>, Algorithm 2]</cite>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S3.Thmtheorem5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheorem5.1.1.1">Remark 3.5</span></span></h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.Thmtheorem5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem5.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem5.p1.4.4">The basis functions <math alttext="p_{i,{\mathcal{o}}}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2a"><msubsup id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow><mi id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">k</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.2.2">𝑝</ci><list id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.3.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2c">p_{i,{\mathcal{o}}}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> that shape the STTs are highly flexible and can be chosen in various forms, such as monomials in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> for a polynomial-type STT. Unlike CBFs, which depend on the multi-dimensional state variable <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1d">italic_x</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib36" title="">36</a>]</cite>, STTs rely solely on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, significantly reducing computational complexity. Additionally, data-driven CBF synthesis requires sampling from the system’s dynamics, whereas the sampling-based STT approach only requires data samples from time and the unsafe set, simplifying the data collection process.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem5.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem5.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem5.p2.1.1">The computational complexity of the SOP depends on factors like the choice of basis functions and the sampling density. Notably, in complex environments, with a greater number of unsafe sets, higher-degree polynomials provide greater flexibility but also increase the number of decision variables, leading to a polynomial growth in computation time. Similarly, finer sampling in time and unsafe regions adds more constraints to the SOP, further contributing to a polynomial increase in computational demand. The change in computational complexity with the number of decision variables and constraints is illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.F1" title="Figure 1 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. However, it is important to note that the tube computation is performed offline and does not affect the real-time implementation of the STT, which relies on a closed-form control law, discussed in the next section.</span></p> </div> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F1.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="449" id="S3.F1.sf1.g1" src="extracted/6014516/comp_1.png" width="598"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(a) </span>Computation Time vs Decision Variables</figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F1.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="434" id="S3.F1.sf2.g1" src="extracted/6014516/comp_2.png" width="598"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(b) </span>Computation Time vs Constraints</figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>Time complexity</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Controller Design</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.9">In this section, we use the STTs developed through the sampling-based approach outlined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) to derive an approximation-free, closed-form control law to constrain the output of system (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) within the tubes. The lower triangular structure of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) allows us to use a backstepping-like design approach similar to that described in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib41" title="">41</a>]</cite>. First, we design an intermediate control input <math alttext="r_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mn id="S4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">r_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the <math alttext="x_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.1c">x_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> dynamics to ensure the fulfillment of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.E3" title="In Remark 2.6 ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>). We then iteratively design the intermediate control laws <math alttext="r_{k+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.p1.3.m3.1a"><msub id="S4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1.2">𝑟</ci><apply id="S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3"><plus id="S4.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.3.m3.1c">r_{k+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.3.m3.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the <math alttext="x_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.p1.4.m4.1a"><msub id="S4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.4.m4.1c">x_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.4.m4.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> dynamics, ensuring <math alttext="x_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.p1.5.m5.1a"><msub id="S4.p1.5.m5.1.1" xref="S4.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.p1.5.m5.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.p1.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.5.m5.1c">x_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.5.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> tracks <math alttext="r_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.p1.6.m6.1a"><msub id="S4.p1.6.m6.1.1" xref="S4.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.6.m6.1.1.2" xref="S4.p1.6.m6.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S4.p1.6.m6.1.1.3" xref="S4.p1.6.m6.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.6.m6.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S4.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.6.m6.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.6.m6.1c">r_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.6.m6.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, for all <math alttext="k\in[2;N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.7.m7.2"><semantics id="S4.p1.7.m7.2a"><mrow id="S4.p1.7.m7.2.3" xref="S4.p1.7.m7.2.3.cmml"><mi id="S4.p1.7.m7.2.3.2" xref="S4.p1.7.m7.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p1.7.m7.2.3.1" xref="S4.p1.7.m7.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p1.7.m7.2.3.3.2" xref="S4.p1.7.m7.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p1.7.m7.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.7.m7.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.p1.7.m7.1.1" xref="S4.p1.7.m7.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.p1.7.m7.2.3.3.2.2" xref="S4.p1.7.m7.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.p1.7.m7.2.2" xref="S4.p1.7.m7.2.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p1.7.m7.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.7.m7.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.7.m7.2b"><apply id="S4.p1.7.m7.2.3.cmml" xref="S4.p1.7.m7.2.3"><in id="S4.p1.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S4.p1.7.m7.2.3.1"></in><ci id="S4.p1.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S4.p1.7.m7.2.3.2">𝑘</ci><list id="S4.p1.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.7.m7.2.3.3.2"><cn id="S4.p1.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.7.m7.1.1">2</cn><ci id="S4.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="S4.p1.7.m7.2.2">𝑁</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.7.m7.2c">k\in[2;N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.7.m7.2d">italic_k ∈ [ 2 ; italic_N ]</annotation></semantics></math>. It is important to note that <math alttext="r_{N+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.p1.8.m8.1a"><msub id="S4.p1.8.m8.1.1" xref="S4.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.8.m8.1.1.2" xref="S4.p1.8.m8.1.1.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.p1.8.m8.1.1.3" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p1.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p1.8.m8.1.1.3.1" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p1.8.m8.1.1.3.3" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1.2">𝑟</ci><apply id="S4.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3"><plus id="S4.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S4.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.8.m8.1c">r_{N+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.8.m8.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> effectively becomes the actual control input <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.p1.9.m9.1a"><mi id="S4.p1.9.m9.1.1" xref="S4.p1.9.m9.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.9.m9.1b"><ci id="S4.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.p1.9.m9.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.9.m9.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.9.m9.1d">italic_u</annotation></semantics></math> for the system. The steps of the controller design are outlined below.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.7"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p2.1.1">Stage <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.1.m1.1"><semantics id="S4.p2.1.1.m1.1a"><mn id="S4.p2.1.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.1.m1.1b"><cn id="S4.p2.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.1.1.m1.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.1.m1.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.1.m1.1d">1</annotation></semantics></math></span>: Given <math alttext="\gamma_{1,i,L}(c_{i,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.2.m1.7"><semantics id="S4.p2.2.m1.7a"><mrow id="S4.p2.2.m1.7.7" xref="S4.p2.2.m1.7.7.cmml"><msub id="S4.p2.2.m1.7.7.3" xref="S4.p2.2.m1.7.7.3.cmml"><mi id="S4.p2.2.m1.7.7.3.2" xref="S4.p2.2.m1.7.7.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.2.m1.3.3.3.5" xref="S4.p2.2.m1.3.3.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.2.m1.1.1.1.1" xref="S4.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.2.m1.3.3.3.5.1" xref="S4.p2.2.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.2.m1.2.2.2.2" xref="S4.p2.2.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p2.2.m1.3.3.3.5.2" xref="S4.p2.2.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.2.m1.3.3.3.3" xref="S4.p2.2.m1.3.3.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.2.m1.7.7.2" xref="S4.p2.2.m1.7.7.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.p2.2.m1.5.5.2.4" xref="S4.p2.2.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.2.m1.4.4.1.1" xref="S4.p2.2.m1.4.4.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.p2.2.m1.5.5.2.4.1" xref="S4.p2.2.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.2.m1.5.5.2.2" xref="S4.p2.2.m1.5.5.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.3" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.2.m1.6.6" xref="S4.p2.2.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.2.m1.7b"><apply id="S4.p2.2.m1.7.7.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7"><times id="S4.p2.2.m1.7.7.2.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7.2"></times><apply id="S4.p2.2.m1.7.7.3.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.2.m1.7.7.3.1.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.2.m1.7.7.3.2.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7.3.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.2.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.p2.2.m1.3.3.3.5"><cn id="S4.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.2.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.2.m1.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.p2.2.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p2.2.m1.3.3.3.3">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.p2.2.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.1"><apply id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.2.m1.7.7.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S4.p2.2.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S4.p2.2.m1.5.5.2.4"><ci id="S4.p2.2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m1.4.4.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.p2.2.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S4.p2.2.m1.5.5.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S4.p2.2.m1.6.6.cmml" xref="S4.p2.2.m1.6.6">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.2.m1.7c">\gamma_{1,i,L}(c_{i,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.2.m1.7d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{1,i,U}(c_{i,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.3.m2.7"><semantics id="S4.p2.3.m2.7a"><mrow id="S4.p2.3.m2.7.7" xref="S4.p2.3.m2.7.7.cmml"><msub id="S4.p2.3.m2.7.7.3" xref="S4.p2.3.m2.7.7.3.cmml"><mi id="S4.p2.3.m2.7.7.3.2" xref="S4.p2.3.m2.7.7.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.3.m2.3.3.3.5" xref="S4.p2.3.m2.3.3.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.3.m2.1.1.1.1" xref="S4.p2.3.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.3.m2.3.3.3.5.1" xref="S4.p2.3.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.3.m2.2.2.2.2" xref="S4.p2.3.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p2.3.m2.3.3.3.5.2" xref="S4.p2.3.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.3.m2.3.3.3.3" xref="S4.p2.3.m2.3.3.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.3.m2.7.7.2" xref="S4.p2.3.m2.7.7.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1.2" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.p2.3.m2.5.5.2.4" xref="S4.p2.3.m2.5.5.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.3.m2.4.4.1.1" xref="S4.p2.3.m2.4.4.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.p2.3.m2.5.5.2.4.1" xref="S4.p2.3.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.3.m2.5.5.2.2" xref="S4.p2.3.m2.5.5.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.3" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.3.m2.6.6" xref="S4.p2.3.m2.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.3.m2.7b"><apply id="S4.p2.3.m2.7.7.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7"><times id="S4.p2.3.m2.7.7.2.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7.2"></times><apply id="S4.p2.3.m2.7.7.3.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.3.m2.7.7.3.1.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.3.m2.7.7.3.2.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7.3.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.3.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S4.p2.3.m2.3.3.3.5"><cn id="S4.p2.3.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.3.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.3.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.3.m2.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.p2.3.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p2.3.m2.3.3.3.3">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.p2.3.m2.7.7.1.2.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.1"><apply id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.3.m2.7.7.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S4.p2.3.m2.5.5.2.3.cmml" xref="S4.p2.3.m2.5.5.2.4"><ci id="S4.p2.3.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m2.4.4.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.p2.3.m2.5.5.2.2.cmml" xref="S4.p2.3.m2.5.5.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S4.p2.3.m2.6.6.cmml" xref="S4.p2.3.m2.6.6">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.3.m2.7c">\gamma_{1,i,U}(c_{i,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.3.m2.7d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math>, <math alttext="i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.4.m3.2"><semantics id="S4.p2.4.m3.2a"><mrow id="S4.p2.4.m3.2.3" xref="S4.p2.4.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.4.m3.2.3.2" xref="S4.p2.4.m3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p2.4.m3.2.3.1" xref="S4.p2.4.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p2.4.m3.2.3.3.2" xref="S4.p2.4.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p2.4.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p2.4.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.p2.4.m3.1.1" xref="S4.p2.4.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.4.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.p2.4.m3.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.p2.4.m3.2.2" xref="S4.p2.4.m3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p2.4.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p2.4.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.4.m3.2b"><apply id="S4.p2.4.m3.2.3.cmml" xref="S4.p2.4.m3.2.3"><in id="S4.p2.4.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.4.m3.2.3.1"></in><ci id="S4.p2.4.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.4.m3.2.3.2">𝑖</ci><list id="S4.p2.4.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p2.4.m3.2.3.3.2"><cn id="S4.p2.4.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.4.m3.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.4.m3.2.2.cmml" xref="S4.p2.4.m3.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.4.m3.2c">i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.4.m3.2d">italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>, define the normalized error <math alttext="e_{1}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.5.m4.2"><semantics id="S4.p2.5.m4.2a"><mrow id="S4.p2.5.m4.2.2" xref="S4.p2.5.m4.2.2.cmml"><msub id="S4.p2.5.m4.2.2.3" xref="S4.p2.5.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.5.m4.2.2.3.2" xref="S4.p2.5.m4.2.2.3.2.cmml">e</mi><mn id="S4.p2.5.m4.2.2.3.3" xref="S4.p2.5.m4.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p2.5.m4.2.2.2" xref="S4.p2.5.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.3" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.5.m4.1.1" xref="S4.p2.5.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.5.m4.2b"><apply id="S4.p2.5.m4.2.2.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2"><times id="S4.p2.5.m4.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2.2"></times><apply id="S4.p2.5.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.5.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.5.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2.3.2">𝑒</ci><cn id="S4.p2.5.m4.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.5.m4.2.2.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.p2.5.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.1"><apply id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.5.m4.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p2.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.p2.5.m4.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.5.m4.2c">e_{1}(x_{1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.5.m4.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math>, the transformed error <math alttext="\varepsilon_{1}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.6.m5.2"><semantics id="S4.p2.6.m5.2a"><mrow id="S4.p2.6.m5.2.2" xref="S4.p2.6.m5.2.2.cmml"><msub id="S4.p2.6.m5.2.2.3" xref="S4.p2.6.m5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.6.m5.2.2.3.2" xref="S4.p2.6.m5.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.p2.6.m5.2.2.3.3" xref="S4.p2.6.m5.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p2.6.m5.2.2.2" xref="S4.p2.6.m5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.3" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.6.m5.1.1" xref="S4.p2.6.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.6.m5.2b"><apply id="S4.p2.6.m5.2.2.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2"><times id="S4.p2.6.m5.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2.2"></times><apply id="S4.p2.6.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.6.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.6.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S4.p2.6.m5.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.6.m5.2.2.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.1"><apply id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p2.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.p2.6.m5.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.6.m5.2c">\varepsilon_{1}(x_{1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.6.m5.2d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> and the diagonal matrix <math alttext="\xi_{1}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.7.m6.2"><semantics id="S4.p2.7.m6.2a"><mrow id="S4.p2.7.m6.2.2" xref="S4.p2.7.m6.2.2.cmml"><msub id="S4.p2.7.m6.2.2.3" xref="S4.p2.7.m6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.7.m6.2.2.3.2" xref="S4.p2.7.m6.2.2.3.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.p2.7.m6.2.2.3.3" xref="S4.p2.7.m6.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p2.7.m6.2.2.2" xref="S4.p2.7.m6.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.3" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.7.m6.1.1" xref="S4.p2.7.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.7.m6.2b"><apply id="S4.p2.7.m6.2.2.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2"><times id="S4.p2.7.m6.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2.2"></times><apply id="S4.p2.7.m6.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.7.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.7.m6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2.3.2">𝜉</ci><cn id="S4.p2.7.m6.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.7.m6.2.2.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.p2.7.m6.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.1"><apply id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.7.m6.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p2.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.p2.7.m6.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.7.m6.2c">\xi_{1}(x_{1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.7.m6.2d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S4.E8"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx9"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E8.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle e_{1}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E8.1.m1.2"><semantics id="S4.E8.1.m1.2a"><mrow id="S4.E8.1.m1.2.2" xref="S4.E8.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.E8.1.m1.2.2.3" xref="S4.E8.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E8.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.E8.1.m1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mn id="S4.E8.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.E8.1.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E8.1.m1.2.2.2" xref="S4.E8.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.1.m1.1.1" xref="S4.E8.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E8.1.m1.2b"><apply id="S4.E8.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2"><times id="S4.E8.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.E8.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2.3.2">𝑒</ci><cn id="S4.E8.1.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.1.m1.2.2.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.E8.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.E8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.E8.1.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E8.1.m1.2c">\displaystyle e_{1}(x_{1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E8.1.m1.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=[e_{1,1}(x_{1,1},t),\ldots,e_{1,n}(x_{1,n},t)]^{\top}=(\gamma_{1% ,d}(t))^{-1}\left(2x_{1}-\gamma_{1,s}(t)\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E8.1.m2.18"><semantics id="S4.E8.1.m2.18a"><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.cmml"><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.6" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.6.cmml"></mi><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.7" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.7.cmml">=</mo><msup id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E8.1.m2.2.2.2.4" xref="S4.E8.1.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.1.m2.1.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.1.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.E8.1.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.1.m2.2.2.2.2" xref="S4.E8.1.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E8.1.m2.4.4.2.4" xref="S4.E8.1.m2.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.1.m2.3.3.1.1" xref="S4.E8.1.m2.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.1.m2.4.4.2.4.1" xref="S4.E8.1.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.1.m2.4.4.2.2" xref="S4.E8.1.m2.4.4.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.1.m2.13.13" xref="S4.E8.1.m2.13.13.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.1.m2.15.15" mathvariant="normal" xref="S4.E8.1.m2.15.15.cmml">…</mi><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.5" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E8.1.m2.6.6.2.4" xref="S4.E8.1.m2.6.6.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.1.m2.5.5.1.1" xref="S4.E8.1.m2.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.1.m2.6.6.2.4.1" xref="S4.E8.1.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.1.m2.6.6.2.2" xref="S4.E8.1.m2.6.6.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E8.1.m2.8.8.2.4" xref="S4.E8.1.m2.8.8.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.1.m2.7.7.1.1" xref="S4.E8.1.m2.7.7.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.1.m2.8.8.2.4.1" xref="S4.E8.1.m2.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.1.m2.8.8.2.2" xref="S4.E8.1.m2.8.8.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.1.m2.14.14" xref="S4.E8.1.m2.14.14.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.4" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.4.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.8" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.cmml"><msup id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E8.1.m2.10.10.2.4" xref="S4.E8.1.m2.10.10.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.1.m2.9.9.1.1" xref="S4.E8.1.m2.9.9.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.1.m2.10.10.2.4.1" xref="S4.E8.1.m2.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.1.m2.10.10.2.2" xref="S4.E8.1.m2.10.10.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E8.1.m2.16.16" xref="S4.E8.1.m2.16.16.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3.cmml"><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3a" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E8.1.m2.12.12.2.4" xref="S4.E8.1.m2.12.12.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.1.m2.11.11.1.1" xref="S4.E8.1.m2.11.11.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.1.m2.12.12.2.4.1" xref="S4.E8.1.m2.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.1.m2.12.12.2.2" xref="S4.E8.1.m2.12.12.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.1" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E8.1.m2.17.17" xref="S4.E8.1.m2.17.17.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.3" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E8.1.m2.18.18.1.2" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E8.1.m2.18b"><apply 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href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E8.1.m2.18.18.1.1.2.cmml" id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1d.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1"></share><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4"><times id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.3"></times><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1"><times id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><list id="S4.E8.1.m2.10.10.2.3.cmml" xref="S4.E8.1.m2.10.10.2.4"><cn id="S4.E8.1.m2.9.9.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E8.1.m2.9.9.1.1">1</cn><ci id="S4.E8.1.m2.10.10.2.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.10.10.2.2">𝑑</ci></list></apply><ci id="S4.E8.1.m2.16.16.cmml" xref="S4.E8.1.m2.16.16">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3"><minus id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3"></minus><cn id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.3.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1"><minus id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.1"></minus><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2"><times id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.1"></times><cn id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3"><times id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.18.18.1.1.4.2.1.1.3.2.2">𝛾</ci><list id="S4.E8.1.m2.12.12.2.3.cmml" xref="S4.E8.1.m2.12.12.2.4"><cn id="S4.E8.1.m2.11.11.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E8.1.m2.11.11.1.1">1</cn><ci id="S4.E8.1.m2.12.12.2.2.cmml" xref="S4.E8.1.m2.12.12.2.2">𝑠</ci></list></apply><ci id="S4.E8.1.m2.17.17.cmml" xref="S4.E8.1.m2.17.17">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E8.1.m2.18c">\displaystyle=[e_{1,1}(x_{1,1},t),\ldots,e_{1,n}(x_{1,n},t)]^{\top}=(\gamma_{1% ,d}(t))^{-1}\left(2x_{1}-\gamma_{1,s}(t)\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E8.1.m2.18d">= [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) , … , italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E8.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\varepsilon_{1}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E8.2.m1.2"><semantics id="S4.E8.2.m1.2a"><mrow id="S4.E8.2.m1.2.2" xref="S4.E8.2.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.E8.2.m1.2.2.3" xref="S4.E8.2.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E8.2.m1.2.2.3.2" xref="S4.E8.2.m1.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.E8.2.m1.2.2.3.3" xref="S4.E8.2.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E8.2.m1.2.2.2" xref="S4.E8.2.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m1.1.1" xref="S4.E8.2.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E8.2.m1.2b"><apply id="S4.E8.2.m1.2.2.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2"><times id="S4.E8.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.E8.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.2.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.2.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S4.E8.2.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.2.m1.2.2.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.E8.2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.2.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.E8.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.E8.2.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E8.2.m1.2c">\displaystyle\varepsilon_{1}(x_{1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E8.2.m1.2d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\big{[}\ln\left(\frac{1+e_{1,1}(x_{1,1},t)}{1-e_{1,1}(x_{1,1},t)% }\right),\ldots,\ln\left(\frac{1+e_{1,n}(x_{1,n},t)}{1-e_{1,n}(x_{1,n},t)}% \right)\big{]}^{\top}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E8.2.m2.28"><semantics id="S4.E8.2.m2.28a"><mrow id="S4.E8.2.m2.28.28.1" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.cmml"><mrow id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.4" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.3" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.3.cmml">=</mo><msup id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.25.25" xref="S4.E8.2.m2.25.25.cmml">ln</mi><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E8.2.m2.12.12" xref="S4.E8.2.m2.12.12.cmml"><mfrac id="S4.E8.2.m2.12.12a" xref="S4.E8.2.m2.12.12.cmml"><mrow id="S4.E8.2.m2.6.6.6" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.6.6.6.8" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.8.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.6.6.6.7" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.7.cmml">+</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.cmml"><msub id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.3" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.3.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.3.2" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E8.2.m2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E8.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.2.2.2.2.2.4.1" xref="S4.E8.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E8.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.2" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.1" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.1.1" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E8.2.m2.4.4.4.4.2.4" xref="S4.E8.2.m2.4.4.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E8.2.m2.3.3.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.4.4.4.4.2.4.1" xref="S4.E8.2.m2.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.2.m2.4.4.4.4.2.2" xref="S4.E8.2.m2.4.4.4.4.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.1.3" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.5.5.5.5" xref="S4.E8.2.m2.5.5.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m2.6.6.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S4.E8.2.m2.12.12.12" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.12.12.12.8" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.8.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.12.12.12.7" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.7.cmml">−</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.cmml"><msub id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.3" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.3.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.3.2" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E8.2.m2.8.8.8.2.2.4" xref="S4.E8.2.m2.8.8.8.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.7.7.7.1.1.1" xref="S4.E8.2.m2.7.7.7.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.8.8.8.2.2.4.1" xref="S4.E8.2.m2.8.8.8.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.2.m2.8.8.8.2.2.2" xref="S4.E8.2.m2.8.8.8.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.2" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.1" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.1.1" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.1.1.2" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E8.2.m2.10.10.10.4.2.4" xref="S4.E8.2.m2.10.10.10.4.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.9.9.9.3.1.1" xref="S4.E8.2.m2.9.9.9.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.10.10.10.4.2.4.1" xref="S4.E8.2.m2.10.10.10.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.2.m2.10.10.10.4.2.2" xref="S4.E8.2.m2.10.10.10.4.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.1.3" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.11.11.11.5" xref="S4.E8.2.m2.11.11.11.5.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m2.12.12.12.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.27.27" mathvariant="normal" xref="S4.E8.2.m2.27.27.cmml">…</mi><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.5" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.26.26" xref="S4.E8.2.m2.26.26.cmml">ln</mi><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2a" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E8.2.m2.24.24" xref="S4.E8.2.m2.24.24.cmml"><mfrac id="S4.E8.2.m2.24.24a" xref="S4.E8.2.m2.24.24.cmml"><mrow id="S4.E8.2.m2.18.18.6" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.18.18.6.8" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.8.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.18.18.6.7" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.7.cmml">+</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.cmml"><msub id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.3" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.3.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.3.2" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E8.2.m2.14.14.2.2.2.4" xref="S4.E8.2.m2.14.14.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.13.13.1.1.1.1" xref="S4.E8.2.m2.13.13.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.14.14.2.2.2.4.1" xref="S4.E8.2.m2.14.14.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.14.14.2.2.2.2" xref="S4.E8.2.m2.14.14.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.2" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.1" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.1.1" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E8.2.m2.16.16.4.4.2.4" xref="S4.E8.2.m2.16.16.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.15.15.3.3.1.1" xref="S4.E8.2.m2.15.15.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.16.16.4.4.2.4.1" xref="S4.E8.2.m2.16.16.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.16.16.4.4.2.2" xref="S4.E8.2.m2.16.16.4.4.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.1.3" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.17.17.5.5" xref="S4.E8.2.m2.17.17.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m2.18.18.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S4.E8.2.m2.24.24.12" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.24.24.12.8" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.8.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.24.24.12.7" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.7.cmml">−</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.cmml"><msub id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.3" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.3.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.3.2" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E8.2.m2.20.20.8.2.2.4" xref="S4.E8.2.m2.20.20.8.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.19.19.7.1.1.1" xref="S4.E8.2.m2.19.19.7.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.20.20.8.2.2.4.1" xref="S4.E8.2.m2.20.20.8.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.20.20.8.2.2.2" xref="S4.E8.2.m2.20.20.8.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.2" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.1" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.1.1" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.1.1.2" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E8.2.m2.22.22.10.4.2.4" xref="S4.E8.2.m2.22.22.10.4.2.3.cmml"><mn id="S4.E8.2.m2.21.21.9.3.1.1" xref="S4.E8.2.m2.21.21.9.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.2.m2.22.22.10.4.2.4.1" xref="S4.E8.2.m2.22.22.10.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.22.22.10.4.2.2" xref="S4.E8.2.m2.22.22.10.4.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.1.3" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E8.2.m2.23.23.11.5" xref="S4.E8.2.m2.23.23.11.5.cmml">t</mi><mo id="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E8.2.m2.24.24.12.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.6" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.4" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><mo id="S4.E8.2.m2.28.28.1.2" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E8.2.m2.28b"><apply id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.cmml" xref="S4.E8.2.m2.28.28.1"><eq id="S4.E8.2.m2.28.28.1.1.3.cmml" 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ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E8.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\xi_{1}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E8.3.m1.2"><semantics id="S4.E8.3.m1.2a"><mrow id="S4.E8.3.m1.2.2" xref="S4.E8.3.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.E8.3.m1.2.2.3" xref="S4.E8.3.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E8.3.m1.2.2.3.2" xref="S4.E8.3.m1.2.2.3.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.E8.3.m1.2.2.3.3" xref="S4.E8.3.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E8.3.m1.2.2.2" xref="S4.E8.3.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.3.m1.2.2.1.1" xref="S4.E8.3.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E8.3.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.3.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E8.3.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E8.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E8.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E8.3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E8.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E8.3.m1.2.2.1.1.3" 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start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8c)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.10">where, <math alttext="\gamma_{1,s}:=[\gamma_{1,1,U}+\gamma_{1,1,L},\ldots,\gamma_{1,n,U}+\gamma_{1,n% ,L}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.8.m1.17"><semantics id="S4.p2.8.m1.17a"><mrow id="S4.p2.8.m1.17.17" xref="S4.p2.8.m1.17.17.cmml"><msub id="S4.p2.8.m1.17.17.4" xref="S4.p2.8.m1.17.17.4.cmml"><mi id="S4.p2.8.m1.17.17.4.2" xref="S4.p2.8.m1.17.17.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.8.m1.2.2.2.4" xref="S4.p2.8.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.p2.8.m1.1.1.1.1" xref="S4.p2.8.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.8.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.p2.8.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.8.m1.2.2.2.2" xref="S4.p2.8.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.8.m1.17.17.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.p2.8.m1.17.17.3.cmml">:=</mo><msup id="S4.p2.8.m1.17.17.2" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.cmml"><mrow id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.8.m1.5.5.3.5" xref="S4.p2.8.m1.5.5.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.8.m1.3.3.1.1" xref="S4.p2.8.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.8.m1.5.5.3.5.1" xref="S4.p2.8.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p2.8.m1.4.4.2.2" xref="S4.p2.8.m1.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.8.m1.5.5.3.5.2" xref="S4.p2.8.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.8.m1.5.5.3.3" xref="S4.p2.8.m1.5.5.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.1" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.3" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.8.m1.8.8.3.5" xref="S4.p2.8.m1.8.8.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.8.m1.6.6.1.1" xref="S4.p2.8.m1.6.6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.8.m1.8.8.3.5.1" xref="S4.p2.8.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p2.8.m1.7.7.2.2" xref="S4.p2.8.m1.7.7.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.8.m1.8.8.3.5.2" xref="S4.p2.8.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.8.m1.8.8.3.3" xref="S4.p2.8.m1.8.8.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.4" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.8.m1.15.15" mathvariant="normal" xref="S4.p2.8.m1.15.15.cmml">…</mi><mo id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.5" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.8.m1.11.11.3.5" xref="S4.p2.8.m1.11.11.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.8.m1.9.9.1.1" xref="S4.p2.8.m1.9.9.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.8.m1.11.11.3.5.1" xref="S4.p2.8.m1.11.11.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.8.m1.10.10.2.2" xref="S4.p2.8.m1.10.10.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p2.8.m1.11.11.3.5.2" xref="S4.p2.8.m1.11.11.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.8.m1.11.11.3.3" xref="S4.p2.8.m1.11.11.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.1" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3.2" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.8.m1.14.14.3.5" xref="S4.p2.8.m1.14.14.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.8.m1.12.12.1.1" xref="S4.p2.8.m1.12.12.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.8.m1.14.14.3.5.1" xref="S4.p2.8.m1.14.14.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.8.m1.13.13.2.2" xref="S4.p2.8.m1.13.13.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p2.8.m1.14.14.3.5.2" xref="S4.p2.8.m1.14.14.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.8.m1.14.14.3.3" xref="S4.p2.8.m1.14.14.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.p2.8.m1.17.17.2.4" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.8.m1.17b"><apply id="S4.p2.8.m1.17.17.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17"><csymbol cd="latexml" id="S4.p2.8.m1.17.17.3.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.3">assign</csymbol><apply id="S4.p2.8.m1.17.17.4.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.8.m1.17.17.4.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.8.m1.17.17.4.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.4.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.8.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.p2.8.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.8.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.8.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S4.p2.8.m1.17.17.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.8.m1.17.17.2.3.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2">superscript</csymbol><list id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2"><apply id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1"><plus id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.16.16.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.8.m1.5.5.3.4.cmml" 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id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.1"></plus><apply id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.8.m1.11.11.3.4.cmml" xref="S4.p2.8.m1.11.11.3.5"><cn id="S4.p2.8.m1.9.9.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.8.m1.9.9.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.8.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.10.10.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.p2.8.m1.11.11.3.3.cmml" xref="S4.p2.8.m1.11.11.3.3">𝑈</ci></list></apply><apply id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.8.m1.17.17.2.2.2.2.3.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.8.m1.14.14.3.4.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{1,d}:=\textsf{diag}(\gamma_{1,1,d},\ldots,\gamma_{1,n,d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.9.m2.11"><semantics id="S4.p2.9.m2.11a"><mrow id="S4.p2.9.m2.11.11" xref="S4.p2.9.m2.11.11.cmml"><msub id="S4.p2.9.m2.11.11.4" xref="S4.p2.9.m2.11.11.4.cmml"><mi id="S4.p2.9.m2.11.11.4.2" xref="S4.p2.9.m2.11.11.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.9.m2.2.2.2.4" xref="S4.p2.9.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.p2.9.m2.1.1.1.1" xref="S4.p2.9.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.9.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.p2.9.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.9.m2.2.2.2.2" xref="S4.p2.9.m2.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.9.m2.11.11.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.p2.9.m2.11.11.3.cmml">:=</mo><mrow id="S4.p2.9.m2.11.11.2" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_sans-serif" id="S4.p2.9.m2.11.11.2.4" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.4a.cmml">diag</mtext><mo id="S4.p2.9.m2.11.11.2.3" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1" xref="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.9.m2.5.5.3.5" xref="S4.p2.9.m2.5.5.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.9.m2.3.3.1.1" xref="S4.p2.9.m2.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.9.m2.5.5.3.5.1" xref="S4.p2.9.m2.5.5.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p2.9.m2.4.4.2.2" xref="S4.p2.9.m2.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.9.m2.5.5.3.5.2" xref="S4.p2.9.m2.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.9.m2.5.5.3.3" xref="S4.p2.9.m2.5.5.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.4" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.9.m2.9.9" mathvariant="normal" xref="S4.p2.9.m2.9.9.cmml">…</mi><mo id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.5" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2.2" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.9.m2.8.8.3.5" xref="S4.p2.9.m2.8.8.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.9.m2.6.6.1.1" xref="S4.p2.9.m2.6.6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.9.m2.8.8.3.5.1" xref="S4.p2.9.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.9.m2.7.7.2.2" xref="S4.p2.9.m2.7.7.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p2.9.m2.8.8.3.5.2" xref="S4.p2.9.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.9.m2.8.8.3.3" xref="S4.p2.9.m2.8.8.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.9.m2.11b"><apply id="S4.p2.9.m2.11.11.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11"><csymbol cd="latexml" id="S4.p2.9.m2.11.11.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.3">assign</csymbol><apply id="S4.p2.9.m2.11.11.4.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.9.m2.11.11.4.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.9.m2.11.11.4.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.4.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.9.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.2.2.2.4"><cn id="S4.p2.9.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.9.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.9.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.p2.9.m2.11.11.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2"><times id="S4.p2.9.m2.11.11.2.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.3"></times><ci id="S4.p2.9.m2.11.11.2.4a.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.4"><mtext class="ltx_mathvariant_sans-serif" id="S4.p2.9.m2.11.11.2.4.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.4">diag</mtext></ci><vector id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2"><apply id="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.10.10.1.1.1.1.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.9.m2.5.5.3.4.cmml" xref="S4.p2.9.m2.5.5.3.5"><cn id="S4.p2.9.m2.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.9.m2.3.3.1.1">1</cn><cn id="S4.p2.9.m2.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p2.9.m2.4.4.2.2">1</cn><ci id="S4.p2.9.m2.5.5.3.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.5.5.3.3">𝑑</ci></list></apply><ci id="S4.p2.9.m2.9.9.cmml" xref="S4.p2.9.m2.9.9">…</ci><apply id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.11.11.2.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.9.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S4.p2.9.m2.8.8.3.5"><cn id="S4.p2.9.m2.6.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.9.m2.6.6.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.9.m2.7.7.2.2.cmml" xref="S4.p2.9.m2.7.7.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.p2.9.m2.8.8.3.3.cmml" xref="S4.p2.9.m2.8.8.3.3">𝑑</ci></list></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.9.m2.11c">\gamma_{1,d}:=\textsf{diag}(\gamma_{1,1,d},\ldots,\gamma_{1,n,d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.9.m2.11d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT := diag ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_n , italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\gamma_{1,i,d}=\gamma_{1,i,U}-\gamma_{1,i,L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.10.m3.9"><semantics id="S4.p2.10.m3.9a"><mrow id="S4.p2.10.m3.9.10" xref="S4.p2.10.m3.9.10.cmml"><msub id="S4.p2.10.m3.9.10.2" xref="S4.p2.10.m3.9.10.2.cmml"><mi id="S4.p2.10.m3.9.10.2.2" xref="S4.p2.10.m3.9.10.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.10.m3.3.3.3.5" xref="S4.p2.10.m3.3.3.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.10.m3.1.1.1.1" 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xref="S4.p2.10.m3.6.6.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.10.m3.9.10.3.1" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.1.cmml">−</mo><msub id="S4.p2.10.m3.9.10.3.3" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.3.cmml"><mi id="S4.p2.10.m3.9.10.3.3.2" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p2.10.m3.9.9.3.5" xref="S4.p2.10.m3.9.9.3.4.cmml"><mn id="S4.p2.10.m3.7.7.1.1" xref="S4.p2.10.m3.7.7.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.10.m3.9.9.3.5.1" xref="S4.p2.10.m3.9.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.10.m3.8.8.2.2" xref="S4.p2.10.m3.8.8.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p2.10.m3.9.9.3.5.2" xref="S4.p2.10.m3.9.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.10.m3.9.9.3.3" xref="S4.p2.10.m3.9.9.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.10.m3.9b"><apply id="S4.p2.10.m3.9.10.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10"><eq id="S4.p2.10.m3.9.10.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.1"></eq><apply id="S4.p2.10.m3.9.10.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.10.m3.9.10.2.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.10.m3.9.10.2.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.2.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.10.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.p2.10.m3.3.3.3.5"><cn id="S4.p2.10.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.10.m3.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.10.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.p2.10.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.p2.10.m3.9.10.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3"><minus id="S4.p2.10.m3.9.10.3.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.1"></minus><apply id="S4.p2.10.m3.9.10.3.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.10.m3.9.10.3.2.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.10.m3.9.10.3.2.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.2.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.10.m3.6.6.3.4.cmml" xref="S4.p2.10.m3.6.6.3.5"><cn id="S4.p2.10.m3.4.4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.10.m3.4.4.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.10.m3.5.5.2.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.5.5.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.p2.10.m3.6.6.3.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.6.6.3.3">𝑈</ci></list></apply><apply id="S4.p2.10.m3.9.10.3.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.10.m3.9.10.3.3.1.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.10.m3.9.10.3.3.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.10.3.3.2">𝛾</ci><list id="S4.p2.10.m3.9.9.3.4.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.9.3.5"><cn id="S4.p2.10.m3.7.7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.10.m3.7.7.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.10.m3.8.8.2.2.cmml" xref="S4.p2.10.m3.8.8.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.p2.10.m3.9.9.3.3.cmml" xref="S4.p2.10.m3.9.9.3.3">𝐿</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.10.m3.9c">\gamma_{1,i,d}=\gamma_{1,i,U}-\gamma_{1,i,L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.10.m3.9d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_d end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.1">The intermediate control input <math alttext="r_{2}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.p3.1.m1.2.2.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml">r</mi><mn id="S4.p3.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.2b"><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2"><times id="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.p3.1.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.2c">r_{2}(x_{1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> is given by:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="r_{2}(x_{1},t)=-\kappa_{1}\varepsilon_{1}(x_{1},t)\xi_{1}(x_{1},t),\kappa_{1}% \in{\mathbb{R}}^{+}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex1.m1.4"><semantics id="S4.Ex1.m1.4a"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.1"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.4" stretchy="false" 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lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex1.m1.4b"><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3"></times><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2">𝜅</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1"><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2">𝑡</ci></interval><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1"><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2"><in id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.1"></in><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝜅</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">ℝ</ci><plus id="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1.m1.4c">r_{2}(x_{1},t)=-\kappa_{1}\varepsilon_{1}(x_{1},t)\xi_{1}(x_{1},t),\kappa_{1}% \in{\mathbb{R}}^{+}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1.m1.4d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) = - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) , italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.8"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p4.1.1">Stage <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.1.1.m1.1"><semantics id="S4.p4.1.1.m1.1a"><mi id="S4.p4.1.1.m1.1.1" xref="S4.p4.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.1.1.m1.1b"><ci id="S4.p4.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math></span> (<math alttext="k\in[2;N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.2.m1.2"><semantics id="S4.p4.2.m1.2a"><mrow id="S4.p4.2.m1.2.3" xref="S4.p4.2.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.2.m1.2.3.2" xref="S4.p4.2.m1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p4.2.m1.2.3.1" xref="S4.p4.2.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p4.2.m1.2.3.3.2" xref="S4.p4.2.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p4.2.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m1.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.p4.2.m1.1.1" xref="S4.p4.2.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.p4.2.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.p4.2.m1.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.p4.2.m1.2.2" xref="S4.p4.2.m1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p4.2.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m1.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.2.m1.2b"><apply id="S4.p4.2.m1.2.3.cmml" xref="S4.p4.2.m1.2.3"><in id="S4.p4.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.2.m1.2.3.1"></in><ci id="S4.p4.2.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.2.m1.2.3.2">𝑘</ci><list id="S4.p4.2.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p4.2.m1.2.3.3.2"><cn id="S4.p4.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p4.2.m1.1.1">2</cn><ci id="S4.p4.2.m1.2.2.cmml" xref="S4.p4.2.m1.2.2">𝑁</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.2.m1.2c">k\in[2;N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.2.m1.2d">italic_k ∈ [ 2 ; italic_N ]</annotation></semantics></math>): Given the reference vector <math alttext="r_{k}(z_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.3.m2.2"><semantics id="S4.p4.3.m2.2a"><mrow id="S4.p4.3.m2.2.2" xref="S4.p4.3.m2.2.2.cmml"><msub id="S4.p4.3.m2.2.2.3" xref="S4.p4.3.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.3.m2.2.2.3.2" xref="S4.p4.3.m2.2.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S4.p4.3.m2.2.2.3.3" xref="S4.p4.3.m2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p4.3.m2.2.2.2" xref="S4.p4.3.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p4.3.m2.1.1" xref="S4.p4.3.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.3.m2.2b"><apply id="S4.p4.3.m2.2.2.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2"><times id="S4.p4.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.2"></times><apply id="S4.p4.3.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.3.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.3.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.p4.3.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p4.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.1"><apply id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.3.m2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m2.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.3.m2.2c">r_{k}(z_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.3.m2.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math>, we aim to design the subsequent intermediate control <math alttext="r_{k+1}(z_{k+1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.4.m3.2"><semantics id="S4.p4.4.m3.2a"><mrow id="S4.p4.4.m3.2.2" xref="S4.p4.4.m3.2.2.cmml"><msub id="S4.p4.4.m3.2.2.3" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.4.m3.2.2.3.2" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.p4.4.m3.2.2.3.3" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.2" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.1" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.3" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.p4.4.m3.2.2.2" xref="S4.p4.4.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p4.4.m3.1.1" xref="S4.p4.4.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.4.m3.2b"><apply id="S4.p4.4.m3.2.2.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2"><times id="S4.p4.4.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.2"></times><apply id="S4.p4.4.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.4.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.4.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.2">𝑟</ci><apply id="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.3"><plus id="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.4.m3.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S4.p4.4.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1"><apply id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3"><plus id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.4.m3.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.p4.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m3.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.4.m3.2c">r_{k+1}(z_{k+1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.4.m3.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> for the dynamics of <math alttext="x_{k+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.5.m4.1"><semantics id="S4.p4.5.m4.1a"><msub id="S4.p4.5.m4.1.1" xref="S4.p4.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.5.m4.1.1.2" xref="S4.p4.5.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.p4.5.m4.1.1.3" xref="S4.p4.5.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p4.5.m4.1.1.3.2" xref="S4.p4.5.m4.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p4.5.m4.1.1.3.1" xref="S4.p4.5.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p4.5.m4.1.1.3.3" xref="S4.p4.5.m4.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.5.m4.1b"><apply id="S4.p4.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.p4.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.5.m4.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.p4.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.5.m4.1.1.3"><plus id="S4.p4.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p4.5.m4.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.p4.5.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p4.5.m4.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.p4.5.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.5.m4.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.5.m4.1c">x_{k+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.5.m4.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, ensuring that <math alttext="x_{k+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.6.m5.1"><semantics id="S4.p4.6.m5.1a"><msub id="S4.p4.6.m5.1.1" xref="S4.p4.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.6.m5.1.1.2" xref="S4.p4.6.m5.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.p4.6.m5.1.1.3" xref="S4.p4.6.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p4.6.m5.1.1.3.2" xref="S4.p4.6.m5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p4.6.m5.1.1.3.1" xref="S4.p4.6.m5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p4.6.m5.1.1.3.3" xref="S4.p4.6.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.6.m5.1b"><apply id="S4.p4.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.p4.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.6.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.6.m5.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.p4.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.6.m5.1.1.3"><plus id="S4.p4.6.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p4.6.m5.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.p4.6.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p4.6.m5.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.p4.6.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.6.m5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.6.m5.1c">x_{k+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.6.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> tracks the trajectory determined by <math alttext="r_{k}(z_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.7.m6.2"><semantics id="S4.p4.7.m6.2a"><mrow id="S4.p4.7.m6.2.2" xref="S4.p4.7.m6.2.2.cmml"><msub id="S4.p4.7.m6.2.2.3" xref="S4.p4.7.m6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.7.m6.2.2.3.2" xref="S4.p4.7.m6.2.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S4.p4.7.m6.2.2.3.3" xref="S4.p4.7.m6.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p4.7.m6.2.2.2" xref="S4.p4.7.m6.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.3" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p4.7.m6.1.1" xref="S4.p4.7.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.7.m6.2b"><apply id="S4.p4.7.m6.2.2.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2"><times id="S4.p4.7.m6.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.2"></times><apply id="S4.p4.7.m6.2.2.3.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.7.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.7.m6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.p4.7.m6.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p4.7.m6.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.1"><apply id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.7.m6.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.p4.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.p4.7.m6.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.7.m6.2c">r_{k}(z_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.7.m6.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math>. Here, <math alttext="z_{k}=[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k-1}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.8.m7.4"><semantics id="S4.p4.8.m7.4a"><mrow id="S4.p4.8.m7.4.4" xref="S4.p4.8.m7.4.4.cmml"><msub id="S4.p4.8.m7.4.4.5" xref="S4.p4.8.m7.4.4.5.cmml"><mi id="S4.p4.8.m7.4.4.5.2" xref="S4.p4.8.m7.4.4.5.2.cmml">z</mi><mi id="S4.p4.8.m7.4.4.5.3" xref="S4.p4.8.m7.4.4.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p4.8.m7.4.4.4" xref="S4.p4.8.m7.4.4.4.cmml">=</mo><msup id="S4.p4.8.m7.4.4.3" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.4.cmml">[</mo><msub id="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.5" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2" xref="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.2" xref="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.3" xref="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.6" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p4.8.m7.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p4.8.m7.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.7" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.2" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.2" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.1" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.3" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.8" stretchy="false" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.p4.8.m7.4.4.3.5" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.5.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.8.m7.4b"><apply id="S4.p4.8.m7.4.4.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4"><eq id="S4.p4.8.m7.4.4.4.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.4"></eq><apply id="S4.p4.8.m7.4.4.5.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.8.m7.4.4.5.1.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.8.m7.4.4.5.2.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.5.2">𝑧</ci><ci id="S4.p4.8.m7.4.4.5.3.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.5.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.p4.8.m7.4.4.3.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.8.m7.4.4.3.4.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3">superscript</csymbol><list id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.4.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3"><apply id="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.8.m7.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.8.m7.3.3.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.p4.8.m7.1.1.cmml" xref="S4.p4.8.m7.1.1">…</ci><apply id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3"><minus id="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p4.8.m7.4.4.3.3.3.3.3.1"></minus><ci 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alttext="\gamma_{k,i}(t)=(p_{k,i}-q_{k,i})e^{-\mu_{k,i}t}+q_{k,i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.1.m1.12"><semantics id="S4.p5.1.m1.12a"><mrow id="S4.p5.1.m1.12.12" xref="S4.p5.1.m1.12.12.cmml"><mrow id="S4.p5.1.m1.12.12.3" xref="S4.p5.1.m1.12.12.3.cmml"><msub id="S4.p5.1.m1.12.12.3.2" xref="S4.p5.1.m1.12.12.3.2.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.12.12.3.2.2" xref="S4.p5.1.m1.12.12.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p5.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p5.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.p5.1.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.p5.1.m1.12.12.3.1" xref="S4.p5.1.m1.12.12.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.1.m1.12.12.3.3.2" xref="S4.p5.1.m1.12.12.3.cmml"><mo id="S4.p5.1.m1.12.12.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p5.1.m1.12.12.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p5.1.m1.11.11" xref="S4.p5.1.m1.11.11.cmml">t</mi><mo id="S4.p5.1.m1.12.12.3.3.2.2" 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id="S4.p5.1.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.10.10.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.1.m1.12c">\gamma_{k,i}(t)=(p_{k,i}-q_{k,i})e^{-\mu_{k,i}t}+q_{k,i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.1.m1.12d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, such that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx10"> <tbody id="S4.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\gamma_{k,i}(t)\leq(x_{k,i}-r_{k,i})\leq\gamma_{k,i}(t)\ \ % \forall(t,i)\in{\mathbb{R}}_{0}^{+}\times[1;n]." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex2.m1.15"><semantics id="S4.Ex2.m1.15a"><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1"><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.9.9" xref="S4.Ex2.m1.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.Ex2.m1.6.6.2.4" xref="S4.Ex2.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex2.m1.6.6.2.4.1" xref="S4.Ex2.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2.m1.6.6.2.2" xref="S4.Ex2.m1.6.6.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.cmml"><msub id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Ex2.m1.8.8.2.4" xref="S4.Ex2.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.7.7.1.1" xref="S4.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex2.m1.8.8.2.4.1" xref="S4.Ex2.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2.m1.8.8.2.2" xref="S4.Ex2.m1.8.8.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.1" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.3.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.10.10" xref="S4.Ex2.m1.10.10.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.3" width="1.167em" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.11.11" xref="S4.Ex2.m1.11.11.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2.m1.12.12" xref="S4.Ex2.m1.12.12.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex2.m1.13.13" xref="S4.Ex2.m1.13.13.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.Ex2.m1.14.14" xref="S4.Ex2.m1.14.14.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex2.m1.15b"><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1"><and id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1"><leq id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.4"></leq><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S4.Ex2.m1.9.9.cmml" xref="S4.Ex2.m1.9.9">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><list id="S4.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Ex2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><list id="S4.Ex2.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.6.6.2.4"><ci id="S4.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.5.5.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Ex2.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1"><leq id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.1.cmml" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6"><times id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.1"></times><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.1.1.6.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Ex2.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.8.8.2.4"><ci id="S4.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.7.7.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Ex2.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.8.8.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S4.Ex2.m1.10.10.cmml" xref="S4.Ex2.m1.10.10">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2"><in id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.1"></in><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex2.m1.11.11.cmml" xref="S4.Ex2.m1.11.11">𝑡</ci><ci id="S4.Ex2.m1.12.12.cmml" xref="S4.Ex2.m1.12.12">𝑖</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.2">ℝ</ci><cn id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.2.3">0</cn></apply><plus id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.2.3"></plus></apply><list id="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.15.15.1.1.2.2.3.3.2"><cn id="S4.Ex2.m1.13.13.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.13.13">1</cn><ci id="S4.Ex2.m1.14.14.cmml" xref="S4.Ex2.m1.14.14">𝑛</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex2.m1.15c">\displaystyle-\gamma_{k,i}(t)\leq(x_{k,i}-r_{k,i})\leq\gamma_{k,i}(t)\ \ % \forall(t,i)\in{\mathbb{R}}_{0}^{+}\times[1;n].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex2.m1.15d">- italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ≤ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∀ ( italic_t , italic_i ) ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × [ 1 ; italic_n ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p5.5">Here, <math alttext="\mu_{k,i}\in{\mathbb{R}}_{0}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.2.m1.2"><semantics id="S4.p5.2.m1.2a"><mrow id="S4.p5.2.m1.2.3" xref="S4.p5.2.m1.2.3.cmml"><msub id="S4.p5.2.m1.2.3.2" xref="S4.p5.2.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p5.2.m1.2.3.2.2" xref="S4.p5.2.m1.2.3.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S4.p5.2.m1.2.2.2.4" xref="S4.p5.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.2.m1.1.1.1.1" xref="S4.p5.2.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p5.2.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.p5.2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.2.m1.2.2.2.2" xref="S4.p5.2.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.p5.2.m1.2.3.1" xref="S4.p5.2.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S4.p5.2.m1.2.3.3" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.3" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.3.cmml">0</mn><mo id="S4.p5.2.m1.2.3.3.3" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.2.m1.2b"><apply id="S4.p5.2.m1.2.3.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3"><in id="S4.p5.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.1"></in><apply id="S4.p5.2.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.2.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.2.2">𝜇</ci><list id="S4.p5.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.p5.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p5.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S4.p5.2.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.2">ℝ</ci><cn id="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3.2.3">0</cn></apply><plus id="S4.p5.2.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.p5.2.m1.2.3.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.2.m1.2c">\mu_{k,i}\in{\mathbb{R}}_{0}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.2.m1.2d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="p_{k,i},q_{k,i}\in{\mathbb{R}}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.3.m2.6"><semantics id="S4.p5.3.m2.6a"><mrow id="S4.p5.3.m2.6.6" xref="S4.p5.3.m2.6.6.cmml"><mrow id="S4.p5.3.m2.6.6.2.2" xref="S4.p5.3.m2.6.6.2.3.cmml"><msub id="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1" xref="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.p5.3.m2.2.2.2.4" xref="S4.p5.3.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.3.m2.1.1.1.1" xref="S4.p5.3.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p5.3.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.p5.3.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.3.m2.2.2.2.2" xref="S4.p5.3.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.3" xref="S4.p5.3.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2" xref="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2.2" xref="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S4.p5.3.m2.4.4.2.4" xref="S4.p5.3.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.3.m2.3.3.1.1" xref="S4.p5.3.m2.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p5.3.m2.4.4.2.4.1" xref="S4.p5.3.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.3.m2.4.4.2.2" xref="S4.p5.3.m2.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.p5.3.m2.6.6.3" xref="S4.p5.3.m2.6.6.3.cmml">∈</mo><msup id="S4.p5.3.m2.6.6.4" xref="S4.p5.3.m2.6.6.4.cmml"><mi id="S4.p5.3.m2.6.6.4.2" xref="S4.p5.3.m2.6.6.4.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.p5.3.m2.6.6.4.3" xref="S4.p5.3.m2.6.6.4.3.cmml">+</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.3.m2.6b"><apply id="S4.p5.3.m2.6.6.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6"><in id="S4.p5.3.m2.6.6.3.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.3"></in><list id="S4.p5.3.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.2.2"><apply id="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.3.m2.5.5.1.1.1.2">𝑝</ci><list id="S4.p5.3.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p5.3.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.p5.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m2.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p5.3.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.2.2.2.2">𝑞</ci><list id="S4.p5.3.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.p5.3.m2.4.4.2.4"><ci id="S4.p5.3.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m2.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p5.3.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m2.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply></list><apply id="S4.p5.3.m2.6.6.4.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m2.6.6.4.1.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.4">superscript</csymbol><ci id="S4.p5.3.m2.6.6.4.2.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.4.2">ℝ</ci><plus id="S4.p5.3.m2.6.6.4.3.cmml" xref="S4.p5.3.m2.6.6.4.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.3.m2.6c">p_{k,i},q_{k,i}\in{\mathbb{R}}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.3.m2.6d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="p_{k,i}>q_{k,i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.4.m3.4"><semantics id="S4.p5.4.m3.4a"><mrow id="S4.p5.4.m3.4.5" xref="S4.p5.4.m3.4.5.cmml"><msub id="S4.p5.4.m3.4.5.2" xref="S4.p5.4.m3.4.5.2.cmml"><mi id="S4.p5.4.m3.4.5.2.2" xref="S4.p5.4.m3.4.5.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.p5.4.m3.2.2.2.4" xref="S4.p5.4.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.4.m3.1.1.1.1" xref="S4.p5.4.m3.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p5.4.m3.2.2.2.4.1" xref="S4.p5.4.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.4.m3.2.2.2.2" xref="S4.p5.4.m3.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.p5.4.m3.4.5.1" xref="S4.p5.4.m3.4.5.1.cmml">></mo><msub id="S4.p5.4.m3.4.5.3" xref="S4.p5.4.m3.4.5.3.cmml"><mi id="S4.p5.4.m3.4.5.3.2" xref="S4.p5.4.m3.4.5.3.2.cmml">q</mi><mrow id="S4.p5.4.m3.4.4.2.4" xref="S4.p5.4.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.4.m3.3.3.1.1" xref="S4.p5.4.m3.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p5.4.m3.4.4.2.4.1" xref="S4.p5.4.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.4.m3.4.4.2.2" xref="S4.p5.4.m3.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.4.m3.4b"><apply id="S4.p5.4.m3.4.5.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.5"><gt id="S4.p5.4.m3.4.5.1.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.5.1"></gt><apply id="S4.p5.4.m3.4.5.2.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.4.m3.4.5.2.1.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.4.m3.4.5.2.2.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.5.2.2">𝑝</ci><list id="S4.p5.4.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p5.4.m3.2.2.2.4"><ci id="S4.p5.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m3.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p5.4.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.4.m3.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S4.p5.4.m3.4.5.3.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.4.m3.4.5.3.1.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.4.m3.4.5.3.2.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.5.3.2">𝑞</ci><list id="S4.p5.4.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.4.2.4"><ci id="S4.p5.4.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m3.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p5.4.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S4.p5.4.m3.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.4.m3.4c">p_{k,i}>q_{k,i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.4.m3.4d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT > italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="|x_{k,i}(t=0)-r_{k,i}(t=0)|\leq p_{k,i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.5.m4.7"><semantics id="S4.p5.5.m4.7a"><mrow id="S4.p5.5.m4.7.7" 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id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.3" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3.2" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.p5.5.m4.4.4.2.4" xref="S4.p5.5.m4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.5.m4.3.3.1.1" xref="S4.p5.5.m4.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p5.5.m4.4.4.2.4.1" xref="S4.p5.5.m4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.5.m4.4.4.2.2" xref="S4.p5.5.m4.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.2" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.p5.5.m4.7.7.2" xref="S4.p5.5.m4.7.7.2.cmml">≤</mo><msub id="S4.p5.5.m4.7.7.3" 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id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><list id="S4.p5.5.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p5.5.m4.2.2.2.4"><ci id="S4.p5.5.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p5.5.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2"><times id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.3.2">𝑟</ci><list id="S4.p5.5.m4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.p5.5.m4.4.4.2.4"><ci id="S4.p5.5.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p5.5.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1"><eq id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.5.m4.7.7.1.1.1.2.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.p5.5.m4.7.7.3.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.5.m4.7.7.3.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.5.m4.7.7.3.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.7.7.3.2">𝑝</ci><list id="S4.p5.5.m4.6.6.2.3.cmml" xref="S4.p5.5.m4.6.6.2.4"><ci id="S4.p5.5.m4.5.5.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m4.5.5.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p5.5.m4.6.6.2.2.cmml" xref="S4.p5.5.m4.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.5.m4.7c">|x_{k,i}(t=0)-r_{k,i}(t=0)|\leq p_{k,i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.5.m4.7d">| italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t = 0 ) - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t = 0 ) | ≤ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.3">Now define the normalized error <math alttext="e_{k}(x_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.1.m1.2"><semantics id="S4.p6.1.m1.2a"><mrow id="S4.p6.1.m1.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.p6.1.m1.2.2.3" xref="S4.p6.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.p6.1.m1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.p6.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.p6.1.m1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p6.1.m1.2.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.1.m1.2b"><apply id="S4.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2"><times id="S4.p6.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.p6.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.p6.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p6.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.1.m1.2c">e_{k}(x_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.1.m1.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math>, the transformed error <math alttext="\varepsilon_{k}(x_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.2.m2.2"><semantics id="S4.p6.2.m2.2a"><mrow id="S4.p6.2.m2.2.2" xref="S4.p6.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S4.p6.2.m2.2.2.3" xref="S4.p6.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.2.2.3.2" xref="S4.p6.2.m2.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.p6.2.m2.2.2.3.3" xref="S4.p6.2.m2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p6.2.m2.2.2.2" xref="S4.p6.2.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.2.m2.1.1" xref="S4.p6.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.2.m2.2b"><apply id="S4.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2"><times id="S4.p6.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.2"></times><apply id="S4.p6.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.3.2">𝜀</ci><ci id="S4.p6.2.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p6.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.1"><apply id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.2.m2.2c">\varepsilon_{k}(x_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.2.m2.2d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> and the diagonal matrix <math alttext="\xi_{k}(x_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.3.m3.2"><semantics id="S4.p6.3.m3.2a"><mrow id="S4.p6.3.m3.2.2" xref="S4.p6.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S4.p6.3.m3.2.2.3" xref="S4.p6.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p6.3.m3.2.2.3.2" xref="S4.p6.3.m3.2.2.3.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.p6.3.m3.2.2.3.3" xref="S4.p6.3.m3.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p6.3.m3.2.2.2" xref="S4.p6.3.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.3.m3.1.1" xref="S4.p6.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.3.m3.2b"><apply id="S4.p6.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2"><times id="S4.p6.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.2"></times><apply id="S4.p6.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.3.2">𝜉</ci><ci id="S4.p6.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p6.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.1"><apply id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.3.m3.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p6.3.m3.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.3.m3.2c">\xi_{k}(x_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.3.m3.2d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S4.E9"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx11"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E9.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle e_{k}(x_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E9.1.m1.2"><semantics id="S4.E9.1.m1.2a"><mrow id="S4.E9.1.m1.2.2" xref="S4.E9.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.E9.1.m1.2.2.3" xref="S4.E9.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.E9.1.m1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.E9.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.E9.1.m1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E9.1.m1.2.2.2" xref="S4.E9.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.1.m1.1.1" xref="S4.E9.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E9.1.m1.2b"><apply id="S4.E9.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2"><times id="S4.E9.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.E9.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.E9.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E9.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E9.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.E9.1.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E9.1.m1.2c">\displaystyle e_{k}(x_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E9.1.m1.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=[e_{k,1}(x_{k,1},t),\ldots,e_{k,n}(x_{k,n},t)]^{\top}=(\gamma_{k% ,d}(t))^{-1}\left(x_{k}-r_{k}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E9.1.m2.15"><semantics id="S4.E9.1.m2.15a"><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.6" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.6.cmml"></mi><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.7" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.7.cmml">=</mo><msup id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E9.1.m2.2.2.2.4" xref="S4.E9.1.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.1.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.1.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.E9.1.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.1.m2.2.2.2.2" xref="S4.E9.1.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E9.1.m2.4.4.2.4" xref="S4.E9.1.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.3.3.1.1" xref="S4.E9.1.m2.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.1.m2.4.4.2.4.1" xref="S4.E9.1.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.1.m2.4.4.2.2" xref="S4.E9.1.m2.4.4.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.1.m2.11.11" xref="S4.E9.1.m2.11.11.cmml">t</mi><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.1.m2.13.13" mathvariant="normal" xref="S4.E9.1.m2.13.13.cmml">…</mi><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.5" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E9.1.m2.6.6.2.4" xref="S4.E9.1.m2.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.5.5.1.1" xref="S4.E9.1.m2.5.5.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.1.m2.6.6.2.4.1" xref="S4.E9.1.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.1.m2.6.6.2.2" xref="S4.E9.1.m2.6.6.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E9.1.m2.8.8.2.4" xref="S4.E9.1.m2.8.8.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.7.7.1.1" xref="S4.E9.1.m2.7.7.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.1.m2.8.8.2.4.1" xref="S4.E9.1.m2.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.1.m2.8.8.2.2" xref="S4.E9.1.m2.8.8.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.1.m2.12.12" xref="S4.E9.1.m2.12.12.cmml">t</mi><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.4" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.4.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.8" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.cmml"><msup id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.E9.1.m2.10.10.2.4" xref="S4.E9.1.m2.10.10.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.9.9.1.1" xref="S4.E9.1.m2.9.9.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.1.m2.10.10.2.4.1" xref="S4.E9.1.m2.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.1.m2.10.10.2.2" xref="S4.E9.1.m2.10.10.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E9.1.m2.14.14" xref="S4.E9.1.m2.14.14.cmml">t</mi><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.3.cmml"><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.3a" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.3.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.3.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.cmml"><msub id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.1" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.3" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E9.1.m2.15.15.1.2" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E9.1.m2.15b"><apply id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1"><and id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1a.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1"></and><apply id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1b.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1"><eq id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.7.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.7"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.6.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.6">absent</csymbol><apply id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2">superscript</csymbol><list id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2"><apply id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><list id="S4.E9.1.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E9.1.m2.4.4.2.4"><ci id="S4.E9.1.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E9.1.m2.3.3.1.1">𝑘</ci><cn id="S4.E9.1.m2.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.1.m2.4.4.2.2">1</cn></list></apply><ci id="S4.E9.1.m2.11.11.cmml" xref="S4.E9.1.m2.11.11">𝑡</ci></interval></apply><ci id="S4.E9.1.m2.13.13.cmml" xref="S4.E9.1.m2.13.13">…</ci><apply id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2"><times id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑒</ci><list id="S4.E9.1.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S4.E9.1.m2.6.6.2.4"><ci id="S4.E9.1.m2.5.5.1.1.cmml" 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xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E9.1.m2.15.15.1.1.4.2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E9.1.m2.15c">\displaystyle=[e_{k,1}(x_{k,1},t),\ldots,e_{k,n}(x_{k,n},t)]^{\top}=(\gamma_{k% ,d}(t))^{-1}\left(x_{k}-r_{k}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E9.1.m2.15d">= [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k , 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) , … , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E9.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\varepsilon_{k}(x_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E9.2.m1.2"><semantics id="S4.E9.2.m1.2a"><mrow id="S4.E9.2.m1.2.2" xref="S4.E9.2.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.E9.2.m1.2.2.3" xref="S4.E9.2.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m1.2.2.3.2" xref="S4.E9.2.m1.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.E9.2.m1.2.2.3.3" xref="S4.E9.2.m1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E9.2.m1.2.2.2" xref="S4.E9.2.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.2.m1.2.2.1.1" xref="S4.E9.2.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.2.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E9.2.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.2.m1.1.1" xref="S4.E9.2.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E9.2.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" 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id="S4.E9.2.m2.6.6.6.7" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.7.cmml">+</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.cmml"><msub id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.3" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.3.2" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E9.2.m2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E9.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.2.m2.2.2.2.2.2.4.1" xref="S4.E9.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.2" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.1" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.1.1" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E9.2.m2.4.4.4.4.2.4" xref="S4.E9.2.m2.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E9.2.m2.3.3.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.2.m2.4.4.4.4.2.4.1" xref="S4.E9.2.m2.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.2.m2.4.4.4.4.2.2" xref="S4.E9.2.m2.4.4.4.4.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.1.3" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.2.m2.5.5.5.5" xref="S4.E9.2.m2.5.5.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E9.2.m2.6.6.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S4.E9.2.m2.12.12.12" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.cmml"><mn id="S4.E9.2.m2.12.12.12.8" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.8.cmml">1</mn><mo id="S4.E9.2.m2.12.12.12.7" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.7.cmml">−</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.cmml"><msub id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.3" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.3.2" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E9.2.m2.8.8.8.2.2.4" xref="S4.E9.2.m2.8.8.8.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.7.7.7.1.1.1" xref="S4.E9.2.m2.7.7.7.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.2.m2.8.8.8.2.2.4.1" xref="S4.E9.2.m2.8.8.8.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.2.m2.8.8.8.2.2.2" xref="S4.E9.2.m2.8.8.8.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.2" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.1" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.1.1" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.1.1.2" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E9.2.m2.10.10.10.4.2.4" xref="S4.E9.2.m2.10.10.10.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.9.9.9.3.1.1" xref="S4.E9.2.m2.9.9.9.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.2.m2.10.10.10.4.2.4.1" xref="S4.E9.2.m2.10.10.10.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.2.m2.10.10.10.4.2.2" xref="S4.E9.2.m2.10.10.10.4.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.1.3" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.2.m2.11.11.11.5" xref="S4.E9.2.m2.11.11.11.5.cmml">t</mi><mo id="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E9.2.m2.12.12.12.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.2.m2.27.27" mathvariant="normal" xref="S4.E9.2.m2.27.27.cmml">…</mi><mo id="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.5" xref="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.26.26" xref="S4.E9.2.m2.26.26.cmml">ln</mi><mo id="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2a" xref="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E9.2.m2.28.28.1.1.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E9.2.m2.24.24" xref="S4.E9.2.m2.24.24.cmml"><mfrac id="S4.E9.2.m2.24.24a" xref="S4.E9.2.m2.24.24.cmml"><mrow id="S4.E9.2.m2.18.18.6" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.cmml"><mn id="S4.E9.2.m2.18.18.6.8" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.8.cmml">1</mn><mo id="S4.E9.2.m2.18.18.6.7" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.7.cmml">+</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.cmml"><msub id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.3" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.3.2" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E9.2.m2.14.14.2.2.2.4" xref="S4.E9.2.m2.14.14.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.13.13.1.1.1.1" xref="S4.E9.2.m2.13.13.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.2.m2.14.14.2.2.2.4.1" xref="S4.E9.2.m2.14.14.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.2.m2.14.14.2.2.2.2" xref="S4.E9.2.m2.14.14.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.2" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.1" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.1.1" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E9.2.m2.16.16.4.4.2.4" xref="S4.E9.2.m2.16.16.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.15.15.3.3.1.1" xref="S4.E9.2.m2.15.15.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.2.m2.16.16.4.4.2.4.1" xref="S4.E9.2.m2.16.16.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.2.m2.16.16.4.4.2.2" xref="S4.E9.2.m2.16.16.4.4.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.1.3" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.2.m2.17.17.5.5" xref="S4.E9.2.m2.17.17.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E9.2.m2.18.18.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S4.E9.2.m2.24.24.12" xref="S4.E9.2.m2.24.24.12.cmml"><mn id="S4.E9.2.m2.24.24.12.8" xref="S4.E9.2.m2.24.24.12.8.cmml">1</mn><mo id="S4.E9.2.m2.24.24.12.7" xref="S4.E9.2.m2.24.24.12.7.cmml">−</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.24.24.12.6" xref="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.cmml"><msub id="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.3" xref="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.3.2" xref="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E9.2.m2.20.20.8.2.2.4" xref="S4.E9.2.m2.20.20.8.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.2.m2.19.19.7.1.1.1" xref="S4.E9.2.m2.19.19.7.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.2.m2.20.20.8.2.2.4.1" xref="S4.E9.2.m2.20.20.8.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E9.2.m2.20.20.8.2.2.2" xref="S4.E9.2.m2.20.20.8.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></msub><mo id="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.2" xref="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.1.1" xref="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.2.m2.24.24.12.6.1.1.2" 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alttext="\displaystyle=\frac{4(\gamma_{k,d}(t))^{-1}}{1-e_{k}^{\top}(x_{k},t)e_{k}(x_{k% },t)}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E9.3.m2.9"><semantics id="S4.E9.3.m2.9a"><mrow id="S4.E9.3.m2.9.9.1" xref="S4.E9.3.m2.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.3.m2.9.9.1.1" xref="S4.E9.3.m2.9.9.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.3.m2.9.9.1.1.2" xref="S4.E9.3.m2.9.9.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.E9.3.m2.9.9.1.1.1" xref="S4.E9.3.m2.9.9.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E9.3.m2.8.8" xref="S4.E9.3.m2.8.8.cmml"><mfrac id="S4.E9.3.m2.8.8a" xref="S4.E9.3.m2.8.8.cmml"><mrow id="S4.E9.3.m2.4.4.4" xref="S4.E9.3.m2.4.4.4.cmml"><mn id="S4.E9.3.m2.4.4.4.6" xref="S4.E9.3.m2.4.4.4.6.cmml">4</mn><mo id="S4.E9.3.m2.4.4.4.5" xref="S4.E9.3.m2.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E9.3.m2.4.4.4.4" xref="S4.E9.3.m2.4.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.E9.3.m2.4.4.4.4.1.1" xref="S4.E9.3.m2.4.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.3.m2.4.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.3.m2.4.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow 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id="S4.E9.3.m2.9c">\displaystyle=\frac{4(\gamma_{k,d}(t))^{-1}}{1-e_{k}^{\top}(x_{k},t)e_{k}(x_{k% },t)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E9.3.m2.9d">= divide start_ARG 4 ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 1 - italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9c)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p6.5">where <math alttext="\gamma_{k,d}:=\textsf{diag}(\gamma_{k,1,d},\ldots,\gamma_{k,n,d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.4.m1.11"><semantics id="S4.p6.4.m1.11a"><mrow id="S4.p6.4.m1.11.11" xref="S4.p6.4.m1.11.11.cmml"><msub id="S4.p6.4.m1.11.11.4" xref="S4.p6.4.m1.11.11.4.cmml"><mi id="S4.p6.4.m1.11.11.4.2" xref="S4.p6.4.m1.11.11.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p6.4.m1.2.2.2.4" xref="S4.p6.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p6.4.m1.1.1.1.1" xref="S4.p6.4.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p6.4.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.p6.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.4.m1.2.2.2.2" xref="S4.p6.4.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.p6.4.m1.11.11.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.p6.4.m1.11.11.3.cmml">:=</mo><mrow id="S4.p6.4.m1.11.11.2" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_sans-serif" id="S4.p6.4.m1.11.11.2.4" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.4a.cmml">diag</mtext><mo id="S4.p6.4.m1.11.11.2.3" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p6.4.m1.5.5.3.5" xref="S4.p6.4.m1.5.5.3.4.cmml"><mi id="S4.p6.4.m1.3.3.1.1" xref="S4.p6.4.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p6.4.m1.5.5.3.5.1" xref="S4.p6.4.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p6.4.m1.4.4.2.2" xref="S4.p6.4.m1.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p6.4.m1.5.5.3.5.2" xref="S4.p6.4.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.4.m1.5.5.3.3" xref="S4.p6.4.m1.5.5.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.4" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.4.m1.9.9" mathvariant="normal" xref="S4.p6.4.m1.9.9.cmml">…</mi><mo id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.5" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2.2" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p6.4.m1.8.8.3.5" xref="S4.p6.4.m1.8.8.3.4.cmml"><mi id="S4.p6.4.m1.6.6.1.1" xref="S4.p6.4.m1.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p6.4.m1.8.8.3.5.1" xref="S4.p6.4.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.4.m1.7.7.2.2" xref="S4.p6.4.m1.7.7.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p6.4.m1.8.8.3.5.2" xref="S4.p6.4.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.4.m1.8.8.3.3" xref="S4.p6.4.m1.8.8.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.4.m1.11b"><apply id="S4.p6.4.m1.11.11.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11"><csymbol cd="latexml" id="S4.p6.4.m1.11.11.3.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.3">assign</csymbol><apply id="S4.p6.4.m1.11.11.4.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.4.m1.11.11.4.1.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.4.m1.11.11.4.2.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.4.2">𝛾</ci><list id="S4.p6.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p6.4.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.p6.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.4.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p6.4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.4.m1.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.p6.4.m1.11.11.2.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2"><times id="S4.p6.4.m1.11.11.2.3.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.3"></times><ci id="S4.p6.4.m1.11.11.2.4a.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.4"><mtext class="ltx_mathvariant_sans-serif" id="S4.p6.4.m1.11.11.2.4.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.4">diag</mtext></ci><vector id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.3.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2"><apply id="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.4.m1.10.10.1.1.1.1.2">𝛾</ci><list id="S4.p6.4.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S4.p6.4.m1.5.5.3.5"><ci id="S4.p6.4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.p6.4.m1.3.3.1.1">𝑘</ci><cn id="S4.p6.4.m1.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p6.4.m1.4.4.2.2">1</cn><ci id="S4.p6.4.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S4.p6.4.m1.5.5.3.3">𝑑</ci></list></apply><ci id="S4.p6.4.m1.9.9.cmml" xref="S4.p6.4.m1.9.9">…</ci><apply id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.4.m1.11.11.2.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.p6.4.m1.8.8.3.4.cmml" xref="S4.p6.4.m1.8.8.3.5"><ci id="S4.p6.4.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.p6.4.m1.6.6.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p6.4.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S4.p6.4.m1.7.7.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.p6.4.m1.8.8.3.3.cmml" xref="S4.p6.4.m1.8.8.3.3">𝑑</ci></list></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.4.m1.11c">\gamma_{k,d}:=\textsf{diag}(\gamma_{k,1,d},\ldots,\gamma_{k,n,d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.4.m1.11d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT := diag ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_n , italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\gamma_{k,i,d}=\frac{1}{2}(\gamma_{k,i,U}-\gamma_{k,i,L})=\gamma_{k,i},\forall i% \in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.5.m2.15"><semantics id="S4.p6.5.m2.15a"><mrow id="S4.p6.5.m2.15.15.2" xref="S4.p6.5.m2.15.15.3.cmml"><mrow id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.cmml"><msub id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3.2" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p6.5.m2.3.3.3.5" xref="S4.p6.5.m2.3.3.3.4.cmml"><mi id="S4.p6.5.m2.1.1.1.1" xref="S4.p6.5.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p6.5.m2.3.3.3.5.1" xref="S4.p6.5.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.5.m2.2.2.2.2" xref="S4.p6.5.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p6.5.m2.3.3.3.5.2" xref="S4.p6.5.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.5.m2.3.3.3.3" xref="S4.p6.5.m2.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.4" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.2" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.3" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.2" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p6.5.m2.6.6.3.5" xref="S4.p6.5.m2.6.6.3.4.cmml"><mi id="S4.p6.5.m2.4.4.1.1" xref="S4.p6.5.m2.4.4.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p6.5.m2.6.6.3.5.1" xref="S4.p6.5.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.5.m2.5.5.2.2" xref="S4.p6.5.m2.5.5.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p6.5.m2.6.6.3.5.2" xref="S4.p6.5.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.5.m2.6.6.3.3" xref="S4.p6.5.m2.6.6.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p6.5.m2.9.9.3.5" xref="S4.p6.5.m2.9.9.3.4.cmml"><mi id="S4.p6.5.m2.7.7.1.1" xref="S4.p6.5.m2.7.7.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p6.5.m2.9.9.3.5.1" xref="S4.p6.5.m2.9.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.5.m2.8.8.2.2" xref="S4.p6.5.m2.8.8.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p6.5.m2.9.9.3.5.2" xref="S4.p6.5.m2.9.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.5.m2.9.9.3.3" xref="S4.p6.5.m2.9.9.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.5" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6.cmml"><mi id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6.2" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.p6.5.m2.11.11.2.4" xref="S4.p6.5.m2.11.11.2.3.cmml"><mi id="S4.p6.5.m2.10.10.1.1" xref="S4.p6.5.m2.10.10.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p6.5.m2.11.11.2.4.1" xref="S4.p6.5.m2.11.11.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.5.m2.11.11.2.2" xref="S4.p6.5.m2.11.11.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.p6.5.m2.15.15.2.3" xref="S4.p6.5.m2.15.15.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.cmml"><mrow id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.cmml"><mo id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.2" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.1" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.2" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.p6.5.m2.12.12" xref="S4.p6.5.m2.12.12.cmml">1</mn><mo id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.2.2" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.p6.5.m2.13.13" xref="S4.p6.5.m2.13.13.cmml">n</mi><mo id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.5.m2.15b"><apply id="S4.p6.5.m2.15.15.3.cmml" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.5.m2.15.15.3a.cmml" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1"><and id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1a.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1"></and><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1b.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1"><eq id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.4.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.4"></eq><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.3.2">𝛾</ci><list id="S4.p6.5.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S4.p6.5.m2.3.3.3.5"><ci id="S4.p6.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p6.5.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.p6.5.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p6.5.m2.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1"><times id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.2"></times><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3"><divide id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1"><minus id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><list id="S4.p6.5.m2.6.6.3.4.cmml" xref="S4.p6.5.m2.6.6.3.5"><ci id="S4.p6.5.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.4.4.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p6.5.m2.5.5.2.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.5.5.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.p6.5.m2.6.6.3.3.cmml" xref="S4.p6.5.m2.6.6.3.3">𝑈</ci></list></apply><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><list id="S4.p6.5.m2.9.9.3.4.cmml" xref="S4.p6.5.m2.9.9.3.5"><ci id="S4.p6.5.m2.7.7.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.7.7.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p6.5.m2.8.8.2.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.8.8.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.p6.5.m2.9.9.3.3.cmml" xref="S4.p6.5.m2.9.9.3.3">𝐿</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1c.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1"><eq id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.5.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.p6.5.m2.14.14.1.1.1.cmml" id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1d.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1"></share><apply id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.14.14.1.1.6.2">𝛾</ci><list id="S4.p6.5.m2.11.11.2.3.cmml" xref="S4.p6.5.m2.11.11.2.4"><ci id="S4.p6.5.m2.10.10.1.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.10.10.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.p6.5.m2.11.11.2.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.11.11.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2"><in id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.1"></in><apply id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p6.5.m2.15.15.2.2.3.2"><cn id="S4.p6.5.m2.12.12.cmml" type="integer" xref="S4.p6.5.m2.12.12">1</cn><ci id="S4.p6.5.m2.13.13.cmml" xref="S4.p6.5.m2.13.13">𝑛</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.5.m2.15c">\gamma_{k,i,d}=\frac{1}{2}(\gamma_{k,i,U}-\gamma_{k,i,L})=\gamma_{k,i},\forall i% \in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.5.m2.15d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i , italic_d end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.p7.1">So, the intermediate control inputs <math alttext="r_{k+1}(z_{k+1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.1.m1.2"><semantics id="S4.p7.1.m1.2a"><mrow id="S4.p7.1.m1.2.2" xref="S4.p7.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.p7.1.m1.2.2.3" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p7.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.p7.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.2" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.1" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.3" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.p7.1.m1.2.2.2" xref="S4.p7.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.1.m1.2b"><apply id="S4.p7.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2"><times id="S4.p7.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.p7.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.2">𝑟</ci><apply id="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.3"><plus id="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.1.m1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S4.p7.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3"><plus id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.1.m1.2c">r_{k+1}(z_{k+1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.1.m1.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> to enforce the desired temporal reach-avoid-stay task is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex1a"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="r_{k+1}(z_{k+1},t)=-\kappa_{k}\varepsilon_{k}(x_{k},t)\xi_{k}(x_{k},t),\kappa_% {k}\in{\mathbb{R}}^{+}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex1a.m1.4"><semantics id="S4.Ex1a.m1.4a"><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1"><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1a.m1.1.1" xref="S4.Ex1a.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1a.m1.2.2" xref="S4.Ex1a.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3b" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3c" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1a.m1.3.3" xref="S4.Ex1a.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex1a.m1.4b"><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex1a.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3"></times><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1"><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex1a.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.2.2">𝑡</ci></interval><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1"><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex1a.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.3.3">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2"><in id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.1"></in><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">ℝ</ci><plus id="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex1a.m1.4.4.1.1.2.2.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1a.m1.4c">r_{k+1}(z_{k+1},t)=-\kappa_{k}\varepsilon_{k}(x_{k},t)\xi_{k}(x_{k},t),\kappa_% {k}\in{\mathbb{R}}^{+}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1a.m1.4d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) = - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) , italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p7.4">Note that, at the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.2.m1.1"><semantics id="S4.p7.2.m1.1a"><mi id="S4.p7.2.m1.1.1" xref="S4.p7.2.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.2.m1.1b"><ci id="S4.p7.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.2.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.2.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-th stage, <math alttext="r_{N+1}(z_{N+1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.3.m2.2"><semantics id="S4.p7.3.m2.2a"><mrow id="S4.p7.3.m2.2.2" xref="S4.p7.3.m2.2.2.cmml"><msub id="S4.p7.3.m2.2.2.3" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p7.3.m2.2.2.3.2" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.p7.3.m2.2.2.3.3" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.2" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.1" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.3" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.p7.3.m2.2.2.2" xref="S4.p7.3.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p7.3.m2.1.1" xref="S4.p7.3.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.3.m2.2b"><apply id="S4.p7.3.m2.2.2.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2"><times id="S4.p7.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.2"></times><apply id="S4.p7.3.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.3.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.3.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.2">𝑟</ci><apply id="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.3"><plus id="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.3.m2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S4.p7.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1"><apply id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3"><plus id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.3.m2.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.p7.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m2.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.3.m2.2c">r_{N+1}(z_{N+1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.3.m2.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> essentially serves as the actual control input <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.4.m3.1"><semantics id="S4.p7.4.m3.1a"><mi id="S4.p7.4.m3.1.1" xref="S4.p7.4.m3.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.4.m3.1b"><ci id="S4.p7.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.p7.4.m3.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.4.m3.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.4.m3.1d">italic_u</annotation></semantics></math>, which is given by,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex2a"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="u(z_{N+1},t)=-\kappa_{N}\varepsilon_{N}(x_{N},t)\xi_{N}(x_{N},t),\kappa_{N}\in% {\mathbb{R}}^{+}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex2a.m1.4"><semantics id="S4.Ex2a.m1.4a"><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1"><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2a.m1.1.1" xref="S4.Ex2a.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2" 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id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2a.m1.3.3" xref="S4.Ex2a.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex2a.m1.4b"><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex2a.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3"></times><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3">𝑁</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1"><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.Ex2a.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.2.2">𝑡</ci></interval><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.6.3">𝑁</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1"><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.Ex2a.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.3.3">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2"><in id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.1"></in><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">ℝ</ci><plus id="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex2a.m1.4.4.1.1.2.2.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex2a.m1.4c">u(z_{N+1},t)=-\kappa_{N}\varepsilon_{N}(x_{N},t)\xi_{N}(x_{N},t),\kappa_{N}\in% {\mathbb{R}}^{+}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex2a.m1.4d">italic_u ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) = - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) , italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.p8.1">Thus, we can design the control input to perform the T-RAS specification for the system described in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="S4.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 4.1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3">Given a nonlinear MIMO system in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) satisfying assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#Thmassumption1" title="Assumption 1 ‣ 2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#Thmassumption2" title="Assumption 2 ([23, 38]) ‣ 2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, a temporal reach-avoid-stay (T-RAS) task as defined in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem2" title="Definition 2.2 (Temporal reach-avoid-stay (T-RAS) task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>, and a spatio-temporal tube as discussed in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3" title="3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, if the initial state <math alttext="x_{k}(0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">x_{k}(0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math> is within the STTs at time <math alttext="t=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">t=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">italic_t = 0</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="\gamma_{k,i,L}(0)<x_{k,i}(0)<\gamma_{k,i,U}(0),\forall i\in[1;n],\forall k\in[% 1;N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17a"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.5" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.3.cmml"><</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.4" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.3.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.10.10" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.10.10.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.5" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.5.cmml"><</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.5" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.7.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.7.7.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.3.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.11.11" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.11.11.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.12.12" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.12.12.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.13.13" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.13.13.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.14.14" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.14.14.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.15.15" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.15.15.cmml">N</mi><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1"><and id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1a.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1"></and><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1b.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.3"></lt><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.5"><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.3.3">𝐿</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9">0</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4"><times id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1.4.2.2">𝑥</ci><list id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.2.2">𝑖</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.10.10.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.10.10">0</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1c.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.16.16.1.1"><lt 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xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.7.7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.7.7.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.3.3">𝑈</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.11.11.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.11.11">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1"><in id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.1.1.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.12.12.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.12.12">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.13.13.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.13.13">𝑛</ci></list></apply><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2"><in id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17.17.2.2.2.2.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.14.14.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.14.14">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.15.15.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.15.15">𝑁</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17c">\gamma_{k,i,L}(0)<x_{k,i}(0)<\gamma_{k,i,U}(0),\forall i\in[1;n],\forall k\in[% 1;N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.17d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) < italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) < italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) , ∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] , ∀ italic_k ∈ [ 1 ; italic_N ]</annotation></semantics></math>, then the closed-form control strategies,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S4.E10"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx12"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E10.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle r_{k+1}(z_{k+1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E10.1.m1.2"><semantics id="S4.E10.1.m1.2a"><mrow id="S4.E10.1.m1.2.2" xref="S4.E10.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.E10.1.m1.2.2.3" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.E10.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.2" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.1" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.3" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E10.1.m1.2.2.2" xref="S4.E10.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E10.1.m1.1.1" xref="S4.E10.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E10.1.m1.2b"><apply id="S4.E10.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2"><times id="S4.E10.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.E10.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.2">𝑟</ci><apply id="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.3"><plus id="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.1.m1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S4.E10.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3"><plus id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.1.m1.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E10.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E10.1.m1.2c">\displaystyle r_{k+1}(z_{k+1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E10.1.m1.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\kappa_{k}\varepsilon_{k}(x_{k},t)\xi_{k}(x_{k},t),k\in[1;N-1]," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E10.1.m2.4"><semantics id="S4.E10.1.m2.4a"><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1"><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E10.1.m2.1.1" xref="S4.E10.1.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.cmml"><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3c" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E10.1.m2.2.2" xref="S4.E10.1.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.E10.1.m2.3.3" xref="S4.E10.1.m2.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml">;</mo><mrow id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E10.1.m2.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E10.1.m2.4b"><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1"><eq id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2"><minus id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2">𝜅</ci><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.2">𝜀</ci><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.5.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E10.1.m2.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.1.1">𝑡</ci></interval><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2">𝜉</ci><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.6.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1"><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E10.1.m2.2.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.2.2">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2"><in id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.2"></in><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.3">𝑘</ci><list id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1"><cn id="S4.E10.1.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.1.m2.3.3">1</cn><apply id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.1.m2.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E10.1.m2.4c">\displaystyle=-\kappa_{k}\varepsilon_{k}(x_{k},t)\xi_{k}(x_{k},t),k\in[1;N-1],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E10.1.m2.4d">= - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) , italic_k ∈ [ 1 ; italic_N - 1 ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E10.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle u(z_{N+1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E10.2.m1.2"><semantics id="S4.E10.2.m1.2a"><mrow id="S4.E10.2.m1.2.2" xref="S4.E10.2.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.E10.2.m1.2.2.3" xref="S4.E10.2.m1.2.2.3.cmml">u</mi><mo id="S4.E10.2.m1.2.2.2" xref="S4.E10.2.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E10.2.m1.1.1" xref="S4.E10.2.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E10.2.m1.2b"><apply id="S4.E10.2.m1.2.2.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2"><times id="S4.E10.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.2"></times><ci id="S4.E10.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.3">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.E10.2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3"><plus id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.2.m1.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E10.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E10.2.m1.2c">\displaystyle u(z_{N+1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E10.2.m1.2d">italic_u ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\kappa_{N}\varepsilon_{N}(x_{N},t)\xi_{N}(x_{N},t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E10.2.m2.3"><semantics id="S4.E10.2.m2.3a"><mrow id="S4.E10.2.m2.3.3.1" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.4" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2a" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.2" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.2" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.3" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.3a" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E10.2.m2.2.2" xref="S4.E10.2.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E10.2.m2.3.3.1.2" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E10.2.m2.3b"><apply id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1"><eq id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2"><minus id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2"></minus><apply id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2"><times id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.2">𝜅</ci><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.2">𝜀</ci><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.3">𝑁</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.E10.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.1.1">𝑡</ci></interval><apply id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.2">𝜉</ci><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.3.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.3">𝑁</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1"><apply id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.E10.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.E10.2.m2.2.2">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E10.2.m2.3c">\displaystyle=-\kappa_{N}\varepsilon_{N}(x_{N},t)\xi_{N}(x_{N},t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E10.2.m2.3d">= - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10b)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3">will ensure the satisfaction of given temporal reach-avoid-stay task where <math alttext="z_{k+1}=[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5" 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id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.8" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.5" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.5.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4"><eq id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.4"></eq><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.2">𝑧</ci><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.3"><plus id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.3.1"></plus><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.5.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3">superscript</csymbol><list id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.3.3.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.3.3.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4.4.3.5">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4c">z_{k+1}=[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.4.1.m1.4d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\varepsilon_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1a"><msub id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1c">\varepsilon_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.5.2.m2.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\xi_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1a"><msub id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1c">\xi_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem1.p1.6.3.m3.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are shown in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E8" title="In 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E9" title="In 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>).</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proof" id="S4.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem2.1.1.1">Proof 4.2</span></span></h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p1.1.1">The proof is done for the stages mentioned above. First, we prove the control law for the STT, and then we sequentially prove it for the other stages.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p2.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p2.8.8">In each stage, the proof proceeds in three steps. First, we show that there exists a maximal solution for the normalized error <math alttext="e_{k}:[0,\tau_{\max}]\rightarrow\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.2.cmml">:</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">→</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.3.cmml">𝔻</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.2">:</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.2">→</ci><interval closure="closed" id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"></max></apply></interval><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2.2.1.3">𝔻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2c">e_{k}:[0,\tau_{\max}]\rightarrow\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p2.1.1.m1.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT : [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ] → blackboard_D</annotation></semantics></math>, which implies that <math alttext="e_{k}(x_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2c">e_{k}(x_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p2.2.2.m2.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> remains within <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p2.3.3.m3.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math> in the maximal time solution interval <math alttext="[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2b"><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2.2.1.1.3"></max></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2c">[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p2.4.4.m4.2d">[ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Next, we show that the proposed control law in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) constraints <math alttext="e_{k}(x_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2c">e_{k}(x_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p2.5.5.m5.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> to a compact subset of <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p2.6.6.m6.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>. Finally, we prove that <math alttext="\tau_{\max}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.3.cmml">max</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1.1.3"></max></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1c">\tau_{\max}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p2.7.7.m7.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be extended to <math alttext="\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1.1.cmml">∞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1b"><infinity id="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1.1"></infinity></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1c">\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p2.8.8.m8.1d">∞</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p3.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2">Stage <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1a"><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1b"><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p3.1.1.m1.1d">1</annotation></semantics></math>:<span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1"> Differentiating the normalized error <math alttext="e_{1}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.2">e</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.2">x</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.1.1">t</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2c">e_{1}(x_{1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p3.2.2.1.m1.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> w.r.t time and substituting the first equation of the system dynamics (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) we get,</span></span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx13"> <tbody id="S4.Ex1b"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{e}_{1}=" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex1b.m1.1"><semantics id="S4.Ex1b.m1.1a"><mrow id="S4.Ex1b.m1.1.1" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex1b.m1.1.1.2" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex1b.m1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex1b.m1.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex1b.m1.1b"><apply id="S4.Ex1b.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1b.m1.1.1"><eq id="S4.Ex1b.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="S4.Ex1b.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex1b.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1b.m1.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1b.m1.1c">\displaystyle\dot{e}_{1}=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1b.m1.1d">over˙ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 2(\gamma_{1,d}(t))^{-1}\Big{(}f_{1}(x_{1})+g_{1}(x_{1})x_{2}+w_{% 1}-\frac{1}{2}(\dot{\gamma}_{1,s}(t)+\dot{\gamma}_{1,d}(t)e_{1})\Big{)}:=h_{1}% (t,e_{1})," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex1b.m2.11"><semantics id="S4.Ex1b.m2.11a"><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.4" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Ex1b.m2.2.2.2.4" xref="S4.Ex1b.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex1b.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1b.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex1b.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1b.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1b.m2.7.7" xref="S4.Ex1b.m2.7.7.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.3a" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.2a" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3a" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4.2.cmml">w</mi><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.4" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3a" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex1b.m2.4.4.2.4" xref="S4.Ex1b.m2.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex1b.m2.3.3.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1b.m2.4.4.2.4.1" xref="S4.Ex1b.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1b.m2.4.4.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.4.4.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1b.m2.8.8" xref="S4.Ex1b.m2.8.8.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex1b.m2.6.6.2.4" xref="S4.Ex1b.m2.6.6.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex1b.m2.5.5.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1b.m2.6.6.2.4.1" xref="S4.Ex1b.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1b.m2.6.6.2.2" xref="S4.Ex1b.m2.6.6.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1b.m2.9.9" xref="S4.Ex1b.m2.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" rspace="0.278em" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.4" rspace="0.278em" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.2" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1b.m2.10.10" xref="S4.Ex1b.m2.10.10.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1.2" 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id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.2">𝑒</ci><cn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.4.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3"><times id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.2"></times><apply id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1"><ci id="S4.Ex1b.m2.10.10.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.10.10">𝑡</ci><apply id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1.2">𝑒</ci><cn id="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1b.m2.11.11.1.1.3.1.1.1.3">1</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1b.m2.11c">\displaystyle 2(\gamma_{1,d}(t))^{-1}\Big{(}f_{1}(x_{1})+g_{1}(x_{1})x_{2}+w_{% 1}-\frac{1}{2}(\dot{\gamma}_{1,s}(t)+\dot{\gamma}_{1,d}(t)e_{1})\Big{)}:=h_{1}% (t,e_{1}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1b.m2.11d">2 ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) + over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) := italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p3.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3">where <math alttext="x_{1}=\frac{\gamma_{1,d}(t)e_{1}+\gamma_{1,s}(t)}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mfrac id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.5.5.5.5" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.5.5.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.7" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.7.cmml">+</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.6" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.8" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.8.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7"><eq id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.1"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.7.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6"><divide id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.7.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6"></divide><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6"><plus id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.7.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.7"></plus><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8"><times id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.1.1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.5.5.5.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.5.5.5.5">𝑡</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.8.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9"><times id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.9.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.3.3.3.3.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.4.4.4.4.2.2">𝑠</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.6.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.6.6">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.8.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6.6.8">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6c">x_{1}=\frac{\gamma_{1,d}(t)e_{1}+\gamma_{1,s}(t)}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p3.3.1.m1.6d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math>. We also define the constraints for <math alttext="e_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1c">e_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p3.4.2.m2.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> through the open and bounded set <math alttext="\mathbb{D}:=(-1,1)^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.3.cmml">𝔻</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.2.cmml">:=</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.2">assign</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.3">𝔻</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1"><minus id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.1.1">1</cn></interval><ci id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2.2.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2c">\mathbb{D}:=(-1,1)^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p3.5.3.m3.2d">blackboard_D := ( - 1 , 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p4.13"><span class="ltx_text ltx_font_italic ltx_framed ltx_framed_underline" id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1">Step <math alttext="(i)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1c">(i)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.1.1.m1.1d">( italic_i )</annotation></semantics></math></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p4.13.13">: Since the initial state <math alttext="x_{1}(0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1c">x_{1}(0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.2.2.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math> satisfies <math alttext="\gamma_{1,i,L}(0)<x_{1,i}(0)<\gamma_{1,i,U}(0),\forall i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.4.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.9.9" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.9.9.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.3.cmml"><</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.4.4.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.4.4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.10.10" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.10.10.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.5" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.5.cmml"><</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.4.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.6.6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.6.6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.7.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.7.7.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.11.11" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.11.11.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.12.12" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.12.12.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.13.13" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.13.13.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1"><and id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1"></and><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1b.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.3"></lt><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.5"><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.3.3.3.3">𝐿</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.9.9.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.9.9">0</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.2.2">𝑥</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.4.4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.4.4.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.5.5.2.2">𝑖</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.10.10.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.10.10">0</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1c.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.4.cmml" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1d.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1"></share><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.14.14.1.1.6.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.5"><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.6.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.6.6.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.7.7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.7.7.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.8.8.3.3">𝑈</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.11.11.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.11.11">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15.15.2.2.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.12.12.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.12.12">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.13.13.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.13.13">𝑛</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15c">\gamma_{1,i,L}(0)<x_{1,i}(0)<\gamma_{1,i,U}(0),\forall i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.3.3.m2.15d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) < italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) < italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) , ∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>, the initial normalized error <math alttext="e_{1}(0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1c">e_{1}(0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.4.4.m3.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math> is also within the constrained region <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.5.5.m4.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>. Further, the STTs are bounded and continuously differentiable functions of time, the functions <math alttext="f_{1}(x_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1c">f_{1}(x_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.6.6.m5.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="g_{1}(x_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.2.cmml">g</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.2">𝑔</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1c">g_{1}(x_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.7.7.m6.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are locally Lipschitz and the control law <math alttext="r_{2}(x_{1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.2.cmml">r</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2c">r_{2}(x_{1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.8.8.m7.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> is smooth over <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.9.9.m8.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>. As a consequence, <math alttext="h_{1}(t,e_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.1.1">𝑡</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2c">h_{1}(t,e_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.10.10.m9.2d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is bounded and continuously differentiable on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.11.11.m10.1d">italic_t</annotation></semantics></math> and locally Lipschitz on <math alttext="e_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1c">e_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.12.12.m11.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> over <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p4.13.13.m12.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p5.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3">Therefore, according to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib42" title="">42</a>, Theorem 54]</cite>, there exists a maximal solution to the initial value problem <math alttext="\dot{e}_{1}=h_{1}(t,e_{1}),e_{1}(0)\in\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">𝔻</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></interval></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4.4.2.2.3">𝔻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4c">\dot{e}_{1}=h_{1}(t,e_{1}),e_{1}(0)\in\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p5.1.1.m1.4d">over˙ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) ∈ blackboard_D</annotation></semantics></math> on the time interval <math alttext="[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2b"><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2.2.1.1.3"></max></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2c">[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p5.2.2.m2.2d">[ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="e_{1}(t)\in\mathbb{D},\forall t\in[0,\tau_{\max})." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">𝔻</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1"><in id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">𝔻</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.2.2">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3c">e_{1}(t)\in\mathbb{D},\forall t\in[0,\tau_{\max}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p5.3.3.m3.3d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_D , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math> <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p6.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic ltx_framed ltx_framed_underline" id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1">Step <math alttext="(ii)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1c">(ii)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p6.1.1.m1.1d">( italic_i italic_i )</annotation></semantics></math></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2">: Consider the following positive definite and radially unbounded Lyapunov function candidate: <math alttext="V_{1}=\frac{1}{2}\varepsilon_{1}^{\top}\varepsilon_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.2">𝑉</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3"><times id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2"><divide id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2"></divide><cn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.3.3">top</csymbol></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1.1.3.4.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1c">V_{1}=\frac{1}{2}\varepsilon_{1}^{\top}\varepsilon_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p6.2.2.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p7.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4">Differentiating <math alttext="V_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.2">𝑉</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1c">V_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p7.1.1.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with respect to <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p7.2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> and substituting <math alttext="\dot{\varepsilon_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.1">˙</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1c">\dot{\varepsilon_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p7.3.3.m3.1d">over˙ start_ARG italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, <math alttext="\dot{e_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1a"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.1">˙</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1.1.2.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1c">\dot{e_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p7.4.4.m4.1d">over˙ start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, system dynamics (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>), and the control strategy (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), we have:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx14"> <tbody id="S4.Ex2b"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{V}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex2b.m1.1"><semantics id="S4.Ex2b.m1.1a"><msub id="S4.Ex2b.m1.1.1" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex2b.m1.1.1.2" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S4.Ex2b.m1.1.1.2.1" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.Ex2b.m1.1.1.3" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex2b.m1.1b"><apply id="S4.Ex2b.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex2b.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.2"><ci id="S4.Ex2b.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex2b.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.2.2">𝑉</ci></apply><cn id="S4.Ex2b.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex2b.m1.1c">\displaystyle\dot{V}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex2b.m1.1d">over˙ start_ARG italic_V end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\varepsilon_{1}^{T}\dot{\varepsilon}_{1}=\varepsilon_{1}^{T}% \frac{2}{1-e_{1}^{T}e_{1}}\dot{e}_{1}=\varepsilon_{1}^{T}\xi_{1}\left(\dot{x}_% {1}-\frac{1}{2}(\dot{\gamma}_{1,s}+\dot{\gamma}_{1,d}e_{1})\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex2b.m2.5"><semantics id="S4.Ex2b.m2.5a"><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.4" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.5" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.cmml"><msubsup id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.2.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.2.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.2.2.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.2.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.2.cmml">ε</mi><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.6" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.7" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.cmml"><msubsup id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3a" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.cmml"><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.1a" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.8" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.8.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.2a" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex2b.m2.2.2.2.4" xref="S4.Ex2b.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex2b.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex2b.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex2b.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex2b.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2b.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex2b.m2.4.4.2.4" xref="S4.Ex2b.m2.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex2b.m2.3.3.1.1" xref="S4.Ex2b.m2.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex2b.m2.4.4.2.4.1" xref="S4.Ex2b.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex2b.m2.4.4.2.2" xref="S4.Ex2b.m2.4.4.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex2b.m2.5b"><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5"><and id="S4.Ex2b.m2.5.5a.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5"></and><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5b.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5"><eq id="S4.Ex2b.m2.5.5.4.cmml" 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id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2"><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.2.2">𝜀</ci></apply><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.5.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5c.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5"><eq id="S4.Ex2b.m2.5.5.6.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.Ex2b.m2.5.5.5.cmml" id="S4.Ex2b.m2.5.5d.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5"></share><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7"><times id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.1"></times><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3"><divide id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3"></divide><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.2">2</cn><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3"><minus id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.1"></minus><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3"><times id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.2">𝑒</ci><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.2">𝑒</ci><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2"><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.7.4.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5e.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5"><eq id="S4.Ex2b.m2.5.5.8.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.Ex2b.m2.5.5.7.cmml" id="S4.Ex2b.m2.5.5f.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5"></share><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1"><times id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.2"></times><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.4.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1"><minus id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Ex2b.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.2.2.2.4"><cn id="S4.Ex2b.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2b.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex2b.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2b.m2.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S4.Ex2b.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT = italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG 1 - italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over˙ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT + over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\varepsilon_{1}^{T}\xi_{1}\left(f_{1}(x_{1})+g_{1}(x_{1})x_{2}+w% _{1}-\frac{1}{2}(\dot{\gamma}_{1,s}+\dot{\gamma}_{1,d}e_{1})\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex3.m1.5"><semantics id="S4.Ex3.m1.5a"><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.3" 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accent="true" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex3.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex3.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex3.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2" 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id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.4.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4"></minus><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑔</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑤</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3"><divide id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3"></divide><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><plus id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Ex3.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.4.4.2.4"><cn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex3.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.4.4.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2">𝑒</ci><cn id="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex3.m1.5c">\displaystyle=\varepsilon_{1}^{T}\xi_{1}\left(f_{1}(x_{1})+g_{1}(x_{1})x_{2}+w% _{1}-\frac{1}{2}(\dot{\gamma}_{1,s}+\dot{\gamma}_{1,d}e_{1})\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex3.m1.5d">= italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT + over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\varepsilon_{1}^{T}\xi_{1}\left(f_{1}(x_{1})-\kappa_{1}g_{1}(x_{% 1})\xi_{1}\varepsilon_{1}+w_{1}-\frac{1}{2}(\dot{\gamma}_{1,s}+\dot{\gamma}_{1% ,d}e_{1})\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex4.m1.5"><semantics id="S4.Ex4.m1.5a"><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">κ</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2a" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2b" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2c" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">w</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex4.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex4.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex4.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex4.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex4.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex4.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex4.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.Ex4.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex4.m1.4.4.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex4.m1.5b"><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1"><eq id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.3">absent</csymbol><apply 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xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.4.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4"></minus><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2"><minus id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝜅</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2">𝑔</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑤</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3"><divide id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3"></divide><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><plus id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Ex4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Ex4.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.2.4"><cn id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex4.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.4.4.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2">𝑒</ci><cn id="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex4.m1.5c">\displaystyle=\varepsilon_{1}^{T}\xi_{1}\left(f_{1}(x_{1})-\kappa_{1}g_{1}(x_{% 1})\xi_{1}\varepsilon_{1}+w_{1}-\frac{1}{2}(\dot{\gamma}_{1,s}+\dot{\gamma}_{1% ,d}e_{1})\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex4.m1.5d">= italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT + over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p7.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p7.6.1">Using Rayleigh-Ritz inequality and Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#Thmassumption2" title="Assumption 2 ([23, 38]) ‣ 2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx15"> <tbody id="S4.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\underline{g_{1}}\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1}\|^{2}\leq% \lambda_{\min}(g_{1}(x_{1}))\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1}\|^{2}\leq% \varepsilon_{1}^{\top}\xi_{1}g_{1}(x_{1})\xi_{1}\varepsilon_{1}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex5.m1.1"><semantics id="S4.Ex5.m1.1a"><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.3.cmml">min</mi></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.4" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" 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id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.4b" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.9" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.9.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.cmml"><msubsup id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.3.2.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.4" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.4.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.4.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.4.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.4.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.2a" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.2.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.2b" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.2c" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6" 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cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci 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id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.2">𝑔</ci><cn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.5.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.6.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.7.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.7.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.7">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.7.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.7.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.7.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.6.7.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex5.m1.1c">\displaystyle\underline{g_{1}}\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1}\|^{2}\leq% \lambda_{\min}(g_{1}(x_{1}))\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1}\|^{2}\leq% \varepsilon_{1}^{\top}\xi_{1}g_{1}(x_{1})\xi_{1}\varepsilon_{1},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex5.m1.1d">under¯ start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\kappa_{1}\varepsilon_{1}^{\top}\xi_{1}g_{1}(x_{1})\xi_{1}% \varepsilon_{1}\leq-\kappa_{1}\underline{g_{1}}\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1% }\|^{2}=-\kappa_{g}^{1}\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1}\|^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex6.m1.1"><semantics id="S4.Ex6.m1.1a"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">κ</mi><mn id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.5.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex6.m1.1c">\displaystyle-\kappa_{1}\varepsilon_{1}^{\top}\xi_{1}g_{1}(x_{1})\xi_{1}% \varepsilon_{1}\leq-\kappa_{1}\underline{g_{1}}\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1% }\|^{2}=-\kappa_{g}^{1}\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1}\|^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex6.m1.1d">- italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≤ - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT under¯ start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p7.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1">Therefore, <math alttext="\dot{V}_{1}\leq-\kappa_{g}^{1}\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1}\|^{2}+\|% \varepsilon_{1}\|\|\xi_{1}\|\|\Phi_{1}\|," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.2.cmml">V</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.7.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2a" 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id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3a" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.6" 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id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.4a" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.2" stretchy="false" 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id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5"><times id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.4"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.2">Φ</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1c">\dot{V}_{1}\leq-\kappa_{g}^{1}\|\varepsilon_{1}\|^{2}\|\xi_{1}\|^{2}+\|% \varepsilon_{1}\|\|\xi_{1}\|\|\Phi_{1}\|,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p7.5.1.m1.1d">over˙ start_ARG italic_V end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≤ - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ ,</annotation></semantics></math></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p8.10"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10">where <math alttext="\Phi_{1}:=f_{1}(x_{1})+w_{1}-\frac{1}{2}\dot{\gamma}_{1,s}-\frac{1}{2}\dot{% \gamma}_{1,d}e_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.2.cmml">Φ</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.2.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">+</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.2a" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.cmml"><mfrac id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.2">assign</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.2">Φ</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1"><minus id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.2"></minus><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1"><plus id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.2"></plus><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2"><divide id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2"></divide><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.3.3.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2"><divide id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2"></divide><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.2">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.3.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.4.4.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5.5.1.4.4.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5c">\Phi_{1}:=f_{1}(x_{1})+w_{1}-\frac{1}{2}\dot{\gamma}_{1,s}-\frac{1}{2}\dot{% \gamma}_{1,d}e_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.1.1.m1.5d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT := italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. From the construction of <math alttext="\gamma_{1,s},\gamma_{1,d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.3.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6b"><list id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.5.5.1.1.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6.6.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.3.3.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.4.4.2.2">𝑑</ci></list></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6c">\gamma_{1,s},\gamma_{1,d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.2.2.m2.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> we know that <math alttext="\dot{\gamma}_{1,s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.3.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2c">\dot{\gamma}_{1,s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.3.3.m3.2d">over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\dot{\gamma}_{1,d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.3.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2c">\dot{\gamma}_{1,d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.4.4.m4.2d">over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are bounded by construction. From step 1, we have <math alttext="e_{1}(t)\in\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.3.cmml">𝔻</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1.2.3">𝔻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1c">e_{1}(t)\in\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.5.5.m5.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_D</annotation></semantics></math> and consequently <math alttext="\forall i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3"><in id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.3.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2c">\forall i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.6.6.m6.2d">∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="x_{1,i}(t)\in(\gamma_{1,i,L}(t),\gamma_{1,i,U}(t))" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.9.9" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.4.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.4.4.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.10.10" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.10.10.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.4.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.6.6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.6.6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.7.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.7.7.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.11.11" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.11.11.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13"><in id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.3"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.4.2.2">𝑥</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.9.9.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.9.9">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.12.12.1.1.1.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.5"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.3.3.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.4.4.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.5.5.3.3">𝐿</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.10.10.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.10.10">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13.13.2.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.5"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.6.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.6.6.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.7.7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.7.7.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.8.8.3.3">𝑈</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.11.11.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.11.11">𝑡</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13c">x_{1,i}(t)\in(\gamma_{1,i,L}(t),\gamma_{1,i,U}(t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.7.7.m7.13d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) )</annotation></semantics></math>. Thus, owing to the continuity of <math alttext="f_{1}(x_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1c">f_{1}(x_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.8.8.m8.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and employing the extreme value theorem, we can infer <math alttext="\|f_{1}(x_{1})\|<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.2.cmml"><</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.2"></lt><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><infinity id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1c">\|f_{1}(x_{1})\|<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.9.9.m9.1d">∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ∥ < ∞</annotation></semantics></math>. Hence, <math alttext="\|\Phi_{1}\|<\infty,\forall t\in[0,\tau_{max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">Φ</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.2.cmml"><</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.2.2.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.4" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.4.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.2"></lt><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.2">Φ</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><infinity id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.2.2"></infinity></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.3">𝑎</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4.4.2.2.1.1.1.3.4">𝑥</ci></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4c">\|\Phi_{1}\|<\infty,\forall t\in[0,\tau_{max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p8.10.10.m10.4d">∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ < ∞ , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p9.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2">Now add and substract <math alttext="\kappa_{g}^{1}\theta\left\lVert\varepsilon_{1}\right\rVert^{2}\|\xi_{1}\|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.3.cmml">g</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.5" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.5.cmml">θ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.3a" lspace="0em" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo fence="true" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.3b" lspace="0em" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.3"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.2.3">𝑔</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.4.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.5">𝜃</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2c">\kappa_{g}^{1}\theta\left\lVert\varepsilon_{1}\right\rVert^{2}\|\xi_{1}\|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p9.1.1.m1.2d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\theta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3"><in id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.1"></in><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.2">𝜃</ci><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2c">\theta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p9.2.2.m2.2d">italic_θ ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>.</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx16"> <tbody id="S4.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{V}_{1}\leq-\kappa_{g}^{1}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{1% }\right\rVert^{2}\|\xi_{1}\|^{2}-\left\lVert\varepsilon_{1}\right\rVert\|\xi_{% 1}\|\left(\kappa_{g}^{1}\theta\left\lVert\varepsilon_{1}\right\rVert\|\xi_{1}% \|-\|\Phi_{1}\|\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex7.m1.6"><semantics id="S4.Ex7.m1.6a"><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6" xref="S4.Ex7.m1.6.6.cmml"><msub id="S4.Ex7.m1.6.6.8" xref="S4.Ex7.m1.6.6.8.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex7.m1.6.6.8.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.8.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.8.2.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.8.2.2.cmml">V</mi><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.8.2.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.8.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.Ex7.m1.6.6.8.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.8.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.7" xref="S4.Ex7.m1.6.6.7.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.6" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3a" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.5" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.5.2.2" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.5.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.5.2.3" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.5.2.3.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.5.3" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.5.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.4" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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stretchy="true" xref="S4.Ex7.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Ex7.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.4b" lspace="0em" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.7" 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xref="S4.Ex7.m1.5.5.5.5.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex7.m1.5.5.5.5.2.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.5.5.5.5.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.5.5.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.5.5.5.5.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.4a" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.4" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.3.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.4.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.5" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.5.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.3a" lspace="0em" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo fence="true" id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.3b" lspace="0em" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.4" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.3.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.2" mathvariant="normal" 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ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{1}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{1}\right% \rVert^{2}\left\lVert\xi_{1}\right\rVert^{2},\forall\kappa_{g}^{1}\theta\left% \lVert\varepsilon_{1}\right\rVert\|\xi_{1}\|-\|\Phi_{1}\|\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex8.m1.2"><semantics id="S4.Ex8.m1.2a"><mrow id="S4.Ex8.m1.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3" 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xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo fence="true" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.4b" lspace="0em" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" 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id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3a" lspace="0em" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo fence="true" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3b" lspace="0em" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.4" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.2.cmml">Φ</mi><mn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.4.cmml">≥</mo><mn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.5.cmml">0</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex8.m1.2b"><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" 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xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3">𝑔</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.5.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2"><geq id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.4"></geq><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3"><minus id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.4"></minus><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.3">for-all</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3">𝑔</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5">𝜃</ci><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.2">Φ</ci><cn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.5">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex8.m1.2c">\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{1}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{1}\right% \rVert^{2}\left\lVert\xi_{1}\right\rVert^{2},\forall\kappa_{g}^{1}\theta\left% \lVert\varepsilon_{1}\right\rVert\|\xi_{1}\|-\|\Phi_{1}\|\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex8.m1.2d">≤ - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_θ ) ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ - ∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≥ 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{1}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{1}\right% \rVert^{2}\|\xi_{1}\|^{2},\forall\left\lVert\varepsilon_{1}\right\rVert\geq% \frac{\|\Phi_{1}\|}{\kappa_{g}^{1}\theta\|\xi_{1}\|},\forall t\in[0,\tau_{\max% })." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex9.m1.4"><semantics id="S4.Ex9.m1.4a"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4a" lspace="0em" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo fence="true" id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4b" lspace="0em" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">∀</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo fence="true" id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" stretchy="true" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2" lspace="0.1389em" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml">≥</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex9.m1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex9.m1.2.2a" xref="S4.Ex9.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Φ</mi><mn id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.3.cmml">g</mi><mn id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.4.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2a" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mn id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex9.m1.3.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" 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xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2"><divide id="S4.Ex9.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2"></divide><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2">Φ</ci><cn id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2"><times id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.2.3">𝑔</ci></apply><cn id="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.3.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.4">𝜃</ci><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><cn id="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><in id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"></in><apply id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1"><cn id="S4.Ex9.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.3.3">0</cn><apply id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex9.m1.4c">\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{1}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{1}\right% \rVert^{2}\|\xi_{1}\|^{2},\forall\left\lVert\varepsilon_{1}\right\rVert\geq% \frac{\|\Phi_{1}\|}{\kappa_{g}^{1}\theta\|\xi_{1}\|},\forall t\in[0,\tau_{\max% }).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex9.m1.4d">≤ - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_θ ) ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≥ divide start_ARG ∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p9.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3">Therefore, we can conclude that there exists a time-independent upper bound <math alttext="\varepsilon_{1}^{*}\in\mathbb{R}_{0}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1"><in id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><times id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.2">ℝ</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><plus id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1c">\varepsilon_{1}^{*}\in\mathbb{R}_{0}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p9.3.1.m1.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to the transformed error <math alttext="\varepsilon_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1c">\varepsilon_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p9.4.2.m2.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="\|\varepsilon_{1}\|\leq\varepsilon_{1}^{*},\forall t\in[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">≤</mo><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1"><leq id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.2"></leq><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.2">𝜀</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><times id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.2.2.1.1.3.3"></times></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3c">\|\varepsilon_{1}\|\leq\varepsilon_{1}^{*},\forall t\in[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p9.5.3.m3.3d">∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≤ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p10"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p10.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p10.5.1">Consequently, taking inverse logarithmic function,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx17"> <tbody id="S4.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-1<\frac{e_{1,i}^{-\varepsilon_{1,i}^{*}}-1}{e_{1,i}^{-% \varepsilon_{1,i}^{*}}+1}=:e_{1,i,L}\leq e_{1,i}\leq e_{1,i,U}:=\frac{e_{1,i}^% {\varepsilon_{1,i}^{*}}-1}{e_{1,i}^{\varepsilon_{1,i}^{*}}+1}<1,\forall t\in[0% ,\tau_{\max}),\ \text{for }i\in[1;n]." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex10.m1.24"><semantics id="S4.Ex10.m1.24a"><mrow id="S4.Ex10.m1.24b"><mo id="S4.Ex10.m1.24.25">−</mo><mn id="S4.Ex10.m1.24.26">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.24.27"><</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex10.m1.8.8"><mfrac id="S4.Ex10.m1.8.8a"><mrow id="S4.Ex10.m1.4.4.4"><msubsup id="S4.Ex10.m1.4.4.4.6"><mi id="S4.Ex10.m1.4.4.4.6.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.2.2">i</mi></mrow><mrow id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.2"><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.2a">−</mo><msubsup id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.2.4"><mi id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.2.4.2.2">ε</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.2.2.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.2.2.2.2">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.2.4.3">∗</mo></msubsup></mrow></msubsup><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.4.5">−</mo><mn id="S4.Ex10.m1.4.4.4.7">1</mn></mrow><mrow id="S4.Ex10.m1.8.8.8"><msubsup id="S4.Ex10.m1.8.8.8.6"><mi id="S4.Ex10.m1.8.8.8.6.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.6.6.6.2.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.5.5.5.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.6.6.6.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.6.6.6.2.2.2">i</mi></mrow><mrow id="S4.Ex10.m1.8.8.8.4.2"><mo id="S4.Ex10.m1.8.8.8.4.2a">−</mo><msubsup id="S4.Ex10.m1.8.8.8.4.2.4"><mi id="S4.Ex10.m1.8.8.8.4.2.4.2.2">ε</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.8.8.8.4.2.2.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.7.7.7.3.1.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.8.8.8.4.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.8.8.8.4.2.2.2.2">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.8.8.8.4.2.4.3">∗</mo></msubsup></mrow></msubsup><mo id="S4.Ex10.m1.8.8.8.5">+</mo><mn id="S4.Ex10.m1.8.8.8.7">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex10.m1.24.28" rspace="0em">=</mo><mo id="S4.Ex10.m1.24.29" rspace="0.278em">:</mo><msub id="S4.Ex10.m1.24.30"><mi id="S4.Ex10.m1.24.30.2">e</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.11.11.3.5"><mn id="S4.Ex10.m1.9.9.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.11.11.3.5.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.10.10.2.2">i</mi><mo id="S4.Ex10.m1.11.11.3.5.2">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.11.11.3.3">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex10.m1.24.31">≤</mo><msub id="S4.Ex10.m1.24.32"><mi id="S4.Ex10.m1.24.32.2">e</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.13.13.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.12.12.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.13.13.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.13.13.2.2">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex10.m1.24.33">≤</mo><msub id="S4.Ex10.m1.24.34"><mi id="S4.Ex10.m1.24.34.2">e</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.16.16.3.5"><mn id="S4.Ex10.m1.14.14.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.16.16.3.5.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.15.15.2.2">i</mi><mo id="S4.Ex10.m1.16.16.3.5.2">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.16.16.3.3">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex10.m1.24.35" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex10.m1.24.24"><mfrac id="S4.Ex10.m1.24.24a"><mrow id="S4.Ex10.m1.20.20.4"><msubsup id="S4.Ex10.m1.20.20.4.6"><mi id="S4.Ex10.m1.20.20.4.6.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.18.18.2.2.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.17.17.1.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.18.18.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.18.18.2.2.2.2">i</mi></mrow><msubsup id="S4.Ex10.m1.20.20.4.4.2"><mi id="S4.Ex10.m1.20.20.4.4.2.4.2">ε</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.20.20.4.4.2.2.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.19.19.3.3.1.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.20.20.4.4.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.20.20.4.4.2.2.2.2">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.20.20.4.4.2.5">∗</mo></msubsup></msubsup><mo id="S4.Ex10.m1.20.20.4.5">−</mo><mn id="S4.Ex10.m1.20.20.4.7">1</mn></mrow><mrow id="S4.Ex10.m1.24.24.8"><msubsup id="S4.Ex10.m1.24.24.8.6"><mi id="S4.Ex10.m1.24.24.8.6.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.22.22.6.2.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.21.21.5.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.22.22.6.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.22.22.6.2.2.2">i</mi></mrow><msubsup id="S4.Ex10.m1.24.24.8.4.2"><mi id="S4.Ex10.m1.24.24.8.4.2.4.2">ε</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.24.24.8.4.2.2.2.4"><mn id="S4.Ex10.m1.23.23.7.3.1.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.24.24.8.4.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.24.24.8.4.2.2.2.2">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.24.24.8.4.2.5">∗</mo></msubsup></msubsup><mo id="S4.Ex10.m1.24.24.8.5">+</mo><mn id="S4.Ex10.m1.24.24.8.7">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex10.m1.24.36"><</mo><mn id="S4.Ex10.m1.24.37">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.24.38">,</mo><mo id="S4.Ex10.m1.24.39" rspace="0.167em">∀</mo><mi id="S4.Ex10.m1.24.40">t</mi><mo id="S4.Ex10.m1.24.41">∈</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.24.42"><mo id="S4.Ex10.m1.24.42.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S4.Ex10.m1.24.42.2">0</mn><mo id="S4.Ex10.m1.24.42.3">,</mo><msub id="S4.Ex10.m1.24.42.4"><mi id="S4.Ex10.m1.24.42.4.2">τ</mi><mi id="S4.Ex10.m1.24.42.4.3">max</mi></msub><mo id="S4.Ex10.m1.24.42.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.24.43" rspace="0.667em">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex10.m1.24.44">for </mtext><mi id="S4.Ex10.m1.24.45">i</mi><mo id="S4.Ex10.m1.24.46">∈</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.24.47"><mo id="S4.Ex10.m1.24.47.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S4.Ex10.m1.24.47.2">1</mn><mo id="S4.Ex10.m1.24.47.3">;</mo><mi id="S4.Ex10.m1.24.47.4">n</mi><mo id="S4.Ex10.m1.24.47.5" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.24.48" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex10.m1.24c">\displaystyle-1<\frac{e_{1,i}^{-\varepsilon_{1,i}^{*}}-1}{e_{1,i}^{-% \varepsilon_{1,i}^{*}}+1}=:e_{1,i,L}\leq e_{1,i}\leq e_{1,i,U}:=\frac{e_{1,i}^% {\varepsilon_{1,i}^{*}}-1}{e_{1,i}^{\varepsilon_{1,i}^{*}}+1}<1,\forall t\in[0% ,\tau_{\max}),\ \text{for }i\in[1;n].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex10.m1.24d">- 1 < divide start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG = : italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT := divide start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG < 1 , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ) , for italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p10.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p10.2.2">Therefore, by employing the control law (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), we can constrain <math alttext="e_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1c">e_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p10.1.1.m1.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to a compact subset of <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p10.2.2.m2.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math> as:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx18"> <tbody id="S4.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle e_{1}(t)\in[e_{1,L},e_{1,U}]=:\mathbb{D}^{\prime}\subset\mathbb{% D},\forall t\in[0,\tau_{\max})," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex11.m1.5"><semantics id="S4.Ex11.m1.5a"><mrow id="S4.Ex11.m1.5b"><msub id="S4.Ex11.m1.5.6"><mi id="S4.Ex11.m1.5.6.2">e</mi><mn id="S4.Ex11.m1.5.6.3">1</mn></msub><mrow id="S4.Ex11.m1.5.7"><mo id="S4.Ex11.m1.5.7.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex11.m1.5.5">t</mi><mo id="S4.Ex11.m1.5.7.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.5.8">∈</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.5.9"><mo id="S4.Ex11.m1.5.9.1" stretchy="false">[</mo><msub id="S4.Ex11.m1.5.9.2"><mi id="S4.Ex11.m1.5.9.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex11.m1.2.2.2.4"><mn id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex11.m1.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex11.m1.2.2.2.2">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex11.m1.5.9.3">,</mo><msub id="S4.Ex11.m1.5.9.4"><mi id="S4.Ex11.m1.5.9.4.2">e</mi><mrow id="S4.Ex11.m1.4.4.2.4"><mn id="S4.Ex11.m1.3.3.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex11.m1.4.4.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex11.m1.4.4.2.2">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex11.m1.5.9.5" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.5.10" rspace="0em">=</mo><mo id="S4.Ex11.m1.5.11" rspace="0.278em">:</mo><msup id="S4.Ex11.m1.5.12"><mi id="S4.Ex11.m1.5.12.2">𝔻</mi><mo id="S4.Ex11.m1.5.12.3">′</mo></msup><mo id="S4.Ex11.m1.5.13">⊂</mo><mi id="S4.Ex11.m1.5.14">𝔻</mi><mo id="S4.Ex11.m1.5.15">,</mo><mo id="S4.Ex11.m1.5.16" rspace="0.167em">∀</mo><mi id="S4.Ex11.m1.5.17">t</mi><mo id="S4.Ex11.m1.5.18">∈</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.5.19"><mo id="S4.Ex11.m1.5.19.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S4.Ex11.m1.5.19.2">0</mn><mo id="S4.Ex11.m1.5.19.3">,</mo><msub id="S4.Ex11.m1.5.19.4"><mi id="S4.Ex11.m1.5.19.4.2">τ</mi><mi id="S4.Ex11.m1.5.19.4.3">max</mi></msub><mo id="S4.Ex11.m1.5.19.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.5.20">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex11.m1.5c">\displaystyle e_{1}(t)\in[e_{1,L},e_{1,U}]=:\mathbb{D}^{\prime}\subset\mathbb{% D},\forall t\in[0,\tau_{\max}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex11.m1.5d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ] = : blackboard_D start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ blackboard_D , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p10.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2">where <math alttext="e_{1,L}=[e_{1,1,L},\ldots,e_{1,n,L}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.3" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.3.cmml">=</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.4.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.9.9" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.9.9.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.5" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.4.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.6.6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.6.6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.7.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.7.7.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11"><eq id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.3"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.4.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2">superscript</csymbol><list id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2"><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.5"><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.3.3.1.1">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.4.4.2.2">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.5.5.3.3">𝐿</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.9.9.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.9.9">…</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.5"><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.6.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.6.6.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.7.7.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.8.8.3.3">𝐿</ci></list></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11.11.2.4">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11c">e_{1,L}=[e_{1,1,L},\ldots,e_{1,n,L}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p10.3.1.m1.11d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_n , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="e_{1,U}=[e_{1,1,U},\ldots,e_{1,n,U}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.3" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.3.cmml">=</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.4.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.9.9" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.9.9.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.5" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.4.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.6.6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.6.6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.7.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.7.7.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11"><eq id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.3"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.4.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.4"><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2">superscript</csymbol><list id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2"><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.5"><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.3.3.1.1">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.4.4.2.2">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.5.5.3.3">𝑈</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.9.9.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.9.9">…</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.5"><cn id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.6.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.6.6.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.7.7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.7.7.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.8.8.3.3">𝑈</ci></list></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11.11.2.4">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11c">e_{1,U}=[e_{1,1,U},\ldots,e_{1,n,U}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p10.4.2.m2.11d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_n , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p11"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p11.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic ltx_framed ltx_framed_underline" id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1">Step <math alttext="(iii)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.4.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1.1.1.1.4">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1c">(iii)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.1.1.m1.1d">( italic_i italic_i italic_i )</annotation></semantics></math></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p11.11.11">: Finally, we prove <math alttext="\tau_{\max}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1.1.3"></max></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1c">\tau_{\max}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.2.2.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be extended to <math alttext="\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1.1.cmml">∞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1b"><infinity id="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1.1"></infinity></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1c">\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.3.3.m2.1d">∞</annotation></semantics></math>. We know that <math alttext="e_{1}(t)\in\mathbb{D}^{\prime},\forall t\in[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.2.cmml">𝔻</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1"><in id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.2">𝔻</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.3.3.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.2.2">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4c">e_{1}(t)\in\mathbb{D}^{\prime},\forall t\in[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.4.4.m3.4d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_D start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\mathbb{D}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1a"><msup id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.2.cmml">𝔻</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.2">𝔻</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1c">\mathbb{D}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.5.5.m4.1d">blackboard_D start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a non-empty compact subset of <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.6.6.m5.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>. However, if <math alttext="\tau_{\max}<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.1"></lt><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.2.3"></max></apply><infinity id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1c">\tau_{\max}<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.7.7.m6.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT < ∞</annotation></semantics></math> then according to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib42" title="">42</a>, Proposition C.3.6]</cite>, <math alttext="\exists t^{\prime}\in[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.1.cmml">∃</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3"><exists id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.1"></exists><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.3.2.3">′</ci></apply></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2c">\exists t^{\prime}\in[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.8.8.m7.2d">∃ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="e_{1}(t)\notin\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.1.cmml">∉</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.3.cmml">𝔻</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2"><notin id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.1"></notin><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.2">𝑒</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1.2.3">𝔻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1c">e_{1}(t)\notin\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.9.9.m8.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∉ blackboard_D</annotation></semantics></math>. This leads to a contradiction! Hence, we conclude that <math alttext="\tau_{\max}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.3.cmml">max</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1.1.3"></max></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1c">\tau_{\max}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.10.10.m9.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be extended to <math alttext="\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1.1.cmml">∞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1b"><infinity id="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1.1"></infinity></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1c">\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p11.11.11.m10.1d">∞</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p12"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p12.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2">Stage <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1.1">k</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p12.1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> (<math alttext="k\in[2;N]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3"><in id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.1"></in><ci id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.2">k</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.1.1">2</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2.2">N</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2c">k\in[2;N]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.m2.2d">italic_k ∈ [ 2 ; italic_N ]</annotation></semantics></math>):<span class="ltx_text ltx_font_medium" id="S4.Thmtheorem2.p12.2.2.1"></span></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p13"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p13.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1">Differentiating the normalized error <math alttext="e_{k}(x_{k},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2c">e_{k}(x_{k},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p13.1.1.m1.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> with respect to time and substituting the corresponding equations of the system dynamics (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>), we get</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx19"> <tbody id="S4.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{e_{k}}=(\gamma_{k,d}(t))^{-1}(f_{k}(x_{k})+g_{k}(x_{k})x_{k+% 1}+w_{k}-(\dot{r}_{k}(z_{k},t)+\dot{\gamma}_{k,d}(t)e_{k})):=h_{k}(t,e_{k})." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex12.m1.9"><semantics id="S4.Ex12.m1.9a"><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.1.cmml">˙</mo></mover><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.6" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Ex12.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex12.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex12.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex12.m1.5.5" xref="S4.Ex12.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2a" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3a" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.2.cmml">w</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.4" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex12.m1.6.6" xref="S4.Ex12.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex12.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex12.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex12.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.Ex12.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex12.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex12.m1.4.4.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex12.m1.7.7" xref="S4.Ex12.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.1a" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.7" rspace="0.278em" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.7.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex12.m1.8.8" xref="S4.Ex12.m1.8.8.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex12.m1.9b"><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1"><and id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1a.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1"></and><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1b.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1"><eq id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.6"></eq><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5"><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.1">˙</ci><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.5.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2"><times id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><ci id="S4.Ex12.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex12.m1.5.5">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1"><minus id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.4"></minus><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2"><plus id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3"><plus id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.1"></plus><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1"><plus id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1"><times id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex12.m1.6.6">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3"><times id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2"><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Ex12.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Ex12.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.4.4.2.2">𝑑</ci></list></apply><ci id="S4.Ex12.m1.7.7.cmml" xref="S4.Ex12.m1.7.7">𝑡</ci><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.3.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1c.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.7">assign</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.Ex12.m1.9.9.1.1.2.cmml" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1d.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1"></share><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3"><times id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.2"></times><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.2">ℎ</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1"><ci id="S4.Ex12.m1.8.8.cmml" xref="S4.Ex12.m1.8.8">𝑡</ci><apply id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex12.m1.9c">\displaystyle\dot{e_{k}}=(\gamma_{k,d}(t))^{-1}(f_{k}(x_{k})+g_{k}(x_{k})x_{k+% 1}+w_{k}-(\dot{r}_{k}(z_{k},t)+\dot{\gamma}_{k,d}(t)e_{k})):=h_{k}(t,e_{k}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex12.m1.9d">over˙ start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - ( over˙ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) + over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) := italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p13.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2">We also define the constraints for <math alttext="e_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1c">e_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p13.2.1.m1.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> through the open and bounded set <math alttext="\mathbb{D}:=(-1,1)^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.3.cmml">𝔻</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.2.cmml">:=</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.2">assign</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.3">𝔻</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1"><minus id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.1.1">1</cn></interval><ci id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2.2.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2c">\mathbb{D}:=(-1,1)^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p13.3.2.m2.2d">blackboard_D := ( - 1 , 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p14"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p14.13"><span class="ltx_text ltx_font_italic ltx_framed ltx_framed_underline" id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1">Step <math alttext="(i)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1c">(i)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.1.1.m1.1d">( italic_i )</annotation></semantics></math></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p14.13.13">: Since the initial state <math alttext="x_{k}(0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1c">x_{k}(0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.2.2.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math> satisfies <math alttext="-\gamma_{k,i}(0)<x_{k,i}(0)<\gamma_{k,i}(0),\forall i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2a" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.7.7" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.7.7.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.3.cmml"><</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.8.8" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.8.8.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.5" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.5.cmml"><</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.5.5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.5.5.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.9.9" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.9.9.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.10.10" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.10.10.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.11.11" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.11.11.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1"><and id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1"></and><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1b.cmml" 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xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.7.7.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.7.7">0</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4"><times id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.2.2">𝑥</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.8.8.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.8.8">0</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1c.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.4.cmml" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1d.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1"></share><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6"><times id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.12.12.1.1.6.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.5.5.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.9.9.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.9.9">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13.13.2.2.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.10.10.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.10.10">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.11.11.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.11.11">𝑛</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13c">-\gamma_{k,i}(0)<x_{k,i}(0)<\gamma_{k,i}(0),\forall i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.3.3.m2.13d">- italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) < italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) < italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) , ∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>, the initial normalized error <math alttext="e_{k}(0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1c">e_{k}(0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.4.4.m3.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math> is also within the constrained region <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.5.5.m4.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>. Further, the STTs are bounded and continuously differentiable functions of time, the functions <math alttext="f_{k}(x_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1c">f_{k}(x_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.6.6.m5.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="g_{k}(x_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1c">g_{k}(x_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.7.7.m6.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are locally Lipschitz and the control law <math alttext="r_{k+1}(z_{k+1},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.2">𝑟</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3"><plus id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3"><plus id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.1.1">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2c">r_{k+1}(z_{k+1},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.8.8.m7.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math> is smooth over <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.9.9.m8.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>. As a consequence, <math alttext="h_{k}(t,e_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.2.cmml">h</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.2">ℎ</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.1.1">𝑡</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2c">h_{k}(t,e_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.10.10.m9.2d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is bounded and continuously differentiable on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.11.11.m10.1d">italic_t</annotation></semantics></math> and locally Lipschitz on <math alttext="e_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1c">e_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.12.12.m11.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> over <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p14.13.13.m12.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p15"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p15.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3">Therefore, according to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib42" title="">42</a>, Theorem 54]</cite>, there exists a maximal solution to the initial value problem <math alttext="\dot{e_{k}}=h_{k}(t,e_{k}),e_{k}(0)\in\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">˙</mo></mover><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">𝔻</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3"><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.1">˙</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">ℎ</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4.4.2.2.3">𝔻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4c">\dot{e_{k}}=h_{k}(t,e_{k}),e_{k}(0)\in\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p15.1.1.m1.4d">over˙ start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) ∈ blackboard_D</annotation></semantics></math> on the time interval <math alttext="[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2b"><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2.2.1.1.3"></max></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2c">[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p15.2.2.m2.2d">[ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="e_{k}(t)\in\mathbb{D},\forall t\in[0,\tau_{\max})." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">𝔻</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1"><in id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">𝔻</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.2.2">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3c">e_{k}(t)\in\mathbb{D},\forall t\in[0,\tau_{\max}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p15.3.3.m3.3d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_D , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math> <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p16"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p16.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic ltx_framed ltx_framed_underline" id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1">Step <math alttext="(ii)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1c">(ii)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p16.1.1.m1.1d">( italic_i italic_i )</annotation></semantics></math></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2">: Consider the following positive definite and radially unbounded Lyapunov function candidate: <math alttext="V_{k}=\frac{1}{2}\varepsilon_{k}^{\top}\varepsilon_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1"><eq id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3"><times id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2"><divide id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2"></divide><cn id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.3.3">top</csymbol></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1.1.3.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1c">V_{k}=\frac{1}{2}\varepsilon_{k}^{\top}\varepsilon_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p16.2.2.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p17"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p17.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4">Differentiating <math alttext="V_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1c">V_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.1.1.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with respect to <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> and substituting <math alttext="\dot{\varepsilon_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.1">˙</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1c">\dot{\varepsilon_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.3.3.m3.1d">over˙ start_ARG italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, <math alttext="\dot{e_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1a"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.1">˙</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1c">\dot{e_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.4.4.m4.1d">over˙ start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, system dynamics (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Ex1" title="2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>), and the control strategy (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), we obtain:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx20"> <tbody id="S4.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{V}_{k}=\varepsilon_{k}^{T}\dot{\varepsilon}_{k}=\varepsilon_% {k}^{T}\frac{2}{1-e_{k}^{T}e_{k}}\dot{e}_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex13.m1.1"><semantics id="S4.Ex13.m1.1a"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex13.m1.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex13.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.cmml"><msubsup id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.4.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.2.cmml">ε</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.5" xref="S4.Ex13.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.6" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.cmml"><msubsup id="S4.Ex13.m1.1.1.6.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.6.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3a" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.cmml"><mn id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.3.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.6.1a" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex13.m1.1.1.6.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex13.m1.1.1.6.4.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.6.4.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.6.4.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.6.4.2.1" 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id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2"><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.2.2">𝜀</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.4.3.3.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over˙ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{2}\varepsilon_{k}^{T}\xi_{k}\left(\dot{x}_{k}-\dot{r}_{% k}(z_{k},t)-\dot{\gamma}_{k,d}e_{k}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex14.m1.4"><semantics id="S4.Ex14.m1.4a"><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4" xref="S4.Ex14.m1.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.4.4.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex14.m1.4.4.2" xref="S4.Ex14.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex14.m1.4.4.1" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex14.m1.4.4.1.3" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex14.m1.4.4.1.3a" xref="S4.Ex14.m1.4.4.1.3.cmml"><mn 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xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.2a" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.5" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.2b" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2.cmml">w</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex15.m1.3.3" xref="S4.Ex15.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.4a" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml"><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.2.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.2.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex15.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex15.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex15.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex15.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.1" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex15.m1.4b"><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4"><eq id="S4.Ex15.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex15.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1"><times id="S4.Ex15.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.3"><divide id="S4.Ex15.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.3"></divide><cn id="S4.Ex15.m1.4.4.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex15.m1.4.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.5.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1"><minus id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.4"></minus><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"></plus><apply 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id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply 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id="S4.Ex15.m1.4d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - over˙ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{2}\varepsilon_{k}^{T}\xi_{k}\big{(}f_{k}(x_{k})-\kappa_% {k}g_{k}(x_{k})\xi_{k}\varepsilon_{k}+w_{k}-\dot{r}_{k}(z_{k},t)-\dot{\gamma}_% {k,d}e_{k}\big{)}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex16.m1.4"><semantics id="S4.Ex16.m1.4a"><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3a" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.2b" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2a" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2b" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2c" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">w</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" 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xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex16.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex16.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex16.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex16.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex16.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex16.m1.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.1" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex16.m1.4b"><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1"><eq id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1"><times id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.5.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4"></minus><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><minus id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2">𝑔</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.6.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex16.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.3.3">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5"><times id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.1"></times><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2"><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Ex16.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Ex16.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex16.m1.4c">\displaystyle=\frac{1}{2}\varepsilon_{k}^{T}\xi_{k}\big{(}f_{k}(x_{k})-\kappa_% {k}g_{k}(x_{k})\xi_{k}\varepsilon_{k}+w_{k}-\dot{r}_{k}(z_{k},t)-\dot{\gamma}_% {k,d}e_{k}\big{)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex16.m1.4d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - over˙ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p17.17"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p17.17.1">Using Rayleigh-Ritz inequality and Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#Thmassumption2" title="Assumption 2 ([23, 38]) ‣ 2.2 System Definition ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx21"> <tbody id="S4.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\underline{g_{k}}\|\varepsilon_{k}\|^{2}\|\xi_{k}\|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex17.m1.2"><semantics id="S4.Ex17.m1.2a"><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.Ex17.m1.2.2.4" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.4.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.2.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.4.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex17.m1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.3a" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex17.m1.2.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub 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xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.1.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\lambda_{\min}(g_{k}(x_{k}))\|\varepsilon_{k}\|^{2}\|\xi_{k}% \|^{2}\leq\varepsilon_{k}^{\top}\xi_{k}g_{k}(x_{k})\xi_{k}\varepsilon_{k}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex17.m2.1"><semantics id="S4.Ex17.m2.1a"><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.6.cmml"></mi><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.7" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.7.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.3.cmml">min</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.4a" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.4b" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.8" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.8.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.4" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.4.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.4.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.4.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.2a" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.5" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.5.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.5.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.5.2.cmml">g</mi><mi 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id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.2d" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.cmml"><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.3" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex17.m2.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex17.m2.1b"><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1"><and id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1"><leq id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.7"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.6">absent</csymbol><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.4"></times><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.2">𝜆</ci><min id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.5.3"></min></apply><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn 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id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.6.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.6.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.6.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.6.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.6.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.6.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.1.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.2.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.3.cmml" xref="S4.Ex17.m2.1.1.1.1.4.7.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation 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italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\implies-\frac{1}{2}\kappa_{k}\varepsilon_{k}^{\top}\xi_{k}g_{k}(% x_{k})\xi_{k}\varepsilon_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex18.m1.1"><semantics id="S4.Ex18.m1.1a"><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.cmml">⟹</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1a" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.3" 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xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.9">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.9.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.9.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.9.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.9.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex18.m1.1c">\displaystyle\implies-\frac{1}{2}\kappa_{k}\varepsilon_{k}^{\top}\xi_{k}g_{k}(% x_{k})\xi_{k}\varepsilon_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex18.m1.1d">⟹ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq-\frac{1}{2}\kappa_{k}\underline{g_{k}}\|\varepsilon_{k}\|^{2% }\|\xi_{k}\|^{2}=-\kappa_{g}^{k}\|\varepsilon_{k}\|^{2}\|\xi_{k}\|^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex18.m2.1"><semantics id="S4.Ex18.m2.1a"><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.6.cmml"></mi><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.7" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.7.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4a" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.5" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.5.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><munder accentunder="true" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.cmml"><msub id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.2.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.2.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.2.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.1" 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xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.8" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4a" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.2.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.2.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.3a" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex18.m2.1b"><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1"><and id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1"><leq id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.7"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.6">absent</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4"><divide id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4"></divide><cn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" 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xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.6.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1"><eq id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.8.cmml" 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xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.3.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex18.m2.1.1.1.1.4.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex18.m2.1c">\displaystyle\leq-\frac{1}{2}\kappa_{k}\underline{g_{k}}\|\varepsilon_{k}\|^{2% }\|\xi_{k}\|^{2}=-\kappa_{g}^{k}\|\varepsilon_{k}\|^{2}\|\xi_{k}\|^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex18.m2.1d">≤ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT under¯ start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p17.16"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12">Therefore, <math alttext="\dot{V}_{k}\leq-\kappa_{g}^{k}\|\varepsilon_{k}\|^{2}\|\xi_{k}\|^{2}+\|% \varepsilon_{k}\|\|\xi_{k}\|\|\Phi_{k}\|," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.2.cmml">V</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2a" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3a" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.6" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">+</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.4a" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.2.cmml">Φ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.5.5.3.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1"><leq id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.6"></leq><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.5.1.m1.1.1.1.1.7.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ,</annotation></semantics></math> where <math alttext="\Phi_{k}:=\frac{1}{2}\left(f_{k}(x_{k})+w_{k}-\dot{r}_{k}(z_{k},t)-\dot{\gamma% }_{k,d}e_{k}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.2.cmml">Φ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.2.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.cmml"><mfrac id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.cmml"><mn id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.2">assign</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.2">Φ</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3"><divide id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3"></divide><cn id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1"><minus id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.3.3">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4c">\Phi_{k}:=\frac{1}{2}\left(f_{k}(x_{k})+w_{k}-\dot{r}_{k}(z_{k},t)-\dot{\gamma% }_{k,d}e_{k}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.6.2.m2.4d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT := divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - over˙ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) - over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. From the construction of <math alttext="\gamma_{k,d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.3.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2c">\gamma_{k,d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.7.3.m3.2d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> we know that <math alttext="\dot{\gamma}_{k,d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.3.2.2">𝛾</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2c">\dot{\gamma}_{k,d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.8.4.m4.2d">over˙ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is bounded . From step k-a, we have <math alttext="e_{k}(t)\in\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.3.cmml">𝔻</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1.2.3">𝔻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1c">e_{k}(t)\in\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.9.5.m5.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_D</annotation></semantics></math> and consequently <math alttext="\forall i\in[1;n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3"><in id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.2.2">𝑖</ci></apply><list id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.3.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2.2">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2c">\forall i\in[1;n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.10.6.m6.2d">∀ italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="x_{k,i}(t)\in(-\gamma_{k,i}(t),\gamma_{k,i}(t))" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.7.7" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.7.7.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.8.8" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.8.8.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.5.5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.5.5.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.9.9" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11"><in id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.3"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.4.2.2">𝑥</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.7.7.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.7.7">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1"><minus id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1"></minus><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.10.10.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.8.8.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.8.8">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11.11.2.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.5.5.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.9.9.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.9.9">𝑡</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11c">x_{k,i}(t)\in(-\gamma_{k,i}(t),\gamma_{k,i}(t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.11.7.m7.11d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ ( - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) )</annotation></semantics></math>. Thus, owing to the continuity of <math alttext="f_{k}(x_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1c">f_{k}(x_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.12.8.m8.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and employing the extreme value theorem, we can infer <math alttext="\|f_{k}(x_{k})\|<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.2.cmml"><</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.2"></lt><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><infinity id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1c">\|f_{k}(x_{k})\|<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.13.9.m9.1d">∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ∥ < ∞</annotation></semantics></math>. Also, since <math alttext="r_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1c">r_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.14.10.m10.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is bounded, we can say that <math alttext="\dot{r}_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2"><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.1">˙</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1c">\dot{r}_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.15.11.m11.1d">over˙ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is bounded. Hence, <math alttext="\|\Phi_{k}\|<\infty,\forall t\in[0,\tau_{max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">Φ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.2.cmml"><</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.2.2.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.4" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.4.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.2"></lt><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.2">Φ</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><infinity id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.2.2"></infinity></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.3">𝑎</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4.4.2.2.1.1.1.3.4">𝑥</ci></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4c">\|\Phi_{k}\|<\infty,\forall t\in[0,\tau_{max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p17.16.12.m12.4d">∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ < ∞ , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p18"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p18.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2">Now add and substract <math alttext="\kappa_{g}^{k}\theta\left\lVert\varepsilon_{k}\right\rVert^{2}\|\xi_{k}\|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.5" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.5.cmml">θ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.3a" lspace="0em" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.3b" lspace="0em" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.3"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.4.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.5.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.5">𝜃</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2c">\kappa_{g}^{k}\theta\left\lVert\varepsilon_{k}\right\rVert^{2}\|\xi_{k}\|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p18.1.1.m1.2d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\theta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3"><in id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.1"></in><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.2">𝜃</ci><interval closure="open" id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2c">\theta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p18.2.2.m2.2d">italic_θ ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>.</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx22"> <tbody id="S4.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{V_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex19.m1.1"><semantics id="S4.Ex19.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.Ex19.m1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex19.m1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex19.m1.1b"><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1"><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1">˙</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex19.m1.1c">\displaystyle\dot{V_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex19.m1.1d">over˙ start_ARG italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{k}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{k}\right% \rVert^{2}\|\xi_{k}\|^{2}-\left\lVert\varepsilon_{k}\right\rVert\|\xi_{k}\|% \left(\kappa_{g}^{k}\theta\left\lVert\varepsilon_{k}\right\rVert\|\xi_{k}\|-\|% \Phi_{k}\|\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex19.m2.6"><semantics id="S4.Ex19.m2.6a"><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6" xref="S4.Ex19.m2.6.6.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.8" xref="S4.Ex19.m2.6.6.8.cmml"></mi><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.7" xref="S4.Ex19.m2.6.6.7.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6.6" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3a" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.2" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.3" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.3" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.4" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.4a" lspace="0em" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.4b" lspace="0em" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.7" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.7.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.4" lspace="0em" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.2" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.3" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.4a" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.2" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.5" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.5.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.3a" lspace="0em" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.3b" lspace="0em" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.4" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.2.cmml">Φ</mi><mi id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.3" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex19.m2.6b"><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6"><leq id="S4.Ex19.m2.6.6.7.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.7"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m2.6.6.8.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.8">absent</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6"><minus id="S4.Ex19.m2.6.6.6.7.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.7"></minus><apply id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3"><minus id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3"></minus><apply id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3"><times id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.4"></times><apply id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.5.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m2.3.3.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6"><times id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.4.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.4"></times><apply id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.4.4.4.4.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.5.5.5.5.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1"><minus id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.4"></minus><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2"><times id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.4.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.5.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.5">𝜃</ci><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.2">Φ</ci><ci id="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m2.6.6.6.6.3.1.1.3.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex19.m2.6c">\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{k}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{k}\right% \rVert^{2}\|\xi_{k}\|^{2}-\left\lVert\varepsilon_{k}\right\rVert\|\xi_{k}\|% \left(\kappa_{g}^{k}\theta\left\lVert\varepsilon_{k}\right\rVert\|\xi_{k}\|-\|% \Phi_{k}\|\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex19.m2.6d">≤ - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_θ ) ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ( italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ - ∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{k}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{k}\right% \rVert^{2}\left\lVert\xi_{k}\right\rVert^{2},\forall\kappa_{g}^{k}\theta\left% \lVert\varepsilon_{k}\right\rVert\|\xi_{k}\|-\|\Phi_{k}\|\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex20.m1.2"><semantics id="S4.Ex20.m1.2a"><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4a" lspace="0em" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4b" lspace="0em" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.3" rspace="0.167em" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">∀</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.3a" lspace="0em" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.3b" lspace="0em" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.4" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.2.cmml">Φ</mi><mi id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.4.cmml">≥</mo><mn id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.5.cmml">0</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex20.m1.2b"><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1"><leq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.4"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.5">absent</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4"></times><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.5.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2"><geq id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.4"></geq><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3"><minus id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.4"></minus><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.3">for-all</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.5">𝜃</ci><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.2">Φ</ci><ci id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.3.3.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.2.2.2.2.5">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex20.m1.2c">\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{k}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{k}\right% \rVert^{2}\left\lVert\xi_{k}\right\rVert^{2},\forall\kappa_{g}^{k}\theta\left% \lVert\varepsilon_{k}\right\rVert\|\xi_{k}\|-\|\Phi_{k}\|\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex20.m1.2d">≤ - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_θ ) ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ - ∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≥ 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{k}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{k}\right% \rVert^{2}\|\xi_{k}\|^{2},\forall\left\lVert\varepsilon_{k}\right\rVert\geq% \frac{\|\Phi_{k}\|}{\kappa_{g}^{k}\theta\|\xi_{k}\|},\ \forall t\in[0,\tau_{% \max})." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex21.m1.4"><semantics id="S4.Ex21.m1.4a"><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1"><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4a" lspace="0em" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4b" lspace="0em" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">∀</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" stretchy="true" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo fence="true" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" stretchy="true" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2" lspace="0.1389em" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml">≥</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex21.m1.2.2" xref="S4.Ex21.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex21.m1.2.2a" xref="S4.Ex21.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Φ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.Ex21.m1.2.2.2" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex21.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex21.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.4.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex21.m1.2.2.2.2a" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex21.m1.3.3" xref="S4.Ex21.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex21.m1.4b"><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1"><leq id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.4"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.5">absent</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4"></times><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1"><geq id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2"></geq><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2">for-all</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex21.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2"><divide id="S4.Ex21.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2"></divide><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2">Φ</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex21.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2"><times id="S4.Ex21.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex21.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.4">𝜃</ci><apply id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><in id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"></in><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1"><cn id="S4.Ex21.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex21.m1.3.3">0</cn><apply id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex21.m1.4c">\displaystyle\leq-\kappa_{g}^{k}(1-\theta)\left\lVert\varepsilon_{k}\right% \rVert^{2}\|\xi_{k}\|^{2},\forall\left\lVert\varepsilon_{k}\right\rVert\geq% \frac{\|\Phi_{k}\|}{\kappa_{g}^{k}\theta\|\xi_{k}\|},\ \forall t\in[0,\tau_{% \max}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex21.m1.4d">≤ - italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_θ ) ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ ∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≥ divide start_ARG ∥ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∥ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p18.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3">Therefore, we can conclude that there exists a time-independent upper bound <math alttext="\varepsilon_{k}^{*}\in\mathbb{R}_{0}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1"><in id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><times id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.2">ℝ</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><plus id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1c">\varepsilon_{k}^{*}\in\mathbb{R}_{0}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p18.3.1.m1.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to the transformed error <math alttext="\varepsilon_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1c">\varepsilon_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p18.4.2.m2.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="\|\varepsilon_{k}\|\leq\varepsilon_{k}^{*},\forall t\in[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">≤</mo><msubsup id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1"><leq id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.2"></leq><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.2">𝜀</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><times id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.2.2.1.1.3.3"></times></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3.3.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3c">\|\varepsilon_{k}\|\leq\varepsilon_{k}^{*},\forall t\in[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p18.5.3.m3.3d">∥ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≤ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p19"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p19.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p19.1.1">Consequently, taking inverse logarithmic function,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx23"> <tbody id="S4.Ex22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-1<\frac{e_{k,i}^{-\varepsilon_{k,i}^{*}}-1}{e_{k,i}^{-% \varepsilon_{k,i}^{*}}+1}=:e_{k,i,L}\leq e_{k,i}\leq e_{k,i,U}:=\frac{e_{k,i}^% {\varepsilon_{k,i}^{*}}-1}{e_{k,i}^{\varepsilon_{k,i}^{*}}+1}<1,\ \forall t\in% [0,\tau_{\max}),\ \text{for }i\in[1;n]." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex22.m1.24"><semantics id="S4.Ex22.m1.24a"><mrow id="S4.Ex22.m1.24b"><mo id="S4.Ex22.m1.24.25">−</mo><mn id="S4.Ex22.m1.24.26">1</mn><mo id="S4.Ex22.m1.24.27"><</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex22.m1.8.8"><mfrac id="S4.Ex22.m1.8.8a"><mrow id="S4.Ex22.m1.4.4.4"><msubsup id="S4.Ex22.m1.4.4.4.6"><mi id="S4.Ex22.m1.4.4.4.6.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.2.2.2.2.2.2">i</mi></mrow><mrow id="S4.Ex22.m1.4.4.4.4.2"><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.4.4.2a">−</mo><msubsup id="S4.Ex22.m1.4.4.4.4.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.4.4.4.4.2.4.2.2">ε</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.4.4.4.4.2.2.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.3.3.3.3.1.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.4.4.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.4.4.4.4.2.2.2.2">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.4.4.2.4.3">∗</mo></msubsup></mrow></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.4.4.4.5">−</mo><mn id="S4.Ex22.m1.4.4.4.7">1</mn></mrow><mrow id="S4.Ex22.m1.8.8.8"><msubsup id="S4.Ex22.m1.8.8.8.6"><mi id="S4.Ex22.m1.8.8.8.6.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.6.6.6.2.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.5.5.5.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.6.6.6.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.6.6.6.2.2.2">i</mi></mrow><mrow id="S4.Ex22.m1.8.8.8.4.2"><mo id="S4.Ex22.m1.8.8.8.4.2a">−</mo><msubsup id="S4.Ex22.m1.8.8.8.4.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.8.8.8.4.2.4.2.2">ε</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.8.8.8.4.2.2.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.7.7.7.3.1.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.8.8.8.4.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.8.8.8.4.2.2.2.2">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.8.8.8.4.2.4.3">∗</mo></msubsup></mrow></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.8.8.8.5">+</mo><mn id="S4.Ex22.m1.8.8.8.7">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex22.m1.24.28" rspace="0em">=</mo><mo id="S4.Ex22.m1.24.29" rspace="0.278em">:</mo><msub id="S4.Ex22.m1.24.30"><mi id="S4.Ex22.m1.24.30.2">e</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.11.11.3.5"><mi id="S4.Ex22.m1.9.9.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.11.11.3.5.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.10.10.2.2">i</mi><mo id="S4.Ex22.m1.11.11.3.5.2">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.11.11.3.3">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex22.m1.24.31">≤</mo><msub id="S4.Ex22.m1.24.32"><mi id="S4.Ex22.m1.24.32.2">e</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.13.13.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.12.12.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.13.13.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.13.13.2.2">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex22.m1.24.33">≤</mo><msub id="S4.Ex22.m1.24.34"><mi id="S4.Ex22.m1.24.34.2">e</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.16.16.3.5"><mi id="S4.Ex22.m1.14.14.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.16.16.3.5.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.15.15.2.2">i</mi><mo id="S4.Ex22.m1.16.16.3.5.2">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.16.16.3.3">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex22.m1.24.35" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex22.m1.24.24"><mfrac id="S4.Ex22.m1.24.24a"><mrow id="S4.Ex22.m1.20.20.4"><msubsup id="S4.Ex22.m1.20.20.4.6"><mi id="S4.Ex22.m1.20.20.4.6.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.18.18.2.2.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.17.17.1.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.18.18.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.18.18.2.2.2.2">i</mi></mrow><msubsup id="S4.Ex22.m1.20.20.4.4.2"><mi id="S4.Ex22.m1.20.20.4.4.2.4.2">ε</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.20.20.4.4.2.2.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.19.19.3.3.1.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.20.20.4.4.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.20.20.4.4.2.2.2.2">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.20.20.4.4.2.5">∗</mo></msubsup></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.20.20.4.5">−</mo><mn id="S4.Ex22.m1.20.20.4.7">1</mn></mrow><mrow id="S4.Ex22.m1.24.24.8"><msubsup id="S4.Ex22.m1.24.24.8.6"><mi id="S4.Ex22.m1.24.24.8.6.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.22.22.6.2.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.21.21.5.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.22.22.6.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.22.22.6.2.2.2">i</mi></mrow><msubsup id="S4.Ex22.m1.24.24.8.4.2"><mi id="S4.Ex22.m1.24.24.8.4.2.4.2">ε</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.24.24.8.4.2.2.2.4"><mi id="S4.Ex22.m1.23.23.7.3.1.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex22.m1.24.24.8.4.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex22.m1.24.24.8.4.2.2.2.2">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.24.24.8.4.2.5">∗</mo></msubsup></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.24.24.8.5">+</mo><mn id="S4.Ex22.m1.24.24.8.7">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex22.m1.24.36"><</mo><mn id="S4.Ex22.m1.24.37">1</mn><mo id="S4.Ex22.m1.24.38" rspace="0.667em">,</mo><mo id="S4.Ex22.m1.24.39" rspace="0.167em">∀</mo><mi id="S4.Ex22.m1.24.40">t</mi><mo id="S4.Ex22.m1.24.41">∈</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.24.42"><mo id="S4.Ex22.m1.24.42.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S4.Ex22.m1.24.42.2">0</mn><mo id="S4.Ex22.m1.24.42.3">,</mo><msub id="S4.Ex22.m1.24.42.4"><mi id="S4.Ex22.m1.24.42.4.2">τ</mi><mi id="S4.Ex22.m1.24.42.4.3">max</mi></msub><mo id="S4.Ex22.m1.24.42.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.24.43" rspace="0.667em">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex22.m1.24.44">for </mtext><mi id="S4.Ex22.m1.24.45">i</mi><mo id="S4.Ex22.m1.24.46">∈</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.24.47"><mo id="S4.Ex22.m1.24.47.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S4.Ex22.m1.24.47.2">1</mn><mo id="S4.Ex22.m1.24.47.3">;</mo><mi id="S4.Ex22.m1.24.47.4">n</mi><mo id="S4.Ex22.m1.24.47.5" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex22.m1.24.48" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex22.m1.24c">\displaystyle-1<\frac{e_{k,i}^{-\varepsilon_{k,i}^{*}}-1}{e_{k,i}^{-% \varepsilon_{k,i}^{*}}+1}=:e_{k,i,L}\leq e_{k,i}\leq e_{k,i,U}:=\frac{e_{k,i}^% {\varepsilon_{k,i}^{*}}-1}{e_{k,i}^{\varepsilon_{k,i}^{*}}+1}<1,\ \forall t\in% [0,\tau_{\max}),\ \text{for }i\in[1;n].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex22.m1.24d">- 1 < divide start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG = : italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i , italic_U end_POSTSUBSCRIPT := divide start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG < 1 , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ) , for italic_i ∈ [ 1 ; italic_n ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p20"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p20.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p20.2.2">Therefore, by employing the control law (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), we can constrain <math alttext="e_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1c">e_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p20.1.1.m1.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to a compact subset of <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p20.2.2.m2.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math> as:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx24"> <tbody id="S4.Ex23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle e_{k}(t)\in[e_{k,L},e_{k,U}]=:\mathbb{D}^{\prime}\subset\mathbb{% D},\forall t\in[0,\tau_{\max})," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex23.m1.5"><semantics id="S4.Ex23.m1.5a"><mrow id="S4.Ex23.m1.5b"><msub id="S4.Ex23.m1.5.6"><mi id="S4.Ex23.m1.5.6.2">e</mi><mi id="S4.Ex23.m1.5.6.3">k</mi></msub><mrow id="S4.Ex23.m1.5.7"><mo id="S4.Ex23.m1.5.7.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex23.m1.5.5">t</mi><mo id="S4.Ex23.m1.5.7.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.5.8">∈</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.5.9"><mo id="S4.Ex23.m1.5.9.1" stretchy="false">[</mo><msub id="S4.Ex23.m1.5.9.2"><mi id="S4.Ex23.m1.5.9.2.2">e</mi><mrow id="S4.Ex23.m1.2.2.2.4"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex23.m1.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex23.m1.2.2.2.2">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex23.m1.5.9.3">,</mo><msub id="S4.Ex23.m1.5.9.4"><mi id="S4.Ex23.m1.5.9.4.2">e</mi><mrow id="S4.Ex23.m1.4.4.2.4"><mi id="S4.Ex23.m1.3.3.1.1">k</mi><mo id="S4.Ex23.m1.4.4.2.4.1">,</mo><mi id="S4.Ex23.m1.4.4.2.2">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex23.m1.5.9.5" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.5.10" rspace="0em">=</mo><mo id="S4.Ex23.m1.5.11" rspace="0.278em">:</mo><msup id="S4.Ex23.m1.5.12"><mi id="S4.Ex23.m1.5.12.2">𝔻</mi><mo id="S4.Ex23.m1.5.12.3">′</mo></msup><mo id="S4.Ex23.m1.5.13">⊂</mo><mi id="S4.Ex23.m1.5.14">𝔻</mi><mo id="S4.Ex23.m1.5.15">,</mo><mo id="S4.Ex23.m1.5.16" rspace="0.167em">∀</mo><mi id="S4.Ex23.m1.5.17">t</mi><mo id="S4.Ex23.m1.5.18">∈</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.5.19"><mo id="S4.Ex23.m1.5.19.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S4.Ex23.m1.5.19.2">0</mn><mo id="S4.Ex23.m1.5.19.3">,</mo><msub id="S4.Ex23.m1.5.19.4"><mi id="S4.Ex23.m1.5.19.4.2">τ</mi><mi id="S4.Ex23.m1.5.19.4.3">max</mi></msub><mo id="S4.Ex23.m1.5.19.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.5.20">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex23.m1.5c">\displaystyle e_{k}(t)\in[e_{k,L},e_{k,U}]=:\mathbb{D}^{\prime}\subset\mathbb{% D},\forall t\in[0,\tau_{\max}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex23.m1.5d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ] = : blackboard_D start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ blackboard_D , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p20.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2">where, <math alttext="e_{k,L}=[e_{k,1,L},\ldots,e_{k,n,L}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.3" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.3.cmml">=</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.9.9" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.9.9.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.5" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.6.6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.7.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.7.7.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11"><eq id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.3"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.4.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2">superscript</csymbol><list id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2"><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.10.10.1.1.1.1.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.5"><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.3.3.1.1">𝑘</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.4.4.2.2">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.5.5.3.3">𝐿</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.9.9.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.9.9">…</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.2.2.2.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.5"><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.6.6.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.7.7.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.8.8.3.3">𝐿</ci></list></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11.11.2.4">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11c">e_{k,L}=[e_{k,1,L},\ldots,e_{k,n,L}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p20.3.1.m1.11d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_L end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_n , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="e_{k,U}=[e_{k,1,U},\ldots,e_{k,n,U}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.3" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.3.cmml">=</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.9.9" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.9.9.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.5" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.5" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.6.6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.5.1" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.7.7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.7.7.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.5.2" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.3.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.4" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11"><eq id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.3"></eq><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.4.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2">superscript</csymbol><list id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2"><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.10.10.1.1.1.1.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.5"><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.3.3.1.1">𝑘</ci><cn id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.4.4.2.2">1</cn><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.5.5.3.3">𝑈</ci></list></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.9.9.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.9.9">…</ci><apply id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.2.2.2.2">𝑒</ci><list id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.5"><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.6.6.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.7.7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.7.7.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.8.8.3.3">𝑈</ci></list></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11.11.2.4">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11c">e_{k,U}=[e_{k,1,U},\ldots,e_{k,n,U}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p20.4.2.m2.11d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_U end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_n , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.Thmtheorem2.p21"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p21.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic ltx_framed ltx_framed_underline" id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1">Step <math alttext="(iii)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.4.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1"><times id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1.1.1.1.4">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1c">(iii)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.1.1.m1.1d">( italic_i italic_i italic_i )</annotation></semantics></math></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p21.11.11">: Finally, we prove <math alttext="\tau_{\max}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1.1.3"></max></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1c">\tau_{\max}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.2.2.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be extended to <math alttext="\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1.1.cmml">∞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1b"><infinity id="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1.1"></infinity></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1c">\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.3.3.m2.1d">∞</annotation></semantics></math>. We know that <math alttext="e_{k}(t)\in\mathbb{D}^{\prime},\forall t\in[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.2.cmml">𝔻</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.3a.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1"><in id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.2">𝔻</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.3.3.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.3.2">𝑡</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.2.2">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4.4.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4c">e_{k}(t)\in\mathbb{D}^{\prime},\forall t\in[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.4.4.m3.4d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_D start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_t ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\mathbb{D}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1a"><msup id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.2.cmml">𝔻</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.2">𝔻</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1c">\mathbb{D}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.5.5.m4.1d">blackboard_D start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a non-empty compact subset of <math alttext="\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1.1.cmml">𝔻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1b"><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1.1">𝔻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1c">\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.6.6.m5.1d">blackboard_D</annotation></semantics></math>. However, if <math alttext="\tau_{\max}<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1"><lt id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.1"></lt><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.2.3"></max></apply><infinity id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1c">\tau_{\max}<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.7.7.m6.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT < ∞</annotation></semantics></math> then according to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib42" title="">42</a>, Proposition C.3.6]</cite>, <math alttext="\exists t^{\prime}\in[0,\tau_{\max})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.1.cmml">∃</mo><msup id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">[</mo><mn id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2"><in id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.2"></in><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3"><exists id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.1"></exists><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.3.2.3">′</ci></apply></apply><interval closure="closed-open" id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.1.1">0</cn><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2.2.1.1.1.3"></max></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2c">\exists t^{\prime}\in[0,\tau_{\max})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.8.8.m7.2d">∃ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="e_{k}(t)\notin\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1a"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.cmml"><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.1.cmml">∉</mo><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.3.cmml">𝔻</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2"><notin id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.1"></notin><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2"><times id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1.2.3">𝔻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1c">e_{k}(t)\notin\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.9.9.m8.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∉ blackboard_D</annotation></semantics></math>. This leads to a contradiction! Hence, we conclude that <math alttext="\tau_{\max}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1a"><msub id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1" xref="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.2" xref="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.3" xref="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.3.cmml">max</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1b"><apply id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.2">𝜏</ci><max id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1.1.3"></max></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1c">\tau_{\max}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.10.10.m9.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be extended to <math alttext="\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1"><semantics id="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1a"><mi id="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1.1.cmml">∞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1b"><infinity id="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1.1.cmml" xref="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1.1"></infinity></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1c">\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmtheorem2.p21.11.11.m10.1d">∞</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem2.p22"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem2.p22.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem2.p22.1.1">Thus, the control strategy in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) solves the T-RAS task as mentioned in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S2.Thmtheorem2" title="Definition 2.2 (Temporal reach-avoid-stay (T-RAS) task) ‣ 2.3 Problem Formulation ‣ 2 Preliminaries and Problem Formulation ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>, hence completing the proof.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S4.Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmtheorem3.1.1.1">Remark 4.3</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmtheorem3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmtheorem3.p1.1.1">Note that the closed-form time-dependent control law (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) is approximation-free and guarantees the satisfaction of T-RAS specifications for control affine MIMO pure-feedback systems with unknown dynamics.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Case Study</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">To show the effectiveness of our approach to constructing the STT-based controllers for the temporal reach-avoid-stay tasks, we consider three different case studies: (i) an omnidirectional robot, (ii) a 2-link manipulator, and (iii) a magnetic levitator system.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.1 </span>Omnidirectional Robot</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.5">Consider the omnidirectional robot adopted from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite> and defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx25"> <tbody id="S5.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{bmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\\ \dot{x}_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{x_{3}}&-\sin{x_{3}}&0\\ \sin{x_{3}}&\cos{x_{3}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ \omega\end{bmatrix}+w(t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E11.m1.5"><semantics id="S5.E11.m1.5a"><mrow id="S5.E11.m1.5.5.1" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.E11.m1.5.5.1.1" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.E11.m1.1.1a.3" xref="S5.E11.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.E11.m1.1.1a.3.1" xref="S5.E11.m1.1.1a.2.1.cmml">[</mo><mtable id="S5.E11.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.E11.m1.1.1.1.1a" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E11.m1.1.1.1.1b" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd></mtr><mtr id="S5.E11.m1.1.1.1.1c" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E11.m1.1.1.1.1d" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub></mtd></mtr><mtr id="S5.E11.m1.1.1.1.1e" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E11.m1.1.1.1.1f" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.1" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">3</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.E11.m1.1.1a.3.2" xref="S5.E11.m1.1.1a.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo 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xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.E11.m1.2.2.1.1c" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1a" rspace="0.167em" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2a" lspace="0.167em" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml">⁡</mo><msub id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.E11.m1.2.2.1.1d" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.E11.m1.2.2.1.1e" 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id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2"><ci id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1">˙</ci><ci id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.E11.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1"><apply id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2"><ci id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.1">˙</ci><ci id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E11.m1.1.1.1.1.3.1.1.3">3</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.2"><plus id="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.2"><times id="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.2.1"></times><apply id="S5.E11.m1.2.2a.2.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E11.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.E11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="S5.E11.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1"><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1"><cos id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></cos><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1"><minus id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2"><sin id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.1"></sin><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.2.3">3</cn></apply></apply></apply><cn id="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" type="integer" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.1.3.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.E11.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1"><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1"><sin id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"></sin><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1"><cos id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.1"></cos><apply id="S5.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml" 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id="S5.E11.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.E11.m1.3.3.1.1.3.1.1">𝜔</ci></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.3"><times id="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E11.m1.5.5.1.1.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S5.E11.m1.4.4.cmml" xref="S5.E11.m1.4.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E11.m1.5c">\displaystyle\begin{bmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\\ \dot{x}_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{x_{3}}&-\sin{x_{3}}&0\\ \sin{x_{3}}&\cos{x_{3}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ \omega\end{bmatrix}+w(t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E11.m1.5d">[ start_ARG start_ROW start_CELL over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] = [ start_ARG start_ROW start_CELL roman_cos italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL - roman_sin italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL roman_sin italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL roman_cos italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARG ] [ start_ARG start_ROW start_CELL italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_v start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_ω end_CELL end_ROW end_ARG ] + italic_w ( italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.4">where the state vector <math alttext="[x_{1},x_{2},x_{3}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.1.m1.3"><semantics id="S5.SS1.p1.1.m1.3a"><msup id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">[</mo><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.5" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.6" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.5" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.5.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.1.m1.3b"><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3">superscript</csymbol><list id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3"><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.3.3.5">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.1.m1.3c">[x_{1},x_{2},x_{3}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.1.m1.3d">[ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> captures the robot’s pose, <math alttext="[v_{1},v_{2},\omega]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.2.m2.3"><semantics id="S5.SS1.p1.2.m2.3a"><msup id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml">[</mo><msub id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">v</mi><mn id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.4" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.5" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.4" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.4.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.2.m2.3b"><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3">superscript</csymbol><list id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2"><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝑣</ci><cn id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1">𝜔</ci></list><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.3.3.4">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.2.m2.3c">[v_{1},v_{2},\omega]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.2.m2.3d">[ italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_ω ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the input velocity vector in the robot’s frame, and <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.3.m3.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.3.m3.1d">italic_w</annotation></semantics></math> is an external disturbance, with output of the system being <math alttext="y=[x_{1},x_{2}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.4.m4.2"><semantics id="S5.SS1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.4" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.4.cmml">y</mi><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml">=</mo><msup id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.4" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.4" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.4.m4.2b"><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2"><eq id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.3"></eq><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.4">𝑦</ci><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2">superscript</csymbol><interval closure="closed" id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2"><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.4">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.4.m4.2c">y=[x_{1},x_{2}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.4.m4.2d">italic_y = [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p2.1">The robot is operating in a 2D environment with obstacles in the presence of unknown bounded external disturbance. The unsafe set covers the start zone (<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS1.p2.1.1">i.e.,</span> initial state) and goal (<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS1.p2.1.2">i.e.,</span> target state) in such a way that the adaptive tube proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib33" title="">33</a>]</cite> can not be framed from the initial state to the target set, avoiding the unsafe region.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p3.7">The starting zone of the robot is <math alttext="{\mathbf{S}}=[1,1.5]\times[2,2.5]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.1.m1.4"><semantics id="S5.SS1.p3.1.m1.4a"><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml">1.5</mn><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.1" rspace="0.222em" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.3.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml">2</mn><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml">2.5</mn><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.1.m1.4b"><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5"><eq id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.1"></eq><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.2">𝐒</ci><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3"><times id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.1"></times><interval closure="closed" id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.2"><cn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1">1</cn><cn id="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.1.m1.2.2">1.5</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2"><cn id="S5.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.1.m1.3.3">2</cn><cn id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4">2.5</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.1.m1.4c">{\mathbf{S}}=[1,1.5]\times[2,2.5]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.1.m1.4d">bold_S = [ 1 , 1.5 ] × [ 2 , 2.5 ]</annotation></semantics></math> while the target region is <math alttext="{\mathbf{T}}=[4.5,5]\times[4.5,5]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.2.m2.4"><semantics id="S5.SS1.p3.2.m2.4a"><mrow id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.1" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">4.5</mn><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS1.p3.2.m2.2.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.2.2.cmml">5</mn><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.1" rspace="0.222em" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p3.2.m2.3.3" xref="S5.SS1.p3.2.m2.3.3.cmml">4.5</mn><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.2.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS1.p3.2.m2.4.4" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.4.cmml">5</mn><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.2.m2.4b"><apply id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5"><eq id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.1"></eq><ci id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.2">𝐓</ci><apply id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3"><times id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.1"></times><interval closure="closed" id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.2.2"><cn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1">4.5</cn><cn id="S5.SS1.p3.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.2.m2.2.2">5</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.5.3.3.2"><cn id="S5.SS1.p3.2.m2.3.3.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.2.m2.3.3">4.5</cn><cn id="S5.SS1.p3.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.2.m2.4.4">5</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.2.m2.4c">{\mathbf{T}}=[4.5,5]\times[4.5,5]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.2.m2.4d">bold_T = [ 4.5 , 5 ] × [ 4.5 , 5 ]</annotation></semantics></math>. The time bound for reaching the target is considered as <math alttext="t_{c}=5" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">t</mi><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml">5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3">5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.3.m3.1c">t_{c}=5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.3.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 5</annotation></semantics></math>. The unsafe set (red colored), as shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5.1 Omnidirectional Robot ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(a), is assumed to present at the same location for the complete time-horizon <math alttext="[0,t_{c}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.4.m4.2"><semantics id="S5.SS1.p3.4.m4.2a"><mrow id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.2.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.3" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.4.m4.2b"><interval closure="closed" id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1"><cn id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1">0</cn><apply id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.4.m4.2c">[0,t_{c}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.4.m4.2d">[ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. As discussed in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3" title="3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, we consider the template for the STTs as second-order polynomials in time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.5.m5.1"><semantics id="S5.SS1.p3.5.m5.1a"><mi id="S5.SS1.p3.5.m5.1.1" xref="S5.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.5.m5.1b"><ci id="S5.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>: <math alttext="p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.6.m6.6"><semantics id="S5.SS1.p3.6.m6.6a"><mrow id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.cmml"><mrow id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.cmml"><msub id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2.2" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.4" xref="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.4.1" xref="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.1" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.3.2" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS1.p3.6.m6.3.3" xref="S5.SS1.p3.6.m6.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.2" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.2.cmml">{</mo><mn id="S5.SS1.p3.6.m6.4.4" xref="S5.SS1.p3.6.m6.4.4.cmml">1</mn><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p3.6.m6.5.5" xref="S5.SS1.p3.6.m6.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.4" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.2.cmml">,</mo><msup id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.5" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.6.m6.6b"><apply id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6"><eq id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.2"></eq><apply id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3"><times id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.1"></times><apply id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.3.2.2">𝑝</ci><list id="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.4"><ci id="S5.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S5.SS1.p3.6.m6.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.3.3">𝑡</ci></apply><set id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1"><cn id="S5.SS1.p3.6.m6.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.6.m6.4.4">1</cn><ci id="S5.SS1.p3.6.m6.5.5.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.5.5">𝑡</ci><apply id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.6.m6.6.6.1.1.1.3">2</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.6.m6.6c">p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.6.m6.6d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = { 1 , italic_t , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, for <math alttext="{\mathcal{o}}=\{L,U\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.7.m7.2"><semantics id="S5.SS1.p3.7.m7.2a"><mrow id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.2" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.2.cmml">ℴ</mi><mo id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.1" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.2" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.SS1.p3.7.m7.1.1" xref="S5.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml">L</mi><mo id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.2.2" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p3.7.m7.2.2" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.7.m7.2b"><apply id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3"><eq id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.1"></eq><ci id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.2">ℴ</ci><set id="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.3.3.2"><ci id="S5.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.7.m7.1.1">𝐿</ci><ci id="S5.SS1.p3.7.m7.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.7.m7.2.2">𝑈</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.7.m7.2c">{\mathcal{o}}=\{L,U\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.7.m7.2d">caligraphic_o = { italic_L , italic_U }</annotation></semantics></math>. The STT obtained to solve the T-RAS task for this case is given by the following curves:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx26"> <tbody id="S5.Ex24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex24.m1.6"><semantics id="S5.Ex24.m1.6a"><mrow id="S5.Ex24.m1.6.6" xref="S5.Ex24.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex24.m1.6.6.3" xref="S5.Ex24.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex24.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex24.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex24.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex24.m1.6.6.2" xref="S5.Ex24.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex24.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex24.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex24.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex24.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex24.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex24.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex24.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex24.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex24.m1.5.5" xref="S5.Ex24.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex24.m1.6b"><apply id="S5.Ex24.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6"><times id="S5.Ex24.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex24.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex24.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex24.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex24.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex24.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S5.Ex24.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex24.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex24.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex24.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=1+0.2377t+0.0925t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex24.m2.1"><semantics id="S5.Ex24.m2.1a"><mrow id="S5.Ex24.m2.1.1.1" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.2377</mn><mo id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mn id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml">0.0925</mn><mo id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.1" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex24.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex24.m2.1b"><apply id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><cn id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.2377</cn><ci id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4"><times id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.1"></times><cn id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.2">0.0925</cn><apply id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m2.1.1.1.1.3.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex24.m2.1c">\displaystyle=1+0.2377t+0.0925t^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex24.m2.1d">= 1 + 0.2377 italic_t + 0.0925 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex25.m1.6"><semantics id="S5.Ex25.m1.6a"><mrow id="S5.Ex25.m1.6.6" xref="S5.Ex25.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex25.m1.6.6.3" xref="S5.Ex25.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex25.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex25.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex25.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex25.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex25.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex25.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex25.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex25.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex25.m1.6.6.2" xref="S5.Ex25.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex25.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex25.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex25.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex25.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex25.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex25.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex25.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex25.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex25.m1.5.5" xref="S5.Ex25.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex25.m1.6b"><apply id="S5.Ex25.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6"><times id="S5.Ex25.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex25.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex25.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex25.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex25.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex25.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex25.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex25.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex25.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex25.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex25.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex25.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex25.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S5.Ex25.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex25.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex25.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex25.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=1.5-0.0023t+0.1405t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex25.m2.1"><semantics id="S5.Ex25.m2.1a"><mrow id="S5.Ex25.m2.1.1.1" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1.5</mn><mo id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">0.0023</mn><mo id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.1405</mn><mo id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex25.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex25.m2.1b"><apply id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.2">1.5</cn><apply id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">0.0023</cn><ci id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.1405</cn><apply id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex25.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex25.m2.1c">\displaystyle=1.5-0.0023t+0.1405t^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex25.m2.1d">= 1.5 - 0.0023 italic_t + 0.1405 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{2,L}(c_{2,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex26.m1.6"><semantics id="S5.Ex26.m1.6a"><mrow id="S5.Ex26.m1.6.6" xref="S5.Ex26.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex26.m1.6.6.3" xref="S5.Ex26.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex26.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex26.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex26.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex26.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex26.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex26.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex26.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex26.m1.6.6.2" xref="S5.Ex26.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex26.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex26.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex26.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex26.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex26.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex26.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex26.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex26.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex26.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex26.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex26.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex26.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex26.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex26.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex26.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex26.m1.5.5" xref="S5.Ex26.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex26.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex26.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex26.m1.6b"><apply id="S5.Ex26.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex26.m1.6.6"><times id="S5.Ex26.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex26.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.6.6.3.2.cmml" 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id="S5.Ex26.m1.6c">\displaystyle\gamma_{2,L}(c_{2,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex26.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2-1.9782t+0.4956t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex26.m2.1"><semantics id="S5.Ex26.m2.1a"><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1.9782</mn><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.4956</mn><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.2" 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cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex27.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1">2</cn><ci id="S5.Ex27.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex27.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex27.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex27.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.3.3.1.1">2</cn><ci id="S5.Ex27.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S5.Ex27.m1.5.5.cmml" 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id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2.5</mn><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">2.2183</mn><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.5437</mn><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex27.m2.1b"><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.2">2.5</cn><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">2.2183</cn><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.5437</cn><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex27.m2.1c">\displaystyle=2.5-2.2183t+0.5437t^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex27.m2.1d">= 2.5 - 2.2183 italic_t + 0.5437 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p4.10">The Lipschitz constants <math alttext="\mathcal{L}_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p4.1.m1.1a"><msub id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.1.m1.1c">\mathcal{L}_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}_{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p4.2.m2.1a"><msub id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">U</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.2.m2.1c">\mathcal{L}_{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.2.m2.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are estimated to be <math alttext="2.93" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p4.3.m3.1a"><mn id="S5.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml">2.93</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.3.m3.1b"><cn id="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.3.m3.1.1">2.93</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.3.m3.1c">2.93</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.3.m3.1d">2.93</annotation></semantics></math> and <math alttext="3.17" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p4.4.m4.1a"><mn id="S5.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml">3.17</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.4.m4.1b"><cn id="S5.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.4.m4.1.1">3.17</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.4.m4.1c">3.17</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.4.m4.1d">3.17</annotation></semantics></math>, respectively, so <math alttext="\mathcal{L}=6.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.5.m5.1"><semantics id="S5.SS1.p4.5.m5.1a"><mrow id="S5.SS1.p4.5.m5.1.1" xref="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.3.cmml">6.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.5.m5.1b"><apply id="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.5.m5.1.1"><eq id="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.5.m5.1.1.3">6.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.5.m5.1c">\mathcal{L}=6.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.5.m5.1d">caligraphic_L = 6.1</annotation></semantics></math> and <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.6.m6.1"><semantics id="S5.SS1.p4.6.m6.1a"><mi id="S5.SS1.p4.6.m6.1.1" xref="S5.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.6.m6.1b"><ci id="S5.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.6.m6.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.6.m6.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.6.m6.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> is considered as <math alttext="0.0005" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.7.m7.1"><semantics id="S5.SS1.p4.7.m7.1a"><mn id="S5.SS1.p4.7.m7.1.1" xref="S5.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml">0.0005</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.7.m7.1b"><cn id="S5.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.7.m7.1.1">0.0005</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.7.m7.1c">0.0005</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.7.m7.1d">0.0005</annotation></semantics></math>. We have used the Z3 SMT solver <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib43" title="">43</a>]</cite> to solve the scenario optimization problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>). The <math alttext="\eta_{S}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.8.m8.1"><semantics id="S5.SS1.p4.8.m8.1a"><msubsup id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.3.cmml">S</mi><mo id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.8.m8.1b"><apply id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.8.m8.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.8.m8.1c">\eta_{S}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.8.m8.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> upon solving the SOP is <math alttext="-0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.9.m9.1"><semantics id="S5.SS1.p4.9.m9.1a"><mrow id="S5.SS1.p4.9.m9.1.1" xref="S5.SS1.p4.9.m9.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p4.9.m9.1.1a" xref="S5.SS1.p4.9.m9.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.SS1.p4.9.m9.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.9.m9.1.1.2.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.9.m9.1b"><apply id="S5.SS1.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.9.m9.1.1"><minus id="S5.SS1.p4.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.9.m9.1.1"></minus><cn id="S5.SS1.p4.9.m9.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.9.m9.1.1.2">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.9.m9.1c">-0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.9.m9.1d">- 0.1</annotation></semantics></math>, which essentially means <math alttext="\eta_{S}^{*}+\mathcal{L}\epsilon=-0.1+6.1\times 0.0005=-0.09695<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.10.m10.1"><semantics id="S5.SS1.p4.10.m10.1a"><mrow id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.3.cmml">S</mi><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.3" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.1" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.2" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.1" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.3" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2a" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2.cmml">−</mo><mn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2.2" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2.2.cmml">0.1</mn></mrow><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.1" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.2" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.2.cmml">6.1</mn><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.1.cmml">×</mo><mn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.3" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.3.cmml">0.0005</mn></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.5" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.cmml"><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6a" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.cmml">−</mo><mn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.2" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.2.cmml">0.09695</mn></mrow><mo id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.7" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.7.cmml"><</mo><mn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.8" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.10.m10.1b"><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1"><and id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1a.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1"></and><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1b.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1"><eq id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.3"></eq><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2"><plus id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.2">𝜂</ci><ci id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3"><times id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.2">ℒ</ci><ci id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.2.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4"><plus id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.1"></plus><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2"><minus id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2"></minus><cn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.2.2">0.1</cn></apply><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3"><times id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.1"></times><cn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.2">6.1</cn><cn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.3.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.3.3">0.0005</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1c.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1"><eq id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.5.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS1.p4.10.m10.1.1.4.cmml" id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1d.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1"></share><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6"><minus id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6"></minus><cn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.2">0.09695</cn></apply></apply><apply id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1e.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1"><lt id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.7.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.7"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS1.p4.10.m10.1.1.6.cmml" id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1f.cmml" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1"></share><cn id="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p4.10.m10.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.10.m10.1c">\eta_{S}^{*}+\mathcal{L}\epsilon=-0.1+6.1\times 0.0005=-0.09695<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.10.m10.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_L italic_ϵ = - 0.1 + 6.1 × 0.0005 = - 0.09695 < 0</annotation></semantics></math>, that follows Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.Thmtheorem2" title="Theorem 3.2 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>. The computation time to compute the STTs via solving SOP in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.E6" title="In 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) is 6.58 seconds with 2000 sample points.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p5.1">The trajectory of the robot under the influence of the proposed control law in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) as well as the obtained STTs in each dimension are shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5.1 Omnidirectional Robot ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(a).</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p6.7">We consider another case where the starting zone of the robot is <math alttext="{\mathbf{S}}=[0,0.5]\times[0,0.5]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p6.1.m1.4"><semantics id="S5.SS1.p6.1.m1.4a"><mrow id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.2" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.1" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.2" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.2.2" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS1.p6.1.m1.2.2" xref="S5.SS1.p6.1.m1.2.2.cmml">0.5</mn><mo id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.1" rspace="0.222em" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.2" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p6.1.m1.3.3" xref="S5.SS1.p6.1.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.2.2" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS1.p6.1.m1.4.4" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.4.cmml">0.5</mn><mo id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p6.1.m1.4b"><apply id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5"><eq id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.1"></eq><ci id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.2">𝐒</ci><apply id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3"><times id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.1"></times><interval closure="closed" id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.2.2"><cn id="S5.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S5.SS1.p6.1.m1.2.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p6.1.m1.2.2">0.5</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.5.3.3.2"><cn id="S5.SS1.p6.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.1.m1.3.3">0</cn><cn id="S5.SS1.p6.1.m1.4.4.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p6.1.m1.4.4">0.5</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p6.1.m1.4c">{\mathbf{S}}=[0,0.5]\times[0,0.5]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p6.1.m1.4d">bold_S = [ 0 , 0.5 ] × [ 0 , 0.5 ]</annotation></semantics></math> while the target is located at the zone <math alttext="{\mathbf{T}}=[4.5,5]\times[4.5,5]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p6.2.m2.4"><semantics id="S5.SS1.p6.2.m2.4a"><mrow id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.2" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.1" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml">4.5</mn><mo id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.2.2" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS1.p6.2.m2.2.2" xref="S5.SS1.p6.2.m2.2.2.cmml">5</mn><mo id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.1" rspace="0.222em" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.2" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p6.2.m2.3.3" xref="S5.SS1.p6.2.m2.3.3.cmml">4.5</mn><mo id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.2.2" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS1.p6.2.m2.4.4" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.4.cmml">5</mn><mo id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p6.2.m2.4b"><apply id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.cmml" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5"><eq id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.1"></eq><ci id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.2">𝐓</ci><apply id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3"><times id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.1"></times><interval closure="closed" id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.2.2"><cn id="S5.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p6.2.m2.1.1">4.5</cn><cn id="S5.SS1.p6.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.2.m2.2.2">5</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.5.3.3.2"><cn id="S5.SS1.p6.2.m2.3.3.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p6.2.m2.3.3">4.5</cn><cn id="S5.SS1.p6.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.2.m2.4.4">5</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p6.2.m2.4c">{\mathbf{T}}=[4.5,5]\times[4.5,5]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p6.2.m2.4d">bold_T = [ 4.5 , 5 ] × [ 4.5 , 5 ]</annotation></semantics></math>. The time required to reach the target <math alttext="t_{c}=10" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p6.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml">t</mi><mi id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml">10</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p6.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.3.m3.1.1.3">10</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p6.3.m3.1c">t_{c}=10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p6.3.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 10</annotation></semantics></math>. The unsafe set, as shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5.1 Omnidirectional Robot ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b), is present in the same location for the complete time horizon <math alttext="[0,t_{c}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p6.4.m4.2"><semantics id="S5.SS1.p6.4.m4.2a"><mrow id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.2.cmml">[</mo><mn id="S5.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.3" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p6.4.m4.2b"><interval closure="closed" id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1"><cn id="S5.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.4.m4.1.1">0</cn><apply id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.4.m4.2.2.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p6.4.m4.2c">[0,t_{c}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p6.4.m4.2d">[ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. Here, we consider the template for the STTs as third-order polynomials in time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p6.5.m5.1"><semantics id="S5.SS1.p6.5.m5.1a"><mi id="S5.SS1.p6.5.m5.1.1" xref="S5.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p6.5.m5.1b"><ci id="S5.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p6.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p6.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>: <math alttext="p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2},t^{3}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p6.6.m6.7"><semantics id="S5.SS1.p6.6.m6.7a"><mrow id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.cmml"><mrow id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.cmml"><msub id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2.2" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.4" xref="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.6.m6.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.4.1" xref="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.1" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.3.2" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.cmml"><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.cmml">(</mo><mi id="S5.SS1.p6.6.m6.3.3" xref="S5.SS1.p6.6.m6.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.3" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml"><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml">{</mo><mn id="S5.SS1.p6.6.m6.4.4" xref="S5.SS1.p6.6.m6.4.4.cmml">1</mn><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.4" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p6.6.m6.5.5" xref="S5.SS1.p6.6.m6.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.5" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml">,</mo><msup id="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1" xref="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.6" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml">,</mo><msup id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.2.cmml">t</mi><mn id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.7" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p6.6.m6.7b"><apply id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7"><eq id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.3"></eq><apply id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4"><times id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.1"></times><apply id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.4.2.2">𝑝</ci><list id="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.4"><ci id="S5.SS1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S5.SS1.p6.6.m6.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.3.3">𝑡</ci></apply><set id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2"><cn id="S5.SS1.p6.6.m6.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.6.m6.4.4">1</cn><ci id="S5.SS1.p6.6.m6.5.5.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.5.5">𝑡</ci><apply id="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.3">3</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p6.6.m6.7c">p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2},t^{3}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p6.6.m6.7d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = { 1 , italic_t , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, for <math alttext="{\mathcal{o}}=\{L,U\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p6.7.m7.2"><semantics id="S5.SS1.p6.7.m7.2a"><mrow id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.2" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.2.cmml">ℴ</mi><mo id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.1" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.2" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.SS1.p6.7.m7.1.1" xref="S5.SS1.p6.7.m7.1.1.cmml">L</mi><mo id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.2.2" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p6.7.m7.2.2" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p6.7.m7.2b"><apply id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3"><eq id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.1"></eq><ci id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.2">ℴ</ci><set id="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.3.3.2"><ci id="S5.SS1.p6.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p6.7.m7.1.1">𝐿</ci><ci id="S5.SS1.p6.7.m7.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p6.7.m7.2.2">𝑈</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p6.7.m7.2c">{\mathcal{o}}=\{L,U\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p6.7.m7.2d">caligraphic_o = { italic_L , italic_U }</annotation></semantics></math>. The STTs obtained to solve the T-RAS task for this case are given by the following curves:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx27"> <tbody id="S5.Ex28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex28.m1.6"><semantics id="S5.Ex28.m1.6a"><mrow id="S5.Ex28.m1.6.6" xref="S5.Ex28.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex28.m1.6.6.3" xref="S5.Ex28.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex28.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex28.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex28.m1.6.6.2" xref="S5.Ex28.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex28.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex28.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex28.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex28.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex28.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex28.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex28.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex28.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex28.m1.5.5" xref="S5.Ex28.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex28.m1.6b"><apply id="S5.Ex28.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6"><times id="S5.Ex28.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex28.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex28.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex28.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex28.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex28.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex28.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S5.Ex28.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex28.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex28.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex28.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=3.9463t-0.9857t^{2}+0.0636t^{3}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex28.m2.1"><semantics id="S5.Ex28.m2.1a"><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">3.9463</mn><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">0.9857</mn><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.0636</mn><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex28.m2.1b"><apply id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.1"></minus><apply id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><cn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.2">3.9463</cn><ci id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">0.9857</cn><apply id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.0636</cn><apply id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex28.m2.1c">\displaystyle=3.9463t-0.9857t^{2}+0.0636t^{3},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex28.m2.1d">= 3.9463 italic_t - 0.9857 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 0.0636 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex29.m1.6"><semantics id="S5.Ex29.m1.6a"><mrow id="S5.Ex29.m1.6.6" xref="S5.Ex29.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex29.m1.6.6.3" xref="S5.Ex29.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex29.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex29.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex29.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex29.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex29.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex29.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex29.m1.6.6.2" xref="S5.Ex29.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex29.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex29.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex29.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex29.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex29.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex29.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex29.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex29.m1.5.5" xref="S5.Ex29.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex29.m1.6b"><apply id="S5.Ex29.m1.6.6.cmml" 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id="S5.Ex29.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S5.Ex29.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex29.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex29.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex29.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0.5+3.8711t-0.9928t^{2}+0.0651t^{3}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex29.m2.1"><semantics id="S5.Ex29.m2.1a"><mrow id="S5.Ex29.m2.1.1.1" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3" 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xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.0651</mn><mo id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex29.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex29.m2.1b"><apply id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.1"></minus><apply id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2"><plus id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></plus><cn id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.2">0.5</cn><apply id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><cn 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id="S5.Ex30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{2,L}(c_{2,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex30.m1.6"><semantics id="S5.Ex30.m1.6a"><mrow id="S5.Ex30.m1.6.6" xref="S5.Ex30.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex30.m1.6.6.3" xref="S5.Ex30.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex30.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex30.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex30.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex30.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex30.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex30.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex30.m1.6.6.2" xref="S5.Ex30.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex30.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex30.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex30.m1.6.6.1.1.1" 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xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.2">0.0422</cn><apply id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.2.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.0017</cn><apply id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex31.m2.1c">\displaystyle=0.5+0.1945t+0.0422t^{2}-0.0017t^{3}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex31.m2.1d">= 0.5 + 0.1945 italic_t + 0.0422 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 0.0017 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p7.1">The trajectory of the robot under the influence of the proposed control law in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) as well as the obtained STTs in each dimension are shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5.1 Omnidirectional Robot ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b).</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="256" id="S5.F2.g1" src="extracted/6014516/sim.png" width="598"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>(a) (b) Trajectory of omnidirectional robot navigating 2D environments (top) and respective STTs (bottom) (c) Trajectory of 2R manipulator (top) and respective STTs (bottom).</figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S5.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="138" id="S5.F3.g1" src="extracted/6014516/maglev2.png" width="598"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>Temporal evolution of magnetic levitation system using the control law in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) (left) and respective STTs for T-RAS tasks (right).</figcaption> </figure> <figure class="ltx_table" id="S5.T1"> <div class="ltx_inline-block ltx_align_center ltx_transformed_outer" id="S5.T1.1" style="width:433.6pt;height:123.9pt;vertical-align:-15.5pt;"><span class="ltx_transformed_inner" style="transform:translate(-118.1pt,29.5pt) scale(0.647340712819855,0.647340712819855) ;"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T1.1.1"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.1.1">Algorithm</span></th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.1.2"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S5.T1.1.1.1.1.2.1"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.2.1.1"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.2.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.2.1.1.1.1">Closed-form</span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.2.1.2"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.2.1.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.2.1.2.1.1">Control</span></td> </tr> </table> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.1.3"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S5.T1.1.1.1.1.3.1"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.3.1.1"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.3.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.3.1.1.1.1">Formal</span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.3.1.2"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.3.1.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.3.1.2.1.1">Guarantee</span></td> </tr> </table> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.1.4"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S5.T1.1.1.1.1.4.1"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.4.1.1"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.4.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.4.1.1.1.1">Prescribed-time</span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.4.1.2"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.4.1.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.4.1.2.1.1">Reachability</span></td> </tr> </table> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.1.5"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S5.T1.1.1.1.1.5.1"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.5.1.1"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.5.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.5.1.1.1.1">Unknown</span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.5.1.2"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.5.1.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.5.1.2.1.1">Dynamics</span></td> </tr> </table> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.1.6"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S5.T1.1.1.1.1.6.1"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.6.1.1"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.6.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.6.1.1.1.1">Bounded</span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.6.1.2"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.6.1.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.6.1.2.1.1">Disturbance</span></td> </tr> </table> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.1.7"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S5.T1.1.1.1.1.7.1"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.7.1.1"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.7.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.7.1.1.1.1">Time dependent</span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1.1.7.1.2"> <td class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_left" id="S5.T1.1.1.1.1.7.1.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.7.1.2.1.1">Obstacle</span></td> </tr> </table> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.2.2"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.2.2.1">RRT*<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib44" title="">44</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.2.2.2">-<sup class="ltx_sup" id="S5.T1.1.1.2.2.2.1">1</sup> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.2.2.3">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.2.2.4">-<sup class="ltx_sup" id="S5.T1.1.1.2.2.4.1">1</sup> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.2.2.5">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.2.2.6">-<sup class="ltx_sup" id="S5.T1.1.1.2.2.6.1">1</sup> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.2.2.7">✓</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.3.3"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row" id="S5.T1.1.1.3.3.1">MPC<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib45" title="">45</a>]</cite><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib46" title="">46</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.3.3.2">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.3.3.3">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.3.3.4">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.3.3.5">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.3.3.6">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.3.3.7">✓</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.4.4"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row" id="S5.T1.1.1.4.4.1">CBF-based methods <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.4.4.2">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.4.4.3">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.4.4.4">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.4.4.5">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.4.4.6">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.4.4.7">✓</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.5.5"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row" id="S5.T1.1.1.5.5.1">HJ-based reachability<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.5.5.2">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.5.5.3">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.5.5.4">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.5.5.5">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.5.5.6">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.5.5.7">✓</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.6.6"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row" id="S5.T1.1.1.6.6.1">NN control<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.6.6.2">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.6.6.3">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.6.6.4">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.6.6.5">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.6.6.6">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.6.6.7">✗</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.7.7"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row" id="S5.T1.1.1.7.7.1">Symbolic Control<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib47" title="">47</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.7.7.2">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.7.7.3">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.7.7.4">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.7.7.5">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.7.7.6">✗</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.1.1.7.7.7">✗</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.8.8"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_b" id="S5.T1.1.1.8.8.1">STT</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b" id="S5.T1.1.1.8.8.2">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b" id="S5.T1.1.1.8.8.3">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b" id="S5.T1.1.1.8.8.4">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b" id="S5.T1.1.1.8.8.5">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b" id="S5.T1.1.1.8.8.6">✓</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b" id="S5.T1.1.1.8.8.7">✓</td> </tr> </tbody> </table> <ul class="ltx_itemize" id="S5.I1"> <li class="ltx_item" id="S5.I1.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.I1.ix1.p1.1">Additional mechanisms, are required to ensure control, satisfy reachability within the prescribed time, and handle bounded disturbances. </p> </div> </li> </ul> </span></div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 1: </span>Comparing STTs with classical algorithms</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.2 </span>Euler-Lagrange System</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.7">For a second example, we consider a two-link 2R SCARA manipulator adapted from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib48" title="">48</a>]</cite>. The system operates via two rotating joints, with the joint angles represented by <math alttext="\theta_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.1.m1.1c">\theta_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.1.m1.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS2.p1.2.m2.1a"><msub id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.2.m2.1c">\theta_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We define the system’s output at any time as <math alttext="y(t)=[\theta_{1}(t),\theta_{2}(t)]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.3.m3.5"><semantics id="S5.SS2.p1.3.m3.5a"><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.2.cmml">y</mi><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.1" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.3.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="S5.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.3" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.3.cmml">=</mo><msup id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS2.p1.3.m3.2.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.4" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.1" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS2.p1.3.m3.3.3" xref="S5.SS2.p1.3.m3.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.4" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.4.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.3.m3.5b"><apply id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5"><eq id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.3"></eq><apply id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4"><times id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.1"></times><ci id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.4.2">𝑦</ci><ci id="S5.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2">superscript</csymbol><interval closure="closed" id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2"><apply id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1"><times id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2"><times id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.SS2.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.3.3">𝑡</ci></apply></interval><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.4.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.5.5.2.4">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.3.m3.5c">y(t)=[\theta_{1}(t),\theta_{2}(t)]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.3.m3.5d">italic_y ( italic_t ) = [ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Using the STT approach, we ensure that the system trajectory starting from the initial output <math alttext="{\mathbf{S}}=[\frac{\pi}{6},0]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.4.m4.2"><semantics id="S5.SS2.p1.4.m4.2a"><mrow id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.1" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.1.cmml">=</mo><msup id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.1.cmml">[</mo><mfrac id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS2.p1.4.m4.2.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.2.cmml">0</mn><mo id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.3" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.4.m4.2b"><apply id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3"><eq id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.1"></eq><ci id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.2">𝐒</ci><apply id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3">superscript</csymbol><interval closure="closed" id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.2.2"><apply id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1"><divide id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1"></divide><ci id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2">𝜋</ci><cn id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3">6</cn></apply><cn id="S5.SS2.p1.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.2">0</cn></interval><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.2.3.3.3">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.4.m4.2c">{\mathbf{S}}=[\frac{\pi}{6},0]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.4.m4.2d">bold_S = [ divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 6 end_ARG , 0 ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, reaches the target output <math alttext="{\mathbf{T}}=[\frac{5\pi}{6},0]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.5.m5.2"><semantics id="S5.SS2.p1.5.m5.2a"><mrow id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.1" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.1.cmml">=</mo><msup id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml">[</mo><mfrac id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mn id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">5</mn><mo id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.1" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">π</mi></mrow><mn id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">6</mn></mfrac><mo id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS2.p1.5.m5.2.2" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.2.cmml">0</mn><mo id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.3" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.5.m5.2b"><apply id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3"><eq id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.1"></eq><ci id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.2">𝐓</ci><apply id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3">superscript</csymbol><interval closure="closed" id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.2.2"><apply id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1"><divide id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1"></divide><apply id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2"><times id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.1"></times><cn id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.2">5</cn><ci id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.3">𝜋</ci></apply><cn id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3">6</cn></apply><cn id="S5.SS2.p1.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.2">0</cn></interval><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.2.3.3.3">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.5.m5.2c">{\mathbf{T}}=[\frac{5\pi}{6},0]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.5.m5.2d">bold_T = [ divide start_ARG 5 italic_π end_ARG start_ARG 6 end_ARG , 0 ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, bypassing the unsafe sets shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5.1 Omnidirectional Robot ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(c). The unsafe set is present for the complete time-horizon <math alttext="[0,t_{c}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.6.m6.2"><semantics id="S5.SS2.p1.6.m6.2a"><mrow id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.2.cmml">[</mo><mn id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.3" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.6.m6.2b"><interval closure="closed" id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1"><cn id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1">0</cn><apply id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.2.2.1.1.3">𝑐</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.6.m6.2c">[0,t_{c}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.6.m6.2d">[ 0 , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math> with <math alttext="t_{c}=5" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.SS2.p1.7.m7.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml">t</mi><mi id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.3.cmml">5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.7.m7.1b"><apply id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.3">5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.7.m7.1c">t_{c}=5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.7.m7.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 5</annotation></semantics></math>. Note that to design the STTs, the obstacle in the workspace has to be mapped to an equivalent unsafe set in the state space. The following describes the model used:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx28"> <tbody id="S5.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle ml^{2}\begin{bmatrix}\frac{5}{3}+c_{2}&\frac{1}{3}+\frac{1}{2}c_% {2}\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{2}c_{2}&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{% \theta}_{1}\\ \ddot{\theta}_{2}\end{bmatrix}+ml^{2}s_{2}\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\dot{% \theta}_{2}^{2}-\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\\ \frac{1}{2}\dot{\theta}_{2}^{2}\end{bmatrix}+mgl\begin{bmatrix}\frac{3}{2}c_{1% }+\frac{1}{2}c_{12}\\ \frac{1}{2}c_{12}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tau_{1}(t)\\ \tau_{2}(t)\end{bmatrix}+d(t)," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex32.m1.7"><semantics id="S5.Ex32.m1.7a"><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.1a" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">5</mn><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1c" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">c</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1d" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1e" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.2a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1f" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">3</mn></mfrac></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.1b" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.2.2.3.1" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.cmml">[</mo><mtable displaystyle="true" id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1a" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1b" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mn id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1c" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1d" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml">¨</mo></mover><mn id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex32.m1.2.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.1a" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.2.cmml">s</mi><mn id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.3" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.1b" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.3.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.2.1.cmml">[</mo><mtable displaystyle="true" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1a" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1b" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1c" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1d" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2a" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex32.m1.3.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.3.3.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.1a" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.3.cmml">g</mi><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.1a" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.4" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.4.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.1b" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.4.4.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.4.4.3.1" xref="S5.Ex32.m1.4.4.2.1.cmml">[</mo><mtable displaystyle="true" id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1a" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1b" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">3</mn><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">c</mi><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1c" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1d" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2a" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.cmml">c</mi><mn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex32.m1.4.4.3.2" xref="S5.Ex32.m1.4.4.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.5.5.3" xref="S5.Ex32.m1.5.5.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.5.5.3.1" xref="S5.Ex32.m1.5.5.2.1.cmml">[</mo><mtable displaystyle="true" id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1a" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1b" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1c" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1d" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.4.2" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex32.m1.5.5.3.2" xref="S5.Ex32.m1.5.5.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex32.m1.6.6" xref="S5.Ex32.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.2" 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xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2"><ci id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1">¨</ci><ci id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.2">𝜃</ci></apply><cn id="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.2.2.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3"><times id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.2">𝑚</ci><apply id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.2">𝑠</ci><cn id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.3.4.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex32.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1"><matrixrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1"><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2"><divide id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2"></divide><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2"><ci id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">𝜃</ci></apply><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜃</ci></apply><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝜃</ci></apply><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1"><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1"><times id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2"><divide id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2"></divide><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.2">𝜃</ci></apply><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4"><times id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.1"></times><ci id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.2">𝑚</ci><ci id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.3">𝑔</ci><ci id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.4.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.2.4.4">𝑙</ci><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex32.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1"><matrixrow id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1"><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2">3</cn><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑐</ci><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑐</ci><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1"><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1"><times id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2"><divide id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2"></divide><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2">1</cn><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3">12</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3"><plus id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex32.m1.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex32.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1"><matrixrow id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1"><apply id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1"><apply id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1"><times id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1">𝑡</ci></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2"><times id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.7.7.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex32.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex32.m1.6.6">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex32.m1.7c">\displaystyle ml^{2}\begin{bmatrix}\frac{5}{3}+c_{2}&\frac{1}{3}+\frac{1}{2}c_% {2}\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{2}c_{2}&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{% \theta}_{1}\\ \ddot{\theta}_{2}\end{bmatrix}+ml^{2}s_{2}\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\dot{% \theta}_{2}^{2}-\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\\ \frac{1}{2}\dot{\theta}_{2}^{2}\end{bmatrix}+mgl\begin{bmatrix}\frac{3}{2}c_{1% }+\frac{1}{2}c_{12}\\ \frac{1}{2}c_{12}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tau_{1}(t)\\ \tau_{2}(t)\end{bmatrix}+d(t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex32.m1.7d">italic_m italic_l start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT [ start_ARG start_ROW start_CELL divide start_ARG 5 end_ARG start_ARG 3 end_ARG + italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG ] [ start_ARG start_ROW start_CELL over¨ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over¨ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] + italic_m italic_l start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT [ start_ARG start_ROW start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] + italic_m italic_g italic_l [ start_ARG start_ROW start_CELL divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] = [ start_ARG start_ROW start_CELL italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) end_CELL end_ROW end_ARG ] + italic_d ( italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.16">where <math alttext="m=1kg" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.8.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p1.8.m1.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.1a" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.4" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.4.cmml">g</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.8.m1.1b"><apply id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.2">𝑚</ci><apply id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3"><times id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.3">𝑘</ci><ci id="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m1.1.1.3.4">𝑔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.8.m1.1c">m=1kg</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.8.m1.1d">italic_m = 1 italic_k italic_g</annotation></semantics></math> and <math alttext="l=1m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.9.m2.1"><semantics id="S5.SS2.p1.9.m2.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.9.m2.1b"><apply id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3"><times id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m2.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.9.m2.1c">l=1m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.9.m2.1d">italic_l = 1 italic_m</annotation></semantics></math> are the mass and length of each link, <math alttext="g=9.8m/s^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.10.m3.1"><semantics id="S5.SS2.p1.10.m3.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.2.cmml">9.8</mn><mo id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.1" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><msup id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.2" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mn id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.3" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.10.m3.1b"><apply id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3"><divide id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.1"></divide><apply id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2"><times id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.2">9.8</cn><ci id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.2">𝑠</ci><cn id="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.10.m3.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.10.m3.1c">g=9.8m/s^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.10.m3.1d">italic_g = 9.8 italic_m / italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the acceleration due to gravity, <math alttext="\tau_{1}(t),\tau_{2}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.11.m4.4"><semantics id="S5.SS2.p1.11.m4.4a"><mrow id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.3.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS2.p1.11.m4.1.1" xref="S5.SS2.p1.11.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.3" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.3" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.1" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS2.p1.11.m4.2.2" xref="S5.SS2.p1.11.m4.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.11.m4.4b"><list id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2"><apply id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1"><times id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.1"></times><apply id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.11.m4.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS2.p1.11.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2"><times id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.1"></times><apply id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.11.m4.4.4.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.SS2.p1.11.m4.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m4.2.2">𝑡</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.11.m4.4c">\tau_{1}(t),\tau_{2}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.11.m4.4d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> are the torque inputs at the joints, <math alttext="d(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.12.m5.1"><semantics id="S5.SS2.p1.12.m5.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.1" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS2.p1.12.m5.1.1" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.12.m5.1b"><apply id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2"><times id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.1"></times><ci id="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.SS2.p1.12.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m5.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.12.m5.1c">d(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.12.m5.1d">italic_d ( italic_t )</annotation></semantics></math> is an unknown bounded disturbance, <math alttext="c_{1}=\cos{\theta_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.13.m6.1"><semantics id="S5.SS2.p1.13.m6.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.2.cmml">c</mi><mn id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.1.cmml">cos</mi><mo id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.3" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.13.m6.1b"><apply id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.2">𝑐</ci><cn id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3"><cos id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.1"></cos><apply id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.13.m6.1.1.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.13.m6.1c">c_{1}=\cos{\theta_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.13.m6.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = roman_cos italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="c_{2}=\cos{\theta_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.14.m7.1"><semantics id="S5.SS2.p1.14.m7.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.2.cmml">c</mi><mn id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.1.cmml">cos</mi><mo id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.3" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.14.m7.1b"><apply id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.2">𝑐</ci><cn id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3"><cos id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.1"></cos><apply id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.14.m7.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.14.m7.1c">c_{2}=\cos{\theta_{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.14.m7.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = roman_cos italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="s_{2}=\sin{\theta_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.15.m8.1"><semantics id="S5.SS2.p1.15.m8.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.2.cmml">s</mi><mn id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.1.cmml">sin</mi><mo id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.3" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.15.m8.1b"><apply id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.2">𝑠</ci><cn id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3"><sin id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.1"></sin><apply id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.15.m8.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.15.m8.1c">s_{2}=\sin{\theta_{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.15.m8.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = roman_sin italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="c_{12}=\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.16.m9.2"><semantics id="S5.SS2.p1.16.m9.2a"><mrow id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.3" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.3.2.cmml">c</mi><mn id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.3.3" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.3.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.2" 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id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1"><plus id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><cn id="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.16.m9.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.16.m9.2c">c_{12}=\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.16.m9.2d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = roman_cos ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p2.3">Here, we consider the template for the STTs as second-order polynomials in time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p2.1.m1.1a"><mi id="S5.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S5.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p2.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p2.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>: <math alttext="p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p2.2.m2.6"><semantics id="S5.SS2.p2.2.m2.6a"><mrow id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.cmml"><mrow id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.cmml"><msub id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2.2" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.4" xref="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.1" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.3.2" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.cmml"><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS2.p2.2.m2.3.3" xref="S5.SS2.p2.2.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.2" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml">{</mo><mn id="S5.SS2.p2.2.m2.4.4" xref="S5.SS2.p2.2.m2.4.4.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.3" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.SS2.p2.2.m2.5.5" xref="S5.SS2.p2.2.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.4" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml">,</mo><msup id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.5" stretchy="false" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p2.2.m2.6b"><apply id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6"><eq id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.2.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.2"></eq><apply id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3"><times id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.1"></times><apply id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.3.2.2">𝑝</ci><list id="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S5.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S5.SS2.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.3.3">𝑡</ci></apply><set id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1"><cn id="S5.SS2.p2.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p2.2.m2.4.4">1</cn><ci id="S5.SS2.p2.2.m2.5.5.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.5.5">𝑡</ci><apply id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3">2</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p2.2.m2.6c">p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p2.2.m2.6d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = { 1 , italic_t , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, for <math alttext="{\mathcal{o}}=\{L,U\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p2.3.m3.2"><semantics id="S5.SS2.p2.3.m3.2a"><mrow id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.2" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.2.cmml">ℴ</mi><mo id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.1" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.2" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S5.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">L</mi><mo id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.SS2.p2.3.m3.2.2" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p2.3.m3.2b"><apply id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3"><eq id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.1"></eq><ci id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.2">ℴ</ci><set id="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S5.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p2.3.m3.1.1">𝐿</ci><ci id="S5.SS2.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p2.3.m3.2.2">𝑈</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p2.3.m3.2c">{\mathcal{o}}=\{L,U\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p2.3.m3.2d">caligraphic_o = { italic_L , italic_U }</annotation></semantics></math>. The STTs obtained to solve the T-RAS task for this case are given by the following curves:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx29"> <tbody id="S5.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex33.m1.6"><semantics id="S5.Ex33.m1.6a"><mrow id="S5.Ex33.m1.6.6" xref="S5.Ex33.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex33.m1.6.6.3" xref="S5.Ex33.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex33.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex33.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex33.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex33.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex33.m1.6.6.2" xref="S5.Ex33.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex33.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex33.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex33.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex33.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.5.5" xref="S5.Ex33.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex33.m1.6b"><apply id="S5.Ex33.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6"><times id="S5.Ex33.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex33.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex33.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex33.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex33.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex33.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex33.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex33.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S5.Ex33.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex33.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex33.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex33.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0.3236-0.0893t+0.1016t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex33.m2.1"><semantics id="S5.Ex33.m2.1a"><mrow id="S5.Ex33.m2.1.1.1" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">0.3236</mn><mo id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">0.0893</mn><mo id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.1016</mn><mo id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex33.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex33.m2.1b"><apply id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.2">0.3236</cn><apply id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">0.0893</cn><ci id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.1016</cn><apply id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex33.m2.1c">\displaystyle=0.3236-0.0893t+0.1016t^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex33.m2.1d">= 0.3236 - 0.0893 italic_t + 0.1016 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex34.m1.6"><semantics id="S5.Ex34.m1.6a"><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6" xref="S5.Ex34.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.6.6.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex34.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex34.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex34.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex34.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex34.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex34.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex34.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex34.m1.5.5" xref="S5.Ex34.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.m1.6b"><apply id="S5.Ex34.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6"><times id="S5.Ex34.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex34.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex34.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex34.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex34.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex34.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex34.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S5.Ex34.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex34.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex34.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex34.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0.7236-0.3293t+0.1496t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex34.m2.1"><semantics id="S5.Ex34.m2.1a"><mrow id="S5.Ex34.m2.1.1.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">0.7236</mn><mo id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">0.3293</mn><mo id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.1496</mn><mo id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.m2.1b"><apply id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.2">0.7236</cn><apply id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">0.3293</cn><ci id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.1496</cn><apply id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex34.m2.1c">\displaystyle=0.7236-0.3293t+0.1496t^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex34.m2.1d">= 0.7236 - 0.3293 italic_t + 0.1496 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{2,L}(c_{2,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex35.m1.6"><semantics id="S5.Ex35.m1.6a"><mrow id="S5.Ex35.m1.6.6" xref="S5.Ex35.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.6.6.3" xref="S5.Ex35.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex35.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex35.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex35.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex35.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.2" xref="S5.Ex35.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex35.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex35.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex35.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.5.5" xref="S5.Ex35.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex35.m1.6b"><apply id="S5.Ex35.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6"><times id="S5.Ex35.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex35.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex35.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1">2</cn><ci id="S5.Ex35.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex35.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex35.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1">2</cn><ci id="S5.Ex35.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S5.Ex35.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex35.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex35.m1.6c">\displaystyle\gamma_{2,L}(c_{2,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex35.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-0.2002+1.4496t-0.2899t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex35.m2.1"><semantics id="S5.Ex35.m2.1a"><mrow id="S5.Ex35.m2.1.1.1" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">0.2002</mn></mrow><mo id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1.4496</mn><mo id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.2899</mn><mo id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex35.m2.1b"><apply id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2"><plus 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display="inline" id="S5.Ex36.m1.6"><semantics id="S5.Ex36.m1.6a"><mrow id="S5.Ex36.m1.6.6" xref="S5.Ex36.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex36.m1.6.6.3" xref="S5.Ex36.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex36.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex36.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex36.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex36.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex36.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex36.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex36.m1.6.6.2" xref="S5.Ex36.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex36.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex36.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex36.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex36.m1.3.3.1.1.cmml">2</mn><mo 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closure="open" id="S5.Ex36.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex36.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex36.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.3.3.1.1">2</cn><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S5.Ex36.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex36.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex36.m1.6c">\displaystyle\gamma_{2,U}(c_{2,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex36.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0.2000+1.2097t-0.2419t^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex36.m2.1"><semantics id="S5.Ex36.m2.1a"><mrow id="S5.Ex36.m2.1.1.1" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">0.2000</mn><mo id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1.2097</mn><mo id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.2419</mn><mo id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex36.m2.1b"><apply id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2"><plus id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.1"></plus><cn id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.2">0.2000</cn><apply id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">1.2097</cn><ci id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.2419</cn><apply id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex36.m2.1c">\displaystyle=0.2000+1.2097t-0.2419t^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex36.m2.1d">= 0.2000 + 1.2097 italic_t - 0.2419 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p3.9">The Lipschitz constants <math alttext="\mathcal{L}_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p3.1.m1.1a"><msub id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.1.m1.1c">\mathcal{L}_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}_{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.SS2.p3.2.m2.1a"><msub id="S5.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">U</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.2.m2.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.2.m2.1c">\mathcal{L}_{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.2.m2.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are estimated to be <math alttext="1.408" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.SS2.p3.3.m3.1a"><mn id="S5.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S5.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml">1.408</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.3.m3.1b"><cn id="S5.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.3.m3.1.1">1.408</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.3.m3.1c">1.408</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.3.m3.1d">1.408</annotation></semantics></math> and <math alttext="1.215" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S5.SS2.p3.4.m4.1a"><mn id="S5.SS2.p3.4.m4.1.1" xref="S5.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml">1.215</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.4.m4.1b"><cn id="S5.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.4.m4.1.1">1.215</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.4.m4.1c">1.215</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.4.m4.1d">1.215</annotation></semantics></math>, respectively, so <math alttext="\mathcal{L}=2.623" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.5.m5.1"><semantics id="S5.SS2.p3.5.m5.1a"><mrow id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.3.cmml">2.623</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.5.m5.1b"><apply id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1"><eq id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.3">2.623</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.5.m5.1c">\mathcal{L}=2.623</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.5.m5.1d">caligraphic_L = 2.623</annotation></semantics></math> and for <math alttext="\epsilon=0.00002" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.6.m6.1"><semantics id="S5.SS2.p3.6.m6.1a"><mrow id="S5.SS2.p3.6.m6.1.1" xref="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.2" xref="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.1" xref="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.3" xref="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.3.cmml">0.00002</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.6.m6.1b"><apply id="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.6.m6.1.1"><eq id="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.6.m6.1.1.3">0.00002</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.6.m6.1c">\epsilon=0.00002</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.6.m6.1d">italic_ϵ = 0.00002</annotation></semantics></math>, the <math alttext="\eta_{S}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.7.m7.1"><semantics id="S5.SS2.p3.7.m7.1a"><msubsup id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.3.cmml">S</mi><mo id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.3" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.7.m7.1b"><apply id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.7.m7.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.7.m7.1c">\eta_{S}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.7.m7.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> upon solving the SOP is <math alttext="-0.0001" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.8.m8.1"><semantics id="S5.SS2.p3.8.m8.1a"><mrow id="S5.SS2.p3.8.m8.1.1" xref="S5.SS2.p3.8.m8.1.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p3.8.m8.1.1a" xref="S5.SS2.p3.8.m8.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.SS2.p3.8.m8.1.1.2" xref="S5.SS2.p3.8.m8.1.1.2.cmml">0.0001</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.8.m8.1b"><apply id="S5.SS2.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.8.m8.1.1"><minus id="S5.SS2.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.8.m8.1.1"></minus><cn id="S5.SS2.p3.8.m8.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.8.m8.1.1.2">0.0001</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.8.m8.1c">-0.0001</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.8.m8.1d">- 0.0001</annotation></semantics></math>, which essentially means <math alttext="\eta_{S}^{*}+\mathcal{L}\epsilon=-0.0001+2.623\times 0.00002=-0.0000475<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.9.m9.1"><semantics id="S5.SS2.p3.9.m9.1a"><mrow id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.2" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.3" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.3.cmml">S</mi><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.3" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.1" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.2" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.1" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.3" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.3" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2a" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2.cmml">−</mo><mn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2.2" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2.2.cmml">0.0001</mn></mrow><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.1" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.cmml"><mn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.2" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.2.cmml">2.623</mn><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.1.cmml">×</mo><mn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.3" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.3.cmml">0.00002</mn></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.5" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.cmml"><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6a" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.cmml">−</mo><mn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.2" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.2.cmml">0.0000475</mn></mrow><mo id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.7" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.7.cmml"><</mo><mn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.8" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.9.m9.1b"><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1"><and id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1a.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1"></and><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1b.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1"><eq id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.3"></eq><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2"><plus id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.2">𝜂</ci><ci id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.2.3">𝑆</ci></apply><times id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3"><times id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.2">ℒ</ci><ci id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4"><plus id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.1"></plus><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2"><minus id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2"></minus><cn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2.2.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.2.2">0.0001</cn></apply><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3"><times id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.1"></times><cn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.2.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.2">2.623</cn><cn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.3.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.3.3">0.00002</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1c.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1"><eq id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.5.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS2.p3.9.m9.1.1.4.cmml" id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1d.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1"></share><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6"><minus id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6"></minus><cn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.2.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.2">0.0000475</cn></apply></apply><apply id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1e.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1"><lt id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.7.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.7"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS2.p3.9.m9.1.1.6.cmml" id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1f.cmml" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1"></share><cn id="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p3.9.m9.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.9.m9.1c">\eta_{S}^{*}+\mathcal{L}\epsilon=-0.0001+2.623\times 0.00002=-0.0000475<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.9.m9.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + caligraphic_L italic_ϵ = - 0.0001 + 2.623 × 0.00002 = - 0.0000475 < 0</annotation></semantics></math>, that follows Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S3.Thmtheorem2" title="Theorem 3.2 ‣ 3 Sampling-based Spatiotemporal Tubes Construction ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>. The computation time to compute the STTs is 206 seconds with 40500 sample points.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p4.1">The simulation results with the proposed control law in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), as well as the obtained STTs in each dimension, are depicted in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5.1 Omnidirectional Robot ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(c).</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.3 </span>Magnetic Levitator System</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p1.10">Consider the magnetic levitator system adopted from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib49" title="">49</a>]</cite> and defined as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx30"> <tbody id="S5.Ex37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{x}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex37.m1.1"><semantics id="S5.Ex37.m1.1a"><msub id="S5.Ex37.m1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex37.m1.1b"><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2"><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex37.m1.1c">\displaystyle\dot{x}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex37.m1.1d">over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{x_{2}}{M},\dot{x}_{2}=\frac{x_{3}}{2\alpha}-Mg,\dot{x}_{3}% =-\frac{2R}{\alpha}(1-x_{1})x_{3}+2\sqrt{x_{3}}u," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex37.m2.1"><semantics id="S5.Ex37.m2.1a"><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1"><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2a" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">3</mn></msub><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">g</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1a" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">R</mi></mrow><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2a" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.3.cmml">3</mn></msub></msqrt><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1a" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.4" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.4.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex37.m2.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex37.m2.1b"><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><minus id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"><divide id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"></divide><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.3">3</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2">2</cn><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><times id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2">𝑀</ci><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></eq><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2"><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">3</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1"><plus id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2"></plus><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><minus id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"></minus><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"><divide id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑅</ci></apply><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3"><times id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1"></times><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2">2</cn><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3"><root id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3a.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3"></root><apply id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.2.3">3</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex37.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.4">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex37.m2.1c">\displaystyle=\frac{x_{2}}{M},\dot{x}_{2}=\frac{x_{3}}{2\alpha}-Mg,\dot{x}_{3}% =-\frac{2R}{\alpha}(1-x_{1})x_{3}+2\sqrt{x_{3}}u,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex37.m2.1d">= divide start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_M end_ARG , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_α end_ARG - italic_M italic_g , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = - divide start_ARG 2 italic_R end_ARG start_ARG italic_α end_ARG ( 1 - italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + 2 square-root start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_u ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p1.8">where the states <math alttext="x_{1},x_{2},x_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.1.m1.3"><semantics id="S5.SS3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.4.cmml"><msub id="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.4" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.5" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.1.m1.3b"><list id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3"><apply id="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.p1.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.p1.1.m1.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.1.m1.3c">x_{1},x_{2},x_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.1.m1.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the ball’s position, the momentum of the ball and the square of the flux linkage associated with the electromagnet, respectively with output <math alttext="y=x_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1"><eq id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.2">𝑦</ci><apply id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.p1.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.2.m2.1c">y=x_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.2.m2.1d">italic_y = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Also, <math alttext="M=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.3.m3.1c">M=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.3.m3.1d">italic_M = 1</annotation></semantics></math> represents the mass of the ball, <math alttext="g=9.8" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.1" xref="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.3.cmml">9.8</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.4.m4.1.1"><eq id="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.2">𝑔</ci><cn id="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS3.p1.4.m4.1.1.3">9.8</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.4.m4.1c">g=9.8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.4.m4.1d">italic_g = 9.8</annotation></semantics></math> stands for acceleration due to gravity, <math alttext="R=10" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.SS3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S5.SS3.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml">10</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.5.m5.1.1"><eq id="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.2">𝑅</ci><cn id="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.p1.5.m5.1.1.3">10</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.5.m5.1c">R=10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.5.m5.1d">italic_R = 10</annotation></semantics></math> denotes coil resistance around the electromagnet, <math alttext="\alpha=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.6.m6.1"><semantics id="S5.SS3.p1.6.m6.1a"><mrow id="S5.SS3.p1.6.m6.1.1" xref="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.2" xref="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.1" xref="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.3" xref="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.6.m6.1b"><apply id="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.6.m6.1.1"><eq id="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS3.p1.6.m6.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.6.m6.1c">\alpha=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.6.m6.1d">italic_α = 0.5</annotation></semantics></math> is a positive constant that depends on the number of coil turns, and <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.SS3.p1.7.m7.1a"><mi id="S5.SS3.p1.7.m7.1.1" xref="S5.SS3.p1.7.m7.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.7.m7.1b"><ci id="S5.SS3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.7.m7.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.7.m7.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.7.m7.1d">italic_u</annotation></semantics></math> represents the voltage applied to the electromagnet. The system is expected to avoid timed obstacles, keeping initial and target regions the same. The start and target region are considered to be the same and are <math alttext="{\mathbf{S}}={\mathbf{T}}=[0.75,1.25]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.8.m8.2"><semantics id="S5.SS3.p1.8.m8.2a"><mrow id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.2" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.3" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.3.cmml">=</mo><mi id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.4" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.4.cmml">𝐓</mi><mo id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.5" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.2" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.1.cmml"><mo id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS3.p1.8.m8.1.1" xref="S5.SS3.p1.8.m8.1.1.cmml">0.75</mn><mo id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.2.2" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS3.p1.8.m8.2.2" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.2.cmml">1.25</mn><mo id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.8.m8.2b"><apply id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3"><and id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3a.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3"></and><apply id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3b.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3"><eq id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.3"></eq><ci id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.2">𝐒</ci><ci id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.4.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.4">𝐓</ci></apply><apply id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3c.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3"><eq id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.5.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.SS3.p1.8.m8.2.3.4.cmml" id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3d.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3"></share><interval closure="closed" id="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.3.6.2"><cn id="S5.SS3.p1.8.m8.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS3.p1.8.m8.1.1">0.75</cn><cn id="S5.SS3.p1.8.m8.2.2.cmml" type="float" xref="S5.SS3.p1.8.m8.2.2">1.25</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.8.m8.2c">{\mathbf{S}}={\mathbf{T}}=[0.75,1.25]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.8.m8.2d">bold_S = bold_T = [ 0.75 , 1.25 ]</annotation></semantics></math>. To simulate the time-dependent obstacle, we assume that the obstacle moves from right to left and it will have a possible collision during the time interval [1.5,3.5]. The time-dependent unsafe set is defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\mathbf{U}}(t)=\begin{cases}[0,3],&\text{if }t\in[1.5,3.5],\\ \phi,&\text{elsewhere, }\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex38.m1.5"><semantics id="S5.Ex38.m1.5a"><mrow id="S5.Ex38.m1.5.6" xref="S5.Ex38.m1.5.6.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.5.6.2" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.5.6.2.2" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S5.Ex38.m1.5.6.2.1" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.5.6.2.3.2" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.5.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex38.m1.5.5" xref="S5.Ex38.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex38.m1.5.6.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.5.6.1" xref="S5.Ex38.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.4.4" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.4.4.5" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex38.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mtr id="S5.Ex38.m1.4.4.4a" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S5.Ex38.m1.4.4.4b" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S5.Ex38.m1.4.4.4c" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.cmml"><mtext id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2a.cmml">if </mtext><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">1.5</mn><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">3.5</mn><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex38.m1.4.4.4d" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S5.Ex38.m1.4.4.4e" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S5.Ex38.m1.4.4.4f" xref="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml"><mtext id="S5.Ex38.m1.4.4.4.4.2.1" xref="S5.Ex38.m1.4.4.4.4.2.1a.cmml">elsewhere, </mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex38.m1.5b"><apply id="S5.Ex38.m1.5.6.cmml" xref="S5.Ex38.m1.5.6"><eq id="S5.Ex38.m1.5.6.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.5.6.1"></eq><apply id="S5.Ex38.m1.5.6.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2"><times id="S5.Ex38.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.5.6.2.2">𝐔</ci><ci id="S5.Ex38.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex38.m1.5.5">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex38.m1.5.6.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.5">cases</csymbol><interval closure="closed" id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2"><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn></interval><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3"><in id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1"></in><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2"><times id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2"><mtext id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2">if </mtext></ci><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3">𝑡</ci></apply><interval closure="closed" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.2"><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" type="float" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.1">1.5</cn><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.2.1.2">3.5</cn></interval></apply><ci id="S5.Ex38.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.3.3.1.1.1">italic-ϕ</ci><ci id="S5.Ex38.m1.4.4.4.4.2.1a.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.4.4.2.1"><mtext id="S5.Ex38.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.4.4.2.1">elsewhere, </mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex38.m1.5c">{\mathbf{U}}(t)=\begin{cases}[0,3],&\text{if }t\in[1.5,3.5],\\ \phi,&\text{elsewhere, }\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex38.m1.5d">bold_U ( italic_t ) = { start_ROW start_CELL [ 0 , 3 ] , end_CELL start_CELL if italic_t ∈ [ 1.5 , 3.5 ] , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_ϕ , end_CELL start_CELL elsewhere, end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p1.9">where <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p1.9.m1.1"><semantics id="S5.SS3.p1.9.m1.1a"><mi id="S5.SS3.p1.9.m1.1.1" xref="S5.SS3.p1.9.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p1.9.m1.1b"><ci id="S5.SS3.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p1.9.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p1.9.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p1.9.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math> represents empty set.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p2.3">Here, we consider the template for the STTs as second-order polynomials in time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.p2.1.m1.1a"><mi id="S5.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="S5.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p2.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p2.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>: <math alttext="p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p2.2.m2.6"><semantics id="S5.SS3.p2.2.m2.6a"><mrow id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.cmml"><mrow id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.cmml"><msub id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2.2" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.4" xref="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.1" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.3.2" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.cmml"><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.p2.2.m2.3.3" xref="S5.SS3.p2.2.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.2" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml">{</mo><mn id="S5.SS3.p2.2.m2.4.4" xref="S5.SS3.p2.2.m2.4.4.cmml">1</mn><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.3" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.SS3.p2.2.m2.5.5" xref="S5.SS3.p2.2.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.4" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.5" stretchy="false" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p2.2.m2.6b"><apply id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6"><eq id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.2.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.2"></eq><apply id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3"><times id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.1"></times><apply id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.3.2.2">𝑝</ci><list id="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S5.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S5.SS3.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.3.3">𝑡</ci></apply><set id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.2.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1"><cn id="S5.SS3.p2.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.p2.2.m2.4.4">1</cn><ci id="S5.SS3.p2.2.m2.5.5.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.5.5">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3">2</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p2.2.m2.6c">p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p2.2.m2.6d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = { 1 , italic_t , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, for <math alttext="{\mathcal{o}}=\{L,U\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p2.3.m3.2"><semantics id="S5.SS3.p2.3.m3.2a"><mrow id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.2" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.2.cmml">ℴ</mi><mo id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.1" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.2" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S5.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml">L</mi><mo id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.SS3.p2.3.m3.2.2" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p2.3.m3.2b"><apply id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3"><eq id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.1"></eq><ci id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.2">ℴ</ci><set id="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S5.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p2.3.m3.1.1">𝐿</ci><ci id="S5.SS3.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.p2.3.m3.2.2">𝑈</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p2.3.m3.2c">{\mathcal{o}}=\{L,U\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p2.3.m3.2d">caligraphic_o = { italic_L , italic_U }</annotation></semantics></math>. The STT obtained to solve the T-RAS task for this case is given by the following curves:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx31"> <tbody id="S5.Ex39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)=0.75+2.7167t-0.5433t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex39.m1.6"><semantics id="S5.Ex39.m1.6a"><mrow id="S5.Ex39.m1.6.6.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex39.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex39.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex39.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex39.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex39.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex39.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex39.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex39.m1.5.5" xref="S5.Ex39.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">0.75</mn><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml">2.7167</mn><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">0.5433</mn><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.6.6.1.2" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex39.m1.6b"><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1"><eq id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1"><times id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex39.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1"><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex39.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex39.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex39.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S5.Ex39.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex39.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3"><minus id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2"><plus id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.1"></plus><cn id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.2">0.75</cn><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.2">2.7167</cn><ci id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3"><times id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.2">0.5433</cn><apply id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.6.6.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex39.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)=0.75+2.7167t-0.5433t^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex39.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) = 0.75 + 2.7167 italic_t - 0.5433 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)=1.25+2.6447t-0.5289t^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex40.m1.6"><semantics id="S5.Ex40.m1.6a"><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex40.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex40.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex40.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex40.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex40.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex40.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex40.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex40.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex40.m1.5.5" xref="S5.Ex40.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">1.25</mn><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml">2.6447</mn><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">0.5289</mn><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex40.m1.6b"><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1"><eq id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1"><times id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex40.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1"><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex40.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex40.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex40.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S5.Ex40.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex40.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3"><minus id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2"><plus id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.1"></plus><cn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.2">1.25</cn><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.2">2.6447</cn><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3"><times id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.2">0.5289</cn><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex40.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)=1.25+2.6447t-0.5289t^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex40.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t ) = 1.25 + 2.6447 italic_t - 0.5289 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p2.4">The simulation result with the proposed control law in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), as well as the obtained STT, are shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.F3" title="Figure 3 ‣ 5.1 Omnidirectional Robot ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.4 </span>Drones</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p1.4">We consider the state of the drone, adapted from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib50" title="">50</a>]</cite>, is given by the following equation:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx32"> <tbody id="S5.Ex41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle[\dot{x}_{1},\dot{x}_{2},\dot{x}_{3}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex41.m1.3"><semantics id="S5.Ex41.m1.3a"><msup id="S5.Ex41.m1.3.3" xref="S5.Ex41.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.4.cmml">[</mo><msub id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.5" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.6" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.2" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.1" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.3.3.5" xref="S5.Ex41.m1.3.3.5.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex41.m1.3b"><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3">superscript</csymbol><list id="S5.Ex41.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3"><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2"><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2"><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.3.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex41.m1.3.3.5.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.5">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex41.m1.3c">\displaystyle[\dot{x}_{1},\dot{x}_{2},\dot{x}_{3}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex41.m1.3d">[ over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=[v_{x},v_{y},v_{z}]^{\top}+w_{1}(t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex41.m2.2"><semantics id="S5.Ex41.m2.2a"><mrow id="S5.Ex41.m2.2.2.1" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.5" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml">[</mo><msub id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.5" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.6" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">v</mi><mi id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">z</mi></msub><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.5" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.3.5.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.4" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.cmml"><msub id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.2" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.2.2" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.2.2.cmml">w</mi><mn id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.2.3" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.1" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.3.2" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.cmml"><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex41.m2.1.1" xref="S5.Ex41.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex41.m2.2.2.1.1.3.5.3.2.2" stretchy="false" 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id="S5.Ex42.m1.3.3.3.3.3.2.2" xref="S5.Ex42.m1.3.3.3.3.3.2.2.cmml">v</mi><mo id="S5.Ex42.m1.3.3.3.3.3.2.1" xref="S5.Ex42.m1.3.3.3.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S5.Ex42.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex42.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">z</mi></msub><mo id="S5.Ex42.m1.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m1.3.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.3.3.5" xref="S5.Ex42.m1.3.3.5.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex42.m1.3b"><apply id="S5.Ex42.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex42.m1.3.3">superscript</csymbol><list id="S5.Ex42.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex42.m1.3.3.3.3"><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1">˙</ci><ci 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id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.6" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">z</mi></msub><mo id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.5" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.5.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.4" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.cmml"><msub id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.2" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.2.cmml">w</mi><mn id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.3" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.1" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.3.2" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.cmml"><mo id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex42.m2.1.1" xref="S5.Ex42.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex42.m2.2.2.1.2" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex42.m2.2b"><apply id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1"><eq id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.5">absent</csymbol><apply id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3"><plus id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.4"></plus><apply id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><list id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3"><apply id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑦</ci></apply><apply id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.3.3.3.3">𝑧</ci></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.5.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.3.5">top</csymbol></apply><apply id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5"><times id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.1"></times><apply id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.2">𝑤</ci><cn id="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m2.2.2.1.1.3.5.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex42.m2.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex42.m2.2c">\displaystyle=[u_{x},u_{y},u_{z}]^{\top}+w_{2}(t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex42.m2.2d">= [ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p1.3">where <math alttext="[x_{1},x_{2},x_{3}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.1.m1.3"><semantics id="S5.SS4.p1.1.m1.3a"><msup id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">[</mo><msub id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.5" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.6" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.5" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.5.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.1.m1.3b"><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3">superscript</csymbol><list id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3"><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.3.3.5">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.1.m1.3c">[x_{1},x_{2},x_{3}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.1.m1.3d">[ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> captures the position of the drone, <math alttext="[v_{x},v_{y},v_{z}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.2.m2.3"><semantics id="S5.SS4.p1.2.m2.3a"><msup id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">[</mo><msub id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.5" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.6" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2.cmml">v</mi><mi id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3.cmml">z</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.5" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.5.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.2.m2.3b"><apply id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3">superscript</csymbol><list id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3"><apply id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3">𝑦</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2">𝑣</ci><ci id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3">𝑧</ci></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.5.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.3.3.5">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.2.m2.3c">[v_{x},v_{y},v_{z}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.2.m2.3d">[ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the velocity of the drone and <math alttext="[u_{x},u_{y},u_{z}]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.3.m3.3"><semantics id="S5.SS4.p1.3.m3.3a"><msup id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3" 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id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3.3" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3.3.cmml">z</mi></msub><mo id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.5" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.5.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.3.m3.3b"><apply id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3">superscript</csymbol><list id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3"><apply id="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.SS4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3">𝑦</ci></apply><apply id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.3.3.3.3">𝑧</ci></apply></list><csymbol cd="latexml" id="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.5.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.3.3.5">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.3.m3.3c">[u_{x},u_{y},u_{z}]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.3.m3.3d">[ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the control input of the drone.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p2.6">We consider the drone to be diagonally moving in an arena given by <math alttext="[0,3]\times[0,3]\times[0,15]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.1.m1.6"><semantics id="S5.SS4.p2.1.m1.6a"><mrow id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.cmml"><mrow id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.2" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.2.2" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.1.m1.2.2" xref="S5.SS4.p2.1.m1.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.2.3" rspace="0.055em" 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xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.4.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.1.m1.6.6" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.6.cmml">15</mn><mo id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.4.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.1.m1.6b"><apply id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7"><times id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.1"></times><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.2.2"><cn id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.1.m1.2.2">3</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.3.2"><cn id="S5.SS4.p2.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.1.m1.3.3">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.1.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.1.m1.4.4">3</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.4.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.7.4.2"><cn id="S5.SS4.p2.1.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.1.m1.5.5">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.1.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.1.m1.6.6">15</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.1.m1.6c">[0,3]\times[0,3]\times[0,15]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.1.m1.6d">[ 0 , 3 ] × [ 0 , 3 ] × [ 0 , 15 ]</annotation></semantics></math>, starting from <math alttext="{\mathbf{S}}=[2.75,3]\times[2.75,3]\times[0,0.25]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.2.m2.6"><semantics id="S5.SS4.p2.2.m2.6a"><mrow id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.cmml"><mi id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.2" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.2.cmml">𝐒</mi><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.1" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.cmml"><mrow id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.2" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.2.m2.1.1" xref="S5.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml">2.75</mn><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.2.2" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.2.m2.2.2" xref="S5.SS4.p2.2.m2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.1" rspace="0.222em" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.2" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.2.m2.3.3" xref="S5.SS4.p2.2.m2.3.3.cmml">2.75</mn><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.2.2" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.2.m2.4.4" xref="S5.SS4.p2.2.m2.4.4.cmml">3</mn><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.1a" rspace="0.222em" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.2" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.2.m2.5.5" xref="S5.SS4.p2.2.m2.5.5.cmml">0</mn><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.2.2" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.2.m2.6.6" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.6.cmml">0.25</mn><mo id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.2.m2.6b"><apply id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.cmml" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7"><eq id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.1"></eq><ci id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.2">𝐒</ci><apply id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3"><times id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.1"></times><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.2.2"><cn id="S5.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS4.p2.2.m2.1.1">2.75</cn><cn id="S5.SS4.p2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.2.m2.2.2">3</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.3.2"><cn id="S5.SS4.p2.2.m2.3.3.cmml" type="float" xref="S5.SS4.p2.2.m2.3.3">2.75</cn><cn id="S5.SS4.p2.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.2.m2.4.4">3</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.7.3.4.2"><cn id="S5.SS4.p2.2.m2.5.5.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.2.m2.5.5">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.2.m2.6.6.cmml" type="float" xref="S5.SS4.p2.2.m2.6.6">0.25</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.2.m2.6c">{\mathbf{S}}=[2.75,3]\times[2.75,3]\times[0,0.25]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.2.m2.6d">bold_S = [ 2.75 , 3 ] × [ 2.75 , 3 ] × [ 0 , 0.25 ]</annotation></semantics></math> reaching towards the target <math alttext="{\mathbf{T}}=[0,0.25]\times[0,0.25]\times[0,0.25]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.3.m3.6"><semantics id="S5.SS4.p2.3.m3.6a"><mrow id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.cmml"><mi id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.2" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.1" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.cmml"><mrow id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.2" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.3.m3.1.1" xref="S5.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.2.2" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.3.m3.2.2" xref="S5.SS4.p2.3.m3.2.2.cmml">0.25</mn><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.1" rspace="0.222em" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.2" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.3.m3.3.3" xref="S5.SS4.p2.3.m3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.2.2" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.3.m3.4.4" xref="S5.SS4.p2.3.m3.4.4.cmml">0.25</mn><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.1a" rspace="0.222em" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.2" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.3.m3.5.5" xref="S5.SS4.p2.3.m3.5.5.cmml">0</mn><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.2.2" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.3.m3.6.6" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.6.cmml">0.25</mn><mo id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.3.m3.6b"><apply id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.cmml" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7"><eq id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.1"></eq><ci id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.2">𝐓</ci><apply id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3"><times id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.1"></times><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.2.2"><cn id="S5.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.3.m3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.SS4.p2.3.m3.2.2">0.25</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.3.2"><cn id="S5.SS4.p2.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.3.m3.3.3">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.3.m3.4.4.cmml" type="float" xref="S5.SS4.p2.3.m3.4.4">0.25</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.7.3.4.2"><cn id="S5.SS4.p2.3.m3.5.5.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.3.m3.5.5">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.3.m3.6.6.cmml" type="float" xref="S5.SS4.p2.3.m3.6.6">0.25</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.3.m3.6c">{\mathbf{T}}=[0,0.25]\times[0,0.25]\times[0,0.25]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.3.m3.6d">bold_T = [ 0 , 0.25 ] × [ 0 , 0.25 ] × [ 0 , 0.25 ]</annotation></semantics></math>, avoiding the static unsafe set given by <math alttext="{\mathbf{U}}=[1,2]\times[0,3]\times[0,3]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.4.m4.6"><semantics id="S5.SS4.p2.4.m4.6a"><mrow id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.cmml"><mi id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.2" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.1" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.cmml"><mrow id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.2" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.4.m4.1.1" xref="S5.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.2.2" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.4.m4.2.2" xref="S5.SS4.p2.4.m4.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.1" rspace="0.222em" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.2" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.4.m4.3.3" xref="S5.SS4.p2.4.m4.3.3.cmml">0</mn><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.2.2" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.4.m4.4.4" xref="S5.SS4.p2.4.m4.4.4.cmml">3</mn><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.1a" rspace="0.222em" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.2" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.1.cmml">[</mo><mn id="S5.SS4.p2.4.m4.5.5" xref="S5.SS4.p2.4.m4.5.5.cmml">0</mn><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.2.2" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS4.p2.4.m4.6.6" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.6.cmml">3</mn><mo id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.4.m4.6b"><apply id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.cmml" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7"><eq id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.1"></eq><ci id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.2">𝐔</ci><apply id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3"><times id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.1"></times><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.2.2"><cn id="S5.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.4.m4.1.1">1</cn><cn id="S5.SS4.p2.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.4.m4.2.2">2</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.3.2"><cn id="S5.SS4.p2.4.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.4.m4.3.3">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.4.m4.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.4.m4.4.4">3</cn></interval><interval closure="closed" id="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.7.3.4.2"><cn id="S5.SS4.p2.4.m4.5.5.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.4.m4.5.5">0</cn><cn id="S5.SS4.p2.4.m4.6.6.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.4.m4.6.6">3</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.4.m4.6c">{\mathbf{U}}=[1,2]\times[0,3]\times[0,3]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.4.m4.6d">bold_U = [ 1 , 2 ] × [ 0 , 3 ] × [ 0 , 3 ]</annotation></semantics></math> which is assumed to be present there for the complete time-horizon. The time bound for reaching the target is considered as <math alttext="t_{c}=20" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.5.m5.1"><semantics id="S5.SS4.p2.5.m5.1a"><mrow id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">t</mi><mi id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.3.cmml">20</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.5.m5.1b"><apply id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1"><eq id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.5.m5.1.1.3">20</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.5.m5.1c">t_{c}=20</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.5.m5.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 20</annotation></semantics></math>. We consider another dynamic cubic obstacle with a uniform width of <math alttext="0.25m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.6.m6.1"><semantics id="S5.SS4.p2.6.m6.1a"><mrow id="S5.SS4.p2.6.m6.1.1" xref="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.cmml"><mn id="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.2" xref="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.2.cmml">0.25</mn><mo id="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.1" xref="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.3" xref="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.6.m6.1b"><apply id="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.6.m6.1.1"><times id="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.1"></times><cn id="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.2">0.25</cn><ci id="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.6.m6.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.6.m6.1c">0.25m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.6.m6.1d">0.25 italic_m</annotation></semantics></math> along each dimension. This obstacle moves along the opposite diagonal of the arena, with the trajectory of its center specified by the following parametric equations:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx33"> <tbody id="S5.Ex43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle x_{1o}(t)=2.875-0.1375t,\ x_{2o}(t)=0.125+0.1375t,\ x_{3o}(t)=-0% .1t^{2}+2t+0.125." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex43.m1.4"><semantics id="S5.Ex43.m1.4a"><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1"><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">o</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex43.m1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">2.875</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.1375</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">o</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex43.m1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">0.125</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">0.1375</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">o</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex43.m1.3.3" xref="S5.Ex43.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2a" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml">0.1</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.1" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1a" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.4" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.4.cmml">0.125</mn></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex43.m1.4b"><apply id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.1.1.1"></eq><apply 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xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.2">2</cn><ci id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.3">𝑡</ci></apply><cn id="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.4.cmml" type="float" xref="S5.Ex43.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.4">0.125</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex43.m1.4c">\displaystyle x_{1o}(t)=2.875-0.1375t,\ x_{2o}(t)=0.125+0.1375t,\ x_{3o}(t)=-0% .1t^{2}+2t+0.125.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex43.m1.4d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = 2.875 - 0.1375 italic_t , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = 0.125 + 0.1375 italic_t , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = - 0.1 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_t + 0.125 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p2.9">Here, we consider the template for the STTs as second-order polynomials in time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.7.m1.1"><semantics id="S5.SS4.p2.7.m1.1a"><mi id="S5.SS4.p2.7.m1.1.1" xref="S5.SS4.p2.7.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.7.m1.1b"><ci id="S5.SS4.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.7.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.7.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.7.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>: <math alttext="p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.8.m2.6"><semantics id="S5.SS4.p2.8.m2.6a"><mrow id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.cmml"><mrow id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.cmml"><msub id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2.cmml"><mi id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2.2" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.4" xref="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS4.p2.8.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS4.p2.8.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.4.1" xref="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.2" xref="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.2.cmml">ℴ</mi></mrow></msub><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.1" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.3.2" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS4.p2.8.m2.3.3" xref="S5.SS4.p2.8.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.2" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.2.cmml">{</mo><mn id="S5.SS4.p2.8.m2.4.4" xref="S5.SS4.p2.8.m2.4.4.cmml">1</mn><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.3" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.SS4.p2.8.m2.5.5" xref="S5.SS4.p2.8.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.4" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.2.cmml">,</mo><msup id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.2" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.3" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.5" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.8.m2.6b"><apply id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6"><eq id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.2"></eq><apply id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3"><times id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.1"></times><apply id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.3.2.2">𝑝</ci><list id="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.4"><ci id="S5.SS4.p2.8.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.2.2.2.2">ℴ</ci></list></apply><ci id="S5.SS4.p2.8.m2.3.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.3.3">𝑡</ci></apply><set id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1"><cn id="S5.SS4.p2.8.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.8.m2.4.4">1</cn><ci id="S5.SS4.p2.8.m2.5.5.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.5.5">𝑡</ci><apply id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS4.p2.8.m2.6.6.1.1.1.3">2</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.8.m2.6c">p_{i,{\mathcal{o}}}(t)=\{1,t,t^{2}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.8.m2.6d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , caligraphic_o end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = { 1 , italic_t , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, for <math alttext="{\mathcal{o}}=\{L,U\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.9.m3.2"><semantics id="S5.SS4.p2.9.m3.2a"><mrow id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.2" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.2.cmml">ℴ</mi><mo id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.1" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.2" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.SS4.p2.9.m3.1.1" xref="S5.SS4.p2.9.m3.1.1.cmml">L</mi><mo id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.2.2" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.SS4.p2.9.m3.2.2" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.9.m3.2b"><apply id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3"><eq id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.1"></eq><ci id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.2">ℴ</ci><set id="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.3.3.2"><ci id="S5.SS4.p2.9.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.9.m3.1.1">𝐿</ci><ci id="S5.SS4.p2.9.m3.2.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.9.m3.2.2">𝑈</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.9.m3.2c">{\mathcal{o}}=\{L,U\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.9.m3.2d">caligraphic_o = { italic_L , italic_U }</annotation></semantics></math>. The STT obtained to solve the T-RAS task for this case is given by the following curves:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx34"> <tbody id="S5.Ex44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex44.m1.6"><semantics id="S5.Ex44.m1.6a"><mrow id="S5.Ex44.m1.6.6" xref="S5.Ex44.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex44.m1.6.6.3" xref="S5.Ex44.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex44.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex44.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex44.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex44.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex44.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex44.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex44.m1.6.6.2" xref="S5.Ex44.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex44.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex44.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex44.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex44.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex44.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex44.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex44.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex44.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex44.m1.5.5" xref="S5.Ex44.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex44.m1.6b"><apply id="S5.Ex44.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6"><times id="S5.Ex44.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex44.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex44.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex44.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex44.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex44.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex44.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex44.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S5.Ex44.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex44.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex44.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,L}(c_{1,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex44.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2.75-0.0296t-0.0054t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex44.m2.1"><semantics id="S5.Ex44.m2.1a"><mrow id="S5.Ex44.m2.1.1.1" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">2.75</mn><mo id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.0296</mn><mo id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mn id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml">0.0054</mn><mo id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.1" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex44.m2.1b"><apply id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><cn id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.2">2.75</cn><apply id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.0296</cn><ci id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4"><times id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.1"></times><cn id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.2">0.0054</cn><apply id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m2.1.1.1.1.3.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex44.m2.1c">\displaystyle=2.75-0.0296t-0.0054t^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex44.m2.1d">= 2.75 - 0.0296 italic_t - 0.0054 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex45.m1.6"><semantics id="S5.Ex45.m1.6a"><mrow id="S5.Ex45.m1.6.6" xref="S5.Ex45.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.6.6.3" xref="S5.Ex45.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex45.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex45.m1.6.6.2" xref="S5.Ex45.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex45.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex45.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi 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xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex45.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex45.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex45.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.3.3.1.1">1</cn><ci id="S5.Ex45.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S5.Ex45.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex45.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex45.m1.6c">\displaystyle\gamma_{1,U}(c_{1,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex45.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=3-0.0396t-0.0049t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex45.m2.1"><semantics id="S5.Ex45.m2.1a"><mrow id="S5.Ex45.m2.1.1.1" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.0396</mn><mo id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mn id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml">0.0049</mn><mo id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.1" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex45.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex45.m2.1b"><apply id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><cn id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.2">3</cn><apply id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.0396</cn><ci id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4"><times id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.1"></times><cn id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.2">0.0049</cn><apply id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m2.1.1.1.1.3.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex45.m2.1c">\displaystyle=3-0.0396t-0.0049t^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex45.m2.1d">= 3 - 0.0396 italic_t - 0.0049 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{2,L}(c_{2,L},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex46.m1.6"><semantics id="S5.Ex46.m1.6a"><mrow id="S5.Ex46.m1.6.6" xref="S5.Ex46.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex46.m1.6.6.3" xref="S5.Ex46.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex46.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex46.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex46.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex46.m1.6.6.2" xref="S5.Ex46.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex46.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex46.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex46.m1.5.5" xref="S5.Ex46.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex46.m1.6b"><apply id="S5.Ex46.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6"><times id="S5.Ex46.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex46.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex46.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1">2</cn><ci id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex46.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex46.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1">2</cn><ci id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S5.Ex46.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex46.m1.6c">\displaystyle\gamma_{2,L}(c_{2,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex46.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2.75-0.1336t-0.0002t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex46.m2.1"><semantics id="S5.Ex46.m2.1a"><mrow id="S5.Ex46.m2.1.1.1" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">2.75</mn><mo id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.1336</mn><mo id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mn id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml">0.0002</mn><mo id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.1" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex46.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex46.m2.1b"><apply id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><cn id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.2">2.75</cn><apply id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.1336</cn><ci id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4"><times id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.1"></times><cn id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.2">0.0002</cn><apply id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex46.m2.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑡</ci><cn 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id="S5.Ex47.m1.5.5" xref="S5.Ex47.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex47.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex47.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex47.m1.6b"><apply id="S5.Ex47.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex47.m1.6.6"><times id="S5.Ex47.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex47.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex47.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1">2</cn><ci id="S5.Ex47.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex47.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex47.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" 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id="S5.Ex48.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex48.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex48.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.3.3.1.1">3</cn><ci id="S5.Ex48.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><ci id="S5.Ex48.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex48.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex48.m1.6c">\displaystyle\gamma_{3,L}(c_{3,L},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex48.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 3 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 3 , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0+1.9175t-0.0959t^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex48.m2.1"><semantics id="S5.Ex48.m2.1a"><mrow 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xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.0959</mn><mo id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex48.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex48.m2.1b"><apply id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2"><plus id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.1"></plus><cn id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.2">0</cn><apply id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">1.9175</cn><ci id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.0959</cn><apply id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex48.m2.1c">\displaystyle=0+1.9175t-0.0959t^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex48.m2.1d">= 0 + 1.9175 italic_t - 0.0959 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{3,U}(c_{3,U},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex49.m1.6"><semantics id="S5.Ex49.m1.6a"><mrow id="S5.Ex49.m1.6.6" xref="S5.Ex49.m1.6.6.cmml"><msub id="S5.Ex49.m1.6.6.3" xref="S5.Ex49.m1.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.6.6.3.2" xref="S5.Ex49.m1.6.6.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S5.Ex49.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex49.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex49.m1.6.6.2" xref="S5.Ex49.m1.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S5.Ex49.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex49.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex49.m1.4.4.2.4.1" xref="S5.Ex49.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex49.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex49.m1.4.4.2.2.cmml">U</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex49.m1.5.5" xref="S5.Ex49.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex49.m1.6b"><apply id="S5.Ex49.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6"><times id="S5.Ex49.m1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6.2"></times><apply id="S5.Ex49.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6.3.2">𝛾</ci><list id="S5.Ex49.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1">3</cn><ci id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2">𝑈</ci></list></apply><interval closure="open" id="S5.Ex49.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.1"><apply id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.6.6.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="S5.Ex49.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.4.4.2.4"><cn id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1">3</cn><ci id="S5.Ex49.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.4.4.2.2">𝑈</ci></list></apply><ci id="S5.Ex49.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex49.m1.5.5">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex49.m1.6c">\displaystyle\gamma_{3,U}(c_{3,U},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex49.m1.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 3 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 3 , italic_U end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0.25+1.9075t-0.0954t^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex49.m2.1"><semantics id="S5.Ex49.m2.1a"><mrow id="S5.Ex49.m2.1.1.1" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">0.25</mn><mo id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1.9075</mn><mo id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">0.0954</mn><mo id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex49.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex49.m2.1b"><apply id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2"><plus id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.1"></plus><cn id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.2">0.25</cn><apply id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">1.9075</cn><ci id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.2">0.0954</cn><apply id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex49.m2.1c">\displaystyle=0.25+1.9075t-0.0954t^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex49.m2.1d">= 0.25 + 1.9075 italic_t - 0.0954 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p2.10">The trajectory of the drones under the influence of the proposed control law in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S4.E10" title="In Theorem 4.1 ‣ 4 Controller Design ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), as well as the obtained sampling-based STTs for the drone in each dimension is shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.F4" title="Figure 4 ‣ 5.4 Drones ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F4"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="493" id="S5.F4.sf1.g1" src="extracted/6014516/Drone_single.png" width="479"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(a) </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="473" id="S5.F4.sf2.g1" src="extracted/6014516/Drone_single_tube.png" width="479"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(b) </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Trajectory of drone with static and dynamic obstacles in a 3D environment (left) and respective STTs (right)</figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p3.1">All the computations were performed on a machine with a Linux Ubuntu operating system with Intel i7-7700 CPU and 32GB RAM.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS4.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p4.1">Discussion and Comparison: The efficacy of our approach is demonstrated across various systems and settings. While the omnidirectional robot and manipulator case studies show safe navigation in a two-dimensional environment with multiple complex-shaped unsafe sets, the magnetic levitator system demonstrates the approach’s success in managing timed unsafe sets. Finally, drone navigation illustrates its scalability for systems in the presence of time-varying unsafe sets. Furthermore, real-world testing <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://indianinstituteofscience-my.sharepoint.com/:f:/g/personal/ratnangshud_iisc_ac_in/EtL8D1Z0DE5ErlV37eVislIBH0RYzT03fDSdET66_MEVHA?e=uhj3q9" title="">Videos</a> validates the real-time practical applicability of the STT approach.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS4.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p5.1">It is also important to note that, the generation of STTs occurs offline, with only the closed-form control law, which is highly computationally efficient, applied in real-time. This design choice significantly enhances scalability, making it suitable for high-dimensional systems and environments with complex safety constraints.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.SS4.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p6.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic ltx_framed ltx_framed_underline" id="S5.SS4.p6.1.1">Comparison:</span> Path planning algorithms <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib51" title="">51</a>]</cite> offer a potential solution to the case studies, albeit with moderate to high computational complexity and lacking formal guarantees of solution. Conversely, symbolic control techniques <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib4" title="">4</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib47" title="">47</a>]</cite> promise formal guarantees but come at the expense of increased computational complexity and demanding the knowledge of exact mathematical models. Although it takes moderate time to generate a STT, the sampling-based approach gives a formal guarantee under unknown dynamics to satisfy the T-RAS task. The comparison of different aspects of the proposed STTs with state-of-the-art algorithms is shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5.1 Omnidirectional Robot ‣ 5 Case Study ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Note that it is difficult to handle time-dependent obstacles using state-of-art algorithms. In contrast, STTs can handle them, as shown in the case of the magnetic levitator system.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6 </span>Conclusion and Future Work</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">The paper focuses on constructing the STTs using a sampling-based approach from the available data of temporal unsafe sets, aiming to ensure the temporal reach-avoid-stay (T-RAS) task. We formulate an SOP to assemble obstacle data and model the tube so that it ensures the T-RAS task is completed with a certified confidence of 1. Consequently, we can design a closed-form, approximation-free control law to retain the unknown MIMO pure-feedback system’s trajectory within the tube. We showcase the success of our approach through three different case studies.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.1">Although the case studies significantly support the proposed approach, the time complexity of constructing the tube for any general case is subject to further investigation as it depends on the length of time horizon, the volume of unsafe region, and the degree of the tube polynomial, hence being tedious to calculate. The proposed approach cannot consider arbitrary input constraints; in future work, we also aim to develop solutions accommodating input constraints. Finally in this work, we focused on fully actuated systems, and in future work, we plan to extend our approach to general underactuated nonlinear systems.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> Yiming Meng, Yinan Li, and Jun Liu. </span> <span class="ltx_bibblock">Control of nonlinear systems with reach-avoid-stay specifications: A Lyapunov-barrier approach with an application to the Moore-Greizer model. </span> <span class="ltx_bibblock">In <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">American Control Conference</span>, pages 2284–2291, 2021. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> Marius Kloetzer and Calin Belta. </span> <span class="ltx_bibblock">A fully automated framework for control of linear systems from temporal logic specifications. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib2.1.1">IEEE Transactions on Automatic Control</span>, 53(1):287–297, 2008. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"> Pushpak Jagtap and Dimos V Dimarogonas. </span> <span class="ltx_bibblock">Controller synthesis against omega-regular specifications: A funnel-based control approach. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib3.1.1">International Journal of Robust and Nonlinear Control</span>, 2024. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"> P. 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Wood and B. P. Zhang. </span> <span class="ltx_bibblock">Estimation of the Lipschitz constant of a function. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib52.1.1">Journal of Global Optimization</span>, 8:91–103, 1996. </span> </li> </ul> </section> <section class="ltx_subsection" id="S6.SSx1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection">Appendix A. Computation of Lipschitz constants <math alttext="\mathcal{L}_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SSx1.1.m1.1"><semantics id="S6.SSx1.1.m1.1b"><msub id="S6.SSx1.1.m1.1.1" xref="S6.SSx1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SSx1.1.m1.1.1.2" xref="S6.SSx1.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S6.SSx1.1.m1.1.1.3" xref="S6.SSx1.1.m1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SSx1.1.m1.1c"><apply id="S6.SSx1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SSx1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SSx1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SSx1.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S6.SSx1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SSx1.1.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SSx1.1.m1.1d">\mathcal{L}_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SSx1.1.m1.1e">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}_{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SSx1.2.m2.1"><semantics id="S6.SSx1.2.m2.1b"><msub id="S6.SSx1.2.m2.1.1" xref="S6.SSx1.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SSx1.2.m2.1.1.2" xref="S6.SSx1.2.m2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S6.SSx1.2.m2.1.1.3" xref="S6.SSx1.2.m2.1.1.3.cmml">U</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SSx1.2.m2.1c"><apply id="S6.SSx1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SSx1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SSx1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SSx1.2.m2.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S6.SSx1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.SSx1.2.m2.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SSx1.2.m2.1d">\mathcal{L}_{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SSx1.2.m2.1e">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S6.SSx1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SSx1.p1.2">Employing the results of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib52" title="">52</a>]</cite>, we propose the Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#alg1" title="Algorithm 1 ‣ Appendix A. Computation of Lipschitz constants ℒ_𝐿 and ℒ_𝑈 ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> to estimate the Lipschitz constants of the STTs using a finite number of data collected from the tube boundary. Though we introduce the algorithm for the computation of <math alttext="\mathcal{L}_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SSx1.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.SSx1.p1.1.m1.1a"><msub id="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1" xref="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SSx1.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SSx1.p1.1.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SSx1.p1.1.m1.1c">\mathcal{L}_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SSx1.p1.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, one can leverage a similar algorithm to estimate <math alttext="\mathcal{L}_{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SSx1.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.SSx1.p1.2.m2.1a"><msub id="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1" xref="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">U</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SSx1.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.SSx1.p1.2.m2.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SSx1.p1.2.m2.1c">\mathcal{L}_{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SSx1.p1.2.m2.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, following the same procedure.</p> </div> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="alg1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.4.1.1">Algorithm 1</span> </span> Estimation of <math alttext="\mathcal{L}_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.2.m1.1"><semantics id="alg1.2.m1.1b"><msub id="alg1.2.m1.1.1" xref="alg1.2.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.2.m1.1.1.2" xref="alg1.2.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="alg1.2.m1.1.1.3" xref="alg1.2.m1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.2.m1.1c"><apply id="alg1.2.m1.1.1.cmml" xref="alg1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.2.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="alg1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.2.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.2.m1.1d">\mathcal{L}_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.2.m1.1e">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> using data</figcaption> <div class="ltx_listing ltx_listing" id="alg1.5"> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">1:</span>Select two time instances randomly <math alttext="t_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m1.1"><semantics id="alg1.l1.m1.1a"><msub id="alg1.l1.m1.1.1" xref="alg1.l1.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l1.m1.1.1.2" xref="alg1.l1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="alg1.l1.m1.1.1.3" xref="alg1.l1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m1.1b"><apply id="alg1.l1.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l1.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="alg1.l1.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m1.1c">t_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m1.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="t_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m2.1"><semantics id="alg1.l1.m2.1a"><msub id="alg1.l1.m2.1.1" xref="alg1.l1.m2.1.1.cmml"><mi id="alg1.l1.m2.1.1.2" xref="alg1.l1.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="alg1.l1.m2.1.1.3" xref="alg1.l1.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m2.1b"><apply id="alg1.l1.m2.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l1.m2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="alg1.l1.m2.1.1.3.cmml" xref="alg1.l1.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m2.1c">t_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m2.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\lVert t_{j}-t_{k}\rVert\leq\alpha,\forall j,k\in[1;\overline{N}],\alpha\in{% \mathbb{R}}_{>0}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m3.5"><semantics id="alg1.l1.m3.5a"><mrow id="alg1.l1.m3.5.5.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.3.cmml"><mrow id="alg1.l1.m3.4.4.1.1" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.cmml"><mrow id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><mi id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mi id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo fence="true" id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.3" lspace="0.1389em" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="alg1.l1.m3.3.3" xref="alg1.l1.m3.3.3.cmml">α</mi><mo id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.2" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.2.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.1" rspace="0.167em" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">∀</mo><mi id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml">j</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="alg1.l1.m3.5.5.2.3" xref="alg1.l1.m3.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.3.cmml"><mrow id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.1" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="alg1.l1.m3.1.1" xref="alg1.l1.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.2.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.1.cmml">;</mo><mover accent="true" id="alg1.l1.m3.2.2" xref="alg1.l1.m3.2.2.cmml"><mi id="alg1.l1.m3.2.2.2" xref="alg1.l1.m3.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="alg1.l1.m3.2.2.1" xref="alg1.l1.m3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.3" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.1" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.2" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.2.cmml"></mi><mo id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.1" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.1.cmml">></mo><mn id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.3" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.3.cmml">0</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m3.5b"><apply id="alg1.l1.m3.5.5.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m3.5.5.3a.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1"><leq id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.3"></leq><apply id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1"><minus id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><list id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1"><ci id="alg1.l1.m3.3.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.3.3">𝛼</ci><apply id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.1">for-all</csymbol><ci id="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.4.4.1.1.2.1.1.2">𝑗</ci></apply></list></apply><apply id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.3a.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1"><in id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.1"></in><ci id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.2">𝑘</ci><list id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.1.1.3.2"><cn id="alg1.l1.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m3.1.1">1</cn><apply id="alg1.l1.m3.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.2.2"><ci id="alg1.l1.m3.2.2.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.2.2.1">¯</ci><ci id="alg1.l1.m3.2.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.2.2.2">𝑁</ci></apply></list></apply><apply id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2"><in id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.1"></in><ci id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.2">𝛼</ci><apply id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.2">ℝ</ci><apply id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3"><gt id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.1"></gt><csymbol cd="latexml" id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.2">absent</csymbol><cn id="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m3.5.5.2.2.2.2.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m3.5c">\lVert t_{j}-t_{k}\rVert\leq\alpha,\forall j,k\in[1;\overline{N}],\alpha\in{% \mathbb{R}}_{>0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m3.5d">∥ italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≤ italic_α , ∀ italic_j , italic_k ∈ [ 1 ; over¯ start_ARG italic_N end_ARG ] , italic_α ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT > 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">2:</span>Calculate <math alttext="\theta_{j}^{i}=\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m1.6"><semantics id="alg1.l2.m1.6a"><mrow id="alg1.l2.m1.6.6" xref="alg1.l2.m1.6.6.cmml"><msubsup id="alg1.l2.m1.6.6.4" xref="alg1.l2.m1.6.6.4.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.6.6.4.2.2" xref="alg1.l2.m1.6.6.4.2.2.cmml">θ</mi><mi id="alg1.l2.m1.6.6.4.2.3" xref="alg1.l2.m1.6.6.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="alg1.l2.m1.6.6.4.3" xref="alg1.l2.m1.6.6.4.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="alg1.l2.m1.6.6.3" xref="alg1.l2.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l2.m1.6.6.2" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.cmml"><msub id="alg1.l2.m1.6.6.2.4" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.4.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.6.6.2.4.2" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="alg1.l2.m1.2.2.2.4" xref="alg1.l2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l2.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l2.m1.2.2.2.4.1" xref="alg1.l2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l2.m1.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m1.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="alg1.l2.m1.6.6.2.3" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1" xref="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="alg1.l2.m1.4.4.2.4" xref="alg1.l2.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.3.3.1.1" xref="alg1.l2.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l2.m1.4.4.2.4.1" xref="alg1.l2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l2.m1.4.4.2.2" xref="alg1.l2.m1.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.4" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.3" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m1.6b"><apply id="alg1.l2.m1.6.6.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6"><eq id="alg1.l2.m1.6.6.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.3"></eq><apply id="alg1.l2.m1.6.6.4.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.6.6.4.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.4">superscript</csymbol><apply id="alg1.l2.m1.6.6.4.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.6.6.4.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.4">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.6.6.4.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.4.2.2">𝜃</ci><ci id="alg1.l2.m1.6.6.4.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="alg1.l2.m1.6.6.4.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="alg1.l2.m1.6.6.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2"><times id="alg1.l2.m1.6.6.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.3"></times><apply id="alg1.l2.m1.6.6.2.4.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.6.6.2.4.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.6.6.2.4.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.4.2">𝛾</ci><list id="alg1.l2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.2.2.2.4"><ci id="alg1.l2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2"><apply id="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="alg1.l2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.4.4.2.4"><ci id="alg1.l2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m1.6c">\theta_{j}^{i}=\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m1.6d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT = italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta_{k}^{i}=\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m2.6"><semantics id="alg1.l2.m2.6a"><mrow id="alg1.l2.m2.6.6" xref="alg1.l2.m2.6.6.cmml"><msubsup id="alg1.l2.m2.6.6.4" xref="alg1.l2.m2.6.6.4.cmml"><mi id="alg1.l2.m2.6.6.4.2.2" xref="alg1.l2.m2.6.6.4.2.2.cmml">θ</mi><mi id="alg1.l2.m2.6.6.4.2.3" xref="alg1.l2.m2.6.6.4.2.3.cmml">k</mi><mi id="alg1.l2.m2.6.6.4.3" xref="alg1.l2.m2.6.6.4.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="alg1.l2.m2.6.6.3" xref="alg1.l2.m2.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l2.m2.6.6.2" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.cmml"><msub id="alg1.l2.m2.6.6.2.4" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.4.cmml"><mi id="alg1.l2.m2.6.6.2.4.2" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="alg1.l2.m2.2.2.2.4" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l2.m2.1.1.1.1" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l2.m2.2.2.2.4.1" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l2.m2.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="alg1.l2.m2.6.6.2.3" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1" xref="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="alg1.l2.m2.4.4.2.4" xref="alg1.l2.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="alg1.l2.m2.3.3.1.1" xref="alg1.l2.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l2.m2.4.4.2.4.1" xref="alg1.l2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l2.m2.4.4.2.2" xref="alg1.l2.m2.4.4.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.4" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.3" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m2.6b"><apply id="alg1.l2.m2.6.6.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6"><eq id="alg1.l2.m2.6.6.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.3"></eq><apply id="alg1.l2.m2.6.6.4.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m2.6.6.4.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.4">superscript</csymbol><apply id="alg1.l2.m2.6.6.4.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m2.6.6.4.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.4">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m2.6.6.4.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.4.2.2">𝜃</ci><ci id="alg1.l2.m2.6.6.4.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.4.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="alg1.l2.m2.6.6.4.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="alg1.l2.m2.6.6.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2"><times id="alg1.l2.m2.6.6.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.3"></times><apply id="alg1.l2.m2.6.6.2.4.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m2.6.6.2.4.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m2.6.6.2.4.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.4.2">𝛾</ci><list id="alg1.l2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.4"><ci id="alg1.l2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply><interval closure="open" id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2"><apply id="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.5.5.1.1.1.1.2">𝑐</ci><list id="alg1.l2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.4.4.2.4"><ci id="alg1.l2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.4.4.2.2">𝐿</ci></list></apply><apply id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.6.6.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m2.6c">\theta_{k}^{i}=\gamma_{i,L}(c_{i,L},t_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m2.6d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT = italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> where <math alttext="\theta_{j}^{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m3.1"><semantics id="alg1.l2.m3.1a"><msubsup id="alg1.l2.m3.1.1" xref="alg1.l2.m3.1.1.cmml"><mi id="alg1.l2.m3.1.1.2.2" xref="alg1.l2.m3.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="alg1.l2.m3.1.1.2.3" xref="alg1.l2.m3.1.1.2.3.cmml">j</mi><mi id="alg1.l2.m3.1.1.3" xref="alg1.l2.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m3.1b"><apply id="alg1.l2.m3.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m3.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l2.m3.1.1.2.cmml" xref="alg1.l2.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m3.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m3.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m3.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="alg1.l2.m3.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m3.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="alg1.l2.m3.1.1.3.cmml" xref="alg1.l2.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m3.1c">\theta_{j}^{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m3.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta_{k}^{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m4.1"><semantics id="alg1.l2.m4.1a"><msubsup id="alg1.l2.m4.1.1" xref="alg1.l2.m4.1.1.cmml"><mi id="alg1.l2.m4.1.1.2.2" xref="alg1.l2.m4.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="alg1.l2.m4.1.1.2.3" xref="alg1.l2.m4.1.1.2.3.cmml">k</mi><mi id="alg1.l2.m4.1.1.3" xref="alg1.l2.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m4.1b"><apply id="alg1.l2.m4.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m4.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l2.m4.1.1.2.cmml" xref="alg1.l2.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m4.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m4.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m4.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="alg1.l2.m4.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m4.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="alg1.l2.m4.1.1.3.cmml" xref="alg1.l2.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m4.1c">\theta_{k}^{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m4.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the lower bound of the tube in <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m5.1"><semantics id="alg1.l2.m5.1a"><mi id="alg1.l2.m5.1.1" xref="alg1.l2.m5.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m5.1b"><ci id="alg1.l2.m5.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m5.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m5.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m5.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th dimension at <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m6.1"><semantics id="alg1.l2.m6.1a"><mi id="alg1.l2.m6.1.1" xref="alg1.l2.m6.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m6.1b"><ci id="alg1.l2.m6.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m6.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m6.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m6.1d">italic_j</annotation></semantics></math>-th and <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m7.1"><semantics id="alg1.l2.m7.1a"><mi id="alg1.l2.m7.1.1" xref="alg1.l2.m7.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m7.1b"><ci id="alg1.l2.m7.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m7.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m7.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m7.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-th time instances </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">3:</span>Compute slope <math alttext="S_{jk}^{i}=\frac{\lVert\theta_{j}^{i}-\theta_{k}^{i}\rVert}{t_{j}-t_{k}},\quad% \forall j\neq k" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l3.m1.3"><semantics id="alg1.l3.m1.3a"><mrow id="alg1.l3.m1.3.3.2" xref="alg1.l3.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="alg1.l3.m1.2.2.1.1" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mrow id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.3" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.1" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="alg1.l3.m1.1.1" xref="alg1.l3.m1.1.1.cmml"><mrow id="alg1.l3.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mi id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" 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xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝑆</ci><apply id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3"><times id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.2.2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="alg1.l3.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1"><divide id="alg1.l3.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1"></divide><apply id="alg1.l3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l3.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1"><minus id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" 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id="alg1.l3.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="alg1.l3.m1.3.3.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.3.3.2.2"><neq id="alg1.l3.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.3.3.2.2.1"></neq><apply id="alg1.l3.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.3.3.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="alg1.l3.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.3.3.2.2.2.2">𝑗</ci></apply><ci id="alg1.l3.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l3.m1.3c">S_{jk}^{i}=\frac{\lVert\theta_{j}^{i}-\theta_{k}^{i}\rVert}{t_{j}-t_{k}},\quad% \forall j\neq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l3.m1.3d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG ∥ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , ∀ italic_j ≠ italic_k</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">4:</span>Compute maximum slope as <math alttext="\Psi_{i}=\max\{S_{jk}^{i}|j,k\in[1;\overline{N}],j\neq k\}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m1.7"><semantics id="alg1.l4.m1.7a"><mrow id="alg1.l4.m1.7.7" xref="alg1.l4.m1.7.7.cmml"><msub id="alg1.l4.m1.7.7.4" xref="alg1.l4.m1.7.7.4.cmml"><mi id="alg1.l4.m1.7.7.4.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l4.m1.7.7.4.2.cmml">Ψ</mi><mi id="alg1.l4.m1.7.7.4.3" xref="alg1.l4.m1.7.7.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="alg1.l4.m1.7.7.3" xref="alg1.l4.m1.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l4.m1.7.7.2.2" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.3.cmml"><mi id="alg1.l4.m1.5.5" xref="alg1.l4.m1.5.5.cmml">max</mi><mo id="alg1.l4.m1.7.7.2.2a" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.3.cmml">{</mo><mrow id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">S</mi><mrow id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo fence="false" id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mi id="alg1.l4.m1.3.3" xref="alg1.l4.m1.3.3.cmml">j</mi><mo id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg1.l4.m1.4.4" xref="alg1.l4.m1.4.4.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="alg1.l4.m1.1.1" xref="alg1.l4.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml">;</mo><mover accent="true" id="alg1.l4.m1.2.2" xref="alg1.l4.m1.2.2.cmml"><mi id="alg1.l4.m1.2.2.2" xref="alg1.l4.m1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="alg1.l4.m1.2.2.1" xref="alg1.l4.m1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.4" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.1" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml">≠</mo><mi id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.5" stretchy="false" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m1.7b"><apply id="alg1.l4.m1.7.7.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7"><eq id="alg1.l4.m1.7.7.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.3"></eq><apply id="alg1.l4.m1.7.7.4.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l4.m1.7.7.4.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.4">subscript</csymbol><ci id="alg1.l4.m1.7.7.4.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.4.2">Ψ</ci><ci id="alg1.l4.m1.7.7.4.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="alg1.l4.m1.7.7.2.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2"><max id="alg1.l4.m1.5.5.cmml" xref="alg1.l4.m1.5.5"></max><apply id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1"><in id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.1"></in><apply id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑆</ci><apply id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><list id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="alg1.l4.m1.3.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.3">𝑗</ci><ci id="alg1.l4.m1.4.4.cmml" xref="alg1.l4.m1.4.4">𝑘</ci></list></apply><list id="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2"><cn id="alg1.l4.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l4.m1.1.1">1</cn><apply id="alg1.l4.m1.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.2.2"><ci id="alg1.l4.m1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.2.2.1">¯</ci><ci id="alg1.l4.m1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.2.2.2">𝑁</ci></apply></list></apply><apply id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2"><neq id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.1"></neq><ci id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.7.7.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m1.7c">\Psi_{i}=\max\{S_{jk}^{i}|j,k\in[1;\overline{N}],j\neq k\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m1.7d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = roman_max { italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT | italic_j , italic_k ∈ [ 1 ; over¯ start_ARG italic_N end_ARG ] , italic_j ≠ italic_k }</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">5:</span>Repeat steps 1-4 <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l5.m1.1"><semantics id="alg1.l5.m1.1a"><mi id="alg1.l5.m1.1.1" xref="alg1.l5.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l5.m1.1b"><ci id="alg1.l5.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l5.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l5.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math> times and obtain <math alttext="\Psi_{i,1},\ldots,\Psi_{i,M}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l5.m2.7"><semantics id="alg1.l5.m2.7a"><mrow id="alg1.l5.m2.7.7.2" xref="alg1.l5.m2.7.7.3.cmml"><msub id="alg1.l5.m2.6.6.1.1" xref="alg1.l5.m2.6.6.1.1.cmml"><mi id="alg1.l5.m2.6.6.1.1.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l5.m2.6.6.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="alg1.l5.m2.2.2.2.4" xref="alg1.l5.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l5.m2.1.1.1.1" xref="alg1.l5.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l5.m2.2.2.2.4.1" xref="alg1.l5.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="alg1.l5.m2.2.2.2.2" xref="alg1.l5.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="alg1.l5.m2.7.7.2.3" xref="alg1.l5.m2.7.7.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l5.m2.5.5" mathvariant="normal" xref="alg1.l5.m2.5.5.cmml">…</mi><mo id="alg1.l5.m2.7.7.2.4" xref="alg1.l5.m2.7.7.3.cmml">,</mo><msub id="alg1.l5.m2.7.7.2.2" xref="alg1.l5.m2.7.7.2.2.cmml"><mi id="alg1.l5.m2.7.7.2.2.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l5.m2.7.7.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="alg1.l5.m2.4.4.2.4" xref="alg1.l5.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="alg1.l5.m2.3.3.1.1" xref="alg1.l5.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l5.m2.4.4.2.4.1" xref="alg1.l5.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l5.m2.4.4.2.2" xref="alg1.l5.m2.4.4.2.2.cmml">M</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l5.m2.7b"><list id="alg1.l5.m2.7.7.3.cmml" xref="alg1.l5.m2.7.7.2"><apply id="alg1.l5.m2.6.6.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m2.6.6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l5.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m2.6.6.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l5.m2.6.6.1.1.2.cmml" xref="alg1.l5.m2.6.6.1.1.2">Ψ</ci><list id="alg1.l5.m2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l5.m2.2.2.2.4"><ci id="alg1.l5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="alg1.l5.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l5.m2.2.2.2.2">1</cn></list></apply><ci id="alg1.l5.m2.5.5.cmml" xref="alg1.l5.m2.5.5">…</ci><apply id="alg1.l5.m2.7.7.2.2.cmml" xref="alg1.l5.m2.7.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l5.m2.7.7.2.2.1.cmml" xref="alg1.l5.m2.7.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l5.m2.7.7.2.2.2.cmml" xref="alg1.l5.m2.7.7.2.2.2">Ψ</ci><list id="alg1.l5.m2.4.4.2.3.cmml" xref="alg1.l5.m2.4.4.2.4"><ci id="alg1.l5.m2.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m2.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l5.m2.4.4.2.2.cmml" xref="alg1.l5.m2.4.4.2.2">𝑀</ci></list></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l5.m2.7c">\Psi_{i,1},\ldots,\Psi_{i,M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l5.m2.7d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">6:</span>Apply Reverse Weibull Distribution <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib52" title="">52</a>]</cite> to <math alttext="\Psi_{i,1},\ldots,\Psi_{i,M}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l6.m1.7"><semantics id="alg1.l6.m1.7a"><mrow id="alg1.l6.m1.7.7.2" xref="alg1.l6.m1.7.7.3.cmml"><msub id="alg1.l6.m1.6.6.1.1" xref="alg1.l6.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.6.6.1.1.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l6.m1.6.6.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="alg1.l6.m1.2.2.2.4" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l6.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l6.m1.2.2.2.4.1" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="alg1.l6.m1.2.2.2.2" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="alg1.l6.m1.7.7.2.3" xref="alg1.l6.m1.7.7.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l6.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="alg1.l6.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="alg1.l6.m1.7.7.2.4" xref="alg1.l6.m1.7.7.3.cmml">,</mo><msub id="alg1.l6.m1.7.7.2.2" xref="alg1.l6.m1.7.7.2.2.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.7.7.2.2.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l6.m1.7.7.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="alg1.l6.m1.4.4.2.4" xref="alg1.l6.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.3.3.1.1" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l6.m1.4.4.2.4.1" xref="alg1.l6.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l6.m1.4.4.2.2" xref="alg1.l6.m1.4.4.2.2.cmml">M</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l6.m1.7b"><list id="alg1.l6.m1.7.7.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.7.7.2"><apply id="alg1.l6.m1.6.6.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.6.6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.6.6.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l6.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.6.6.1.1.2">Ψ</ci><list id="alg1.l6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.4"><ci id="alg1.l6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><ci id="alg1.l6.m1.5.5.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5">…</ci><apply id="alg1.l6.m1.7.7.2.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.7.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.7.7.2.2.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.7.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l6.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.7.7.2.2.2">Ψ</ci><list id="alg1.l6.m1.4.4.2.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.2.4"><ci id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l6.m1.4.4.2.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.2.2">𝑀</ci></list></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l6.m1.7c">\Psi_{i,1},\ldots,\Psi_{i,M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l6.m1.7d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which gives us so-called location, scale and shape parameters </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">7:</span>The obtained <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="alg1.l7.1">location parameter</span> is denoted by <math alttext="\mathcal{L}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l7.m1.1"><semantics id="alg1.l7.m1.1a"><msub id="alg1.l7.m1.1.1" xref="alg1.l7.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l7.m1.1.1.2" xref="alg1.l7.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="alg1.l7.m1.1.1.3" xref="alg1.l7.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l7.m1.1b"><apply id="alg1.l7.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="alg1.l7.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l7.m1.1c">\mathcal{L}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l7.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">8:</span>Repeat steps 1-7 to get <math alttext="\mathcal{L}_{1},\ldots,\mathcal{L}_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l8.m1.3"><semantics id="alg1.l8.m1.3a"><mrow id="alg1.l8.m1.3.3.2" xref="alg1.l8.m1.3.3.3.cmml"><msub id="alg1.l8.m1.2.2.1.1" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.2" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.3" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="alg1.l8.m1.3.3.2.3" xref="alg1.l8.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l8.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="alg1.l8.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="alg1.l8.m1.3.3.2.4" xref="alg1.l8.m1.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="alg1.l8.m1.3.3.2.2" xref="alg1.l8.m1.3.3.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l8.m1.3.3.2.2.2" xref="alg1.l8.m1.3.3.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="alg1.l8.m1.3.3.2.2.3" xref="alg1.l8.m1.3.3.2.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l8.m1.3b"><list id="alg1.l8.m1.3.3.3.cmml" xref="alg1.l8.m1.3.3.2"><apply id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.2">ℒ</ci><cn id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="alg1.l8.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.1.1">…</ci><apply id="alg1.l8.m1.3.3.2.2.cmml" xref="alg1.l8.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l8.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l8.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="alg1.l8.m1.3.3.2.2.2">ℒ</ci><ci id="alg1.l8.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="alg1.l8.m1.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l8.m1.3c">\mathcal{L}_{1},\ldots,\mathcal{L}_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l8.m1.3d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">9:</span><math alttext="\mathcal{L}_{L}=\max\{\mathcal{L}_{1},\ldots,\mathcal{L}_{n}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l9.m1.4"><semantics id="alg1.l9.m1.4a"><mrow id="alg1.l9.m1.4.4" xref="alg1.l9.m1.4.4.cmml"><msub id="alg1.l9.m1.4.4.4" xref="alg1.l9.m1.4.4.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l9.m1.4.4.4.2" xref="alg1.l9.m1.4.4.4.2.cmml">ℒ</mi><mi id="alg1.l9.m1.4.4.4.3" xref="alg1.l9.m1.4.4.4.3.cmml">L</mi></msub><mo id="alg1.l9.m1.4.4.3" xref="alg1.l9.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l9.m1.4.4.2.2" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.1.1" xref="alg1.l9.m1.1.1.cmml">max</mi><mo id="alg1.l9.m1.4.4.2.2a" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.3.cmml">{</mo><msub id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.4" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l9.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l9.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.5" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.6" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l9.m1.4b"><apply id="alg1.l9.m1.4.4.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4"><eq id="alg1.l9.m1.4.4.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.3"></eq><apply id="alg1.l9.m1.4.4.4.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.4.4.4.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.4.4.4.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.4.2">ℒ</ci><ci id="alg1.l9.m1.4.4.4.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.4.3">𝐿</ci></apply><apply id="alg1.l9.m1.4.4.2.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.2"><max id="alg1.l9.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.1.1"></max><apply id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.2">ℒ</ci><cn id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="alg1.l9.m1.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.2">…</ci><apply id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.2">ℒ</ci><ci id="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l9.m1.4c">\mathcal{L}_{L}=\max\{\mathcal{L}_{1},\ldots,\mathcal{L}_{n}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l9.m1.4d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT = roman_max { caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> </div> </div> </figure> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SSx1.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SSx1.p2.1">The following Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#S6.Thmtheorem1" title="Lemma 6.1 ([37]) ‣ Appendix A. Computation of Lipschitz constants ℒ_𝐿 and ℒ_𝑈 ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a>, borrowed from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib52" title="">52</a>]</cite>, under the proposed algorithm ensures the convergence of the estimated Lipschitz constants to their actual values.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S6.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem1.1.1.1">Lemma 6.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.Thmtheorem1.2.2"> (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#bib.bib37" title="">37</a>]</cite>)</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S6.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.Thmtheorem1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4">In the verge of Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13834v1#alg1" title="Algorithm 1 ‣ Appendix A. Computation of Lipschitz constants ℒ_𝐿 and ℒ_𝑈 ‣ Spatiotemporal Tubes for Temporal Reach-Avoid-Stay Tasks in Unknown Systems This work was supported in part by the SERB Start-Up Research Grant; in part by the ARTPARK. The work of Ratnangshu Das was supported by the Prime Minister’s Research Fellowship from the Ministry of Education, Government of India."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, the estimated Lipschitz constants <math alttext="\mathcal{L}_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><msub id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{L}_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{L}_{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><msub id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">U</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">\mathcal{L}_{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> tends to their actual values if and only if <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1d">italic_α</annotation></semantics></math> goes to zero with <math alttext="\overline{N},M" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2"><semantics id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2.1" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2b"><list id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2"><apply id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1">¯</ci><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2">𝑀</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2c">\overline{N},M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2d">over¯ start_ARG italic_N end_ARG , italic_M</annotation></semantics></math> tends to infinity.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SSx1.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.SSx1.p3.2">Note that, picking minimal value of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SSx1.p3.1.m1.1"><semantics id="S6.SSx1.p3.1.m1.1a"><mi id="S6.SSx1.p3.1.m1.1.1" xref="S6.SSx1.p3.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SSx1.p3.1.m1.1b"><ci id="S6.SSx1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.p3.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SSx1.p3.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SSx1.p3.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> and very high value of <math alttext="\overline{N},M" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SSx1.p3.2.m2.2"><semantics id="S6.SSx1.p3.2.m2.2a"><mrow id="S6.SSx1.p3.2.m2.2.3.2" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.2.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.1" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.SSx1.p3.2.m2.2.3.2.1" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.SSx1.p3.2.m2.2.2" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.2.2.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SSx1.p3.2.m2.2b"><list id="S6.SSx1.p3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.2.3.2"><apply id="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1"><ci id="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.1">¯</ci><ci id="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.1.1.2">𝑁</ci></apply><ci id="S6.SSx1.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S6.SSx1.p3.2.m2.2.2">𝑀</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SSx1.p3.2.m2.2c">\overline{N},M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SSx1.p3.2.m2.2d">over¯ start_ARG italic_N end_ARG , italic_M</annotation></semantics></math> will give a precise approximation of the Lipschitz constants.</p> </div> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Thu Nov 21 04:51:10 2024 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" 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